Relatório Física Experimental II: Viscosidade da Glicerina

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Determinação da viscosidade da glicerina
Gustavo de Oliveira, João Vitor Teles Ribeiro, Tiago Oliveira Ferreira, Victor Hugo Moreira da Silva Souza
Física Experimental II, 5T23, Turma G
O presente relatório tem como objetivo reportar o procedimento experimental para a determinação
do valor da viscosidade da glicerina com base na determinação das velocidades terminais vt de
esferas de aço em um tubo contendo glicerina. Foram realizadas 30 medições do instante de tempo
tij de cada esfera de diâmetro Dj , ao passar sobre as marcações xi, obtendo 4 pares de dados
(Di, vt), que foram analisados por meio de uma regressão linear ponderada. Obteve-se um valor de
η = (1,015±0,014)·Pa·s para a viscosidade da glicerina no laboratório, que se mostrou incompatível
com o valor esperado.
INTRODUÇÃO
A viscosidade é uma característica muito importante dos fluidos. Ela des-
creve a força de atrito interno contrária ao deslizamento de camadas vizinhas
do fluido.[1]
Considera-se uma esfera de um determinado material de densidade ρe, de
massa m, raio R e volume Ve mergulhada em um fluido de densidade ρL
e viscosidade η. Ao ser abandonada com velocidade inicial nula, a esfera
entrará em movimento de queda com aceleração g por ação de seu peso ~P =
m~g. Por estar mergulhada em um fluido, atuará sobre a esfera uma força
de empuxo ~E contrária ao movimento de queda. Além disso, por estar em
movimento e o fluido ser viscoso, atuará sobre àquela uma força de arraste
~A, diretamente proporcional à velocidade da esfera, também contrária ao
movimento de queda. O diagrama de forças está na figura a seguir:
~E ~A
~P
Figura 1.
Diagrama de
Forças
Considera-se o caso limite, no qual a esfera atinge a ve-
locidade terminal vt, não havendo mais aceleração. Logo,
o somatório de forças atuadas sobre a esfera é nulo. As-
sim, aplicando a Segunda Lei de Newton, tem-se:
~P + ~E + ~A = 0 (1)
Tem-se que o empuxo é calculado como se segue:
~E = VeρL~g
e, pela Lei de Stokes, a força de arraste é[2]:
~A = 6piηR~vt
Dessa forma, calculando a equação (1) em módulo, tem-
se:
mg − VeρLg − 6piηRvt = 0 (2)
Para o volume da esfera: Ve = 43piR
3 e a massa é:
m = ρeVe =
4
3
piR3ρe (3)
Substituindo os valores em (2), tem-se:
4
3
piR3ρeg − 4
3
piR3ρLg − 6piηRvt = 0 (4)
Simplificando (4):
2
3
R2(ρe − ρL)g = 3ηvt (5)
Finalmente, isolando vt em (5):
vt =
2
9
(ρe − ρL)
η
g
(
D
2
)2
=
1
18
(ρe − ρL)
η
gD2 (6)
onde D é o diâmetro D = 2R da esfera.
O objetivo do experimento aqui relatado é, portanto, medir a viscosidade
da glicerina no laboratório utilizando como modelo de medição a relação entre
essa e a velocidade terminal da esfera de aço de diâmetro D, cuja relação é
dada pela equação (6).
MATERIAIS E MÉTODOS
No experimento foram utilizados: 1 trena com resolução ∆r = 0.1 cm, 4
cronômetros digitais com resolução ∆r = 0.01 s, um paquímetro com reso-
lução ∆r = 0.05 mm, um tubo de vidro contendo glicerina, esferas de aço e
um pincel marcador.
Inicialmente, utilizando um paquímetro, foi realizada a medição do diâ-
metro Dj de um conjunto de esferas de aço a serem utilizadas ao longo da
prática experimental. Com o auxílio de um pincel marcador e da medição de
uma trena, foram feitas 8 marcações xi com intervalos de 10 centímetros no
tubo de vidro que continha glicerina
Em seguida, uma esfera de diâmetro Dj foi solta a partir do repouso, no
tubo contendo glicerina. Com a ajuda de um cronômetro, foram medidos
os tempos tij nos quais a esfera passava pelas marcações feitas no tubo.
