Matematica Basica - 20 edicao - Curso Completo

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CURSO COMPLETO DE MATEMÁTICA BÁSICA – 20ª EDIÇÃO 
| Prof. Thiago Pacífico 
 
 
CURSO PRIME ALDEOTA – Rua Maria Tomásia, 22 – Aldeota – Fortaleza/CE – Fone: (85)3208. 2222 
CURSO PRIME CENTRO – Av. do Imperador, 1068 – Centro – Fortaleza/CE – Fone: (85) 3208.2220 
1 
 
OS: 0215/9/16-Gil 
CONCURSO: CURSO COMPLETO DE MATEMÁTICA BÁSICA –20ª EDIÇÃO 
 
 
ÍNDICE: 
 NOSSAS REDES SOCIAS – MAIS SOBRE NOSSOS CURSOS!............................. 
 
 PORCENTAGEM 
(Problemas e aplicações).......................................................................................... 
 
Questões de Concursos........................................................................................... 
 
Gabarito...................................................................................................................... 
 
 NOÇÕES E OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
(União, Interseção, Diferença, Complementar, Relação de Pertinência, 
Relação de Inclusão e Subconjuntos)..................................................................... 
 
Questões de Concursos........................................................................................... 
 
Gabarito...................................................................................................................... 
 
 ARITMÉTICA BÁSICA / RELAÇÃO DE ORDEM NOS INTEIROS 
(Critério de divisibilidade, Algoritmo da divisão, MMC e MDC, 
Operações Matemáticas).......................................................................................... 
 
Questões de Concursos........................................................................................... 
 
Gabarito...................................................................................................................... 
 
 RAZÃO E PROPORÇÃO 
(Razões especiais – Escala, Velocidade média, Densidade e propriedades, 
Divisão proporcional)................................................................................................ 
 
Questões de Concursos........................................................................................... 
 
Gabarito...................................................................................................................... 
 
 REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA 
(Grandezas diretamente e inversamente proporcionais, Regra das 
sociedades e Regra das torneiras).......................................................................... 
 
Questões de Concursos........................................................................................... 
 
Gabarito...................................................................................................................... 
 
 SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 
(Cálculo e transformações de unidade).................................................................. 
 
Questões de Concursos........................................................................................... 
 
Gabarito...................................................................................................................... 
 
 QUESTÕES COMENTADAS...................................................................................... 
 
 
02 
 
 
02 
 
05 
 
09 
 
 
 
09 
 
12 
 
19 
 
 
 
20 
 
26 
 
33 
 
 
 
33 
 
40 
 
47 
 
 
 
47 
 
51 
 
56 
 
 
57 
 
62 
 
65 
 
65 
 
 
 
 
 
 
 
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OS: 0215/9/16-Gil 
ACESSE NOSSAS REDES SOCIAIS! =D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PORCENTAGEM 
 
 
p% =
100
p
 
 
Exemplos: 
 
27% = 27/100 = 0,27 0,5% = 0,5/100 = 0,005 
 
Observação 
 
p‰ =
1000
p
 
 
Exemplos: 
 
2‰ = 2/1000 = 0,002 29‰ = 29/1000 = 0,029 315‰ = 315/1000 = 0,315 
 
 
EXEMPLOS DE QUESTÕES DE CONCURSOS 
 
 
Exemplo 01: Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão etiquetadas com 
número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número par? 
 
Solução: 
 
Representando por x o número de fichas que têm etiqueta com número par e lembrando que 
52% = 52/100 = 0,52, temos: 
 
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x = 52% de 25  x = 0,52 . 25  x = 13 
 
Resposta: Nesse fichário há 13 fichas etiquetadas com número par. 
 
 
Exemplo 02: No torneio pré-olímpico de basquete, realizado na Argentina em agosto de 1995, a seleção 
brasileira disputou 4 partidas na 1ª fase e venceu 3. Qual é a porcentagem de vitórias obtidas pelo Brasil 
nessa fase? 
 
Solução: 
 
1
a
. Solução: 
 
Vamos indicar por x% o número que representa essa porcentagem. O problema pode, então, ser expresso 
por: 
x% de 4 é igual a 3 
 
Isso resulta na equação: 
100
x
. 4 = 3  4x = 300  x = 75 
2
a
. Solução: 
Do Enunciado temos: 
4
3
 = 0,75 = 
100
75
 = 75% 
 
Resposta: O Brasil venceu 75% dos jogos que disputou nessa fase. 
 
 
Exemplo 03: Numa indústria trabalham 255 mulheres. Esse número corresponde a 42,5% do total de 
empregados. Quantas pessoas trabalham, ao todo, nessa indústria? 
 
Solução: 
 
Vamos representar por x o número total de empregados dessa indústria. Esse problema pode ser expresso 
por: 
42,5% de x é igual a 255 
 
Sabendo que 42,5% = 
100
42,5
 = 0,425, podemos formar a equação: 
0,425 . x = 255  x = 
0,425
255
 
 x = 600 
 
Resposta: Nessa indústria trabalham, ao todo, 600 pessoas. 
 
 
Exemplo 04: Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço marcado na etiqueta. 
Se paguei R$ 690,00 pela mercadoria, qual o preço original dessa mercadoria? 
 
Solução: 
 
Se obtive 8% de desconto, o preço que paguei representa 100%  8% = 92% do preço original. Representando 
o preço original da mercadoria por x, esse problema pode ser expresso por: 92% de x é igual a 690 
Sabendo que 92% = 
100
92
 = 0,92, podemos formar a equação: 
0,92 . x = 690  0,92x = 690  x = 
0,92
690
  x = 750 
 
Resposta: O preço original da mercadoria era R$ 750,00. 
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Exemplo 05: 40% de 20% corresponde a quantos por cento? 
 
Solução: 
 
Representando por x% a taxa de porcentagem procurada, o problema se reduz a: 40% de 20% é igual a x. 
Se 40% = 0,40 e 20% = 0,20, temos a equação: 
0,40 . 0,20 = x  x = 0,08  0,08 = 
100
8
 = 8% 
 
Resposta: Assim, 40% de 20% corresponde a 8%. 
 
 
Exemplo 06: Uma geladeira, cujo preço à vista é de R$ 680,00 tem um acréscimo de 5% no seu preço se for 
paga em 3 prestações iguais. Qual é o valor de cada prestação? 
 
Solução: 
 
5% de 680 = 0,05 . 680 = 34 (acréscimo) 
680 + 34 = 714 (preço em 3 prestações iguais) 
714 /3 = 238 (valor de cada prestação) 
 
Resposta: Então, o valor de cada prestação é de R$ 238,00. 
 
 
Exemplo 07: O salário de um trabalhador era de R$ 840,00 e passou a ser de R$ 966,00. Qual foi a porcentagem 
de aumento? 
 
Solução: 
 
1
a
. Solução: 
 
966 – 840 = 126 (aumento em reais) 
 
x% de 840 = 126 
 
15%
100
15
20
3
120
18
840
126
 (aumento em porcentagem) 
 
2
a
. Solução: 
 
x% de 840 = 966 (salário anterior mais aumento) 
 
115%
100
115
20
23
120
138
840
966

 
 
115% - 100% = 15% 
 
Resposta: Logo, a porcentagem de aumento foi de 15%.Exemplo 08: Paulo gastou 40% do que tinha e ainda ficou com R$ 87,00. Quanto ele tinha e quanto gastou, em 
reais? 
 
Solução: 
 
Se ele gastou 40%, a quantia de R$ 87,00 corresponde a 60% do que possuía. 
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Fazemos então 60% de ? = 87. 
87x. 
100
60
  87x. 
5
3
 
3
87.5
x  x = 145 (quanto ele tinha) 
 
Quanto ele gastou: 145 – 87 = 58 ou 40% de 145 = 58 
 
Resposta: Paulo tinha R$ 145,00 e gastou R$ 58,00. 
 
 
QUESTÕES DE CONCURSOS 
 
 
01. Numa competição, cada participante pode responder a um máximo de 1.000 perguntas. Num determinado 
momento, um dos participantes alcançou 80% de acerto nas 450 questões até então respondidas. Se a partir 
deste momento este participante conseguir acertar todas as perguntas que lhe forem formuladas e se o seu 
objetivo for elevar para 90% o índice de acertos entre as questões respondidas, quantas perguntas ele ainda 
terá que responder? 
a) 150 
b) 250 
c) 350 
d) 450 
 
02. Numa sala há 100 pessoas, das quais 97 são homens. Para que os homens representem 96% das pessoas 
contidas na sala, deverá sair que número de homens? 
a) 2 
b) 5 
c) 10 
d) 15 
e) 25 
 
03. Descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um único desconto de: 
a) 26% 
b) 44% 
c) 56% 
d) 50% 
 
04. Um comerciante resolve aumentar em 20% o preço de todos os produtos de sua loja, para em seguida, 
anunciar uma liquidação de 20% em todos os produtos dessa loja. Podemos afirmar que o novo em relação 
ao preço antes do aumento: 
a) sofre um aumento de 4%. 
b) sofre uma redução de 4%. 
c) dependerá do preço de cada produto. 
d) não sofreu alteração, portanto ele não ganha nem perde com isso. 
 
