APOSTILA BÁSICA DE MATEMÉTICA - TJ - 2019

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ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS 
PROFESSOR CARLOS ANDRÉ 
 
Professor Carlos André professorcandre@yahoo.com.br 
 
PROIBIDO A REPRODUÇÃOSEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR 
LEI 9.610 DE 19/02/1998 
1 
ACADEMIA DO CONCURSO MATEMÁTICA PARA CONCURSOS 
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Conjuntos Numéricos 
 
A) Conjunto dos Números Naturais (N) 
 
Números naturais são aqueles que são utilizados 
na contagem dos elementos de um conjunto. 
Temos então: 
 
 
 
 
OBS: 
N* = N – { 0 } ou seja, N* = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 
 
B) Conjunto dos Números Inteiros ( Z) 
 
Números Inteiros são todos os números naturais 
e também os opostos ou simétricos dos naturais. 
 
 
 
 
B1) Z+  números inteiros não-negativos. 
 
Z+ = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} 
 
Então: Z+ = N 
 
B2) Z-  números inteiros não-positivos. 
 
Z- = { ...,-4, -3, -2, -1, 0 } 
 
C) Conjuntos dos Números Racionais (Q) 
 
São todos os números que podemos escrever na 
forma de fração. 
 
 
 
 
 
 
 
C1) Dízima Periódica 
 
Aos numerais decimais em que há repetição 
periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-
se o nome de numerais decimais periódicos ou 
dízimas periódicas. 
 
Numa dízima periódica, o algarismo ou 
algarismos que se repetem infinitamente 
constituem o período dessa dízima. 
 
Dízimas periódicas simples 
A) 0,444... (período 4) 
B) 0, 151515... ( período 15) 
C) 0,123123... ( período 123) 
 
São dízimas simples, uma vez que o período 
apresenta-se logo após a vírgula. 
Dízimas periódicas compostas 
 
A) 0,1333... 
Período 3 
Parte não periódica 1 
 
B) 2,15666... 
Período 6 
Parte não periódica 15 
 
São dízimas periódicas compostas, uma vez que 
entre o período e a vírgula existe uma parte não 
periódica. 
 
GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA 
 
É possível determinar a fração ( número racional) 
que deu origem a uma dízima periódica. 
Denominamos esta fração de geratriz da dízima 
periódica. 
 
Dízima Simples 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
A) 0,555... = 
9
5
 
 
B) 0,343434... = 
99
34
 
C). 4,252525... = 
99
25
4
 
 
Dízima Composta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
A). 0,1252525...= 
990
1125
 = 
990
124
 
 
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...} 
Z = { ..., - 3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
Q ={ / a Z , b Z, b 0} 
A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem 
para numerador o período e para denominador tantos 
noves quantos forem os algarismos do período. 
A geratriz de uma dízima composta é uma fração da 
forma , onde: 
n  parte não-periódica seguida do período, menos a 
parte não-periódica. 
d  tantos noves quantos forem os algarismos do 
período seguidos de tantos zeros quantos forem os 
algarismos da parte não periódica. 
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B). 1,3444... = 
90
13134
 = 
90
121
 
 
D). Conjunto dos Números Irracionais (I) 
 
São todos os números que não podemos 
escrever na forma de fração (números não-
periódicos) 
 
Exemplos: 
 

= 3,141592... 
2
 = 1,4142... 
3
 = 1,73205... 
 
E). Conjunto do Números Reais (R) 
 
Denominaremos de Conjunto dos Números Reais 
ao conjunto formado pela união dos números 
racionais com os irracionais. 
 
 
 
 
 
Resumo do Conjuntos Numéricos 
 
 
 
Logo: N

Z

Q

R 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) PM – 2007 
Considere os conjuntos 
 
N, dos números naturais, 
Z*_ , dos números inteiros negativos, 
Q, dos números racionais. 
 
Assinale a única alternativa correta 
 
A) O peso de uma pessoa é um elemento 
de N. 
B) A diagonal de um quadrado é um 
elemento de Q. 
C) A capacidade da lotação de um ônibus 
é um elemento de Q – N. 
D) O valor da passagem de um ônibus é 
um elemento de Q. 
E) A velocidade média de um ônibus é 
um elemento de Z*_. 
 
 
2) FUNRIO – 2008 
Sejam A e B subconjuntos dos números naturais 
dados por e 
 
. O número 
de 
elementos do conjunto formado pela interseção de 
A e B é 
A) 4 
B) 6 
C) 10 
D) 20 
E) 25 
 
3) CBMERJ – 2007 – Combatente 
O inverso do número 3,333... é 
A) 0,2 
B) 0,222... 
C) 0,25 
D) 0,3 
E) 0,333... 
 
 
 
 
 
 
R = Q I 
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4) Bombeiros – 2008 – Funrio 
Dada a dízima x = 0,222..., então o valor 
numérico da expressão 
1
1
1
1


x
x
x
x
 é 
representado por 
A) 
103
67
 B) 
103
65
 C) 
105
67
 D) 
104
65
 E) 
104
67
 
 
 
5) Agente de Trânsito Niterói – 2007 
Tem-se que 
9
...242424,0
33
25

A
. 
Se X = A - 
3
1
 , então o valor de x é igual a: 
A) 0 B) 
3
2

 C) 
4
1

 D) 
3
1
 E) 
3
2
 
 
6) PM – 2007 
 
Qual é o valor de 
...777,1
 é 
A) 0,555... 
B) 0,777... 
C) 0,888... 
D) 1,111... 
E) 1,333... 
 
 
7) 
 
 
 
8) 
 
 
 
9) CBMERJ – 2008 – motorista 
 
10) 
 
 
 
GABARITO 
 
1 – D 
2 – B 
3 – D 
4 – A 
5 – A 
6 – E 
7 – C 
8 – C 
9 – E 
10 – D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
1) UNIÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO DE DOIS 
CONJUNTOS. 
 
n(A 

B) = n(A) + n(B) – n(A 

B) 
 
 
 
2) INTERSEÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) DIFERENÇA DE CONJUNTOS 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO RESOLVIDO 
 
TJ – MT – 2008 
Em uma pesquisa de opinião feita com os 
freqüentadores de um centro médico, constatou-
se que 60% dos entrevistados faziam tratamento 
alopático, 35% faziam tratamento homeopático, 
e 15% utilizavam ambos simultaneamente. Pode-
se concluir, então, que a porcentagem que indica 
os entrevistados 
que não utilizam nenhum desses tratamentos é 
(A) 40%. 
(B) 35%. 
(C) 30%. 
(D) 25%. 
(E) 20%. 
 
 
Solução: 
 
Fazendo o diagrama e começando sempre pela 
interseção 
 
Letra E 
 
 
Exercícios Propostos 
 
1) Em uma empresa, 60% dos funcionários lêem 
a revista A, 80% lêem a revista B, e todo 
funcionário é leitor de pelo menos uma dessas 
revistas. O percentual de funcionários que lêem 
as duas revistas é: 
a) 20 % 
b) 40 % 
c) 60 % 
d) 75 % 
e) 140 % 
 
2) Se A e B são conjuntos, A-(A-B) é igual a: 
 
a) A b) B c) A-B d) A 

B e) A 

B 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Agente Penitenciário – 2008 - Cespe 
Com relação às operações com conjuntos, 
julgue o item abaixo. 
 
50. Considere que os candidatos ao cargo de 
programador tenham as seguintes 
especialidades: 27 são especialistas no 
sistema operacional Linux, 32 são 
especialistas no sistema operacional Windows 
e 11 desses candidatos são especialistas nos 
dois sistemas. Nessa situação, é correto 
inferir que o número total de candidatos ao 
cargo de programador é inferior a 50 
 
4) Pref. Pitangui – MG – 2007 
Observe o gráfico abaixo
Sabendo que foram entrevistados 100 pessoas e 
que o número de pessoas que lêem somente os 
jornais B e C é o dobro do número de pessoas 
que lêem apenas os jornais A e C, o número de 
entrevistados que lêem somente os jornais A e C 
é: 
(A) 20. 
(B) 2. 
(C) 30. 
(D) 10. 
 
5) No concurso para o CPCAR foram 
entrevistados 979 candidatos, dos quais 527 
falam a língua inglesa, 251 a língua francesa 
e 321 não falam nenhum desses idiomas. O 
número de candidatos que falam as línguas 
inglesa e francesa é 
 
a) 778 c) 120 
b) 658 d) 131 
 
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6) ANALISTA SEBRAE 2008 - Cespe 
Considere que os livros L, M e N foram indicados 
como referência bibliográfica para determinado 
concurso. Uma pesquisa realizada com 200 
candidatos que se preparam para esse concurso 
usando esses livros revelou que: 
10 candidatos utilizaram somente o livro L; 
20 utilizaram somente o livro N; 
90 utilizaram o livro L; 
20 utilizaram os livros L e M; 
25 utilizaram os livros M e N; 
15 utilizaram os três livros. 
Considerando esses 200 candidatos e os 
resultados da pesquisa, julgue os itens seguintes. 
 
51. Mais de 6 candidatos se prepararam para o 
concurso utilizando somente os livros L e M. 
52. Mais de 100 candidatos se prepararam para o 
concurso utilizando somente um desses livros. 
 
