Exercícios_Exp1_respostas

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ESTO017-17- Métodos Experimentais em Engenharia 
 
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Exercícios: Experimento #1 
Dimensões e densidades de sólidos 
Edição: 3º Quadrimestre 2017 
 
 
1. Na medida do comprimento de uma peça utilizando-se uma régua milimétrica plástica de 
baixo custo (menor divisão= 1mm), foram realizadas várias leituras, e os resultados estão 
dispostos na tabela abaixo. Após a realização das medidas, verificou-se que a régua tinha 
comprimento total 5% maior do que uma régua de boa qualidade (considerada “padrão”). 
 
Como seria possível corrigir as medidas realizadas, devido ao efeito sistemático produzido 
pela “dilatação” da régua? 
Após esta correção, determine o valor do comprimento da peça, estimando sua incerteza. 
Explique e justifique seus cálculos. 
Qual a incerteza dominante no cálculo da incerteza final? 
 
Medidas em mm 
217,0 217,3 217,4 217,1 217,2 217,5 217,3 217,6 217,2 217,0 
_____________________________________________________________________________ 
Solução: 
Efeito sistemático devido à imperfeição da régua: 5% = 0,05 
Aplicando-se um fator = (1+0,05) (multiplicativo) em todas as leituras, temos: 
Medidas em mm 
227,85 228,17 228,27 227,96 228,06 228,38 228,17 228,48 228,06 227,85 
 
Incerteza instrumental : uL= 0,5mm (metade da menor divisão) 
Média: 228,1250mm (calculada com os valores corrigidos) 
Desvio padrão da média: uestat=0,0669 
2 2
inst estatu u u  = 2 2(0,5) (0,0669) 0,51  
Comprimento= (228,10,6)mm 
Incerteza dominante: erro de leitura (instrumental) = 0,5 mm 
_____________________________________________________________________________ 
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2. Na determinação da área de uma superfície triangular, foram realizadas medições da base 
B e da altura A do triângulo, utilizando-se uma régua milimétrica metálica de boa 
qualidade (menor divisão= 0,5 mm). Os resultados estão dispostos na tabela abaixo. 
Determine o valor da área da superfície, com o respectivo intervalo de confiança. Explique 
e justifique seus cálculos. 
B(mm) 40,2 39,8 40,1 40,5 40,0 39,9 40,2 40,4 40,3 40,0 
A(mm) 25,3 25,4 24,9 25,1 25,0 24,8 25,2 25,1 25,0 24,9 
_____________________________________________________________________________ 
Solução: 
Bmédio= 40,14mm 
Incerteza instrumental : uBL= 0,3mm (metade da menor divisão, com arredondamento) 
Desvio padrão da média: uBestat=0,0702 
2 2
B Binst Bestatu u u  = 2 2(0,3) (0,0702) 0,31 
 
Amédio= 25,07 mm 
Incerteza instrumental : uAL= 0,3mm (metade da menor divisão, com arredondamento) 
Desvio padrão da média: uAestat=0,0597 
2 2
A Ainst Aestatu u u  = 2 2(0,3) (0,0597) 0,31 
 
Cálculo da área: Área (triângulo) = 
.
2
B A
 = 503,15 mm2 
Incerteza no cálculo da área: 
2 2
2 2( . ) ( . ) . .
2 2
B B A A B A
A B
u c u c u u u
   
      
   
=
2 2
25,07 40,14
.0,31 .0,31
2 2
   
   
   
=7,33mm2 
Área da superfície triangular= (503,2  7,4)mm2 
_____________________________________________________________________________ 
3. Para se determinar a densidade do material de uma peça sólida, cujo formato é um prisma 
com base triangular (equilátera), foram feitas as medidas de sua massa (139,4g0,8g) e 
das dimensões, utilizando um paquímetro cujo nonio tinha 20 divisões. As leituras obtidas 
foram: lado do triângulo: 32,15mm; altura da peça: 101,30mm. 
A partir destes dados, determine a densidade do material, e o intervalo que engloba o 
valor verdadeiro, com 95% de probabilidade. Explique e justifique seus cálculos. 
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_________________________________________________________________________ 
Solução: 
Densidade: 
m
V
  
Massa = m= (139,4g0,8g)
 
Volume do prisma com base triangular: 
.base prismaV Área Altura
 
Altura do prisma = H = 101,30mm 
Área da base= 23
4
L , sendo L= lado do triângulo = 32,15mm 
Área da base= 447,57mm2 
 V = 2 2
33 3.(32,16). .101,28 45,339
4 4
L
H   cm
 
Incerteza no cálculo do volume: 
2 2
2 2 23 3( . ) ( . ) . . .
2 4
V L L H H L Hu c u c u L H u L u
   
         
   
 
Nonio com 20 divisões: resolução da leitura: 0,05mm 
Considerando-se como única fonte de incerteza a resolução do instrumento (não levando 
em conta a repetitividade das leituras, habilidade do operador ou outra especificação do 
aparelho), pode-se considerar a incerteza= metade da menor divisão 0,025mm0,03mm 
(arredondado). 
0,03L Hu u  mm  3 385,67 0,086Vu   mm cm 
 V= (45,3390,086)cm3 
Cálculo da densidade :
 3139,4 3,075
45,339
m
V
    g/cm
 
