Aplicacao do Metodo de Elementos Finitos no Calculo da Impedancia Distribuıda em Cabos de Potencia Tripolares

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Aplicação do Método de Elementos Finitos no Cálculo da Impedância
Distribuída em Cabos de Potência Tripolares
Conference Paper · July 2014
DOI: 10.13140/2.1.2521.3446
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Angelo Hafner
Centro Universitário - Católica de Santa Catarina
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Mauricio Luz
Federal University of Santa Catarina
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Filipe Faria da Silva
Aalborg University
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Walter Carpes Jr
Federal University of Santa Catarina
41 PUBLICATIONS   390 CITATIONS   
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Aplicac¸a˜o do Me´todo de Elementos Finitos no
Ca´lculo da Impedaˆncia Distribuı´da em Cabos de
Poteˆncia Tripolares
Angelo A. Hafner, Mauricio V. F. da Luz,
Walter P. Carpes Jr. e Sigmar de Lima
Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC)
GRUCAD, C.P. 476, 88040-970, Floriano´polis, Brazil
angelo.hafner@posgrad.ufsc.br, mauricio.luz@ufsc.br,
walter.carpes@ufsc.br, sigmar@grucad.ufsc.br
Filipe Faria da Silva
Aalborg University
Department of Energy Technology
Aalborg, Dinamarca
ffs@et.aau.dk
Resumo—A modelagem analı´tica de um sistema de cabos
tripolares e´ um grande desafio devido a` configurac¸a˜o na˜o
conceˆntrica dos elementos envolvidos. Face a essas limitac¸o˜es,
uma modelagem nume´rica de elementos finitos 2D foi desenvol-
vida no intuito de se obter o valor da impedaˆncia se´rie do referido
cabo para a gama de frequeˆncias entre 20Hz e 20 kHz. Para
isso usou-se uma formulac¸a˜o magnetodinaˆmica em potencial vetor
magne´tico no domı´nio da frequeˆncia. A metodologia foi aplicada
em um cabo tı´pico de 300mm2 - 18/30 kV. Os resultados
nume´ricos foram comparados com os resultados analı´ticos para
um cabo monopolar, validando a modelagem nume´rica. Em
seguida, aplicou-se a modelagem nume´rica para um cabo tripolar
na formac¸a˜o trifo´lio.
Palavras-chave−cabos submarinos, me´todo de elementos fini-
tos, impedaˆncia.
I. INTRODUC¸A˜O
A expansa˜o de sistemas de transmissa˜o submarinos repre-
senta uma grande tendeˆncia devido ao crescimento da indu´stria
de petro´leo e de instalac¸o˜es de energia eo´lica offshore. A
implantac¸a˜o destes a grandes distaˆncias do litoral e em a´guas
profundas exige trechos quilome´tricos de cabos de poteˆncia
submarinos.
Os equipamentos ou sistemas alimentados, como tambe´m
os cabos, precisam estar devidamente protegidos em situac¸o˜es
de curto-circuito, sobrecarga e transito´rios. Um modelo preciso
de cabos e´ necessa´rio para representar com acura´cia as formas
de onda de tensa˜o e corrente na carga e na linha de transmissa˜o,
fornecendo subsı´dios te´cnicos para a escolha do sistema de
protec¸a˜o mais adequado a ser adotado para cada situac¸a˜o.
A constituic¸a˜o fı´sica dos cabos de poteˆncia submarinos
e´ muito semelhante a` de cabos de poteˆncia subterraˆneos.
A principal diferenc¸a e´ que no primeiro existem protec¸o˜es
adicionais a` entrada de a´gua (veja Fig. 1 e Tabela I).
Quando se considera o cabo como monopolar, tal como
apresentado por [1], as impedaˆncias distribuı´das das veias do
cabo, para uma determinada gama de frequeˆncias, podem ser
calculadas de forma analı´tica, aplicando-se (1), (2) e (3).
Contudo, em cabos tripolares, mesmo em 60 Hz, os seguin-
tes aspectos devem ser levados em conta para a modelagem: (i)
Figura 1. Conjunto de veias na formac¸a˜o trifo´lio de um cabo de poteˆncia
submarino tripolar.
efeito de proximidade gerado pelas correntes dos condutores
centrais e (ii) correntes induzidas na blindagem meta´lica e seus
efeitos na impedaˆncia no condutor central [2], [3].