05. Numa loja, o preço de um produto tem um desconto de 15% se for pago à vista ou um acréscimo de 5% se 
for pago com cartão de crédito. Tendo optado pelo cartão, uma pessoa pagou R$ 80,00 de acréscimo em 
relação ao que pagaria, com desconto, à vista. Então a soma dos preços do produto à vista com desconto e 
no cartão é: 
a) R$ 700,00 
b) R$ 740,00 
c) R$ 760,00 
d) R$ 720,00 
e) R$ 780,00 
 
06. Thiago comprou um carro que a vista custaria R$ 10.000,00, e combinou com o vendedor de pagar 40% de 
entrada e o restante em duas prestações. Cada prestação foi calculada da seguinte forma: juros de 2% ao 
mês sobre o saldo devedor e este saldo corrigido foi dividido pelo número de prestações a pagar. No total, a 
pessoa que comprou o carro pagou (desprezando centavos): 
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a) R$ 10.159,00 
b) R$ 10.202,00 
c) R$ 10.194,00 
d) R$ 10.058,00 
e) R$ 10.181,00 
 
07. Um jovem tinha um capital e fez com ele um investimento diversificado. Aplicou 40% do capital em um fundo 
de Renda Fixa e o restante na Bolsa de Valores. A aplicação em Renda Fixa gerou lucro de 20%, enquanto o 
investimento na Bolsa, no mesmo período, representou prejuízo de 10%. Com relação ao total investido 
nesse período, o jovem 
a) teve lucro de 2% 
b) teve lucro de 20% 
c) não teve lucro e nem prejuízo 
d) teve prejuízo de 2% 
e) teve prejuízo de 20% 
 
08. (CESGRANRIO) Uma mercadoria sofreu dois descontos sucessivos de 30% cada, passando a custar R$ 
392,00. Qual era, em reais, o preço dessa mercadoria antes dos descontos? 
a) 600,00 
b) 662,00 
c) 700,00 
d) 774,00 
e) 800,00 
 
09. (CESGRANRIO) No final do verão, uma loja de roupas ofereceu 20% de desconto em todas as peças. Uma 
pessoa, ao comprar uma camisa de R$ 36,00, recebeu, em reais, um desconto de 
a) 3,60 
b) 6,20 
c) 7,20 
d) 8,60 
 
10. Para atrair novos clientes, uma empresa de telefonia móvel oferece, durante 6 meses, 25% de desconto no 
valor total da conta a quem optar por planos “pós-pagos”. João aproveitou a promoção e, em abril, recebeu 
R$ 42,20 de desconto. Quanto João pagou, em reais, pelo uso do celular em abril? 
a) 105,50 
b) 112,40 
c) 126,60 
d) 148,20 
e) 168,80 
 
11. (CESGRANRIO) Um comerciante comprou R$ 10.000,00 em mercadorias para a sua loja, as quais foram 
vendidas em um mês. Sabendo-se que ele obteve um lucro de 20% sobre o faturamento da loja, isto é, 20% 
sobre o valor arrecadado com a venda dessas mercadorias, tem-se que esse comerciante obteve, em reais, 
um lucro de 
a) 5.000,00 
b) 2.500,00 
c) 2.400,00 
d) 2.200,00 
e) 2.000,00 
 
12. (CESGRANRIO) Durante uma liquidação, uma loja de roupas vendia camisetas com 25% de desconto. 
Sandra aproveitou a promoção e comprou uma camiseta por R$ 12,00. Qual era, em reais, o preço dessa 
camiseta sem o desconto? 
a) 14,00 
b) 15,00 
c) 16,00 
d) 17,00 
e) 18,00 
 
 
 
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OS: 0215/9/16-Gil 
13. (FCC) Em dezembro de 2007, um investidor comprou um lote de ações de uma empresa por R$ 8.000,00. 
Sabe-se que: em 2008 as ações dessa empresa sofreram uma valorização de 20%; em 2009, sofreram uma 
desvalorização de 20%, em relação ao seu valor no ano anterior; em 2010, se valorizaram em 20%, em 
relação ao seu valor de 2009. De acordo com essas informações, é verdade que, nesses três anos, o 
rendimento percentual do investimento foi de: 
a) 20% 
b) 18,4% 
c) 18% 
d) 15,2% 
e) 15% 
 
14. (FCC) Certo mês, um comerciante promoveu uma liquidação em que todos os artigos de sua loja tiveram os 
preços rebaixados em 20%. Se, ao encerrar a liquidação o comerciante pretende voltar a vender os artigos 
pelos preços anteriores aos dela, então os preços oferecidos na liquidação devem ser aumentados em 
a) 18,5% 
b) 20% 
c) 22,5% 
d) 25% 
e) 27,5% 
 
15. (ESAF) Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e gatos. Dos cães hospedados, 90% agem 
como cães e 10% como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem 
como cães. Observou-se que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha clínica agem como gatos 
e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-se que na clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, 
o número de cães hospedados nessa estranha clínica é: 
a) 50 
b) 10 
c) 20 
d) 40 
e) 70 
 
16. (ESAF) Em um determinado período de tempo, o valor do dólar americano passou de R$ 2,50 no início para 
R$ 2,00 no fim do período. Assim, com relação a esse período, pode-se afirmar que: 
a) O real se valorizou 20% em relação ao dólar. 
b) O real se valorizou 25% em relação ao dólar. 
c) O dólar se desvalorizou 25% em relação ao real. 
d) O real se desvalorizou 20% em relação ao dólar. 
e) O real se desvalorizou 25% em relação ao dólar. 
 
 
Em uma empresa com 200 funcionários, 60% deles são homens, 55% são casados. Sabe-se ainda que a 
porcentagem de mulheres não casadas nessa empresa é 25%. 
 
17. (FGV) Com relação ao total de funcionários, a porcentagem de homens não casados nessa empresa é 
a) 21% 
b) 27% 
c) 40% 
d) 35% 
e) 45% 
 
18. (FGV) O dono de uma loja aumenta os preços durante a noite em 20% e na manhã seguinte anuncia um 
desconto de 30% em todos os produtos. O desconto real que ele está oferecendo em relação aos preços do 
dia anterior é de: 
a) 10% 
b) 12% 
c) 14% 
d) 16% 
e) 18% 
 
19. (FGV) As ações de certa empresa em crise desvalorizaram 20% a cada mês por três meses seguidos. A 
desvalorização total nesses três meses foi de: 
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OS: 0215/9/16-Gil 
a) 60% 
b) 56,6% 
c) 53,4% 
d) 51,2% 
e) 48,8% 
 
20. Um produto sofreu um aumento de 25%. Em seguida, devido a variações no mercado, seu preço teve que ser 
reduzido também em 25%, passando a custar R$ 225,00. O preço desse produto, antes do aumento, era, em 
reais: 
a) 225,00 
b) 240,00 
c) 260,00 
d) 300,00 
e) 320,00 
 
 
21. Das 1200 pessoas entrevistadas numa pesquisa eleitoral, 55% eram mulheres. Das mulheres, 35% eram 
casadas. O número de mulheres casadas participantes da pesquisa foi: 
a) 132 
b) 231 
c) 312 
d) 321 
e) 403 
 
 
22. Dos 3840 candidatos inscritos num Concurso, 15% não compareceram à prova (sendo, portanto, eliminados) 
e 1728 dos que compareceram foram reprovados. O percentual, com relação ao número de inscritos, dos 
candidatos aprovados foi: 
a) 35% 
b) 40% 
c) 45% 
d) 50% 
e) 54% 
 
23. Dona Menina investiu 20% de suas economias comprando Euro e o restante comprando Dólar. Sabendo que 
o Euro valorizou 10% em 6 meses e o Dólar caiu 20% ao final do mesmo período, determine o que aconteceu 
com o investimento que ela fez. 
a) rendeu 10% 
b) reduziu 10% 
c) rendeu 14% 
d) reduziu 14% 
e) rendeu 15% 
 
24. Um produto custava, em certa loja, R$ 200,00. Após dois aumentos consecutivos de 10%, foi colocado em 
promoção com 20% de desconto. Qual o novo preço do produto (em R$)? 
a) 176,00 
b) 192,00 
c) 193,60 
d) 200,00 
e) Nenhuma das respostas anteriores 
 
25. Um vendedor ambulante vende seus produtos com um lucro de 50% sobre o preço de venda. Então, qual o 
seu lucro, sobre o preço de custo? 
a) 50% 
b) 75% 
c) 100% 
d) 150% 
e) 180% 
 
26. O imposto sobre a venda de determinado bem é de 5%. Se o bem foi adquirido por 900 reais e teve um lucro 
de 10% sobre o preço de venda, qual o valor pago de imposto? 
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OS: 0215/9/16-Gil 
a) 45 reais 
b) 50 reais 
c) 70 reais 
d) 90 reais 
e) 95 reais 
 
27. Um comerciante deu um desconto de 20% sobre o preço de venda de uma mercadoria e, mesmo assim, 
conseguiu um lucro de 20% sobre o preço que pagou pela mesma. Se o desconto não fosse dado, seu lucro, 
em porcentagem, seria: 
a) 40% 
b) 45% 
c) 50% 
d) 55% 
e) 60% 
 
28. O preço de um aparelho é P reais. Como eu só possuo X reais, que correspondem a 70% de P, mesmo que 
me fosse concedido um abatimento de 12% no preço, ainda faltariam R$ 54,00 reais para que eu pudesse 
comprar esse aparelho. Nessas condições, a quantia que possuo: 
a) 210,00 
b) 230,00 
c) 250,00 
d) 270,00 
e) 300,00 
 
29. O dono de um supermercado comprou de seu fornecedor um produto por x reais (preço de custo) e passou a 
revende-lo com um lucro de 50%. Ao fazer um dia de promoções, ele deu aos clientes do supermercado um 
desconto de 20% sobre o preço de venda deste produto. Pode-se afirmar que, no dia de promoções, o dono 
do supermercado teve, sobre o preço de custo, 
a) prejuízo de 10% 
b) prejuízo de 5% 
c) lucro de 20% 
d) lucro de 25% 
e) lucro de 30% 
 
30. José e João possuem uma empresa cujo capital é de R$ 150.000,00. José tem 40% de participação na 
sociedade e deseja aumentar a sua participação para 55%. Se João não deseja alterar o valor, em reais, de 
sua participação, o valor que José deve empregar na empresa é: 
a) R$ 110.000,00 
b) R$ 170.000,00 
c) R$ 82.500,00 
d) R$ 90.000,00 
e) R$ 50.000,00 
 
 
GABARITO 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 
D E B B C E A E C C 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
B C D D E B B D E B 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
B B D C C B C A C E 
 
 
 
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Um conjunto é formado por elementos. Dados um conjunto A e um elemento qualquer a (que pode até 
mesmo ser um outro conjunto) a única pergunta cabível em relação à eles é: a é ou não um elemento do conjunto 
A ? No caso afirmativo, diz-se a pertence ao conjunto A e escreve-se a  A. Caso contrário, põe-se a  A e diz-se 
que a não pertence ao conjunto A. Observem que os símbolos  e  são usados apenas de elemento para 
conjunto. 
 
