Dimensionamento a flexão

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Dimensionamento à flexão de seções retangulares 
 
O dimensionamento é realizado no ELU, impondo que na seção mais solicitada sejam 
alcançadas as deformações limites específicas. Ou seja, o ELU pode ocorrer tanto pela ruptura do 
concreto comprimido, quanto pela deformação excessiva da armadura tracionada. 
 Tipos de flexão 
 
Nas estruturas de Concreto Armado são três os elementos estruturais mais importantes: as 
lajes, as vigas e os pilares. E dois desses elementos, as lajes e as vigas, são submetidos à flexão 
normal simples, embora possam também, eventualmente, estarem submetidos à flexão composta. 
Por isso, o dimensionamento de seções retangulares e seções T sob flexão normal simples é a 
atividade diária mais comum aos engenheiros projetistas de estruturas de Concreto Armado. 
 Ensaio de Stuttgart 
 
 A construção do modelo de 
dimensionamento de elementos 
fletidos tem como ponto de partida 
este ensaio, no qual a viga é 
conduzida à ruptura de fato, pelo 
carregamento indicado. 
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Os resultados destes ensaios, demonstram que a seção passa por três fases sucessivas e 
distintas, na medida em que o carregamento evolui de seu valor inicial até o instante em que o 
mesmo provoca o colapso da estrutura. Estas fases são denominadas ESTÁDIOS I, II, III, 
destacando-se o comportamento, as tensões e as deformações em cada um deles. 
 ESTÁDIO I – aço e concreto em regime linear; concreto não fissurado (ou seja, ainda resiste 
à tração). 
 ESTÁDIO II – aço e concreto em regime linear, concreto fissurado (início da fissuração). 
 ESTÁDIO III – materiais em regime não-linear. 
Estádio I 
 
No Estádio I o carregamento externo aplicado é ainda pequeno, de modo que as 
deformações e as tensões normais são também pequenas. As tensões se distribuem de maneira 
linear ao longo da altura da seção transversal. 
A um certo valor do carregamento as tensões de tração superam a resistência do concreto 
à tração, é quando surge a primeira fissura. 
 
Estádio II 
 
 
 
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Neste nível de carregamento, o concreto não mais resiste à tração e a seção se encontra 
fissurada na região de tração. No entanto, a parte comprimida ainda mantém um diagrama linear 
de tensões, permanecendo válida a lei de Hooke. 
 Aumentando ainda mais o carregamento a linha neutra (LN) e as fissuras deslocam-se em 
direção à zona comprimida. As tensões de tração e compressão aumentam, a armadura tracionada 
pode alcançar e superar a tensão de escoamento (𝑓𝑦), e o concreto comprimido está na iminência 
da ruptura (esmagamento). 
 
Estádio III 
 
 No Estádio III, a zona comprimida encontra-se plastificada e o concreto dessa região está na 
iminência da ruptura. Admite-se que o diagrama de tensões seja da forma parabólico-retangular, 
também conhecido como diagrama parábola-retângulo. 
 A NBR 6118/2014 permite para efeito de cálculo que se trabalhe com um diagrama retangular 
equivalente. A resultante de compressão e o braço em relação à LN devem ser aproximadamente 
os mesmos para os dois diagramas. 
 
 Observação: 
 0,85 – caso de largura constante ou crescente no sentido das fibras comprimidas a partir 
da LN para 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50 𝑀𝑃𝑎; 
 0,80 – caso de largura decrescente no sentido das fibras mais comprimidas, a partir da LN 
𝑓𝑐𝑘 ≤ 50 𝑀𝑃𝑎. 
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Ao fim do Estádio III, a ruptura do elemento estrutural submetido à flexão simples pode se 
dar de diferentes formas. Esses modos de falha são enquadrados dentro dos chamados DOMÍNIOS 
DE RUPTURA (ou Domínio de Deformação). Possibilidades de colapso: 
 Ruptura do concreto (Domínio 3, 4 e 5); 
 Escoamento excessivo do aço (Domínio 1 e 2). 
 
