RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - UNISA

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Henrique Furia e Mauro Noriaki Takeda 
com consultoria de Renato de Brito Sanchez 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SUMÁRIO 
 
1 CONCEITO DE TENSÃO, COMPRESSÃO E CISALHAMENTO ....................... 3 
2 ANÁLISE DAS TENSÕES E DEFORMAÇÕES .............................................. 10 
3 TENSÕES E EQUILÍBRIO .......................................................................... 20 
4 LEI DE HOOKE E MÓDULO DE YOUNG ................................................... 36 
5 ESTRUTURAS EM BARRAS ...................................................................... 45 
6 VIGAS E PÓRTICOS ................................................................................. 57 
 
 
 
 
 
 
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1 CONCEITO DE TENSÃO, COMPRESSÃO E CISALHAMENTO 
Você já ouviu falar em acidentes causados pela ruptura de alguma estrutura? Você 
deve ter se perguntado: por quê? A resposta está no conceito físico aplicado na 
engenharia, cuja denominação é “resistência dos materiais”. Alguns materiais resistem 
mais do que outros, em função da sua estrutura e concepção de produção. 
A resistência dos materiais é um ramo da mecânica que estuda as relações entre as 
cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças que agem 
no seu interior. 
Você deve observar que o assunto também envolve o cálculo das deformações do 
corpo, proporcionando o estudo de sua estabilidade quando sujeito a forças externas. 
 
1.1 Tensão 
A intensidade da força, ou força por unidade de área, que age perpendicularmente a 
variação 
da área, e definida como tensão normal, σ (sigma), uma vez que ∆𝐹𝑧 é normal à área, 
ou seja: 
𝜎𝑧 = lim
∆𝐴→0
∆𝐹𝑧
∆𝐴
 
Agora, devemos observar o seguinte: 
• Se a força normal ou tensão existir para tracionar o elemento de área ΔA, ela 
será denominada tensão de tração; 
 
 
 
 
4 
 
 
• se a força normal ou tensão existir para comprimir o elemento de área ΔA, ela 
será denominada tensão de compressão. 
E a tensão de cisalhamento? É importante analisar a seguinte situação: a tensão de 
cisalhamento e a intensidade da força, ou força por unidade de área, que age tangente 
a ΔA. Aqui, vamos designá-la pela letra grega ‘tau’, ou seja, a tensão de cisalhamento τ. 
Vamos analisar os componentes da tensão de cisalhamento: 
𝜏2𝑥 = lim
∆𝐴→0
∆𝐹𝑥
∆𝐴
 
𝜏2𝑦 = lim
∆𝐴→0
∆𝐹𝑦
∆𝐴
 
Atenção: 
A notação do índice z em 𝜎𝑧 é usada para indicar a direção da reta normal dirigida para 
fora, que específica a orientação da área ΔA. 
Na tensão de cisalhamento, são usados dois índices para o eixo z especifica a 
orientação da área e x e y referem-se às retas que indicam a direção das tensões de 
cisalhamento. 
Você deve lembrar que as unidades utilizadas no Sistema Internacional de Unidades 
(SI) para os valores da tensão normal e da tensão de cisalhamento são especificadas 
nas unidades básicas: 
𝑁
𝑚2
= 𝑃𝑎 
Agora, vamos analisar as reações de apoio. Note que as forças de superfície se 
desenvolvem nos apoios ou pontos de contato entre os corpos. 
 
 
 
 
 
 
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Figura 1.1 – Representação esquemática das forças e do momento aplicados ao 
ponto 
 
Em muitas situações, analisamos o corpo na condição de equilíbrio, exigindo um 
equilíbrio de forças, para impedir a translação ou o movimento acelerado do corpo ao 
longo de uma trajetória reta ou curva, e um equilíbrio de momentos, para impedir que 
o corpo gire. Essas condições podem ser expressas pelas equações: 
 
Para um sistema de coordenadas x, y e z, com origem no ponto o, os vetores força e 
momento podem ser resolvidos em componentes ao longo dos eixos coordenados, 
sendo as equações escritas da seguinte forma: 
 
Na pratica da engenharia, muitas vezes, a carga sobre um corpo pode ser representada 
através de um sistema de forças coplanares. 
 
 
 
 
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1.1.1 Distribuição de tensão normal média 
Vamos, agora, analisar uma barra que esteja submetida a uma deformação uniforme e 
constante. Essa deformação e o resultado de uma tensão normal constante σ. Você 
deve observar que cada área ΔA da secção transversal está submetida a uma forca 
dada por: 
ΔF =σ ⋅ ΔA 
Observe que a soma dessas forças que agem em toda a área da secção transversal 
deve ser equivalente a forca resultante interna P. 
∫𝑑𝐹𝑃 = ∫ 𝜎 × 𝑑𝐴
𝑎
 
ou 
𝑃 = 𝜎𝐴 
A tensão normal média, em qualquer ponto da área da secção transversal, será dada 
por: 
𝜎 =
𝑃
𝐴
 
 
1.2 Compressão 
Enquanto na tensão de tração temos a aplicação de forças em uma relação uniaxial 
com resultado de alongar o material, na compressão estas forças convergem para um 
mesmo ponto, ou seja, o material tende a diminuir seu comprimento do sentido 
uniaxial da aplicação destas forças. Isso contrasta com a tração, ou seja, a aplicação de 
forças equilibradas. A resistência à compressão de materiais e estruturas é uma 
importante consideração na engenharia. 
 
 
 
 
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Na compressão uniaxial, as forças são dirigidas ao longo de apenas uma direção, de 
modo que atuem no sentido de diminuir o comprimento da peça ou estrutura ao longo 
dessa direção. Se o próprio vetor do stress é oposto a x, é dito que o material está sob 
compressão normal ou tensão de compressão. 
Quando posto sob compressão ou qualquer outro tipo de stress, todo o material irá 
sofrer alguma deformação, mesmo que imperceptível, que faz com que as posições 
relativas médias dos seus átomos e moléculas possam se alterar. A deformação pode 
ser permanente, ou pode ser revertida quando desfeitas as forças de compressão. 
Neste último caso, a deformação dá origem a forças de reação que se opõem às forças 
de compressão, e pode, eventualmente, equilibrá-los. 
 
Figura 1.1 – Gota de Rupert 
 
 
Um exemplo de compressão é a gota de Rupert, quando se joga vidro derretido em 
água fria o vidro se solidifica rapidamente em forma de gota, essa solidificação da gota 
de vidro comprime o núcleo da gota (a parte grossa), desenvolvendo grande pressão e 
resistência nessa área, isso se dá devido ao fato da compressão as forças convergirem 
para o núcleo da gota, para um mesmo ponto, ou seja, o material tende a diminuir seu 
 
 
 
 
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comprimento do sentido uniaxial da aplicação destas forças, mas devido a solidificação 
da camada externa do vidro, não há variação ou deformação para que o vidro se 
expanda, fazendo com que o núcleo permaneça sendo comprimido permanentemente 
até esfriar, dando incrível resistência ao material, isso se dá devido a um estado 
extremamente alto de estresse tensional no interior e um estado de compressão 
extremamente alto no exterior da gota, mas, quando qualquer parte dessa gota se 
quebra, a gota inteira explode, alimentando-se da própria energia armazenada, sendo 
essa energia armazenada obtida pela tensão mecânica, e esta onda de energia é 
chamada de limite de ruptura. 
 
1.3 Cisalhamento 
O cisalhamento define a presença de uma força tangencial que existe sobre uma 
determinada área, definida por A, tal que a tensão de cisalhamento pode ser 
expressa pelo símbolo . 
Figura 1.3 – Cisalhamento 
 
 
 
 
 
 
 
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Matematicamente a tensão de cisalhamento pode ser definhada como: 
𝜏𝑧𝑥 = lim
∆𝐴→0
∆𝐹𝑥
∆𝐴
 (1) 
 
𝜏𝑧𝑦 = lim
∆𝐴→0
∆𝐹𝑦
∆𝐴
 (2) 
 
 
Conclusão 
Neste capítulo, você estudou que a resistência dos materiais é um ramo da mecânica 
que estuda as relações entre as cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a 
intensidade das forças que agem no seu interior. Se a força normal ou tensão existir 
para tracionar o elemento de área ΔA, ela será denominada tensão de tração, mas, se 
existir para comprimir o elemento de área ΔA, será denominada tensão de 
compressão. 
 
REFERÊNCIAS 
“GOTA do Príncipe Rupert: O Vidro que não Quebra, mas explode”. In: Ciências e 
Engenharia. Disponível em: <https://cientificaengenharia.blogspot.com/>. Acessoem: 
10 de set. de 2020. 
“MYSTERY of Prince Rupert’s Drop - Smarter Every Day”. In: YouTube. Disponível em: < 
https://bit.ly/35UhNCe >. Acesso em: 11 de set. de 2020. 
“Tração e Compressão”. In: Passei direto. Disponível em: <https://bit.ly/3mKpJMG>. 
Acesso em: 10 de set. de 2020. 
 
