textos para aula05 - componentes simetricas

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Profa Maria Cristina Tavares DSE/FEEC/UNICAMP 
 
 
Aula 05 – Componentes Simétricas – parte do material do Prof. 
Paulo Cardieri 
INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE SISTEMAS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS 
No início do curso trabalhamos com sistemas elétricos equilibrados e naqueles casos podíamos 
analisar somente uma das fases para identificar as tensões e correntes nas outras fases, 
bastando adicionar corretamente as defasagens. As relações entre as tensões de fase e linha 
tanto junto às cargas quanto junto às fontes eram definidas por simples inclusão de uma 
contante complexa que variava a amplitude e a fase. Da mesma forma, as relações entre as 
correntes de linha e fase eram obtidas por aplicação de constante complexa que alterava a 
amplitude e a fase. 
No caso de cargas desequilibradas precisamos analisar o circuito trifásico, utilizando a teoria 
de corrente de malhas ou tensão de nós, mas num circuito formado por vários ramos. As 
relações entre os fasores nas tensões e correntes nas fases não mais existem. 
Isto ocorre porque nestes sistemas trifásicos desequilibrados ocorre um acoplamento entre as 
tensões e correntes das fases, elas se misturam, o que ocorre numa fase irá influenciar as 
demais fases. A análise destes casos necessitam que todo o circuito seja considerado ou que se 
faça uma mudança de coordenadas, de modo a desacoplar, ou separar, as componentes. 
COMPONENTES SIMÉTRICAS 
Em 1918 Fortescue propos que um sistema trifásico desequilibrado poderia ser representado 
por três circuitos equilibrados desacoplados, denominados componentes simétricos. Neste 
caso poderíamos voltar a trabalhar com somente um elemento de cada circuito, simplificando 
a análise. 
Basicamente esta metodologia utiliza uma transformação de coordenadas para gerar sistemas 
que não interfiram entre si. 
No lugar de trabalharmos com o conjunto de três fasores (terno de fasor) desequilibrados 
associados às fases A B C (com módulos diferentes entre si e fases diferentes de 0, -120° e 
120°), podemos trabalhar com três ternos de fasores, sendo que cada terno terá um único 
módulo e fases pré-definidas. Desta forma podemos obter um único elemento de cada terno 
para identificar todo o conjunto. 
Estes ternos (ou componentes) são denominados: 
➢ Componente de sequência positiva ou sequência direta; 
➢ Componente de sequência negativa ou sequência inversa; 
➢ Componentes de sequência zero ou homopolar. 
As características básicas deles são: 
i. Sequência positiva: formada por três fasores de mesmo módulo, defasados de 120° 
girando no sentido horário (como na sequência de fases); 
 
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ii. Sequência negativa: formada por três fasores de mesmo módulo, defasados de 120° 
girando no sentido anti-horário (como se fosse sequência de fases inversa: ACB); 
iii. Sequência zero: formada por três fasores de mesmo módulo, com a mesma fase. 
Na figura abaixo apresentamos os fasores dos componentes simétricos. 
 
Analisando a componente de sequência positiva temos que: 
𝑉�̇�1 = 𝑉𝑎1∠𝜃𝑎1 
𝑉�̇�1 = 𝑉�̇�1∠ − 120° 
�̇�𝑐1 = 𝑉�̇�1∠ + 120° 
Analisando a componente de sequência negativa temos que: 
𝑉�̇�2 = 𝑉𝑎2∠𝜃𝑎2 
𝑉�̇�2 = 𝑉�̇�2∠ + 120° 
�̇�𝑐2 = 𝑉�̇�2∠ − 120° 
Analisando a componente de sequência zero temos que: 
𝑉�̇�0 = 𝑉𝑎0∠𝜃𝑎0 
𝑉�̇�0 = 𝑉�̇�0 
�̇�𝑐0 = 𝑉�̇�0 
A transformação de coordenadas é feita de modo que podemos escrever cada fasor de tensão 
(ou corrente) como sendo formado por um elemento de cada componente de sequência, 
como descrito abaixo. 
210
210
210
cccc
bbbb
aaaa
VVVV
VVVV
VVVV