A configurac¸a˜o na˜o conceˆntrica da formac¸a˜o trifo´lio (ver
Fig. 1) dificulta a modelagem analı´tica. Assim, uma modela-
gem nume´rica por elementos finitos 2D foi desenvolvida no
intuito de se obter o valor da impedaˆncia se´rie deste cabo de
poteˆncia para a gama de frequeˆncias entre 20 Hz e 20 kHz.
II. CARACTERI´STICAS BA´SICAS DE UM CABO DE
POTEˆNCIA SUBMARINO
Nesta sec¸a˜o sera˜o descritas brevemente as partes consti-
tuintes do cabo de poteˆncia submarino, bem como aspectos
relacionados ao ca´lculo de sua impedaˆncia se´rie.
A. Partes constituintes
O cabo do presente estudo e´ composto por um conjunto de
treˆs veias de poteˆncia na formac¸a˜o trifo´lio, como apresentado
na Fig. 1. As partes 10-11 , 11-12 e 12-13 sa˜o de material iso-
lante, condutor e isolante, respectivamente. A parte condutora,
Tabela I. PARTES DE UMA VEIA DE POTEˆNCIA
Item Componente Material
1 Condutor central Fios de cobre encordoados
2 Barreira de penetrac¸a˜o
de a´gua
Fita semicondutora absorve-
dora de umidade
3 Blindagem do condutor Fita semicondutora
4 Isolante XLPE
5 Blindagem do Isolante Fita semicondutora
6 Barreira de penetrac¸a˜o
de a´gua
Fita semicondutora absorve-
dora de umidade
7 Blindagem meta´lica Fita de cobre
8 Barreira de penetrac¸a˜o
de a´gua
Fita semicondutora absorve-
dora de umidade
9 Capa externa da veia Polietileno
denominada armadura, tem como func¸a˜o principal a protec¸a˜o
mecaˆnica do conjunto.
Cada parte da veia e´ informada na Tabela I. Pequenas
variac¸o˜es podem ocorrer entre um e outro fabricante.
B. Impedaˆncia se´rie
De acordo com [1], [3], [4], [5], [6], [7], a impedaˆncia de
cada veia, por unidade de comprimento, e´ dada por (veja Fig.
2):
zveia = z11 + z12 (1)
onde Re (z11) representa a resisteˆncia do condutor central,
sendo Re () a func¸a˜o que retorna a parte real de um nu´mero
complexo; Im (z11)/ω representa a indutaˆncia interna do con-
dutor central, sendo ω a frequeˆncia angular e Im () a func¸a˜o
que retorna somente a parte imagina´ria de um nu´mero com-
plexo; z12 e´ puramente imagina´rio e representa a indutaˆncia
externa de cada fase.
A impedaˆncia do condutor central, z11, e´ dada por:
z11 =
ξc
2pir1
I0 (ξcr1)
I1 (ξcr1)
(2)
onde ξc =
√
jωµc/ρ′c e´ a impedaˆncia intrı´nseca do meio,
sendo ρ′ e µc a resistividade corrigida e a permeabilidade do
condutor; r1 e´ o raio do condutor central; I0 e I1 sa˜o func¸o˜es
de Bessel modificadas de primeiro tipo, de ordem zero e um,
respectivamente.
A reataˆncia externa, z12 , e´ dada por:
z12 = jω
µ12
2pi
ln
(
r2
r1
)
(3)
onde µ12 e´ a permeabilidade do material isolante e r2 e´ o raio
interno da blindagem meta´lica.
C. Impedaˆncias pro´prias e mu´tuas
Por se tratar de um sistema trifa´sico, existe um acoplamento
magne´tico entre fases, que em termos de enlace de fluxo e´
representado por:
λaa = LaaIa + LabIb + LacIc (4a)
λbb = LabIa + LbbIb + LbcIc (4b)
λcc = LacIa + LbcIb + LccIc, (4c)
Figura 2. Descric¸a˜o das impedaˆncias do condutor central de um cabo
monopolar.
onde Laa, Lbb e Lcc sa˜o as indutaˆncias pro´prias de cada fase;
Lab, Lac e Lbc sa˜o as indutaˆncias mu´tuas entre fases; Ia, Ib
e Ic sa˜o as correntes de linha e λaa, λbb e λcc sa˜o os fluxos
concatenados em cada fase.