 Hipóteses Fundamentais 
1) Seções planas permanecem planas; 
2) Aderência total entre aço e concreto; 
3) Concreto não resiste à tração. 
Os domínios são representações das deformações que ocorrem na seção transversal dos 
elementos estruturais. As deformações são de alongamento e encurtamento, oriunda de tensões 
de tração e compressão, respectivamente. 
 Para determinar a resistência de cálculo de uma seção, é preciso saber primeiramente em 
qual domínio está situado o diagrama de deformações específicas de cálculo dos materiais (aço e 
concreto). 
 
𝜅ℎ = (1 − 𝜀𝑐2/𝜀𝑐𝑢)/ℎ 
A Figura acima é apenas ilustrativo, e por conter todos os domínios parece complicado, mas 
a análise é simples quando estudados separadamente. 
O desenho dos diagramas de domínios pode ser entendido como uma peça sendo 
visualizada em vista ou elevação, constituída com duas armaduras longitudinais próximas às faces 
superior e inferior da peça (As1 e As2). 
A posição da linha neutra é dada pelo valor de x, contado a partir da fibra mais comprimida 
(se a seção transversal estiver inteiramente ou parcialmente comprimida) ou menos tracionada da 
peça (se a seção transversal estiver inteiramente tracionada). No caso específico da Figura, x é 
contado a partir da face superior. Em função dos vários domínios, a linha neutra estará 
compreendida no intervalo entre −∞ (lado superior no desenho da Figura) e +∞ (lado inferior do 
desenho). Quando 0 ≤ 𝑥 ≤ ℎ, a linha neutra estará posicionada nas faces ou dentro da seção 
transversal. 
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 Ruptura convencional por deformação plástica excessiva: 
Reta a: tração uniforme. 
Domínio 1: tração não uniforme, sem compressão. 
Domínio 2: flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do concreto (0 ≤ 𝜀𝑐 ≤ 𝜀𝑐𝑢) e 
com o máximo alongamento do aço permitido (𝜀𝑠 = 10‰). – Elementos subarmados. 
 
 Ruptura convencional por encurtamento limite do concreto: 
Domínio 3: flexão simples ou composta com ruptura à compressão do concreto (𝜀𝑐 = 𝜀𝑐𝑢) e com 
escoamento do aço (10‰ ≤ 𝜀𝑠 ≤ 𝜀𝑦𝑑) 
Domínio 4: flexão simples ou composta com ruptura à compressão do concreto (𝜀𝑐 = 𝜀𝑐𝑢) e aço 
tracionado sem escoamento (𝜀𝑠 < 𝜀𝑦𝑑). – Elementos superarmados (ruptura brusca). 
Domínio 4a: flexão composta com armaduras comprimidas. 
Domínio 5: compressão não uniforme, sem tração. 
Reta b: compressão uniforme. 
 
 Os diagramas valem para todos os elementos estruturais que estiverem sob solicitações 
normais, como a tração e a compressão uniformes e a flexão simples. 
Observação: 
 Equilíbrio de forças – flexão simples (Domínios 2, 3 e 4); 
 Posição da linha neutra – 𝑥; 
 Domínios apropriados para vigas de concreto armado – 2 e 3 (ruptura dúctil). 
Reta a 
O caso de solicitação da Reta a é a tração aplicada no centro de gravidade da seção 
transversal. A linha neutra encontra-se no − ∞ (acima da seção transversal), e todos os pontos da 
seção transversal, inclusive as armaduras, estão com deformação de alongamento igual à máxima 
de 10 ‰. As duas armaduras, portanto, estão com a mesma tensão de tração, a de início de 
escoamento do aço, 𝑓𝑦𝑑. 
 
