(Livro) O Essencial da Mecânica dos Fluidos para Engenheiros (protegido) (1)

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O Essencial da Mecânica dos Fluidos para 
Engenheiros 
 
 
 
 
 
 
 
Carlos Ruberto Fragoso Júnior 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Editora XXX, 2019 
1ª edição 
ISBN: 9781073094158 
Impresso no Brasil / Printed in Brazil 
Editado por Editora XXX 
 
 
Dedicatória 
 
Ao Caio 
 
Sumário 
 
1. Fundamentos .................................................................................................................... 9 
1.1 Definição de Fluido .......................................................................................................... 9 
1.2 Breve histórico da Mecânica dos Fluidos ...................................................................... 13 
1.3 Importância de Fenômenos de transporte para Engenheiros.......................................... 16 
1.4 Revisão ........................................................................................................................... 22 
1.4.1 Unidades, Dimensões e Sistemas de unidades ........................................................ 22 
1.4.2 Homogeneidade dimensional .................................................................................. 24 
Exercícios ............................................................................................................................. 26 
2. Propriedades dos Fluidos .............................................................................................. 27 
2.1 Fatores de afetam as propriedades dos fluidos ............................................................... 28 
2.2 Densidade absoluta ou Massa específica ....................................................................... 29 
2.3 Peso específico ............................................................................................................... 32 
2.4 Viscosidade .................................................................................................................... 33 
2.5 Módulo de elasticidade .................................................................................................. 36 
2.6 Pressão de vapor ............................................................................................................. 38 
2.7 Tensão superficial .......................................................................................................... 40 
Exercícios ............................................................................................................................. 44 
3. Estática dos Fluidos ....................................................................................................... 52 
3.1 Forças, tensões e pressões .............................................................................................. 52 
3.2 Pressão em um ponto ..................................................................................................... 55 
3.3 Variação da pressão no espaço ....................................................................................... 59 
3.4 Variação da pressão com a posição nos fluidos homogêneos e heterogêneos ............... 66 
3.5 Como medir pressão em fluidos? ................................................................................... 70 
3.6 Força exercida por líquidos em objetos submersos ou parcialmente submersos ........... 74 
3.6.1 Em superfícies planas ............................................................................................. 75 
3.6.2 Em superfícies curvas ............................................................................................. 83 
3.7 Empuxo, flutuação e estabilidade de corpos submersos ou parcialmente submersos.... 87 
Exercícios ............................................................................................................................. 92 
4. Cinemática dos Fluidos ................................................................................................ 105 
4.1 Campo de velocidade ................................................................................................... 105 
4.2 Classificação do escoamento........................................................................................ 108 
 
4.2.1 Quanto à viscosidade ............................................................................................ 108 
4.2.2 Quanto à geometria .............................................................................................. 109 
4.2.3 Quanto ao tempo ................................................................................................... 111 
4.2.4 Quanto ao espaço.................................................................................................. 112 
4.2.5 Quanto à compressibilidade ................................................................................. 113 
4.3 Linhas de corrente, trajetória e de emissão .................................................................. 113 
4.4 Abordagens para o estudo do escoamento ................................................................... 118 
4.5 Aceleração de uma partícula fluida .............................................................................. 121 
4.6 Taxas de escoamento.................................................................................................... 125 
4.6.1 Vazão volumétrica................................................................................................. 125 
4.6.2 Vazão mássica ....................................................................................................... 130 
Exercícios ........................................................................................................................... 131 
5. Análise Integral do Escoamento ................................................................................. 133 
5.1 Sistema, Volume de Controle e Superfícies de Controle ............................................. 133 
5.2 O Teorema de Transporte de Reynolds ........................................................................ 135 
5.3 Equação da Conservação da Massa.............................................................................. 140 
5.4 Equação da Conservação da Quantidade de Movimento ............................................. 148 
5.5 Equação da Conservação da Energia ........................................................................... 159 
5.6 Equação de Bernoulli ................................................................................................... 165 
5.7 Aplicações na Engenharia ............................................................................................ 170 
5.7.1 Descarga em Reservatórios .................................................................................. 170 
5.7.2 Sifão ...................................................................................................................... 175 
5.7.3 Tubo de Pitot ......................................................................................................... 180 
5.7.4 Tubo de Venturi ..................................................................................................... 183 
5.7.5 Força de Sustentação ............................................................................................ 185 
5.7.6 Força sobre Estruturas ......................................................................................... 188 
Exercícios ........................................................................................................................... 189 
6. Análise Diferencial do Escoamento ............................................................................ 196 
6.1 Componentes do movimento de fluidos e deformações .............................................. 196 
6.1.1 Deslocamento e deformação linear ...................................................................... 198 
6.1.2 Deslocamento e deformação angular................................................................... 200 
6.2 Equação da Conservação da Massa.............................................................................. 204 
6.3 Equação da Conservação da Quantidade de Movimento ............................................. 210 
 
6.4 Função de corrente ....................................................................................................... 226 
6.5 Função potencial .......................................................................................................... 231 
6.6 Escoamentos potenciais planos elementares ................................................................ 236 
6.6.1 Escoamento uniforme ............................................................................................ 236 
6.6.2 Escoamento tipo vórtice ........................................................................................ 238 
6.6.3 Escoamento tipo fonte ou sorvedouro (sumidouro) .............................................. 239 
6.7 Superposição de escoamentos ...................................................................................... 241 
6.7.1 Escoamento fonte-sumidouro e dipolo .................................................................. 242 
6.7.2 Escoamento uniforme-fonte .................................................................................. 244 
6.7.3 Escoamento tipo Rankine Oval ............................................................................. 247 
6.7.4 Escoamento ao redor de um cilindro .................................................................... 249 
6.8 Modelagem numérica ................................................................................................... 252 
6.8.1 Equações governantes........................................................................................... 252 
6.8.2 Solução numérica .................................................................................................. 254 
6.8.2 Condições de contorno e inicial............................................................................ 263 
Exercícios ........................................................................................................................... 264 
7. Análise Dimensional e Semelhança ............................................................................ 275 
7.1 Análise dimensional ..................................................................................................... 275 
7.1.1 Teorema π de Buckingham da Análise Dimensional ............................................ 277 
7.1.2 Principais números adimensionais ....................................................................... 283 
7.2 Semelhança e modelos ................................................................................................. 287 
7.2.1 Teoria dos modelos ............................................................................................... 288 
Exercícios ........................................................................................................................... 290 
Capítulo 8 - Referências Bibliográficas ......................................Erro! Indicador não definido. 
Anexo 1 - Conversão de Unidades ...................................................................................... 296 
Anexo 2 - Propriedades físicas de alguns gases ................................................................. 298 
 
 
Apresentação 
A Mecânica dos Fluidos (disciplina também conhecida como Fenômenos de Transporte e mais 
raramente, Fenômenos de Transferência) refere-se ao estudo sistemático e unificado da transferência 
de quantidade de movimento, energia e matéria de fluidos (i.e. líquidos e gases). O objetivo principal 
desta obra é destacar demandas específicas de conceitos da Mecânica dos Fluidos para o setor de 
Engenharia, filtrando, assim, generalizações destes conceitos usualmente empregados em outras 
Áreas do Conhecimento, as quais dificultam um melhor aprendizado por parte dos alunos dos cursos 
de Engenharia, por não enxergarem a aplicação destes conceitos no dia-a-dia de sua profissão. Desta 
forma, a obra faz um filtro do essencial da Mecânica dos Fluidos para os alunos de Engenharia. 
Esta obra foi dividida em sete capítulos. No primeiro capítulo são apresentados alguns 
fundamentos importantes da disciplina de Fenômenos de Transporte, um breve histórico de sua 
aplicação na Engenharia e uma revisão de conceitos de Sistemas de Unidades e Cálculo Diferencial 
e Integral que são necessários para um melhor entendimento da formulação matemática apresentada 
ao longo do livro. As propriedades dos fluidos são exploradas no Capítulo 2. Além disso, uma 
discussão é apresentada de como estas propriedades afetam o dia-a-dia de problemas da Engenharia. 
No Capítulo 3 são apresentados o equacionamento para determinação da pressão de líquidos e as 
forças resultantes da interação entre líquidos e superfícies submersas na ausência de forças viscosas 
(fluido estático). Os conceitos de Cinemática dos fluidos são discutidos no Capítulo 4, onde o 
escoamento é definido e classificado de forma qualitativa. A quantificação do escoamento é 
apresentada por meio de três abordagens: análise integral (Capítulo 5), diferencial (Capítulo 6) e 
experimental (Capítulo 7). As particularidades das aplicações de cada abordagem em problemas 
práticos na Engenharia também podem ser observadas nestes capítulos. 
Este livro, O ESSENCIAL DA MECÂNICA DOS FLUIDOS PARA ENGENHEIROS, 
encaminha o leitor, passo a passo, no processo de entendimento dos principais fenômenos de 
escoamento, de interação de fluídos estáticos ou em movimento com estruturas. Este livro foi 
dedicado especialmente para alunos de cursos de graduação e pós-graduação das áreas de 
Engenharia (Civil, Química, Hídrica, Ambiental, Sanitária, Produção, Petróleo, entre outras) e áreas 
afins. 
O Autor 
 
 
Prefácio 
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Prof. Vamir de Albuquerque Pedrosa 
 
 
 
 
1. Fundamentos 
A Mecânica dos Fluidos pode ser considerada uma ciência ligada à Física, com a finalidade 
de descrever fisicamente fenômenos envolvendo fluidos através de formulações matemáticas 
conceituais ou empíricas. 
Neste capítulo serão apresentados conceitos básicos sobre fluidos, um histórico sobre a 
evolução da teoria e prática da Mecânica dos Fluidos e alguns exemplos de como estes conceitos 
são comumente utilizados na área de Engenharia. Uma revisão de Unidades, Sistemas e Cálculo 
também é oferecida com a finalidade de facilitar o entendimento da formulação matemática 
apresentada ao longo do livro. 
 
1.1 Definição de Fluido 
Da teoria da cinética molecular, toda e qualquer substância presente no planeta pode se 
apresentar em três estados ou fases físicas fundamentais, dependendo das condições ambientais em 
que se encontrarem, são eles: sólido, líquido e gasoso (Figura 1.1). A água é a única substância que 
pode ser encontrada nas três fases físicas na natureza. A temperatura e a pressão são fatores 
ambientais que controlam o estado físico de todas as substâncias, mas a quantidade de energia 
adicionada ou retirada é o fator que promove a passagem de um estado físico para outro (e.g. fusão, 
evaporação, condensação, solidificação e sublimação). O estado físico de uma determinada 
substância tem relação com a velocidade do movimento de suas moléculas. Os fluidos são 
substâncias enquadradas na categoria dos líquidos e gases, mas sólidos plásticos também podem ser 
considerados fluidos, uma vez que eles possuem uma certa mobilidade em termos moleculares. 
Intuitivamente diferenciamos sólidos e fluidos por suas características particulares de dureza 
e deformação. Os sólidos são duros e muito pouco deformáveis. Enquanto os fluidos são moles e 
bastante deformáveis. No entanto, tais características estão relacionadas a estrutura molecular da 
substâncianestes estados e ao seu comportamento quando submetidos às tensões normais e de 
cisalhamento. Nos sólidos as moléculas sofrem forte força de atração (estão muito próximas umas 
das outras) e é isto que garante que o sólido tem um formato próprio. Os fluidos apresentam as 
moléculas com um certo grau de liberdade de movimento (força de atração pequena) e não 
apresentam um formato próprio. De uma maneira geral, o fluido é caracterizado pela relativa 
 
mobilidade de suas moléculas que, além de apresentarem os movimentos de rotação e vibração, 
possuem movimento de translação e, portanto, não apresentam uma posição média fixa no corpo do 
fluido. Tal característica molecular permite que líquidos e gases assumam a forma do recipiente que 
os contém. Como os líquidos têm suas moléculas mais próximas do que os gases, eles assumem a 
configuração do recipiente que os contém, mudando sua forma com a mudança da forma do 
recipiente, mas conservando seu volume. Os gases assumem completamente volume do recipiente 
que os contém, podendo variar sua forma e volume, uma vez que suas forças de atração 
intermoleculares são praticamente desprezíveis. 
 
Estado 
Características 
gerais 
Características 
Moleculares 
Densidade Compressibilidade 
Sólido 
Assume o volume a 
forma do recipiente 
que o contém 
Pequeno 
espaçamento entre 
moléculas 
Elevada Incompressível 
Líquido 
Tem volume 
definido, mas assume 
a forma do recipiente 
que o contém 
Espaçamento 
intermediário entre 
moléculas 
Alta 
Quase 
incompressível 
Gasoso 
Tem volume e forma 
definidos 
Grande espaçamento 
entre moléculas 
Baixa 
Facilmente 
comprimido 
Figura 1.1. Estados físicos da matéria de qualquer substância. 
 
Sólidos e fluidos também podem ser diferenciados pelo comportamento que apresentam em 
face às tensões externas. Por exemplo, quando uma tensão normal de compressão (i.e. força de 
compressão aplicada perpendicularmente em uma unidade de área) é aplicada em um fluido 
confinado com, por exemplo, mostrado na Figura 1.2, o mesmo é comprimido até certo ponto onde 
 
ele se comporta exatamente como se fosse um sólido, o qual é incompressível1. Isto acontece porque 
nos fluidos ainda existe algum espaçamento entre as moléculas, ou seja, uma capacidade de 
comprimir; de reduzir o espaçamento entre as moléculas. A medida que a tensão normal de 
compressão aumenta, o espaçamento entre as moléculas diminui até um ponto onde o espaçamento 
será muito pequeno e o fluido se comportará como um sólido independente da tensão aplicada. À 
medida que o espaçamento entre as moléculas diminui, aumentam as forças intermoleculares 
repulsivas de coesão2, as quais promovem uma reação no sentido oposto da força de compressão. 
Os gases são muito mais compressíveis do que os líquidos, uma vez que apresentam maior 
espaçamento intermolecular. 
Uma tensão normal de tração (i.e. força de tração aplicada perpendicularmente em uma 
unidade de área) aplicada no mesmo fluido confinado da Figura 1.2, promoveria um aumento no 
espaçamento entre as moléculas e, consequentemente, um aumento das forças atrativas de coesão 
que irão se opor a tensão de tração aplicada. Sólidos possuem grande habilidade de resistência à 
tração devido a elevada força intermolecular de coesão presente. 
 
 
1 A incompressibilidade está associada à densidade absoluta de uma substância. Quando a densidade permanece 
constante sob qualquer condição, a substância pode ser considerada incompressível. 
2 As forças de coesão, praticamente inexistentes nos gases, mas presentes nos líquido e, com maior intensidade 
nos sólidos, são as interações entre as partículas (átomos, moléculas, íons) que as mantêm unidas, formando um corpo. 
Essas forças são de natureza eletrostática e tendem a manter uma distância média de equilíbrio entre as partículas, na 
qual as forças são mínimas, e em caso de perturbação, reagem se opondo à perturbação. Se você tentar comprimir uma 
substância, as forças de repulsão aumentam, se opondo à compressão (por isso, a maioria dos sólidos e líquidos é 
praticamente incompressível). Por outro lado, se você tracionar o corpo, as forças atrativas irão se opor à tração. 
 
 
Figura 1.2. Comportamento de um fluido confinado (sem contato com a atmosfera) quando submetido a 
uma tensão de compressão (força de compressão aplicada perpendicularmente em uma unidade de área) em 
uma das superfícies. 
Existe também uma diferenciação relevante entre sólidos e fluidos quando estes são 
submetidos a uma mesma tensão de cisalhamento (Figura 1.3). O fluido não resiste a esforços 
tangenciais por menores que estes sejam, implicando em uma deformação continua mesmo após o 
período de aplicação da tensão de cisalhamento. Já os sólidos, ao serem solicitados por tais esforços, 
podem resistir, deformar-se e ou até mesmo cisalhar, porém esta deformação cessa assim que a 
tensão de cisalhamento deixar de existir. Desta forma, podemos dizer que um fluido pode ser 
definido como uma substância que muda continuamente de forma enquanto existir uma tensão de 
cisalhamento, ainda que seja pequena. 
 
Figura 1.3. Tensão de compressão (força tangencial aplicada em uma unidade de área) aplicada em uma 
substância. 
F 
 
 
1.2 Breve histórico da Mecânica dos Fluidos 
Para compreender melhor o propósito da Mecânica dos Fluidos no setor de Engenharia é 
importante relatar um breve histórico desta ciência e enxergar os avanços teóricos e práticos que 
estão consolidados como conhecimento científico até o presente momento. Apesar a necessidade de 
uso da água para abastecimento e irrigação ter surgido com o estabelecimento das primeiras 
civilizações no planeta (por exemplo, no sudoeste da Ásia a 10.000 a.C. com a necessidade de água 
para agricultura e sedentarismo humano e animal), podemos dizer que as primeiras manifestações 
envolvendo conceitos da área de Fenômenos de Transporte na Engenharia nasceu com o surgimento 
das civilizações na Grécia Antiga (1.100 a.C.) e com a ascensão do Império Romano (27 a.C.), na 
Idade Antiga. Com o crescimento da população nestes centros urbanos foi necessário desenvolver 
projetos de engenharia para condução e armazenamento de água (Figura 1.4). No entanto, tais 
projetos apenas consideravam conceitos práticos e não teóricos sobre a Mecânica dos Fluidos. 
 
Figura 1.4. Registro de um aqueduto romano que conduzia água das lagoas de Salomão para Jerusalém (25 
a.C.) 
 
Os primeiros conceitos teóricos da Mecânica dos Fluidos foram apresentados pelo Grego 
Arquimedes (287 a.C. – 212 a.C.), considerado um dos principais cientistas da Antiguidade Clássica. 
Entre suas contribuições à Física, estão os fundamentos da hidrostática que estabelece a parte da 
física que descreve as forças exercidas por e sobre fluidos em repouso. Até o Renascimento (séculos 
XV-XVI) poucas contribuições conceituais foram dadas. Leonardo da Vinci (1452 - 1519) projetou 
 
e construiu o primeiro canal com comportas em Milano, estudou o vôo dos pássaros e desenvolveu 
algumas ideias sobre as forças que os sustentam. Ele também foi um dos primeiros pensadores a 
descrever através da observação padrões de desprendimento de vórtices (padrões turbulentos) em 
escoamentos turbulentos (Figura 1.5). A partir de então, houve um rápido desenvolvimento de 
teorias descritivas do escoamento de fluidos baseadas na experimentação: subciência da Mecânica 
dos Fluidos conhecida como Hidráulica. 
 
 
Figura 1.5. Traços de padrões de escoamento observados de um jato de água lançado de um buraco 
quadrado para uma piscina, formando bolhas e vórtices (Leonardo da Vinci, aproximadamente em 1509) 
 
Contribuições teóricas avançaram no século XVII com Newton que deu as bases para o estudo 
teórico da resistência ao movimento dos corpos. Ele tentou dividir as forças em componentes em 
função das propriedades dos fluidos e definições importantes surgiram a partir destes estudos taiscomo viscosidade e massa específica, além de um melhor entendimento sobre o papel da coesão de 
partículas nestas propriedades. O século XVIII foi muito importante para a Mecânica dos Fluidos 
com as contribuições de Bernoulli (1738), estabeleceu a relação entre velocidade, pressão e cota, 
para distintos pontos de um escoamento, de Euler (1749) com a teoria do movimento do fluido, 
 
considerando-o um meio contínuo e deformável (equações do movimento de um fluido ideal - 
viscosidade nula) e de D’Alembert que estudou a resistência ao movimento dos corpos, similarmente 
à Newton, usando a teoria de funções de variável complexa. 
Apesar dos avanços conceituais, muitos fenômenos do escoamento envolvendo fluidos reais 
(viscosidade não nula) ainda não podiam ser descritos com tais formulações matemáticos. E devido 
ao conflito entre a teoria e a prática, surgiram duas escolas na Mecânica dos Fluidos: a 
Hidrodinâmica, a qual descrevia a teoria de escoamentos através de formulação matemática; e a 
Hidráulica, que representava os padrões de escoamentos através de formulação 
empírica/experimental. O início da unificação das duas escolas apenas ocorreu no século seguinte 
com as contribuições de Navier, Stokes e Poisson (1822 a 1845), os quais apresentaram as equações 
gerais para o movimento de um fluido real (viscosidade não nula) e explicaram a diferença entre as 
duas escolas. No entanto, restava ainda provar na prática a representatividade da formulação 
matemática proposta para escoamentos reais. Foi então que em 1904, Ludwig Prandtl realizou um 
experimento e instituiu o conceito de Camada Limite, estabelecendo um elo essencial entre o 
movimento de um fluido ideal e de um fluido real para fluidos de baixa viscosidade (Figura 1.6), 
consolidando assim unificação entre as duas escolas. O experimento consiste de um fluido que se 
aproxima de uma placa plana horizontal com velocidade uniforme U. A placa exerce uma ação 
retardadora sobre o fluido diminuindo a velocidade do fluido nas vizinhanças da superfície. Em uma 
ordenada y, suficientemente longe da placa (ponto B), o escoamento não será afetado por sua 
presença. Isto significa que a velocidade aumenta suave e gradativamente de u = 0 para y = 0 (placa) 
até u = U para y = B (superfície livre do fluido), formando um perfil de velocidade. A região 
próxima à placa, onde as tensões de cisalhamento estão presentes (por haver gradientes de 
velocidade), é chamada então de Camada Limite. Fora da camada limite, o gradiente de velocidade 
é nulo e, por conseguinte, as tensões de cisalhamento são nulas. Nesta região pode-se pensar o 
escoamento como não viscoso. A partir deste experimento foi possível diferenciar com clareza a 
região limite (camada limite) do escoamento onde os efeitos viscosos são pequenos ou desprezíveis 
(onde a teoria do movimento de fluido ideal de Euler poderia ser aplicada) e a região onde os efeitos 
viscosos são importantes (onde a teoria do movimento de fluido real de Navier-Stokes poderia ser 
aplicada). 
 
 
 
Figura 1.6. Camada limite e o perfil de velocidade do fluido. As flechas indicam a magnitude da 
velocidade do fluido. A linha curva e tracejada representa a camada limite (separação entre o fluido real e 
ideal). A linha curva e contínua, que delimita as flechas, expressa o perfil de velocidade do fluido 
 
1.3 Importância de Fenômenos de transporte para Engenheiros 
A Mecânica dos Fluidos é comumente aplicada em diversos problemas no setor de Engenharia 
que envolvem diretamente ou indiretamente fluidos, tais como na geração de energia, na 
contaminação de corpos de água, na análise de previsão do tempo, na bioengenharia (coração 
artificial, respiração artificial, fluxo sanguíneo) e no transporte de substâncias (água, esgoto, 
sedimentos, minério, carvão, fumaça, petróleo, químicos, etc). 
O dimensionamento de estruturas (edifícios, pontes, telhados, barragens, canais) que estarão 
em contato com fluidos em repouso ou em movimento depende da estimativa das forças e cargas 
resultantes devido à interação entre o fluido e a estrutura. Por exemplo, no dimensionamento de uma 
ponte é necessário levar em consideração a força resultante devido à passagem de água na região 
submersa dos pilares, bem como prever pequenas deflexões verticais da ponte devido ao 
desprendimento de vórtices provocado pelo vento (fluido em movimento) ao entrar em contato com 
a estrutura da ponte. Um caso marcante foi o colapso da ponte Tacoma Narrows3 (EUA) em 1940 
onde o projeto não levou em consideração os efeitos da interação entre fluidos e estrutura (Figura 
1.7). Esta ponte tinha uma extensão total de 853 metros (na época era a terceira maior ponte em 
termos de extensão) e custou aproximadamente US$ 11 milhões. Um vento de apenas 60 km/h foi 
 
3 Veja o vídeo da ruptura da ponte Tacoma Narrows em http://www.youtube.com/watch?v=j-zczJXSxnw 
 
suficiente para promover oscilações verticais até o ponto que atingiu a frequência de ressonância 
onde ocorreu a ruptura total da estrutura. 
 
 
Figura 1.7. Colapso da ponte Tacoma (EUA) em 1940 devido a passagem de um vento com intensidade de 
apenas 60 km/h 
 
O cálculo da força devido à pressão que os fluidos em repouso exercem sobre as superfícies 
sólidas submersas, é realizado com base nos princípios da hidrostática e encontra aplicação em 
inúmeros problemas de engenharia, como nos projetos de barragens, comportas e reservatórios 
(Figura 1.8). No caso das barragens, um dos requisitos para seu dimensionamento é o conhecimento 
 
de todas as forças (horizontais, verticais, sobrepressão de água, peso da estrutura e outros empuxos) 
e seus respectivos pontos de aplicação. A partir do conhecimento de todas as forças a estabilidade 
da barragem é avaliada principalmente quanto aos esforços de escorregamento, tombamento, 
pressões na base e cisalhamento. 
 
 
Figura 1.8. Usina Hidrelétrica de Itaipu binacional localizada no Rio Paraná, na fronteira entre o Brasil e o 
Paraguai. A barragem é a maior unidade operacional hidrelétrica brasileira em termos de geração de energia 
anual. 
 
Em Estações de Tratamento de Água (ETA) é comum o uso de misturadores hidráulicos, que 
asseguram a formação de um ressalto hidráulico imediatamente a jusante da garganta, promovendo 
condições ideais de mistura do coagulante utilizando para tratar a água (Figura 1.9). Esta técnica é 
fundamente em princípios da Mecânica dos Fluidos e provê uma mistura eficiente e barata, não 
necessitando da ação humana. 
 
 
Figura 1.9. Misturado hidráulico em operação utilizado em Estações de Tratamento da Água (ETA). 
 
A maioria das aplicações da Hidráulica na Engenharia diz respeito à utilização de tubos. Tubo 
é um conduto utilizado para transporte de fluidos (água, esgoto, petróleo, químicos), geralmente de 
seção transversal circular, utilizado em diversas aplicações tais como em queda d'água para 
movimentar uma turbina para geração de energia, encanamentos prediais, canalizações sob pressão, 
canalizações de recalque e sucção, colunas, barriletes prediais, galerias de águas pluviais e de esgoto. 
Tais condutos são submetidos a diversas forças (pressão, viscosas e peso) devido a interação com o 
fluido, as quais podem eventualmente promover fissuras ou rompimento da tubulação em caso de 
mal dimensionamento. Um registro marcante de rompimento de tubulação ocorreu em Campo 
Grande, Zona Oeste do Rio de Janeiro, onde uma adutora de água se rompeu, alagando casas e 
arrastando veículos na região (Figura 1.10). A água atingiu cerca de dois metros dentro das 
residências e muitos moradores ficaram ilhados. Como saldo final desse desastre, três quarteirões 
ficaram completamente submersos e uma criança morreu. 
 
 
 
Figura 1.10. Adutora que se rompeu em Campo Grande, na Zona Oeste do Rio de Janeiro (Foto: 
Reprodução/TV Globo, 2013) 
 
Em projetos de automóveis e aeronaves é fundamental levar em consideraçãoo efeito do ar 
em movimento e das forças exercidas por ele. A sub-ciência da Mecânica dos Fluidos denominada 
Aerodinâmica trata em detalhes tal assunto. Em um automóvel em alta velocidade, ou sob vento 
excepcionalmente forte, a resistência do ar (a força que o ar exerce sobre um objeto em movimento 
– também chamada de arrasto) tem enorme efeito sobre a aceleração, a dirigibilidade e o consumo 
de combustível de um carro. Além disso, carros da categoria hatch precisam obrigatoriamente do 
limpador de para-brisa traseiro porque a aerodinâmica desse tipo de carroceria promove o acúmulo 
de sujeira (detritos) e água no vidro (Figura 1.11) devido a elevada formação de vórtices na traseira, 
ao contrário dos carros da categoria sedan que não necessitam de tal acessório, uma vez que as linhas 
de corrente passam tangencialmente à superfície do para-brisa traseiro. Em aeronaves, a 
aerodinâmica atua como princípio fundamental para sua sustentação no ar. A curvatura da asa do 
avião (geometria do perfil da asa) faz com que o ar acelere e diminua sua pressão sobre a porção 
superior da asa. Essa diferença de pressão entre a porção inferior e superior da asa gera a força de 
sustentação do avião contrária ao peso, possibilitando seu voo. 
 
 
 
Figura 1.11. Padrão de escoamento na (a) dianteira e (b) traseira de um carro da categoria hatch, indicando 
uma grande presença de vórtices na traseira, os quais promovem a acumulação de sujeira no para-brisas 
traseiro. 
A avaliação da dispersão de poluentes em ecossistemas aquáticos também pode ser tratada 
com o conhecimento da Mecânica dos Fluidos. Em 2010 ocorreu um dos maiores derramamentos 
de petróleo no Golfo do México, EUA (Figura 1.12). Entre 3 e 4 milhões de galões de petróleo já 
foram derramados no oceano, quando uma plataforma de uma petrolífera explodiu no Golfo do 
México. Tal desastre deixou marcas profundas para o ambiente marinho, causando a morte seis mil 
tartarugas (de cinco espécies, todas ameaçadas de extinção), 26 mil mamíferos marinhos e 82 mil 
aves marinhas. Para entender a dispersão da pluma de petróleo no oceano, engenheiros avaliaram os 
padrões de escoamento e realizaram previsões da chegada desta pluma na costa americana. 
 
 
 
Figura 1.12. Vista aérea do derramamento de petróleo no Golfo do México, EUA. 
1.4 Revisão 
Para facilitar o entendimento dos assuntos que serão vistos nos próximos capítulos é 
importante que o leitor tenha uma boa base de conceitos sobre sistemas de unidades e 
homogeneidade dimensional. Nesta seção apresentaremos uma revisão básicas deste conteúdo. 
Além deste conteúdo, o leitor é fortemente encorajado a fazer uma revisão nos conteúdos de cálculo 
vetorial, diferencial e integral, uma vez que esse conhecimento é bastante requerido ao longo deste 
livro. 
1.4.1 Unidades, Dimensões e Sistemas de unidades 
Tudo que pode ser quantificado precisa estar associado a uma unidade de medida para que 
possa ser descrito qualitativamente. A unidade de medida é uma medida (ou quantidade) específica 
de determinada grandeza física utilizada para servir de padrão para outras medidas e descrever uma 
quantidade qualitativamente. Por exemplo uma medida de massa de 5 Unidades não tem significado 
físico até que seja definida uma unidade de medida de referência que pode ser, neste caso, 
quilogramas, gramas ou outra unidade de medida relacionada à massa. Desta forma, o tratamento de 
qualquer problema de Engenharia passa primeiramente pela definição de um Sistema de Unidades 
para as grandezas abordadas. Um Sistema de Unidade é um conjunto de unidades de medidas para 
descrever diferentes grandezas tais como comprimento, massa, tempo ou força. As grandezas podem 
ser classificadas como primárias (básicas) ou secundárias (derivadas). As grandezas básicas de 
 
Massa (M), Força (F), Comprimento (L) e Tempo (T) representam as dimensões primárias (no 
Sistema MLT ou no Sistema FLT) que podem ser usadas para representar qualquer outra grandeza 
secundária ou grupo de grandezas físicas. Existem diversos Sistemas de Unidades, no entanto os 
mais utilizados são o Sistema Internacional (ou SI) e o Sistema Inglês de Unidades (Tabela 1.1). O 
Sistema Internacional de Unidades é a forma mais adotada no mundo. O Sistema Inglês de Unidades 
foi muito utilizado no passado por países anglo-saxões e foi perdendo espaço ao longo do tempo, 
sendo adotado atualmente em apenas três países: Mianmar, Libéria e Estados Unidos. 
Em problemas de Mecânica dos Fluidos é comum a conversão de unidades de um sistema para 
outro. No Anexo 1 são apresentadas algumas conversões de unidades para as grandezas mais 
importantes. 
 
Tabela 1.1. Comparação entre os sistemas de unidades internacional e inglês 
Grandeza 
Dimensões Unidades 
Sistema 
MLT 
Sistema 
FLT 
Sistema 
Internacional 
Sistema 
Inglês 
Comprimento L L m ft 
Massa M FL-1T-2 kg lbm 
Tempo T T s s 
Velocidade LT-1 LT-1 m/s ft/s 
Aceleração LT-2 LT-2 m/s2 ft/s2 
Força MLT-2 F kg m/s2 = N lbmft/s2 = poundal 
Momento, 
Impulso 
MLT-1 FT kg m/s = N s lbmft/s = pdl s 
Energia, 
Trabalho 
ML2T-2 FL 
kg m2/s2 = N m = 
J 
lbmft2/s2 = ft pdl 
Potência ML2T-3 FLT-1 kg m2/s3 = J/s = W lbmft2/s3 = ft pdl/s 
Velocidade 
Angular 
T-1 T-1 rad/s rad/s 
Aceleração 
Angular 
T-2 T-2 rad/s2 rad/s2 
Torque ML2T-2 FL kg m2/s2 = N m lbmft2/s2 = ft pdl 
 
Momento 
Angular 
ML2T-1 FLT kg m2/s lbmft2/s 
Momento de 
Inércia 
ML2 FLT2 kg m2 lbmft2 
Pressão ML-1T-2 FL-2 kg/m s2 = N/m2 pdl/ft2 
Densidade 
absoluta (ρ) 
ML-3 FL-4T-2 kg m-3 lbm ft-3 
Peso específico 
(γ) 
ML-2T-2 FL-3 kgm-2s-2 = Nm-3 pdl ft-3 
Viscosidade () ML-1T-1 FL-2T kg/m s = N s/m2 lbm/ft s = pdl s/ft2 
Viscosidade 
Cinemática (υ) 
L2T-1 L2T-1 cm2/s ft2/s 
Tensão 
Superficial 
MT-2 FL-1 kg/s2 = N/m lbm/s2 = pdl/ft 
 
1.4.2 Homogeneidade dimensional 
Uma equação é dita dimensionalmente homogênea quando seus diferentes termos têm todos 
a mesma dimensão. Um exemplo de equação dimensionalmente homogênea é a equação de 
Bernoulli, dada como: 
.Ctez
g2
Vp 2
=++

 
O primeiro termo da equação se refere a carga de pressão (ou piezométrica) dada pela razão 
entre a pressão (ML-1T-2) e o peso específico (ML-2T-2). A divisão das dimensões resulta na 
dimensão L, a qual é uma grandeza de comprimento. O segundo termo é definido pela carga cinética, 
razão entre o quadrado da velocidade (L2 T-2) e a aceleração de gravidade (LT-2), resultando também 
em uma grandeza de comprimento. O terceiro termo da equação é carga potencial que também é 
uma grandeza de comprimento. Logo a soma de todos os termos da equação é válida como eles 
possuem a mesma dimensão, indicando que a equação de Bernoulli satisfaz o princípio da 
homogeneidade dimensional. 
 
 
 
 
Exercícios 
Sistemas de Unidades 
 
P1.1. Uma unidade antiga de viscosidade no Sistema CGS é o “poise” ou g/cm/s. A viscosidade da 
água, a 293,16 K, é aproximadamente igual a μ = 10-2 poises. Expresse esse valor nos sistemas: a) 
Internacional; b) FSS (Inglês). 
 
P1.2. Transformar 1 kgf/cm2 em “psi” (libra força por polegada quadrada). Calcule a pressão do ar 
dos pneus de um carro que você conheça, nas duas unidades. 
 
P1.3. A unidade de massa no Sistema Técnico é a UTM. Sabendo que a massa específica da água a 
20ºC é ρa = 102 UTM/m3, qual é a relação entre UTM e kg (SI) e entre UTM e slug (FSS). 
 
P1.4. Quantos kW.h são necessários durante 24 horas para um motor de 50 hp? 
 
P1.5. A massa específica de um fluido é 3 slug/ft3. Calcule a massa específica no Sistema 
Internacional. 
 
P1.6. Uma unidade que ainda aparece em tabelas é o cSt. Pesquise a que propriedade corresponde e 
qual é sua expressão no Sistema Internacional? 
 
Homogeneidade dimensional 
 
P1.7. Verifique se a equação de Manning satisfaz o princípio da homogeneidade dimensional. 
 
2. Propriedades dos Fluidos 
Propriedades são características de uma substânciaque se mantém invariante em um dado 
estado. Algumas propriedades são fundamentais para a análise de um fluido e representam a base 
para o estudo da mecânica dos fluidos, essas propriedades são específicas para cada tipo de 
substância avaliada e são muito importantes para uma correta avaliação dos problemas comumente 
encontrados na Engenharia. As propriedades dos fluidos podem ser divididas em duas classes gerais, 
as intensivas e as extensivas. Chamamos de propriedade extensiva àquela que depende da massa 
do fluido, tais como peso, energia e a própria massa. Assim, se subdividirmos um fluido em várias 
partes e se o valor de uma dada propriedade for igual à soma das propriedades das partes, esta é uma 
variável extensiva. Ao contrário da propriedade extensiva, a propriedade intensiva independe da 
massa do fluido como, por exemplo, temperatura e pressão. Toda propriedade extensiva tem uma 
propriedade intensiva associada (Tabela 2.1). Uma propriedade intensiva de uma dada substância é 
obtida dividindo-se uma propriedade extensiva pela massa da respectiva substância contida no 
sistema, ou seja: 
m
N
= 
onde N e η são as propriedades extensiva e intensiva, respectivamente, e m é a massa da substância. 
Por exemplo, a quantidade de movimento (u.m) é uma propriedade extensiva cuja propriedade 
intensiva associada é a velocidade (u). 
 
Tabela 2.1. Propriedades extensivas e suas respectivas propriedades intensivas. 
 
 
 
2.1 Fatores de afetam as propriedades dos fluidos 
No Capítulo 1 vimos que a temperatura e a pressão são propriedades intensivas de um fluido 
(podem ser alteradas pela mudança das condições ambientais) que controlam o estado físico de todas 
as substâncias, uma vez que estes fatores afetam a velocidade de movimento das moléculas (grau de 
agitação) e, consequentemente, o espaçamento e as forças intermoleculares. Tais alterações 
intermoleculares promovem também mudanças em diversas propriedades dos fluidos, tais como na 
densidade absoluta, na viscosidade, na pressão de vapor e na tensão superficial. Desta forma, para 
toda substância fluida, um valor de uma determinada propriedade não faz sentido se não estiver 
acompanhada da sua condição de temperatura e pressão. Em líquidos, mudanças nos valores das 
propriedades são mais afetadas pela alteração da temperatura, e o efeito da mudança de pressão é 
muito pequeno em relação à temperatura e pode ser desprezado. Já em gases, a temperatura e pressão 
exercem papel importante nas propriedades dos gases e alterações de qualquer destas condições 
devem ser levadas em consideração. Assim é muito comum observar o valor de uma propriedade 
acompanhada das condições de temperatura e/ou pressão. Por exemplo, é comum empregar para 
medidas das propriedades de gases condições experimentais de temperatura e pressão de 273,15 K 
(0 °C) e 101.325 Pa (101,325 kPa = 1,01325 bar = 1 atm = 760 mmHg), respectivamente. Estas 
condições são chamadas Condições Normais de Temperatura e Pressão (cuja sigla é CNTP). A 
Tabela 2.2 mostra um exemplo de como a temperatura afeta os valores das propriedades físicas da 
água. A seguir veremos em detalhe cada propriedade física. 
 
Tabela 2.2. Propriedades física da água à pressão atmosférica (g = 9,80665 m/s2) para diferentes 
temperaturas. 
 
 
 
2.2 Densidade absoluta ou Massa específica 
A densidade absoluta (também chamada na Mecânica dos Fluidos de massa específica ou 
massa volumétrica) é dado pela razão entre a massa do fluido e o volume que contém essa massa. 

=
m
 
onde  é a densidade absoluta e  é o volume da substância4. Desta forma pode-se dizer que a 
densidade mede o grau de concentração de massa em determinado volume de uma substância. A 
unidade da densidade absoluta no Sistema Internacional é em quilogramas por metro cúbico (kg/m3). 
A Tabela 2.3 apresenta valores de densidade absoluta de alguns fluidos encontrados na natureza. A 
água destilada (água pura, sem qualquer outra substância dissolvida) assume o valor de 1000 kg/m3 
de densidade absoluta apenas para uma condição de temperatura de 4 oC (lembrando que para 
líquidos o efeito da pressão pode ser desprezado). Já a água do mar (água não pura, apresentando 
sal dissolvido), a 15 oC, pode assumir valores de densidade absoluta entre 1022 e 1030, dependendo 
da concentração de salinidade. Já para o ar atmosférico (gás) é possível notar que o valor de 
densidade absoluta de 1,29 kg/m3 refere-se a uma condição de pressão atmosférica (1 atm) e de 
temperatura de 0 oC e que o aumento da condição de temperatura para 15,6 oC promove uma redução 
da densidade absoluta para 1,22 kg/m3, uma vez a elevação da temperatura aumenta o espaçamento 
intermoléculas (menor massa para uma mesma quantidade de volume de ar atmosférico). 
 
Tabela 2.3. Densidade absoluta, em kg/m3, de alguns fluidos. 
Fluido ρ (kg/m3) 
Água destilada a 4 oC 1000 
Água do mar a 15 oC 1022 a 1030 
Ar atmosférico à pressão atmosférica e 0 oC 1,29 
Ar atmosférico à pressão atmosférica e 15,6 oC 1,22 
Mercúrio 13590 a 13650 
Petróleo 800 a 900 
 
4 Utilizando o símbolo  para volume para diferenciar do símbolo V, o qual é geralmente empregado para velocidade. 
 
 
O valor da densidade absoluta do fluido influencia sua posição vertical em relação a outro 
fluido imiscível (i.e. que não se misturam). Por exemplo, quando dois líquidos imiscíveis são 
colocados num mesmo recipiente, eles se dispõem de modo que o líquido de maior densidade ocupa 
a parte de baixo, e o de menor densidade ocupa a parte de cima. A separação entre eles é no plano 
horizontal. Por exemplo, água e petróleo (i.e. tipo de óleo), quando colocados em um mesmo 
recipiente, o petróleo, menos denso, ficará na parte de cima, e a água, mais densa, permanecerá na 
parte inferior. Isto explica a posição do petróleo na superfície quando ocorre vazamento de petróleo 
no oceano. 
No caso de líquidos, variações de temperatura promovem alterações no valor da densidade 
absoluta. Por exemplo, para a água a relação entre densidade e temperatura pode ser descrita de 
acordo com a equação abaixo: 
 
180
)4T(
1000
2
OH2
−
−= 
onde OH2
 é a densidade absoluta da água em kg/m3 e T é a temperatura da água em oC. A Figura 
2.1 apresenta o efeito da variação da temperatura nos valores de densidade absoluta da água. Observe 
que o valor máximo da densidade absoluta da água (1000 kg/m3) é alcançado para uma temperatura 
de 4 oC. A densidade absoluta da água diminui ao congelar porque ocorre um rearranjo molecular e 
o material aumenta de volume. Isto explica a posição do gelo (menos denso) na superfície de um 
recipiente com água (mais densa). Para temperatura superiores à 4 oC a densidade absoluta da água 
também diminui devido ao aumento do espaçamento intermolecular e, consequentemente, do seu 
volume. 
 
 
Figura 2.1. Efeito da temperatura na massa específica (densidade absoluta) da água. O valor máximo de 
densidade absoluta ocorre quando a temperatura atinge 4 oC. 
 
No caso de gases, tanto a temperatura como a pressão são propriedades importantes que 
influenciam a densidade absoluta de um fluido. É comum utilizar a lei dos gases ideais, que aproxima 
o comportamento dos gases reais nas condições normais (próximo do estágio de condensação ou 
liquefação), para representar a relação entre densidade absoluta, temperatura e pressão. Esta relação 
é dada por: 
RT
p
= 
onde  é a densidade absoluta do gás em kg/m3 e T é a temperatura absoluta em Kelvin e R é a 
constante do gás. No Anexo 2 são apresentados valores da constante R para alguns gases. 
Uma propriedade derivada da densidade absoluta é a densidade relativa (ou simplesmente 
densidade) que é dada pela razão entre a densidade de uma substância e uma densidade de uma 
substância de referência. A água é geralmente tomada como a substância de referência para líquidos 
e o ar geralmente é tomado como referência paragases. Matematicamente a densidade relativa pode 
ser expressa como: 
r
s*
s


 = 
992.0
993.0
994.0
995.0
996.0
997.0
998.0
999.0
1000.0
1001.0
-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Temperatura (
0
C)
M
a
s
s
a
 e
s
p
e
c
if
ic
a
 (
k
g
/m
3
) Massa Especifica (H2O)
 
onde 
*
s é a densidade relativa da substância, s é a densidade absoluta da substância e r é a 
densidade absoluta de uma substância de referência. A densidade relativa é uma grandeza 
adimensional, devido ao quociente. Quando se diz que um líquido tem uma densidade de 3, quer 
dizer que o fluido tem um valor de densidade absoluta 3 vezes superior à densidade absoluta da 
água. 
Outra propriedade derivada da densidade absoluta é o volume específico, Vs, que é definido 
como o volume ocupado pela unidade de massa de uma substância, ou seja, é o inverso da massa 
específica: 
m
1
Vs

==
 
O volume específico serve para normalizar o volume de uma substância em relação à sua 
massa. Desta forma é possível saber se uma substância ocupa maior volume que outra substância, 
para uma mesma unidade de massa. 
 
2.3 Peso específico 
O peso específico, γ, é definido pela relação entre o peso de uma substância e seu volume. 
Matematicamente pode ser escrito como: 

=
W
 
onde W é o peso da substância e  é o volume. Como o peso é dado pela multiplicação da massa 
pela aceleração da gravidade, podemos escrever também o peso específico como uma função da 
densidade absoluta do fluido: 
g
gmW
=


=

=  
No Sistema Internacional a unidade do peso específico é N/m3. O peso específico é um índice 
que possibilita saber se uma substância tem maior peso que outra substância, para uma mesma 
unidade de volume. 
 
Em problemas de Mecânica dos Fluidos na Engenharia usualmente a força peso de um fluido 
precisa ser determinada. Esta estimativa pode ser feita a partir do conhecimento do seu peso 
específico e suas dimensões (volume), como apresentado na equação abaixo. 
= W 
2.4 Viscosidade 
A viscosidade é uma das propriedades mais importantes e está associada a capacidade que um 
fluido tem para escoar. Conceitualmente, a viscosidade é definida como a resistência do fluido à 
deformação quando sujeito a uma tensão de cisalhamento. Por exemplo, uma tensão de cisalhamento 
(devido a uma força tangencial) aplicada em uma placa horizontal colocada na superfície de uma 
camada fluida que está inicialmente em repouso sobre um plano horizontal imóvel, promove um 
deslocamento não uniforme das partículas fluidas perpendicularmente à aplicação da tensão de 
cisalhamento, ou seja, na vertical (Figura 2.2). Esta tensão tangencial faz com que partículas fluidas 
que estão em um mesmo corte vertical (corte ab ou dc) em t = t0 se desloquem para uma nova posição 
(corte ab' ou dc') em t = t1. Na camada superficial (próxima a aplicação da tensão de cisalhamento), 
as partículas fluidas se deslocam com velocidade próxima a velocidade da superfície plana 
horizontal (U). A camada de fluido superficial transfere energia para a camada de fluido 
imediatamente vizinha (abaixo) devido ao atrito entre as moléculas. Neste processo de transferência 
de energia para camadas vizinhas ocorre também perda de energia (para fluidos viscosos reais), 
fazendo com que exista um movimento relativo vertical entre as moléculas, chamado de perfil de 
velocidade. No caso do exemplo mostrado na Figura 2.2 o perfil de velocidade é linear, onde a 
velocidade (u) é uma função da profundidade (y). O atrito interno entre as camadas vai transferindo 
energia de uma camada para outra até chegar na última camada próxima ao plano horizontal imóvel, 
onde a velocidade é nula (mesma velocidade da placa). Este atrito interno que se designa por 
viscosidade, a qual está diretamente relacionada com a coesão entre as partículas do fluido. Quanto 
maior a coesão, maior será a resistência à deformação do fluido quando sujeito a uma tensão de 
cisalhamento e, consequentemente, maior será a viscosidade. Por exemplo, é mais fácil vazar água 
de um recipiente do que óleo, uma vez que a viscosidade do óleo é mais alta do que a da água. 
 
 
 
 
Figura 2.2. Fluxo de um fluido viscoso induzido pelo movimento de uma placa horizontal colocada na 
camada superior do fluido. A tensão de cisalhamento na superfície provocada pela placa promove uma 
deformação no sentido perpendicular ao escoamento (eixo y). 
Para definir matematicamente a viscosidade, Isaac Newton observou que existia uma relação 
diretamente proporcional entre a tensão de cisalhamento e a deformação (ou taxa de variação de 
velocidade u com a distância y), e que esta relação era associada por um coeficiente de 
proporcionalidade (α). 
dy
du
cis   
onde τcis é a tensão de cisalhamento em N/m2 e du/dy é a taxa de deformação em 1/s. Este coeficiente 
de proporcionalidade foi então chamado de viscosidade (μ), também chamado de viscosidade 
absoluta. 
dy
du
cis =  
A Figura 2.3 mostra curvas apenas ilustrativas dos tipos de fluidos em relação a viscosidade 
de acordo com o comportamento da tensão de cisalhamento aplicada. Graficamente a viscosidade 
pode também ser definida como a inclinação da reta tangente à curva deformação versus tensão de 
cisamento em um determinado ponto. Quanto maior a inclinação da reta tangente à curva maior a 
viscosidade. Fluidos ideais (curva A), geralmente utilizados em modelos teóricos simples para 
representação do escoamento, são aqueles onde a viscosidade é nula e não apresentam movimento 
relativo entre camadas (tensão de cisalhamento é zero). Fluidos onde a viscosidade não varia com a 
tensão de cisalhamento aplicada são chamados Fluidos Newtonianos (curva C). Neste grupo estão 
a maioria dos fluidos práticos, tais como água e soluções aquosas, óleos, entre outros. O plástico de 
 
Bingham (curva F) pode ser visto também como um fluido newtoniano. No entanto, a deformação 
neste tipo de fluido só acontecerá para tensões de cisalhamento diferente de zero (τ0), onde podemos 
encontrar como exemplo alguns produtos alimentícios com alto teor de gordura (chocolate, 
manteiga, margarina). Existem grupos de fluidos mais complexos, onde a viscosidade varia com o 
aumento da tensão de cisalhamento (curvas B, D, E e G). Em fluidos do tipo dilatante e plásticos 
(curva B e E), a viscosidade (inclinação da reta tangencial) aumenta com o aumento da taxa de 
cisalhamento, característico de algumas soluções de açúcar e de amidos (ex. mistura de água e amido 
de milho). No grupo dos pseudo-plásticos e Casson (curva D e G), a viscosidade diminui com o 
aumento da taxa de cisalhamento, sendo característicos de sangue, alguns produtos alimentícios, 
massas de cerâmica, tintas e de cimento. 
 
 
Figura 2.3. Classificação dos fluidos em relação à viscosidade. 
A viscosidade de fluidos varia também em função das condições ambientais de temperatura e 
pressão. Em líquidos, a viscosidade diminui com o aumento de temperatura, uma vez que o aumento 
da temperatura promove uma redução da força de coesão intermolecular, aumentando a capacidade 
de deformação do fluido. Para gases o efeito é oposto e o aumento de temperatura provoca um leve 
taxa de deformação 
 
aumento da viscosidade do fluido. Este efeito ocorre devido ao aumento do choque entre moléculas 
com o aumento da temperatura (movimento de vibração molecular). Tais choques fazem com que 
aconteça uma perda de energia e, consequentemente, um leve aumento da resistência ao escoamento 
e da viscosidade. 
Outra propriedade derivada da viscosidade absoluta é o viscosidade cinemática, υ, que é 
definida como a razão entre a viscosidade absoluta e a massa específica: 


 = 
No SI, a unidade da viscosidade cinemática é m²/s e a unidade de viscosidade absoluta é em 
N.s/m2 ou Pa.s. 
 
2.5 Módulo de elasticidade 
Devido ao relativo espaçamento entre as moléculas, fluidos têm capacidade dese comprimir 
(reduzir seu volume) ou expandir (aumentar seu volume) quando sujeitos a uma variação da tensão 
normal de compressão ou tração, respectivamente (Figura 2.4). 
 
Figura 2.4. Variação de volume de um fluido confinado devido a uma variação da tensão normal de 
compressão. O volume 1 corresponde ao volume do fluido para uma tensão de compressão nula e o 
volume  corresponde ao volume do fluido para uma tensão de compressão P = F/A. 
A
F
V V1
 
 
O módulo de elasticidade (também chamado de módulo de compressibilidade ou coeficiente 
de compressibilidade), K, é uma propriedade que avalia o potencial de deformação volumétrica de 
um fluido, matematicamente definido como a taxa de variação da deformação como função da 
variação da tensão normal de compressão, considerando que não ocorre variação de massa neste 
processo: 
1
d
dp
K


−=
 
onde dp é a variação de tensão de compressão (pressão) e d é a variação de volume ( )1− 
provocada pela diferença de pressão. Como a fração de variação em volume ( )1d  é negativa 
para um dp positivo, o sinal negativo é usado na definição para fornecer um valor positivo de K. 
Graficamente o coeficiente de elasticidade corresponde à inclinação da reta tangente da curva dada 
pelo diagrama tensão-deformação (Figura 2.5). Observa-se que para uma tensão de compressão nula, 
não existe variação de volume ( )1= e que com o aumento da tensão de compressão ocorre 
uma redução volumétrica do fluido. Observe que a inclinação da reta tangente à curva (módulo de 
elasticidade) aumenta à medida que a tensão de compressão aumenta até o ponto em que o fluido se 
comporta como um sólido por não existir mais espaços entre as moléculas. No diagrama tensão-
deformação o valor do módulo de elasticidade do fluido é obtido na parte inicial da curva, onde o 
comportamento é próximo do linear. 
 
 
Figura 2.5. Diagrama tensão-deformação. A inclinação da reta tangente à curva corresponde ao valor do 
módulo de elasticidade do fluido. 
O valor de K para a água é aproximadamente 2,20 GPa, o que corresponde a uma variação de 0,05% 
no volume para um aumento de 1 MPa na pressão. Esta pequena variação de volume frente à um 
elevado aumento de pressão de compressão, justifica a consideração da água como sendo um fluido 
incompressível. 
 