53. Noventa candidatos se prepararam para o 
concurso utilizando pelos menos dois desses 
livros. 
 
54. O número de candidatos que se prepararam 
para o concurso utilizando o livro M foi inferior a 
105. 
 
7) Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos 
estes dados: 
- 40% dos entrevistados lêem o jornal A. 
- 55% dos entrevistados lêem o jornal B. 
- 35% dos entrevistados lêem o jornal C. 
- 12% dos entrevistados lêem os jornais A e B. 
- 15% dos entrevistados lêem os jornais A e C. 
- 19% dos entrevistados lêem os jornais B e C. 
- 7% dos entrevistados lêem os três jornais. 
- 135 pessoas entrevistadas não lêem nenhum 
dos três jornais. 
Considerando-se esses dados, é CORRETO 
afirmar que o número total de entrevistados 
foi 
a) 1 200. 
b) 1 500. 
c) 1 250. 
d) 1 350. 
 
8) Dos 30 candidatos ao preenchimento de 4 
vagas em certa empresa, sabe-se que 18 são 
do sexo masculino, 13 são fumantes e 7 são 
mulheres que não fumam. Então a 
quantidade de homens que não fumam é: 
A) 8 
B) 10 
C) 17 
D) 18 
E) 21 
 
 
9) Um engenheiro, ao fazer o levantamento do 
quadro de pessoal de uma fábrica, obteve os 
seguintes dados: 
 
- 28% dos funcionários são mulheres; 
- 1/6 dos homens são menores de idade; 
- 85% dos funcionários são maiores de idade. 
 
Qual é a porcentagem dos menores de idade que 
são mulheres? 
a) 30% 
b) 28% 
c) 25% 
d) 23% 
e) 20% 
 
 
10) PM – 2007 – FESP 
Em uma festa com 100 pessoas, 30 bebem chope 
e 60 tomam refrigerantes. Qual é o maior número 
possível de pessoas que não consomem nenhum 
desses dois tipos de bebidas, isto é, nem chope 
nem refrigerante? 
A) 10 
B) 30 
C) 40 
D) 50 
E) 60 
 
11) 2012 / INSS – T. DO SEGURO – FCC 
Em uma turma de 100 alunos, 63 sabem escrever 
apenas com a mão direita, 5 não sabem escrever, 
25% dos restantes sabem escrever tanto com a 
mão direita quanto com a esquerda, e os demais 
alunos sabem escrever apenas com a mão 
esquerda. Dessa turma, a porcentagem de alunos 
que sabe escrever com apenas uma das duas 
mãos é de 
(A) 86%. 
(B) 87%. 
(C) 88%. 
(D) 89%. 
(E) 90%. 
 
12) 2014 / METRÔ – SP – ANALISTA- FCC 
Uma pesquisa, com 200 pessoas, investigou 
como eram utilizadas as três linhas: A, B e C do 
Metrô de uma cidade. Verificou-se que 92 
pessoas utilizam a linha A; 94 pessoas utilizam a 
linha B e 110 pessoas utilizam a linha C. Utilizam 
as linhas A e B um total de 38 pessoas, as linhas 
A e C um total de 42 pessoas e as linhas B e C 
um total de 60 pessoas; 26 pessoas que não se 
utilizam dessas linhas. 
Desta maneira, conclui-se corretamente que o 
número de entrevistados que utilizam as linhas A 
e B e C é igual a 
 
(A) 50. (B) 26. (C) 56. (D) 10. (E) 18. 
 
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13) 2014 / TRT – 16ªR – ANAL. ADM - FCC 
Em um encontro de 60 colegas, 20% são 
homens, e o restante mulheres. Sabe-se que 
37,5% das mulheres presentes no encontro têm 
mais de 50 anos de idade, e que 25% dos 
homens presentes no encontro têm mais de 50 
anos de idade. Apenas com relação às pessoas 
com 50 anos de idade ou menos, presentes no 
encontro, os homens correspondem à 
(A) 25% das mulheres. 
(B) 30% das mulheres. 
(C) 20% das mulheres. 
(D) 35% das mulheres. 
(E) 15% das mulheres. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito 
 
1) B 
2) E 
3) ITEM 50  CERTO 
4) D 
5) C 
6) 51-E/ 52-C / 53-C / 54 – E 
7) B 
8) B 
9) E 
10) C 
11) B 
12) E 
13) B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. Divisão 
 
 
Elementos:Relação fundamental da divisão não-exata 
 
 
 
 
Ou 
 
 
 
 
Obs: De modo geral, se numa divisão o divisor 
for d, o maior resto possível é d – 1. 
 
 
2.1 - Divisores de um número Natural 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: 
1) O zero não é divisor de número algum. 
2) Todo número é divisor de si mesmo. 
3) O número 1 é divisor de qualquer número 
natural. 
4) O conjunto dos divisores de um número 
natural diferente de zero é finito. 
 
 2.2 - Critérios de Divisibilidade 
 
Divisibilidade por 2 
 
Um número é divisível por 2 quando é par. 
 
Divisibilidade por 3 
 
Quando a soma dos valores absolutos de seus 
algarismos for divisível por 3. 
 
Divisibilidade por 4 
 
Quando o numeral formado pelos dois últimos 
algarismos da direita for divisível por 4. 
 
Divisibilidade por 5 
 
Quando terminar em 0 ou 5. 
 
Divisibilidade por 6 
 
Quando é divisível por 2 e por 3. 
 
Divisibilidade por 8 
 
Quando o numeral formado pelos três últimos 
algarismos da direita for divisível por 8. 
 
Divisibilidade por 9. 
 
Quando a soma dos valores absolutos de seus 
algarismos for divisível por 9. 
 
Divisibilidade por 10 
 
Quando terminar em 0. 
 
Divisibilidade por 11 
 
Quando a diferença entre as somas dos valores 
absolutos dos algarismos de ordem ímpar e dos 
de ordem par é divisível por 11. 
 
Divisibilidade por 12 
 
Quando for divisível por 3 e por 4. 
 
Divisibilidade por 15 
 
Quando for divisível por 3 e por 5. 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
1). Numa divisão o divisor é 13, o quociente é 8 e 
o resto 6. Determine o dividendo. 
 
Solução 
 
D = d.q + r 
D = 13.8 +6 
D = 110. 
 
2) Numa divisão exata o dividendo é 255 e o 
quociente é 17. qual é o divisor. 
 
Solução 
 
Divisão exata: resto = 0 
 
D = d . q  255 = d.17 
 
d = 
17
255
= 15 
 
Logo, o divisor é 15. 
 
Dividendo = Divisor . Quociente + Resto 
 
D = d . q + r 
Se a divisão de um número natural por outro, 
não-nulo, for exata, podemos afirmar que o 
segundo é divisor do primeiro. 
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10 
Exercícios 
 
1) Numa divisão o quociente é 30, o divisor é 67, 
e o resto é o maior possível. Qual é o 
dividendo? 
 
2) Numa divisão o divisor é o menor número de 3 
algarismos significativos, o quociente é 1/3 do 
divisor e o resto é o maior possível. Calcule o 
dividendo. 
 
3) Numa divisão o divisor é o menor número de 3 
algarismos significativos diferentes, o quociente é 
1/3 do divisor e o resto é o maior possível. 
Calcule o dividendo. 
 
4) A soma de dois números é 107. Dividindo-se o 
maior pelo menor encontra-se quociente 3 e resto 
11. Achar os dois números 
 
5) ( Agente de Transito -2003) 
Se na divisão de um número por 23 obtivemos o 
quociente 32 e o resto maior possível, qual foi o 
número dividido? 
(A) 759 
(B) 736 
(C) 713 
(D) 758 
(E) 756 
 
6) ( Nossa Caixa – 2005) 
Na divisão de n por d, o quociente é 8 e o resto é 
igual a 1. Se n – d = 85, então n é igual a: 
A).107 
B) 104 
C) 102 
D) 98 
E). 97 
 
7) A diferença entre dois números naturais é 286. 
Dividindo-se o maior pelo menor, obtém-se 
quociente 7 e o resto maior possível. Determine o 
número menor. 
A). 41 
B) 327 
C) 128 
D) 72 
E) 48 
 
8) (Inspetor - UERJ-1994) 
Um número é formado por dois algarismos cuja 
soma dos valores absolutos é igual a 7 . Se 
invertermos a ordem dos algarismos, o número 
assim obtido será 27 unidades maior que o 
primitivo. Determine o produto dos algarismos 
desse número. 
a) 0 b) 6 c ) 7 d ) 10 e ) 12 
 
 
 
9) Um aluno deveria multiplicar um número 
natural por 500, mas, por distração , esqueceu-
se de colocar o zero final no produto obtido. 
Dessa forma obteve um resultado 55 350 
unidades inferior ao que deveria ter obtido. Qual 
o número que ele desejava multiplicar por 500 ? 
a) 123 
b ) 321 
c) 118 
d ) 76 
e ) 32 
 
10) Qual deve ser o algarismo b para que o 
número 53.843b seja divisível por 2 e por 3. 
 
11) Substitua as letras a e b de modo a se obter 
um número divisível por 5, 9 e 10 em 4a52b. 
 
