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Matemática p/ UFPE (Técnico em Contabilidade) Com Videoaulas -
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Guilherme Neves
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Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
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1.! Conjuntos Numéricos e Operações .................................................................................................................. 3!
1.1.! Conjunto dos Números Naturais ..................................................................................................................... 3!
1.1.1.! Adição ......................................................................................................................................................... 5!
1.1.1.1.! Propriedade comutativa .......................................................................................................................... 5!
1.1.1.2.! Propriedade Associativa .......................................................................................................................... 5!
1.1.1.3.! Existência do elemento neutro da adição ................................................................................................ 6!
1.1.1.4.! Propriedade do fechamento .................................................................................................................... 6!
1.1.2.! Multiplicação ............................................................................................................................................... 6!
1.1.2.1.! Propriedade Comutativa .......................................................................................................................... 7!
1.1.2.2.! Propriedade Associativa .......................................................................................................................... 7!
1.1.2.3.! Existência do elemento neutro da multiplicação ..................................................................................... 7!
1.1.2.4.! Propriedade do fechamento .................................................................................................................... 8!
1.1.2.5.! Propriedade Distributiva .......................................................................................................................... 8!
1.1.3.! Fatoração .................................................................................................................................................. 12!
1.1.4.! Quadrado Perfeito ..................................................................................................................................... 13!
1.1.5.! Cubo Perfeito ............................................................................................................................................. 13!
1.1.6.! Quantidade de Divisores de um Número Natural ..................................................................................... 14!
1.1.7.! Mínimo Múltiplo Comum .......................................................................................................................... 15!
1.1.8.! Máximo Divisor Comum ............................................................................................................................ 18!
1.1.8.1.! Método da Fatoração Simultânea ......................................................................................................... 18!
1.1.8.2.! Algoritmo de Euclides ............................................................................................................................ 19!
1.1.8.3.! Relação entre MMC e MDC ................................................................................................................... 23!
1.2.! Conjunto dos Números Inteiros ..................................................................................................................... 23!
1.2.1.! Quantidade de números em uma sequência de inteiros consecutivos ...................................................... 25!
1.2.2.! Quantidade de algarismos em uma sequência de naturais consecutivos ................................................. 26!
1.2.3.! Regras dos Sinais com Números Inteiros ................................................................................................... 28!
1.3.! Conjunto dos Números Racionais ................................................................................................................. 29!
1.3.1.! Dízimas Periódicas ..................................................................................................................................... 30!
1.3.2.! Divisão ....................................................................................................................................................... 35!
1.3.3.! Multiplicação envolvendo números decimais ........................................................................................... 35!
1.3.4.! Divisão envolvendo números decimais ...................................................................................................... 36!
1.3.5.! Subconjuntos Notáveis dos Racionais ....................................................................................................... 38!
1.3.6.! Simplificação de Frações ........................................................................................................................... 39!
1.3.7.! Adição e Subtração de Frações ................................................................................................................. 40!
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1.3.8.! Multiplicação de Frações ........................................................................................................................... 42!
1.3.9.! Divisão de Frações ..................................................................................................................................... 43!
1.4.! Conjunto dos Números Irracionais ................................................................................................................ 44!
1.4.1.! Aproximação de Raiz Quadrada ................................................................................................................ 44!
1.5.! Conjunto dos Números Reais ........................................................................................................................ 46!
1.5.1.! Reta Real ................................................................................................................................................... 46!
1.5.2.! Intervalos Reais ......................................................................................................................................... 47!
1.5.3.! Potenciação ............................................................................................................................................... 50!
1.5.3.1.! Propriedades Operatórias das Potências ............................................................................................... 52!
1.5.4.! Radiciação ................................................................................................................................................. 56!
1.5.4.1.! Raízes de Índice Par ............................................................................................................................... 56!
1.5.4.2.! Raízes de Índice Ímpar ........................................................................................................................... 57!
1.5.4.3.! Propriedades dos Radicais .....................................................................................................................57!
1.5.4.4.! Potência de Expoente Racional .............................................................................................................. 58!
1.5.4.5.! Racionalização de Denominadores ........................................................................................................ 58!
1.5.4.6.! Comparação de Radicais ....................................................................................................................... 60!
2.! Lista de Questões de Concursos Anteriores .................................................................................................... 61!
3.! Gabaritos ....................................................................................................................................................... 86!
4.! Lista de Questões de Concursos Anteriores com Comentários ....................................................................... 89!
5.! Considerações Finais .................................................................................................................................... 164!
 
 
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Oi, pessoal. 
Aqui quem vos fala é o professor Guilherme Neves outra vez!! 
Hoje vamos estudar conjuntos numéricos e operações. 
Lembre-se que vocês podem me acompanhar com dicas diárias no meu instagram 
@profguilhermeneves. 
1.!CONJUNTOS NUMÉRICOS E OPERAÇÕES 
Não é possível escrever uma aula de Matemática sem falar sobre números. O engraçado é que 
definir o que é um número está fora do escopo desta aula. Para falar a verdade, é bem complicado 
definir o que são números. 
O professor Giuseppe Peano (1858-1932) era um matemático notável. 
Na introdução de seu trabalho intitulado Sul concetto de numero (1891), escreveu: “Uma criança, 
desde tenra idade, usa as palavras um, dois, três, etc., posteriormente usa a palavra número; 
somente muito mais tarde a palavra agregado aparece em seu vocabulário. E como a filologia nos 
ensina, o desenvolvimento dessas palavras ocorre na mesma ordem nas línguas indo-européias. 
Portanto, do ponto de vista prático, a questão me parece resolvida; ou seja, não há vantagem, no 
ensino, definir número. Esta ideia é muito clara para os alunos e qualquer definição iria somente 
confundi-los”. 
Por outro lado, mesmo sem definir os “números”, todos nós temos uma noção bem definida sobre 
esses objetos matemáticos. E não precisamos falar que os números estão ao nosso redor como 
bem disse Pitágoras: 
“Os números governam o mundo”. 
Nesta capítulo, apresentaremos os chamados conjuntos numéricos e suas propriedades. 
1.1.! CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS 
A noção de um número natural surge com a pura contagem de objetos. Ao contar, por exemplo, os 
livros de uma estante, temos como resultado um número do tipo: 
ℕ = {0,1,2,3… } 
Obviamente não poderíamos ter um número negativo de livros. Também não poderíamos imaginar 
alguém falando: “Tenho 3,4231 livros na minha estante”. 
A este conjunto ℕ denominamos conjunto dos números naturais. 
Caso haja necessidade de excluir o número 0 (zero), indicaremos com um asterisco sobrescrito à 
letra N. 
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ℕ∗ = {1,2,3,4… } 
Este conjunto é chamado conjunto dos números naturais não-nulos. 
No conjunto dos números naturais, podemos definir apenas duas operações básicas: adição e 
multiplicação. 
Você deve estar se perguntando: “E por que não subtração e divisão?” 
A questão é a seguinte: dizemos que uma operação está bem definida quando sempre podemos 
operar naquele conjunto. Por exemplo: será que é sempre possível somar dois números naturais? 
É claro que sim. 
Podemos efetuar 2+3=5, 3+0=3 e assim por diante. 
Ou seja, a soma de dois números naturais também é um número natural. Por isso, dizemos que o 
conjunto dos números naturais é FECHADO em relação à adição. 
Será que é sempre possível multiplicar dois números naturais? É claro que sim. 
Podemos efetuar 3 x 5 = 15, 4 x 1 = 4, 8 x 0 = 0. 
Podemos então concluir que o produto de dois números naturais é também um número natural. 
Ou seja, o conjunto dos números naturais é FECHADO em relação à multiplicação. 
Será que é sempre possível subtrair dois números naturais? Não. 
Podemos efetuar 5 – 3 = 2. Por outro lado, não podemos efetuar (no conjunto dos números 
naturais) 3 – 5. Isto porque o resultado desta operação é um número negativo. Podemos então 
dizer que o conjunto dos números naturais NÂO É FECHADO em relação à subtração. 
Da mesma maneira, sabemos que o conjunto dos números naturais NÃO É FECHADO em relação à 
divisão. Podemos efetuar 8 : 2 = 4, mas não podemos efetuar 2 : 8 (o resultado desta operação, 
como iremos ver adiante, é uma fração que não é um número natural). 
Observe que falamos algumas expressões tipicamente matemáticas como soma, adição, 
multiplicação, produto, etc. 
Qual é a diferença entre soma e adição? É a mesma coisa? Vejamos. 
 
 
 
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1.1.1.! ADIÇÃO 
 
Como bem já dissemos, podemos definir apenas duas operações no conjunto dos números 
naturais: adição e multiplicação. 
Vamos aprender detalhadamente cada uma dessas operações. 
Considere o seguinte cálculo: 3 + 5 = 8. 
O símbolo “+” representa a operação de adição. O resultado da adição é chamado de soma. 
Portanto “adição” e “soma” não têm o mesmo significado. Adição é o nome da operação. Soma é o 
resultado da adição. 
Definimos então a operação de adição: 
� + � = �							 2�, � → ��������� → ���� 
No nosso exemplo, os números 3 e 5 são as parcelas e 8 é a soma. 
Vejamos algumas propriedades importantes da adição. 
1.1.1.1.!PROPRIEDADE COMUTATIVA 
Esta propriedade afirma que a ordem das parcelas não altera a soma. Em símbolos: 
� + � = � + �, ∀�, � ∈ ℕ 
∀ significa “para todo”. 
Obviamente sabemos que 3 + 5 = 8 e 5 +3 = 8, portanto 3 + 5 = 5 + 3. 
1.1.1.2.!PROPRIEDADE ASSOCIATIVA 
A adição de três números naturais pode ser feita associando-se as duas primeiras ou as duas 
últimas parcelas. Aqui, devemos obedecer à regra de que devemos primeiro efetuar as operações 
que se encontram dentro dos parênteses. 
(2+3) + 5 = 5 + 5 = 10 
2 + (3+5) = 2 + 8 = 10 
Assim, (2+3)+5 = 2+(3+5). 
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1.1.1.3.!EXISTÊNCIA DO ELEMENTO NEUTRO DA ADIÇÃO 
Existe o número 0 (zero) que possui a seguinte propriedade. 
� + 0 = 0 + � = � 
Desta forma, 5 + 0 = 0 + 5 = 5. Por esta razão, o número zero é chamado de elemento neutro da 
adição. 
1.1.1.4.!PROPRIEDADE DO FECHAMENTO 
A soma de dois números naturais é um número natural. 
Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a adição é uma operação bem 
definida no conjunto dos números naturais. Pretende adicionar dois números naturais? Com 
certeza o resultado (a soma) será um número natural. Não tem como a soma ser um númeronegativo, um número irracional, etc. 
1.1.2.! MULTIPLICAÇÃO 
Vamos falar um pouquinho agora sobre a multiplicação. Observe o seguinte cálculo: 
3 × 4 = 12 
Podemos representar a operação da multiplicação por dois símbolos (ou nenhum como veremos 
adiante). Usualmente, utilizamos o × 	��	 ∙. Às vezes também é conveniente utilizar um asterisco 
para representar a multiplicação. 
Assim, 3 × 4 = 3 ∙ 4 = 3 ∗ 4 = 12. 
Quando estamos trabalhando com letras ou com expressões dentro de parênteses é muito comum 
não utilizamos símbolo algum para representar a multiplicação. Assim, 
3�	���������	3 ∙ � 
Ou seja, 3� = 3 ∙ � = 3 × �. 
Vamos nos deparar muitas vezes com expressões do tipo (� + 2)(� − 1). 
Observe que não há símbolo algum entre os parênteses do meio. Esta expressão significa que 
devemos multiplicar as expressões que estão nos parênteses. (� + 2)(� − 1) = (� + 2) ∙ (� − 1) = (� + 2) × (� − 1) 
Daqui por diante usaremos indistintamente os símbolos × 	�	 ∙. Normalmente utilizaremos × 
quando estivermos trabalhando exclusivamente com números e utilizaremos ∙ quando houver 
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letras na expressão. Mas não se preocupe, pois você pode utilizar qualquer um dos dois símbolos. 
Veja o que fica melhor esteticamente e utilize. 
Podemos agora definir a operação da multiplicação, suas propriedades e nomenclaturas. 
� × � = �							 Ι�, � → �������� → ������� 
Da mesma maneira que foi comentado na operação de adição, convém observar a diferença entre 
“multiplicação” e “produto”. Multiplicação é o nome da operação e produto é o resultado da 
multiplicação. 
1.1.2.1.!PROPRIEDADE COMUTATIVA 
A ordem dos fatores não altera o produto. 
É-me indiferente efetuar 3 x 4 ou efetuar 4 x 3. O resultado (produto) será o mesmo 12. 
Desta forma, podemos afirmar que �� = ��, ∀�, � ∈ ℕ. 
Lembre-se que �� significa a vezes b. Ou seja, 
�� = �� = � ∙ � = � ∙ � = � × � = � × � 
2 × 7 = 147 × 2 = 14Μ 				2 × 7 = 7 × 2 
 
1.1.2.2.!PROPRIEDADE ASSOCIATIVA 
A multiplicação de três números naturais pode ser feita associando-se os dois primeiros ou os dois 
últimos fatores. 
(3 ∙ 4) ∙ 5 = 12 ∙ 5 = 603 ∙ (4 ∙ 5) = 3 ∙ 20 = 60Π		(3 ∙ 4) ∙ 5 = 3 ∙ (4 ∙ 5)	 
 
1.1.2.3.!EXISTÊNCIA DO ELEMENTO NEUTRO DA MULTIPLICAÇÃO 
Existe o número 1 (um) que possui a seguinte propriedade: 
� ∙ 1 = 1 ∙ � = � 
Ou seja, tanto faz efetuar 4 vezes 1 ou 1 vezes 4: o resultado é igual a 4. 
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Por essa razão, o número 1 é chamado elemento neutro da multiplicação. 
 
1.1.2.4.!PROPRIEDADE DO FECHAMENTO 
O produto de dois números naturais é um número natural. 
Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a multiplicação é uma operação 
bem definida no conjunto dos números naturais. 
Pretende multiplicar dois números naturais? Com certeza o resultado (o produto) será um número 
natural. Não tem como o produto ser um número negativo, um número irracional, etc. 
Temos ainda uma propriedade que relaciona a multiplicação e a adição. É a chamada propriedade 
distributiva da multiplicação em relação à adição ou simplesmente propriedade distributiva. 
 
1.1.2.5.!PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA 
Antes de enunciar a propriedade seja com palavras seja com símbolos, vejamos um exemplo. 
Efetue 2 ∙ (3 + 5). 
Existe uma hierarquia entre as operações matemáticas. Se não estivessem escritos os parênteses, 
no caso, 2 ∙ 3 + 5, deveríamos efetuar primeiramente 2 ∙ 3 = 6 e em seguida adicionar o 5. No 
caso, 2 ∙ 3 + 5 = 6 + 5 = 11. 
Mas no nosso caso há os parênteses. Devemos, portanto, ignorar a hierarquia das operações, pois 
devemos efetuar obrigatoriamente as operações que estão dentro dos parênteses. 
2 ∙ (3 + 5) = 2 ∙ 8 = 16 
A propriedade distributiva nos diz que na multiplicação de uma soma por um número natural, 
multiplicam-se cada um dos termos por esse número e em seguida somamos os resultados. No 
caso, para efetuar 2 ∙ (3 + 5) podemos multiplicar 2 por 3, multiplicar 2 por 5 e finalmente somar 
os dois resultados. 
2 ∙ (3 + 5) = 2 ∙ 3 + 2 ∙ 5 = 6 + 10 = 16 
Utilizaremos bastante este fato ao trabalhar com “letras”. Por exemplo, a expressão 2 ∙ (� + 3) 
pode ser desenvolvida da seguinte maneira: 
2 ∙ (� + 3) = 2 ∙ � + 2 ∙ 3 = 2 ∙ � + 6 
 
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Perguntado sobre a quantidade de livros do acervo de uma biblioteca do Tribunal de Contas 
do Estado da Paraíba, o funcionário responsável pelo setor, que era aficionado em 
matemática, deu a seguinte resposta: “O total de livros do acervo é o resultado da adição de 
dois números naturais que, no esquema abaixo, comparecem com seus algarismos 
substituídos por letras.” 
 M A R R A 
 + M A R R A 
 T O R T A 
Considerando que letras distintas correspondem a algarismos distintos, então, ao ser 
decifrado corretamente, o código permitirá concluir que o total de livros do acervo dessa 
biblioteca é um número 
a) menor que 70000. 
b) compreendido entre 70000 e 75000. 
c) compreendido entre 75000 e 80000. 
d) compreendido entre 80000 e 85000. 
e) maior que 85000. 
Resolução 
Vamos entender o enunciado. Ele simplesmente efetuou uma adição e trocou os algarismos 
por letras. Letras iguais correspondem a números iguais e letras distintas correspondem a 
algarismos distintos. 
Olhemos inicialmente para os algarismos das unidades. Devemos descobrir um número tal 
que A+A=A. Ou seja, qual é o número que somado com ele mesmo, é igual a ele mesmo? Só 
pode ser o número zero. Tem-se, então, que A=0. Observe que 0 + 0 = 0 (lembre-se que o 
número zero é o elemento neutro da adição). Já podemos substituir as letras A por 0. 
 
Observe os algarismos das dezenas e das centenas. Aparentemente realizamos a mesma 
operação R+R e obtemos dois resultados distintos. Isso se deve ao fato de a soma ser maior 
do que 10 e somos obrigados a acrescentar uma unidade na casa das centenas. Devemos 
testar R para o seguinte conjunto de valores: {5,6,7,8,9} (pois a soma deve ser maior do que 
10). 
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Será que R = 5? Rapidamente concluímos que R não pode ser 5, pois ao efetuar R + R = 10, 
temos que T = 0. Mas lembre-se que letras distintas correspondem a algarismos distintos. E 
como A = 0, T não pode ser 0 e consequentemente R não pode ser 5. 
Será que R = 6? Vejamos o que acontece. Lembre-se que 6 + 6 =12. 
 
Observe o absurdo. Ao efetuarmos 6 + 6 obtemos 12. Escrevemos o algarismo das unidades 2 
no resultado e “subimos 1”. Na coluna do meio devemos efetuar R + R + 1 (este 1 é aquele 
que “subiu”). Temos que 6 + 6 + 1 = 13, então escrevemos o algarismo das unidades 3 e 
subimos 1. Temos agora que R = 3. Absurdo, já que estávamos supondo que R = 6. 
Da mesma maneira, testando R = 7 e R = 8 chegamos a absurdos parecidos com o caso R= 6. 
Chega-se a conclusão de que R=9. 
 
Desse modo, sabemos que T=8. Logo, a soma será escrita da seguinte forma: 
 
Logo, MARRA=81980. 
Gabarito: D 
 
 
 
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Na operação de multiplicação abaixo, cada letra representa um algarismo 
 
O valor de A+B+C é: 
a) 10 
b) 11 
c) 12 
d) 13 
e) 14 
Resolução 
Foquemos na tabuada do 3. 
3 x 1 = 3, 3 x 2 = 6, 3 x 3 = 9 
3 x 4 = 12, 3 x 5 = 15, 3 x 6 = 18 
3 x 7 = 21, 3 x 8 = 24, 3 x 9 = 27 
Ao multiplicarmos o algarismo C pelo número 3, obtemos um número cujo algarismo das 
unidades é igual a 4. Logo, C =8. Como 3 x 8 = 24, ao efetuarmos o produto do número 3 pelo 
algarismo B, devemos adicionar 2 ao resultado. 
 
O produto 3.B deverá ser um número cujo algarismo das unidades seja igual a 6, pois ao 
adicionarmos 2 teremos como resultado um número cujo algarismo das unidades é igual a 8. 
Logo, B=2, pois 3 x 2 = 6. 
 
Finalmente, o número A deve ser tal que 3.A termine em 2. Portanto, A = 4. 
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Como A = 4, B = 2, e C = 8, temos que A + B + C = 14. 
Gabarito: E. 
 
 
1.1.3.! FATORAÇÃO 
 
Fatorar um número natural significa transformá-lo em um produto de números primos. 
Número primo é aquele que possui apenas dois divisores naturais. Os números primos naturais são 
{2,3,5,7,11,13,...}. 
É muito importante saber fatorar números naturais. Qual é o procedimento? 
Imagine que queremos fatorar o número 360. Fique na mente com os primeiros números primos. 
Tem algum número primo naquela lista que divide 360? Sim! 
O número 2 divide 360 e o quociente é 180. Repita o procedimento até encontrar o quociente 1. 
360 2 
180 2 
90 2 
45 3 
15 3 
5 5 
1 
Observe a coluna da direita: o produto destes números é exatamente 360. 
Portanto, a fatoração prima de 360 é 23 x 32 x 51. 
 
 
 
 
 
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Vamos fazer novamente. Fatore 784. 
784 2 
392 2 
196 2 
98 2 
49 7 
7 7 
1 
Assim, a fatoração prima de 784 é 24 x 72. 
Observação: Um número é par quando 2 faz parte de sua fatoração prima. Caso 2 não figure na 
fatoração prima, o número será ímpar. Por exemplo: 34 x 53 é um número ímpar, enquanto 27x32 é 
um número par. Verifique na calculadora! 
 
1.1.4.! QUADRADO PERFEITO 
Um número é quadrado perfeito quando ele é igual ao quadrado de um número natural. É 
igualmente verdade dizer que um número é quadrado perfeito quando todos os expoentes de sua 
fatoração prima forem números pares. 
9 é um quadrado perfeito porque 32 = 9. Neste caso, dizemos que a raiz quadrada de 9 é igual a 3, 
ou seja, √9 = 3. 
121 é um quadrado perfeito porque 112 = 121. Neste caso, √121 = 11. 
26 x 38 x 54 é um quadrado perfeito porque todos os expoentes da fatoração prima são números 
pares. Para calcular sua raiz quadrada, basta dividir todos os expoentes por 2. Assim, √2Τ ∙ 3Υ ∙ 5ς = 2W ∙ 3ς ∙ 5Ξ. 
 
1.1.5.! CUBO PERFEITO 
 
Um número é cubo perfeito quando ele é igual ao cubo de um número natural. É igualmente 
verdade dizer que um número é cubo perfeito quando todos os expoentes de sua fatoração prima 
forem múltiplos de 3. 
8 é um cubo perfeito porque 23 = 8. Neste caso, dizemos que a raiz cúbica de 8 é igual a 2, ou seja, √8Ψ = 2. 
64 é um cubo perfeito porque 43 = 64. Neste caso,	√64Ψ = 4. 
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26 x 312 x 59 é um cubo perfeito porque todos os expoentes da fatoração prima são múltiplos de 3. 
Para calcular sua raiz cúbica, basta dividir todos os expoentes por 3. Assim, √2Τ ∙ 3ΖΞ ∙ 5[Ψ = 2Ξ ∙3ς ∙ 5W. 
 
1.1.6.! QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL 
Depois que temos a fatoração prima de um número, é muito fácil calcular a sua quantidade de 
divisores. 
Vejamos um exemplo com um número pequeno. 
Os divisores naturais de 12 são {1,2,3,4,6,12}. São 6 divisores naturais. 
Observe a fatoração prima de 12. 
12 2 
6 2 
3 3 
1 
12 = 22 x 31. 
A regra é a seguinte. Para calcular a quantidade de divisores, adicione 1 a cada expoente e 
multiplique os resultados. 
Neste exemplo, temos que a quantidade de divisores de 12 é (2+1)*(1+1) =3*2 = 6. 
Esta regra é facilmente explicada pelo princípio fundamental da contagem (assunto de Análise 
Combinatória). 
E em casos como 16 = 24, que só tem um fator primo? 
Basta adicionar 1 ao expoente. Portanto, 16 tem 4 + 1 = 5 divisores. São eles {1,2,4,8,16}. 
Vejamos mais um exemplo: vamos calcular a quantidade de divisores de 60. 
60 2 
30 2 
15 3 
5 5 
1 
Portanto, 60 = 22 . 31 . 51 
A quantidade de divisores naturais é (2+1)(1+1)(1+1) = 12. 
 
 
 
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Mais um exemplo: vamos calcular a quantidade de divisores de 125. 
125 5 
25 5 
5 5 
1 
Como 125 = 53, então 125 possui 3+1 = 4 divisores. 
 
(FCC 2016/Técnico Judiciário – TRF 3ª Região 2016) A diferença entre o menor número 
natural ímpar com cinco divisores positivos distintos e o menor número natural par, também 
com cinco divisores positivos distintos, é igual a 
(A) 39. 
(B) 27. 
(C) 83. 
(D) 65. 
(E) 41. 
Para que um número seja ímpar, 2 não pode aparecer em sua fatoração prima. 
Portanto, o menor número ímpar com 5 divisores naturais é 34 = 81 (observe que devemos 
adicionar 1 ao expoente para calcular a quantidade de divisores). 
O menor número par com 5 divisores é 24 = 16. 
A diferença entre eles é 81 – 16 = 65. 
Gabarito: D 
 
 
1.1.7.! MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 
 
Para obtermos os múltiplos do número 4, multiplicamos cada elemento do conjunto dos números 
naturais pelo número 4. 
4 × 0 = 0 4 × 1 = 4 4 × 2 = 8 4 × 3 = 12 
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4 × 4 = 16 ⋮ 
Os múltiplos de 4 são {0,4,8,12,16,20,24, … }. 
Percebe-se facilmente que esse conjunto tem infinitos elementos. 
Devemos nos lembrar dos seguintes fatos: 
è!O zero é múltiplo de qualquer número. 
è!Todo número é múltiplo de 1 e de si mesmo. 
è!O único múltiplo de zero é o próprio zero. 
O menor dos múltiplos comuns (excluído o zero) de dois ou mais números chama-se mínimo 
múltiplo comum (m.m.c.). 
Qual o m.m.c. entre 8 e 12? 
�ú�������	��	8 = {0,8,16, ��, 32,40, ��, 56,64, ��, 80, … } �ú�������	��	12 = {0,12,��, 36, ��, 60, ��, 84, … } 
 
Observe que existem infinitos múltiplos comuns não-nulos. Dentre todos os múltiplos comuns não-
nulos, o menor é 24. Portanto, ���(8,12) = 24. 
Normalmente os problemas envolvendo mmc são aqueles que surgem periodicidades. Por 
exemplo: 
Imagine que Guilherme tenha folga no trabalho a cada 8 dias. Sua esposa Manuella folga no seu 
trabalho a cada 12 dias. Se os dois folgaram juntos hoje, quando folgarão juntos novamente? 
A resposta é dada pelo mmc. Os dois folgarão juntos novamente daqui a 24 dias. 
Obviamente eles não folgarão juntos APENAS daqui a 24 dias. Esta é apenas a PRÓXIMA vez em 
que folgarão juntos. Pelo conjunto dos múltiplos que escrevi anteriormente, percebemos que eles 
também daqui a 48 dias, daqui a 72 dias, etc. 
Normalmente, utilizamos o método da fatoração simultânea para calcular o mmc. 
Vejamos: mmc(8,12) = ? 
 
 
 
Devemos pensar em um número que divida algum deles. Que tal 2? 
 
 
 
 
 
	8, 12		 
 
	8, 12									2 4, 6	 		 
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Continuando... 
 
 
 
 
 
 
Agora não temos mais como dividir 2 e 3 pelo mesmo número. Vamos continuar a fatoração. 
Dividindo por 2 (repetimos o 3). 
 
 
 
 
 
 
 
E agora dividimos por 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desta forma, ���(8,12) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24 
Caso você tenha a fatoração prima dos números, o MMC é o produto dos fatores comuns elevados 
aos maiores expoentes e dos fatores não-comuns. 
Vejamos um exemplo. Qual o MMC entre 24x35x112 e 23x37x51? 
Quais são os fatores comuns? 2 e 3. Coloquei até em vermelho para que você perceba. 
Observe que no número da esquerda o expoente de 2 é 4 e no número da direita o expoente de 2 
é 3. Pois bem, escolha o MAIOR expoente, beleza? Assim, no MMC o expoente de 2 será 4. Da 
mesma maneira, o expoente de 3 no MMC será 7. 
Os fatores que não são comuns também vão entrar na resposta. 
Portanto, o MMC entre os números dados é 24x37x51x112. 
	8, 12									2 4, 6												2 2, 3 		 
	8, 12									2 4, 6												2 2, 3												2	1, 3 		
	8, 12									2 4, 6												2 2, 3												2	1, 3												3 1, 1 		 
 
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1.1.8.! MÁXIMO DIVISOR COMUM 
Se a divisão de um número natural por outro (não nulo) é exata, dizemos que o primeiro é divisível 
pelo segundo, ou que o segundo número é divisor do primeiro. Desta forma temos que: 
15	é	�����í���	���	3 3	é	�������	��	15 
O conjunto dos divisores de um número é aquele que comporta todos os divisores do número em 
questão. Por exemplo, o conjunto dos divisores de 6 é: 
�Τ = {1,2,3,6} 
O maior dos divisores comuns de dois ou mais números chama-se máximo divisor comum (m.d.c.). 
Qual é o m.d.c. entre 8 e 12? 
Vamos listar os divisores de cada número. 
�Υ = {�, �, �, 8} �ΖΞ = {�, �, 3, �, 6,12} 
Os números em vermelho são os divisores comuns de 8 e 12. Dentre os divisores comuns, qual é o 
maior? A resposta é 4. Portanto, ���(8,12) = 4. 
Se mdc(x,y) = 1, dizemos que x e y são primos entre si (ou co-primos). Isto significa dizer que 
apenas o número 1 divide x e y simultaneamente. 
Observe que é possível que x e y sejam primos entre si, mesmo que x e y não sejam primos. Por 
exemplo, mdc(8,9) = 1, ou seja, 8 e 9 são primos entre si, mas 8 não é primo e 9 não é primo. 
Observe, por exemplo, que a fração 8/9 é irredutível, pois o único divisor comum entre 8 e 9 é o 
número 1. 
Assim, sempre que mdc(x,y) = 1, a fração x/y é irredutível. 
Vamos aprender dois métodos para calcular MDC. 
 
1.1.8.1.!MÉTODO DA FATORAÇÃO SIMULTÂNEA 
Vamos calcular o ���(84,144,60). Utilizaremos o método da fatoração simultânea. Como bem diz 
o nome do método, devemos fatorar os três números simultaneamente, ou seja, de uma só vez. 
Para isto, devemos procurar números que dividam simultaneamente os três números. 
Pense em um número que divida 84, 144 e 60. Pensou? Que tal 2? 
 
 
 
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84 dividido por 2 é igual a 42, 144 dividido por 2 é igual a 72 e 60 dividido por 2 é igual a 30. 
 
 
 
 
Vamos pensar em um número que divida 42, 72 e 30. Que tal 2 novamente? 
42 dividido por 2 é igual a 21, 72 dividido por 2 é igual a 36 e 30 dividido por 2 é igual a 15. 
 
 
 
 
Pense em um número que divida 21, 36 e 15. 
21 divido por 3 é igual a 7, 36 dividido por 3 é igual a 12 e 15 dividido por 3 é igual a 5. 
 
 
 
 
 
 
Há algum número natural (diferente de 1) que divida 7, 12 e 5 simultaneamente? Não! Então 
devemos parar. Para calcular o MDC, devemos multiplicar 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12. 
Vamos agora aprender o chamado Algoritmo de Euclides. 
 