 
 
 
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2 ANÁLISE DAS TENSÕES E DEFORMAÇÕES 
A resistência de um material depende de sua capacidade de suportar uma carga, sem 
deformação excessiva ou ruptura. Essa propriedade é inerente ao próprio material e 
deve ser determinada por métodos experimentais, como o ensaio de tração ou 
compressão. 
Uma máquina de teste e projetada para ler a carga exigida, para manter o 
alongamento uniforme. 
 
Figura 2.2 – Esquema de máquina de tração ou compressão 
 
 
2.1 Tensão-deformação 
A tensão nominal σ, ou tensão de engenharia, e determinada pela divisão da carga 
aplicada P pela área original da secção transversal do corpo de prova A0. 
 
 
 
 
 
 
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A tensão é dada pela equação: 
 
A deformação nominal ε, ou deformação de engenharia, e determinada pela razão da 
variação δ, no comprimento de referência do corpo de prova, pelo comprimento de 
referência original do corpo de prova L0. A equação e dada por: 
 
Para um comportamento elástico, temos que: 
• a tensão é proporcional a deformação; 
• o material é linearmente elástico. 
O escoamento ocorre quando um pequeno aumento na tensão, acima do limite de 
elasticidade, resulta no colapso do material, fazendo com que ele se deforme 
permanentemente. 
Você deve observar que pode ocorrer um endurecimento por deformação, quando o 
escoamento tiver terminado. Aplicando uma carga adicional ao corpo de prova, 
obtém-se uma curva que cresce continuamente, mas se torna mais achatada, até 
atingir a tensão máxima, denominada limite de resistência. 
Você vai constatar que, no limite de resistência, a área da secção transversal começa a 
diminuir em uma região localizada do corpo de prova, causando o que denominamos 
estricção. 
 
 
 
 
 
 
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Figura 2.3 – Máquina de ensaio de tração da marca Panambra 
 
Nesse caso, o corpo de prova quebra-se quando atinge a tensão de ruptura. 
Devemos notar que os valores da tensão e da deformação calculados por essas 
medições são denominados tensão real e deformação real. 
Vamos analisar o comportamento da tensão-deformação de materiais dúcteis e 
frágeis. Mas, o que é um material dúctil? Um material dúctil é aquele que pode ser 
submetido a grandes deformações antes de sofrer ruptura. Já um material frágil exibe 
pouco ou nenhum escoamento antes da falha. 
Bônus: 
Na figura 2.3, está sendo representado um exemplo de máquina de tração, para um 
ensaio de tração como o nome da máquina indica. 
 
 
 
 
 
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Figura 2.4- Exemplo de máquina de tração 
 
Um ensaio de tração consiste aplicar uma força uniaxial no material, tendendo-o a 
alongá-lo (tração) até o momento de sua fratura. Os corpos de prova ou CPs são 
padronizados por normas técnicas e na maioria das vezes são circulares ou 
retangulares. 
Como pode ser visto na figura 2.3, o corpo de prova é fixado pelas suas extremidades 
nas garras de fixação da máquina de tração, com isso o corpo de prova então é 
submetido a um esforço, aplicando carga gradativa e registrando cada valor de força 
correspondente a um tipo de deformação no material como pode ser visto na figura 
2.4, na qual é apresentada a deformação no material até o limite de escoamento, 
nesse caso a deformação resultante é um tipo de alongamento do material, 
alongamento este sendo medido por um extensômetro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 2.5- Variação da deformação de acordo com a tensão 
 
 
2.2 Módulo de cisalhamento 
Vamos, agora, pensar em fixar um parafuso na parede, utilizando uma chave de fenda. 
Elementos de fixação, como pregos e parafusos, frequentemente estão sujeitos a 
cargas de cisalhamento. Note que a intensidade de uma força de cisalhamento sobre o 
elemento de fixação e maior ao longo de um plano que passa pelas superfícies 
interconectadas. 
A tensão de cisalhamento média distribuída sobre cada área seccionada e definida por: 
 
Em que: 
• τ média: tensão de cisalhamento média na secção, que consideramos a mesma 
em cada ponto localizado na secção; 
 
 
 
 
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• V: força de cisalhamento interna resultante na secção, determinada pelas 
equações de equilíbrio; 
• A: área na secção. 
O comportamento de um material submetido a cisalhamento puro pode ser estudado 
em laboratório, por meio de corpos de prova na forma de tubos finos submetidos a 
carga de torção. Se o torque aplicado e os ângulos de torção resultantes forem 
medidos, os dados podem ser utilizados para determinar a tensão de cisalhamento e a 
deformação por cisalhamento. 
Vamos admitir que a maioria dos materiais de engenharia apresente um 
comportamento linear elástico; portanto, a lei de Hooke para cisalhamento pode ser 
expressa por: 
 
 
Em que: 
• G: módulo de elasticidade ao cisalhamento ou módulo de rigidez. 
Uma tensão de cisalhamento aplicada a um material homogêneo e isotrópico somente 
produz deformação por cisalhamento no mesmo plano. 
 
2.3 Círculo de mohr 
O círculo de Mohr é um método gráfico bidimensional representativo da lei de 
transformação do tensor tensão de Cauchy, sendo por isso utilizado para resolver um 
estado de tensões, mas para que seja possível o uso desse método, é necessário que 
cada plano seja representado por um ponto em um sistema de coordenadas (σ; τ). É 
possível calcular com essa representação gráfica, momentos de inércia, deformações e 
 
 
 
 
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tensões, adaptando esses cálculos a uma característica de um círculo, sendo também 
possível calcular o esforço cortante máximo absoluto e a deformação máxima 
absoluta. 
Para que se faça o gráfico do círculo de Mohr é preciso se atentar a algumas condições: 
• Os planos das tensões principais são representados por pontos que se 
encontram no eixo σ, já que neles a tensão de cisalhamento é igual a zero; 
• As tensões de cisalhamento, mínimo e máximo, são representadas por pontos 
que são simétricos em relação ao eixo σ. Lembrando que nestes planos ocorre 
a mesma tensão normal e que as tensões de cisalhamento são iguais e de sinais 
opostos. 
 
Figura 2.6 – Cisalhamento, máximo e mínimo 
 
Fonte: Erik Chia, 2020. 
 
• A tensão normal que atua nos planos das tensões de cisalhamento, máxima e 
mínima, é igual à média aritmética das tensões principais; 
 
 
 
 
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• Planos perpendiculares entre si são representados por pontos que à mesma 
distância do eixo σ, porém em lados opostos. Note-se aqui que a tensão 
normal média dos dois planos é igual à tensão média das tensões principais. 
 
Figura 2.7 – Planos perpendiculares entre si 
 
Fonte: Erik Chia, 2020. 
Como pode ser visto na figura 2.7, ao possuir todas as condições simultaneamente foi 
obtido um círculo que é denominado Círculo de Mohr, sendo que Mohr foi o nome do 
idealizador e o Círculo a figura geométrica obtida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 2.8- Círculo de Mohr 
 
Fonte: Erik Chia, 2020. 
 
 
Conclusão 
Neste capítulo, você estudou que muitos materiais de engenharia exibem 
comportamento inicial linear elástico, sendo a tensão proporcional a deformação e 
definida pela lei de Hooke. Quando o material sofre tensão além do ponto de 
escoamento, ocorre deformação permanente. O comportamento de um material 
submetido a cisalhamento puro pode ser estudado em laboratório, por meio de corpos 
de prova na forma de tubos finos submetidos a carga de torção. Também estudou 
sobre o círculo de Mohr e seu método de utilização. 
 
REFERÊNCIAS 
CALLISTER JR., W. Ciência e Engenharia de Materiais Uma Introdução – Sétima Edição. 
In: Apostila Telecurso 2000 – Mecânica. 
 
 
 
 
 
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CLAROS, L. “Círculo de Mohr”. In: Prezi. Disponível em: 
<https://prezi.com/n0c8bvn5lkgm/exposicion-circulo-de-mohr/>.Acesso em: 10 de 
set. de 2020. 
TRIGO, T. “Ensaio de Tração”. In: InfoEscola. Disponível em: 
<https://tecnoblog.net/247956/referencia-site-abnt-artigos/>. Acesso em: 10 de set. 
de 2020. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3 TENSÕES E EQUILÍBRIO 
Neste bloco serão tratados os conceitos de equilíbrio das estruturas, tensões e 
deformações. Inicia-se o estudo dos vínculos estruturais e reações de apoio que 
ocorrem nestas estruturas em consequência das ações sobre elas aplicadas. 
As estruturas são projetadas para suportar cargas, mantendo o equilíbrio e com 
deformações controladas, mantendo-se a estética e a funcionalidade do sistema. 
Neste sentido, torna-se necessário criar modelos matemáticos para resolver estas 
estruturas simples, utilizando conceitos físicos relacionados ao equilíbrio, às tensões e 
às deformações. 
 