12) Assinale o inteiro que é divisível por 12. 
A) 2.148 
B) 3.510 
C) 4.324 
D) 5.558 
E) 7.434 
 
13) O Algarismo que se deve intercalar entre os 
algarismos do número 76 de modo que o numeral 
obtido seja divisível por 4 e 9 simultaneamente é: 
A) 1 
B) 7 
C) 5 
D) 6 
E) 4 
 
14) Dividir um número por 0,0125 equivale a 
multiplicá-lo por: 
A) 
125
1
 
B) 
8
1
 
C) 8 
D) 12,5 
E) 80 
 
 
 
15) GUARDA MUNICIPAL – NITEROI – 2007 
O número N=3217Y216 é divisível por 3. A soma 
dos possíveis valores do algarismo Y é 
 
A) 15 
B) 10 
C) 12 
D) 13 
E) 16 
 
 
 
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11 
16) Guarda – vidas – 2007 - Maricá 
Abaixo temos um número de três algarismos 
onde desconhecemos o algarismo das unidades, 
representado por U. 
74U 
Determine o valor do algarismo U de modo que o 
número seja um múltiplo de 6. 
 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 3 
E) 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BAREMA 
1 2 3 4 5 6 7 8 
2.076 4.217 5.165 24 e 83 D E A D 
 
9 10 11 12 13 14 15 16 
A 4 a=7 e b=0 A C E A E 
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12 
3 – Decomposição em fatores primos 
 
3.1 – Números Primos e Números Compostos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: 
1). O número 1 é considerado especial, não é 
primo nem composto ( tem apenas um divisor). 
 
2) O único número primo par 
 
3) O conjunto dos números primos é um conjunto 
infinito. 
 
3.2 – Decomposição em Fatores Primos 
 
Para se realizar a decomposição em fatores 
primos, devemos seguir a sequência: 
 
1). Dividimos o número pelo seu menor divisor 
primo e assim sucessivamente, até se chegar ao 
quociente unitário. 
 
Exemplo: 
 
 
3.3 – Determinação dos Divisores de um Número 
 
Processo Prático: 
Divisores de 60: 
 
1). Decompomos o número em fatores primos 
 
2). Traçamos um segmento vertical à direita da 
decomposição obtida e escrevemos o 1, que é 
divisor de todos os números, no alto, um pouco 
acima do primeiro fator primo. 
 
 
 
 
 
3). Multiplicamos cada um dos fatores primos 
pelos divisores já obtidos e escrevemos esses 
produtos ao lado de cada fator. 
 
Portanto, os divisores de 60 é: 
 
D(60) = { 1,2, 3,4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} 
 
 
3.4 – Quantidade de Divisores de Um Número 
 
Regra do Expoente: 
 
1). Fatorar o número dado; 
2) Adicionar 1 em cada um dos expoentes dos 
fatores primos obtidos; 
3) Multiplicar os resultados. 
 
Exemplo: 
 
Determine a quantidade de divisores de 90. 
 
 
90 = 2.3².5 
 
Usando a regra do expoente: 
 
(1 + 1).(2 + 1).(1 + 1) = 2.3.2 = 12 divisores 
 
 
Exercício Resolvido 
 
O número 2³.5
a
 tem 12 divisores. Qual o valor de 
a: 
 
Solução 
Usando a regra do Expoente, temos: 
 
(3+1).(a+1) = 12 
4 (a+1) = 12 
4a + 4 = 12 
4 a = 8 
a = 
4
8
 
a= 2 
 
Logo, a é igual a 2. 
Um número natural é primo quando possui 
somente dois divisores distintos: o número 1 e 
ele próprio. 
Um número natural é composto quando possui 
mais de dois divisores. 
 
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13 
4. Máximo Divisor Comum (M.D.C.) 
 
Sejam os números 36 e 60 e os conjuntos D(36), 
D(60) de seus respectivos divisores. 
Temos então: 
 
 D (60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} 
 
 D (36) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 18, 36} 
 
Observamos facilmente todos os divisores 
comuns a 60 e 30: 
 D(60) 

 D(36) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 12} 
 
Observe que 12 é o maior divisor comum, assim: 
 
 M.D.C.(36,60) = 12 
 
Concluímos, pois que: 
 
 
 
 
 
 
 
Processos para o cálculo do mdc de dois ou 
mais números 
 
1º - Existe um método prático, chamado divisões 
sucessivas ou algoritmo de Euclides, para 
calcular o M.D.C.: 
 
Nesse processo efetuamos várias divisões até 
chegar a uma divisão exata. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º - Decomposição em fatores primos 
 
 
Temos: 60 = 2² x 3 x 5 e 36 = 2² x 3² 
 
Para calcular o MDC Multiplicamos os fatores 
primos comuns, cada um deles elevado ao seu 
menor expoente; o produto deles é o maior 
divisor comum. 
 
Logo: M.D.C. (60, 36) = 2² x 3 = 12 
OBSERVAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
4.1. Propriedades do M.D.C. 
 
a) Dois números naturais consecutivos são 
sempre primos entre si, ou seja, o mdc é 
igual a um. 
 
 Ex: 7 e 8  mdc = 1 
 
b) O mdc entre dois números em que o maior 
é múltiplo do menor, é o menor. 
 
 Ex: 4 e 12 mdc = 4 
 
c) Multiplicando-se ou dividindo-se dois ou 
mais números por um certo número 
(diferente de zero), o mdc entre eles 
também fica multiplicado ou dividido por 
esse número. 
 
 Ex: 4 e 5 mdc = 1; 40 e 50 mdc = 10 
 
 
5. Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) 
 
Sejam os números 6 e 9 e os conjuntos M(6) e 
M(9) de seus respectivos múltiplos. 
Temos então: 
 
M (9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72,...} 
 
M (6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 
66, 72,...} 
 
M(9) 

 M(6) = {18, 36, 54, 72,...} 
 
Observe que 18 é o menor múltiplo comum, 
diferente de zero, dos números 6 e 9 
Assim: 
 
M.M.C. (9, 6) = 18 
 
 
Concluímos, pois, que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados dois ou mais números naturais diferentes de 
zero, denomina-se máximo divisor comum (mdc) 
desses números o maior dos seus divisores 
comuns. 
Quando o mdc de dois ou mais números naturais é 
igual a 1, esses números são primos entre si. 
Dados dois ou mais números naturais diferentes 
de zero, denomina-se mínimo múltiplo comum 
(mmc) desses números o menor de seus 
múltiplos comuns diferentes de zero. 
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14 
Cálculo do MMC de vários números 
 
1º Processo: Decomposição simultânea ( Método 
Prático) 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
 Determine o mmc de 6 e 9. 
 
 
 Determine o mmc de 12,18 e 30. 
 
 
2º Processo: Decomposição em fatores primos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
Determine o mmc de 12, 20 e 24 
12 = 2² x 3¹ 
20 = 2² x 5¹ 
24 = 2³ x 3¹ 
Os maiores expoentes dos fatores 2, 3 e 5 são 3, 
1 e 1, respectivamente. 
 
Logo, o mmc (12, 20,24) é igual a: 2³ x 3¹ x 5¹ = 
120 
 
Determine o mmc (12,15,49). 
12 = 2² x 3¹ 
15 = 3¹ x 5¹ 
49 = 7² 
Os maiores expoentes dos fatores 2, 3, 5 e 7 são 
2, 1, 1 e 2, respectivamente. 
 
Logo, o mmc (12,15,49) é igual a: 2² x 3¹ x 5¹ x 7² 
= 2.940. 
 
5.1. Propriedades do M.M.C. 
 
a) O mmc entre dois números primos entre si 
é igual ao produto deles. 
 
 Ex: 5 e 12  mmc = 60 
 
b) O mmc entre dois ou mais números 
naturais diferentes de zero, se um deles for 
múltiplo dos outros, então esse número 
será o mmc dos números dados. 
 
 Ex: 5, 10 e 20  mmc = 20 
 
c) Multiplicando-se ou dividindo-se dois ou 
mais números por um certo número 
(diferente de zero), o mmc entre eles 
também fica multiplicado ou dividido por 
esse número 
Exemplo: 
Seja mmc(12,15) =60 
Multiplicando 12 e 15 por 2, temos: 
Mmc(24,30) = 120, que é o dobro de 60. 
 
 
RELAÇÃO ENTRE O MDC E O MMC DE DOIS 
NÚMEROS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Decompomos simultaneamente os números dados 
em fatores primos. 
Determinamos o produto dos fatores primos obtidos. 
1). Decompomos os números em fatores primos. 
 
2). Multiplicamos os fatores primos comuns e não-
comuns, cada um deles elevado ao seu maior 
expoente; o produto deles é o menor múltiplo comum. 
O produto de dois números, diferentes de 
zero, é igual ao produto do seu maior 
divisor comum (MDC) pelo seu menor 
múltiplo comum (MMC). 
A x B = MDC(A,B) x MMC(A,B) 
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15 
Exercícios 
 
1) Correios – 2006-Técnico Operacional 
O MDC de 100947 e 9282 é: 
a) 41 
b) 19 
c) 13 
d) 21 
e) 23 
 
2) Correios – 2006-Técnico Operacional 
O MMC entre 486 e 363 é: 
a) 44104 
b) 88209 
c) 29403 
d) 58806 
e) 176418 
 
3) ( CVM – 2005 – Agente Executivo) 
O analista de uma empresa estabeleceu três tipos 
( A, B e C) de checagem de segurança dos 
computadores. O tipo A será realizado de 4 em 4 
dias e o tipo B de 6 em 6 dias. O três tipos terão 
inicio simultâneo e coincidirão novamente pela 
primeira vez daí a 120 dias. Assim, a menor 
freqüência que o tipo C pode ter é: 
A). 10 dias 
B) 12 dias 
C) 24 dias 
D) 36 dias 
E) 40 dias 
 
4) Bombeiros – guarda-vidas – 2008- FUNRIO 
Pedro trabalha numa plataforma da Petrobrás onde 
ele embarca de 12 em 12 dias. Sua namorada 
Maria trabalha numa outra plataforma. Entretanto, 
Maria embarca de 18 em 18 dias. Se Pedro e 
Maria embarcaram juntos no último dia 17 de 
março do corrente ano, a próxima data em que 
este fato ocorrerá novamente será. 
A) 22 de abril. 
B) 23 de abril. 
C) 24 de abril. 
D) 25 de abril. 
E) 26 de abril. 
 
