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Universidade do Vale do Rio dos Sinos – UNISINOS
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica
1
Ciclos de refrigeração
2017/2
2
Organização:
� Ciclo de Carnot
� Ciclo padrão de um estágio de compressão
� Subresfriamento e superaquecimento
� Refrigerantes
� Compressores
� Ciclos de dois estágios de compressão
� Ciclo em cascata
� Ciclo transcrítico do CO2
Material:
http://www.professor.unisinos.br/mhmac/
Refrigeração: Capítulos 1 a 7
3
Ciclo ideal (reversível) é o modelo ideal para o ciclo de refrigeração 
operando entre duas temperaturas fixas ou entre dois fluidos a 
diferentes temperaturas e cada um com capacidade térmica 
infinita (duas bacias térmicas).
� Nenhum ciclo de refrigeração pode possuir um coeficiente de 
performance, COP, maior que o ciclo de Carnot, operando entre as 
mesmas temperaturas;
Ciclo de Carnot
4
líquido Trabalho
útil ãoRefrigeraç
=COP
Efeitos das temperaturas
T2 ↓ COP ↑
T1 ↑ COP ↑
Ciclo de Carnot
(1)
(2)
5
Refrigerante com mudança de fase
Compressão “seca”
Expansão irreversível
Refrigerante
6
Irreversibilidades
Redução do efeito 
de refrigeração
Aumento do 
trabalho mecânico
7
Ciclo padrão de refrigeração por compressão mecânica
Ou ciclo reverso de Rankine ou 
ciclo de Evans-Perkins
8
Circuito básico de um sistema de refrigeração de um 
estágio de compressão
9
Refrigerador doméstico
10
Diagrama pressão vs. entalpia
11
Diagrama pressão vs. entalpia: R134a e R717
TC = 35 °C
TE = -10 °C
R134a
R717
12
Ciclo real de refrigeração
13
Balanço de energia nos dispositivos
Pela 1ª. Lei da Termodinâmica:
saientra EE && =








++−







++=− e
e
ees
s
ss gz
VhmgzVhmWQ
22
22
&&&&
(3)
(4)
onde é a taxa de massa do refrigerante, é a taxa de calor e a taxa 
de trabalho cruzando as fronteiras do v.c. Nessa mesma equação, h é a 
entalpia, V a velocidade, z a altura e g a aceleração da gravidade.
m& Q& W&
14
Hipóteses aplicadas ao balanço de energia
permanente Regime 
ldesprezíve potencial energia de Variação 0 EP
ldesprezíve cinética energia de Variação 0
→==
→=
→=
mmm
EC
es &&&
∆
∆
Assim:
( )es hhmWQ −=− &&&
Para os dois trocadores de calor (condensador e evaporador):
( )es hhmQ −= &&
Para o compressor, considerando um processo isentrópico e adiabático:
( )es hhmW −= &&
Para o processo de expansão, considerando a taxa de transferência de 
calor desprezível:
es hh =
(5)
(6)
(7)
(8)
15
Chamando de a capacidade do evaporador (ou sua potência frigorífica):
( )41 hhmQmQ EE −== &&&
( )[ ]s/kghh
Q
m E
41 −
=
&
&
A potência térmica dissipada no condensador:
( )32 hhmQmQ CC −== &&&
A taxa de deslocamento do compressor:




=
s
mmV
3
11 && ν
A potência mecânica do compressor, considerando um processo isentrópico:
( ) compsms,comp QhhmWmW &&&& +−== 12
(9)
Balanço de energia
EQ&
(10)
(11)
(12)
(13)
16
O título do refrigerante na entrada do evaporador é dado :
( )
( )
( )l
l
ll
hh
hh
x
hhxhh
−
−
=
−+=
1
4
4
144
Lembrando que:
O COP do ciclo é dado por:
comp
E
W
QCOP
&
&
=
O afastamento do ciclo padrão em relação ao ciclo reversível é chamado de 
rendimento de refrigeração:
( )revR COP
COP
=η
Balanço de energia
(14)
(15)
34 hh = (16)
(17)
(18)
lh
17
Utilizando as Equações (9) e (12), a capacidade do evaporador pode ser 
escrita como:
O último termo no lado direito da equação é chamado de efeito volumétrico de 
refrigeração, dado em kJ/m3 ou kPa, sendo uma característica de cada 
refrigerante.
Da mesma forma, a Eq. (13) pode ser reescrita como: 
O termo marcado no lado direito da Eq. (20) é chamado de trabalho volumétrico 
do compressor ou pressão media efetiva.
A potência real entregue ao compressor pode ser encontrada através da sua eficiência 
isentrópica:
Observações
(19)
(20)
(21)
( ) ( )
1
41
141
v
hhVhhmQE
−
=−=
&&&
( )
1
12
1
v
hh
VW ss,comp
−
=
&&
( )
1
12
1
v
hh
VW
isen
s
s,comp η
−
=
&&
18
Subresfriamento e superaquecimento
Subresfriamento
Subresfriamento
Subresfriamento (∆Tsub) é a diminuição da temperatura do líquido, na saída do 
condensador, abaixo da temperatura de saturação.
liqc,satsub TTT −=∆
Superaquecimento
(22)
19
Superaquecimento
Subresfriamento
Superaquecimento (∆Tsup) é o aumento da temperatura na saída do evaporador, 
acima da temperatura de saturação.
e,satvapsup TTT −=∆
Subresfriamento e superaquecimento
Superaquecimento
(23)
20
Superaquecimento
Função:
Impedir a entrada de líquido no 
compressor → diluição do óleo 
lubrificante, desgaste peças móveis, etc.
21
Subresfriamento
Função:
Evitar a formação de vapor do 
refrigerante na entrada do 
dispositivo de expansão, devido 
às perdas de pressão na linha de 
líquido, prejudicando o seu 
desempenho.
22
Subresfriamento e superaquecimento
Uso de um trocador de calor 
(LSHX) que realiza os dois 
processos simultaneamente.
23
Subresfriamento e superaquecimento
h1 h1’
h3h3’
Balanço de energia no trocador (LSHX)
( ) ( )1133 hhmhhmQ ''LSHX −=−= &&&
( ) ( )1133 TTcTTc 'v,p'l,p −=−
( ) ( )1133 TT
c
c
TT
'
l,p
v,p
'
−=−
<1
( ) ( )1133 TTTT '' −<−
( )
( )
( )
( )13
11
13
11
TT
TT
TTcm
TTcm
Q
Q
'
v,p
'v,p
max
real
LSHX
−
−
=
−
−
==
&
&
&
&
ε
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
mcp é a máxima taxa de capacidade calorífica
24
Compressores
O compressor é um dos quatro componentes principais de um sistema de 
refrigeração por compressão mecânica de vapor. O compressor é o responsável pela 
circulação do refrigerante no ciclo, de forma contínua. Nesse processo o compressor 
aumenta a pressão do refrigerante (e, consequentemente, sua temperatura), 
enviando o vapor ao condensador. 
Há dois tipos básicos de compressores: os de deslocamento positivo e os dinâmicos, 
conforme esquema mostrado na figura abaixo. 
25
Compressores
Os compressores de deslocamento positivo aumentam a pressão do vapor do 
refrigerante através da redução do volume da câmara de compressão através da 
aplicação de trabalho mecânico no mecanismo de compressão. Exemplos desses 
compressores são os alternativos, os rotativos (parafuso, scroll, pistão rolante e 
palhetas). 
Os compressores dinâmicos aumentam a pressão do vapor do refrigerante através da 
transferência contínua de momento angular pelas pás do rotor, acelerando o 
refrigerante, seguido de uma conversão desse momento em um aumento de pressão, 
isso é, a conversão da energia cinética em energia de pressão. Os compressores 
centrífugos são exemplos de compressores dinâmicos. 
26
Compressores alternativos
Se baseiam no movimento de um pistão dentro de um cilindro. Quando o pistão 
desloca-se do ponto morto superior (PMS) para o ponto morto inferior (PMI), o 
vapor entra no cilindro através de uma válvula se sucção, que se abre 
automaticamente pela diferença de pressão. Nesse deslocamento, o volume do 
cilindro é quase que totalmente preenchido pelo vapor do refrigerante.
No movimento ascendente, o pistão se movimenta desde o PMI até o PMS. Nesse 
momento a válvula de sucção encontra-se fechada pela ação de uma mola e a 
pressão no interior do cilindro aumenta pela diminuição do volume do cilindro. Esse 
processo continua até que a pressão no interior do cilindro consiga vencer a pressão 
da mola da válvula de descarga, próximada pressão de condensação. 
Nesse processo, parte do vapor permanece dentro do cilindro, na pressão de 
descarga, uma vez que o pistão não consegue varrer todo o volume do cilindro.
27
Compressores alternativos
O espaço morto ou também 
chamado de espaço nocivo é 
definido como Vc e é geralmente 
representado como uma fração 
do volume varrido, Vsw.
sw
c
V
V
c = (29)
28
Compressores alternativos
O efeito do espaço morto no diagrama pressão vs. volume para um compressor ideal 
é mostrado na figura abaixo. 
Assim, o volume de vapor Vc no ponto C expande à medida que o pistão se 
movimenta desde o PMS até o PMI. Nesse processo, a pressão no interior do cilindro 
não se reduz imediatamente para p1, mas segue a curva C-D. Para o caso de um 
compressor ideal, o processo C-D é considerado adiabático e reversível, isso é, a 
entropia constante.
Compressor ideal Compressor ideal com espaço morto
29
Compressores alternativos
O primeiro efeito observável no diagrama é que o espaço morto reduz o volume de 
vapor aspirado desde VA, no caso de compressor sem espaço morto, para (VA-VD), 
conforme a figura. Assim, define-se rendimento volumétrico do compressor 
como:
sw
DA
CA
DA
max
real
idc,v V
VV
VV
VV
V
V −
=
−
−
==η
Depois de algumas elucubrações matemáticas, pode-se chegar na seguinte equação:
onde vD e vC são os volumes específicos do refrigerante nas condições de aspiração e 
descarga do compressor, similarmente a v1 e v2.
(30)
(31)
ssC
D
idc,v
v
v
cc
v
v
cc 





−+=





−+=
2
111η
30
Compressores alternativos
Se o valor de k (coeficiente isentrópico) é conhecido e o refrigerante puder ser 
tratado como um gás ideal:
a Eq. (31) pode ser reescrita como:
Entre os valores limites de ηv, id= 1 quando (p2/p1) = 1 e ηv, id= 0 quando (p2/p1)max, a 
variação do ηv, id é mostrada na fig. abaixo, onde a condição k = 1,3 é para o caso do 
R-717. Na prática, elevadas relações de pressão não são utilizadas, pois implicam em 
baixos rendimentos volumétricos e elevadas temperaturas de descarga. 
v
p
c
c
k =
(32)kkkk
p
p
v
v
p
p
v
v
vpvp
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2211 





=⇒=





⇒=
k
idc,v p
p
cc
1
1
21 





−+=η (33)
(34)
31
Compressores alternativos
Para relações de pressão usualmente utilizadas, o ηv, id é apresentado abaixo, em 
função da relação de pressões.
A taxa de massa circulada em um compressor ideal com espaço morto é dada por:
e a potência do compressor em um processo isentrópico:
onde a taxa do volume varrido é dada por:
1v
V
m
swidc,v &&
η
=
(35)
( ) ( )
1
12
12
v
hh
VhhmW sswidc,vsidc
−
=−=
&&& η
(36)
LNnDVsw 4
2pi
=
& (37)
32
Compressor alternativo real
A diferença mais óbvia entre o comportamento de um compressor real e de um 
compressor ideal com espaço morto é que a sucção e a descarga não acontecem com 
pressão constante, como mostrado na figura abaixo. Como as válvulas possuem 
massa, uma diferença de pressão é necessária para acelerá-las desde o repouso até o 
momento em que ficam totalmente abertas.
Além disso, as curvas relativas aos processos de compressão não são mais 
isentrópicas, devido aos efeitos de transferência de calor entre o fluido e as paredes 
do cilindro e também devido aos vazamentos.
33
Compressor alternativo real
O rendimento volumétrico real é obtido através de testes onde a taxa de massa é 
medida em condições de regime permanente e o volume específico, na entrada do 
compressor, calculado a partir da temperatura e pressão.
swteórica
real
v V
vm
m
m
&
&
&
& 1
==η (38)
34
Compressor alternativo real
Através dos dados medidos é possível então obter uma equação representativa do 
desempenho do compressor, como por exemplo, o polinômio mostrado abaixo.
onde a variável X pode representar a taxa de massa, , o rendimento volumétrico, 
ηv e/ou a potência absorvida pelo compressor, . .
Nessa equação, Te é a temperatura de vaporização e Tc a temperatura de 
condensação. As constantes Ci são obtidas através de ajuste.
(39)
compW&
m&
3
10
2
9
2
8
3
7
2
65
2
4321 cceececceece TcTTcTTcTcTcTTcTcTcTccX +++++++++=
35
Compressor parafuso
Na figura abaixo é apresentado um corte transversal dos parafusos macho e fêmea, 
onde o rotor macho tem 4 lóbulos enquanto o rotor fêmea tem 6 reentrâncias, que é 
um desenho usual desses compressores para aplicações de refrigeração.
Nesses compressores, o rotor macho geralmente é o acionado. Se esse rotor gira a 
uma velocidade w1 = N, a velocidade de giro do rotor fêmea será igual a w2 = 2N/3, 
conforme a equação:
3
2
6
4
2
1
2
2
1 NNw
z
z
w
w
==→= (40)
36
Compressor parafuso
Utilizando a nomenclatura mostra na figura anterior, onde af é a área transversal 
livre do rotor fêmea e am é a área transversal livre do rotor macho, a taxa de 
deslocamento do compressor é dada por:
onde N é a velocidade de rotação do rotor macho e L é o comprimento dos rotores 
(fusos). Definindo uma nova variável:
a taxa de deslocamento do compressor pode ser reescrita conforme
( )LaaNLaaNV fmfmsw +=