3.1 Vínculos e reações. Modelagem matemática. 
O equilíbrio das estruturas é a primeira verificação de qualquer projeto estrutural: é 
necessário que a estrutura mantenha a sua estabilidade durante toda a vida útil, ou 
seja, enquanto a estrutura for utilizada, não poderão ocorrer movimentações das suas 
partes como corpos rígidos. Cada um destes movimentos pode ser considerado como a 
combinação de uma translação com uma rotação. 
Para garantir este comportamento de estabilidade, a resultante de todas as forças 
externas a estrutura é nula e o momento destas forças em relação a qualquer ponto da 
estrutura é nulo. 
A estrutura deve ser construída para suportar os esforços externos ativos a ela, que 
são gerados pelos carregamentos que surgem devido ao uso da estrutura. Tomam-se 
como por exemplos: o peso do próprio da estrutura, o peso de pessoas e de objetos 
sobre a estrutura, além de pressões externas ao sistema. 
Um modelo matemático precisa ser construído para avaliar o efeito das ações e das 
reações sobre a estrutura. Uma viga pode ser representada por uma estrutura de barra 
 
 
 
 
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que esteja adequadamente vinculada para garantir o equilíbrio. Cada vínculo 
corresponde a uma restrição ao movimento de parte da estrutura que é imposta por 
um tipo de apoio. Os apoios são dispositivos que ligam os pontos do sistema a outros 
pontos a fim de impedir determinados movimentos. 
O apoio simples ou a articulação móvel impede o deslocamento na direção 
perpendicular à reta de vinculação. A articulação fixa impede todos os deslocamentos 
de translação. O primeiro modelo para estudo é o de uma viga simplesmente apoiada 
sob as duas extremidades: 
Desenho 3.1 – Viga sobre um apoio fixo à esquerda e um 
apoio móvel à direita 
 
 
 
Fonte: O autor. 
 
 
Assim, qualquer carregamento que nela for colocado será equilibrado pelos apoios 
colocados nas extremidades. Se um carregamento uniformemente distribuído de 
intensidade 𝑝 for colocado sobre a viga de comprimento ℓ, a representação do modelo 
da estrutura passa a ser o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Desenho 3.2 – Viga duplamente apoiada com carregamento uniformemente 
distribuído 
 
Fonte: O autor. 
Os esforços sobre a viga migram em direção às extremidades, onde estão os apoios, 
que absorverão estes carregamentos e manterão a estrutura em equilíbrio. Assim, 
metade do carregamento será absorvido por cada um dos apoios. Um sistema de 
forças mecanicamente equivalentes é mostrado abaixo: 
Desenho 3.3 – Sistema mecanicamente equivalente ao Desenho 3.2, com as reações 
de apoio 
 
 
 
 
 
 
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As reações de apoio, uma em cada lado, garantem o equilíbrio da estrutura, de modo 
que a soma vetorial de forças é nula, e o momento de rotação, em relação a qualquer 
ponto da estrutura, também será nulo. É importante observar que, apesar de serem 
estaticamente equivalentes, as estruturas acima deformam-se de maneiras diferentes. 
Um vínculo de engastamento impede todas as translações e todos os movimentos de 
rotação em torno do ponto vinculado, como apresentado no desenho abaixo: 
 
Desenho 3.4 – Viga engastada com carregamento uniformemente distribuído 
 
 
Os esforços sobre a viga migram em direção à extremidade engastada, onde está o 
único apoio, que absorverá estes carregamentos, mantendo a estrutura em equilíbrio. 
No Desenho 3.5 é aprestado um sistema mecânico estaticamente equivalente ao 
sistema acima, incluindo as respectivas reações de apoio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Desenho 3.5 – Sistema mecanicamente equivalente ao Desenho 3.4, com as reações 
de apoio 
 
Fonte: O autor. 
 
O apoio de engaste, na extremidade esquerda da barra, absorverá a resultante do 
carregamento distribuído e o momento resultante destes carregamentos. 
 
3.2 Tensões 
Naturalmente, além do equilíbrio estrutural é também necessário avaliar os efeitos das 
ações nos sólidos deformáveis, em especial as estruturas de barras. O conceito de 
tensão em um sólido é apresentado na sequência. 
Quando o sólido da Ilustração 1 é submetido a um conjunto de forças e momentos, 
estes esforços ativos, aplicados na região 𝑆' do sólido, migram na estrutura até as 
regiões Sμ dos vínculos, sendo então equilibradas pelas reações de apoio, assim como 
fora mostrado no Desenho 3.2 para uma estrutura de barras. 
 
 
 
 
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Figura 3.1 – Esforços ativos e reativos 
 
Fonte: SILVA (2005). 
Efetuando-se cortes como o plano 𝜋 representado, é possível determinar a distribuição 
de esforços no interior do sólido, ao dividi-lo em duas partes {𝑉,; 𝑉,,}, conforme a figura 
3.2. 
 
Figura 3.2 – Partes do sólido em equilíbrio 
 
Fonte: SILVA (2005). 
 
 
 
 
 
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Para preservar o equilíbrio, esforços internos impedem que estas partes se separem. 
Assim, as ações que agem de uma parte sobre a outra deverão ser de mesma 
intensidade e sentidos opostos, conforme a lei da ação e reação. 
Figura 3.3 – Representação das tensões 
 
Fonte: SILVA (2005). 
 
As resultantes ∆𝐹 das forças de superfície que agem na parte esquerda do sólido, 
devida a ação da parte direita sobre ele, são apresentadas na figura 3.3, que contém a 
representação da normal unitária 𝑛3 , externa à parte esquerda, em relação ao plano 
de corte: 
 
Assim, a tensão atuante no ponto 𝑃 é definida como sendo a razão entre cada 
resultante ∆𝐹 e as respectivas áreas de influência ∆𝐴, tomada tão pequena quanto se 
queira: 
 
 
 
 
 
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Considerando-se a parcela da tensão 𝜌⃗ relativa à direção perpendicular ao plano 𝜋, 
caracteriza-se a tensão normal 𝜎 . A outra componente atua no plano 𝜋, estando 
associada ao corte; esta é a tensão de cisalhamento 𝜏 , como mostrado na figura 3.4. 
As tensões total, normal e de cisalhamento, respectivamente (𝜌⃗ ; 𝜎 ; 𝜏 ), estão 
vetorialmente relacionadas por: 
 
 
Ilustração 3.4 – Tensão normal e tensão de cisalhamento 
 
Fonte: SILVA (2005). 
 
Em uma barra de comprimento inicial ℓ com seção transversal maciça de área 𝐴, como 
representada na Ilustração 3.5, o modelo de cálculo é mais simples. 
Ilustração 3.5 – Barra sólida 
 
 
Fonte: O autor. 
 
 
 
 
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Considerando-se 𝑁 a força aplicada longitudinalmente à barra, provocando tendência 
de deslocamentos axiais, a tensão normal (uniforme) na respectiva seção vale: 
𝜎 = 
𝑁
 
𝐴 
 
No caso em que uma força 𝑉 é aplicada transversalmente à barra, produzindo 
tendência de corte em relação ao plano da seção transversal, a tensão (média) de 
cisalhamento vale: 
𝜏 = 
𝑉
 
𝐴 
 
Uma vez submetido a estes (e outros) esforços ativos, a barra, devido às tensões 
internas que absorve, sofre deformações. No caso de esforços de tração, a barra sofre 
alongamento, aumentando o seu comprimento em uma medida ∆ℓ, resultando em 
um comprimento final ℓ + ∆ℓ. No caso de compressão, a barra sobre encurtamento, 
que a deixa com comprimento final ℓ − ∆ℓ. 
A deformação específica é taxa de alongamento da barra, estabelecida conforme a 
relação: 
𝜀 = 
∆ℓ
 
ℓ 
 
Consequentemente,quando submetida à tração, a deformação da barra é 
algebricamente positiva; no caso de compressão, o valor é negativo. Para avaliar a 
relação entre as tensões e as respectivas deformações, é necessário estabelecer 
modelos matemáticos, realizar ensaios e validar a teoria. 
 
 
 
 
 
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3.3 Comportamento elástico linear 
Trata-se do modelo físico em que as tensões variam linearmente com as deformações 
sofridas pelo corpo, ou seja, como uma função linear. Neste caso, ao construir um 
diagrama relacionando as grandezas de tensão (ou de força) por deformação (ou 
deslocamento), obtém-se, para o respectivo material, a representação do desenho 3.6. 
 
Desenho 3.6 – Regimes elástico e plástico 
 
Fonte: O autor. 
 
3.3.1 Elasticidade longitudinal 
Em geral, um material tem comportamentos diferentes quando submetido à tração 
(com valores algebricamente positivos no diagrama) ou à compressão (com valores 
algebricamente negativos). O exemplo apresentado no desenho 3.6 corresponde a um 
material que resiste menos à compressão que à tração. 
As constantes físicas indicadas no desenho 3.6 têm as suas descrições apresentadas na 
tabela abaixo. 
 
 
 
 
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Os respectivos valores são estabelecidos a partir de ensaios, validados em modelos 
matemáticos e apresentados em normas, específicas ao material de trabalho. 
 