2.6 Pressão de vapor 
Na superfície de um líquido existe uma constante troca de moléculas que escapam para a 
atmosfera (evaporação) e outras que penetram no líquido (condensação). Esta troca depende da 
atividade molecular, que por sua vez depende da temperatura e pressão. A pressão de vapor 
corresponde ao valor de pressão na qual o fluido passa da fase líquida para a fase gasosa. Isto 
significa que quando a pressão externa, na superfície do líquido, se iguala ao valor da pressão de 
vapor, inicia-se a passagem de moléculas no estado líquido para o estado gasoso. O aumento de 
temperatura faz com que o valor de pressão de vapor do líquido também aumente (Tabela 2.2), 
sugerindo que o processo de evaporação também pode ocorrer devido ao aumento de temperatura 
Tensão
(P=F/A)
Deformação V/V1 1
dV/V1
dp
 
como ela afeta a pressão de vapor do líquido. Por exemplo, a água entra em ebulição à temperatura 
100 ⁰C, uma vez que a pressão de vapor da água a esta temperatura atinge o valor da pressão 
atmosférica externa, equivalente a 1 atm (ao nível do mar). Regiões com altitudes maiores do que o 
nível do mar apresentam pressão atmosférica menor do que 1 atm. Nestas regiões, a água entra em 
ebulição para menores valores de pressão de valor, ou seja, para temperaturas menores do que 100 
⁰C. 
Um problema muito recorrente na Engenharia é o fenômeno da cavitação que ocorre em 
bombas não afogadas devido à altura de sucção (i.e. desnível geométrico entre o nível dinâmico da 
captação e o bocal de sucção da bomba). Se na entrada da bomba houver pressão inferior à pressão 
de vapor da água, haverá formação de bolhas de vapor (Figura 2.6), podendo até interromper a 
circulação da água ou formar muitas bolhas menores que ao atingir regiões de pressão mais altas 
ocasionam implosões, causando ruídos (martelamento) e vibrações no sistema. Este fenômeno 
provoca o desgaste das paredes da bomba e das hélices (palhetas) do rotor, reduzindo sua eficiência. 
 
 
Figura 2.6. Fenômeno de formação de bolhas de vapor devido à queda de pressão (fenômeno chamado de 
cavitação). 
 
 
2.7 Tensão superficial 
Esta propriedade é pouco conhecida, mas os efeitos dela podem ser observados em diversas 
situações práticas, incluindo no campo da Engenharia. A tensão superficial, σs (no SI em N.m), 
ocorre na camada da superfície de um líquido quando em contato com outra superfície (sólida, 
líquida ou gasosa). 
Esta propriedade é responsável por fazer uma interface entre líquidos e gases ou entre líquidos 
diferentes por apresentar características singulares em comparação ao interior do fluido. No caso de 
uma interface entre líquido e gases, as moléculas situadas no interior do líquido são atraídas em 
todas as direções pelas moléculas vizinhas, enquanto as moléculas da superfície do líquido sofrem 
apenas atrações laterais e internas. As moléculas nos gases estão muito mais dispersas no espaço, 
interagindo muito menos com as moléculas da superfície do líquido. Esta irregularidade no balanço 
de forças de atração faz com que a interface se comporte como uma película elástica. Assim, alguns 
objetos mais densos do que o líquido podem flutuar na superfície, caso estes se mantenham secos 
sobre a interface como, por exemplo, alguns insetos que caminham sobre a superfície da água, a 
poeira fina que se estabelece na superfície do líquido e que não afunda, bem com uma moeda que 
flutua na superfície da água (Figura 2.7). No caso de uma interface entre dois líquidos imiscíveis, a 
interação entre as moléculas da interface de um dos líquidos e as moléculas de seu interior é diferente 
da interação entre as moléculas na interface dos dois líquidos. Em ambos os casos, as moléculas da 
superfície ou interface interagem com seus vizinhos diferentemente das moléculas do interior dos 
líquidos. Isso faz das superfícies e das interfaces regiões de maior energia e que exibam 
comportamento diferente daquele do interior. 
 
 
 
Figura 2.7. Exemplo onde a tensão superficial do líquido promove uma ação contrária ao peso do objeto, 
fazendo com que ele flutue na superfície do líquido, mesmo apresentando maior densidade do que o 
líquido. 
 
Na interface líquido-sólido, formada pela área de contato entre as duas substâncias, também a 
tensão superficial permitirá a aderência entre os dois elementos. Quanto maior a superfície de 
contato maior será a força de adesão entre as substâncias. A área de contato depende do balanço de 
forças entre coesão molecular e adesão na interface. Se força de coesão do líquido for muito superior 
à força de adesão na interface, a área de contato será pequena devido a contração do líquido. No 
entanto, se força de coesão do líquido for muito pequena em relação à força de adesão na interface, 
o espalhamento do líquido na superfície será maior (Figura 2.8). 
 
 
 
 
Figura 2.8. Exemplo de espalhamentos da água em diferentes superfícies sólidas: (a) para-brisa de um 
carro; (b) gotas aderidas uma folha de superfície lisa; (c) gotas aderidas em uma folha de superfície 
irregular microscopicamente; (d) superfície hiper hidrofóbica geralmente utilizadas nos macacões de atletas 
da natação para reduzir a tensão superficial com a água. 
 
Na Engenharia um problema relacionado a esta propriedade é o fenômeno da capilaridade, 
referente a subida ou descida de um líquido em um tubo capilar. Quando as forças de adesão de 
contato são superiores as forças de coesão, o líquido subirá no tubo capilar até uma altura, h, onde 
são equivalentes a componente vertical da força de adesão e a força peso do fluido no interior dotubo (Figura 2.9). A altura h pode ser determinada através da seguinte expressão: 
R
2
h s


= 
onde R é o raio do tubo capilar. 
(a) (b) 
(c) (d) 
 
Infiltrações no subsolo de prédio podem estar associada a subida da água do meio saturado (região 
do solo onde os vazios estão preenchidos por água) para o meio não saturado (região do solo onde 
os vazios apresentam ar e água). 
 
Figura 2.9. Subida de um líquido em um tudo capilar vertical. 
 
 
θ
W = γ.Vol
h
F = 2πRσ
2R
 
Exercícios 
P2.1. Calcule a massa específica, o peso específico, o volume específico e a densidade dos 
seguintes líquidos, no SI: 
Água: T = 20°C e T = 45°C; 
Mercúrio: T = 15,55°C e T = 315,55°C; 
Álcool: T = 25°C. 
 
P2.2. Calcule a massa específica, o peso específico e o volume específico dos seguintes gases: 
Ar: T = 20°C, pabs = 344 kPa; 
Monóxido de Carbono: T = 10°C, pabs = 137,1 kPa; 
Dióxido de Carbono: T = 100°C, pabs = 101,3 kPa. 
 
P2.3. O peso molecular do Nitrogênio é 28. Use a lei dos gases perfeitos e calcule sua massa 
específica a 50,6 kPa e a 100°C. 
 
P2.4. Um volume de 2,772x10-3 m3 de determinado fluido, a 20°C, pesa, em certo local, 37,43 
kgf. Calcule a massa específica, o peso específico e a densidade do fluido no SI. Dados : glocal 
= 9,79 m/s2; ρágua,20°C = 998,2 kg/m3. 
 
P2.5. 30 litros de água a 20°C sofrem uma compressão de 21 kgf/cm2, sendo sua massa 
específica antes da compressão igual a 998,2 kg/m3. Calcular o novo volume da água e a nova 
massa específica. Considere: E = 2,17.106 kN/m2. 
 
P2.6. Um cilindro contém 0,375 m3 de ar a 49°C e a pressão absoluta igual a 2,8 kgf/cm2. O ar 
é comprimido até o volume de 0,075 m3, em condições isotérmicas. Calcule a pressão do novo 
volume de ar e o módulo de elasticidade volumétrico. 
 
P2.7. Que pressão deve ser aplicada à água para que seu volume se reduza em 1%? 
 
 
P2.8. Quando um volume de 0,029 m3 de álcool for submetido a uma pressão de 50.662,5 kPa, 
ele se contrairá para 0,027 m3. Calcule seu módulo de elasticidade. 
 
P2.9. Calcule a velocidade do som, para a pressão absoluta de 101,3 kPa, nos seguintes fluidos: 
a) ar a 0°C, 20°C e 40°C; 
b) água a 20°C; e 
c) Mercúrio a 20°C. 
 
P2.10. Calcule o número de Mach para um avião voando a 1.126 km/h em altitudes de 1.524 m 
e 15.240 m. 
 
P2.11. Calcule a massa específica do ar, na cidade onde você mora, para um dia de verão e 
outro de inverno. Arbitre valores da pressão atmosférica para dias de “baixa pressão” e de “alta 
pressão”. Se necessário, consulte o Serviço Meteorológico. 
 
P2.12. A viscosidade de muitos fluidos pode ser ajustada a uma lei log-potencial do tipo: 
2
000 T
T
c
T
T
baln 







+







+=









. Ajuste a lei proposta (significa: calcule as constantes a, b 
e c) para a água, utilizando T0 = 273,16 K e μ0 = 0,001792 kg/(m.s), baseado em valores 
tabelados da viscosidade μ em função da temperatura T. Indique a referência bibliográfica 
consultada. Resposta: valores aproximados: a = -1,94; b = -4,8; c = 6,74. 
 
P2.13. Sabendo que alguns valores medidos da viscosidade do álcool etílico, à patm padrão, são 
dados por: 
 
ajuste estes valores à mesma expressão do problema 12. Utilize o mesmo T0. 
 
 
P2.14. Calcule a viscosidade do óleo com os dados da Figura P2.14. Suponha um perfil de 
velocidade linear. 
 
Figura P2.14 
 
P2.15. Sabendo que a viscosidade dos líquidos diminui em forma exponencial com a 
temperatura (μ ≈ g.e–hT, onde g e h são constantes), ajuste este tipo de função aos dados do 
problema 13 e compare o gráfico das duas curvas. Repita o procedimento para o caso do ar e 
da água. 
 
P2.16. Pesquise sobre os códigos usados nos óleos para carros. O que significa a classificação 
SAE? Em uma tabela, relacione o grau SAE com a viscosidade do óleo. O que significa a sigla 
API? 
 
P2.17. Para graxas lubrificantes, é usada a sigla NLGI. Explique o que significa e como é obtido 
seu valor. 
 
P2.18. A massa específica ρ de um líquido usualmente decresce ligeiramente com a temperatura 
T e cresce moderadamente com a pressão. Se desprezarmos o efeito da temperatura, uma 
relação empírica pressão – massa específica para um líquido é ( ) B1B
p
p
n
00
−







+=


, 
onde B e n são parâmetros adimensionais que variam ligeiramente com a temperatura e p0 e ρ0 
são valores para a atmosfera padrão. Para a água, podemos estabelecer aproximadamente os 
 
valores de B ≈ 3000 e n ≈ 7. Resultados experimentais para a massa específica do mercúrio, a 
20°C, estão representados a seguir: 
 
Ajuste estes valores à expressão anterior. Calcule a velocidade do som e compare com os 
valores tabelados a 1 atm. 
 
P2.19. O peso W, apresentado na Figura P2.19, cai a uma velocidade constante de 0,046 m/s. 
Calcule a viscosidade aproximada do óleo. Despreze os efeitos de contorno na parte superior e 
inferior do cilindro. 
 
Figura P2.19 
 
P2.20. Uma fenda vertical, de largura igual a 25,4 mm e com extensão infinita, contém óleo de 
densidade igual a dóleo = 0,95 e viscosidade absoluta μ = 2,4 N.s/m2. Uma placa metálica, 
medindo 1,524 m × 1,524 m × 1,5 mm e de massa m = 4,53 kg, é içada através da fenda com 
velocidade constante V0 = 0,06 m/s. Estimar a força necessária para manter o movimento. 
 
P2.21. Classifique os fluidos da tabela em newtonianos ou não-newtonianos. Justifique sua 
resposta. 
 
 
 
P2.22. Um cilindro com 20,32 cm de diâmetro e 91,4 cm de altura é concêntrico a um cano de 
20,9 cm de diâmetro interno (Figura P2.22). Entre o cilindro e o cano existe uma película de 
óleo. Qual será a força necessária para mover o cilindro com velocidade constante de 91,4 cm/s? 
A viscosidade cinemática do óleo é 5,5 cm2/s e a densidade relativa é 0,92. 
 
Figura P2.22 
P2.23. O espaço anular formado entre dois cilindros concêntricos (Figura P2.23), com 
comprimento igual a 0,15 m, está preenchido com glicerina (μ = 4,1 x 10-1 N.s/m2). Os 
diâmetros dos cilindros interno e externo são iguais a 152,4 e 157,5 mm, respectivamente. 
Determine o torque para manter o cilindro interno girando a 180 rpm. Admita que o cilindro 
externo é imóvel e que a distribuição de velocidade no escoamento da glicerina é linear. 
 
Figura P2.23 
 
cilindro 
móvel cilindro 
imóvel 
T 
 
P2.24. Dois discos coaxiais horizontais com diâmetro de 2 ft estão separados por uma distância 
de 0,050 in (Figura P2.24). O disco inferior está fixo e o superior gira a 5 rps, necessitando de 
um torque de 8,62 ft.lbf. Desprezando os efeitos laterais, calcule a viscosidade do óleo que 
preenche o espaço entre os discos. Suponha distribuição de velocidade linear. 
 
 
Figura P2.24 
P2.25. Nutrientes dissolvidos são conduzidos para as partes mais superiores das plantas através 
de estreitos condutos em seu caule devido ao efeito da capilaridade (Figura P2.25). Determine 
a altura máxima que a água originalmente do solo poderá subir em uma árvore que tem micro 
tubos de diâmetro de 0,005 mm como resultado do efeito da capilaridade. Considere a água a 
20°C e o ângulo de contato de 15°. 
 
Figura P2.25 
 
P2.26. Óleo com viscosidade absoluta µ preenche uma pequena lacuna de espessura Y 
(Figura P2.26). Determine uma expressão para o torque, T, requerido para rotacionar o tronco 
de cone em uma velocidade angular constante ω. Despreze o atrito. 
 
0,05 in 
2 ft 
8,62 ft.lbf 5 rps 
Água 
 
 
Figura P2.26 
P2.27. A viscosidade absoluta de fluidos na fase gasosa aumenta ou diminui com o aumento da 
temperatura? Justifique. 
 
P2.28. Observe as sentenças abaixo: 
I - A dimensão correspondente ao peso específico é 





TL
M
2
. 
II - Os fluidos newtonianos são aqueles em que a viscosidade varia com a força aplicada. 
III - Quando a pressão absoluta no fluido alcança a pressão de vapor acontece o fenômeno 
denominado ebulição. 
IV - Todo fluido é líquido. 
Estãocorretas: 
(a) I e III (g) apenas III 
(b) apenas I (f) todas estão corretas 
(c) II e IV (h) apenas IV 
(d) apenas II (i) II e III 
(e) III e IV 
 
P2.29. Com relação a estrutura molecular e suas características quando submetidos a tensões, 
diferencie, conceitualmente, os fluidos dos sólidos. 
 
 
α α 
Y 
ω 
b 
a 
 
P2.30. Segundo a viscosidade, como são classificados os fluidos? Explique cada tipo e cite 
exemplos de fluidos para cada tipo. 
 
P2.31. Explique como ocorre o fenômeno da cavitação em bombas hidráulicas. 
 
P2.32. Um amigo de seu Pai, Sr. Sebastião, soube que você é estudante de Engenharia e lhe 
contou um caso que estava acontecendo em sua residência. De acordo com o Sr. Sebastião "a 
água tá subindo pela parede!!!". Este fato vem deixando a casa com cheiro de morfo e insalubre. 
Os filhos do Sr. Sebastião também reclamam de problemas respiratórios. Do ponto de vista 
técnico, explique ao Sr. Sebastião o que pode estar acontecendo. 
 
P2.33. Faça um histórico sobre a ciência Mecânica dos Fluidos, como surgiu até os tempos 
atuais. 
 
P2.34. Em uma matéria de programa de TV, um participante deu alguns passos sobre as águas 
de um lago. Aconteceu realmente um milagre ou este fenômeno pode ser explicado pela 
Mecânica dos fluidos? Justifique sua resposta. 
 
P2.35. Após o período da Renascença (em torno do Sec. XV) uma série de contribuições foram 
realizadas na mecânica dos fluidos. No entanto se apresentavam duas abordagens diferentes 
distintas: a teórica e a prática. Explique o que motivou desta separação e qual o evento que 
marcou a unificação destas abordagens. 
 
 
 
 
 
3. Estática dos Fluidos 
A estática dos fluidos (também chamada de hidroestática ou fluidostática) é uma subárea 
da mecânica dos fluidos que estuda as forças exercidas por e sobre fluidos em repouso ou em 
movimento uniforme. O fluido pode ser considerando estático quando não existem tensões de 
cisalhamento envolvidas, ou seja, quando a viscosidade não intervém no problema. Para fluidos 
em repouso, a ausência de tensões de cisalhamento em fluidos em repouso ocorre devido à 
ausência de movimento entre as moléculas que implica também na inexistência de atrito. No 
caso de fluidos em movimento uniforme, não existem movimento relativo entre camadas de 
moléculas que viajam paralelamente com mesma velocidade. Sem este movimento relativo 
entre camadas (i.e. ausência de gradiente de velocidade) não existe atrito entre as camadas 
fluidas e, consequentemente, não existe a presença de tensões de cisalhamento e forças viscosas. 
Assim, as formulações desenvolvidas para fluidos em repouso também podem ser empregadas 
para fluidos em movimento uniforme. 
Problemas associados a estática dos fluidos são bastante relevantes e permeiam várias 
áreas da Engenharia. O dimensionamento de reservatórios, comportas, eclusas, embarcações, 
são alguns exemplos onde é necessário o conhecimento aprofundado desta matéria uma vez que 
o dimensionamento destas estruturas depende do balanço de forças (translação) e momento 
(rotação), resultante da interação fluido/estrutura. 
Neste Capítulo serão explorados os seguintes tópicos: (a) a diferença conceitual entre 
força, tensões e pressões associadas aos fluidos; (b) o estabelecimento as distintas escalas de 
pressão (c) a obtenção e entendimento das equações governantes da estática dos fluidos; (d) o 
conhecimento dispositivos para medir pressão; (e) a determinação das forças exercidas por 
líquidos em objetos submersos e seus respectivos pontos de aplicação; e (f) o desenvolvimento 
de exemplos de aplicação. 
 
3.1 Forças, tensões e pressões 
Forças, tensões e pressões (Figura 3.1) são exercidas por ou sobre fluidos. Tais elementos 
possuem conceitos distintos e são muito importantes para a compreensão de qualquer fenômeno 
envolvendo fluidos, inclusive os fenômenos relacionados à estática dos fluidos. 
As tensões normais e tangenciais foram definidas e discutidas no Capítulo 1, com a 
finalidade de diferenciar conceitualmente o comportamento de fluidos e sólidos em face às 
tensões. As forças envolvendo fluidos podem ser classificadas em forças superficiais, as quais 
 
ocorrem na interface (superfície de contato) entre fluidos e sólidos, entre dois fluidos imiscíveis 
ou entre camadas de um mesmo fluido em movimento relativo ou em repouso, e forças 
mássicas ou de campo, as quais agem em cada elemento de volume proporcionalmente à massa 
do fluido (por exemplo, as forças gravitacionais). As forças superficiais pode ser subdividas em 
forças de pressão, que são forças normais a superfície de contato, e forças viscosas, 
provocadas necessariamente pela ação de uma força de cisalhamento que promove um gradiente 
de velocidade em um fluido real (i.e. fluido com viscosidade diferente de zero). Em problemas 
de estática dos fluidos, por exemplo, os tipos de forças envolvidas são apenas as forças 
superficiais de pressão e forças mássicas de gravidade. Em problemas de escoamento (fluido 
em movimento), com a presença de gradiente de velocidade, além das forças de pressão e de 
gravidade, existe também a presença de forças viscosas. 
 
 
Figura 3.1. Tipos de força e tensões associadas aos fluidos. 
 
O conceito clássico de pressão na Mecânica dos Sólidos pode ser estendido para a 
Mecânica dos Fluidos, uma vez que a pressão pode ocorrer em uma superfície de um fluido 
quando esta superfície está em contato com outro fluido ou com um sólido. A pressão na 
superfície pode ser definida como a razão entre o módulo do vetor força de compressão, 
Forças
Superficiais
Mássicas ou de campo → Gravidade
Pressão
Viscosas
Tensões
Normais
Tangenciais
DA 1
2
n
Pressão Devida a uma força normal 
de compressão
DA
A)n(pFd pressão D−=

 
exercida perpendicularmente a uma superfície, e a área da superfície. A unidade de pressão no 
SI é Pascal (ou simplesmente Pa) que equivale a pressão exercida por uma força de 1 Newton 
agindo em uma área de 1 metro quadrado, ou seja, N/m2. As unidades atm (1 atm = 
1,01325 x 105 Pa) e mm de Hg (1 atm = 760 mm Hg) também são bastante utilizadas em 
problemas de Mecânica dos Fluidos. Matematicamente, a pressão pode ser escrita como: 
( )
A
nFd
p
D
−•
=

 Eq. 3.1 
 
onde Fd

 é o vetor força aplicado na superfície cujo área é equivalente a AD e n

 é o vetor 
unitário normal a superfície. Desta forma apenas a componente normal do vetor (perpendicular 
à superfície), Fd

, promove pressão. Como esta componente é sempre oposta ao vetor unitário 
normal a superfície, a pressão que também pode ser entendida como uma tensão de compressão 
em uma superfície. Como o resultado de um produto escalar entre dois vetores é uma quantidade 
escalar, a pressão é uma grandeza escalar e não vetorial. 
De modo inverso, podemos determinar a força resultante de pressão exercida por um 
fluido em uma superfície conhecendo a pressão que atua nesta superfície. Como a pressão em 
um ponto só pode assumir um único valor, podemos assumir que a pressão não varia em um 
elemento infinitesimal de área, dA , contido em uma superfície de área, A (Figura 3.2). Desta 
forma, a força de pressão, Fd

, aplicada elemento infinitesimal de área pode ser estimada 
através da seguinte expressão: 
( )dAnpFd pressão

−= Eq. 3.2 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.2. Força resultante devido à pressão exercida por um fluido em uma superfície hipotética. 
Fd

 
RF

 
dA 
A 
 
 
A força resultante devido à pressão na superfície pode ser determinada através da 
integração da pressão ao longo da superfície: 
( ) −==
A
pressão dAnpFFd

 Eq. 3.3 
Observe que o elemento de integração do lado esquerdo da equação é a área. Portanto, a 
pressão, p, só poderá sair da integral se seu valor for constante ao longo da superfície, caso 
contrário a força resultante só será determinada se a lei devariação da pressão na superfície for 
conhecida, ou seja, uma função que represente a pressão em relação a qualquer posição na 
superfície. Assim, além do conhecimento da pressão em pontos específicos no fluido também 
é importante conhecer como a pressão varia em função do espaço. Desta forma, na próxima 
seção veremos como a pressão se comporta em um ponto e na seção seguinte veremos como a 
pressão varia em função do espaço. 
 
3.2 Pressão em um ponto 
A pressão é uma propriedade pontual do fluido e para uma situação estática apresenta 
forte dependência da posição. Em termos pontuais, a pressão apresenta um único valor, sendo, 
portanto, não é dependente da direção. Tal característica da pressão pontual pode ser observada 
quando analisamos o balanço de forças em uma porção de fluido, de qualquer geometria, em 
repouso. Considere que esta porção seja um prisma triangular como apresentado na Figura 3.3 
e que a pressão em uma determinada face pode ser considerada constante, o que é razoável uma 
vez que a área de cada face é pequena (dimensões infinitesimais). No entanto a pressão pode 
assumir valores diferenciados em cada face. Desta forma, como não existe variação da pressão 
em uma determinada face, a força exercida pelo fluido, FR,face, que está na vizinhança da face 
pode ser descrita como: 
facefacefaceR ApF =, Eq. 3.4 
 
onde pface é a pressão na face e Aface é a área da face. 
 
 
 
Figura 3.3. Balanço de forças em uma porção de fluido em repouso. 
 
Como a porção de fluido está em repouso, o somatório das forças em qualquer direção 
deve ser nulo, ou seja: 
 
Eq. 3.5 
 
Na direção x existem apenas forças superficiais de pressão: 
0=−= senFFF sxxdireção Eq. 3.6 
 
As forças de pressão Fx e Fs que atuam nas faces de áreas dy.dz e dy.ds, respectivamente, 
são dadas pelo produto da pressão nas faces com as áreas das respectivas faces: 
( )
( )


=
=
dsdypF
dzdypF
ss
xx
 Eq. 3.7 
 
substituindo a Eq. 3.7 na Eq. 3.6 e sabendo que dz = ds.senθ, obtêm-se: 
( ) ( ) 0=−  sendsdypsendsdyp sx Eq. 3.8 
y
z
x
θ
dz
ds
dx
Fs
Fx
Fz
W
dy
= 0F






=
=
=



0F
0F
0F
z
y
x
 
 
que resulta em: 
sx pp = Eq. 3.9 
 
Assim como na direção x, existem apenas forças superficiais de pressão na direção y nas 
faces triangulares frontal e oposta: 
0
22
=




 
−




 

dzdx
p
dzdx
p atrás
y
frente
y Eq. 3.10 
 
resultando em: 
atrás
y
frentre
y pp = Eq. 3.11 
 
E finalmente na direção z o balanço de forças é dado por: 
 
0cos =−−= WFFF szzdireção  Eq. 3.12 
 
onde W é o peso da porção de fluido, que pode ser obtido conhecendo o volume da porção, 
2/dzdydx = , e do peso específico do fluido,  : 
=W Eq. 3.13 
assim a Eq. 3.12 fica: 
0
2
cos =




 
−−
dzdx
dydsdypdydxp sz  Eq. 3.14 
como dx = ds.cosθ, obtêm-se: 
0
2
cos
coscos =




 
−−
dzds
dydsdypdydsp sz

 Eq. 3.15 
simplificando os termos comuns, chega-se em: 
 
2
dz
pp sz

+=

 Eq. 3.16 
Para obter a pressão em um ponto, aproximamos as dimensões (dx, dy, dz e ds) do prisma 
triangular para zero, resultando em: 
szyx pppp === Eq. 3.17 
A equação Eq. 3.17 indica que em um ponto qualquer o valor da pressão é o mesmo, 
independente a direção tomada (direção x, y, z ou s). Desta forma, como a pressão em um ponto 
não é dependente da direção, ela é uma grandeza escalar, reforçando o que já foi colocado 
anteriormente. 
O valor da pressão em um ponto pode ser definido considerando duas escalas: a escala 
absoluta e escala efetiva ou relativa de pressão (Figura 3.4), as quais são igualmente 
importantes em problemas de Mecânica dos Fluidos, uma vez que a resolução de qualquer 
problema depende da definição de uma escala de pressão. 
A escala absoluta de pressão é a escala que adota como zero o vácuo absoluto (i.e. 
ausência de matéria), onde nesta escala só existem valores positivos de pressões. Teoricamente, 
nesta escala, poderíamos ter a pressão igual a zero, que representa a pressão do vácuo absoluto. 
Esta é realmente a única escala que abrange todos os valores de pressão com significado físico. 
A escala relativa de pressão é a escala que adota como zero a pressão atmosférica local. Desta 
forma, nesta escala pode existir valores negativos de pressão (chamados de depressões ou 
vácuos relativos), nulos (que equivale à pressão atmosférica na escala absoluta) e positivos (que 
equivale aos valores maiores do que a pressão atmosférica na escala absoluta). O menor valor 
fisicamente possível na escala de pressão relativa é prel = -patm, que corresponde ao valor zero 
para a escala absoluta (vácuo absoluto). 
 
 
Figura 3.4. Escalas de pressão utilizadas na Mecânica dos Fluidos. 
 
3.3 Variação da pressão no espaço 
Vimos anteriormente que o conhecimento da variabilidade da pressão é importante para 
a determinação de forças exercidas por fluidos em superfícies. Desta maneira, nesta seção 
demonstraremos como a pressão em um fluido estático pode ser descrita, matematicamente, em 
função do espaço. Para isto, considere o balanço de forças aplicado em um prisma retangular 
infinitesimal de fluido em repouso, de dimensões dx, dy e dz, como mostrado na Figura 3.5. A 
pressão em uma determinada face pode ser considerada constante (dimensões infinitesimais) e 
pode ser estimada em função da pressão no centro do elemento infinitesimal, denominada p. 
Uma aproximação de série de Taylor pode ser utilizada para estimar a pressão em cada face 
conhecendo a pressão no centro do elemento, simplificando os termos de segunda ordem da 
série. Por exemplo, as pressões nas faces esquerda e direita do elemento, correspondente a 
direção x, podem ser aproximadas por: 
2
dx
x
p
ppesquerda


−= Eq. 3.18 
Escalas de pressão:
• absoluta (barômetros),
• relativa (manômetros),
• vácuo (vacuômetros).
pabs = prel+patm local
vácuo = - prel
vácuoabs = -patm local
Vácuo absoluto
pressão
absoluta
pressão
relativa
Vácuo relativo
pressão
atmosférica
local
Zero para a pressão
relativa e para o vácuo
Zero para a pressão
absoluta
 
2
dx
x
p
ppdireita


+= Eq. 3.19 
Conhecendo as pressões nas faces podemos determinar as forças nas faces do elemento. 
Por exemplo, as forças na face esquerda e direita do elemento são dados por: 
dydz
dx
x
p
pFesquerda 







−=
2
 Eq. 3.20 
dydz
dx
x
p
pFdireita 







+=
2
 Eq. 3.21 
 
 
 
Figura 3.5. Balanço de forças em um elemento cúbico infinitesimal de fluido em repouso com volume 
correspondente a dzdydx = . 
 
Como a porção de fluido está em repouso, o somatório das forças em qualquer direção 
deve ser nulo, ou seja: 
W

dzdy
2
dx
x
p
p 







+dzdy
2
dx
x
p
p 







−
dzdx
2
dy
y
p
p 







+
dzdx
2
dy
y
p
p 







−
dydx
2
dz
z
p
p 







+
dydx
2
dz
z
p
p 







−
y
z
x
 
 
Eq. 3.22 
 
O somatório das forças na direção x é dado por: 
0=−= direitaesquerdaxdireção FFF Eq. 3.23 
 
ou, 
0
22
=







+−







− dydz
dx
x
p
pdydz
dx
x
p
p Eq. 3.24 
 
resultando em: 
0=


x
p
 Eq. 3.25 
 
Analogamente, aplicando o balanço de forças para a direção y obtemos: 
0=


y
p
 Eq. 3.26 
Na direção z, a força de gravidade, devido ao peso do elemento, promove uma pequena 
diferença em relação ao balanço de forças nas direções x e y. 
0
22
=−







+−







− dxdydzdxdy
dz
z
p
pdxdy
dz
z
p
p  Eq. 3.27 
 
resultando em: 
−=


z
p
 Eq. 3.28 
A Eq. 3.25, Eq. 3.26 e Eq. 3.28 formam um sistema de equações que descrevem a 
variação da pressão no espaço: 
= 0F






=
=
=



0F
0F
0F
z
y
x
 









−=


=


=



z
p
y
p
xp
0
0
 
Eq. 3.29 
 
As duas primeiras equações do sistema sugerem que não existe variação de pressão no 
plano horizontal x-y, ou seja, a pressão é constante no plano horizontal. A terceira equação do 
sistema mostra que a variação de pressão na vertical, também conhecida como gradiente de 
pressão na vertical, é equivalente ao peso específico do fluido. De acordo com a conversão 
adotada para o sentido do eixo z (valores crescentes e z de baixo para cima), o sinal negativo 
no lado esquerdo da equação indica que os valores de pressão diminuem com o aumento dos 
valores de z. Tal conversão de sentido para o eixo z é usualmente adotada para gases como, por 
exemplo, para o ar atmosférico, onde a pressão atmosférica diminui com o aumento da altitude, 
z (Figura 3.6). 
 
 
Figura 3.6. Variação da pressão atmosférica em função da altitude. 
 
 
Considere agora um novo eixo h com mesma direção e sentido oposto ao eixo z. Para este 
eixo, a Eq. 3.28 pode ser reescrita como: 
=


h
p
 Eq. 3.30 
 
 Tal expressão indica que a pressão aumenta com a profundidade, h. Esta conversão é 
comumente adotada em problemas que envolve líquidos, onde geralmente a origem do eixo h 
parte da superfície do líquido, que pode estar sujeita à pressão atmosférica local (Figura 3.7). 
 
 
Figura 3.7. Sistemas de coordenadas usualmente adotados em problemas de Mecânica dos Fluidos. O 
sistema de coordenadas xyz é usualmente empregado para gases e o sistema xyh é mais comum em 
problemas que envolve líquidos. 
 
Além da definição do sistema de coordenadas, a determinação da variação de pressão na 
vertical depende da variabilidade do peso específico do fluido entre dois planos horizontais 
paralelos separados por uma distância vertical. Se o peso específico do fluido não variar ao 
longo da direção vertical (z ou h), uma integração direta pode ser aplicada na Eq. 3.28 e na Eq. 
3.30 para determinar a variação de pressão. Considerando que a origem dos eixos z e h são 
coincidentes, que a pressão na origem dos eixos é equivalente a p0 e que o fluido é 
incompressível (densidade absoluta constante) dentro dos limites de integração, a integração 
resulta em: 
x
z
y
Água
Ar
g

h
p0
Z0 h = 0
 
( )00 zzgpp −−=−  , ou Eq. 3.31 
 
( )00 hhgpp −=−  Eq. 3.32 
 
onde z0 e h0 é a altitude e profundidade na origem dos eixos z e h, respectivamente. Tais 
equações fazem parte do chamado Princípio Fundamental da Hidrostática, também 
conhecido como Princípio de Stevin, que diz que "a diferença de pressão entre dois pontos do 
mesmo líquido é igual ao produto da massa específica (também chamada de densidade) pelo 
módulo da aceleração da gravidade local e pela diferença de profundidade (distância vertical) 
entre os pontos considerados". 
 Se o peso específico varia dentro dos limites de integração, a determinação da variação 
da pressão fica dependente do conhecimento da lei de variação do peso específico na vertical. 
Como foi visto no Capítulo anterior, em gases, tanto a variação de pressão e como a variação 
de temperatura são importantes e promovem alterações nos valores das propriedades físicas dos 
fluidos. 
 
Exemplo 3.1 - Variação de pressão na atmosfera 
Admitido que a densidade do ar atmosférico pode variar em função da pressão e temperatura 
seguindo a lei dos gases ideais (p = ρRT) e que a temperatura do ar e a aceleração da gravidade 
variam em função da altitude (z), a variação de pressão pode ser determinada através da seguinte 
expressão: 
( )
( )zg
zTR
p
z
p







−=


 
 
organizando os elementos para integração, têm-se: 
( )
( )

−=

z
z
p
p
zT
zzgR
p
p
00
 
como R (constante do ar) não varia em relação a z, este elemento pode sair da integral. 
Resolvendo o lado esquerdo da equação, obtêm-se: 
 
( )
( )

−=
z
z
zT
zzg
R
p
p
0
0
ln
 
que resulta em: 
( )
( ) 






 
−= 
z
z
zT
zzg
Rpp
0
exp0 
Assim, o valor da pressão, p, correspondente a uma altura, z, poderia ser determinado com o 
conhecimento da lei de variação da temperatura do ar e da aceleração da gravidade entre as 
altitudes z0 e z. Supondo que a temperatura do ar e a aceleração da gravidade não variam entre 
z0 e z, a equação acima pode ser reduzida a: 
( )





−

−= 00 exp zz
T
gR
pp 
 
Em líquidos, as mudanças nos valores das propriedades físicas, incluindo o peso 
específico, são mais afetadas pela alteração da temperatura (que pode variar em função da 
profundidade) do que pelo efeito da mudança de pressão. Assim, a variação de pressão na 
direção h em líquidos pode ser determinada por: 
( ) =−
h
h
hhpp
0
0 
 
Eq. 3.33 
 
Desta forma é necessário conhecer a lei de variação do peso específico em função da 
profundidade para determinar a variação de pressão entre as profundidades h0 e h. Suponho que 
não existe variação do peso específico, a variação de pressão entre estas profundidades será 
dada pela Eq. 3.32 
 
Exemplo 3.2 - Pressão no fundo do mar 
Determinar a pressão absoluta e a pressão efetiva em um ponto no fundo do mar à profundidade 
de 5 km, sendo a água incompressível e com peso específico médio de 1025 kgf/m3. 
Considerando a água incompressível, tem-se: 
 
hppabs += 0 , 
sendo p0 a pressão atmosférica. Considerando que p0 = 10.000 kgf/m2, têm-se: 
2610135,55000102510000 mkgfpabs =+= 
A pressão efetiva no mesmo ponto é dado por: 
2610125,550001025 mkgfprel == 
 
 
 
3.4 Variação da pressão com a posição nos fluidos homogêneos e heterogêneos 
Como visto anteriormente, num fluido qualquer, a pressão não é a mesma em todos os 
pontos. Porém, se um fluido homogêneo (i.e. sem variação dos valores das propriedades físicas) 
estiver em repouso, então todos os pontos numa superfície plana horizontal estarão sujeitos à 
mesma pressão, independente da forma do recipiente que contém o fluido. Por exemplo, a 
pressão de um líquido dentro de um tubo com forma de "U" deve ser constante a uma mesma 
profundidade ao longo de um plano paralelo à superfície se as extremidades abertas do tubo 
estão submetidas a uma mesma pressão (Figura 3.8), neste caso à pressão atmosférica. Assim 
a pressão no Ponto 1 é igual a pressão no Ponto 4, uma vez que estes pontos fazem parte do 
mesmo plano horizontal e existe continuidade e homogeneidade do fluido entre esses pontos. 
O mesmo acontece com os Pontos 2 e 3 que estão também em um mesmo plano horizontal. 
 
 
Figura 3.8. Pressão em diferentes pontos em um líquido confinado em um recipiente em formato de 
"U" com as extremidades abertas em contato com a atmosfera. 
 
Ainda observando a Figura 3.8, a pressão absoluta no Ponto 1 pode ser determinada com 
base na pressão da superfície (pressão atmosférica) e na profundidade do Ponto 1, h1, em relação 
à mesma superfície, utilizando a Eq. 3.32: 
11 ghpp atm += (pressão absoluta) Eq. 3.34 
 
na escala de pressão relativa a pressão atmosférica é zero e a equação acima fica: 
11 ghp = (pressão relativa) Eq. 3.35 
 Note que o Princípio Fundamental da Hidroestática pode ser aplicado neste caso porque 
existe continuidade e homogeneidade do fluido entre a superfície e o Ponto 1. Por sua vez, a 
pressão no Ponto 2 pode então ser determinada em função da pressão do Ponto 1 e da 
profundidade entre os pontos (h2 - h1): 
( )1212 hhgpp −+=  (pressão absoluta) Eq. 3.36 
 
Patm
h1
h2
h1
1
2 3
4
h2
Patm
 
Na Construção Civil, a ferramenta mais comum utilizada para realizar a operação de 
nivelamento é a mangueira de nível, que segue o mesmo princípio do exemplo da Figura 3.8. 
O uso da mangueira de nível fundamenta-se no princípio dos vasos comunicantes, que garante 
que o nível da água nas extremidades da mangueira em contato com a atmosfera está em uma 
mesma cota (i.e. altura na vertical). Este é o método utilizado para marcar com o nivelamento 
as alturas de uma alvenaria, além dos vãos de portase janelas. Também se consegue obter com 
o nivelamento a marcação correta do piso e contrapiso em uma construção. 
No caso de fluidos heterogêneos como, por exemplo, dois líquidos que não se misturam 
(também conhecidos como líquidos imiscíveis) que são colocados em um mesmo recipiente, 
eles se dispõem de modo que o líquido de maior densidade ocupa a parte de baixo, e o de menor 
densidade ocupa a parte de cima. A interface de separação entre eles é horizontal. Por exemplo, 
se água e óleo forem colocados no mesmo recipiente, o óleo, menos denso, ficará na parte de 
cima, e a água, mais densa, permanecerá na parte inferior. Em um vaso comunicante (tubo em 
"U"), eles se distribuem de forma que as alturas das colunas líquidas sejam inversamente 
proporcionais às respectivas densidades (Figura 3.9). 
 
 
Figura 3.9. Disposição de dois líquidos heterogêneos (diferentes densidades) em um tubo "U". 
 
 
Partindo-se do princípio de que o sistema está em equilíbrio, podemos igualar as pressões 
nos pontos 1 e 2: 
21 pp = Eq. 3.37 
As pressões em cada ponto podem ser determinadas usando o Princípio Fundamental da 
Hidrostática. Desta forma, têm-se: 
BBatmAAatm hgphgp +=+  Eq. 3.38 
 
de forma que: 
A
B
B
A hh

= Eq. 3.39 
 
Desta forma, conclui-se que dois líquidos imiscíveis dispostos em um vaso comunicante 
atingem alturas inversamente proporcionais às suas massas específicas. 
 
Exemplo 3.3 - Diferença de pressão entre dois reservatórios 
Considere dois reservatórios A e B contendo um fluido de massa específica ρ1, conectado por 
um tudo "U" contendo um outro fluido imiscível de massa específica ρ2:, conforme apresentado 
na figura abaixo: 
 
 
A diferença de pressão nas superfícies dos reservatórios pode ser determinada aplicando o 
Princípio Fundamental da Hidrostática, sequencialmente, em cada trecho de fluido contínuo e 
homogêneo. 
)1(11 hgpp Ax +=  
( ) )2(11 hhgpp By −+=  
)3(2 hgpp yx +=  
substituindo as equações (1) e (2) em (3), têm-se: 
( ) hghhgphgp BA +−+=+ 21111  
após algum algebrismo, chega-se em: 
( ) hgpp BA −=− 12  
 
 
 
3.5 Como medir pressão em fluidos? 
Existem diversos instrumentos para medir a pressão pontual em fluidos. O aparelho mais 
comum que efetua leituras de pressões absolutas é o barômetro, utilizado na determinação da 
pressão atmosférica local, também denominada de pressão barométrica (Figura 3.10). O 
barômetro foi idealizado por Torricelli, que definiu a pressão atmosférica padrão como sendo a 
pressão determinada ao nível do mar (mar Atlântico - altitude igual a zero), a uma temperatura 
aproximadamente igual a 15ºC e para o ar com uma massa específica aproximadamente igual a 
1,226 kg/m3. Já o Manômetro de Bourdon é bastante utilizado pelo setor industrial para medir 
pressão em dispositivos sobre pressão, tais como, tubulações prediais e pneus. Mais 
recentemente surgiram os transdutores de pressão que utilizam o mesmo princípio do 
Manômetro de Bourdon com a vantagem de registrar automaticamente os valores medidos de 
pressão absoluta em intervalos discretos, os quais são definidos pelo usuário como, por 
exemplo, um registro de pressão a cada 5, 10 ou 30 minutos. 
 
 
 
 
Figura 3.10. Equipamentos para medir pressão absoluta: (a) Manômetro de Bourdon; (b) Barômetro; 
(c) Transdutor de pressão. 
 
Os aparelhos mais utilizados para a determinação da pressão relativa em líquidos são os 
piezômetros, os manômetros abertos ou fechados e, mais recentemente, os sensores automáticos 
de pressão (Figura 3.11). Os piezômetros e os sensores de pressão utilizam o mesmo princípio: 
medir a pressão para uma determinada profundidade, partindo da superfície, no interior de 
líquidos. A diferença é que no piezômetro a pressão em uma determinada profundidade (pA), é 
determinada baseada na leitura do nível do líquido no interior do piezômetro, hA. Através do 
princípio dos vasos comunicantes, a pressão relativa no Ponto A é dada por: 
AA hp =  Eq. 3.40 
(a) (b) 
(c) 
 
O parâmetro hA também é chamado de altura de pressão ou altura equivalente ou carga 
de pressão, que corresponde à altura da coluna de fluido necessária para exercer uma certa 
pressão, pA. 
 
 
Figura 3.11. Equipamentos para medir pressão relativa: (a) Piezômetro; (b) Manômetro em "U" 
aberto; (c) Manômetro diferencial; (d) Sensor de pressão. 
 
Os sensores de pressão são dispositivos automáticos para medir a pressão em uma 
determinada profundidade, partindo da superfície, no interior de líquidos. Os registros de 
pressão medidos pelo sensor são armazenados considerando intervalos discretos. Quando uma 
hA
A
Piezômetros
Dh
A
hA
Dh
A
hA
B
hB
Manômetro
em U aberto
Manômetro
diferencial
Sensor de pressão
(a) 
(b) 
(c) (d) 
(1) (2) 
(1) (2) 
 
pressão é aplicada, a membrana instalada na ponta do sensor se desloca e esse deslocamento é 
proporcional à pressão aplicada. Tais sensores são bastante utilizados para o monitoramento da 
variação da profundidade em ecossistemas aquáticos, tais como em rios, lagos, estuários e 
reservatórios. A pressão relativa medida pelo sensor pode ser convertida em profundidade 
através da seguinte expressão: 

A
A
p
h = Eq. 3.41 
 
Opcionalmente, os manômetros também podem ser utilizados para medir pressão relativa 
em fluidos contidos em recipientes fechados, geralmente utilizando fluidos imiscíveis. Por 
exemplo, um manômetro tipo "U" aberto (uma extremidade em contato com a atmosfera), como 
o apresentado na Figura 3.11(b), pode ser utilizado para medir a pressão no interior do 
recipiente A que contém um fluido com densidade absoluta, ρA. Considerado que o fluido no 
recipiente A está isolado por um outro fluido imiscível com densidade absoluta, ρ, podemos 
igualar as pressões relativas nos pontos 1 e 2: 
21 pp = Eq. 3.42 
 
utilizando o Princípio Fundamental da Hidrostática para determinar as pressões relativas nos 
Pontos 1 e 2, chega-se: 
hghgp AAA D=+  Eq. 3.43 
 
de forma que a pressão no Ponto A é dada por: 
( )AAA hhgp −D=  Eq. 3.44 
 
Assim a pressão relativa no recipiente A ponto ser determinada a partir da massa 
específica dos fluidos e de algumas medidas verticais. Analogamente, é possível determinar a 
diferença de pressão entre dois fluidos de densidade absoluta ρA e ρB , separados por um fluido 
de densidade absoluta, ρ, através de um manômetro diferencial, como apresentado na Figura 
3.11(c). Igualando as pressões relativas nos Pontos 1 e 2, a diferença de pressão entre os Pontos 
A e B pode ser determinada pela seguinte expressão: 
 
( )AABBBA hhhgpp −+D=−  Eq. 3.45 
 
3.6 Força exercida por líquidos em objetos submersos ou parcialmente submersos 
O cálculo do módulo, direção, sentido e ponto de aplicação da força total que atua sobre 
objetos submersos ou parcialmente submersos em líquidos é essencial para projetos de 
Engenharia, tais como no dimensionamento de tanques, recipientes, comportas planas ou 
curvas, navios e projetos semelhantes (Figura 3.12). Em líquidos em repouso, estas forças são 
exclusivamente superficiais de pressão que ocorrem perpendicularmente a superfície de contato 
(pode ser plana ou curva) entre o líquido e o sólido. 
 
 
Figura 3.12. Exemplos que objetos que estão sujeitos às forças exercidas por líquidos em sua 
superfície de contato. 
 
A força resultante devido à pressão exercida por líquidos em corpos se dará em função da 
diferença de pressão que ocorre em uma determinada direção. Se não existir diferença de 
pressão em uma determinada direção, não existirá também força resultante de pressão naquela 
direção. Desta forma, é comum o uso da escala de pressão relativa ao invés da escala de pressão 
absoluta para tratar problemas de forças exercida por líquidos em objetos submersos ou 
parcialmente submersos, pois independente da escala tomada o valor da força resultante devido 
àpressão pode ser considerando o mesmo, com exceção de problemas onde a pressão 
atmosférica varia significativamente ao longo da superfície do corpo. Nesta seção veremos 
 
como podemos determinar tais forças e seus respectivos pontos de aplicação na superfície de 
contato. 
 
3.6.1 Em superfícies planas 
Para avaliar as forças superficiais devido à pressão no contato de uma superfície plana, 
considere uma comporta plana totalmente submersa, com forma geométrica qualquer, e com 
inclinação, θ, em relação a horizontal (Figura 3.13). Uma das faces da comporta está em 
contato com um líquido, enquanto a face oposta está em contato com a atmosfera. Considerando 
a escala de pressão relativa, a face em contato com a atmosfera tem pressão relativa nula. Na 
face em contato com o líquido a pressão efetiva será, exclusivamente, devido ao líquido. De 
forma que a pressão atmosférica não influencia a direção e o valor da força resultante exercida 
pelo líquido na placa plana. 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.13. Elementos envolvidos em uma comporta plana totalmente submersa, de forma 
geométrica genérica, inclinada com um ângulo θ em relação à horizontal. 
 
A determinação da força de pressão na superfície da placa em contato com o líquido, parte 
da definição da força aplicada em um elemento infinitesimal de área, dA, que pertence a placa. 
O módulo da força de pressão, dF , aplicada a este elemento infinitesimal de área pode ser 
escrita como: 
CP
F

hCP
yCP
y

0
B
A
x
CG
yCG
dA = L.dy 
dy 
Vista frontal da 
comporta 
dF 
h 
 
dApdF = Eq. 3.46 
 
A força resultante sobre a comporta é dada pelo somatório das forças aplicadas em todos 
os elementos infinitesimais de área da comporta, ou seja: 
 ==
A
R dApFdF Eq. 3.47 
 
Como a pressão não varia no plano horizontal e dy é muito pequeno, a pressão relativa no 
elemento infinitesimal de área pode ser considerada constante, equivalente a: 
hgp =  Eq. 3.48 
 
onde h = y.senθ é a distância vertical da superfície ao elemento. Substituindo a Eq. 3.48 na Eq. 
3.46, obtêm-se: 
dAsenygF
A
R =   Eq. 3.49 
 
Considerando que o fluido seja incompressível, ou seja, suas propriedades físicas não 
mudam com a posição, a massa específica pode ser considerada constante e sair da integral, 
resultando em: 
dAysengF
A
R =  Eq. 3.50 
 
A integral do lado esquerdo da equação acima equivale ao momento de inércia de 
primeira ordem da placa, dado por: 
AydAy CG
A
= Eq. 3.51 
 
substituindo a Eq. 3.51 na Eq. 3.50, têm-se: 
AysengF CGR =  Eq. 3.52 
 
 
Sabendo que hCG = yCG.senθ, a expressão final da força resultante de pressão na comporta 
é dada por: 
AhgF CGR =  Eq. 3.53 
 
A equação acima é de simples aplicação e mostra claramente que a força resultante de 
pressão não depende da forma geométrica da placa plana e nem da inclinação da comporta com 
a horizontal, uma vez que ela está em função apenas da distância vertical da superfície ao Centro 
de Gravidade da Placa, hCG, da área da placa, A, da densidade do fluido, ρ, e da aceleração da 
gravidade, g. 
O ponto de aplicação da força resultante de pressão na placa plana é chamado de Centro 
de Pressão (CP). O momento da força resultante de pressão em relação a origem do eixo y 
equivale ao somatório de todos os momentos das forças aplicadas nos elementos infinitesimais 
em relação a mesma origem: 
 = dFyyF CPR Eq. 3.54 
 
desenvolvendo a equação acima: 
 = dApyyF CPR Eq. 3.55 
( ) = dAhgyyF CPR  Eq. 3.56 
( ) = dAsenygyyF CPR  Eq. 3.57 
( )  = dAysengyAhg CPCG
2 Eq. 3.58 
( )  = dAysengyAsenyg CPCG
2 Eq. 3.59 
 
Simplificando os termos, têm-se: 
 = dAyAyy CGCP
2
 Eq. 3.60 
Ay
dAy
y
CG
CP


=

2
 
Eq. 3.61 
 
 
A integral do lado esquerdo da equação Eq. 3.58 equivale ao momento de inércia de 
segunda ordem perpendicular ao eixo y, em relação à origem do eixo y, dado por: 
 = dAyI x
2
0 Eq. 3.62 
 
substituindo a Eq. 3.62 na Eq. 3.61, obtêm-se: 
Ay
I
y
CG
x
CP

= 0
 Eq. 3.63 
 
Do teorema dos eixos paralelos podemos escrever o momento de inércia de segunda 
ordem em relação a origem do eixo y, 
0xI , em função do momento de inércia de segunda ordem 
em relação ao Centro de Gravidade (CG) da placa, 
xI : 
AyII CGxx += 2
0 Eq. 3.64 
 
substituindo a Eq. 3.64 na Eq. 3.63, chega-se a: 
CG
CG
x
CP y
Ay
I
y +

= Eq. 3.65 
 
A equação acima indica que o ponto de aplicação da força resultante devido à pressão na 
placa sempre estará em profundidade maior ou igual a profundidade do Centro de Gravidade 
da placa. O momento de inércia de segunda ordem em relação ao centroide da placa depende 
do formato da placa (Figura 3.14). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.14. Momento de inércia de segunda ordem em relação ao seu centroide de algumas placas 
planas. 
 
 
 
Exemplo 3.4 - Força de pressão e ponto de aplicação em uma barragem de superfície plana 
Uma barragem de terra e enrocamento é projetada para uma lâmina d’água máxima de 9 m. 
Considerando a seção transversal mostrada na figura a seguir, pede-se determinar: (a) o esforço 
exercido pela água armazenada por unidade de largura na barragem; (b) a localização do esforço 
calculado no item anterior. 
 