1.1.8.2.!ALGORITMO DE EUCLIDES 
Vamos começar com um exemplo bem fácil. Calculemos o MDC(20,25). Estes números são 
“simpáticos”. Poderíamos utilizar o método da fatoração simultânea, mas vou utilizá-los para 
ensinar o algoritmo de Euclides. 
O Algoritmo de Euclides pode requisitar muitas divisões sucessivas (ele também é chamado de 
Método das Divisões Sucessivas) até que se chegue ao resto zero (sempre se chegará!). Por conta 
disso, é melhor usar uma chave que aproveita melhor os resultados anteriores e deixa espaço para 
os próximos, caso sejam necessários. 
Para começar, monte uma grade com, pelo menos, 3 colunas e exatamente 3 linhas (deixe espaço 
à direita): 
84, 144	, 60							2 42, 72	, 30							 
84, 144	, 60							2 42, 72	, 30									2							 21, 36, 15 
84, 144	, 60							2 42, 72	, 30									2							 21, 36, 15										3 7, 12, 5 
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Na grade, insira os números envolvidos na linha do meio (vou manter os números do nosso 
exemplo inicial). Assim, 
 
25 20 
 
 
Sempre na primeira linha, sobre o último divisor usado, escreva o quociente da divisão atual. Na 
divisão de 25 por 20, o quociente é 1. Ficamos com: 
 1 
25 20 
 
 
O resto da divisão atual é registrado abaixo do dividendo da divisão atual. Na divisão de 25 por 20 
o resto é 5. 
 1 
25 20 
5 
 
 
 
 
 
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Como o resto não foi igual a 0, copiamos o resto (5) ao lado do 20, na próxima casa. Repete-se 
todo o processo anterior, lembrando que agora devemos dividir 20 por 5. 
 1 
25 20 5 
5 
 
Na divisão de 20 por 5, o quociente é 4 e o resto é 0. Registre assim: 
 1 4 
25 20 5 
5 0 
 
Como o resto é 0, você para! O MDC será o último divisor utilizado. No nosso caso, o MDC é 5. 
 
Vamos fazer mais um exemplo:Calcule MDC(117,81). 
Resolução 
Comece construindo a grade para efetuar a divisão de 117 por 81. 
 
117 81 
 
 
Na divisão de 117 por 81, o quociente é 1 e o resto é 36. Registre assim: 
 1 
117 81 
36 
 
Como o resto foi diferente de 0, copiamos o resto (36) ao lado do 81. 
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 1 
117 81 36 
36 
 
Devemos agora dividir 81 por 36. Nesta divisão, o quociente é 2 e o resto é 9. Registre assim na 
tabela: 
 1 2 
117 81 36 
36 9 
 
Como o resto é diferente de 0, devemos copiá-lo ao lado de 36. 
 1 2 
117 81 36 9 
36 9 
 
Devemos agora dividir 36 por 9. Nesta divisão, o quociente é 4 e o resto é 0. Pode parar! 
 1 2 4 
117 81 36 9 
36 9 0 
 
Como o resto é 0, então o MDC é o último divisor utilizado. Portanto, MDC(117,81) = 9. 
 
 
 
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1.1.8.3.!RELAÇÃO ENTRE MMC E MDC 
 
Qual é a relação entre o MMC e o MDC de DOIS números naturais? 
A propriedade seguinte é válida para apenas dois números. 
Se temos dois números naturais x e y, é válida a seguinte relação: 
� ⋅ � = ���(�, �) ⋅ ���(�, �) 
Ou seja, o produto entre o MMC e o MDC é igual ao produto entre os próprios números! 
Por exemplo: mmc(6,8) = 24 e mdc(6,8) = 2. 
6 x 8 = 48 
mmc(6,8) x mdc(6,8) = 24 x 2 = 48 
 
1.2.! CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 
Vimos anteriormente que o conjunto dos números naturais é fechado em relação à adição e à 
multiplicação. Com o intuito de definir a operação “subtração” ampliaremos o conjunto dos 
números naturais. 
Criamos, portanto, o conjunto dos números inteiros que é representado pela letra Z (inicial de zahl 
- número em alemão). 
Chama-se conjunto dos números inteiros o conjunto 
ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} 
Dizemos que o número – � é o simétrico ou oposto do número �. 
Por exemplo, o número −5 é o simétrico de 5 e reciprocamente: 5 é o simétrico de −5. 
 
 
 
 
 
 
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Neste conjunto � destacam-se os seguintes subconjuntos: 
(1) Conjunto �∗ dos inteiros não nulos (diferentes de zero): �∗ = {� ∈ �|� ≠ 0} = {…− 3,−2,−1,1,2,3, … } 
 
(2) Conjunto �ο dos inteiros não positivos (menores ou iguais a zero): �ο = {� ∈ �|� ≤ 0} = {…− 3,−2,−1,0} 
 
(3) Conjunto �θ dos inteiros não negativos (maiores ou iguais a zero): �θ = {� ∈ �|� ≥ 0} = {0,1,2,3,4… } 
 
(4) Conjunto �ο∗ dos inteiros negativos (menores que zero): �ο∗ = {� ∈ �|� < 0} = {…− 3,−2,−1} 
 
(5) Conjunto �θ∗ dos inteiros positivos (maiores que zero): �θ∗ = {� ∈ �|� > 0} = {1,2,3,4… } 
 
 
Observe que o número 0 não pertence ao conjunto dos inteiros positivos e não pertence ao 
conjunto dos inteiros negativos. Portanto, o número 0 (zero) não é positivo e não é negativo. 
Dizemos que zero é neutro. 
Observe que sempre que efetuarmos a adição de um número com o seu oposto (simétrico) o 
resultado será igual a 0. Desta forma: 
5 + (−5) = 0 
2 + (−2) = 0 
−3 + 3 = 0 
Podemos então definir a operação “subtração” da seguinte maneira: 
� − � = � + (−�) 
� − � = �			 υ � → ��������� → ����������� → �������ç� 
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Rapidamente percebemos que a subtração não é uma operação comutativa. Basta olhar, por 
exemplo, que 5 – 3 = 2 e 3 – 5 = - 2. A subtração também não goza da propriedade associativa e 
não possui elemento neutro. 
Podemos afirmar que o conjunto dos números inteiros é FECHADO em relação à subtração. Ou 
seja, se você vai calcular a diferença entre dois números inteiros, com certeza o resultado será um 
número inteiro. 
Observe ainda que todos os números naturais são números inteiros, mas nem todos os números 
inteiros são naturais. Dizemos que o conjunto dos números naturais é subconjunto dos números 
inteiros, ou seja, ℕ ⊂ ℤ. 
 
1.2.1.! QUANTIDADE DE NÚMEROS EM UMA SEQUÊNCIA DE INTEIROS 
CONSECUTIVOS 
Imagine que você precisa ler da página 354 até a página 678 de um livro. Quantas páginas você 
lerá? Fazendo uma pergunta mais técnica: quantos números há no conjunto {354, 355, 356, 357, 
..., 678}? 
A maneira mais rápida de responder esta pergunta é assim: subtraia o maior número do menor e 
adicione 1. 
No nosso exemplo, 678 - 354 + 1 = 325. Portanto, você lerá 325 páginas. 
Por que devemos adicionar 1? 
Ora, quando subtraímos 678 - 354, estamos excluindo o número 354. Devemos adicionar 1 para 
que ele volte à nossa contagem. 
 
 
(BIORIO 2014/NUCLEP) O capítulo III de um livro começa na página 187 e vai até a página 
235. João resolveu ler o capítulo todo num único dia. João gasta em média 4 minutos e meio 
para ler uma página. Para cumprir a resolução ele gastará: 
(A) 3h 36min. 
(B) 3h 40min 30s. 
(C) 3h 45min. 
(D) 3h 49min 30s. 
(E) 3h 54min. 
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Resolução 
O primeiro passo é saber o número de páginas. O capítulo III de um livro começa na página 
187 e vai até a página 235. 
Desta maneira, o capítulo III possui 235 – 187 + 1 = 49 páginas. 
Ele gasta 4,5 minutos para ler uma página. Portanto, para ler as 49 páginas ele levará 49 x 4,5 
= 220,5 minutos = 220 min 30 s = 3 horas 40 min 30s 
Gabarito: B 
 
1.2.2.! QUANTIDADE DE ALGARISMOS EM UMA SEQUÊNCIA DE NATURAIS 
CONSECUTIVOS 
 
Vamos resolver o seguinte problema. 
Quantos algarismos são usados para numerar de 1 a 150 todas as páginas de um livro? 
a) 327 
b) 339 
c) 342 
d) 345 
e) 350 
Resolução 
Da página 1 até a página 9 há 9 – 1 + 1 = 9 páginas. Como cada página neste intervalo possui 1 
algarismo, são usados 9 x 1 = 9 algarismos. 
 
Da página 10 até a página 99 são 99 – 10 + 1 = 90 páginas. Como cada página neste intervalo possui 
2 algarismos, são usados 90 x 2 = 180 algarismos. 
 
Da página 100 até a página 150 são 150 – 100 + 1 = 51 páginas. Como cada página neste intervalo 
possui 3 algarismos, são usados 51 x 3 = 153 algarismos. 
 
Total: 9 + 180 + 153 = 342 algarismos. 
 
Gabarito: C 
 
Vamos produzir um resultado geral para problemas neste estilo. Suponha que o número de 
páginas de um livro é P tal que 100 ≤ P ≤ 999. 
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Quantos algarismos são utilizados na numeração das páginas deste livro? 
 
Da página 1 até a página 9 são utilizados 9 x 1 = 9 algarismos. 
Da página 10 atéa página 99 são utilizados 90 x 2 = 180 algarismos. 
Da página 100 até a página de número P, temos P – 100 + 1 = P – 99 páginas. Como cada página 
tem 3 algarismos, são utilizados 3(P – 99) algarismos. 
 
O total de algarismos A é igual a 9 + 180 + 3(P – 99). 
 
� = 9 + 180 + 3(� − 99) � = 189 + 3� − 297 
� = 3� − 108 
Assim, se o problema fornecer a quantidade de páginas, basta multiplicar esta quantidade por 3 e 
subtrair 108 para calcular a quantidade de algarismos utilizados na numeração do livro. 
No exemplo anterior, temos: 
 
� = 3 × 150 − 108 = 342 
Podemos também isolar P na expressão acima. 
 
� + 108 = 3� 
 
� = � + 1083 
 
Com esta expressão, podemos calcular a quantidade de páginas de um livro, sendo dada a 
quantidade de algarismos utilizados em sua numeração, sendo o número de páginas 100≤P≤999. 
 
No caso, a fórmula acima é válida se a quantidade de algarismos A for tal que 192≤A≤2889. 
 
Se o número de páginas for superior a 999 (1.000≤P≤9.999), as fórmulas acima tomam as seguintes 
formas: 
 
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� = 4� − 1.107 
 
� = � + 1.1074 
 
A demonstração é análoga. 
 
Um livro tem N páginas numeradas de 1 a N. Se na numeração das páginas desse livro foram 
usados 657 algarismos, então N é igual a 
(A) 235 
(B) 244 
(C) 245 
(D) 254 
(E) 255 
Resolução 
Basta utilizar a relação que que desenvolvemos. 
� = � + 1083 
� = 657 + 1083 = 255	����� 
Gabarito: E 
 
 
1.2.3.! REGRAS DOS SINAIS COM NÚMEROS INTEIROS 
 
i)! – (– a) = a 
ii)! a. (–b) = (–a).b = –(a.b) = –a.b 
iii)! (–a)( –b) = ab 
As observações acima são conhecidas como “Regra dos sinais” para a multiplicação (e divisão) de 
inteiros. 
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Sinais dos números Resultado 
iguais positivo 
diferentes negativo 
 
Exemplos: 
 
Vejamos como operar a adição e a subtração com números inteiros. 
Se os números possuírem sinais iguais, devemos adicionar os números e repetir o sinal. 
+2 + 3 = +5 −2 − 3 = −5 
Se os números possuírem sinais opostos, devemos subtrair os números e repetir o sinal do maior. 
+5 − 2 = +3 −5 + 2 = −3 
 
1.3.! CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS 
 
Até o presente momento, conseguimos definir 3 operações básicas: adição, multiplicação e 
subtração. Com os números expostos não temos condições de definir a divisão. Isto porque com 
números inteiros podemos dividir 8 por 2, mas não podemos dividir 2 por 8. Para resolver este 
impasse, vamos definir o conjunto dos números racionais que é representado pela letra Q. 
ℚ = 2�� ∼� ∈ ℤ	�	� ∈ ℤ∗Μ 
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O número p é chamado numerador da fração e o número q é chamado denominador da fração. 
O conjunto dos racionais é formado por todas as frações em que o numerador é inteiro e o 
denominador é um inteiro não-nulo e também por todos os números que podem ser 
representados desta forma. Todo número na forma de decimal finito ou de dízima periódica pode 
ser convertido à forma de fração. 
Todos os números naturais são números racionais (ℕ ⊂ ℚ), pois todos podem ser escritos na 
forma de fração. Basta colocar o denominador igual a 1. 
2 = 21 
Todos os números naturais e todos os números inteiros são números racionais (ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ), pois 
todos podem ser escritos na forma de fração. Basta colocar o denominador igual a 1. 
−2 = −21 
Observe que o sinal – pode ser colocado em qualquer lugar da fração. Desta forma: −21 = 2−1 = −21 = −2 
Além dos números naturais e números inteiros, todos os números decimais finitos e as dízimas 
periódicas também são números racionais. 
Números decimais finitos são números como 1,47	; 	2, 513		; 	−3,0154. 
Para transformar números decimais finitos na forma de fração devemos seguir os seguintes passos: 
i) Colocar no numerador todo o número sem a vírgula. 
ii) Colocar no denominador o número 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais. 
1,47 = 147100 
2,513 = 2.5131.000 
−3,0154 = −30.15410.000 
Observação: O conjunto dos números racionais goza da propriedade da densidade. Isso significa 
que entre dois números racionais quaisquer existem infinitos outros números racionais. 
 
1.3.1.! DÍZIMAS PERIÓDICAS 
Finalmente as dízimas periódicas. O que são dízimas periódicas? São números decimais com 
infinitas casas decimais periódicas. 
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Em outra palavras, é preciso que exista certo conjunto de números que se repitam periodicamente 
infinitas vezes. Vejamos alguns exemplos: 
0,14141414141414141414141414141414141414141414…. 
Observe que o conjunto de dígitos 14 se repete infinitas vezes. 
32,021������������������������������������������������������… 
Observe que o conjunto de dígitos 546 se repete infinitas vezes. 
Os Matemáticos adoram inventar abreviações, notações e símbolos. 
A notação é a seguinte: utiliza-se uma barra em cima dos dígitos que se repetem, ou seja, do 
período. Portanto, 
32,021546546546546546… = 32,021546‚‚‚‚‚ 
Muito mais simples, não? 
A pergunta que surge é a seguinte: se afirmamos que as dízimas periódicas são números racionais 
e os números racionais são representados por frações, como transformamos as dízimas periódicas 
em frações? 
Existem diversos métodos para fazer esta transformação. Há livros que costumam separar as 
dízimas periódicas em simples e compostas. Há livros que fazem esta transformação utilizando 
sistemas de equações. Há outros que utilizam P.G. (progressão geométrica). Pela experiência que 
temos, julgamos o método abaixo como o mais simples e eficiente por vários razões: 
i) Qual a utilidade de separar as dízimas periódicas em simples e compostas? 
ii) Você gosta armar sistemas de equações e resolvê-los? Um pouco trabalhoso para resolver uma 
simples questão de dízima periódica, não? 
iii) É realmente necessário aprender Progressão Geométrica para resolver uma simples questão de 
dízima periódica? 
Vejamos um exemplo: transformar em fração o número 3,12851851851… 
O primeiro passo é colocar naquela notação da barra que falamos anteriormente. 
3,12851851851… = 3,12851‚‚‚‚‚ 
Denominaremos “Número Completo” e abreviaremos por NC o número da dízima periódica sem a 
vírgula e sem a barra. No nosso exemplo, �� = 312.851. 
Denominaremos “Número fora da barra” e abreviaremos por NFB os números que estão fora da 
barra (não coloque a vírgula). No nosso exemplo, ��� = 312. 
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Meio caminho já foi andado. O numerador da fração é o número �� − ���. 
Por enquanto, nossa fração está assim: 
3,12851‚‚‚‚‚ = 312.851− 312 
E como fica o denominador? 
Você deve contar quantos algarismos estão embaixo da barra. No nosso caso, há 3 algarismos 
embaixo da barra. A regra nos diz que devemos colocar no denominador tantos 9’s (noves) 
quantos forem os algarismos embaixo da barra. Como são 3 algarismos embaixo da barra, 
devemos colocar 3 noves no denominador. 
3,12���‚‚‚‚‚‚ = 312.851 − 312��� 
 
Pronto? Ainda não. 
Vamos olhar agora para os algarismos que estão “entre a vírgula e a barra”. Quantos são eles? Dois 
algarismos. 
A regra nos diz que devemos colocar tantos zeros quantos forem os algarismos entre a vírgula e a 
barra. 
3, �����‚‚‚‚‚‚ = 312.851 − 312����� 
Agora é só simplificar o numerador. 
3,12851‚‚‚‚‚ = 312.851 − 31299.900 = 312.53999.900 
Exemplo: Calcule a fração geratriz do número 0,666666… 
Vamos colocar na notação da barra. 
0,666… = 0, 6‚ 
�� → �ú����	�������� = 6 
��� → �ú����	����	��	����� = 0 
Quantos algarismos há na barra? Apenas um. Portanto, colocamos apenas um 9 no denominador. 
Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Nenhum. Portanto, não colocamos zeros no 
denominador. 
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0,666… = 6 − 09 = 69 = 23 
Exemplo: Transforme em fração o número 0,13434343434… 
Vamos colocar na notação da barra. 
0,1343434… = 0,134‚‚‚‚ 
�� → �ú����	�������� = 134 
��� → �ú����	����	��	����� = 1 
Quantos algarismos há na barra? Dois. Portanto, colocamos dois 9’s no denominador. 
Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Apenas um. Portanto, colocamos um zero no 
denominador.. 
0,1343434… = 134 − 1990 = 133990 
Exemplo: Transforme em fração o número 0,999… 
Vamos colocar na notação da barra. 
0,999… = 0, 9‚ 
�� → �ú����	�������� = 9 
��� → �ú����	����	��	����� = 0 
Quantos algarismos há na barra? Apenas um!! Portanto, colocamos apenas um 9 no denominador. 
Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Nenhum!! Portanto, não colocamos zeros no 
denominador. 
0,999… = 9 − 09 = 99 = 1 
Portanto, 0,999… = 1 
Observe que 0,99999999999... não é aproximadamente 1. Este número é igual a 1. 
A bem da verdade, 0,999… e 1 representam o mesmo número. Apenas estão escritos de maneiras 
diferentes. 
 
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A expressão decimal 0,011363636... é uma dízima periódica composta e representa um 
número racional x. Se a geratriz desta dízima for escrita sob a forma de uma fração irredutível 
m/n, então m + n é igual a: 
 
A) 88 
B) 89 
C) 90 
D) 91 
E) 92 
Resolução 
Para transformar a expressão decimal 0,011363636... em uma fração o primeiro passo é 
escrever na notação da barra. 
0,011363636… = 0,01136‚‚‚‚ �� → �ú����	�������� = 1.136 ��� → �ú����	����	��	����� = 11 
Quantos algarismos há na barra? Dois!! Portanto, colocamos dois 9’s no denominador. 
Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Três!! Portanto, colocamos três zeros no 
denominador. 
0,01136‚‚‚‚ = 1.136 − 1199.000 = 1.12599.000 
 
A questão pede que coloquemos a resposta na forma de fração irredutível. Fração irredutível 
é aquela que não pode mais ser simplificada. Claramente podemos simplificar o numerador e 
o denominador por 5. 1.12599.000 = 22519.800 
Na realidade, podemos simplificar o numerador e o denominador por 5 várias vezes. 22519.800 = 453.960 = 9792 
Agora podemos simplificar o numerador e o denominador por 9. 9792 = 188 
Agora não dá para simplificar mais. Temos, portanto, uma fração irredutível. 
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0,011363636… = 188 
A questão pede para efetuar � + � onde � = 1	�	� = 88. 
� + � = 1 + 88 = 89 
Gabarito: B 
 
 
1.3.2.! DIVISÃO 
 
 
Exemplo: 
38		|	___9__	2										4	
 
Ou seja, 38 dividido por 9 é igual a 4 e resto 2. Isto porque 9 ∙ 4 + 2 = 38. 
Quando o resto de uma divisão é zero, dizemos que a divisão é exata. 
É importante frisar que é impossível dividir por 0. Ou seja, o divisor nunca pode ser 0. 
Assim, não há sentido na fração 5/0. 
 
1.3.3.! MULTIPLICAÇÃO ENVOLVENDO NÚMEROS DECIMAIS 
Basta multiplicar os números como se não houvesse casas decimais. Depois você conta todas as 
casas decimais e coloca a mesma quantidade na resposta. 
 
Exemplo: 23,1 x 1,234 
 
Primeiro, vamos multiplicar os números sem levar em consideração as casas decimais. 
231 x 1.234 = 285.054 
 
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
®
®
®
®
+×=
resto r
quociente q
divisor d
dividendo D
 r q d D ou d | D
 q r
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E as casas decimais? 23,1 tem UMA casa decimal; 1,234 tem TRÊS casas decimais. A resposta terá 1 
+ 3 = 4 casas decimais. Portanto, 23,1 x 1,234 = 28,5054. 
 
1.3.4.! DIVISÃO ENVOLVENDO NÚMEROS DECIMAIS 
 
O primeiro passo é igualar a quantidade de casas decimais do dividendo e do divisor. Depois é só 
apagar as vírgulas. 
Exemplo: 80,4 / 0,00025 
O número 80,4 tem apenas uma casa decimal. 
O número 0,00025 tem cinco casas decimais. 
O que fazer? 
Vamos acrescentar zeros no número que tem menos casas decimais até que os dois números 
possuam a mesma quantidade de casas decimais. 
No caso, para que 80,4 também tenha cinco casas decimais, devemos acrescentar 4 zeros. 
80,4 = 80,40000 
A nossa divisão fica assim: 80,4 / 0,00025 = 80,40000 / 0,00025 
Agora é só apagar as vírgulas. 
8.040.000 / 25 = 321.600 
 
Outra dica importante: nem sempre você precisa efetuar a conta completamente… 
Vejamos um exemplo. 
Um contrato prevê que aplicações iguais sejam feitas mensalmente em uma conta durante doze 
meses com o objetivo de atingir o montante de R$ 100.000,00 ao fim deste prazo. Quanto deve ser 
aplicado ao fim de cada mês, considerando rendimentos de juros compostos de 2% ao mês? 
a) R$ 7.455,96 
b) R$ 7.600,00 
c) R$ 7.982,12 
d) R$ 8.270,45 
e) R$ 9.000,00 
 
Não vamos entrar nos méritos da Matemática Financeira aqui. Ao resolver esta questão, nos 
deparamos com a seguinte divisão no final dos cálculos: 
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100.000 / 13,412090 
Observe que as alternativas são bem diferentes! 
Vamos truncar as casas decimais. Farei a seguinte divisão: 
100.000/ 13,4 
Como 13,4 tem uma casa decimal, então acrescentaremos uma casa decimal em 100.000 e depois 
apagamos as vírgulas. 
100.000,0 / 13,4 = 1.000.000 / 134 
Vamos efetuar a divisão. Como 7 x 134 = 938, então o primeiro algarismo do quociente é 7. O 
resto, por enquanto, é igual a 1.000 – 938 = 62. 
Já podemos descartar as alternativas D e E. 
1.000’.000 / 134 . 
62 7 
 
Agora baixamos um zero.1.000’.0’00 / 134 . 
620 7 
 
620 dividido por 134 dá 4 e algum resto. 
1.000’.0’00 / 134 . 
620 74 
 
Olhe para as alternativas e adivinhe a resposta 
a) R$ 7.455,96 
b) R$ 7.600,00 
c) R$ 7.982,12 
d) R$ 8.270,45 
e) R$ 9.000,00 
 
Letra A. Isto mesmo! Está vendo como foi fácil? 
 
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Considere � = 0,00003 e � = 3.600.000. Desse modo, b/a vale 
a) cento e vinte trilhões. 
b) cento e vinte bilhões. 
c) um bilhão e duzentos milhões. 
d) cento e vinte milhões. 
e) um milhão, cento e vinte mil. 
Resolução 
Para efetuar a divisão, devemos igualar a quantidade de casas decimais e em seguida “apagar 
as vírgulas”. �� = 3.600.000,000000,00003 = 360.000.000.0003 = 120.000.000.000 
Gabarito: B 
 
 
1.3.5.! SUBCONJUNTOS NOTÁVEIS DOS RACIONAIS 
 
Analogamente ao conjunto dos números inteiros, há certos subconjuntos do conjunto dos 
números racionais que merecem destaque. Ei-los: 
(1) Conjunto ℚ∗ dos racionais não nulos (diferentes de zero): ℚ∗ = {� ∈ ℚ|� ≠ 0} 
 
(2) Conjunto ℚο dos racionais não positivos (menores ou iguais a zero): ℚο = {� ∈ ℚ|� ≤ 0} 
 
(3) Conjunto ℚθ dos racionais não negativos (maiores ou iguais a zero): ℚθ = {� ∈ ℚ|� ≥ 0} 
 
(4) Conjunto ℚο∗ dos racionais negativos (menores que zero): ℚο∗ = {� ∈ ℚ|� < 0} 
 
(5) Conjunto ℚθ∗ dos racionais positivos (maiores que zero): 
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ℚθ∗ = {� ∈ ℚ|� > 0} 
 
 
1.3.6.! SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES 
 
Para simplificar uma fração, devemos dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número. 
Por exemplo, a fração 6/8 pode ser simplificada por 2. 
6:2 = 3 e 8:2 = 4. Portanto, 6/8 = 3/4. 
Às vezes, não conseguimos pensar em bons números para simplificar de uma vez só. Por exemplo, 
vamos simplificar 48/60. 
Se você consegue perceber que 48 e 60 são divisíveis por 12, ótimo! 
48:12 = 4 e 60:12 =5. Portanto, 48/60 = 4/5. 
Caso você não perceba, vá simplificando aos poucos: 4860 = 2430 = 1215 = 45 
No caso, simplifiquei por 2, por 2 e depois por 3. 
O ideal é simplificar pelo MDC. Veja o próximo exemplo. 
 
Exemplo: Simplifique a fração 851/1.147. 
Para simplificar esta fração, devemos pensar em um número que divida 851 e 1.147. Para ter 
menos trabalho e simplificar a fração de uma só vez, devemos calcular o MDC. 
A grade do algoritmo de Euclides ficará assim: 
 1 2 1 7 
1.147 851 296 259 37 
296 259 37 0 
 
Portanto, MDC(1.147,851) = 37. 
A fração 851/1.147 deve ser simplificada por 37. 
851 dividido por 37 é igual a 23. 
1.147 dividido por 37 é igual a 31. 
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Resposta ����. ��� = ���� 
 
1.3.7.! ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES 
 
Para somar (ou subtrair) duas ou mais frações de mesmo denominador, devemos repetir os 
denominadores e operar com os numeradores. 
Exemplos: 45 + 35 − 15 = 4 + 3 − 15 = 65 
 27 − 67 + 57 = 2 − 6 + 57 = 17 
 19 + 49 − 89 = 1 + 4 − 89 = −39 = −13 
Observe que a fração do último exemplo foi simplificada. É importante notar que o resultado do 
último exemplo pode ser escrito de três maneiras. −13 = −13 = 1−3 
Sendo as duas primeiras formas as mais comuns. Em outras palavras: em uma fração negativa, o 
sinal de “menos” pode ser colocado no numerador, no denominador, ou à esquerda da fração. 
Se os denominadores forem diferentes, vamos seguir os seguintes passos: 
i)! Calcular o MMC dos denominadores. Substituiremos todos os denominadores por este 
MMC. 
ii)! Dividiremos o MMC por cada denominador e multiplicaremos o resultado pelo 
numerador. O resultado desta multiplicação será o novo numerador de cada fração. 
Exemplo: 56 − 29 + 712 
O primeiro passo é calcular o MMC entre 6,9 e 12. 
6,9,12 2 
3,9, 6 2 
3,9, 3 3 
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1,3, 1 3 
1,1, 1 
Desta maneira, MMC(6,9,12) = 2x2x3x3 = 36. 
Vamos substituir todos os denominadores por 36. 
56 − 29 + 712 = 36 − 36 + 36 
Também é correto escrever uma única fração com denominador 36. 56 − 29 + 712 = 																															36 
Em cada fração, vamos dividir o MMC, que é 36, pelo denominador e multiplicar o resultado pelo 
numerador. 
Primeira fração: dividimos 36 por 6 e multiplicamos o resultado por 5. 36/6 = 6 e 6x5 = 30. Este 
será o novo denominador da primeira fração. 
Segunda fração: dividimos 36 por 9 e multiplicamos o resultado por 2. 36/9 = 4 e 4x2 = 8. Este será 
o novo numerador da segunda fração. 
Terceira fração: dividimos 36 por 12 e multiplicamos o resultado por 7. 36/12 = 3 e 3x7 = 21. Este 
será o novo numerador da terceira fração. 
56 − 29 + 712 = 3036 − 836 + 2136 
Agora estamos no caso anterior: adição e subtração de frações com mesmo denominador. 
Repetiremos os denominadores e operaremos com os numeradores. 
56 − 29 + 712 = 3036 − 836 + 2136 = 30 − 8 + 2136 = 4336 
Exemplo: 38 + 512 − 716 
Primeiro passo: calcular MMC(8,12,16). 
8,12,16 2 
4, 6, 8 2 
2, 3, 4 2 
1, 3, 2 2 
1, 3, 1 3 
1,1, 1 
Portanto, MMC(8,12,16) = 2x2x2x2x3 = 48. 
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Este será o novo denominador. Vamos agora dividir 48 por cada denominador e multiplicar o 
resultado pelos respectivos numeradores. 38 + 512 − 716 = 1848 + 2048 − 2148 = 1748 
 
 
 
1.3.8.! MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES 
 
Para multiplicar frações, não precisamos ter denominadores iguais. Basta multiplicar os 
numeradores e multiplicar os denominadores. 23 × 47 = 821 
Se a multiplicação for entre um número inteiro e uma fração, o número inteiro multiplicará o 
numerador da fração. 
2 × 57 = 107 
Isso porque 2 = 2/1. 
Sempre que for possível, simplifique as frações antes de multiplicar. Desta forma, você terá bem 
menos trabalho. O detalhe é que qualquer numerador pode ser simplificado com qualquer 
denominador, se possível. 914 ∙ 216 ∙ 58 
Observe que 14 e 21 podem ser simplificador por 7. Ademais, 9 e 6 podem ser simplificados por 3. 914 ∙ 216 ∙ 58 = 32 ∙ 32 ∙ 58 = 4532 
 
 
 
(FCC 2016/TRF 3ª Região/Analista) 
Seja A o quociente da divisão de 8 por 3. Seja B o quociente da divisão de 15 por 7. Seja C o 
quociente da divisão de 14 por 22. O produto A . B . C é igual a 
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(A) 3,072072072 ... ͒ 
(B)3,636363 ... ͒ 
(C) 3,121212 ... ͒ 
(D) 3,252525 ... ͒ 
(E) 3,111... 
Resolução 
A = 8/3 
B = 15/7 
C = 14/22 
Queremos o produto ABC. 83 ⋅ 157 ⋅ 1422 
Vamos simplificar. 15/3 = 5, 14/7 = 2 e podemos simplificar 8 e 22 por 2. 41 ⋅ 51 ⋅ 211 = 4011 
Agora é só dividir 40 por 11. 
40/11 = 3,636363636363... 
Gabarito: B 
 
1.3.9.! DIVISÃO DE FRAÇÕES 
 
Para dividir frações, devemos repetir a primeira fração e multiplicar pelo recíproco (fração 
invertida) da segunda. 
Exemplo: 23 ÷ 59 = 23 × 95 
Observe que agora podemos simplificar 9 e 3 por 3. 23 ÷ 59 = 23 × 95 = 21 × 35 = 65 
Exemplo: 
8 ÷ 316 = 8 × 163 = 1283 
Exemplo: 163 ÷ 8 = 163 × 18 
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Observe que 16 e 8 podem ser simplificados por 8. 163 ÷ 8 = 163 × 18 = 23 × 11 = 23 
 
1.4.! CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS 
 
Não há unanimidade quanto ao símbolo para representar o conjunto dos irracionais. 
Existem números cuja representação decimal com infinitas casas decimais não é periódica. Tais 
números não são racionais e são denominados irracionais. Alguns exemplos famosos: 
√2 = 1,4142135… 
� = 3,1415926535… 
� = 2,718281… 
���������	��	�ℎ���������� = 0,12345678910111213141516… 
A constante de Champernowne é a concatenação dos números naturais nas casas decimais. 
���������	��	��������� − ���ö� = 0,235711131719… 
A constante de Coperland-Erdös é a concatenação dos números primos nas casas decimais. 
���������	��	����� − ����ℎ����� = � = 0,5772156649… 
Tais números não podem ser expressos como uma fração com numerador e denominador inteiros. 
De uma maneira geral, a raiz quadrada de um número natural que não é quadrado perfeito é um 
número irracional. Vamos agora aprender um método para aproximar raízes quadradas de tais 
números. 
 