Tabela 3.1 – Tensões e deformações 
SÍMBOLO SIGNIFICADO 
𝑚 Material 
𝜎 Tensão atuante no material 
𝑓MN Tensão de escoamento na tração 
𝑓MQ Tensão de escoamento na compressão 
𝜀 Deformação sofrida pelo material 
𝜀MN Limite de proporcionalidade na tração 
𝜀MQ Limite de proporcionalidade na compressão 
𝜀(N Limite último de ruptura por estiramento excessivo 
𝜀(Q Limite último de ruptura por esmagamento 
excessivo 
𝐸 Módulo de elasticidade longitudinal 
 
Fonte: O autor. 
 
No modelo apresentado no desenho 3.6, o comportamento elástico linear é limitado 
ao intervalo T𝜀MQ, 𝜀MNU. Este intervalo contém a origem dos eixos, uma vez que há 
deformação na compressão. 
 
 
Após este regime, o material continua a se deformar sem acréscimo de tensão; é o 
regime plástico em que ocorre escoamento até o momento da ruptura 𝜀𝑢𝑡 por tração 
ou 𝜀𝑢𝑐 por compressão. 
 
 
 
 
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A relação linear entre deformação e tensão que ocorre no regime elástico é devida a 
Robert Hooke: 
𝜎K = 𝐸K ∙ 𝜀K 
 
A constante física que faz o papel matemático de coeficiente angular no gráfico da 
função apresentada no desenho 3.6 é o módulo de elasticidade longitudinal, devido a 
Thomas Young. Cada material tem a sua propriedade. No caso da madeira, 
representada, por exemplo, o módulo de elasticidade é diferente conforme a direção 
de trabalho. 
 
3.3.2 Efeito de Poisson 
A contração natural ocorrida em diferentes direções em relação a direção de 
alongamento em sólido, é denominada de Efeito de Poisson, em homenagem à Siméon 
Denis Poisson. 
 
Desenho 3.7 – Deslocamentos e efeito Poisson 
 
 
Fonte: SILVA (2005). 
 
 
 
 
32 
 
 
 
Ao submeter o sólido azul de volume 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 à tração axial, aparece o 
alongamento 𝑑𝑢 nesta direção, representado na direção positiva do eixo 𝑥. Nas outras 
direções, aparecem os deslocamentos {𝑑𝑣, 𝑑𝑤}, representados nas direções negativas 
dos eixos {𝑦, 𝑧}, respectivamente. As taxas de variação destas grandezas definem as 
deformações lineares específicas, uma em cada direção. Levando-se ao limite, 
estabelecem-se as seguintes derivadas parciais: 
 
 
3.3.3 Cálculo de deslocamento 
Barras como a da figura 3.5, quando carregadas axialmente, sofrem alongamentos 
conforme os carregamentos aplicados. Considerando-se o regime elástico de trabalho 
apresentado no desenho 3.6, vale a lei de Hooke, que versa sobre a linearidade entre 
tensão e deformação, apresentada com a nomenclatura da tabela 3.2. 
Tabela 3.2 – Ensaio de tração 
SÍMBOLO SIGNIFICADO 
𝑁 Força normal de tração aplicada na barra 
𝐴 Área da seção transversal da barra 
𝜎 Tensão normal na barra 
ℓ Comprimento inicial da barra 
∆ℓ Alongamento na barra devido à tração 
𝜀 Deformação sofrida pelo material 
𝐸 Módulo de elasticidade longitudinal 
 
Fonte: O Autor. 
 
 
 
 
 
33 
 
 
Em um ensaio de tração, a força 𝑁 aplicada pela máquina é progressivamente 
aumentada, e os alongamentos ∆ℓ obedecem a progressão linear, estabelecidas 
conforme as relações: 
 
Este regime elástico permanece enquanto a deformação respeitar a restrição: 
𝜀 ≤ 𝜀MN 
Depois disto, como mostrado no desenho 3.6, o material atinge o escoamento, e os 
alongamentos continuam a evoluir sem acréscimo de tensão normal, que fica 
estabilizada no valor: 
𝜎 = 𝑓MN 
A partir deste ponto, o material trabalha em regime plástico, preparando-se para 
romper, o que efetivamente acontece quando a deformação atinge o limite último: 
𝜀 = 𝜀(N 
Obviamente o interesse é estabelecer as relações entre forças e tensões e 
deformações ainda no regime elástico, antes da ruptura. Substituindo as definições 
de tensão e deformação na lei de Hooke, obtêm-se as seguintes relações: 
 
 
Em ensaios de compressão, realizadas com deformações controladas, a barra sofre 
diminuição progressiva de comprimento, e algebricamente a força normal e as 
deformações são negativas, permanecendo válido o desenho 3.6. 
 
 
 
 
34 
 
 
Conclusão 
O equilíbrio das estruturas é a primeira verificação de qualquer projeto estrutural, 
para garantir a sua estabilidade durante toda a vida útil. Para isto, vínculos devem 
ser construídos a fim de restringir deslocamentos e rotações, e receber os esforços 
que, aplicados sobre as estruturas, migram para as regiões dos apoios. 
A estrutura do desenho 3.2, submetida a um carregamento uniforme, sofre 
deslocamentos proporcionais ao carregamento nela aplicado. O apoio fixo da 
esquerda restringe qualquer translação. O apoio móvel da direita restringe apenas 
deslocamentos verticais. Ou seja, as reações de apoio, uma em cada lado, garantem o 
equilíbrio da estrutura, de modo que a soma vetorial de forças é nula, e o momento 
de rotação, em relação a qualquer ponto da estrutura, também será nulo. 
É parte importante avaliar se a estrutura que está sob carregamento sofre com 
deslocamentos excessivos que podem, por um lado, apenas causar desconforto ao 
usuário, mas, por outro lado, prejudicar a estabilidade global e inviabilizar a 
utilização da estrutura. 
O cálculo de deslocamentos precisa ser realizado para estabelecer os limites 
admissíveis para a estrutura. O modelo matemático de deformações em regime 
elástico, apresentado no desenho 3.6, é fundamental para estabelecer as relações 
entre forças e deslocamentos em barras carregadas axialmente com uma força 
normal 𝑁. 
A variação de temperatura precisa também ser considerada, conforme o material e 
seu respectivo coeficiente 𝛼 de dilatação térmica, principalmente em estruturas de 
precisão milimétrica. Somando-se estes efeitos, a deformação na barra é dada pela 
relação: 
 
 
 
 
 
35 
 
 
𝜀 = 𝛼 ∙ Δ𝑇 + 
𝑁 ∙ ℓ
 
𝐸 ∙ 𝐴 
No caso de tração, a força normal é algebricamente positiva; na compressão, 
negativa. No caso de dilatação térmica, gerada por variação positiva de temperatura, 
a contribuição na deformação é medida com o mesmo sinal algébrico. 
 
REFERÊNCIAS 
SILVA, H. F. Formulação do problema da torção uniforme em barras de seção 
transversal maciça. Dissertação de mestrado. Escola Politécnica, 2005. 
WOLFGANG, B. WESTFALL, G. D. DIAS, H. Física para Universitários – Mecânica. São 
Paulo: McGraw Hill Brasil, 2012. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
 
 
4 LEI DE HOOKE E MÓDULO DE YOUNG 
Você já estudou a lei de Hooke. Nesse caso, vamos aplicá-la em resistência dos 
materiais. 
A lei de Hooke define a relação linear entre a tensão e a deformação dentro da região 
elástica, sendo dada pela equação: 
 
Em que: 
• σ representa a tensão aplicada; 
• E representao modulo de Young; 
• ε representa a deformação sofrida pelo corpo. 
O módulo de Young somente pode ser utilizado se o material apresentar uma relação 
linear elástica. 
 
4.1 Energia de deformação e elasticidade volumétrica 
Quando um material é deformado por uma carga externa, tende a armazenar energia 
internamente, em todo o seu volume. Como essa energia está relacionada com as 
deformações no material, ela é denominada energia de deformação. 
Agora, vamos representar um corpo sofrendo uma deformação em função da carga 
aplicada ao corpo. 
 