 
Supondo que a largura da barragem é de 1 m, a força resultante é dada por: 
AhgF CG= 
sabendo que: 
 
3/1000 mkgfg ==  
mhCG 5,4
2
9
== 
20,14114
40
9
mBAAm
sen
BA
o
==== 
a força resultante é determinada substituindo os elementos na equação: 
NoukgfF 030.618000.630,145,41000 == 
A localização da aplicação da força de pressão pode ser obtida por: 
Ay
I
yy
CG
x
CGCP += 
sabendo que: 
9 m
50º
 
m
sen
h
y
o
CG
CG 7
64,0
5,4
40
=== 
4
33
7,228
12
141
12
m
ba
I x =

== 
obtemos: 
myCP 3,9
147
7,228
7 =

+= 
 
Outra técnica de determinar a força resultante devido à pressão em uma superfície plana 
submersa ou parcialmente submersa é através do volume do prisma de pressão formado na 
superfície da placa. Suponha uma placa retangular plana de largura L e altura BA , totalmente 
submersa em líquido, e inclinada em relação à horizontal, como apresentado na Figura 3.15. 
As pressões relativas nas extremidades superior e inferior da placa, localizados nos Pontos A e 
B, respectivamente, são dadas por: 
1hgpA =  Eq. 3.66 
2hgpB =  Eq. 3.67 
 
 Como 12 hh  , existe um gradiente vertical de pressão na placa, formando um perfil 
trapezoidal de pressão no plano x-y. Este perfil de pressão se repete ao longo a direção 
perpendicular ao plano x-y, como a largura não varia nesta direção. O prisma de pressão na 
placa tem volume equivalente a: 
baseprisma AL = Eq. 3.68 
 
A área da base do prisma de pressão é a área de um trapézio, cuja a base maior é pB e a 
base menor é pA. Assim, o volume do prisma de pressão é dado por: 
( )
2
BAhghg
L AB
prisma
+
=

 Eq. 3.69 
 
 
organizando os termos, têm-se: 
( )BAL
hh
g AB
prisma 




 +
=
2
 Eq. 3.70 
 
O termo ( ) 2AB hh + equivale a profundidade da superfície ao Centro de Gravidade da 
placa retangular e ( )BAL  corresponde a área da placa, A. Assim, o volume do prisma de 
pressão, prisma , pode ser reescrito como: 
Ahg CGprisma =  Eq. 3.71 
 
que é equivalente a formulação apresentada na Eq. 3.53 para determinar a força resultante 
devido à pressão do fluido na placa. Em resumo, outra maneira de calcular a força resultante de 
pressão em uma superfície plana é através do cálculo do volume do seu prisma de pressão. Tal 
conceito pode ser estendido para qualquer tipo de superfície plana, seja ela retangular, 
triangular, circular, dentre outras. 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.15. Prisma de prisma formado em uma placa plana retangular submersa. 
 
ρ.g.h2
y

0
B
A
x
ρ.g.h1
h2
Vista frontal da 
comporta 
L 
 
A força resultante de pressãona placa passa obrigatoriamente pelo Centro de Gravidade 
do prisma de pressão, o qual coincide com o Centro de Pressão na placa (ponto de aplicação da 
força resultante de pressão). Para o exemplo da Figura 3.15, o prisma trapezoidal de pressão 
pode ser dividido em um prisma triangular e outro retangular. A distância do Centro de 
Gravidade do prisma trapezoidal (PT) em relação a origem do eixo y, PT
CGy , por ser determinado 
pela média ponderada, em relação ao volume, das distâncias dos Centros de Gravidade dos 
primas triangular (PTRI) e retangular (PR) em relação a mesma origem, ou seja: 
PT
PRPR
CG
PTRIPTRI
CGPT
CG
placa
CP
yy
yy

+
== Eq. 3.72 
 
onde PTRI
CGy e PR
CGy são as distâncias dos Centros de Gravidade do prisma triangular e retangular, 
respectivamente, em relação a origem do eixo y; 
PTRI e 
PR são os volumes dos primas 
triangular e retangular, respectivamente; e 
PRPTRIPR += é o volume do prima 
trapezoidal. 
A escolha da técnica para determinar o módulo da força de pressão e o seu ponto de 
aplicação na placa, dependerá, sobretudo, do formato geométrico da superfície plana. Em 
problemas onde a superfície plana possui largura não variada, em relação à direção 
perpendicular ao plano x-y, o perfil de pressão não mudará ao longo da largura e a força 
resultante de pressão pode ser facilmente determinada pelo volume do prisma de pressão. Em 
alguns casos, quando esta largura é variada ao longo da direção perpendicular ao plano x-y, o 
perfil de pressão muda nesta direção, o que dificulta o cálculo do volume do prisma de pressão 
e, consequentemente, a força resultante devido à pressão. Nestes casos a Eq. 3.53 pode ser uma 
alternativa mais simples. 
 
3.6.2 Em superfícies curvas 
Em superfícies curvas, a tarefa de determinar a força resultante devido à pressão exercida 
por um líquido pode parecer mais complicado, tal como em uma comporta curva qualquer, de 
largura constante, L, apresentada na Figura 3.16. No entanto, a complexidade pode ser reduzida 
se ao invés de determinar diretamente a força resultante de pressão, forem determinadas suas 
componentes horizontais, FH, e vertical, FV, de forma separada e independente. 
 
 
 
 
Figura 3.16. Força devido à pressão exercida por um líquido em contado com uma superfície curva. 
 
Para determinar as componentes, analisaremos o balanço de forças na porção de líquido, 
ABC, que está em contato com a superfície curva da comporta (Figura 3.17). Como a porção 
de fluido está em repouso, o somatório das forças em qualquer direção deve ser nulo, ou seja: 
 
Eq. 3.73 
 
 
 
CP
VF
hCP
HF

A B
C
h2
h1
= 0F






=
=
=



0F
0F
0F
z
y
x
 
 
Figura 3.17. Balanço de forças na porção de líquido, ABC, em repouso, em contato com uma 
comporta curva (BC). 
 
 
O somatório das forças na direção x é dado por: 
01 =−= Hxdireção FFF Eq. 3.74 
 
ou, 
1
1
F
prismaH FF == Eq. 3.75 
 
onde 
1F
prisma é o volume do prisma de pressão correspondente a força de pressão, F1. Assim, 
a componente horizontal da força resultante devido à pressão do líquido na placa curva é dada 
por: 
( )( )
L
hhhghg
FH 
−+
=
2
1212 
 Eq. 3.76 
A
B
C
ρ.g.h1
ρ.g.h2
ρ.g.h1
ρ.g.h1
HF

VF

1F

2F

 
Analogamente, aplicando o balanço de forças para a direção y, têm-se: 
02 =−−= porçãoVydireção WFFF Eq. 3.77 
 
ou, 
porção
F
prismaV WF += 2
 Eq. 3.78 
 
onde 
2F
prisma é o volume do prisma de pressão correspondente a força de pressão, F2, e 
porçãoW é o peso da porção ABC. Sabendo que: 
( ) LBAhg
F
prisma = 1
2  Eq. 3.79 
 
e que, 
porçãoporção gW =  Eq. 3.80 
 
onde porção é o volume da porção de líquido ABC. Como o volume da porção de líquido 
acima de AB, S , é dado por: 
LBAhS = 1 , Eq. 3.81 
 
podemos reescrever a Eq. 3.79 como: 
S
F
prisma g = 2
 Eq. 3.82 
 
de tal forma que a componente vertical da força de pressão na comporta pode ser determinada 
somando a Eq. 3.80 e a Eq. 3.82, chegando a: 
( )SporçãoV gF +=  Eq. 3.83 
A soma destes volumes corresponde exatamente ao volume de líquido que está sobre a 
comporta, C , o que leva a: 
 
CV gF =  Eq. 3.84 
 
A equação acima indica que a componente vertical da força devido à pressão pode ser 
determinada em função do volume de fluido que está acima da comporta. Conhecendo suas 
componentes, o módulo e a sentido da força resultante de pressão na comporta curva podem 
então ser determinadas por: 
22
VHR FFF += (módulo) Eq. 3.85 
 






=
H
V
F
F
arctag (sentido) Eq. 3.86 
 
Cada componente da força resultante tem um ponto de aplicação. Como a componente 
horizontal da força é equivalente ao volume do prisma de pressão, 
1F
prisma , o ponto de 
aplicação da componente horizontal da força passa pelo Centro de Gravidade deste prisma de 
pressão. Para a componente vertical, o ponto de aplicação corresponde ao Centro de Gravidade 
do volume de líquido que está acima da comporta, C . 
 
3.7 Empuxo, flutuação e estabilidade de corpos submersos ou parcialmente 
submersos 
O empuxo é algo bastante intuitivo que podemos descrever com base na nossa experiência 
cotidiana. Podemos dizer, de maneira simples, que qualquer corpo que está submerso na água 
parece possuir um peso bem menor do que se estivesse fora dela. Isto nós mesmos podemos 
verificar com o nosso corpo, quando estamos em uma piscina ou na praia, o que nos faz pensar 
que existe alguma força sendo exercida de baixo para cima, em sentido contrário ao da força 
peso. E de fato é isto que acontece. 
A força de empuxo, ou simplesmente empuxo, ou ainda força de flutuação, como alguns 
preferem chamar, é uma força exercida para cima sobre um corpo pelo fluido existente ao seu 
redor, devido a diferença de pressão entre a superfície inferior e superior do corpo. Assim 
só existirá empuxo em um corpo, se existir uma força resultante na vertical (de baixo para cima) 
 
devido a diferença de pressão entre a superfície inferior e superior do corpo. Sendo uma força, 
a unidade do empuxo é o Newton (N). A natureza do empuxo foi descoberta por Arquimedes 
(287-212 a.C.), um dos maiores gênios da antiguidade, nascido em Siracusa (hoje Sicília, Itália). 
Para compreender melhor o conceito de empuxo, considere o corpo CKDH, de forma 
genérica, imerso no fluido em repouso (Figura 3.18). Este corpo está submetido às forças de 
gravidade e de pressão. A superfície superior do corpo, CHD, está sujeita uma força de pressão, 
Fz, que corresponde ao peso do volume ACHDB atuando na superfície superior CHD (como 
vimos na seção anterior). A superfície inferior do corpo, CKD, também existe uma força de 
pressão, F’z, que corresponde ao peso do volume ACKDB atuando na superfície inferior CKD. 
A força resultante vertical devido à pressão, conhecida como empuxo, E, é dada pela diferença 
de forças entre as superfícies inferior e superior do corpo: 
ZZ FFE −= '
 Eq. 3.87 
sabendo que: 
ACKDBZ gF = '
 Eq. 3.88 
 
ACHDBZ gF =  Eq. 3.89 
 
e que: 
ACHDBACKDBcorpo −= , Eq. 3.90 
 
o empuxo pode ser expresso como: 
corpogE =  Eq. 3.91 
 
Assim a força de empuxo, E, sobre um corpo submerso pode ser entendida como a força 
equivalente ao peso do volume de fluido deslocado, com sentido contrário ao da gravidade, g. 
 
 
 
Figura 3.18. Balanço de forças em um objeto com forma genérica totalmente imerso em um fluido. 
 
Para um corpo que esteja flutuando em fluido, como no caso de um pedaço de isopor na 
água, a intensidade da força de empuxo sobre o corpo será a mesma da força peso do corpo, 
onde as forças atuam em sentidos contrários. Neste caso, o balanço de forças na vertical é dado 
por: 
corpoWE = (em equilíbrio) Eq. 3.92 
 
onde 
corpoW é o peso do corpo que flutua. Podemos então afirmar que para um corpo flutuando 
a intensidade da força gravitacional sobre ele éigual ao peso do fluido que ele desloca. Quanto 
maior for a massa específica do fluido, menor será a parte do corpo que fica submersa. Como 
exemplo, podemos citar o fato de uma pessoa ter mais facilidade em nadar na água salgada do 
que na água doce, em virtude da massa específica da água salgada ser maior do que a da água 
doce. 
No caso de um corpo que está totalmente submerso num fluido, o seu volume será o 
mesmo do fluido que ele desloca. Nesta situação existem duas possibilidades. Se a massa 
W
A B
C
D
K
H
Fz’
Fz
 
específica do corpo for menor do que a massa específica do fluido, o empuxo será maior do que 
o peso, e existirá uma força resultante apontada para cima, acelerando o corpo neste sentido. 
Por outro lado, caso a massa específica do corpo seja maior do que a do fluido que o rodeia, o 
empuxo será menor do que o peso, e existirá uma força resultante vertical apontada para baixo, 
afundando o corpo. 
Outro tema de grande relevância, associado ao empuxo, é a estabilidade de corpos 
submersos ou parcialmente submersos. Todo corpo que flutua em um liquido que está em 
repouso tem estabilidade vertical. A estabilidade vertical é analisada considerando as forças 
verticais, peso do corpo e empuxo, e seus pontos de aplicação. O ponto de aplicação da força 
peso do corpo é o Centro de Gravidade (CG) do corpo e o ponto de aplicação do empuxo 
equivale ao Centro de Gravidade do volume de fluido deslocado (ou o volume da parte imersa 
do corpo). O ponto de aplicação do empuxo também é conhecido como Centro de Carena (CC). 
Quando um corpo está em repouso e em equilíbrio o Centro de Carena está na mesma 
linha vertical do Centro de Gravidade do corpo (Figura 3.19-a,c). Um mínimo deslocamento 
angular do corpo, provocado por uma perturbação, desalinhará os Centros de Gravidade e de 
Carena (Figura 3.19-b,d). Se o Centro de Carena estiver acima do Centro de Gravidade do 
corpo, existirá um momento restaurador no sentido contrário ao sentido do deslocamento 
inicial, movimentando o corpo naturalmente a sua posição original. Este tipo de equilíbrio é 
conhecido como estável e a condição é dita de estabilidade positiva em relação à sua posição 
original. Porém, se Centro de Carena estiver abaixo do Centro de Gravidade, um pequeno 
deslocamento angular pode levar o corpo a se distanciar ainda mais da sua posição original. 
Este é chamado de equilíbrio instável e a condição é dita de estabilidade negativa em relação à 
posição original. 
A determinação da posição do centro de carena é de grande importância para a 
distribuição dos pesos a bordo de embarcações. O CG da embarcação deve estar na posicionado 
na linha vertical e acima do CC. A distância entre o CG e CC também não deve ser muito 
grande, para que pequenas oscilações angulares não promovam grandes momentos 
restauradores. Sem estes requisitos o navio dificilmente fica em equilíbrio estável e aprumado 
na vertical, sem muitas oscilações angulares em torno do seu CG. 
 
 
 
 
Figura 3.19. Tipos de estabilidade de corpos submersos. 
 
 
 
 
(a) equilíbrio estável 
(c) equilíbrio instável 
(b) momento restaurador 
(d) momento tombador 
 
Exercícios 
P3.1. Transformar as seguintes alturas de pressão para pressão em Pascais: 
a) 12 mca; 
b) 250 mmHg; 
c) –250 mmHg. 
 
P3.2. Transformar as seguintes pressões relativas para alturas de pressão em mmHg e mca: 
a) 27 psi; 
b) 3 atm; 
c) –35700 Pa. 
 
P3.3. Explique o princípio de funcionamento do Barômetro de Torricelli. 
 
P3.4. No recipiente da Figura P3.4, a densidade do líquido A é dA = 5. Calcule a densidade do 
líquido B, dB. 
 
Figura P3.4 
 
P3.5. Água flui através do convergente mostrado na Figura P3.5. Determine a altura 
manométrica h, sabendo que a pressão em A é de 35 kPa. 
 
 
Figura P3.5 
 
P3.6. O manômetro em U de mercúrio da Figura P3.6 mede a pressão de água em A. Se o peso 
específico do Hg é 13,6 vezes maior que o da água e a pressão atmosférica é de 765 mmHg, 
qual é a pressão absoluta em A quando h1 = 15 cm e h2 = 30 cm ? 
 
 
Figura P3.6 
 
 
P3.7. Uma força P de 850 N é aplicada ao cilindro menor de um macaco hidráulico (Figura 
P3.7). A área a do pistão menor é de 15 cm2 e a área A do pistão maior é de 150 cm2. O fluido 
do pistão é água. Que carga W deve ser colocada no pistão maior se: a) os pistões estão ao 
mesmo nível; b) o pistão maior está 75 cm abaixo do pequeno. Compare os resultados obtidos 
se o fluido do pistão fosse trocado por um óleo de densidade d = 0,833. 
Resposta: a) W = 8500 N; b) W = 8610 N. 
 
 
Figura P3.7 
 
P3.8. A parte superior de um manômetro de tubo em "U" invertido está cheio com óleo e o resto 
do tubo com água (Figura P3.8). Encontre a diferença de pressões (em Pa) entre os pontos A e 
B (a igual nível), quando a diferença no nível de água h é de 75 cm. Dados: dóleo = 0,98; dH2O = 
1,01. 
Resposta: pA - pB = -220,07 Pa. 
 
Figura P3.8 
 
P3.9. Na Figura P3.9, o fluido A é água e o fluido B é óleo (d = 0,9). Se h = 69 cm e z = 23 cm, 
qual é a diferença de pressão entre M e N, em kPa? 
Resposta: -1,58 kPa 
 
 
Figura P3.9 
 
P3.10. Determine a pressão relativa no ponto P (Figura P3.10), sabendo que o líquido A tem 
densidade dA = 0,75 e que a do líquido B é de dB = 1,20. O líquido nas vizinhanças de P é água 
e o reservatório da esquerda está aberto à atmosfera. 
 
Figura P3.10 
 
 
P3.11. O Departamento Financeiro de determinada companhia está comprando um sofisticado 
equipamento “laser” de R$ 50.000, para medir a diferença de níveis de água entre dois grandes 
reservatórios. É importante que pequenas diferenças de nível sejam medidas precisamente. 
Você sugere que a tarefa deve ser desempenhada através da instalação de um manômetro de 
R$ 200. Um óleo menos denso que a água deverá ser utilizado para proporcionar uma deflexão 
no manômetro 10 vezes maior que a variação de nível entre os dois reservatórios. Assim, uma 
pequena diferença de nível entre os reservatórios será aumentada 10 vezes no manômetro. 
Determine a densidade do óleo no manômetro. 
Resposta: d = 0,9 
 
P3.12. Para as condições mostradas na Figura P3.12, determine a força F necessária para 
levantar o bloco de concreto (dconcreto = 2,4, diâmetro D = 2 ft, espessura e = 1 ft). 
 
Figura P3.12 
 
P3.13. Disserte sobre as escalas de pressão e sobre os dispositivos de medição. Em função disto, 
resolva o seguinte problema: "Um barômetro é feito com um líquido pesado (símbolo Zz) ainda 
não descoberto, de densidade d = 15. Quando o barômetro acusa 702 mm Zz, qual será a pressão 
correspondente a um vácuo de 305 mm Zz? Quais são os valores de pressão absoluta e relativa 
para este vácuo?" 
 
P3.14. A variação do peso específico de um lodo pode ser expressada pela equação g = 65 + 
0,2 h (g em lbf /ft3 e h = profundidade, em ft). Determine: 
(a) as unidades das constantes "65" e "0,2". 
 
(b) o peso específico, massa específica e densidade a uma profundidade h = 15 ft. 
(c) a pressão relativa e absoluta à mesma profundidade. 
Expresse os resultados no Sistema Internacional de unidades. 
 
P3.15. Um brincalhão adicionou óleo, de densidade do, no ramo esquerdo do manômetro da 
Figura 9. Não obstante, o manômetro em U ainda é útil como dispositivo de medida de pressão. 
Ele é ligado a um tanque pressurizado, como mostra a Figura P3.15. Determine: 
(a) Encontre uma expressão para h como função de H e os outros parâmetros do problema. 
(b) Encontre o caso especial de seu resultado em (a) quando pres = pa 
(c) Admita que H = 5,0 cm, pa é 101,2 kPa, pres é 1,82 kPa mais alta que pa e dóleo = 0,85. 
Calcule h em cm, ignorando os efeitos da tensão superficial e desprezando os efeitos da 
densidade do ar. 
 
Figura P3.15 
 
P3.16. O tanque da Figura P3.16 está pressurizado, como mostra a leitura do manômetro de 
mercúrio. Determine a força hidrostática por unidade de largura sobre a comporta AB.: 
óleoFigura P3.16 
 
P3.17. Em um reator químico de 200 ft de altura, a massa específica de um fluido, em slug/ft3, 
varia com a distância z (em ft, medida desde o fundo do reator) segundo a relação: 














+−=
2
1000500
1020,0
zz
 
Supondo que o fluido está em repouso, determine: 
(a) a diferença de pressões entre o fundo, pf, e a superfície, ps, do reator; 
(b) as unidades das constantes [0,020], [500] e [1000]; 
(c) a diferença de pressões entre o fundo, pf, e a superfície, ps, do reator. 
Expresse os resultados no Sistema Internacional. 
 
P3.18. Uma pedra pesa 540 N no ar e 240 N quando submersa em água. Calcular o volume, a 
massa específica e a densidade da pedra. 
Resposta:  = 0,03 m3; d = 1,84. 
 
P3.19. Um objeto prismático, de 20cm × 20cm × 40 cm, é pesado na água a 50 cm de 
profundidade, dando 50 N. Quanto pesa no ar e qual é a sua densidade? 
Resposta: d = 1,3. 
 
 
P3.20. Um densímetro pesa 0,0022 N e seu extremo superior é um cilindro de 0,28 cm de 
diâmetro. Qual será a diferença entre os comprimentos da parte do cilindro emergente, quando 
o densímetro flutua em óleo de densidade 0,78 e álcool de densidade d = 0,821? Nota: pesquise 
o que é um densímetro para resolver este problema. 
Resposta: h = 2,28 cm. 
 
P3.21. Um bloco prismático de madeira flutua na água, sobressaindo da superfície 5 cm. 
Quando é colocado em glicerina (d = 1,35), sobressaem 7,5 cm da superfície do líquido. 
Determinar a densidade do bloco de madeira. 
Resposta: d = 0,66. 
 
P3.22. A que profundidade afundará um tronco de 2,4 m de diâmetro e 4,5 m de comprimento, 
em água doce, se a densidade da madeira é d = 0,425? 
Resposta: h = 1,06 m. 
 
P3.23. Uma esfera de 120 cm de diâmetro flutua em água salgada (r = 1025 kg/m3), a metade 
dela submersa. Que peso mínimo de concreto (r = 2400 kg/m3), utilizado como âncora, será 
necessário para submergir completamente a esfera? 
Resposta: 8100 N. 
 
P3.24. A barragem mostrada na Figura P3.24, tem 12 m de altura e 50 m de largura. O nível da 
água a montante e a jusante da barragem é de 10 m e 2 m, respectivamente. A espessura na 
crista da barragem é de 2 m e altura do trecho vertical, a montante da barragem, é de 3 m. As 
superfícies inclinadas da barragem fazem um ângulo de 45º com a horizontal. Determine as 
forças resultantes nas direções horizontal e vertical, bem como o momento máximo em relação 
a um ponto de rotação na barragem. 
 
 
 
Figura P3.24 
 
P3.25. Você foi contratado na função de engenheiro hidraúlico para o projeto de um 
reservatório. Para o dimensionamento da quantidade de concreto, espessura da seção e 
armadura, os engenheiros estruturais solicitam o memorial de cálculo das forças e tensões que 
seção transversal estará submetida durante a passagem da água através da seção. Que elementos 
você calcularia e forneceria para os engenheiros estruturais? Qual cuidados você tomaria? 
 
P3.26. Se virarmos um copo com água de boca para baixo tapado por uma folha de papel 
impermeável a água presa não cairá (Figura P3.26). Isto é possível? Explique o fenômeno do 
ponto de vista conceitual da mecânica dos fluidos. 
 
Figura P3.26 
 
 
P3.27. Quais os tipos de forças podem ser exercidas sob ou/e sobre os fluidos? Para cada uma 
delas explique como pode ocorrer esse tipo de força. Cite exemplos práticos na Engenharia 
onde cada força dessa é importante. 
 
P3.28. A Figura P3.28 mostra uma comporta rígida de aço (OAB), articulada em O, e que 
repousa sobre um suporte em B. Qual é o módulo da mínima força horizontal P necessária para 
manter a comporta fechada. Admita que a comporta tem largura igual a 3 m e espessura de 50 
mm e que a densidade relativa da comporta de aço é 7,86. Despreze o atrito na articulação e 
observe que a superfície externa da comporta está exposta a atmosfera. 
 
Figura P3.28 
 
P3.29. O dique mostrado na Figura P3.29 é construído com concreto (γ = 23,6 kN/m3) e é 
utilizado para reter um braço de mar que apresenta profundidade igual a 7,3 m. Determine o 
momento da força em relação ao ponto A. 
 
 
 
O 
A B 
Comporta de aço 
3m 
Água 
P 
2 m 
4 m 
 
 
7 m 
Figura P3.29 
P3.30. Um cilindro de 1 m de diâmetro e 8 m de comprimento está em equilíbrio estático contra 
a parede no ponto B (Figura P3.30). Calcule o peso específico do cilindro. 
 
Figura P3.30 
 
P3.31. O fluxo de água no reservatório da Figura P3.31 é controlado por uma comporta em 
formato "L" de 5 ft de largura articulada no ponto A. Se é desejável que a comporta abra quando 
o nível da água dentro do reservatório for de 12 ft, determine a massa do peso W, localizado 
em B. 
 
 
Água do mar 
7,3 m 
A 
y = 0,2 x
2 
y 
 
B 
Água 
0,5 m 
Comporta 
 
Figura P3.31 
 
P3.32. Um cilindro de concreto (densidade relativa igual a 25) de 8 m de diâmetro e 3 m de 
comprimento está conectado a um buraco retangular em um tanque (Figura P3.32). Qual é a 
força que o cilindro pressiona no fundo do tanque com 10 metros de água? 
 
Figura P3.32 
 
P3.33. A estrutura de um dos quatro silos de armazenamento de trigo do Moinho Motrisa 
colapsou, soterrando pessoas, automóveis e estabelecimentos comerciais no bairro do poço em 
Maceió-AL (Figura P3.33). A área foi isolada e ainda não se sabe a causa do acidente. Cada 
silo tem aproximadamente 30 metros de altura e 8 metros de diâmetro. Sabe-se que no momento 
do rompimento, o silo estava com 85% da sua capacidade máxima de armazenamento e que os 
silos vizinhos estavam com 90% e 30%, respectivamente. O silo oposto estava vazio no 
momento da catástrofe. Você foi contratado pelo CREA para fazer a estimativa das forças na 
estrutura do silo. Desta forma, estime a força resultante e o ponto de aplicação desta força no 
silo que colapsou. Os silos vizinhos podem ter influenciado a ruptura no silo em questão? Dado: 
densidade do trigo = 0,75 ton/m³. 
 
4 m 
10 m 
D 
C E 
A B 
30⁰ 
 
 
Figura P3.33 
 
Silo que colapsou 
 
4. Cinemática dos Fluidos 
O movimento dos fluidos, também conhecido como escoamento, pode ser avaliado 
através de duas abordagens: a Cinemática e a Dinâmica dos Fluidos. A Cinemática é uma 
abordagem focada na avaliação das características dos fluidos em movimento, sem se referir às 
forças que produzem o escoamento. A Dinâmica dos Fluidos faz uma avaliação do movimento 
dos fluidos, relacionando-os às forças que produzem escoamento. A Cinemática do escoamento 
é um passo essencial para o entendimento completo da Dinâmica dos Fluidos. Desta forma, 
neste capítulo vamos analisar apenas os vários qualitativos aspectos do movimento dos fluidos, 
tais como a velocidade, pressão, a aceleração e a descrição do movimento, sem considerar as 
forças necessárias para produzir o escoamento. Nos capítulos seguintes, estudaremos em 
detalhe as forças necessárias para promover o escoamento utilizando abordagens global, local 
e experimental, bem como a visualização do escoamento. 
 
4.1 Campo de velocidade 
As moléculas dos fluidos sempre estão se movimentando de um ponto para outro ponto, 
porém pela grande quantidade de moléculas que contém um fluido fica inviável descrever as 
características de todas as moléculas individualmente durante o movimento. Por isso foi 
formulado a hipótese do meio contínuo, onde uma determinada porção de fluido é composta 
por um conjunto de partículas fluidas que interagem entre si e com o meio. Cada partícula 
contém muitas moléculas que possuem características semelhantes, formando assim as 
características da partícula. Assim, o escoamento pode ser descrito pelo movimento das 
partículas fluidas (menor complexidade), ao invés do movimento das moléculas (maior 
complexidade). As partículas infinitesimais de fluido são compactas (é uma decorrência da 
hipótese de meio contínuo). Assim, num dado instante, a descrição de qualquer característica 
do fluido (isto é, massa específica, pressão, velocidadee aceleração) pode ser formulada em 
função da posição da partícula. Esta representação é denominada de campo de escoamento, de 
onde podemos obter o campo de uma determinada característica do fluido. Por exemplo, quando 
queremos avaliar, em um dado instante, as pressões do fluido em função das coordenadas 
espaciais, é necessário obter o campo de pressões naquele instante. Se a característica de 
interesse é a temperatura do fluido em diferentes posições e ao longo do tempo, precisamos 
obter o campo de temperatura daquele escoamento. 
 
Uma das principais características do escoamento é a velocidade, a qual, como qualquer 
outra característica, pode variar em relação ao espaço e ao tempo. O campo de velocidade de 
um escoamento pode ser definido como: 
( ) ( ) ( )ktzyxwjtzyxvitzyxuV

,,,,,,,,, ++= Eq. 4.1 
ou 
( ) ( )
zyx VVVwvuV ,,,, ==

 Eq. 4.2 
 
onde u, v e w são as componentes do vetor velocidade nas direções x, y e z, respectivamente. 
Considerando um sistema de coordenadas cinlídricas, o vetor velocidade é descrito da seguinte 
forma: 
�⃗� = (𝑉𝑟 , 𝑉𝜃, 𝑉𝑧) Eq. 4.3 
onde 𝑉𝑟, 𝑉𝜃 e 𝑉𝑧 são as componentes do vetor velocidade nas direções radial, angular e 
longitudinal, respectivamente. Observe que cada componente da velocidade pode variar em 
relação ao espaço (x, y e z, para um sistema de coordenadas cartezianas) e ao tempo (t). O 
módulo de V

é representado por: 
222 wvuVV ++==

 Eq. 4.4 
 
Exemplo 4.1 - Campo de velocidade em uma tubulação horizontal de seção transversal 
circular 
Considere o campo de velocidade um fluido em uma tubulação circular, como mostrado na 
figura abaixo: 
 
 
 
Observe que, para este campo de velocidade, apenas existe a componente da velocidade na 
direção x (componente de velocidade u), uma vez que todos os vetores velocidade estão 
A 
A' 
 
apontados para a direção x. A componente de velocidade u apresenta variação nas direções y e 
z ao longo da seção transversal AA'. Considerando que o perfil de velocidade não mudará ao 
longo da direção x e no tempo, em coordenadas cartesianas, as componentes de velocidades 
podem ser escritas como: 
( )





=
=
=
0
0
,
z
y
x
V
V
zyuV
 
Assim, o campo de velocidade fica: 
( ) kjizyuV

++= 00, 
ou simplesmente: 
( ) izyuV

= , 
Considerando coordenadas cilíndricas, onde a origem da direção radial é no centro da seção 
transversal e o escoamento é na direção x, as componentes de velocidades podem ser escritas 
como: 
( )





=
=
=
0
0
V
V
ruV
r
x
 
ou seja, a componente de velocidade, u, na direção x, depende apenas do raio, simplificando o 
problema em comparação com o sistema de coordenadas cartesianas. O vetor velocidade pode 
ser escrito como: 
( ) iruV

= 
 
 
Dado um campo de velocidade, como o ilustrado na Figura 4.1, a posição da partícula A, 
em relação à origem de um sistema de coordenadas, pode ser descrita através do seu vetor 
posição, Ar

. 
 
 
 
Figura 4.1. Posição da partícula A em diferentes instantes de tempo (t e t+Δt). 
 
O vetor posição é uma função do tempo, uma vez que a partícula está se movimentando: 
ktzjtyitxtr aaaA

++= )()()()( Eq. 4.5 
 
Assim o vetor velocidade da partícula A, em uma determinada posição, também pode ser 
escrito como a taxa de variação do vetor posição em relação um intervalo de tempo 
infinitesimal: 
( ) ( )
t
trttr
V AA
tA
D
−D+
= →D

0lim Eq. 4.6 
ou ( )
dt
rd
trV A
AA


=, Eq. 4.7 
 
4.2 Classificação do escoamento 
4.2.1 Quanto à viscosidade 
Quanto à viscosidade, um escoamento pode ser classificado como viscoso ou não-
viscoso. Um escoamento viscoso está associado à um fluido real, com viscosidade diferente de 
zero, onde existirá atrito entre as camadas de fluido e no contato do fluido com uma superfície 
sólida. Considerando o escoamento de um fluido real em uma tubulação horizontal, como 
ilustrado na Figura 4.2-a, o efeito da viscosidade promoverá um perfil de velocidade não 
uniforme em uma seção transversal. Um escoamento não-viscoso, também chamado de 
escoamento de fluido ideal ou perfeito, é aquele no qual os efeitos da viscosidade não 
X
y
z
Partícula A
no instante t Partícula A
no instante 
t+dt
rA(t)
rA(t+dt)
Trajetória da partícula
 
influenciam significativamente o escoamento e são, portanto, desprezados. Considerando o 
escoamento de um fluido ideal em uma tubulação horizontal, como ilustrado na Figura 4.2-b, 
a ausência de atrito faz com que o perfil de velocidade seja uniforme em uma seção transversal. 
 
 
Figura 4.2. Escoamento em uma tubulação horizontal, considerando (a) um fluido real e (b) um fluido 
ideal. 
 
4.2.2 Quanto à geometria 
Quanto à geometria os escoamentos podem ser classificados como uni (1D), bi (2D) ou 
tridimensionais (3D). A maioria dos escoamentos que ocorrem na natureza são tridimensionais, 
uma vez que as grandezas que nele interferem, em cada seção transversal de um filamento ou 
tubo de corrente, variam em três dimensões. Observe um exemplo de escoamento 
tridimensional na Figura 4.3-a, onde, em uma tubulação com seção transversal circular não 
uniforme, o perfil de velocidades, v, é uma função das 3 direções. Tal padrão ocorre porque 
existem efeitos de viscosos no escoamento, que fazem com que o perfil de velocidade em uma 
seção transversal seja não linear, variando no plano da seção transversal, e geométricos devido 
à redução da seção transversal que faz com que a velocidade aumente no sentido longitudinal 
do escoamento. Para uma tubulação horizontal com seção transversal circular de área variada 
no sentido do escoamento, como ilustrado na Figura 4.3-b, o escoamento também é 
tridimensional. No entanto, se definirmos um plano x-y que corta a tubulação no centro, o 
escoamento pode classificado como bidimensional neste plano, uma vez que a velocidade varia 
em duas direções: em y, devido aos efeitos viscosos; e em x, devido à redução da seção 
transversal no sentido do escoamento. 
 
 
 
(a) 
 
(b) 
 
(c) 
Figura 4.3. Exemplos de escoamentos (a) tri, (b) bi e (c) unidimensionais. 
 
Escoamentos unidimensionais assumem que o sistema é caracterizado por variações da 
velocidade em apenas uma direção, como observado na Figura 4.3-c, onde na mesma tubulação 
horizontal do exemplo anterior foram desprezados os efeitos viscosos e a velocidade variou 
apenas em função da mudança de área da seção transversal no sentido do escoamento. É comum 
assumir escoamentos unidimensionais em rios. No entanto, esta simplificação pode gerar erros 
 
grosseiros, uma vez que os efeitos viscosos e/ou geométricos precisam ser desprezados. Desta 
forma, quando o sistema apresentar grande heterogeneidade espacial da velocidade, 
aproximações bi ou tridimensionais são mais apropriadas. 
 
4.2.3 Quanto ao tempo 
Quanto à variação no tempo, o escoamento pode ser classificado como permanente 
(também chamado de estacionário) ou não permanente (também chamado de não estacionário 
ou transiente). O escoamento é dito permanente quando as propriedades médias estatísticas das 
partículas fluidas, contidas em um volume de controle permanecem constantes ao longo do 
tempo. Quando ocorrem modificações destas propriedades no tempo, o escoamento é dito não 
permanente. 
A Figura 4.4 mostra um exemplo prático para diferenciar um escoamento permanente de 
um escoamento não permanente. Em um reservatório de grandes dimensões o volume de saída 
descarregado pelo orifício é muito pequeno em relação ao volume do reservatório. Desta forma, 
o nível da água do reservatório praticamente não varia ao longo do tempo e o escoamento pode 
ser considerando permanente. No entanto se o volume do reservatório for pequeno em relação 
ao volume de saída no orifício, o nível do reservatório será reduzido ao longo do tempo, e o 
escoamento é dito não permanente. 
 
 
Figura 4.4. O escoamento geradopela descarga de fundo de um orifício de um reservatório de grandes 
dimensões pode ser considerado permanente, pois o nível do reservatório não vai variar 
significativamente ao longo do tempo. Já em um reservatório de pequenas dimensões, a descarga de 
fundo promove variação do nível do reservatório e o escoamento é dito como não permanente. 
 
 
4.2.4 Quanto ao espaço 
Quanto à variação no espaço, o escoamento pode ser classificado como uniforme 
(também chamado de não-variado) ou não uniforme (também chamado de variado). Um 
escoamento de um fluido é uniforme, do ponto de vista cinemático, quando o campo de 
velocidade, em um determinado instante, é constante ao longo de uma ou mais direção do 
escoamento. Por exemplo, observe o escoamento em uma tubulação circular horizontal com 
área da seção transversal constante, conforme mostrado na Figura 4.5. Na direção x, o 
escoamento pode ser classificado como uniforme, uma vez que o perfil de velocidade se repete 
ao longo da direção. No entanto, o escoamento é não uniforme na direção z, onde a velocidade 
varia de zero, na parede da tubulação, até um valor máximo, no centro da tubulação, seguindo 
um perfil parabólico de variação. 
 
 
Figura 4.5. O escoamento em uma tubulação circular horizontal com área da seção transversal 
constante ao longo da direção do escoamento (direção x). 
 
Se o perfil parabólico de variação da velocidade for aproximado por um perfil teórico 
equivalente onde a velocidade corresponde à média do perfil real (Figura 4.6), o escoamento 
do exemplo anterior pode ser considerado uniforme em todas as direções. 
 
 
Figura 4.6. Aproximação do perfil de velocidade real por um perfil de velocidade uniforme 
(velocidade média). 
 
 
4.2.5 Quanto à compressibilidade 
Quanto à compressibilidade um escoamento pode ser classificado como compressível ou 
incompressível. Um escoamento incompressível ocorre se a massa específica de cada partícula 
permanece relativamente constante ao longo do campo de escoamento, ou seja: 
0=
Dt
D
 Eq. 4.8 
 
Em escoamento compressíveis, existe uma variação da massa específica ao longo do 
escoamento. Por exemplo, o escoamento atmosférico, no qual ρ = f(z), onde z é a altitude, assim 
como os escoamentos que envolvem camadas adjacentes de água doce e salgada, são exemplos 
de escoamentos compressíveis, nos quais a massa específica varia em função da altura ou 
profundidade. 
 
4.3 Linhas de corrente, trajetória e de emissão 
Na análise de escoamentos e visualização, é comum o uso de linhas de corrente, trajetória 
e de emissão. A trajetória de uma partícula é uma linha formada pelo conjunto de todas as 
posições ocupadas por uma dada partícula ao longo de um intervalo de tempo (Figura 4.7). 
Portanto, a linha de trajetória é formada por uma única partícula fluida no decorrer de um 
intervalo de tempo. 
 
 
Figura 4.7. Trajetória de uma partícula fluida entre os instantes t1 e t3. 
 
X
y
z
Partícula no instante t1
Partícula no instante t2
Partícula no instante t3
 
A linha de corrente consiste em uma linha contínua traçada num fluido, tangente em todos 
os pontos ao vetor velocidade, em um mesmo instante, t (Figura 4.8). Uma partícula que se 
move ao longo de uma linha de corrente, em qualquer instante, possui um vetor deslocamento 
( )dzdydxrd ,,=

, cuja direção e sentido são os mesmos do vetor velocidade ( )wvuV ,,=

 e, 
portanto, o produto vetorial entre os dois vetores é nulo: 
0==
wvu
dzdydx
kji
Vrd


 Eq. 4.9 
resultando em: 
0=− dxvdyu Eq. 4.10 
0=− dxwdzu Eq. 4.11 
0=− dywdzv Eq. 4.12 
 
Desta forma, uma linha de corrente precisa satisfazer as seguintes equações diferenciais: 
w
dz
v
dy
u
dx
== Eq. 4.13 
 
 
Figura 4.8. Linha de corrente que tangencia os vetores velocidade de diferentes partículas no instante 
t. 
X 
y 
z 
Partícula 1 
no instante t 
Partícula 2 
no instante t 
Partícula 3 
no instante t 
v1 
v2 
v3 
 
 Estas equações formam um sistema de duas equações independentes. Qualquer linha 
contínua que o satisfaça será uma linha de corrente. Analiticamente, para escoamentos 
bidimensionais (2D), no plano x-y, a inclinação da linha de corrente deve ser igual a tangente 
do ângulo, θ, que o vetor velocidade faz com o eixo x, ou seja: 
tan==
u
v
dx
yd
 Eq. 4.14 
 
 
Exemplo 4.2 – Traçado de trajetórias e linhas de corrente a partir de um campo de 
velocidades 
Considere um campo de velocidade dado por ( ) jtitV

++= 222 (m/s). Esboce a linha de 
trajetória de uma partícula até t = 5s, que parte da origem em t = 0. Esboce também as linhas 
de corrente em t = 5s. 
As componentes de velocidades podem ser escritas como: 
( )
( )





==
==
+==
0
2
22
wV
ttvV
ttuV
z
y
x
 
 Assim o escoamento pode ser caracterizado como bidimensional, no plano x-y, e não 
permanente, como as componentes de velocidade u e v estão em função do tempo. 
A trajetória da partícula que no instante t = 0 passou na origem (0, 0) não coincide com a linha 
de corrente para t = 0, uma vez que o escoamento é não permanente. A equação desta trajetória 
pode ser calculada por: 
( )
( )









==
==
+==
)3(0
)2(2
)1(22
dt
dz
w
t
dt
dy
tv
t
dt
dx
tu
 
Integrando a equação (1), tem-se: 
 
( ) +=
tx
dttdx
00
22 
ttx 22 += 
Analogamente para a equação (2): 
( ) =
ty
dttdy
00
2 
2ty = 
Assim, as posições da partícula que parte da origem em t = 0 até t = 5s, podem ser determinadas, 
através de uma simples tabela: 
t x = t²+2t y = t²
0 0 0
1 3 1
2 8 4
3 15 9
4 24 16
5 35 25 
Com as posições da partícula para diferentes instantes de tempo, podemos desenhar a trajetória: 
 
 
 
As linhas de corrente podem ser calculadas analiticamente partindo do conhecimento do campo 
de velocidade: 
0
5
10
15
20
25
30
0 10 20 30 40
y
x
 
22
2
+
==
t
t
u
v
dx
yd
, ou 
dx
t
t
dy
22
2
+
= 
Realizando a integração indefinida na equação acima, temos: 
 +
= dx
t
t
dy
22
2
 
Cx
t
t
y +





+
=
22
2
 
Assim, as linhas de correntes para o instante t = 5 são dadas pela seguinte expressão: 
Cxy +=
6
5
 
Um conjunto de linhas de corrente, no intervalo de tempo t = 5, pode ser definido atribuindo 
diferentes valores para a constante C: 
 
 
 
 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 5 10 15 20
y
x
C = 0 C = 1 C = 2
 
Nos escoamentos permanentes, como não existe variação no tempo da direção do vetor 
velocidade em cada ponto, as linhas de corrente possuem inclinação fixa em todos os pontos, 
sendo, portanto, fixa no espaço. Desta forma, as partículas sempre se moverão tangente às linhas 
de corrente. Logo, nos escoamentos permanentes, a trajetória de uma partícula é equivalente a 
uma linha de corrente. Nos escoamentos variados, como a direção do vetor velocidade, em 
qualquer ponto, pode variar com o tempo, uma linha de corrente pode mudar de direção no 
espaço, de um instante para outro. Deste modo, uma partícula segue uma linha de corrente num 
certo instante, outra noutro instante e assim sucessivamente. 
Um conceito derivado de linha de corrente é o de tubo de corrente ou veia líquida que 
consiste em um conjunto de linhas de corrente que passam por uma linha geométrica fechada 
que define uma seção transversal fechada no campo de escoamento (Figura 4.9). Desta forma, 
não existe escoamento (fluxo) através de uma linha de corrente, mas sim em uma seção 
transversal fechada. 
 
Figura 4.9. Tubo de corrente em um campo de escoamento. 
 
A linha de emissão é uma linha definida pela sucessão de partículas que tenham passado 
por um mesmo ponto. Por exemplo, a pluma que se desprende de uma chaminé permite 
visualizar de forma grosseira uma linha de emissão. A pluma é resultante de um conjunto de 
partículas de fumaça que passaram pela boca da chaminé. 
 
 
4.4 Abordagens para o estudo do escoamento 
Qualquertipo de escoamento pode ser descrito através de duas abordagens: lagrangeana 
e euleriana. A abordagem lagrangeana segue o movimento de cada partícula, acompanhando-
a em sua trajetória real, para descrever suas propriedades (pressão, densidade, velocidade) em 
 
um intervalo de tempo (Figura 4.10). Ou seja, cada partícula é rotulada/identificada e suas 
propriedades são registradas/monitoradas ao longo de sua trajetória. Na prática, esta descrição 
apresenta grande dificuldade, uma vez que é difícil registrar a(s) propriedade(s) de uma 
determinada partícula ao longo de sua trajetória. Em problemas de Engenharia, normalmente 
não interessa o comportamento individual da partícula e sim o comportamento de um conjunto 
de partículas no processo de escoamento. Por exemplo, uma maneira de medir correntes 
oceânicas ao longo do escoamento é através do uso de um medidor automático de correntes 
instalado em uma boia flutuante (também conhecido como derivador ou flutuador), a qual é 
arrastada pelas correntes oceânicas (Figura 4.11a). Satélites acompanham a posição da boia 
com o uso de um Sistema de Posicionamento Global (GPS) e os sensores presentes vão 
registrando algumas propriedades, tais como velocidade, temperatura, salinidade da água ao 
longo da trajetória da boia. É importante ressaltar que a trajetória da boia não corresponde 
exatamente a trajetória de uma partícula de água, uma vez que existem efeitos da ação do vento 
e perda de energia na boia. Outra forma direta para medir as correntes oceânicas é marcando 
uma porção de água com flutuadores ou corantes. Experimentalmente, a visualização do 
escoamento com corantes pode facilmente produzir linhas de corrente para um escoamento 
permanente, mas para escoamentos não permanentes este tipo de experimento não 
necessariamente oferece informação sobre as linhas de corrente. 
 
 
 
Figura 4.10. Uso de abordagem lagrangeana e euleriana para avaliar propriedade(s) de uma partícula, 
P, em um escoamento. Quando acompanhamos a partícula ao longo de sua trajetória para avaliar suas 
propriedades, usamos uma abordagem lagrangeana. Quando as propriedades são registradas em função 
das coordenadas espaciais e temporais (x1, x2, x3, t), usamos uma abordagem euleriana. 
 
Na abordagem euleriana o movimento do fluido é descrito pela especificação completa 
das propriedades necessárias em função das coordenadas espaciais e temporais, independe da 
trajetória das partículas no campo de escoamento. Desta forma, obtemos informações do 
escoamento em função do que acontece em pontos fixos do espaço. A abordagem euleriana é o 
método mais simples e preferencial para estudar o movimento dos fluidos, uma vez que é muito 
mais prático registrar as propriedades dos fluidos em uma determinada posição do que fazer tal 
registro seguindo uma partícula ou um conjunto de partículas. Um medidor de correntes 
instalado em um ponto fixo no fundo do mar registra as correntes em um intervalo de tempo é 
um exemplo de uma abordagem euleriana (Figura 4.11b). 
 
 
Figura 4.11. Equipamentos que medem correntes oceânicas. Tais medições podem ser feitas (a) ao 
longo do escoamento (método lagrangeano) ou (b) em pontos fixos no oceano (método euleriano). 
 
 
 
(a) (b) 
 
4.5 Aceleração de uma partícula fluida 
A mudança de intensidade e/ou direção da velocidade no espaço e no tempo provoca a 
aceleração de uma partícula fluida. Matematicamente, a aceleração de uma partícula fluida pode 
ser escrita como a derivada total (ou substancial) do vetor velocidade em relação ao tempo, ou 
seja: 
Dt
VD
a


= Eq. 4.15 
 
Como o vetor velocidade é uma função do vetor posição e do tempo (Eq. 4.7) e, por sua 
vez, o vetor posição é uma função do tempo (Eq. 4.5), a derivada total da velocidade pode ser 
decomposta em derivadas parciais utilizando a regra da cadeia: 
 
t
V
dt
dz
z
V
dt
dy
y
V
dt
dx
x
V
Dt
VD


+


+


+


=

 Eq. 4.16 
 
onde dx/dt = u, dy/dt = v e dz/dt = w representam as componentes do vetor velocidade nas 
direções x, y e z, respectivamente. Assim a aceleração de uma partícula fluida pode ser reescrita 
da seguinte forma: 
 
   


convectivaaceleração
localaceleração
z
V
w
y
V
v
x
V
u
t
V
a


+


+


+


= Eq. 4.17 
 
O primeiro termo do lado direito da equação é chamado de aceleração local e os termos 
restantes de aceleração convectiva. A aceleração local corresponde a variação da velocidade 
em um ponto fixo no espaço que ocorre entre dois instantes de tempo (t e t+Δt). Por exemplo, 
considere o campo de velocidade apresentado na Figura 4.12, o qual varia entre os instantes t 
e t+Δt. Analisando o ponto A (x1, y1), observa-se que o vetor velocidade varia em módulo, 
direção e sentido entre os instantes t e t+Δt. Desta forma, existe aceleração local no ponto A. 
Em escoamentos permanentes a aceleração local é nula, uma vez que não existe variação do 
vetor velocidade em um determinado ponto do espaço ao longo do tempo, ou seja: 
 
 
0=


=
t
V
aL


 
(em escoamentos permanentes) 
Eq. 4.18 
 
A aceleração convectiva corresponde a variação do vetor velocidade no espaço em um 
instante de tempo. Por exemplo, no campo de velocidade apresentado Figura 4.12(a), que 
corresponde ao instante t, observa-se uma variação de velocidade na direção x (do ponto A para 
o ponto C) e na direção y (do ponto A para o ponto B), indicando uma aceleração convectiva 
nas duas direções. 
O vetor aceleração também pode ser escrito em função de seus componentes escalares: 
 
( )zyx aaaa ,,=

 Eq. 4.19 
onde: 
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
ax


+


+


+


= Eq. 4.20 
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
a y


+


+


+


= Eq. 4.21 
z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w
ax


+


+


+


= Eq. 4.22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) campo de velocidade no instante de tempo t 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) campo de velocidade no instante de tempo t+Δt 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.12. Campos de velocidade em diferentes instantes de tempo (t e t+Δt). No ponto A ocorre 
aceleração local devido à variação de velocidade no ponto A entre os instantes t e t+Δt. Em um dado 
instante, a velocidade (intensidade e direção) também varia no espaço, indicando a presença de 
aceleração convectiva. 
 
 
Exemplo 4.3 - Aceleração de uma partícula fluida 
 Qual é a aceleração do fluido no ponto (3, 1, 0), dado o campo de velocidade abaixo: 
x1 
y1 
x1 
y1 
( )tVA

 
( )ttVA D+

 
A 
B 
C 
x2 
y2 
 
( ) kxyjyxiV

−++= 210 22 
 As componentes de velocidades podem ser escritas como: 
( )
( )




−=
+=
=
xyyxw
yxyxv
u
2,
,
10
22
 
As derivadas parciais de cada componente da velocidade em relação às direções x, y, z e t são:
 












=


=


=


=


0
0
0
0
z
u
y
u
x
u
t
u
 












=


=


=


=


0
2
2
0
z
v
y
y
v
x
x
v
t
v
 












=


−=


−=


=


0
2
2
0
z
w
x
y
w
y
x
w
t
w
 
As componentes do vetor aceleração podem ser então determinadas: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )








−+−++−+=


+


+


+


=
−++++=


+


+


+


=
−++++=


+


+


+


=
0222100
0222100
0200100
22
22
22
xyxyxy
z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w
a
xyyyxx
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
a
xyyx
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
a
z
y
x
 
resultando em: 





−−−=
++=
=
23
32
2220
2220
0
xyxya
yyxxa
a
z
y
x
 
No ponto (3, 1, 0), a aceleração fica: 
 
( )
( )
( )





−=−−−=
=++=
=
80132321200,1,3
80121323200,1,3
00,1,3
23
32
z
y
x
a
a
a
 
ou: 
( ) ( )80,80,0,, −== zyx aaaa

 
 
 
4.6 Taxas de escoamento 
As taxas deescoamento são importantes indicadores de fluxo de matéria em uma seção 
transversal, as quais são usualmente utilizadas em diferentes campos da Engenharia. Nesta 
seção veremos duas importantes taxas de escoamento: a vazão volumétrica e a vazão mássica. 
 
4.6.1 Vazão volumétrica 
Vazão volumétrica, ou simplesmente vazão, é o volume de determinado fluido que passa 
por uma determinada seção transversal de um conduto livre ou forçado, por uma unidade de 
tempo. Ou seja, vazão corresponde ao fluxo volumétrico em uma seção e dá uma ideia da 
rapidez com a qual um volume escoa. Por definição, a vazão é a razão entre o volume,  , e o 
intervalo de tempo, dt , que passou aquele volume em uma seção transversal: 
dt
Q

= Eq. 4.23 
Se a velocidade for considerada uniforme em toda a seção transversal, a vazão por ser 
escrita em função da velocidade média, V , e da área da seção transversal, A: 
AV
dt
Ads
dt
Q =

=

= Eq. 4.24 
 
Na prática, a expressão acima é pouca aplicada para a estimativa da vazão, uma vez que 
é difícil medir o volume que passa em uma seção transversal em um intervalo de tempo, 
sobretudo em seções de grandes dimensões. Desta forma, outra maneira de estimar a vazão é 
conhecendo o campo de velocidades na seção transversal de interesse. Por exemplo, para obter 
 
a vazão que passa em uma seção transversal de um rio de grandes dimensões, inicialmente são 
obtidas velocidades em diferentes pontos da seção (Figura 4.13). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.13. Campo de velocidade em uma seção transversal de um rio. No elemento infinitesimal 
(região hachurada) de área, dA, passa uma vazão, dQ. 
 