Esse procedimento foi então repetido de forma análoga 4 vezes, variando-
se o diâmetro Dj de cada conjunto de esferas colocadas dentro do fluído,
totalizando um conjunto de 30 medições para cada instante.
A partir do maior valor e menor valor de cada uma das grandezas obteve-se
sua flutuação (∆f = (ymax−ymin/2)), que, comparada com a resolução ∆r,
possibilitou a classificação da incerteza como do tipo A [3] (quando ∆f > ∆r)
ou do tipo B [3] (quando ∆f ≤ ∆r). Em ambos os casos, o valor da grandeza
foi definida como a média entre o conjunto de medição. Os resultados foram
comparados por meio de um teste de compatibilidade [4],
k = |y¯1 − y¯2|/
√
u2y1 + u
2
y2 (7)
onde considerou-se um fator de abrangência de k = 1, 0.
RESULTADOS
Com base nos valores medidos para as marcações xi e os diâmetros Dj ,
constatou-se flutuações nulas, recebendo, portanto, um tratamento das incer-
tezas do tipo B [4]. Para os resultados dos tempos tij de passagem da esfera
de diâmetro Dj o em cada marcação xi, constatou-se flutuações maiores que
a resolução do cronômetro, implicando numa avaliação do tipo A. Foram rea-
lizadas 30 medições para cada instante de tempo tij configurando um grau de
liberdade de v = 29, e, portanto, para um intervalo de confiança de 68, 27%
é possível utilizar a grandeza como uma distribuição normal utilizando um
fator de correção de 1, 03 através da tabela de t-student[5].
Obteve-se para a medição das marcações xi e os diâmetros Dj , os seguintes
valores:
x1 = (10,000± 0,058)cm x7 = (70,000± 0,058)cm
x2 = (20,000± 0,058)cm x8 = (80,000± 0,058)cm
x3 = (30,000± 0,058)cm D1 = (6,250± 0,029)mm
x4 = (40,000± 0,058)cm D2 = (4,700± 0,029)mm
x5 = (50,000± 0,058)cm D3 = (4,000± 0,029)mm
x6 = (60,000± 0,058)cm D4 = (3,000± 0,029)mm
(8)
Obteve-se para as medições dos instantes de tempos tij , os seguintes valo-
res i,j-ésimos registrados na tabela I a seguir (i-ésima marcação pelo j-ésimo
diâmetro):
(tij ± utij) s
i D1 D2 D3 D4
x1 (0,623± 0,010) (0,975± 0,019) (1,360± 0,021) (2,240± 0,021)
x2 (1,303± 0,12) (1,978± 0,016) (2,707± 0,020) (4,571± 0,025)
x3 (1,944± 0,011) (2,987± 0,016) (4,066± 0,022) (6,807± 0,022)
x4 (2,602± 0,013) (4,032± 0,021) (5,487± 0,025 (9,116± 0,028)
x5 (3,279± 0,012) (5,058± 0,020) (6,888± 0,020) (11,481± 0,031)
x6 (3,971± 0,014) (6,101± 0,018) (8,313± 0,025) (13,783± 0,034)
x7 (4,652± 0,014) (7,108± 0,025) (9,718± 0,023) (16,091± 0,032)
x8 (5,338± 0,013) (8,201± 0,026) (11,174± 0,029) (18,453± 0,034)
Tabela I. Valores dos dados obtidos para os instantes de tempos tij),
para xi x Dj .
Para a determinação da velocidade terminal vt, realizou-se a análise das
diferenças dos instantes tij e t(i+1)j , com i = 1, .., 7. Encontrado o instante
inicial tcj , o qual a partir do mesmo, as diferença mantinham-se constante,
2
vt foi obtido a partir de:
vt =
∆xi
∆tij
=
xc − x8
tcj − t8j
i = 1, ...7
uvt =
√
u2xc + u
2
x8
(tcj − t8j)2
+
(xc − x8)2
(tcj − t8j)4
(
u2tcj + u
2
t8j
) (9)
Onde tc1 = t61 para D1; tc2 = t32 para D2, tc3 = t33 para D3 e tc4 = t34
para D4 foram identificados como instantes de tempo em que a velocidade
terminal havia alcançado e, portanto, utilizados na análise da equação (9).