++=
++=
++=
 
O número complexo �̅� (denominado operador �̅�) é utilizado na transformação, sendo: 
)1(
AV
)1(
BV
)1(
CV
)2(
AV )2(
BV
)2(
CV )0(
AV
)0(
BV
)0(
CV
Sequência 1 (+) Sequência 2 (-)
Sequência 0
 
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�̅� = 1∠120° = 1𝑒𝑗
2𝜋
3 
�̅�2 = 1∠240° = 1𝑒𝑗
4𝜋
3 
�̅�3 = 1∠360° = 1 
Analisando a formação dos componentes de sequência podemos escrever: 
2
2
10
21
2
0
210
aaac
aaab
aaaa
VaVaVV
VaVaVV
VVVV



−−
−−
++=
++=
++=
 
Na forma matricial temos: 
2
2
2
1
0
2
2
1
1
111
1
1
111
−−
−−−
−−
−−
=
=
aa
aaT
onde
V
V
V
aa
aa
V
V
V
seq
a
a
a
c
b
a






 
Onde [𝑇𝑠𝑒𝑞̅̅ ̅̅ ̅] é a matriz de transformada de sequência, ou matriz de Transformada de 
Fortescue. 
Reescrevendo: 
012
a
V
seq
V Tabc

=
− 
e 
abc
V
seqa
V T

=
−
−
1
012 
onde 
−−
−−
−
−
=
aa
aaT seq
2
2
1
1
1
111
3
1 
ou 
 
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





++=






++=






++=
cbaa
cbaa
cbaa
VaVaVV
VaVaVV
VVVV



2
2
2
1
0
3
1
3
1
3
1
 
A tensão de sequência zero é 1/3 da soma da tensão nas três fases e somente existe se o 
sistema for desequilibrado. 
Equações semelhantes existem para corrente. 
012
a
I
seq
I Tabc

=
− 
e 
abc
I
seqa
I T

=
−
−
1
012 
Podemos verificar que 
TTT
seqseq
T
seqseq
ABBA
Lembrando
TT
TT
=
=
=
−
−
−
−−
)(
3
1 *1
 
Com relação à potência em componentes simétricas 
*
22
*
11
*
003
012012
3
012012
012012
3
3
333
3
aaaaaa
a
T
a
aseq
T
seq
T
a
aseq
T
aseq
abc
T
abc
IVIVIVS
IVS
Logo
ITTV
ITVTS
IVS





++=
















=




























=
















=
















=
−

−

−−

−−−

−




 
 
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A potência aparente é obtida da soma das potências em componentes de sequência. 
Exercício 01 
=
=
=
1329,0
1800,1
256,1
c
b
a
I
I
I



 
=
−=
=
2260,0
05,094,0
9645,0
2
1
0
a
a
a
I
I
I



 
Exercício 02 
Obtenha as correntes de fase a partir das componentes de sequência: 
−=
=
=
308,0
300,1
906,0
2
1
0
a
a
a
I
I
I



 
=
=
=
1557,1
904,0
247,1
c
b
a
I
I
I



 
Exemplo: 
A carga trifásica mostrada abaixo tem uma de suas linhas interrompidas. Determine os valores 
dos fasores de corrente de cada componente simétrica. 
 
a
b
c
bI
A 010 oa =I
cI
Interrupção
 
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De acordo com o desenho, temos: 
A 010 oa =I
. 
Como a soma fasorial das correntes que entram na carga deve ser nula, então 
A 18010 ob =I
, 
e 
0=cI
. 
Portanto: 












=










0
18010
010
o
o
C
B
A
I
I
I
A 
Assim, 











−=












=










−
o
o
o
o
A
A
A
3078,5
3078,5
0
0
18010
010
1
)2(
)1(
)0(
T
I
I
I
 
Portanto,os fasores de referência de cada componente simétrica valem: 
0)0( =AI
 
A 3078,5)1( oA −=I
 
A 3078,5)2( oA =I
 
Por fim, os fasores de cada componente valem, então 
Componentes zero: 










