Teorema de Castigliano para deflexão

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Teorema de Castigliano para deflexão
Disciplina: Teoria das estruturas
Prof. João Marcio S. Siqueira
INTRODUÇÃO
Seja a estrutura da Fig. 1- carregada com as cargas 
estáticas. Pi (cargas cujos valores crescem uniformemente 
desde zero até os valores máximos Pi) Em se tratando de uma 
estrutura elástica, ela se deformará, adquirindo a configuração 
indicada em tracejado na figura.
Como estamos no regime elástico, a condição de 
equilíbrio energético do sistema implicará na igualdade dos 
trabalhos das forças externas (cargas e reações) e das forças 
internas (esforços simples). Calculemos estes trabalhos.
a) Trabalho das forças externas:
O trabalho realizado por uma carga Pi que, por ser estática, 
apresenta um diagrama (carga x deformação) como o da Fig. 2,
vale:
OU seja:
O trabalho realizado por um esforço que cresce infinitamente desde 
zero até seu valor final (o mesmo acontecendo com a deformação Por ele 
provocada) vale a metade do produto dos valores finais do esforço Pela 
deformação que ele provocou. 
Esta conclusão é atribuída a Clapeyron
Como estamos no regime linear e vale o principio da superposição de 
efeitos, o trabalho das cargas externas P1, ..., P5, ..., P, valerá:
Como as cargas são estáticas, também os esforços que elas
provocam o são e podemos escrever que a energia (ou trabalho) real de 
deformaçãõ de um elemento de comprimento ds de estrutura vale:
No caso de uma estrutura no espaço, teríamos também o trabalho da 
torção, e a expressão da energia real de deformação, em sua forma mais geral, 
se escreverá
1° Teorema:
“A Derivada parcial da energia real de deformação em relação a uma das 
cargas aplicadas é igual a deformação elástica segundo a direção desta 
carga”
A demonstração é imediata:
Temos:
2° Teorema:
"A deriva parcial da energia real de deformação em relação
a deformação elástica segundo a direção de uma das cagas
aplicadas é igual ao dor desta caga”
A demonstração é imediata:
Temos:
Exemplo: Calcular o deslocamento vertical do ponto P da viga da Figura que 
tem rigidez E , I constante.
A energia real de deformação:
Temos, então:
Ex: Usando o teorema de Castigliano, determine a deflexão e a rotação da
extremidade livre da viga em balanço com carregamento uniformem-te, com EI =
constante.
Solução:
Como nenhuma força é aplicada onde deve ser determinada a 
deflexão, para a utilização do teorema de Castigliano, uma força fictícia RA 
= 0 deve ser aplicada neste ponto, que permite determinar
Logo.
Dados:
L=8m
E=210 Gpa = 210 . 10^6 KN/m²
I=1,07 . 10^-3 m4
Wo=4KN/m
Ex: Usando o teorema de Castigliano, determine a deflexão e a rotação da
extremidade livre da viga em balanço com carregamento uniformem-te
distribuído
Determinar o deslocamento vertical no ponto c na viga de aço mostrada na figura 
abaixo.
Adotar:
Ex: Determine a deflexão vertical do ponto B na estrutura abaixo, 
causada pela aplicação da força P = 3 N usando o segundo teorema de 
Castigliano. Assumir que cada barra tem seção transversal constante, com AAB
= A1 = 0,125 mm² e ABC = A2 = 0,219 mm². 
Tome E = 2.1 10¹¹ N/m².
Do equilíbrio estático no ponto B, temos:
A energia de deformação elástica do sistema é:
Derivando a expressão de energia com relação a P, força atuante em B, temos 
a deflexão vertical no ponto B.
Substituindo os valores na expressão acima, com L1 = 1005 mm e L2 = 2002 mm.
Vigas estaticamente Indeterminadas
Determinar as reações dos Apoios da viga de seção uniforme com o 
carregamento Indicado
RA=12,1875kN
RB=30,9375kN
RC=1,875kN
Bibliografia
HIBBELER, R. C., Resistência dos Materiais, 5ª edição, São Paulo: Pearson 
Education do Brasil, 2004.
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