Em sistemas geometricamente sime´tricos (como o caso
da formac¸a˜o trifo´lio) e isolados (ou aterrados por alta im-
pedaˆncia), duas premissas podem ser levadas em conta:
Ib + Ic = −Ia (5a)
Lab = Lbc = Lac = Lm (5b)
Substituindo (5a) e (5b) em (4a), e aplicando-se a mesma
metodologia para as demais fases, tem-se:λaa = (Laa − Lm)Ia (6a)
λbb = (Lbb − Lm)Ib (6b)
λcc = (Lcc − Lm)Ic (6c)
O conjunto de equac¸o˜es (6) indica que um sistema trifa´sico
magneticamente acoplado, sime´trico e isolado, pode ser mo-
delado como treˆs sistemas monofa´sicos magneticamente desa-
coplados, onde a indutaˆncia pro´pria de cada linha desacoplada
e´ dada pela diferenc¸a entre indutaˆncia pro´pria e a mu´tua entre
fases da linha acoplada.
III. FORMULAC¸A˜O MAGNETODINAˆMICA
Essa formulac¸a˜o considera as correntes induzidas nas
regio˜es condutoras (correntes de Foucault) e tambe´m pode
considerar os efeitos peliculares e de proximidade nas regio˜es
condutoras. As restric¸o˜es de sua aplicac¸a˜o sa˜o: (a) todos os
materiais do domı´nio de estudo sa˜o lineares e (b) todas as
fontes de campo sa˜o sinusoidais.
O modelo dessa formulac¸a˜o aplicado ao domı´nio Ω, de
fronteira Γ, e´ caracterizado pelas equac¸o˜es de Maxwell:
rot ~H = ~J = ~Js + ~Ji, div ~B = 0, rot ~E = −jω ~B, (7)
relac¸o˜es constitutivas:
~B = µ ~H, ~Ji = σ ~E (8)
e condic¸o˜es de contorno:
~n× ~H
∣∣∣
ΓH
= 0, ~n · ~B
∣∣∣
ΓB
= 0, (9)
ou:
~n · ~J
∣∣∣
ΓH
= 0, ~n× ~E
∣∣∣
ΓB
= 0, (10)
sendo Γ = ΓH + ΓB , onde ~n e´ o vetor normal a` superfı´cie de
fronteira Γ, j ∆=
√−1, ~E e´ o campo ele´trico, ω e´ a frequeˆncia
angular, ~B e´ a densidade de fluxo magne´tico, ~H e´ o campo
magne´tico e ~J e´ a densidade de corrente.
A densidade de corrente ~J e´ dividida em duas parcelas:
~J = ~Js + ~Ji, onde ~Js e´ a densidade de corrente devido a`s
fontes de corrente e ~Ji e´ a densidade de corrente devido a`s
correntes induzidas em materiais condutores. Para este estudo,
considerou-se a densidade da corrente ~J muito maior que a
densidade de corrente de deslocamento jω ~D (onde ~D e´ a
densidade de fluxo ele´trico dada em C/m2). Isto e´ va´lido pois
σ � ωε para toda a faixa de frequeˆncias analisada, onde σ e
ε sa˜o a condutividade e a permissividade ele´tricas do cobre,
respectivamente.
A forma fraca para o problema de campo magne´tico em
regime harmoˆnico em 2D e´ expressa por [8]:
−
∫
Ω
µ−1 gradA · gradA′ dΩ +
∫
Ω
jσω AA′ dΩ
+
∫
Ω
JsA
′ dΩ = 0, (11)
onde A e´ o componente do potencial vetor magne´tico ortogonal
ao plano de estudo, e A′ e´ uma func¸a˜o teste.
A equac¸a˜o (11) na forma matricial e´ representada por:
(SS+D)A = J, (12)
onde SS e´ a matriz global de rigidez,D e´ uma matriz referente
aos materiais condutores, A e´ a matriz dos potenciais vetores
magne´ticos (inco´gnitas) e J e´ a matriz das fontes (densidades
de corrente impostas).