+= 4
3
264& (41)
4
2D
aa
K fm
pi
+
=
(42)
LNDKVsw
2pi=& (43)
37
Rendimento isentrópico de um compressor real
O rendimento isentrópico (ou adiabático) de um compressor real é dado pela relação 
entre o trabalho de compressão ideal, isentrópico, e o trabalho de compressão real, 
como definido pela equação:
( )
( )real compressão de trabalho
oisentrópic compressão de trabalho
=iseη
(44)
( )
( ) 10012
12
x
hh
hh
r
s
ise
−
−
=η (45)
38
Quando a diferença entre as temperaturas de condensação e de evaporação 
torna-se muito elevada:
Ciclos de múltiplos estágios de compressão
i. Redução da capacidade de refrigeração;
ii. As perdas no processo de estrangulamento aumentam;
iii. As perdas pelo superaquecimento aumentam;
iv. A temperatura na descarga no compressor aumenta;
v. O título do refrigerante na entrada do evaporador aumenta;
vi. O volume específico na entrada do compressor aumenta, com redução do rendimento volumétrico do
compressor;
vii. Problemas de resfriamento e de lubrificação do compressor;
viii. A relação entre as pressões também aumenta.
39
Ciclos de múltiplos estágios de compressão
A análise do sistema de compressão com múltiplos estágios oportuniza o estudo de
dois conceitos presentes nesses sistemas: o resfriamento intermediário e a remoção
do vapor de “flash”.
Resfriamento intermediário
O resfriamento intermediário é um processo normalmente adotado em instalações
de múltiplos estágios de compressão. Sua função é reduzir a temperatura do vapor
na saída de um estágio antes de ser aspirado pelo compressor do estágio seguinte.
40
Ciclos de múltiplos estágios de compressão
Utilização de um trocador de calor com água ou ar:
No caso de compressor para refrigeração, a transferência de calor através da água
ou do ar apresenta um uso relativamente limitado. No caso de um compressor de
R-717, por exemplo, a temperatura de entrada do vapor no primeiro estágio é
muito inferior à temperatura ambiente e o que pode ser esperado é desuperaquecer
o vapor do primeiro estágio até uma temperatura próxima a temperatura de
condensação.
41
Resfriamento intermediário com injeção de líquido
Uma forma mais efetiva de realizar o resfriamento intermediário é através da
injeção de refrigerante líquido no vapor entre os estágios, como mostrado
esquematicamente nas figuras abaixo.
Nesseprocesso, a temperatura do vapor pode ser reduzida até a temperatura de
saturação, dependendo da quantidade de líquido injetado. Uma importante questão
é como a injeção de líquido afeta o coeficiente de performance do ciclo uma vez
que o refrigerante líquido utilizado para o desuperaquecimento é aparentemente
perdido uma vez que não produzirá efeito de refrigeração no evaporador.
42
Resfriamento intermediário com injeção de líquido
332266 hmhmhm &&& =+
25
2
6
3
2
3
3
2
3
2
2
2
6
2
6 hh
m
mh
m
mh
m
mh
m
mh
m
m
+=⇒=+
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
1por dividindo e como 
2
6
2
3
2263 +=→+=
m
m
m
m
mmmm
&
&
&
&
&&&&
( )y
m
m
m
m
y +== 1 então e 
2
3
2
6
&
&
&
&
(46)
(47)
(48)
(49)
onde y é a fração da massa de líquido injetada em relação à massa que circula no
evaporador e (1+y) a fração de massa que passa pelo compressor do segundo
estágio em relação à massa que passa pelo compressor do primeiro estágio.
h6=h5
y
Lembrar que 21 mm && =
43
Introduzindo a Eq. (49) na Eq. (47):
Resfriamento intermediário com injeção de líquido
325 1 h)y(hyh +=+
Resolvendo a Eq. (50) para y:
(50)
( ) ( )( )53
32
5332 hh
hh
yhhyhh
−
−
=→−=−
(51)
3
25
3
2
3
51
h
hyh
h
h
h
h
y)y( +=+=+
Resolvendo a Eq. (50) para (1+y)
( )
( )
( )533
523
353
53321
hhh
hhh
hhh
hhhh)y(
−
−
=
−
−
=+
E substituindo a Eq. (51) em (52)
(52)
(53)
( ) ( )( )53
521
hh
hh
y
−
−
=+
44
Resfriamento intermediário com injeção de líquido
Considerando uma vazão mássica unitária circulando pelo evaporador, o
deslocamento volumétrico através do compressor do segundo estágio do ciclo 1-2-
3-4-5 será proporcional a (1+y)v3 e para o ciclo 1-2-4’-5 será proporcional a (1.v2),
onde v3 e v2 são os volumes específicos na sucção dos compressores.
O deslocamento volumétrico através do compressor do segundo estágio do ciclo
com desuperaquecimento será menor do que o do ciclo sem desuperaquecimento
se:
( ) 231 vvy <+
( )
( )
( ) ( )
3
53
2
52
23
53
52
v
hh
v
hh
vv
hh
hh −
<
−
⇒<
−
−
(55)
(54)
( )ym
m
m
+== 1
1
3
2
3 &
&
&
Isso é, se o descolamento volumétrico do 
compressor de alta for menor do que o 
deslocamento volumétrico do compressor sem 
resfriamento intermediário
45
Resfriamento intermediário com injeção de líquido
O resfriamento intermediário não reduz somente o trabalho de compressão mas
também reduz, de maneira mais importante, a temperatura na descarga do
compressor melhorando a lubrificação e aumentando sua vida útil.
No caso da amônia (R-717) o resfriamento intermediário reduz a potência de
compressão enquanto que para o R-22, por exemplo, aumenta.
O maior benefício obtido pelo resfriamento intermediário é a redução da
temperatura de descarga do refrigerante na saída do compressor.
46
Remoção do vapor de “flash”
Como fica evidente pela análise anterior, à medida que a temperatura do
evaporador diminui para uma temperatura de condensação constante, a
irreversibilidade associada ao processo de expansão aumenta.
Também pode ser verificada que a fração de vapor na saída do dispositivo de
expansão torna-se elevada, isso é, o título na entrada do evaporador aumenta.
Título do refrigerante
Temperatura descarga compressor
47
Remoção do vapor de “flash”
Esse vapor formado no processo de estrangulamento, chamado “vapor de flash”,
promove a redução da temperatura do refrigerante ao passar pelo dispositivo de
expansão, absorvendo a entalpia de vaporização.
No entanto, sua função no evaporador pouco ou nada contribui para a troca
térmica, pois já se encontra na fase vapor e, além disso, incrementa a perda de
pressão (carga) no evaporador e deve ser recomprimido outra vez até a pressão do
condensador, consumindo trabalho.
Uma forma de reduzir a irreversibilidade do processo de expansão é realizar uma
expansão fracionada.
48
Expansão fracionada
Uma forma de aumentar o COP do sistema é remover o vapor de flash tão logo
seja formado, evitando sua entrada no evaporador. Como a remoção contínua
desse vapor é um processo difícil de ser realizado, opta-se por fazer uma remoção
de vapor a uma pressão intermediária, utilizando um tanque de “flash”, chamado
aqui de tanque separador de líquido.
Esse ciclo é comumente chamado de “Economizer” e é muito utilizado para
aplicações a baixas temperaturas utilizando compressores parafuso, uma vez que
possuem uma porta capaz de aspirar o vapor a uma pressão intermediária.
49
Expansão fracionada
O processo de separação do vapor pode ser visto representado em um diagrama