 
 
 
 
37 
 
 
A tensão desenvolve uma forca dada por: 
 
Essa variação de força ocorre nas faces superior e inferior do elemento, após ele ter 
sofrido um deslocamento εΔz. 
Figura 4.1 – Face superior e inferior de um elemento 
 
Agora, vamos relembrar o que é trabalho em física. 
Você pode definir o trabalho pelo produto entre a força e o deslocamento na direção 
da força. A deformação aumenta uniformemente de zero até seu valor final δF, 
quando é obtido o deslocamento εΔz; nesse caso, o trabalho realizado pela força sobre 
o elemento é igual ao valor médio da força (
∆𝐹
2
) vezes o deslocamento εΔz. 
Note que esse trabalho externo é equivalente ao trabalho interno ou energia de 
deformação armazenada no elemento ou corpo de prova, quando do ensaio real. 
Agora, vamos considerar que nenhuma energia foi perdida na forma de calor. Nesse 
caso, a energia de deformação é: 
 
 
 
 
 
38 
 
 
 
ou 
 
 
Lembre-se de que o volume do elemento é dado por: 
 
Vamos definir a densidade de energia de deformação, que é dada pela equação: 
 
Se o comportamento do material for linear elástico, a lei de Hooke aplica-se e a 
equação é dada por: 
 
Veja que podemos expressar a densidade de energia de deformação em termos de 
tensão uniaxial, como: 
 
ou 
 
 
 
 
 
39 
 
 
Portanto, temos: 
 
Quando uma barra é confeccionada em material homogêneo e isotrópico e submetida 
a uma força axial que age no centro da área de secção transversal, o material no 
interior da barra é submetido somente à tensão normal, admitindo-se que essa tensão 
é uniforme ou média na área da secção transversal. 
Quando um material homogêneo e isotrópico é submetido a um estado de tensão 
triaxial, a deformação em uma das direções da tensão é influenciada pelas 
deformações produzidas por todas as tensões. 
 
4.2 Propriedades mecânicas dos materiais 
Os materiais são identificados por algumas propriedades mecânicas, por exemplo, 
resistência mecânica, rigidez, ductilidade, resiliência, dureza e tenacidade. Mas como 
determinar as propriedades mecânicas dos materiais? Um exemplo seria através de 
ensaios mecânicos, como ensaio de tração ou compressão, utilizando normalmente 
corpos de prova, sendo que esses corpos de prova são padronizados por normas 
técnicas, utilizando também as normas técnicas para o procedimento das medidas e de 
confecção. 
Nos ensaios mecânicos é possível obter dos materiais a resistência à tração, 
compressão, torção, ao choque, ao desgaste e resistência à fadiga, além da dureza. 
E a ductilidade? Bom a ductilidade é a deformação plástica total, até o ponto de 
ruptura de um material. 
 
 
 
 
 
40 
 
 
Figura 4.9 – Exemplo de ductilidade 
 
 
 
Como pode ser visto na figura 4.2, a ductilidade pode ser dividida entre duas 
características, materiais frágeis e materiais dúctil, sendo um material considerado 
dúctil quando se deforma sob tensão, em metais como ouro, cobre e alumínio, é 
possível ver a formação de um cone característico na área de ruptura, típico dos 
materiais dúcteis. E um material frágil quando se rompe com pouca ou nenhuma 
deformação no processo de ensaio de tração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
 
Figura 4.3 – Exemplo de deformações nos materiais 
 
 
4.3 Resiliência e tenacidade 
4.3.1 Módulo de resiliência (μr) 
Uma das propriedades mecânicas fundamentais para a análise de materiais se dá por 
meio do módulo de resiliência, o qual descreve o ponto em que o material pode ser 
carregado com tensões, tal que acumule energia associada a deformação por unidade 
de volume sem que este cruze o limiar entre os regimes elástico e plástico, ou seja, 
ocorre durante a região elástica da deformação. 
Em particular, quando a tensão σ atinge o limite de proporcionalidade, a densidade de 
energia de deformação é denominada módulo de resiliência. O módulo de resiliência é 
dado por: 
 
 
ou 
 
 
 
 
 
42 
 
 
Figura 3.4 – Curva de tensão-deformação 
 
 
 
Atenção: 
A resiliência de um material representa a sua capacidade de absorver energia, sem 
sofrer qualquer dano permanente. 
 
4.3.2 Módulo de tenacidade (μt) 
Embora atue com os esforços associados à deformação, assim como a Resiliência, a 
propriedade de Tenacidade difere por estar associado a capacidade do material em 
absorver energia até o ponto de fratura, ou seja, está relacionado ao regime elástico e 
elasto-plástico de cada tipo de material. 
O modulo de tenacidade é representado pela área inteira no diagrama de tensão-
deformação; portanto, indica a densidade de deformação do material um pouco antes 
da ruptura. Essa propriedade e importante no projeto de elementos de estruturas que 
possam ser sobrecarregadas acidentalmente. 
 
 
 
 
 
43 
 
 
Figura 4.10 – Curva de tensão-deformação para a tenacidade 
 
 
 
Materiais com alto modulo de tenacidade sofrem grande distorção devido à 
sobrecarga, porém podem ser preferíveis aos que possuem baixo valor de modulo de 
tenacidade; já os que possuem modulo de tenacidade baixo podem sofrer ruptura 
repentina, sem nenhum sinal dessa ruptura iminente. Ligas de metais podem mudar 
sua resiliência e tenacidade. 
 
Conclusão 
Nesse módulo foi estudada a aplicação da Lei de Hooke em resistência dos materiais, 
também foi estudado energia de deformação e elasticidade volumétrica, além de ter 
sido relembrado as propriedades mecânicas dos materiais, apresentando mais algumas 
informações sobre o bloco 2, onde foi falado sobre os ensaios mecânicos nos quais é 
possível obter dos materiais a resistência à tração, compressão, torção, ao choque, ao 
desgaste e resistência à fadiga, além da dureza. Como também foi apresentado no 
bloco 4 a ductilidade dos materiais. 
 
 
 
 
44 
 
 
REFERÊNCIAS 
ALVARES, B. A.; LUZ, A. M. R. Física – ensino médio. São Paulo: Scipione, 2008. 
 AMALDI, U. Imagens da física – as ideias e as experiências do pêndulo aos quarks. São 
Paulo: Scipione,1995. 
BEER, F. P.; JOHNSTON, R. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo: Makron Books, 
1995. 
BONJORNO, R. A. et al. Física fundamental – 2º grau, volume único. São Paulo: FTD, 
1993. 
BOTELHO, M. H. C. Resistência dos materiais. São Paulo: Edgard Blucher, 2008. 
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000. 
______. Resistência dos materiais. Tradução de Arlete Símile Marques. 7. ed. São 
Paulo: Pearson Education, 2011. 
SERWAY, R. A. Física 1. [S.l.: s.n.], 1996. 
SERWAY R. A.; JEWETT JR., J. W. Princípios de física. São Paulo: Pioneira Thomson, 
2008. v. 1. 
TIMOSHENKO, S. P. Resistência dos materiais. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1993. v. 1-2. 
TIPLER, P. A. Física para cientistas e engenheiros. Rio de Janeiro: LTC, 2000. v. 1. 
YOUNG H. D.; FREEDMAN R. A. Física IV. 12. ed. São Paulo: Pearson Education, 2008. 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
 
 
5 ESTRUTURAS EM BARRAS 
Neste bloco serão estudadas as estruturas em barras, com relação ao equilíbrio, 
esforços solicitantes, e distorções. As estruturas de treliça são muito utilizadas em 
coberturas de galpões industriais ou nas estruturas de telhados, sendo construídas 
com aço ou madeira. 
 
5.1 Efeitos térmicos 
Barras de alumínio como as da figura 5.1, ou de aço e outros materiais, sofrem 
consideráveis deformações provocadas pelo efeito da temperatura. 
Figura 5.1 – Trilho de alumínio 
 
 
Sendo 𝛼 o coeficiente de dilataçãotérmica do material, e Δ𝑇 a variação de 
temperatura, uma barra de comprimento inicial ℓ sofre expansão de acordo com a 
relação: 
(Δℓ)9 = ℓ ∙ 𝛼 ∙ Δ𝑇 
 
 
 
 
46 
 
 
A deformação específica devido à temperatura vale: 
 
 
No caso de redução de temperatura, ou de congelamento, a variação de temperatura 
é negativa: 
ΔT < 0 
 
Neste caso, a barra sofrerá contração conforme a mesma relação, produzindo uma 
deformação algebricamente negativa. O efeito da temperatura soma-se às 
deformações devidas a esforços aplicados: 
 
 
 
5.2 Tensões de cisalhamento. Distorções. 
As tensões de cisalhamento são as que atuam em um sólido na direção de um corte, 
como apresentado no Bloco 1. Ao submeter o sólido de volume 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 
simultaneamente a um corte no plano 𝑦𝑧 e outro no plano 𝑧𝑥, ocorrem as distorções 
apresentadas no desenho 5.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
 
Desenho 5.1 – Distorções 
 
 
 
Fonte: SILVA (2005). 
 