5) (TRT MS/2011) - FCC 
Sabe-se que Vitor eValentina trabalham como 
Auxiliares de Enfermagem em uma empresa e, 
sistematicamente, seus respectivos plantões 
ocorrem a cada 8 dias e a cada 6 dias. Assim 
sendo, se no último dia de Natal − 25/12/2010 − 
ambos estiveram de plantão, então, mantido o 
padrão de regularidade, uma nova coincidência 
de datas de seus plantões em 2011, com certeza, 
NÃO ocorrerá em 
(A) 18 de janeiro. (B) 10 de fevereiro. (C) 31 de 
março. (D) 24 de abril. (E) 18 de maio. 
 
6) (TRT SC/2010) - FCC 
Sistematicamente, dois funcionários de uma 
empresa cumprem horas-extras: um, a cada 15 
dias, e o outro, a cada 12 dias, inclusive aos 
sábados, domingos ou feriados. Se em 15 de 
outubro de 2010 ambos cumpriram horas-extras, 
uma outra provável coincidência de horários das 
suas horas-extras ocorrerá em 
(A) 9 de dezembro de 2010. 
(B) 15 de dezembro de 2010. 
(C) 14 de janeiro de 2011. 
(D) 12 de fevereiro de 2011. 
(E) 12 de março 2011. 
 
 
7) Guarda Municipal – 2007 
Paulo e Sandra colecionam figurinhas. Eles 
sabem que suas coleções têm o mesmo número 
de figurinhas e esse número encontra-se entre 
200 e 250. Para se certificarem do número exato 
de figurinhas, resolveram contá-las. Paulo, de dez 
em dez, e Sandra, de doze em doze. Dessa 
forma, descobriram que sobravam sempre sete 
figurinhas. O número de figurinhas em cada 
coleção é de: 
A) 200 
B) 247 
C) 227 
D) 217 
E) 237 
 
8) ( CEDAE – 2002) 
Dois guardas-noturnos tocam seus apitos 
enquanto caminham pelas ruas do bairro X. O 
guarda Pedro toca seu apito de 15 em 15 
minutos. O guarda António toca seu apito de 25 
em 25 minutos. Às 22 horas eles apitam juntos. 
Pode-se dizer que os dois guardas apitarão juntos 
novamente às: 
A)22h30min 
B)23h15min 
C) 23h30min 
D)23h45min 
 
9) Bombeiros – motorista – 2008 - FUNRIO 
Considere o conjunto de todos os números 
maiores que 1, tais que, quando divididos por 2, 
por 3, por 4, por 5, por 6, por 7 e por 8, deixam 
sempre resto igual a 1. A soma dos dois menores 
números desse conjunto é 
A) 2222 
B) 2322 
C) 2422 
D) 2522 
E) 2622 
 
 
 
 
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10) ( Correios 2004 Operador de Triagem I) 
O máximo divisor comum m.d.c. ( 36, 40, 56) e o 
mínimo múltiplo comum ( 36, 40, 56) é : 
A) 6; 1440 
B) 8; 2240 
C) 9; 2640 
D) 4; 2520 
E) Nda 
 
11) ( Bombeiro – 2000) 
André, Carlos e Gustavo são três soldados do 
CBMERJ que moram em Niterói, Petrópolis e 
Barra Mansa, respectivamente. Carlos visita 
André a cada 6 meses e Gustavo visita André a 
cada 4 meses. Coincidentemente hoje, André 
recebeu a visita dos dois amigos. A próxima vez 
que André receberá a visita simultânea de Carlos 
e Gustavo será daqui a : 
A) 6 meses 
B) 8 meses 
C) 9 meses 
D) 12 meses 
E) 24 meses 
 
12) O número de fitas de vídeo que Marcela 
possui está compreendido entre 100 e 150. 
Grupando-as de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 
em 20, sempre resta uma fita. A soma dos três 
algarismos do número total de fitas que ela possui 
é igual a: 
a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 
 
13) (PM – 2004) O policiamento em torno de um 
estádio se faz com dois policiais montados a 
cavalo. Um deles percorre o contorno do estádio 
em 30 mim e o outro em 40 mim. Depois que 
começaram a ronda, partindo do mesmo ponto às 
8h , e deslocando-se no mesmo sentido, voltarão 
a se encontrar , pela segunda vez, às: 
a) 10h 
b) 11h 
c) 12h 
d) 13h 
 
14) – TTN 
Um hortigrangeiro colheu, ao final de semana , 
230 laranjas, 207 caquis e 115 maçãs. Ao 
armazenar essas frutas , usou caixotes. Esses 
caixotes têm o mesmo número de frutas de uma 
mesma espécie e o maior número possível de 
frutas. Quantos caixotes usou? 
a) 19 
b ) 23 
c ) 24 
d ) 184 
e ) 185 
 
 
 
 
15) Considere dois rolos de barbante, um com 96 
m e outro com 150 m de comprimento. Pretende-
se cortar todo o barbante dos dois rolos em 
pedaços de mesmo comprimento. O menor 
número de pedaços que poderá ser obtido é 
a) 38 
b) 41 
c) 43 
d) 52 
e) 55 
 
16) (PM – 2004) Um soldado precisa guardar 161 
balas calibre 38 e 133 balas calibre 45. Ele 
deseja fazer pacotes, de modo que todas as 
balas de cada pacote sejam do mesmo calibre e 
que todos os pacotes contenham o mesmo 
número de balas. Nestas condições, o menor 
número possível de pacotes é : 
a) 52 
b) 42 
c) 32 
d) 22 
 
17) FUNRIO - 2008 
A idade da minha tia é um número que deixa 
resto 1 quando dividido por 13 e deixa resto 4 
quando dividido por 7. Se ela ainda não 
completou 100 anos, a soma dos algarismos 
da idade da minha tia é: 
A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 
 
18) Para levar os alunos de certa escola a um 
museu, pretende-se formar grupos que tenham 
iguais quantidades de alunos e de modo que em 
cada grupo todos sejam do mesmo sexo. Se 
nessa escola estudam 1.350 rapazes e 1.224 
garotas e cada grupo deverá ser acompanhado 
de um único professor, o número mínimo de 
professores necessários para acompanhar todos 
os grupos nessa visita é: 
a) 18 b) 68 c) 75 d) 126 e) 143 
 
 
19) Entre algumas famílias de um bairro, foi 
distribuído um total de 144 cadernos, 192 lápis e 
216 borrachas. Essa distribuição foi feita de modo 
que o maior número possível de famílias 
fosse contemplado e todas recebessem o mesmo 
número de cadernos, o mesmo número de 
lápis e o mesmo número de borrachas, sem haver 
sobra de qualquer material. Nesse caso, o 
número de CADERNOS que cada família ganhou 
foi 
a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 
 
 
 
 
 
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17 
20) Em um presídio há 400 detentos, sendo 240 no 
setor X e 160 no setor Y. Para realizar atividades na 
oficina de artes, o total de detentos foi dividido em 
grupos com o mesmo número de integrantes, sendo 
esse número o maior possível, sem deixar nenhum 
detento de fora e sem misturar os detentos dos dois 
setores. Dessa forma, foram formados 
(A) 5 grupos. 
(B) 8 grupos. 
(C) 10 grupos. 
(D) 12 grupos. 
(E) 13 grupos. 
 
 
21) BNDES – 2009 
 A figura abaixo ilustra um bloco de madeira 
no formato de um paralelepípedo com as 
medidas, em centímetros, das suas arestas. 
 
Esse bloco é dividido em cubos, todos do mesmo 
tamanho, de modo que a medida das arestas 
desses cubos seja a maior possível. Sabendo-se 
que, nos cubos, as arestas têm a mesma medida 
e que, após a divisão, não há sobra de madeira, a 
quantidade de cubos obtidos é 
(A) 18 
(B) 24 
(C) 30 
(D) 48 
(E) 60 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BAREMA 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
D D E A B D B B D D D 
 
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 
B C C B B B E B A C 
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6. Razões 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Das 200 pessoas entrevistadas, 70 preferem o 
candidato A. 
Razão dos entrevistados que preferem o 
candidato A: 
70:200 ou 
200
70
= 
20
7
  De cada 20 
entrevistados, 7 preferem o candidato A. 
 
 
Termos de uma Razão 
 
Observe a razão: 
 
 
 
 
 ( lê-se “a está para b” ou “a para b” ) 
 
 
 7. Proporção 
 
 
 
 
 
Elementos de uma Proporção 
 
Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-
nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam 
uma proporção quando a razão do 1° para o 2° 
for igual à razão do 3º para o 4°. Assim: 
 
 
 
 
 
 
( lê-se: “ a está para b assim como c está para d”) 
 
 
Os números a, b, c, d são os termos da 
proporção, sendo: 



proporção. da extremos os d , a
proporção. da meios os c , b 
 
 
 
 
7.1 Propriedade Fundamental das Proporções 
 
De modo geral, temos que: 
 
 
 
 
 
 
Daí, podemos enunciar a propriedade 
fundamental das proporções: 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1)- Determine o valor de x na proporção: 
x
15
8
5

 
Solução: 
 
x
15
8
5

  
aplicando a propriedade fundamental 
 
5x = 8.15 
 x = 
5
120
 
x= 24 
 
Logo, o valor de x é 24. 
 