O volume de fluido que passa por cada elemento de área, dA, no intervalo de tempo, dt, 
é dado por: 
dAln = Eq. 4.25 
onde cos= lln é a altura (perpendicular à base) do pequeno volume de fluido e dA é a 
área do elemento infinitesimal. Assim, a vazão por ser reescrita como: 
 
dAV
dt
dAl
dt
dQ
dt
=

=

=
→


cos
cos
lim
0
 Eq. 4.26 
O termo cosV é equivalente ao produto escalar entre o vetor velocidade, V

, e o 
vetor unitário normal de área, n

, ou seja: 
cos=• VnV

 Eq. 4.27 
 
 A vazão na seção transversal é obtida somando as vazões de todos os elementos 
infinitesimais de área da seção, ou seja: 
eleV

 
 
 
( ) •==
A
dAnVdQQ

 Eq. 4.28 
A equação acima mostra que apenas a componente do vetor velocidade perpendicular à 
área promove fluxo volumétrico na seção transversal. Como a vazão é o produto da velocidade 
média com a área da seção transversal, a velocidade média na seção transversal também pode 
ser obtida através do campo de velocidades: 
 
( ) •==
A
dAnVAVQ

 Eq. 4.29 
( )
A
dAnV
V A
 •
=

 
Eq. 4.30 
 
 
Exemplo 4.4 – Vazão, velocidade média e tensão de cisalhamento 
 A velocidade axial do escoamento laminar (completamente desenvolvido) em um conduto 
circular de raio R está dado por: 
 
 
 
 
 Determine a vazão, a velocidade média e a tensão de cisalhamento. Considerando um sistema 
de coordenadas cilíndricas, as componentes de velocidades nos eixos x, r e θ são dadas por: 
 
 






−=
2
2
max
R
r
1uu
 









=
=






−=
0:
0:
1:
2
2
max
 Vdireção
Vrdireção
R
r
uuxdireção
r
 
O vetor velocidade é dado por: 
( )( )0,0,1 22
max RruV −=

 
O vetor unitário normal à área apresenta uma única componente na direção do escoamento: 
( )0,0,1=n

 
Assim, o produto escalar entre os dois vetores será igual a: 






−=•
2
2
max 1
R
r
unV

 
A vazão pode ser obtida por: 
( )  





−=•=
AA
dA
R
r
udAnVQ
2
2
max 1

 
onde o elemento infinitesimal de área, dA, em coordenadas cilíndricas, é expresso por: 
drdrdA = 
A vazão pode ser obtida pela integração abaixo: 
 





−=
A
drdr
R
r
uQ 
2
2
max 1 
Integrando inicialmente em relação à direção θ, resulta em: 
 





−=
R
dr
R
r
ruQ
0
2
3
max2 
Integrando em relação à direção radial, têm-se: 
R
R
rr
uQ
0
2
42
max
42
2 





−=  
Substituindo os limites de integração, obtêm-se: 
 
( )2max
2
R
u
Q =  
uu 
A
u
Q
2
max= 
O resultando acima indica que a vazão em uma tubulação horizontal circular pode ser 
facilmente estimada a partir do conhecimento da velocidade no centro da tubulação. A 
velocidade média, então, será dada por: 
A
u
AVQ
2
max== 
Resultando em: 
2
maxu
V = 
A tensão de cisalhamento pode ser obtida por: 
dr
du
cis =  
ou, 
2
max2
R
ru
cis

−=

 
Como pode ser observado na expressão acima, a tensão de cisalhamento é uma função linear 
que depende do raio. No centro da tubulação (r = 0) a tensão de cisalhamento é nula. Na parede 
da tubulação (r = R) a tensão de cisalhamento é máxima e dada por: 
R
u
Rrcis
max2 
−==

 
 
 
 
 
4.6.2 Vazão mássica 
A vazão em massa, também chamada de vazão mássica, é a quantidade em massa, m, do 
fluido que atravessa uma dada seção do escoamento por unidade de tempo, dt. 
Matematicamente, a vazão mássica é expressa por: 
 
dt
m
m = Eq. 4.31 
Como a massa é o produto da massa específica pelo volume, a vazão mássica pode ser 
escrita em função da vazão volumétrica: 
Q
dt
m =

= 

 Eq. 4.32 
Assim, podemos escrever a vazão mássica em função do campo de velocidades em uma 
seção transversal, tal como fizemos para a vazão volumétrica: 
( ) •=
A
dAnVm

  Eq. 4.33 
Se o perfil de velocidades na seção transversal for considerado uniforme (i.e. velocidade 
média), a vazão mássica pode ser determinada por: 
AVm =  Eq. 4.34 
 
Exercícios 
P4.1. Um trecho do canal do Sertão foi projetado para ter uma seção transversal retangular de 
largura muito grande e altura máxima de 4 m. Se o nível da água for maior do que 4 m 
acontecerá um transbordamento na seção. Na parte central da seção, o perfil de velocidades 
laminar pode ser representado por uma equação do 3° grau dado por 
( )33
0 331 HhHhUu −+= , onde u é a componente de velocidade da água na direção do 
escoamento, em m/s, Uo é a velocidade na superfície da água, em m/s, h é a profundidade da 
água medida a partir da superfície da água, em metros; e H é a altura do canal em metros. Na 
situação extrema de escoamento o nível da água é igual a altura do canal e a velocidade da água 
na superfície é de 2,4 m/s. Para o dimensionamento do canal, o engenheiro estrutural solicita o 
cálculo da tensão de cisalhamento no fundo do canal (parte central), para a situação extrema no 
limite do transbordamento. Estime também a vazão e a velocidade média por unidade de largura 
do canal. 
P4.2. Classifique os escoamentos segundo as hipóteses de análise e descreva-os brevemente. 
P4.3. Explique para que casos um escoamento pode ser considerado unidimensional. E 
bidimensional? 
P4.4. Quais são os três tipos de derivadas temporais? Defina cada uma delas. 
P4.5. Qual é o significado físico da aceleração local e o da aceleração convectiva? Como fica a 
expressão da aceleração para um escoamento permanente? Interprete fisicamente. 
P4.6. Dado o campo de velocidades: 
( ) kxxyjyixV

+++= 22 24 
qual é a aceleração do fluido no ponto (0, 1, 0)? 
P4.7. Dado o campo de velocidades: 
( ) ( ) kjtxyitxyV

−++++= 251026 22
 
qual é a aceleração do fluido no ponto (3, 0, 2) e no instante t = 1? 
P4.8. Assinale a(s) resposta(s) correta(s); justifique: 
As linhas de corrente: 
a) não se podem cortar; 
b) indicam a direção da velocidade da partícula em diversos pontos; 
 
c) descrevem o caminho percorrido pela partícula; 
d) se o escoamento é transiente, são variáveis no tempo. 
9. Considere o perfil de velocidades abaixo para o caso do escoamento laminar horizontal entre 
duas placas planas de extensão infinita, separadas por uma distância 2R: 
 
Calcule a vazão, a velocidade média e a tensão de cisalhamento.Desenhe os perfis de 
velocidade e de tensão de cisalhamento. 
 






−=
2
2
max
R
r
1uu
 
5. Análise Integral do Escoamento 
Um dos grandes interesses na área de Engenharia é o conhecido das forças e tensões 
produzidas durante o escoamento, no intuito de dimensionar as estruturas que comportarão a 
passagem de um determinado fluido. Para fluidos reais (i.e. presença de viscosidade), a 
ocorrência de movimento relativo entre as camadas promove tensões de cisalhamento e, 
consequentemente, força viscosas (ou forças de cisalhamento). Com a presença de forças 
viscosas, as formulações desenvolvidas para fluidos em repouso (estática dos fluidos) não 
podem ser aplicadas nestes casos. Desta forma, a descrição e formulação matemática/empírica 
dos fenômenos de escoamento é de grande interesse. 
Existem três maneiras de avaliar o escoamento de um fluido e os seus efeitos sobre as 
estruturas que comportarão o fluido, são elas: (a) análise integral do escoamento em um volume 
de controle; (b) análise diferencial do escoamento em um elemento de fluido de dimensões 
infinitesimais; e (c) análise dimensional do escoamento através de estudos experimentais. Neste 
Capítulo veremos a análise integral do escoamento em um volume de controle onde as leis de 
conservação (da massa, da quantidade de movimento e da energia) são descritas e aplicadas a 
um sistema, o qual é definido como uma quantidade arbitrária de massa com identidade própria. 
Esta aproximação é muito utilizada em problemas de Mecânica dos Fluidos na Engenharia, 
onde muitas vezes não se tem o interesse de estudar características do fluido em determinados 
pontos do campo de escoamento, mas sim de estudar o efeito global deste escoamento na 
fronteira (interface) ou em seções de entradas (alimentação) e saídas (descarga). Por exemplo, 
ao estudar o efeito da ação do vento em uma ponte, existe um interesse em conhecer as reações 
promovidas pelo escoamento sobre a ponte e não em um ponto da ponte. 
 
5.1 Sistema, Volume de Controle e Superfícies de Controle 
Em Mecânica dos Fluidos, sistema é uma quantidade de massa fixa, formada por uma 
porção de partículas fluidas, e esta é separada pelas fronteiras do ambiente (pode ser uma 
superfície sólida ou outro fluido imiscível). Desta forma, não é possível adicionar ou subtrair 
massa do sistema, não importando se as fronteiras são fixas ou móveis, a massa da porção de 
fluido se mantem constante ao longo do tempo. A Figura 5.1 mostra um exemplo de um 
sistema, representado por uma porção de partículas de propano confinada em um recipiente 
fechado, o qual é submetido a uma força de compressão, W, no pistão móvel na parte superior. 
A tensão compressão no pistão faz com que o volume de propano diminua dentro do recipiente. 
No entanto, a massa permanece constante, uma vez que as fronteiras são fechadas, não 
 
permitindo a saída de propano para o meio externo (vizinhança). Eventualmente, em um sistema 
pode existir a transferência de calor, Q, e trabalho, W, através das fronteiras, mas a massa não 
é transferida. 
 
Figura 5.1. Exemplo de sistema, representado por uma porção de partículas de propano confinado em 
um recipiente fechado, o qual é submetido a uma compressão no pistão, localizado na face superior do 
cilindro. 
Diferentemente de um sistema, um volume de controle, é uma entidade geométrica 
definida no espaço, que permite a transferência de massa nas fronteiras abertas. O escoamento 
do fluido é avaliado neste volume definido. Em outras palavras, um volume de controle é uma 
determinada região no espaço delimitada por fronteiras abertas e fechadas, onde uma 
determinada quantidade de fluido é observada e analisada. As fronteiras do volume de controle 
são também chamadas de superfícies de controle, as quais podem ser abertas, que permitem 
fluxo, ou fechadas, que não permitem fluxo. A Figura 5.2 mostra um exemplo de volume de 
controle definido pelas fronteiras do radiador. As superfícies de controle abertas do radiador 
permitem a entrada e saída de água. 
 
Figura 5.2. Exemplo de Volume de controle, representado pelas fronteiras de um radiador que permite 
a passagem de água (entrada e saída) em superfícies de controle abertas. 
 
 
Em resumo, no sistema uma porção fixa de massa de fluido é analisada, já no volume de 
controle, analisa-se a massa de fluido presente em um volume no espaço, podendo a massa 
variar, devido às condições do fluido e aos fluxos na entrada e saída das superfícies de controle 
abertas, as quais permitem fluxo. A Figura 5.3 ilustra a diferença entre sistema e volume de 
controle, onde uma garrafa de gás pressurizado que possui uma válvula que permite a saída de 
gás para o meio externo. Em t = 0, o gás ocupa todo o volume interior da garrafa e, neste 
instante, o sistema (i.e. região ocupada pelas partículas do gás) coincide com o volume de 
controle. Quando a válvula de saída é aberta, em t > 0, uma parte do gás deixa o volume de 
controle e a outra parte, que permanece dentro garrafa, se expande. Após a abertura da válvula, 
o sistema (mesma porção de partículas do instante t = 0) passa a ser região ocupada pelo gás 
dentro e fora da garrafa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 t = 0 t > 0 
Figura 5.3. Diferença entre sistema (região ocupada pelas partículas do gás) e volume de controle 
(volume interior da garrafa, uma entidade geométrica). 
 
5.2 O Teorema de Transporte de Reynolds 
Formular as leis conservação aplicadas em um sistema (porção fixa de massa de um 
conjunto de partículas) é extremamente complicado, uma vez que seria necessário rotular e 
seguir a mesma massa de fluido em todos os instantes de tempo. Além disso, geralmente, o que 
nos interessa não é o movimento de uma dada massa de fluido, mas sim o efeito do movimento 
Sistema 
Volume de controle 
 
global de fluido sobre algum dispositivo ou estrutura em uma fronteira. Desta forma, o Teorema 
de Transporte de Reynolds tem como premissa transformar as leis de conservação válidas para 
um sistema (abordagem Lagrangeana) em equações válidas para um volume de controle 
(abordagem Euleriana). Em resumo, este teorema se refere ao balanço global de uma 
propriedade extensiva qualquer aplicado em um volume de controle. Vimos no Capítulo 2 a 
definição de uma propriedade extensiva, N, e que ela está relacionada a uma propriedade 
intensa, η, através da seguinte relação: 
mN = Eq. 5.1 
Como a massa de uma porção de fluido, por definição, é dada por: 


= dm  Eq. 5.2 
uma quantidade de propriedade extensiva pode ser escrita como: 


= dN  Eq. 5.3 
e a taxa de variação de uma quantidade de propriedade extensiva será dada por: 








=









= 


 dV
dt
d
dt
dVd
dt
dN


 
Eq. 5.4 
 
Para demonstrar a equação geral de balanço de uma propriedade extensiva, considere um 
campo de velocidades que passa por volume de controle genérico, formado pelas regiões 1 e 2, 
e que move um conjunto de partícula de fluido (sistema) entre os instantes t e t + Δt (Figura 
5.4). 
 
 
Figura 5.4. Campo de velocidades que atravessa um volume de controle fixo no espação (regiões 1 e 
2) e que desloca uma porção de fluido (sistema) entre os instantes t e t + Δt. 
 
A taxa de variação da propriedade extensiva no sistema pode ser escrita considerando a 
definição de derivada: 
t
tNttN
Dt
DN sissist
t
sis
D
−D+
=
→D
)()(
lim
0 
Eq. 5.5 
 
No instante t, o sistema ocupa as mesmas regiões do volume de controle. A propriedade 
extensiva do sistema no instante t é dada por: 
( ) ( )tNtNtN sis 21)( += Eq. 5.6 
No instante t + Δt, o campo de velocidades faz com que uma fração de partículas do 
sistema deixem o volume de controle, fazendo com que o sistema passe a ocupar as regiões 2 e 
3. Assim, a propriedade extensiva do sistema em t + Δt fica: 
( ) ( )ttNttNttNsis D++D+=D+ 32)( Eq. 5.7 
 
Substituindo a Eq. 5.6 e Eq. 5.7 na Eq. 5.5, a taxa de variação da propriedade extensiva 
fica: 
t
tNtNttNttN
Dt
DN
t
sis
D
−−D++D+
=
→D
)()()()(
lim 1223
0 
Eq. 5.8 
Volume de 
controle 
Sistema 
Volume de controle ocupa 
as regiões 1 e 2 
Sistema ocupa as regiões 1 
e 2 no instante t 
Sistema ocupa as regiões 2 e 3 
no instante t + Δt 
 
Se adicionarmos o termo ( ) ( )ttNttN D+−D+ 11 no numerador da equação acima o 
resultado não se altera. Após algum algebrismo, chega-se em: 
t
ttNttN
t
tNtNttNttN
Dt
DN
tt
sis
D
D+−D+
+
D
−−D++D+
=
→D→D
)()(
lim
)()()()(
lim 13
0
1212
0
 Eq. 5.9 
Como o volume de controle (VC) ocupa sempre as regiões 1 e 2, o primeiro termo do 
lado direto da equação pode ser reescrito como: 
t
ttNttN
t
tNttN
Dt
DN
t
VCVC
t
sis
D
D+−D+
+
D
−D+
=
→D→D
)()(
lim
)()(
lim 13
00
 Eq. 5.10 
ou seja, 
t
ttNttN
dt
dN
Dt
DN
t
VCsis
D
D+−D+
+=
→D
)()(
lim 13
0
 Eq. 5.11 
Resta então saber o significado do segundo termo do lado direito da equação. Os termos 
)(3 ttN D+ e )(1 ttN D+ correspondem as quantidades de propriedade extensiva que ocupam 
as regiões 3 e 1, respectivamente, no instante t + Δt. As partículas do sistema que ocupam a 
região 3, no instante t + Δt, saíram do volume de controle através de um fluxo de descarga em 
uma fração da fronteira. Enquanto as partículas que ocupam a região 1, no instante t + Δt, 
entraram no volume de controle através de um fluxo de alimentação na fração restante da 
fronteira. Assim as quantidades )(3 ttN D+ e )(1 ttN D+ podem ser estimadas conhecendo os 
fluxos de quantidade da propriedade extensiva de saída e de entrada no volume de controle. No 
Capítulo anterior, vimos como podemos estimar fluxos volumétricos e de massa que atravessam 
uma seção transversal. Analogamente, podemos utilizar o mesmo conceito para estimar o fluxo 
de uma propriedade extensiva qualquer, N/Δt: 
( ) •=
D
A
dAnV
t
N 
 Eq. 5.12 
Desta forma, a quantidade de propriedade extensiva será dada por: 
( ) •D=
A
dAnVtN

 Eq. 5.13 
As quantidades )(3 ttN D+ e )(1 ttN D+ podem ser expressas por: 
( ) ( ) •D=D+
3
33
A
dAnVtttN

 
Eq. 5.14 
( ) ( ) •D−=D+
1
11
A
dAnVtttN

 
Eq. 5.15 
onde A1 e A3 correspondem as superfícies de controle onde ocorrem fluxo de entrada e de saída, 
respectivamente. A substituição das equações acima na Eq. 5.11 resulta em: 
 
( ) ( ) •+•+=
13
13
AA
VCsis dAnVdAnV
dt
dN
Dt
DN 
 Eq. 5.16 
As integrais podem então ser somadas, resultando em 
( ) •+=
SC
VCsis dAnV
dt
dN
Dt
DN 
 Eq. 5.17 
onde SC corresponde a superfície de controle onde pode ocorrer fluxo de quantidade da 
propriedade extensiva. O termo dtdNVC pode ser reescrito de acordo com a Eq. 5.4, e a equação 
acima fica: 
( ) •+=
SCVC
sis dAnVd
dt
d
Dt
DN 
 Eq. 5.18 
Esta equação é chamada de Teorema de Transporte Reynolds e mostra que a taxa de uma 
quantidade de propriedade extensiva aplicada a um sistema (lado esquerdo da equação) equivale 
a soma da taxa desta mesma propriedade extensiva aplicada em um volume de controle 
(primeiro termo do lado esquerdo da equação) com os fluxos de quantidade da propriedade 
extensiva, os quais ocorrem em superfícies abertas do volume de controle (segundo termo do 
lado esquerdo da equação). Podemos então transformar as leis de conservação válidas para um 
sistema (abordagem mais complicada) em equações válidas para um volume de controle 
(abordagem mais simples). Se o escoamento for permanente, não haverá variação de uma 
quantidade de propriedade extensiva aplicada no volume de controle e, portanto, o primeiro 
termo do lado direito da equação seria nulo. O segundo termo do lado direito da equação é 
diferente de zero se existir algum fluxo (de entrada ou de saída) de quantidade de propriedade 
extensiva em alguma superfície aberta do volume de controle. A Tabela 5.1 apresenta um 
resumo a interpretação de cada termo do Teorema de Transporte Reynolds. 
 
Tabela 5.1 Significado físico dos termos da equação geral do Teorema de Transporte de Reynolds. 
 
Termo Significado 
Dt
DN sis 
É a taxa ou variação no tempo de qualquer propriedade 
extensiva (por exemplo, massa, quantidade de movimento e 
energia) arbitrária do sistema. 
 
VC
d
dt
d
 
É a taxa ou variação no tempo de qualquer propriedade 
extensiva arbitrária dentro do volume de controle. 
 : é a propriedade intensiva correspondente à N 
d : é uma porção infinitesimal de massa contida no volume 
de controle (VC) 
 
VC
d : é a quantidade total da propriedade extensiva contida 
no volume de controle (VC) 
 
( ) •
SC
dAnV

 
É a taxa líquida de fluxo (entrada ou saída) de propriedade 
extensiva que atravessa a superfície de controle aberta. 
( )dAnV

• : é a taxa de fluxo de massa que atravessa o elemento 
infinitesimal de área, dA, na fronteira do Volume de Controle 
( )dAnV

• : é a taxa de fluxo de quantidade de propriedade 
extensiva que atravessa o elemento infinitesimal de área, dA 
 
5.3 Equação da Conservação da Massa 
A equação da Conservação da Massa, também chamada de Equação da Continuidade, é 
primeiro princípio físico ao qual aplicamos a relação entre as formulações de sistema e volume 
de controle. A lei de conservação da massa parte do princípio que a massa de um sistema 
permanece constante ao longo do tempo, ou seja, não existe perda ou ganho de massa da porção 
de partículas que compõem o sistema. Em linguagem matemática, este princípio pode ser 
escrito como: 
0=
SistemaDt
Dm
 
Eq. 5.19 
Para deduzir a formulação da conservação de massa para um volume de controle, 
consideramos que a propriedade extensiva é a massa que tem como propriedade intensiva o 
número adimensional 1, ou seja: 
1=====
m
m
m
N
mmassaN 
 
Eq. 5.20 
Substituindo a propriedade extensiva e intensiva na equação geral do Teorema geral do 
Transporte de Reynolds (Eq. 5.18), tem-se: 
( ) •+=
SCVCSistema
dAnVd
dt
d
Dt
Dm 
 Eq. 5.21 
 
Como não existem variação de massa no sistema, a equação da Conservação da Massa na 
forma integral fica reduzida a: 
( ) 0=•+ 
SCVC
dAnVd
dt
d 
 Eq. 5.22 
A equação da Conservação de Massa é simplesmente um balanço de massa aplicado ao 
volume de controle. O primeiro termo equivale a variação no tempo de massa dentro do volume 
de controle. O segundo termo equivale aos fluxos de massa que ocorrem nas superfícies de 
controle abertas. Por exemplo, se, em um intervalo de tempo, aconteceu uma variação positiva 
de uma quantidade massa dentro do volume de controle, significa que no intervalo entrou a 
mesma quantidade de massa através de um fluxo em uma superfície aberta do volume de 
controle. 
A equação da Conservação da Massa pode ser simplificada considerando alguns casos 
especiais. Por exemplo, considerando o escoamento incompressível (massa específica 
constante), a equação da Conservação da Massa fica: 
( ) 0=•+


SC
dAnV
dt
d 
 Eq. 5.23 
Nos casos onde o volume de controle pode ser considerando não deformável, o segundo 
termo da equação pode ser escrito como um somatório dos fluxos de massa nas superfícies de 
controle abertas (1, ..., m), ou seja: 
( ) ( ) 0...
1
111 =•++•+ 
mA
mmmm
AVC
dAnVdAnVd
dt
d 
 Eq. 5.24 
Se o perfil de velocidade nas seções transversais for considerado uniforme, ou 
aproximado por uma velocidade hipotética média (ver Capítulo anterior), e a massa específica 
for considerada constante em cada superfície de controle, os fluxos de massas nas superfícies 
de controle abertas podem ser escritos como um somatório de termos multiplicativos. 
( ) ( )
==
=−+
m
j
entrajjj
n
i
saiiii
VC
AVAVd
dt
d
11
0 Eq. 5.25 
onde i = 1,..,n são as superfícies de controle com fluxo de saída e j = 1,..,m são as superfícies 
de controle com fluxo de entrada, V é o módulodo vetor velocidade e A é área da seção 
transversal de uma superfície de controle. 
Para o caso de escoamentos permanentes, não existe variação de massa no tempo dentro 
do volume de controle, resultando em: 
 
( ) 0=•
SC
dAnV

 Eq. 5.26 
O caso mais simples possível consiste na união de todas as simplificações possíveis em 
um volume de controle não deformável com duas superfícies de controle, conforme ilustrado 
na Figura 5.5. 
 
 
Figura 5.5. Exemplo de balanço de massa em um volume de controle não deformável com duas 
superfícies de controle (uma de entrada e outra de saída). 
 
A equação da Conservação de Massa seria simplificada a ponto de se obter uma relação 
bastante conhecida na Hidráulica (a vazão na seção de entrada corresponde a vazão na seção de 
saída): 
2211 AVAV = Eq. 5.27 
ou 
21 QQ = Eq. 5.28 
 
 
Exemplo 5.1 – Balanço de massa em uma tubulação com regime permanente 
 Considere o escoamento permanente de água em uma junção de tubos conforme mostrado no 
diagrama. As áreas das seções são: A1 = 0,2 m2; A2 = 0,2 m2; A3 = 0,15 m2. O fluido também 
vaza para fora do tubo através de um orifício no ponto 4, com uma vazão volumétrica estimada 
em 0,1 m3/s. As velocidades médias nas seções 1 e 3 são V1 = 5 m/s e V3 = 12 m/s. Determine 
a velocidade do escoamento na seção 2. 
Saída
Volume de controle não 
deformável
A2, u2
 
 
 Partindo da equação da Conservação da Massa: 
( ) 0=•+ 
SCVC
dAnVd
dt
d 
 
como o escoamento é permanente não existe variação de massa no tempo dentro do volume 
de controle. Assim, o primeiro termo da equação pode ser simplificado: 
0=
VC
d
dt
d
 
Como o volume de controle, definido pela interface tubulação/água, não é deformável, o 
segundo termo da equação pode ser escrito como um somatório dos fluxos de massa nas 
superfícies de controle abertas: 
( ) ( ) ( ) ( ) 0
4321
4444333322221111 =•+•+•+• 
AAAA
dAnVdAnVdAnVdAnV

 
Considerando que o fluido é incompressível, a massa específica pode ser considerada 
constante e igual em todas as superfícies de controle abertas, resultando em: 
( ) ( ) ( ) ( ) 0
4321
444333222111 =•+•+•+• 
AAAA
dAnVdAnVdAnVdAnV

 
Os produtos escalares entre os vetores velocidade e os vetores normais às superfícies de 
controle são dados por: 
( )
( )
( )
( )








==•
==•
==•
−==•
)(0cos1
)(0cos1
)(0cos1
)(180cos1
4444
3333
2222
1111
saídaVVnV
saídaVVnV
saídaVVnV
entradaVVnV
o
o
o
o




 
Substituindo na equação da Conservação da Massa: 
 
0
4321
44332211 =+++− 
AAAA
dAVdAVdAVdAV 
Como as velocidades são médias, não existe variação da velocidade nas superfícies de 
controle. Assim as velocidades podem sair das integrais: 
0
4321
44332211 =+++− 
AAAA
dAVdAVdAVdAV 
ou seja: 
044332211 =+++− AVAVAVAV 
A multiplicação entre velocidade média e a área na seção 4 equivale a vazão na mesma seção: 
04332211 =+++− QAVAVAV 
Substituindo os valores, a velocidade na seção 2 pode então ser determinada: 
01,015,0122,02,05 2 =+++− V 
smV /5,42 −= 
O sinal negativo indica que o fluxo, adotado inicialmente de saída, na verdade é de entrada. 
 
Exemplo 5.2 – Balanço de massa em um reservatório com regime não-permanente 
Um reservatório enche de água por meio de duas entradas unidimensionais. A altura da água é 
h. (a) Encontre uma expressão para a variação da altura da água, dh/dt. (b) Calcule dh/dt para 
D1 = 25 mm, D2 = 75 mm, V1 = 0,9 m/s, V2 = 0,6 m/s e Ares = 0,18 m2, considerando a água a 
20 ºC. 
 
 
 
Partindo da equação da Conservação da Massa: 
( ) 0=•+ 
SCVC
dAnVd
dt
d 
 
E considerado o volume de controle fixo, definido pelo contorno tracejado na figura, e que o 
fluido é incompressível, tem-se: 
( ) 0=•+


SC
dAnV
dt
d 
 
O volume de controle possui uma fração de água e outra de ar. 
( ) ( ) 0=•+

+•+


arSCaráguaSCágua
dAnV
dt
d
dAnV
dt
d 
 
A medida que o volume de água aumenta no reservatório, devido aos fluxos de entrada, 
ocorre uma redução do volume de ar dentro do reservatório. A variação no tempo de massa de 
ar dentro do reservatório corresponde ao fluxo de saída de ar na parte superior do reservatório, 
ou seja: 
( )
arSCar
dAnV
dt
d
 •−=
 
 
Assim, a equação da continuidade dentro do volume de controle pode ser simplificada, e o 
balanço de massa de água no reservatório é dado por: 
( ) 0=•+


águaSCágua
dAnV
dt
d 
 
O primeiro termo da equação acima pode ser reduzido a: 
( )
dt
dh
A
dt
hAd
dt
d
res
água
res
água
=

=

 
Os fluxos de água nas superfícies abertas do volume de controle, podem ser escritos como: 
( ) ( ) ( ) •+•=•
21
222111
AAáguaSC
dAnVdAnVdAnV

 
Os produtos escalares entre os vetores velocidade e os vetores normais às superfícies de 
controle são dados por: 
 
( )
( )



−==•
−==•
)(180cos1
)(180cos1
2222
1111
entradaVVnV
entradaVVnV
o
o


 
Substituindo na equação da Conservação da Massa, tem-se: 
02211 =−− AVAV
dt
dh
Ares
 
resA
AVAV
dt
dh 2211 +
= 
m/s0,017181=
dt
dh
 ou 1,7181 cm/s 
 
Exemplo 5.3 – Taxa de variação de massa específica em regime não-permanente 
Um tanque de volume V = 0,05 m3 contendo ar a p = 800 kPa (absoluta) e T = 15 ºC. Em t = 0, 
o ar começa a escapar por uma válvula. O ar sai como uma velocidade V = 300 m/s através de 
uma área A = 65 mm2. Determine a taxa de variação da massa específica do ar no tanque em t 
= 0. 
 
 
Partindo da equação da Conservação da Massa: 
( ) 0=•+ 
SCVC
dAnVd
dt
d 
 
O escoamento é não permanente e, portanto, as propriedades do fluido variam no tempo como, 
por exemplo, a massa específica. No entanto podemos considerar que as propriedades não 
variam dentro do volume de controle. O volume de controle, delimitado pela interface entre o 
ar e as paredes do tanque, é não deformável. Além disso, o volume de ar dentro do volume de 
 
controle não varia ao longo do tempo, uma vez que o gás se expande e ocupa completamente o 
volume do tanque. Assim o primeiro termo da equação da Conservação da Massa fica: 
dt
d
d
dt
d
d
dt
d
VCVC

 ==  
O segundo termo da equação da Conservação da Massa pode ser escrito como uma simples 
integral referente ao fluxo na válvula de saída (superfície de controle aberta): 
( ) ( ) •=•
1
111
ASC
dAnVdAnV

 
O produto escalar entre o vetor velocidade e o vetor normal à superfície de controle aberta é 
dado por: 
( ) )(0cos1 1111 saídaVVnV o ==•

 
Substituindo os termos na equação da Conservação da Massa, podemos calcular a taxa de 
variação da massa específica: 
011 =+ AV
dt
d


 

−= 11AV
dt
d 
 
( ) 3/68,9
)27315(9,286
000.800
0 mkg
RT
p
t =
+
=== 
A taxa de variação da massa específica em t = 0, fica: 
05,0
106530068,9 6
0
11
0
−
==

−=






−=
tt
AV
dt
d 
 
smkg
AV
dt
d
tt
//77,3 3
0
11
0
−=






−=
==

 
O sinal negativo indica que a massa específica do ar no interior do tanque diminui seu valor ao 
longo do tempo. 
 
 
 
5.4 Equação da Conservação da Quantidade de Movimento 
A dedução da equação da Conservação da Quantidade de Movimento parte da definição 
da segunda lei de Newton. Para este balanço, considera-se quantidade de movimento como a 
propriedade extensiva, a qual é uma grandeza vetorial. A propriedade intensiva associada à 
quantidade de movimento é a velocidade, conforme vemos abaixo: 
V
m
Vm
m
P
PN



=

=== 
 
Eq. 5.29 
Substituindo a propriedade extensiva e intensiva na equação geral do Teorema de 
Transporte de Reynolds (Eq. 5.18), obtêm-se a equação da Conservação da Quantidade de 
Movimento de forma integral: 
( ) •+


=
SCVC
Sistema dAnVVdV
tDt
PD 

 Eq. 5.30 
O primeiro termo do lado direito da equação corresponde à variação da quantidade demovimento com o tempo no volume de controle. O segundo termo do lado direito da equação 
corresponde aos fluxos de entrada e saída de quantidade de movimento que atravessam as 
superfícies de controle. O termo do lado esquerdo da equação corresponde à variação no tempo 
de quantidade de movimento que ocorre no sistema, o qual pode ser avaliado através da segunda 
lei de Newton: 
 
( )
Dt
VmD
Dt
VD
mamFR


===
 
Eq. 5.31 
resultando em: 
Dt
PD
FR


=
 
Eq. 5.32 
Isto significa que a variação no tempo de quantidade de movimento que ocorre no sistema 
equivale à força resultante aplicada sobre o sistema. Assim a Eq. 5.30 pode ser reescrita como: 
( ) •+


=
SCVC
Sistema
dAnVVdV
t
F

 Eq. 5.33 
No item 3.1 vimos que as forças exercidas sobre ou sob fluidos podem ser classificadas 
como superficiais e de campo (mássicas). Problemas envolvendo fluidos são mais sujeitos às 
forças mássicas de gravidade que são inerentes a qualquer corpo devido ao efeito da ação da 
aceleração de gravidade. Em linguagem matemática a força de gravidade pode ser escrita como: 
=  dBF
VC
C 

 Eq. 5.34 
 
onde 
( ) ( )kg
m
kgm
m
F
B G



−=
−
== Eq. 5.35 
Quando o fluido é considerado incompressível (massa específica não varia) dentro do 
Volume de Controle, a força de gravidade se resume a: 
( ) ( )kgmkgFC

−=−=  Eq. 5.36 
As forças de superficiais, 
SF

, exigem, para sua aplicação, o contato físico com uma 
superfície e podem ser subdividas em duas categorias, conforme a equação abaixo: 
tnS FFF

+= Eq. 5.37 
onde 
nF

 são as forças de pressão (normais à uma superfície de contato) e 
tF

 são as forças 
viscosas (tangenciais à uma superfície de contato). As forças superficiais podem ser subdividas 
nas superfícies de controle abertas, SCA, e fechadas, SCF: 
( ) ( )FFAAFA SC
t
SC
n
SC
t
SC
n
SC
S
SC
SS FFFFFFF

+++=+= Eq. 5.38 
As forças de pressão ocorrem perpendicularmente às superfícies de controle abertas 
(permitem fluxo) ou fechadas (não permitem fluxo). Em uma determinada superfície de 
controle aberta, a força normal de pressão é promovida pela ação da porção de fluido vizinha à 
seção transversal. Assim, esta força possui sentido sempre oposto ao vetor unitário normal de 
área e pode ser quantificada pela seguinte expressão: 
( ) −=
A
A
SC
SC
n dAnpF

 
Eq. 5.39 
Para estimar a força normal de pressão em uma seção é necessário o conhecimento da lei 
de variação de pressão na superfície de controle aberta. Em muitos casos, por questões de 
simplicidade, podemos considerar que a pressão não varia na seção transversal (e.g. em seções 
transversais pequenas com pouca variação vertical), e o módulo da força de pressão em uma 
seção transversal i será dado por: 
ii
pressão
i ApF = Eq. 5.40 
onde pi é a pressão na seção i e Ai é a área na seção i. ). 
Nas superfícies de controle fechadas, SCF, a força devido à pressão é calculada de forma 
análoga: 
( ) −=
F
F
SC
SC
n dAnpF

 
Eq. 5.41 
 
A pressão que ocorre nas fronteiras fechadas pode apresentar uma lei de variação ainda 
mais complexa do que nas superfícies de controle abertas. No entanto, como a análise integral 
não tem interesse em conhecer efeitos pontuais do escoamento, podemos resumir e globalizar 
o efeito da pressão em todas as superfícies fechadas do volume de controle em uma única força, 
a qual representa a reação, devido à pressão, que a superfície faz no fluido dentro do volume de 
controle, ou seja: 
FF SC
n
SC
n FR

= Eq. 5.42 
As forças superficiais viscosas em fluidos reais (viscosidade diferente de zero) ocorrem 
nas fronteiras abertas (presença de gradientes de velocidade) e fechadas (atrito na superfície de 
contato). As forças viscosas nas superfícies fechadas podem ser resumidas através da seguinte 
expressão: 
 ( ) −=
F
F
SC
cis
SC
t dAtF

 
Eq. 5.43 
onde cis é a tensão de cisalhamento aplicada no elemento infinitesimal de área e t

 é o vetor 
tangente unitário à área, A. Esta componente da força viscosa corresponde a reação que a 
superfície fechada faz no fluido, ou seja: 
FF SC
t
SC
t FR

= Eq. 5.44 
A força de reação total promovida pela interação fluido/fronteira corresponde à soma das 
reações devido ao efeito de pressão e de viscosidade nas superfícies de controle fechadas: 
FFFF
F
SC
t
SC
n
SC
t
SC
nSC FFRRR

+=+= Eq. 5.45 
A reação total na fronteira é de grande interesse para a Engenharia, uma vez que o 
dimensionamento das estruturas, que estarão em contato com o fluido em movimento, parte do 
conhecimento desta reação. De forma que a Eq. 5.38 pode ser simplificada: 
( )
F
AA
SC
SC
t
SC
nS RFFF

++= Eq. 5.46 
Assim, a lei da Conservação da Quantidade de Movimento (Eq. 5.33) pode ser 
apresentada como: 
( ) •+


=+++
SCVC
C
SC
t
SC
nSC dAnVVdV
t
FFFR AA
F

 Eq. 5.47 
A equação vetorial da quantidade de movimento pode ser aplicada em volumes de 
controles indeformáveis, fixos ou móveis. Desta forma, o referencial de coordenadas pode ser 
inercial, fixo ou em movimento uniforme. A seleção de um referencial fixo facilita muito a 
 
resolução de problemas associados à esta equação. A equação vetorial, pode ser descomposta 
em cada direção do sistema de coordenadas, dependendo da dimensão do problema 
(unidimensional, bidimensional ou tridimensional). De forma mais genérica, considerando um 
problema tridimensional, as equações de conservação da quantidade de movimento nas direções 
x, y e z, onde z é a direção vertical, são dadas por: 
( ) •+


=++
SCVC
txnxx dAnVudu
t
FFR

 Eq. 5.48 
( ) •+


=++
SCVC
tynyy dAnVvdv
t
FFR

 Eq. 5.49 
( ) •+


=−++
SCVC
VCtznzz dAnVwdw
t
WFFR

 Eq. 5.50 
onde Rx, Ry e Rz são as componentes da força de reação nas fronteiras fechadas nas direções x, 
y e z, respectivamente; Fnx, Fny e Fnz são as componentes das forças normais de pressão nas 
fronteiras abertas que permitem fluxo nas direções x, y e z, respectivamente; Ftx, Fty e Ftz são as 
componentes das forças tangenciais viscosas nas fronteiras abertas nas direções x, y e z, 
respectivamente; u, v e w são as componentes do vetor velocidade, V

, nas direções x, y e z, 
respectivamente; e WVC é a força peso do volume de controle. As forças externas são vetores e 
têm sinal algébrico associado ao sentido da força. O sinal é positivo se a força está apontada no 
sentido positivo do eixo coordenado e negativo, caso contrário. 
Se as superfícies abertas (fluxos de entrada e saída do fluido) no volume de controle são 
selecionadas de forma a serem perpendiculares à direção do escoamento, então as forças de 
superfície exercidas pelo fluido exterior sobre o volume de controle são somente forças normais 
de pressão. Ou seja, neste caso as forças tangenciais viscosas são nulas, ou seja: 
0=ASC
tF

 ou 0=== txtytx FFF Eq. 5.51 
Em alguns casos em que o volume de controle selecionado engloba apenas a porção de 
fluido, a força resultante da ação da pressão atmosférica nas superfícies de controle é nula e não 
necessita de ser considerada. Desta forma, a escolha da escala de pressão (absoluta ou relativa) 
não interfere no problema e, consequentemente, no cálculo das reações. 
A equação da Conservação da Quantidade de Movimento pode ser ainda simplificada 
considerando, em alguns casos especiais. Por exemplo, considerando o escoamento 
incompressível (massa específica constante), a equação da Conservação da Quantidade de 
Movimento fica: 
 
( ) •+


=
SCVC
Sistema
dAnVVdV
t
F

 Eq. 5.52 
Nos casos onde o volume de controle pode ser considerando não deformável, o segundo 
termo da equação pode ser escrito como um somatório dos fluxos de massa nas superfícies de 
controle abertas (1, ..., m), ou seja: 
( ) ( ) •++•++


=
mA
mmmmm
AVC
Sistema
dAnVVdAnVVdVt
F

 ...
1
11111 Eq. 5.53 
Se o perfil de velocidade nas seções transversais for considerado uniforme, ou 
aproximado por uma velocidade hipotética média, e a massa específica for considerada 
constante em cada superfície de controle, os fluxos de massas nas superfícies de controle abertas 
podem ser escritos como um somatório de termos multiplicativos. 
( ) ( )
==
−++


=
m
j
entrajjj
n
i
saiiii
VC
Sistema
AVAVdV
t
F
1
2
1
2 

 Eq. 5.54 
onde i = 1,..,n são as superfícies de controle com fluxo de saída e j = 1,..,m são as superfícies 
de controle com fluxo de entrada, V é o módulo do vetor velocidade e A é área da seção 
transversal de uma superfície de controle. 
Para o caso de escoamentos permanentes, não existe variação de massa no tempo dentro 
do volume de controle, resultando em: 
( ) •=
SC
Sistema
dAnVVF

 Eq. 5.55 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5.4 – Influência da escolha da escala de pressão 
Um fluido escoa por uma tubulação (redutor) que apresenta uma redução da seção transversal, 
conforme apresentado na figura abaixo. Mostre que o cálculo das reações nas paredes do redutor 
não depende da escolha da escala de pressão. Considere que escoamento é permanente, 
 
bidimensional (plano x-z), que o fluido é incompressível e que a direção do escoamento é 
perpendicular às seções transversais 1 e 2. 
 
 
 
 
 
Partindo da equação da Conservação da Massa: 
( ) 0=•+ 
SCVC
dAnVd
dt
d 
 
como o escoamento é permanente não existe variação de massa no tempo dentro do volume 
de controle. Assim, o primeiro termo da equação pode ser simplificado: 
0=
VC
d
dt
d
 
Como o volume de controle, definido pela interface tubulação/água, não é deformável, o 
segundo termo da equação pode ser escrito como um somatório dos fluxos de massa nas 
superfícies de controle abertas: 
( ) ( ) 0
21
22221111 =•+• 
AA
dAnVdAnV

 
Os produtos escalares entre os vetores velocidade e os vetores normais às superfícies de 
controle são dados por: 
( )
( )



==•
−==•
)(0cos1
)(180cos1
2222
1111
saídaVVnV
entradaVVnV
o
o


 
Substituindo na equação da Conservação da Massa: 
0
21
2211 =+− 
AA
dAVdAV 
Como as velocidades são médias, não existe variação da velocidade nas superfícies de 
controle. Assim as velocidades podem sair das integrais: 
( )0,0,11 uV =

 
(1) 
(2) 
( )0,0,22 uV =

 
 
0
21
2211 =+− 
AA
dAVdAV 
Resultando em: 
2211 AVAV = ou 21 QQ = 
Considerando a escala de pressões absoluta, o diagrama de pressões e tensões nas fronteiras do 
volume de controle é ilustrado na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde patm é a pressão atmosférica; p1,rel e p2,rel são as pressões relativas nas seções 1 e 2, 
respectivamente; σcis é a tensão de cisalhamento na parede do redutor. As pressões absolutas 
nas seções 1 e 2 são dadas por: 
atmrelabs ppp += ,1,1
 
atmrelabs ppp += ,2,2
 
Se definimos a força de reação nas paredes como a soma do efeito das forças de pressão relativa 
e de cisalhamento, as componentes x e z podem ser escritas como: 
paredes
cistx
paredes
prelnx
rel
x FFR ,, += 
paredes
cistz
paredes
prelnz
rel
z FFR ,, += 
A pressão atmosférica também promove uma força de reação nas paredes, cujas componentes 
são dadas por: 
p1,rel patm 
patm 
patm 
patm 
patm 
patm 
p1,rel 
p1,rel 
p1,rel 
patm 
patm 
p2,rel 
p2,rel 
p2,rel 
p2,rel 
σcis 
σcis 
 
( )21, AApFR atm
paredes
patmnx
atm
x −−== 
0, == paredes
patmnz
atm
z FR 
A força de reação total corresponde à soma de todos os efeitos nas paredes, ou seja: 
( )21 AApRRRR atm
rel
x
atm
x
rel
xx −−=+= 
rel
z
atm
z
rel
zz RRRR =+= 
As componentes das forças resultantes no volume de controle, nas direções x e z: 
( ) ( ) xatmrelatmrelx RAppAppF ++−+= 2,21,1
 
VCzz WRF −= 
Substituindo a força de reação total nas equações acima, tem-se: 
( )2122,211,1 AApRApApApApF atm
rel
xatmrelatmrelx −−+−−+= 
VC
rel
zz WRF −= 
Na equação da direção x, os termos relacionados à pressão atmosférica podem ser 
simplificados, chegando a: 
rel
xrelrelx RApApF ++= 2,21,1
 
VC
rel
zz WRF −= 
Se a escala de pressão relativa fosse considerada, o diagrama de pressão e de tensão seria dado 
por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
p1,rel 
p1,rel 
p1,rel 
p1,rel 
p2,rel 
p2,rel 
p2,rel 
p2,rel 
σcis 
σcis 
 
e teríamos as mesmas componentes das forças resultantes no volume de controle encontradas 
considerando a escala absoluta de pressões: 
rel
xrelrelx RApApF +−= 2,21,1
 
VC
rel
zz WRF −= 
Desta forma, podemos concluir que o efeito da pressão atmosférica no balanço de forças do 
volume de controle é nulo e independente da escala de pressão. As forças de reações 
relacionadas à interação fluido/tubulação serão dadas por: 
( ) ( ) •+•=+−
21
222211112,21,1
AA
rel
xrelrel dAnVudAnVuRApAp

 
0=− VC
rel
z WR 
Como: 







−=•
−=•
=
=
222
111
22
11
VnV
VnV
Vu
Vu

 
As componentes da força de reação podem ser obtidas: 
2,21,12
2
21
2
1 ApApAVAVR relrel
rel
x +−+−=  
VC
rel
z WR = 
Caso a componente x da força de reação seja negativa, indica que o sentido da reação é no 
sentido oposto do eixo x, ou seja, para esquerda. A componente z da reação equivale ao peso 
do volume de controle é tem mesmo sentido do eixo z, ou seja, para cima. O peso do volume 
de controle pode ser estimado em função do peso específico do fluido e do volume: 
= VCW 
O módulo e sentido, ângulo α, da força de reação são dados por: 
( ) ( )22 rel
y
rel
x RRR += 








=
rel
x
rel
y
R
R
arctan 
 
 
 
Exemplo 5.5 – Reação em um cotovelo redutor 
Um fluido escoa por uma tubulação (redutor) que apresenta uma redução da seção transversal, 
conforme apresentado na figura abaixo. Mostre que o cálcula das reações nas paredes do redutor 
não depende da escolha da escala de pressão. Considere que escoamento é permanente, 
bidimensional (plano x-z), que o fluido é incompressível e que a direção do escoamento é 
perpendicular às seções transversais 1 e 2. 
 
 
Os vetores velocidades nas seções 1 e 2 são dados por: 
( )0,0,
00sin
0
0cos
11
11
1
111
1 VV
Vw
v
VVu
V =





==
=
==



 
( )


sin,0,cos
sin
0
cos
222
22
2
22
2 =





=
=
=
VVV
Vw
v
Vu
V

 
Analogamente ao problema anterior, a equação da Conservação da Massa fornece a seguinte 
relação: 
2211 AVAV = ou 21 QQ = 
 
O diagrama de pressões e tensões nas fronteiras do volume de controle é ilustrado na figura 
abaixo: 
1
2
θ
( )0,0,11 uV =

 
( )222 ,0, wuV =

 
 
 
Do diagrama de pressões e tensões, podemos obter o somatório das forças nas direções x e z: 
xrelrelx RApApF +−= cos2,21,1
 
VCzrelz WRApF −+−= sin2,2
 
Considerando o escoamento permanente, bidimensional e fluido incompressível, podemos 
escrever as equações de conservação da quantidade de movimento nas direções x e z: 
( ) ( ) •+•=+−
21
222211112,21,1 cos
AA
xrelrel dAnVudAnVuRApAp

 
( ) ( ) •+•=−+−
21
222211112,2 sin
AA
VCzrel dAnVwdAnVwWRAp

 
Como: 
( )
( )










==•
−==•
=
=
=
=
)(0cos1
)(180cos1
sin
cos
0
2222
1111
22
22
1
11
saídaVVnV
entradaVVnV
Vw
Vu
w
Vu
o
o




 
 
As componentes da força de reação podem ser obtidas: 
 coscos 2,21,12
2
21
2
1 +−+−= ApApAVAVR relrelx 
VCrelz WApAVR ++=  sinsin 2,22
2
2 
p1,rel
p1,rel
p1,rel
p1,rel
p2,rel
p2,rel
σcis
σcis
 
 
 
 
5.5 Equação da Conservação da Energia 
Para deduzir a formulação da Conservação da Energia para o volume de controle, 
fazemos: 
e
m
E
EN === 
 
Eq. 5.56 
onde e corresponde à energia específica. A energia específica pode ser escrita com o somatório 
de todas as formasde energia: 
outraspotencialcinéticau eeeee +++= Eq. 5.57 
onde eu é a energia específica interna possuída pela matéria devido ao agitamento das moléculas 
(efeito térmico) e/ou pelas forças intermoleculares, ecinética é a energia específica cinética devido 
ao movimento do fluido; epotencial é a energia específica potencial armazenada devido à elevação, 
z, do fluido; eoutras é a energia específica relacionada à outras formas de energia como, por 
exemplo, química, eletrostática, nuclear, magnética. Em problemas de Mecânica dos Fluidos 
não é comum a manifestação destas outras formas de energia. A energia específica cinética e 
potencial são dadas pelas expressões abaixo: 
g
V
ecinética
2
2
= Eq. 5.58 
zgepotencial = Eq. 5.59 
Substituindo a propriedade extensiva e intensiva na equação geral do Teorema de 
Transporte de Reynolds (Eq. 5.18), a equação da Conservação da Energia pode ser obtida: 
( ) +


=
SCVC
Sistema dAnVede
tDt
DE 

 
Eq. 5.60 
O primeiro termo do lado direito da equação corresponde à variação da energia com o 
tempo no volume de controle. O segundo termo do lado direito da equação corresponde aos 
fluxos de entrada e saída de energia que atravessam as superfícies de controle. O termo do lado 
esquerdo da equação corresponde à variação no tempo de energia total que ocorre no sistema. 
Os estados inicial e final de energia de um sistema dependem do calor adicionado ou retirado e 
do trabalho realizado sobre ou pelo o sistema (1ª Lei da Termodinâmica), ou seja: 
DWDQDE += Eq. 5.61 
 
onde DQ é o calor agregado ou retirado ao sistema DW é o Trabalho realizado sobre ou pelo 
sistema e DE é a Variação da Energia no sistema. A equação acima pode ser escrita em termos 
de taxas de energia, calor e trabalho: 
Dt
DW
Dt
DQ
Dt
DE
Sistema
+= Eq. 5.62 
Taxa de trabalho e calor são duas formas de transmissão de energia para ou pelo sistema. 
Quando a taxa de trabalho ou de calor é positiva ocorrem uma transferência de energia para o 
sistema, e quando estas taxas são negativas o sistema perde energia (Figura 5.6). 
 
 
Figura 5.6. As taxas de trabalho podem ser realizadas sobre (positiva) ou pelo sistema (negativa). As 
taxas de calor podem ser adicionadas (positiva) ou retiradas (sistema) no sistema. 
 
O trabalho é um tipo de energia associada às forças superficiais (pressão e/ou viscosas) 
ou transmitida ao volume de controle por uma máquina (também chamado de eixo). 
Matematicamente, a taxa de trabalho por ser escrita como uma soma das taxas de trabalho 
realizadas por eixos, forças de pressão e forças viscosas: 
dt
dW
dt
dW
dt
dW
Dt
DW
viscpressãoeixo ++= Eq. 5.63 
A taxa de trabalho por eixos, dtdWeixo , equivale a potência utilizada pela máquina, Pu, 
que pode ser relacionada com a potência nominal, Pn, informada pelo fabricante: 
nu PP =  Eq. 5.64 
Sistema
0
dt
dW

0
dt
dQ

0
dt
dW
 0
dt
dQ

 
onde  é o rendimento da máquina. A taxa de trabalho por eixos pode ser: (a) positiva, quando 
a máquina adiciona energia no sistema com, por exemplo, trabalho realizado por uma bomba 
hidráulica (Figura 5.7-a) que fornece energia ao sistema com a finalidade de aumentar a 
pressão, a velocidade ou a elevação do fluido; ou (b) negativa, quando a máquina retira energia 
do sistema (Figura 5.7-b) tal como uma turbina instalada em uma usina hidrelétrica, onde parte 
da energia do sistema é convertida em energia mecânica (girando as turbinas) que, por sua vez, 
é transformada em energia elétrica. 
 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 5.7. Exemplos de máquinas que realizam trabalho (a) para o sistema (bombas) ou (b) sobre o 
sistema (turbinas). 
 
