Mat Didático da Prova 1 (Cap 1 ao Cap 4)

Prévia do material em texto

1
Apresentação da Disciplina
Prof. André Luis Christoforo
Universidade Federal de São Carlos
Departamento de Engenharia Civil - DECiv
MECÂNICA APLICADA
christoforoal@yahoo.com.br
01
Objetivos da Estática:
- Análise do equilíbrio estático de pontos materiais, corpos extensos, sistemas de
corpos e estruturas em geral.
Equilíbrio estático:
Ponto Material:
0F 
 
0
0
F
v
 



 
 
(Soma das Forças)
(velocidade nula)
- Todas as forças concorrem
a um ponto.
Espaço 2D
Condição de Equilíbrio:
02
Corpo Extenso:
Reações nos
Vínculos?
- Quando existem dois ou mais pontos
distintos de aplicação das forças.
Condições de Equilíbrio:
(momento de 
uma força)
0F 
 
0M 
 
(Soma dos 
Momentos)
e
DCL
Vínculos
FR = ?
030B) Vetores de Força: Revisão
Objetivo: Para um conjunto de forças aplicadas em um ponto (em 2 ou 3
dimensões), determinar o vetor força resultante (FR), ou seja, sua intensidade,
direção e sentido.
OU
OU
2 2 629,09R Rx RyF F F N  

600 cos(30 ) 400 (45 ) 236,77
600 (30 ) 400 cos(45 ) 582,84
o o
Rx x
o o
Ry x
F F sen N
F F sen N
     
     


1
1
1
1 1
 de F
2 2
600 cos(30 ) i+600 cos(60 ) j
600 cos(30 ) i+cos(60 ) j
[cos(30 )] +[cos(60 )] 1
o o
o o
F
versor
o o
F
F
F F u
u
  
     
 

 
   


2 400 cos(45 ) i+400 cos(45 ) j
o oF    
 
1 2RF F F 
  
236,701 i + 582,84 jRF 
 
1) Equilíbrio de Partículas (2 e 3 Dimensões):
2D 3D
04
0F 
 
    ; ; RxRx Ry
Ry
F 0
F F 0 0
F 0

 

    ; ; ; ; 
Rx
Rx Ry Rz Ry
Rz
F 0
F F F 0 0 0 F 0
F 0


 
 
2) Momento e Resultante de um Sistema de
Forças (2 e 3 Dimensões):
05
- Representa um sistema no qual a força e o momento resultante produzam
em um determinado ponto da estrutura o mesmo efeito que o carregamento
original aplicado.
- no ponto A: 
- no ponto B: 
10 20 30
10 3 20 6 150
R
R
F N
M N m
  

     
10 20 30
10 2 20 5 120
R
R
F N
M N m
  

     
2
3) Equilíbrio de Corpos Rígidos (2 e 3 Dimensões):
Reação nos Vínculos?
(Vínculo Ideal)
(Forças Reativas)
(Vínculo Ideal)
(Força Reativa)
06 4) Análise Estrutural:
Treliças:
Máquinas e Estruturas:
07
08
http://www.metalica.com.br/images/stories/Id480/maior/estaiada04.jpg
cabos 
cabos 
Cabos Flexíveis: 5) Atrito:
O projeto efetivo de um sistema de freios requer capacidade
eficiente para que o mecanismo resista as forças de atrito.
N
180lb
P
Fat
Fe = μe N
09
(Ampliação da Superfície Rugosa)
e sF N
c cF N
10
Cunhas:
Parafusos:
11
- Movimento ou iminência
de movimento da correia
Forças de Atrito em Correias Planas:
- Diagrama de corpo livre de um 
element de correita infinitesimal (ds)
3
6) Centro de Gravidade e Centróide:
mm
A
Ay
y 5,87
12500
1093750