 
2)- Determine o valor de x na proporção: 
5
4
12
3



x
x
 
 
Solução 
 
5
4
12
3



x
x  
aplicando a propriedade fundamental 
 
5( x-3) = 4( 2x+1) 
5x – 15 = 8x + 4 
- 3x = 19 x (-1) 
x= 
3
19

 
 
Logo, o valor de x é 
3
19

 
 
Denominamos de razão entre dois números a e b 
( b 0) o quociente ou a:b. 
 
É a igualdade entre duas razões. 
 ou a : b = c : d 
 
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao 
produto dos extremos. 
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19 
7.2 Quarta Proporcional 
 
Dados três números racionais a, b e c, não-nulos, 
denomina-se quarta proporcional desses números 
um número x, tal que: 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Determine a quarta proporcional dos números 8, 
12 e 6 
 
x
6
12
8

  aplicando a propriedade fundamental 
 
8x = 12.6  x = 
8
72
 
x = 9 
 
Logo, a quarta proporcional é 9. 
 
7.3 Proporção Contínua 
 
 
 
 
 
De modo geral, uma proporção contínua pode ser 
representada por: 
 
 
 
 
 
7.4 Terceira proporcional 
 
Dados dois números racionais a e b, não-nulos, 
denomina-se terceira proporcional desses 
números um número x tal que: 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Determine a terceira proporcional dos números 20 
e 10. 
Solução 
 
x
10
10
20

  20x = 100  x = 
20
100
  x = 5 
 
Logo, a terceira proporcional é 5. 
OBS: Dada uma proporção contínua, o número b 
é denominado média geométrica ou média 
proporcional entre a e c. 
 
7.5 PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES 
 
Considere a proporção: 
d
c
b
a

 
 
Temos as seguintes propriedades: 
 
1ª Propriedade 
 
c
dc
d
dc
b
ba 




a
ba
ou 
 
 
2ª Propriedade 
 
c
dc
d
dc
b
ba 




a
b-a
ou 
 
 
3ª Propriedade 
 
d
c
b
a
db
ca



 
 
4ª Propriedade 
 
d
c
b
a
db
ca



 
 
5ª Propriedade 
 
²
²
²
²
.
.
d
c
b
a
db
ca

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Proporção contínua é toda proporção que 
apresenta os meios iguais. 
 
 
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Exercícios 
 
 
1) BNDES – 2006 ( Cesgranrio) 
 
Em uma empresa, a razão do número de 
empregados homens para o de mulheres é 3/7. 
Portanto, a porcentagem de homens empregados 
nessa empresa é: 
(A) 30% 
(B) 43% 
(C) 50% 
(D) 70% 
(E) 75% 
 
2) (ENDEMIAS) 
Num posto médico existem 120 frascos da 
vacina X e 200 frascos da vacina Y. A razão 
entre o número de frascos da vacina X e o total 
de frascos é : 
a) 2/3 
b) 2/5 
c) 3 /4 
d) 3/8 
 
3) UFRJ -2008 – ASS. ADM- NCE 
O preparo da sopa de marca Bom Sabor para 
uma pessoa requer que se dissolva um pacote de 
pó de sopa em um copo de água, atingindo-se 
assim uma concentração do pó em água que será 
denominada C0. Se, em vez de 1 copo, 
colocarmos 1 copo e meio de água para um 
pacote de pó, atinge-se uma concentração do pó 
em água que será denominada C1 . A razão 
0
1
C
C
 
corresponde a: 
A) 
3
1
 
B) 
3
2
 
C) 
4
3
 
D) 
2
3
 
E) 
3
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Agente de endemias-2008 
Uma equipe de trabalho formada por Auxiliares 
de Controles de Endemias inspecionou 1260 
moradias. Encontrou 420 delas com focos de 
mosquitos. A razão entre o número de 
residências COM FOCOS e o número de 
residências SEM FOCOS de mosquito é igual a: 
A) 
2
1
 
B) 
3
1
 
C) 
4
1
 
D) 
5
1
 
 
5) (Furnas ) 
A razão entre as idades de um pai e um filho é 
5 / 2 . Se o pai tinha 21 anos quando o filho 
nasceu, qual a idade do filho? 
a) 14 b) 16 c) 24 d) 28 e) 35 
 
6) ( Banco do Brasil) 
Uma empresa possui atualmente 2.100 
funcionários . Se a relação entre o número de 
efetivos e contratados é de 5 para 2 , quantos 
são os efetivos ? 
a) 800 b) 1000 c) 1500 d) 1600 e) 1800 
 
7( Banco do Brasil ) 
 Se dois capitais estão entre si na razão de 8 para 
3 e o maior deles excede o menor em 
R$25.000,00 então a soma desses capitais é de: 
a) R$ 75.000,00 
b) R$ 40.000,00 
c) R$ 65.000,00 
d) R$ 60.000,00 
e) R$ 55.000,00 
 
8) (TRT – 2003 – FCC) 
Uma empresa resolveu aumentar seu quadro de 
funcionários. Numa 1ª etapa contratou 20 
mulheres, ficando o número de funcionários na 
razão de 4 homens para cada 3 mulheres. Numa 
segunda etapa foram contratados 10 homens, 
ficando o número de funcionários na razão de 3 
homens para cada 2 mulheres. Inicialmente, o 
total de funcionários dessa empresa era: 
A) 90 
B) 120 
C) 150 
D) 180 
E) 200 
 
 
 
 
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9) (TRF – 2006 – FCC) 
Após vender um imóvel, um senhor dividiu 
totalmente a quantia que recebeu em pagamento 
entre sua esposa, seus dois filhos e uma antiga 
empregada da família. A divisão foi feita do 
seguinte modo: 
 
- a filha e o filho receberam a metade do total na 
razão de 4 para 3, respectivamente; 
- sua esposa recebeuo dobro do valor recebido 
pelo filho; 
- a empregada recebeu R$ 5. 000,00. 
 
Nessas condições, a quantia total recebida pela 
venda de tal imóvel foi ( em reais): 
A) 55.000 
B) 60.000 
C) 65.000 
D) 70.000 
E) 75.000 
 
 
10) (Magistério – 2006 – Pref. RIO) 
A razão entre o número de meninos e meninas 
matriculados numa escola é 
4
3
. Sabendo-se que 
a escola possui 72 meninos matriculados, o total 
de alunos da escola é: 
A) 168 B) 182 C) 204 D) 216 
 
 
11) (PM – 2001) 
Em uma distribuição de munição, foram 
fornecidas 200 balas para dois recrutas na razão 
5/3 . Então cada recruta recebeu: 
a) 120 e 80 b) 125 e 75 
c) 130 e 70 d) 140 e 60 e) 150 e 50 
 
12) (TRF – 1989) 
Uma estrada está representada por 15 cm, num 
mapa de escala 1 / 20.000. O comprimento real 
dessa estrada é : 
a) 3 KM 
b) 30 Km 
c) 300 m 
d) 3.000 cm 
e) 30.000 dam 
 
13) ( PM – 2005 ) 
Na planta de um Bairro, feita na escala 1/800, 
uma praça aparece como um retângulo de 
dimensões 10 cm e 6 cm. A área real dessa praça 
é de 
A) 3840 m² 
B) 3890 m² 
C) 3950 m² 
D) 4020 m² 
 
 
14) Agente de Endemias - 2008 
 
A escala de um mapa é de 1: 25000. Isto significa 
que uma distância de 30 cm neste mapa 
corresponde à seguinte distância real: 
A) 7,5 km 
B) 750 km 
C) 75 km 
D) 0,75 km 
 
15) Um trem faz o percurso Paris-Berna em 3 
horas e 20 mim. A distância entre essas cidades, 
sabendo que a velocidade do trem é de 252 km/h 
é: 
a) 640 km 
b) 700 km 
c) 840 km 
d) 860 km 
e) 900 km 
 
 
 
16) (TRF – 2007 – Auxiliar Judiciário) 
Godofredo mora a 11 000 metros de seu local de 
trabalho. Se ele fizer esse percurso a pé, 
caminhando à velocidade média de 8 km/h, 
quanto tempo ele levará para ir de casa ao local 
de trabalho? 
 
(A) 1 hora, 15 minutos e 20 segundos 
(B) 1 hora, 22 minutos e 30 segundos 
(C) 1 hora, 25 minutos e 20 segundos 
(D) 1 hora, 32 minutos e 30 segundos 
(E) 1 hora, 35 minutos e 20 segundos 
 
17) PM - 2007 
Minha caminhonete pode carregar 15 sacos de 
batata ou 20 caixas de cenoura. Se foram 
colocados 9 sacos de batata, quantas caixas de 
cenoura ainda posso carregar? 
(A) 5 
(B) 6 
(C) 7 
(D) 8 
(E) 9 
 
 
18) ( TRF – 2007 – Técnico Judiciário) 
Dos 343 funcionários de uma unidade do Tribunal 
Regional federal, sabe-se que o número de 
homens está para o de mulheres assim como 5 
está para 2. Assim sendo, nessa unidade, a 
diferença entre o número de homens e o de 
mulheres é 
(A) 245 
(B) 147 
(C) 125 
(D) 109 
(E) 98 
 
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19) (TRF – 2007 – Auxiliar Judiciário) 
Certo dia, em uma unidade do Tribunal Regional 
Federal, um auxiliar judiciário observou que o 
números de pessoas atendidas no período da 
tarde excedera o das atendidas pela manhã em 
30 unidades. Se a razão entre a quantidade de 
pessoas atendidas no período da manhã e a 
quantidade de pessoas atendida no período da 
tarde era 3/5, então é correto afirmar que, nesse 
dia, foram atendidas 
(A) 130 pessoas 
(B) 48 pessoas pela manhã 
(C) 78 pessoas à tarde 
(D) 46 pessoas pela manhã 
(E) 75 pessoa à tarde 
 
 
20) FUB – 2008 - Cespe 
Uma empresa tem em seu quadro de pessoal 84 
empregados, e a razão entre o número de 
homens e mulheres é, nessa ordem, igual a 
3
4
. A 
propósito dessa situação, julgue os itens a seguir. 
 