A taxa de trabalho devido às forças de pressão ocorre nas superfícies de controle e pode 
ser escrita em termos integrais como: 
 
( )dAnVpVF
t
lF
dt
dW
SC
p
p
t
pressão 

•=•=
D
D•
= →D 0lim Eq. 5.65 
A taxa de trabalho pelas forças viscosas ocorre devido ao atrito nas superfícies de 
controle. Tal atrito promove uma transformação de parte da energia do sistema para energia 
térmica. Como esta energia térmica não é mais aproveitada pelo sistema, na prática é dito que 
ocorreu uma perda de energia, mas na verdade a energia não foi perdida e sim transformada e 
não mais utilizada. Matematicamente, esta taxa por ser expressa por: 
( ) •=
SC
cis
visc dAVt
dt
dW 
 Eq. 5.66 
Como pode ser muito complexo obter a lei de variação da tensão de cisalhamento, a taxa 
de taxa de trabalho devido às forças viscosas é expressa como uma taxa de calor liberada pelo 
sistema (energia retirada do sistema), ou seja: 
dt
dQ
dt
dW atritovisc = Eq. 5.67 
 Na hidráulica, esta taxa também é conhecida como perda de carga, onde é possível ser 
estimada através de algumas equações empíricas, dependo das condições envolvidas no 
problema. 
A taxa de calor pode ser uma energia adicionada ou retirada do sistema devido à processos 
de transferência de calor entre o sistema e o meio externo, tais como condução, convecção ou 
radiação. 
Após estas definições, a equação da Conservação da Energia pode ser reescrita como: 
( ) •





++++





++


=+
SC
u
VC
u
eixo dAnV
p
gz
V
edgz
V
e
tdt
dW
dt
dQ 



22
22
 Eq. 5.68 
onde p é a pressão absoluta na superfície de controle. Note que a taxa de trabalho devido às 
forças de pressão, dtdWpressão
, foi incorporada ao segundo termo do lado direito da equação, 
uma vez que esta taxa corresponde à um fluxo de energia na superfície de controle (Eq. 5.65). 
A taxa de trabalho devido às forças viscosas, dtdWvisc , está incorporada ao primeiro termo do 
lado esquerdo da equação (taxa de calor), como esta taxa de trabalho equivale à taxa de calor 
liberado pelo sistema devido ao atrito. 
A equação da Conservação da Energia pode ser simplificada considerando alguns casos 
especiais. Por exemplo, se o escoamento permanente for considerado permanente, não existe 
 
variação da energia no volume de controle e, desta forma, a equação da Conservação da Massa 
pode ser simplificada: 
( ) •





+++=+
SC
u
eixo dAnV
p
gz
V
e
dt
dW
dt
dQ 

2
2
 Eq. 5.69 
Nos casos onde o volume de controle pode ser considerando não deformável, o segundo 
termo da equação pode ser escrito como um somatório dos fluxos de massa nas superfícies de 
controle abertas (1, ..., m), ou seja: 
( )
( )

•





+++++
+•





++++





++


=+
mA
mmmm
m
m
m
mu
A
u
VC
u
eixo
dAnV
p
gz
V
e
dAnV
p
gz
V
edgz
V
e
tdt
dW
dt
dQ







2
...
22
2
,
1111
1
1
2
1
1,
2
1
 Eq. 5.70 
Se o perfil de velocidade nas seções transversais for considerado uniforme, ou 
aproximado por uma velocidade hipotética média e as energias específicas e a massa específica 
forem consideradas constantes em cada superfície de controle, os fluxos de massas nas 
superfícies de controle abertas podem ser escritos como um somatório de termos 
multiplicativos. 


== 















+++−











++++
+





++


=+
m
j
entra
jjj
j
j
j
ju
n
i
sai
iii
i
i
i
iu
VC
u
eixo
AV
p
gz
V
eAV
p
gz
V
e
dgz
V
e
tdt
dW
dt
dQ
1
2
,
1
2
,
2
22
2





 Eq. 5.71 
onde i = 1,..,n são as superfícies de controle com fluxo de saída e j = 1,..,m são as superfícies 
de controle com fluxo de entrada, V é o módulo do vetor velocidade e A é área da seção 
transversal de uma superfície de controle. 
Caso não haja presença de máquinas no volume de controle, adicionado ou retirando 
energia, a taxa realizada por eixos é nula: 
0=
dt
dWeixo Eq. 5.72 
Caso não existam perdas por atrito (perdas de carga) e trocas de calor entre o volume de 
controle e o meio externo, a taxa de calor pode ser desprezada, ou seja: 
0=
dt
dQ
 Eq. 5.73 
 
 
Exemplo 5.6 – Potência útil de uma turbina 
Passa atravésda turbina circular uma vazão de 0,22 m3/s de água. As pressões relativas nas 
seções A e B são iguais a 1,5 kgf/cm2 e -0,35 kgf/cm2, respectivamente. Determinar a potência 
em CV transferida pela corrente de água para a turbina. Considere regime permanente e 
despreze o atrito da água com as paredes e com a turbina. 
 
 
Considerando fluido incompressível, escoamento em regime permanente e volume de controle 
não deformável, podemos obter a seguinte relação da equação da Conservação de Massa: 
QAVAV BBAA == 
onde VA e VB são as velocidade médias nas seções A e B, respectivamente. Com a vazão e os 
diâmetros das seções, podemos então determinar as velocidades médias: 
sm
A
Q
V
A
A /1,3== 
sm
A
Q
V
B
B /78,0== 
Considerando as mesmas simplificações aplicadas na equação da Conservação da Massa e 
deprezando o atrito da água com as paredes e com a turbina, possíveis trocas de calor com o 
meio externo, a equação da Conservação da Energia pode ser simplicada, resultando em: 
( ) ( ) •





++++•





+++=
BA A
BBB
B
B
B
Bu
A
AAA
A
A
A
Au
turb dAnV
p
gz
V
edAnV
p
gz
V
e
dt
dW 



 22
2
,
2
, 
A potência utilizada pela turbina corresponde à variação no tempo de trabalho da turbina, ou 
seja: 
A
B
1 m
Turbina
dA = 30 cm 
dB = 60 cm 
 
Datum 
 
turb
turb P
dt
dW
= 
A energia interna nas seções A e B podem ser considerada muito pequena em relação ao outros 
tipos de energia, resultando em: 
( ) ( ) •





+++•





++=
BA A
BBB
B
B
B
A
AAA
A
A
A
turb dAnV
p
gz
V
dAnV
p
gz
V
P




 22
22
 
Considerando que não existe variação das características do escoamento nas seções A e B e 
como: 
( )
( )














=+





=
=+





=
=
=
==•
−==•
Pa67001,73
/
Pa
98066,5/35,0
Pa248424,8
/
Pa
98066,5/5,1
0
1
)(0cos1
)(180cos1
2
2
2
2
atmB
atmA
B
A
B
o
BBB
A
o
AAA
P
cmkgf
cmkgfp
P
cmkgf
cmkgfp
z
z
saídaVVnV
entradaVVnV


 
as integrais da equação da Conservação da Energia podem ser simplificadas, resultando em: 
BB
B
B
B
AA
A
A
A
turb AV
p
gz
V
AV
p
gz
V
P 





+++





++−=




22
22
 
Subsituindo os valores, obtemos a potência utilizada pela turbina: 
W43kPturb −= 
O sinal negativo indica que a turbina retira energia do sistema, o que é coerente com o propósito 
de uma turbina. 
 
 
 
5.6 Equação de Bernoulli 
A equação de Bernoulli relaciona as energias de pressão, potencial e cinética de um fluido 
ideal (sem atrito), incompressível, que escoa em regime laminar e permanente ao longo de uma 
linha de corrente (de forma microscópica) ou de um tubo de corrente (de forma macroscópica). 
 
Esta equação pode ser deduzida a partir da equação integral da Conservação da Energia, após 
algumas idealizações. Assumindo que o fluido escoa em regime permanente, a equação da 
Conservação da Energia é reduzida a Eq. 5.69. Considerando que o volume de controle é não 
deformável e que o escoamento ocorre de uma seção de entrada para outra seção de saída, a 
integral do lado direito da equação pode ser dividida em termos relacionados às respectivas 
seções: 
( ) ( ) •





++++•





+++=+
21
2222
2
2
1111
1
2
22
A
u
A
u
eixo dAnV
p
gz
V
edAnV
p
gz
V
e
dt
dW
dt
dQ 




 Eq. 5.74 
 Considerando que não existe variação das características do escoamento (ex. velocidade, 
cota, pressão, massa específica) em uma seção transversal de um tubo de corrente ou em um 
ponto de uma linha de corrente, as integrais são reduzidas a: 
( ) ( )111
1
2
222
2
2
22
AV
p
gz
V
eAV
p
gz
V
e
dt
dW
dt
dQ
uu
eixo 


 







+++−








+++=+ Eq. 5.75 
Aplicando a Conservação da Massa para estas idealizações obtemos que a vazão mássica 
na seção 1 é igual a vazão mássica na seção 2, ou seja: 
dt
dm
mAVAV === 
222111  Eq. 5.76 
Dividindo todos os termos da Eq. 5.75 pela vazão mássica, obtemos: 
1
2
2
2
22 







+++−








+++=+

p
gz
V
e
p
gz
V
e
dm
dW
dm
dQ
uu
eixo
 
Eq. 5.77 
Reorganizando a equação acima e considerando que o fluido é incompressível (massa 
específica constante), têm-se: 






−−−+++=++
dm
dW
dm
dQ
eegz
Vp
gz
Vp eixo
uu 212
2
22
1
2
11
22 
 Eq. 5.78 
Dividindo todos os termos pela aceleração da gravidade, g, chega-se a uma equação 
próxima à equação de Bernoulli: 






−−−+++=++
dm
dW
dm
dQ
ee
g
z
g
Vp
z
g
Vp eixo
uu 212
2
2
2
2
1
2
1
1
1 1
22 
 Eq. 5.79 
Todos os termos possuem grandeza de comprimento e podem ser interpretados como 
alturas ou cotas. Os três termos do lado esquerdo da equação consistem na altura ou carga de 
pressão, cinética e potencial (cota) na seção 1. De forma análoga, os três primeiros termos do 
lado direito da equação são referentes à altura ou carga de pressão, cinética e potencial (cota) 
 
na seção 2. O termo ( )dmdQeeg uu −− 211 representa o decréscimo líquido na energia 
mecânica do sistema (i.e. escrito como uma perda de carga) devido à trocas de calor, ao atrito 
entre camadas e nas fronteiras, bem como por vibrações e forças intermoleculares. O 
decréscimo de energia devido à vibrações e forças intermoleculares geralmente é pequeno em 
relação aos outros termos e pode ser desprezado. O termo ( )dmdWg eixo1 corresponde ao 
trabalho de um eixo (máquina) por unidade de peso, ou seja, uma carga (grandeza de 
comprimento) devido ao trabalho. A equação também pode ser escrita em termos de cotas: 
eixoL HHHH −+= 21 Eq. 5.80 
onde H1 e H2 são as cotas totais de energia nas seções 1 e 2, respectivamente, devido à carga de 
pressão, cinética e potencial; HL é cota associada à energia perdida por atrito e/ou calor; e Heixo 
é a cota relacionada ao trabalho de um eixo. Esta equação também é conhecida como equação 
de Bernoulli modificada por possuir os termos HL e Heixo, sendo assim mais completa. 
A Figura 5.8 mostra um exemplo de transformação de energia entre duas seções 
transversais de um escoamento em uma tubulação inclinada. A carga potencial na seção 1 é 
maior do que na seção 2, uma vez que o centro da seção 1 está mais elevado em relação ao 
plano horizontal de referência. A carga devido à pressão pode ser avaliada através da instalação 
de piezômetros nas seções 1 e 2. A altura do nível do fluido no piezômetro em relação ao centro 
da seção corresponde à carga de pressão, p . Observamos uma maior carga de pressão na 
seção 2. Como a área da tubulação e a vazão é a mesma entre as seções 1 e 2, as velocidades 
médias são iguais nas seções. Desta maneira, a carga cinética é constante entre as seções e 
equivale à gV 22 . Como a soma das cargas de pressão, cinética e potencial na seção 2 é menor 
do que na seção 1, pode-se concluir que ocorreu uma perda de energia (perda de carga) no 
trecho 1-2, uma vez que a energia total se conserva entre dois pontos. 
 
 
 
Figura 5.8. Transformação da energia entre duas seções em uma tubulação. 
 
Se os termos HL e Heixo forem desprezados da equação de Bernoulli modificada, a 
Equação de Bernoulli original é obtida: 
constz
g
Vp
z
g
Vp
=++=++ 2
2
22
1
2
11
22 
 Eq. 5.81 
A equação de Bernoulli considera que a energia mecânica total do sistema é constante ao 
longo de uma linha ou tubo de corrente. Note que a equação de Bernoulli é aplicada apenas 
para alguns casos muito específicos, os quais satisfazem as seguintes idealizações: 
• Escoamento permanente e laminar; 
• Fluido incompressível; 
• Não há perdas por atrito (fluido ideal); 
• Não há eixo realizando ou fornecendo trabalho; 
• Não há trocas de calor com o meio externo; 
• A energia interna é constante em dois pontos. 
 
 
Exemplo 5.7 – Queda de pressão em tubulações 
No sistema da figura água escoa a 10 °C da seção 1 paraa seção 2. A seção 1 tem 25 mm de 
diâmetro, pressão absoluta de 345 kPa e velocidade média de 3,0 m/s. A seção 2 tem 50 mm de 
diâmetro e encontra-se a 2,0 m acima da seção 1. Considerando que não existem perdas de 
energia no sistema determine a pressão em 2. 
 
Considerando o plano horizontal de referência na seção 1 temos que: 



=
=
mz
z
2
0
2
1
 
Como existe uma mudança de elevação e de área da seção transversal da tubulação entre os 
pontos 1 e 2, acontecerá uma variação da pressão e da velocidade. A 10 °C a massa específica 
da água é igual a ρ =1000 kg/m3. Da equação da Conservação da massa: 
2211 AVAVQ == 
Assim, a vazão e a velocidade média na seção 2 podem ser obtidas: 
( )
sAVQ /m0,001473
4
025,0
3 3
2
11 ===

 
( )
m/s0,75
4
05,0
0,001473 2
2
222 === VVAVQ

 
Aplicando a equação de Bernoulli entre 1 e 2 temos que: 
 
 
2
2
22
1
2
11
22
z
g
Vp
z
g
Vp
++=++

 
Substituindos os valores podemos determinar a pressão em 2: 
2
81,92
75,0
100081,9
0
81,92
3
100081,9
345000 2
2
2
+

+

=+

+

p
 
Resultando em: 
kPa329,62 =p 
Note que a pressão na seção 2 é menor do que a pressão na seção 1. Esta queda que pressão é 
um problema comum em sistemas de abastecimento prediais ou residenciais. O problema da 
cavitação ocorrerá quando os valores de pressão absoluta na tubulação forem menores do que 
o valor da pressão de vapor do fluido. Além disso, a pressão absoluta na tubulação não podem 
ser muito alta pois pode danificar conexões e a própria tubulação. 
 
5.7 Aplicações na Engenharia 
5.7.1 Descarga em Reservatórios 
Considere um reservatório de grandes dimensões (alta capacidade de armazenamento), 
conforme ilustrado na Figura 5.9, que apresenta uma descarga horizontal através de um orifício 
de saída. Devido às trajetórias convergentes e curvilíneas na seção de saída, ocorre uma 
contração do jato na seção d-d, a qual é chamada seção contraída ou vena contracta. Nesta 
seção, a distribuição de velocidade pode ser considerada constante. 
 
 
 
Figura 5.9. Reservatório de grande capacidade de armazenamento com escoamento horizontal na 
saída. 
 
Aplicando a equação de Bernoulli na linha de corrente que passa pelos pontos C (afastado 
do orifício de saída) e D (na saída), desprezando perdas de cargas no trechoC-D e tomando 
como plano horizontal de referência o plano que intercepta o ponto D (zD = 0), temos: 
g
Vp
z
g
Vp DD
C
CC
22
22
+=++

 Eq. 5.82 
 
 
Supondo que as linhas de corrente sejam paralelas, a distribuição de pressão na seção c-c 
pode ser considerada hidrostática, de maneira que a carga de pressão no ponto C será dada pela 
soma da carga de pressão em A e da carga potencial devida à coluna de líquido, ou seja: 
C
AC h
pp
+=

 Eq. 5.83 
Resultando em: 
g
Vp
z
g
V
h
p DD
C
C
C
A
22
22
+=+++

 Eq. 5.84 
Da figura temos que CC hzh += , o o que simplifica a equação anterior para: 
 
g
Vp
h
g
Vp DDCA
22
22
+=++

 Eq. 5.85 
A velocidade média no ponto D pode então obtida: 






++
−
= h
g
Vpp
gV CDA
D
2
2
2

 Eq. 5.86 
 
Considerando que as linhas de corrente na seção d-d são paralelas e a distribuição de 
pressão uniforme, a pressão em D corresponde a pressão em B. Assim a equação anterior pode 
ser reescrita como: 






++
−
= h
g
Vpp
gV CBA
D
2
2
2

 Eq. 5.87 
 
A velocidade dada por esta expressão equivale à velocidade teórica e depende da altura 
h. Note que se o ponto D fosse definido um pouco mais abaixo a velocidade em D seria maior, 
pois a altura h seria maior. Ou seja, na prática existe uma distribuição de velocidade na seção 
de saída, semelhante à distribuição mostrada na Figura 5.10. No entanto, se o diâmetro de saída 
for considerado muito menor do que a altura h, o ponto D se aproximará do centro da seção 
(ponto G), o qual correspondente ao centro de gravidade da seção contraída d-d. De forma que 
podemos considerar que na seção d-d a velocidade é uniforme e igual a: 






++
−
= H
g
Vpp
gV CBA
G
2
2
2

 Eq. 5.88 
onde H é carga potencial média na seção de saída. 
 
Figura 5.10. Distribuição de velocidades no orifício de saída do reservatório. 
 
 
 
O termo gVC 22 é denominado carga cinética de aproximação, e pode ser desprezado se 
o reservatório for de grandes dimensões, ou seja 
0
2
2

g
VC Eq. 5.89 
Considerando ainda que os ambientes A e B estão sujeitos à mesma pressão atmosférica, 
a equação resultante da velocidade teórica, VT, no orifício de saída será dada por: 
gHVT 2= Eq. 5.90 
Na realidade, a velocidade média real, VR, no orifício de saída é menor do que a 
velocidade teórica, VT, porque existem perdas de carga (perda de energia) significativas devido 
ao atrito e à contração do jato de saída no orifício. Isto significa que a energia na saída do 
orifício é menor do que aquela energia disponível na entrada do orifício. Existe uma relação 
direta entre a velocidade teórica e real dada por: 
TDR VCV = Eq. 5.91 
onde CD é o coeficiente de descarga que varia entre 0 e 1. O coeficiente de descarga tem o valor 
prático de 0,61 para orifícios circulares de parede fina (Porto, 2006). Assim a equação da 
velocidade real no orifício de saída do reservatório é dada por: 
gHCV DR 2= Eq. 5.92 
De forma que a vazão de saída é expressa por: 
gHCAQ D 2= Eq. 5.93 
onde A é a área do orifício de saída. É importante lembrar de todas as idealizações adotadas 
para obtermos a equação de descarga de um reservatório com grandes dimensões, são elas: 
escoamento permanente, distribuição de velocidade uniforme na seção de saída, fluido 
invíscido. Além disso foi considerado que as pressões na superfície livre do reservatório e na 
saída são iguais (pressão atmosférica) e que as linhas de corrente na seção de saída são paralelas, 
resultando em uma distribuição de pressão uniforme ou hidrostática. 
 
Exemplo 5.8 – Descarga em reservatório 
Um reservatório de água tem sua superfície a 310 m acima do descarregador de fundo de 
diâmetro de 15 mm conforme a figura abaixo. Determine: a) a velocidade no descarregador, b) 
a vazão na saída no descarregador e c) o fluxo de massa. 
 
 
 
 
Como visto anteriormente a velocidade média no descarregador de fundo do reservatório pode 
ser obtida através da seguinte expressão: 
gHCV D 22 = 
Considerando que o valor do coeficiente de descarga é igual a 0,61, podemos obter a velocidade 
média de saída: 
m/s47,5731081,9261,02 ==V 
A vazão e o fluxo de massa podem ser determinados: 
( )
sLsAVQ /4,8/m0,008407
4
0,015
47,57 3
2
222 ====

 
skgQm /4,80,008407100022 ===  
 
 
Para o caso de um reservatório onde o volume descarregado por um orifício de saída é 
significativo em relação ao volume do reservatório como, por exemplo, em um reservatório de 
pequenas dimensões (Figura 5.11), a vazão de saída promove uma sensível redução do nível 
da superfície livre do reservatório ao longo do tempo. Neste caso, a carga cinética na superfície 
não pode ser desprezada e a vazão na saída do orifício será dada por: 






+=
g
V
HgCAQ S
D
2
2
2
 Eq. 5.94 
onde VS é a velocidade de decaimento do nível da superfície livre do reservatório. 
 
1
datum
310 m2
 
 
 
Figura 5.11. Reservatório de pequenas dimensões e bocal na vertical. 
 
5.7.2 Sifão 
Um sifão é um dispositivo no formato de tubo, usado para transferir líquidos de um 
reservatório para o meio externo ou para outro reservatório (Figura 5.12-a). 
 
 
 
 
 
1 
2 
V2 
h 
datum 
D 
d 
A B
C
D
datum h1
H
h2
 
Figura 5.12. Esquema de esvaziamento de um recipiente contendo líquido por meio de um sifão. 
 
Para iniciar o escoamento, o sifão deve estar totalmente preenchido pelo líquido contido 
no reservatório. Este preenchimento pode ser realizado, por exemplo, aspirando o líquido pela 
extremidade. Após o preenchimento, o sifão funcionapor efeito do desnível entre o nível da 
superfície livre do reservatório e o nível de saída. Para obter a vazão na saída do sifão, é comum 
considerar as seguintes idealizações: 
1. O fluido a ser transferido é incompressível; 
2. A pressão atmosférica é constante e atua na superfície do reservatório (ponto A) 
e na saída do sifão (ponto C), ou seja, pA = pD = patm. A escala de pressões relativas 
será adotada. 
3. O volume do reservatório é muito grande em relação ao volume descarregado. 
Assim, o nível da superfície do reservatório praticamente se mantém constante ao 
longo do tempo (escoamento permanente), ou seja, 0=AV ; 
4. A variação de pressão na vertical no reservatório pode ser considerada 
hidrostática. 
O ponto A esta na superficie livre do reservatório e desta forma a pressão relativa é pA = 
0. Como a superficie do reservatório é muito grande a velocidade é muito baixa e considerada 
despressível (VA = 0). Assim, da aplicação da equação de Bernoulli entre os pontos A e B 
obtemos: 
AB
BB HHh
g
Vp
Hh ++++=+ 1
2
1
2
 Eq. 5.95 
onde ABH são as perdas de cargas entre B e C. A equação acima resulta em: 
AB
BB H
p
g
V
−−=
2
2
 Eq. 5.96 
Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos B e D temos que: 
BD
DBB Hh
g
V
Hh
g
Vp
++=+++ 1
2
1
2
22
 Eq. 5.97 
onde BDH são as perdas de cargas entre B e D. Simplificando a equação acima temos que: 
BD
DBB HH
g
V
g
Vp
+−=+
22
22

 Eq. 5.98 
 
Da equação da Conservação da Massa temos que a vazão é a mesma entre B e D. Como 
o diâmetro da tubulação não se altera ao longo do sifão, as velocidades médias em B e D são 
iguais, ou seja, VB = VD = V. Desta forma a equação acima é reduzida a: 
BD
B HH
p
+−=

 Eq. 5.99 
Substituindo a equação acima na Eq. 5.97, chega-se a: 
( )BDAB HHH
g
V
+−=
2
2
 Eq. 5.100 
ou seja, 
ADHH
g
V
−=
2
2
 Eq. 5.101 
onde ADH são as perdas de cargas entre a superfície do reservatório (ponto A) e a saída do sifão 
(ponto D). A velocidade média do fluido no sifão será dada por: 
( )ADHHgV −= 2 Eq. 5.102 
 
A partir da velocidade média, a vazão do sifão pode ser obtida: 
( )ADHHgAQ −= 2 Eq. 5.103 
Note que a vazão de saída depende apenas da altura entre a superfície livre do reservatório 
(ponto A) e o ponto de descarga (ponto D), bem como das perdas de carga que ocorrem entre 
esses pontos. Um fluxo de saída ocorrerá quando a altura H for superior as perdas de cargas 
entre A e D, ADH . Desta forma, a vazão de saída aumenta à medida que a diferença entre H e 
ADH aumenta. 
Outra questão relevante do problema é a determinação da pressão no ponto mais elevado 
do sifão (Ponto C). Aplicando a equação de Bernoulli entre C e D temos que: 
CD
DDCC Hh
g
Vp
hHh
g
Vp
+++=++++ 1
2
21
2
22 
 Eq. 5.104 
onde 
CDH são as perdas de cargas entre C e D. Como VC = VD = V e pD = patm a equação acima 
é reduzida a: 
( )2hHH
p
CD
C +−=

 Eq. 5.105 
 
Assim a pressão relativa no ponto C será dada por: 
 ( )2hHHp CDC −−=  Eq. 5.106 
Dependendo dos valores de perda de carga entre C e D e das alturas H e h2, o valor de 
pressão em C pode ficar abaixo da pressão de vapor do líquido, ocorrendo, desta maneira, o 
fenômeno da cavitação na região mais elevada do sifão. 
 
Exemplo 5.9 – Descarga através de sifão 
Na figura abaixo mostra-se um sifão utilizado para retirar água de um reservatório de grande 
porte. O duto que forma parte do sifão tem um diâmetro de 40mm e termina num bocal de 
25mm de diâmetro no ponto D. Considerando que não existem perdas de energia no sistema a) 
determine a vazão através do sifão e b) a pressão nos pontos B e C. 
 
 
 
O ponto A esta na superficie livre da água e desta forma a pressão relativa é pA = 0. Como a 
superficie do reservatório é muito grande a velocidade é muito baixa e considerada despressível 
(VA = 0). O ponto F está na corrente livre do jato de água fora do bocal. Como o fluido está 
exposto neste ponto à pressão atmosférica a pressão relativa em F é pF = 0. Aplicando a Equação 
de Bernoulli entre os Pontos A e D temos que: 
g
VD
2
8,12,1
2
=+ 
A B
C
D
datum
1,2 m
1,8 m
1,2 m
 
 
Resultando em: 
smVD /67,7= 
Através da equação da continuidade podemos determinar a vazão: 
( )
smAVQ DD /1077,3
4
025,0
67,7 33
2
−===

 
B
BB
A
AA z
g
Vp
z
g
Vp
++=++
22
22

 
Para determinar a pressão relativa no ponto B, aplica-se a equação de Bernoulli entre os pontos 
A e B: 
B
BB
A
AA z
g
Vp
z
g
Vp
++=++
22
22

 
 
Sabendo que: 








=+=
=+=
===
=
=
mz
mz
smVAVAVQQ
V
p
B
A
BDDBBDB
A
A
38,12,1
38,12,1
/3
0
0
 
obtemos a pressão em B: 
3
81,92
3
100081,9
3
2
+

+

= Bp
 
kPapB 5,4−= 
O sinal negativo indica que a pressão em B está abaixo da pressão atmosférica. Observe também 
que a pressão em B é diferente da pressão em A, assim que o fluido está em movimento o 
conceito a mesma pressão em um plano horizonral não se aplica como no caso dos fluidos em 
repouso. 
Para determinar a pressão relativa no ponto C, aplica-se a equação de Bernoulli entre os pontos 
A e C: 
 
C
CC
A
AA z
g
Vp
z
g
Vp
++=++
22
22

 
Sabendo que: 








=++=
=+=
===
=
=
mz
mz
smVAVAVQQ
V
p
C
A
CDDCCDC
A
A
2,42,18,12,1
38,12,1
/3
0
0
 
obtemos a pressão em C: 
2,4
81,92
3
100081,9
3
2
+

+

= Cp
 
kPapC 272,16−= 
A pressão em C é menor do que a pressão em B, uma vez que o ponto C está mais elevado do 
que B. 
 
5.7.3 Tubo de Pitot 
Tubo de Pitot é um instrumento de medição de velocidade pontual muito utilizado para 
medir a velocidade de fluidos em modelos físicos em laboratórios de hidráulica, em laboratórios 
de aerodinâmica e também em hidrologia para a medição indireta de vazões em rios e canais, 
em redes de abastecimento de água, em adutoras, em oleodutos e ainda a velocidade dos aviões, 
medindo, neste caso, a velocidade do escoamento do ar (Rios, 1972). 
O Tubo de Pitot consiste basicamente em um tubo com orifício de entrada orientado para 
o fluxo de fluido na posição onde se deseja medir a velocidade. Para deduzir a expressão da 
velocidade pontual, considere o tudo de Pitot instalado em um ponto de uma tubulação circular 
(Figura 5.13). Como o interior do tubo de Pitot está totalmente preenchido por fluidos, o ponto 
2 é um local de estagnação onde a velocidade é zero. O ponto 1 está localizado na mesma 
vertical e a montante do ponto 2. Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 temos 
que: 
1
2
1
1
2
1
2 
pp
g
V
=+ Eq. 5.107 
ou seja, 
 
g
Vpp
2
2
1
1
12 =
−

 Eq. 5.108 
 
 
Figura 5.13. Tubo de Pitot instalado em uma tubulação. FAVOR REFAZER ESTA FIGURA 
 
O interior do Tubo de Pitot funciona como um manômetro diferencial onde os fluidos 
estão em repouso. Assim, podemos aplicar a equação fundamental da hidrostática entre 1 e 2: 
 
( )hhphhp ++=++ '' 12211  Eq. 5.109 
ou 





 −
=
−
1
2
1
12 1



h
pp
 Eq. 5.110 
Substituindo a Eq. 5.110 na Eq. 5.108 a velocidade no ponto 1 pode ser determinada: 





 −
=
1
2
1
1
2


hgV Eq. 5.111 
 
No caso dos aviões, o tubo de Pitot atua como um sensor de pressão que possibilita o 
funcionamento de um dos mais importantes instrumentos, o velocímetro. Basicamente, é um 
tubo instalado paralelamente ao vento relativo e com um orifício voltado diretamente para o 
fluxo de ar resultante da velocidade aerodinâmica da aeronave (Figura 5.14). Esse orifício se 
comunica com o interior de uma cápsula aneroide, instalada no velocímetro da aeronave. A 
 
caixa do instrumento recebe a pressão estática do ar de uma fonte estática, que não é afetada 
pela variação de velocidade da aeronave. 
 
 
Figura 5.14. Tubo de Pitot instalado sob a asa de um avião. 
 
Quando a aeronave está estacionária e não há vento relativo, nem real, a pressão que entra 
pelo orifício do Pitot ésomente a pressão atmosférica estática. A cápsula aneróide permanece 
então em uma posição neutra e a velocidade indicada é zero. Quando a aeronave se desloca na 
massa de ar, o vento relativo causa um aumento na pressão de ar admitida pelo orifício do tubo 
de Pitot, em relação à pressão estática, e essa "pressão de impacto", somada à pressão estática, 
faz a cápsula aneroide expandir. O movimento de expansão da cápsula é transmitido aos 
ponteiros do velocímetro por hastes e engrenagens, do tipo setor e pinhão, o que faz o ponteiro 
se movimentar, indicando ao piloto a velocidade da aeronave. 
Na teoria o processo é bem simples, porém na prática é muito mais complicado. Isso 
porque, um avião não voa em ambientes de pressão constante e, portanto, a densidade do ar 
varia. Outro fator que complica é que a partir de determinada velocidade (250 Knots) as 
equações mais utilizadas de forma simplificada na física não funcionam, sendo necessário 
considerar efeitos de compressibilidade decorrentes da alta velocidade. 
Outra questão a ser considerada é o local onde é instalado o tubo e os problemas que uma 
instalação errada pode causar, por exemplo, obstruções por gelo, água ou objetivos estranhos. 
Para evitar o acúmulo de água, os tubos são equipados com drenos, já o gelo é um problema 
maior e para a solução deste, os tubos de Pitot geralmente possuem um sistema de aquecimento 
por resistência elétrica. Porém, condições de gelo tais como a presença, nas nuvens, de água em 
estado de sobrefusão podem tornar inúteis os melhores sistemas de aquecimento do tubo. 
 
A obstrução dos tubos de Pitot podem ter efeitos muito mais graves que a simples falta 
de indicação de velocidade. Os sistemas de automação e de alerta das aeronaves dependem de 
dados corretos de velocidade para funcionar. Se os dados de velocidade deixarem de funcionar 
corretamente, o mesmo ocorre com o piloto automático. Caso não se desconecte sozinho, os 
pilotos devem desconectá-lo e passar a voar a aeronave manualmente. Nesse caso, o piloto 
felizmente ainda tem condições de voar a aeronave, pilotando por atitude, baseando-se a olho 
nu, para o horizonte natural da Terra, ou para o indicador de atitude, e ignorar os alarmes falsos. 
Porém, o mal funcionamento deste aparelho aliado a falta de preparo de alguns pilotos 
podem ser fatais. O acidente do voo Air France 447, ocorrido em junho de 2009 no Oceano 
Atlântico, quando voava do Rio de Janeiro para Paris é um exemplo. A aeronave apresentou 
diversas falhas de indicação de velocidade. Como a aeronave atravessava formações de 
cumulus-nimbus (nuvens densas e enormes que só podem ser vistas por inteiro a longas 
distâncias) muito pesadas, seus tubos de pitot foram obstruídos por gelo causado por água em 
estado de sobrefusão. O acidente do Air France 447 vitimou 12 tripulantes e 216 passageiros e 
não houve sobreviventes. 
 
5.7.4 Tubo de Venturi 
O tubo de Venturi permite determinar a velocidade média de um fluido no interior de uma 
tubulação. Este dispositivo é constituído de dois piezômetros, sendo um dos piezômetros 
instalado a um segmento normal da tubulação e o outro ligado a um segmento com um 
estrangulamento (Figura 5.15). 
 
Figura 5.15. Esquema de um tubo de Venturi. 
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/54/Venturifixed2.PNG
 
O fluido é considerado incompressível (densidade ρ constante) e o regime de escoamento 
no tubo de Venturi é assumido como permanente. Em qualquer segmento normal da tubulação, 
cuja seção reta tem área A1, o líquido se move com velocidade média V1 e no segmento com 
estrangulamento, cuja seção transversal tem área A2, o líquido se move com velocidade média 
V2. A relação entre as velocidades médias pode ser obtida através da aplicação da Conservação 
da Massa, que resulta em: 
2211 AVAVQ == Eq. 5.112 
ou seja, 






=
2
1
12
A
A
VV Eq. 5.113 
 
Considerando a tubulação na horizontal, a cota em 1 é igual a cota em 2. Aplicando a 
equação de Bernoulli entre 1 e 2 e desprezando possíveis perdas de cargas neste trecho, temos: 
g
Vp
g
Vp
22
2
22
2
11 +=+

 Eq. 5.114 
ou seja, 
g
VVpp
2
2
1
2
221 −
=
−

 Eq. 5.115 
Substituindo a Eq. 5.113 na equação acima, podemos obter a velocidade média na seção 
1: 
( )








−





−
=
1
2
2
2
1
21
1
A
A
pp
V

 
Eq. 5.116 
A diferença de pressão entre 1 e 2 pode ser obtida a partir da leitura dos níveis nos 
piezômetros: 
h
pp
=
−

21
 Eq. 5.117 
ou seja, 
hgpp =− 21 Eq. 5.118 
Assim a Eq. 5.116 pode ser reduzida a: 
 








−






=
1
2
2
2
1
1
A
A
hg
V 
Eq. 5.119 
Desta maneira, conhecendo a diferença de altura, h, entre os piezômetros e as áreas A1 e 
A2, podemos determinar a velocidade média do fluido na tubulação. 
 
5.7.5 Força de Sustentação 
A força de sustentação é uma força aerodinâmica que ocorre devido à variação de pressão 
entre a superfície inferior e superior de um objeto submetido a um campo de escoamento. Nos 
aviões, grande parte da sustentação necessária para manter o avião no ar é criada pelas asas 
(embora parte seja criada por outras peças da estrutura). A Figura 5.16 mostra um campo de 
escoamento em torno de um perfil transversal da asa de um avião. Considerando um referencial 
fixo no avião, os elementos de volume de ar percorrem linhas de corrente que se separam, umas 
passando por cima e outras passando por baixo da asa. Devido à forma do perfil da asa, ocorre 
um achatamento das linhas de corrente que passam por cima da asa ficam que promove um 
aumento de velocidade em relação à região inferior da asa. Ou seja, a forma geométrica do 
perfil da asa faz com que a velocidade no ponto A (parte superior) seja maior do que a 
velocidade no ponto B (parte inferior). Esta diferença de velocidade é responsável pela 
diferença de pressão entre os pontos A e B, resultando em uma força para cima, a qual é 
chamada de força de sustentação. 
 
 
Figura 5.16. Campo de escoamento em torno de uma asa de avião. 
 
A diferença de pressão entre os pontos A e B pode ser determinada através da aplicação 
da equação de Bernoulli na linha de corrente que separa os volumes que passam por cima e por 
O 
 
baixo da asa. No ponto de separação dos volumes (ponto O) ocorre estagnação do escoamento, 
ou seja, a velocidade é igual a zero. Aplicando a equação de Bernoulli entre O e A temos: 
A
AA
O
OO z
g
Vp
z
g
Vp
++=++
22
22

 Eq. 5.120 
e entre os pontos O e B: 
B
BB
O
OO z
g
Vp
z
g
Vp
++=++
22
22

 Eq. 5.121 
Igualando as expressões acima temos que: 
B
BB
A
AA z
g
Vp
z
g
Vp
++=++
22
22

 Eq. 5.122 
A energia referente à carga potencial entre A e B, zA – zB, pode ser considerada pequena 
em relação à carga cinética e de pressão. Desta forma, a diferença de pressão entre A e B pode 
ser determinada em função das velocidades nos pontos A e B: 
( )
2
22
BA
AB
VV
pp
−
=−

 Eq. 5.123 
A força de sustentação na asa pode então ser obtida: 
( ) asaABSustenção AppF −= Eq. 5.124 
Quando o avião está em procedimento de subida, a força de sustentação é maior do que o 
peso do avião. Em procedimento de descida, a força de sustentação é inferior ao peso do avião. 
Quando o avião está em voo de cruzeiro a força de sustentação equivale ao peso do avião. 
O conceito de força de sustentação pode ser estendido para outras aplicações na 
Engenharia, tal como no dimensionamento coberturas de casas (telhado), galpões de 
armazenamento ou quadras esportivas. A diferença entre a velocidade do vento dentro e fora 
da cobertura promove uma diferença de pressão que resulta em uma força para cima oposta ao 
peso da cobertura, que pode eventualmente provocar o destelhamento da edificação (Figura 
5.17). Se todas as portas e todas as janelas estiverem fechadas hermeticamente a velocidade do 
vento do lado dentro será nula e a diferença de pressãodependerá apenas da velocidade do 
vento do lado de fora, a qual pode ser elevada em vendavais e na passagem de furações. Desta 
forma, para mitigar o problema é recomendado criar algum dispositivo de passagem de ar no 
interior da edificação para reduzir a diferença de pressão entre o lado de dentro e fora. 
 
 
 
Figura 5.17. Escoamento do ar sobre uma casa durante um vendaval. Fonte: (Weltner, et al., 2001) 
 
Exemplo 5.10 – Força aerodinâmica sobre telhado 
Se um vento de 30 m/s atua paralelamente sobre o telhado plano de uma casa com 175 m2 
conforme apresentado na figura abaixo. Determine: (a) a diferença de pressão entre o lado 
interno e o lado externo da casa? (Suponha que a pressão interna é a pressão atmosférica; e (b) 
a força sobre o telhado devido à diferença de pressão. Considere que a casa é hermeticamente 
fechada de maneira a impedir a entrada ou saída de ar. 
 
 
Como a casa não permite a entrada e saída de ar, a velocidade do vento abaixo do telhado é 
nula. Acima do telhado a velocidade é de 30 m/s. A densidade do ar a 20 °C é em torno de 1,20 
kg/m3. Assim a diferença de pressão pode ser determinada através da Eq. 5.123: 
( )
Papp cimabaixo 540
2
03021,1 22
=
−
=− 
A força aerodinâmica sobre o telhado devido à diferença de pressão é dada por: 
 
 
( ) telhadocimabaixoTelhado AppF −= 
Substituindo os valores na equação acima, obtemos: 
kNFTelhado 5,94175540 == 
Se esta força for superior ao peso do telhado, poderá ocorrer destelhamento caso não haja uma 
amarração adequada da estrutura. 
 
 
5.7.6 Força sobre Estruturas 
Vimos que forças as superficiais de pressão e viscosas ocorrem na fronteira de uma 
superfície sólida em contato com um fluido em movimento (interface entre o fluido e o sólido). 
E que tais forças podem ser globalmente reunidas em uma força de reação sobre a estrutura 
sólida a qual precisa ser absorvida pela estrutura. Para determinação desta força de reação 
muitas vezes é necessário a aplicação das três leis da dinâmica dos fluidos (Conservação da 
Massa, Conservação da Quantidade de Movimento e Conservação da Energia), uma vez que o 
número de incógnitas envolvidas é elevado. Abaixo mostraremos alguns exemplos que envolve 
a aplicação das três leis. 
 
Exemplo 5.11 – Força sobre placas resultante do escoamento (interação fluido-sólido) 
A placa fixa divide o jato de água de modo que 30 L/s escoam para cada direção. Para uma 
velocidade inicial de 20 m/s, achar os valores das componentes x e y da força resultante a fim 
de manter a placa em equilíbrio estático. Supõe ausência de atrito e escoamento permanente. 
 
 
 
: 
 
 
Exercícios 
P5.1. A redução horizontal da Figura P5.1 tem D1 = 8 in, e D2 = 4 in. A pressão na entrada é p1 
= 50 lbf/in2
 (abs.) e a velocidade de saída é V2 = 72 ft/s. Calcule a força realizada pelos dois 
parafusos para reter a redução. Assuma escoamento permanente. 
Resposta: 4970 N. 
 
Figura P5.1 
 
P5.2. Agua escoa sob a comporta instalada em um canal aberto, como indicado na Figura P5.2. 
Nas seções (1) e (2) o escoamento é uniforme e incompressível, e se verifica distribuição 
hidrostática das pressões (porque as linhas de corrente são essencialmente retas). Determinar a 
magnitude e o sentido da força exercida pelo escoamento sobre a comporta, por unidade de 
largura (b). Considere h1 = 1,5 m, h2 = 0,2 m e V1 = 0,75 m/s. 
Resposta: Rx/b = 9,47 kN/m. 
V1 = 20 m/s
V2
60º
90º
45º
 
 
 
Figura P5.2 
 
P5.3. Um jato de água de seção circular (D1 = 10 cm) incide sobre uma comporta quadrada de 
1,2 m de lado e que forma um ângulo de 30º com a horizontal (Figura P5.3). A velocidade de 
incidência do jato é de 20 m/s, e incide no centro de gravidade da comporta. Desprezando o 
atrito, que força deverá ser aplicada no extremo oposto ao ponto de rotação A para manter a 
comporta em equilíbrio. Considere que o diâmetro da seção (1) é duas vezes maior do que o 
diâmetro da seção (2). 
Resposta: 784 N. 
 
Figura P5.3 
 
P5.4. Um jato de água incide sobre um cone circular (Figuar P5.4). Qual deve ser o peso do 
cone para que o mesmo se mantenha em equilíbrio? Despreze as forças devidas ao atrito. 
Dados: VA = 9,14 m/s; DA = 0,15 m. 
Resposta: 4970 N. 
 
Figura P5.4 
 
 
P5.5. Água escoa desde um reservatório muito grande através de um tubo de 2 in de diâmetro 
(Figura P5.5). O fluido manométrico do manômetro em U aberto é mercúrio (dHg = 13,56). 
Determinar a velocidade no tubo e a vazão que sai do reservatório. 
Dados: ρágua = 1,94 slug/ft3; g = 32,2 m/s. 
Resposta: V2 = 6,57 m/s ; Q = 13,32 l/s. 
 
Figura P5.5 
P5.6. Quando a velocidade no conduto menor da Figura P5.6 for de 2 m/s e a potência fornecida 
pela bomba B ao escoamento de água for de 2 kW, calcule as pressões nas seções (1) e (2), 
desprezando as perdas de carga. 
Dados: D1 = 0,20 m ; D2 = 0,15 m ;  (rendimento da bomba) = 1. 
Resposta: p1 = 19932 Pa; p2 = 35802 Pa. 
 
Figura P5.6 
 
P5.7. Desde um reservatório flui água por um tubo e ao sair é desviado por uma placa a 90° 
(Figura P5.7). Se a força horizontal que se exerce sobre a placa é de 893 N, qual é a potência 
que desenvolve a turbina se seu rendimento é de 90% ? Desenhe aproximadamente a linha de 
energia. As perdas de energia estão dadas por 0,5 V2/2g. 
 
Resposta: 29,70 kW. 
 
Figura P5.7 
 
P5.8. Calcule a taxa de tranferência de calor (dQ/dt) que o aquecedor fornece ao sistema 
(Figura P5.8). O trabalho de eixo é realizado por uma turbina de potência P = 500 hp. A vazão 
mássica de ar que circula através da turbina é de 0,621 slug/s. 
 
 
Figura P5.8 
 
 
P5.9. Um gás, que não é uma substância pura nem um gás perfeito, flui através de um trocador 
de calor (Figura P5.9). É adicionado calor desde uma fonte externa ao gás, a uma taxa de 4076,5 
Nm/s. Nenhum trabalho é realizado pelo gás. As propriedades nas três seções por onde o fluido 
escoa são: 
 
 
A energia interna pode ser considerada constante. Calcule V3 e p3. 
 
Figura P5.9 
 
P5.10. No Venturi mostrado na Figura P5.10, a leitura no manômetro diferencial de mercúrio é 
35,8 cm. Determinar a vazão de água através do Venturi, desprezando as perdas entre A e B. 
Resposta: Q = 0,172 m3/s. 
 
Figura P5.10 
 
P5.11. Uma tubulação de 15 cm de diâmetro e 180 m de comprimento transporta água desde A 
(zA = 24 m), até B (zB = 36 m). A tensão de cisalhamento devida à viscosidade é igual a 29,92 
N/m2. Determinar a variação de pressão na tubulação e a perda de carga. 
Resposta: p1 - p2 = 261,34 kPa; HL = 14,64 m. 
 
 
P5.12. a) Qual é a pressão na ogiva de um torpedo que se movimenta em água salgada a 30 m/s 
e a uma profundidade de 9 m? b) Se a pressão em um ponto lateral C do torpedo, à mesma 
profundidade que a ogiva, é de 0,70 kgf /cm2 (manométrica), qual a velocidade relativa nesse 
ponto? 
Resposta: a) 5,65 kgf /cm2; b) VC = 30,7 m/s. 
 
P5.13. Um tanque tem um orifício no fundo por onde sai água. A área da seção transversal do 
jato no ponto em que ele deixa o tanque (x = 0), é A0 (Figura P5.13). A altura de água no tanque 
é h, e esta é mantida constante por reposição contínua de água. A seção transversal do tanque é 
muito maior do que a do orifício (At >> A0). Desprezando efeitos de atrito, tensão superficial, 
etc., ache uma expressão para a área A do jato em função de x. 
Resposta: A(x) = [h/(h+x)]1/2
 
 
Figura P5.13 
 
P5.14. No tubo da Figura 5.14 existe uma vazão de 120 l/s. Determine a potência da bomba 
necessária para manter o escoamento. 
Dados: dHg = 13,57. 
Resposta: P = 20,351 kW. 
 
 
Figura P5.14 
 
P5.15. Se a tensão de vapor da água é igual a 32,4 kN/m2, calcule a elevação da extremidade B 
para que ocorra a vazão máxima neste sifão (Figura P5.15). Indique o valor desta vazão. 
Dados: γágua = 9580 N/m3. 
Resposta: zB = 26,8 m; Q = 0,15 m3/s. 
 
Figura P5.15 
 
 
6. Análise Diferencial do Escoamento 
No Capítulo anterior vimos quecaracterísticas do escoamento podem ser avaliadas de 
globalmente através de balanços de Massa, Quantidade de Movimento e Energia em um volume 
de controle definido. No entanto, esta análise é limitada pois não permite estudar características 
do fluido em determinados locais ou pontos do campo de escoamento. Nestes casos uma análise 
microscópica do escoamento é requerida, a qual pode ser realizada através de balanços locais 
de Massa, Quantidade de Movimento e Energia em um elemento de fluido de dimensões 
infinitesimais dentro do volume de controle. As expressões resultantes deste tipo de análise 
microscópica são equações diferenciais, cuja solução dará informações locais do escoamento 
como, por exemplo, a distribuição de velocidades ou de pressões dentro do volume de controle. 
Tais equação são chamadas de leis de conservação, as quais são deduzidas a partir do balanço 
de uma determinada quantidade (i.e. de uma matéria) no elemento infinitesimal de fluido. No 
Capítulo anterior vimos que o balanço de qualquer quantidade de propriedade extensiva pode 
ser escrito como: 
( ) •+=
SCVC
sis dAnVd
dt
d
Dt
DN 
 Eq. 6.1 
Neste Capítulo veremos as leis de conservação escritas na forma diferencial, as quais 
podem ser obtidas a partir das leis de conservação em forma integral, tomando como base um 
Volume de Controle infinitesimal fixo, d , que pertence ao Sistema (porção de partículas 
fluidas). 
 
6.1 Componentes do movimento de fluidos e deformações 
Antes de deduzir as leis de conservação na forma diferencial, é importante entender o 
comportamento de uma amostra de fluido em termos de movimento e deformação, quando esta 
amostra é submetida a um campo de velocidades. A Figura 6.1 mostra uma amostra de fluido 
que inicialmente possui formato cúbico e que é deslocada e deformada durante um intervalo de 
tempo, Δt, devido à um campo de velocidades. Em resumo, o movimento geral de uma 
determinada amostra de fluido, com massa, dm, e volume, d = dxdydz, pode ser decomposto 
em quatro submovimentos: (a) translação pura sem deformação linear (Figura 6.1-a), quando 
a amostra é submetida à um campo de velocidade uniforme na direção do escoamento, 
resultando em um deslocamento longitudinal do seu centro de massa sem deformação linear, 
uma vez que o vetor velocidade tem mesma intensidade, direção e sentido em qualquer ponto 
da amostra fluida; (b) rotação pura sem deformação angular (Figura 6.1-b), quando a amostra 
 
é submetida à um campo de velocidade angular uniforme, resultando na rotação (deslocamento 
angular) da porção em torno do seu centro de gravidade sem apresentar deformação angular ou 
deslocamento linear do seu centro de massa; (c) deformação angular sem deslocamento do 
centro de gravidade da amostra fluida (Figura 6.1-c), quando existe um campo de velocidade 
angular não uniforme que causa uma deformação angular na amostra sem mudança do seu 
centro de massa; e (d) deformação linear sem deslocamento do centro de gravidade da amostra 
fluida (Figura 6.1-d), quando existe um campo de velocidade não uniforme que causa uma 
deformação linear na amostra. A união desses quatro submovimentos descreve o movimento 
geral, em termos de deslocamento do centro de massa e deformação, da amostra de fluido em 
um intervalo de tempo, Δt. 
 
 
 
Figura 6.1. Tipos de deslocamentos e deformações sofrida por uma amostra fluida, que inicialmente 
possui formado cúbico, devido à um campo de velocidade. 
Percebe-se que a análise de deslocamento e deformações em uma amostra fluida é 
realizada através de uma abordagem lagrangiana, a qual é muito mais complexa, conforme 
(a) (b) 
(c) 
(d) 
 
vimos no Capítulo anterior. Desta forma, para obter as leis de conservação na forma diferencial 
utilizaremos uma abordagem euleriana aplicada à um Volume de Controle de dimensões 
infinitesimais. 
 
6.1.1 Deslocamento e deformação linear 
Vimos que um campo de velocidade uniforme em uma direção produz um deslocamento 
linear da amostra fluida, chamada de translação pura, uma vez que não acontece deformação da 
amostra. No entanto, se existir um gradiente de alguma componente do vetor velocidade a 
amostra fluida sofrerá deformação linear na direção deste gradiente de velocidade. Como o 
gradiente de velocidade é um vetor, a deformação linear poderá acontecer em qualquer eixo do 
sistema ortogonal de coordenadas. Por exemplo, na direção x, a deformação linear ocorre 
devido à um gradiente da componente na direção x do vetor velocidade, u (Figura 6.2). 
 
 
Figura 6.2. Deformação linear de uma amostra fluida na direção x. 
 
A deformação linear na direção x, xd , é dada pelo variação de velocidade nesta direção 
multiplicado pelo intervalo de tempo, Δt, que aconteceu a deformação, ou seja: 
x
em t em t + Δt
dx
dy
u
u
dx
x
u
u


+
dx
x
u
u


+
tdx
x
u
D







 
tdx
x
u
tudx
x
u
ud x D


=D





−







+= Eq. 6.2 
De forma análoga, pode-se obter as deformações lineares nas direções y e z: 
tdy
y
v
tvdy
y
v
vd y D


=D





−







+= Eq. 6.3 
tdz
z
w
twdz
z
w
wd z D


=D





−







+= Eq. 6.4 
Cada componente de deformação linear promove uma deformação volumétrica em cada 
direção: 
tdxdydz
x
u
dydzd xx D


==D  Eq. 6.5 
tdxdydz
y
v
dydzd xy D


==D  Eq. 6.6 
tdxdydz
z
w
dydzd xz D


==D  Eq. 6.7 
A deformação volumétrica total na amostra de fluido é dado pela soma das componentes 
das deformações volumétricas nas direções x , y e z, resultando em: 
tdxdydz
z
w
y
v
x
u
zyx D







+


+


=D+D+D=D Eq. 6.8 
Dividindo os termos da equação acima pelo intervalo de tempo, Δt, podemos obter a taxa 
de deformação volumétrica no tempo: 
dxdydz
z
w
y
v
x
u
t 







+


+


=
D
D
 Eq. 6.9 
E, finalmente, dividindo os termos pelo volume inicial da amostra de fluido, d = dxdydz, 
podemos obter a taxa de deformação volumétrica por unidade de volume: 
V
z
w
y
v
x
u
td

•=







+


+


=
D
D

1
 Eq. 6.10 
A taxa de deformação volumétrica por unidade de volume é mais conhecida na física 
como a taxa dilatação volumétrica, [T-1], que é um coeficiente que mede a capacidade de 
dilatação (variação de volume no tempo) de um fluido. Note que esta taxa equivale ao 
divergente de velocidades, que está associado exclusivamente ao campo de velocidade. 
 