Foi utilizado no prática experimental os valores para densidade da es-
fera como ρe = (7,850 ± 0,058) · 103 kg/m3, densidade da glicerina ρL =
(1,260 ± 0,038) · 103 kg/m3 e a aceleração gravitacional em laboratório
ρL = (9,782028± 0,000023) m/s2.
Para a investigação da validade do modelo exposto na equação (6) foi
escolhida a análise através de uma regressão linear. Para isso foi realizado
uma linearização na equação (6) com o cálculo dos valores de Yi e Xi da
regressão linear com suas respectivas incertezas através de uma análise de
incertezas do tipo C [3] por meio das seguintes expressões:
Xi = vt uXi = uvt
Yi = D
2 uYi = 2DuD
(10)
Os valores dos dados obtidos paras os procedimentos anteriores é mostrado
na Tabela I.
i (Di ± uDi ) 10−3m (Xi ± uXi ) 10−6m2 (vt ± uvt ) 10−2m/s
1 (6,250± 0,029) (39,06± 0,36) (14,630± 0,062)
2 (4,700± 0,029) (22,09± 0,27) (9,590± 0,058)
3 (4,000± 0,029) (16,00± 0,23) (7,034± 0,038)
4 (3,000± 0,029) (9,00± 0,17) (4,293± 0,033)
Tabela II. Valores obtidos para Di, vt e Xi.
Um cálculo posterior para o coeficiente dede correlação de Person para
os valores dos pares (Xi, Yi), resultaram em uma valor de 0.99, que está
associada a uma probabilidade de 0,6% para os dados não fornecerem uma
reta[5], justificando assim a análise dos dados através de uma regressão linear.
Verificando os valores das incertezas relativas para as grandezas definidas
através da linearização das equações (10), constata-se que uXi/Xi ≈ uYi/Yi,
permitindo a escolha de Xi como a variável independente e implicando em
uma análise dos pares de dados a partir de uma regressão linear ponderada
com transferência de incertezas. Segue em anexo a este relatório um gráfico
da distribuição dos pontos (Xi, Yi) e a reta encontrada através da regressão
linear.
Os valores encontrados para o coeficientes A e B da reta obtida pela re-
gressão linear foram:
A = (0,0128± 0,00092) m/s; B = (3527,26± 48,85) 1/ms (11)
Relacionando os coeficientes A e B da regressão com o modelo da equação
(6):
A = 0; B =
1
18
(ρe−ρL)
η
g. (12)
Torna-se assim possível a determinação do valor experimental para o a vis-
cosidade da glicerina η e sua incerteza associada através de uma análise do
tipo C, na forma:
η =
1
18
(ρe−ρL)
B
g
uη =
(ρe − ρL)guB
18B2
.
(13)
Onde os termos envolvendo ug , uρe e uρL foram desprezados por conta da
suar ordem de grandeza. Obteve-se como resultado da viscosidade da glicerina
η com o valor de:
η = (1,015± 0,014) · Pa · s. (14)
DISCUSSÃO
De início foi realizado um teste de compatibilidade entre o valor do co-
eficiente linear A da regressão linear dado pela equação (11) e o seu valor
teórico de 0 dado por (12). Foi obtido um resultado de k = 14, mostrando a
incompatibilidade com o valor esperado do modelo, o que sugere a existência
de erros sistemáticos na obtenção dos dados experimentais.
Considerando o valor da viscosidade da glicerina encontrado η = (1,015±
0,014) Pa · s dado pela expressão (14) e realizando um teste de compati-
bilidade com o valor teórico para a glicerina, á temperatura ambiente, seja
η = (0,9706 ± 0,0056) Pa · s[6], obteve-se um resultado de k = 2,9, mos-
trando a incompatibilidade entre os dois valores, o que sugere a inadequação
no modelo exposto.
Utilizando o modelo devido á N.-S. Cheng[7] para a estimar o valor da
viscosidade dinâmica da glicerina:
η′ = 12.1 exp
(
(T − 1233)
9900 + 70T
T
)
(15)
Onde η′ é a viscosidade medido em Pa · s e T é a temperatura em ◦C. Para
a temperatura ambiente de 24◦C, obtém-se como estimativa uma viscosidade
de η′ = 0,988 Pa · s, que comparado com o valor obtido experimentalmente
na expressão (14) através de um teste compatibilidade, obtém-se um valor de
k = 1,95, mostrando a incompatibilidade entre os valores.