IV. SOFTWARE DE ELEMENTOS FINITOS UTILIZADO
Para realizar a ana´lise nume´rica, foram utilizados os
softwares Gmsh [9] e GetDP [10]. O Gmsh e´ o pre´ e o po´s-
processador e o GetDP e´ o solver. Ambos os softwares sa˜o
livres e podem ser baixados nos links http://geuz.org/gmsh/ e
http://geuz.org/getdp/.
O problema e´ inserido no software atrave´s de dois co´digos
de programac¸a˜o, um que define as geometrias da estrutura e
outro que define as propriedades fı´sicas dos materiais e o tipo
de formulac¸a˜o a ser utilizada. A formulac¸a˜o escolhida para
resoluc¸a˜o do problema foi a magnetodinaˆmica no domı´nio da
frequeˆncia, explanada na Sec¸a˜o III.
V. METODOLOGIA
Os dados geome´tricos do cabo foram retirados e adaptados
de cata´logos de fabricantes [11], para o cabo tripolar na
formac¸a˜o trifo´lio.
Devido as simplificac¸o˜es inerentes ao modelo, antes de
iniciar a simulac¸a˜o, seja ela nume´rica ou analı´tica, e´ necessa´rio
aplicar alguns fatores de correc¸a˜o (devido a temperatura e
homogenizac¸a˜o dos materiais) na resistividade do condutor
central e na blindagem meta´lica. Mais informac¸o˜es sobre essas
correc¸o˜es sa˜o fornecidas em [4], [5], [12].
Tabela II. PARAˆMETROS UTILIZADOS NO GMSH E GETDP
Paraˆmetro Veia Valor (mm) Paraˆmetro Armadura Valor (mm)
r1 10,20 r5 51,75
r2 20,60 r6 53,75
r3 20,72 r7 57,95
r4 24,00 r8 61,95
Figura 3. Diagrama simplificado do cabo a ser utilizado nos modelos analı´tico
e nume´rico. Maiores detalhes na Tabela II.
A. Correc¸o˜es aplicadas antes da simulac¸a˜o
No condutor central, a resistividade considerada e´ a do
cobre, 17, 24 nΩ m, corrigida para a temperatura de 90 ◦C
e uma a´rea equivalente do condutor, resultando em uma
resistividade corrigida de 23, 57 nΩ m [3].
As blindagens meta´licas do presente estudo sa˜o compostas
por fios de cobre, o que implica em corrigir a resistividade por
um fator de 1,15 em termos de caracterı´sticas do material (fios
ou fitas) [2] e o cobre para a temperatura de 90 ◦C, resultando
em uma resistividade de 25, 28 nΩ m.
O cabo foi considerado como totalmente envolto na a´gua
do mar. A condutividade da a´gua do mar utilizada foi de 5 S/m
[13].
A permeabilidade utilizada para todos os materiais foi
considerada µ0, inclusive a armadura [14], considerada aqui
de material na˜o magne´tico. Ressalta-se que este nem sempre e´
o caso, ha´ situac¸o˜es em que a armadura e´ feita de material
ferromagne´tico, o que influencia diretamente no valor da
indutaˆncia se´rie das veias do cabo.
B. Esquema simplificado do cabo
As correc¸o˜es feitas na subsec¸a˜o anterior sa˜o necessa´rias
para que os paraˆmetros do cabo sejam adequados aos
paraˆmetros de entrada do modelo, seja ele analı´tico ou
nume´rico. As partes consideradas para os modelos do cabo
sa˜o todas so´lidas e representadas pela Fig. 3 e Tabela II.
C. Aplicac¸a˜o do me´todo de elementos finitos
Inicialmente e´ necessa´rio implementar as superfı´cies (no
arquivo de geometria) envolvidas do modelo tal como apre-
sentado na Tabela II e Fig. 3. Neste mesmo arquivo ja´ sa˜o
(a) Cabo monopolar. (b) Cabo tripolar.
Figura 4. Malha do sistema contendo os cabos monopolar e tripolar com
meio externo e regia˜o AirInf.
(a) Cabo monopolar. (b) Cabo tripolar.
Figura 5. Detalhe da malha na regia˜o de da veia do cabo monopolar e de
uma das veias do cabo tripolar.
inseridos os fatores de densidade da malha, definidos em cada
ponto geome´trico da figura.