 
6.1.2 Deslocamento e deformação angular 
O campo de velocidade também pode causar deformações angulares,  , na porção de 
fluido entre os instantes de tempo t e t + Δt. Esta deformação é uma grandeza vetorial e pode 
ocorrer nos planos xy, xz e yz, conforme ilustrado na Figura 6.3. A taxa de deformação angular 
na amostra de fluido pode ser escrita como: 
( ) ( )
t
ttt
dt
d
t D
−D+
−=−
→D


0
lim Eq. 6.11 
 
As taxas de deformações angulares entre os instantes de tempo t e t + Δt, nos planos xy, 
xz e yz, são dadas por: 
( ) ( )
tt
ttt
dt
d xyxy
t
xyxy
t
xy
D
−
−=
D
−D+
−=−
→D→D

00
limlim Eq. 6.12 
( ) ( )
tt
ttt
dt
d xzxz
t
xzxz
t
xz
D
−
−=
D
−D+
−=−
→D→D

00
limlim Eq. 6.13 
( ) ( )
tt
ttt
dt
d yzyz
t
yzyz
t
yz
D
−
−=
D
−D+
−=−
→D→D

00
limlim Eq. 6.14 
 
 
x
y
( ) tvv esqdir D−
( )txy
em t
( )t
em t + Δt
( )ttxy D+
dx
dy
( ) tuu trásfrente D−
O A
B
xy
xy
 
 
Figura 6.3. Taxas de deformações no Volume de Controle infinitesimal que ocorrem nos planos xy, xz 
e yz. 
 
Estas taxas podem ser escritas em termos lineares, conforme apresentado abaixo: 
( ) ( )
t
dxtuvdytuu
dt
d esqdirtrásfrente
t
xy
D
D−−D−−
−=−
→D 0
lim

 Eq. 6.15 
( ) ( )
t
dxtwwdztuu
dt
d esqdirbaixocima
t
xz
D
D−−D−−
−=−
→D 0
lim

 Eq. 6.16 
( ) ( )
t
dytwwdztvv
dt
d trásfrentebaixocima
tyz
D
D−−D−−
−=−
→D 0
lim

 Eq. 6.17 
 
As componentes u, v e w do vetor velocidade nas direções x, y e z, respectivamente, nas 
faces da direita, da frente e de cima podem ser podem ser estimadas por uma aproximação de 
série de Taylor, baseada nas componentes u, v e w nas faces da esquerda, de trás e de baixo, 
respectivamente, simplificando os termos de segunda ordem da série. Desta forma, as equações 
acima podem ser reduzidas a: 
t
dxtdx
x
v
dytdy
y
u
dt
d
t
xy
D
D







−D







−
−=−
→D 0
lim

 
Eq. 6.18 
t
dxtdx
x
w
dztdz
z
u
dt
d
t
xz
D
D







−D







−
−=−
→D 0
lim

 
Eq. 6.19 
t
dytdy
y
w
dztdy
z
v
dt
d
t
yz
D
D







−D







−
−=−
→D 0
lim

 
Eq. 6.20 
x
z
( ) tww esqdir D−
( )txz
em t
( )t
em t + Δt
( )ttxz D+
dx
dz
( ) tuu baixocima D−
xz
xz
O A
B
y
z
( ) tww trásfrente D−
( )tyz
em t
( )t
em t + Δt
( )ttyz D+
dy
dz
( ) tvv baixocima D−
O A
B
xz
xz
 
Simplificando os termos, as taxas de deformações angulares em cada plano podem ser 
determinadas: 
x
v
y
u
dt
d xy


+


=

 Eq. 6.21 
x
w
z
u
dt
d xz


+


=

 Eq. 6.22 
y
w
z
v
dt
d yz


+


=

 Eq. 6.23 
As equações acima sugerem que a deformação angular em cada plano ocorre devido à 
presença de derivadas cruzadas (e.g. yu  , zv  , xw  ) , que causam rotação das partículas 
localizadas em um determinado eixo do plano de rotação. Em linguagem vetorial, a taxa de 
deformação angular na amostra de fluido é dada por: 
k
x
v
y
u
j
x
w
z
u
i
y
w
z
v
dt
d 









+


+







+


+







+


=

 Eq. 6.24 
O vetor velocidade angular, 

, também possui uma componente em cada plano 
ortogonal. Por exemplo, a componente na direção x do vetor velocidade angular, x , é referente 
a um deslocamento angular da amostra de fluido no plano yz. De forma que o vetor velocidade 
angular é definido como: 
( )zyx  ,,=

 Eq. 6.25 
onde cada componente do vetor velocidade angular é dado pela média das taxas de deformações 
angulares ocorridas em cada eixo: 
















D
+
D
=






D
+
D
=






D
+
D
=
tt
tt
tt
xyxy
z
xzxz
y
yzyz
x






2
1
2
1
2
1
 
Eq. 6.26 
Como: 
 










D








−=
D








=
D








−=
D








=
D








−=
D








=
dx
t
dx
x
v
dy
t
dy
y
u
dx
t
dx
x
w
dz
t
dz
z
u
dy
t
dy
y
w
dz
t
dz
z
v
xyxy
xzxz
yzyz



,
,
,
 
Eq. 6.27 
 
as componentes do vetor velocidade angular podem ser escritas em termos lineares, resultando 
em: 


















−


=








−


=








−


=
x
v
y
u
x
w
z
u
y
w
z
v
z
y
x
2
1
2
1
2
1



 
Eq. 6.28 
O resultado acima indica que o vetor velocidade angular equivale à metade do produto 
vetorial entre o gradiente e o vetor velocidade, 
V

=
2
1
 Eq. 6.29 
uma vez que o resultado deste produto vetorial corresponde à: 
k
x
v
y
u
j
x
w
z
u
i
y
w
z
v
V









−


+







−


+







−


= Eq. 6.30 
O campo de vorticidade, 

 , definido como: 
V

==  2 Eq. 6.31 
é uma grandeza vetorial utilizada para medir a rotação de um elemento fluido à medida que ele 
se move no campo de escoamento. Esta grandeza é útil para identificar a presença de vórtices 
(i.e. rotação das partículas fluidas acompanhada ou não de alguma deformação transversal) em 
um campo de escoamento. O escoamento é dito irrotacional quando o vetor velocidade angular 
é nulo (�⃗⃗� = 0), ou seja: 
∇ × �⃗� = 0 Eq. 6.32 
 
 
 
6.2 Equação da Conservação da Massa 
A equação diferencial da Conservação da Massa (também chamada de equação da 
Continuidade) é a equação que expressa o balanço de massa em um Volume de Controle 
infinitesimal de fluido (Figura 6.4). Podemos deduzir a equação diferencial da Conservação da 
Massa partindo a equação Conservação da Massa na forma integral dada por: 
( ) 0=•+ 
SCVC
dAnVd
dt
d 
 Eq. 6.33 
A equação acima mostra que variação no tempo de massa no volume de controle equivale 
aos fluxos de massa nas superfícies de controle abertas. Tomando como base agora um Volume 
de Controle infinitesimal cúbico, conforme ilustrado na Figura 6.4, os fluxos de massa podem 
ocorrer nas faces deste elemento que correspondem às superfícies de controle abertas. 
 
 
 
trásm
2:52
dx 
dy 
y
x
z
j

i

k

dz esqm
dirm
baixom
cimam
frentem
 
Figura 6.4. Representação esquemática dos fluxos de massa (vazão mássica) que atravessam as faces 
de um Volume de Controle infinitesimal cúbico. 
 
Considerando que a densidade não varia Volume de Controle infinitesimal no elemento, 
a taxa de variação de massa pode ser escrita em forma diferencial: 
t
m
d
dt
d
VC


=  Eq. 6.34 
A massa do elemento infinitesimal corresponde ao produto entre a densidade absoluta, ρ, 
pelo volume do elemento, dzdydxd = . Assim, podemos obter a taxa de variação de massa 
no elemento infinitesimal: 
t
dxdydzd
dt
d
VC


=

 Eq. 6.35 
O fluxo total de massa (vazão mássica) que atravessa as faces do volume de controle 
infinitesimal é dado pela soma dos fluxos de massa nas faces de entrada e de saída: 
 
( ) ( ) ( ) •+•=•=
SaídaEntradaSC
total dAnVdAnVdAnVm

  Eq. 6.36 
Os fluxos de massa que entram no volume de controle infinitesimal correspondem às 
vazões mássicas das faces da esquerda, de trás e de baixo do elemento, as quais são dadas por: 
( ) baixotrásesq
Entrada
mmmdAnV 

++=•  Eq. 6.37 
onde: 
( )
( )
( )




−=
−=
−=
dydxwm
dzdxvm
dzdyum
baixobaixo
trástrás
esqesq






 Eq. 6.38 
 
O sinal negativo é referente ao produto escalar entre o vetor velocidade e o vetor unitário 
normal às faces de entrada, os quais têm mesma direção e sentidos opostos. Considerando um 
incremento infinitesimal nas direções x, y e z, os fluxos de massa que saem do elemento 
infinitesimal cruzam as faces opostas (faces da direita, da frente e de cima). Tais fluxos de 
massa podem ser estimados por uma aproximação de série de Taylor, simplificando os termos 
de segunda ordem da série, que resulta em: 
 
 ( ) cimafrentedir
Saída
mmmdAnV 

++=•  Eq. 6.39 
onde: 
( )
( )
( )
















+=








+=








+=
dydxdz
z
w
wm
dzdxdy
y
v
vm
dzdydx
x
u
um
baixocima
trásfrente
esqdir






 
Eq. 6.40 
 
Desta forma é possível determinar o fluxo total (i.e. a diferença entre o fluxo de massa 
que entra e que sai) que cruza todas as faces do elemento: 
( ) ( ) ( ) ( )
dxdydz
z
w
y
v
x
u
dAnVm
SC
total 







+


+


=•= 



 Eq. 6.41 
A equação da Conservação da Massa na forma diferencial pode ser obtida substituindo a 
Eq. 6.35 e Eq. 6.41 na Erro! Fonte de referência não encontrada.: 
( ) ( ) ( )
0=


+


+


+


z
w
y
v
x
u
t

 Eq. 6.42 
Em linguagem vetorial a equação da Conservação da Massa fica: 
( ) 0=•+


V
t



 Eq. 6.43 
A equação da Conservação da Massa estabelece que a variação temporal da massa por 
unidade de volume, (kg/s.m3), dentro do elemento infinitesimal é igual a variação espacial do 
fluxo de massa por unidade de tempo, (kg/s.m3), que cruza as faces do elemento. Aplicando a 
propriedade de derivada de um produto de duas funções no segundo termo da Eq. 6.43, tem-se 
que: 
0=•+•+




VV
t
Eq. 6.44 
Sabendo que: 
 
Dt
D
dt
dz
zdt
dy
ydt
dx
xt
z
w
y
v
x
u
t
V
t




=


+


+


+


=
=


+


+


+


=•+

 
 Eq. 6.45 
e que: 








+


+


=•
z
w
y
v
x
u
V 

 
 
Eq. 6.46 
A equação da Conservação da massa pode ser reescrita como: 
0=







+


+


+
z
w
y
v
x
u
Dt
D


 Eq. 6.47 
Em linguagem vetorial: 
0=•+ V
Dt
D 


 Eq. 6.48 
A forma apresentada na equação acima revela que a variação total da densidade seguindo 
a trajetória de uma partícula fluida é igual ao produto da densidade pelo divergente do campo 
de velocidade. Isto implica em dizer que para um fluido incompressível (com densidade 
constante no tempo e no espaço) a equação da Conservação da Massa se reduz a: 
0=• V

 Eq. 6.49 
A expressão acima mostra que isto é o fluxo volumétrico que cruza as faces do elemento 
infinitesimal é nulo, ou seja, a vazão que entra equivale a vazão que sai no elemento. A mesma 
equação ainda é válida para casos especiais onde a densidade do fluido não é constante, mas 
sua derivada total é nula, isto é, Dρ/Dt = 0. Estas situações ocorrem tipicamente onde a 
densidade é constante ao longo de uma linha de corrente, como, por exemplo, em correntes 
marítimas ou em correntes atmosféricas. Nestes casos o valor de ρ é constante ao longo de uma 
linha de corrente mas   0 para qualquer outro caminho que não seja uma linha de corrente 
(Figura 6.5). 
 
 
Figura 6.5. Esquema de representação de escoamento estratificado, onde D/Dt = 0 ao longo de uma 
linha de corrente. No entanto a densidade absoluta pode variar nas direções ortogonais, ou seja, /x 
 0 e /y  0. 
 
Quando o regime de escoamento é permanente, não existe variação da densidade absoluta 
no tempo, ou seja, /t = 0. Assim, a equação da Conservação da Massa pode ser simplificada 
para: 
( ) 0=• V

 Eq. 6.50 
De forma semelhante a equação da Conservação da Massa pode ser deduzida para outros 
sistemas de coordenadas, diferentemente do sistema de coordenadas cartesianas, aqui 
demostrado. A Tabela 6.1 apresenta a equação da Conservação da Massa para diferentes 
sistemas de coordenadas. O sistema de coordenadas cilíndricas é muito utilizado em 
escoamentos de tubulações, muito comum na Engenharia. 
 
Tabela 6.1 Equação diferencial da Conservação da Massa considerando diferentes sistemas de 
coordenadas 
Coordenadas cilíndricas (r,, z): 
( ) ( ) ( ) 0
11
=


+


+


+


zr v
z
v
r
rv
rrt




 , onde ( )zr vvvV ,, =

 
Coordenadas esféricas (r,, ): 
( ) ( ) ( ) 0
111 2
2
=


+


+


+


 





v
rsen
senv
rsen
vr
rrt
r , onde ( ) vvvV r ,,=

 
 
 
 = 1 
 = 2 
 = 3 
y 
x 
 
 
Exemplo 6.1 – Verificação de um escoamento real 
Considere um escoamento bidimensional que apresenta um campo de velocidade dado pela 
seguinte expressão: 
( ) ( ) jyxiyxV

cos3sin2 += 
Verifique se o escoamento é real. Suponha que o escoamento é permanente e que o fluido é 
incompressível. 
De acordo com a expressão acima, o vetor velocidade possui as seguintes componentes: 



=
=
yxv
yxu
cos3
sin2
 
Para que o escoamento seja real, é preciso que a equação da Conservação da Massa seja 
satisfeita. Considerando que escoamento é permanente e que o fluido é incompressível, a 
equação da Conservação da Massa se reduz a: 
0=• V

 
ou seja: 
0=


+


y
v
x
u
 
As derivadas parciais acima podem ser determinadas, derivando as componentes de velocidade, 
u e v, nas direções x e y, respectivamente: 






−=


=


yx
y
v
yx
x
u
sin3
sin2
 
Substituindo os termos acima na equação da Conservação da Massa, obtemos: 
0sinsin3sin2 −=− yxyxyx 
Como a equação da Conservação da Massa não foi satisfeita, o escoamento não é real. 
 
 
 
6.3 Equação da Conservação da Quantidade de Movimento 
A equação diferencial da Conservação da Quantidade de Movimento pode ser deduzida 
partindo a equação Conservação da Quantidade de Movimento na forma integral: 
( ) •+


=
SCVC
Sistema
dAnVVdV
t
F

 Eq. 6.51 
 
Considerando que a densidade absoluta é constante no volume de controle infinitesimal, 
a variação no tempo de quantidade de movimento no elemento, escrita em forma diferencial, é 
dada por: 
( ) ( )
t
V
dxdydz
t
Vdxdydz
dV
t
VC


=


=




 
 Eq. 6.52 
O fluxo de quantidade de movimento nas faces do volume de controle infinitesimal tem 
natureza vetorial, apresentando componentes nas direções x, y e z: 
( ) ( )zyx
SC
PPPdAnVV 
,,=•  Eq. 6.53 
onde as componentes são dadas por: 
( )
( )
( )









•=
•=
•=



SC
z
SC
y
SC
x
dAnVwP
dAnVvP
dAnVuP









 
Eq. 6.54 
O fluxo total de quantidade de movimento na direção x que atravessa as faces do volume 
de controle infinitesimal é dado pela soma dos fluxos de quantidade de movimento nas faces 
de entrada e de saída: 
 
( ) ( ) ( ) •+•=•=
SaídaEntradaSC
x dAnVudAnVudAnVuP

  Eq. 6.55 
Os fluxos de quantidade de movimento na direção x que entram no volume de controle 
infinitesimal podem ocorrer nas faces da esquerda, de trás e de baixo do elemento, os quais são 
dados por: 
( ) baixoxtrásxesqx
Entrada
PPPdAnVu ,,,

++=•  Eq. 6.56 
 
onde: 
( )
( )
( )





−=
−=
−=
dydxwuP
dzdxvuP
dzdyuuP
baixobaixobaixox
trástrástrásx
esqesqesqx



,
,
,



 Eq. 6.57 
O sinal negativo é referente ao produto escalar entre o vetor velocidade e o vetor unitário 
normal às faces de entrada, os quais têm mesma direção e sentidos opostos. Considerando um 
incremento infinitesimal nas direções x, y e z, os fluxos de massa que saem do elemento 
infinitesimal cruzam as faces opostas (faces da direita, da frente e de cima): 
( ) cimaxfrentexdirx
Saída
PPPdAnVu ,,,

++=•  Eq. 6.58 
Tais fluxos de saída de quantidade de movimento na direção x podem ser estimados por 
uma aproximação de série de Taylor, simplificando os termos de segunda ordem da série, 
resultando em: 
( )
( )
( )
















+=








+=








+=
dydxdz
z
uw
wuP
dzdxdy
y
uv
vuP
dzdydx
x
uu
uuP
baixobaixocimax
trástrásfrentex
esqesqdirx






,
,
,



 
Eq. 6.59 
Desta forma é possível determinar o fluxo total de quantidade de movimento na direção 
x (i.e. a diferença entre o fluxo que entra e que sai) que cruza todas as faces do elemento: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
dxdydz
z
uw
y
uv
x
uu
dAnVuP
SC
x 







+


+


=•= 



 Eq. 6.60 
De forma análoga, podemos obter os fluxos de quantidade de movimento nas direções y 
e z: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
dxdydz
z
vw
y
vv
x
vu
dAnVvP
SC
y 







+


+


=•= 



 Eq. 6.61 
 
( ) ( ) ( ) ( )
dxdydz
z
ww
y
wv
x
wu
dAnVwP
SC
z 







+


+


=•= 



 Eq. 6.62 
 
 
Substituindo a Eq. 6.52 e Eq. 6.53 na Eq. 6.51, podemos obter a equação diferencial da 
Conservação da Quantidade de Movimento nas direções ortogonais: 
( ) ( ) ( ) ( )








+


+


+


=
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
dxdydzFx

 Eq. 6.63 
( ) ( ) ( ) ( )








+


+


+


=
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
dxdydzFy

 Eq. 6.64 
( ) ( ) ( ) ( )








+


+


+


=
z
ww
y
wv
x
wu
t
w
dxdydzFz

 Eq. 6.65 
Em linguagem vetorial: 
( ) ( )



•+= VVV
t
dxdydzFR




 Eq. 6.66 
As forças que atuam no volume de controle infinitesimal podem ser subdivididas em: (a) 
forças normais de pressão e viscosas que causam tensões normais,  , nas faces do elemento;(b) forças tangenciais viscosas que causam tensões de cisalhamento,  , nas faces do elemento; 
e (c) forças mássicas ou de campo, as quais agem no elemento proporcionalmente à sua massa 
(por exemplo, a força peso devido à massa do elemento). Um esquema das tensões normais e 
tangenciais, bem como a aplicação da força peso, pode ser visualizado na Figura 6.6. 
Desta forma, os somatórios das forças nas direções ortogonais serão dados por: 
( ) ( )
( ) 







++−+
−+−
=


xbaixozxcimazx
trásyxfrenteyxesqxxdirxx
x
gdxdy
dxdzdydz
dxdydzF Eq. 6.67 
( ) ( )
( ) 







++−+
−+−
=


ybaixozycimazy
esqxydirxytrásyyfrenteyy
y
gdxdy
dydzdxdz
dxdydzF Eq. 6.68 
( ) ( )
( ) 







+−+
−+−
=


ztrásyzfrenteyz
esqxzdirxzbaixozzcimazz
z
gdxdz
dydzdxdy
dxdydzF Eq. 6.69 
 
onde gx, gy e gz são as componentes do vetor aceleração de gravidade nas direções x, y e z, 
respectivamente. Considerando o eixo z como a direção vertical, o vetor aceleração de 
gravidade será dado por: 
( ) ( )ggggg zyx −== ,0,0,,

 Eq. 6.70 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.6. Força peso e tensões normais e tangenciais aplicadas nas faces do Volume de controle 
infinitesimal. 
 
As tensões normais e tangenciais nas faces da direita, da frente e de cima podem ser 
podem ser estimadas por uma aproximação de série de Taylor, baseada nas tensões normais e 
tangenciais nas faces da esquerda, de trás e de baixo, respectivamente, simplificando os termos 
de segunda ordem da série. Por exemplo, na direção x as tensões nas faces da direita, da frente 
e de cima serão dadas por: 
x
z
dirxx
esqxx
cimazz
baixozz
dirxz
esqxz
cimazx
baixozx
W
y
z
frenteyy
trásyy
cimazz
baixozz
frenteyz
trásyz
cimazy
baixozy
x
y
dirxx
esqxx
frenteyy
trásyy
dirxy
esqxy
frenteyx
trásyx
 











+=


+=


+=
dz
z
dy
y
dx
x
zx
baixozxcimazx
yx
trásyxfrenteyx
xx
esqxxdirxx






 
Eq. 6.71 
 
Substituindo os termos acima na Eq. 6.67, a força resultante na direção x pode então ser 
reescrita: 






+


+


+


= 

x
zxyxxx
x g
zyx
dxdydzF Eq. 6.72 
De maneira análoga para as outras direções temos que: 






+


+


+


= 

y
zyyyxy
y g
zyx
dxdydzF Eq. 6.73 






+


+


+


= 

z
zzyzxz
z g
zyx
dxdydzF Eq. 6.74 
Substituindo os somatórios das forças nas direções x, y e z na Eq. 6.63, Eq. 6.64 e Eq. 
6.65, respectivamente, e dividindo os termos pelo Volume de Controle infinitesimal ( dxdydz ), 
temos que: 
( ) ( ) ( ) ( )


+


+


+


=


+


+


+


x
zxyxxx g
zyxz
uw
y
uv
x
uu
t
u
 Eq. 6.75 
( ) ( ) ( ) ( )


+


+


+


=


+


+


+


y
zyyyxy
g
zyxz
vw
y
vv
x
vu
t
v
 Eq. 6.76 
( ) ( ) ( ) ( )


+


+


+


=


+


+


+


z
zzyzxz g
zyxz
ww
y
wv
x
wu
t
w
 Eq. 6.77 
Aplicando a regra da derivada de um produto de duas funções nos termos do lado 
esquerdo das equações acima, podemos mostrar que: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )








+


+


+


+








+


+


+


=


+


+


+


z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
z
w
y
v
x
u
t
u
z
uw
y
uv
x
uu
t
u


 Eq. 6.78 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )








+


+


+


+








+


+


+


=


+


+


+


z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
z
w
y
v
x
u
t
v
z
vw
y
vv
x
vu
t
v


 Eq. 6.79 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )








+


+


+


+








+


+


+


=


+


+


+


z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w
z
w
y
v
x
u
t
w
z
ww
y
wv
x
wu
t
w


 Eq. 6.80 
Os primeiros termos do lado direto das equações acima são nulos de acordo com a 
equação da Conservação da Massa (Eq. 6.42). Desta forma, as equações acimas são reduzidas 
a: 
( ) ( ) ( ) ( )
Dt
Du
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
z
uw
y
uv
x
uu
t
u


=







+


+


+


=


+


+


+


 Eq. 6.81 
( ) ( ) ( ) ( )
Dt
Dv
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
z
vw
y
vv
x
vu
t
v


=







+


+


+


=


+


+


+


 Eq. 6.82 
( ) ( ) ( ) ( )
Dt
Dw
z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w
z
ww
y
wv
x
wu
t
w


=







+


+


+


=


+


+


+


 Eq. 6.83 
Substituindo as equações acima na Eq. 6.78, Eq. 6.79 e Eq. 6.80, chega-se nas equações 
gerais da Conservação da Quantidade de Movimento na forma diferencial nas direções 
ortogonais cartesianas: 


 +


+


+


= x
zxyxxx g
zyxDt
Du
 Eq. 6.84 


 +


+


+


= y
zyyyxy
g
zyxDt
Dv
 Eq. 6.85 


 +


+


+


= z
zzyzxz g
zyxDt
Dw
 Eq. 6.86 
Estas equações são válidas para qualquer tipo de fluido independente do seu 
comportamento das propriedades físicas que influenciam o transporte de quantidade de 
movimento num fluido, como, por exemplo, a viscosidade e a densidade absoluta. Observe que 
as derivadas totais do lado esquerdo das equações acima correspondem às componentes do 
vetor aceleração (ax, ay e az), conforme visto no Capítulo 4. A Erro! Fonte de referência não e
ncontrada. e a Erro! Fonte de referência não encontrada. apresentam a equação da Conservação 
de Movimento nos sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas, respectivamente. 
As tensões de cisalhamento,  , pode ser determinadas a partir de uma análise das 
possíveis taxas de deformações angulares sofridas nas faces do Volume de Controle 
 
infinitesimal entre os instantes de tempo t e t + Δt. Conforme visto no item 6.1.2, as taxas de 
deformações nos planos xy, xz e yz, são dadas pela Eq. 6.21, Eq. 6.22 e Eq. 6.23. Considerando 
que o fluido é Newtoniano, as tensões de cisalhamento nos planos xy, xz e yz, podem ser 
determinadas através da equação constitutiva de viscosidade de Newton: 








+


===
x
v
y
u
dt
d xy
yxxy 

 Eq. 6.87 








+


===
x
w
z
u
dt
d xz
zxxz 

 Eq. 6.88 








+


===
y
w
z
v
dt
d yz
zyyz 

 Eq. 6.89 
As equações acima também chamadas de relações da viscosidade de Stokes e representam 
as tensões de cisalhamento em cada face do elemento. 
Para um fluido em movimento, a tensão normal (por componentes de pressão e viscosas) 
não é a mesma em todas as direções e depende das variações das componentes do vetor 
velocidade. Stokes estabeleceu as relações para as tensões normais de fluidos Newtonianos em 
movimento: 
pV
x
u
xx −





•−


=

3
2
2 Eq. 6.90 
pV
y
v
yy −





•−


=

3
2
2 Eq. 6.91 
pV
z
w
zz −





•−


=

3
2
2 Eq. 6.92 
A soma das três tensões acima é chamada de tensão normal aparente e equivale à 
componente de pressão: 
p
zzyyxx
−=
++
=
3

 Eq. 6.93 
Portanto, a variação das tensões normais nas direções x, y e z podem ser obtidas: 
( )
x
p
x
V
x
u
x
xx


−

•
−







=



3
2
2
2
2 


 Eq. 6.94 
( )
y
p
y
V
y
v
y
yy


−

•
−







=



3
2
2
2
2 


 Eq. 6.95 
( )
z
p
z
V
z
w
z
zz


−

•
−







=



3
2
2
2
2 


 Eq. 6.96 
 
Conhecidas as tensões normais e tangenciais podemos reescrever as equações da 
Conservação da Quantidade de Movimento nas direções x, y e z, substituindo as tensões na Eq. 
6.84, Eq. 6.85 e Eq. 6.86, respectivamente. Na direção x, a equação resultante, após 
reorganização dos termos, é a seguinte:( )








+


+


+
+







+


+


+

•
−


−=
zx
w
yx
v
x
u
z
u
y
u
x
u
x
V
x
p
g
Dt
Du
x
22
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2





 Eq. 6.97 
 
 
O último termo do lado direito da equação também pode ser escrito como: 
( )
x
V
zx
w
yx
v
x
u

•
=







+


+




22
2
2
 Eq. 6.98 
Substituindo a Eq. 6.98 na Eq. 6.97, chega-se a equação da Conservação da Quantidade 
de Movimento na direção x para um fluido Newtoniano: 
( )








+


+


+

•
+


−=
2
2
2
2
2
2
3 z
u
y
u
x
u
x
V
x
p
g
Dt
Du
x 



 Eq. 6.99 
De forma análoga as equações nas direções y e z podem ser obtidas: 
( )








+


+


+

•
+


−=
2
2
2
2
2
2
3 z
v
y
v
x
v
y
V
y
p
g
Dt
Dv
y 



 Eq. 6.100 
( )








+


+


+

•
+


−=
2
2
2
2
2
2
3 z
w
y
w
x
w
z
V
z
p
g
Dt
Dw
z 



 Eq. 6.101 
 
As equações acima podem ser simplificadas quando o fluido é considerado 
incompressível (densidade absoluta constante). Para estas idealizações a equação da 
Conservação da Massa é reduzida a Eq. 6.49, anulando os terceiros termos do lado direito da 
Eq. 6.99, Eq. 6.100 e Eq. 6.101. Ou seja, para um fluido Newtoniano e incompressível as 
equações da Conservação da Quantidade de Movimento são as seguintes: 








+


+




−=
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
p
g
Dt
Du
x  Eq. 6.102 








+


+


+


−=
2
2
2
2
2
2
z
v
y
v
x
v
y
p
g
Dt
Dv
y  Eq. 6.103 








+


+


+


−=
2
2
2
2
2
2
z
w
y
w
x
w
z
p
g
Dt
Dw
z  Eq. 6.104 
 
Expandindo os primeiros termos do lado esquerdo das equações, chega-se a: 








+


+


+


−=







+


+


+


2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
p
g
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
x  Eq. 6.105 








+


+


+


−=







+


+


+


2
2
2
2
2
2
z
v
y
v
x
v
y
p
g
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
y  Eq. 6.106 








+


+


+


−=







+


+


+


2
2
2
2
2
2
z
w
y
w
x
w
z
p
g
z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w
z  Eq. 6.107 
 
As equações acima são chamadas de Equações de Navier-Stokes e equivalem a segunda 
Lei de Newton, considerando um fluido newtoniano, incompressível e escoamento laminar. Em 
linguagem vetorial, as equações de Navier-Stokes são escritas de forma mais compacta: 
Vpg
Dt
VD 

2+−=  Eq. 6.108 
As Equações de Navier-Stokes poderiam ser obtidas para outros sistemas de coordenas, 
seguindo o mesmo procedimento empregado para o sistema de coordenadas cartesianas, aqui 
utilizado. A Tabela 6.2 e a Tabela 6.3 apresentam as equações de Navier-Stokes para os 
sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas, respectivamente. 
 
Tabela 6.2 Equações de Navier-Stokes (Fluido Newtoniano com densidade e viscosidade 
absolutas constantes), considerando um sistema de coordenadas cilíndricas. 
Direção r: 
( ) 







+


−


+









++


−=
=







+−


+


+


2
2
22
2
2
2
211
z
vv
r
v
r
rv
rrr
g
r
p
z
v
v
r
vv
r
v
r
v
v
t
v
rr
rr
r
z
rr
r
r






 
Direção : 
( ) =







+


+


+









++


−=
=







++


+


+


2
2
22
2
2
2111
z
vv
r
v
r
rv
rrr
g
p
r
z
v
v
r
vvv
r
v
r
v
v
t
v
r
z
r
r








 
Direção z: 
 








+


+









++


−=
=







+


+


+


2
2
2
2
2
11
z
vv
rr
v
r
rr
g
z
p
z
v
v
v
r
v
r
v
v
t
v
zzz
z
z
z
zz
r
z



 
 
 
Tabela 6.3 Equações de Navier-Stokes (Fluido Newtoniano com densidade e viscosidade 
absolutas constantes), considerando um sistema de coordenadas esféricas. 
Direção r: 
( )








+









+


++


−=
=







 +
−


+


+


+


2
2
2222
22
2
22
111







rrr
r
rrr
r
r
v
senr
v
sen
senrr
vr
r
g
r
p
r
vvv
rsen
vv
r
v
r
v
v
t
v
 
Direção : 
( ) 







−


+


+









+









+
++


−=
=








−+


+


+


+


















v
senr
v
r
v
senr
senv
senrr
v
r
rr
g
p
r
r
v
r
vvv
rsen
vv
r
v
r
v
v
t
v
r
r
r
2222
2
222
2
2
2
cos221111
1
cot
 
Direção : 
( ) 







+


+


+









+









+
++


−=
=





++


+


+


+


















v
senr
v
senr
v
senr
senv
senrr
v
r
rr
g
p
rsen
r
vv
r
vvv
rsen
vv
r
v
r
v
v
t
v
r
r
r
2222
2
222
2
2
cos221111
1
cot
 
 
Além de fluido Newtoniano e incompressível, a equação de Euler considera que fluido 
também é invíscido, ou seja, apresenta viscosidade nula. Desta forma, a equação de Euler, que 
pode ser obtida a partir da equação de Navier-Stokes, é dada por: 
 
pg
Dt
VD
−= 


 Eq. 6.109 
A equação de Bernoulli, obtida através da simplificação da lei da conservação da energia 
na análise integral do escoamento (ver capítulo anterior), também pode ser deduzida a partir da 
equação de Euler (não será demostrado aqui por ir além dos propósitos deste livro). Isto 
confirma que a equação de Bernoulli pode apenas ser aplicada em escoamentos ao longo de 
uma linha de corrente (ou tubo de corrente), invíscidos, incompressíveis e em regime 
permanente. 
 
Exemplo 6.2 – Escoamento entre placas paralelas verticais 
Considere um fluído viscoso e incompressível que escoa entre duas placas planas verticais 
conforme mostra a figura abaixo: 
 
Assuma que o escoamento é laminar, permanente e uniforme. a) determine, usando as equações 
de Navier-Stokes, uma expressão para o gradiente de pressões na direção do escoamento. 
Expresse dp/dy como uma função da vazão por unidade de largura (q). b) diga qual seria a vazão 
se dp/dy = 0 ? 
Neste problema temos apenas a componente em y da velocidade e esta é uma função apenas de 
x para escoamento plenamente desenvolvido. Assim, temos: 
{
𝑢 = 𝑤 = 0
𝑣 = 𝑣(𝑥)
 
 
v(x)
y
x
h h
 
Para que haja escoamento devemos ter um gradiente de pressão na direção y, ou seja, devemos 
ter 𝑑𝑝 𝑑𝑦⁄ ≠ 0. As equações de Navier-Stokes nas direções x, z e y ficam: 
0 = 𝜌𝑔𝑥 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
 ⇒ 
𝜕𝑝
𝜕𝑥
= 0, uma vez que 𝑔𝑥 = 0 
0 = 𝜌𝑔𝑧 −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
 ⇒ 
𝜕𝑝
𝜕𝑧
= 0, uma vez que 𝑔𝑧 = 0 
0 = 𝜌𝑔𝑦 −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+ 𝜇 
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2
 (1) 
Substituindo 𝑔𝑦 = −𝑔 em (1), e sendo v = v(x) : 
 
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
=
𝛾
𝜇
+
1
𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑦
 (2) 
Integrando pela primeira vez a expressão (2), temos: 
d𝑣
𝑑𝑥
=
𝛾
𝜇
𝑥 +
1
𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑦
𝑥 + 𝐶1 (3) 
Sabendo que 𝜎𝑐𝑖𝑠 = 0 em x = 0 e já que 𝜎𝑐𝑖𝑠 = 𝜇 𝑑𝑣 𝑑𝑥⁄ , temos que C1 = 0. 
Integrando pela segunda vez a expressão (2), temos: 
𝑣 =
𝛾
2𝜇
𝑥2 +
1
2𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑦
𝑥2 + 𝐶2 (4) 
Sendo v = 0 em x = h , temos: 
0 =
𝛾
2𝜇
ℎ2 +
1
2𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑦
ℎ2 + 𝐶2 
𝐶2 = −
ℎ2
2𝜇
[
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+ 𝛾] 
Substituindo C2 em (4) e após algum algebrismo, obtêm-se: 
𝑣 =
1
2𝜇
[
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+ 𝛾] (𝑥2 − ℎ2)(5) 
A vazão por unidade de largura é dada por: 
𝑞 = ∫ 𝑣 ∙ 𝑑𝑥
ℎ
−ℎ
=
1
2𝜇
[
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+ 𝛾] {∫ 𝑥2𝑑𝑥
ℎ
−ℎ
− ∫ ℎ2𝑑𝑥
ℎ
−ℎ
} 
𝑞 =
1
2𝜇
[
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+ 𝛾] {
2
3
ℎ3 − 2ℎ3} 
 
Deonde se chega a: 
𝑞 = −
2ℎ3
3𝜇
[
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+ 𝛾] 
Observe que o gradiente de pressão pode ser escrito em função da vazão, largura e 
características do fluido: 
𝜕𝑝
𝜕𝑦
= − [
3𝜇𝑞
2ℎ
+ 𝛾] 
Para 𝑑𝑝 𝑑𝑦⁄ = 0, temos um escoamento devido apenas à gravidade e dado por: 
𝑞 = −
2ℎ3𝛾
3𝜇
 
 
 
 
Exemplo 6.3 – Escoamento em um tubulação circular 
Considere um fluído viscoso e incompressível que escoa em uma tubulação circular conforme 
mostra a figura abaixo: 
 
 
Assuma que o escoamento é laminar, permanente e uniforme. Determine a expressão do perfil 
de velocidade na seção transversal. 
No Exemplo 4.4., determinamos características importantes deste escoamento (e.g. vazão, 
velocidade média, tensão de cisalhamento na parede da tubulação), dado como ponto de partida 
perfil de velocidade em uma seção transversal. A equação do perfil de velocidade pode ser 
determinado usando a análise diferencial, onde temos apenas a componente em x da velocidade 
e esta é uma função apenas de r para escoamento plenamente desenvolvido. Assim, temos: 
x 
 
{
𝑣𝑟 = 𝑣𝜃 = 0
𝑢 = 𝑢(𝑟)
 
Para que haja escoamento devemos ter um gradiente de pressão na direção x, ou seja, devemos 
ter 𝑑𝑝 𝑑𝑥⁄ ≠ 0. A equação de Navier-Stokes nas direção x, em coordenadas cilíndricas, fica: 
0 = 𝜌𝑔𝑥 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝜇 
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝑟
 ) (1) 
Como 𝑔𝑥 = 0 em (1), e sendo v = v(y) : 
 
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝑟
 ) =
𝑟
𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑥
 (2) 
Integrando pela primeira vez a expressão (2) em relação à r, temos: 
𝜕𝑢
𝜕𝑟
=
1
2𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝑟 + 𝐶1 (3) 
Sabendo que 𝜎𝑐𝑖𝑠 = 0 em r = 0 e já que 𝜎𝑐𝑖𝑠 = 𝜇 𝑑𝑢 𝑑𝑟⁄ , temos que C1 = 0. 
Integrando pela segunda vez a expressão (2), temos: 
𝑢 =
1
4𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝑟2 + 𝐶2 (4) 
Sendo u = 0 na parede na tubulação, ou seja, em x = R , temos: 
0 =
1
4𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝑅2 + 𝐶2 
𝐶2 = −
𝑅2
4𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑥
 
Substituindo C2 em (4) e após algum algebrismo, obtêm-se: 
𝑢 = −
𝑅2
4𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑥
(1 −
𝑟2
𝑅2
) (5) 
O termo −
𝑅2
4𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑥
 é uma constante e representa a velocidade máxima do escoamento que ocorre 
no centro da tubulação, ou seja, 
𝑈max = −
𝑅2
4𝜇
𝜕𝑝
𝜕𝑥
 
Observe que a velocidade é positiva, uma vez que o gradiente de pressão é negativo. Assim, a 
equação (5) pode ser reescrita como segue: 
 
𝑢 = 𝑈max (1 −
𝑟2
𝑅2
) (6) 
Com o conhecimento do perfil de velocidade, é possível determinar outras características do 
escoamento, tais como a vazão, a velocidade média e as tensões de cisalhamento. 
 
Exemplo 6.4 – Escoamento induzido por uma esteira móvel inclinada 
Na instalação abaixo, a esteira móvel tem uma velocidade periférica U, transportando o fluido 
de um reservatório, em uma cota mais baixa, para outro, em uma cota mais alta. Sendo o peso 
a única força de campo que atua no escoamento, determine a vazão por unidade de largura, q, 
em função da espessura de fluído entre a esteira móvel e o plano inclinado (e), da diferença de 
altura entre a entrada e a saída (h) e do comprimento total da esteira (L). Assuma que o 
escoamento é laminar, permanente e uniforme. 
 
Considerando o sistema de coordenadas da figura acima, neste problema temos apenas a 
componente em x da velocidade e esta é uma função apenas de y para escoamento plenamente 
desenvolvido. Assim, temos: 
{
𝑣 = 𝑤 = 0
𝑢 = 𝑢(𝑦) 
 
As extremidades da esteira móvel estão submetidas à pressão atmosférica. Assim não existe 
gradiente de pressão, ou seja, 𝑑𝑝 𝑑𝑥⁄ = 0. 
A equação de Navier-Stokes em y fica: 
0 = 𝜌𝑔𝑦 −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
⇒
𝜕𝑝
𝜕𝑦
= −𝛾cos𝜃 
A equação de Navier-Stokes em x fica: 
L
h
xy
θ
 
0 = 𝜌𝑔𝑥 + 𝜇 
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
 (1) 
onde 𝑔𝑥 = −𝑔sen𝜃 = −𝑔ℎ 𝐿⁄ . Da equação (1) temos: 
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
=
𝛾
𝜇
ℎ
𝐿
 (2) 
Integrando (2), resulta em: 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= (
𝛾
𝜇
ℎ
𝐿
) 𝑦 + 𝐶1 
e integrando novamente: 
𝑢 = (
𝛾
2𝜇
ℎ
𝐿
) 𝑦2 + 𝐶1𝑦 + 𝐶2 (3) 
Introduzindo em (3) as condições de contorno: 
{
em 𝑦 = 0, 𝑢 = 0
em 𝑦 = 𝑒, 𝑢 = 𝑈
 
obtermos: 
{
𝐶2 = 0
𝐶1 =
𝑈
𝑒
− (
𝛾
2𝜇
ℎ
𝐿
)
 
De onde, o perfil de velocidades é dado por: 
𝑢 = (
𝛾
2𝜇
ℎ
𝐿
) 𝑦2 + [
𝑈
𝑒
− (
𝛾
2𝜇
ℎ
𝐿
)] 𝑦 (4) 
A vazão por unidade de largura é dado por: 
𝑞 = ∫ 𝑒 ∙ 𝑑𝑦
𝑒
0
= (
𝛾
2𝜇
ℎ
𝐿
)
𝑦3
3
|
0
𝑒
+
𝑈
2𝑒
𝑦2|
0
𝑒
− (
𝛾
2𝜇
ℎ
𝐿
) 𝑒
𝑦2
2
|
0
𝑒
 
o que nos leva a: 
𝑞 =
𝑈
2
𝑒 − (
𝛾
12𝜇
ℎ
𝐿
) 𝑒3 
 
 
 
 
6.4 Função de corrente 
Diversos problemas na Engenharia podem ser resolvidos considerando um escoamento 
incompressível e no plano bidimensional (i.e. quando dois componentes do vetor velocidade 
são importantes) como, por exemplo, um escoamento no entorno de uma asa de avião ou de um 
pilar associado a uma ponte que passa sobre um rio. A solução de tais escoamentos pode ser 
bastante simplificada se o escoamento for descrito na forma de linhas de corrente e do campo 
de velocidades. Esta técnica permite ainda visualizar de forma simplificada o fluxo e determinar 
características importantes do escoamento tais como, a vazão em uma dada seção transversal 
definida por duas linhas corrente, valores de pressão pontuais, bem como alguns componentes 
de força (pressão e cisalhamento) devido a interação fluido-estrutura. 
A função de corrente consiste em uma função matemática escalar, representada pela letra 
grega Ψ (psi), que substitui os dois componentes do vetor velocidade (u e v) por uma única 
função, simplificando bastante a análise de escoamentos bidimensionais, ou seja, reduzindo a 
complexidade do problema. Assume-se como premissa que existe uma relação entre a função 
de corrente, Ψ(x,y), e os componentes de velocidade u(x,y) e v(x,y), tal que essa relação deve 
satisfazer a equação da continuidade para um escoamento incompressível e bidimensional. 
Vimos que a equação da continuidade para um escoamento incompressível e bidimensional, em 
coordenadas cartesianas, é dado por: 
𝜕u
𝜕𝑥
+
𝜕v
𝜕𝑦
= 0 Eq. 6.110 
Fazendo, 
𝑢 =
𝜕Ψ
𝜕𝑦
 Eq. 6.111 
𝑣 = −
𝜕Ψ
𝜕𝑥
 Eq. 6.112 
e substituindo as expressões de u e v acima na Eq. 6.109, temos que: 
𝜕
𝜕𝑥
(
𝜕Ψ
𝜕𝑦
) +
𝜕
𝜕𝑦
(−
𝜕Ψ
𝜕𝑥
) =
𝜕2Ψ
𝜕𝑥𝑦
−
𝜕2Ψ
𝜕𝑥𝑦
= 0 Eq. 6.113 
Desta forma, a equação da continuidade para um escoamento incompressível e 
bidimensional (Eq. 6.109) sempre será satisfeita, validando o emprego de uma única função Ψ 
para representar este tipo de escoamento. As expressões dadas pela Eq. 6.110 e Eq. 6.111 
formam um sistema de duas equações independentes. Qualquer linha contínua que satisfaça tais 
expressões será uma linha de corrente, que é uma representação gráfica simplificada de campos 
de velocidade bidimensional, como visto no Capítulo 4 – Cinemática dos fluidos. 
 
Analiticamente, para escoamentos bidimensionais (2D), no plano x-y, a inclinação da linha de 
corrente deve ser igual a tangente do ângulo, θ, que o vetor velocidade faz com o eixo x, ou 
seja: 
tan==
u
v
dx
yd
 Eq. 6.114 
que também pode ser escrito como, 
𝑢𝑑𝑦 − 𝑣𝑑𝑥 = 0 Eq. 6.115 
 
Por outro lado, a variação do valor de Ψ(x,y) pode, matematicamente, ser expresso por: 
𝑑Ψ =
𝜕Ψ
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕Ψ
𝜕𝑦
𝑑𝑦 Eq. 6.116 
Substituindo a Eq. 6.110 e Eq. 6.111 na equação acima, podemos observar que: 
𝑑Ψ = −𝑣𝑑𝑥 + 𝑢𝑑𝑦 Eq. 6.117 
Note que a variação do valor de Ψ, 𝑑Ψ, equivale a zero, uma vez que o termo do lado 
direto da equação acima corresponde a expressão da linha corrente (Eq. 6.114). Se 𝑑Ψ é igual 
a zero, então valores constantes de Ψ representam linhas de corrente do escoamento, as quais 
são tangentes aos vetores de velocidade. Em resumo, conhecendo a função de corrente, Ψ(x,y), 
podemos traçar as linhas de corrente do escoamento definindo valores constantes de Ψ. Para 
cada valor constante de Ψ podemos construir uma linha de corrente. Assim, uma família de 
linhas de correntes pode ser obtida definindo diferentesvalores de Ψ. 
Outra questão interessante é que a variação do valor de Ψ, 𝑑Ψ, tem um significado físico 
bastante importante para Engenharia, uma vez que esta variação está relacionada com a vazão 
que passa por uma seção transversal definida por duas linhas de correntes. Se cada linha de 
corrente equivale a um valor constante de Ψ, então a diferença dos valores de Ψ das duas linhas 
de corrente corresponde à vazão que passa na seção transversal entre as duas linhas de corrente. 
Para demostrar isso, considere a Figura 6.7, onde uma vazão por unidade de profundidade, dq, 
passa por uma seção transversal AC, definida entre as linhas de corrente Ψ e Ψ+dΨ 
(imediatamente acima na linha de corrente Ψ). Se uma região ABC é definida na vizinhança da 
seção transversal AC, tem-se que, pela lei da conservação da massa, a vazão por unidade de 
profundidade que passa pela seção AC equivale a soma das vazões por unidade de profundidade 
que passam pelas seções AB e BC. A vazão por unidade de profundidade (considerando 
profundidade unitária na direção z) em cada seção pode ser obtida multiplicando a velocidade 
pela a largura da seção. Assim, a vazão por unidade de profundidade, dq, pode ser escrita como: 
 
𝑑q = 𝑢𝑑𝑦 − 𝑣𝑑𝑥 = 𝑑Ψ Eq. 6.118 
Observe que a vazão por unidade de profundidade, dq, equivale a diferença entre os 
valores das duas linhas de corrente Ψ+dΨ e Ψ. 
 
 Figura 6.7. Vazão que passa por uma seção transversal AC, definida entre duas linhas de corrente (Ψ 
e 𝚿 + 𝒅𝚿). 
 
Para obter a vazão por unidade de profundidade entre duas linhas de corrente quaisquer 
(Ψ1 e Ψ2), basta integrar a equação acima, resultando em: 
 
q = ∫ 𝑑Ψ = Ψ2−Ψ1
Ψ2
Ψ1
 Eq. 6.119 
A vazão por unidade de profundidade é positiva se o valor da linha de corrente superior, 
Ψ2, for maior do que o valor da linha de corrente inferior, Ψ1, e o escoamento ocorrerá da 
esquerda para direita. Se o valor da linha de corrente superior, Ψ2, for menor do que o valor da 
linha de corrente inferior, Ψ1, a vazão por unidade de profundidade é negativa, indicando um 
escoamento da direita para esquerda. 
Em alguns problemas, é mais conveniente e mais simples o uso de coordenadas polares 
para determinação da função de corrente. Em coordenadas polares, o escoamento 
incompressível bidimensional é dado por: 
+ d

A
C
B
dyu 
dxv −
dq
y
x
 
𝜕(𝑟 ∙ v𝑟)
𝜕𝑟
+
𝜕(v𝜃)
𝜕𝜃
= 0 Eq. 6.120 
Para que a equação acima seja satisfeita, a relação entre a função de corrente, Ψ(r,θ), e as 
componente de velocidade, v𝑟 e v𝜃, deve ser a seguinte: 
𝑣𝑟 =
1
𝑟
𝜕Ψ
𝜕𝜃
 Eq. 6.121 
𝑣𝜃 = −
𝜕Ψ
𝜕𝑟
 Eq. 6.122 
 
Exemplo 6.5 – Função de corrente 
Analise as linhas de corrente dado o campo de velocidade abaixo: 
�⃗� = 𝐴𝑥𝑖 − 𝐴𝑦𝑗 
Suponha que o escoamento é permanente e que o fluido é incompressível. 
De acordo com a expressão acima, o vetor velocidade possui as seguintes componentes: 
{
𝑢 = 𝐴𝑥
𝑣 = −𝐴𝑦
 
Para construir as linhas de corrente deste escoamento, precisamos determinar a função de 
corrente e definir valores constantes de Ψ. Sabendo que a relação entre a função de corrente e 
as componentes de velocidade é dada por: 
𝑢 =
𝜕Ψ
𝜕𝑦
 
𝑣 = −
𝜕Ψ
𝜕𝑥
 
podemos igualar as derivadas parciais às componentes de velocidade: 
𝑢 =
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝐴𝑥 (1) 
𝑣 = −
𝜕Ψ
𝜕𝑥
= −𝐴𝑦 (2) 
Usando a expressão (1), a função de corrente pode ser determinada como segue: 
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝐴𝑥 
𝜕Ψ = 𝐴𝑥𝜕𝑦 
 
∫𝜕Ψ = ∫𝐴𝑥𝜕𝑦 
Ψ = 𝐴𝑥 ∫𝜕𝑦 
Ψ = 𝐴𝑥𝑦 + 𝑓(𝑥) (3) 
A função 𝑓(𝑥) deve ser determinada para conhecer a função de corrente. Para isso, iremos 
derivar parcialmente a expressão (3) em relação a x: 
𝜕Ψ
𝜕𝑥
= 𝐴𝑦 + 𝑓′(𝑥) (4) 
Igualando as equações (2) e (4), temos que: 
𝑓′(𝑥) = 0 
ou seja, o valor de 𝑓(𝑥) é uma constante: 
𝑓(𝑥) = 𝐶 
Conhecendo o valor de 𝑓(𝑥), podemos obter a função de corrente: 
Ψ = 𝐴𝑥𝑦 + 𝐶 
Como o objetivo do problema é determinar as linhas de corrente através da função de corrente 
e sabendo que uma linha de corrente é definida a partir de um valor constante de Ψ, podemos 
então adotar qualquer arbitrário valor para a constante C, inclusive o valor zero. Assim a 
expressão da função de corrente pode ser reescrita como: 
Ψ = 𝐴𝑥𝑦 
ou seja: 
𝑦 = (
Ψ
𝐴
)
1
𝑥
 
Uma família de linhas de corretes pode ser obtida atribuindo diferentes valores constantes de Ψ 
(ex. Ψ1 = 0, Ψ2 = 1, Ψ3 = 2,5). Note que, para cada valor constante de Ψ, o gráfico da equação 
corresponde a uma hipérbole. Assim, as linhas de correntes são um conjunto de hipérboles e as 
linhas de correntes para Ψ = 0 (retas passando pelos eixos x e y) são assíntotas a este conjunto 
(ver figura abaixo). 
 