=










=










0
0
0
1
1
1
)0(
)0(
)0(
)0(
A
C
B
A
I
I
I
I
 
Componente positiva: 
 
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










−=










=










o
oo
A
C
B
A
1201
2401
1
3078,5
1
2)1(
)1(
)1(
)1(

I
I
I
I
 
ou seja, 











−
−
=










o
o
o
C
B
A
9078,5
15078,5
3078,5
)1(
)1(
)1(
I
I
I
 A 
Componente negativa: 











=










=










o
oo
A
C
B
A
2401
1201
1
3078,5
1
2
)2(
)2(
)2(
)2(

I
I
I
I
 










−


=










o
o
o
C
B
A
9078,5
15078,5
3078,5
)2(
)2(
)2(
I
I
I
 A 
O desequilíbrio nos sistemas elétricos é causado pela diferença que normalmente existe entre 
os diversos elementos conectados às três fases, como por exemplo: 
• Geradores não equilibrados, 
• Cargas não equilibradas, 
• Linhas de transmissão não equilibradas. 
Vamos supor que num sistema elétrico equilibrado temos uma carga em estrela aterrada 
equilibrada igual a 𝑍𝑓̅̅̅̅ . 
 
Podemos representar as relações entre as tensões de fase e as correntes de linha como sendo: 
 
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�̇�𝑎 = 𝑍𝑓̅̅̅̅ 𝐼�̇� 
�̇�𝑏 = 𝑍𝑓̅̅̅̅ 𝐼�̇� 
�̇�𝑐 = 𝑍𝑓̅̅̅̅ 𝐼�̇� 
Podemos re-escrever estas equações como: 
 
[
�̇�𝑎
�̇�𝑏
�̇�𝑐
] = [
𝑍𝑓̅̅̅̅ 0 0
0 𝑍𝑓̅̅̅̅ 0
0 0 𝑍𝑓̅̅̅̅
] [
𝐼�̇�
𝐼�̇�
𝐼�̇�
] 
As relações de tensão e corrente num sistema trifásico é descrita por relações matriciais, mas 
se o sistema for equilibrado a matriz de impedância é uma matriz diagonal e podemos analisar 
somente uma fase. 
Agora vamos analisar o circuito abaixo formado por uma carga equilibrada em estrela com 
uma carga entre o ponto de neutro e a terra. 
 
Neste caso a tensão nas cargas é dada por: 
�̇�𝑎 = 𝑍𝑓̅̅̅̅ 𝐼�̇� + 𝑍𝑛̅̅̅̅ 𝐼�̇� 
�̇�𝑏 = 𝑍𝑓̅̅̅̅ 𝐼�̇� + 𝑍𝑛̅̅̅̅ 𝐼�̇� 
�̇�𝑐 = 𝑍𝑓̅̅̅̅ 𝐼�̇� + 𝑍𝑛̅̅̅̅ 𝐼�̇� 
e 
𝐼�̇� = 𝐼�̇� + 𝐼�̇� + 𝐼�̇� 
ou seja, podemos escrever 
�̇�𝑎 = (𝑍𝑓̅̅̅̅ + 𝑍𝑛̅̅̅̅ ) 𝐼�̇� + 𝑍𝑛̅̅̅̅ 𝐼�̇� + 𝑍𝑛̅̅̅̅ 𝐼�̇� 
�̇�𝑏 = 𝑍𝑛̅̅̅̅ 𝐼�̇� + (𝑍𝑓̅̅̅̅ + 𝑍𝑛̅̅̅̅ ) 𝐼�̇� + 𝑍𝑛̅̅̅̅ 𝐼�̇� 
�̇�𝑐 = 𝑍𝑛̅̅̅̅ 𝐼�̇� + (𝑍𝑓̅̅̅̅ + 𝑍𝑛̅̅̅̅ ) 𝐼�̇� + 𝑍𝑛̅̅̅̅ 𝐼�̇� 
 