1.4.1.! APROXIMAÇÃO DE RAIZ QUADRADA 
 
Certamente em algum momento da sua vida você deve ter se deparado com o cálculo de alguma 
raiz quadrada. Seja em equações do segundo grau, seja para calcular o desvio-padrão em 
Estatística ou em outros inúmeros casos. 
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O método que julgamos mais simples e eficaz para a obtenção de uma boa aproximação no cálculo 
de raízes quadradas chama-se Método de Newton-Raphson. O método de complicado só tem o 
nome. 
Isaac Newton não precisa de apresentações. Para ilustrar um pouco da sua importância na história 
da ciência, suas realizações foram expressas poeticamente por Alexandre Pope nos versos 
A Natureza e as Leis da Natureza jaziam ocultas na noite; 
Deus disse, “Faça-se Newton”; e a luz se fez. 
Em 1690, Joseph Raphson, um membro da Royal Society de Londres, publicou um opúsculo, 
Analysis aequationum universalis, que, essencialmente, descreve o método de Newton. Por essa 
razão. Esse método é hoje muitas vezes conhecido como Método de Newton-Raphson. 
Na realidade, o que vamos ensinar neste tópico é apenas um caso particular do método. 
Ensinaremos como calcular uma BOA APROXIMAÇÃO de raízes quadradas. 
Em geral, a raiz quadrada será “transformada” em uma fração. Para começar o método, você deve 
procurar o quadrado perfeito mais próximo do número em questão. 
Por exemplo, se estamos querendo calcular a raiz quadrada de 87, então o quadrado perfeito mais 
próximo é 81 (92). 
O método é descrito da seguinte maneira: 
√� ≈ � + �Ξ2� 
Em que x2 é o quadrado perfeito mais próximo de a. 
Vamos interpretar cada termo dessa fração. O numerador é formado por uma soma de dois 
números: o próprio número e o quadrado perfeito mais próximo. Já no denominador, você vai 
multiplicar a raiz quadrada do quadrado perfeito por 2. 
Por exemplo, se o quadrado perfeito mais próximo for 81 (9x9), então 81 que é o quadrado 
perfeito vai para o numerador e 9 vai para o denominador. 
Por exemplo, vamos calcular um valor aproximado para a raiz quadrada de 67. 
Qual o quadrado perfeito mais próximo de 67? Lembre-se que 8x8=64; o quadrado perfeito mais 
próximo de 67 é 64. 
Some esses dois números e coloque no numerador. 
A raiz quadrada de 64 é 8. 
Multiplique esse número por 2 e coloque no denominador. A aproximação ficará assim: 
√67 ≈ 67 + 642 ∙ 8 ≈ 8,18 
Na calculadora encontramos 8,1853... 
Obtivemos uma excelente aproximação. 
Vejamos outro exemplo: Calcule um valor aproximado para a raiz de 129,4. 
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Qual o quadrado perfeito mais próximo de 129,4? A resposta é 121 (11x11). Portanto, somamos 
129,4 com 121 e colocamos no numerador. Depois multiplicamos 11 por 2 e colocamos no 
denominador. 
√67 ≈ 129,4 + 1212 ∙ 11 ≈ 11,38 
 
Enquanto que o valor encontrado na calculadora é 11,375. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5.! CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 
Chama-se conjunto dos números reais - ℝ - aquele formado por todos os números com 
representação decimal (finita, ou infinita periódica ou infinita não periódica). 
Podemos dizer que o conjunto dos números reais é a reunião do conjunto dos números racionais 
com o conjunto dos números irracionais. 
Assim, adotando o conjunto dos números reais como universo, o conjunto dos números irracionais 
é o complementar do conjunto dos números racionais em relação ao conjunto dos números reais. 
ℚ ∪ 	ℚ	‚‚‚‚ = ℝ 
ℚ ∩ 	ℚ	‚‚‚‚ = ∅ 
Onde 	ℚ	‚‚‚‚ é o conjunto dos números irracionais. 
 
1.5.1.! RETA REAL 
 
Os nœmeros reais podem ser representados por pontos em uma reta orientada 
denominada Reta Real. 
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1.5.2.! INTERVALOS REAIS 
 
Vamos considerar a e b números reais tais que � ≤ �. Os seguintes subconjuntos definidos a seguir 
são chamados intervalos reais. 
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Quando a = b, o intervalor fechado [a,b] reduz-se a um único elemento e chama-se intervalo 
degenerado. Neste caso, os intervalos (a,b], [a,b) e (a,b) são conjuntos vazios. 
Observações: 
- É comum escrever ℝ = (−∞,+∞). 
- Os símbolos +∞ e −∞ não representam números reais. São apenas parte da notação de 
intervalos ilimitados. 
- A bola fechada indica que o número na extremidade pertence ao intervalo. A bola aberta indica 
que o número na extremidade não pertence ao intervalo. 
 
!
!
Considere os conjuntos: 
N, dos números naturais. 
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Z, dos números inteiros. 
Q, dosnúmeros racionais. 
R, dos números reais. 
Assinale a alternativa correta. 
(A) a, b ∈	N temos a − b ∈ N. 
(B) Existe um elemento em Z que é menor que qualquer número inteiro. 
(C) N ⊂Z ⊂ Q ⊂ R. 
(D) a ∈ Z, b ∈ Z e b ≠0 ⇒ a/b ∈ Z. 
(E) A equação 3x −1 = 0 não tem solução em Q. 
Resolução 
a) Falsa. A subtração não é uma operação nos Naturais, isto porque nem sempre a – b ∈ N. A 
subtração só é definida quando o minuendo (a) for maior ou igual ao subtraendo (b). Por 
exemplo, 3 – 5 = -2 e −2 ∉ N. 
 
b) Falsa. O conjunto Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} não possui um menor elemento nem um 
maior elemento. 
 
c) Verdadeiro. Todo número natural é um número inteiro, todo número inteiro é um número 
racional e todo número racional é um número real. 
 
d) Falsa. Se a ∈ Z, b ∈ Z e b ≠0, nem sempre a/b	∈ Z. Por exemplo, 8 ∈ Z, 5∈ Z e 8/5 = 1,6 ∉ �. 
e) Vamos resolver a equação 3x −1 = 0. 
3� = 1 
� = 13 ∈ � 
Portanto, a alternativa E é falsa. 
Gabarito: C 
 
 
 
 
Considere os conjuntos: 
N dos números naturais, 
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Q dos números racionais, 
Q+ números racionais não-negativos, 
R dos números reais. 
O número que expressa 
a) a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de Q+, mas não de N. 
b) o valor pago, em reais, por um sorvete é um elemento de Q+. 
c) a medida da altura de uma pessoa é um elemento de N. 
d) a velocidade média de um veículo é um elemento de Q, mas não de Q+. 
e) a medida do lado de um triângulo é um elemento de Q. 
Resolução 
a) Falso, pois a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de N. 
b) Verdadeiro, pois o valor pago por um sorvete é um racional não-negativo. Por exemplo, 
2,37 reais. 
c) Falso, pois a medida da altura de uma pessoa não necessariamente é um elemento de N, 
pode ser um racional não-natural. Por exemplo, 1,72m. 
d) Falsa, pois, teoricamente, a velocidade média de um veículo pode ser um número 
irracional. 
e) Falsa, pois a medida do lado de um triângulo pode ser irracional. 
Gabarito: B 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5.3.! POTENCIAÇÃO 
 
A multiplicação de fatores iguais pode ser escrita na forma de potência. Observe: 
4› = 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 1.024 
Na potência 4› → 4 é a base (fator que se repete) e 5 é o expoente (número de vezes que o fator 
se repete). 
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Sendo � um número real e � um número inteiro maior que 1, define-se: 
�œ = � ∙ � ∙ … ∙ �				(�	�������) 
Exemplos: 
5W = 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125 (−8)Ξ = (−8) ∙ (−8) = 64 
−23ž
Ξ = −23ž ∙ −23ž = 49 (−2)W = (−2) ∙ (−2) ∙ (−2) = −8 
 
 
IMPORTANTE 
Se o expoente é um número par, o resultado da potência é positivo. 
Se o expoente é ímpar e a base é um número negativo, o resultado da potência é 
negativo. 
Se a base é positiva, o resultado da potência é positivo. 
 
¥! Toda potência de expoente 1 é igual a base. 
�Ζ = � 
¥! Toda potência de expoente 0 é igual a 1. 
�Ÿ = 1, �����	� ≠ 0 
Observação: 0Ÿ	é uma indeterminação matemática. 
¥! Toda potência de expoente negativo é igual ao inverso da potência de expoente positivo. 
�οœ = 1�œ 
Exemplos: 
5Ζ = 5 
34ž
Ÿ = 1 
25ž
οW = 52ž
W = 1258 
5οΖ = 15ž
Ζ = 15 
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1.5.3.1.!PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DAS POTÊNCIAS 
 
�€ ∙ �ϒ = �€θϒ �€�ϒ = �€οϒ, � ≠ 0 (�′)œ = �′œ 
Em palavras: 
¥! Para multiplicar potências de mesma base, conserva-se a base e os expoentes são 
adicionados. 
¥! Para dividir potências de mesma base, conserva-se a base e os expoentes são subtraídos. 
¥! Para elevar uma potência a outra potência, conserva-se a base e os expoentes são 
multiplicados. 
Exemplos 
5Ξ ∙ 5ς = 5Ξθς = 5Τ 5Τ5Ξ = 5ΤοΞ = 5ς (5Ξ)Τ = 5Ξ∙Τ = 5ΖΞ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A soma dos algarismos do número 10Ɵ − 3 é: 
a) 88 
b) 89 
c) 91 
d) 95 
e) 97 
Resolução 
Qual o significado de �Ɵ = � ∙ � ∙ � ∙ � ∙ � ∙ � ∙ � ∙ � ∙ � ∙ � 
Com dez fatores “x”. 
Portanto, 10Ɵ = 10.000.000.000 
10Ɵ − 3 = 10.000.000.000 − 3 = 9.999.999.997 
A soma dos algarismos é 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 7 = 88. 
Gabarito: A 
 
 
Simplificando 
Ξ≤¤θΞ∞ƒΞ∞♣ , encontra-se: 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
e) 221 
Resolução 
Vamos relembrar algumas propriedades das potências. 
Para multiplicar duas potências de mesma base, repetimos a base e somamos os 
expoentes. Para dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os 
expoentes. Assim, 
�� ∙ �� = ��θ� 
��/�� = ��ο� 
E da mesma forma que 	�� ∙ �� = ��θ� , temos que ��θ� = �� ∙ ��. 
Como podemos utilizar estas propriedades para resolver esta questão? 
Observe que 20 = 18+2 e 19 = 18 +1. Portanto: 
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2Ο = 2ΖΥθΞ = 2ΖΥ ∙ 2Ξ 
 
2Ζ[ = 2ΖΥθΖ = 2ΖΥ ∙ 2Ζ 
 
2Ο + 2Ζ[2ΖΥ = 2
ΖΥ ∙ 2Ξ + 2ΖΥ ∙ 2Ζ2ΖΥ 
 
Podemos colocar 218 em evidência: 
 
2ΖΥ ∙ 2Ξ + 2ΖΥ ∙ 2Ζ2ΖΥ = 2
ΖΥ ∙ (2Ξ + 2Ζ)2ΖΥ = 2Ξ + 2Ζ = 4 + 2 = 6 
Gabarito: C 
 
 
Simplificando a expressão 
W↔←∞θW↔←≤θW↔←ΨW↔↑≤θW↔↑∞θW↔ onde n pertence ao conjunto dos números inteiros, 
obtém-se o seguinte resultado: 
a) 1/3 
b) 1/27 
c) 3 
d) 27 
e) 1/9 
Resolução 
Vamos resolver de duas maneiras. A primeira, utilizando as propriedades vistas na questão 
anterior. 
3œοΖ + 3œοΞ + 3œοW3œθΞ + 3œθΖ + 3œ = 3
œ ∙ 3οΖ + 3œ ∙ 3οΞ + 3œ ∙ 3οW3œ ∙ 3Ξ + 3œ ∙ 3Ζ + 3œ ∙ 3Ÿ 
Vamos colocar 3n em evidência no numerador e no denominador. 
 
3œ ∙ 3οΖ + 3œ ∙ 3οΞ + 3œ ∙ 3οW3œ ∙ 3Ξ + 3œ ∙ 3Ζ + 3œ ∙ 3Ÿ = 3
œ ∙ (3οΖ + 3οΞ + 3οW)3œ ∙ (3Ξ + 3Ζ + 3Ÿ) = 3
οΖ + 3οΞ + 3οW3Ξ + 3Ζ + 3Ÿ 
 
3οΖ + 3οΞ + 3οW3Ξ + 3Ζ + 3Ÿ =
13 + 19 + 1279 + 3 + 1 =
9 + 3 + 12713 =
132713/1 = 1327 ∙ 113 = 127 
 
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Vejamos uma maneira bem mais fácil. 
 
Dê uma olhada para as alternativas. Percebeu que o valor de � não influencia na resposta? 
Desta maneira, vamos escolher um valor arbitrário. É óbvio que vamos escolher um número 
bom! E qual seria um número bom? Eu escolheria o número 3 porque todos os expoentes 
deixam de ser negativos. 
 
3œοΖ + 3œοΞ + 3œοW3œθΞ + 3œθΖ + 3œ 
 
Esta é a expressão. Vamos substituir � por 3. 
 
3WοΖ + 3WοΞ + 3WοW3WθΞ + 3WθΖ + 3W = 3
Ξ + 3Ζ + 3Ÿ3› + 3ς + 3W = 9 + 3 + 1243 + 81 + 27 = 13351Simplificando por 13: 13351 = 127 
Bem melhor, não?! 
Gabarito: B 
 
 
Considere-se que 10Ÿ,ς→→ = 3 . O valor de � tal que 10↓ = 9.000 é: 
a) 3,628 
b) 3,746 
c) 3,882 
d) 3,015 
e) 3,954 
Resolução 
Perceba que 9.000 = 9 ∙ 1.000 = 3Ξ ∙ 10W. 
 
Mas o enunciado nos disse que 3 = 10Ÿ,ς→→. Portanto: 
 
9.000 = 9 ∙ 1.000 = 3Ξ ∙ 10W = (10Ÿ,ς→→)Ξ ∙ 10W 
 
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Lembre-se que para elevar uma potência a outra potência, devemos conservar a base e 
multiplicar os expoentes. 
 
9.000 = (10Ÿ,ς→→)Ξ ∙ 10W = 10Ÿ,ς→→×Ξ ∙ 10W = 10Ÿ,[›ς ∙ 10W = 10Ÿ,[›ςθW = 10W,[›ς 
10↓ = 9.000 10↓ = 10W,[›ς 
� = 3,954 
Gabarito: E 
 
1.5.4.! RADICIAÇÃO 
Se � é um número não-negativo (� ≥ 0) e � é um número natural maior que 1, então a raiz 
enésima de � é um número � não-negativo (� ≥ 0) tal que �œ = �. 
Vamos recordar o resultado de algumas raízes para fixar o conceito. 
√9 = 3	������	3Ξ = 9. 
√32° = 2	������	2› = 32. 
√0± = 0	������	0Τ = 0. 
√�↔ = � → �	é	�	í�����, �	é	�	���������	�	�	é	�	����. 
 
 
1.5.4.1.!RAÍZES DE ÍNDICE PAR 
Quando elevamos um número positivo ou negativo ao quadrado (ou a qualquer outro expoente 
par), o resultado é sempre um número positivo. Veja os exemplos: (+5)Ξ = 25 (−5)Ξ = 25 
Mas isso não implica dizer que o número 25 tem duas raízes quadradas: 5 e -5. 
Na definição dada, foi dito que a raiz enésima de um número positivo é um número positivo. 
Portanto: 
√25 = 5	(����������) 
√25 = −5	(�����) 
Desta maneira, é falso afirmar que √49 = ±7. 
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Por outro lado, podemos escrever que −√25 = −5. Não é o radical que “causa” o sinal, e sim o 
sinal que o antecede. 
 
É importante saber que não existe raiz de um número negativo se o índice do radical for par 
(trabalhando com números reais). 
Por exemplo, √−16 não existe porque não há um número real que elevado ao quadrado dê −16. 
Até porque todo número elevado ao quadrado não pode ser negativo. 
Note a diferença: 
−√16 = −4 
√−16 → �ã�	������	��	ℝ 
 
1.5.4.2.!RAÍZES DE ÍNDICE ÍMPAR 
 
Se o índice do radical é ímpar, admite-se a existência de raízes com radicando negativo. 
√8Ψ = 2	������	2W = 8 
√−8Ψ = −2	������	(−2)W = −8 ���������	�������� → ����	�������� ���������	�������� → ����	�������� 
 
 
1.5.4.3.!PROPRIEDADES DOS RADICAIS 
Considere �, � números reais não-negativos (� ≥ 0	�	� ≥ 0), � um número natural maior que 1 e � um número inteiro qualquer. 
√�↔ ∙ √�↔ = √��↔ 
√�↔√�↔ = •��↔ → ����	�������	����������	���	� ≠ 0 
÷√�↔ ≠′ = √�′↔ 
•√�↔≡ = √�≡↔ 
 
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Exemplo: Efetue √3 ∙ (√12 − 2√27 + 3√75). 
 
√3 ∙ √12 − 2√3 ∙ √27 + 3√3 ∙ √75 = √3 ∙ 12 − 2√3 ∙ 27 + 3√3 ∙ 75 = 
= √36 − 2√81 + 3√225 = 6 − 2 ∙ 9 + 3 ∙ 15 = 33 
 
Estas propriedades ajudam a simplificar radicais, por exemplo: 
√28 = √4 ∙ 7 = √4 ∙ √7 = 2√7 
√300 = √100 ∙ 3 = √100 ∙ √3 = 10√3 
≈0,444… = …49 = √4√9 = 23 
 
 
1.5.4.4.!POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL 
 
Se a é um número real positivo, m é um número inteiro e n é um número natural não nulo, temos: 
√�′↔ = �′œ 
Exemplos: 
3ΖΞ = ≈3Ζ≤ = √3 
5ΞW = ≈5ΞΨ = √25Ψ 
27Ÿ,WWWW… = 27ΖW = √27Ψ = 3 
 
1.5.4.5.!RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES 
Racionalizar o denominador de uma fração significa eliminar os radicais que aparecem nesse 
denominador, sem alterar o valor da fração. 
Grosso modo, racionalizar é “tirar” o radical do denominador. 
Para racionalizar, devemos multiplicar o numerador e o denominador da fração por um número 
chamado fator racionalizante do denominador. 
 
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1º caso → Racionalizando quando o denominador é um radical de índice 2 
Para racionalizar frações em que o denominador é uma raiz quadrada, multiplicamos ambos os 
termos da fração por essa mesma raiz quadrada e, assim, obtemos uma fração equivalente com 
denominador radical. 
Lembre-se que se � é um número não-negativo, √� ∙ √� = √�Ξ = �. 
Veja os exemplos: 
8√2 = 8 ∙ √�√2 ∙ √� = 8√22 = 4√2 102√5 = 10 ∙ √�2√5 ∙ √� = 10√52 ∙ 5 = 10√510 = √5 
Ao racionalizar um denominador, não mudamos o valor da fração, mudamos apenas a forma de 
escrevê-la. 
 
2º caso → Racionalizando quando o denominador é um radical de índice diferente de 2 
Lembre-se que se a é um número não-negativo, √�œ↔ = �. 
8√2W° = 8 ∙ √�
��
√2W° ∙ √��� = 8√4
°
√2›° = 8√4
°
2 = 4√4° 
Observe que o expoente do fator racionalizante foi obtido assim: 5 − 3 = 2 
 
3º caso → Racionalizando quando o denominador é uma soma ou diferença de dois termos, 
sendo pelo menos um dos termos um radical 
Para ensinar este 3º caso, falarei sobre um “produto notável”. (� + �) ∙ (� − �) = �Ξ − �Ξ 
Concluímos que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro 
termo, menos o quadrado do segundo termo. (�������� + �������) ∙ (�������� − �������) = (��������)Ξ − (�������)Ξ 
Pois bem, vamos ver um exemplo: 
 
6√5 + √2 = 6 ∙ ÷√� − √�≠÷√5 + √2≠ ∙ ÷√� − √�≠ = 6 ∙ ÷√5 − √2≠÷√5≠Ξ − ÷√2≠Ξ =
6 ∙ ÷√5 − √2≠5 − 2 = 6 ∙ ÷√5 − √2≠3 = 
= 2 ∙ ÷√5 − √2≠ = 2√5 − 2√2 
 
74 − √3 = 7 ∙ ÷� + √�≠÷4 − √3≠ ∙ ÷� + √�≠ = 7 ∙ ÷4 + √3≠(4)Ξ − ÷√3≠Ξ =
7 ∙ ÷4 + √3≠16 − 3 = 7 ∙ ÷4 + √3≠13 
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Observe que o fator racionalizante de √5 + √2 é √� − √� (troca o sinal). 
O fator racionalizante de 4 − √3 é � + √�. 
 
1.5.4.6.!COMPARAÇÃO DE RADICAIS 
Para comparar radicais (decidir quem é o maior ou o menor) devemos utilizar a seguinte 
propriedade: 
√�′↔ = √�′↔ 
Isto significa que podemos alterar o índice da raiz. Para tanto, devemos multiplicar (ou dividir) o 
índice por certo número p e, para não alterar o valor da raiz, devemos multiplicar (ou dividir) o 
expoente do radicando pelo mesmo número p. 
Exemplo: 
≈2ςΨ = ≈2ς∙ΞΨ∙≤ = ≈2Υ± 
Exemplo: Quem é maior: √2° ou √3↵ ? 
Ora, os índices são diferentes. Para fazer a comparação, devemos reduzir os radicais ao mesmo 
índice. Devemos pensar em um número que seja múltiplo de 4 e de 5. Que tal 20? 
Devemos raciocinar da seguinte maneira: Qual o número que multiplicado por 5 é igual a 20? Este 
número é 4. Portanto, devemos multiplicar o índice e o expoente do primeiro radical por 4. 
√2° = ≈2ς°∙↵ = √16≤¤ 
Vejamos o segundo radical. Qual o número que multiplicado por 4 é igual a 20? Este número é 5. 
Portanto, devemos multiplicar o índice e o expoente do segundo radical por 5. 
≈3›↵∙° = √243≤¤ 
Desta forma: perguntar quem é maior: √2° ou √3↵ é o mesmo que perguntar quem é maior: √16≤¤ 
ou √243≤¤ ? 
Como √243≤¤ > √16≤¤ , então √3↵ > √2° . 
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2.!LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES 
 
1.! (CESPE 2018/IFF) 
 
Uma companhia aérea fixou rodízio entre duas cidades para seus comissários de bordo de 
determinado voo diário. A escala estabelece que o comissário A trabalhe nesse voo a cada 8 dias; o 
comissário B, a cada 10 dias; e o comissário C, a cada 12 dias. Nesse caso, se os três tiverem 
trabalhado juntos no voo do dia de hoje, então a próxima vez em que eles trabalharão novamente 
juntos nesse voo ocorrerá daqui a 
 
A) 30 dias. 
B) 74 dias. 
C) 120 dias. 
D) 240 dias. 
E) 960 dias. 
2.! (CESPE 2018/SEDUC-AL) 
 
Em virtude de necessidades contábeis da época, os egípcios tinham a preferência pela utilização 
das frações unitárias, isto e, aquelas em que o numero 1 é o numerador. Parte do Papiro de Rhind, 
um importante registro matemático dos egípcios, trata da decomposição de frações a partir de 
frações unitárias. As frações unitárias na forma 1/n sempre podem ser decompostas em 
exatamente duas frações unitárias, por exemplo 
ΖΞ = Ζς+ Ζς . 
 
Nesse contexto, é correto afirmar que as únicas decomposições da fração unitária 
Ζς são Ζς = ΖΥ+ ΖΥ 
e 
Ζς = ΖΤ+ ΖΖΞ. 
 
3.! (CESPE 2017/PREFEITURA SÃO LUÍS-MA) 
 
O número 
ƟŸ	×	÷√ΖΥθΖ≠√ΞοΖ é 
 
A) superior a 1.000 e inferior a 1.500. 
B) superior a 1.500 e inferior a 2.000. 
C) superior a 2.000. 
D) inferior a 500. 
E) superior a 500 e inferior a 1.000. 
 
 
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4.! (CESPE 2017/PREFEITURA SÃO LUÍS-MA) 
 
As figuras I e II a seguir ilustram recipientes cilíndricos retos, idênticos, que contêm suco. Em cada 
recipiente foram feitas marcações igualmente espaçadas, mas diferentes nos recipientes I e II. Há 
mais suco no recipiente I que no II. 
 
 
Nessa situação, a fração do volume que o recipiente I tem a mais que o II é igual a: 
 
a) 8/15 
b) 8/13 
c) 3/10 
d) 4/3 
e) 7/20 
 
5.! (CESPE 2017/SEDF) 
 
Se uma TV digital tiver uma resolução de 1.080 pixels de largura por 720 pixels de altura, então o 
quociente, em pixels, da altura pela largura correspondera a um numero decimal que poderá ser 
representado por uma dizima periódica. 
 
6.! (CESPE 2017/SEDF) 
 
A respeito de números reais e números complexos, julgue os itens subsecutivos. 
 
O resultado da soma dos números reais a e b será um numero racional se, e somente se, cada um 
dos números a e b for um numero racional. 
 
 
 
 
 
 
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7.! (CESPE 2016/CPRM) 
Depois das simplificações possíveis, o número Z = 
÷Οθ	√Ξ≠≤ο÷Οο√Ξ≠≤√Ξ será igual a 
 
A) 3. 
B) 40. 
C) 80. 
D) 400. 
E) 566. 
 
8.! (CESPE 2014/SEDF) 
 
Existem exatamente quatro números inteiros r para os quais a fração 
ΖςΞℵθΖ é um numero inteiro. 
 
9.! (CESPE 2014/MDIC) 
 
Lúcio, Breno, Cláudia e Denise abriram a loja virtual Lik, para a qual, no ato de abertura, Lúcio 
contribuiu com R$ 10.000,00; Breno, com R$ 15.000,00; Cláudia, com R$ 12.000,00; e Denise, com 
R$ 13.000,00. Os lucros obtidos por essa loja serão distribuídos de forma diretamente proporcional 
à participação financeira de cada um dos sócios no ato de abertura da loja. 
 
A partir dessas informações, julgue os itens a seguir. 
 
Se M for a quantidade média de acessos por minuto ao sítio eletrônico da loja Lik e �Ξ = 0,8, 
então M será um número irracional menor que 0,8. 
 
10.! (CESPE 2013/SEE-AL) 
 
Um número é irracional se, e somente se pode ser representado por uma dizima não periódica. 
 
11.! (CESPE 2013/SEE-AL) 
 
O produto de dois números irracionais é um numero irracional. 
 
12.! (CESPE 2013/ANS) 
Considerando que N seja o conjunto de todos os números inteiros maiores ou iguais a 1 e que, 
para cada m∈ � o conjunto A(m) seja o subconjunto de N formado por todos os números divisíveis 
por m, julgue o item a seguir. O conjunto A(15) ∩ A(10) contém o conjunto A(60). 
 
 
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13.! (CESPE 2013/ANS) 
Considerando que N seja o conjunto de todos os números inteiros maiores ou iguais a 1 e que, 
para cada m∈ � o conjunto A(m) seja o subconjunto de N formado por todos os números divisíveis 
por m, julgue o item a seguir. O conjunto A(6) U A(8) contém o conjunto A(14). 
 
14.! (CESPE 2013/MPU/Técnico Administrativo) 
Ao distribuir entre 5 técnicos do MPU determinada quantidade de processos para análise, de modo 
que todos recebessem quantidades iguais de processos, o chefe da unidade verificou que sobrava 
um processo; ao tentar distribuir igualmente entre 6 técnicos, novamente sobrou um processo, 
situação que se repetiu quando ele tentou distribuir os processos igualmente entre 7 técnicos. 
Considerando que N > 1 seja a quantidade de processos que serão analisados pelos técnicos, julgue 
os itens seguintes, com base nas informações apresentadas. 
É correto afirmar que N > 210. 
15.! (CESPE 2013/MPU/Técnico Administrativo) 
Ao distribuir entre 5 técnicos do MPU determinada quantidade de processos para análise, de modo 
que todos recebessem quantidades iguais de processos, o chefe da unidade verificou que sobrava 
um processo; ao tentar distribuir igualmente entre 6 técnicos, novamente sobrou um processo, 
situação que se repetiu quando ele tentou distribuir os processos igualmente entre 7 técnicos. 
Considerando que N > 1 seja a quantidade de processos que serão analisados pelos técnicos, julgue 
os itens seguintes, com base nas informações apresentadas. 
Se P é o mínimo múltiplo comum entre 5, 6 e 7, então N é͒múltiplo de P.͒ 
͒ 
16.! (CESPE 2012/TJ-RO) 
 
Considere as seguintes definições: 
 
I) os divisores próprios de um número inteiro positivo n são todos os divisores inteiros positivos de 
n, exceto o próprio n; 
 
II) um número n será perfeito se a soma de seus divisores próprios for igual a n; 
 
III) dois números serão números amigos se cada um deles for igual à soma dos divisores próprios 
do outro. 
 
Com base nessas definições, julgue os itens que seguem. 
 
O número 28 é um número perfeito. 
 
 
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17.! (CESPE 2012/TJ-RO) 
Considere as seguintes definições: 
 
I) os divisores próprios de um número inteiro positivo n são todos os divisores inteiros positivos de 
n, exceto o próprio n; 
 
II) um número n será perfeito se a soma de seus divisores próprios for igual a n; 
 
III) dois números serão números amigos se cada um deles for igual à soma dos divisores próprios 
do outro. 
 
Com base nessas definições, julgue os itens que seguem. 
 
Se um número é maior que 1, então o conjunto dos seus divisores próprios tem, pelo menos, 2 
elementos. 
 
18.!(CESPE 2012/TJ-RO) 
Considere as seguintes definições: 
 
I) os divisores próprios de um número inteiro positivo n são todos os divisores inteiros positivos de 
n, exceto o próprio n; 
 
II) um número n será perfeito se a soma de seus divisores próprios for igual a n; 
 
III) dois números serão números amigos se cada um deles for igual à soma dos divisores próprios 
do outro. 
 
Com base nessas definições, julgue os itens que seguem. 
 
Nenhum número primo é um número perfeito. 
 
19.! (CESPE 2012/TJ-RO) 
Uma empresa possui 658 servidores: 308 do sexo masculino e 350 do sexo feminino. Em uma 
reunião com a presença de todos os servidores, seriam formados vários grupos: todos os grupos 
teriam a mesma quantidade de pessoas, e cada grupo seria formado apenas com pessoas do 
mesmo sexo. Nesse caso, para que se tenha a menor quantidade de grupos e se mantenha as 
mesmas condições anteriores, os servidores serão divididos em 
 
A) 14 grupos. 
B) 22 grupos. 
C) 25 grupos. 
D) 42 grupos. 
E) 47 grupos. 
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20.! (CESPE 2011/CORREIOS) 
 
Considere que 3 carretas façam, repetidamente, viagem de ida e volta entre determinada editora e 
um centro de tratamento da ECT em 4 dias, 5 dias e 6 dias, respectivamente, e, ao completar um 
percurso de ida e volta, elas retomem imediatamente esse percurso. Se, em certo dia, as 3 carretas 
partirem simultaneamente da editora, então elas voltarão a partir juntas novamente dessa editora 
após 
 
A) 45 dias. 
B) 60 dias. 
C) 10 dias. 
D) 15 dias. 
E) 30 dias. 
 
21.!(CETRO 2010/Ministério dos Transportes) 
Em relação ao estudo dos Conjuntos Numéricos, considere as seguintes afirmações: 
I. ℝ = ℚ ∪ �� 
II. N ⊂Z ⊂ Q ⊂ R 
III. ℚ ∪ �� = ∅ 
IV. ℚ ∩ �� = ℝ 
V. �� = 	ℝ − ℚ 
Considere: 
Ir = Conjunto dos números irracionais. 
N = Conjunto dos números naturais. 
Q = Conjunto dos números racionais. 
R = Conjunto dos números reais. 
Z = Conjunto dos números inteiros. 
As afirmações verdadeiras estão contidas em 
a) I apenas. 
b) I e III apenas. 
c) I, II e V apenas. 
d) II, III, IV e V apenas. 
e) I, II, III, IV e V. 
22.!(BIORIO 2016/ELETROBRAS) 
A professora pergunta à turma: “Quantos números naturais são maiores do que 238 e menores do 
que 452?”. Flávia respondeu corretamente: 
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a) 212͒ 
b) 213͒ 
c) 214͒ 
d) 222͒ 
e) 223 
23.!(VUNESP 2010/Fundação CASA) 
Um eletricista tem 4 rolos do fio X, com 84 m cada um, 3 rolos do fio Y, com 144 m cada um, e 5 
rolos do fio Z, com 60 m cada um. Para fazer as ligações necessárias de uma obra, ele deverá cortar 
os fios dos 12 rolos em pedaços do mesmo tamanho, sendo esse tamanho o maior possível, de 
modo que não reste nenhum pedaço de fio nos rolos. Dessa maneira, ele deverá obter um número 
total de pedaços igual a 
(A) 24. 
(B) 36. 
(C) 49. 
(D) 64. 
(E) 89. 
24.!(VUNESP 2009/SEAP-SP) 
Em um presídio há 400 detentos, sendo 240 no setor X e 160 no setor Y. Para realizar atividades na 
oficina de artes, o total de detentos foi dividido em grupos com o mesmo número de integrantes, 
sendo esse número o maior possível, sem deixar nenhum detento de fora e sem misturar os 
detentos dos dois setores. Dessa forma, foram formados 
(A) 5 grupos. 
(B) 8 grupos. 
(C) 10 grupos. 
(D) 12 grupos. 
(E) 13 grupos. 
25.!(VUNESP 2010/Instituto Butantan) 
Um paciente recebe 3 medicamentos, todos os dias. O primeiro, de 4 em 4 horas, o segundo, de 8 
em 8 horas, e o terceiro, a cada 10 horas. Ele recebeu os medicamentos juntos às 7 horas do dia 27 
de novembro de 2009. Receberá os 3 medicamentos juntos, novamente, no mês de novembro de 
2009, dia 
(A) 28, às 19 horas. 
(B) 28, às 23 horas. 
(C) 29, às 7 horas. 
(D) 29, às 11 horas. 
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(E) 30, às 7 horas. 
26.!(VUNESP 2010/Pref. de Sorocaba) 
Antônio, Hélio e Emílio são três responsáveis pela fiscalização sanitária da dengue e fazem plantão, 
respectivamente, a cada 10, 15 e 18 dias. Eles trabalharam juntos no dia 27 de março. O próximo 
plantão, imediatamente após esse, que os três farão juntos, será no dia 
15 de maio 
26 de maio 
25 de junho 
30 de junho 
27 de julho 
27.!(VUNESP 2009/SEAP-AP) 
Três agentes penitenciários fazem rondas noturnas em um determinado presídio. O primeiro tem 
que acionar o relógio de controle a cada 36 minutos; o segundo, a cada 24 minutos, e o terceiro, a 
cada 18 minutos. Dessa maneira, pode-se afirmar que eles acionam simultaneamente o relógio de 
controle a cada 
(A) 1 h 24 min. 
(B) 1 h 18 min. 
(C) 1 h 12 min. 
(D) 1 h 06 min. 
(E) 1 h. 
28.!(FCC 2011/TRT 24ª Região) 
Sabe-se que Vitor e Valentina trabalham como Auxiliares de Enfermagem em uma empresa e, 
sistematicamente, seus respectivos plantões ocorrem a cada 8 dias e a cada 6 dias. Assim sendo, se 
no último dia de Natal – 25/12/2010 – ambos estiveram de plantão, então, mantido o padrão de 
regularidade, uma nova coincidência NÃO ocorrerá em 
(A) 18 de maio. 
(B) 24 de abril. 
(C) 31 de março. 
(D) 10 de fevereiro. 
(E) 18 de janeiro. 
(SABESP 2014/FCC) 
Para responder às questões seguintes, considere as informações abaixo. 
Luiz tem que tomar um comprimido do remédio X a cada 3 horas, e dois comprimidos do remédio Y 
a cada 5 horas. O tratamento com os comprimidos deve durar 5 dias e meio, sendo que ele iniciou 
tomando, simultaneamente, a dose recomendada de cada remédio na segunda-feira, às 8 horas da 
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manhã. Sabe-se que Luiz realizou o tratamento completo cumprindo rigorosamente as instruções 
de doses e horários. 
29.!Ao final do tratamento, o total de comprimidos ingeridos por Luiz foi igual a 
(A) 90. 
(B) 88. 
(C) 96. 
(D) 92. 
(E) 66. 
30.!Na semana que Luiz fez o tratamento, o último instante em que ele tomou, 
simultaneamente, as doses dos remédios X e Y foi no sábado às 
(A) 11 horas. 
(B) 8 horas. 
(C) 23 horas. 
(D) 13 horas. 
(E) 16 horas. 
31.!(FCC 2009/SEFAZ-SP) 
No período de 2010 a 2050, os anos bissextos (isto é, aqueles com 366 dias) são todos aqueles 
divisíveis por 4. Sabendo que 2010 terá 53 sextas-feiras, o primeiro ano desse período em que o 
dia 1o de janeiro cairá numa segunda-feira será 
(A) 2013 
(B) 2014 
(C) 2016 
(D) 2018 
(E) 2019 
(FCC 2009/SEFAZ-SP) 
Instruções: Para responder às questões seguintes, considere o texto e o quadro abaixo. O tabuleiro 
a seguir é usado em um jogo que uma professora de Matemática costuma propor a seus alunos do 
6º ano. 
 
A cada rodada, cada jogador, inicialmente colocado na casa onde está marcado o número 7, deve 
jogar um dado numerado de 1 a 6 e dividir o número da casa onde se encontra pela pontuação 
obtida no dado. O resto dessa divisão indicará a quantidade de casas que ele deveráavançar. Por 
exemplo, se na primeira rodada um jogador tirar 5, ele deverá avançar 2 casas, que é o resto da 
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divisão de 7 por 5, chegando à casa onde está marcado o número 27. O jogador que primeiro 
atingir a casa onde está escrito CHEGADA é o vencedor. 
 
32.!Lendo-se as regras do jogo, percebe-se que sua dinâmica depende dos números marcados 
nas diversas casas do tabuleiro. O número 27, marcado na terceira casa, poderia ser 
trocado, sem que houvesse qualquer alteração na dinâmica do jogo, pelo número 
(A) 77 
(B) 81 
(C) 84 
(D) 87 
(E) 96 
33.!Se um jogador cair em uma determinada casa do tabuleiro, ele não poderá mais ganhar o 
jogo, pois não conseguirá mais avançar a partir daquela casa. Por esse motivo, essa casa é 
chamada de “buraco negro”. Para que um jogador caia no “buraco negro”, ele deverá, 
necessariamente, estar numa outra casa específica do tabuleiro e, ao jogar o dado, obter 
pontuação igual a 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 4 
(D) 5 
(E) 6 
34.!(CEPERJ 2009/SEPLAG-RJ) 
Em certa cidade de Minas Gerais, foi terminada em 1832 a construção de uma igreja dedicada a 
São José. O padre que inaugurou a igreja decretou que, a cada 7 anos os fiéis deveriam fazer uma 
grande festa em homenagem ao santo. Como esta tradição foi mantida, o próximo ano de 
realização da festa será: 
a) 2010 
b) 2011 
c) 2012 
d) 2013 
e) 2014 
35.!(CESGRANRIO 2014/Petrobras) 
O produto de dois números naturais, x e y, é igual a 765. Se x é um número primo maior que 5, 
então a diferença y – x é igual a 
(A) 6 
(B) 17 
(C) 19 
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(D) 28 
(E) 45 
36.!(VUNESP 2016/CM de Registro) 
Dois amigos brincam com seus carros de controle remoto em uma pista circular. Os carros 
partiram de um ponto A e, enquanto o carro mais rápido demora 1min 30s para dar uma volta 
completa na pista, o outro carro demora 1min 35s. Quando os dois carros passarem ao mesmo 
tempo pelo ponto A, pela primeira vez, o carro mais lento terá dado um número de voltas na pista 
igual a 
a) 14 
b) 16 
c) 18 
d) 20 
e) 22 
37.!(FCC 2010/Metro-SP) 
Suponha que às 5h30min de certo dia, dois trens da Companhia do Metropolitano de São Paulo 
partiram simultaneamente de um mesmo terminal T e seguiram por Linhas diferentes. 
Considerando que a cada 78 minutos da partida um dos trens retorna a T, enquanto que o outro o 
faz a cada 84 minutos, então, nesse dia, ambos se encontraram novamente em T às 
(A) 19h42min. 
(B) 21h48min. 
(C) 21h36min. 
(D) 23h42min. 
(E) 23h48min. 
38.!(FUNIVERSA 2012/SEPLAG-DF) 
Durante uma excursão de um grupo de amigos, na qual participavam 15 homens, 18 mulheres e 21 
crianças, ao programarem um passeio de jangada, decidiram que cada jangada levaria um grupo 
formado só por homens ou só por mulheres ou só por crianças, com o maior número possível de 
pessoas em cada jangada. Se todos participaram desse passeio e, em cada jangada, havia o mesmo 
número de pessoas, é correto concluir que as jangadas que levaram só as mulheres para o passeio 
programado foram em número de 
a) 3 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 18 
39.!(CETRO 2010/ANVISA) 
Entre os números 5.028, 1.331, 3.375, 2.744 e 4.096, assinale a alternativa que apresenta aquele 
que não foi obtido a partir da mesma relação matemática que os demais. 
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a) 1.331. 
b) 2.744. 
c) 3.375. 
d) 4.096. 
e) 5.028 
40.!(AOCP 2016/Pref. de Juazeiro/Auditor Fiscal) 
Se os elementos de um conjunto A são todos os divisores positivos de 12, então esse conjunto será 
dado por 
(A) A = {1, 2, 3, 4, 6} 
(B) A = {2, 3, 4, 6, 12} 
(C) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 12} 
(D) A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 
(E) A = {1, 12} 
41.!(BIORIO 2016/Eletrobrás) 
A quantidade de xícaras da coleção de Marcela é igual à metade da quantidade xícaras da coleção 
de Laura. Se somarmos a quantidade de xícaras das duas coleções, essa soma pode ser igual a: 
 
a) 64 
b) 65 
c) 66 
d) 67 
e) 68 
42.!(VUNESP 2010/TJ-SP) 
Uma barra de madeira maciça, com a forma de um paralelepípedo reto retângulo, tem as 
seguintes dimensões: 48 cm, 18 cm e 12 cm. Para produzir calços para uma estrutura, essa barra 
deve ser cortada pelo carpinteiro em cubos idênticos, na menor quantidade possível, sem que 
reste qualquer pedaço da barra. Desse modo, o número de cubos cortados será igual a 
a) 54 
b) 52 
c) 50 
d) 48 
e) 46 
43.!(FCC 2016/ TRF 3ª Região 2016/Técnico Judiciário) 
O valor da expressão numérica 0,00003 ��200��0,0014 ��(0,05 ��12000 ��0,8) é igual a 
�)	3 ⋅ 2 ⋅ 1,45 ⋅ 1,2 ∙ 8 ⋅ 10ο› 
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�)	3 ⋅ 2 ⋅ 1,45 ⋅ 1,2 ∙ 8 ⋅ 10ο→ 
�)	3 ⋅ 2 ⋅ 1,45 ⋅ 1,2 ∙ 8 ⋅ 10W 
�)	3 ⋅ 2 ⋅ 1,45 ⋅ 1,2 ∙ 8 ⋅ 10Ÿ 
�)	3 ⋅ 2 ⋅ 1,45 ⋅ 1,2 ∙ 8 ⋅ 10οΞ 
44.!(FCC 2016/TRF 3ª Região/Analista Judiciário) 
As letras da expressão x − (w − y) − (z − h), representam números diferentes e serão substituídas, 
uma a uma e para efeito de cálculo, pelos números naturais 9; 12; 13; 15 e 17, não 
necessariamente nessa ordem. Opere apenas no conjunto dos números naturais. Para que o 
resultado da expressão seja 8, as letras w e h devem ser substituídas, respectivamente, por 
 
(A) 15 e 13. 
(B) 17 e 12. 
(C) 13 e 9. 
(D) 15 e 12. 
(E) 17 e 9. 
45.!(CESGRANRIO 2015/LIQUIGAS) 
A fração 2/13 pode ser representada pela dízima periódica 0, 153846‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚ a qual o traço acima dos 
algarismos indica que 1, 5, 3, 8, 4, 6 repetem-se infinitamente nessa ordem após a vírgula. Se a 
dízima fosse escrita sem usar a notação do traço, ou seja, repetindo-se três vezes o período e 
indicando a continuação por reticências, qual seria o décimo algarismo após a vírgula? 
 
a) 8 
b) 6 
c) 5 
d) 4 
e) 3 
46.!(FGV 2006/SERC-MS) 
√0,444… é igual a: 
a) 0,222... 
b) 0,333... 
c) 0,444... 
d) 0,555... 
e) 0,666... 
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47.!(ESAF 2006/SUSEP) 
Indique qual o número racional geratriz da dízima periódica 7,233.... 
a) 723/99 
b) 723/90 
c) 716/99 
d) 716/90 
e) 651/90 
48.!(ESAF 2006/SUSEP) 
Indique qual dos números abaixo é um número irracional. 
a) 0 
b) 0,5 
c) 0,33... 
d) 1/3 
e) π, que mede a razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro. 
49.!(ESAF 2006/SUSEP) 
Calcule (2022)3/2. 
a) 0 
b) 1 
c) 4 
d) 8 
e) 16 
50.!(ESAF 2006/SUSEP) 
Dados o conjunto A={2,4,6,8,10} e o conjunto B={x | x ∈	Z, 0<x<10}, onde Z é o conjunto dos 
números inteiros, obtenha o conjunto C=A∩B. 
a) C=A 
b) C={2,4,6,8} 
c) C={x | x ∈ Z, x ≤ 10} 
d) C={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}e) C =∅ onde ∅ é o conjunto vazio. 
51.!(FUNCAB 2012/CBM-AC) 
Determine o valor de (n)/2, sabendo que n é o número de divisores naturais de 3000. 
A) 3 
B) 4 
C) 8 
D) 16 
E) 24 
52.!(FUNCAB 2012/CBM-AC) 
Determine o produto dos cinco primeiros números primos, quando dispostos em ordem crescente. 
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A) 2310 
B) 720 
C) 30030 
D) 2520 
E) 15015 
53.!(FUNCAB 2012/CBM-AC) 
Determine o valor de (2/5) + (3/7) - (1/10). 
A) 25/35 
B) 51/70 
C) 11/14 
D) 17/20 
E) 13/14 
54.!(CETRO 2006/TCM-SP) 
Um médico atende diariamente 5 clientes com hora marcada e um número x de clientes sem hora 
marcada. Dos clientes que marcam hora para ser atendido, ele cobra R$ 70,00 a consulta e dos 
clientes que não marcam hora R$ 55,00. Ao final de um determinado dia ele contabilizou R$ 
735,00. O número de clientes atendidos neste dia foi de 
(A) 4 clientes. 
(B) 7 clientes. 
(C) 10 clientes. 
(D) 12 clientes. 
(E) 21 clientes. 
55.!(FCC 2007/Metro-SP) 
Considere que na numeração das X páginas de um manual de instruções foram usados 222 
algarismos. Se a numeração das páginas foi feita a partir do número 1, então 
(A) X < 95 
(B) 94 < X < 110 
(C) 109 < X < 125 
(D) 124 < X < 130 
(E) X > 129 
56.!(FCC 2007/TRF 1ª Região) 
Um técnico judiciário foi incumbido da montagem de um manual referente aos Princípios 
Fundamentais da Constituição Federal. Sabendo que, excluídas a capa e a contra-capa, a 
numeração das páginas foi feita a partir do número 1 e, ao concluí-la, constatou-se que foram 
usados 225 algarismos, o total de páginas que foram numeradas é 
(A) 97 
(B) 99 
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(C) 111 
(D) 117 
(E) 126 
57.!(FCC 2011/TRT 4ª Região) 
Considere que um processo teve suas páginas numeradas de 1 a N. Se para numerá-las foram 
usados 270 algarismos, então N é um número 
a) primo. 
b) maior que 150. 
c) quadrado perfeito 
d) múltiplo de 4. 
e) divisível por 9. 
58.!(FCC 2006/PC-PE/Delegado) 
Uma pessoa fez uma compra no valor de R$19,55. Tinha com ela as seguintes moedas: 15 de 
R$1,00; 10 de R$0,50; 8 de R$0,25; 8 de R$0,10 ; 4 de R$0,05. Se fez o pagamento utilizando a 
maior quantidade possível dessas moedas, então: 
a) sobraram 7 moedas. 
b) sobraram 8 moedas. 
c) dentre as moedas que sobraram, 2 eram de R$0,10. 
d) dentre as moedas que sobraram, 2 eram de R$0,25. 
e) dentre as moedas que sobraram, 3 eram de R$0,05. 
59.!(FGV 2010/CAERN) 
Analise as afirmativas a seguir: 
I - √6 é maior do que 5/2. 
II – 0,555... é um número racional. 
III – Todo número inteiro tem antecessor. 
Assinale 
a) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. 
b) se somente a afirmativa II estiver correta. 
c) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. 
d) se somente a afirmativa I estiver correta. 
e) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. 
60.!(FCC 2010/Metro-SP) 
A soma de três números inteiros positivos é igual ao maior número inteiro de 5 algarismos 
distintos. Se adicionarmos a cada um dos números o maior número inteiro de 3 algarismos, a nova 
soma será igual a 
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(A) 102 996. 
(B) 102 960. 
(C) 102 876. 
(D) 101 726. 
(E) 101 762. 
61.!(FCC 2010/ALE-SP) 
Ana Maria decidiu preparar uma torta cuja receita indicava 200 gramas de chocolate em barra. Em 
sua dispensa, havia uma barra de 350 gramas, mas ela não dispunha de uma balança para pesar a 
quantidade necessária. Então, ela decidiu dividir a barra em partes iguais e pegar a quantidade de 
partes que correspondessem a 200 gramas. Dentre os esquemas abaixo, em que os retângulos 
escuros correspondem às partes da barra de chocolate usadas por Ana Maria, aquele que 
representa os 200 gramas pedidos na receita é 
 
 
 
62.!(FCC 2009/Metro-SP) 
Certo artigo é vendido em uma loja ao preço de N reais a unidade. Ao conferir o total a ser pago 
pela compra de 14 unidades desse artigo, Orozimbo logo percebeu que o vendedor cometera um 
engano: ao efetuar a multiplicação de 14 por N, ele inverteu as posições do algarismo das unidades 
com o das dezenas de N e, com isso, obteve 2 142 reais. Nessas condições, de quantos reais a 
quantia certa a ser paga diferia da errada? 
(A) 212 
(B) 224 
(C) 252 
(D) 266 
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(E) 284 
63.!(FCC 2006/TRT 4ª Região) 
Seja N um número inteiro cujo produto por 9 é igual a um número natural em que todos os 
algarismos são iguais a 1. A soma dos algarismos de N é 
(A) 27 
(B) 29 
(C) 33 
(D))37 
(E) 45 
64.!(FCC 2010/TRT 12ª Região) 
Sistematicamente, dois funcionários de uma empresa cumprem horas-extras: um, a cada 15 dias, e 
o outro, a cada 12 dias, inclusive aos sábados, domingos ou feriados. Se em 15 de outubro de 2010 
ambos cumpriram horas-extras, uma outra provável coincidência de horários das suas horas-extras 
ocorrerá em 
(A) 9 de dezembro de 2010. 
(B) 15 de dezembro de 2010. 
(C) 14 de janeiro de 2011. 
(D) 12 de fevereiro de 2011. 
(E) 12 de março 2011. 
65.!(CETRO 2007/TRT-SC) 
Na reta real da figura abaixo estão representados os números 0; a; 1; b e 2: 
 
O ponto P correspondente ao número a – b encontra-se 
(A) à direita de 2. 
(B) entre 0 e 1. 
(C) entre 1 e 2. 
(D) à esquerda de 0. 
(E) entre a e b. 
66.!(FCC 2016/TRT 14ª Região) 
Perguntaram para Álvaro, Bernardo e Cléber quantos filhos eles tinham, e eles responderam: 
- Eu tenho 4 (Álvaro); 
- Eu tenho 3 (Bernardo); 
- Eu tenho 5 (Cléber). 
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Sabendo-se que um deles mentiu para mais do que realmente tem, e que os outros disseram a 
verdade, a soma máxima correta do número de filhos das três pessoas citadas é igual a 
a) 7 
b) 9 
c) 11 
d) 12 
e) 13 
67.!(CONSULPLAN 2016/CBM-PA) 
Um conjunto pode ser representado por meio de uma propriedade que descreve seus elementos. 
Assim, considere o conjunto A = { x | x é real, inteiro, nulo ou positivo}. Essa propriedade descreve 
o conjunto dos números 
a) Reais 
b) Inteiros 
c) Naturais 
d) Racionais 
e) Irracionais 
68.!(FCC 2016/SEDU-ES) 
Dados os conjuntos � = {� ∈ ℝ|−3 ≤ � < 9}; � = {� ∈ ℝ|−7 ≤ � ≤ 5}; � ={� ∈ ℝ|−5 ≤ � < 3} e � = (� ∩ �) ∪ �. Pode-se concluir, corretamente, que a quantidade de 
números inteiros que pertencem ao conjunto D é igual a 
a) 8 
b) 10 
c) 11 
d) 9 
e) 12 
69.!(ESAF 2010/SMF-RJ) 
Considere x um número real. A negação da proposição 
2/3 ≤ x ≤ 5/3 ou –1< x < 1 é:a) –1 < x ≤ 2/3. 
b) –1 ≤ x < 2/3. 
c) x ≤ –1 e x > 5/3. 
d) x ≤ –1 ou x > 5/3. 
e) –1 ≤ x < 2/3 e x > 5/3. 
70.!(FCC 2016/SEDU-ES) 
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Sendo � = √14, � = √7, �	� = √2, o valor da expressão numérica ℜ℘⊗ é igual a 
 
a) √98/2 
b) √7/7 
c) 7 
d) 2√7 
e) 24,5 
71.!(CEPERJ 2010/SEE-RJ) 
Na igualdade 
√→θ√›√→ο√› = � + √� , o valor de �Ξ − � é: 
a) 1 
b) 3 
c) 3 
d) 5 
e) 7 
72.!(ESAF 2008/APO-MPOG) 
Sabe-se que os números x,y e z são números racionais. Sabe-se, também, que 
� = � − 2√33 − �√3	. 
Com essas informações, conclui-se que: 
a) � ∙ � = −6	
b) � + � = 6 
c) � ∙ � = 0 
d) �/� = 6 
e) � ∙ � = 6 
73.!(FJG 2005/SMF-RJ) 
Os valores √4≤ , √8± 	�	√16Ψ , quando ordenados de modo decrescente, têm a seguinte apresentação: 
a) √4≤ > √16Ψ > √8± 
b) √4≤ > √8± > √16Ψ 
c) √16Ψ > √4≤ > √8± 
d)√8± > √4≤ > √16Ψ 
74.!(FCC 2016/COPERGAS) 
O resultado da expressão 
3 − 7ΖW ∙ 49ΖW − 2Wž ∙ 14 − 78 
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é igual a 
 
a) 7/3 
b) 19/8 
c) -3/4 
d) 13/4 
e) 11/6 
75.!(FUNDEP 2016/Pref. de Ibirité-MG) 
Considere as igualdades a seguir, em que a é um número real maior do que zero e b e c são 
números inteiros positivos. 
 
�. ≈�Ξ = ±� 
��. �οϒ⊕ = …1�ž
⊕∅
 
���. ≈�ϒ⊕∅≤ = √�⊕∅ 
Baseando-se nessas informações, estão incorretas as igualdades: 
a) I e II, apenas. 
b) I e III, apenas. 
c) II e III, apenas. 
d) I, II e III. 
76.!(IBFC 2016/TCM-RJ) 
O resultado da raiz cúbica do número quatro ao quadrado é um número entre: 
a) 1 e 2 
b) 3 e 4 
c) 2 e 3 
d) 1,5 e 2,3 
77.!(FCC 2017/SABESP) 
Se a = 53000, b = 27000, c = 35000, então 
a) b > c > a 
b) c > a > b 
c) c > b > a 
d) b > a > c 
e) a > b > c 
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78.!(FUNDEP 2016/Pref. de Ibirité) 
Dados os números naturais a e b, em que mmc(a,b) 72 e o mdc(a,b) = 12, é correto afirmar que o 
número de divisores do produto ab é 
a) 17 
b) 18 
c) 24 
d) 36 
79.!(FCC 2017/SABESP) 
Se a = 2/5, b = 7/20, c = 9/27 e d = 11/30, então: 
 
a) c < d < b < a. 
b) b < c< d < a. 
c) c < b < a < d. 
d) b < c < a < d. 
e) c < b < d < a. 
80.!(FCC 2017/SABESP) 
O número de divisores positivos de 144 é 
a) 12 
b) 15 
c) 16 
d) 14 
e) 13 
81.!(FCC 2013/ALE-PB) 
Ernesto comprou uma calculadora que está com problemas na realização de adições de números 
naturais. Algumas adições são feitas corretamente, e outras de forma incorreta, mas seguindo 
sempre uma mesma lógica. Veja a seguir oito exemplos de adições com os respectivos resultados 
indicados nessa calculadora: 
 
Ernesto fez nessa calculadora a conta 339+872 e, em seguida, pegou o resultado fornecido por ela 
e somou, na calculadora, com um número natural que indicaremos por x. O resultado final 
indicado na calculadora foi 1230. Nas condições descritas, todos os possíveis valores de x vão de 
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(A) 19 até 29. 
(B) 20 até 30. 
(C) 10 até 14. 
(D) 16 até 24. 
(E) 9 até 20. 
82.!(FCC 2013/TRT 1ª Região) 
Em um planeta fictício X, um ano possui 133 dias de 24 horas cada, dividido em 7 meses de mesma 
duração. No mesmo período em que um ano terrestre não bissexto é completado, terão sido 
transcorridos no planeta X, exatamente, 
(A) 1ano,6 meses e 4 dias. 
(B) 2 anos e 4 dias. 
(C) 2 anos e 14 dias. 
(D) 2 anos, 5 meses e 14 dias. 
(E) 2 anos, 5 meses e 4 dias. 
83.!(FCC 2009/SEFAZ-SP) 
Um torneio de futebol passará a ser disputado anualmente por seis equipes. O troféu será de 
posse transitória, isto é, o campeão de um ano fica com o troféu até a próxima edição do torneio, 
quando o passa para o novo campeão. Uma equipe só ficará definitivamente com o troféu quando 
vencer quatro edições consecutivas do torneio ou sete edições no total, o que acontecer primeiro. 
Quando isso ocorrer, um novo troféu será confeccionado. Os números mínimo e máximo de 
edições que deverão ocorrer até que uma equipe fique com a posse definitiva do troféu valem, 
respectivamente, 
(A) 4 e 7 
(B) 4 e 37 
(C) 4 e 43 
(D) 6 e 36 
(E) 6 e 42 
84.!(FCC 2009/SEFAZ-SP) 
Os alunos de uma faculdade de História criaram a Espiral do Tempo num dos pátios da escola. Na 
Espiral do Tempo, todos os anos da era cristã são representados segundo a lógica da figura a 
seguir, na qual só foram mostrados os anos de 1 a 9. 
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A espiral é atualizada anualmente, representando-se o ano que se inicia seguindo a mesma lógica 
dos anteriores. Se a soma de todos os números que compõem a Espiral do Tempo em 2009 é igual 
a S, então, em 2010, essa soma passará a ser igual a 
(A) S + 4040100 
(B) S + 4038090 
(C) S + 4036081 
(D) S + 2010 
(E) S + 2009 
85.!(AOCP 2016/Pref. de Juazeiro/Auditor Fiscal) 
Ao final de um campeonato de futebol disputado por cinco times, A, B, C, D e E, verificou-se que o 
time A ganhou 3/5 os pontos que disputou, enquanto os times B, C, D e E ganharam, 
respectivamente 4/7, 5/8, 1/2 e 1/4 dos pontos que disputaram. Considerando que cada time 
poderia disputar pela mesma quantidade de pontos, o vencedor desse campeonato foi o time 
(A) A. 
(B) B. 
(C) C. 
(D) D. 
(E) E. 
86.!(FCC 2011/TRT 24ª Região) 
O esquema abaixo apresenta o algoritmo da subtração de dois números naturais, em que alguns 
algarismos foram substituídos pelas letras A, B, C, D e E. 
			�	9	0	�	2	−7	8	�	9	�				2	�	1	7	8 
Os correspondentes algarismos representados por A, B, C, D e E, que tornam a diferença correta, 
devem ser tais que (� − � + � − � + �)² é igual a 
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(A) 49 
(B) 36 
(C) 25 
(D) 16 
(E) 9 
87.!(FCC 2016/ELETROSUL) 
Considere o número natural A e o número natural B. Sabe-se que B é divisor de A, e que o 
quociente entre A e B é igual a 24. O quociente entre o dobro do número A e o triplo do número B 
é igual a 
(A) 12. 
(B) 16. 
(C) 8. 
(D) 15. 
(E) 36. 
88.!(FCC 2016/ELETROSUL) 
Existem três bolos iguais na primeira mesa, e três bolos iguais a esses, na segunda mesa. Os bolos 
da primeira mesa estavam, respectivamente, divididos em terços, quintos e nonos. Os bolos da 
segunda mesa estavam, respectivamente, divididos em quartos, sextos e oitavos. João pega um 
pedaçode cada bolo da primeira mesa e come. A menor quantidade de bolo, expressa em número 
de fatias inteiras de um mesmo bolo da segunda mesa, que Lucas precisará comer para superar a 
quantidade de bolo que João comeu é igual a ͒ 
(A) 3. 
(B) 5. 
(C) 4. 
(D) 6. 
(E) 2. 
89.!(VUNESP 2010/CREA-SP) 
O quociente A:B entre as expressões � = 0,5 ∙ (34 − 4Ξ) e � = ∪√36 − ÷√64 + 2≠⊃ + 1 vale 
a) – 1/3 
b) 1/3 
 c) – 3 
 d) 3 
 e) – 9 
90.!(VUNESP 2010/Imprensa Oficial-SP) 
Uma mercadoria custa R$ 395,12. Ao registrar seu preço no sistema, o funcionário responsável 
digitou os cinco algarismos corretos que compõem o preço, mas numa ordem errada, resultando 
um valor maior do que o real. Sabendo que a vírgula foi digitada no local correto, a diferença entre 
o preço registrado pelo funcionário e o preço real pode ser, no máximo de 
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(A) R$ 179,73 
(B) R$ 198,00 
(C) R$ 271,17 
(D) R$ 540,09 
(E) R$ 558,09 
91.!(IBFC 2012/Pref. de João Pessoa) 
Observe as afirmações: 
I) O número 124 tem exatamente 6 divisores naturais. 
II) A soma entre duas dízimas periódicas pode resultar num número inteiro. 
III) O valor da expressão {−3 ∙ [(−2)Ξ − (−5)]Ÿ + (−1)W} = −4. 
Pode-se dizer que são corretas: 
a) I e II, somente. 
b) Todas 
c) Somente III. 
d) II e III, somente. 
 
 
3.!GABARITOS 
 
01.!C 
02.!Errado 
03.!A 
04.!E 
05.!Certo 
06.!Errado 
07.!C 
08.!Certo 
09.!Errado 
10.!Certo 
11.!Errado 
12.!Certo 
13.!Errado 
14.!Certo 
15.!Errado 
16.!Certo 
17.!Errado 
18.!Certo 
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19.!E 
20.!B 
21.!C 
22.!B 
23.!E 
24.!A 
25.!B 
26.!C 
27.!C 
28.!D 
29.!C 
30.!B 
31.!D 
32.!D 
33.!B 
34.!E 
35.!D 
36.!C 
37.!D 
38.!C 
39.!E 
40.!D 
41.!C 
42.!D 
43.!B 
44.!E 
45.!A 
46.!E 
47.!E 
48.!E 
49.!D 
50.!B 
51.!D 
52.!A 
53.!B 
54.!C 
55.!C 
56.!C 
57.!E 
58.!C 
59.!E 
60.!E 
61.!C 
62.!C 
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63.!D 
64.!D 
65.!D 
66.!C 
67.!C 
68.!C 
69.!D 
70.!C 
71.!A 
72.!E 
73.!C 
74.!B 
75.!A 
76.!C 
77.!C 
78.!C 
79.!E 
80.!B 
81.!D 
82.!E 
83.!B 
84.!A 
85.!C 
86.!B 
87.!B 
88.!C 
89.!C 
90.!E 
91.!B 
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4.!LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES COM COMENTÁRIOS 
 
1.! (CESPE 2018/IFF) 
 
Uma companhia aérea fixou rodízio entre duas cidades para seus comissários de bordo de 
determinado voo diário. A escala estabelece que o comissário A trabalhe nesse voo a cada 8 dias; o 
comissário B, a cada 10 dias; e o comissário C, a cada 12 dias. Nesse caso, se os três tiverem 
trabalhado juntos no voo do dia de hoje, então a próxima vez em que eles trabalharão novamente 
juntos nesse voo ocorrerá daqui a 
 
A) 30 dias. 
B) 74 dias. 
C) 120 dias. 
D) 240 dias. 
E) 960 dias. 
 
Resolução 
 
Se o comissário A trabalhou hoje, ele vai trabalhar daqui a 8 dias, daqui a 16 dias, daqui a 24 dias, e 
assim por diante. O comissário A trabalha nos múltiplos de 8. 
 
Se o comissário B trabalhou hoje, ele vai trabalhar daqui a 10 dias, daqui a 20 dias, daqui a 30 dias, 
e assim por diante. O comissário B trabalha nos múltiplos de 10. 
 
Se o comissário C trabalhou hoje, ele vai trabalhar daqui a 12 dias, daqui a 24 dias, daqui a 36 dias, 
e assim por diante. O comissário C trabalha nos múltiplos de 12. 
 
Para saber quando os comissários trabalharão juntos, temos que encontrar um múltiplo comum a 
8, 10 e 12. 
 
Os comissários trabalharão muitas vezes juntos, pois há infinitos múltiplos comuns entre 8, 10 e 
12. Como queremos saber a próxima vez que eles trabalharão juntos, vamos procurar o menor 
múltiplo comum, ou seja, o MMC entre 8,10 e 12. 
 
8, 10, 12 2 
4, 5, 6 2 
2, 5, 3 2 
1, 5, 3 3 
1, 5, 1 5 
1, 1, 1 
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Assim, o menor múltiplo comum entre 8, 10 e 12 é 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120 dias. 
 
Os três trabalharão juntos daqui a 120 dias. 
 
Gabarito: C 
 
2.! (CESPE 2018/SEDUC-AL) 
 
Em virtude de necessidades contábeis da época, os egípcios tinham a preferência pela utilização 
das frações unitárias, isto e, aquelas em que o numero 1 é o numerador. Parte do Papiro de Rhind, 
um importante registro matemático dos egípcios, trata da decomposição de frações a partir de 
frações unitárias. As frações unitárias na forma 1/n sempre podem ser decompostas em 
exatamente duas frações unitárias, por exemplo 
ΖΞ = Ζς+ Ζς . 
 
Nesse contexto, é correto afirmar que as únicas decomposições da fração unitária 
Ζς são Ζς = ΖΥ+ ΖΥ 
e 
Ζς = ΖΤ+ ΖΖΞ. 
 
Resolução 
 
Queremos decompor 1/4 em uma soma de duas frações unitárias. 
 14 = 1� + 1� 
 
Como 1/m e 1/n são menores que 1/4 (vamos somar dois números positivos e o resultado será 
positivo; portanto, as parcelas são menores que a soma), então m e n são maiores que 4. 
 
Vamos reescrever a expressão acima. 
 14 − 1� = 1� 
 
Sabemos que m é um número maior que 4. O enunciado já substituiu m por 6, 8 e 12. 
 
Vamos testar alguns valores. O primeiro número natural maior que 4 é 5. Vamos fazer m = 5. 
 14 − 15 = 5 − 420 = 120 
 
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14 − 15 = 120 
 
Portanto, 
 14 = 15 + 120 
 
Desta forma, existe pelo menos mais uma decomposição da fração unitária 1/4. 
 
Lembre-se: para provar que algo é falso, basta mostrar um contra-exemplo. 
 
Gabarito: Errado 
!
3.! (CESPE 2017/PREFEITURA SÃO LUÍS-MA) 
O número 
ƟŸ	×	÷√ΖΥθΖ≠√ΞοΖ é 
 
A) superior a 1.000 e inferior a 1.500. 
B) superior a 1.500 e inferior a 2.000. 
C) superior a 2.000. 
D) inferior a 500. 
E) superior a 500 e inferior a 1.000. 
 
Resolução 
 
Vamos racionalizar o denominador. Para tanto, vamos multiplicar o numerador e o denominador 
pelo fator racionalizante √2 + 1. 
 
Observe que ÷√2 − 1≠÷√2 + 1≠ = ÷√2≠Ξ − 1Ξ = 2 − 1 = 1. 
 
Ficamos com: 
 100	 ×	÷√18 + 1≠√2 − 1 ∙ √2 + 1√2 + 1 = 100	 ×	÷√18 + 1≠(√2 + 1)÷√2 − 1≠÷√2 + 1≠⊂⊆⊆⊆⊆⊆∈⊆⊆⊆⊆⊆∉Ζ
 
 100	 ×	÷√18 + 1≠(√2 + 1)1 = 100	 ×	÷√18 + 1≠(√2 + 1) 
 
Vamos agora desenvolver este produto. 100	 ×	÷√18 + 1≠÷√2 + 1≠ = 100 × ÷√18 ∙ √2 + √18 ∙ 1 + 1 ∙ √2 + 1 ∙ 1≠ = 
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= 100 × ÷√36 + √18 + √2 + 1≠ = 100 × ÷6 + √18 + √2 + 1≠ = 
 = 100 × ÷7 + √18 + √2≠ 
 
Não precisamos saber o valor exato desta expressão. Queremos apenas uma aproximação. 
 
Sabemos que √16 = 4 e √25 = 5. Portanto, √18 é um número entre 4 e 5. 
 
Sabemos que √1 = 1 e √4 = 2. Portanto, √2 é um número entre 1 e 2. 
 
Se colocarmos uma aproximação exagerada por baixo, teríamos: 
 100 × ÷7 + √�� + √�≠ ≅ 100 × (7 + � + �) = 1.200 
 
Se colocarmos uma aproximação exagerada por cima, teríamos: 
 100 × ÷7 + √�� + √�≠ ≅ 100 × (7 + � + �) = 1.400 
 
Assim, o valor exato de 100 × ÷7 + √18 + √2≠ é um número entre 1.200 e 1.400. 
 
Se este valor está entre 1.200 e 1.400, também está entre 1.100 e 1.500. 
 
Gabarito: A 
4.! (CESPE 2017/PREFEITURA SÃO LUÍS-MA) 
 
As figuras I e II a seguir ilustram recipientes cilíndricos retos, idênticos, que contêm suco. Em cada 
recipiente foram feitas marcações igualmente espaçadas, mas diferentes nos recipientes I e II. Há 
mais suco no recipiente I que no II. 
 
 
Nessa situação, a fração do volume que o recipiente I tem a mais que o II é igual a: 
 
a) 8/15 
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b) 8/13 
c) 3/10 
d) 4/3 
e) 7/20 
 
Resolução 
O primeiro recipiente foi dividido em 8 partes iguais e 6 partes foram preenchidas. Isto 
corresponde a 6/8 do volume. 
O segundo recipiente, foi dividido em 5 partes iguais e 2 partes foram preenchidas. Isto 
corresponde a 2/5 do volume. 
Para saber o quanto o recipiente I tem a mais que o recipiente II, basta calcular a diferença. 
A diferença é 68 − 25 = 34 − 25 = 15 − 820 = 720 
Gabarito: E 
 
5.! (CESPE 2017/SEDF) 
 
Se uma TV digital tiver uma resolução de 1.080 pixels de largura por 720 pixels de altura, então o 
quociente, em pixels, da altura pela largura correspondera a um numero decimal que poderá ser 
representado por uma dizima periódica. 
 
Resolução 
 
Vamos dividir a altura 720 pela largura 1.080. 
 7201.080 = 72108 
 
Podemos simplificar por 36. 
 72108 = 23 
 
Dividindo 2 por 3, encontramos 0,666666...., que é uma dízima periódica. 
 
Gabarito: CERTO 
 
 
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6.! (CESPE 2017/SEDF) 
 
A respeito de números reais e números complexos, julgue os itens subsecutivos. 
 
O resultado da soma dos números reais a e b será um numero racional se, e somente se, cada um 
dos números a e b for um numero racional. 
 
Resolução 
 
O conjunto dos números irracionais não é fechado em relação à adição. Assim, se somarmos dois 
números irracionais, o resultado pode ser irracional ou racional. 
 
Observe por exemplo, que √2 é irracional, −√2 também é irracional, mas a soma deles √2 + (−√2) é igual a zero, que é racional. 
 
Gabarito: ERRADO 
!
7.! (CESPE 2016/CPRM) 
Depois das simplificações possíveis, o número Z = 
÷Οθ	√Ξ≠≤ο÷Οο√Ξ≠≤√Ξ será igual a 
 
A) 3. 
B) 40. 
C) 80. 
D) 400. 
E) 566. 
 
Resolução 
 
Vamos desenvolver as expressões do numerador. 
 ÷20 +	√2≠Ξ = ÷20 +	√2≠÷20 +	√2≠ = 20 ∙ 20 + 20 ∙ √2 + 20 ∙ √2 + √2 ∙ √2 
 ÷20 +	√2≠Ξ = 400 + 40 ∙ √2 + 2 = 402 + 40√2 
 
Você poderia ter resolvido um pouco mais rápido se já conhecesse o produto notável (� + �)Ξ =�Ξ + 2�� + �Ξ (o quadrado da soma é o quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo 
segundo, mais o quadrado do segundo). 
 
Ficaria assim: ÷20 +	√2≠Ξ = 20Ξ + 2 ∙ 20 ∙ √2 + ÷√2≠Ξ = 400 + 40√2 + 2 = 402 + 40√2 
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Vamos desenvolver a outra expressão. 
 ÷20 −	√2≠Ξ = ÷20 −	√2≠÷20 −	√2≠ = 20 ∙ 20 − 20 ∙ √2 − 20 ∙ √2 + √2 ∙ √2 
 ÷20 −	√2≠Ξ = 400 − 40 ∙ √2 + 2 = 402 − 40√2 
 
Você poderia ter resolvido um pouco mais rápido se já conhecesse o produto notável (� − �)Ξ =�Ξ − 2�� + �Ξ (o quadrado da diferença é o quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro 
pelo segundo, mais o quadrado do segundo). 
 
Ficaria assim: ÷20 −	√2≠Ξ = 20Ξ − 2 ∙ 20 ∙ √2 + ÷√2≠Ξ = 400 − 40√2 + 2 = 402 − 40√2 
 
Voltemos à expressão original do enunciado. 
 
� = ÷20 +	√2≠Ξ − ÷20 − √2≠Ξ√2 = ÷402 + 40√2≠ − ÷402 − 40√2≠√2 
 
� = 402 + 40√2 − 402 + 40√2√2 = 80√2√2 = 80 
 
Gabarito: C 
 
�
8.! (CESPE 2014/SEDF) 
 
Existem exatamente quatro números inteiros r para os quais a fração 
ΖςΞℵθΖ é um numero inteiro. 
 
Resolução 
 
Para que esta fração seja um número inteiro, o denominador tem que ser um divisor de 14. Os 
divisores de 14 são 1, 2, 7, 14 e seus recíprocos -1, -2, -7, -14. 
Desta forma, o denominador 2r + 1 pode ser igual a 1,2,7,14,-1,-2,-7 ou -14. 
 
Podemos ter: 
 2r + 1 = 1 → r = 0 → �	é	������� 
 2r + 1 = 2 → 2r = 1 → r = 1/2 → r	não	é	inteiro 
 
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2r + 1 = 7 → r = 3 → �	é	������� 
 2r + 1 = 14 → 2r = 13 → r = 13/2 → r	não	é	inteiro 
 2r + 1 = −1 → r = −1 → �	é	������� 
 2r + 1 = −2 → 2r = −3 → r = −3/2 → r	não	é	inteiro 
 2r + 1 = −7 → r = −4 → �	é	������� 
 2r + 1 = −14 → 2r = −15 → r = −15/2 → r	não	é	inteiro 
 
Portanto, existem exatamente 4 valores inteiros de r que tornam a fração 
ΖςΞℵθΖ um número inteiro. 
 
Gabarito: CERTO 
 
9.! (CESPE 2014/MDIC) 
 
Lúcio, Breno, Cláudia e Denise abriram a loja virtual Lik, para a qual, no ato de abertura, Lúcio 
contribuiu com R$ 10.000,00; Breno, com R$ 15.000,00; Cláudia, com R$ 12.000,00; e Denise, com 
R$ 13.000,00. Os lucros obtidos por essa loja serão distribuídos de forma diretamente proporcional 
à participação financeira de cada um dos sócios no ato de abertura da loja. 
 
A partir dessas informações, julgue os itens a seguir. 
 
Se M for a quantidade média de acessos por minuto ao sítio eletrônico da loja Lik e �Ξ = 0,8, 
então M será um número irracional menor que 0,8. 
 
Resolução 
 
 �Ξ = 0,8 
 
�Ξ = 810 
 
�Ξ = 45 
 
� = √4√5 
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� = 2√5 
 
Vamos calcular uma aproximação para √5 pelo método de Newton-Raphson. 
 
O quadrado perfeito mais próximo de 5 é 4. Portanto, 
 
√5 = 5 + 42 ∙ 2 = 94 = 2,25 
 
Esta é uma excelente aproximação, já que 2,25Ξ = 5,0625. 
 
Ficamos com: 
� = 2√5 = 22,25 = 2,002,25 = 200225 ≅ 0,88 
 
Portanto, M é maior que 0,8. O item está errado. 
 
Muitas pessoas pensam que a raiz quadrada de um número é sempre menor que o número. Isto só 
é verdade para números maiores que 1. 
 
Para números entre 0 e 1, a raiz quadrada de um número é maior que o próprio número. Se você 
soubesse deste fato, já poderia marcar direto o gabarito como errado sem fazer contas. 
 
Gabarito: ERRADO 
 
10.! (CESPE 2013/SEE-AL)Um número é irracional se, e somente se pode ser representado por uma dizima não periódica. 
 
Resolução 
 
Perfeito. Os números irracionais só podem ser representados por dízimas não-periódicas e toda 
dízima não-periódica corresponde a um número irracional. 
 
Gabarito: CERTO 
 
 
 
 
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11.! (CESPE 2013/SEE-AL) 
 
O produto de dois números irracionais é um numero irracional. 
 
Resolução 
 
O conjunto dos números irracionais não é fechado em relação à multiplicação. Em outras palavras, 
o produto de dois números irracionais pode ser racional ou irracional, a depender dos números. 
 
Por exemplo, √2 é irracional e √8 também é irracional, mas o produto √2 ∙ √8 = √2 ∙ 8 = √16 =4 é um número racional. 
 
Gabarito: ERRADO 
 
12.! (CESPE 2013/ANS) 
Considerando que N seja o conjunto de todos os números inteiros maiores ou iguais a 1 e que, 
para cada m∈ � o conjunto A(m) seja o subconjunto de N formado por todos os números divisíveis 
por m, julgue o item a seguir. O conjunto A(15) ∩ A(10) contém o conjunto A(60). 
 
Resolução 
!
A(15) é formado pelos múltiplos de 15. Assim, 
 
A(15) = {15,30, 45, 60, 75, ...} 
 
Da mesma forma, temos A(10) = {10,20,30,40,...}. 
 
O conjunto A(15) ∩ A(10) é formado pelos múltiplos comuns de 15 e 10, ou seja, A(15) ∩ A(10) = 
{30,60,90,120,...}, que são os múltiplos de 30. 
 
Como todo múltiplo de 60 é também múltiplo de 30, então o conjunto A(15) ∩ A(10) contém o 
conjunto A(60). 
Gabarito: Certo. 
 
 
 
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13.! (CESPE 2013/ANS) 
Considerando que N seja o conjunto de todos os números inteiros maiores ou iguais a 1 e que, 
para cada m∈ � o conjunto A(m) seja o subconjunto de N formado por todos os números divisíveis 
por m, julgue o item a seguir. O conjunto A(6) U A(8) contém o conjunto A(14). 
Resolução 
O conjunto A(6) é formado pelos múltiplos de 6. 
O conjunto A(8) é formado pelos múltiplos de 8. 
O conjunto A(14) é formado pelos múltiplos de 14. 
O conjunto A(6) U A(8) não contém o conjunto A(14) porque há múltiplos de 14 que não são 
múltiplos de 6 e também não são múltiplos de 8. 
Gabarito: Errado. 
14.! (CESPE 2013/MPU/Técnico Administrativo) 
Ao distribuir entre 5 técnicos do MPU determinada quantidade de processos para análise, de modo 
que todos recebessem quantidades iguais de processos, o chefe da unidade verificou que sobrava 
um processo; ao tentar distribuir igualmente entre 6 técnicos, novamente sobrou um processo, 
situação que se repetiu quando ele tentou distribuir os processos igualmente entre 7 técnicos. 
Considerando que N > 1 seja a quantidade de processos que serão analisados pelos técnicos, julgue 
os itens seguintes, com base nas informações apresentadas. 
É correto afirmar que N > 210. 
Resolução 
Quando dividimos N por 5, o resto é 1. Portanto, N – 1 é divisível por 5, ou seja, N – 1 é múltiplo de 
5. 
Quando dividimos N por 6, o resto é 1. Portanto, N – 1 é divisível por 6, ou seja, N – 1 é múltiplo de 
6. 
Quando dividimos N por 7, o resto é 1. Portanto, N – 1 é divisível por 7, ou seja, N – 1 é múltiplo de 
7. 
Portanto, N – 1 é múltiplo de 5, 6 e 7. 
O menor valor possível para N – 1 é o menor múltiplo comum entre 5, 6 e 7. Vamos calcular 
mmc(5, 6, 7). 
5, 6, 7 2 
5, 3, 7 3 
5, 1, 7 5 
1, 1, 7 7 
1, 1, 1 
Portanto, mmc(5, 6, 7) = 2 x 3 x 5 x 7 = 210. 
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Portanto, o menor valor para N – 1 é 210. 
� − 1 = 210 
� = 211 
O menor valor possível para N é 211; portanto, N > 210. 
Gabarito: Certo 
 
15.! (CESPE 2013/MPU/Técnico Administrativo) 
Ao distribuir entre 5 técnicos do MPU determinada quantidade de processos para análise, de modo 
que todos recebessem quantidades iguais de processos, o chefe da unidade verificou que sobrava 
um processo; ao tentar distribuir igualmente entre 6 técnicos, novamente sobrou um processo, 
situação que se repetiu quando ele tentou distribuir os processos igualmente entre 7 técnicos. 
Considerando que N > 1 seja a quantidade de processos que serão analisados pelos técnicos, julgue 
os itens seguintes, com base nas informações apresentadas. 
 
Se P é o mínimo múltiplo comum entre 5, 6 e 7, então N é͒múltiplo de P.͒͒ 
Resolução 
 
Vimos na questão passada que o mínimo múltiplo comum entre 5, 6 e 7 é 210. Portanto, P = 210. 
 
Vimos também que o menor valor possível para N é 211. Os outros valores possível para N são os 
múltiplos de 211: 422, 633, 822, ... . 
 
O item afirma que N é múltiplo de P. Ora, 211 não é múltiplo de 210. 
 
Gabarito: Errado 
 
16.! (CESPE 2012/TJ-RO) 
Considere as seguintes definições: 
 
I) os divisores próprios de um número inteiro positivo n são todos os divisores inteiros positivos de 
n, exceto o próprio n; 
 
II) um número n será perfeito se a soma de seus divisores próprios for igual a n; 
 
III) dois números serão números amigos se cada um deles for igual à soma dos divisores próprios 
do outro. 
 
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Com base nessas definições, julgue os itens que seguem. 
 
O número 28 é um número perfeito. 
 
Resolução 
 
Os divisores próprios de 28 são 1, 2, 4, 7 e 14. A soma de seus divisores próprios é 1 + 2 + 4 + 7 + 14 
= 28. Como a soma dos divisores próprios de 28 é igual a 28, então, por definição, 28 é um número 
perfeito. 
 
Gabarito: CERTO 
17.! (CESPE 2012/TJ-RO) 
Considere as seguintes definições: 
 
I) os divisores próprios de um número inteiro positivo n são todos os divisores inteiros positivos de 
n, exceto o próprio n; 
 
II) um número n será perfeito se a soma de seus divisores próprios for igual a n; 
 
III) dois números serão números amigos se cada um deles for igual à soma dos divisores próprios 
do outro. 
 
Com base nessas definições, julgue os itens que seguem. 
 
Se um número é maior que 1, então o conjunto dos seus divisores próprios tem, pelo menos, 2 
elementos. 
 
Resolução 
 
O item está errado. Basta pensar nos números primos. O número 7, por exemplo, possui apenas 
dois divisores: 1 e 7. Desta forma, o número 7 possui apenas um divisor próprio, que é o número 1. 
 
Gabarito: ERRADO 
18.! (CESPE 2012/TJ-RO) 
Considere as seguintes definições: 
 
I) os divisores próprios de um número inteiro positivo n são todos os divisores inteiros positivos de 
n, exceto o próprio n; 
 
II) um número n será perfeito se a soma de seus divisores próprios for igual a n; 
 
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III) dois números serão números amigos se cada um deles for igualà soma dos divisores próprios 
do outro. 
 
Com base nessas definições, julgue os itens que seguem. 
 
Nenhum número primo é um número perfeito. 
 
Resolução 
 
Um número N é primo quando possui apenas dois divisores positivos: 1 e N. 
Assim, se N é primo, ele possui apenas um divisor próprio: 1. 
 
A soma dos divisores próprios de um número primo N é igual a 1. 
 
Para que N fosse perfeito, a soma de seus divisores próprios deveria ser igual a N. Portanto, 
nenhum número primo é perfeito. 
 
Gabarito: CERTO 
�
19.! (CESPE 2012/TJ-RO) 
Uma empresa possui 658 servidores: 308 do sexo masculino e 350 do sexo feminino. Em uma 
reunião com a presença de todos os servidores, seriam formados vários grupos: todos os grupos 
teriam a mesma quantidade de pessoas, e cada grupo seria formado apenas com pessoas do 
mesmo sexo. Nesse caso, para que se tenha a menor quantidade de grupos e se mantenha as 
mesmas condições anteriores, os servidores serão divididos em 
 
A) 14 grupos. 
B) 22 grupos. 
C) 25 grupos. 
D) 42 grupos. 
E) 47 grupos. 
 
Resolução 
 
Se queremos formar a menor quantidade de grupos, deveremos alocar em cada grupo o maior 
número possível de pessoas. 
 
Além disso, todos os grupos terão a mesma quantidade de pessoas. Portanto, o número de 
pessoas em cada grupo tem que ser um divisor simultâneo de 308 e de 350. 
 
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Deixe-me detalhar um pouco mais. O grupo dos homens, formado por 308 pessoas, pode ser 
dividido em grupos de 4, porque 308/4 = 77. Entretanto, o grupo das mulheres, formado por 350 
pessoas, não pode ser dividido em grupos de 4, porque 350/4 = 87,5. 
 
Desta maneira, a quantidade de pessoas em cada grupo tem que dividir perfeitamente 308 e 
também dividir perfeitamente 350, ou seja, tem que ser divisor de 308 e também tem que ser 
divisor de 350. 
 
Resumindo: o número de pessoas em cada grupo tem que ser divisor comum de 308 e 350 e 
também tem que ser o maior número possível. 
 
Conclusão: o número de pessoas em cada grupo tem que ser o maior divisor comum entre 308 e 
350. 
 
Vamos calcular o MDC(308,350) utilizando o algoritmo de Euclides. 
 
Primeiro dividimos 350 por 308. Encontramos quociente 1 e resto 42. 
 
 1 
350 308 
42 
 
Vamos agora dividir 308 por 42. Encontramos quociente 7 e resto 14. 
 
 1 7 
350 308 42 
42 14 
 
Finalmente vamos dividir 42 por 14. 
 
 1 7 3 
350 308 42 14 
42 14 0 
 
Como o resto foi zero, descobrimos que MDC(350,308) = 14. 
 
Em outras palavras, há 14 pessoas em cada grupo. 
 
Os 308 homens serão divididos em 308/14 = 22 grupos e as 350 mulheres serão divididas em 
350/14 = 25 grupos. 
 
O total de grupos é igual a 22 + 25 = 47. 
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Gabarito: E 
 
20.! (CESPE 2011/CORREIOS) 
 
Considere que 3 carretas façam, repetidamente, viagem de ida e volta entre determinada editora e 
um centro de tratamento da ECT em 4 dias, 5 dias e 6 dias, respectivamente, e, ao completar um 
percurso de ida e volta, elas retomem imediatamente esse percurso. Se, em certo dia, as 3 carretas 
partirem simultaneamente da editora, então elas voltarão a partir juntas novamente dessa editora 
após 
 
A) 45 dias. 
B) 60 dias. 
C) 10 dias. 
D) 15 dias. 
E) 30 dias. 
 
Resolução 
 
Questões envolvendo repetições periódicas são rapidamente resolvidas com o cálculo do MMC. 
 
A primeira carreta repete a viagem a cada 4 dias, a segunda carreta a cada 5 dias e a terceira 
carreta a cada 6 dias. 
 
Assim, se a primeira carreta partiu hoje, partirá novamente daqui a 4 dias, daqui a 8 dias, e assim 
por diante (múltiplos de 4). 
 
Se a segunda carreta partiu hoje, partirá novamente daqui a 5 dias, daqui a 10 dias, daqui a 15 
dias, e assim por diante (múltiplos de 5). 
 
Se a terceira carreta partiu hoje, partirá novamente daqui a 6 dias, 12 dias, 18 dias, e assim por 
diante (múltiplos de 6). 
 
As carretas partem juntas nos dias múltiplos comuns entre 4, 5 e 6. Para saber a próxima 
coincidência, basta calcular o menor múltiplo comum entre 4, 5 e 6. 
 
4, 5, 6 2 
2, 5, 3 2 
1, 5, 3 3 
1, 5, 1 5 
1, 1, 1 
 
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Portanto, MMC(4, 5, 6) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60 dias. 
 
	Gabarito: B 
21.!(CETRO 2010/Ministério dos Transportes) 
Em relação ao estudo dos Conjuntos Numéricos, considere as seguintes afirmações: 
I. ℝ = ℚ ∪ �� 
II. N ⊂Z ⊂ Q ⊂ R 
III. ℚ ∪ �� = ∅ 
IV. ℚ ∩ �� = ℝ 
V. �� = 	ℝ − ℚ 
Considere: 
Ir = Conjunto dos números irracionais. 
N = Conjunto dos números naturais. 
Q = Conjunto dos números racionais. 
R = Conjunto dos números reais. 
Z = Conjunto dos números inteiros. 
As afirmações verdadeiras estão contidas em 
a) I apenas. 
b) I e III apenas. 
c) I, II e V apenas. 
d) II, III, IV e V apenas. 
e) I, II, III, IV e V. 
Resolução 
Nenhum número racional é irracional. Os números racionais são aqueles que podem ser escritos 
na forma a/b, onde a é inteiro e b é um inteiro diferente de zero. A união do conjunto dos números 
racionais (Q) com o conjunto dos números irracionais (Ir) é o conjunto dos números reais. 
Como vimos na questão anterior, N ⊂Z ⊂ Q ⊂ R. 
Assim, 
I é verdadeira, II é verdadeira. III é falsa, pois ℚ ∪ �� = ℝ . IV é falsa, pois ℚ ∩ �� = ∅. V é 
verdadeira pois o conjunto dos números irracionais é formado por todos os números reais que não 
são racionais. 
Gabarito: C 
 
 
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22.!(BIORIO 2016/ELETROBRAS) 
A professora pergunta à turma: “Quantos números naturais são maiores do que 238 e menores do 
que 452?”. Flávia respondeu corretamente: 
 
a) 212͒ 
b) 213͒ 
c) 214͒ 
d) 222͒ 
e) 223 
 
Resolução 
Ora, já sabemos calcular a quantidade de números inteiros de 238 até 452 (incluindo os extremos). 
Basta fazer 452 - 238 + 1 = 215. 
Como não estamos interessados nos extremos 238 e 452, vamos excluir dois números: 215 - 2 = 
213. 
Gabarito: B 
 
23.!(VUNESP 2010/Fundação CASA) 
Um eletricista tem 4 rolos do fio X, com 84 m cada um, 3 rolos do fio Y, com 144 m cada um, e 5 
rolos do fio Z, com 60 m cada um. Para fazer as ligações necessárias de uma obra, ele deverá cortar 
os fios dos 12 rolos em pedaços do mesmo tamanho, sendo esse tamanho o maior possível, de 
modo que não reste nenhum pedaço de fio nos rolos. Dessa maneira, ele deverá obter um número 
total de pedaços igual a 
(A) 24. 
(B) 36. 
(C) 49. 
(D) 64. 
(E) 89. 
Resolução 
Vejamos, por exemplo, o fio X. Cada rolo do fio X tem 84 metros. Será que podemos dividir o rolo 
do fio X em pedaços de 10 metros sem que haja resto? É óbvio que não! E por que não? Porque 10 
não é um divisor de 84. 
Será que podemos dividir o rolo do fio X em pedaços iguais de 4 metros sem que haja resto? Sim! E 
por que sim? Porque 4 é um divisor de84, ou seja, 84 dividido por 4 é igual a 21 e resto 0. 
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Seguindo este raciocínio, o tamanho de cada pedaço deve ser um divisor do comprimento de cada 
rolo de fio. Ou seja, o tamanho do pedaço que estamos querendo calcular deve ser um divisor de 
84, 144 e 60. Temos que calcular um número que seja divisor comum destes três números. O 
problema é que há vários divisores comuns, como por exemplo, 2 ou 4. 
O enunciado então determina que o tamanho de cada pedaço seja o maior possível. 
Resumindo: o tamanho de cada pedaço deve ser o maior divisor comum de 84, 144 e 60. Vocês 
conhecem este número como MDC: M de maior, D de divisor e C de comum. 
Vamos calcular o ���(84,144,60). Utilizaremos o método da fatoração simultânea. Como bem diz 
o nome do método, devemos fatorar os três números simultaneamente, ou seja, de uma só vez. 
Para isto, devemos procurar números que dividam simultaneamente os três números. 
Pense em um número que divida 84, 144 e 60. Pensou? Que tal 2? 
84 dividido por 2 é igual a 42, 144 dividido por 2 é igual a 72 e 60 dividido por 2 é igual a 30. 
 
 
 
 
Vamos pensar em um número que divida 42, 72 e 30. Que tal 2 novamente? 
 
42 dividido por 2 é igual a 21, 72 dividido por 2 é igual a 36 e 30 dividido por 2 é igual a 15. 
 
 
 
 
 
Pense em um número que divida 21, 36 e 15... Que tal 3? 
21 divido por 3 é igual a 7, 36 dividido por 3 é igual a 12 e 15 dividido por 3 é igual a 5. 
 
 
 
 
 
Há algum número natural (diferente de 1) que divida 7, 12 e 5 simultaneamente? Não! Então 
devemos parar. Para calcular o MDC, devemos multiplicar 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12. 
Conclusão: cada pedaço terá 12 metros. 
84, 144	, 60							2 42, 72	, 30							 
84, 144	, 60							2 42, 72	, 30									2							 21, 36, 15 
84, 144	, 60							2 42, 72	, 30									2							 21, 36, 15										3 7, 12, 5 
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O rolo do fio X tem 84 metros. Se cada pedaço terá 12 metros, então cada rolo do fio X será 
dividido em: 8412 = 7	����� 
Como temos 4 rolos do fio X, então teremos no total 4 ∙ 7 = ��	����ç��. 
O rolo do fio Y tem 144 metros. Se cada pedaço terá 12 metros, então cada rolo do fio Y será 
dividido em: 14412 = 12	����� 
Como temos 3 rolos do fio Y, então teremos no total 3 ∙ 12 = ��	����ç��. 
O rolo do fio Z tem 60 metros. Se cada pedaço terá 12 metros, então cada rolo do fio Z será 
dividido em: 6012 = 5	����� 
Como temos 5 rolos do fio Z, então teremos no total 5 ∙ 5 = ��	����ç��. 
Dessa maneira, ele deverá obter um número total de pedaços igual a 28 + 36 + 25 = 89. 
Depois de calculado o comprimento de cada pedaço, poderíamos seguir o seguinte raciocínio para 
calcular o total de pedaços. 
Temos 4 rolos do fio X, cada um com 84 metros. O comprimento total do fio X é igual a	4 ∙ 84� =336	������. 
Temos 3 rolos do fio Y, cada um com 144 metros. O comprimento total do fio Y é igual a	3 ∙144� = 432	������. 
Temos 5 rolos do fio Z, cada um com 60 metros. O comprimento total do fio Z é igual a	5 ∙ 60� =300	������. 
O comprimento total de todos os rolos de fio é igual a 336 + 432 + 300 = 1.068	�. 
Como cada pedaço de fio terá 12 metros, então teremos: 1.06812 = 89	����ç�� 
Gabarito: E 
24.!(VUNESP 2009/SEAP-SP) 
Em um presídio há 400 detentos, sendo 240 no setor X e 160 no setor Y. Para realizar atividades na 
oficina de artes, o total de detentos foi dividido em grupos com o mesmo número de integrantes, 
sendo esse número o maior possível, sem deixar nenhum detento de fora e sem misturar os 
detentos dos dois setores. Dessa forma, foram formados 
(A) 5 grupos. 
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(B) 8 grupos. 
(C) 10 grupos. 
(D) 12 grupos. 
(E) 13 grupos. 
Resolução 
Para que os grupos tenham o mesmo número de integrantes, devemos encontrar um número que 
seja divisor de 240 e seja divisor de 160 (para que não haja resto). Além disso, este divisor deve ser 
o maior possível. Devemos, portanto, calcular o máximo divisor comum (MDC) dos números 240 e 
160. O processo para o cálculo do MDC está descrito na questão anterior. Devemos fatorar os 
números apenas por números que dividam os dois números simultaneamente. 
 
 
 
 
 
Portanto, ���(240,160) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 = 80. Isto significa que cada grupo terá 80 detentos. 
Dividindo os 400 detentos em grupos de 80, teremos 5 grupos (observe que 400 dividido por 80 é 
igual a 5). 
Gabarito: A 
25.!(VUNESP 2010/Instituto Butantan) 
Um paciente recebe 3 medicamentos, todos os dias. O primeiro, de 4 em 4 horas, o segundo, de 8 
em 8 horas, e o terceiro, a cada 10 horas. Ele recebeu os medicamentos juntos às 7 horas do dia 27 
de novembro de 2009. Receberá os 3 medicamentos juntos, novamente, no mês de novembro de 
2009, dia 
(A) 28, às 19 horas. 
(B) 28, às 23 horas. 
(C) 29, às 7 horas. 
(D) 29, às 11 horas. 
(E) 30, às 7 horas. 
Resolução 
 
 
 
240, 160						2 120,			80						2 		60, 40									2 		30, 20									2 		15, 10									5 				3, 2											 
 
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Para calcular o tempo de coincidência dos eventos (período comum) devemos calcular o mínimo 
múltiplo comum dos períodos. 
 
 
 
 
 
Desta forma, �.�. �. (4,8,10) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 = 40	ℎ����. Isto significa que os 3 medicamentos 
chegam juntos a cada 40 horas. Ele recebeu os medicamentos juntos às 7 horas do dia 27 de 
novembro de 2009. 
Ora, sabemos que 40	ℎ���� = 24	ℎ���� + 16	ℎ���� = 1	��� + 16	ℎ���� 
7 horas do dia 27 de novembro de 2009 + 1 dia = 7 h do dia 28 de novembro de 2009. 
7 h do dia 28 de novembro de 2009 + 16 horas = 23 h do dia 28 de Nov. de 2009. 
Gabarito: B 
26.!(VUNESP 2010/Pref. de Sorocaba) 
Antônio, Hélio e Emílio são três responsáveis pela fiscalização sanitária da dengue e fazem plantão, 
respectivamente, a cada 10, 15 e 18 dias. Eles trabalharam juntos no dia 27 de março. O próximo 
plantão, imediatamente após esse, que os três farão juntos, será no dia 
15 de maio 
26 de maio 
25 de junho 
30 de junho 
27 de julho 
Resolução 
Para calcular o período que os três trabalham juntos, devemos calcular o mínimo múltiplo comum 
de 10, 15 e 18. 
 
 
 
 
 
Assim, ���(10,15,18) = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 = 90 dias. Observe que o problema não considera meses de 
30 dias. Devemos considerar a quantidade de dias que cada mês realmente tem. 
4, 8, 10				2 2, 4, 5							2 1, 2, 5							2 1, 1, 5							5 1, 1, 1 
10,15, 18				2 5, 15, 9								3 5, 5, 3										3 5, 5, 1										5 1, 1, 1 
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Muitas pessoas confundemos meses com 30 e os meses com 31 dias. Há um processo mnemônico 
muito fácil para a memorização destes meses. 
 
Primeiro, feche a sua mão conforme a figura abaixo. 
 
 
 
Para o nosso processo mnemônico, vamos da saliência do dedo indicador até a saliência do dedo 
mínimo, ignorando o polegar. Perceba que existem 4 saliências (dos ossos) e três reentrâncias 
(entre um dedo e outro), conforme a figura abaixo: 
 
 
 
Agora vamos fazer o seguinte: Vamos considerar a primeira saliência como sendo janeiro, a primeira 
reentrância, como fevereiro, e assim por diante, conforme a figura abaixo: 
 
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Marcados os meses de janeiro, fevereiro, março abril, maio, junho e julho, não tem mais “espaço” para 
marcarmos os outros meses. Faremos então a mesma coisa que fizemos com janeiro, começaremos do 
dedo mínimo: 
 
 
 
Todos os meses que estão em uma saliência, têm 31 dias. Todos os meses que estão em uma reentrância, 
têm 30 dias (exceto, claro, de fevereiro que tem 28 ou 29 dias). 
Eles trabalharam juntos no dia 27 de março. Como o mês de março possui 31 dias, então vamos 
contar 4 dias em março. 
O mês de abril tem 30 dias e o mês de maio tem 31 dias. Já contamos 4 + 30 + 31 = 65	����. 
Para completar os 90 dias, precisamos de 90 − 65 = 25 dias, que serão contados em junho. 
Portanto, próximo plantão, imediatamente após esse, que os três farão juntos, será no dia 25 de 
junho. 
Gabarito: C 
 
 
 
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27.!(VUNESP 2009/SEAP-AP) 
Três agentes penitenciários fazem rondas noturnas em um determinado presídio. O primeiro tem 
que acionar o relógio de controle a cada 36 minutos; o segundo, a cada 24 minutos, e o terceiro, a 
cada 18 minutos. Dessa maneira, pode-se afirmar que eles acionam simultaneamente o relógio de 
controle a cada 
(A) 1 h 24 min. 
(B) 1 h 18 min. 
(C) 1 h 12 min. 
(D) 1 h 06 min. 
(E) 1 h. 
Resolução 
Para calcular o tempo de coincidência dos eventos (período comum) devemos calcular o mínimo 
múltiplo comum dos períodos. 
 
 
 
 
 
 
Desta forma, �.�. �. (36,24,18) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 = 72	�������. 
72	��� = 60	��� + 12	��� = 1ℎ	12	��� 
Gabarito: C 
28.!(FCC 2011/TRT 24ª Região) 
Sabe-se que Vitor e Valentina trabalham como Auxiliares de Enfermagem em uma empresa e, 
sistematicamente, seus respectivos plantões ocorrem a cada 8 dias e a cada 6 dias. Assim sendo, se 
no último dia de Natal – 25/12/2010 – ambos estiveram de plantão, então, mantido o padrão de 
regularidade, uma nova coincidência NÃO ocorrerá em 
(A) 18 de maio. 
(B) 24 de abril. 
(C) 31 de março. 
(D) 10 de fevereiro. 
(E) 18 de janeiro. 
Resolução 
 
 
36, 24, 18				2 18.		12, 9					2 		9,				6, 9							2 		9,				3, 9							3 		3,				1, 3							3 1,					1	, 1 
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O intervalo das coincidências é calculado a partir do M.M.C. dos períodos. 
6, 8				2	3, 4				2	3, 2				2	3, 1				3	1,1 
Assim, ���(6,8) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24. Ou seja, os plantões coincidem a cada 24 dias. 
Houve uma coincidência no dia 25 de dezembro de 2010. Vamos avançar de 24 em 24 dias. 
A próxima coincidência será no dia 18 de janeiro (6 dias de dezembro mais 18 dias de janeiro = 24 
dias). 
Em seguida, há uma coincidência no dia 11 de fevereiro (13 dias em janeiro mais 11 dias de 
fevereiro = 24 dias). 
Já podemos marcar a alternativa D. 
A próxima coincidência será no dia 7 de março (17 dias em fevereiro mais 7 dias de março = 24 
dias). 
Como 7 + 24 = 31, então a próxima coincidência é no dia 31 de março. 
Correndo mais 24 dias, chegamos no dia 24 de abril. 
Finalmente, a próxima coincidência será no dia 18 de maio (6 dias em abril + 18 dias de maio = 24 
dias). 
Gabarito: D 
 
(SABESP 2014/FCC) 
Para responder às questões seguintes, considere as informações abaixo. 
Luiz tem que tomar um comprimido do remédio X a cada 3 horas, e dois comprimidos do remédio Y 
a cada 5 horas. O tratamento com os comprimidos deve durar 5 dias e meio, sendo que ele iniciou 
tomando, simultaneamente, a dose recomendada de cada remédio na segunda-feira, às 8 horas da 
manhã. Sabe-se que Luiz realizou o tratamento completo cumprindo rigorosamente as instruções 
de doses e horários. 
29.!Ao final do tratamento, o total de comprimidos ingeridos por Luiz foi igual a 
(A) 90. 
(B) 88. 
(C) 96. 
(D) 92. 
(E) 66. 
Resolução 
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O tratamento durará 5 dias e meio. Como cada dia tem 24 horas, o tempo total do tratamento será 
de 5,5 x 24 = 132 horas. 
Luiz toma o remédio X a cada 3 horas, assim ele tomará o remédio X 132/3 = 44 vezes. Como em 
cada vez que ele toma o remédio X ele deve ingerir apenas um comprimido, então ele deve ingerir 
44 comprimidos do remédio X. 
Luiz toma o remédio Y a cada 5 horas. Dividindo 132 por 5, teremos 26 e resto 2, ou seja, ele 
tomará o remédio Y 26 vezes. Em cada vez que ele toma o remédio Y ele deve ingerir dois 
comprimidos. Portanto, ele deve tomar 26 x 2 = 52 comprimidos do remédio Y. 
O total de comprimidos ingeridos por Luiz é igual a 44 + 52 = 96. 
Gabarito: C 
30.!Na semana que Luiz fez o tratamento, o último instante em que ele tomou, 
simultaneamente, as doses dos remédios X e Y foi no sábado às 
(A) 11 horas. 
(B) 8 horas. 
(C) 23 horas. 
(D) 13 horas. 
(E) 16 horas. 
Resolução 
Luiz toma o remédio X a cada 3 horas e o remédio Y a cada 5 horas. Para saber de quanto em 
quanto tempo ele toma os dois remédios simultaneamente, devemos calcular o MMC (mínimo 
múltiplo comum) entre 3 e 5. Para tanto, vamos fatorar os dois números simultaneamente. 
 
3,5				3	1,5				5	1,1 
Concluímos que mmc(3,5) = 3x5 = 15, ou seja, Luiz toma os dois remédios simultaneamente a cada 
15 horas. 
Dividindo 132 por 15, obteremos quociente 8 e resto 12. Isto significa que ele tomará os dois 
remédios juntos 8 vezes. Como o intervalo é de 15 horas, a oitava e última vez em que ele tomará 
os dois remédios juntos será daqui a 8 x 15 = 120 horas. Cada dia tem 24 horas, portanto 120 horas 
= 120/24 = 5 dias. 
Ele começou o tratamento tomando os dois remédios juntos na segunda-feira às 8 da manhã. A 
última vez em que ele tomará os dois remédios juntos será exatamente 5 dias depois, ou seja, 
sábado às 8 da manhã. 
Gabarito: B 
 
 
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31.!(FCC 2009/SEFAZ-SP) 
No período de 2010 a 2050, os anos bissextos (isto é, aqueles com 366 dias) são todos aqueles 
divisíveis por 4. Sabendo que 2010 terá 53 sextas-feiras, o primeiroano desse período em que o 
dia 1o de janeiro cairá numa segunda-feira será 
(A) 2013 
(B) 2014 
(C) 2016 
(D) 2018 
(E) 2019 
Resolução 
Para verificar se um ano é bissexto ou não, devemos dividir o ano por 4 e verificar o resto. Se o 
resto for igual a 0, então o ano é bissexto e tem 366 dias, caso contrário, não será um ano bissexto 
e terá 365 dias. 
Gosto de dar uma boa dica para verificar se um ano é ou não bissexto. Para começar, os anos 
bissextos devem ser pares. Ora, sabemos que os anos pares ou são anos de Copa do Mundo ou são 
anos de Olimpíadas. 
Se o ano for de Copa do Mundo, então não é bissexto. 
Se o ano for de Olimpíada, então o ano é bissexto. 
Gostou? 
Quando dividimos 2010 por 4, obtemos resto igual a 2. O ano de 2010 não é um ano bissexto 
porque não é divisível por 4, portanto tem 365 dias. Estamos em Copa do Mundo, 2010 não é, 
portanto, um ano bissexto. 
Para saber o número de semanas em um ano, basta dividir 365 por 7. 
365/				7					1											52 
Isto significa que os anos não bissextos possuem 52 semanas completas e mais 1 dia. Ou seja, cada 
dia da semana aparece em um ano exatamente 52 vezes, sendo que um desses dias aparece 53 
vezes. O dia da semana que aparece 53 vezes é o dia que começa e termina o ano. No caso de 
2010, este dia é sexta-feira. Concluímos que o ano de 2010 começou na sexta-feira e terminará na 
sexta-feira. 
Se o ano for bissexto, serão dois dias que aparecerão duas vezes: o dia da semana que começará o 
ano (1º de janeiro) e o dia da semana que for 2 de janeiro. Seguindo o mesmo raciocínio, o dia da 
semana de 31 de dezembro é o mesmo de 2 de janeiro. 
Se 2010 terminará na sexta-feira, então 2011 (que também não é bissexto porque é ímpar) 
começará e terminará no sábado. 
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2012 é um ano bissexto (é divisível por 4 e será ano de Olimpíada). Como 2011 terminará no 
sábado, então 2012 começará no domingo. O dia 2 de janeiro será uma segunda-feira. Portanto, 
2012 terminará na segunda-feira. 
Seguindo mesmo raciocínio, 2013, que não é bissexto (porque é ímpar), começa e termina na 
terça-feira. 2014 (também não é bissexto porque o resto da divisão por 4 é igual a 2. Lembre-se 
que 2014 será a Copa do Mundo no Brasil) começa e termina na quarta-feira, 2015 (também não é 
bissexto porque é ímpar) começa e termina na quinta-feira. 
2016 (basta dividir 2016 por 4 e verificar que o resto da divisão é 0) é um ano bissexto e começará 
na sexta-feira. O dia 2 de janeiro de 2016 será um sábado. Portanto, 2016 terminará no sábado. 
O ano de 2017, que não é bissexto (porque é ímpar), começará e terminará no domingo. 
Assim, o ano de 2018 começará na segunda-feira. 
Gabarito: D 
(FCC 2009/SEFAZ-SP) 
Instruções: Para responder às questões seguintes, considere o texto e o quadro abaixo. O tabuleiro 
a seguir é usado em um jogo que uma professora de Matemática costuma propor a seus alunos do 
6º ano. 
 
A cada rodada, cada jogador, inicialmente colocado na casa onde está marcado o número 7, deve 
jogar um dado numerado de 1 a 6 e dividir o número da casa onde se encontra pela pontuação 
obtida no dado. O resto dessa divisão indicará a quantidade de casas que ele deverá avançar. Por 
exemplo, se na primeira rodada um jogador tirar 5, ele deverá avançar 2 casas, que é o resto da 
divisão de 7 por 5, chegando à casa onde está marcado o número 27. O jogador que primeiro 
atingir a casa onde está escrito CHEGADA é o vencedor. 
 
32.!Lendo-se as regras do jogo, percebe-se que sua dinâmica depende dos números marcados 
nas diversas casas do tabuleiro. O número 27, marcado na terceira casa, poderia ser 
trocado, sem que houvesse qualquer alteração na dinâmica do jogo, pelo número 
(A) 77 
(B) 81 
(C) 84 
(D) 87 
(E) 96 
 
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Resolução 
O número a ser trocado, deve possuir os mesmos restos das divisões de 27 por 1, 2, 3, 4, 5 e 6 
respectivamente. 
Obviamente não precisamos testar as divisões por 1, já que qualquer número inteiro dividido por 1 
deixa resto 0. 
 
O resto da divisão de 27 por 2 é igual a 1. 
O resto da divisão de 27 por 3 é igual a 0. 
O resto da divisão de 27 por 4 é igual a 3. 
O resto da divisão de 27 por 5 é igual a 2. 
O resto da divisão de 27 por 6 é igual a 3. 
 
77 
 
O resto da divisão de 77 por 2 é igual a 1. 
O resto da divisão de 77 por 3 é igual a 2. 
O resto da divisão de 77 por 4 é igual a 1. 
O resto da divisão de 77 por 5 é igual a 2. 
O resto da divisão de 77 por 6 é igual a 5. 
 
Observe que a lista de restos não coincidiu. A alternativa A é falsa. 
 
81 
 
O resto da divisão de 81 por 2 é igual a 1. 
O resto da divisão de 81 por 3 é igual a 0. 
O resto da divisão de 81 por 4 é igual a 1. 
O resto da divisão de 81 por 5 é igual a 1. 
O resto da divisão de 81 por 6 é igual a 3. 
 
 
 
 
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Observe que a lista de restos não coincidiu. A alternativa B é falsa. 
 
84 
 
O resto da divisão de 84 por 2 é igual a 0. 
O resto da divisão de 84 por 3 é igual a 0. 
O resto da divisão de 84 por 4 é igual a 0. 
O resto da divisão de 84 por 5 é igual a 4. 
O resto da divisão de 84 por 6 é igual a 0. 
 
Observe que a lista de restos não coincidiu. A alternativa C é falsa. 
 
87 
 
O resto da divisão de 87 por 2 é igual a 1. 
O resto da divisão de 87 por 3 é igual a 0. 
O resto da divisão de 87 por 4 é igual a 3. 
O resto da divisão de 87 por 5 é igual a 2. 
O resto da divisão de 87 por 6 é igual a 3. 
 
A lista de restos coincidiu e a resposta é a letra D. 
 
96 
 
O resto da divisão de 96 por 2 é igual a 0. 
O resto da divisão de 96 por 3 é igual a 0. 
O resto da divisão de 96 por 4 é igual a 0. 
O resto da divisão de 96 por 5 é igual a 1. 
O resto da divisão de 96 por 6 é igual a 0. 
 
Observe que a lista de restos não coincidiu. A alternativa E é falsa. 
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Não precisaríamos efetuar todas as divisões. Quando você percebe que algum resto não coincide, 
podemos eliminar a alternativa e verificar a próxima. 
Gabarito: D 
 
33.!Se um jogador cair em uma determinada casa do tabuleiro, ele não poderá mais ganhar o 
jogo, pois não conseguirá mais avançar a partir daquela casa. Por esse motivo, essa casa é 
chamada de “buraco negro”. Para que um jogador caia no “buraco negro”, ele deverá, 
necessariamente, estar numa outra casa específica do tabuleiro e, ao jogar o dado, obter 
pontuação igual a 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 4 
(D) 5 
(E) 6 
 
Resolução 
 
 
 
O “buraco negro” é uma casa que a pessoa fica presa, ou seja, o número de casas a serem 
avançadas ao lançar o dado é igual a 0. Isto significa que é um número divisível por 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
Para encontrarum número que seja divisível por 1, 2, 3, 4, 5 e 6 devemos calcular o mínimo 
múltiplo comum entre eles. 
 
 
 
 
 
Desta forma, ���(1,2,3,4,5,6) = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60. Isto significa que os múltiplos de 60 são 
divisíveis (deixam resto 0) por 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
O único número apresentado no jogo que é múltiplo de 60 é o próprio 60. Este é o buraco negro. 
1,2,3,4,5,6						2 1,1,3,2,5,3						2 1,1,3,1,5,3						3 1,1,1,1,5,1						5 1,1,1,1,1,1 
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Perceba: quando dividimos 60 por 1, o resto da divisão é 0. O aluno deve ficar parado. 
Quando dividimos 60 por 2, o resto da divisão é 0. O aluno deve ficar parado. 
Quando dividimos 60 por 3, o resto da divisão é 0. O aluno deve ficar parado. 
Quando dividimos 60 por 4, o resto da divisão é 0. O aluno deve ficar parado. 
Quando dividimos 60 por 5, o resto da divisão é 0. O aluno deve ficar parado. 
Quando dividimos 60 por 6, o resto da divisão é 0. O aluno deve ficar parado. 
Interessante, não? 
Bom, vamos voltar à questão. 
Se o aluno estiver na casa de número 8 há alguma chance de ele avançar apenas uma casa para 
cair no buraco negro? 
Vejamos: 
 
8 dividido por 1 deixa resto 0 e o aluno fica parado. 
8 dividido por 2 deixa resto 0 e o aluno fica parado. 
8 dividido por 3 deixa resto 2, o aluno avança duas casas e pula o buraco negro. 
8 dividido por 4 deixa resto 0 e o aluno fica parado. 
8 dividido por 5 deixa resto 3, o aluno avança três casas e pula o buraco negro. 
8 dividido por 6 deixa resto 2, o aluno avança 2 casas e pula o buraco negro. 
 
Esta não é a casa que procuramos. 
 
Se o aluno estiver na casa de número 41 há alguma chance de ele avançar duas casas para cair no 
buraco negro? 
 
41 dividido por 1 deixa resto 0 e o aluno fica parado. 
41 dividido por 2 deixa resto 1, o aluno avança apenas uma casa e não cai no buraco negro. 
Buraco 
Negro 
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41 dividido por 3 deixa resto 2, o aluno avança duas casas e cai no buraco negro. 
 
Esta é a casa que nos interessa. Portanto, o aluno deve estar na casa de número 41 e obter 3 
pontos no dado. 
 
Gabarito: B 
 
34.!(CEPERJ 2009/SEPLAG-RJ) 
Em certa cidade de Minas Gerais, foi terminada em 1832 a construção de uma igreja dedicada a 
São José. O padre que inaugurou a igreja decretou que, a cada 7 anos os fiéis deveriam fazer uma 
grande festa em homenagem ao santo. Como esta tradição foi mantida, o próximo ano de 
realização da festa será: 
a) 2010 
b) 2011 
c) 2012 
d) 2013 
e) 2014 
Resolução 
Já que a festa acontece de 7 em 7 anos, a diferença entre o próximo ano de festa e 1832 deve ser 
múltiplo de 7. 
2010 – 1832 = 178 (não é múltiplo de 7). 
2011 – 1832 = 179 (não é múltiplo de 7). 
2012 – 1832 = 180 (não é múltiplo de 7). 
2013 – 1832 = 181 (não é múltiplo de 7). 
2014 – 1832 = 182 (é múltiplo de 7). 
Portanto, a próxima festa será em 2014. 
Gabarito: E. 
35.!(CESGRANRIO 2014/Petrobras) 
O produto de dois números naturais, x e y, é igual a 765. Se x é um número primo maior que 5, 
então a diferença y – x é igual a 
(A) 6 
(B) 17 
(C) 19 
(D) 28 
(E) 45 
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Resolução 
Queremos descobrir dois números que multiplicados resultam em 765. Como são muitas 
possibilidades, vamos fatorar este número. 
765						3	255						3	85								5	17								17	1 
Assim, descobrimos que 765 é o produto dos números 3, 3, 5 e 17. 
Queremos que x seja um número primo maior que 5. A única possibilidade é fazer x = 17. Se x = 17, 
então y = 3 ∙ 3 ∙ 5 = 45. Portanto, y – x = 45 – 17 = 28. 
Gabarito: D 
36.!(VUNESP 2016/CM de Registro) 
Dois amigos brincam com seus carros de controle remoto em uma pista circular. Os carros 
partiram de um ponto A e, enquanto o carro mais rápido demora 1min 30s para dar uma volta 
completa na pista, o outro carro demora 1min 35s. Quando os dois carros passarem ao mesmo 
tempo pelo ponto A, pela primeira vez, o carro mais lento terá dado um número de voltas na pista 
igual a 
a) 14 
b) 16 
c) 18 
d) 20 
e) 22 
Resolução 
O carro mais rápido demora 1 min 30 s = 90s para dar uma volta completa e o carro mais lento leva 
1min35s = 95s. Para calcular o tempo que eles levarão para se encontrarem novamente no ponto 
A, vamos calcular mmc(90,95). 
90, 95 2 
45, 95 3 
15, 95 3 
5, 95 5 
1, 19 19 
1, 1 
 
Destarte, mmc(90,95) = 2x3x3x5x19 = 1710 segundos. 
 
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O carro mais lento leva 95 segundos para dar uma volta. em 1710 segundos ele dá 1710/95 = 18 
voltas. 
Gabarito: C 
37.!(FCC 2010/Metro-SP) 
Suponha que às 5h30min de certo dia, dois trens da Companhia do Metropolitano de São Paulo 
partiram simultaneamente de um mesmo terminal T e seguiram por Linhas diferentes. 
Considerando que a cada 78 minutos da partida um dos trens retorna a T, enquanto que o outro o 
faz a cada 84 minutos, então, nesse dia, ambos se encontraram novamente em T às 
(A) 19h42min. 
(B) 21h48min. 
(C) 21h36min. 
(D) 23h42min. 
(E) 23h48min. 
Resolução 
Para calcular o período de coincidência dos eventos, devemos calcular o MMC entre 78 e 84. 
 
 
 
 
 
 
Assim, ���(78,84) = 2 × 2 × 3 × 7 × 13 = 1.092	�������. 
Vamos dividir este tempo por 60 para transformá-lo em horas. 
1.092							60					12	���			18	ℎ���� 
Concluímos que eles se encontram a cada 18 horas e 12 minutos. 
Eles se encontraram às 5 horas e 30 minutos. O próximo encontro será às: 
			5ℎ	30	���	+18ℎ	12	���			23ℎ	42	��� 
Gabarito: D 
 
 
78, 84										2 39, 42										2 	39, 21									3 		13, 7										7 		13, 1										13 				1,1											 
 
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38.!(FUNIVERSA 2012/SEPLAG-DF) 
Durante uma excursão de um grupo de amigos, na qual participavam 15 homens, 18 mulheres e 21 
crianças, ao programarem um passeio de jangada, decidiram que cada jangada levaria um grupo 
formado só por homens ou só por mulheres ou só por crianças, com o maior número possível de 
pessoas em cada jangada. Se todos participaram desse passeio e, em cada jangada, havia o mesmo 
número de pessoas, é correto concluir que as jangadas que levaram só as mulheres para o passeio 
programado foram em número de 
a) 3 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 18 
Se em cada jangada há o mesmo número de pessoas, então esse número deve ser divisor de 15, 18 
e 21. 
Além disso, tem-se o maior número possível de pessoas em cada jangada. Dessa forma, o número 
de pessoas em cada jangada é omáximo divisor comum de 15, 18 e 21. 
Vejamos novamente o porquê de o número de pessoas ser o MDC. 
“Máximo” porque queremos o maior número possível de pessoas 
“Divisor Comum” porque tem-se o mesmo número de pessoas nas jangadas, portanto o número 
de pessoas em cada jangada é um divisor de 15, 18 e 21. 
O MDC de 15,18 e 21 é igual a 3. Assim, cada jangada levará 3 pessoas. 
Temos 18 mulheres, portanto serão 6 jangadas com 3 mulheres. 
Gabarito: C 
39.!(CETRO 2010/ANVISA) 
Entre os números 5.028, 1.331, 3.375, 2.744 e 4.096, assinale a alternativa que apresenta aquele 
que não foi obtido a partir da mesma relação matemática que os demais. 
a) 1.331. 
b) 2.744. 
c) 3.375. 
d) 4.096. 
e) 5.028 
Resolução 
Observe que: 
1.331 = 11W 3.375 = 15W 2.744 = 14W 
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4.096 = 16W 
Os números acima são cubos perfeitos. O número 5.028 não é um cubo perfeito. 
Gabarito: E 
40.!(AOCP 2016/Pref. de Juazeiro/Auditor Fiscal) 
Se os elementos de um conjunto A são todos os divisores positivos de 12, então esse conjunto será 
dado por 
(A) A = {1, 2, 3, 4, 6} 
(B) A = {2, 3, 4, 6, 12} 
(C) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 12} 
(D) A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 
(E) A = {1, 12} 
 
Resolução 
O número 1 é o divisor universal, ou seja, ele é divisor de todos os números inteiros. 
Um número x é divisor de y quando a divisão de y por x é exata (resto zero). 
Assim, os divisores positivos de 12 são {1,2,3,4,6,12}. 
 
Gabarito: D. 
 
41.!(BIORIO 2016/Eletrobrás) 
A quantidade de xícaras da coleção de Marcela é igual à metade da quantidade xícaras da coleção 
de Laura. Se somarmos a quantidade de xícaras das duas coleções, essa soma pode ser igual a: 
 
a) 64 
b) 65 
c) 66 
d) 67 
e) 68 
Se a quantidade de xícaras de marcela for N, a quantidade de Laura será igual a 2N. 
A soma dessas quantidades é N + 2N = 3N. 
A quantidade de xícaras é um número inteiro. Portanto, o total de xícaras, 3N, tem que ser um 
múltiplo de 3. 
 
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Dentre as alternativas, a única que é divisível por 3 é 66. 
Gabarito: C 
42.!(VUNESP 2010/TJ-SP) 
Uma barra de madeira maciça, com a forma de um paralelepípedo reto retângulo, tem as 
seguintes dimensões: 48 cm, 18 cm e 12 cm. Para produzir calços para uma estrutura, essa barra 
deve ser cortada pelo carpinteiro em cubos idênticos, na menor quantidade possível, sem que 
reste qualquer pedaço da barra. Desse modo, o número de cubos cortados será igual a 
a) 54 
b) 52 
c) 50 
d) 48 
e) 46 
Resolução 
Um cubo tem as três dimensões com a mesma medida. Esta medida deve ser um divisor comum de 
48, 18 e 12. 
Devemos calcular o divisor comum destes 3 números porque não pode restar qualquer pedaço da 
barra. E não pode ser um divisor comum qualquer. 
O enunciado fala explicitamente que devemos utilizar a menor quantidade possível de cubos. Para 
que utilizemos a menor quantidade possível de cubos, estes cubos devem ter a maior dimensão 
possível. 
Desta forma, a dimensão do cubo é o maior divisor comum de 48, 18 e 12. 
Vamos efetuar divisões sucessivas por números que dividam simultaneamente os números dados. 
48,18,12 2 
24, 9, 6 3 
8, 3, 2 
mdc (48,18,12) = 2 x 3 = 6. 
A dimensão de cada cubo é de 6 centímetros. 
O volume do paralelepípedo é o produto das suas três dimensões. O volume do cubo é o produto 
das suas três dimensões. Para calcular a quantidade de cubos, vamos dividir o volume do 
paralelepípedo pelo volume de cada cubo. 
 48 × 18 × 126 × 6 × 6 = 48	����� 
Gabarito: D 
 
 
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43.!(FCC 2016/ TRF 3ª Região 2016/Técnico Judiciário) 
O valor da expressão numérica 0,00003 ��200��0,0014 ��(0,05 ��12000 ��0,8) é igual a 
�)	3 ⋅ 2 ⋅ 1,45 ⋅ 1,2 ∙ 8 ⋅ 10ο› 
�)	3 ⋅ 2 ⋅ 1,45 ⋅ 1,2 ∙ 8 ⋅ 10ο→ 
�)	3 ⋅ 2 ⋅ 1,45 ⋅ 1,2 ∙ 8 ⋅ 10W 
�)	3 ⋅ 2 ⋅ 1,45 ⋅ 1,2 ∙ 8 ⋅ 10Ÿ 
�)	3 ⋅ 2 ⋅ 1,45 ⋅ 1,2 ∙ 8 ⋅ 10οΞ 
Resolução 
Observe que: 
0,00003 = 3 . 10-5 
200 = 2 . 102 
0,0014 = 1,4 . 10-3 
0,05 = 5 . 10-2 
12.000 = 1,2 . 104 
0,8 = 8 . 10-1 
Portanto: 
0,00003 ⋅ 200 ⋅ 0,00140,05 ⋅ 12000 ⋅ 0,8 = 3 ⋅ 10
ο› ⋅ 2 ⋅ 10Ξ ⋅ 1,4 ⋅ 10οW5 ⋅ 10οΞ ⋅ 1,2 ⋅ 10ς ⋅ 8 ⋅ 10οΖ 
Para multiplicar potências de mesma base, repetimos as bases e somamos os expoentes. Para 
dividir potências de mesma base, repetimos as bases e subtraímos os expoentes. 
3 ⋅ 10ο› ⋅ 2 ⋅ 10Ξ ⋅ 1,4 ⋅ 10οW5 ⋅ 10οΞ ⋅ 1,2 ⋅ 10ς ⋅ 8 ⋅ 10οΖ = 3 ⋅ 2 ⋅ 1,4 ⋅ 10
οΤ
5 ⋅ 1,2 ∙ 8 ⋅ 10Ζ = 3 ⋅ 2 ⋅ 1,45 ⋅ 1,2 ∙ 8 ⋅ 10ο→ 
Gabarito: B 
 
44.!(FCC 2016/TRF 3ª Região/Analista Judiciário) 
As letras da expressão x − (w − y) − (z − h), representam números diferentes e serão substituídas, 
uma a uma e para efeito de cálculo, pelos números naturais 9; 12; 13; 15 e 17, não 
necessariamente nessa ordem. Opere apenas no conjunto dos números naturais. Para que o 
resultado da expressão seja 8, as letras w e h devem ser substituídas, respectivamente, por 
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(A) 15 e 13. 
(B) 17 e 12. 
(C) 13 e 9. 
(D) 15 e 12. 
(E) 17 e 9. 
Resolução 
O problema mandou operar apenas no conjunto dos números naturais. Portanto, w > y e z > h, pois 
não subtrair um número menor de um número maior nos naturais. 
Observe que x não pode ser igual a 9, pois assim jamais obteríamos o resultado igual a 8. Para 
verificar isto, imagine que x = 9. Para que o resultado fosse 8, teríamos que ter 9 – 1 – 0 ou 9 – 0 – 
1, o que é impossível, pois não temos números iguais para termos uma diferença igual a 0 
Vamos testar as alternativas. 
(A) w = 15 e h = 13 
x − (15 − y) − (z − 13) 
Ainda temos os números 9, 12 e 17. z não pode ser 9 nem 12, pois teríamos uma diferença 
negativa dentro dos parênteses. Portanto, z = 17. 
x − (15 − y) − (17 − 13) 
Como x não pode ser 0, então y = 9 e x = 12. 
12 – (15 – 9) – (17 – 13) = 12 – 6 – 4 = 2. O resultado não foi 8. A resposta não é a letra A. 
(B) w = 17 e h = 12. 
 x − (17 − y) − (z − 12) 
Já sabemos que x não pode ser 9. Como faremos z – 12, z também não pode ser 9. 
Concluímos que y = 9. 
x − (17 − 9) − (z − 12). 
Temos agora duas possibilidades: x = 13 e z = 15 ou x = 15 e z = 13. Vamos testar os dois casos. 
13 − (17 − 9) − (15 − 12) = 2 
15 − (17 − 9) − (13 − 12) = 6 
Não obtivemos 8 como resultado. 
(C) w = 13 e h = 9. 
x − (13 − y) − (z − 9) 
y não pode ser 15 nem 17, pois teríamos uma diferença negativa (lembre-se que estamos 
operando nos números naturais). Portanto, y = 12. 
x − (13 − 12) − (z − 9) 
Temos duas possibilidades: x = 15 e z = 17 ou x = 17 e z = 15. Vamos testar. 
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15 − (13 − 12) − (17 − 9)=6 
17 − (13 − 12) − (15 − 9)=10 
Não obtivemos 8 como resultado. 
(D) w=15 e h=12. 
x − (15 − y) − (z − 12) 
Já sabemos que x não pode ser 9. z, neste caso, também não pode ser 9. Portanto, y = 9. 
x − (15 − 9) − (z − 12) 
Temos dois casos para testar: x = 13 e z = 17 ou x = 17 e z = 13. 
13 − (15 − 9) − (17 − 12)=2 
17 − (15 − 9) − (13 − 12)=10 
Não obtivemos 8 como resultado. 
Por exclusão você marcaria a alternativa E. Vejamos. 
(E) w = 17 e h = 9. 
x − (17 − y) − (z − 9) 
Temos 6 casos a testar. 
i) x = 12, y = 13, z =15 
ii) x = 12, y = 15, z = 13 
iii) x = 13, y = 12, z = 15 
iv) x = 13, y = 15, z = 12 
v) x = 15, y = 12, z = 13 
vi) x = 15, y = 13, z = 12 
i) 12 − (17 − 13) − (15 − 9) = 2 
ii) 12 − (17 − 15) − (13 − 9) = 6 
iii) 13 − (17 − 12) − (15 − 9) = 2 
iv) 13 − (17 − 15) − (12 − 9) = 8 
v) 15 − (17 − 12) − (13 − 9) = 6 
vi) 15 − (17 − 13) − (12 − 9) = 8 
Obtivemos 8 em dois casos. 
iv) x = 13, y = 15, z = 12 
vi) x = 15, y = 13, z = 12 
Gabarito: E 
45.!(CESGRANRIO 2015/LIQUIGAS) 
A fração 2/13 pode ser representada pela dízima periódica 0, 153846‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚ a qual o traço acima dos 
algarismos indica que 1, 5, 3, 8, 4, 6 repetem-se infinitamente nessa ordem após a vírgula. Se a 
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dízima fosse escrita sem usar a notação do traço, ou seja, repetindo-se três vezes o período e 
indicando a continuação por reticências, qual seria o décimo algarismo após a vírgula? 
 
a) 8 
b) 6 
c) 5 
d) 4 
e) 3 
 
Basta escrever os 10 primeiros algarismos da parte decimal, lembrando que a sequência de 
algarismos 153846 se repete infinitas vezes. 
0,1538461538... 
O décimo algarismo após a vírgula é 8. 
 
Gabarito: A. 
 
46.!(FGV 2006/SERC-MS) 
√0,444… é igual a: 
a) 0,222... 
b) 0,333... 
c) 0,444... 
d) 0,555... 
e) 0,666... 
 
Resolução 
 
O primeiro passo é calcular a fração geratriz de 0,444… 
 
0,444… = 0, 	4	‚‚‚ = 4 − 09 = 49 
 
Agora vamos calcular a raiz quadrada. 
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≈0,444… = …49 = 23 = 0,666… 
Gabarito: E 
 
47.!(ESAF 2006/SUSEP) 
Indique qual o número racional geratriz da dízima periódica 7,233.... 
a) 723/99 
b) 723/90 
c) 716/99 
d) 716/90 
e) 651/90 
Resolução 
7,233… = 7,2	3	‚‚‚ = 723 − 7290 = 65190 
Gabarito: E 
48.!(ESAF 2006/SUSEP) 
Indique qual dos números abaixo é um número irracional. 
a) 0 
b) 0,5 
c) 0,33... 
d) 1/3 
e) π, que mede a razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro. 
Resolução 
Um número é racional quando pode ser escrito como a razão entre dois números inteiros, sendo o 
denominador diferente de zero. 
O número 0 é racional, pois 0 = 0/1. 
O número 0,5 é racional, pois 0,5 = 5/10. 
O número 0,33... é uma dízima periódica. É, portanto, um número racional. Sua fração geratriz é 
igual a 3/9 = 1/3. 
1/3 é uma fração, ou seja, é um número racional. 
O número π possui infinitas casas decimais não-periódicas. É, portanto, um número irracional. 
Gabarito: E 
49.!(ESAF 2006/SUSEP) 
Calcule (2022)3/2. 
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a) 0 
b) 1 
c) 4 
d) 8 
e) 16 
Resolução 
Para multiplicar potências de mesma base, devemos conservar a base e somar os expoentes. 
Portanto, 2022 = 20+2 = 22. 
Lembre-se ainda que (xy)z = xyz, ou seja, para calcular a potência de uma potência, devemos 
conservar a base e multiplicar os expoentes. Assim, 
(2Ξ)W/Ξ = 2Ξ×WΞ = 2W = 8 
Gabarito: D 
50.!(ESAF 2006/SUSEP) 
Dados o conjunto A={2,4,6,8,10} e o conjunto B={x | x ∈	Z, 0<x<10}, onde Z é o conjunto dos 
números inteiros, obtenha o conjunto C=A∩B. 
a) C=A 
b) C={2,4,6,8} 
c) C={x | x ∈ Z, x ≤ 10} 
d) C={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 
e) C =∅ onde ∅ é o conjunto vazio. 
Resolução 
O conjunto B é formado pelos números inteiros maiores que 0 e menores que 10. Assim, B = 
{1,2,3,4,5,6,7,8,9}. 
Queremos calcular a interseção dos conjuntos A e B. 
A∩B = {2,4,6,8} 
Gabarito: B 
 
51.!(FUNCAB 2012/CBM-AC) 
Determine o valor de (n)/2, sabendo que n é o número de divisores naturais de 3000. 
A) 3 
B) 4 
C) 8 
D) 16 
E) 24 
Resolução 
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Devemos obter a fatoração prima para calcular a quantidade de divisores naturais. 
 
3.000 2 
1.500 2 
750 2 
375 3 
125 5 
25 5 
5 5 
1 
 
Assim, 3.000 = 23 x 31 x 53. 
 
Para calcular a quantidade de divisores, devemos adicionar 1 a cada expoente e multiplicar os 
resultados. 
 
Assim, n = (3+1).(1+1).(3+1) = 32. 
 
O problema pede o valor de n/2 = 32/2 = 16. 
 
Gabarito: D 
 
52.!(FUNCAB 2012/CBM-AC) 
Determine o produto dos cinco primeiros números primos, quando dispostos em ordem crescente. 
A) 2310 
B) 720 
C) 30030 
D) 2520 
E) 15015 
Resolução 
Os cinco primeiros números primos são 2,3,5,7,11. O produto deles é 2 x 3 x 5 x 7 x 11 = 2.310. 
Gabarito: A 
 
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53.!(FUNCAB 2012/CBM-AC) 
Determine o valor de (2/5) + (3/7) - (1/10). 
A) 25/35 
B) 51/70 
C) 11/14 
D) 17/20 
E) 13/14 
Resolução 
O primeiro passo é calcular o MMC dos denominadores. 
5,7,10 2 
5,7, 5 5 
1,7, 1 7 
1,1,1 
Assim, MMC(5,7,10) = 2 x 5 x 7 = 70. 
Vamos substituir cada denominador por 70. Em seguida, vamos dividir 70 por cada denominador e 
multiplicar pelo respectivo numerador. 25 + 37 − 110 = 2870 + 3070 − 770 = 5170 
Gabarito: B 
 
54.!(CETRO 2006/TCM-SP) 
Um médico atende diariamente 5 clientes com hora marcada e um número x de clientes sem hora 
marcada. Dos clientes que marcam hora para ser atendido, ele cobra R$ 70,00 a consulta e dos 
clientes que não marcam hora R$ 55,00. Ao final de um determinado dia ele contabilizou R$ 
735,00. O número de clientes atendidos neste dia foi de 
(A) 4 clientes. 
(B) 7 clientes. 
(C) 10 clientes. 
(D) 12 clientes. 
(E) 21 clientes. 
Resolução 
Os cinco clientes com hora marcada pagaram juntos 5 x 70 = 350 reais. Como o total contabilizado 
foi de R$ 735,00 ,então 735 – 350 = 385 reais foram pagos pelos clientes sem hora marcada. Como 
cada um deles paga R$ 55,00 pela consulta, então foram atendidos 385/55 = 7 clientes. 
A resposta não é a letra B. O total de clientes é igual a 12 (5 com hora marcada e 7 sem hora 
marcada). 
Gabarito: D 
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55.!(FCC 2007/Metro-SP) 
Considere que na numeração das X páginas de um manual de instruções foram usados 222 
algarismos. Se a numeração das páginas foi feita a partir do número 1, então 
(A) X < 95 
(B) 94 < X < 110 
(C) 109 < X < 125 
(D) 124 < X < 130 
(E) X > 129 
Resolução 
� = � + 1083 
� = 222 + 1083 = 110	����� 
Gabarito: C 
56.!(FCC 2007/TRF 1ª Região) 
Um técnico judiciário foi incumbido da montagem de um manual referente aos Princípios 
Fundamentais da Constituição Federal. Sabendo que, excluídas a capa e a contra-capa, a 
numeração das páginas foi feita a partir do número 1 e, ao concluí-la, constatou-se que foram 
usados 225 algarismos, o total de páginas que foram numeradas é 
(A) 97 
(B) 99 
(C) 111 
(D) 117 
(E) 126 
Resolução 
� = � + 1083 = 225 + 1083 = 111	����� 
Gabarito: C 
57.!(FCC 2011/TRT 4ª Região) 
Considere que um processo teve suas páginas numeradas de 1 a N. Se para numerá-las foram 
usados 270 algarismos, então N é um número 
a) primo. 
b) maior que 150. 
c) quadrado perfeito 
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d) múltiplo de 4. 
e) divisível por 9. 
Resolução 
� = � + 1083 
� = 270 + 1083 = 126	����� 
Gabarito: E 
58.!(FCC 2006/PC-PE/Delegado) 
Uma pessoa fez uma compra no valor de R$19,55. Tinha com ela as seguintes moedas: 15 de 
R$1,00; 10 de R$0,50; 8 de R$0,25; 8 de R$0,10 ; 4 de R$0,05. Se fez o pagamento utilizando a 
maior quantidade possível dessas moedas, então: 
a) sobraram 7 moedas. 
b) sobraram 8 moedas. 
c) dentre as moedas que sobraram, 2 eram de R$0,10. 
d) dentre as moedas que sobraram, 2 eram de R$0,25. 
e) dentre as moedas que sobraram, 3 eram de R$0,05. 
Resolução 
As moedas totalizam R$ 23,00. 
Já que o pagamento é de R$ 19,55, o troco será de R$ 23,00 – R$ 19,55 = R$ 3,45. 
Se o pagamento deverá ser feito utilizando a maior quantidade possível de moedas, o troco deverá 
ser devolvido com a menor quantidade possível de moedas. 
Para devolver R$ 3,45 (troco) com a menor quantidade possível de moedas devemos utilizar 3 
moedas de R$ 1,00, 1 moeda de R$ 0,25 e 2 moedas de R$ 0,10. 
Gabarito: C 
59.!(FGV 2010/CAERN) 
Analise as afirmativas a seguir: 
I - √6 é maior do que 5/2. 
II – 0,555... é um número racional. 
III – Todo número inteiro tem antecessor. 
Assinale 
a) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. 
b) se somente a afirmativa II estiver correta. 
c) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. 
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d) se somente a afirmativa I estiver correta. 
e) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. 
 
Resolução 
Vamos analisar cada uma das alternativas de per si. 
Queremos comparar o número √6 com 5/2. Vamos elevar os dois números ao quadrado para 
compará-los. 
÷√6≠Ξ = 6 
52ž
Ξ = 254 = 6,25 
Como o quadrado do número 5/2 é maior que o quadrado do número √6, concluímos que 5/2 >√6. A frase I está errada. 
II – O número 0,555... é uma dízima periódica e, portanto, é um número racional. A frase II está 
correta. 
III – O conjunto dos números inteiros é � = {… ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3… }. Como o conjunto dos 
inteiros não é limitado à esquerda, concluímos que todo número inteiro possui antecessor. A frase 
III está correta. 
Gabarito: E 
 
60.!(FCC 2010/Metro-SP) 
A soma de três números inteiros positivos é igual ao maior número inteiro de 5 algarismos 
distintos. Se adicionarmos a cada um dos números o maior número inteiro de 3 algarismos, a nova 
soma será igual a 
(A) 102 996. 
(B) 102 960. 
(C) 102 876. 
(D) 101 726. 
(E) 101 762. 
Resolução 
O maior número de 5 algarismos distintos é 98.765. 
Vamos assumir que os três números inteiros positivos considerados são iguais a �, �	�	�. 
Portanto, � + � + � = 98.765 
O maior número inteiro de 3 algarismos é 999 (observe que aqui os algarismos não devem ser 
distintos). 
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Vamos adicionar a cada um dos 3 números o número 999. 
� + 999 + � + 999 + � + 999 = � + � + � + 3 ∙ 999 = 98.765 + 2.997 = 101.762 
Gabarito: E 
61.!(FCC 2010/ALE-SP) 
Ana Maria decidiu preparar uma torta cuja receita indicava 200 gramas de chocolate em barra. Em 
sua dispensa, havia uma barra de 350 gramas, mas ela não dispunha de uma balança para pesar a 
quantidade necessária. Então, ela decidiu dividir a barra em partes iguais e pegar a quantidade de 
partes que correspondessem a 200 gramas. Dentre os esquemas abaixo, em que os retângulos 
escuros correspondem às partes da barra de chocolate usadas por Ana Maria, aquele que 
representa os 200 gramas pedidos na receita é 
 
 
 
 
Resolução 
 
Para calcular a fração correspondente, devemos dividir a quantidade necessária de chocolate pelo 
total da barra. 
 200350 
 
A priori, deveríamos dividir a barra de chocolate em 350 partes iguais e tomar 200 destas partes. 
 
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Por outro lado, para facilitar a vida de Ana Maria, podemos simplificar esta fração. Percebe-se 
facilmente que podemos simplificar a fração por 50. 
 
200 dividido por 50 é igual a 4 e 350 dividido por 50 é igual a 7. 
 200350 = 47 
 
Vamos analisar cada uma das alternativas: 
 
FALSO. A barra foi dividida em 16 partes e foram tomadas 9 partes. A fração correspondente é 
igual a 9/16. 
FALSO. A barra foi dividida em 15 partes e foram tomadas 8 partes. A fração correspondente é 
igual a 8/15. 
VERDADEIRO. A barra foi dividida em 14 partes e foram tomadas 8 partes. A fração 
correspondente é igual a 8/14. Simplificando a fração por 2 temos: 814 = 47 
 
 FALSO. A barra foi dividida em 12 partes e foram tomadas 8 partes. A fração correspondente é 
igual a: 812 = 23 
 
FALSO. A barra foi dividida em 10 partes e foram tomadas 6 partes. A fração correspondente é 
igual a: 610 = 35 
Gabarito: C 
 
62.!(FCC 2009/Metro-SP) 
Certo artigo é vendido em uma loja ao preço de N reais a unidade. Ao conferir o total a ser pago 
pela compra de 14 unidades desse artigo, Orozimbo logo percebeu que o vendedor cometera um 
engano: ao efetuar a multiplicação de 14 por N, ele inverteu as posições do algarismo das unidades 
com o das dezenas de N e, com isso, obteve 2 142 reais. Nessas condições, de quantos reais a 
quantia certa a ser paga diferia da errada? 
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(A)212 
(B) 224 
(C) 252 
(D) 266 
(E) 284 
Resolução 
Orozimbo multiplicou 14 por N (este N é “falso”) e obteve 2.142 reais. 
14 ∙ � = 2.142 
 
� = 2.14214 = 153 
Como o problema informou que Orozimbo inverteu as posições do algarismo das unidades com o 
das dezenas de N, então o valor verdadeiro de N é 135. A quantia certa a ser paga é igual a: 
14 × 135 = 1.890	����� 
A quantia certa a ser paga difere da errada 2.142 − 1.890 = 252	�����. 
Gabarito: C 
 
63.!(FCC 2006/TRT 4ª Região) 
Seja N um número inteiro cujo produto por 9 é igual a um número natural em que todos os 
algarismos são iguais a 1. A soma dos algarismos de N é 
(A) 27 
(B) 29 
(C) 33 
(D))37 
(E) 45 
Resolução 
Vamos lembrar uma propriedade importante: um número natural é múltiplo de 9 se e somente se 
a soma dos seus algarismos também for múltiplo de 9. 
Vejamos alguns exemplos: 
i) O número 18.324.072 é múltiplo de 9. Para verificar basta notar que: 
1 + 8 + 3 + 2 + 4 + 0 + 7 + 2 = 27 
Como 27 (a soma dos algarismos) é múltiplo de 9 (já que 27 = 9 x 3), então o número dado também 
é múltiplo de 9. 
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164 
ii) O número 893.432 não é múltiplo de 9. Para verificar basta notar que: 
8 + 9 + 3 + 4 + 3 + 2 = 29 
Como 29 (a soma dos algarismos) não é múltiplo de 9, então o número dado também não é 
múltiplo de 9. 
Pois bem, vamos voltar ao enunciado. O problema afirma que existe um número N tal que o 
produto de N por 9 é um número natural em que todos os algarismos são iguais a 1. Ou seja: 
� × 9 = 111…1 
O problema é que não sabemos quantos são os algarismos do resultado. Ou seja, não sabemos 
quantas vezes o algarismo 1 aparece. 
É neste ponto que entra a propriedade descrita no início da resolução: o resultado 111…1 é um 
múltiplo de 9. Portanto, a soma dos seus algarismos deve ser múltiplo de 9. 
Podemos por exemplo, colocar o algarismos 1 aparecendo nove vezes. 
� × 9 = 111.111.111 
O nove que está multiplicando no primeiro membro “passa” dividindo para o segundo membro. 
� = 111.111.1119 � = 12.345.679 
Se quiser conferir, basta fazer as contas e verificar que 12.345.679 × 9 = 111.111.111 
A soma dos algarismos de N é 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 9 = 37. 
Observe que o enunciado da questão está “errado”. Isto porque existem outros possíveis valores 
para N. 
 
Vejamos o raciocínio novamente. Nós descobrimos que a soma dos algarismos de 111…1 deve ser 
um múltiplo de nove. E desta forma, nós fizemos o algarismo 1 aparecendo nove vezes. 
O raciocínio estaria perfeitamente correto se fizéssemos o algarismo 1 aparecendo 18 vezes, ou 27 
vezes, ou 36 vezes, ou 45 vezes, etc. Na verdade, existem infinitas respostas para este problema. 
Vamos fazer com o algarismo 1 aparecendo 18 vezes. 
� × 9 = 111.111.111.111.111.111 
� = 111.111.111.111.111.1119 � = 12.345.679.012.345.679 
Neste caso, a soma dos algarismos de N seria 74. 
Se quiser conferir, basta fazer o seguinte cálculo: 
12.345.679.012.345.679 × 9 = 111.111.111.111.111.111 
 Gabarito: D 
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64.!(FCC 2010/TRT 12ª Região) 
Sistematicamente, dois funcionários de uma empresa cumprem horas-extras: um, a cada 15 dias, e 
o outro, a cada 12 dias, inclusive aos sábados, domingos ou feriados. Se em 15 de outubro de 2010 
ambos cumpriram horas-extras, uma outra provável coincidência de horários das suas horas-extras 
ocorrerá em 
(A) 9 de dezembro de 2010. 
(B) 15 de dezembro de 2010. 
(C) 14 de janeiro de 2011. 
(D) 12 de fevereiro de 2011. 
(E) 12 de março 2011. 
Resolução 
Para calcular o tempo de coincidência dos eventos (período comum) devemos calcular o mínimo 
múltiplo comum dos períodos. 
 
 
 
 
 
Desta forma, �.�. �. (15,12) = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 60	����. 
Houve uma coincidência em 15 de outubro de 2010. 
Vamos avançar 60 dias. 
Como há 31 dias em outubro (estamos em 15 de outubro), podemos avançar 16 dias em outubro. 
O mês de novembro possui 30 dias. Assim, já temos 16 + 30 = 46 dias. Para completar os 60 dias, 
devemos avançar mais 14 dias em dezembro. 
Assim, a próxima coincidência será em 14/12/2010. Esta data não aparece nas respostas. 
Vamos avançar mais 60 dias. Como o mês de dezembro possui 31 dias, então podemos avançar 17 
dias em dezembro. O mês de janeiro possui 31 dias. Assim, já temos 17 + 31 = 48 dias. Para 
completar os 60 dias, devemos avançar 12 dias em fevereiro. Desta forma, a próxima coincidência 
será no dia 12/02/2011. 
Gabarito: D 
 
65.!(CETRO 2007/TRT-SC) 
Na reta real da figura abaixo estão representados os números 0; a; 1; b e 2: 
							15, 12				2 									15, 6					2 									15,3						3 										5,1							5 										1, 1							 
 
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164 
 
O ponto P correspondente ao número a – b encontra-se 
(A) à direita de 2. 
(B) entre 0 e 1. 
(C) entre 1 e 2. 
(D) à esquerda de 0. 
(E) entre a e b. 
Resolução 
Como “a” está localizado à esquerda de “b”, então a < b. 
Portanto, a – b é um número negativo. 
Gabarito: D 
66.!(FCC 2016/TRT 14ª Região) 
Perguntaram para Álvaro, Bernardo e Cléber quantos filhos eles tinham, e eles responderam: 
- Eu tenho 4 (Álvaro); 
- Eu tenho 3 (Bernardo); 
- Eu tenho 5 (Cléber). 
Sabendo-se que um deles mentiu para mais do que realmente tem, e que os outros disseram a 
verdade, a soma máxima correta do número de filhos das três pessoas citadas é igual a 
a) 7 
b) 9 
c) 11 
d) 12 
e) 13 
Resolução 
Se nenhum deles tivesse mentido, a soma seria 4 + 3 + 5 = 12 filhos. Como um deles mentiu para 
mais a quantidade de filhos, então o total de filhos é no máximo igual a 12 – 1 = 11. 
Gabarito: C 
 
67.!(CONSULPLAN 2016/CBM-PA) 
Um conjunto pode ser representado por meio de uma propriedade que descreve seus elementos. 
Assim, considere o conjunto A = { x | x é real, inteiro, nulo ou positivo}. Essa propriedade descreve 
o conjunto dos números 
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a) Reais 
b) Inteiros 
c) Naturais 
d) Racionais 
e) Irracionais 
Resolução 
O conjunto A é formado por números reais, inteiros, nulos ou positivos. 
A resposta não pode ser a alternativa A, pois o conjuntos dos números reais possui elementos que 
não são inteiros e também elementos negativos. 
O mesmo ocorre com as alternativas D e E. 
A resposta não pode ser a alternativa B, pois o conjunto dos números inteiros possui elementos 
negativos. 
O conjunto dos números naturais, por sua vez, é formado exatamente por números inteiros não-
negativos. 
Gabarito: C 
 
68.!(FCC 2016/SEDU-ES) 
Dados os conjuntos � = {� ∈ ℝ|−3 ≤ � < 9}; � = {� ∈ ℝ|−7 ≤ � ≤ 5}; � ={� ∈ ℝ|−5 ≤ � < 3} e � = (� ∩ �) ∪ �. Pode-se concluir, corretamente, que a quantidade de 
números inteiros que pertencem ao conjunto D é igual a 
a) 8 
b)10 
c) 11 
d) 9 
e) 12 
Resolução 
O primeiro passo é calcular a interseção entre os conjuntos A e B. 
 
 
 
A interseção é formada pelos elementos comuns aos dois conjuntos. 
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Desta forma, � ∩ � = [−3,5]. 
Vamos agora reunir os conjuntos � ∩ � e � ∩ �. 
 
 
Ao reunirmos os dois intervalos acima, teremos o intervalo [-5,5). 
 
 
O problema pede a quantidade de números inteiros que pertencem a este intervalo. 
Os números inteiros que pertencem a este conjunto são {-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,5}. 
Há 11 elementos neste conjunto. Você pode contar manualmente ou simplesmente calcular a 
diferença entre o maior e o menor e adicionar 1: 5 – (-5) + 1 = 11. 
Gabarito: C 
 
69.!(ESAF 2010/SMF-RJ) 
Considere x um número real. A negação da proposição 
2/3 ≤ x ≤ 5/3 ou –1< x < 1 é: 
a) –1 < x ≤ 2/3. 
b) –1 ≤ x < 2/3. 
c) x ≤ –1 e x > 5/3. 
d) x ≤ –1 ou x > 5/3. 
e) –1 ≤ x < 2/3 e x > 5/3. 
Resolução 
A proposição 2/3 ≤ x ≤ 5/3 ou –1< x < 1 representa a união de dois intervalos. 
Sempre que tivermos conectivo “ou” envolvendo conjuntos, devemos pensar em UNIÃO. Se 
tivermos conectivo “e”, devemos pensar em interseção. 
Outra dica: quando temos o símbolo de ≤ ��	 ≥, o intervalo é fechado, ou seja, inclui as 
extremidades. Quando temos símbolo de < ou >, o intervalo é aberto, ou seja, exclui as 
extremidades. 
O primeiro intervalo começa em 2/3 e vai até 5/3. O outro intervalo começa em -1 e vai até 1. 
Observe que o número 1 está entre 2/3 e 5/3. Assim, podemos unir os dois intervalos em um só: o 
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intervalo que começa em -1 (sem incluir -1, porque o intervalo é aberto) e que vai até 5/3 
(incluindo 5/3, porque o intervalo é fechado). 
 
Assim, a proposição do enunciado (2/3 ≤ x ≤ 5/3 ou –1< x < 1) é equivalente a −1 < � ≤ 5/3, ou 
seja, � > −1	�	� ≤ 5/3. Escrevemos a proposição do enunciado de uma maneira mais simples, só 
isso. 
Queremos negar esta proposição, ou seja, queremos negar � > −1	�	� ≤ 5/3. Para tanto, vamos 
negar os dois componentes e trocar o conectivo “e” pelo conectivo “ou”. Esta é a chamada Lei de 
DeMorgan. 
A negação pedida é � ≤ −1	��	� > 5/3. 
Veja que interessante. Negar a proposição acima é a mesma que calcular o “complementar” do 
intervalo dado, ou seja, dizer quais são os pontos que não pertencem àquele intervalo. 
 
Gabarito: D 
70.!(FCC 2016/SEDU-ES) 
Sendo � = √14, � = √7, �	� = √2, o valor da expressão numérica ℜ℘⊗ é igual a 
 
a) √98/2 
b) √7/7 
c) 7 
d) 2√7 
e) 24,5 
Resolução 
 
��� = √14 ∙ √7√2 = …14 ∙ 72 = √49 = 7 
Gabarito: C 
 
71.!(CEPERJ 2010/SEE-RJ) 
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Na igualdade 
√→θ√›√→ο√› = � + √� , o valor de �Ξ − � é: 
a) 1 
b) 3 
c) 3 
d) 5 
e) 7 
Vejamos alguns exemplos de racionalização de denominadores. Racionalizar o denominador 
significa transformar o denominador em um número racional. Ou seja, se o denominador 
apresenta um radical, nosso objetivo é eliminar o radical. 4√2 
Observe que o denominador é um número irracional. Racionalizar o denominador significar 
“acabar com o número irracional do denominador”. 
Neste caso, a saída é multiplicar o numerador e o denominador por √2. 
4√2 ∙ √2√2 = 4√22 = 2√2 
Desta forma: 4√2 = 2√2 
Vamos lembrar o seguinte produto notável: (� + �) ∙ (� − �) = �Ξ − �Ξ 
Este produto notável nos ajudará na racionalização de denominadores como o do enunciado. 
Sempre que tivermos uma soma de radicais no denominador, devemos multiplicar o numerador e 
o denominador pela diferença dos radicais. Sempre que tivermos uma diferença de radicais no 
denominador, devemos multiplicar o numerador e o denominador pela soma dos radicais. 
√7 + √5√7 − √5 ∙ √7 + √5√7 + √5 = √49 + √35 + √35 + √25÷√7≠Ξ − ÷√5≠Ξ =
7 + 2√35 + 57 − 5 = 12 + 2√352 
√7 + √5√7 − √5 = 6 + √35 
Como 
√→θ√›√→ο√› = � + √� , concluímos que � = 6	�	� = 35 
O valor de �Ξ − � é 6Ξ − 35 = 36 − 35 = 1 
Gabarito: A 
 
 
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72.!(ESAF 2008/APO-MPOG) 
Sabe-se que os números x,y e z são números racionais. Sabe-se, também, que 
� = � − 2√33 − �√3	. 
Com essas informações, conclui-se que: 
a) � ∙ � = −6	
b) � + � = 6 
c) � ∙ � = 0 
d) �/� = 6 
e) � ∙ � = 6 
Resolução 
Racionalizando o denominador: 
� = � − 2√33 − �√3	 ∙ 3 + �√33 + �√3 
� = 3� + ��√3 − 6√3 − 6�9 − 3�Ξ 
� = (3� − 6�) + (�� − 6) ∙ √39 − 3�Ξ 
Para que z seja racional, o número que multiplica √3 deve ser igual a 0. Portanto, �� − 6 = 0 �� = 6 
Gabarito: E 
73.!(FJG 2005/SMF-RJ) 
Os valores √4≤ , √8± 	�	√16Ψ , quando ordenados de modo decrescente, têm a seguinte apresentação: 
a) √4≤ > √16Ψ > √8± 
b) √4≤ > √8± > √16Ψ 
c) √16Ψ > √4≤ > √8± 
d)√8± > √4≤ > √16Ψ 
Resolução 
Para comparar os radicais, devemos reduzi-los ao mesmo índice. Para começar, devemos pensar 
em um número que seja múltiplo dos índices. 
Qual um múltiplo comum de 2, 6 e 3? Que tal 6? 
Devemos multiplicar 2 por 3 para obter 6. 
Devemos multiplicar 6 por 1 para obter 6. 
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Devemos multiplicar 3 por 2 para obter 6. 
Desta forma: 
√4≤ = ≈4W≤∙Ψ = √64± 
√16Ψ = ≈16ΞΨ∙≤ = √256± 
Facilmente percebemos que: 
√256± > √64± > √8± 
Portanto: 
√16Ψ > √4≤ > √8± 
Gabarito: C 
74.!(FCC 2016/COPERGAS) 
O resultado da expressão 
3 − 7ΖW ∙ 49ΖW − 2Wž ∙ 14 − 78 
é igual a 
 
a) 7/3 
b) 19/8 
c) -3/4 
d) 13/4 
e) 11/6 
 
Resolução 
Observe que 49 = 72 , portanto: 
49ΖW = (7Ξ)ΖW = 7Ξ×ΖW = 7ΞW 
E assim, 
7ΖW ∙ 49ΖW = 7ΖW ∙ 7ΞW = 7ΖWθΞW = 7WW = 7Ζ = 7 
Voltemos à expressão: 
3 − 7ΖW ∙ 49ΖW − 2Wž ∙ 14 − 78 = 3 − (7 − 8) ∙ 14 − 78 = 3 − (−1) ∙ 14 − 78 
= 3 + 14 − 78 = 24 + 2 − 78 = 198 
 
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Gabarito: B 
 
75.!(FUNDEP 2016/Pref. de Ibirité-MG) 
Considere as igualdades a seguir, em que a é um número real maior do que zero e b e c são 
números inteiros positivos. 
 
�. ≈�Ξ = ±� 
��. �οϒ⊕ = …1�ž
⊕∅
 
���. ≈�ϒ⊕∅≤ = √�⊕∅ 
Baseando-se nessas informações, estão incorretas as igualdades: 
a) I e II, apenas. 
b) I e III, apenas. 
c) II e III, apenas. 
d) I, II e III. 
Resolução 
Quando elevamos um número positivo ou negativo ao quadrado (ou a qualquer outro expoente 
par), o resultado é sempre um número positivo.Veja os exemplos: (+5)Ξ = 25 (−5)Ξ = 25 
Mas isso não implica dizer que o número 25 tem duas raízes quadradas: 5 e -5. De acordo com a 
definição, √25 = 5. 
O enunciado afirma que a é um número positivo. Desta maneira, √�Ξ = �. Cuidado, pois nem 
sempre √�Ξ = � é uma sentença verdadeira. Isto só ocorre quando a ≥ 0. 
Desta forma, o item I está errado. 
Vamos ao segundo item. 
�οϒ⊕ = 1�ž
ϒ⊕ = …1�ž
ϒ
 
O item II está errado. 
Finalmente, vejamos o item III. 
 
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≈�ϒ⊕∅≤ = �ϒ⊕ϒ≤ = �⊕ϒ = √�⊕∅ 
O item III está certo. 
 
Gabarito: A 
 
76.! (IBFC 2016/TCM-RJ) 
O resultado da raiz cúbica do número quatro ao quadrado é um número entre: 
a) 1 e 2 
b) 3 e 4 
c) 2 e 3 
d) 1,5 e 2,3 
Comentários: 
Como quatro ao quadrado é 16, queremos calcular a raiz cúbica de 16. 
Observe que 23 = 8 e que 33 = 27. Portanto, a raiz cúbica de 16 é um número entre 2 e 3. 
Gabarito: C 
77.!(FCC 2017/SABESP) 
Se a = 53000, b = 27000, c = 35000, então 
a) b > c > a 
b) c > a > b 
c) c > b > a 
d) b > a > c 
e) a > b > c 
Resolução 
 
� = 5WŸŸŸ = 5W∙ƟŸŸ = (5W)ƟŸŸ = 125ƟŸŸ � = 2→ŸŸŸ = 2→∙ƟŸŸ = (2→)ƟŸŸ = 128ƟŸŸ � = 3›ŸŸŸ = 3›∙ƟŸŸ = (3›)ƟŸŸ = 243ƟŸŸ 
Desta forma, temos: 
243ƟŸŸ > 128ƟŸŸ > 125ƟŸŸ � > � > � 
Gabarito: C 
 
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78.!(FUNDEP 2016/Pref. de Ibirité) 
Dados os números naturais a e b, em que mmc(a,b) 72 e o mdc(a,b) = 12, é correto afirmar que o 
número de divisores do produto ab é 
a) 17 
b) 18 
c) 24 
d) 36 
 
Resolução 
Dados dois números naturais a e b, é válida a seguinte relação: 
� ⋅ � = ���(�, �) ⋅ ���(�, �) 
Desta forma, temos: 
� ⋅ � = 72 ∙ 12 = 864 
Para calcular o número de divisores deste número, precisamos fatorá-lo. 
 
864							2	432							2	216							2	108							2	54									2	27									3	9												3	3												3	1	 
Desta forma, �� = 2› ∙ 3W. 
Em seguida, devemos adicionar 1 a cada expoente e multiplicar. A quantidade de divisores é igual a (5 + 1)(3 + 1) = 6 ∙ 4 = 24. 
Observação: A questão deveria ser mais rigorosa e pedir a quantidade de divisores naturais do 
produto ab. 
Gabarito: C 
 
79.!(FCC 2017/SABESP) 
Se a = 2/5, b = 7/20, c = 9/27 e d = 11/30, então: 
 
a) c < d < b < a. 
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b) b < c< d < a. 
c) c < b < a < d. 
d) b < c < a < d. 
e) c < b < d < a. 
Resolução 
Para comparar frações, devemos reduzir todas ao mesmo denominador. Entretanto, neste caso, é 
mais rápido transformar as frações em números decimais. 
a = 2/5 = 0,4. 
b = 7/20 = 0,35 
c = 9/27 = 1/3 = 0,333... 
d = 11/30 = 0,3666... 
Desta forma, c < b < d < a 
Gabarito: E 
80.!(FCC 2017/SABESP) 
O número de divisores positivos de 144 é 
a) 12 
b) 15 
c) 16 
d) 14 
e) 13 
Resolução 
Para calcular o número de divisores deste número, precisamos fatorá-lo. 
	144							2	72									2	36									2	18									2	9												3	3												3	1	 
Desta forma, 144 = 2ς ∙ 3Ξ. 
Em seguida, devemos adicionar 1 a cada expoente e multiplicar. A quantidade de divisores é igual a (4 + 1)(2 + 1) = 5 ∙ 3 = 15. 
Gabarito: B 
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81.!(FCC 2013/ALE-PB) 
Ernesto comprou uma calculadora que está com problemas na realização de adições de números 
naturais. Algumas adições são feitas corretamente, e outras de forma incorreta, mas seguindo 
sempre uma mesma lógica. Veja a seguir oito exemplos de adições com os respectivos resultados 
indicados nessa calculadora: 
 
Ernesto fez nessa calculadora a conta 339+872 e, em seguida, pegou o resultado fornecido por ela 
e somou, na calculadora, com um número natural que indicaremos por x. O resultado final 
indicado na calculadora foi 1230. Nas condições descritas, todos os possíveis valores de x vão de 
(A) 19 até 29. 
(B) 20 até 30. 
(C) 10 até 14. 
(D) 16 até 24. 
(E) 9 até 20. 
Resolução 
A calculadora está "arredondando" os resultados. 
Se a soma termina em 0 ou 5, a calculadora fornece o resultado correto. 
Se terminar em um número diferente de 5, temos duas possibilidades: 
i) O resultado termina em 1,2,3 ou 4. Neste caso, arredondamos para baixo. 
ii) O resultado termina em 6,7,8 ou 9. Neste caso arredondamos para cima. 
Por exemplo, 536+731= 1267. Terminou em 7.. arredondamos para cima = 1270. 
234+88=322. Terminou em 2. arredondamos para baixo = 320 
97+158 = 255. Terminou em 5, não precisa arredondar. 
A calculadora não arredonda se terminar em 0 ou 5. 
Ernesto agora vai fazer a conta 339+872=1211. Vamos arredondar para baixo. A calculadora vai 
fornecer o número 1210. 
Agora vamos somar 1210 com um número x e o resultado da calculadora será 1230. 
Neste caso, se a calculadora fizer a conta correta teremos x = 20. 
Se a calculadora fizer a conta errada, a calculadora pode arredondar para cima ou para baixo. 
O menor valor aceito pela calculadora para arredondar para cima será quando 1210+x=1226 --> x = 
16. 
O maior valor aceito pela calculadora para arredondar para baixo será quando 1210+x = 1234 --> x 
= 24. 
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Portanto, x varia de 16 a 24. 
Gabarito: D 
82.!(FCC 2013/TRT 1ª Região) 
Em um planeta fictício X, um ano possui 133 dias de 24 horas cada, dividido em 7 meses de mesma 
duração. No mesmo período em que um ano terrestre não bissexto é completado, terão sido 
transcorridos no planeta X, exatamente, 
(A) 1ano,6 meses e 4 dias. 
(B) 2 anos e 4 dias. 
(C) 2 anos e 14 dias. 
(D) 2 anos, 5 meses e 14 dias. 
(E) 2 anos, 5 meses e 4 dias. 
Resolução 
Vamos dividir 365 dias por 133. 
365											133									99	����											2	���� 
Assim, em um período de 365 dias, temos 2 anos (de 133 dias) e ainda sobram 99 dias. 
Cada mês deste planeta fictício tem 133/7 = 19 dias. 
Vamos dividir os 99 dias por 19 para saber quantos meses temos. 
99		����									19									4	����											5	����� 
Concluímos que em 365 dias, temos 2 anos, 5 meses e 4 dias no planeta fictício X. 
Gabarito: E 
83.!(FCC 2009/SEFAZ-SP) 
Um torneio de futebol passará a ser disputado anualmente por seis equipes. O troféu será de 
posse transitória, isto é, o campeão de um ano fica com o troféu até a próxima edição do torneio, 
quando o passa para o novo campeão. Uma equipe só ficará definitivamente com o troféu quando 
vencer quatro edições consecutivas do torneio ou sete edições no total, o que acontecer primeiro. 
Quando isso ocorrer, um novo troféu será confeccionado. Os números mínimo e máximo de 
edições quedeverão ocorrer até que uma equipe fique com a posse definitiva do troféu valem, 
respectivamente, 
(A) 4 e 7 
(B) 4 e 37 
(C) 4 e 43 
(D) 6 e 36 
(E) 6 e 42 
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Resolução 
O número mínimo é dado quando uma das equipes vence as 4 primeiras edições 
consecutivamente. 
O número máximo é dado quando cada equipe vencer 6 edições não consecutivas (6x6=36) e 
alguma das equipes vencer mais uma edição totalizando 37 edições. 
Gabarito: B 
84.!(FCC 2009/SEFAZ-SP) 
Os alunos de uma faculdade de História criaram a Espiral do Tempo num dos pátios da escola. Na 
Espiral do Tempo, todos os anos da era cristã são representados segundo a lógica da figura a 
seguir, na qual só foram mostrados os anos de 1 a 9. 
 
A espiral é atualizada anualmente, representando-se o ano que se inicia seguindo a mesma lógica 
dos anteriores. Se a soma de todos os números que compõem a Espiral do Tempo em 2009 é igual 
a S, então, em 2010, essa soma passará a ser igual a 
(A) S + 4040100 
(B) S + 4038090 
(C) S + 4036081 
(D) S + 2010 
(E) S + 2009 
Resolução 
Observe que o número 1 aparece uma vez, o número 2 aparece duas vezes, o número 3 aparece 
três vezes, o número 4 aparece quatro vezes e assim sucessivamente. 
Desta forma, o número 2010 aparecerá 2010 vezes. Se a soma dos números até o ano de 2009 é 
igual a S, então em 2010 a soma será: 
� + 2010 + 2010 + 2010 +⋯+ 2010⊂⊆⊆⊆⊆⊆⊆⊆⊆⊆⊆∈⊆⊆⊆⊆⊆⊆⊆⊆⊆⊆∉ΟƟ	€⊕€ = � + 2010 × 2010 = � + 4.040.100 
Gabarito: A 
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85.!(AOCP 2016/Pref. de Juazeiro/Auditor Fiscal) 
Ao final de um campeonato de futebol disputado por cinco times, A, B, C, D e E, verificou-se que o 
time A ganhou 3/5 os pontos que disputou, enquanto os times B, C, D e E ganharam, 
respectivamente 4/7, 5/8, 1/2 e 1/4 dos pontos que disputaram. Considerando que cada time 
poderia disputar pela mesma quantidade de pontos, o vencedor desse campeonato foi o time 
(A) A. 
(B) B. 
(C) C. 
(D) D. 
(E) E. 
Resolução 
Para comparar as frações acima, devemos fazer com que todas tenham o mesmo denominador. 
Vamos calcular o MMC dos denominadores. 
5,7,8,2,4 2 
5,7,4,1,2 2 
5,7,2,1,1 2 
5,7,1,1,1 5 
1,7,1,1,1 7 
1,1,1,1,1 
 
Assim, o MMC(5,7,8,2,4) = 2x2x2x5x7 = 280. 
Para transformar cada fração, devemos dividir o MMC pelo denominador e multiplicar o resultado 
pelo numerador. 35	, 47	 , 58	 , 12	 , 14 
 
As frações equivalentes com denominador 280 são, respectivamente: 
 168280	, 160280	, 175280	, 140280	, 70280 
 
A maior fração é 175/280 = 5/8. Assim, o vencedor desse campeonato foi o time C. 
Outra maneira seria dividir o numerador pelo denominador, transformando cada fração em um 
número decimal. 
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A = 3/5 = 0,60 
B = 4/7 = 0,57... 
C = 5/8 = 0,625 
D = 1/2 = 0,50 
E = 1/4 = 0,25 
O número C é o maior de todos e, portanto, o time C é o vencedor. 
Gabarito: C. 
 
86.!(FCC 2011/TRT 24ª Região) 
O esquema abaixo apresenta o algoritmo da subtração de dois números naturais, em que alguns 
algarismos foram substituídos pelas letras A, B, C, D e E. 
			�	9	0	�	2	−7	8	�	9	�				2	�	1	7	8 
Os correspondentes algarismos representados por A, B, C, D e E, que tornam a diferença correta, 
devem ser tais que (� − � + � − � + �)² é igual a 
(A) 49 
(B) 36 
(C) 25 
(D) 16 
(E) 9 
Resolução 
O algarismo D deve ser igual a 4, pois 12 – 4 = 8. 
 
		�	9	0	�	2	−7	8	�	9	4				2	�	1	7	8 
Assim, B = 7. 
 
			�	9	0	7	2	−7	8	�	9	4				2	�	1	7	8 
Assim, C = 8. 
 
 
 
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			�	9	0	7	2	−7	8	8	9	4				2	�	1	7	8 
E = 0. 
 
			�	9	0	7	2	−7	8	8	9	4				2	0	1	7	8 
Finalmente, A = 9. 
 
			9	9	0	7	2	−7	8	8	9	4				2	0	1	7	8 
 
Concluindo... 
� = 9, � = 7, � = 8, � = 4, � = 0. 
 (� − � + � − � + �)Ξ = (9 − 7 + 8 − 4 + 0)Ξ = 6² = 36 
Gabarito: B 
87.!(FCC 2016/ELETROSUL) 
Considere o número natural A e o número natural B. Sabe-se que B é divisor de A, e que o 
quociente entre A e B é igual a 24. O quociente entre o dobro do número A e o triplo do número B 
é igual a 
(A) 12. 
(B) 16. 
(C) 8. 
(D) 15. 
(E) 36. 
Resolução 
O quociente entre A e B é igual a 24. Como B é divisor de A, então o resto da divisão de A por B é 
zero. �� = 24 
Queremos calcular o quociente entre o dobro de A e o triplo de B. 2�3� = 23 × 24 = 16 
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Gabarito: B 
88.!(FCC 2016/ELETROSUL) 
Existem três bolos iguais na primeira mesa, e três bolos iguais a esses, na segunda mesa. Os bolos 
da primeira mesa estavam, respectivamente, divididos em terços, quintos e nonos. Os bolos da 
segunda mesa estavam, respectivamente, divididos em quartos, sextos e oitavos. João pega um 
pedaço de cada bolo da primeira mesa e come. A menor quantidade de bolo, expressa em número 
de fatias inteiras de um mesmo bolo da segunda mesa, que Lucas precisará comer para superar a 
quantidade de bolo que João comeu é igual a ͒ 
(A) 3. 
(B) 5. 
(C) 4. 
(D) 6. 
(E) 2. 
Resolução 
Os bolos da primeira mesa estavam divididos em terços, quintos e nonos. João comeu um pedaço 
de cada bolo. Assim, a fração que ele comeu foi 13 + 15 + 19 = 15 + 9 + 545 = 2945 
Os bolos da segunda mesa estavam divididos em quartos, sextos e oitavos. 
Queremos calcular a menor quantidade de bolo, expressa em número de fatias inteiras de um 
mesmo bolo da segunda mesa, que Lucas precisará comer para superar a quantidade de bolo que 
João comeu. Vamos assumir que Lucas comerá x fatias. 
Vejamos as três possibilidades. 
i) Se Lucas for comer as fatias do bolo que está divido em quartos, então: �4 > 2945 
� > 4 ∙ 2945 � > 2,57777… 
O menor inteiro maior que este número é 3. Neste caso, Lucas teria comido 3/4 = 75% do bolo. 
ii) Se Lucas for comer as fatias do bolo que está divido em sextos, então: �6 > 2945 
� > 6 ∙ 2945 � > 3,8666… 
O menor inteiro maior que este número é 4. Neste caso, Lucas teria comido 4/6 ≈ 66,67% do bolo. 
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iii) i) Se Lucas for comer as fatias do bolo que está divido em oitavos, então: �8 > 2945 
� > 8 ∙ 2945 � > 5,15555… 
O menor inteiro maior que este número é 6. Neste caso, Lucas teria comido 6/8 = 75% do bolo. 
Assim, para que Lucas supere a quantidadede bolo comida por João com a menor quantidade 
inteira de fatias, ele deverá comer 4 fatias do bolo que está dividido em sextos. 
Gabarito: C 
89.!(VUNESP 2010/CREA-SP) 
O quociente A:B entre as expressões � = 0,5 ∙ (34 − 4Ξ) e � = ∪√36 − ÷√64 + 2≠⊃ + 1 vale 
a) – 1/3 
b) 1/3 
 c) – 3 
 d) 3 
 e) – 9 
Resolução 
Devemos respeitar a “hierarquia” das operações. Começamos a efetuar as potências e radiciações. 
� = 0,5 ∙ (34 − 4Ξ) = 0,5 ∙ (34 − 16) = 0,5 ∙ 18 = 9 
� = ∪√36 − ÷√64 + 2≠⊃ + 1 = [6 − (8 + 2)] + 1 = [6 − 10] + 1 = −4 + 1 = −3 
Queremos calcular o quociente A : B. �� = 9−3 = −3 
Gabarito: C 
90.!(VUNESP 2010/Imprensa Oficial-SP) 
Uma mercadoria custa R$ 395,12. Ao registrar seu preço no sistema, o funcionário responsável 
digitou os cinco algarismos corretos que compõem o preço, mas numa ordem errada, resultando 
um valor maior do que o real. Sabendo que a vírgula foi digitada no local correto, a diferença entre 
o preço registrado pelo funcionário e o preço real pode ser, no máximo de 
(A) R$ 179,73 
(B) R$ 198,00 
(C) R$ 271,17 
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(D) R$ 540,09 
(E) R$ 558,09 
 
Resolução 
O funcionário utilizou os algarismos 3, 9, 5, 1 e 2. Para calcular a maior diferença possível entre o 
preço registrado pelo funcionário e o preço real, devemos dispor os algarismos em ordem 
decrescente da esquerda para a direita. O funcionário deve ter digitado o valor R$ 953,21. A 
máxima diferença será igual a 953,21 − 395,12 = 558,09 reais. 
 
Gabarito: E 
91.!(IBFC 2012/Pref. de João Pessoa) 
Observe as afirmações: 
I) O número 124 tem exatamente 6 divisores naturais. 
II) A soma entre duas dízimas periódicas pode resultar num número inteiro. 
III) O valor da expressão {−3 ∙ [(−2)Ξ − (−5)]Ÿ + (−1)W} = −4. 
Pode-se dizer que são corretas: 
a) I e II, somente. 
b) Todas 
c) Somente III. 
d) II e III, somente. 
Resolução 
Vamos analisar cada uma das sentenças separadamente. 
I) Para calcular a quantidade de divisores naturais, precisamos fatorar o número. 
124 2 
62 2 
31 31 
1 
Assim, 124 = 2Ξ ∙ 31Ζ 
Para calcular a quantidade de divisores naturais, devemos adicionar 1 a cada expoente e 
multiplicar: (2+1)(1+1) = 3 x 2 = 6. O item I está certo. 
II) O item 2 está certo. Por exemplo: 13 + 23 = 1 ⟺ 0,333…+ 0,666… = 0,999… = 1 
III) Observe que a expressão dentro dos colchetes está elevada a zero, que resultará em 1. 
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{−3 ∙ [(−2)Ξ − (−5)]Ÿ + (−1)W} = {−3 ∙ 1 + (−1)W} = −3 − 1 = −4 
O item III está certo. 
Gabarito: B 
 
 
 
5.!CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Ficamos por aqui, queridos alunos. Espero que tenham gostado da aula. 
Vamos juntos nesta sua caminhada. Lembre-se que vocês podem fazer perguntas e sugestões no 
nosso fórum de dúvidas. 
 
Você também pode me encontrar no instagram @profguilhermeneves ou entrar em contato 
diretamente comigo pelo meu email profguilhermeneves@gmail.com. 
Um forte abraço e até a próxima aula!!! 
Guilherme Neves 
 
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