 
 
 
 
6.5 Função potencial 
A função potencial consiste em uma função escalar, representada pela letra grega ф (fi), 
para análise de escoamentos invíscidos, que satisfaz a condição de irrotacionalidade (ver item 
6.1.2). Em um escoamento irrotacional, cada componente do vetor velocidade angular é nulo. 
Assim, a condição de irrotacionalidade impõe uma relação específica para cada plano de 
escoamento. Por exemplo, em um escoamento irrotacional desenvolvido no plano x-y, a rotação 
em torno do eixo z é nula, levando a seguinte relação entre gradientes de velocidades: 
𝜔𝑧 =
1
2
(
𝜕𝑣
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
) = 0 Eq. 6.123 
ou seja, 
𝜕𝑣
𝜕𝑥
=
𝜕𝑢
𝜕𝑦
 Eq. 6.124 
Analogamente, outras relações de irrotacionalidade podem ser obtidas para os planos x-z 
e y-z: 
𝜕𝑢
𝜕𝑧
=
𝜕𝑤
𝜕𝑥
 (𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥𝑧) Eq. 6.125 
𝜕𝑣
𝜕𝑧
=
𝜕𝑤
𝜕𝑦
 (𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑦𝑧) Eq. 6.126 
Ψ = -2 Ψ = -1 Ψ = 1 Ψ = 2
 
A função potencial pode ser relacionada com os componentes do vetor velocidade, com 
a finalidade de satisfazer as relações entre os gradientes de velocidade obtidos a partir da 
condição de irrotacionalidade. Uma alternativa é fazer: 
𝑢 =
𝜕𝜙
𝜕𝑥
 Eq. 6.127 
𝑣 =
𝜕𝜙
𝜕𝑦
 Eq. 6.128 
𝑤 =
𝜕𝜙
𝜕𝑧
 Eq. 6.129 
Observe que estas expressões satisfazem a condição de irrotacionalidade dado, 
matematicamente, pelas Eq. 6.124, Eq. 6.125 e Eq. 6.126. Outra alternativa que também satisfaz 
a condição de irrotacionalidade é a seguinte: 
𝑢 = −
𝜕𝜙
𝜕𝑥
 Eq. 6.130 
𝑣 = −
𝜕𝜙
𝜕𝑦
 Eq. 6.131 
𝑤 = −
𝜕𝜙
𝜕𝑧
 Eq. 6.132 
O sinal negativo presente nas derivadas parciais é uma convenção que faz com que o valor 
de ф decresça com sentido positivo da velocidade. No entanto, as duas alternativas estão 
corretas e podem ser utilizadas na análise de escoamentos invísidos e irrotacionais. Neste livro, 
adotaremos as relações positivas por questões de simplicidade e visando facilitar entendimento. 
Tais relações podem ser escritas na forma vetorial como segue: 
�⃗� = ∇𝜙 Eq. 6.133 
 Isso significa que o vetor velocidade em um escoamento irrotacional também pode ser 
expresso pelo gradiente da função potencial. Por esta razão, a função potencial também é 
conhecida na literatura como potencial de velocidade. É importante ressaltar que a função 
potencial existe apenas para o escoamento irrotacional, já a função de corrente dispensa esta 
exigência uma vez que a função de corrente é uma consequência da conservação da massa. 
Outra diferença é que a função potencial pode ser aplicada em escoamentos tridimensionais, já 
a aplicação da função de corrente é restrita para escoamentos bidimensionais e incompressíveis. 
Se um escoamento irrotacional também satisfaz a condição de incompressibilidade, o 
escoamento é dito incompressível, invíscido e irrotacional (também conhecido como 
escoamento potencial). Para este caso muito específico, podemos descrever tal escoamento 
usando uma equação que pode ser obtida combinando a Eq. 6.133 com a equação da 
continuidade para um escoamento incompressível (∇ ∙ �⃗� = 0): 
 
∇2𝜙 = 0 Eq. 6.134 
onde ∇2 é conhecido como operador Laplaciano. A equação diferencial acima é conhecida 
como equação de Laplace e possui alta relevância modelarde comportamentos em vários 
fenômenos em diferentes áreas da Engenharia e da Física. A equação de Laplace escrita de 
forma expandida em coordenadas cartesianas é a seguinte: 
𝜕2𝜙
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝜙
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝜙
𝜕𝑧2
= 0 Eq. 6.135 
De forma análoga, podemos mostrar que a função de corrente também satisfaz a equação 
de Laplace, partindo a condição de irrotacionalidade no plano x-y: 
𝜕𝑣
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 0 Eq. 6.136 
Substituindo as equações 6.110 e 6.111 na expressão acima, podemos obter: 
𝜕2Ψ
𝜕𝑥2
+
𝜕2Ψ
𝜕𝑦2
= 0 Eq. 6.137 
Isto indica que tanto a função potencial como a função de corrente satisfazem a equação 
de Laplace. 
É possível também fazer uso de um sistema de coordenadas cilíndricas para facilitar a 
obtenção da função potencial. As relações entre a função potencial e os componentes do vetor 
velocidade em coordenadas cilíndricas são as seguintes: 
𝑣𝑟 =
𝜕𝜙
𝜕𝑟
 Eq. 6.138 
𝑣𝜃 =
1
𝑟
𝜕𝜙
𝜕𝜃
 Eq. 6.139 
𝑣𝑧 = 𝑤 =
𝜕𝜙
𝜕𝑧
 Eq. 6.140 
A equação de Laplace também pode ser escrita em coordenadas cilíndricas: 
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟
𝜕𝜙
𝜕𝑟
) +
1
𝑟2
𝜕2𝜙
𝜕𝜃2
+
𝜕2𝜙
𝜕𝑧2
= 0 Eq. 6.141 
 
Em escoamentos potenciais bidimensionais, podemos obtemos linhas potenciais 
assumindo diferentes valores constantes de ф, assim como fizemos para obter as linhas de 
corrente a partir da função de corrente. As linhas potenciais possuem uma relação próxima com 
as linhas de correntes. Para entender esta relação, considere uma variação do valor de ф, o qual 
pode, matematicamente, ser expresso por: 
 
𝑑𝜙 =
𝜕𝜙
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝜙
𝜕𝑦
𝑑𝑦 Eq. 6.142 
Substituindo a Eq. 6.127 e Eq. 6.128 na equação acima, podemos observar que: 
𝑑𝜙 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑣𝑑𝑦 Eq. 6.143 
Quando o valor de ф é constante, dф é igual a zero, resultando em: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
|
𝜙=𝑐𝑡𝑒
= −
𝑢
𝑣
 Eq. 6.144 
Por outro lado, a equação de uma linha de corrente é: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
|
Ψ=𝑐𝑡𝑒
=
𝑣
𝑢
 Eq. 6.145 
 As linhas de corrente e potenciais formam um sistema ortogonal, uma vez que as 
inclinações das linhas de corrente e potenciais são recíprocas negativas em qualquer 
intersecção, ou seja: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
|
𝜙=𝑐𝑡𝑒
= −
1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
|
Ψ=𝑐𝑡𝑒
 
Eq. 6.146 
 Desta forma, as linhas potenciais interceptam perpendicularmente as linhas de corrente 
em um escoamento potencial (incompressível, invíscido e irrotacional). 
 
Exemplo 6.6 – Função potencial 
Dada a função de corrente de um escoamento incompressível abaixo: 
Ψ = 𝑎𝑥2 − 𝑎𝑦2 
mostre que o mesmo é irrotacional e determine o seu potencial de velocidade . 
As componentes do vetor velocidade podem ser obtidas da seguinte maneira: 
𝑢 =
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= −2𝑎𝑦 
𝑣 = −
𝜕Ψ
𝜕𝑥
= −2𝑎𝑥 
Se o escoamento é irrotacional ω𝑧 = 0 e deve satisfazer a condição de irrotacionalidade: 
𝜕𝑣
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 0 
 
𝜕(−2𝑎𝑥)
𝜕𝑥
−
𝜕(−2𝑎𝑦)
𝜕𝑦
= 0 
−2𝑎 + 2𝑎 = 0 
ou seja, o escoamento é irrotacional. O potencial de velocidade é definido como: 
𝜕𝜙
𝜕𝑥
= 𝑢 = −2𝑎𝑦 (1) 
𝜕𝜙
𝜕𝑦
= 𝑣 = −2𝑎𝑥 (2) 
Usando a expressão (1), a função de corrente pode ser determinada como segue: 
𝜕𝜙
𝜕𝑥
= −2𝑎𝑦 
𝜕𝜙 = −2𝑎𝑦𝜕𝑥 
∫𝜕𝜙 = ∫−2𝑎𝑦𝜕𝑥 
𝜙 = −2𝑎𝑦∫𝜕𝑥 
𝜙 = −2𝑎𝑥𝑦 + 𝑓(𝑦) (3) 
A função 𝑓(𝑦) deve ser determinada para conhecer a função potencial. Para isso, iremos derivar 
parcialmente a expressão (3) em relação a y, como segue: 
𝜕𝜙
𝜕𝑦
= −2𝑎𝑥 + 𝑓′(𝑦) (4) 
Igualando as equações (2) e (4), temos que: 
2𝑎𝑥 + 𝑓′(𝑦) = −2𝑎𝑥 
𝑓′(𝑦) = 0 
ou seja, o valor de 𝑓(𝑦) é uma constante: 
𝑓(𝑦) = 𝐶 
Conhecendo o valor de 𝑓(𝑦), podemos obter a função de corrente: 
𝜙 = −2𝑎𝑥𝑦 + 𝐶 
 
 
 
 
6.6 Escoamentos potenciais planos elementares 
As funções de corrente e potencial são muito úteis na determinação gráfica de alguns 
escoamentos potenciais (i.e. invísido, incompressível e irrotacional) simples, tais como, o 
escoamento uniforme, do tipo vórtice, fonte, sorvedouro (também chamado de sumidouro) ou 
dipolo. Tais escoamentos apresentam funções de corrente e potencial conhecidas, facilitando 
bastante a análise de problemas de Engenharia relacionados a estes escoamentos no plano 
bidimensional. 
6.6.1 Escoamento uniforme 
O escoamento uniforme é o escoamento potencial elementar mais simples, aquele no qual 
o vetor velocidade tem suas características (módulo, direção, sentido) iguais para qualquer 
ponto no plano bidimensional onde está ocorrendo o escoamento (Figura 6.8a). Este 
escoamento resulta em linhas de corrente paralelas orientadas no sentido do vetor velocidade 
(Figura 6.8b). Considerando um escoamento uniforme horizontal (fluido escoamento da 
esquerda para a direita), os componentes do vetor velocidade são dados por: 
𝑢 = 𝑈 Eq. 6.147 
𝑣 = 0 Eq. 6.148 
onde U é uma constante. 
 
 
 
 (a) (b) 
Figura 6.8. (a) escoamento uniforme horizontal (da esquerda para a direita) e (b) suas linhas de 
correntes e potenciais. 
Para determinar a função potencial do escoamento uniforme horizontal fazemos: 
 
𝑢 =
𝜕𝜙
𝜕𝑥
= 𝑈 Eq. 6.149 
𝑣 =
𝜕𝜙
𝜕𝑦
= 0 Eq. 6.150 
Integrado as equações acima obtemos: 
𝜙 = 𝑈𝑥 + 𝐶 Eq. 6.151 
onde C é uma constante de integração, a qual pode ser escolhida arbitrariamente. Fazendo a 
constante C igual a zero, a função potencial para um escoamento uniforme horizontal pode ser 
reescrita como: 
𝜙 = 𝑈𝑥 Eq. 6.152 
 A função de corrente é obtida através da integração das expressões que relacionam a 
função de corrente com os componentes do vetor velocidade, de forma análoga à função 
potencial. 
𝑢 =
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑈 Eq. 6.153 
𝑣 = −
𝜕Ψ
𝜕𝑥
= 0 Eq. 6.154 
Integrando as expressões acima obtemos: 
Ψ = 𝑈𝑦 + 𝐷 Eq. 6.155 
onde D é uma constante arbitrária. Fazendo a constante D igual a zero, obtemos: 
Ψ = 𝑈𝑦 Eq. 6.156 
 Cabe ressaltar que as funções de corrente e potencial que acabam de ser apresentadas 
são válidas apenas para um escoamento uniforme horizontal. Em coordenadas polares, as 
funções de corrente e potencial de um escoamento uniforme podem ser escritas como segue: 
Ψ = 𝑈𝑟sen𝜃 Eq. 6.157 
𝜙 = 𝑈𝑟cos𝜃 Eq. 6.158 
 
Caso o escoamento uniforme ocorra em outra direção (i.e. inclinado com um ângulo α em 
relação à horizontal) no plano bidimensional, as expressões das funções de corrente e potencial 
são dadas por: 
Ψ = −𝑈𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑈𝑦 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 Eq. 6.159 
𝜙 = 𝑈𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑈𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝛼 Eq. 6.160 
 
 
6.6.2 Escoamento tipo vórtice 
O escoamento do tipo vórtice é um escoamento giratório (Figura 6.9a) onde as linhas 
de corrente apresentam um padrão circular ao redor de um centro de rotação (Figura 6.9b). Ele 
surge devido a diferença de pressão de duas regiões vizinhas. Quando isso ocorre o fluido tende 
a equilibrar o sistema e flui para a região de baixa pressão, gerando vorticidade. 
Este escoamento pode ser encontrado nos mais diversos locais da natureza, como em 
correntes circulares de água devido à diferença de densidade, ou como quando se mexe uma 
xícara de café, em furacões, tornados ou efeitos de ponta de asa. Este último é muito estudado 
pela indústria aeronáutica, pois sua geração aumenta o arrasto da aeronave. 
 
 
 (a) (b) 
Figura 6.9. (a) escoamento tipo vórtice (da esquerda para a direita) e (b) suas linhas de correntes e 
potenciais. 
Para este escoamento, as funções de corrente e potencial são dadas por: 
Ψ = −𝐾 ∙ 𝑙𝑛(𝑟) Eq. 6.161 
𝜙 = 𝐾 ∙ 𝜃 Eq. 6.162 
onde K é uma constante. Os componentes do vetor velocidade são dados por: 
𝑣𝑟 = 0 Eq. 6.163 
𝑣𝜃 =
𝐾
𝑟
 Eq. 6.164 
 Observe que quando r tende a zero (próximo à origem do sistema), 𝑣𝜃 tende ao infinito 
e o valor de 𝑣𝜃 decresce quando r aumenta. 
 
Surge agora uma questão paradoxal: se o escoamento tipo vórtice é circular, ele pode 
ser considerado irrotacional? Devemos observar que o termo “irrotacional” se refere ao 
comportamento de uma porção de fluido (partícula)e não ao caminho tomado por ele. Em um 
nível elementar (partícula de um fluido), o escoamento tipo vórtice é irrotacional porque as 
partículas apresentam uma trajetória circular, mas não rotacionam em torno do seu centro de 
massa. Um bom exemplo para entender esta questão é a visualização do comportamento das 
cadeiras de uma roda gigante, fazendo uma analogia ao movimento das partículas em um 
escoamento tipo vórtice. A roda gigante, como um corpo rígido, apresenta rotação em torno do 
eixo central. No entanto, as cadeiras da roda gigante apresentam uma trajetória circular, mas 
não rotacionam em torno do seu centro de gravidade 
 
 
(a) (b) 
Figura 6.10. (a) A roda gigante, como um corpo rígido, apresenta rotação em torno do eixo central. 
(b) No entanto, as cadeiras da roda gigante apresentam uma trajetória circular, mas não rotacionam em 
torno do seu centro de gravidade. 
 
6.6.3 Escoamento tipo fonte ou sorvedouro (sumidouro) 
Um campo de escoamento radialmente simétrico direcionado para fora de um ponto comum é 
chamado de escoamento tipo fonte (Figura 6.11a). O ponto comum central é a fonte onde as 
linhas de corrente divergem na direção radial em relação ao ponto central (Figura 6.11b). 
Conforme o fluido escoamento para fora da fonte, a área do escoamento aumenta (i.e. área útil 
de escoamento dado pelo comprimento da circunferência multiplicado pela profundidade 
unitária). Como resultado, para satisfazer a equação de continuidade, a velocidade diminui com 
o aumento da distância da fonte e as linhas de corrente se espalham. A velocidade é igual em 
 
todos os pontos situados a uma determinada distância da fonte (pontos em uma determinada 
circunferência). 
 
 (a) (b) 
Figura 6.11. Escoamento do tipo (a) fonte e (b) suas linhas de corrente e potencial. 
 
O escoamento tipo fonte é puramente radial, sem componente angular do vetor 
velocidade (i.e. 𝑣𝜃 = 0). Este escoamento é produzindo por uma vazão por unidade de 
profundidade, m, centrada na origem do sistema, a qual está relacionada à componente radial 
do vetor velocidade: 
𝑚 = 2𝜋𝑟 ∙ 𝑣𝑟, ou seja Eq. 6.165 
 
𝑣𝑟 =
𝑚
2𝜋𝑟
 Eq. 6.166 
 
A partir das componentes do vetor velocidade, podemos obter as funções de corrente e 
potencial para este escoamento. 
Ψ = 𝜃
𝑚
2𝜋
 Eq. 6.167 
𝜙 = 𝑙𝑛(𝑟)
𝑚
2𝜋
 Eq. 6.168 
Se m é negativo, temos um escoamento que flui em direção à origem do sistema 
chamado de escoamento tipo sorvedouro (Figura 6.12a), o qual tem linhas de corrente e 
potencial análogas ao escoamento tipo fonte (Figura 6.12b), porém no sentido contrário. 
 
 
 
 (a) (b) 
Figura 6.12. Escoamento do tipo (a) sorvedouro (sumidouro) e (b) suas linhas de corrente e potencial. 
 
6.7 Superposição de escoamentos 
Escoamentos potenciais elementares, tais como uniforme, do tipo vórtice, fonte e 
sumidouro, são raros de ser observados na natureza. No entanto, estes escoamentos são 
conceitualmente importantes, uma vez que eles servem como base para a representação de 
escoamentos potenciais mais próximos da realizada. Pela combinação destes escoamentos 
(princípio da superposição), nós podemos construir escoamentos mais complexos, os quais são 
significativos do ponto de vista físico e prático na Engenharia. 
No item 6.5, vimos que as funções de corrente e potencial satisfazem a equação de 
Laplace. Como a equação de Laplace é uma equação diferencial parcial linear e homogênea. 
Pelo princípio da linearidade, se A e B tem solução, mA + nB (onde m e n são constantes) 
também possui solução e, desta forma, podemos aplicar o princípio da superposição. Assim, se 
dois ou mais funções de corrente ou potencial satisfazem individualmente a equação de Laplace, 
a soma ou combinação destas funções de corrente ou potencial também satisfará a equação de 
Laplace, como pode ser visto abaixo: 
 Se {
𝜕2Ψ1
𝜕𝑥2
+
𝜕2Ψ1
𝜕𝑦2
= 0
𝜕2Ψ2
𝜕𝑥2
+
𝜕2Ψ2
𝜕𝑦2
= 0
⇒
𝜕2(Ψ1+Ψ2)
𝜕𝑥2 +
𝜕2(Ψ1+Ψ2)
𝜕𝑦2 = 0 Eq. 6.169 
Isto significa que novos escoamentos podem ser obtidos simplesmente somando as 
funções de corrente ou funções potencial de dois ou mais escoamentos planos elementares. 
Lembrando que como os escoamentos potenciais elementares são irrotacionais, o escoamento 
resultante da combinação de dois ou mais escoamentos elementares também será irrotacional. 
Além disso, como não há fluxo através de uma linha de corrente, qualquer contorno pode ser 
 
imaginado como representação de uma superfície sólida. Isto permite a visualização de 
escoamentos de interesse prático somando-se escoamentos simples. Na sequência 
demostraremos alguns escoamentos obtidos pela combinação de dois ou mais escoamentos 
potenciais elementares que possuem aplicações prática na área de Engenharia. 
 
6.7.1 Escoamento fonte-sumidouro e dipolo 
O escoamento tipo fonte-sumidouro é obtido pela superposição de um escoamento tipo 
fonte, localizado em 𝑥 = −𝑎, e um escoamento tipo sumidouro, localizado em 𝑥 = 𝑎, 
aproximando o par à origem de coordenadas. 
 
Figura 6.13. Superposição de um escoamento tipo fonte, localizado em 𝒙 = −𝒂, e um escoamento 
tipo sumidouro, localizado em 𝒙 = 𝒂. 
Pela combinação das funções de corrente de um escoamento tipo fonte e um escoamento 
tipo sumidouro, temos uma função de corrente resultante: 
Ψ = Ψ𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒 + Ψ𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜𝑢𝑟𝑜 Eq. 6.170 
Ψ = −
𝑚
2𝜋
(θ1 + θ2) Eq. 6.171 
Ao aplicar a função tangente dos dois lados da equação (após manipulação), temos: 
tan (
−2πΨ
𝑚
) = tan(θ1 + θ2) =
tanθ1 − tanθ2
1 + tanθ1tanθ2
 Eq. 6.172 
Da geometria sabemos que: 
tanθ1 =
𝑟 ∙ senθ
𝑟 ∙ cosθ − 𝑎
, tanθ2 =
𝑟 ∙ senθ
𝑟 ∙ cosθ − 𝑎
 Eq. 6.173 
Substituindo as equações acima na Eq. 6.170, obtemos: 
tan (
−2πΨ
𝑚
) =
2𝑎𝑟 ∙ senθ
𝑟2 − 𝑎2
 Eq. 6.174 
Tal que, 
 
Ψ = −
𝑚
2π
tan−1 (
2𝑎𝑟 ∙ senθ
𝑟2 − 𝑎2
) Eq. 6.175 
Quando a distância entre a fonte e o sumidouro se torna pequena, o valor da tangente do 
ângulo se aproxima do valor do ângulo, e a função de corrente tem uma forma mais simples: 
Ψ = −
𝑚𝑎𝑟 ∙ senθ
𝜋(𝑟2 − 𝑎2)
 Eq. 6.176 
 
O comportamento das linhas de correntes deste escoamento pode ser observado na Figura 
6.14. 
 
Figura 6.14. Linhas de corrente de um escoamento combinado fonte-sumidouro. 
 
O escoamento tipo dipolo é formado quando a distância entre a fonte e o sumidouro tende 
a zero, 𝑎 → 0, e no mesmo tempo 𝑚 → ∞, de forma que o produto 𝑚𝑎 𝑟⁄ seja igual a uma 
constante, 𝜆. Consequentemente, a função de corrente de um escoamento tipo dipolo é dada 
por: 
Ψ = −
𝜆 ∙ senθ
𝑟
 Eq. 6.177 
E a função potencial deste escoamento é dada por: 
𝜙 =
𝜆 ∙ cosθ
𝑟
 Eq. 6.178 
 
 
 
(a) (b) 
Figura 6.15. Escoamento do tipo (a) dipolo e (b) suas linhas de corrente e potencial. 
 
6.7.2 Escoamento uniforme-fonte 
A reprodução de um escoamento que ocorre na parte frontal de um corpo sólido (por 
exemplo, em um pilar de uma ponte), pode ser obtida pela combinação de um escoamento 
uniforme com um escoamento tipo fonte (Figura 6.16). 
 
 
PE 
 
Figura 6.16. Linhas de corrente (linhas azuis) do escoamento resultante da combinação de um 
escoamento uniforme e uma fonte centrada na origem do sistema de coordenadas. Linhas tracejadas 
horizontal e vertical representas os eixos x e y, respectivamente. Linha vermelha representa a linha de 
corrente que passa pelo ponto de estagnação (PE). 
 
A soma das funções de corrente destes dois escoamentos elementares é dada por: 
Ψ = Ψ𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 + Ψ𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒 Eq. 6.179 
Ψ = 𝑈𝑟sen𝜃 +
𝑚
2𝜋
𝜃 Eq. 6.180 
e a função potencial correspondente pode ser escrita como: 
𝜙 = 𝑈𝑟cos𝜃 +
𝑚
2𝜋
ln 𝑟 Eq. 6.181 
Um dos principais pontos para determinar a força resultante de pressão da interação 
fluido-sólido é a definição da linha de corrente quepassa pelo do ponto de estagnação (PE) do 
escoamento (ver Figura 6.16), isto é, onde o vetor velocidade é nulo. De maneira intuitiva, 
observamos que a localização do ponto de estagnação ocorrerá no eixo x. Sabemos que a fonte, 
localizada na origem do sistema de coordenadas, produz um fluxo radial de magnitude dada 
por: 
𝑣𝑟 =
𝑚
2𝜋𝑟
 Eq. 6.182 
e que o escoamento uniforme ocorre na direção positiva do eixo x, por meio de uma velocidade 
constante U. Quando esses dois escoamentos se anulam (i.e. quando o fluxo radial na direção 
negativa do eixo x cancela o escoamento uniforme), temos o ponto de estagnação. Assim, a 
localização do ponto de estagnação ocorrerá à esquerda do eixo x, em 𝑥 = −𝑏 (ou 𝑟 = 𝑏 p/ 
𝜃 = 𝜋). Consequentemente, 
𝑈 =
𝑚
2𝜋𝑏
 Eq. 6.183 
ou seja, 
𝑏 =
𝑚
2𝜋𝑈
 Eq. 6.184 
 Em 𝑥 = −𝑏 temos que 𝑟 = 𝑏 e 𝜃 = 𝜋. Substituindo estes valores na expressão da 
função de corrente (Eq. 6.180), podemos obter o valor da linha de corrente que passa pelo ponto 
de estagnação (PE). 
Ψ𝑃𝐸 =
𝑚
2
 Eq. 6.185 
 
 Assim a equação da linha de corrente que passa pelo ponto de estagnação é obtida como 
segue: 
𝑚
2
= 𝑈𝑟sen𝜃 +
𝑚
2𝜋
𝜃 Eq. 6.186 
como, 
𝑚 = 2𝜋𝑈𝑏 Eq. 6.187 
consequentemente, 
𝜋𝑈𝑏 = 𝑈𝑟sen𝜃 +
𝑚
2𝜋
𝜃 Eq. 6.188 
resultando em 
𝑟 =
𝑏(𝜋 − 𝜃)
sen𝜃
 ou 𝑦 = 𝑏(𝜋 − 𝜃) Eq. 6.189 
Esta linha de corrente que passa pelo ponto de estagnação pode ser imaginada como 
uma superfície sólida, onde podemos determinar a força resultante de pressão da interação 
fluido-sólido devido ao escoamento. Se ignorarmos as linhas de corrente dentro do “corpo 
sólido”, o escoamento será descrito apenas no contorno do “corpo sólido” mostrado na Figura 
6.17. Este corpo é referido como um meio-corpo Rankine como ele é um corpo "aberto" no lado 
direito. Os limites de 𝜃 para este corpo são de 0 a 2𝜋. Para estes limites de 𝜃, temos y variando 
de ±𝜋𝑏, o qual é chamado de largura do meio-corpo de Rankine. 
 
 
Figura 6.17. Esquema do contorno do meio-corpo de Rankine. 
 
As componentes do vetor velocidade para este escoamento são dadas por: 
 
𝑣𝑟 = 𝑈cos𝜃 +
𝑚
2𝜋𝑟
 Eq. 6.190 
𝑣𝜃 = −𝑈sen𝜃 Eq. 6.191 
 O quadrado do módulo do vetor velocidade se reduz a: 
𝑉2 = 𝑣𝑟
2 + 𝑣𝜃
2 = 𝑈2 (1 + 2
𝑏
𝑟
cos𝜃 +
𝑏2
𝑟2
) Eq. 6.192 
o qual nos permite calcular a pressão em qualquer ponto do domínio ou no próprio contorno 
sólido. Geralmente, aplicações aerodinâmicas envolvem velocidades e pressões significativas, 
e a contribuição devido a mudanças de elevação é insignificante. A pressão em qualquer ponto 
do sistema pode ser determinada através da equação de Bernoulli, a qual é aplicado entre dois 
pontos de uma mesma linha de corrente. Assim, se aplicarmos a equação de Bernoulli entre um 
ponto localizado à esquerda, afastado do corpo, onde a pressão é 𝑝0 e a velocidade é U, e em 
outro ponto arbitrário, onde a pressão é p e a velocidade é V, a equação de pressão assume uma 
forma simples: 
𝑝0 +
1
2
𝜌𝑈2 = 𝑝 +
1
2
𝜌𝑉2 Eq. 6.193 
 
6.7.3 Escoamento tipo Rankine Oval 
Vimos no item anterior que a combinação de um escoamento uniforme e um escoamento 
tipo fonte produz um escoamento no entorno de um meio-corpo aberto à direita. Mas como 
podemos reproduzir um escoamento no entorno de corpo fechado (Figura 6.18) usando uma 
combinação adequada de escoamentos potenciais elementares? É possível reproduzir este 
escoamento fazendo uma combinação mais complexa de três escoamentos potenciais 
elementares: uniforme, fonte e sumidouro. 
 
 
 
Figura 6.18. Linhas de corrente (linhas azuis) do escoamento resultante da combinação de um 
escoamento uniforme, fonte e sumidouro. Linha vermelha representa a linha de corrente que passa 
pelo ponto de estagnação (PE). 
A função de corrente para este escoamento é dada por: 
Ψ = Ψ𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 + Ψ𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒−𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜𝑢𝑟𝑜 Eq. 6.194 
Ψ = 𝑈𝑟sen𝜃 −
𝑚
2π
tan−1 (
2𝑎𝑟 ∙ senθ
𝑟2 − 𝑎2
) Eq. 6.195 
ou em coordenadas cartesianas, 
Ψ = 𝑈𝑦 −
𝑚
2π
tan−1 (
2𝑎𝑦
𝑥2 + 𝑦2 − 𝑎2
) Eq. 6.196 
 Fazendo Ψ = 0, podemos obter a linha de corrente que passa por dois pontos de 
estagnação do escoamento (linha vermelha da Figura 6.18). Esta linha de corrente pode ser 
imaginada como um corpo sólido, conhecido como corpo de Rankine oval (Figura 6.19). A 
distância entre a origem do sistema e os pontos de estagnação é conhecido como meio 
comprimento do corpo de Rankine oval, l, dado por: 
𝑙 = √
𝑚𝑎
𝜋𝑈
+ 𝑎2 Eq. 6.197 
onde a é a distância entre a origem e a fonte ou sumidouro. 
 
PE PE 
 
 
 
 
Figura 6.19. Esquema do contorno do corpo de Rankine oval. 
 Também é possível determinar a meia altura do corpo de Rankine oval, h. A expressão 
de h é dada por: 
ℎ =
ℎ2 + 𝑎2
2𝑎
tan (
2𝜋𝑈ℎ
𝑚
) Eq. 6.198 
 A solução da equação acima pode ser obtida utilizado um método iterativo, tal como o 
método de Newton-Raphson. 
 Estes corpos podem ser esticados em qualquer uma das duas direções. Quando esticado 
na direção x, obtém-se corpos elípticos com uma pequena meia altura em relação ao eixo y. A 
solução obtida pode ser uma boa aproximação do escoamento, especialmente se os efeitos 
viscosos forem pequenos. Por outro lado, uma meia altura considerável indicaria um corpo oval 
extenso na direção y, o qual seria propenso a efeitos viscoso como a separação. Nestes casos, 
dificilmente a solução obtida aqui pode ser aceita, pois é uma solução restrita à escoamentos 
potenciais (fluidos invíscidos). 
 
6.7.4 Escoamento ao redor de um cilindro 
Um escoamento ao redor de um cilindro (Figura 6.20) pode ser obtido a partir do 
escoamento tipo Rankine oval, fazendo com que a fonte e o sumidouro se aproximem da origem 
do sistema, formando um dipolo. 
 
PE 
PE 
l l 
 
 
(a) (b) 
Figura 6.20. (a) Esquema de um escoamento uniforme passando ao redor de um cilindro e (b) suas 
respectivas linhas de corrente. 
 
A função de corrente para este escoamento é dada por: 
Ψ = Ψ𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 + Ψ𝑑𝑖𝑝𝑜𝑙𝑜 Eq. 6.199 
Ψ = 𝑈𝑟sen𝜃 −
𝜆 ∙ senθ
𝑟
 Eq. 6.200 
e a função potencial correspondente pode ser escrita como: 
𝜙 = 𝑈𝑟cos𝜃 +
𝜆 ∙ cosθ
𝑟
 Eq. 6.201 
As componentes de velocidade são dadas por: 
𝑣𝑟 =
1
𝑟
𝜕Ψ
𝜕𝜃
= cos𝜃 (𝑈 −
𝜆
𝑟2
) Eq. 6.202 
𝑣𝜃 = −
𝜕Ψ
𝜕𝑟
= −sen𝜃 (𝑈 +
𝜆
𝑟2
) Eq. 6.203 
Fazendo Ψ = 0, podemos obter a linha de corrente que passa pelo ponto de estagnação 
do escoamento. Neste ponto de estagnação a velocidade radial é nula e 𝑟 = 𝑎. Usando a Eq. 
6.202, podemos determinar a localização do ponto de estagnação: 
𝑎2 =
𝜆
𝑈
 Eq. 6.204 
Conhecendo a relação acima, podemos reescrever as expressões das funções de corrente 
e potencial, bem como as componentes do vetor velocidade: 
Ψ = 𝑈𝑟 (1 −
𝑎2
𝑟2
) sen𝜃 Eq. 6.205 
𝜙 = 𝑈𝑟 (1 +
𝑎2
𝑟2
) cos𝜃 Eq. 6.206 
𝑣𝑟 = 𝑈(1 −
𝑎2
𝑟2
) cos𝜃 Eq. 6.207 
 
𝑣𝜃 = −𝑈(1 +
𝑎2
𝑟2
) sen𝜃 Eq. 6.208 
As componentes do vetor velocidade na superfície do cilindro são obtidas fazendo 𝑟 = 𝑎 
nas equações acima, resultando em: 
𝑣𝑟,𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 0 Eq. 6.209 
𝑣𝜃,𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = −2𝑈sen𝜃 Eq. 6.210 
Observe que para 𝜃 = 0 e 𝜃 = 𝜋 (direção horizontal) obtemos os pontos de estagnação e 
para 𝜃 = 𝜋 2⁄ e 𝜃 = 3𝜋 2⁄ (direção vertical) obtemos os pontos onde a velocidade é máxima, 
cujo o módulo é 2U, na superfície do cilindro. Ainda na direção vertical, note que a velocidade 
decresce à medida que se afasta da superfície do cilindro (Figura 6.21), de acordo com a 
Eq.6.208. 
 
 
 
Figura 6.21. Pontos de estagnação e perfil de velocidade na direção vertical do cilindro. 
A pressão em qualquer ponto do sistema pode ser determinada através da equação de 
Bernoulli, a qual é aplicado entre dois pontos de uma mesma linha de corrente. Assim, se 
aplicarmos a equação de Bernoulli na linha de corrente que passa pelos pontos de estagnação,entre um ponto localizado à esquerda, afastado do corpo, onde a pressão é 𝑝0 e a velocidade é 
U, e em um ponto localizado na superfície do cilindro, onde a pressão é 𝑝 = 𝑝𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 e a 
velocidade é 𝑉 = 𝑣𝜃,𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜, temos: 
𝑝0 +
1
2
𝜌𝑈2 = 𝑝𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 +
1
2
𝜌𝑣𝜃,𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
2 Eq. 6.211 
 
Substituindo a Eq. 6.210 na equação acima, podemos determinar pressão em um 
determinado ponto na superfície do cilindro: 
𝑝𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝑝0 +
1
2
𝜌𝑈2(1 − 4sen2𝜃) Eq. 6.212 
As componentes da força de pressão resultante por unidade de comprimento que atua 
sobre o cilindro podem ser obtidas através da integração ao longo da superfície do cilindro: 
𝐹𝑥 = −∫ 𝑝𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜cos𝜃
2𝜋
0
𝑎 𝑑𝜃 Eq. 6.213 
𝐹𝑦 = −∫ 𝑝𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜sen𝜃
2𝜋
0
𝑎 𝑑𝜃 Eq. 6.214 
onde 𝐹𝑥 é a força de arrasto e 𝐹𝑦 é a força de sustentação. 
 
 
6.8 Modelagem numérica 
As equações de Navier-Stokes não têm solução analítica direta e requer que as derivadas 
parciais contínuas sejam aproximadas por derivadas numéricas. Existem diversos métodos 
numéricos que podem ser aplicados com a finalidade de obter uma solução numérica próxima 
da solução exata (também chamada de solução analítica). Dentre os métodos numéricos mais 
aplicados nas equações de Navier-Stokes, destacam-se os métodos de diferenças finitas, 
elementos finitos e volumes finitos. Aqui, apresentaremos o método de volumes finitos 
considerando uma abordagem Euleriana-Lagrangiana, o qual vem mostrando bom desempenho, 
precisão, estabilidade e acurácia. O método de volumes finitos resolve as equações governantes 
para um número finito de ponto no espaço e no tempo. Este método necessita subdividir o 
domínio de aplicação em uma malha com um número finito de células tridimensionais 
(prismas). 
6.8.1 Equações governantes 
Na maioria das aplicações, as equações hidrodinâmicas tridimensionais utilizadas é uma 
adaptação das equações de Navier-Stokes para um escoamento turbulento sob a suposição de 
pressão hidrostática. Estas equações são baseadas na conservação da massa e quantidade de 
movimento em três dimensões. Em geral, é assumido que o fluido é incompressível e que a 
distribuição de pressão é hidrostática. Outra suposição comum é que não há estratificação de 
densidade ao longo da coluna d’água. Escrita na forma diferencial, as equações governantes 
hidrodinâmicas têm a forma: 
 
Eq. da continuidade: 
0
z
w
y
v
x
u
=


+


+


 
Eq. 6.215 
( )  ( ) 
0
y
vh
x
uh
t
=

+
+

+
+

 
 
Eq. 6.216 
Eq. do momento: 
fvuA
z
u
zx
g
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u 2
h ++









+


−=


+


+


+




 
Eq. 6.217 
fuvA
z
v
zy
g
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v 2
h −+









+


−=


+


+


+




 
Eq. 6.218 
onde u(x,y,z,t), v(x,y,z,t) e w(x,y,z,t) são as componentes da velocidade na direção horizontal x, 
y e vertical z; t é o tempo;  (x,y,t) é a elevação da superfície da água medida de um referencial 
conhecido; g é a aceleração da gravidade; h(x,y) é a profundidade da água medida de um 
referencial conhecido; 
jxix

+=
 é um operador vetorial no plano x-y; Ah e ν são os 
coeficientes de viscosidades turbulentas horizontal e vertical, respectivamente; f é o parâmetro 
de Coriolis. Dependendo do tipo de modelo escolhido, termos das equações acima podem ser 
simplificados. 
As condições de contorno na superfície livre são prescritas de acordo com as tensões de 
cisalhamento (
w
y
w
x , 
) provocadas pelo vento: 
,
z
v
,
z
u w
y
w
x  =


=


 
Eq. 6.219 
As condições de contorno na interface água-sedimento são prescritas de acordo com a 
tensão de cisalhamento no fundo através da fórmula de Manning-Chezy: 
 
,v
z
v
,u
z
u
 =


=


 
Eq. 6.220 
 
6.8.2 Solução numérica 
A equações governantes tridimensionais são discretizadas espacialmente em uma grade 
retangular que consiste em células computacionais quadradas com comprimento xD , largura 
yD
 e altura zD (
yx DD =
). A espessura de cada camada ( zD ) pode variar. A Figura 6.22 ilustra 
a malha computacional utilizada na discretização espacial. As variáveis hidrodinâmicas (u, v, 
w e  ) são calculadas em cada uma das células. Cada célula é numerada em seu centro, com os 
índices i, j e k, que se referem, respectivamente, à posição da célula nos eixos x, y e z. A elevação 
da superfície da água,  , está definida no centro da célula com um índice (i, j), e as velocidades 
u, v e w são definidas nas fronteiras médias das células, com índices (
k,j,i 2
1
), (
k,j,i 2
1
) 
e ( 2
1k,j,i 
), respectivamente. 
 
 
Figura 6.22. Diagrama esquemático da grade computacional utilizada no módulo hidrodinâmico. 
Considere h sendo a profundidade a partir de um nível de referência, η a elevação da superfície da água 
e u, v e w as componentes da velocidade da água nas direções x, y e z, respectivamente (Adaptado de 
(Casulli & Cheng, 1992)). 
O esquema numérico de discretização adotado é o semi-implícito, ou seja, alguns termos 
diferenciais são substituídos por diferenças finitas válidas para o tempo atual (discretização 
explícita), outros por diferenças finitas válidas para o tempo posterior (discretização implícita). 
Os termos que são tratados semi-implicitamente são os gradientes de elevação da superfície da 
água nas equações da quantidade de movimento 
( )yg,xg  
, o gradiente das 
velocidades na equação da continuidade 
( )yv,xu 
 e a velocidade dos termos de 
Δzi+1/2,j,k
wi,j,k+1/2
wi,j,k-1/2
ui-1/2,j,k ui+1/2,j,k
ηi,j
0
,1
2
h
x
wi,j,k+1/2
vi,j+1/2,k
ui+1/2,j,k
 
rugosidade junto ao fundo ( )v,u  . Os demais termos são discretizados explicitamente. Os 
termos semi-implícitos são escritos como: 
( )
( )
y
1
y
y
x
1
x
x
n
j,i
n
1j,i
1n
j,i
1n
1j,i
n
j,i
n
j,1i
1n
j,i
1n
j,1i
D


D


D


D


−
−+
−
=
−
−+
−
=
+
++
+
+
++
+
 
Eq. 6.221 
( )
( )
y
vv
1
y
vv
yv
x
uu
1
x
uu
xu
n
21j,i
n
21j,i
1n
21j,i
1n
21j,i
n
j,21i
n
j,21i
1n
j,21i
1n
j,21i
D

D

D

D

−+
+
−
+
+
−+
+
−
+
+
−
−+
−
=
−
−+
−
=
 
Eq. 6.222 
 
 
 
Figura 6.23. Esquema dos elementos integrantes das equações de movimento. 
 
Para um sistema com densidade constante, o método é estável para valores de θ maiores 
do que 0,5, e instável para valores de θ menores do que 0,5 (Casulli & Cattani, 1994). Estes 
mesmos autores verificaram que a medida que θ se aproxima de 0,5, a diagonal principal da 
matriz solução do sistema de equações torna-se crescentemente dominante, garantindo uma 
rápida convergência além de uma maior eficiência computacional na solução da matriz. 
Teoricamente, se θ for igual a 0,5, o método numérico permanece estável conduzindo o modelo 
a uma máxima precisão e eficiência da solução. Entretanto, para este valor (θ = 0,5), pequenas 
perturbações de onda podem se propagar indefinidamente ao longo do sistema. Portanto, em 
 
aplicações práticas, recomenda-se utilizar valores de θ compreendidos entre 0,55 e 0,60 (Wang, 
et al., 1998). 
Os termos advectivos nas equações da conservação da quantidade de movimento podem 
ser expressos como uma derivada substancial, D/Dt, calculada ao longo de uma linha de 
corrente. A derivada substancial é aproximada segundo um esquema Euleriano-Lagragiano 
(Casulli & Cattani, 1994), resultando em: 
t
Fuu
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
Dt
Du
1n
k,j,i
1n
k,j,i 2
1
2
1
D
−



+


+


+


=
+
+
+
+
 
 
Eq. 6.223 
 
t
Fvv
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
Dt
Dv
1n
k,j,i
1n
k,j,i 2
1
2
1
D
−



+


+


+


=
+
+
+
+
 
 
Eq. 6.224 
 
onde 
t
k,bj,ai
1t
k,j,i uFu
2
1 −−
+
+ = é o valor de u no intervalo de tempo n no ponto ( )k,bj,ai 2
1 −−+ 
que é trazido até o ponto ( )k,j,i 2
1+ no intervalon+1 e t
k,bj,ai
1t
k,j,i vFv
2
1 −−
+
+ = é o valor de v no 
intervalo de tempo n no ponto ( )t,bj,ai 2
1 −+− que é trazido até o ponto ( )t,j,i 2
1+ . 
Considera-se que os valores de k
k,bj,aiu −− e k
k,bj,aiv −- podem ser aproximados por uma 
interpolação bilinear (ver Figura 6.24) sobre os quatros pontos vizinhos inteiros da malha 
(Casulli & Cheng, 1992), através da seguinte equação: 
( ) ( ) 
( ) k
1mj,1ni
k
mj,1ni
k
1mj,ni
k
mj,ni
k
bj,ai
uquq1p
uquq1p1u
−−−−−−−
−−−−−−−
+−
++−−=
 
 
Eq. 6.225 
 
( ) ( ) 
( ) n
1mj,1ni
n
mj,1ni
n
1mj,ni
n
mj,ni
n
bj,ai
vqvq1p
vqvq1p1v
−−−−−−−
−−−−−−−
+−
++−−=
 
 
Eq. 6.226 
 
onde a = n + p e b = m + q, sendo que n e m são inteiros e 1q,p0  . 
 
Caixa 6.1 Interpolação Bilinear 
Interpolação bilinear é uma extensão da interpolação linear para funções interpoladas de duas 
variáveis (e.g. x e y) em uma grade regular. A ideia é realizar primeiro uma interpolação linear 
em uma direção e depois na outra direção. Embora cada passo seja linear, a interpolação como 
um todo não é linear e sim quadrática. 
 
Suponha que queremos encontrar o valor não conhecido de uma função f no ponto P = (x, y). É 
assumido que nós conhecemos o valor de f em quatro pontos da grade ao redor de P: Q11 = (x1, 
y1), Q12 = (x1, y2), Q21 = (x2, y1), e Q22 = (x2, y2). 
A expressão final para o valor de f em P é dado por: 
( )
( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )11
1212
22
12
1212
12
21
1212
21
22
1212
11
yyxx
yyxx
Qf
yyxx
yyxx
Qf
yyxx
yyxx
Qf
yyxx
yyxx
Qf
y,xf
−−
−−
+
−−
−−
+
−−
−−
+
−−
−−

 
 
 
 
Na prática, o valor de 1n
j,i 2
1Fu +
+
 e 1n
j,i 2
1Fv +
+ é calculado encontrando os valores de a e b, que 
correspondem à distância percorrida em x e y pelas partículas de água que estavam nos pontos 
( )bj,ai 2
1 −−+ e ( )bj,ai 2
1 −+− , e chegam aos pontos (i + 1/2, j) e (i, j + 1/2), 
respectivamente, em um intervalo de tempo (Figura 6.24). 
Isto é feito dividindo o intervalo de tempo em N subintervalos iguais ( N/tD= ) e 
calculando 1n
j,i 2
1Fu +
+
 e 1n
j,i 2
1Fv +
+ de forma iterativa e retroativa, atualizando a posição de cada 
partícula de água nas direções x e y através das seguintes equações: 
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e7/Bilinear_interpolation.png
 
( ) 1,2,...,2N,1N,Nsy,xuxx parassks1s −−=⎯⎯ →⎯−=− 
 
Eq. 6.227 
( ) 1,2,...,2N,1N,Nsy,xvyy parassks1s −−=⎯⎯ →⎯−=− 
 
Eq. 6.228 
onde uk(xs,ys) e vk(xs,ys) são calculados em cada subintervalo de tempo a partir da interpolação 
dos dados conhecidos na grade Euleriana. Então, o valor de a e b pode ser calculado através dos 
valores de x e y, e nos passos inicial e final do processo iterativo por: 
y
yy
be
x
xx
a
0N0N
D
−
=
D
−
= Eq. 6.229 
 
 
 
 
Figura 6.24 Esquema Euleriano-Lagrangiano aplicado aos termos convectivos das equações da 
conservação da quantidade de movimento. 
 
Portanto, a discretização numérica semi-implícita das equações governantes tem a 
seguinte forma: 
−












−

−=
=
+
−−
=
+
++
+
M
mk
1n
k,j,2
1ik,j,2
1i
M
mk
1n
k,j,2
1ik,j,2
1i
n
j,i
1n
j,i
uz
uz
x
t
D
D
D
D

 
+





−
=
+
−−
=
+
++
M
mk
1n
k,2
1j,ik,2
1j,i
M
mk
1n
k,2
1j,ik,2
1j,i
vzvz
y
t
DD
D
D

 
Eq. 6.230 
 
( ) +





−−−
=
−−
=
++
M
mk
n
k,j,2
1ik,j,2
1i
M
mk
n
k,j,2
1ik,j,2
1i
uzuz
x
t
1 DD
D
D

 
( ) 





−−−
=
−−
=
++
M
mk
n
k,2
1j,ik,2
1j,i
M
mk
n
k,2
1j,ik,2
1j,i
vzvz
y
t
1 DD
D
D

 
( )
( )( )
k,j,2
1i
2
1k,j,2
1i
1n
1k,j,2
1i
1n
k,j,2
1i
2
1k
2
1k,j,2
1i
1n
k,j,2
1i
1n
1k,j,2
1i
2
1k
n
j,i
n
j,1i
1n
j,i
1n
j,1in
k,j,2
1i
1n
k,j,2
1i
z
z
uu
z
uu
t
1x
t
gFuu
+
−+
+
−+
+
+
−
++
+
+
+
++
+
+
++
+
+
+
+
−
−
−
+








−−−
−
−=
D
D

D

D


D
D
 
Eq. 6.231 
( ) ( )( ) 
k,2
1j,i
2
1k,2
1j,i
1n
1k,2
1j,i
1n
k,2
1j,i
2
1k
2
1k,2
1j,i
1n
k,2
1j,i
1n
1k,2
1j,i
2
1k
n
j,i
n
1j,i
1n
j,i
1n
1j,i
n
k,2
1j,i
1n
k,2
1j,i
z
z
vv
z
vv
t
1
y
t
gFvv
+
−+
+
−+
+
+
−
++
+
+
+
++
+
+
++
++
+
+
−
−
−
+−−−−−=
D
D

D

D

D
D
 
Eq. 6.232 
onde m e M são referentes ao índice k, representando a camada de fundo e a de topo da grade 
vertical; 
k,j,2
1i
z
+
D
 e 
k,2
1j,i
z
+
D
 são as espessuras na camada de água k. 
Os valores de u e v na superfície livre e no fundo são eliminados pelas condições de 
contorno, as quais são escritas na forma de diferenças finitas: 
w
x
2
1M,j,2
1i
1n
M,j,2
1i
1n
1M,j,2
1i
2
1M,j,2
1i z
uu

D
 =
−
++
+
+
+
++
++
 
Eq. 6.233 
w
y
2
1M,2
1j,i
1n
M,2
1j,i
1n
1M,2
1j,i
2
1M,2
1j,i z
uu

D
 =
−
++
+
+
+
++
++
 
Eq. 6.234 
e: 
1n
m,j,2
1i
2
1n
m,j,2
1i
2
1m,j,2
1i
1n
1m,j,2
1i
1n
m,j,2
1i
2
1m,j,2
1i
u
z
uu
+
+
+
+
−+
+
−+
+
+
−+
=
−

D

 
Eq. 6.235 
 
1n
m,2
1j,i
2
1n
m,2
1j,i
2
1m,2
1j,i
1n
1m,2
1j,i
1n
m,2
1j,i
2
1m,2
1j,i
v
z
uu
+
+
+
+
−+
+
−+
+
+
−+
=
−

D

 
Eq. 6.236 
onde 
2
2
1n
2
2
1n
Z
2
1n
vuCg 





+





=
+++

, sendo: 
( ) -
x2
t
guu n
j,i
n
j,1i
1n
m,j,2
1i
2
1n
m,j,2
1i

D
D
+
+
+
+
+
−=
 
Eq. 6.237 
( ) -
y2
t
gvv n
j,i
n
1j,i
1n
m,2
1j,i
2
1n
m,2
1j,i

D
D
+
+
+
+
+
−=
 
Eq. 6.238 
 
O domínio é discretizado em zyx NNN 
 células computacionais que resulta em um 
sistema linear de 
( )1N2NN zyx +
 equações. Este sistema de equações é decomposto em: (a) 
um conjunto de yx NN2 
 sistemas triagonais independente de zN equações e (b) um sistema 
pentagonal de yx NN 
 equações. Para isso, a Eq. 6.230, Eq. 6.231 e Eq. 6.232 são escritas em 
forma matricial: 














−





−= +
−−
+
++
+ 1n
j,2
1i
T
n
j,2
1i
1n
j,2
1i
T
n
j,2
1i
n
j,i
1n
j,i uzuz
x
t 
DD
D
D

 














−





− +
−−
+
++
1n
2
1j,i
T
n
2
1j,i
1n
2
1j,i
T
n
2
1j,i
vzvz
y
t 
DD
D
D

 
Eq. 6.239 
( )  n
j,2
1i
1n
j,i
1n
j,1i
n
j,2
1i
1n
j,2
1i
n
j,2
1i
z
x
t
gGuA
+
++
++
+
++
−−=

D
D
D
 
Eq. 6.240 
( )  n
2
1j,i
1n
j,i
1n
1j,i
n
2
1j,i
1n
2
1j,i
n
2
1j,i
z
y
t
gGvA
+
++
++
+
++
−−=

D
D
D
 
Eq. 6.241 
onde u

, v

,  , z

D , A

 e G

são definidos como: 
 
 






















=
+
+
+
++
+
−+
+
+
+
+
1n
m,j,2
1i
1n
1m,j,2
1i
1n
1M,j,2
1i
1n
M,j,2
1i
1n
j,2
1i
u
u
u
u
u 

, 






















=
+
+
+
++
+
−+
+
+
+
+
1n
m,2
1j,i
1n
1m,2
1j,i
1n
1M,2
1j,i
1n
M,2
1j,i
1n
j,2
1i
v
v
v
v
v 

, 


















=
+
−
m
1m
1M
M
z
z
z
z
z
D
D
D
D
D 

 
 
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) 































−−−






−−−






−−−
+





−−−
=
+
+
+
+
+
+++
+
+
−+−
+
+
+
+
+
n
j,i
n
j,1i
1n
m,j,2
1im
n
j,i
n
j,1i
1n
1m,j,2
1i1m
n
j,i
n
j,1i
1n
1M,j,2
1i1M
w
x
n
j,i
n
j,1i
1n
M,j,2
1iM
1n
j,2
1i
1
x
t
gFuz
1
x
t
gFuz
1
x
t
gFuz
t1
x
t
gFuz
G

D
D
D

D
D
D

D
D
D
D
D
D
D


 
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) 

































−−−






−−−






−−−
+





−−−
=
+
+
+
+
+
+++
+
+
−+−
+
+
+
+
+
n
j,i
n
1j,i
1n
m,j,2
1im
n
j,i
n
1j,i
1n
1m,j,2
1i1m
n
j,i
n
1j,i
1n
1M,2
1j,i1M
w
y
n
j,i
n
1j,i
1n
M,2
1j,iM
1n
2
1j,i
1
y
t
gFvz
1
y
t
gFvz
1
y
t
gFvz
t1
y
t
gFvz
G

D
D
D

D
D
D

D
D
D
D
D
D
D


 













−





−














−





−=
−−++
−−++
n
2
1j,i
T
n
j,2
1i
n
2
1j,i
T
n
2
1j,i
n
j,2
1i
T
n
j,2
1i
n
j,2
1i
T
n
j,2
1i
n
j,i
n
j,i
vzvz
y
t
uzuz
x
t


DD
D
D

DD
D
D

 
 














+−
−
−++−
−+
=
++
+
−−−−
−−
21mm21m
21m
23M23M21MM21M
21M21MM
z0
z
0z
A
D

D
D





 
sendo kkk zt DD =
. 
 