Coordenada “y” do Centróide:
12 13
Pressão em Fluidos:
Para fluidos incompressíveis, a pressão (p) em um ponto deste fluido é a mesma 
em todas as direções. 
p g z

  
p g z  
p z 
1 1p z 
2 2p z 
γ – Peso 
específico 
7) Momentos de Inércia:
O projeto estrutural de
uma viga ou coluna
requer o cálculo do
momento de inércia
para o respectivo
dimensionamento.
(Posição A)
(Posição B)
Posição A mais 
eficiente!!!
Maior Ix
14
1
Universidade Federal de São Carlos
Departamento de Engenharia Civil
Revisão: Vetores de Força (Cap. 1)
Material didático adaptado/modificado das obras de:
- Rodrigues, L. E. M. J. Notas de Aula.
- Hibbeler, R. C. Mecânica Estática. 10 ed. São Paulo: Pearson Education 
do Brasil, 2005, 540p.
- Beer, F. P.; Johnston Jr., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: 
Estática. 5.ed. São Paulo: Makron Books, 1991. 980p.
Prof. André Luis Christoforo
E-mail: christoforoal@yahoo.com.br
01
Representação de uma Grandeza Vetorial:
Vetores de Força:
- Módulo
- Direção
- Sentido
Lei dos Senos e dos Cossenos:
02
Soma Vetorial – Regra do Paralelogramo:
- O Cálculo da força resultante pode ser obtido através da soma vetorial com a
aplicação da regra do paralelogramo.
Força Resultante? 
03
Exercícios:
1) O parafuso mostrado na figura está sujeito a duas forças F1 e F2.
Determine o módulo e a direção da força resultante FR.
04
- Det. de α:
- Determinação de FR:
- γ é dado por:
298,25 300 200
(70 ) ( ) ( )
R
o
F N N N
sen sen sen 

 
300
( ) (70 ) 0,945
98,25
oNsen sen
N
   (0,945) 70,91
oarcsen  
200
( ) (70 ) 0,630
98,25
oNsen sen
N
   (0,630) 39,09oarcsen  
05
2) Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se encontra com
problemas em seus motores. Sabendo-se que a força resultante FR é igual a
30kN, encontre suas componentes nas direções CA e CB.
2
06 07Sistemas de Forças Coplanares – Vetores cartesianos:
- Obtenção das
componentes de R
em relação aos
eixos de interesse:
- Adição de forças vetoriais: 
- Decomposição de forças: 
08
Redução a uma única força resultante:
(decomposição de cada força
nas direções de x e y)
(sistema de forças) (força resultante) 
- Vetores Cartesianos: 
- Força resultante: 
(soma vetorial)
09
Módulo e direção da força resultante:
- Módulo da força resultante: 
- Direção da força resultante: 
10
Exercícios:
3) O elo da figura abaixo está submetido as forças F1 e F2. Determine a 
intensidade e a orientação da força resultante FR.
(Resolução)
11
(Módulo de FR)
(Direção de FR)
3
12
4) A extremidade da barra está submetida a três forças concorrentes e 
coplanares. Determine a intensidade e a orientação da força resultante FR.
(Resolução)
13
14
Adição e subtração de vetores cartesianos:
- Um vetor A pode ter um, dois ou três componentes 
ao longo dos eixos de coordenadas x, y e z.
- A quantidade de componentes depende de como o 
vetor está orientado em relação a esses eixos.
- Sistema de coordenadas utilizando a regra da mão 
direita.
15
(Módulo de u = 1)- Vetor Unitário ( ):
A

Módulo de 
 ; ; 
  
i j k- Em três dimensões, o conjunto de vetores unitários é usado para 
designar as direções dos eixos x, y e z, respectivamente.
Para um Vetor   :
 
AA u AA A u 
 
Versor de A
 Vetor de A

Para um Vetor   :
 
FF u FF F u 
 
(Notação muito útil)
16
- Representação
de um vetor
cartesiano:
- Ângulos diretores
coordenados:
17
- Obtenção dos ângulos diretores coordenados:
4
18
- Sistema de forças concorrentes:
19
5) Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força
resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado na figura
Exercícios:
20
(versor da resultante )
21
6) Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os
ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR
atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N.
- Determinação de :2F

(Módulo de )2F

22
- Ângulos diretores de :2F

23
Vetores posição, vetor força orientado ao longo de 
uma reta e aplicação do produto escalar :
- Vetor posição:
- O vetor posição pode ser escrito na forma cartesiana.
- O vetor posição é definido como um vetor fixo que localiza um ponto do 
espaço em relação a outro.