Incerteza no valor da densidade: 
222 2
3
2 2
1 1 139,4
. . .0,8 0,086 0,019
45,339 (45,339)
m V
m
u u u
V V
                 
       
 g/cm
 
Valor da densidade do material: (3,0750,019) g/cm3 
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4 
 
Incerteza expandida : considerando k=2 : U = 2. 0,019=0,038 
Intervalo que engloba o valor da densidade com 95% de probabilidade: 
[3,037 - 3,113] g/cm3 
_____________________________________________________________________________ 
 
4. O índice de massa corpórea (IMC) vem sendo utilizado para avaliação da saúde de homens 
e mulheres. Sua definição é: IMC = massa/altura2. 
Pede-se: 
a) Quais são as principais grandezas de influência do mensurando? 
Massa e altura da pessoa. 
b) Avalie as dificuldades na definição deste mensurando (por exemplo, a massa não é 
constante durante um dia, etc...) 
Exemplos de grandezas de influência, além da calibração e especificação dos instrumentos de 
medida de massa e altura: horário de medição da massa; elementos que influem no valor da 
massa (roupas, sapatos, etc..); posicionamento do corpo na medida da altura; método de 
medida usado pelo operador da instrumentação, etc... 
c) Sugira melhorias para a definição deste mensurando. 
Relação entre a massa e o quadrado da altura de uma pessoa, sendo estas grandezas medidas 
pela manhã, após ir ao banheiro, estando a pessoa em jejum de 12 horas, sem roupas e sem 
sapatos, em posição ereta, em balança digital com sensor para medida de altura, com precisão 
de 0,05 kg e 0,01cm. 
d) Qual é a unidade do mensurando, no sistema internacional de unidades? 
kg/(m)2 
e) Construa um diagrama tipo espinha de peixe para este mensurando. 
 
Solução: 
 
 
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f) Calcule os coeficientes de sensibilidade para as grandezas massa e altura. Caso os 
equipamentos de medição da massa e da altura possuam a mesma incerteza, e 
havendo possibilidade de trocar um dos equipamentos (apenas um) por outro de 
menor incerteza, qual deles deve ser trocado? Justifique. 
 
Solução: 
2
1
( )
massa
IMC
c
massa altura

 

 
 
3
2
( )
altura
IMC massa
c
altura altura
 
 
 
 
2 2( . ) ( . )IMC massa massa altura alturau c u c u 
 
 
Se calcularmos a incerteza relativa: 
 
2 2
2 2
( . ) ( . )IMC massa massa altura alturau c u c u
IMC IMC IMC
  
 
2 2
2 2
2 3
2 2
2 2
1 2
( ) ( )massa altura
IMC
massa
u u
u altura altura
IMC massa massa
altura altura
   
   
    
   
   
   
 
 
2 2
2IMC massa altura
u u u
IMC massa altura
   
    
   
 
 
 
Caso um dos equipamentos (massa ou altura) possa ser trocado por outro de menor 
incerteza relativa, será melhor trocar o medidor de altura, já que a incerteza na alturaafeta o resultado da incerteza relativa do IMC com um fator de 2, comparado ao fator 
unitário da incerteza relativa da massa. 
 
g) Algumas referências fornecem a tabela abaixo: 
IMC Condição do peso 
abaixo de 18,5 Abaixo do peso 
18,5 a 24,9 Normal 
25,0 a 29,9 Sobrepeso 
acima de 30 Obeso 
 
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Sabendo-se que uma pessoa possui massa de 90 kg, e altura de 1,80 m, calcule o IMC 
(com sua incerteza combinada). Considere que a massa possui uma incerteza padrão 
de 5% e a altura, de 5% (despreze outras grandezas de influência). 
Solução: 
IMC= 90/(1,80)2= 27,777777 
umassa= 0,05.90=4,5 kg 
ualtura=0,05.1,80=0,09m 
2
1
0,3086
( )
massac
altura
 
 
3
2
30,8642
( )
altura
massa
c
altura

  
 
2 2( . ) ( . ) 3,1IMC massa massa altura alturau c u c u  
= 0,1118 IMC 
IMC = (27,83,1)  sobrepeso ? (talvez não!) 
h) Considerando-se que para um erro normalizado (En) maior que 1 (100%), pode-se 
afirmar que há diferença significativa entre valores, verifique a partir de que massa, 
medida com a incerteza de 5%, uma pessoa com altura de 1,80 m, com incerteza 
padrão de 5%, já poderia ser classificada na condição de sobrepeso. 
 
