Lista_2

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2a lista de Bases Matema´ticas
Noc¸o˜es de lo´gica
1. Determine quais das seguintes orac¸o˜es sa˜o proposic¸o˜es e quais sa˜o sentenc¸as
abertas:
a) 9− 1 = 6.
b) x− 2 < 5.
c) Um triaˆngulo tem 4 ve´rtices.
d) Um retaˆngulo e´ um quadrado.
e) x 6= y.
f) x2 ≥ 0, x ∈ R.
2. Escreva a negac¸a˜o de cada do que segue:
a) 7 e´ um nu´mero irracional.
b) x 6= y.
c) x2 − 1 > 0.
d) Joa˜o e´ estudioso.
e) |x + 1| < 1.
f) O ∆ e´ retaˆngulo.
3. Determine o conjunto verdade, escreva a negac¸a˜o e determine o conjunto ver-
dade da negac¸a˜o, onde U e´ o conjunto universo:
a) U = R, p(x) : x + 7 = 15.
b) U = R, r(s) : (s− 1)(s3 − 1) = 0.
c) U = R, p(x, y) : |x|+ |y| < 1.
d) U e´ o conjunto dos quadrila´teros, p(x) : x tem os lados congruentes.
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4. Colocando na forma p⇒ q ou p 6⇒ q verifique se:
a) E´ suficiente para que um nu´mero seja par que ele seja mu´ltiplo de 8.
b) E´ necessa´rio para que um nu´mero seja par que ele seja mu´ltiplo de 8.
c) E´ suficiente para um quadrila´tero ser losando que seja paralelogramo.
d) Um nu´mero inteiro ser mu´ltiplo de 36 e´ necessa´rio para ser mu´ltiplo de 9?
5. Sejam P e Q subconjuntos de um conjunto U . Prove que: P ⊆ Q⇔ Qc ⊆ P c.
6. Qual a rec´ıproca de:
a) Se f e´ deriva´vel em x0, enta˜o f e´ cont´ınua em x0.
b) Sejam a, b ∈ R. Se a = b, enta˜o a2 = b2.
7. As rec´ıprocas de a) e b) do exerc´ıcio anterior sa˜o verdadeiras?
8. Para cada caso determine os conjuntos verdade P e Q; determine se P ⊆ Q
ou se P 6⊆ Q e enta˜o estabelec¸a quando a implicac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa e
examine tambe´m a rec´ıproca. Seja U = Z.
a) Se x2 = 4, enta˜o x = −2.
b) Se x = −2, enta˜o x = 5.
c) Se x + 2 = 9, enta˜o x e´ um inteiro par.
d) Se 2x = 7, enta˜o x = 4.
9. Escreva a rec´ıproca e contrapositiva, para U = Z, de:
a) Se x = 3, enta˜o 3x = 12.
b) Se x + 1 = 6, enta˜o 2x = 12.
c) 3x = 12⇒ x = 4.
10. Escreva a implicac¸a˜o, a rec´ıproca e a contrapositiva na forma simbo´lica.
a) r implica s.
b) Se r, enra˜o s.
c) q e´ uma condic¸a˜o necessa´ria para p.
d) s e´ uma condic¸a˜o suficiente para t.
11. Escreva a implicac¸a˜o dada usando a frase: ”e´ uma condic¸a˜o suficiente”.
a) Se um pol´ıgono e´ um retaˆngulo, enta˜o ele e´ um paralelogramo.
b) Se um pol´ıgono e´ um triaˆngulo, enta˜o a soma dos aˆngulos internos e´ 1800.
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12. Repita o problema anterior, usando a frase: ”e´ uma condic¸a˜o necessa´ria”.
13. Escreva o seguinte na forma ”e´ uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente”:
a) |x| = 0⇔ x = 0.
b) ab = 0⇔ (a = 0 ou b = 0).
14. Qual e´ a negac¸a˜o de ”Se ABCD e´ um retaˆngulo, enta˜o ABCD e´ um qua-
drado”.
15. Escreva a primeira etapa da prova por absurdo:
a) Dois c´ırculos distintos podem se interceptar no ma´ximo em dois pontos.
b) Seja F uma famı´lia de conjuntos e A,B ∈ F . Se A ⊆ B, enta˜o A∩Bc = ∅.
16. Conclua por um contra exemplo que e´ falsa a afirmac¸a˜o:
∀a, b ∈ R, a2 = b2 ⇒ a = b.
17. Deˆ a negac¸a˜o de:
a) a = 0 ou b = 0.
b) ”r e s sa˜o retas paralelas”.
c) x ∈ A e x ∈ B.
d) x ∈ A ou x ∈ B.
e) ”Todo triaˆngulo iso´celes e´ equila´tero”.
f) ”Algum triaˆngulo retaˆngulo e´ iso´celes”.
18. Se verdadeiro, prove. Se falso, deˆ contra-exemplo:
a) ∃x ∈ R,∃y ∈ R, x + y = 0.
b) ∀x ∈ R,∃y ∈ R, x + y = 0.
c) ∀x ∈ R,∀y ∈ R, x + y = 0.
d) ∃x ∈ R,∀y ∈ R, x + y = 0.
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