pxh abaixo. Pela análise dessa figura, se vê claramente que na ausência do tanque
separador, a condição do refrigerante na entrada do evaporador seria aquela
correspondente ao estado 8’, que possui um título consideravelmente maior que o
do estado 8.
50
Expansão fracionada
A capacidade de refrigeração do evaporador, , pode ser determinada por:
ou, conhecendo essa capacidade, determinar a taxa de massa no evaporador por:
Fazendo um balanço de massa e energia no tanque separador de líquido (SL),
conforme esquema mostrado, obtém-se as seguintes relações:
EQ&
( )
 811 hhmQE −= && (56)
( )811 hh
Q
m E
−
=
&
& (57)
765 mmm &&& +=
776655 hmhmhm &&& +=
(58)
(59)
( ) 7766576 hmhmhmm &&&& +=+
E substituindo (58) em (59):
(60)
51
Expansão fracionada
( )
( )57
65
1
7
hh
hh
m
m
−
−
=
&
&
A solução da Eq. (60) fornece então a relação entre a taxa de massa que circula
pelo compressor de baixa e a taxa de massa que é fracionada no tanque separador,
isso é:
A taxa de massa no compressor de alta é dada por:
O estado do vapor no ponto 3 é fixado pela pressão intermediária e a entalpia
específica é conhecida através de um balanço de energia na entrada do compressor
de alta:
(61)
713 mmm &&& +=
(62)
3
7721
3
m
hmhmh
&
&& +
=
(63)
52
Expansão fracionada
Segundo Domanski (1995), a temperatura intermediária ótima, Ti, é praticamente
uniforme para a maioria dos refrigerantes utilizados e pode ser aproximada
corretamente pela temperatura média entre a temperatura do condensador e a do
evaporador:
A pressão média geométrica, dada pela equação abaixo, utilizada para determinar a
pressão intermediária para minimizar o trabalho de compressão em sistemas de
dois estágios, considerando um gás ideal com resfriamento completo, subestima a
pressão ótima para gases reais no ciclo Economizer.
(64)
(65)
2
EC
i
TT
T
+
=
ECi PPP =
53
Sistema combinado: expansão fracionada e resfriamento intermediário
A mistura do vapor proveniente do tanque separador com o vapor proveniente do
compressor do primeiro estágio ocasiona algum desuperaquecimento mas a
redução da temperatura do vapor que entra no segundo estágio de compressão não
será suficiente para aqueles refrigerantes que apresentem elevada temperatura de
descarga, como é o caso da amônia, principalmente.
Para esse refrigerante, o desuperaquecimento é geralmente realizado em um
sistema como o mostrado abaixo. Ali, o vapor do refrigerante proveniente do
compressor do primeiro estágio é borbulhado, através de um tubo perfurado, no
refrigerante líquido presente no tanque separador que, nesse caso, também é o
tanque resfriador intermediário.
54
Sistema combinado: expansão fracionada e resfriamento intermediário
O processo de borbulhamento se caracteriza por uma elevada área de contato entre
o vapor e o líquido, permitindo um resfriamento eficiente do vapor até,
aproximadamente, a temperaturado líquido do tanque. A temperatura do líquido
nesse tanque corresponde à temperatura de saturação na pressão intermediária.
33772266 hmhmhmhm &&&& +=+ (66)
171263 e ; mmmmmm &&&&&& ===
Como:
( )
( )63
72
1
3
hh
hh
m
m
−
−
=
&
& (67)
55
Sistema combinado: expansão fracionada e resfriamento intermediário
A vazão mássica de refrigerante que circula no evaporador, , é determinada a
partir da capacidade de refrigeração requerida pelo processo:
As taxas de deslocamento dos compressores dos estágios de alta e baixa são
calculadas através das equações:
A potência térmica dissipada no condensador é dada por:
As potencias dos compressores de alta e baixa, considerando processos de
compressão isentrópicos, são dadas por:
E o COP:
1m&
( )811 hh
Q
m E
−
=
&
& (68)
333111 e vmVvmV &&&& == (69)
( )543 hhmQC −= && (70)
( ) ( )
s,comps,comp hhmWhhmW 34331211 e −=−= &&&&
(71)
( )
( ) ( ) 31343121
811
,comp,comp
E
ss WW
Q
hhmhhm
hhmCOP
&&
&
&&
&
+
=
−+−
−
=
(72)
56
Sistema combinado: expansão fracionada, resfriamento intermediário e 
evaporador inundado
Os evaporadores podem ser classificados como:
Expansão direta: nesse caso, o refrigerante líquido, proveniente do condensador é
alimentado através de um dispositivo de expansão. Assim, na entrada do
evaporador existe uma mistura de líquido+vapor, cujo título é função das
características termodinâmicas do refrigerante e da diferença entre as pressões de
entrada e saída do dispositivo de expansão. Um dispositivo de expansão muito
utilizado é a válvula de expansão termostática, TXV. Ela controla o fluxo de
refrigerante para o evaporador de tal forma que o vapor na saída esteja levemente
superaquecido, garantindo que não entre líquido no compressor. As válvulas TXV
são utilizadas quando o refrigerante vaporiza dentro dos tubos do evaporador.
57
Sistema combinado: expansão fracionada, resfriamento intermediário e 
evaporador inundado
Os evaporadores podem ser classificados como:
Evaporador inundado: nesse caso, o evaporador é alimentado exclusivamente por
refrigerante líquido proveniente de um tanque separador, na pressão de
vaporização, onde apenas uma fração do líquido vaporiza, isso é, a vazão mássica
do refrigerante no evaporador é superior a sua capacidade de vaporização. A
circulação acontece por gravidade (ou termossifão), conforme representação
esquemática abaixo, onde a pressão estática na perna de líquido é maior que aquela
da mistura de vapor e líquido no evaporador. Essa diferença de pressão é a força
motora responsável pelo fluxo de refrigerante no evaporador.
58
Sistema combinado: expansão fracionada, resfriamento intermediário e 
evaporador inundado
O coeficiente de transferência de calor do refrigerante no escoamento interno de
um evaporador é uma função da fluxo do refrigerante, da taxa de transferência de
calor mas, principalmente, do título do refrigerante, como pode ser visto abaixo.
Nessa figura, o refrigerante é amônia (R-717) vaporizando em um tubo a -10 °C.
59
Sistema combinado: expansão fracionada, resfriamento intermediário e 
evaporador inundado
Um valor elevado de hi produzirá uma menor diferença de temperatura de
aproximação (entre o refrigerante e o ar) e uma maior efetividade do evaporador.
Como consequência, o evaporador poderá ter um volume menor, portanto mais
compacto, e de menor custo.
Na figura anterior, pode ser notado que o valor de hi é elevado quando o título do
refrigerante ficar entre a faixa de títulos de 0,2 a 0,7. Nessa faixa, o escoamento
bifásico apresenta um padrão anular, formando um filme de líquido nas paredes
dos tubos do evaporador, com o vapor escoando no centro do tubo.
No processo de secagem (dry out) há uma brusca redução do valor do coeficiente
de transferência de calor e, portanto, não é uma condição favorável para o
desempenho do evaporador. Para títulos próximos da unidade e na região de