Utilizando o modelo devido á González Longinotti[8][9] para a estimar o
valor da viscosidade dinâmica da glicerina:
η′′ = η0 exp
(
A
T 3
+BT +
C
T
)
(16)
onde η′′ corresponde a viscosidade da glicerina pura, temperatura absoluta
T e com os seguintes valores para os seus parâmetros: η0 = exp(25, 8709) Pa ·
s, A = 3, 0942 · 108 K3, B = −0, 0327 K1, e C = 6291, 03 K. Para a
temperatura ambiente de 296 K, obtém-se como estimativa uma viscosidade
de η′ = 0,962 Pa · s, que comparado com o valor obtido experimentalmente
na expressão (14) através de um teste compatibilidade, obtém-se um valor de
k = 3,78, mostrando a incompatibilidade entre os valores.
CONCLUSÃO
A execução do aparato experimental proposto para a medição da viscosi-
dade da glicerina se mostrou inadequado, fornecendo valores incompatíveis
com as referências utilizadas.
O valor experimental para a viscosidade da glicerina obtido em laboratório
foi de η = (1,015 ± 0,014) Pa · s e se mostrou incompatível com os valor
teórico utilizado como comparação. Análises posteriores realizadas através da
estimativa do valor da viscosidade η através dos modelos das equações (15)
e (16) mostraram uma incompatibilidade entre o valor experimental obtido
em laboratório. A incompatibilidade entre o valor de coeficiente linear A do
modelo (6) e o valor encontrado através da regressão linear 11, reforçam a
conclusiva da inadequação dos resultados encontrados.
Possíveis fontes de erros podem estar relacionadas a dificuldade de percep-
ção humana na cronometragem dos valores de tempo para a experimentação
da esfera de diâmetro D1, que apresentou grande rapidez em comparação
com outras tamanhos de esferas, resultando em valores experimentais incor-
retos. Utilizando como parâmetro de comparação valores 3% menores para
os instantes de tempo ti1, devido á a um retardo em cronometra-los no ins-
tante correto, resultam através de um análise posterior em um valor para a
viscosidade de η = (0,984 ± 0,013) Pa · s, apresentando-se compatível com
o valor teórico principal e com a estimativa dada pela equação (15)o, e que
apesar de não alterar a incompatibilidade do coeficiente linear A, sugere uma
adequação para o experimento.
A utilização de equipamentos mais sofisticados para a cronometragem dos
instante de tempo tij concebe um possível aprimoramento dessa montagem.
[1] H. Moysés Nussenzveig Curso de Física Básica 2: Fluidos, Oscilações e
Ondas, Calor, 4 ed. Editora Blucher (2014)
[2] G. G. Stokes On the effect of internal friction of fluids on the motion of
pendulums. Transactions of the Cambridge Philosophical Society (1851).
[3] W. W. Furtado. Apostila de Laboratório de Física I. UFG, Goiânia
(2014).
[4] JCGM/Grupo de trabalho para tradução do GUM. Avaliação de dados
de medição: Guia para a expressão de incerteza de medição.
[5] J. R. Taylor Introdução À Análise de Erros - o Estudo de Incertezas, 2
ed. Bookman Editora, (2009).
[6] Ferreira, A. G. M., Egas, A. P. V., Fonseca, I. M. A., Costa, A. C., Abreu,
D. C., Lobo, L. Q. The viscosity of glycerol. The Journal of Chemical
Thermodynamics, 113, 162–182. doi:10.1016/j.jct.2017.05.042, (2009).
[7] Cheng, N.-S. (2008). Formula for the Viscosity of a GlycerolWater Mix-
ture. Industrial Engineering Chemistry Research, 47(9), 3285–3288.
doi:10.1021/ie071349z.
[8] L. Vertchenko, L. Vertchenko. Determinação da viscosidade por meio
da velocidade terminal: uso da força de arrasto com termo quadrático
na velocidade. Rev. Bras. Ensino Fís. [online]. 2017, vol.39, n.4 [citado
2019-07-05], e4304.
[9] J.A. Trejo González, M. P. Longinotti and H.R. Corti,. Journal of Che-
mical Engineering Data 56, 1397 (2011).