1. Exemplos de Conjuntos 
a) A = { } =  conjunto vazio 
b) B = {}  conjunto unitário 
c) C = {a, b, 2, , ,,}  conjunto finito 
d) D = {1, 3, 5, 7, 9, ...}  conjunto infinito 
 
2. Conjuntos Iguais 
 
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B, reciprocamente, todo elemento 
de B pertence a A. Em símbolos: 
 
A = B  (x)(x A  x B) 
 
2.1. Exemplos de Conjuntos Iguais 
 
a) {a, b, c, d} = {d, c, b, a} = {a, d, b, c} 
b) {2, 4, 6, 8, ...} = {x  Z+* / x é par} 
 
NOMENCLATURA (Apresentação simbólica) 
 
 - conjunto dos números reais 

*
 - conjunto dos números reais não nulos 
+ - conjunto dos números reais não negativos 

*
+ - conjunto dos números reais positivos 
Q - conjunto dos números racionais 
Q
*
 - conjunto dos números racionais não nulos 
Z - conjunto dos números inteiros 
Z+ - conjunto dos números inteiros não negativos 
Z
*
 - conjunto dos números inteiros não nulos 
N - conjunto dos números naturais 
N* - conjunto dos números naturais não nulos 
 - conjunto vazio 
 - símbolo de união entre dois conjuntos 
 - símbolo de intersecção entre dois conjuntos 
 - símbolo de pertinência entre elemento e conjunto 
 - símbolo de inclusão entre dois conjuntos 
 - qualquer que seja 
 
3. Reunião (ou União) de Conjuntos ( U ): 
 
NOÇÕES E OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
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Dados dois conjuntos A e B, chama-se reunião (ou união) de A e B o conjunto formado pelos elementos 
que pertencem a A ou a B. Em símbolos: 
 
A B = {x/ x A ou x B} 
 
 
 
 












Bx e Ax
ou 
Bx e Ax
ou 
Bx e Ax
BAx Se 
 
 
3.1. Exemplos de União de Conjuntos 
a) {a, b}  {c, d} = {a, b, c, d} 
b) {a, b}  {a, b, c, d} = {a, b, c, d} 
c) {a, b}  { } = {a, b} 
 
 
4. Interseção de Conjuntos 
 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseção de A e B o conjunto formado pelos elementos que 
pertencem a A e B. Em símbolos: 
 
A B = {x / x A e x B} 
 
 
 
 
4.1. Exemplos de Interseção de Conjuntos 
a) {a, b, c}  {b, c, d, e} = {b, c} 
b) {a, b}  {c, d} =  
 
Quando A  B = , A e B são denominados 
conjuntos disjuntos. 
 
5. Diferença de Conjuntos 
 
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Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos de A 
que não pertencem a B. Em símbolos: 
 
A – B = {x / x A e x B} 
 
 
 
 
5.1. Exemplos de Diferença de Conjuntos 
 
a) {a, b, c} – {b, c, d, e} = {a} 
b) {a, b} – {a, b, c, d, e} = { } =  
 
 
 
QUESTÕES DE CONCURSOS 
 
 
01. (FGV) Numa escola sabe-se que: 
 
 Existem 30 meninas 
 21 crianças usam óculos 
 13 meninos não usam óculos 
 4 meninas usam óculosPergunta-se: 
 
I. Quantas crianças existem na escola? 
II. Quantas crianças usam óculos ou são meninas? 
III. Quantas crianças não usam óculos ou são meninas? 
 
As respostas são respectivamente: 
a) 60, 47,43 
b) 67, 43,50 
c) 62, 45,55 
d) 60, 43, 47 
e) 43, 35, 28 
02. (FCC) Do total de Agentes que trabalham em certo setor da Assembléia Legislativa de São Paulo, sabe-se 
que, se fossem excluídos os 
 
 do sexo feminino, restariam 15 Agentes; 
 do sexo masculino, restariam 12 Agentes; 
 que usam óculos, restariam 16 Agentes; 
 que são do sexo feminino ou usam óculos, restariam 9 Agentes. 
 
Com base nessas informações, o número de Agentes desse setor que são do sexo masculino e não usam 
óculos é 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
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03. (FGV) Em um grupo de 100 pessoas, sabe-se que: 
 
 15 nunca foram vacinadas; 
 32 só foram vacinadas contra a doença A; 
 44 já foram vacinadas contra a doença A; 
 20 só foram vacinadas contra a doença C; 
 2 foram vacinadas contra as doenças A, B e C; 
 22 foram vacinadas contra apenas duas doenças. 
 
De acordo com as informações, o número de pessoas do grupo que só foi vacinado contra ambas as doenças 
B e C é 
a) 10 
b) 11 
c) 12 
d) 13 
e) 14 
 
 
04. (FCC) Depois de uma campanha publicitária para melhorar o nível de conhecimento e de informação das 
pessoas, os 31 empregados de uma empresa passaram a assinar os jornais C, F e J, da seguinte forma: 
 
 cada um dos empregados assinou pelo menos um dos jornais; 
 2 empregados assinaram os 3 jornais; 
 3 empregados assinaram apenas os jornais C e J; 
 8 empregados assinaram apenas o jornal J; 
 4 empregados assinaram os jornais C e F; 
 13 empregados assinaram o jornal J; 
 16 empregados assinaram o jornal C. 
 
Com base nessas informações, é correto afirmar que: 
 
I. Nenhum empregado assinou apenas os jornais F e J. 
II. 6 empregados assinaram os jornais C e J. 
III. 3 empregados assinaram apenas os jornais C e F. 
IV. 7 empregados assinaram apenas o jornal F. 
V. 10 empregados assinaram apenas o jornal C. 
 
As sentenças verdadeiras são: 
 
a) Apenas I e III. 
b) Apenas I, III e IV. 
c) Apenas II e V. 
d) Apenas I e IV. 
e) Apenas II e IV. 
 
 
05. (FCC) Em uma enquete dez pessoas apreciam simultaneamente as praias J, M e N. Doze outras pessoas 
apreciam apenas a praia N. O número de pessoas que apreciam apenas a praia M é 4 unidades a mais que 
as pessoas que apreciam apenas e simultaneamente as praias J e N. E uma pessoa a mais que o dobro 
daquelas que apreciam apenas a praia M são as que apreciam apenas e simultaneamente as praias J e M. 
Nenhuma outra preferência foi manifestada nessa enquete realizada com 51 pessoas. A sequência de praias 
em ordem decrescente de votação nessa enquete é: 
a) M; N; J 
b) N; M; J 
c) J; N; M 
d) J; M; N 
e) M; J; N 
 
 
06. (CESGRARIO) Considere o conjunto A = {1,2,5,8,{5},{1,2}}. Então a afirmativa correta é: 
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a) 1  A, 5  A, {5}  A, {1,5}  A 
b) 5  A, {5}  A, {5}  A, {{5}}  A 
c) {1,2}  A, {1,2,5}  A, 8  A, {8}  A 
d) 1  A, 2  A, 8  A, {1,2,8}  A 
e)   A,   A, {1,2,5}  A, {}  A 
 
07. (FCC) Considere três conjuntos A, B e C, tais que: n(A) = 28, n(B) = 21, n(C) = 20, n(A  B) = 8, n(B  C) = 9, 
n(A  C) = 4 e n(A  B  C) = 3. Assim sendo, o valor de n((A  B)  C) é: 
a) 3 
b) 10 
c) 20 
d) 21 
e) 24 
 
08. (FCC) Uma pesquisa realizada com 1000 universitários revelou que 280, 400 e 600 desses universitários são 
alunos de cursos das áreas de tecnologia, saúde e humanidades, respectivamente. Ela mostrou também que 
nenhum dos entrevistados é discente de cursos das três áreas e que vários deles fazem cursos em duas 
áreas. Sabendo que a quantidade de estudantes que fazem cursos das áreas de humanidades e saúde é 
igual ao dobro da quantidade dos que realizam cursos das áreas de humanidades e tecnologia que, por sua 
vez, é igual ao dobro dos que fazem cursos das áreas de tecnologia e saúde, a quantidade de entrevistados 
que fazem apenas cursos da área de tecnologia é igual a 
a) 280 
b) 160 
c) 200 
d) 240 
e) 120 
 
09. (FCC) Sabe-se que de um grupo 25 atletas, alguns são baianos e dos 30 baianos, alguns são comerciantes, 
mas nenhum dos 40 comerciantes é atleta. Sabe-se ainda que o número de atletas baianos é o mesmo que 
dos comerciantes baianos, que também é igual ao número de baianos que não são nem atletas nem 
comerciantes. Dessa forma, determine o número de comerciantes que não são baianos. 
a) 35 
b) 30 
c) 25 
d) 20 
e) 15 
 
10. (FCC) Considere dois conjuntos de números A e B com 12 e 15 elementos, respectivamente. Então, sempre 
se pode afirmar que: 
a) A  B terá, no mínimo, 12 elementos. 
b) A  B terá, no mínimo, 15 elementos. 
c) o número máximo de elementos de A  B é igual ao número máximo de elementos de A  B. 
d) o número mínimo de elementos de A  B é igual ao número máximo de elementos de A  B. 
 
11. (CESGRANRIO) Supondo que: 
 
 
A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 
 
A  B = {4, 5} 
 
A – B = {1, 2, 3}, então B é: 
 
a) {6, 7, 8} 
b) {4, 5, 6, 7, 8} 
c) {1, 2, 3, 4} 
d) {4, 5} 
e)  
 
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12. (ESAF) Um clube oferece, a seus associados, aulas de três modalidades de esporte: natação, tênis e futebol. 
Nenhum associado pode se inscrever, simultaneamente, em tênis e futebol, pois, por problemas 
administrativos, as aulas destes dois esportes serão dadas no mesmo horário. Encerradas as inscrições, 
verificou-se que: dos 85 inscritos em natação, 50 só farão natação; o total de inscritos para as aulas de tênis 
foi de 17 e, para futebol, de 38; o número de inscritos só para as aulas de futebol excede em 10 o número de 
inscritos só para as de tênis. O número de inscritos, simultaneamente, para aulas de futebol e natação é: 
a) 80 
b) 53 
c) 37 
d) 23 
e) 9 
 
13. (FCC) Uma pesquisa foi realizada e nela constatou-se que, dentre os entrevistados, 70 possuíam carro e 
moto, 220 possuíam apenas um dos veículos (ou carro ou moto), 210 possuíam moto e 170 não possuíam 
carro. Com essas informações, determine quantas pessoas, no mínimo, foram entrevistadas. 
a) 472 pessoas. 
b) 410 pessoas. 
c) 370 pessoas. 
d) 320 pessoas. 
e) 310 pessoas. 
 