 
 
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Domínio1 
O Domínio 1 ocorre quando a força normal de tração não é aplicada no centro de gravidade 
da seção transversal, isto é, existe uma excentricidade da força normal em relação ao centro de 
gravidade. Neste domínio ocorre a tração não uniforme, e a seção ainda está inteiramente 
tracionada, embora com deformações diferentes. 
A deformação de alongamento na armadura mais tracionada é fixa e vale 10‰. A linha 
neutra é externa à seção transversal, podendo estar no intervalo entre – ∞ (reta a) e zero (limite 
entre os Domínios 1 e 2). A capacidade resistente da seção é proporcionada apenas pelas 
armaduras tracionadas, pois o concreto encontra-se inteiramente fissurado. 
 
 
Domínio 2 
Ocorrem a solicitação de flexão simples, tração excêntrica com grande excentricidade ou 
compressão excêntrica com grande excentricidade. A seção transversal tem parte tracionada e 
parte comprimida. 
Caracterizado pela deformação de alongamento fixada em 10‰ na armadura tracionada. 
Em função da posição da linha neutra, que pode variar de zero a 𝑥2𝑙𝑖𝑚(0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥2𝑙𝑖𝑚), a deformação 
de encurtamento na borda mais comprimida varia de zero até 3,5‰. Quando a linha neutra passar 
por 𝑥2𝑙𝑖𝑚, ou seja, 𝑥 = 𝑥2𝑙𝑖𝑚, as deformações na armadura tracionada e no concreto da borda 
comprimida serão os valores últimos, 10‰ e 3,5‰, respectivamente. 
 
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Domínio 3 
Os casos de solicitação são os mesmos do Domínio 2, ou seja, flexão simples, tração 
excêntrica com grande excentricidade ou compressão excêntrica com grande excentricidade. A 
seção transversal tem parte tracionada e parte comprimida. 
O Domínio 3 é caracterizado pela deformação de encurtamento máxima fixada em 3,5‰ no 
concreto da borda comprimida. A deformação de alongamento na armadura tracionada varia da 
deformação de início de escoamento do aço (𝜀𝑦𝑑) até o valor máximo de 10‰, o que implica que 
a tensão na armadura é a máxima permitida, 𝑓𝑦𝑑. 
A posição da linha neutra pode variar, desde o valor 𝑥2𝑙𝑖𝑚 até 𝑥3𝑙𝑖𝑚 (𝑥2𝑙𝑖𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥3𝑙𝑖𝑚), que 
delimita os Domínios 3 e 4. A deformação de encurtamento na armadura comprimida é menor mas 
próxima a 3,5‰, por estar próxima à borda comprimida, onde a deformação é 3,5‰. 
Na situação última a ruptura do concreto comprimido ocorre simultaneamente com o 
escoamento da armadura tracionada. Situação ideal, pois, os dois materiais atingem sua 
capacidade resistente máxima. 
 
Domínio 4 
Os casos de solicitação do Domínio 4 são a flexão simples e a flexão composta. A seção 
transversal tem parte tracionada e parte comprimida 
O Domínio 4 é caracterizado pela deformação de encurtamento máxima fixada em 3,5‰ no 
concreto da borda comprimida. 
A deformação de alongamento na armadura tracionada varia de zero até a deformação de 
início de escoamento do aço (𝜀𝑦𝑑), o que implica que a tensão na armadura é menor que a máxima 
permitida, 𝑓𝑦𝑑. 
A posição da linha neutra pode variar de 𝑥3𝑙𝑖𝑚 até a altura útil 𝑑. 
 
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Domínio 4a 
No Domínio 4a a solicitação é de flexão composta (flexo-compressão). A seção transversal 
tem uma pequena parte tracionada e a maior parte comprimida. O Domínio 4a também é 
caracterizado pela deformação de encurtamento máxima fixada em 3,5‰ no concreto da borda 
comprimida. A linha neutra ainda está dentro da seção transversal, na região de cobrimento da 
armadura menos comprimida (𝐴𝑠2), ou seja, 𝑑 ≤ 𝑥 ≤ ℎ. 
Ambas as armaduras se encontram comprimidas, embora a armadura próxima à linha neutra 
tenha tensões muito pequenas. 
 