superaquecimento, o valor de hi é muito baixo, devido também à baixa
condutividade térmica do vapor.
60
Sistema combinado: expansão fracionada, resfriamento intermediário e 
evaporador inundado
Esse problema pode ser resolvido utilizando um evaporador inundado, com
superalimentação de líquido. Assim, o título do refrigerante será mantido em
valores adequados, evitando-se a condição de secagem.
Para isso, coloca-se o evaporador em um loop separado, cuja taxa de massa de
líquido no evaporador é mantida através de uma bomba.
61
Sistema combinado: expansão fracionada, resfriamento intermediário e 
evaporador inundado
Uma representação desse ciclo em um diagrama pressão vs. entalpia é mostrada
abaixo, onde utiliza como referência os estados definidos no esquema ao lado.
62
Sistema combinado: expansão fracionada, resfriamento intermediário e 
evaporador inundado
Utilizando o tanque separador (SL) como volume de controle e realizando um balanço de
energia, conforme representação na Fig. 6.18, chega-se nas seguintes expressões:
e como
9911101088 hmhmhmhm &&&& +=+
91018 e mmmm &&&& ==
( ) ( )9109811 hhmhhm −=− &&
( )
( )81
910
9
1
hh
hh
m
m
−
−
=
&
&
(73)
(74)
(75)
(76)
1m&
9m&
3m&
63
Sistema combinado: expansão fracionada, resfriamento intermediário e 
evaporador inundado
A vazão mássica no evaporador é determinada pela capacidade de refrigeração do sistema,
conforme a Eq. 6.54.
Realizando um balanço de energia no tanque separador de líquido/resfriador intermediário,
representado na figura abaixo, resulta em:
( )9109 hh
Q
m E
−
=
&
&
77336621 hmhmhmhm &&&& +=+
Como:
36721 e mmmmm &&&&& ===
63
72
1
3
hh
hh
m
m
−
−
=
&
&
(77)
(78)
(79)
(80)
1m&
9m&
3m&
64
Sistema combinado: expansão fracionada, resfriamento intermediário e 
evaporador inundado
Um benefício fundamental da recirculação de líquido é o incremento do coeficiente de
transferência de calor do lado do refrigerante no evaporador, principalmente em função do
aumento da velocidade do refrigerante.
O número de recirculação, Nr, é definido como:
ou seja, o evaporador é superalimentado de refrigerante onde apenas uma pequena parcela de
líquido vaporiza.
A condição de saída da mistura líquido-vapor dos evaporadores (estado x10) está associada
com o número de recirculação, Nr, de acordo com
o vaporizadterefrigeran de mássica Vazão
evaporador ao fornecida terefrigeran do mássica Vazão
=Nr
Nrx
1
10 =
(81)
(82)
65
Sistema combinado: expansão fracionada, resfriamento intermediário e 
evaporador inundado
Valores recomendados para o número de recirculação, Nr,
Refrigerante Fator de recirculação
R-717
Alimentação por cima e tubos de grande diâmetro 6 a 7
Alimentação normal e tubos de pequeno diâmetro 2 a 4
R-134a 2
R-22 (alimentação por cima) 3
66
Ciclo cascata
Em um ciclo cascata, ciclos separados de um estágio de compressão são arranjados em série.
Os ciclos são integrados termicamente através de um trocador de calor, chamado de
"condensador cascata”.
O ciclo do estágio superior rejeita calor para o ambiente, na temperatura de condensação.
O ciclo inferior rejeita calor para o estágio superior do ciclo cascata, no trocador de calor,
enquanto o refrigerante vaporiza no evaporador, retirando calor do meio.
67
A vantagem desse ciclo reside no fato de que, quando a diferença entre a
temperatura na qual o calor é rejeitado (condensador) e a temperatura na qual a
refrigeração é demandada é tão elevada que um único refrigerante com propriedades
adequadas para operar nessa faixa de pressões/temperaturas não é encontrado.
Como as curvas de pressão de vapor de todos os refrigerantes possuem formato
similar, nãoé possível encontrar um refrigerante que apresente pressão elevada
adequada no evaporador e uma razoavelmente baixa pressão no condensador
quando as diferenças de temperatura são elevadas.
Ciclo cascata
68
Para o ciclo superior (de alta), pode-se utilizar como refrigerantes o R-22, R-717, R-
134a, R404a, etc.
Para o ciclo inferior (de baixa), as opções são: o dióxido de carbono (R-744), até -50
°C, o R-508b, de -40 °C até -100 °C, o R-23, até -70 °C, etc.
Ciclo cascata
69
Ciclo cascata – representação em um diagrama P vs h
� �
��
� �
�	
70
Usos:
� Congelamento de alimentos a temperaturas muito baixas (< -50 °C);
� Liquefação de vapores de petróleo;
� Liquefação de gases industriais;
� Fabricação de gelo seco;
� Aplicações específicas: câmaras climáticas para choques térmicos, congelamento
de plasma sanguíneo, etc.
Ciclo cascata
71
Ciclo cascata
A temperatura do refrigerante saindo do condensador é especificada pela diferença de
temperatura de aproximação, conforme a equação:
onde TH é a temperatura do meio onde o calor será dissipado. Na ausência de subresfriamento na
saída do condensador, a condição de saída do refrigerante é de líquido saturado, x8 = 0.
A temperatura do refrigerante na saída do evaporador é especificada pela diferença de
temperatura de aproximação no evaporador, conforme a equação:
onde TL é a temperatura do meio onde o calor será retirado. Na ausência de superaquecimento na
saída do evaporador, a condição de saída do refrigerante é de vapor saturado, x2 = 1.
HH TTT ∆+=8 (83)
LL TTT ∆−=2 (84)
T
TL
TH
W
QH
QL
Tc
Te
HHc TTT ∆+=
LLe TTT ∆−=
∆∆∆∆TH
∆∆∆∆TL
Temp. condensação
Temp. vaporização
72
Ciclo cascata
A temperatura do refrigerante do estágio superior na entrada do trocador de calor é
especificada pela temperatura intermediária, conforme a equação abaixo mas que
deve ser otimizada:
Caso a perda de pressão no TC seja desprezível:
Na ausência de superaquecimento na saída do trocador de calor, a condição de saída
do refrigerante é de vapor saturado, x6 = 1.
→ A análise dos compressores é similar aos exemplos analisados nos ciclos
anteriores.
A temperatura do refrigerante do estágio inferior, na saída do trocador de calor é
dada pela diferença de temperatura de aproximação no trocador, conforme a
equação:
e na ausência de subresfriamento na saída do trocador, a condição de saída do
refrigerante é de líquido saturado, x4 = 0.
intTT =5 (85)
56 PP = (86)
CHXTTT ∆+= 54 (87)
73
Ciclo cascata
Realizando um balanço de energia no trocador de calor:
(89)
(88)
ba mmmmmm &&&&&& ==== 4365 e 
44663355 hmhmhmhm &&&& +=+
Como:
4635 h
m
mh
m
mh
m
mh
m
m
a
b
a
a
a
b
a
a
&
&
&
&
&
&
&
&
+=+ (90)
resultando em:
4635 h
m
mhh
m
mh
a
b
a
b
&
&
&
&
+=+ (91)
A solução da Eq. (91) fornece a relação entre as taxas de massa do evaporador e do
condensador, conforme:
43
56
hh
hh
m
m
a
b
−
−
=
&
& (92)
am&
bm&
Substituindo a Eq. (89) na (88) e dividindo por am&
74
Ciclo cascata
A capacidade do evaporador (no estágio inferior) é dada por:
e a capacidade do evaporador em função da taxa de deslocamento dos compressores
pode ser calculada como:
( )12 hhmQ bE −= &&
(94)