14. (FGV) Considere A = {1, 2, 3, 4, 5, 8}, B = {1, 4, 7, 8} e C = {2, 6, 8, 9}. Assinale abaixo o conjunto que 
corresponde ao conjunto (A  B) - C 
a) {1, 4} 
b) {1, 4, −2, −6, −9} 
c) {1, 4, 8} 
d) {2, 3, 5, 7} 
e) {2, 4, 8} 
 
15. (CESGRANRIO) Uma prova com duas questões foi dada a uma classe de quarenta alunos. Dez alunos 
acertaram as duas questões, 25 acertaram a primeira questão e 20 acertaram a segunda questão. Quantos 
alunos erraram as duas questões? 
a) 5. 
b) 6. 
c) 7. 
d) 8. 
e) 9. 
 
16. (CESGRANRIO) Uma pesquisa sobre a preferência dos leitores entre três jornais, apresentou o seguinte 
resultado: Jornal A, 48%; Jornal B, 45%; Jornal C, 50%; A e B, 18%; B e C, 25%; A e C, 15%; nenhum dos 
três, 5%. Qual a porcentagem dos entrevistados que lêem os três jornais? 
a) 5% 
b) 10% 
c) 12% 
d) 15% 
e) 17% 
17. (FGV) Dados os conjuntos A={a,b,c,d,e,f,g}, B={b,d,g,h,i} e C={e,f,m,n}. Assinale a alternativacorreta. 
a) A – B = {c,e,f} 
b) B – C = {g,h,i} 
c) A  B = {b,d} 
d) A  C = {a,b,c} 
e) A – B = {a,c,e,f} 
 
18. (FGV) Dados os conjuntos A = {0,1,2}, B = {2,3}, C = {0,1,2,3,4}. Assinale a alternativa correta. 
a) A  B = {2,3} 
b) A  B = {3} 
c) A  B 
d) A  C 
e) A  B 
 
19. (FGV) Numa pequena pesquisa, foram feitas as seguintes perguntas para que respondessem sim ou não: 
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Gosta de futebol? Gosta de basquete? 
 
Responderam sim à primeira pergunta 90 pessoas; 70 responderam sim à segunda; 25 responderam sim a 
ambas; e 40 responderam não a ambas. 
 
Quantas pessoas foram entrevistadas? 
 
a) 165. 
b) 170. 
c) 175. 
d) 185. 
e) 190. 
 
20. (FGV) Dado um conjunto A, chamamos subconjunto próprio não vazio de A a qualquer conjunto que pode ser 
formado com parte dos elementos do conjunto A, desde que: 
 
 algum elemento de A seja escolhido; 
 
 não sejam escolhidos todos os elementos de A. 
 
Sabemos que a quantidade de subconjuntos próprios não vazios de A é 14. A quantidade de elementos de A 
é igual a: 
 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
 
21. (FCC) Uma pesquisa de opinião foi realizada com 50 pessoas. Essa pesquisa procurava saber que veículos 
de comunicação (jornal, rádio ou televisão) essas pessoa utilizam para tomar conhecimento das notícias 
diariamente. Após a pesquisa, descobriu-se que: 
41 pessoas utilizam televisão; 
33 pessoas utilizam jornal; 
30 pessoas utilizam rádio; 
29 pessoas utilizam televisão e jornal; 
25 pessoas utilizam televisão e rádio; 
21 pessoas utilizam jornal e rádio; 
18 pessoas utilizam os três veículos. 
A quantidade de pessoas que não utilizam nenhum dos três veículos é 
a) 4 
b) 1 
c) 0 
d) 2 
e) 3 
22. (ESAF) Em um grupo de 30 pessoas, há brasileiros e estrangeiros. Há, nesse grupo, 7 mulheres estrangeiras 
e 13 homens brasileiros. Considerando-se brasileiros e estrangeiros, há, ao todo, 21 homens no grupo. A 
quantidade de mulheres brasileiras é 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
23. (FCC) Sejam A = {0,1,2,3} e B = {0,2,4} dois conjuntos. Com relação aos conjuntos A e B, analise as 
afirmativas a seguir: 
 
I. B  A 
II. A  B = {0,1,2,3,4} 
III. A  B = {0,2} 
 
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Está(ão) correta(s) somente 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) I e II. 
e) II e III. 
 
24. (FGV) Analisando-se a situação administrativa de cada um dos 84 funcionários de uma empresa, verificou-se 
que 68 funcionários fizeram o exame médico anual, 52 tomaram a vacina de gripe (sugerida pela empresa) e 
13 não fizeram exame médico nem tomaram a vacina. O número de funcionários que fizeram o exame e 
tomaram a vacina é de 
a) 41 
b) 43 
c) 45 
d) 47 
e) 49 
 
25. (FGV) De um grupo de 30 jogadores do futebol mato‐grossense, 24 chutam com a perna direita e 10 chutam 
com a perna esquerda. Desse grupo de 30 jogadores, a quantidade daqueles que chutam somente com a 
perna esquerda é 
a) 3. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 6. 
e) 7. 
 
26. (FCC) Em um armário só há bolsas de sangue dos tipos A e O, sendo que 55% são do tipo O. 
Do total de bolsas no armário, 75% contém sangue com fator Rh positivo. 
Das bolsas de sangue com fator positivo, 40% contêm sangue do tipo A. 
Do total de bolsas no armário, a porcentagem das bolsas que contêm sangue do tipo O com fator Rh negativo 
é 
a) 8% 
b) 10% 
c) 15% 
d) 20% 
e) 25% 
 
27. (ESAF) Em um conjunto de 100 objetos, todo objeto do tipo B também é dos tipos A ou C. Apenas um objeto 
é simultaneamente dos tipos A, B e C. Há 25 objetos que são somente do tipo A e 9 objetos são 
simultaneamente dos tipos A e B. Vinte objetos não são de nenhum dos tipos A, B ou C. A quantidade de 
objetos do tipo C é 
a) 46. 
b) 47. 
c) 48. 
d) 49. 
e) 50. 
 
 
 
A respeito das auditorias realizadas pelos auditores A1, A2 e A3 de um tribunal de contas, concluiu-se 
que: 
 
 A1 realizou 70 auditorias; 
• A3 realizou 75 auditorias; 
• A1 e A3 realizaram, juntos, 55 auditorias; 
• A2 e A3 realizaram, juntos, 30 auditorias; 
• A1 e A2 realizaram, juntos, 20 auditorias; 
• das auditorias que não foram realizadas por A1, somente 18 foram realizadas por A2; 
• A1, A2 e A3 realizaram, juntos, 15 auditorias. 
 
Com base nessas informações, julgue o item a seguir. 
 
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28. (CESPE) Mais de 100 auditorias foram realizadas. 
 
 
 
29. (CESPE) 20 auditorias foram realizadas apenas por A1. 
 
 
 
30. (CESPE) 5 auditorias foram realizadas apenas por A3. 
 
 
 
31. (CESPE) 23 auditorias não foram realizadas por A1. 
 
 
 
Uma pesquisa na qual os 40 alunos de uma disciplina deveriam responder SIM ou NÃO às perguntas P1 e 
P2 apresentadas a eles, mostrou o seguinte resultado: 
 
 28 responderam SIM à pergunta P1; 
 22 responderam SIM à pergunta P2; 
 5 responderam NÃO às 2 perguntas. 
 
Com base nessas informações, julgue o item subsecutivo. 
 
32. (CESPE) Mais de 10 alunos responderam SIM às duas perguntas. 
 
 
 
Considerando que os conjuntos A, B e C tenham, respectivamente, 19, 28 e 31 elementos; o conjunto 
A  B  C tenha 4 elementos e os conjuntos A  B, A  C e B  C tenham, respectivamente, 11, 7 e 13 
elementos, é correto afirmar que 
 
33. (CESPE) o conjunto C – (A  B) tem menos de 18 elementos. 
 
 
 
 
34. (CESPE) o conjunto A  B tem mais de 38 elementos. 
 
 
 
35. (CESPE) o conjunto (A  B) - (B  C) tem exatamente 15 elementos. 
 
 
 
36. (CESPE) o conjunto 
)( CBA
BC

tem exatamente 24 elementos. 
 
 
 
37. (CESPE) Feito exame de sangue em um grupo de 200 pessoas, constatou-se o seguinte: 80 delas têm 
sangue com fator Rh negativo, 65 têm sangue tipo O e 25 têm sangue tipo O com fator Rh negativo. O 
número de pessoas com sangue de tipo diferente de O e com fator Rh positivo é superior a 90. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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19 
 
OS: 0215/9/16-Gil 
Uma pesquisa realizada com um grupo de 35 técnicos do MPU a respeito da atividade I – planejamento 
estratégico institucional – e da atividade II – realizar estudos, pesquisas e levantamento de dados – 
revelou que 29 gostam da atividade I e 28 gostam da atividade II. Com base nessas informações, julgue os 
itens que se seguem. 
 
38. (CESPE) Se 4 técnicos desse grupo não gostam de nenhuma das atividades citadas, então mais de 25 
técnicos gostam das duas atividades. 
 
 
 
 
39. (CESPE) Infere-se dos dados que a quantidade mínima de técnicos desse grupo que gostam das duas 
atividades é superior a 20. 
 
 
 
 
40. (CESPE) Em um grupo de 100 pessoas, sabe-se que: 
 
 15 nunca foram vacinadas; 
 32 só foram vacinadas contra a doença A; 
 44 já foram vacinadas contra a doença A; 
 20 só foram vacinadas contra a doença C; 
 2 foram vacinadas contra as doenças A, B e C; 
 22 foram vacinadas contra apenas duas doenças. 
 
De acordo com as informações, o número de pessoas do grupo que só foi vacinado contra ambas as doenças 
B e C é superior a 10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 
A E C D E B BB B B 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
B D D A A B E D C A 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
E A E E D B B E E C 
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 
C C C E E C E C C C 
 
 
 
 
 
 
 
 
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OS: 0215/9/16-Gil 
ARITMÉTICA BÁSICA E RELAÇÃO DE ORDEM NOS INTEIROS 
 
 
 
“As equações são mais importantes para mim que a política, pois esta é feita para o 
presente, enquanto que as primeiras são algo para a Eternidade.” 
 
 ALBERT EINSTEIN 
 
 
 
 Conjunto dos Números Naturais 
 
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
 
 
 Conjunto dos Números Naturais Não-Nulos 
 
N* = N – {0} = {1, 2, 3, 4, ...} 
 
 
 Conjunto dos Números Inteiros 
 
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
 
 Conjunto dos Números Inteiros Não-Nulos 
 
Z* = Z – {0} = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...} 
 
 
 Conjunto dos Números Inteiros Não-Negativos 
 
Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} 
 
 
 Conjunto dos Números Inteiros Não-Positivos 
 
Z_ = {..., –3, –2, –1, 0} 
 
 
 Conjunto dos Números Inteiros Positivos 
 
Z+* = Z+ – {0} = {1, 2, 3, ...} 
 
 
 Conjunto dos Números Inteiros Negativos 
 
Z_* = Z_ – {0} = {..., –3, –2, –1} 
 
 
 Conjunto dos Números Racionais 
 






 0q com Zqp, ;
q
p
x/xQ 
 
 
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 Propriedades 
 
 Todo número que pode ser escrito na forma de fração é um número racional. 
 Todo número inteiro é um número racional. 
 Todo número decimal exato é um número racional. 
 Toda dízima periódica, seja ela simples ou composta, é um número racional. 
 
 
 Conjunto dos Números Irracionais 
 
 






 0q com Zqp, ;
q
p
x/xΙQ 
 
 ...4142,12   e = 2,71828...   = 3,14159... 
 
 
 Conjunto dos Números Reais 
 
QQR  
 
 Conjunto dos Números Complexos 
 
C = {z/z = a + bi com a, b  R e i2 = -1} 
 
 
RESUMO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS (DIAGRAMA DE VENN) 
 
 
 
 
 Naturais e Inteiros 
 
Todos os naturais e inteiros podem ser escritos como fração. Afinal, eles representam divisões exatas. 
 
Exemplos: 
5
10
1
2
2  
5
30
1
6
6



 
8
0
1
0
0  
2
18
1
9
981  
 
 Decimais 
Esse número pode ser escrito na forma fracionária colocando-se o número sem vírgula sobre 1 seguido de 
tantos zeros quanto forem as casas decimais, ou seja, após a virgula. 
 
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Exemplos: 
10
4
4,0  
100
12
12,0  
1000
8125
125,8  
10
15
100
225
25,2  
 
 Dizima Periódica Simples 
Nem toda dízima pode ser escrita em forma de fração, só as periódicas. No caso das simples, elas possuem 
apenas uma parte periódica, ou seja, que se repete. Para transformar em fração, basta escrever o número que se 
repete, sobre tantos noves quantos forem os algarismos que se repetem. 
 
Exemplos: 
9
4
...444,04,0  
999
125
....125125125,0125,0  
99
12
...121212,012,0  
9999
5526
....265526552655,05526,0  
 
 Dizima Periódica Compostas 
No caso das compostas, elas possuem um parte não periódica (que não se repete) e outra parte periódica 
(que se repete). Para transformar em uma fração equivalente você pode escrever a parte não periódica seguida 
da parte periódica, menos a parte não periódica, tudo sobre tantos noves quantos forem os algarismos que se 
repetem seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos que estão após a vírgula. 
 
Exemplos: 
90
221
90
24245
...4555,254,2 

 
990
5331
990
535384
...3848484,5843,5 

 
900
4846
900
5385384
...38444,5438,5 

 
900
1985
900
2202205
...20555,2520,2 

 
990
804
990
8812
...8121212,0128,0 

 
999
5379
999
55384
...384384384,5384,5 

 
 
INTERVALOS REAIS 
 
 [a, b] =  bxa/Rx  
 
 
 
 ]a, b[ =  bxa/Rx  
 
 
 
 [a, b[ =  bxa/Rx  
 
 
 
 ]a, b] =  bxa/Rx  
 
 
 
 
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 [a, + [ =  ax/Rx  
 
 
 
 ] –, a] =  ax/Rx  
 
 
 
 ] –, + [ = R 
 
 
Observação 
 
 Um número p é chamado de primo quando ele admite apenas dois divisores naturais (1 e p). 
 Quando um número não é primo dizemos que ele é composto. 
 Existem infinitos números primos. 
 
Importante 
 
Dois números naturais a e b são ditos primos entre si ou relativamente primos, se e somente se, o MDC 
(a, b) = 1. 
 
 
DIVISÃO EM N 
 
 Algoritmo da Divisão 
 
 
Onde: D = dq + r Obs.: r < d (sempre!!!) 
 
 Critérios de Divisibilidade 
Divisibilidade Condição 
por 2 Se termina em número par. 
por 3 Se a soma dos algarismos é múltiplo de 3. 
por 4 Se seus dois últimos algarismos é 00 ou é um múltiplo de 4. 
por 5 Se termina em 0 ou em 5. 
por 6 Se é divisível por 2 e por 3. 
por 8 Se seus três últimos algarismos é 000 ou é um múltiplo de 8. 
por 9 Se a soma dos algarismos é múltiplo de 9. 
por 10 Se termina em 0. 
por 12 Se é divisível por 3 e por 4. 
 
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 Extras 
 
 Divisibilidade por 7 
 
Separa-se o algarismo das unidades do restante, então a diferença entre esse número e o dobro do algarismo das 
unidades, tem que ser divisível por 7. 
 
 Divisibilidade por 11 
 
A diferença entre as somas dos algarismos de ordem ímpar e de ordem par (ou somar e subtrair os algarismos 
alternadamente) resulta em um n
o
 divisível por 11. 
 
Dica 
 
O resto da divisão por 9 de um número natural é igual ao resto da divisão por 9 da soma dos algarismos 
desse número. 
 
 Múltiplos de um Número Natural 
 
M(1) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...} 
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...) 
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, ...} 
.............................................. 
M(x) = {0, x, 2x, 3x, 4x, 5x, ...} 
 
 Divisores de um Número Natural 
 
D(1) = {1} 
D(2) = {1, 2} 
D(3) = {1, 3} 
D(4) = {1, 2, 4} 
D(5) = {1, 5} 
D(6) = {1, 2, 3} 
D(7) = {1, 7} 
D(8) = {1, 2, 4, 8} 
 
Observação 
 
 Um número p é chamado de primo quando ele admite apenas dois divisores naturais (1 e p). 
 Quando um número não é primo dizemos que ele é composto. 
 Existem infinitos números primos. 
 
 MMC e MDC 
 
MMC  mínimo (ou menor) múltiplo comum 
 
 
O m.m.c de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-
comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente. 
 
 
 
MDC  máximo (ou maior) divisor comum 
 
 
O m.d.c de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada 
um elevado ao menor expoente. 
 
 
 
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Exemplos: 
 
M(12) = {12, 24, 36, 48, 60, ...} D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 
M(18) = {18, 36, 54, 72, 90, ...} D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} 
MMC(12, 18) = 36 MDC(12, 18) = 6 
 
 
Observação 
 
Podemos calcular o MMC e o MDC de uma quantidade qualquer de números. 
 
 
 
Importante 
 
Dois números naturais a e b são ditos primos entre si ou relativamente primos, se e somente se, o MDC(a, b) = 1. 
 
 
 Relação entre MMC e MDC 
 
MMC(a, b)  MDC(a, b) = a  b 
 
 
FRAÇÕES 
 
 Representação 
 
b
a
 ou b
a
 
 
a  numerador e b  denominador 
 
 Número Misto 
 
c
bAc
c
b
A
c
b
A

 
 
 Soma e Subtração 
 
db
bcda
d
c
b
a


 
 
 Multiplicação 
 
db
ca
d
c
b
a


 
 
 Divisão 
 
c
d
b
a
d
c
b
a
 
 
 
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 Inversão 
 
a
b
b
a
1










 
 
 
Importante 
 
d
c
b
a
  ad = bc 
db
ca
d
c
b
a


 
 
 Se a = kb  a/b = k, dizemos que a é diretamente proporcional à b. 
 Se a = k/b  ab = k, dizemos que a é inversamente proporcional à b. 
 k constante de proporcionalidade 
 
 
 
QUESTÕES DE CONCURSOS 
 
 
01. (FCC) Três irmãos, Maria, José e Pedro, receberam respectivamente 1/2, 1/3 e 1/9 de uma determinada herança. 
A fração desta herança que não foi distribuída entre estes irmãos foi de: 
a) 2/3 
b) 8/9 
c) 1/2 
d) 1/18 
 
02. (FCC) Fiz compras em 5 lojas, gastando em cada uma delas a metade do que eu tinha no bolso. Na saída 
paguei R$ 2,00 de estacionamento e ainda me restaram R$ 20,00. Ao entrar na primeira loja eu tinha: 
a) R$ 704,00 
b) R$ 640,00 
c) R$ 1.408,00 
d) R$ 1.280,00 
 
03. (VUNESP) Uma costureira tem quatro carreteis de fitas com, respectivamente, 164 m, 136 m, 112 m e 84 m. 
Ela precisa cortar essas fitas em pedaços de mesmo comprimento, sendo cada pedaço o maior possível. O 
número máximo de pedaços obtidos e o comprimento, em metros de cada pedaço, serão, respectivamente, 
a) 124 e 6. 
b) 124 e 4. 
c) 132 e 4. 
d) 132 e 6. 
e) 184 e 8. 
 
04. (FCC) Uma pessoa gasta 1/4 do dinheiro que tem e, em seguida, 2/3 do que lhe resta, ficando com 
R$350,00. Quanto tinha inicialmente? 
a) 1600 
b) 1400 
c) 1000 
d) 700 
 
05. (VUNESP) Na câmara municipal de certa cidade, os vereadores estabeleceram que, a cada 4 dias úteis, 
haveria atendimento aos munícipes e, a cada 5 dias úteis, haveria uma sessão deliberativa. Em um certo mês 
sem feriados ou pontos facultativos, o atendimento ao público e a reunião deliberativa ocorreram no mesmo 
dia 2, uma segunda-feira. A próxima coincidência, em que atendimento e reunião ocorrerão no mesmo dia, ou 
seja, na mesma data, será no dia 
 
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27 
 
OS: 0215/9/16-Gil 
a) 27. 
b) 28. 
c) 29. 
d) 30. 
e) 31. 
 
06. (FCC) Sobre um curso de treinamento para funcionários de uma empresa, que teve a duração de três meses, 
sabe-se que: 
5
1
 
dos que participaram, desistiram ao longo do primeiro mês do curso; ao longo do segundo 
mês desistiram 
8
1 dos remanescentes do mês anterior. Considerando que no terceiro mês não houve 
desistentes, então, se 21 pessoas concluíram o curso, a quantidade inicial de participantes era um número 
a) maior que 32. 
b) compreendido entre 22 e 29. 
c) menor que 25. 
d) divisível por 7. 
e) par. 
 
07. Semanalmente, o apresentador de um programa televisivo reparte uma mesma quantia em dinheiro 
igualmente entre os vencedores de um concurso. Na semana passada, cada um dos 15 vencedores recebeu 
R$ 720,00. Nesta semana, houve 24 vencedores; portanto, a quantia recebida por cada um deles, em reais, 
foi de 
a) 675,00. 
b) 600,00. 
c) 450,00. 
d) 540,00. 
e) 400,00. 
 
08. Por um terminal de ônibus passam dez diferentes linhas. A mais movimentada delas é a linha 1: quatro em 
cada sete usuários do terminal viajam nessa linha. Cada uma das demais linhas transporta cerca de 1.300 
usuários do terminal por dia. Considerando que cada passageiro utiliza uma única linha, a linha 1 transporta 
por dia cerca de 
a) 5.200 usuários do terminal. 
b) 9.100 usuários do terminal. 
c) 13.000 usuários do terminal. 
d) 15.600 usuários do terminal. 
e) 18.200 usuários do terminal. 
 
09. (FCC) Um número natural N tem três algarismos. Quando dele subtraímos 396 resulta o número que é obtido 
invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Se, além disso, a soma do algarismo das centenas e do 
algarismo das unidades de N é igual a 8, então o algarismo das centenas de N é: 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
 
10. (FCC) Considere o número de 9 algarismos, dos quais o algarismo das unidades é n e todos os demais são 
iguais a 2. (Isto é: o número 22222222n). 
O valor de n a fim de que este número seja divisível por 6 é: 
a) 2 ou 8 
b) 2 ou 7 
c) 0 ou 6 
d) 3 ou 9 
e) 4 
 
11. (FCC) Inaugurada em 1900, a torre Eiffel construída pelo engenheiro francês de ascendência germânica 
Gustavo Eiffel (1832-1923) é visita obrigatória de quem vai a Paris. Um grupo de 40 turistas pagou 280 
francos pela visita, onde o custo dos ingressos era de 10 francos para adultos e 5 francos para crianças até 
12 anos. 
Quantos adultos e crianças faziam parte desse grupo? 
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28 
 
OS: 0215/9/16-Gil 
a) 20 adultos e 20 crianças 
b) 16 adultos e 24 crianças 
c) 24 adultos e 16 crianças 
d) 15 adultos e 25 crianças 
e) 25 adultos e 15 crianças 
 
12. O consumo de combustível de um trator de arado, por tempo de trabalho, é de 18 litros por hora. Esse 
mesmo consumo, por área trabalhada, é de 15 litros por hectare. Podemos estimar que, em 10 horas de 
trabalho, esse trator poderá arar cerca de: 
a) 12 hectares 
b) 15 hectares 
c) 8 hectares 
d) 6 hectares 
e) 10 hectares 
 
13. (FCC) Determine o valor do algarismo X, tal que o número 321X8, seja divisível por 12. 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 6 
 
14. (FCC) Numa divisão o quociente é 3 e o resto 6. A soma do dividendo, do divisor, do quociente e do resto é 
107. Qual a diferença entre o dividendo e o divisor? 
a) 23 
b) 75 
c) 52 
d) 58 
e) 79 
 
15. (ACEP) Sejam os números A = 2
3
 . 3
2
 . 5 e B = 2 . 3
3
 . 5
2
. O MDC e o MMC entre A e B valem, 
respectivamente: 
a) 2 . 3
2
 . 5 e 2
3
 . 3
3
 . 5
2
 
b) 2 . 5
2
 . 5
2
 e 2
2
 . 3
2
 . 5 
c) 2 . 3 . 5 e 2
3
 . 3
3
 . 5
2
 
d) 2
2
 . 3
2
 . 5 e 2 . 3
2
 . 5 
e) 2
3
 . 3
2
 . 5
2
 e 2 . 3
3
 . 5
2
 
 
16. (VUNESP) O IPTU (imposto predial e territorial urbano), pago anualmente pelos proprietários de imóveis nas 
cidades às respectivas prefeituras, é calculado proporcionalmente à área do lote de terreno, adicionado ao 
cálculo proporcional da área construída e adicionado também à taxa fixa, relativa aos serviços de 
manutenção, limpeza e recolhimento de resíduos. 
Neste ano, em determinado bairro, o metro quadrado de terreno é taxado a R$ 1,20, e o metro quadrado da 
área construída é taxado a R$ 1,00. A taxa de manutenção é fixada em R$ 180,00. Assim, o proprietário de 
uma casa de 120 m
2
 construída num lote de 300 m
2
 está pagando de IPTU 
a) R$ 360,00. 
b) R$ 420,00. 
c) R$ 480,00. 
d) R$ 520,00. 
e) R$ 660,00.17. Se x = 0,949494... e y = 0,060606..., então x + y é igual a 
a) 1,01. 
b) 1,11. 
c) 
9
10 . 
d) 
99
100 . 
e) 
9
110 . 
 
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29 
 
OS: 0215/9/16-Gil 
18. (FCC) Suponha que da estação rodoviária de Montes Claros saia um ônibus para o bairro Santos Reis, a 
cada 45 minutos, e um ônibus para o bairro Independência, a cada 50 minutos. Suponha, ainda, que a 
primeira saída conjunta do dia ocorra às 6 horas da manhã. A que horas, depois da primeira saída conjunta, 
ocorrerá a próxima? 
a) 21h 15min 
b) 13h 30min 
c) 19h 20min 
d) 16h 50min 
 
19. (FCC) Uma faixa retangular de tecido deverá ser totalmente recortada em quadrados, todos de mesmo 
tamanho e sem deixar sobras. Esses quadrados deverão ter o maior tamanho (área) possível. Se as 
dimensões da faixa são 105 cm de largura por 700 cm de comprimento, o perímetro de cada quadrado, em 
centímetros, será: 
a) 28 
b) 60 
c) 100 
d) 140 
e) 280 
 
20. (FCC) Considere um número inteiro formado por cinco algarismos cuja representação na base dez seja 
abcde. Considere também o fato de que um número dessa forma é divisível por 11 se, e somente se, a + c + 
e – b – d for divisível por 11. Com base nessas condições, assinale a alternativa na qual consta um número 
divisível por 11. 
a) 50623 
b) 65432 
c) 71819 
d) 78321 
e) 83621 
 
21. Lucas deve comprar exatamente 75 latas de refrigerante para a sua festa de aniversário. O mercado próximo 
à sua casa oferece pacotes com seis latas por R$ 13,00 e latas vendidas separadamente por R$ 2,40 a 
unidade. Pergunta-se: qual a despesa mínima, em reais, de Lucas na compra das 75 latas? 
a) 163,20 
b) 169,00 
c) 156,00 
d) 156,20 
 
22. (VUNESP) Em determinada casa de espetáculos, paga-se um ingresso de R$ 30,00 aos quais serão 
acrescidos R$ 6,50 cada vez que o espectador solicitar uma bebida ou um petisco. Se, em uma mesa 
ocupada por 4 pessoas, o gasto total, incluindo os ingressos, foi de R$ 198,00, a quantidade de bebidas e 
petiscos consumida foi de 
a) 8. 
b) 9. 
c) 10. 
d) 11. 
e) 12. 
 
23. (VUNESP) Uma pessoa precisa quadricular uma placa retangular de papelão de 1,80 m de comprimento por 
92 cm de largura. A figura mostra uma parte do quadriculado. 
 
 
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Sabendo-se que todos os quadradinhos são iguais e de maior lado possível, e que a placa toda foi 
quadriculada, sem que ocorresse nenhuma sobra, então, o número total de quadradinhos desenhados nessa 
placa foi 
a) 1 035. 
b) 1 050. 
c) 1 300. 
d) 1 350. 
e) 1 500. 
 
24. (VUNESP) Uma impressora de uma gráfica trabalha, sem interrupção, durante o dia todo, e está 
apresentando três tipos de falhas: A, B e C, nos papéis impressos. Às 8 horas da manhã, essa impressora 
apresentou os três tipos de falhas, ao mesmo tempo, na folha que estava sendo impressa. Sabendo que a 
falha A ocorre a cada 30 minutos, a falha B, a cada 45 minutos, e a falha C, a cada 50 minutos, então, as três 
falhas, A B e C, voltarão a aparecer juntas, em uma mesma folha de papel, às 
a) 16h e 50 min. 
b) 16h e 30 min. 
c) 16h e 05 min. 
d) 15h e 50 min. 
e) 15h e 30 min. 
 
25. Os números de identificação utilizados no cotidiano (de contas bancárias, de CPF, de Carteira de Identidade 
etc) usualmente possuem um dígito de verificação, normalmente representado após o hífen, como em 
17326 9. Esse dígito adicional tem a finalidade de evitar erros no preenchimento ou digitação de 
documentos. Um dos métodos usados para gerar esse dígito utiliza os seguintes passos: 
 
 multiplica-se o último algarismo do número por 1, o penúltimo por 2, o antepenúltimo por 1, e assim por 
diante, sempre alternando multiplicações por 1 e por 2. 
 soma-se 1 a cada um dos resultados dessas multiplicações que for maior do que ou igual a 10. 
 somam-se os resultados obtidos. 
 calcula-se o resto da divisão dessa soma por 10, obtendo-se assim o dígito verificador. 
 
O dígito de verificação fornecido pelo processo acima para o número 24685 é 
a) 1. 
b) 2. 
c) 4. 
d) 6. 
e) 8. 
 
26. (FCC) A idade de Ricardo, hoje, é igual à idade de sua esposa Luíza mais 3/4 da idade dela. Sabendo-se que 
há 10 anos a idade de Ricardo era o dobro da idade de sua esposa. Qual a soma das idades de Ricardo e 
Luíza, hoje? 
a) 40 
b) 70 
c) 110 
d) 150 
e) 190 
 
27. (ACEP) Um certo número de ingressos para um show foi dividido igualmente entre os alunos presentes em 
uma sala de aula. Sabe-se que, se houvesse 8 alunos a mais na sala, cada um deles receberia 1 ingresso a 
menos e se houvesse 10 alunos a menos, cada um receberia 2 ingressos a mais. Nessas condições, é 
correto afirmar que o número de ingressos que coube a cada aluno presente foi 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
28. Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A compra foi entregue, embalada em 10 
caixas, com 24 frascos em cada caixa. Sabendo-se que cada caixa continha 2 frascos de detergentes a mais 
no aroma limão do que no aroma coco, o número de frascos entregues, no aroma limão, foi: 
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a) 110 
b) 120 
c) 130 
d) 140 
e) 150 
 
29. As moedas de 10 e 25 centavos de real tem, praticamente, a mesma espessura. 162 moedas de 10 centavos 
e 90 moedas de 25 centavos serão empilhadas de modo que, em cada pilha, as moedas sejam do mesmo 
tipo e todas as pilhas tenham a mesma altura. O menor número possível de pilhas é: 
a) 12 
b) 13 
c) 14 
d) 15 
e) 16 
 
30. (ESAF) Uma sentinela vigia uma ponte que tem capacidade de suportar apenas 100 pessoas de cada vez, 
cabendo-lhe indagar o tamanho de cada destacamento que atravessa a ponte. O capitão de um desses 
destacamentos respondeu à sentinela que, para chegar a 100, ele deveria tomar o número de pessoas do 
seu destacamento, e: 
 
 dobrar esse número; 
 acrescentar a metade desse número; 
 somar mais um quarto desse número; e 
 incluir ele próprio. 
 
Qual o tamanho deste destacamento? 
a) 30 
b) 32 
c) 35 
d) 36 
e) 40 
 
31. (FCC) Um galpão na forma de um paralelepípedo reto de dimensões 30m, 72m e 6m deve ser preenchido 
completamente com caixas cúbicas de mesmo volume. 
Qual o menor número de caixas a serem utilizadas? 
a) 80 
b) 70 
c) 60 
d) 50 
e) 40 
 
32. (ESAF) A Editora do livro Como ser aprovado no vestibular, recebeu os seguintes pedidos: 
 
Livraria N
o
 de exemplares 
A 130 
B 195 
C 390 
 
A Editora deseja remeter os três pedidos em n pacotes iguais, de tal forma de n seja o menor possível. 
Calcule o valor de n. 
a) 10 
b) 11 
c) 12 
d) 13 
e) 14 
 
 
33. (FCC) Qual o valor de a+b, se 
b
a
 é a fração irredutível equivalente a 
...222,1
...444,3 ? 
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a) 
9
42 
b) 
9
21 
c) 21 
d) 42 
 
34. Três vendedores viajam a serviço para uma empresa. O primeiro viaja de 12 em 12 dias, o segundo de 16 em 
16 dias e o terceiro de 20 em 20 dias. Se todos viajarem hoje, calcule daqui quantosdias eles voltarão a 
viajar no mesmo dia. 
a) 220 dias. 
b) 120 dias. 
c) 240 dias. 
d) 250 dias. 
e) 180 dias. 
 
35. (VUNESP/2015) Em uma papelaria, há uma caixa com 65 borrachas verdes, 40 azuis e 80 brancas. O dono 
dessa papelaria quer separá-las em pacotes pequenos, cada um com o mesmo número de borrachas, na 
maior quantidade possível e de modo que cada pacote contenha borrachas de uma só cor. A diferença entre 
o número de pacotes contendo borrachas brancas e o número de pacotes contendo borrachas verdes, nesta 
ordem, é 
a) 3. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 6. 
e) 7. 
 
36. (ACEP) Júnior possui uma fazenda onde recolhe 45 litros de leite de cabra por dia, que são utilizados na 
fabricação de queijo. Com cada 5 litros de leite, ele fabrica 1kg de queijo. O queijo fabricado é então dividido 
em porções de 125g que são empacotadas em dúzias. Cada pacote é vendido por R$ 6,00 . Quanto Júnior 
arrecada por dia com a venda do queijo? 
a) R$ 35,00 
b) R$ 34,00 
c) R$ 33,00 
d) R$ 37,00 
e) R$ 36,00 
 
 
37. (VUNESP/2015) Um acampamento de escoteiros reuniu 72 representantes de uma cidade, 54 de outra e 84 
de uma terceira cidade. Para uma das atividades, os escoteiros foram divididos no menor número de grupos 
possível, garantindo que em cada grupo todos fossem da mesma cidade e que todos os grupos tivessem o 
mesmo número de pessoas. O total de grupos assim formados é igual a 
a) 5. 
b) 7. 
c) 35. 
d) 70. 
e) 105. 
 
 
38. (VUNESP/2015) O dono de um pequeno mercado comprou menos de 200 limões e, para vendê-los, poderá 
fazer pacotes contendo 12, ou 15, ou 18 limões em cada um deles, utilizando, dessa forma, todos os limões 
comprados. Após vender 5 pacotes com 12 limões em cada um, decidiu redistribuir os demais limões em 
pacotes menores, contendo 6 limões em cada um. O número de pacotes, feitos com 6 limões cada um, foi 
a) 12. 
b) 15. 
c) 16. 
d) 18. 
e) 20. 
 
 
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39. (VUNESP/2015) Uma empresa possui determinada reserva de combustível que utiliza no abastecimento dos 
veículos de sua frota. Utilizando totalmente essa reserva, é possível abastecer alguns veículos da frota, cada 
um com 50 litros de combustível. Porém, se forem colocados 42 litros de combustível em cada veículo, 
utilizando totalmente a reserva de combustível da empresa, será possível abastecer 12 veículos a mais. A 
quantidade de combustível, em litros, que essa empresa possui de reserva é 
a) 3 510. 
b) 3 230. 
c) 3 150. 
d) 3 050. 
e) 3 020. 
 
Em um escritório, a despesa mensal com os salários dos 10 empregados é de R$ 7.600,00. Nesse escritório, 
alguns empregados recebem, individualmente, R$ 600,00 de salário mensal e os outros, R$ 1.000,00. 
 
40. (CESPE) Se, para atender a crescente demanda de serviços, o escritório triplicar a quantidade de 
empregados com salário de R$ 600,00 e duplicar a quantidade de empregados com salário de R$ 1.000,00, 
então a despesa desse escritório com os salários de seus empregados passará a ser de 
a) R$ 18.600,00 
b) R$ 18.800,00 
c) R$ 18.000,00 
d) R$ 18.200,00 
e) R$ 18.400,00 
 
 
 
GABARITO 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 
D A B B D E C D C A 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
B A C C A E D B D C 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
A E A E E C D C C D 
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 
C B D C A E C E C B 
 
 
 
 
RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
 
“Há somente dois tipos de homens: os justos, que se imaginam pecadores; e os 
pecadores, que se consideram justos.” 
 PASCAL 
 
 
CONCEITO DE RAZÃO 
 
A razão entre duas grandezas é o quociente estabelecido entre elas, ou melhor, é o resultado da divisão 
entre as grandezas. 
Assim, dados dois números reais a e b, com b  0, calcula-se a razão entre a e b através do quociente da 
divisão de a por b. 
Para indicarmos a razão entre a e b usamos: 
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b
a
 ou a : b (“a” está para “b”). 
 
Na razão de a por b, o número “a” é chamado de antecedente e o número “b” é chamado de conseqüente. 
 
Razão entre a e b = 
b
a
 
 
RAZÕES INVERSAS 
 
Duas razões são inversas quando o antecedente de uma é igual ao conseqüente da outra e vice-versa 






a
b
e
b
a
. Note que, o produto de duas razões inversas é sempre igual a 1. 
1
a
b
.
b
a
 
 
RAZÕES ESPECIAIS 
 
 CONCORRÊNCIA DE UM CONCURSO 
 
É a razão entre o número de candidatos inscritos no concurso e o número de vagas oferecidas por ele. 
 
Concorrência = 
oferecidasvagasdeºn
inscritos.canddeºn
 
 
 VELOCIDADE MÉDIA 
 
É a razão entre a distância percorrida por um móvel e o tempo gasto para percorrê-la. 
 
Velocidade média = 
t
S
V
gasto tempo
apercorriad distância
m


 
 
 
 DENSIDADE DE UM CORPO 
 
É a razão entre a massa do corpo e o volume por ele ocupado. 
 
Densidade = 
V
m
d
volume
massa
 
 
 DENSIDADE DEMOGRÁFICA DE UMA REGIÃO 
 
É a razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa região. 
 
região dessa área
região uma de habitantes de ºn
ademográfic
Densidade
 
 
 ESCALA NUMÉRICA 
 
É a razão entre um comprimento no desenho e o seu correspondente comprimento no tamanho real, 
medidos na mesma unidade. 
 