As distorções são as diferenças das medidas angulares entre duas arestas do sólido 
antes e depois da deformação. No paralelepípedo da figura, todos os ângulos são, 
originalmente, retos. Após a aplicação dos cisalhamentos, as arestas H𝑂JJJJ𝐴J ; J𝑂JJJ𝐵J N deixam 
de ser ortogonais e passam a ter medida angular igual a: 
 
A variação da medida angular é a distorção apresentada devido aos cortes simultâneos 
efetuados nos planos {𝑦𝑧; 𝑧𝑥} e vale: 
𝛾0T = (𝛼 + 𝛽) 
Consequentemente, são produzidos os deslocamentos infinitesimais {𝑑𝑢; 𝑑𝑣} 
apresentados no desenho acima. Considerando-se a hipótese de linearidade 
𝜋 
− (𝛼 + 𝛽) 
2 
 
 
 
 
48 
 
 
geométrica, podem ser utilizadas as relações métricas nos triângulos {∆𝑂𝐴𝐴∗; 
∆𝑂𝐵𝐵∗}, produzindo as seguintes relações infinitesimais: 
 
 
Para as funções trigonométricas pode-se utilizar a aproximação por polinômios de 
Brook Taylor centrados na origem com resto em forma de Girolamo Peano (BENEVIERI; 
2018a): 
 
Utilizando o polinômio de ordem 1, resulta em tan 𝜃 = 𝜃. Assim, obtêm-se, para o 
paralelepípedo do desenho 5.1, a distorção como a seguinte derivada parcial: 
 
Considerando-se as outras direções, obtêm-se: 
 
Cada tensão de cisalhamento varia linearmente com a respectiva distorção angular 
pela lei de Hooke, que relaciona tensões com deformações: 
𝜏0T = 𝐺 ∙ 𝛾0T 𝜏Tl = 𝐺 ∙ 𝛾Tl 𝜏l0 = 𝐺 ∙ 𝛾l0 
O módulo de elasticidade transversal 𝐺 está relacionado ao módulo de elasticidade 
longitudinal 𝐸, conforme o coeficiente de Poisson 𝜐 por: 
 
𝐺 = 
𝐸
 
2 ∙ (1 + 𝜐) 
 
 
 
 
49 
 
 
5.3 Torção em barras 
5.3.1 Seção Maciça 
Quando submetida a um esforço de torção de intensidade 𝑀r, uma barra de seção 
quadrada apresenta deformações como mostradas na figura 5.2. 
Figura 5.2 – Torção em barra prismática de seção quadrada 
 
 
 
Fonte: SILVA (2005). 
 
Neste caso, ocorre empenamento da seção transversal, uma vez que aparecem 
deslocamentos axiais em pontos de uma mesma seção, que deixa de ser plana, 
invalidando a hipótese de Claude Louis Marie Henri Navier. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
 
Desenho 5.2 – Deslocamentos na seção transversal 
 
Fonte: SILVA (2005). 
 
Na seção transversal de uma barra maciça, ocorrem deslocamentos conforme 
mostrado no Desenho 8, em que fibras radiais J𝑂JJJ𝑃J giram em torno do eixo longitudinal 
da barra de um ângulo: 
Θ = 𝜃 ∙ 𝑧 
Com este movimento, estas fibras radiais passam a ocupar a posição J𝑂JJJ𝑃JJJ∗ . Sendo 𝜃 a 
taxa de rotação da seção por comprimento de barra, Silva (2005) obtém o campo de 
deslocamentos de pontos da seção transversal, conforme indicado no desenho acima 
representativo da torção uniforme: 
𝑢 = −𝜃 ∙ 𝑧 ∙ 𝑦 𝑣 = 𝜃 ∙ 𝑧 ∙ 𝑥 
 
Submetendo-se uma barra com seção transversal maciça a um esforço de torção de 
intensidade 𝑀r, a taxa de rotação por comprimento varia conforme a relação: 
 
 
𝜃 = 
𝑀r
 
𝐺 ∙ 9 
 
 
 
 
51 
 
 
Considerando-se que a barra tenha comprimento ℓ, o ângulo de rotação vale: 
 
O momento de inércia à torção 9 depende da geometria da seção transversal. 
Desenho 5.3 – Orientação do contorno de uma elipse 
 
 
Fonte: SILVA (2005). 
 
O problema da torção uniforme em barras com seção transversal elíptica (e, em 
particular, o de seção transversal circular) possui solução analítica fechada. No 
desenho 5.3 é mostrada uma elipse com semieixo maior de medida 𝑎 e semieixo 
menor de medida 𝑏. Silva (2005) obteve o momento de inércia à torção 
correspondente: 
 
 
Θ = 
𝑀r ∙ ℓ 
𝐺 ∙ 9 
𝜋 ∙ 𝑎^𝑏 
 
 
 
 
 
52 
 
 
Nestas condições, os deslocamentos longitudinais 𝑤 de pontos da seção transversal 
foram obtidos por Silva (2005) pela aplicação do método semi-inverso e valem: 
 
O resultado deste empenamento pode ser observado abaixo: 
 
Desenho 5.4 – Empenamento da seção transversal em barras de seção maciça 
elíptica 
 
 
Fonte: SILVA (2005). 
 
 
5.3.2 Torção em eixos de seção circular 
Em eixos de barras de sistemas mecânicos (com seção circular) de diâmetro 𝐷, a elipse 
do desenho 5.3 é transformada em uma circunferência de raio: 
 
Consequentemente, como 𝑎 = 𝑏, o empenamento da seção transversal desaparece, 
uma vez que 𝑤 = 0. Por esta razão, as barras maciças de seção circular são de grande 
𝑎 = 𝑏 = 
𝐷
 
2 
 
 
 
 
53 
 
 
interesse na engenharia aplicada a motores girantes, e os resultados, bem conhecidos. 
Neste cenário, o momento de inércia à torção é reduzido a: 
 
 
5.3.3 Torção em seções abertas de paredes delgadas 
A principal característica de um perfil de paredes delgadas é que a espessura da seção 
transversal é muito menor que sua largura, altura ou contorno. Porém, estas 
dimensões são muito menores do que seu comprimento, de modo que ainda é 
possível utilizar modelos de barra para sua análise. Usualmente temos que St 10t e L 
10St   , onde L é o comprimento do elemento, St é o perímetro da seção e t é a 
espessura das paredes do elemento. 
Figura 5.3 – Perfil de secção aberta e paredes delgadas 
 
Para a determinação das equações que permitem obter a posição do centro de 
cisalhamento em seções transversais abertas e delgadas, são admitidas como válidas 
as seguintes hipóteses simplificadoras: 
• O contorno da seção transversal permanece rígido em seu próprio plano 
durante a deformação; 
• As deformações por cisalhamento na superfície média da barra podem ser 
desprezadas. 
 
 
 
 
54 
 
 
Quando um perfil de seção aberta e paredes delgadas é submetido a um momento 
torsor mx, as suas seções giram em torno do seu próprio eixo e empenam. Se o 
empenamento for livre nas extremidades e o momento torsor (mx) aplicado for 
constante, diz-se que o perfil está submetido a uma torção uniforme ou torção de 
Saint-Venant. Se, por outro lado, o momento torsor for variável ou o empenamento 
estiver impedido em alguma seção, diz-se que o perfil está submetido a uma torção 
não uniforme. 
No caso mais geral, de um perfil submetido a uma torção não uniforme, o momento 
torsor resistente é constituído por duas parcelas, o momento devido à torção, Tt, e o 
momento devido ao impedimento do empenamento, Te. Deste modo, o equilíbrio do 
perfil corresponde a: 
 
No caso da torção uniforme, apenas existe a primeira parcela. 
As duas parcelas do momento torsor relacionam-se com o ângulo de torção θx do 
perfil (em torno do eixo longitudinal que passa pelo centro de cisalhamento da seção 
transversal) através das expressões: 
 
Onde: 
• X é o eixo do perfil e GJ e EIw designam, respectivamente, a rigidez a 
torção e rigidez ao empenamento. 
 
 
 
 
55 
 
 
Aqui G e E são, respectivamente, os módulos de elasticidade transversal e longitudinal 
do material e J e Iw são respectivamente as constantes de torção e empenamento do 
perfil. Sabe-se, da resistência dos materiais que: 
 
Onde: 
• bi e ti são, respectivamente, a largura e a espessura da i-ésima parede do perfil. 
O cálculo de Iw épróprio de cada perfil. Por exemplo, para um perfil “C”, a constante 
de empenamento é obtida pela seguinte equação: 
 
Onde: 
• tf e tw são respectivamente as espessuras da mesa e alma da seção. 
A resolução do problema da torção não uniforme de um perfil requer a solução da 
seguinte equação diferencial de equilíbrio: 
 
 
Conclusão 
É possível construir treliças mistas, utilizando concreto armado onde é cabível. Assim, 
os diferentes materiais são utilizados para atender aos requisitos de segurança e 
estabilidade, aproveitando-se de suas melhores propriedades. 
 
 
 
 
56 
 
 
REFERÊNCIAS 
SILVA, H. F. Formulação do problema da torção uniforme em barras de seção 
transversal maciça. Dissertação de mestrado. Escola Politécnica, 2005. 
BENEVIERI, P. Cálculo Diferencial e Integral I; registro das aulas. Instituto de 
Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo, 2018. 
BENEVIERI, P. Análise Real; registro das aulas. Instituto de Matemática e Estatística da 
Universidade de São Paulo, 2018. 
FLEXO-TORÇÃO em perfis de secção aberta e paredes delgadas. PUC RIO. Disponível 
em: <https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/35617/35617_3.PDF>. Acesso em: 11 de 
set. de 2020. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
 
 
6 VIGAS E PÓRTICOS 
Neste bloco serão estudadas as vigas e as estruturas de pórticos, que são as células 
básicas para a construção de estruturas, em que serão determinadas as reações de 
apoio necessárias para garantir o seu equilíbrio estático, assim como calculados os 
esforços internos atuantes nas barras. Existem alguns programas que auxiliam o 
engenheiro nestas tarefas e, uma vez validados os esforços, a partir de resultados 
elementares da teoria, podem ser utilizados sem restrições. 
 