41 O número de mulheres no quadro de pessoal 
dessa empresa é superior a 38. 
 
42 Ao se somar 
3
2
 do número de mulheres a 
75% do número de homens dessa empresa, 
obtém-se um número racional não inteiro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BAREMA 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
A D B A A C E B D A 
 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
B A A A C B D B E ) 41-E / 42-E 
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8. Divisão Proporcional 
 
 
 
 
 
 
 
8.1 Divisão Em Partes Diretamente 
Proporcionais 
 
Exemplo: 
 
Dividir 180 em partes diretamente proporcionais a 
2, 5 e 11. 
 
Solução 
 
Queremos dividir 180 em três parcelas, tais que: 
 
1ª 2x 
2ª 5x sendo x a constante de 
proporcionalidade. 
3ª 11x 
 
A soma das parcelas é igual a 180, 
Logo: 
2x+5x+11x=180 
18x = 180 
x= 
18
180
 
x=10 
 
Então: 
1ª 2x = 2.10 = 20 
2ª 5x = 5.10 = 50 
3ª 11x = 11.10 = 110 
 
Sendo 20 + 50 + 110 = 180, concluímos que as 
parcelas procuradas são: 20, 50 e 110. 
 
8.2 Divisão Em Partes Inversamente 
Proporcionais 
 
Exemplo: 
 
Dividir 210 em partes inversamente proporcionais 
a 3, 5 e 6. 
 
Queremos dividir 210 em três parcelas, tais que: 
 
1ª
3
x
 
2ª
5
x
 
3
6
x
 
 
 
A soma das parcelas é igual a 210, 
Logo: 
 
3
x
+
5
x
+
6
x
= 210 
 
Como o m.m.c.(3,5,6) = 30, temos: 
 
10x + 6x +5x = 6300 
21x = 6300 
x= 
21
6300
 
x=300  constante de proporcionalidade 
 
Portanto: 
 
1ª 
3
x
=
3
300
=100 
2ª
5
x
=
5
300
=60 
 
3ª
6
x
=
6
300
=50 
 
Sendo 100+60+50 = 210, as parcelas procuradas 
são: 100, 60 e 50. 
 
8.3 Divisão Proporcional Composta 
 
Neste caso, o problema consiste em dividir um 
número ao mesmo tempo em partes diretamente 
proporcionais e inversamente proporcionais. 
 
Exemplo: 
 
Dividir 386 em partes ao mesmo tempo 
diretamente proporcionais a 2, 3, 4 e em partes 
inversamente proporcionais a 3, 5, 7. 
 
Solução 
 
1ª parte diretamente a 2 e inversamente a 3, 
então: 
3
2x
 
2ª parte diretamente a 3 e inversamente a 5, 
então: 
5
3x
 
Dividir um número em partes proporcionais a 
vários outros números dados é decompô-lo em 
parcelas proporcionais a esses números. 
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3ª parte diretamente a 4 e inversamente a 7, 
então: 
7
4x
 
 
A soma das partes é igual ao valor que queremos 
dividir. 
 
3
2x
+
5
3x
+
7
4x
=386 
Fazendo o mmc dos denominadores, obtemos: 
 
MMC (3,5,7) = 105 
 
3
2x
+
5
3x
+
7
4x
=386 
70x + 63x + 60x = 40.530 
193 x = 40.530 
x =
193
530.40
 = 210 
então 210 é a constante de proporcionalidade. 
1ª parte 
140
3
420
3
210.2
3
2

x
 
2ª parte 
126
5
630
5
210.3
5
3

x
 
3ª parte 
120
7
840
7
210.4
7
4

x
 
 
Logo, as parcelas procuradassão: 140, 126 e 
120. 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1) Petrobras – 2008 
João vai dividir R$24.000,00 com seus primos, 
em 3 partes diretamente proporcionais a 1, 2 e 3, 
respectivamente. Sabendo-se que o mais velho é 
o que receberá o maior valor, a parte deste 
corresponderá, em reais, a 
(A) 12.000,00 
(B) 10.000,00 
(C) 8.000,00 
(D) 4.000,00 
(E) 3.000,00 
 
2) Agente de Endemias – 2008 
N formulários de cadastramento de domicílios 
foram distribuídos entre três agentes de saúde, 
em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 4. O 
agente que recebeu o maior número de 
formulários ficou com 32. O valor de N é igual a: 
A) 72 
B) 81 
C) 78 
D) 85 
 
 
 
 
 
 
3) ( Agente Educador – 2006) 
Uma prova foi aplicada a 750 alunos em 
diferentes horários, sempre com o mesmo 
número de alunos em cada sala. A distribuição 
destes alunos por 5 salas foi feita em partes 
diretamente proporcionais ao número de carteiras 
de cada sala, conforme o quadro abaixo: 
Salas 1 2 3 4 5 
Nº de carteiras 20 25 30 35 40 
O número total de alunos que fizeram prova na 
sala 4 corresponde a: 
A) 140 
B) 175 
C) 210 
D) 245 
 
4) (Casa da Moeda – 2005) 
Uma área de 800.000 m² será dividida em partes 
diretamente proporcionais a 4, 5 e 7, para o 
plantio de três culturas diferentes. O proprietário 
decidiu que a maior parte será para o plantio de 
soja e que nas outras duas, plantará feijão e 
milho. Se a menor das três partes for destinada 
ao plantio de milho, a área ocupada pelo feijão, 
em m², será de: 
A) 160.000 
B) 200.000 
C) 250.000 
D) 320.000 
E) 350.000 
 
5) (POSTURAS) 
Um certo número de documentos foi distribuídos 
entre três fiscais, em partes diretamente 
proporcionais a 6, 8 e 9, respectivamente. O 
primeiro fiscal recebeu 960 documentos. O 
número de documentos distribuídos entre os três 
fiscais corresponde a : 
a) 2880 b) 2960 c) 3680 d) 3840e) 3940 
 
6) ( Agente de Transito - 2003) 
Em uma cidade com três bairros (A, B e C), 259 
policiais foram distribuídos na razão direta do 
número de ruas de cada bairro. Sabendo que o 
bairro A tem 10 ruas, o bairro B 12 ruas e o bairro 
C 15 ruas, quantos policiais foram destacados 
para o bairro A? 
A).70 
B) 84 
C) 105 
D) 100 
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25 
E) 60 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Auxiliar Adm.- CESPE - 2008 
Pedro, João, Paulo e Carlos investiram quantias, 
que somaram R$ 6.800,00, em um mesmo fundo 
de aplicações. Sabe-se que as quantias aplicadas 
por cada um deles são, na ordem apresentada, 
diretamente proporcionais a 2, 3, 5 e 7, 
respectivamente. Julgue os itens que se seguem, 
relacionados a essas informações. 
 
39. Paulo aplicou tanto quanto Pedro e João 
juntos. 
 
40. Carlos aplicou menos de R$ 2.500,00. 
 
41. Pedro aplicou mais de R$ 900,00. 
 
8) TJ – PA – 2006 – CESPE 
Alexandre, Jaime e Vítor são empregados de uma 
empresa e recebem, respectivamente, salários 
que são diretamente proporcionais aos números 
5, 7 e 9. A soma dos salários desses 3 
empregados corresponde a R$ 4.200,00. Nessa 
situação, após efetuar os cálculos, 
conclui-se corretamente que 
 
A) a soma do salário de Alexandre com o de Vítor 
é igual ao dobro do salário de Jaime. 
B)Alexandre recebe salário superior a R$ 
1.200,00. 
C) o salário de Jaime é maior que R$ 1.600,00. 
D) o salário de Vítor é 90% maior do que o de 
Alexandre. 
 