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real o compriment
desenho no o compriment
Escala  
D
d
E  
 
 Tamanhos de Escala 
 
 Escala Grande 
 
 É aquela que possui um pequeno denominador, ou seja, é aquela destinada a pequenos comprimentos 
reais (áreas urbanas). É rica em detalhes. É usada em cartas ou plantas. 
 
 Escala Pequena 
 
 É aquela que possui um grande denominador, ou seja, é aquela destinada a grandes comprimentos reais 
(áreas continentais). É pobre em detalhes gráficos. É usada em mapas e globos. 
 
 
Observação 
 
Há ainda um outro tipo de escala, chamada escala gráfica, que se apresenta sob a forma de um segmento 
de reta graduado. Nele, cada graduação representa 1 cm de comprimento no desenho. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escala = ou 1: 20.000.000. 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01. Numa prova com 50 questões, acertei 35, deixei 5 em branco e errei as demais. Responda os itens à seguir 
a) Qual a razão entre o nº de questões certas e erradas? 
b) Qual a razão entre o nº de questões erradas sobre o total de questões da prova? 
c) Qual a razão entre o nº de questões em branco sobre o nº de questões certas? 
Solução: 
 
O importante é dividir seguindo a ordem dada, logo: 
a) 
2
7
10
35

ERRADAS
CERTAS
= 7 : 2 
 
(proporção de 7 certas para cada 2 questões erradas) 
 
b) 
5
1
50
10

TOTAL
ERRADAS
= 1 : 5 
 
(proporção de 1 errada para cada 5 questões da prova) 
 
c) 
7
1
35
5

CERTAS
BRANCO
= 1 : 7 
 
(proporção de 1 em branco para cada 5 questões certas) 
 
cm000.000.20
cm1
km200
cm1

0km 200km 400km 600km 800km
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CONCEITO DE PROPORÇÃO 
 
Proporção é uma igualdade de duas razões 
Dados quatro números reais a, b, c e d, todos diferentes de zero, dizemosque eles formam, nesta ordem, 
uma proporção, quando a razão entre o primeiro e o segundo (a:b) é igual à razão entre o terceiro e o quarto (c:d). 
Representamos isto por: 
 
d
c
b
a
 ou a : b = c : d 
 
 
E lemos: “a está para b assim como c está para d”. 
Na proporção 
d
c
b
a
 , destacamos que os termos a e d são chamados extremos e os termos b e c são 
chamados meios. 
 
 
a : b = c : d 
d
c
b
a
 
 
 
 
 
 
 
 PROPRIEDADES DE UMA PROPORÇÃO 
 
 Propriedade Fundamental 
 
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 
 
c.bd.a
d
c
b
a

 
 
 
 
 Soma dos Termos 
 
Em toda proporção, temos: 
 















d
dc
b
ba
ou
c
dc
a
ba
d
c
b
a
 
 
 Diferença dos Termos 
 
Em toda proporção, temos: 
 
MEIOS 
EXTREMOS 
MEIOS 
EXTREMOS 
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













d
dc
b
ba
ou
c
dc
a
ba
d
c
b
a
 
 
 Soma dos Antecedentes e Conseqüentes 
 
Em toda proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes, assim como qualquer 
antecedente está para seu conseqüente. 
 
db
ca
d
c
b
a


 
 
 
 QUARTA PROPORCIONAL 
 
Dados três números reais, a, b e c, não-nulos, chama-se de quarta proporcional desses números dados o 
número x tal que: 
 
x
c
b
a

 
 
Note que, a quarta proporcional forma uma proporção com os números a, b e c, nessa ordem. 
 
 
 TERCEIRA PROPORCIONAL 
 
Dados dois números reais a e b, não-nulos, chama-se de terceira proporcional desses números o número 
x tal que: 
 
x
b
b
a

 
 
 
 SÉRIE DE RAZÕES IGUAIS 
 
Uma série de razões iguais é uma igualdade de duas ou mais razões. Também, pode ser chamada de 
proporção múltipla. Em símbolos, temos: 
 
k
b
a
...
b
a
b
a
b
a
n
n
3
3
2
2
1
1  
 
A principal propriedade a ser utilizada é: 
 
 k
b...bbb
a...aaa
b
a
...
b
a
b
a
b
a
n321
n321
n
n
3
3
2
2
1
1 


 
 
 
 
 CURSO COMPLETO DE MATEMÁTICA BÁSICA – 20ª EDIÇÃO 
| Prof. Thiago Pacífico 
 
 
CURSO PRIME ALDEOTA – Rua Maria Tomásia, 22 – Aldeota – Fortaleza/CE – Fone: (85)3208. 2222 
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NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Os números de uma sucessão numérica A = (a1, a2, a3, ..., an) são ditos diretamente proporcionais aos 
números da sucessão numérica B = (b1, b2, b3, ..., bn), quando as razões de cada termo de A pelo seu 
correspondente em B forem iguais , isto é: 
 
k
b
a
...
b
a
b
a
b
a
n
n
3
3
2
2
1
1
 
 
Este valor “k” é chamado de fator de proporcionalidade ou coeficiente de proporcionalidade. 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01. Verificar se os números da sucessão (20, 16, 12) são ou não diretamente proporcionais aos números da 
sucessão (5, 4, 3). Em caso afirmativo, determine o coeficiente de proporcionalidade “k”. 
 
Solução: 
 
Note que: 
.4
3
12
4
4
16
;4
5
20
 e 
 
Então as sucessões são diretamente proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade k = 4. 
 
02. Encontrar x e y sabendo que os números da sucessão (20, x, y) são diretamente proporcionais aos números 
da sucessão (4, 2, 1). 
 
Solução: 
 
Pela definição de números diretamente proporcionais, temos: 






5
10
12
5
124
20
y
xyxyx
 
 
NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Os números de uma sucessão numérica A = (a1, a2, a3, ..., an) são inversamente proporcionais aos 
números da sucessão numérica B = (b1, b2, b3, ... bn), quando os produtos de cada termo da sucessão A pelo seu 
correspondente em B forem iguais, isto é: 
 
a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = ... = an . bn = k 
 
Este valor k também é chamado de fator ou coeficiente de proporcionalidade. 
Na situação exposta, podemos dizer também que os elementos da sucessão A são diretamente 
proporcionais aos inversos dos elementos da sucessão B. 
 
k
b
1
a
...
b
1
a
b
1
a
b
1
a
n
n
3
3
2
2
1
1 
 
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01. Verificar se os números da sucessão (3, 6, 8) são ou não inversamente proporcionais aos números da 
sucessão (24, 12, 9). Em caso afirmativo, determine o coeficiente de proporcionalidade “k”. 
 
Solução: 
 
Note que: 
3 . 24 = 72; 6 . 12 = 72; 8 . 9 = 72. 
Então as sucessões são inversamente proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade é 72. 
 
02. Encontrar x, y e z, sabendo que os números das sucessões (x, 3, z) e (9, y, 36) são inversamente 
proporcionais e têm coeficiente de proporcionalidade k = 36. 
 
Solução: 
 
Pela definição, temos: 








.1z3636.z
.12y36y.3
.4x369.x
 
 
03. Repartir o número 18 em partes diretamente proporcionais a 5 e 4. 
 
Solução: 
 
Sejam x e y as partes procuradas: 















8y
10x
2
9
18
4
y
5
x
45
yx
4
y
5
x
18yx
 
 
04. (FCC) No quadro abaixo, têm-se as idades e os tempos de serviço de dois técnicos judiciários do TRF de 
uma certa circunscrição judiciária. 
 
 
 
 
 
 
 Esses funcionários foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. Dividiram o total de laudas entre 
si, na razão direta de suas idades e inversa de seus tempos de serviço no Tribunal. Se João digitou 27 
laudas, determine o total de laudas do processo. 
 
Solução: 
 
Sejam 
 – Laudas de João: x 
 – Laudas de Maria: y 
Então: 
 
8
36
x
 = 
12
30
y
= 
12
30
8
36

 yx
 
 
 IDADE TEMPO DE SERVIÇO 
JOÃO 36 ANOS 8 ANOS 
MARIA 30 ANOS 12 ANOS 
 
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Como x = 27, temos: 
 
8
36
27
 = 
12
30
8
36

 yx
 
Ou seja: 
 
36
8
.27 = 
2
5
2
9

 yx
 
 6 = 
7
yx 
 
Então: 
 x+y = 42 
 
 
 
 
QUESTÕES DE CONCURSOS 
 
 
01. (ACEP) Um maratonista calcula que, se correr a uma velocidade constante de 10km por hora, chegará ao 
final do percurso da corrida às 10:00 horas. Contudo, se sua velocidade constante for de 15km por hora, ele 
chegará às 8:00 horas. Para que ele chegue exatamente às 9:00 horas, sua velocidade constante deverá se 
de 
a) 12 km/h 
b) 12,5 km/h 
c) 11 km/h 
d) 11,5 km/h 
e) 13 km/h 
 
02. (VUNESP) Suponha que você precise dividir 1 000 mililitros de uma determinada substância para a necropse 
de dois cadáveres, de forma diretamente proporcional às suas massas. Se um cadáver tem massa de 70 
quilogramas e o outro tem massa de 55 quilogramas, a parte dessa substância, em mililitros, que caberá ao 
cadáver com maior massa será 
a) 560. 
b) 570. 
c) 550. 
d) 580. 
e) 540. 
 
03. (FCC) Pensei em dois números naturais. A razão do maior para o menor é 2. A soma deles é menor do que 
20 e a diferença entre eles é maior do que 5. Qual o produto desses números? 
a) 72 
b) 60 
c) 48 
d) 36 
 
04. (FCC) Beatriz tem 12 anos e sua irmã, 18. Daqui a quantos anos a razão entre a idade de Beatriz e a de sua 
irmã será de 3 para 4? 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
05. A razão entre a idade de Pedro e a de seu pai é igual a 
2
.
9
 Se a soma