6.1 Cargas e Reações. Esforços Internos. 
No Desenho 6.1 é representada uma viga de comprimento ℓ simplesmente apoiada 
sob um apoio fixo na seção 𝐴 e um apoio móvel na seção 𝐵. 
 
Desenho 6.1 – Viga duplamente apoiada com carregamento uniformemente 
distribuído 
 
Fonte: O autor. 
 
 
 
 
 
58 
 
 
Como esta estrutura possui um ponto fixo (𝐴), é conveniente escolher um eixo de 
referência 𝑥 passando por este ponto, com a origem do sistema de coordenadas sobre 
este ponto. Assim: 
𝑥% = 0 𝑥( = ℓ 
 
O carregamento de intensidade 𝑝 +,-/, distribuído ao longo da viga, tem resultante 
estática 𝑝 ∙ ℓ (𝑘𝑁), e migra igualmente para cada uma das extremidades {𝐴; 𝐵}, que 
reagem com forças concentradas, de sentidos opostos à essa resultante, e com 
intensidades: 
 
Internamente, a viga sofre esforços internos de corte ou cisalhamento. No desenho 
acima foram selecionadas duas seções para a análise dos esforços internos. A seção 𝐴< 
foi locada imedia- tamente à direita da extremidade na qual foi construída o apoio fixo. 
Portanto, à esquerda desta seção atua a força concentrada reativa 𝑅% que tende a girar 
a estrutura no sentido horário. Portanto, a força cortante na seção 𝐴< vale: 
 
A seção 𝐵; foi locada imediatamente à esquerda da extremidade na qual foi 
construída o apoio móvel. Portanto, à direita desta seção atua a força concentrada 
reativa 𝑅( que tende a girar a estrutura no sentido anti-horário. Portanto, a força 
cortante na seção 𝐵; vale: 
 
 
𝑉(0) = 
𝑝 ∙ ℓ
 
2 
𝑉(ℓ) = − 
𝑝 ∙ ℓ
 
2 
 
 
 
 
59 
 
 
A seção 𝐶 foi locada exatamente no centro da viga, isto é: 
ℓ 
𝑥? = 
2
 
 
Observando à esquerda da seção, ou seja, na seção 𝐶;, existe a força 𝑅% que tende a 
girar a estrutura no sentido horário. O carregamento distribuído de intensidade 𝑝 
possui, neste trecho da viga, resultante de @∙ℓ/ , tendendo a girar a estrutura no 
sentido anti-horário. Portanto: 
 
Observando à direita da seção, isto é, na seção 𝐶<, existe a força 𝑅( que tende a girar a 
estrutura no sentido anti-horário. O carregamento distribuído de intensidade 𝑝 possui, 
neste trecho da viga, resultante de @∙ℓ/A tendendo a girar a estrutura no sentido 
horário. Portanto: 
 
Uma vez que os valores laterais da função são iguais, estabelece-se a continuidade da 
função naquele ponto, e escreve-se: 
 
Observando-se na seção 𝐶;, imediatamente à esquerda da seção 𝐶, a força 
concentrada reativa 𝑅% tende a tracionar a mesa inferior da viga, com um momento 
de: 
 
 
 
 
60 
 
 
A 
A 
 
O carregamento distribuído de intensidade 𝑝 possui, neste trecho da viga, resultante 
de @∙ℓ, tendendo a tracionar a mesa superior da viga, com um momento de: 
 
Considerando-se positivos os momentos que tracionam a mesa inferior da viga e 
negativos os momentos que tracionam a mesa superior da viga, obtém-se, para esta 
seção, o momento fletor de: 
 
Observando-se na seção 𝐶<, imediatamente à direita da seção 𝐶, a força concentrada 
reativa 𝑅( tende a tracionar a mesa inferior da viga, com um momento de: 
 
O carregamento distribuído de intensidade 𝑝 possui, neste outro trecho da viga, 
resultante de @∙ℓ, tendendo a tracionar a mesa superior da viga, com um momento de: 
 
 
 
 
 
 
 
61 
 
 
Para a seção 𝐶<, o momento fletor obtido é: 
 
Uma vez que os valores laterais da função são iguais, estabelece-se a continuidade da 
função naquele ponto, e escreve-se: 
 
Este é o momento fletor máximo atuante na viga, na seção central, sendo utilizado 
para dimensionar a estrutura para que suporte este carregamento. 
Nestas condições, os esforços internos, o carregamento e as reações de apoio são 
compatíveis com o equilíbrio da estrutura do desenho 6.1. 
No desenho 6.2 é representada uma viga de comprimento ℓ engastada na seção 𝐴 e 
livre na extremidade da seção 𝐵. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
 
. 
Desenho 6.2 – Viga engastada com carregamento uniformemente distribuído 
 
 
O carregamento de intensidade 𝑝 +,-/, distribuído ao longo da viga, tem resultante 
estática 𝑝 ∙ ℓ (𝑘𝑁), e os esforços dele decorrentes migram totalmente para a 
extremidades engastada {𝐴}, que reage com força concentrada, de sentido oposto à 
essa resultante, e com um momento concentrado com intensidades: 
 
Internamente, a viga sofre esforços internos de corte ou cisalhamento. No desenho 
acima foram selecionadas duas seções para a análise dos esforços internos. À esquerda 
da seção 𝐴< atua a força concentrada reativa 𝑅% que tende a girar a estrutura no 
sentido horário. Portanto, a força cor- tante na seção 𝐴< vale: 
 
 
 
𝑉(0) = 𝑝 ∙ ℓ 
 
 
 
 
63 
 
 
Atua também o momento reativo 𝑀%, que tende a tracionar a mesa superior da viga. 
Nesta seção, o momento fletor vale: 
 
À direita da seção 𝐵;, não há forças cortantes e nem momentos fletores. 
Consequentemente: 
𝑉(ℓ) = 0 𝑀(ℓ) = 0 
 
6.2 Construção de diagramas de esforços solicitantes 
Para construir os diagramas de esforços solicitantes, é necessário determinar, para 
cada seção da barra, as funções que representam os esforços internos de forças 
normais, forças cortantes, momentos fletores e momentos torsor (torque). 
Primeiramente, escolhe-se um eixo de coordenadas e coloca-se a origem 
preferencialmente em um ponto fixo da estrutura, como mostrado no desenho 6.3. 
 
Desenho 6.3 – Viga duplamente apoiada com carregamento uniformemente 
distribuído 
 
 
 
 
 
64 
 
 
A 
Em seguida, deve-se escolher uma seção 𝑆 de coordenada 𝑥 para escrever cada 
função em função da respectiva coordenada. Olhando-se à esquerda de 𝑆, percebe-se 
que a força concentrada reativa 𝑅% tende a girar a estrutura no sentido horário. 
O carregamento distribuído de intensidade 𝑝 possui, neste trecho da viga, resultante 
𝑝 ∙ 𝑥, tendendo a girar a estrutura no sentido anti-horário. Portanto: 
 
O mesmo resultado é obtido se for efetuado a análise dos esforços à direita de 𝑆, pois a 
força concentrada reativa 𝑅( tende a girar a estrutura no sentido anti-horário e a 
resultante 𝑝 ∙ (ℓ − 𝑥) do carregamento distribuído neste trecho tende a girar a 
estrutura no sentido horário. Portanto: 
 
Conclui-se queem uma viga simplesmente apoiada com carregamento vertical 
uniforme, a força cortante é uma função decrescente de primeiro grau definida para o 
intervalo 𝑥 ∈ [0; ℓ] e que assume o valor máximo em 𝑥 = 0 e o valor mínimo em 𝑥 = ℓ, 
sendo nula na seção central 𝑥 = ℓ: 
 
Portanto, o gráfico da função 𝑉(𝑥) é um segmento de reta. 
 
 
 
 
 
65 
 
 
A 
Quanto aos momentos fletores, observando-se à esquerda da seção 𝑆, a força 
concentrada reativa 𝑅% tende a tracionar a mesa inferior da viga, com um momento 
de: 
 
Considerando-se positivos os momentos que tracionam a mesa inferior da viga e 
negativos os momentos que tracionam a mesa superior da viga, obtém-se, para esta 
seção, o momento fletor de: 
 
 
O mesmo resultado é obtido considerando-se os esforços à direita de 𝑆, pois a força 
reativa 𝑅( tende a tracionar a mesa inferior da viga, enquanto que a resultante do 
carregamento distribuído, de 𝑝 ∙ (ℓ − 𝑥) neste trecho tende a tracionar a mesa 
superior da viga. Assim: 
 
Conclui-se que em uma viga simplesmente apoiada com carregamento vertical 
uniforme, o momento fletor é uma função de segundo grau definida para o intervalo 𝑥 ∈ 
[0; ℓ], com concavidade para cima e que assume o valor máximo em 𝑥 = ℓ e valores 
mínimos em 𝑥 = ℓ: 
 
 
 
 
66 
 
 
 
 
6.3 Softwares gratuitos para cálculo estrutural 
As treliças são estruturas formadas por barras construtivamente articuladas nos nós, 
concebidas para trabalharem apenas a esforços axiais. Na figura 6.1 é mostrada uma 
treliça de madeira com conexões por peças metálicas. 
 