9).( INFRAERO – 2004) 
Flora tem uma pequena loja de produtos naturais 
e duas funcionárias, Joana e Carolina. No mês de 
julho Flora decidiu dividir um bônus de R$ 160,00 
entre as duas funcionárias, de forma que cada 
uma receberia um valor inversamente 
proporcional ao número de faltas naquele mês. 
Carolina faltou 3 vezes e Joana faltou 2. A 
quantia recebida por Joana, em reais, é igual a: 
A) 55 
B) 64 
C) 80 
D) 96 
E) 108 
 
10) (PETROBRÁS) 
Dividindo-se R$ 3.800,00 em partes inversamente 
proporcionais a 1, 3 e 4, a menor parte 
corresponderá a: 
a) R$475,00 
b) R$ 520,00 
c) R$ 600,00 
d) R$ 620,00 
e) R$ 650,00 
 
 
 
 
11) (TRF – 2007 – Técnico Judiciário) 
Dois técnicos judiciários deveriam redigir 45 
minutas e resolveram dividir esta quantidade em 
partes inversamente proporcionais às suas 
respectivas idades. Se o primeiro que tem 28 
anos, redige 25 delas, a idade do segundo, em 
anos, é 
(A) 35 
(B) 33 
(C) 32 
(D) 31 
(E) 30 
 
12) TRF – 2003 - FCC 
 
Dois funcionários receberam a incumbência de 
catalogar 153 documentos e os dividiram entre si 
na razão inversa de suas respectivas idades: 32 e 
40 anos. O número de documentos catalogados 
pelo mais jovem foi: 
 
A) 87 
B) 85 
C) 70 
D) 68 
E) 65 
 
13) Dividindo-se o número 238 em partes 
inversamente proporcionais a 2, 6 e 7 . Qual será 
o valor da parte menor ? 
a) 42 
b) 25 
c) 34 
d) 49 
e) 147 
 
14) Dividindo 486 ao mesmo tempo em partes 
proporcionais a 5; 3 e 4 e inversamente 
proporcionais a 2; 4 e 5 , qual a menor parte 
obtida? 
a)80 
b) 70 
c) 90 
d) 120 
e) 150 
 
15) (TTN) 
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26 
Uma pessoa deseja repartir 135 balinhas para 
duas crianças, em partes que sejam ao mesmo 
tempo proporcionais diretamente a 2/3 e 4/7 e 
inversamente a 4/9 e 2/21. Quantas balinhas 
cada criança receberá? 
a) 27 e 108 
b) 35 e 100 
c) 40 e 95 
d) 25 e 110 
e) 30 e 105 
 
 
 
 
16) BOMBEIROS – ACRE – 2006 - Cespe 
 
Para comprar um televisor de plasma que custa 
R$ 6.000,00, Paulo, André, Carlos e Henrique 
contribuíram, respectivamente, com quantias, em 
reais, que são diretamente proporcionais a 11, 13, 
17 e 19. Com relação a essa cotização, assinale 
a opção correta. 
 
A) A soma das contribuições de Paulo e 
Henrique é superior à soma das contribuições de 
André e Carlos. 
B) Se Paulo contribuiu com p reais e Carlos com 
c reais, então 3p + 2c = 6.700. 
C) André contribuiu com menos de R$ 1.250,00. 
D) Henrique contribuiu com mais de R$ 1.950,00. 
 
17) (TRE – PE – 2004) 
Um total de 141 documentos devem ser 
catalogados por três técnicos judiciários. Para 
cumprir essa tarefa, dividiram os documentos 
entre si, em partes inversamente proporcionais às 
respectivas idades: 24, 36 e 42 anos. Nessas 
condições, o número de documentos que coube 
ao mais jovem foi 
A) 78 
B) 63 
C) 57 
D) 42 
E) 36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18) FUB – 2008 - Cespe 
Considerando que as idades de 3 pessoas sejam 
números diretamente proporcionais aos números 
13, 17 e 19 e sabendo que a soma das idades 
dessas 3 pessoas é igual a 98, julgue os itens 
subseqüentes. 
 
45 A soma das idades das duas pessoas mais 
jovens é inferior a 62. 
 
46 A diferença entre a idade do mais velho e a do 
mais moço é superior a 14. 
 
 
19) Prominp – 2008 – Cesgranrio 
Uma fazenda tem 2.400 hectares disponíveis 
para agricultura. Esta área será dividida em 
partes diretamente proporcionais a 3 e a 5, de 
modoque a menor parte será destinada à 
plantação de milho e a maior, à plantação de 
soja. A diferença, em hectares, entre as duas 
áreas será de 
(A) 600 
(B) 800 
(C) 900 
(D) 1.200 
(E) 1.500 
 
 
 
 
 
 
 
 
BAREMA 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
A A B C C A 39-C/40-E/41-E A D C 
 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
A B A C A B B 45-C/ 46-C A 
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27 
 
9. Grandezas Proporcionais 
 
9.1 Grandezas Diretamente Proporcionais 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Tempo Produção 
5 mim 100 Kg 
10 mim 200 Kg 
 
Quando duplicamos o tempo, a produção também 
duplica. 
Temos: 
2
1
200
100
10
5

 
 
Logo, as grandezas tempo e produção são 
grandezas diretamente proporcionais. 
 
9.2 Grandezas Inversamente Proporcionais 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Velocidade Tempo 
5 m/s 200 s 
20 m/s 50 s 
 
Quando quadriplicamos o valor da grandeza 
velocidade, a grandeza tempo fica reduzida a 
quarta parte. 
 
 
Velocidade Tempo 
4
1
20
5

 
1
4
50
200

 
 
Logo, as grandezas velocidade e tempo são 
inversamente proporcionais 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Regra de Três 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.1 Regra de Três Simples 
 
Trabalhamos com apenas duas grandezas. 
 
Passos utilizados numa regra de três simples 
 
1ºDevemos agrupar grandezas da mesma 
espécie em colunas e manter na mesma linha as 
grandezas de espécies diferentes em 
correspondência. 
 
2ºIdentificar se as grandezas são diretamente 
ou inversamente proporcionais. 
 
3ºmontar a proporção e resolver a equação. 
 
Exemplo 1: 
 
Comprei 6 m de tecido por R$ 15,00. quanto 
gastaria se tivesse comprado 8 m? 
 
Solução 
 
Escrevemos as grandezas ( Passo 1) 
Comprimento (m) Preço (R$) 
 
 6 15 
 
 8 x 
 
 
Em seguida, colocamos uma seta para baixo na 
coluna que contém o x. ( 2ª coluna ). 
Como as grandezas comprimento e preço são 
diretamente proporcionais, colocamos uma outra 
seta no mesmo sentido na 1ª coluna. 
 
 
Comprimento (m) Preço (R$) 
 
 6 15 
 
 8 x 
 
 
Armamos a proporção formada pelas razões que 
construímos: 
 
Chamamos de regra de três os problemas 
nos quais figura uma grandeza que é direta 
ou inversamente proporcional a uma ou mais 
grandezas. 
Duas grandezas são diretamente 
proporcionais quando a razão entre os valores 
da 1ª grandeza é igual à razão entre os 
valores correspondentes da 2ª. 
 
Duas grandezas são inversamente 
proporcionais quando a razão entre os 
valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da 
razão entre os valores correspondentes da 
2ª grandeza. 
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28 
x
15
8
6

 
 
6x = 120 
x=
6
120
=20 
 
Logo, o preço procurado é: R$ 20,00. 
 
Exemplo 2: 
 
Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em 
quantos dias 20 operários fariam a mesma obra. 
 
Solução 
 
Operários Dias 
 
6 10 
 
20 x 
 
Como a grandeza operários é inversamente 
proporcional a grandeza dias, temos: 
 
Colocamos uma seta para baixo na coluna que 
contém x. 
Em seguida colocamos uma outra seta no sentido 
contrário ( grandezas inversas) na 1ª coluna. 
 
Operários Dias 
 
6 10 
 
20 x 
 
Montamos a proporção, invertendo a razão que 
possui a seta para o lado contrário da coluna do 
x. 
 
x
10
6
20

 
Calculamos o valor de x: 
 
20x = 60 
x = 
20
60
 
x= 3 dias 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.2 Regra de Três Composta 
 
Trabalhamos com três ou mais grandezas 
relacionadas entre-si. 
 
Passos utilizadas numa regra de três composta 
 
1º Passo colocamos na mesma coluna as 
grandezas de mesma espécie e, em cada linha, 
as grandezas de espécies diferentes que se 
correspondem. 
 
2º Passo colocamos inicialmente uma seta 
para baixo na coluna que contém o x. 
 
3º Passo Devemos comparar cada grandeza 
com aquela onde está o x . 
 
4º PassoIgualamos a razão que contém o x 
com o produto das outras razões de acordo com 
o sentido das setas. 
 
 
Exemplo: 
 
Se para imprimir 87.500 exemplares 5 rotativas 
gastam 56 mim, em que tempo 7 rotativas, iguais 
as primeiras, imprimirão 350.000 desses 
exemplares. 
 
Solução 
 
Exemplares rotativas tempo (mim) 
 
87.500 5 56 
 
350.000 7 x 
 
Comparando cada grandeza coma a coluna x 
temos: 
Exemplares rotativas tempo (mim) 
 
87.500 5 56 
 
350.000 7 x 
 
Assim: 
 
000.350
500.87
.
5
756

x
 
 
Daí: 
100
3556

x
 
 
35 x = 5600 
x = 
35
5600
 
x = 160 mim = 2h 40 mim 
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29 
 
1) Petrobras – 2008 
Quatro operários levam 2 horas e 20 minutos 
para fabricar um produto. Se o número de 
operários for inversamente proporcional ao tempo 
para fabricação, em quanto tempo 7 operários 
fabricarão o produto? 
(A) 50 minutos 
(B) 1 hora 
(C) 1 hora e 10 minutos 
(D) 1 hora e 20 minutos 
(E) 1 hora e 40 minutos 
 
 
2) Prominp – 2008 - Cesgranrio 
Em uma cidade com 45 mil habitantes são 
produzidas, em média, 30 toneladas de lixo por 
dia. Qual será, em toneladas, a quantidade média 
de lixo produzida em uma semana numa cidade 
com 60 mil habitantes? 
(A) 40 
(B) 80 
(C) 150 
(D) 240 
(E) 280 
 
3) Agente de Endemias - 2008 
Oito torneiras com fluxo constante e igual enchem 
um reservatório em 12 horas. Cinco dessas 
torneiras encherão o mesmo reservatório em: 
A) 18h14min 
B) 19h12min 
C) 18h16min 
D) 19h20min 
 
4) BANESTES – 2008 - Conesul 
Em uma obra, dez operários trabalhando nove 
horas diárias, são capazes de construir trezentos 
metros quadrados de parede. Se tivermos vinte 
operários trabalhando seis horas diárias, quantos 
metros quadrados eles construirão? 
a) 700. 
b) 400. 
c) 350. 
d) 600. 
e) 650. 
 
5) UFRJ 2004 – ASS. ADM) 
Uma caixa d'água é enchida através de 3 canos 
de água, com vazão d'água idêntica. Se 
utilizarmos somente 2 destes canos, a caixa 
d'água levará 6 dias para encher. Se utilizarmos 
os 3 canos, essa caixa levará, para encher, o 
seguinte número de dias: 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 6 
e) 9 
 
6) ( Correios – 2004 – Operador de triagem I ) 
 Corrigindo provas de um exame de vestibular, 
quatro professores gastaram 75 horas. Em 
quanto tempo esse trabalho será realizado por 12 
professores? 
A)- 75 h 
B)- 25 h 
C)- 225 h 
D)- 22,5 h 
E)- 25,5 h 
 
7) Empregam-se 30 operários numa obra; após 
15 dias, quando só metade da obra se encontrava 
pronta , 25 operários foram dispensados. Em 
quantos dias os demais operários terminarão a 
obra? 
a) 60 diasb) 90 dias 
c) 45 dias 
d) 80 dias 
e) 100 dias 
 
8) ( PM – 2005) 
Com mesma capacidade de trabalho, 12 
costureiras fazem certo número de uniformes 
encomendados pelo exército, em 60 dias. 
Igualmente capazes, 15 costureiras cumprem 
essa tarefa em: 
A) 48 dias 
B) 52 dias 
C) 72 dias 
D) 75 dias 
 
9) Agente de Transito - 2003 ) 
Três mecânicos, trabalhando oito horas por dia, 
levaram dez dias para consertar quinze 
automóveis. Caso trabalhassem apenas quatro 
horas por dia, quantos mecânicos, com a mesma 
eficiência, seriam necessários para realizar o 
mesmo número de consertos em quinze dias? 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 4 
(D) 5 
(E) 6 
 
10) Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual 
eficiência, são capazes de produzir 500 peças em 
5 dias, se operarem 5 horas por dia. Se 10 
máquinas iguais às primeiras operassem 10 
horas por dia durante 10 dias, o número de peças 
produzidas seria: 
a) 1000 
b) 2000 
c) 4000 
d) 5000 
e) 8000 
 
 
 
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30 
11) Sabe-se que 4 máquinas, operando em 4 
horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 
toneladas de certo produto. Quantas toneladas do 
mesmo produto seriam produzidos por 6 
máquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, 
durante 6 dias? 
a) 6 
b) 8 
c) 10,5 
d) 13,5 
e) 15 
 
12) Se 10 operários gastam 12 dias para abrir um 
canal de 20m de comprimento, 16 operários, para 
abrir um canal de 24m de comprimento, gastarão: 
a) 1/3 do mês 
b) 2/5 do mês 
c) 1/2 do mês 
d) 3/10 do mês 
 
13) Trabalhando 8 horas por dia, os 2.500 
operários de uma industria automobilística 
produzem 500 veículos em 30 dias. Quantos dias 
serão necessários para que 1.200 operários 
produzam 450 veículos, trabalhando 10 horas por 
dia ? 
a) 45 
b) 50 
c) 55 
d) 60 
e) 55 
 
14) (Casa da Moeda – 2001) 
Uma máquina é capaz de produzir 25 peças a 
cada 18 minutos. Para produzir 2.500 peças essa 
máquina levará: 
A) 30 horas 
B) 18 horas 
C) 15 horas 
D) 3 horas 
E) 1 h e 40 mim 
 
15) ( Susep – 2006) 
Um tratorista trabalhando 8 horas por dia gradeia 
100 hectares em 10 dias. Nas mesmas condições 
quantos hectares ele gradeará em 6 dias 
trabalhando 10 horas por dia? 
A) 60 
B) 75 
C) 80 
D) 90 
E) 100 
 
16) Se 2/3 de uma obra foi realizada em 5 
dias por 8 operários, trabalhando 6 horas por 
dia. o restante da obra será feito, agora com 6 
operários, trabalhando 10 horas por dia, em: 
 a) 7 dias b) 6 dias c) 2 dias d) 4 dias 
 e) 3 dias 
 
17) Certo fazendeiro tem ração para alimentar 32 
galinhas durante 22 dias. No fim de 4 dias 
resolve comprar mais 4 galinhas. Quanto tempo 
durarão as provisões se a ração de cada galinha 
não for diminuída? 
 a) 13 dias 
b) 15 dias 
c) 16 dias 
d) 20 dias 
e) 7 dias 
 
18). ( Petrobrás) 
6 homens, trabalhando 6 horas por dia, 
constroem 6 muros em 6 dias. Em quantos dias 
12 homens, trabalhando 12 horas por dia, 
construirão 12 muros? 
a) 3 
b) 6 
c) 12 
d) 36 
e) 48 
 
19) (MPU) 
Para construir um muro, João levaria 30 dias e 
Carlos levaria 25 dias. Os dois começaram a 
trabalhar juntos , mas após 6 dias João deixa o 
trabalho; dois dias após a saída deste, Carlos 
também o abandona. Antonio sozinho consegue 
terminá-lo em 24 dias. Para realizar a construção 
do muro sozinho, Antonio levaria: 
a) 48 dias 
b) 60 dias 
c) 2 dias e 12 horas 
d) 75 dias 
e) 50 dias 
 
20) TRF – Técnico Judiciário – 2007 
Em uma gráfica, foram impressos 1 200 panfletos 
referentes à direção defensiva de veículos 
oficiais. Esse material foi impresso por três 
máquinas de igual rendimento, em 2 horas e meia 
de funcionamento. Para imprimir 5 000 desses 
panfletos, duas dessas máquinas deveriam 
funcionar durante 15 horas, 
(A) 10 minutos e 40 segundos. 
(B) 24 minutos e 20 segundos. 
(C) 37 minutos e 30 segundos. 
(D) 42 minutos e 20 segundos. 
(E) 58 minutos e 30 segundos. 
 
21) Transpetro – 2006 - CESGRANRIO 
Se 3 operários, trabalhando 6 horas por dia, 
constroem um muro em 20 dias, em quantos dias 
5 operários, trabalhando 8 horas por dia, 
construiriam o mesmo muro? 
(A) 4 (B) 5 
(C) 6 
(D) 8 
(E) 9 
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31 
22) BNDES 
O estoque de pó de café em um escritório é 
suficiente para seus 16 funcionários durante 62 
dias. Depois de 12 dias, passam a trabalhar no 
escritório mais 4 funcionários. Passados mais 15 
dias, 10 funcionários são transferidos para outro 
escritório. Quantos dias mais durará o estoque de 
pó de café? 
a) 23 
b) 25 
c) 30 
d) 35 
e) 50 
 
23) BNDES – 2008 
Uma torneira enche de água um tanque de 500 
litros em 2 horas. Em quantos minutos 3 torneiras 
idênticas à primeira encherão um tanque de 600 
litros, sabendo que todas as torneiras despejam 
água à mesma vazão da primeira e que, 
juntamente com as torneiras, há uma bomba que 
retira desse tanque 2,5 litros de água por minuto? 
(A) 72 
(B) 60 
(C) 56 
(D) 48 
(E) 45 
 
24) Um depósito de água leva 360 litros, e tem 
duas torneiras, uma o enche em 15 horas e outra 
o esvazia em 20 horas. Abrindo-se as duas 
torneiras, em quantas horas o depósito ficará 
cheio? 
 
A) 60 h 
B) 40 h 
C) 30 h 
D) 25 h 
E) 20 h 
 
 
25) Um alfaiate pode fazer uma roupa em 3 dias, 
a sua esposa pode fazê-la em 6 dias; 
trabalhando juntos, em quantos dias farão a 
roupa? 
 
A) 4,5 dias 
B) 2 dias 
C) 3 dias 
D) 1 dia 
E) 1/2 dia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26) TRF – Téc. Judiciário – 2007 
Trabalhando ininterruptamente, dois técnicos 
judiciários arquivaram um lote de processos em 4 
horas. Se, sozinho, um deles realizasse essa 
tarefa em 9 horas de trabalho ininterrupto, o 
esperado é que o outro fosse capaz de realizá-la 
sozinho se trabalhasse ininterruptamente por um 
período de 
(A) 6 horas. 
(B) 6 horas e 10 minutos. 
(C) 6 horas e 54 minutos. 
(D) 7 horas e 12 minutos. 
(E) 8 horas e meia. 
 
 
27) Um trabalho pode ser feito em 2 horas por 
um homem, em 3 horas por uma mulher e em 6 
horas por um menino. Em quanto tempo será 
feito pelas 3 pessoas juntas? 
 
A) 1/2 h 
B) 1 h 
C) 1h e 1/2 
D) 2 h 
E) 2h e 1/2 
 
28) Dois operários levam 12 horas para fazer um 
trabalho; o primeiro só levaria 20 horas. Que 
tempo levará o segundo trabalhando só? 
 
A) 6h 
B) 12 h 
C) 18 h 
D) 24 h 
E) 30 h 
 
 
29) Incra 
Doze costureiras, trabalhando 8 horas por dia, em 
18 dias tecem 480 mantas. O número de 
costureiras necessário para que sejam tecidas 
600 mantas, trabalhando 6 horas por dia em 12 
dias, mantendo o mesmo ritmo de trabalho que as 
anteriores, é: 
 
A) 28 
B) 29 
C) 30 
D) 31 
E) 32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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