+
=
+
=
26
26 v
m
m
vm
Q
vmvm
Q
V
Q
a
b
a
E
ba
E
c
E
&
&
&
&
&&
&
&
&
O cálculo do COP é realizado conforme visto anteriormente.
Obs.: A temperatura intermediária deverá ser otimizada em função das
temperaturas de condensação e de vaporização em cada um dos ciclos e também em
função dos refrigerantes utilizados.
(93)
75
Operação perto no ponto crítico
O uso do dióxido de carbono (R-744) foi bastante popular até a década de 60 do
século passado, principalmente em aplicações industriais, como a indústria
pesqueira (principalmente em navios e barcos).
Em função das questões ambientais surgidas com o uso de refrigerantes
halogenados (CFCs) seu uso intensificou nos últimos anos+.
Características do dióxido de carbono (R-744):
� Elevada pressão de operação;
� Ponto tríplice em pressão elevada (-56,6 °C e 5,2 bar);
� Ponto crítico em temperatura muito baixa (31 °C e 73,6 bar);
� Mas seu custo pode chegar de 1/10 a 1/20 do custo dos halogenados.
+Lorentzen, G., 1994. Revival of carbon dioxide as a refrigerant. International Journal of Refrigeration, 17(5); 
292-301.
76
Operação perto no ponto crítico
Temperatura, °°°°C Pressão, kPa
R717 CO2
26,7 951,5 6.577,6
1,7 455,1 3.543,9
-42,8 40,6 792,9
77
Devido ao seu baixo ponto crítico de apenas 31 °C, a condensação do dióxido de carbono acontece
muito próxima à temperatura crítica quando se utiliza água entre 20 e 25 °C. Em temperaturas
mais elevadas, a condensação não é mais possível devido à diferença de temperatura de
aproximação que deve ser mantida no condensador, entre refrigerante e água.
Um ciclo considerando aspiração pelo compressor desde a condição de vapor saturado é
mostrada abaixo.
Pode-se notar que a diferença de entalpia (h1-h4) para uma dada temperatura de vaporização é
muito pequena e diminui à medida que o estado 3 é movido sobre a linha de líquido saturado em
direção ao ponto crítico.
Operação perto no ponto crítico
78
Se a temperatura do meio de condensação é mais alta para permitir a condensação, o
vapor a alta pressão no “condensador” tem apenas sua temperatura reduzida,
determinada pela temperatura do meio e da área disponível para a transferência de
calor.
Esse ciclo, chamado de transcrítico, é apresentado abaixo. A temperatura final do
vapor supercrítico situa-se sobre uma isoterma T3. O refrigerante no estado 3 entra
no dispositivo de expansão, reduzindo sua pressão e temperatura, atingindo o estado
4. O efeito específico de refrigeração (h1-h4) é bastante baixo, quase a metade da
entalpia de vaporização na temperatura de saturação.
Operação perto no ponto crítico
79
80
Uma peculiaridade de operação nessa condição é que a capacidade de refrigeração e
o coeficiente de performance (COP) do ciclo podem ser melhorados aumentando a
pressão no lado de alta.
Ou seja, mantendo a mesma temperatura final, T3, aumentando levemente a
pressão, do estado 2L para 2, até que o estado final atinja a condição 3. Isso faz com
que o efeito específico de refrigeração passe de (h1-h4L) para (h1-h4). Pode-se notar
também que o aumento de pressão causa um aumento da diferença de entalpias (h2-
h1) mas que, devido à pouca curvatura de linha de entropia constante, esse aumento
é insignificante perto do incremento de (h1-h4).
Operação perto no ponto crítico
81
No entanto, esse incremento apresenta um limite acima do qual o aumento do efeito de
refrigeração não compensa o aumento do trabalho mecânico.
Quando a pressão na descarga do compressor passa de 2 para 2H, para a mesma temperatura na
saída do gas cooler, o incremento da variação de entalpia no evaporador (h1-h4H) não é mais tão
significativo como havia sido na primeira análise. Assim, há um aumento do trabalho de
compressão mais significativo do que o aumento do efeito de refrigeração. Como resultado o COP
diminui.
Resumindo: existe uma pressão de alta ótima que maximiza o COP.
Operação perto no ponto crítico
82
A pressão ótima que maximiza o COP depende da pressão (e temperatura) de vaporização.
Operação perto no ponto crítico
+Groll, E.A. e Kim, J.-H., 2007. Review of recent advances toward transcritical CO2 cycle technology. HVAC&R 
Research, 13(3); 499-520.
83
Ciclo transcrítico simples de CO2
( )
1
12
2 h
hh
h
isen
is, +
−
=η
(95)
( )41 hhmQE −= && (96)
( )32 hhmQgc −= &&
Rejeição de calor no “gas cooler”:
( )12 hhmWcomp −= &&
comp
E
W
QCOP
&
&
=
(97)
(98)
(99)
84
Na figura abaixo é mostrada uma representação do ciclo transcrítico do CO2 em um diagrama T-
s. Durante a expansão desse refrigerante em um dispositivo com restrição de área, o incremento
da entropia é significativo, reduzindo o efeito de refrigeração. Para compensar esse efeito,
buscam-se outras alternativas de desenho do ciclo, como por exemplo, o uso de trocador de calor
interno, como mostrado na figura abaixo (direita).
Operação perto no ponto crítico
LSHX
LSHX
85
Outra forma de aumentar o desempenho do ciclo é substituir o dispositivo de expansão por um
dispositivo de recuperação do trabalho de expansão, como uma turbina, por exemplo:
Operação perto no ponto crítico
+Pérez-García, V., Belman-Flores, J.M., Navarro-Esbrí, J., Rubio-Maya, C., 2013. Comparative study of
transcritical vapor compression configurations using CO2 as refrigeration mode base on simulation. Applied
Thermal Engineering, 51, 1038:1046.
86
Dispositivos de expansão
Responsáveis pela redução da pressão do refrigerante, desde a pressão do condensador até a
pressão de evaporação ou condição similar para o caso de sistemas de múltiplos estágios.
Tipos:
� Restrição de área fixa (tubo capilar ou de orifício);
� Válvula de expansão termostática (VXT);
� Válvula de expansão eletrônica (EXT);
� Válvula de expansão tipo boia de baixa pressão;
� Válvula manual.
87
Tubo capilar
88
Tubo capilar - Modelo
Hipóteses do modelo:
� O tubo capilar é reto, horizontal e com área da seção transversal constante;
� O escoamento compressível viscoso é unidimensional na direção axial;
� As perdas de pressão na entrada e na saída do tubo são desprezíveis;
� O escoamento é bifásico e homogêneo;
� O escoamento meta estável é desprezado;
� O escoamento pode ser considerado isentálpico;
� A perda de pressão devido a aceleração é desprezível em relação ao termo de atrito.
89
Tubo capilar - Modelo
Fonte: Hermes, C.J.L.; Melo, C.; Knabben, F.T. , 2010. Algebraic solution of capillary tube flows. Part I: Adiabatic capillary tubes. 
Applied Thermal Engineering, v. 30, p. 449-457.
Representação esquemática para o cálculo do ponto de flash.
(a) Líquido subresfriado (b) Estado bifásico
90
Tubo capilar - Modelo
Conforme Hermes et al. (2010), a vazão mássica, em kg/s, pelo capilar pode ser calculada
como:
Fonte: Hermes, C.J.L.; Melo, C.; Knabben, F.T. , 2010. Algebraic solution of capillary tube flows. Part I: Adiabatic capillary tubes. 
Applied Thermal Engineering, v. 30, p. 449-457.
( )d
f
eef
f
fc
df
ddd
bap
bapln
a
b
a
pp
v
pp
L
D
c
m
−
−−−
























+
+−
+
−
=
2
1
2
5322 2
η
pi
&
onde L é o comprimento do tubo, em m; D é o diâmetro interno do tubo capilar, em 
m; pc, pe e pf são as pressões de condensação, evaporação e do ponto de “flash”, 
respectivamente, em Pa; vf é o volume específico no ponto de “flash”, em m
3/kg 
(95)
91
Tubo capilar - Modelo
( )d
f
eef
f
fc
df
ddd
bap
bapln
a
b
a
pp
v
pp
L
D
c
m
−
−−−
























+
+−
+
−
=
2
1
2
5322 2
η
pi
&
onde hi é a entalpia na entrada do capilar, em J/kg; f é o fator de atrito, 
adimensional, ηf é a viscosidade no ponto de “flash”, em Pa.s, c e d são constantes 
obtidas de regressão com dados experimentais.
( )fliqf pvv =
( )kva f −= 1
kpvb ff=
720510631 ,fpx,k
−
=
( )iliqevapf hhpp ==
( ) 218 /f −= piΦ
d
fD
m
cf
−








=
ηpi
&4
140,c = 150,d =
(95)
92
Válvula de expansão termostática
Fonte: Eames, I.W. , 2013. Modelling thermostatic expansion valves. International Journal of Refrigeration. In Press. 
http://dx.doi.org/10.1016/j.ijrefig.2013.06.010
93
Fonte: ASERCON, 2005. Capacity rating of thermostatic expansion valves.
Lembrando que o superaquecimento é definido 
como a diferença entre a temperatura na saída 
do evaporador em relação a temperatura de 
saturação do refrigerante na pressão do 
evaporador.
- Superaquecimento estático (SS) é 
definido como o superaquecimento no qual a 
válvula permanece fechada e acima do qual a 
válvula começa abrir;
- Superaquecimento de abertura (OS) é o 
superaquecimento incremental acima de SS 
requerido para alcançar a capacidade nominal 
da válvula.
- Superaquecimento de trabalho (WS) é a 
soma de SS+OS
Válvula de expansão termostática
94
Válvula de expansão termostática
A capacidade de uma válvula termostática é dada por uma equação geral descrita 
como:
De tal forma que a taxa de massa é descrita como:
onde C é o coeficiente de descarga, Av é a área do estrangulamento, Pc é a pressão no 
condensador, Pe é a pressão no evaporador e ρ é massa específica do líquido 
saturado na pressão do condensador.
( )( )41 hhPPCAQ
m
ecvE −−= 44 344 21
&
&
ρ
( )ecv PPCAm −= ρ&
95
Existem diversos modelos na literatura, a maioria considerando que o produto CAv pode ser
considerado como uma constante, tanto para válvulas TXV quanto EXV.
Válvula de expansão termostática
Fonte: Li, H.; Braun, J.E.; Shen, B. 2004. Modeling adjustable throat-area expansion valves. International Refrigeration and Air 
Conditioning Conference. Paper 705. 
96
Conforme Eames et al. (2013):
Fonte: Eames, I.W. , 2013. Modelling thermostatic expansion valves. International Journal of Refrigeration. In Press. 
http://dx.doi.org/10.1016/j.ijrefig.2013.06.010
( ) ( )[ ]
oebebv PPPPA −−−= β
onde β é a constante da área de escoamento da válvula, Pb é a pressão no bulbo. O 
sub-índice “o” representa a condição dos pontos no momento de abertura da válvula. 
Dessa forma, a equação que representa a taxa de massa pela válvula é dada por:
( )[ ] ( )eceb PPPPm −−−= ραβ&
onde
( )
oeb PP −=α
é o equivalente de pressão para o superaquecimento estático (SS). 
Válvula de expansão termostática
97
Válvula de expansão eletrônica
98
Válvula tipo boia de baixa pressão
99
Compressores
Modelos utilizando as curvas de desempenho do equipamentos
100
A capacidade real do compressor pode ser corrigida à partir dos dados do fabricante:
Fonte: Manske, K.A., 1999. Performance optimization of industrial refrigeration systems. Master Thesis. University of Wiscosin-
Madison. USA.
fab
real
real
fab
fabreal h
h
v
v
CapCap
∆
∆
=
onde Capfab é a capacidade (potência frigorífica) do compressor nas condições 
definidas pelo fabricante, vfab é o volume específico do vapor na condição nominal, 
vreal é o volume específico na condição real, ∆hreal é a diferença de entalpia entre a 
sucção do compressor e a entrada no evaporador na condição real e ∆hfab na 
condição nominal.
Correção da capacidade do compressor
101
Condensador evaporativo
A capacidade de um condensador evaporativo é dada por:
( )cT,TbuFRCcapacidade
nominal capacidade
=
onde FRC é o fator de rejeição de calor, função da TBU e da temperatura de 
condensação.
102
Uma forma de modelar o condensador evaporativo é através da utilização do conceito de
efetividade. Assim:






−






−
==
i,aTo,aa
i,aTo,aa
hhm
hhm
sat,r
sat,o,a
&
&
capacidade máxima
nominal capacidade
ε
onde o sub-índice “a” representa o ar, “o” a condição de saída e “i” a condição de 
entrada; Tr a temperatura do refrigerante e “sat” a condiçãode saturação.
Condensador evaporativo
103
cTaa 21 −=ε
Efetividade do condensador evaporativo
104
Pode ser modelado de forma similar ao condensador, onde a capacidade máxima é 
quando a condição do ar na saída do evaporador for igual a condição do 
refrigerante.
)Thh(m
)Thh(m
rs,are,are,ar
ars,are,are,ar
evap
−
−
==
&
&
capacidade máxima
nominal capacidade
ε
onde o sub-índice “ar” representa o ar, “s” a condição de saída do ar, na saturação e 
“e” a condição de entrada do ar e Tr a temperatura do refrigerante.
Evaporador
105
Efetividade do evaporador
eTaa 21 −=ε
106
Bibliografia
Gosney, W.B., 1982. Principles of refrigeration. London: Cambridge University
Press.
Stoecker, W.F., 1998. Industrial refrigeration handbook. New York: MacGraw-Hill.
107
Apêndices
Eq.(53):
como: e 
3
251
h
hyh)y( +=+
( )
( )53
521
hh
hh)y(
−
−
=+
( )
( )53
32
hh
hhy
−
−
=
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) 3
2
353
5352
3
2
53
5352
3
25
53
32
1
h
h
hhh
hhhh
h
h
hh
hhhh
h
hh
hh
hh
)y( +
−
−
=
+
−
−
=
+
−
−
=+
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )533
523
353
5323
353
2353
353
52235352
353
25353521
hhh
hhh
hhh
hhhh
hhh
hhhh
hhh
hhhhhhhh
hhh
hhhhhhh)y(
−
−
=
−
−
=
−
+−
=
=
−
−+−
=
−
−+−
=+