r
5
24
- Vetor posição entre dois pontos A e B e fora da origem:
- O vetor posição é calculado a partir da subtração das coordenadas x,y, z das
extremidades dos vetores em análise.
- O vetor posição indica o comprimento real ou a distância entre dois pontos no 
espaço.
25
- Aplicação do vetor posição:
- Vetor força orientado ao longo de uma reta:
(Notação muito útil)
26
Exercícios:
7) A corda mostrada na figura está presa aos pontos A e B. Determine seu
comprimento e sua direção, medidos de A para B.
27
288) A placa circular é parcialmente suportada pelo cabo AB. Sabe-se
que a força no cabo em A é igual a 500N. Expresse essa força como
um vetor cartesiano.
29
- Produto Escalar:
- Componentes Paralela e Perpendicular de um vetor:
(ângulo)
(resultados)
Em determinados problemas de estática é necessário se determinar o ângulo
formado entre duas retas ou então os componentes paralelo e perpendicular
de uma força em relação a um eixo.
6
30
Exercício:
9) A estrutura mostrada na figura está submetida a uma força horizontal.
Determine a intensidade dos componentes dessa força paralela e perpendicular
ao elemento AB.
?
?
(origem)
31
1
Universidade Federal de São Carlos
Departamento de Engenharia Civil
Cap. 2 EQUILÍBRIO DE PARTÍCULAS
Material didático adaptado/modificado das obras de:
- Rodrigues, L. E. M. J. Notas de Aula.
- Hibbeler, R. C. Mecânica Estática. 10 ed. São Paulo: Pearson Education 
do Brasil, 2005, 540p.
- Beer, F. P.; Johnston Jr., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: 
Estática. 5.ed. São Paulo: Makron Books, 1991. 980p.
Prof. André Luis Christoforo
E-mail: christoforoal@yahoo.com.br
01
Equilíbrio de ponto material em 2 dimensões:
(Estrutura)
(diagrama de 
corpo livre)
(condição de 
equilíbrio)
02
- Exemplo de diagrama de corpo livre:
x 
y
x
y
03
- Cabos e molas:
k - coeficiente de rigidez da mola
S - deformação da mola
(Lei de Hooke)
- Cabos 
trabalham 
apenas na 
tração (T)!
04Exercícios:
1) Determine a tensão nos cabos AB e AD para o equilíbrio do motor
de 250kg mostrado na figura.
05
2) Determine o comprimento da corda AC da figura, de modo que a luminária
de 8kg seja suspensa na posição mostrada. O comprimento não deformado da
mola é lAB = 0,4m e a mola tem rigidez kAB = 300N/m.
2
06 07
Equilíbrio de ponto material em 3 dimensões:
08Exercícios:
3) Determine a intensidade e os ângulos diretores da força F necessários
para o equilíbrio do ponto.
?
09
10 114) A caixa de 100kg mostrada na figura é suportada por três cordas,
uma delas é acoplada na mola mostrada. Determine a força nas
cordas AC e AD e a deformação da mola.
3
12
- Deformação da mola
13
5) Considere que o cabo AB esteja submetido a uma força de 700N. Determine
as forças de tração nos cabos AC e AD e a intensidade da força vertical F.
14 15
16 17
6) Se cada cabo pode suportar uma tração máxima de 1000 N, determine a 
maior massa que o cilindro pode ter na condição de equilíbrio.
(0 ;0 ;0)A  ( 1 ; 1,5 ;3)B  
( 1 ; -2 ;2)C   (3 ; -4 ;0)D 
( 1 ; -1,5 ;3)ABr B A   

     2 2 22 1 -1,5 3 3,50 mAB ABr r     

( 0,286 ; 0,429 ; 0,857)ABAB
AB
r
u
r
   



( 0,286 ; 0,429 ; 0,857 )AB AB AB AB AB AB
TAB
T T u T T T       
  
4
18

( 0,286 ; 0,429 ; 0,857 )AB AB AB AB AB AB
TAB
T T u T T T       
  

( 0,333 ; 0,667 ; 0,667 )AC AC AC AC AC AC
TAC
T T u T T T       
  

( 0,600 ; 0,800 ; 0 )AD AD AD AD AD AD
TAD
T T u T T T       
  
(0 ; 0 ; 9,807 )P m  

   0 ; ; ; 0 ; 0 ; 0x y zF F F F    

0,286 0,333 0,600 0 0
0,429 0,667 0,800 0 0
0,857 0,667 0 9,807 0
AB AC AD
AB AC AD
AB AC
T T T
T T T
T T m
       

      
       
[A] {T} {C}
0,286 0,333 0,600 0
0,429 0,667 0,800 0
0,857 0,667 0 9,807
AB
AC
AD
T
T
T m
      
           
            
19
[A] {T} {C}
0,286 0,333 0,600 0
0,429 0,667 0,800 0
0,857 0,667 0 9,807
AB
AC
AD
T
T
T m
      
           
            
1
11,074
{T} [A] {C} 0,475
5,542
AB
AC
AD
T m
T m
T m

  
  
       
      
11,074 1000 90,30 kgm m   
1
Universidade Federal de São Carlos
Departamento de Engenharia Civil
Cap. 3 MOMENTOS E RESULTANTES 
DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Material didático adaptado/modificado das obras de:
- Rodrigues, L. E. M. J. Notas de Aula.
- Hibbeler, R. C. Mecânica Estática. 10 ed. São Paulo: Pearson Education 
do Brasil, 2005, 540p.
- Beer, F. P.; Johnston Jr., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: 
Estática. 5.ed. São Paulo: Makron Books, 1991. 980p.
Prof. André Luis Christoforo
E-mail: christoforoal@yahoo.com.br
01
- O momento de uma força fornece uma medida da tendência dessa
força provocar a rotação no corpo em torno do eixo em análise.
- Para problemas em duas dimensões é mais conveniente utilizar uma
abordagem escalar e para problemas em três dimensões a abordagem
vetorial é mais conveniente.
(Momento em torno 
do eixo Z)
(Momento em torno 
do eixo X)
(Não gera momento -
concorre ao polo)
Momento de uma força:
02
Formulação escalar para o momento:
- Momento é uma grandeza vetorial, possui intensidade direção e sentido.
- Convenção de sinais: segue a regra da mão direita, anti-horário é
positivo e horário é negativo.
(sentido do giro)
03
Momento resultante de um sistema de forças coplanares:
04Exercícios:
1) Determine o momento da força em relação ao ponto O em cada uma das 
barras mostradas.
05
2) Determine os momentos da força de 800N em relação aos pontos A, B, C
e D.
2
06
3) Determine os momentos das forças em relação ao ponto “O”.
(a)
(b)
(c)
07
(d)
(e)
 353,553 5,121 353,553 2,121
1060,659 1060,659
o oMr M
N m N m
      
    

08(f)
Sol. 1:
Sol. 2:
09
Momento de uma força – análise vetorial:
- O momento de uma força em relação a um ponto pode ser determinado
através da aplicação das regras de produto vetorial.
- A regra do produto vetorial para o cálculo de momentos geralmente é
aplicada para sistemas em três dimensões.
10
Princípio dos momentos:
- Teorema de Varignon: Estabelece que o momento de uma força em
relação a um ponto é igual a soma dos momentos das componentes das
forças em relação ao mesmo ponto.
11
Regras do Produto Vetorial:
- O produto vetorial de dois vetores A e B produz o vetor C e matematicamente 
a operação é escrita do seguinte modo:
3
12Formulação vetorial cartesiana: 13
4) Para a cantoneira da figura a seguir, determine o momento da força
F em relação ao ponto O segundo a análise escalar e a análise vetorial.
- Análise Escalar:
- Análise Vetorial:
Exercícios:
14
5) Determine o momento da força F em relação ao ponto O. Expresse o
resultado como um vetor cartesiano.
15
6) O poste abaixo está sujeito a uma força de 60N na direção de C para B.
Determine a intensidade do momento criado por essa força em relação ao
suporte no ponto A.
16
C
C
17Momento em relação a um eixo: formulação vetorial:
(calcular determinante)M0
Aplicação do produto
misto: Projeção de um
vetor momento sobre um
eixo de interesse.
4
18Exercício:
7) A força F atua no ponto A mostrado na figura. Determine a
intensidade do momento dessa força em relação ao eixo x.
C
19Momento de um binário:
- Um binário é definido como duas forças paralelas de mesma intensidade, 
sentidos opostos e separadas por um distância d. O cálculo do momento de 
um binário independe do ponto (polo)de referência.
- Dois binários são ditos equivalentes se produzem o mesmo momento.
20
8) Determine o momento de binário que age sobre o encanamento e
expresse o resultado como um vetor cartesiano.
Exercícios:
(0 ;0 ;0,30) mA  (0,40 ; 0 ;0,30) mB 
(0 ; 0 ; 0,30) mOAr A O  

(0,40 ; 0 ; 0,30) mOBr B O  

(0,40 ; 0 ; 0) mAB OB OAr r r  
  
  
4 3
450 0 ; ; 0 ; -360 ; 270 N
5 5
A A A
FA
F F u
 
      
 
  
 0,40 0 0 144 108 N m
0 360 270
AB A
i j k
M r F k j        

 
  
2 2( 108) ( 144) = 180N mM     

21
9) Determine a distância “d” entre A e B tal que o momento de binário
resultante tenha uma intensidade de 20N·m.
(350 ;0 ;0) mA 
0,866 0,50
350 ; -d cos(30 ) ;d sen(30 ) mo oB
 
   
 
 
 
(350 ; 0 ; 0) mOAr A O  

 350 ; -0,866 d ; 0,50 d) mOBr B O    

(0 ; -0,866 d ; 0,50 d) mAB OB OAr r r    
  
    1 1 1
1
50 1 ; 0 ; 0 50 ; 0 ; 0 N
F
F F u    
  
    2 2 2
2
35 0 ; 0 ; 1 0 ; 0 ; 35 N
F
F F u    
  
1 1 0 0,866 0,50
50 0 0
AB
i j k
M r F d d     
 
 
22
2 2 0 0,866 0,50
0 0 35
AB
i j k
M r F d d     
 
 
 1 2= = 30,31 ; 25 d ; 43,30 d N mRM M M d     
  
= 20 N mRM 

     2 2 230,31 25 d 43,30 d 20 0,342 342d d m mm         
23
Sistemas equivalentes de cargas concentradas:
- Representa um sistema no qual a força e o momento resultante produzam
em um determinado ponto da estrutura o mesmo efeito que o carregamento
original aplicado.
- no ponto A: 
- no ponto B: 
10 20 30
10 3 20 6 150
R
R
F N
M N m
  

     
10 20 30
10 2 20 5 120
R
R
F N
M N m
  

     
5
24
Exercícios:
10) Substitua as cargas atuantes na viga por uma única força resultante e 
um momento atuante no ponto A.
25
FRx
FRy FR
θ
26
(sistema equivalente)
2711) A estrutura mostrada na figura está submetida a um momento
M e as forças F1 e F2. Substitua esse sistema por uma única força
e um momento equivalente atuante no ponto O.
1 2 249,9 166,5 800rF F F i j k     
    
28 29
Sistemas equivalentes de cargas distribuídas:
- A intensidade da força resultante de um carregamento distribuído é
equivalente a soma de todas as forças atuantes na superfície de contato,
devendo ser localizada nas coordenadas do centro geométrico da sua área
de atuação.
[ ]
( ) (dimensão)
[ ]
F
p x
L

força
comprimento
( )d
L
y eq 0
F F p x x  
(Feq é igual a área sob a função
de carregamento distribuído)
6
30
( )d
L
eq 0
F p x x 
( ) d
L
O eq 0
M F x p x x x    
(Momento da força
equivalente)
(Momento da força
distribuída - real)
( ) d
L
0
eq
p x x x
x
F