Com base no arquivo de geometria, uma malha e´ construı´da
pelo Gmsh. A Fig. 4 apresenta a malha como um todo do cabo
monopolar e do cabo tripolar, enquanto a Fig. 5 apresenta a
malha de um detalhe da veia do cabo monopolar e da veia
inferior esquerda do cabo tripolar, respectivamente. Ambas
as figuras tem a intenc¸a˜o de destacar a densidade da malha
utilizada.
Na Fig. 4, a a´rea denominada AirInf e´ uma regia˜o ne-
cessa´ria a fim de evitar erros de truncamento de domı´nio. No
contorno externo desta regia˜o, o potencial vetor magne´tico e´
zero (condic¸a˜o de Dirichlet homogeˆnea).
No processamento foi utilizado a formulac¸a˜o magneto-
dinaˆmica no GetDP. Dentro desta formulac¸a˜o, existe a pos-
sibilidade de trabalhar com o mo´dulo de circuitos ele´tricos, no
qual se optou por alimentar treˆs cabos curto-circuitados por
treˆs tenso˜es de 1 V, defasadas entre si de 120o (veja Fig. 6).
O arranjo assim foi montado para que a partir da leitura das
correntes, seja possı´vel levantar a impedaˆncia de cada veia,
fazendo uso da relac¸a˜o (veja Subsec¸a˜o II-C):
Zveia = Vveia/Iveia (13)
Todas as blindagens meta´licas foram interconectadas em ambas
as extremidades e estas conectadas aos respectivos terminais
de armadura (veja Fig. 6), sendo o potencial de armadura
flutuante.
Depois de esquematizado o circuito da Fig. 6, calcula-se
a corrente nas partes condutoras e o campo magne´tico nas
partes condutoras e na˜o condutoras no domı´nio de ca´lculo.
Finalmente procede-se com o ca´lculo da impedaˆncia das veias,
fazendo uso de (13).
Ressalta-se que a representac¸a˜o do diagrama da Fig. 6
tem como objetivo u´nico a compreensa˜o do co´digo gerado
Figura 6. Diagrama do circuito implementado no GetDP.
Tabela III. LEGENDA DOS GRA´FICOS
Abreviac¸a˜o Significado
A Analı´tico
Asb Analı´tico sem efeitoda blindagem
N Nume´rico
N1f Nume´rico monopolar
no GetDP, no submo´dulo de circuitos ele´tricos, e que a
modelagem do cabo e´ em duas dimenso˜es.
Para o caso monopolar utiliza-se apenas uma fonte e toda
a corrente retorna pela blindagem meta´lica. Na˜o ha´ conexa˜o
entre a blindagem meta´lica e a armadura.
VI. RESULTADOS
A validac¸a˜o dos resultados por comparac¸a˜o entre os resul-
tados das metodologias nume´rica e analı´tica so´ e´ factı´vel em
estruturas conceˆntricas, que e´ o caso de cabos monopolares.
Nos gra´ficos subsequentes sempre sa˜o mostradas as curvas
de resisteˆncia e indutaˆncia de um cabo monopolar junto com
as do cabo tripolar. Verifica-se em todos estes gra´ficos que
a metodologia nume´rica retorna os mesmos resultados que a
metodologia analı´tica para o cabo monopolar, o que indica
a validade da modelagem nume´rica adotada. Uma metodo-
logia semelhante para validac¸a˜o foi adotada na Sec¸a˜o VI da
refereˆncia [15].
Os gra´ficos apresentados nesta sec¸a˜o sa˜o para um cabo de
300 mm2 - 18/30 kV. O significado das legendas e´ dado na
Tabela III.
A. Resisteˆncia se´rie
Para o condutor central, o comportamento da resisteˆncia
e´ apresentado na Fig. 7, em que e´ possı´vel perceber a
semelhanc¸a, para toda a gama de frequeˆncias, entre as re-
sisteˆncias dada pelo equacionamento analı´tico (curva A) e a
calculada por me´todos nume´ricos para um cabo monopolar
(curva N1f). A curva N representa o resultado para o cabo
tripolar.
Apesar dos materiais e das geometrias do condutor
central serem os mesmos, observa-se uma diferenc¸a entre
as resisteˆncias quando comparado ao caso monopolar para
frequeˆncias superiores a 200 Hz.