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Ou, escrevendo em forma matricial 
[
�̇�𝑎
�̇�𝑏
�̇�𝑐
] = [
𝑍𝑓̅̅̅̅ + 𝑍𝑛̅̅̅̅ 𝑍𝑛̅̅̅̅ 𝑍𝑛̅̅̅̅
𝑍𝑛̅̅̅̅ 𝑍𝑓̅̅̅̅ + 𝑍𝑛̅̅̅̅ 𝑍𝑛̅̅̅̅
𝑍𝑛̅̅̅̅ 𝑍𝑛̅̅̅̅ 𝑍𝑓̅̅̅̅ + 𝑍𝑛̅̅̅̅
] [
𝐼�̇�
𝐼�̇�
𝐼�̇�
] 
Novamente o sistema é representado por matrizes e vetores, mas a matriz de impedância não 
é mais diagonal, mas sim uma matriz cheia. Preciso resolver todo o sistema ou fazer uma 
mudança de coordenadas de modo a tornar a matriz novamente diagonal (desacoplar os 
circuitos). 
 Vamos converter o sistema de fases para componentes simétricas: 
�̇�𝑎 = �̇�𝑎0 + �̇�𝑎1 + �̇�𝑎2 
�̇�𝑏 = �̇�𝑎0 + �̅�2 �̇�𝑎1 + �̅� �̇�𝑎2 
�̇�𝑐 = �̇�𝑎0 + �̅� �̇�𝑎1 + �̅�2 �̇�𝑎2 
ou 
�̇�𝑎𝑏𝑐 = [𝑇𝑠𝑒𝑞̅̅ ̅̅ ̅̅ ] �̇�012 
𝐼�̇�𝑏𝑐 = [𝑇𝑠𝑒𝑞̅̅ ̅̅ ̅̅ ] 𝐼0̇12 
[𝑇𝑠𝑒𝑞̅̅ ̅̅ ̅̅ ] �̇�012 = [𝑍𝑎𝑏𝑐̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅] [𝑇𝑠𝑒𝑞̅̅ ̅̅ ̅̅ ] 𝐼0̇12 
�̇�012 = [𝑇𝑠𝑒𝑞̅̅ ̅̅ ̅̅ ] 
−1[𝑍𝑎𝑏𝑐̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅] [𝑇𝑠𝑒𝑞̅̅ ̅̅ ̅̅ ] 𝐼0̇12 
[𝑍012̅̅ ̅̅ ̅̅ ] = [𝑇𝑠𝑒𝑞̅̅ ̅̅ ̅̅ ] 
−1[𝑍𝑎𝑏𝑐̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅] [𝑇𝑠𝑒𝑞̅̅ ̅̅ ̅̅ ] 
Para a matriz de impedância acima temos 
[𝑍𝑎𝑏𝑐̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅] = [
𝑍𝑓̅̅̅̅ + 𝑍𝑛̅̅̅̅ 𝑍𝑛̅̅̅̅ 𝑍𝑛̅̅̅̅
𝑍𝑛̅̅̅̅ 𝑍𝑓̅̅̅̅ + 𝑍𝑛̅̅̅̅ 𝑍𝑛̅̅̅̅
𝑍𝑛̅̅̅̅ 𝑍𝑛̅̅̅̅ 𝑍𝑓̅̅̅̅ + 𝑍𝑛̅̅̅̅
] → [𝑍012̅̅ ̅̅ ̅̅ ] = [
𝑍𝑓̅̅̅̅ + 3 𝑍𝑛̅̅̅̅ 0 0
0 𝑍𝑓̅̅̅̅ 0
0 0 𝑍𝑓̅̅̅̅
] 
ou seja 
𝑍0̅̅̅̅ = 𝑍𝑓̅̅̅̅ + 3 𝑍𝑛̅̅̅̅ 
𝑍1̅̅̅̅ = 𝑍𝑓̅̅̅̅ 
𝑍2̅̅̅̅ = 𝑍𝑓̅̅̅̅ 
 
Desta forma temos 
�̇�0 = (𝑍𝑓̅̅ ̅̅ ̅ + 3 𝑍𝑛̅̅̅̅ ) 𝐼0̇ 
�̇�1 = 𝑍𝑓̅̅̅̅ 𝐼1̇ 
�̇�2 = 𝑍𝑓̅̅̅̅ 𝐼2̇ 
O que significa que os circuitos em componentes de sequência estão desacoplados. Podemos 
representar estes circuitos como: 
 