 ( ) d
( )d
L
0
L
0
p x x x
x
p x x




(centro geométrico)
31Exercícios:
12) Determine a intensidade e a localização da força resultante
equivalente que atua no eixo mostrado na figura.
32 33
13) Um carregamento distribuído com p(x) = 800.x (Pa) atua no topo de
uma superfície de uma viga como mostra a figura. Determine a
intensidade e a localização da força resultante equivalente.
34
14) A placa da figura abaixo está sujeita a quatro forças paralelas.
Determine a intensidade e a direção de uma força resultante equivalente
ao sistema de forças dado e situe seu ponto de aplicação na placa.
35
Uma força resultante FR = 1400N situada no ponto P(3,0 m; 2,50m) é
equivalente ao sistema de forças paralelas que é aplicado na placa.
1
Universidade Federal de São Carlos
Departamento de Engenharia Civil
Cap. 4 EQUILÍBRIO DE CORPOS 
RÍGIDOS
Material didático adaptado/modificado das obras de:
- Rodrigues, L. E. M. J. Notas de Aula.
- Hibbeler, R. C. Mecânica Estática. 10 ed. São Paulo: Pearson Education 
do Brasil, 2005, 540p.
- Beer, F. P.; Johnston Jr., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: 
Estática. 5.ed. São Paulo: Makron Books, 1991. 980p.
Prof. André Luis Christoforo
E-mail: christoforoal@yahoo.com.br
01
Equilíbrio de um corpo extenso em 2 dimensões
- Um corpo extenso no plano possui três possibilidades de
movimento, sendo duas translações e uma rotação, assim como
ilustra a figura:
Graus de liberdade:
02Vínculos em estruturas planas:
- Vínculos são elementos estruturais que têm por finalidade conectar a
estrutura a um referencial “indeslocável” ou também, de interligar os
elementos estruturais que a compõe.
- Apoio Fixo:
Retira dois graus de liberdade do corpo extenso no plano, sendo estes duas
translações.
03
- Apoio Móvel:
Retira um grau de liberdade do corpo extenso no plano, sendo este uma
translação.
- Engastamento Fixo:
Retira três graus de liberdade do corpo extenso no plano, sendo estes duas
translações e uma rotação.
04
- Engastamento Móvel:
Retira dois graus de liberdade do corpo extenso no plano, sendo estes uma
translação e uma rotação.
05
- Viga:
Estrutura constituída por elemento de barra e sujeita a um conjunto de forças
não-colineares ao seu eixo, gerando esforços de flexão e(ou) cisalhamento.
2
06
Classificação das vigas:
- Quanto a vinculação, as vigas são classificadas como:
- Isostáticas
- Ipostáticas
- Hiperestáticas
- Vigas isostáticas:
- Possuem a quantidade necessária e suficiente de vínculos para manter 
a estrutura em equilíbrio.
- Do ponto de vista algébrico:
-3 Equações de 
-equilíbrio:
0
0
0
X
y
A
F
F
M
 







-3 Incógnitas:
07- Vigas ipostáticas:
- Possuem quantidade de vínculos inferior à quantidade necessária para 
manter a estrutura em equilíbrio.
- Do ponto de vista algébrico:
-3 Equações de 
-equilíbrio:
0
0
0
X
y
A
F
F
M
 






 -2 Incógnitas:
- Vigas Hiperestáticas:
- Possuem quantidade de vínculos superior à quantidade necessária para 
manter a estrutura em equilíbrio.
- Do ponto de vista algébrico:
-3 Equações de 
-equilíbrio:
0
0
0
X
y
A
F
F
M
 







-4 Incógnitas:
08
A viga da figura abaixo é dita uma vez hiperestática, apresentando um
vínculo a mais além da quantidade necessária ao equilíbrio. Este vínculo
em excesso é denominado de “redundante” ao equilíbrio.
As vigas hiperestáticas são foco de estudo da Resistência dos Materiais, e
a quarta equação surge da consideração de deformabilidade do material,
o que não se considera no presente curso.
09
Diagrama de Corpo Livre – Analogia Prática/Teórica
10 11
Outros tipos de vínculos
3
12 13
14
Exercícios:
1) Para a estrutura mostrada na figura determine as reações nos apoios A e 
C.
15
2) Para a estrutura mostrada na figura determine as reações nos apoios A e B.
16 17
3) Para a viga da figura abaixo determine as reações nos apoios A e B.
- Substituindo (III) em (II), tem-se que:
10 0 10VA VAR R kN    
Portanto, a 
solução é:
 
 
 
10
10
10
HA
VA
VB
R kN
R kN
R kN
  


 