Tais diferenc¸as sa˜o devidas ao efeito de proximidade com
as correntes das outras fases e com as correntes induzidas nas
blindagens meta´licas, fato este ratificado quando se observa a
Fig. 8, que indica que ja´ a 60 Hz existe uma distribuic¸a˜o na˜o
10
2
10
3
10
4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x 10
−3
 
 
X: 60
Y: 7.487e−05
Frequência [Hz]
R
es
is
tê
nc
ia
 [Ω
/m
]
A
N
N1f
Figura 7. Resisteˆncia se´rie do condutor central de uma das veias.
Figura 8. Densidade de corrente (A/m2) e distribuic¸a˜o das linhas de fluxo
magne´tico (Wb/m) para a frequeˆncia de 60Hz.
uniforme da densidade de corrente nos condutores centrais e
correntes induzidas nas blindagens meta´licas.
B. Indutaˆncia se´rie
Em se tratando da indutaˆncia se´rie, e´ necessa´rio levar em
considerac¸a˜o tanto o fluxo magne´tico entre as fases (indutaˆncia
externa), como aquele dentro do condutor central (indutaˆncia
interna). O comportamento da indutaˆncia interna e´ apresentado
na Fig. 9, onde, novamente, se verifica a semelhanc¸a, para
toda a faixa de frequeˆncias, entre o modelo analı´tico (curva
A) e o nume´rico para cabos monopolares (N1f). A diferenc¸a
na indutaˆncia interna em baixas frequeˆncias entre estes e o
cabo tripolar (curva N) e´ devida a` sobreposic¸a˜o dos fluxos
oriundos das outras fases.
Em altas frequeˆncias na˜o ocorre a sobreposic¸a˜o do fluxo
10
2
10
3
10
4
0
1
2
3
4
5
x 10
−8
Frequência [Hz]
In
du
tâ
nc
ia
 [H
/m
]
 
 
A
N
N1f
Figura 9. Indutaˆncia interna do condutor central de uma das veias.
Figura 10. Densidade de corrente (A/m2) e distribuic¸a˜o das linhas de fluxo
magne´tico (Wb/m) para a frequeˆncia de 20 kHz.
das outras fases, devido as correntes induzidas na blindagem
meta´lica blindarem o fluxo magne´tico em altas frequeˆncias
(veja Fig. 10).
O comportamento da indutaˆncia se´rie (interna + externa)
com a variac¸a˜o da frequeˆncia e´ apresentado na Fig. 11.
Novamente percebe-se a semelhanc¸a entre o modelo analı´tico
(curva A) e o nume´rico (N1f) para cabos monopolares. No
entanto, para cabos tripolares o fluxo a ser considerado para o
ca´lculo da indutaˆncia externa e´ o fluxo entre fases. Caso na˜o
houvesse o efeito da blindagem meta´lica, a indutaˆncia se´rie
seria dada pela curva Asb.
Atrave´s da ana´lise da Figs. 8, 10 e 11, percebe-se que
o efeito da blindagem magne´tica para diferentes frequeˆncias,
devido a presenc¸a de correntes de Foucault, e´:
(i) Muito pequeno em baixas frequeˆncias, em que as linhas
10
2
10
3
10
4
1.5
2
2.5
3
3.5
x 10
−7
 
 
X: 60
Y: 3.554e−07
Frequência [Hz]
In
du
tâ
nc
ia
 [H
/m
]
A
Asb
N
N1f
Figura 11. Indutaˆncia se´rie do condutor central de uma das fases.
de fluxo magne´tico esta˜o fortemente presentes entre as
duas fases (veja Fig. 8).
(ii) Muito alto em altas frequeˆncias, em que as linhas de
fluxo magne´tico esta˜o confinadas apenas no diele´trico
da respectiva veia (veja Fig. 10), reduzindo a indutaˆncia
se´rie ao valor da indutaˆncia se´rie do cabo monopolar.
(iii) Parcial em me´dias frequeˆncias, em que parte do fluxo
ultrapassa o limite da blindagem meta´lica, o que e´
explicitado quando se analisa a curva N da Fig. 11,
que fornece o valor da indutaˆncia se´rie em func¸a˜o da
frequeˆncia.