Domínio 5 
No Domínio 5 ocorre a compressão não uniforme ou flexo-compressão com pequena 
excentricidade (flexão composta). A linha neutra não corta a seção transversal, que está 
completamente comprimida, embora com deformações diferentes. As duas armaduras também 
estão comprimidas. 
A posição da linha neutra varia de h até +∞. O que caracteriza o Domínio 5 é o ponto 𝐶 a 
3/7ℎ. A linha inclinada do diagrama de deformações passa sempre por este ponto no Domínio 5. A 
deformação de encurtamento na borda mais comprimida varia de 2‰ a 3,5‰ e na borda menos 
comprimida varia de 0 a 2‰, em função da posição x da linha neutral. 
A forma do diagrama de deformações será a de um trapézio. 
 
 
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Reta b 
O caso de solicitação da Reta b é a compressão uniforme (também chamada compressão 
simples ou compressão axial), com a força normal de compressão aplicada no centro de gravidade 
da seção transversal. A linha neutra encontra-se no +∞, e todos os pontos da seção transversal 
estão com deformação de encurtamento igual a 2‰. As duas armaduras, portanto, estão sob a 
mesma deformação e a mesma tensão de compressão. 
 
1- Determinação de 𝑥2/3 (𝑥2𝑙𝑖𝑚) e 𝑥3/4 (𝑥3𝑙𝑖𝑚) 
 
 𝑥2𝑙𝑖𝑚 
 
 
 
Para concretos de classes C55 até C90, 𝜀𝑐𝑢 depende 
da resistência característica do concreto à 
compressão (𝑓𝑐𝑘). Para concretos de classes até o 
C50, 𝜀𝑐𝑢 = 3,5 ‰ e: 
 
𝑥2𝑙𝑖𝑚_____________3,5 
 𝑑_____________13,5 
 
𝑥2𝑙𝑖𝑚 = 0,259 𝑑 
𝑘𝑥2𝑙𝑖𝑚 =
𝑥
𝑑
= 0,259 
 
 
Observa-se que 𝑥2𝑙𝑖𝑚 é uma distância que depende apenas da altura útil 𝑑 da peça, e não 
depende dos materiais. 
 
 
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 𝑥3𝑙𝑖𝑚 
 
 
Para concretos de classes C55 até C90 𝜀𝑐𝑢 
depende da resistência característica do concreto 
à compressão (𝑓𝑐𝑘). Para concretos de classes até 
o C50, 𝜀𝑐𝑢 = 3,5 ‰ e: 
 
𝑥3𝑙𝑖𝑚_____________3,5 
 𝑑_____________3,5 + 𝜀𝑦𝑑 
 
𝑥3𝑙𝑖𝑚 =
3,5 𝑑
3,5 + 𝜀𝑦𝑑
 
 
Observação: 𝜀𝑦𝑑 depende da classe do aço! 
Exemplo: CA-50 - 𝜀𝑦𝑑 = 2,07‰ 
 
 
Valores de 𝜀𝑦𝑑, 𝑥3𝑙𝑖𝑚 e 𝑘x para concretos de classe até C50. 
 Aço 𝜀𝑦𝑑 (‰) 𝑥3𝑙𝑖𝑚 𝑘x 
CA-25 1,04 0,771.d 0,77 
CA-50 2,07 0,628.d 0,63 
CA-60 2,48 0,585.d 0,59 
 
Observação: As deformações nos materiais componentes das vigas de Concreto Armado 
submetidas à flexão simples encontram-se nos domínios de deformações 2, 3 ou 4, conforme 
definidos na NBR 6118 (item 17.2.2). 
 