Figura 6.1 – Treliça plana de madeira 
 
 
As diretrizes para dimensionamento e detalhamento destas ligações são estudadas na 
disciplina de estruturas de madeira e metal, respeitando as diretrizes estabelecidas 
pelas normas brasileiras correspondentes. 
Na Figura 6.2 é mais fácil enxergar as conexões articuladas entre as barras de aço. É 
uma treliça espacial construída para suportar uma cobertura. 
 
 
 
 
67 
 
 
Figura 6.2 – Treliça de aço galvanizado 
 
 
 
Com relação à treliça plana da Figura 6.1 (por exemplo), um modelo matemático é 
construído utilizando-se barras articuladas nas extremidades, permitindo rotação 
relativa entre barras sucessivas. 
Um apoio fixo que restringe todas as translações deve ser colocado, por exemplo, à 
esquerda, e um apoio móvel, que restringe apenas deslocamentos horizontais, à 
direita. Desta maneira, constrói-se um modelo de uma estrutura isostática com um 
ponto fixo. É conveniente estabelecer a origem do sistema de coordenadas neste 
ponto fixo (Desenho 6.4). 
A versão 3.01 (21/12/2016) do software gratuito Ftool1 foi utilizada para construir 
modelos matemáticos para a treliça da Figura 6.1. 
 
1 Disponível em: <https://www.ftool.com.br/Ftool/>. Acesso em: 22 set. 2020. 
 
 
 
 
68 
 
 
Desenho 6.4 – Carregamento, forças normais e reações de apio em treliça plana 
simétrica 
 
Neste exemplo, foram colocadas cargas concentradas verticais de 6 𝑘𝑁 simulando a 
ação de uma cobertura apoiada nestes nós. Obviamente, as reações de apoio, de 3 𝑘𝑁 
cada, equilibram a estrutura. Uma vez que não há forças horizontais, nenhuma 
componente nesta direção aparece na reação de apoio da esquerda. 
Em vermelho, no centro de cada barra, aparecem os valores, em 𝑘𝑁, das forças 
normais a que as barras estão submetidas. Neste caso, como trata-se de uma estrutura 
simétrica com carregamento simétrico, as barras simétricas possuem solicitações 
iguais. Para as barras horizontais: 
𝑁 = 3 𝑘𝑁 
Esta força normal algebricamente positiva confirma que a barra está tracionada. A 
barra vertical está tracionada com 𝑁 = 2 𝑘𝑁. Portanto, para efeito de verificação da 
segurança estrutural, toma-se a força interna de maior valor absoluto para estudo da 
tração. 
 
 
 
 
69 
 
 
As outras barras estão comprimidas, com forças normais algebricamente negativas. 
Toma-se a de maior valor absoluto para efetuar a verificação da segurança estrutural: 
𝑁 = − 4,2 𝑘𝑁 
Em barras comprimidas, além de se verificar a segurança quanto à resistência do 
material, torna-se necessário verificar a estabilidade à flambagem. 
Fica mais fácil perceber quais barras estão tracionadas e quais barras estão 
comprimidas observando-se os deslocamentos que ocorrem na estrutura devidos às 
solicitações aplicadas. 
 
Desenho 6.5 – Deslocamentos em treliça sobre um apoio fixo à esquerda e um apoio 
móvel à direita 
 
 
O desenho 6.5 foi construído com auxílio da versão 3.01 (21/12/2016) do software 
gratuito Ftool, que funciona em computadores com Windows. Em escala amplificada, 
 
 
 
 
70 
 
 
mostram-se os deslocamentos que as barras sofrem em decorrência do carregamento 
aplicado. O apoio da direita permite deslocamentos horizontais deste nó da estrutura. 
Observa-se também que as todas as barras se mantêm retas na configuração 
deformada. Isto ocorre porque, neste tipo de estrutura, não há cargas aplicadas no 
corpo da barra, mas somente nos seus respectivos nós; além disto, todos os vínculos 
permitem rotações, o que elimina a possibilidade de haver flexão nas barras deste 
modelo. 
 
Desenho 6.6 – Carregamento, forças normais e reações de apio em treliça plana 
assimétrica 
 
Na treliça do desenho 6.6 foi acrescentado carregamento lateral, simulação de vento. 
Na análise do equilíbrio global da estrutura, o equilíbrio de momentos, estabelecido 
em relação a cada um dos dois apoios, resolve a determinação das reações de apoio. 
Observar que somente o apoio da esquerda possui vínculo horizontal e, naturalmente, 
absorverá todos os esforços nesta direção. 
 
 
 
 
71 
 
 
O equilíbrio dos nós e das seções efetuadas na direção de cada uma das barras permite 
determinar as forças normais em cada barra, estabelecendo as barras comprimidas e 
as barras tracionadas. O maior nível de compressão estabelecido é: 
𝑁 = − 6,4 𝑘𝑁 
Este valor é absolutamente superior ao encontrado na treliça do desenho 6.4. Por 
outro lado, o maior nível de tração na treliça acima é: 
𝑁 = 2,0 𝑘𝑁 
 
Este valor é inferior ao da outra estrutura. Observa-se que os tipos de vínculos e os 
carregamentos aplicados na estrutura eliminam as propriedades de simetria 
inicialmente concebidas no modelo do desenho 6.4. 
 
Desenho 6.7 – Deslocamentos em treliça com carregamento lateral 
 
 
 
 
 
72 
 
 
No desenho 6.7 é apresentada a configuração deformada (em escala exagerada), na 
qual observa-se que, mesmo tendo à direita um apoio móvel, não há deslocamento na 
direção deste grau de liberdade. Isto ocorre porque os carregamentos laterais vão em 
direção ao apoio fixo. 
 
Desenho 6.8 – Carregamento, forças normais e reações de apio em treliça plana 
assimétrica 
 
No entanto, quando o sentido do carregamento lateral é invertido, o comportamento 
muda significativamente. As reações verticais permanecem iguais no desenho 6.8 
comparado com o Desenho 6.6, mas a mudança de sentido na reação horizontal do 
apoio fixo gera alterações nas forças normais das barras: 
𝑁,-. = −6,4 𝑘𝑁 𝑁,/0 = 7,5 𝑘𝑁 
 
 
 
 
 
 
73 
 
 
Desenho 6.9 – Deslocamentos em treliça com carregamento lateral 
 
Além disto, aparecem deslocamentos no apoio móvel e que não ocorriam no modelo 
anterior. 
As treliças são estruturas isostáticas construídas com barras articuladas nas 
extremidades e concebidas para receberem apenas carregamentos nos nós. Com isto, 
o modelo matemático permite obter como resultado a ausência de flexão e de 
cortante nas barras, que estão sujeitas apenas a esforços axiais. 
Isto simplifica a análise do problema, uma vez que, na ausência de solicitações 
transversais, as deformações axiais das barras dependem apenas das forças normais 
atuantes nas barras. 
 
Conclusão 
Neste bloco estudamos as vigas e as estruturas de pórticos, que são as células básicas 
para a construção de estruturas, nais quais serão determinadas as reaçõesde apoio 
necessárias para garantir o seu equilíbrio estático, assim como calculados os esforços 
internos atuantes nas barras. 
 
 
 
 
74 
 
 
REFERÊNCIAS 
ALVARES, B. A.; LUZ, A. M. R. Física – ensino médio. São Paulo: Scipione, 2008. 
 AMALDI, U. Imagens da física – as ideias e as experiências do pêndulo aos quarks. São 
Paulo: Scipione,1995. 
BEER, F. P.; JOHNSTON, R. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo: Makron Books, 
1995. 
BONJORNO, R. A. et al. Física fundamental – 2º grau, volume único. São Paulo: FTD, 
1993. 
BOTELHO, M. H. C. Resistência dos materiais. São Paulo: Edgard Blucher, 2008. 
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000. 
______. Resistência dos materiais. Tradução de Arlete Símile Marques. 7. ed. São 
Paulo: Pearson Education, 2011. 
SERWAY, R. A. Física 1. [S.l.: s.n.], 1996. 
SERWAY R. A.; JEWETT JR., J. W. Princípios de física. São Paulo: Pioneira Thomson, 
2008. v. 1. 
TIMOSHENKO, S. P. Resistência dos materiais. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1993. v. 1-2. 
TIPLER, P. A. Física para cientistas e engenheiros. Rio de Janeiro: LTC, 2000. v. 1. 
YOUNG H. D.; FREEDMAN R. A. Física IV. 12. ed. São Paulo: Pearson Education, 2008.