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A partir deste caso geral, podemos derivar casos particulares: 
Carga equilibrada em estrela, com aterramento: 
Z0 =ZY +3Zn
 
Z1 =ZY
 
Z2 =ZY
 
Carga equilibrada em estrela, solidamente aterrada 
Zn = 0( )
: 
Z0 =Z1 =Z2 =ZY
 
Carga equilibrada em estrela, com neutro isolado 𝒁𝒏̅̅ ̅̅ = ∞: 
𝑍0̅̅ ̅ = ∞ 
Z1 =ZY
 
Z2 =ZY
 
Exercício: 
Um sistema elétrico alimenta uma carga equilibrada através de uma linha de transmissão. 
Calcule a tensão na carga sabendo que a tensão de fase na fonte é dada abaixo. A frequência 
do sistema é 60 Hz. 
 
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CARGA 
7
5
0
 
 
7
5
0
 
 
3
6
3
 m
H
 
7
5
0
 
 
3
6
3
 m
H
 
3
6
3
 m
H
 
1
0
0
 
 
 
Tensão de fase na fonte: 
kVV
kVV
kVV
c
b
a
=
−=
=
−
−
−
25,118807,283
25,118807,283
675,298
 
Parâmetros da linha de 100 km por unidade de comprimento:
)(
)(/4,003,0
)(/5,23,0
12
1
0
negativasequênciazz
positivasequênciakmjz
zerosequênciakmjz
−−
−
−
=
+=
+=
 
𝑖𝑚𝑝𝑒𝑑â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 
𝑍𝑐𝑓̅̅ ̅̅ ̅ = 750 + 𝑗 136,848 Ω 
𝑍𝑐𝑛̅̅ ̅̅ ̅ = 1050 + 𝑗 136,848 Ω 
 
𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑛𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒 
𝑣𝑔0̇ = 10 ∠0° 𝑘𝑉 
𝑣𝑔1̇ = 288,675 ∠180° 𝑘𝑉 
𝑣𝑔2̇ = 0,00379 ∠180° 𝑘𝑉 
 
𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑛𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 
𝑣𝑐0̇ = 9,234 ∠ − 12,282° 𝑘𝑉 
𝑣𝑐1̇ = 284,53 ∠ − 2,876° 𝑘𝑉 
𝑣𝑐2̇ = 0,00374 ∠177,124° 𝑘𝑉 
𝑣𝑐𝑎̇ = 293,64 ∠ − 3,170° 𝑘𝑉 
𝑣𝑐𝑏̇ = 281,417∠ − 121,115° 𝑘𝑉 
𝑣𝑐𝑐̇ = 278,762∠115,657° 𝑘𝑉 
02) Seja um sistema elétrico formado por uma fonte ideal, uma linha de transmissão e uma 
carga equilibrada aterrada através de uma impedância. Calcule a tensão na fonte sabendo que 
a tensão de linha na carga é 440 kV. Frequência do sistema 60 Hz. 
Parâmetros da linha de 100 km por unidade de comprimento 
)(/3,005,0
)(/5,23,0
1
0
positivasequênciakmjz
zerosequênciakmjz
+=
+=
−
−
 
 
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Parâmetros da carga ao lado. 
 
2
2
0
 
 
2
2
0
 
 
2
8
2
,5
7
3
 m
H
 
2
2
0
 
 
2
8
2
,5
7
3
 m
H
 
2
8
2
,5
7
3
 m
H
 
8
1
 
 
2
1
2
2
 m
H
 
 
𝑖𝑚𝑝𝑒𝑑â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑛𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 
�̅� = 220 + 𝑗 106,53 Ω 
𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑛𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 
𝑣𝑐𝑓̇ = 254,034 ∠0° 𝑘𝑉 
𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑛𝑜 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 
𝑣𝑔𝑓̇ = 273,518 ∠5,412° 𝑘𝑉