VII. CONCLUSO˜ES
Modelos analı´ticos sa˜o tipicamente ra´pidos de implementar
e os resultados que estes fornecem servem de base para ana´lise
comparativa com modelos nume´ricos. A principal desvantagem
reside na laboriosidade de sua implementac¸a˜o quanto na˜o e´
possı´vel identificar uma concentricidade na estrutura envol-
vida. Um exemplo de estrutura de cabos conceˆntricos sa˜o os
cabos monopolares e, sem concentricidade, os cabos tripolares.
Apesar das limitac¸o˜es da abordagem analı´tica em cabos
tripolares, a utilizac¸a˜o do equacionamento de cabos monopo-
lares para cabos tripolares e´ va´lida para a frequeˆncia industrial
de 50 ou 60 Hz. Resultados bem pro´ximos aos fornecidos
pelo fabricante foram encontrados. Contudo, metodologias
analı´ticas para a gama de frequeˆncias considerada e´ algo muito
difı´cil de ser implementado, face aos argumentos ja´ citados.
A modelagem nume´rica mostra que ha´ importantes
considerac¸o˜es a serem feitas nos cabos tripolares: (i) efeito
de proximidade das correntes oriundas das outras fases; (ii)
efeito de proximidade das correntes induzidas nas blindagens
meta´licas na impedaˆncia do condutor central; e (iii) efeito
parcial da blindagem magne´tica, que deve ser levado em
considerac¸a˜o para o ca´lculo da indutaˆncia externa.
Os resultados do presente modelo poderiam ser utilizados
como paraˆmetros de entrada de um software de ana´lise de tran-
sito´rios em linhas de transmissa˜o que considere a dependeˆncia
dos paraˆmetros (impedaˆncia se´rie e admitaˆncia paralela) com
a frequeˆncia. E´ necessa´rio considerar essa dependeˆncia para se
obter resultados mais precisos.
O programa desenvolvido para a elaborac¸a˜o dos resultados
do presente trabalho poderia ainda contemplar os detalhes
construtivos das blindagens, como a composta por fios, e
condutores centrais, como os encordoados, em vez de se
utilizar a te´cnica de homogeneizac¸a˜o.
VIII. PRETENSO˜ES FUTURAS
O modelo apresentado no presente trabalho e´ preliminar.
Trata-se de um sistema isolado, onde o modelo retorna as
impedaˆncias de sequeˆncia positiva do conjunto para uma gama
de frequeˆncias entre 20 Hz e 20 kHz.
E´ intenc¸a˜o dos autores evoluir o modelo no sentido que ele
possa atender tambe´m as diferentes configurac¸o˜es de cabos,
sem a aplicac¸a˜o de te´cnicas de homogeneizac¸a˜o (como as
aplicadas no condutor central e na blindagem meta´lica na
Sec¸a˜o V). Espera-se com isto aumentar a precisa˜o da resposta
do modelo, especialmente em altas frequeˆncias. Medic¸o˜es em
campo tera˜o que ser feitas para validac¸a˜o.
Por fim, pretende-se aplicar o me´todo dos elementos finitos
para o ca´lculo da admitaˆncia paralela existente entre todos os
elementos meta´licos do cabo, a fim de se obter um modelo
completo do mesmo para a faixa de frequeˆncias citada an-teriormente. De posse do modelo do cabo, pretende-se fazer
ana´lises comparativas com medic¸o˜es reais do comportamento
de uma determinada linha cabeada em situac¸o˜es crı´ticas do
ponto de vista ele´trico, tais como chaveamentos e surtos.
REFEREˆNCIAS
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Power Delivery, IEEE Transactions on, vol. 24, no. 4, pp. 2375–2384,
Oct 2009.
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	I Introdução
	II Características Básicas de um Cabo de Potência Submarino
	II-A Partes constituintes
	II-B Impedância série
	II-C Impedâncias próprias e mútuas
	III Formulação Magnetodinâmica
	IV Software de Elementos Finitos Utilizado
	V Metodologia
	V-A Correções aplicadas antes da simulação
	V-B Esquema simplificado do cabo
	V-C Aplicação do método de elementos finitos
	VI Resultados
	VI-A Resistência série
	VI-B Indutância série
	VII Conclusões
	VIII Pretensões Futuras
	Referências