Diagrama de deformações 
dos domínios 2, 3 e 4, para 
concretos do Grupo I de 
resistência (𝑓𝑐𝑘 ≤ 50 𝑀𝑃𝑎), 
onde 𝜀𝑐𝑢 = 3,5‰. 
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Conclusões 
Como conclusão pode-se afirmar: as vigas devem ser projetadas à flexão simples nos 
domínios 2 ou 3, e não podem ser projetadas no domínio 4. 
Para complementar essa análise, é importante observar que a NBR 6118 (item 14.6.4.3) 
apresenta limites para a posição da linha neutra que visam dotar as vigas e lajes de ductilidade, 
afirmando que quanto menor for a relação 𝑥/𝑑 (x = posição da linha neutra, d = altura útil da viga), 
maior será a ductilidade. Os limites são: 𝑥/𝑑 ≤ 0,45 para concretos com 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50 𝑀𝑃𝑎 e 𝑥/𝑑 ≤
 0,35 para concretos com 𝑓𝑐𝑘 > 50 MPa. 
Considerando os concretos do Grupo I de resistência (𝜀𝑐𝑢 = 3,5 ‰) e o aço mais comum 
(CA-50), no limite entre os domínios 3 e 4 a relação x/d para a linha neutra é 0,63d e a deformação 
no aço é a deformação de início de escoamento (𝜀𝑦𝑑)de 2,07 ‰, o limite máximo de 𝑥/𝑑 = 0,45 
corresponde à deformação de alongamento de 4,3 ‰, o que significa que a norma está impondo 
uma deformação maior àquela de início de escoamento, visando vigas mais seguras. Portanto, o 
dimensionamento no domínio 3 não é permitido ao longo de toda a faixa possível de variação da 
posição da linha neutra, e sim somente até o limite 𝑥 = 0,45𝑑. 
 
2- Seção Retangular com armadura simples 
Embora as vigas possam ter a seção transversal com qualquer forma geométrica, na maioria 
dos casos da prática a seção é a retangular. 
Define-se viga com armadura simples a seção que necessita apenas de uma armadura 
longitudinal resistente tracionada. No entanto, por questões construtivas são colocadas barras 
longitudinais também na região comprimida, para a amarração dos estribos, não sendo esta 
armadura considerada no cálculo de flexão como armadura resistente, ou seja, na seção com 
armadura simples as tensões de compressão são resistidas unicamente pelo concreto. 
Posteriormente será estudada a seção com armadura dupla, que é aquela que necessita 
também de uma armadura resistente comprimida, além da armadura tracionada. 
Na sequência serão deduzidas as equações válidas apenas para a seção retangular. As 
equações para outras formas geométricas da seção transversal podem ser deduzidas de modo 
semelhante à dedução seguinte. 
2.1- Equilíbrio de forças na seção 
O equacionamento para a resolução dos problemas da flexão simples é deduzido em função 
de duas equações de equilíbrio da estática, e que proporciona as aqui chamadas “equações 
teóricas”, que podem ser facilmente implementadas para uso em programas computacionais. 
Também é apresentado o equacionamento com base em coeficientes tabelados tipo K, largamente 
utilizado no Brasil. 
 
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Para ilustrar melhor a forma de distribuição das tensões de compressão na seção, a Figura 
a seguir mostra a seção transversal em perspectiva, com os diagramas parábola-retângulo e 
retangular simplificado, como já apresentados. O equacionamento apresentado a seguir será feito 
segundo o diagrama retangular simplificado, que conduz a equações mais simples e com resultados 
muito próximos àqueles obtidos com o diagrama parábola-retângulo. 
 
 
𝑅𝑐,𝑐𝑑 = 0,85𝑓𝑐𝑑𝑏𝜆𝑥, para 𝜆 = 0,8 
 
𝑅𝑐,𝑐𝑑 = 0,68𝑓𝑐𝑑𝑏𝑥 (2) 
 
 
𝑀𝑑 = 𝑅𝑐,𝑐𝑑 ∙ 𝑧 = 𝑅𝑠,𝑡𝑑 ∙ 𝑧 
 
𝑅𝑠,𝑡𝑑 =
𝑀𝑑
𝑧
 (3) 
 
 
Igualando (1) e (3): 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑓𝑦𝑑 ∙ 𝑧
, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑧 = 𝑑 − 0,5𝜆𝑥 = 𝑑 − 0,4𝑥 
𝑨𝒔 =
𝑴𝒅
𝒇𝒚𝒅 ∙ (𝒅 − 𝟎, 𝟒𝒙)
 
Substituindo agora z em (3) e sendo 𝑅𝑐,𝑐𝑑 dado pela expressão (2): 
𝑴𝒅 = 𝟎, 𝟔𝟖𝒇𝒄𝒅𝒃𝒙(𝒅 − 𝟎, 𝟒𝒙) 
 
Arrumando a equação acima para x, obtemos a expressão da posição da linha neutra: 
𝒙 = 𝟏, 𝟐𝟓𝒅 (𝟏 − √𝟏 −
𝑴𝒅
𝟎, 𝟒𝟐𝟓𝒇𝒄𝒅𝒃𝒅²
) 
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Para verificar o Domínio no final, determina-se 𝑥2𝑙𝑖𝑚 e 𝑥3𝑙𝑖𝑚 e Md é definido como o 
momento interno resistente proporcionado pelo concreto comprimido. Md deve ser considerado 
em valor absoluto. 
Observações: 
 As relações apresentadas são válidas para os Domínios 2 e 3, ou seja, 𝑥 ≤
𝜀𝑐𝑢
(𝜀𝑐𝑢+𝜀𝑦𝑑)
. 
 Nota-se que são sete as variáveis contidas nas duas equações, o que leva, portanto, na 
necessidade de se adotarem valores para cinco das sete variáveis. De modo geral, na prática 
fixam-se os materiais (concreto e aço) e a seção transversal, e o momento fletor solicitante 
geralmente é conhecido, ficando como incógnitas apenas a posição da linha neutra (x) e a 
área de armadura (As). 
 
 Se resultar o domínio 4, alguma alteração deve ser feita de modo a tornar 𝑥 ≤ 𝑥3𝑙𝑖𝑚, e 
resultar, como consequência, o domínio 2 ou o 3. Verifica-se que para diminuir x pode-se: 
- diminuir o valor do momento fletor solicitante (Md); 
- aumentar a largura ou a altura da viga (> d); 
- aumentar a resistência do concreto. 
Quando nenhuma alteração pode ser adotada, resta ainda estudar a possibilidade de 
dimensionar a seção com armadura dupla 
 
 Método alternativo – Cálculo da área de aço (com o uso de tabelas) 
 
𝜆 = 0,8 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50 𝑀𝑃𝑎 
 
 
Equilíbrio de forças na seção 
 
∑ 𝑀𝑜 = 0: 𝑀𝑑 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦𝑑(𝑑 − 0,5𝜆𝑥) 
 
∑ 𝐹 = 0: 0,85𝑓𝑐𝑑(𝑏𝜆𝑥) = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦𝑑 
 
Manipulando as equações, encontramos: 
𝒌𝒙 =
𝒙
𝒅
 𝒌𝒎𝒅 =
𝑴𝒅
𝒃𝒅²𝒇𝒄𝒅
 
Por fim, a área de aço necessária é obtida: 
𝑨𝒔 =
𝑴𝒅
𝒌𝒛𝒅𝒇𝒚𝒅
, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝒌𝒛 =
𝒛
𝒅
 
O passo a passo para determinação de 𝐴𝑠: 
1) Cálculo de 𝑘𝑚𝑑; 
2) Cálculo de 𝑘𝑥 e 𝑘𝑧; 
3) Cálculo de 𝐴𝑠. 
Em alternativa às expressões de cálculo mostradas, 𝑘𝑥 e 𝑘𝑧 podem ser determinados a 
partir de tabelas. 
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Exercícios 
 
1) Em qual Estado Limite é feito o dimensionamento de uma peça? 
 
2) Qual a definição para o Estado Limite Último? 
 
3) Como são calculadas as resistências de cálculo do concreto e do aço? Quais os valores para 
γc e γs no Estado Limite Último? 
 
4) Qual o significado de Domínios de Cálculo? Desenhe o diagrama com todos os domínios. 
 
5) Explique as características de cada um dos seguintes domínios: reta a, 1, 2, 3, 4, 4a, 5 e reta 
b. 
 
6) Como são deduzidos os valores de x2lim e x3lim? Qual a definição para kx. 
 
7) Quais os valores de x2lim, x3lim e kx3lim para o aço CA-50? 
 
8) Para a viga indicada na Figura abaixo, calcular a área de armadura longitudinal de flexão e as 
deformações na fibra de concreto mais comprimida e na armadura de flexão tracionada. São 
conhecidos: 
 Mk,máx = + 100 kNmm 
 h = 50 cm 
 bw = 20 cm 
 concreto C20 (Grupo I) 
 d = 47 cm (altura útil) 
 aço CA-50 
 c = 2,0 cm (cobrimento nominal) 
 ϕt = 5 mm (diâmetro do estribo) 
 
 
 
9) Calcular a armadura longitudinal As de uma viga submetida à flexão simples, sendo dados: 
 Mk,máx = - 150 kNmm 
 bw = 22 cm 
 h=60 cm 
 concreto C25 (Grupo I) 
 aço CA-50 
 c = 2,5 cm (cobrimento nominal) 
 ϕt = 6,3 mm (diâmetro do 
estribo) 
 
 
 
 
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10) Dada a seção retangular de uma viga, como mostrada na Figura abaixo, calcular qual é o 
momento fletor admissível (de serviço). São conhecidos: 
 As= 8,00 cm² 
 h = 50 cm 
 bw = 20 cm 
 concreto C20 (Grupo I) 
 d = 46 cm (altura útil) 
 aço CA-50 
 
 
 
11) Determinar o máximo momento fletor que pode suportar uma viga com a seção mostrada na 
Figura a seguir. Dados: 
 As= 9,45 cm² 
 h = 40 cm 
 bw = 20 cm 
 concreto C25 (Grupo I) 
 d = 36 cm (altura útil) 
 aço CA-50 
 
 
12) Determine a armadura de aço CA-50 necessária para uma viga de concreto armado de seção 
20/40 cm e 𝑓𝑐𝑘=20 MPa, sujeita aos seguintes esforços: 𝑀𝑔𝑘= 20 kNm e 𝑀𝑞𝑘= 15 kNm. Adotar 
cobrimento igual a 3 cm. 
 
13) Qual a armadura para uma viga submetida a um momento 𝑀𝑑= 700 kNm, com seção 15/100 
cm, d’ = 5 cm, usando C20 e CA-50? 
 
 
 
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Definições e Nomenclatura 
 
d Altura útil: distância entre o centro de gravidade da armadura longitudinal tracionada até a 
fibra mais comprimida de concreto. 
d' Distância entre o centro de gravidade da armadura transversal comprimida e a face mais 
próxima do elemento estrutural (fibra mais comprimida de concreto). 
Msd Momento fletor solicitante de cálculo na seção: no dimensionamento, quando há um só 
tipo de carga acidental, é obtido multiplicando o momento em serviço (atuante) pelo 
coeficiente de ponderação γf. 
 MRd Momento fletor resistente de cálculo (calculado com fcd e fyd): máximo momento fletor que 
a seção pode resistir (deve-se ter sempre Msd ≤ MRd). 
bw Largura da seção transversal de vigas de seção retangular ou da nervura (parte mais estreita 
da seção transversal), também chamada de alma das vigas de seção em forma “T”. 
h Altura total da seção transversal de uma peça. 
z Braço de alavanca: distância entre o ponto de aplicação da resultante das tensões normais 
de compressão no concreto até o da resultante das tensões normais de tração no aço 
(distância entre o centro de gravidade da armadura de tração e o centro de gravidade da 
região comprimida do concreto). 
x Altura (profundidade) da linha neutra: distância da borda mais comprimida do concreto 
até o ponto que tem deformação e tensão nulas (distância da linha neutra ao ponto de maior 
encurtamento da seção transversal de uma peça fletida). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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