 
 
 
 
0 10 0 10
0 0
0 2 20 0 10
X HA HA
Y VA VB
A VB VB
F R R kN
F R R
M R R kN
       
    
        



4
18
4) Para a viga da figura abaixo determine as reações no engaste fixo.
Portanto, a solução é:
 
 
5
10
20 .
HA
VA
A
R kN
R kN
M kN m
 

 


0 5 0 5
0 10 0 10
0 10 1 10 0 20 .
X HA HA
Y VA VA
A A AF R R kN
F R R kN
M M M kN m
     
     
        



19
5) Para a viga bi-apoiada abaixo determine as reações nos apoios.
 
0
L
eqF p x dx  ( ) 5 (kN/m)p x 
2
0
5 10eq eqF dx F kN  
x
eq
S
x
F
  
2 2
2 2
0
0 0 0
5
5 5 [ ] 10
2
L
xS p x xdx xdx xdx x          
10
1m
10
x  
0 0
0 10
0 10 1 2 0 5
5
A
A B
B B
A
x H
y V V
A V V
V
F R
F R R
M R R kN
R kN
  
   
       
 



20
6) Para a viga bi-apoiada abaixo determine as reações nos apoios.
 
   
   
0 0 0x p x
p x ax b
x L p x L q
    
  
    
0b De (I) se tem:
0
q
a L q a
L
      
q
p x x
L
 Da equação (II) tem-se: 
 
0
L
eqF p x dx 
0 0
L L
eq
q q
F xdx xdx
L L
  
2 2
02 2 2
L
eq eq
q q q L
F x F L
L L

      
 
 
0
0
L
x
L
eq
p x xdx
S
x
F
p x dx

 


2
0 0
L L
x
q q
S x xdx x dx
L L
   
3 3 2
0
3 3 3
L
x
q x q L qL
S
L L
  
   
 
2
2 23
3 3
2
q L
x L x L
q L

    

21
 0 0x HAF R     0 2y VA VB
q L
F R R

    
2
0 0
2 3
A VB
q L
M L L R

       
2
0
3 3
VB VB
q L q L
L R R
 
     
3 2
VA
q L q L
R
 
 
2 3 6
VA VA
q L q L q L
R R
  
   
22
7) Para a viga bi-apoiada abaixo determine as reações nos apoios.
0
3,5 ( )
5,5 ( )
HA
VA
VB
R kN
R kN
R kN


 

 
   1
1
1 / 3 , 0 3 , 0
3 , 0
1, 5
2
F kN M M kN
x m
  


 

(parte 1 da carga)
   
 
2
2
1
4 / 3 , 0 6 , 0
2
2
3 , 0 2 , 0
3
F k N M M k N
x m

  

  

(parte 2 da carga)
23Equilíbrio de um corpo extenso em 3 dimensões
- Equações de equilíbrio vetoriais:
- Equações de equilíbrio escalares:
- A VIGA é isostática quando apresenta seis reações de apoio como incógnitas,
visto que são disponíveis 6 equações de equilíbrio explicitadas na forma escalar.
5
24Vínculos em estruturas Tridimensionais: 25
26 27
Exercícios:
8) Desenhe e discuta os diagramas de corpo livre para as estruturas a seguir.
28 29
Desconsiderando os 
momentos
em torno dos eixos x e z
6
30
(2 ) (3 ) 0z x yM B m B m      (Eq. Redundante – Bx e By já foram determinadas)
(Análise Escalar!!!)
9) Determine as reações nos vínculos da estrutura a seguir. Admita 
placa homogênea com massa de 100 kg.
(Eq. I)
(Eq. II)
(Eq. III)
Resolver sistema 
linear 3×3
OU!!!!
31
Substituindo-se o valore de AZ na penúltima equação do slide anterior ou o
valor de TC na antepenúltima equação do slide anterior encontra-se o valor
da força incógnita Bz.
OU
3210) A Barra AB da figura está sujeita à força de 200N. Determine as 
reações na junta esférica A e a tração nos cabos BD e BE .
x
y
z
F=
x
y
z
F=
33
A resolução do sistema de equações fornece:
(produto vetorial)
× ×