 Isolando as matrizes 
1k
2
1j,i
u +
+
 e 
1k
2
1j,i
v +
+

, e em seguida substituindo-as na equação da 
continuidade discretizada, obtêm-se uma equação do tipo: 
( )  ( )
( )  ( )
( )  ( )
( )  ( )
( )  ( )
( )  ( )
( )  ( )
( )  ( )












−−
−
−












−−
−
−=












−−
−
−












−−
−
−
−
−
−
+
+
−
−
−
−
+
+
−
+
−
+
−
−
++
+
+
−
+
−
+
−
−
++
+
+
−
+
n
1j,i
n
j,i
n
2
1j,i
1T
n
j,i
n
1j,i
n
2
1j,i
1T
n
j,1i
n
j,i
n
j,2
1i
1T
n
j,i
n
j,1i
n
j,2
1i
1T
n
j,i
1n
1j,i
1n
j,i
n
2
1j,i
1T
1n
j,i
1n
1j,i
n
2
1j,i
1T
2
2
2
1n
j,1i
1n
j,i
n
j,2
1i
1T
1n
j,i
1n
j,1i
n
j,2
1i
1T
2
2
21n
j,i
GAz
GAz
y
t
GAz
GAz
x
t
zAz
zAz
y
t
zAz
zAz
x
t
D
D
D
D

D
D
D
D

DD
DD
D
D

DD
DD
D
D









 
Eq. 6.242 
Esta equação resulta em um sistema pentagonal linear de equações que é resolvido 
utilizando o método dos gradientes conjugados pré-condicionado (Press et al., 1993). A matriz 
resultante é positiva definida e tem uma única solução quando 
0H n
j,2
1i


 e 
0H n
2
1j,i


. 
 Uma vez que as novas elevações da superfície da água foram determinadas, utiliza-se a 
Eq. 6.231 e Eq. 6.232 para obter as velocidades no tempo n+1. Por fim, discretizando a equação 
da continuidade, a componente vertical da velocidade, w, no tempo n+1 é: 
y
vzvz
x
uzuz
ww
1n
k,21j,i
n
k,21j,i
1n
k,21j,i
n
k,21j,i
1n
k,j,21i
n
k,j,21i
1n
k,j,21i
n
k,j,21i
1n
21k,j,i
1n
21k,j,i
D
DD
D
DD
+
−−
+
++
+
−−
+
++
+
−
+
+
−
−
−
−
=
 
Eq. 6.243 
 
Para o caso de alguma célula computacional não ser inundada perenemente, ou seja, em 
que ora esteja seca e ora esteja molhada, seria preciso incorporar no modelo numérico um 
algoritmo que representasse este processo, semelhante ao desenvolvido por (Paz, 2003). 
 
 
6.8.2 Condições de contorno e inicial 
Na resolução do sistema de equações diferenciais parciais, além da necessidade de 
recorrer a métodos numéricos, é necessário formalizar as condições iniciais e de contornos do 
sistema. Normalmente, uma vez que é difícil obter medidas ao longo do sistema que venha a 
caracterizar um estágio da circulação, as condições iniciais são arbitrárias e, usualmente, são 
consideradas as velocidades u e v iguais a zero e o nível d'água  inicial constante, definido 
pelo usuário, ao longo do sistema. Esta consideração leva a um resultado falso nas primeiras 
iterações, mas tende ao resultado real à medida que as iterações se sucedem, geralmente em um 
período de simulação correspondente a um ciclo de maré em simulações de estuários (Fragoso 
Jr., et al., 2009), fato que pode consumir muito tempo computacional em alguns casos, 
dependendo da discretização espacial e temporal. 
As condições de contorno serão estabelecidas de maneira a melhor se aproximar das 
condições reais. Ao longo da costa, que forma o contorno terra-água do sistema, a condição 
usada no contorno foi a de fluxo nulo, a componente da velocidade normal ao contorno é nula. 
Analogamente, esta condição será também aplicada às fronteiras internas do sistema, e.g., nas 
ilhas. Se o sistema está sujeito a uma variação de nível (e.g. maré), então a variação de nível 
deve ser imposta ao longo de uma linha ou região, como no contato entre um rio e o oceano. A 
intensidade e direção do vento também devem ser impostas pelo usuário ao longo do sistema. 
Nos trechos de fronteiras do sistema representando entrada ou saída de rios ou canais, além da 
prescrição da velocidade ser diferente de zero ao trecho de fronteira em questão, há também 
que se prescrever a componente tangencial, usualmente zero, de acordo com (Rosman, 1999). 
 
 
Exercícios 
P6.1. A componente da velocidade ao longo de eixo x (Figura P6.1) é u(x) = 10 – 40/x2 m/s. 
Qual é o raio do cilindro? Faça uma aproximação para a componente y da velocidade no ponto 
(-3; 0,1), supondo um escoamento incompressível. As coordenadas estão em metros. 
 
Figura P6.1 
 
P6.2. O campo de velocidade é dado por u = 30(y - 24y2) ft/s, v = w = 0. Mostre as componentes 
de tensão no ponto y = 0,1 in, usando μ = 10-5 lb.s/ft2 e p = 30 psi. Encontre a razão τxy / σxx. 
 
P6.3. O campo de velocidade perto da superfície é aproximado por u = 10(2y/δ - y2/δ2), em que 
δ = C.x4/5. Se δ = 8 m em x = 1000 m, encontre v(x, y), supondo que w = 0 e v(x, 0) = 0. Mostre 
também as componentes de tensão em (1000, 0) usando μ = 2.10-5 N.s/m2 e p = 100 kPa. 
Suponha um escoamento incompressível. 
 
P6.4. Simplifique as equações de Navier-Stokes para um escoamento permanente e 
incompressível entre placas paralelas horizontais, supondo que u = u(y) e w = 0. Escreva todas 
as três equações. 
 
P6.5. Um fluido escoa no pequeno intervalo entre esferas girando concentricamente, tal que, vθ 
= vθ(r) e vφ = 0. Simplifique as equações de Navier-Stokes, desprezando a gravidade para um 
escoamento permanente e incompressível. 
 
P6.6. Considere um escoamento em regime permanente, incompressível, paralelo e laminar, de 
uma película de óleo escoando lentamente para baixo em uma parede vertical infinita 
(Figura P6.6). A espessura da película de óleo é h, e a gravidade age na direção negativa de z. 
 
Não há pressão aplicada (forçada) impulsionando o escoamento – o óleo cai apenas por 
gravidade. Calcule os campos de velocidades de pressão na película de óleo e desenhe o perfil 
de velocidade normalizado. Você pode desprezar as variações na pressão hidrostática do ar ao 
redor. 
 
Figura P6.6 
P6.7. Considere o escoamento permanente de água através de um bocal axissimétrico de 
mangueira de jardim (Figura P6.7). A componente axial da velocidade aumenta linearmente de 
uz,entrada a uz,saída conforme está representado na figura abaixo. Entre z = 0 e z = L, a componente 
é dada por uz = uz,entrada + [(uz,saída - uz,entrada)/L]z. Encontre uma expressão para a componente 
da velocidade radial ur entre z = 0 e z = L. Você pode ignorar os efeitos de atrito nas paredes. 
 
 
Figura P6.7 
P6.8. Considere um escoamento Couette completamente desenvolvido entre duas placas 
paralelas e infinitas separadas pela distância h, com a placa superior em movimento e a placa 
inferior fixa conforme está ilustrado na Figura P6.8. O escoamento é permanente, 
incompressível, e bidimensional no plano xy. O campo de velocidade é dado por (u, v) = (V.y/h, 
0). Encontre uma expressão para a função corrente Ψ ao logo da reta vertical tracejada. Por 
 
conveniência, faça Ψ = 0 ao longo da parede inferior do canal. Qual é o valor de Ψ ao longo da 
parede superior? 
 
Figura P6.8 
 
P6.9. Considere um escoamento permanente, incompressível, laminar de um fluido newtoniano 
em um tubo redondo infinitamente longo de diâmetro D ou raio R = D/2 inclinado de um ângulo 
𝛼 (Figura P6.9). Não há gradiente de pressão aplicado. Em vez disso, o fluido escoa somente 
devido à gravidade. Adotamos o sistema de coordenadas mostrado, com x paralelo ao eixo do 
tubo. Deduza uma expressão para a componente da velocidade u como uma função do raio r e 
dos outros parâmetros do problema. Calcule a velocidade axial média através do tubo. 
 
 
Figura P6.9 
P6.10. A função corrente de um certo escoamento é dada por Ψ = 𝐴𝜃 + 𝐵𝑟sen𝜃 onde A e B 
são constantes. Determine o potencial de velocidadedeste escoamento e localize os possíveis 
pontos de estagnação do escoamento. 
 
P6.11. O potencial de velocidade de um campo de escoamento invíscido é 𝜙 = −(3𝑥2𝑦 − 𝑦3), 
onde x e y são dados em metros e 𝜙 é expresso em m²/s. Determine a diferença entre as pressões 
nos pontos (x = 1 m, y = 2 m) e (x = 4 m, y = 4 m). Admita que o escoamento é de água e que 
os efeitos das forças de campo são desprezíveis. 
 
 
12. A velocidade de uma partícula fluida que se desloca ao longo da linha de corrente horizontal 
coincidente com o eixo x de um escoamento bidimensional e incompressível é dada por u = x². 
Determine, ao longo desta linha de corrente, a expressão para: (a) a taxa de variação da 
componente do vetor velocidade v em relação a coordenada y, (b) a aceleração da partícula e 
(c) o gradiente de pressão na direção x. Admita que o fluido é Newtoniano. 
 
P6.13. A distância entre duas placas horizontais, infinitas e paralelas é b. Um líquido viscoso 
ocupa o espaço delimitado pelas placas. Admita que a placa inferior é imóvel, que a placa 
superior apresenta velocidade U e que o gradiente de pressão é nulo. (a) Determine a 
distribuição de velocidade do escoamento entre as placas utilizando a equação de Navier-
Stokes. (b) Determine uma expressão para a vazão do escoamento entre as placas (por unidade 
de largura da placa). Expresse seu resultado em função de b e U. 
 
P6.14. Óleo SAE 30 a 15,6ºC escoa em regime permanente no canal formado por duas placas 
paralelas, horizontais e imóveis. A perda de pressão por unidade de comprimento do canal é 
igual a 30 kPa/m e a distância entre as placas é 4 mm. O escoamento é laminar. Determine: (a) 
a vazão em volume por unidade de comprimento do canal, (b) o módulo e o sentido da tensão 
de cisalhamento que atua na placa inferior do canal e (c ) a velocidade do escoamento no plano 
central do canal. 
 
P6.15. distância entre duas placas paralelas e horizontais é 5 mm. Um fluido viscoso (densidade 
= 0,9 e viscosidade dinâmica = 0,38 N.s/m²) escoa entre as placas com velocidade média de 
0,27 m/s. Determine a queda de pressão deste escoamento por unidade de comprimento na 
direção do escoamento. Qual é a velocidade máxima deste escoamento? 
 
P6.16. Uma lâmina de fluido viscoso, com espessura constante, escoa em regime permanente 
num plano infinito e inclinado (a velocidade perpendicular a placa é nula). Utilize as equações 
de Navier-Stokes para obter uma equação que relacione a espessura da lâmina com a vazão no 
filme (por unidade de comprimento). O escoamento é laminar e a tensão de cisalhamento na 
superfície livre da lâmina é nula. 
 
 
P6.17. A Figura P6.17 mostra duas placas infinitas, paralelas e horizontais. O espaço entre as 
placas está preenchido com um fluido viscoso e incompressível. Os valores das velocidades e 
os sentidos dos movimentos das placas são os mostrados na figura. O gradiente de pressão na 
direção x é nulo e a única força de campo é a devida a ação da gravidade. Utilize as equações 
de Navier-Stokes para determinar o perfil de velocidade do escoamento entre as placas. Admita 
que o escoamento é laminar. 
 
Figura P6.17 
 
P6.18. Dois fluidos imiscíveis, incompressíveis e viscosos escoam entre as placas infinitas, 
paralelas e horizontais mostradas na Figura P6.18. As massas específicas dos fluidos são iguais, 
mas as viscosidades são diferentes. A placa inferior é imóvel e a superior apresenta o 
movimento indicado na figura. Determine a velocidade na interface dos fluidos. Expresse seus 
resultados em função de U, μ1 e μ2. O escoamento é promovido apenas pelo movimento da placa 
superior, ou seja, não existe gradiente de pressão na direção x. Os perfis de velocidade e de 
tensão de cisalhamento são contínuos na interface entre os fluidos. Admita que o escoamento é 
laminar. 
 
Figura P6.18 
 
P6.19. Um fluido viscoso está contido entre dois cilindros infinitos, verticais e concêntricos. O 
cilindro externo apresenta raio re e rotaciona com uma velocidade angular 𝜔. O cilindro interno 
é imóvel e apresenta raio ri. Utilize as equações de Navier-Stokes para obter uma solução exata 
da distribuição de velocidade do escoamento entre os cilindros. Admita que a única força de 
campo é a devida a ação da gravidade, que o escoamento é axissimétrico (tanto a velocidade 
quanto a pressão não dependem da posição angular teta) e que o único componente do vetor 
velocidade do escoamento é o tangencial. 
 
P6.20. Estime a vazão em um trecho pequeno de um canal retangular de 2 m largura 
(Figura P6.20). O nível da água dentro do canal é 10 cm e declividade do canal no trecho é de 
0,0085 m/m. Considere o escoamento em regime permanente. 
 
Figura P6.20 
 
P6.21. Um líquido (massa específica = 922 kg/m3, viscosidade dinâmica = 0,77 N.s/m2) escoa 
em regime permanente no espaço anular formado por dois cilindros horizontais, imóveis e 
concêntricos (Figura P6.21). O raio do cilindro interno é 76 mm e o do cilindro externo é de 
127 mm. Determine: (a) a velocidade média do escoamento; e (b) a queda de pressão por 
unidade de comprimento de canal quando a vazão for igual a 9,18 m3/hora. 
 
Figura P6.21 
 
 
10 cm 
2 m 
 
de 
sentido do escoamento 
di 
 
P6.22. Um fluido viscoso (densidade relativa = 0,9 e viscosidade dinâmica =0,38 N.s/m2) escoa 
dentro de duas placas paralelas inclinadas em relação a horizontal com uma velocidade média 
de 0,30 m/s (Figura P6.22). A distância entre as placas é de 50 cm e a declividade em relação a 
horizontal é de 0,008 m/m. Determine: (a) a velocidade máxima deste escoamento; (b) a queda 
de pressão deste escoamento por unidade de comprimento na direção do escoamento. 
 
Figura P6.22 
 
P6.23. Óleo com uma densidade de 850 kg/m3 e viscosidade cinemática de 0,00062 m2/s está 
sendo descarregado por um tubo horizontal de 40 m de comprimento e 5 mm de diâmetro a 
partir de um tanque de armazenamento aberto com a atmosfera (Figura P6.23). A altura do nível 
do óleo acima do centro do tubo é de 3 m. Determine a tensão de cisalhamento na parede do 
tubo com a finalidade de escolher o tipo de tubulação (PVC, ferro fundido, etc). 
 
Figura P6.23 
 
P6.24. Considere um escoamento laminar, totalmente desenvolvido, em regime permanente, de 
um fluido newtoniano com massa específica ρ e viscosidade µ constantes, entre duas placas 
 
 
paralelas e horizontais, de grandes dimensões e separadas por uma distância h pequena. As duas 
placas estão se movendo com velocidades distintas: a superior, Vu, e a inferior, Vb. Considere 
o escoamento unidirecional na direção x. Determine: 
a) enuncie todas as idealizações com as quais o problema é resolvido, explicando brevemente 
onde se enquadra cada um delas 
b) mostre como fica a equação de Navier-Stokes nas três direções 
c) escreva a equação do perfil de velocidade. 
c) ache a expressão para a vazão 
d) qual a distribuição da tensão de cisalhamento? 
 
P6.25. Todo escoamento viscoso e externo, ao passa sobre uma superfície horizontal plana, gera 
uma camada de espessura pequena chamada camada-limite. Uma aproximação útil para a 
componente x da velocidade num escoamento laminar e incompressível, de camada-limite, é 
uma variação parabólica de u = 0 na superfície (y = 0) até a velocidade de corrente livre 
constante U0, na borda da camada-limite (y = ε). A equação do perfil é 
𝒖
𝑼𝟎
= 𝟐(
𝒚
𝜺
) −
𝟏
𝟑
(
𝒚
𝜺
)
𝟐
 
onde 𝜺 = 𝒄. 𝐱𝟏/𝟐 e c é uma constante. 
a) determine a constante de velocidade da direção perpendicular ao escoamento. 
b) determine a função de corrente na região da camada-limite. 
c) determine a vazão entre duas linhas de correntes constantes com valores inteiros. 
d) esboce as linhas de correntes em um desenho. 
 
P6.26. Uma fonte-dipolo bidimensional na origem produz um escoamento incompressível e 
permanente, onde a função de corrente é dada por: 
𝜓 =
𝑦
𝑥2 + 𝑦2
 
Determine: 
a) as componentesde velocidade do campo de escoamento 
b) a função potencial 
c) a vazão que passa na seção transversal dada pelos pontos A(x = 1, y = 1) e B(x = 1, y = 0) 
 
d) a direção do movimento de uma partícula fluida no ponto x = 6 e y = 9 
e) a pressão no ponto C(x = 1/2, y = 1/2), sabendo que a pressão no ponto D(x = 0, y = 1) é 
igual a 300 kPa. 
 
P6.27. A rampa de um vertedor, com inclinação de 50⁰ com a horizontal, foi projetada para 
passa uma vazão máxima de até 62,5 m3/s e uma lâmina d'água máxima (h) de até 3 m 
(Figura P6.27). Se a largura da rampa (L) é de 17 m, calcule a velocidade na superfície da água 
(U0) para as condições limite de projeto. Considere o escoamento incompressível, laminar e 
que a viscosidade nas paredes verticais da rampa é nula. 
 
Figura P6.27 
P6.28. A Figura P6.28a mostra a vista superior de um trecho da costa marinha sujeito a um 
escoamento de água salgada representado pela função de corrente ψ = 4r2 sen(2θ). Considere 
agora que existe uma fonte de água doce jorrando, com vazão por unidade de comprimento, m, 
posicionada na origem do sistema expelindo a água salgada para fora da costa (Figura P6.28b). 
Existe um ponto de estagnação localizado em y = L. 
 
 Figura P6.28a Figura P6.28b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h 
x 
y 
direção do escoamento 
Vista lateral da rampa Vista frontal da rampa 
h 
L 
y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
r 
θ 
x 
y 
Água doce 
Água salgada 
Água salgada 
Fonte de 
Água doce 
L 
 
Determine: 
a) a função de corrente e potencial do campo da Figura 13b 
b) a vazão por unidade de comprimento, m, necessária para fazer com que a água salgada se 
afaste da origem 5 m (L = 5 m) 
c) o valor da linha de corrente que separa a água doce da água salgada (linha de separação). 
d) o módulo da velocidade da água na linha de separação, para x = 20 m 
e) a diferença de pressão entre o ponto de estagnação e o ponto da letra (d). 
 
P6.29. Um campo de escoamento é formado pela combinação de um escoamento uniforme no 
sentido positivo de x, com U = 10 m/s, e um vórtice anti-horário, com intensidade K = 4π m2/s, 
localizado na origem. Obtenha a função de corrente e localize os pontos de estagnação do 
escoamento. 
 
P6.30. Existem vários problemas na Engenharia nos quais um escoamento uniforme encontra 
um cilindro circular alinhado com de forma normal ao escoamento (Figura P6.30). Exemplos 
incluem o ar que escoa no entorno de uma antena de carro, vento que sobra uma haste de 
bandeira, correntes oceânicas que escoam ao redor de cabos de ancoragem de plataformas de 
petróleo, etc. Em todos estes casos, o escoamento próximo da superfície do cilindro é não 
permanente e, tipicamente, turbulento. No entanto, o escoamento na metade frontal do cilindro 
é muito mais permanente e previsível. Exceto para uma fina camada próxima à superfície do 
cilindro, o escoamento pode ser aproximado pelas seguintes componentes de velocidade no 
plano xy (sistema de coordenadas cartesiano) ou no plano rθ (sistema de coordenadas polar). 
 
 
Figura P6.30 
Determine: 
a) o campo de escoamento pode ser considerado rotacional ou irrotacional? 
b) determine as funções de corrente e potencial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Análise Dimensional e Semelhança 
No capítulo anterior vimos que para a maior parte dos escoamentos reais, as equações do 
escoamento em forma diferencial são muito complexas (não lineares) para serem resolvidas de 
maneira analítica. Além disso, a solução obtida pode não ser única. Devido à este complexidade, 
sugiu a necessidade de experimentos reais ou numéricos através da Dinâmica dos Fluidos 
Computacional (CFD ou Computational Fluid Dynamics) para obter soluções de escoamentos 
reais. Atualmente, a Dinâmica dos Fluidos Computacional é bem desenvolvida e modelos 
matemáticos podem ser estabelecidos com base nas equações de conservação da quantidade de 
movimento, da massa e da energia (ver exemplo no item 6.8). Estas equações, quando 
submetidas a condições de contorno e iniciais apropriadas, representam, matematicamente, um 
problema particular nas áreas de de aerodinâmica, termodinâmica, hidráulica, dentre outros 
(Shames, Irving Herman, 1973). A análise numérica de escoamentos só desenvolveu a partir de 
1970 com o advento dos microprocessadores e computadores pessoais. Até então, a análise 
numérica era bastante limitada e a solução satisfatória de escoamentos complexos reais 
limitava-se a uma profunda análise da inter-relação entre experimentos e teoria. A análise 
dimensional surgiu como uma ferramenta experimental para explicar tais escoamentos 
complexos. A partir desta análise, foram estabelecidos importantes números adimensionais, 
dentre os quais possuem bastante relevância em aplicação práticas da Engenharia, tais como o 
número de Renolds e o número de Froude, utilizados para classificar o regime de escoamento. 
 
7.1 Análise dimensional 
Em certas situações são conhecidas as variáveis envolvidas no fenômeno físico, mas não 
a relação funcional entre elas. A Análise Dimensional é um método para reduzir o número de 
variáveis experimentais e a complexidade das variáveis físicas envolvidas em um determinado 
fenómeno físico, associando as variáveis em grupos adimensionais. Por exemplo, para um 
escoamento em regime permanente, incompressível de um fluido Newtoniano num tubo longo, 
horizontal e que apresenta parede lisa, quantos experimentos seriam necessários para 
determinar a diferença de pressão por unidade de comprimento do tubo, considerando que a 
diferença de pressão depende das características geométricas da tubulação (ex. diâmetro), 
características do fluido (ex. viscosidade e densidade) e características do escomento (ex. 
velocidade média)? Depois de construída a estrutura experimental, os ensaios poderiam ser 
iniciados de modo que tais ensaios consigam abranger a faixa de variação de todas as variáveis 
envolvidas no problema (vamos considerar apenas quatro variáveis, diâmetro, viscosidade, 
 
densidade e velocidade média). Se definíssemos 10 valores na faixa de variação para cada 
variável, necessitaríamos de 104 ensaios para contemplar todas as combinações possíveis. Se 
cada ensaio levasse 1 hora, necessitaríamos de 10.000 horas (417 dias) para finalizar o estudo, 
o que é inviável do ponto de vista técnico e financeiro. 
A análise dimensional tem como benefício a economia de tempo e de dinheiro em 
experimentos, através de um planejamento inteligente, uma vez que o número variáveis 
(chamadas de grupos adimensionais) é reduzido e, consequentemente, o número de ensaios 
requerido é também menor. O princípio fundamental da Análise Dimensional é o da 
Homogeneidade Dimensional, no qual todos os termos aditivos de uma equação física devem 
ter as mesmas dimensões físicas. 
Como vimos no item 1.4.1, as grandezas podem ser classificadas como primárias 
(básicas) ou secundárias (derivadas). As grandezas básicas de Massa (M), Força (F), 
Comprimento (L) e Tempo (T) representam as dimensões primárias (no Sistema MLT ou no 
Sistema FLT) que podem ser usadas para representar qualquer outra grandeza secundária ou 
grupo de grandezas físicas. A notação usada para representar a dimensão física de uma grandeza 
física G é dada por [G] (entre colchetes). Por exemplo, a dimensão física de pressão, p, é dada 
por: [p] =[Força/área]=[massa][aceleração]/[área]=MLT‐2/L2=ML‐1T‐2. Todas as grandezas 
devem ser expressas num sistema coerente de unidades, ou seja, devem corresponder a produtos 
de monômios (potências) das unidades fundamentais (por exemplo m.s‐2, J/(kg.K) etc.). No 
Capítulo 1 apresentamos as dimensões e unidades do Sistema Internacional (SI) das principais 
grandezas da Mecânica dos Fluidos (ver Tabela 1.1). Uma grandeza adimensional é um número 
desprovido de qualquer unidade física que odefina. Portanto, uma grandeza adimensional é um 
número puro, desprovido de qualquer grandeza básica. Por conveniência definimos a unidade 
dimensional de um número puro como sendo [A] = 1, onde A é um número puro. 
As variáveis são grandezas que variam no tempo, no espaço ou em função de outras 
variáveis, constantes (i.e. são valores constantes em qualquer fenômeno físico) ou parâmetros 
(i.e. valores que são tomados fixos em certo conjunto de experiências ou em um certo 
fenômeno). As variáveis podem ser classificadas como variáveis independentes ou 
dependentes. Por exemplo, se A depende de B então escreve‐se A = A(B) sendo ‘B’ a variável 
independente e ‘A’ a variável dependente. As variáveis podem ter grandezas dimensionais, 
quando a variável pode ser escrita em termos das grandezas básicas (MLT ou FLT), ou 
adimensionais. 
 
Pelo príncipio da homogeneidade dimensional, dado uma função arbitrária f de p grupos 
adimensionais (𝜋1, 𝜋2, … , 𝜋𝑝), g também será uma função adimensional e fisicamente válida. É 
costume associar números pi à grupos adimensionais, uma vez que a sua dimensão é a mesma 
das constantes matemáticas, tal como o número 𝜋 (pi). A análise dimensional estabelece que 
qualquer relação 𝑔(𝑞1, 𝑞2, … , 𝑞𝑛) = 0 entre n grandezas físicas 𝑞1, 𝑞2, … , 𝑞𝑛 (i.e. constantes, 
parâmetros, variáveis dependentes ou independentes, cada uma com determinadas dimensões 
físicas) pode ser escrita como uma relação 𝑔(𝜋1, 𝜋2, … , 𝜋𝑝) = 0 entre p grupos adimensionais 
𝜋1, 𝜋2, … , 𝜋𝑝 (onde p < n). Estas grandezas adimensionais são obtidas a partir das n grandezas 
dimensionais através de funções e operações consistentes com o princípio da homogeneidade 
dimensional (produtos, potências, quocientes, derivada e integrais). Na sequência, 
apresentaremos um teorerma para determinar tais grupos adimensionais a partir do mapeamento 
da n grandezas físicas que descrevem um determinado escoamento. 
 
7.1.1 Teorema π de Buckingham da Análise Dimensional 
Dado um problema físico onde a variável dependente, 𝑞1, é função de 𝑛 − 1 variáveis 
independentes (𝑞2, … , 𝑞𝑛), para o qual sabemos que existe uma relação do tipo: 
𝑞1 = 𝑓(𝑞2, … , 𝑞𝑛) Eq. 7.1 
onde f é uma relação funcional desconhecida entre a variável dependente e as variáveis 
independemente. O teorema de π de Buckingham estabelece que dada uma relação 
𝑔(𝑞1, 𝑞2, … , 𝑞𝑛) = 0 entre n grandezas físicas 𝑞1, 𝑞2, … , 𝑞𝑛, tais grandezas físicas podem ser 
agrupadas em 𝑝 = 𝑛 − 𝑚 grandezas adimensionais independentes (𝜋1, 𝜋2, … , 𝜋𝑝), também 
chamado de grupos adimensionais, expresso sob a seguinte forma funcional: 
 𝐺(𝜋1, 𝜋2, … , 𝜋𝑝) = 0 Eq. 7.2 
ou 
𝜋1 = 𝐻(𝜋2, … , 𝜋𝑝) Eq. 7.3 
onde m é igual ao menor número de grandezas básicas independentes (M, L, T) necessárias para 
especificar as dimensões das variáveis dimensionais 𝑞1, 𝑞2, … , 𝑞𝑛. O teorema não prevê a forma 
funcional de G ou H. Tais formas podem ser determinada experimentalmente, de modo que tais 
ensaios consigam abranger a faixa de variação de todos os grupos adimensionais envolvidos no 
problema. Observa-se que este teorema só pode ser aplicado quando o número de grupos 
adimensionais for maior do que zero (p > 0), ou seja, quando o número de grandezas 
dimensionais n é extritamente superior ao número de grandezas básicas. 
 
A determinação dos grupos adimensionais seguem seis passos, os quais são descritos 
abaixo: 
1º Passo – Liste todas as variáveis (ou parâmetros) envolvidas, 𝑞1, 𝑞2, … , 𝑞𝑛, que descrevem o 
fenômeno de interesse. Se nem todas as variáveis pertinentes forem incluídas, uma relação será 
obtida, mas não descreverá completamente o fenômeno. Esse passo é o mais difícil pois requer 
um conhecimento mais completo do fenômeno para listar todas as variáveis que descrevem o 
problema. 
2º Passo – Selecione um conjunto de dimensões fundamentais (primárias) e determine o número 
de grupos adimensionais (p) no problema. Por exemplo, dado um fenômeno que pode ser 
explicado pela relação de cinco variáveis (n = 5) e considerando que estas cinco variáveis 
podem ser escritas tem termos de dimensões primárias M, L e T (m = 3), podemos formar dois 
de grupos adimensionais (𝜋1, 𝜋2), uma vez que 𝑝 = 𝑛 − 𝑚 = 5 − 3 = 2. 
3º Passo – Liste as dimensões de todas as variáveis em termos das dimensões primárias. 
4º Passo – Selecione da lista um número de variáveis independentes igual ao número de 
dimensões primárias, as quais incluam todas as dimensões primárias. Escolha apenas variáveis 
independentes, as quais serão combinadas com cada uma das variáveis restantes. Neste passo, 
é importante deixar a variável dependente, 𝑞1, de fora. Estas variáveis independentes 
selecionadas serão repetidas em todos os grupos adimensionais 
5º Passo – Combine as variáveis selecionadas no passo 4 com cada uma das outras variáveis 
restantes a fim de formar grupos adimensionais (lembre-se, haverá 𝑝 = 𝑛 − 𝑚 grupos 
adimensionais). No primeiro grupo adimensional, combine as variáveis de repetição, 
selecionadas no passo 4, com a variável dependente. Nos demais grupos adimensionais, 
combine as variáveis de repetição, selecionadas no passo 4, com cada uma das variáveis 
independentes restantes. Cada uma das variáveis de repetição, de cada grupo adimensional, 
deve ser elevada a um expoente que torne a combinação adimensional, ou seja, 𝑀0𝐿0𝑇0 = 1 
6º Passo – Determine os expoentes de cada variável contida em cada grupo adimensional e 
verifique a grandeza de cada grupo adimensional, a fim de assegurar que cada grupo obtido 
realmente é adimensional. 
 
Exemplo 7.1 – Queda de pressão em uma tubulação 
 
Considere o escoamento em regime permanente, incompressível de um fluido Newtoniano num 
tubo longo, horizontal e que apresenta parede lisa. Que experiências serão necessárias para 
determinar a diferença de pressão por unidade de comprimento do tubo, Δ𝑝1? 
 
A queda de pressão em tubulações é uma função das características geométricas da tubulação 
(ex. diâmetro), características do fluido (ex. viscosidade e densidade) e características do 
escomento (ex. velocidade média), ou seja, Δ𝑝1 = 𝑓(𝐷, 𝑉, 𝜌, 𝜇). Nesta análise vamos 
desconsiderar o efeito da rugosidade superficial na queda de pressão. 
Passo 1: Como Δ𝑝1 = 𝑓(𝐷, 𝑉, 𝜌, 𝜇), existem cinco variáveis (𝑛 = 5) para representar o 
fenômeno de interesse, sendo uma variável dependente (Δ𝑝1) e as demais independentes. 
Passo 2: Usando o sistema MLT, temos três grandezas básicas (𝑚 = 3), que resulta em duas 
grupos adimensionais (𝑝 = 𝑛 − 𝑚 = 5 − 3 = 2). 
Passo 3: A dimensão física de cada variável segue abaixo (ver tabela Tabela 1.1): 
[Δ𝑝1] = 𝑀𝐿−1𝑇−2 
[𝐷] = 𝐿 
[V] = 𝐿𝑇−1 
[𝜌] = 𝑀𝐿−3 
[𝜇] = 𝑀𝐿−1𝑇−1 
Passo 4: Como 𝑚 = 3, três variáveis independentes de repetição deverão ser escolhidas. Pode-
se escolher, por exemplo, 𝜌, V e 𝐷, uma vez que estas variáveis independentes incluem todas 
as grandezas básicas (MLT) e por apresentarem as dimensão físicas mais simples. Observe que 
a dimensão física da viscosidade é mais complexa do que as demais variáveis independentes. 
Passo 5: Dois grupos adimensionais podem ser formados combinando as variáveis de repetição, 
selecionadas no passo 4, com as variáveis restantes. Cada uma das variáveis de repetição, de 
cada grupo adimensional, deve ser elevada a um expoente que torne a combinacão 
adimensional, ou seja, 
𝜋1 = 𝐷𝑎 ∙ 𝑉𝑏 ∙ 𝜌𝑐 ∙ Δ𝑝1 
𝜋2 = 𝐷𝑑 ∙ 𝑉𝑒 ∙ 𝜌𝑓 ∙ 𝜇 
Passo 6: Os valores dos expoentes a, b, c, d e e f podem ser determinados para que tornem as 
combinações, 𝜋1 e 𝜋2, adimensionais: 
 
.[𝜋1] = 𝐿𝑎 ∙ (𝐿𝑇−1)𝑏 ∙ (𝑀𝐿−3)𝑐 ∙ 𝑀𝐿−1𝑇−2 = 𝑀0𝐿0𝑇0 = 1 
[𝜋2] = 𝐿𝑑 ∙ (𝐿𝑇−1)𝑒 ∙ (𝑀𝐿−3)𝑓 ∙ 𝑀𝐿−1𝑇−1 = 𝑀0𝐿0𝑇0 = 1 
 
Dois sistemas de equações podem então ser formados e os expoentes pode ser determinados: 
𝜋1 : {
𝑐 + 1 = 0
𝑎 + 𝑏 − 3𝑐 − 1 = 0
−𝑏 − 2 = 0
⇒ {
𝑎 = 0
𝑏= −2
𝑐 = −1
 
𝜋2 : {
𝑓 + 1 = 0
𝑑 + 𝑒 − 3𝑓 − 1 = 0
−𝑒 − 1 = 0
⇒ {
𝑑 = −1
𝑒 = −1
𝑓 = −1
 
Desta forma, os grupos adimensionais são dados por: 
𝜋1 =
Δ𝑝1
 𝜌𝑉2
 
𝜋2 = 
𝜇
𝜌𝑉𝐷
 
Podemos agrupar as variáveis em dois grupos adimensionais de modo que: 
𝜋1 = 𝐻(𝜋2) 
ou seja, 
Δ𝑝1
 𝜌𝑉2
= 𝐻 (
𝜇
𝜌𝑉𝐷
) 
Assim nós podemos trabalhar com dois grupos adimensionais ao invés de trabalhar com cinco 
variáveis para descrever o fenômeno da queda de pressão em tubulações. A função H pode ser 
determinada experimentalmente, de modo que tais ensaios consigam abranger a faixa de 
variação dos grupos adimensionais 𝜋1 e 𝜋2, como pode ser visto abaixo: 
 
 
 
 
 
Exemplo 7.2 – Determinação da força de arrasto (Fa) no escoamento ao redor de uma 
esfera lisa (sem rugosidade) em um fluido 
Quando um corpo ou um objeto qualquer se move em um fluido (ar ou água, por exemplo) 
vemos que o fluido exerce sobre o corpo uma força de resistência, denominada força de arraste, 
que tende a reduzir a velocidade do objeto. Essa força de arraste depende das dimensões do 
objeto, das propriedades do fluido a que ele está inserido e depende também da velocidade do 
corpo em relação ao fluido, ou seja, 𝐹𝑎 = 𝑓(𝐷, 𝑉, 𝜌, 𝜇). Utilizaremos a Análise Dimensional 
para determinar a relação entre a força de arrasto e os parâmetros que influenciam no fenômeno. 
Nesta análise vamos desconsiderar o efeito da rugosidade superficial da esfera na força de 
arrasto. 
 
 
 
 
 
Passo 1: Como 𝐹𝑎 = 𝑓(𝐷, 𝑉, 𝜌, 𝜇), existem cinco variáveis (𝑛 = 5) para representar o 
fenômeno de interesse, sendo uma variável dependente (𝐹𝑎) e as demais independentes. 
Passo 2: Usando o sistema MLT, temos três grandezas básicas (𝑚 = 3), que resulta em duas 
grupos adimensionais (𝑝 = 𝑛 − 𝑚 = 5 − 3 = 2). 
Passo 3: A dimensão física de cada variável segue abaixo (ver tabela Tabela 1.1): 
[𝐹𝑎] = 𝑀𝐿𝑇−2 
[𝐷] = 𝐿 
[V] = 𝐿𝑇−1 
[𝜌] = 𝑀𝐿−3 
[𝜇] = 𝑀𝐿−1𝑇−1 
Passo 4: Como 𝑚 = 3, três variáveis independentes de repetição deverão ser escolhidas. Pode-
se escolher, por exemplo, 𝜌, V e 𝐷, uma vez que estas variáveis independentes incluem todas 
as grandezas básicas (MLT) e por apresentarem as dimensão físicas mais simples. Observe que 
a dimensão física da viscosidade é mais complexa do que as demais variáveis independentes. 
Passo 5: Dois grupos adimensionais podem ser formados combinando as variáveis de repetição, 
selecionadas no passo 4, com as variáveis restantes. Cada uma das variáveis de repetição, de 
cada grupo adimensional, deve ser elevada a um expoente que torne a combinacão 
adimensional, ou seja, 
𝜋1 = 𝐷𝑎 ∙ 𝑉𝑏 ∙ 𝜌𝑐 ∙ 𝐹𝑎 
𝜋2 = 𝐷𝑑 ∙ 𝑉𝑒 ∙ 𝜌𝑓 ∙ 𝜇 
Passo 6: Os valores dos expoentes a, b, c, d e e f podem ser determinados para que tornem as 
combinações, 𝜋1 e 𝜋2, adimensionais: 
 
.[𝜋1] = 𝐿𝑎 ∙ (𝐿𝑇−1)𝑏 ∙ (𝑀𝐿−3)𝑐 ∙ 𝑀𝐿𝑇−2 = 𝑀0𝐿0𝑇0 = 1 
[𝜋2] = 𝐿𝑑 ∙ (𝐿𝑇−1)𝑒 ∙ (𝑀𝐿−3)𝑓 ∙ 𝑀𝐿−1𝑇−1 = 𝑀0𝐿0𝑇0 = 1 
 
Dois sistemas de equações podem então ser formados e os expoentes pode ser determinados: 
𝜋1 : {
𝑐 + 1 = 0
𝑎 + 𝑏 − 3𝑐 + 1 = 0
−𝑏 − 2 = 0
⇒ {
𝑎 = −2
𝑏 = −2
𝑐 = −1
 
𝜋2 : {
𝑓 + 1 = 0
𝑑 + 𝑒 − 3𝑓 − 1 = 0
−𝑒 − 1 = 0
⇒ {
𝑑 = −1
𝑒 = −1
𝑓 = −1
 
Desta forma, os grupos adimensionais são dados por: 
𝜋1 =
𝐹𝑎
 𝜌𝑉2𝐷2
 
𝜋2 = 
𝜇
𝜌𝑉𝐷
 
Podemos agrupar as variáveis em dois grupos adimensionais de modo que: 
𝜋1 = 𝐻(𝜋2) 
ou seja, 
𝐹𝑎
 𝜌𝑉2𝐷2
= 𝐻 (
𝜇
𝜌𝑉𝐷
) 
Assim nós podemos trabalhar com dois grupos adimensionais ao invés de trabalhar com cinco 
variáveis para descrever o fenômeno da queda de pressão em tubulações. A função H é 
conhecida na literatura como coeficiente de arrasto (Ca) e pode ser determinada 
experimentalmente, de modo que tais ensaios consigam abranger a faixa de variação dos grupos 
adimensionais 𝜋1 e 𝜋2. Assim, a força de arrasto pode ser escrita como: 
𝐹𝑎 = 𝐶𝑎 ∙ 𝜌𝑉2𝐷2 
 
7.1.2 Principais números adimensionais 
Os números adimensionais se definem como produtos ou quocientes de quantidades cujas 
unidades se cancelam. Dependendo do seu valor estes números têm um significado físico que 
caracteriza determinadas propriedades para alguns sistemas. Todos os números adimensionais 
foram obtidos a partir da análise dimensional de um fenômeno de interesse. Na sequência, 
 
apresentaremos de forma resumida os mais importantes números adimensionais utilizados na 
mecânica dos fluidos. 
Número de Reynolds (Re) 
É um número adimensional importante na maioria dos problemas de mecânica dos 
fluidos para o cálculo do regime de escoamento de um determinado fluido, podendo ser esse 
escoamento dentro de uma tubulação fechada ou em canais naturais. O número de Reynolds 
também é geralmente usado em projetos de tubulações industriais e para projetar asas de aviões. 
Ele é uma medida da razão entre as forças de inércia de um elemento fluido e as forças viscosas 
no elemento. Este número foi estabelecido em 1883 por Osborne Reynolds (1842 a 1912), 
matematicamente escrito como: 
𝑅𝑒 =
𝜌𝑉𝐿
𝜇
 Eq. 7.4 
onde V é velocidade média do fluido, L é o comprimento característico (para uma tubulação 
circular o comprimento característico é equivalente ao diâmetro da tubulação), μ é viscosidade 
dinâmica do fluido e ρ é massa específica do fluido. 
 O número de Reynolds pode ser usado para avaliar a estabilidade de um fluxo, indicando 
se o fluido escoa de forma laminar ou turbulenta. O escoamento laminar ocorre quando as 
partículas de um fluido se movimentam ao longo de trajetórias bem definidas, apresentando 
lâminas ou camadas (daí o nome laminar), que preservam suas características durante o 
escoamento. Nesse tipo de escoamento, a viscosidade age no fluido no sentido de amortecer a 
tendência de surgimento da turbulência. Sendo que este escoamento ocorre geralmente a 
velocidades baixas e em fluídos que apresentem grande viscosidade. O escoamento turbulento 
ocorre quando as partículas de um fluido não se movimentam ao longo de trajetórias bem 
definidas, ou seja, as partículas descrevem trajetórias irregulares, com movimento aleatório, 
produzindo uma transferência de quantidade de movimento entre regiões de massa líquida. Este 
escoamento é comum na água, cuja viscosidade é relativamente baixa. 
Para o caso de um fluxo de água em um tubo de seção circular, admite-se os valores de 
2.000 e 2.400 como limites para definir se um escoamento é laminar ou turbulento. Para valores 
menores que 2.000 o fluxo será considerando laminar, e para valores maiores que 2.400 o fluxo 
será considerado turbulento. Para valores entre os limites, o fluxo será considerado transitório. 
 
 
Figura 7.1 Característica dos vetores de velocidades em escoamentos laminares e turbulentos. 
 
Número de Froude (Fr) 
O número de Froude é utilizado para caracterizar escoamentos com superfície livre (ex. 
rios, oceanos e canais abertos). Este número adimensional indica a razão entre forças de inércia 
e as forças gravitacionais (peso do elemento fluido). Este número foi estabelecido por William 
Froude (1810 a 1879) e é expresso como: 
𝐹𝑟 =
𝑉
𝑐
 Eq. 7.5 
onde c é celeridade que uma medida da velocidade de propagação das ondas gravitacionais que 
ocorrem devido à perturbações superficiais, diferentemente da velocidade do fluido. Em águas 
pouco profundas, a celeridade por ser obtida usando a seguinte equação: 
𝑐 = √𝑔 ∙ 𝐿 Eq. 7.6 
onde 𝑔 é a aceleração da gravidade e 𝐿 é o comprimento característico. Em canais abertos, o 
comprimento característico é equivalente à profundidade do canal. 
Na Hidráulica, o número de Froude é utilizado para caracterizar o regime de escoamento 
em canais abertos. Quando Fr < 1, tem-se o regime sub-crítico (i.e. regime fluvial dominando 
pelas forças gravitacionais); para Fr > 1, tem-se o regime super-crítico (i.e. regime torrencial 
dominado pelas forças inerciais); e para Fr = 1, tem-se oregime crítico (i.e. condição de 
equilíbrio entre as forças gravitacionais e inerciais). 
 
 
Número de Euler (Eu) 
Utilizado em problemas onde a pressão, ou diferença de pressão, são importantes (ex. 
escoamentos forçados por variação de maré em estuários). É uma medida da razão entre as 
forças de pressão e forças de inércia um elemento fluido. Este número foi estabelecido por 
Leonhard Euler (1707 a 1783) e é dado por: 
𝐸𝑢 =
𝑝
𝜌 ∙ 𝑉2
 Eq. 7.7 
onde p é a pressão e 𝜌 é a densidade absoluta. 
 
Números de Cauchy (Ca) e de Mach (Ma) 
Utilizados em situacões onde a compressibilidade do fluido é importante. Os números de 
Cauchy e de Mach são duas medidas da razão entre as forças de inércia e as forças de 
compressibilidade. Tais números foram estabelecidos por Augustin Louis de Cauchy (1789 a 
1857) e Ernst Mach (1838 a 1916) e são expressos matematicamente como: 
𝐶𝑎 =
𝜌 ∙ 𝑉2
𝐾
 Eq. 7.8 
 
𝑀𝑎 =
𝑉
𝑉𝑠
 Eq. 7.9 
 
onde 𝐾 é o módulo de elasticidade (ou módulo de compressibilidade) do fluido e 𝑉𝑠 é a 
velocidade do som. Os números de Cauchy e de Mach estão relacionados através da seguinte 
equação: 
𝐶𝑎 = 𝑀𝑎2 Eq. 7.10 
 
Número de Strouhal (St) 
Utilizado em escoamentos transitórios ou com frequência de oscilação característica. É 
uma medida da relação entre as forças de inércia, devido à transitoriedade do escoamento 
(aceleração local), e as forças de inércia, devido à variação da velocidade de ponto a ponto do 
campo de escoamento (aceleração convectiva). Foi estabelecido por Vicenz Strouhal (1850 a 
1922) e é dado por: 
𝑆𝑡 =
𝑓 ∙ 𝐿
𝑉
 Eq. 7.11 
 
onde 𝑓 é a frequência de vórtices. 
 
Número de Weber (We) 
Utilizado em problemas onde os efeitos da tensão superficial são importantes. Indica a 
razão entre forças de inércia e força devido à tensão superficial que atuam em um elemento 
fluido. Foi estabelecido por Moritz Weber (1871 a 1951) e é definido como: 
𝑊𝑒 =
𝜌 ∙ 𝑉2 ∙ 𝐿
𝜎𝑠
 Eq. 7.12 
onde 𝜎𝑠 é a tensão superficial do fluido. 
 
7.2 Semelhança e modelos 
Embora a análise dimensional seja incapaz, por si só, de descobrir a formulação completa 
de uma lei física, ela fornece indicações preciosas sobre combinações dos parâmetros 
envolvidos, de modo a reduzir o número total de variáveis a incluir nos grupos adimensionais 
para representar um fenômeno. Assim, a análise dimensional é um valioso guia para a 
elaboração de teorias que se proponham a interpretar resultados experimentais. Além de incluir 
obrigatoriamente todos os parâmetros que possam ter influência no problema estudado, o que 
exige pelo menos uma cuidadosa análise qualitativa baseada em observações e pesquisas 
experimentais, a análise dimensional incorpora, de modo indireto, as leis físicas em que se 
baseiam as fórmulas dimensionais das constantes físicas universais ou específicas que figuram 
entre esses parâmetros. 
Uma das principais aplicações da análise dimensional é o estabelecimento das condições 
de semelhança física, que devem relacionar os protótipos (i.e. o sistema físico real para o qual 
as estimativas são feitas) com os modelos utilizados nas experiências. O modelo é uma 
representação simplificada da realidade que pode ser utilizado para predizer o comportamento 
de alguma característica do sistema. Para que um modelo possa representar o protótipo, isto é, 
para que os resultados obtidos nos ensaios experimentais com modelos possam ser estendidos 
aos protótipos, é preciso que haja semelhança, a começar pela semelhança geométrica. Em 
princípio todos os grupos adimensionais, fatores de forma e funções devem ter no modelo o 
mesmo valor que apresentam no protótipo. Em muitos casos introduzem-se distorções, isto é, 
adotam-se no modelo escalas diferentes para grandezas de um mesmo tipo: as conseqüências 
destas distorções devem ser cuidadosamente analisadas, para evitar erros de interpretação dos 
 
resultados. A construção modelos é um mecanismo bastante útil para estudar o comportamente 
físico de estruturas reais na Engenharia como, por exemplo, em portes, navios, aviões, 
barragens, edificações complexas, poluição da água e do ar, dentre outros. 
 
7.2.1 Teoria dos modelos 
Se dois processos físicos são semelhantes, é possível prever o comportamento de um deles 
quando é conhecido o comportamento do outro. Na experimentação por meio de modelos, os 
dois processos físicos semelhantes são o protótipo e seu modelo. Neste caso utiliza-se o modelo 
por ser mais fácil de ensaiá-lo em laboratório do que ensaiar diretamente o protótipo (sistema 
real). Por uma questão de simplicidade e de custos os modelos são construídos em uma escala 
geométrica reduzida em relação ao protótipo. No entanto, em alguns casos a escala geométrica 
adotada nos modelos pode ser maior do que a dos protótipos, sobretudo em problemas onde o 
fenômeno real ocorre em uma microescala. 
A primeira condição para a semelhança física é a semelhança geométrica, mas esta não é 
suficiente para que o comportamento do modelo seja representativo do sistema real. Lembre-
se, um modelo não é simples maquete. As dimensões entre o modelo e o protótipo são 
relacionadas pela escala geométrica. Na experimentação com modelos, define-se o fator de 
escala como a relação entre a magnitude da grandeza do modelo e do protótipo. Se o modelo é 
reduzido, a escala geométrica é menor que a unidade. Em geral, a escala geométrica é 
apresentada como uma fração, tendo a unidade como numerador, e designada com o símbolo 
λ: 
𝜆 =
𝑥𝑚
𝑥𝑝
=
1
𝑥𝑝 𝑥𝑚⁄
= 1: (𝑥𝑝 𝑥𝑚⁄ ) Eq. 7.13 
onde 𝑥𝑚 e 𝑥𝑝 são as dimensões do modelo e do protótipo, respectivamente. Além da semelhança 
geométrica, as semelhanças cinemáticas (referente ao escoamento) e dinâmicas (referente às 
forças envolvidas) precisam ser respeitadas para que o comportamento do modelo seja 
representativo do sistema real. Tais semelhanças podem ser obtidas utilizando a teoria dos 
modelos que pode ser desenvolvida a partir da análise dimensional, onde mostramos que 
qualquer problema pode ser descrito em função de um conjunto de grupos adimensionais : 
𝜋1 = 𝐻(𝜋2, … , 𝜋𝑝) Eq. 7.14 
onde 𝜋1, 𝜋2, … , 𝜋𝑝 representam os grupos adimensionais do protótipo. Se esta equação descreve 
o comportamento de um protótipo, uma relação similar pode ser escrita para o modelo deste 
protótipo: 
 
𝜋1𝑚 = 𝐻(𝜋2𝑚, … , 𝜋𝑝𝑚) Eq. 7.15 
onde 𝜋1𝑚, 𝜋2𝑚, … , 𝜋𝑝𝑚 representam os p grupos adimensionais do modelo. Assim, se o modelo 
é projetado e operado nas seguintes condições: 
𝜋2𝑚 = 𝜋2 
𝜋3𝑚 = 𝜋3 
⋮ 
𝜋𝑝𝑚 = 𝜋𝑝 
 
Eq. 7.16 
e considerando que forma da função H é a mesma para o modelo e o protótipo, temos: 
𝜋1𝑚 = 𝜋1 Eq. 7.17 
 
Assim, o valor medido no modelo, 𝜋1𝑚, será igual ao valor de 𝜋1 do protótipo desde que 
os outros grupos adimensionais também sejam iguais. As condições especificadas pela 
igualdade dos outros grupos adimensionais fornecem as condições de projeto do modelo e são 
conhecidas como condições de semelhança ou leis do modelo. 
 
Exemplo 7.3 – Arrasto das ondas em um barco 
Um modelo em escala 1:20 da superfície de um barco é usado para testar a influência de um 
perfil proposto do barco sobre o arrasto das ondas. Um arrasto de onda de 6,2 lbf é medido no 
modelo a uma velocidade de 8,0 ft/s. A que velocidade isso corresponde no protótipo e que 
arrasto de onda é esperado para o protótipo? Despreze os efeitos viscosos e suponha o uso do 
mesmo fluido no modelo e no protótipo. 
Para escoamentos de superfície livre, o número de Froude pode ser utilizado para descrever o 
regime do escoamento. Como o número de Froude é um número adimensional, o valor 
correspondente deste número no protótipo deve ser igual ao valor deste número no modelo. 
Assim, através da semelhança cinemática podemos determinar a velocidade que precisar ser 
imposta ao protótipo para que o comportamento do modelo seja representativo do sistema real: