Mecânica dos Fluidos

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Mecânica dos fluidos
Prof. Esp. Rafael José Nogueira Rosa
1ª Edição
Gestão da Educação a Distância
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Autoria
Currículo Lattes:
Graduado em Engenharia Mecânica, especialista em Gestão de Projetos. Professor do Centro Uni-
versitário do Sul de Minas, ministrando aulas nas disciplinas de Tecnologia dos Materiais I e II, Ma-
temática, Metrologia e Tubulações Industriais, Mecânica dos Fluidos e Hidráulica. Engenheiro de 
Processos em uma empresa do segmento automobilístico.
Prof. Esp.
Rafael José Nogueira Rosa
http://lattes.cnpq.br/6401332945929052
5
Unis EaD
Cidade Universitária – Bloco C
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ROSA, Rafael José Nogueira. Mecânica dos Fluidos. Varginha: GEaD-U-
NIS/MG, 2019.
62 p.
1. Propriedade dos Fluidos. 2. Estática dos Fluidos. 3. Viscosidade.
 Estimado(a) aluno(a),
 Construímos este guia com o intuito de desenvolver os estudos na disciplina de Mecânica 
dos Fluidos. Espero que todos se sintam desafiados a evoluir na busca do conhecimento e estejam 
motivados a iniciar essa jornada.
 É importante lembrar que o bom andamento e melhor aproveitamento dos conhecimentos 
trocados no decorrer desta etapa só serão possíveis com muita dedicação e a indispensável prática. 
Iremos trabalhar muitos conceitos e leis que regem esta disciplina e só existe uma forma de fixarmos 
realmente: praticando!
 O intuito do Guia de Estudos é apresentar de uma maneira simples e clara os conceitos 
e aplicações necessárias para que vocês possam desempenhar suas funções como engenheiros, 
solucionando problemas e propondo melhorias. Sendo assim, não fique limitado a esta fonte de 
pesquisa. Aproveite os benefícios da globalização e busque através da internet outras fontes de 
bibliográficas, exercícios e estudos de caso. Google it!
 No decorrer das nossas atividades espero que tenhamos uma interação muito próxima, 
pois minhas expectativas são as melhores. Estarei sempre à disposição para ajudá-los; seja para tirar 
dúvidas ou trocar informações e experiências.
 E por fim, estarei sempre aberto para qualquer tipo de comentários, sugestões ou críticas. 
Sua opinião é muito importante e sempre bem-vinda, pois só assim poderemos evoluir e crescer 
como pessoas e profissionais.
 Abraços,
 Prof. Rafael José Nogueira Rosa
Ementa
Orientações
Palavras-chave
Propriedades dos fluidos. Estática dos fluidos. Cinética dos escoamentos. Princípio da 
Quantidade de Movimento. Fluidos reais, escoamento de fluidos ideais e viscosos. 
Analise Dimensional e semelhança. Escoamento em Tubos.
Ver Plano de Estudos da disciplina, disponível no ambiente virtual.
Propriedade dos Fluidos. Estática dos Fluidos. Viscosidade.
Unidade I - Fluidos 12
1.1. Introdução 12
1.1.1. Conceitos 12
1.1.2. Definição de Fluido 12
1.2. Propriedade dos Fluidos 14
1.2.1. Massa Específica (ρ) 14
1.2.2. Peso Específico (γ) 15
1.2.3. Peso Específico Relativo (δ) 15
1.2.4. Fluido Incompressível 19
1.2.5. Lei de Newton da Viscosidade 19
Unidade II - Estática dos Fluidos, Pressão, Pressão Estática, Manômetros e Manométri-
ca 26
2.1. Estática dos Fluidos 26
2.1.1. Escala de Pressão 26
2.2. Teorema de Stevin 28
2.3. Teorema de Pascal 32
2.4. Medidores de Pressão 34
2.4.1. Barômetro 35
2.4.2. Manômetro Metálico 37
2.4.3. Piezômetro 39
2.4.4. Manômetro com Tubo U 40
2.4.5. Equação Manométrica 43
Unidade III - Empuxo, Princípio de Arquimedes e Corpos Submersos 47
3.1. Empuxo 47
3.1.1. Empuxo em Superfícies Planas 48
3.2. Princípio de Arquimedes 61
Objetivos da Unidade
Unidade I - FluidosI
 Ao final da Unidade I o aluno deverá ser capaz de saber definir 
o que é um Fluido, entender as propriedades que os diferenciam, e 
resolver problemas que envolvam a viscosidade dos Fluidos. 
12 
Unidade I - Fluidos
1.1. Introdução
 A Mecânica dos Fluidos é o ramo da Mecânica que estuda o comportamento dos Fluidos. 
Assim como na Mecânica dos Sólidos se verifica os esforços atuantes e as reações quando submeti-
dos a vários tipos de tensões e cargas, nos fluidos estes comportamentos também são observados, 
previstos e calculados. Esse ramo é muito abrangente e tange todas as áreas da engenharia: desde 
cálculos de projetos hidráulicos, tubulações de processos a até a área aeronáutica e naval com cál-
culos de Força de Arrasto, Corpos Flutuantes e Aerodinâmica.
1.1.1. Conceitos
 A mecânica dos fluidos pode se dividir em duas partes. Sendo a primeira chamada de Hi-
drostática: que é o estudo dos efeitos das forças quando o fluido se encontra em equilíbrio estático 
e a segunda conhecido como Hidrodinâmica: que é o momento que os fluidos estão sendo subme-
tidos a forças externas e não nulas. Para que possamos trabalhar a nossa disciplina será necessário 
o embasamento de alguns conceitos quanto a Conversão de Unidades de Medidas, Leis da Física e 
Termodinâmica. 
1.1.2. Definição de Fluido
 São considerados fluidos todos os elementos que se encontram na fase líquida e gasosa. A 
característica principal de um fluido é a capacidade de não se ter um formato definido, se modifi-
cando conforme o meio. Como exemplo, se pegarmos um copo cilíndrico com água verificaremos 
que ela toma a forma do copo. Se transbordarmos esse mesmo volume de água para um copo de 
geometria diferente a água tomará a forma do novo recipiente. Para os gases e vapores este mes-
mo fenômeno se aplica, porém a diferença que para os gases e vapores o volume não é constante. 
13
Abaixo, uma imagem que representa estes aspectos entre gases e líquidos.
Figura 1 - Aspectos entre gases e líquidos.
Fonte: Adaptado de BISTAFA, Sylvio R. por Design Unis EaD
 Outra característica dos fluidos é a incapacidade de se reagir a esforços pontuais quando em 
repouso. Para que se receba uma força de reação dos fluidos em repouso é necessário se utilizar 
um meio intermediário que distribua esta força em uma área de contato com a superfície do fluido. 
Conforme esquema abaixo, temos um recipiente com água em repouso. Quando imprimimos uma 
força pontual com o dedo indicador, o dedo irá passar pela superfície da água sem dificuldades. Po-
rém a partir do momento que colocamos uma chapa circular de madeira entre a superfície da água 
e a força pontual, verificaremos uma força de reação tendendo a equilibrar as forças.
Placa Sólida
Fonte: Adaptado de BISTAFA, Sylvio R. por Design Unis EaD
Figura 2 - Recipiente com água em repouso e recipiente com placa sólida
14 
 Essas características estão relacionadas ao arranjo das moléculas e espaçamentos entre elas. 
Vale lembrar que este conceito é válido para fluidos em repouso.
 Há, também, uma classe de materiais conhecidos como viscoelásticos, que se deformam de 
maneira elástica e viscosa ao mesmo tempo. Ou seja: quando um esforço cisalhante constante é 
aplicado sobre este tipo de material ocorre uma deformação parcialmente elástica, conforme seu 
módulo de rigidez. E a outra parcela da deformação, ocorre continuamente em todo o período em 
que o esforço é aplicado.
Um exemplo de materiais viscolelástico é o caso de alguns tecidos bio-
lógicos; como o fluido sinovial presente no joelho humano, que funciona 
como lubrificante dos joelhos e ao mesmo tempo absorve osimpactos.
1.2. Propriedade dos Fluidos
 Os fluidos têm algumas propriedades que influenciam e os diferem dos demais quanto ao 
seu comportamento e reação. Essas propriedades podem ser dependentes de sua composição, 
arranjo estrutural, e também influenciado pelo meio em que se está submetido. Nos fluidos estas 
moléculas estão bem espaçadas – em uma distância média denominada de Livre Percurso Médio. 
As partículas fluidas são um conjunto de moléculas que formam um volume. Para que o fluido possa 
ser classificado como uma partícula fluida ele deve formar um meio contínuo e homogêneo.
1.2.1. Massa Específica (ρ)
 A Massa Específica é a relação entre a massa de fluido contido em uma unidade de volume. 
Considerando o Sistema Internacional de unidades, seria a quantidade de massa em quilogramas 
do fluido contida em uma unidade de metro cúbico (kg/m³). Podemos, então, definir que a massa 
específica ρ é a razão da massa m do fluido pelo seu volume ∀, definido pela expressão:
15
𝜌𝜌 = 𝑚𝑚
∀
 Em temperatura ambiente a massa específica do ar é de 1,2 Kg/m³ , e a massa específica da 
água é de aproximadamente de 10³ Kg/m³. Lembrando que a massa específica pode variar conforme 
a composição química da água.
 As unidades usualmente utilizadas para representar a massa específica são:
1.2.2. Peso Específico (γ)
 O peso específico está relacionado à ação da gravidade. De maneira sucinta é a massa espe-
cífica vezes a gravidade. Também podemos considerar como sendo a quantidade de peso contido 
em uma unidade de volume (N/m³). O peso específico do fluído γ é a massa específica multiplicada 
pela gravidade g. Onde temos:
𝛾 = 𝜌𝜌.𝑔
 As unidades, usualmente, utilizadas para representar o peso específico são:
 Para água se adota, por convenção, o peso específico de 10.000 N/m³.
1.2.3. Peso Específico Relativo (δ)
 O Peso específico relativo, também conhecido como densidade relativa, é a relação entre 
o peso específico do fluido em questão dividido pelo peso específico de um fluido padrão. Sendo 
16 
esse fluido padrão independente de definição. Porém, normalmente, e quando não especificado, 
consideramos a água como fluido padrão.
𝜹 = 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜
𝜌𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜
Para o cálculo de densidade relativa pode se utilizar tanto os valores de 
Peso Específico quanto os de Massa Específica. Desde que na expressão 
se utilize as mesmas propriedades respectivamente.
Abaixo segue uma tabela com alguns fluidos e suas respectivas proprieda-
des em temperatura ambiente. É importante observar que a temperatura 
e composição influenciam nestes valores. 
Tabela 1 - Massa específica, peso específico e densidade relativa
Fonte: O próprio autor
17
 Um líquido pesa 24,5 N em um local onde a aceleração da gravi-
dade é, aproximadamente, 10 m/s². Determine a massa m desse líquido. 
Se ele ocupa um volume 150 ml, determine o seu peso específico e 
massa específica.
Resolução:
Primeiramente, para melhor entendimento do problema, vamos anotar os dados passados 
no enunciado e converter as unidades para trabalharmos com as unidades de medidas iguais:
Dados:
Peso: 24,5 N
Gravidade: 10 m/s²
Volume: 150 ml
O volume é dado em mililitros, transformaremos para metros cúbicos (m³):
Sabendo que 150 ml equivale a 0,15 litros e que 1000 litros equivalem a 1 m³, temos que 
150 ml são equivalentes a 0,00015 m³.
Dados:
Peso: 24,5 N
Gravidade: 10 m/s²
Volume: 0,00015 m³
Após transformarmos todas as unidades de medidas, iniciaremos a interpretação do exercí-
cio. Onde podemos encontrar a massa do liquido através do seu peso P, que é de 24,5 N, a 
18 
uma aceleração da gravidade g de 10 m/s². Então temos:
Atualizando os dados, temos:
Peso: 24,5 N
Gravidade: 10 m/s²
Volume: 0,00015 m³
Massa: 2,45 Kg
Com estes dados podemos iniciar o cálculo da massa específica ρ:
Sabendo que a massa específica do liquido é de 16333,33 Kg/m³, podemos determinar seu 
peso específico γ:
Para o cálculo do volume específico υ:
19
1.2.4. Fluido Incompressível
 Todos os fluidos são compressíveis, porém alguns são mais do que outros. Compressibili-
dade é a alteração de densidade do fluido quando submetido a pressão, essa alteração se dá no 
volume que se altera mantendo a massa constante. Se verificarmos a expressão da massa específica, 
observaremos que o volume é inversamente proporcional a massa específica. De forma ilustrativa, 
podemos imaginar uma seringa contendo ar atmosférico. A saída da seringa é obstruída e uma força 
é aplicada no êmbolo, resultando em uma pressão no fluido contido no interior da seringa. O volu-
me de ar contido no interior da seringa reduzirá, no entanto não haverá alteração de massa. Nessa 
situação podemos afirmar que a massa específica do ar atmosférico aumentou e que portanto ele 
é compressível. Por outro lado, se substituirmos ar atmosférico por óleo e realizarmos o mesmo 
experimento, perceberemos que não haverá alteração de volume e consequentemente a massa 
específica será constante. Poderemos então dizer que o óleo é um fluido incompressível.
Aproveite para assistir este vídeo da professora Thaís simulando o exem-
plo descrito sobre a seringa.
https://www.youtube.com/watch?v=JugA7VS1Mak
1.2.5. Lei de Newton da Viscosidade
 Outra característica que diferem os fluidos é a de se deformarem quando sujeitos a tensões 
de cisalhamento. Os fluidos, para formar um meio homogêneo, são compostos de partículas fluidas 
que se arranjam em camadas conhecidas como lâminas fluidas. Quando um fluido em repouso rece-
be uma tensão de cisalhamento as partículas fluidas tendem a rolar umas sobre as outras. Durante 
esta deformação as partículas exercem uma força contrária à tensão de cisalhamento tendendo a 
equilibrar as forças. Esta força contrária é conhecida como Tensão Viscosa. Podemos assimilar a 
Tensão Viscosa ao módulo de elastilidade dos sólidos. Assim como temos sólidos mais ou menos 
20 
elásticos, teremos fluidos com graus diferentes de viscosidade – que é a resistência ao fluido em se 
deformar.
 O esquema abaixo mostra uma camada de fluido estático recebendo uma tensão de cisa-
lhamento por intermédio de uma placa que se desloca deformando o fluido. A tensão e o desloca-
mento da placa são constantes.
Figura 3 - Viscosidade
Fonte: BISTAFA, Sylvio R. 
 Conforme verificamos no esquema ilustrado, as lâminas fluidas em contato com a placa mó-
vel tomam velocidade similar à da placa. Enquanto que a partículas em contato com a superfície fixa 
estão com velocidade nula. Em regime de deformação laminar, esta velocidade decai linearmente 
conforme a distância das lâminas fluidas se afasta da superfície móvel. Entretanto, a tensão viscosa se 
mantém a mesma ao longo de toda camada de fluido. A tensão de cisalhamento e a tensão viscosa 
são iguais. A altura da camada de fluido, a viscosidade e a velocidade de deformação do fluido irão 
influenciar na tensão viscosa. Abaixo, a lei de Newton da viscosidade expressa o cálculo da tensão 
viscosa.
21
Este movimento da placa constante é resultado da segunda lei de New-
ton, que é o princípio da dinâmica:
“A força é sempre diretamente proporcional ao produto da aceleração 
de um corpo pela sua massa”.
 Todos os fluidos que têm o coeficiente de viscosidade dinâmica constante são conhecidos 
como Fluidos Newtonianos. Como exemplo: água, ar, gasolina e a maioria dos gases. 
 Quanto aos fluidos não newtonianos, podemos citar: tintas, soluções poliméricas, sangue, 
cimento e argila.
 A viscosidade dinâmica, praticamente, independe dapressão; porém é dependente da tem-
peratura. Essa dependência provoca reações diferentes entre os líquidos e os gases: nos líquidos a 
temperatura interfere nas forças de atração das moléculas, o que reduz a viscosidade. Enquanto que 
nos gases o aumento de temperatura aumenta o movimento das moléculas e consequentemente 
os choques entre elas, aumentando a viscosidade.
 A viscosidade dinâmica é dada pela seguinte unidade de medida:
 Em temperatura ambiente a Viscosidade Dinâmica da água é de 10−3 𝑁𝑁
𝑚𝑚² . 𝑠𝑠 e a do ar1,8 𝑥𝑥 10−5 𝑁𝑁
𝑚𝑚² . 𝑠𝑠. 
 A Viscosidade Cinemática υ é a razão entre a Viscosidade Dinâmica e a Massa Específica do 
fluido. Definida por:
𝜐𝜐 = 𝜇𝜇
𝜌𝜌
 
 A Viscosidade Cinemática é dada pela seguinte unidade de medida:
𝜐𝜐 = 𝑚𝑚²
𝑠𝑠
 
 Em temperatura ambiente, a viscosidade cinemática da água é de 10−6 𝑚𝑚²
𝑠𝑠
 e a do ar1,5 𝑥𝑥 10−5 𝑚𝑚²
𝑠𝑠
. 
22 
 Para a Viscosidade Cinemática a unidade de medida poderá ser 
apresentada em Stokes. Essa unidade tem seu nome proveniente de Ge-
orge Gabriel Stokes, um físico irlandês que promoveu grandes contribui-
ções para a Dinâmica dos Fluidos. Em 1851 Stokes publicou sua Lei de 
Viscosidade (Lei de Stokes), que descreve a velocidade de uma pequena esfera através de 
um fluido viscoso.
Acesse ao link para saber mais das contribuições de Stokes:
https://www.engquimicasantossp.com.br/2013/11/george-gabriel-stokes.
html
[BISTAFA, pag. 13] Uma correia com largura de 60 cm se move como 
mostra a figura. Calcule a potência (HP) necessária para acionar a correia 
na água. 
Dados: 
23
 Podemos analisar que existe uma camada de água com espessura de 2 mm que está 
em contato com a correia movida pelas polias que por sua vez giram a 10 m/s. 
 Pelo esquema da figura nota-se que o movimento da correia gera um esforço sobre 
a água no sentido de rotação, e a água reage imprimindo uma força contrária – o que conhe-
cemos como tensão viscosa. Essa tensão viscosa seria como se fosse a força de “atrito” do 
fluido. Para sabermos qual a potência necessária para vencer a viscosidade dinâmica iniciamos 
com o cálculo da área de contato da correia na água com a seguinte expressão:
 Aproveitando a dedução da fórmula do exemplo passado, temos:
 Porém a informação necessária é a da força, então isolamos a variável conforme abai-
xo:
 Substituindo todas as informações na fórmula:
 Sabendo que 1 Watt equivale a 1 Joule por segundo, e que 1 Joule é o trabalho ge-
rado pela força de 1 Newton para deslocar 1 metro na direção desta força, temos: 1 𝑊𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚 = 1 𝑁.𝑚
𝑠
.
24 
 Levando em consideração que a fórmula da potência mecânica é o produto da força 
pela velocidade, teremos:
 Conforme informado no enunciado, 1 HP equivale a 746 Watts. Então, a potência em 
HP é:
 A potência necessária para acionar a correia é de 0,210 HP.
Assista o vídeo da resolução do seguinte problema: Um eixo com diâme-
tro de 18 mm gira a 20 rotações por segundo dentro de um mancal de 
sustentação estacionário de 60 mm de comprimento, conforme indica a 
figura. Uma película de óleo de 0,2 mm preenche a folga anular entre o 
eixo e o mancal. (O torque necessário para girar o eixo é de 0,0036 N.m..)
a) Estime a viscosidade dinâmica do óleo que se encontra na folga.
b) Suponha um perfil de velocidades linear no óleo que preencha a folga. 
https://www.youtube.com/watch?v=uT8NpOyV2dA&t=144s
Objetivos da Unidade
Unidade II - Estática dos 
fluidos, Pressão, Pressão 
Estática, Manômetros e 
ManométricaII
 Ao final da Unidade II o aluno deverá ser capaz de entender o 
princípio da Estática dos Fluidos, interpretar manômetros, e solucionar 
problemas de Pressão Estática.
26 
Unidade II - Estática dos Fluidos, Pressão, Pressão Estática, Manômetros e Manomé-
trica
2.1. Estática dos Fluidos
 Conhecer os fluidos em repouso e suas características nos auxiliará a desenvolver e entender 
instrumentos para medir pressões em ambientes, reservatórios e tubulações; deduzir propriedades 
da atmosfera, calcular as forças sobre objetos submersos, e também para desenvolver sistemas hi-
dráulicos para aplicações industriais.
 Para o fluido homogêneo em repouso a partícula em movimento preserva suas caracterís-
ticas por todo o tempo e seus elementos não se deformam. Desta forma podemos empregar a 
Segunda Lei de Newton do movimento para entender as forças atuantes nas partículas fluidas.
 Conhecer os fluidos em repouso e suas características nos auxiliará 
a desenvolver e entender instrumento para medir pressões em ambientes, 
reservatórios e tubulações, deduzir propriedades da atmosfera, calcular 
as forças sobre objetos submersos e também para desenvolver sistemas 
hidráulicos para aplicações industriais.
2.1.1. Escala de Pressão
 Existem dois tipos de escala de pressão: a Pressão Absoluta e a Relativa. É muito importante 
se conhecer, saber interpretar e, principalmente, aplicar corretamente as escalas de pressão. Na 
maioria das aplicações de mecânica dos fluidos trabalharemos com a escala relativa de pressão. 
 Pressão Absoluta é a pressão considerada como pressão de referência ao vácuo absoluto. 
Sendo a ausência de matéria este vácuo. Informalmente, se emprega o termo vácuo para se referir 
a depressões. Essas depressões são ocasiões onde existe uma pressão inferior à pressão atmosférica 
local, porém ainda existe pressão e não se caracteriza vácuo. Não é possível gerar vácuo absoluto 
27
por meios artificiais; algumas máquinas têm apenas a capacidade de se aproximar à pressão zero. A 
escala absoluta é aplicada na medição de pressões atmosféricas.
 A pressão relativa é referenciada pela pressão atmosférica local. Na escala de pressão rela-
tiva se objetiva a verificação da pressão de sistemas hidráulicos e de armazenagem de fluidos. Um 
exemplo de instrumento de medida que trabalha com medida de pressão na escala relativa são os 
manômetros. 
 Abaixo, teremos uma figura que representa as associações entre pressão relativa e pressão 
absoluta; onde, na parte inferior da figura, corresponde ao vácuo absoluto. As setas representadas 
na figura orientam quanto aos valores das pressões. Observe, também, que existe a representação 
de pressão absoluta e relativa em dois reservatórios.
Vácuo absoluto
Pressão no 
reservatório 2
Pressão no 
reservatório 1
Patm.local
Pabs1
Prel1
Prel2
Pabs2
Associação de níveis a pressões para definição de pressão absoluta e pressão efetiva
Fonte: Adaptado de BISTAFA, Sylvio R. por Design Unis EaD
Figura 4 - Pressão relativa e absoluta
28 
 Percebemos que a pressão absoluta é maior que zero para os dois reservatórios; enquanto 
a pressão relativa no reservatório 1 é maior que zero, no reservatório 2 é menor que zero.
 Desta forma, podemos considerar que a pressão absoluta será sempre maior ou igual a zero; 
enquanto que a pressão relativa poderá ser maior, menor ou igual a zero. Isso acontece porque a 
pressão relativa é dada em função da pressão atmosférica local. Com isso, pode-se obter pressões 
relativas negativas enquanto a pressão absoluta é obtida em função do vácuo absoluto. Sabendo que 
o vácuo absoluto é a ausência total da matéria, ou seja, onde a pressão é zero, não há a possibilidade 
de encontrarmos a pressão absoluta com valor negativo.
 Analisando a figura, podemos afirmar que a correlação entre a pressão absoluta, a pressão 
relativa e a pressão atmosférica pode ser dada pela expressão:
Pabs = Patm.local+ Prel
 Consideraremos as seguintes abreviações:
• Pressão absoluta: Pabs;
• Pressão relativa: Prel;
• Pressão atmosférica local: Patm.local
2.2. Teorema de Stevin
 Todos os estudos que envolvem fluidos em repouso terão como referência este teorema 
que é a Lei Fundamental da Estática dos fluidos. A Lei de Stevin, ou Teorema de Stevin, determina 
que a pressão exercida por um fluido em repouso é proporcional à altura da coluna de fluido; tendo 
como constante proporcional o peso específico do fluido. Esta lei é válida para fluidos com peso 
específico constante. Para que possamos entender melhor o conceito da Lei de Stevin, analise a 
imagem abaixo de um recipiente. Nela mostra o aumento da pressão conforme a profundidade, de 
forma proporcional ao peso específico do fluido.
29
Fonte: Adaptado de BISTAFA, Sylvio R. por Design Unis EaD
Figura 5 - Conceito Lei de Stevin
 Podemos observar que a superfície livre é submetida à pressão atmosférica, indicado por 
Patm. Então, além do aumento de pressão existente devido ao peso específico do fluido, também 
teremos a pressão atmosférica local contribuindo para este aumento. Observe que a pressão no 
ponto A, à profundidade h, é dada pela seguinte expressão:
PA= Patm + γ.h
 
 Onde γ é o peso específico do fluido e h a profundidade no ponto A.
 Quando o fluido está em contato com a pressão atmosférica de-
vemos adicionar a pressão atmosférica atuante na superfície do fluido.
30 
 Podemos realizar mais uma intepretação sobre as informações contidas na Lei de Stevin. 
Entende-se que, no sentido horizontal da profundidade do fluido, a pressão não se altera.
 Consideremos o ponto B, na figura abaixo, à mesma profundidade do ponto A. Apesar dos 
pontos se encontrarem em posições diferentes a profundidade é a mesma. Logo, teremos que a 
pressão no ponto A é igual ao ponto B.
Fonte: Adaptado de BISTAFA, Sylvio R. por Design Unis EaD
Figura 6 - Conceito de pressão à mesma profundidade
PB = Patm + yh
AB
 Para todos os fluidos que possuírem velocidade nula aplicaremos 
a Lei da Estática dos fluidos. Logo, podemos considerar que todo o fluido 
que se se encontra em repouso terá sua viscosidade dinâmica também 
nula.
 Sendo que:
𝜏𝜏𝑣𝑣 = 𝜇𝜇 𝑉𝑉0𝜀𝜀 
 Considerando a velocidade igual a zero, teremos que:
𝜏𝜏𝑣𝑣 = 𝜇𝜇 0𝜀𝜀 
 Portanto, a viscosidade dinâmica e também a tensão viscosa serão iguais a zero, ou 
seja, nulas.
31
 Para o cálculo de pressão atmosférica a Lei de Stevin também é aplicável, visto que o ar 
atmosférico é um fluido. No entanto o ar atmosférico é compressível e seu peso específico não é 
constante. Por convenção, no cálculo de pressão atmosférica se considera o ar atmosférico com 
peso específico constante de 11,77 N/m³. Aplicando os conceitos de Stevin e sabendo que a pres-
são atmosférica ao nível do mar é de 101.325 N/m², poderemos determinar a pressão atmosférica 
local simplesmente com a informação da altitude local.
 A pressão exercida por um fluido em repouso não depende do 
volume, mas sim da altura de coluna do fluido. Portanto, a pressão será a 
mesma ao longo de todo plano horizontal desde que a altura seja a mes-
ma.
 Se considerarmos a Lei de Stevin para calcular a mesma pressão atmosférica em um ponto 
com altitude de 3.000 metros na qual o peso específico do ar atmosférico é igual a 11,77 N/m³ e a 
pressão atmosférica ao nível do mar na altitude zero igual a 101.325 N/m²...
 ...Teremos que:
PA = Patm + γ.h
 Onde h é a altitude que se deseja calcular.
 Substituindo os valores:
PA = 101.325 + (11,77 x 3.000)
 O valor aproximado da pressão atmosférica à 3.000 metros de altitude, utilizando a Lei de 
Stevin, é igual a 66.015 N/m².
32 
 Considere que um mergulhador atinja uma profundidade de mer-
gulho de 200 m. Sabendo que o mergulho está sendo realizado ao nível 
do mar, onde a pressão atmosférica local é de 101.325 N/m² e que o 
peso específico da água do mar é de 10.250 N/m³. Calcule qual a pressão 
atuante sobre este mergulhador.
RESOLUÇÃO
 Para encontrar a pressão atuante sobre o mergulhador à 200 metros de profundi-
dade aplicaremos a Lei de Stevin:
 
p = Patm+ γ.h
 Aplicando os valores à fórmula teremos:
p = 101325 N/m² + (10.250 N/m³ . 200 m)
 Logo:
𝑝𝑝 = 2.151.325 𝑁𝑁
𝑚𝑚2 
2.3. Teorema de Pascal
 O Teorema de Pascal se baseia no conceito de que a pressão recebida em uma partícula 
fluida em repouso é transmitida integralmente para toda a extensão do fluido. Sendo a pressão a 
relação entre a força sobre área, poderemos criar sistemas de amplificação de forças simplesmente 
alternando as áreas do fluido. Como um exemplo clássico temos o elevador hidráulico.
33
Utilizaremos a Lei de Stevin para comprovar a afirmação acima citada; onde consideraremos que 
sobre a superfície livre de um fluido em repouso haverá uma variação na pressão atmosférica local. 
Para encontrarmos a pressão em determinado ponto devemos somar a pressão atmosférica atuante 
ao produto do peso específico e também à profundidade do fluido. No plano horizontal, no entanto, 
a pressão continua a mesma. Se considerarmos a Lei de Stevin:
p = Patm+ γ.h
 E na pressão atmosférica, considerando que há uma variação na pressão reinante na super-
fície do fluido, teremos que:
p = (Patm+ ∆Patm)+ γ.h
 Consideraremos que o valor de h é arbitrado e a variação da pressão ∆Patm é igual para 
todos os pontos no fluido. 
 A aplicação da Lei de Pascal é muito utilizada quando se necessita amplificar uma força atra-
vés de sistemas que utilizam fluidos. Utilizaremos como exemplo a prensa hidráulica na qual se é 
aplicada uma força em um pistão de área menor e esta força é amplificada e transmitida para outro 
ponto.
 Como esquematizado na figura abaixo, temos um pistão de área S1, onde é aplicado uma 
força chamada de F1. Considerando a Lei de Stevin, teremos que a pressão no pistão menor será a 
mesma que no pistão maior.
Fonte: Adaptado de BISTAFA, Sylvio R. por Design Unis EaD
Figura 7 - Prensa hidráulica 
F1 = pS1 F2 = pS2 = F1S2/S1
Esquema de prensa hidráulica
34 
 Então:
P1= P2
 Sabendo que pressão é o resultado de uma força aplicada sobre uma área teremos que a 
pressão no ponto 1 será:
𝑃𝑃1 = 𝐹𝐹1𝑆𝑆1 
 E a pressão no ponto 2 será:
𝑃𝑃2 = 𝐹𝐹2𝑆𝑆2 
 Como pressão, segundo a Lei de Stevin se mantém, teremos que:
𝐹𝐹1
𝑆𝑆1 = 𝐹𝐹2𝑆𝑆2 
 Logo, para sabermos qual a força resultante no pistão maior utilizaremos a seguinte expres-
são:
 
𝐹𝐹2 = 𝐹𝐹1. 𝑆𝑆2𝑆𝑆1 
 Constatamos que a amplificação de F1 é F2. E que a proporção pela qual esta força será au-
mentada está diretamente ligada à diferença das áreas entre S1 e S2.
 É mais nítida esta constatação quando o se trata de um fluido incompressível. Durante o 
deslocamento dos pistões haverá a conservação do volume do fluido, e como consequência a con-
servação do trabalho. 
2.4. Medidores de Pressão
 Na categoria de medidores de pressão temos os barômetros, que medem a pressão atmos-
férica, e os manômetros – equipamentos que, baseados nas leis de Hidrostática, auxiliam na leitura 
da pressão de fluidos e gases.
35
 Existem três tipos diferentes de manômetros: de tubos, de tubos com líquidos ou metálicos. 
Um exemplo é o efigmomanômetro, utilizado para medir pressão arterial.
2.4.1. Barômetro
 É o equipamento de medição utilizado para medir a pressão atmosférica. O barômetro 
opera em escala de pressão absoluta e seu primeiro modelo criado foi o Barômetro de Torricelli, 
que tem como princípio básico um tubode vidro com 1 metro de comprimento preenchido com 
mercúrio e um recipiente também contendo mercúrio.
 O experimento realizado por Torricelli foi preencher o tubo de vidro totalmente com mer-
cúrio (133323 N/m³) que ao ser virado com sua abertura para baixo no recipiente preenchido com 
mercúrio se estabilizava e a coluna de 1 metro se reduzia a 0,76 metros de altura. Considerando que 
o espaço livre no topo do tubo seja vapor de mercúrio com peso específico desprezível se pode 
calcular a pressão atmosférica reinante no local.
Fonte: BISTAFA, Sylvio R.
Figura 8 - Experimento de Torricelli
36 
 Quando observado que o ponto A pertence ao plano da superfí-
cie livre do mercúrio no recipiente, é necessário realizar a aplicação da Lei 
de Stevin duas vezes para determinar a pressão atmosférica local.
 Na primeira análise, é verificado qual a pressão existente no ponto 
A em relação a coluna de mercúrio formada no tubo. Onde se considera que na parte vazia, 
que corresponde a parte superior do tubo, exista vácuo perfeito. Na verdade, o que existe 
nesta área é o vapor de mercúrio. Porém, em temperatura ambiente, a pressão do vapor de 
mercúrio que se formou na parte superior do tubo é praticamente zero, logo, é desprezível.
 Logo, teremos que a pressão em A em relação a coluna de mercúrio é:
pA= hHg . γHg
 Em seguida verificaremos qual a pressão atuante da atmosfera sobre a superfície livre 
do mercúrio no recipiente. Neste ponto conseguimos verificar claramente que o ponto A se 
encontra no mesmo plano horizontal que a superfície livre do fluido. Como na superfície livre 
do recipiente é a pressão atmosférica reinante, teremos que:
Pa = Patm.local
 Realizando as devidas substituições teremos:
Patm.local = hHg . γHg
 Desta forma, podemos definir como atmosfera normal ou pressão atmosférica ao 
nível do mar para a coluna de mercúrio equivalente à medida de h_n=0,760 m, submetido à 
gravidade normal de 9,80665 m/s². E sendo o mercúrio puro, apresentando massa específica 
de 13.592 Kg/m² e peso específico de 133.323 N/m³,
 Teremos:
Patm.local = 0,760 m . 133323 N/m³
Patm.local = 101325 N/m²
 Desta forma, temos que a atmosfera padrão, ao nível do mar é:
1 atm =133.323 x 0,76 = 101.325 N/m²
37
 A unidade de atm refere-se à pressão atmosférica padrão, porém essa unidade não perten-
ce ao SI (Sistema Internacional de Unidade), sendo desaconselhável a utilização dessa simbologia. 
Entretanto, ainda encontraremos em nosso dia a dia essa unidade de medida. Há também em utili-
zação outras unidades que não pertencem ao sistema internacional, como podemos citar: bar, Kgf/
cm², psi (pound-per-square-inch), mca (metro de coluna-d’água) e mmHg.
 Essas unidades supracitadas equivalem a:
2.4.2. Manômetro Metálico
 Patenteado originalmente na França em 1849 por Eugène Bourdon, é o manômetro mais 
utilizado na prática. Com funcionamento bem diferente dos manômetros de tubo, o manômetro 
metálico realiza a medição da pressão relativa de maneira indireta. 
 Seu funcionamento consiste, basicamente, em tubo de latão curvado aberto em uma ex-
tremidade e fechado em outra que se deformar quanto conectado a um sistema de pressão. Esta 
deformação atuante no tubo de latão tende a endireitar o tubo. Um sistema de engrenagem-pinhão, 
conectado à extremidade fechada do tubo transmite o movimento ao ponteiro que desloca a uma 
escala.
Fonte: BISTAFA, Sylvio R.
Figura 9 - Manômetro metálico ou de Bourdon
38 
 Assista ao filme de como são produzidos os manômetros metáli-
cos, acesse o link: 
https://www.youtube.com/watch?v=n7kIIEke5D0
Como são feitos manômetros Bourdon
 Quando não instalados, os manômetros metálicos indicam a pressão igual a zero. Desta 
forma, podemos considerar que as leituras em manômetros metálicos serão sempre relativas. Só há 
marcação de leitura no visor do manômetro quando a pressão é diferente da pressão atmosférica 
local.
 Logo, teremos que a pressão indicada no manômetro Pindicada será:
Pindicada = Ptomada - Pambiente
 Considerando a Pambiente como a pressão no ambiente que o manômetro se encontra e Ptomada 
a pressão na tomada de pressão, temos:
Patm.local = Pambiente
 O que significa
Pindicada = Prelativa
 O manômetro de Bourdon é mais utilizado do que os manôme-
tros de tubo e de tubo com líquidos. Apenas uma observação que deve 
ser feita. Isso é referente à deformação permanente do tubo de latão.
 Caso o manômetro metálico seja submetido à pressões superio-
res à sua escala máxima o tubo de latão pode sofrer deformação plástica, condenando o ins-
trumento. Por isso é importante observar as especificações de cada manômetro e aplicá-los 
conforme as escalas de pressões correspondentes, a fim de não comprometer as leituras e a 
integridade do instrumento.
39
2.4.3. Piezômetro
 O piezômetro é o manômetro mais simples. Ele é constituído, basicamente, de um tubo de 
vidro ou de plástico translucido. O piezômetro é acoplado diretamente ao reservatório onde se 
deseja medir a pressão do liquído.
Fonte: Adaptado de BISTAFA, Sylvio R. por Design Unis EaD
Figura 10 - Piezômetro
γ
A
h
Patm.local
Reservatório com líquido de
peso específico γ
 Como se pode verificar na imagem, o liquido de peso específico γ quando colocado no 
reservatório que se deseja realizar a medição de pressão é empurrado pela pressão reinante do 
reservatório, formando uma superfície livre no bocal do tubo. 
 Se aplicarmos a equação diretamente teremos que a pressão relativa no ponto A é:
PA = γ.h 
 O piezômetro é o instrumento mais simples para verificação da pressão em um reservatório. 
Porém, devido a sua simplicidade, podemos observar algumas limitações e desvantagens:
• Não é possível a medições de pressões negativas, pois a pressão atmosférica local penetrará 
no reservatório. O que chamamos de vácuo parcial.
40 
• Para pressões muito elevadas tanto a altura h quanto as dimensões do tubo terão de ser 
proporcionais. Tornando inviável sua aplicação.
• Não é aplicável na medição de gases devido às suas propriedades – ele irão escapar do re-
servatório pela abertura do tubo.
2.4.4. Manômetro com Tubo U
 O manômetro de tubo em U foi desenvolvido para compensar as limitações do piezômetro. 
Seu funcionamento segue a mesma premissa do piezômetro. Porém, em vez de se utilizar um tubo 
reto, se utiliza tubo com formato de “U”. 
 Como poderemos avaliar na figura a seguir, o liquido a ser verificado pelo manômetro de 
tubo U forma uma coluna abaixo do plano horizontal que passa pelo ponta A. Sendo o ponto A o 
ponto onde se deseja verificar a pressão manométrica.
Fonte: Adaptado de BISTAFA, Sylvio R. por Design Unis EaD
Figura 11 - Manômetro de tubo U
Reservatório com líquido
de peso específico γ
γ
A
B
C
h
 Observamos que o ponto B está no mesmo plano horizontal do ponto o qual queremos 
medir a pressão. Levando em consideração a Lei de Stevin, podemos afirmar que:
pA= pB
Patm.local
41
 Porém, a coluna formada por h no bocal do tubo intercepta o mesmo plano horizontal do 
ponto C. Desta forma, concluímos que a pressão em C é:
pC= pB+ γ.h
 Como o ponto B tem a mesma pressão que o ponto A, também teremos que:
p
C = pB+ γ . h = pA+ γ.h
 Acontece que a pressão no ponto C será a mesma que a pressão atmosférica local, já que C 
está no mesmo plano horizontal que a coluna do liquido. Como estamos trabalhando com a pressão 
relativa, devemos desconsiderar a pressão atmosférica local, ou seja, a pressão no ponto C é nula.
 Aplicando esta afirmação na expressão,teremos que:
pA = - γ.h
 Podemos então concluir que os manômetros de tubo em U possibilitam a verificação da 
pressão relativa do fluido quando negativas. Porém algumas limitações ainda permanecem: 
• Para pressões muito elevadas tanto a altura h quanto as dimensões do tubo terão de ser 
proporcionais. Tornando inviável sua aplicação.
• Não é aplicável na medição de gases devido às suas propriedades – ele irão escapar do re-
servatório pela abertura do tubo.
 Com o intuito de se resolver as limitações levantadas anteriormente foi adicionado ao ma-
nômetro de tubo U um liquido que impossibilitou a fuga de gases pelo bocal do tubo.
42 
Fonte: Adaptado de BISTAFA, Sylvio R. por Design Unis EaD
Figura 12 - Manômetro de tubo U com liquido manométrico 
Reservatório com líquido
de peso específico γ
γ
A
B
C h2
h1
C D
Líquido manométrico de
peso específico γLM
Patm.local
 Com princípio semelhante ao do tubo em U, temos que a pressão do fluido no ponto A é 
a mesma que a pressão em B. Porém, nesta imagem, percebemos que a coluna com o liquido ma-
nométrico que está em contato com a atmosfera está em um ponto elevado em relação a pressão 
no ponto A.
 Para verificação da pressão no ponto A primeiro precisaremos determinar qual a pressão no 
liquido manométrico em D. Pois, conforme vimos no manômetro de tubo em U:
pC= pB+ γ.h2 = pA+ γ.h2
 A diferença neste caso é que não poderemos zerar a pressão em C, pois existe a presença 
do liquido manométrico. Portanto, para determinarmos qual a pressão no ponto C teremos que 
determinar a pressão em D.
 Consideraremos então que a pressão em D é: 
pD = γLM . h1
43
 Sendo a pressão em C igual a pressão no ponto D e utilizando a expressão anterior para 
determinar a pressão em A, resultaremos na seguinte expressão:
pA = γLM . h1- γ . h2
 Analisando a expressão acima podemos observar que quanto maior o peso específico liqui-
do manométrico γLM , menor será a altura da coluna de h1 . Por esse motivo, na medição de pressões 
em líquidos é utilizado o mercúrio e na medição de gases se utiliza a água como liquido manométri-
co.
 Não foram levadas em consideração a variação da pressão atmos-
férica nos manômetros apresentados até este momento devido a diferen-
ça de altitudes. As diferenças de pressão obtidas são tão pequenas que 
não justificam o trabalho de cálculo.
2.4.5. Equação Manométrica
 A equação manométrica se dá quando dois ou mais reservatório estão interligados por ma-
nômetros.
44 
 Encontre a pressão na tubulação de água da figura. 
Dados γágua = 9.810 N/m³, 
γmercúrio = 13,6 x γágua
RESOLUÇÃO
 Podemos observar que se trata de um manômetro contendo quatro fluidos com 
pesos específicos diferentes.
 Iniciaremos a verificação da pressão na parte onde o mercúrio está em contato com 
a pressão atmosférica.
 Podemos dizer que:
p4 = patm.local
 Enquanto no ponto 3, podemos dizer que equivale a:
p3 = p4 + (γHg . d4)
 Para a pressão no ponto 2 teremos então que:
p2 = p3 + (γH2O x 0,8 . d3)
45
 No ponto 1 a pressão se dá pela expressão:
p1 = p2 - (γH2O x 1,59 . d2)
 E, por fim, a pressão na tubulação será de:
p = p
1 - (γH2O . d1)
 
 Substituindo os valores termos que as pressões em cada ponto serão:
p4 = patm.local ∴ p4 = 101.325 N/m² 
p3 = p4 + (γHg . d4 ) ∴ p3 = 101325 + (9810 x 0,05) = 101.815,5 N/m²
p2 = p3 + (γH2O x 0,8 . d3 ) ∴ p2 = 101.815,5 + (9810 x 0,8 . 0,1) =109.663,6 N/m² 
p1 = p2 - (γH2O x 1,59 . d2 ) 
p1 = 109.663,6 - (9810 x 1,59 . 0,07) = 108.571,75 N/m²
 
 Temos que a pressão é:
p = p1 - (γH2O . d1 ) ∴ p = 108.571,75 - (9810 . 0,05) = 107198,2 N/m² 
 Para cálculo da pressão relativa devemos desconsiderar a pressão atmosférica. Então 
teremos que a pressão na tubulação será:
p = p - patmosférica = 107198,2 - 101325 = 5873,247 N/m²
Objetivos da Unidade
Unidade III - Empuxo, 
Princípio de Arquimedes 
e Corpos SubmersosIII
 Ao final da unidade III o aluno deverá ser capaz de calcular 
empuxo em superfícies planas e inclinadas e verificar a ação do 
fluido em repouso em corpos submersos.
47
Unidade III - Empuxo, Princípio de Arquimedes e Corpos Submersos
3.1. Empuxo
 A força que o fluido exerce sobre um corpo submerso é conhecida como empuxo. O em-
puxo é calculado para dimensionamento de barragens, comportas e é um dos princípios do estudo 
de corpos flutuantes. Se relacionarmos a Lei de Stevin com o princípio de Pascal teremos respecti-
vamente:
P = γ.h e P= F/A
 Levando em consideração a força do Teorema de Pascal o empuxo exercido e pensando a 
pressão como as pressões exercidas sobre o corpo sendo traduzidos através da Lei de Stevin tere-
mos:
γ.h =E/A
 Logo, teremos que o empuxo é:
E = γ.h.A
 Para encontrar o empuxo atuante do fluido em um corpo submerso será necessário saber-
mos o peso específico do fluido, a altura da coluna de fluido e a área do corpo que está em contato 
com fluido.
O empuxo é uma força atuante no centro de gravidade do corpo sub-
merso.
48 
 Realizando mais alguns ajustes na expressão teremos que a altura (h) se tornará (hg), que é 
a altura da superfície do fluido até o centro de gravidade do corpo. 
E = γ . hg . A
3.1.1. Empuxo em Superfícies Planas
 Em superfícies planas a distribuição do empuxo pode ocorrer uniformemente para superfí-
cies horizontais. Confira esquema:
 Porém em superfícies inclinadas essa distribuição de pressões sofre alteração. A ação das 
pressões toma uma configuração trapezoidal, como indicado na figura abaixo:
Fonte: Adaptado de BISTAFA, Sylvio R. por Design Unis EaD
Figura 13 - Manômetro de tubo U com liquido manométrico 
Patm
Patm
γ
G
hE = γhS
Placa plana submersa horizontalmente
p = γh
S
49
Fonte: Adaptado de BISTAFA, Sylvio R. por Design Unis EaD
Figura 14 - Empuxo em superfícies inclinadas
 Para a configuração mostrada o módulo do empuxo é obtido através da seguinte integral:
�𝑝𝑝.𝑑𝑑𝑆𝑆
𝑆𝑆
 
 Resultando em:
E= p.S
 Logo:
E = γ . h
G . S
 Sendo hG a profundidade do centro de gravidade da placa.
 Como a distribuição de pressões ocorre de maneira trapezoidal sobre a superfície inclinada, 
temos alterações na posição do centro de empuxo. O centro de empuxo é o ponto onde as cargas 
exercidas por ele se concentram. 
Patm
Patm
γ
G
hC
α
Placa plana submersa inclinada
p
S
hG
C
50 
 Podemos calcular o centro de empuxo (hC) por meio da seguinte expressão:
hC = hG + (IG/S . hG ) . sen²α
 
 Onde IG é o momento de inércia da placa.
 Para o cálculo do momento de inércia em superfícies retangulares adotaremos o seguinte 
cálculo:
IG= ( b . h³ ) /12
 Considerando a base pela letra b e a altura pela letra h. Em superfícies circulares, o cálculo 
do momento de inércia será:
IG = π.d
4/64
 Na qual d é o diâmetro da superfície.
 A figura a seguir mostra um reservatório para armazenagem de 
água. Este reservatório é constituído pelas superfícies planas AB = 8 m, 
BF = 17 m, CD = 5 m, DE = 4 m em que todas apresentam uma largura 
b = 5 m, sendo a superfície plana CD uma comporta que se movimenta 
em torno do eixo em C. Calcule o empuxo atuante em todas as superfícies, o centro de 
empuxo sobre as superfícies e o momento necessário para abrir a comporta CD no sentido 
anti-horário.
51
Fonte: Adaptado do próprio autor. por Design Unis EaD
Figura 15 - Exemplo
Resolução
 Iniciaremos analisando que a ação das pressões atmosféricasse anulam. Já que existe 
uma pressão descendente atuando na superfície do fluido em AE e uma pressão ascendente 
agindo na comporta CD. 
 Para o cálculo do empuxo na superfície AB, consideraremos como superfície de con-
tato do fluido igual a 8 metros de altura e 5 metros de largura. 
 Logo, teremos que a área é igual a:
SAB = 5 x 8 = 40 m²
 Para o cálculo do empuxo na parede AB a expressão utilizada será:
E
AB = γágua . hg . SAB
 Sendo o centro de gravidade (hg) para a superfície AB de 4 metros e substituindo na 
γ A
B C
D
E
F
52 
expressão:
EAB = 10.000 x 4 x 40
 Então, o empuxo atuante na superfície AB será de:
E
AB = 1.600.000 N
 Agora iremos calcular o centro de empuxo atuante na superfície AB, cujo o centro 
de empuxo (hc) é:
hc = hg + (Ig/hg.SAB ) . sen²α
 Para a expressão supramencionada é necessário o cálculo do momento de inércia 
(Ig) e encontrar o ângulo de inclinação da superfície em relação ao solo.
 Sendo a altura da superfície igual a 8 metros, a largura igual a 5 metros e a geome-
tria desta superfície retangular, utilizaremos a seguinte expressão para o cálculo do momen-
to de inércia:
Ig = bxh³/12
 Substituindo as variáveis:
I
g = 5x8³/12 = 213,33 m
4
 Como a superfície AB se encontra perpendicularmente em relação ao plano hori-
53
zontal, teremos que o ângulo (α) será igual a 90°.
 Com todas as informações necessárias, iniciaremos os cálculos do centro de empuxo 
(hc).
hc = hg + (Ig/hg . SAB ) . sen²α
hc = 4 + (213,33/4x40) . sen²90°
hc = 4 + (213,33/160) x 1
hc = 5,33 m
 Logo, o empuxo atuante na superfície AB será igual a EAB = 1.600.00 N e o centro de 
empuxo na superfície AB será igual a hc = 5,33 m.
 Observem que o centro do empuxo ocorre a 1,33 metros abaixo do centro de 
gravidade da superfície. Isto ocorre, pois a pressão na superfície aumenta gradativamente 
conforme o aumento da profundidade (Lei de Stevin), o que gera uma distribuição da força 
de empuxo diferente em cada ponto da superfície. E por isso o centro de empuxo está des-
locado do centro de gravidade da superfície. 
 Analise as figuras abaixo, para melhor visualização e entendimento:
Fonte: Adaptado do próprio autor. por Design Unis EaD
Figura 16 - Centro de empuxo e gravidade
γ A
B C
D
E
F
hg
hc
G
C
54 
Fonte: Adaptado do próprio autor. por Design Unis EaD
Figura 17 - Distribuição de empuxo
 Para o cálculo da superfície BF, teremos um comprimento de 17 metros. Porém 
parte da superfície, que corresponde à parte CF, não sofre ação do empuxo, pois não está 
em contato com o fluido.
 Portanto, teremos que considerar a superfície BC, que corresponde à seção que se 
encontra em contato com o fluido. 
 Analisando a figura temos que BF equivale à 17 metros e que se encontrarmos o 
valor de l encontraremos o valor de BC:
Fonte: Adaptado do próprio autor. por Design Unis EaD
Figura 18 - Análise de superfícies
γ A
B C
D
E
F
P = γ . h
γ A
B C
D
E
F
8 metros
4 metros
5 metros
4 metros
17 metros
ld
55
 Considerando o comprimento BC como (d) na figura acima, e verificando que há 
um triangulo retângulo formado por CD, DF e CF, podemos encontrar as medidas de BC 
e CF que somadas deve ser igual a 17 metros.
 Aplicando o teorema de Pitágoras, teremos:
𝐻𝐻𝐻𝐻2 = 𝐶𝐶𝐶𝐶² + 𝐶𝐶𝐶𝐶² 5² = 4² + 𝑙𝑙² 25 = 16 + 𝑙𝑙² 
𝑙𝑙 = √92 = 3 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠 
 Sabendo que o comprimento de CF é igual a 3 metros, o comprimento BC é igual 
a 14 metros.
 Com a informação do comprimento BC poderemos iniciar os cálculos de empuxo 
e do centro de empuxo. Logo, teremos que a área é igual a:
SBC = 5 x 14 = 70 m²
 Para o cálculo do empuxo na parede BC, a expressão utilizada será:
E
BC = γágua . hg . SBC
EBC = 10.000 x 8 x 70
EBC = 5.600.000 N
 A profundidade do centro de gravidade (hg) utilizado foi de 8 metros, pois corres-
ponde à distância entre a superfície do fluido ao centro de gravidade da superfície BC.
 Para o cálculo do centro de empuxo (hc) teremos que calcular o momento de 
inércia e encontrar o ângulo de inclinação da superfície em relação ao solo.
 O momento de inércia será:
Ig = bxh³/12
56 
Ig = 5 x 14³/12 = 1.143,33 m
4
 O ângulo de inclinação é 0°, pois a superfície esta paralela ao plano horizontal. En-
tão:
hc = hg + ( Ig/hg . SAB ) . sen²α
hc = 8 + (1.143,33/8 x 70 ) . sen²0
hc = 8 + (1.143,33/8 x 70 ) x 0
hc = 8 m
 Observe que o seno de 0° é igual a 0, logo, podemos concluir que para as super-
fícies que estão paralelas ao plano horizontal o centro de empuxo será o mesmo que a 
profundidade do centro de gravidade:
hc = hg
 Para a comporta CD encontraremos o empuxo através da expressão:
ECD = γágua . hg . SCD
 
 Para encontrarmos hg, é necessário considerar a comporta como a hipotenusa de 
um triangulo retângulo:
57
 Como o centro de gravidade (G) da superfície CD se localiza no centro do com-
primento da hipotenusa do triângulo, então, teremos que a altura será igual a 2 metros.
 Somado aos 4 metros da altura DE, teremos que a profundidade do centro de 
gravidade será de 6 metros. 
 Com todas as informações necessárias, comecemos os cálculos de empuxo:
ECD = γágua . hg . SCD
ECD = 10.000 x 6 x 25
ECD = 1.500.000 N
 O momento de inércia da comporta CD será:
I
g = bxh³/12
Ig = 5 x 5³/12 = 520,08 m
4
 Para a profundidade do centro de empuxo:
hc = hg + ( Ig/hg . SAB ) . sen²α
hc = 6 + ( 520,08/6 x 25 ) . ( 4/5 )
2
hc = 6,22 m
58 
 Para a superfície DE será utilizada a mesma tratativa da superfície AB. Logo, teremos 
que a área é igual a:
SDE = 5 x 4 = 20 m²
 Para o cálculo do empuxo na parede DE, a expressão utilizada será:
E
DE = γágua . hg . SDE
 Sendo o centro de gravidade (hg) para a superfície DE de 2 metros e substituindo 
na expressão:
EDE = 10.000 x 2 x 20
 Então, o empuxo atuante na superfície AB será de:
E
AB = 400.000 N
 Agora iremos calcular o centro de empuxo atuante na superfície DE, cujo centro de 
empuxo (hc) é:
hc = hg + ( Ig/(hg . SDE ) . sen²α
 Sendo a altura da superfície igual a 4 metros, a largura igual a 5 metros, e a geome-
tria desta superfície retangular, utilizaremos a seguinte expressão para o cálculo do momen-
to de inércia:
59
Ig = b x h³/12
 Substituindo:
I
g = 5 x 4³/12 = 26,66 m
4
 Como a superfície DE se encontra perpendicularmente em relação ao solo, temos 
que o ângulo (α) será igual a 90°.
 Com todas as informações necessárias, iniciaremos os cálculos do centro de empu-
xo (hc).
hc = hg + ( Ig/hg . SDE ) . sen²α
hc = 2 + (26,66/2 x 20) . sen²90°
hc = 2 + (26,66/40) x 1
hc = 2,66 m
 Note que as espessuras das paredes não são consideradas.
 Para encontrarmos o momento necessário para abrir a comporta CD, adotaremos 
a seguinte expressão:
Mo = E . l
 Momento (Mo) é o produto da multiplicação entre o módulo do empuxo (E) e a 
distância entre o centro de empuxo até o eixo que move a comporta (l):
 Portanto, a distância (l) será a distância do eixo da comporta até o centro de em-
puxo:
60 
 Para encontrarmos esta distância utilizaremos o seguinte cálculo:
l = ( 8 - hC )/senα
l = (8-6,22) . 5/4
l = 2,225 m
 Agora podemos encontrar o momento necessário:
Mo = E . l
Mo = 1,5 . 10
6 x 2,225 
Mo = 3.337.500 Nm 
 O momento necessário para abrir a comporta no sentido anti-horário deverá sermaior que 3.337.500 Nm.
Fonte: Adaptado do próprio autor. por Design Unis EaD
Figura 19 - Distância (l)
γ A
B C
D
E
l F
61
3.2. Princípio de Arquimedes
 Arquimedes de Siracusa foi um matemático, físico, engenheiro, inventor, e astrônomo grego. 
Dentre suas contribuições, Arquimedes observou a ação dos fluidos quando atuam sobre uma su-
perfície submersa conhecida como empuxo e determinou que:
“ Um corpo, total ou parcialmente imerso num fluido, fica submetido a uma força 
vertical ascendente de módulo igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo, agindo 
no baricentro do volume deslocado.”
 Levando em consideração a afirmação de Arquimedes, podemos dizer que o empuxo é o 
peso específico do fluido deslocado vezes o volume de fluido deslocado. Logo, poderemos afirmar 
que o empuxo atuante em um corpo submerso é igual ao peso específico (γ) do fluido multiplicado 
pelo volume de fluido deslocado pelo corpo (∀):
E = γ.∀
 Analisando a figura abaixo podemos verificar as forças de empuxo e peso atuando sobre o 
corpo.
E
p
Fonte: Adaptado do próprio autor. por Design Unis EaD
Figura 20 - Corpo submerso
62 
 Quando um corpo está totalmente imerso em um líquido podemos ter as seguintes condi-
ções:
• Se ele permanece parado no ponto onde foi colocado, a intensidade da força de empuxo é 
igual à intensidade da força peso (E = P)
• Se ele afundar, a intensidade da força de empuxo é menor do que a intensidade da força 
peso (E < P);
• Se ele for levado para a superfície, a intensidade da força de empuxo é maior do que a inten-
sidade da força peso (E > P).
	Unidade I - Fluidos
	1.1. Introdução
	1.1.1. Conceitos
	1.1.2. Definição de Fluido
	1.2. Propriedade dos Fluidos
	1.2.1. Massa Específica (ρ)
	1.2.2. Peso Específico (γ)
	1.2.3. Peso Específico Relativo (δ)
	1.2.4. Fluido Incompressível
	1.2.5. Lei de Newton da Viscosidade
	Unidade II - Estática dos Fluidos, Pressão, Pressão Estática, Manômetros e Manométrica
	2.1. Estática dos Fluidos
	2.1.1. Escala de Pressão
	2.2. Teorema de Stevin
	2.3. Teorema de Pascal
	2.4. Medidores de Pressão
	2.4.1. Barômetro
	2.4.2. Manômetro Metálico
	2.4.3. Piezômetro
	2.4.4. Manômetro com Tubo U
	2.4.5. Equação Manométrica
	Unidade III - Empuxo, Princípio de Arquimedes e Corpos Submersos
	3.1. Empuxo
	3.1.1. Empuxo em Superfícies Planas
	3.2. Princípio de Arquimedes