Solução: 
Definição de Erro Normalizado: 
 
| |
√ 
 
De acordo com o erro normalizado é possível obter uma faixa de valores para o qual uma certa 
medida é compatível com outra medida. Com base nisso, o nosso objetivo neste exercício é 
obter um intervalo de valores para o qual o IMC é compatível com o valor de 25. Valores 
menores que este intervalo provavelmente serão compatíveis com um IMC menor do que 25, 
ou seja, serão considerados como normal ou abaixo do peso. 
Valores dentro deste intervalo ou maiores serão compatíveis com um IMC igual a 25 ou maior, 
ou seja, serão considerados como sobrepeso ou obeso. Desta forma, vamos obter o limite 
inferior deste intervalo, em função do IMC, para depois obter o valor da massa. 
 
 Aplicando-se à situação descrita, comparada ao valor da Tabela, e impondo-se um 
valor menor ou igual a 1, temos: 
 
| |
√ 
 
 
 
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Do item g) podemos calcular: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este resultado nos diz que um IMC maior ou igual a 20,4 poderia ser considerado como 
compatível com 25, ou seja, a partir de um IMC maior ou igual a 20,4 seria considerado como 
sobrepeso. Para uma altura de 1,80m, o peso equivalente a esse IMC é igual ao peso de 66,1 
kg. 
No entanto, soa estranho um peso de 66,1 kg para uma altura de 1,80m resultando em 
um IMC igual a 20,4 ser considerado como sobrepeso. Isso se dá pelo fato das incertezas 
relativas de ambas as medidas serem muito grandes. 
Vamos analisar: se considerarmos a incerteza expandida (0,22361IMC), o valor do IMC 
poderá variar até 22,36% para mais ou para menos. Ou seja, a medida de 20,4 estará dentro 
do intervalo com um nível de confiabilidade igual a 95%. Ou seja, no 
caso extremo, este IMC poderá ser considerado como sobrepeso. 
 
5. Os gráficos abaixo representam resultados experimentais obtidos para a variação de um 
mensurando y, em função de uma grandeza de influência x. 
 
 
 
 
 
 
 Curva experimental 1 Curva experimental 2 
Pede-se: 
a) Em ambas as curvas, trace as retas que indicam o valor do coeficiente de sensibilidade 
Cxy, nos pontos A e B. Estas retas representam aproximadamente: a derivada da 
função y(x), sua integral, ou o seu valor? 
A 
B 
y 
x 
A 
B 
y 
x 
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Retas indicadas em vermelho. 
Representam a derivada da função. 
 
b) Em qual ponto é maior o coeficiente de sensibilidade em cada curva: Cxy(A) ou Cxy(B)? 
Na curva 1, Cxy(A) >>Cxy(B)0. Na curva 2, os coeficientes são iguais, pois a função é 
uma reta. 
 
c) Supondo que a curva 2 seja dada pela equação y = a.x, qual seria o valor do coeficiente 
de sensibilidade Cxy? 
Cxy= a 
d) Sendo o mensurando y=a.x, determine a expressão da incerteza em y, devido a x, isto 
é, uy(x) em função da incerteza em x, isto é, ux. 
Definindo as incertezas percentuais como sendo respectivamente: 
%
( )
( ) .100
y
y
u x
u x
y
 e % .100xx uu
x
 
determine a expressão que relaciona % %( ) e y xu x u .
 
 
Solução: 
. ( ) . .y x xy a x u x Cxy u au   
 
( ) ( ). .
.
y yx x x
u x u xa u a u u
y y a x y x
   
 
Portanto : 
% %( )y xu x u
 
e) Suponha agora um mensurando dado pela equação y = b/x, 
Calcule o valor de 
Cxy
, para este caso. 
Determine também as expressões de uy(x) e de 
% ( )yu x
 
Solução: 
2/Cxy b x 
 
2
( ) . .y x x
b
u x Cxy u u
x
 
 
2 2
( ) ( )
/
y yx x x
u x u xu u ub b
y x y x b x y x
   
 
E portanto : 
% %( )y xu x u
 
Notar que para ambas as funções, y=a.x ou y = b/x, uma incerteza de, por exemplo 
5% no valor de x, produz uma incerteza igual, de 5%, no valor de y. 
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f) Caso o mensurando y seja função de duas grandezas de influência x1 e x2 (ou seja, y = 
f(x1,x2) ), proponha métodos para determinar os coeficientes de sensibilidade de y em 
relação a x1 e a x2, tanto para o caso em que a expressão da função f é conhecida, 
como no caso em que f seja desconhecida. 
 
Solução: 
 Se a função f(x1,x2) for conhecida, basta utilizar as expressões: 
1
1
x
f
c
x


 e 
2
2
x
f
c
x



 
E calcular as derivadas parciais para obter os coeficientes de sensibilidade. 
Caso a expressão da função não seja conhecida, deverão ser levantadas as curvas 
experimentais de y=f(x1) (tendo x2 como parâmetro constante) e y=f(x2) (com x1 
constante) para que possam ser determinadas graficamente as derivadas parciais que 
representam os coeficientes de sensibilidade. Isto pode significar que várias curvas 
devam ser medidas, para diversos valores dos parâmetros constantes. 
 
Exemplo: 
 
 
 
f 
x1 
x2=1 
x2=2 
x2=3 
x2=4