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1 
 
Geometria Prof.:Carlinhos. 
Lista n°08 06/04/2013
 
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
1. (Pucrj) Se 
1 etgθ θ
 pertence ao primeiro quadrante, 
então 
cosθ
 é igual a: 
a) 0 b) 
1
2
 c) 
2
2
 d) 
3
2
 e) 1 
 
2. (Unicamp) Ao decolar, um avião deixa o solo com um 
ângulo constante de 15°. A 3,8 km da cabeceira da pista 
existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a 
decolagem, fora de escala. 
 
 
 
Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma 
altura, a partir da sua base, de 
a) 3,8 tan (15°) km. b) 3,8 sen (15°) km. 
c) 3,8 cos (15°) km. d) 3,8 sec (15°) km. 
 
3. (Uepg) Num instante 
1t ,
 um avião é visto por um 
observador situado no solo sob um ângulo de 60° e, no 
instante 
2t ,
 sob um ângulo de 30°. Sabendo-se que o avião 
voa numa reta horizontal a uma altitude de 
5 km,
 assinale o 
que for correto. 
01) No instante 
1t ,
 a distância entre o observador e o avião 
é 
10 3 km.
 
02) No instante 
2t ,
 a distância entre o observador e o avião 
é 
10 km.
 
04) A distância percorrida pelo avião entre os instantes 
1t
 e 
2t
 é maior que 
5 km.
 
08) A distância percorrida pelo avião entre os instantes 
1t
 e 
2t
 é menor que 
4 km.
 
 
4. (G1 - utfpr) Um caminhão, cuja carroceria está a uma 
altura de 1,2 m do chão está estacionado em um terreno 
plano. Deseja-se carregar uma máquina pesada neste 
caminhão e para isso será colocada uma rampa da 
carroceria do caminhão até o chão. O comprimento mínimo 
da rampa para que esta forme com o chão um ângulo 
máximo de 30° é, em metros, de: 
 
a) 
0,8 3.
 b) 2,4 c) 
1,2 3.
 d) 
0,6 3.
 e) 0,6. 
 
5. (Pucsp) Abílio (A) e Gioconda (G) estão sobre uma 
superfície plana de uma mesma praia e, num dado instante, 
veem sob respectivos ângulos de 30° e 45°, um pássaro (P) 
voando, conforme é representado na planificação abaixo. 
 
 
 
Considerando desprezíveis as medidas das alturas de Abílio 
e Gioconda e sabendo que, naquele instante, a distância 
entre A e G era de 240 m, então a quantos metros de altura 
o pássaro distava da superfície da praia? 
a) 60 (
3
+ 1) b) 120 (
3
– 1) 
c) 120 (
3
+ 1) d) 180 (
3
– 1) e) 180 (
3
+ 1) 
 
6. (G1 - epcar (Cpcar)) Uma coruja está pousada em R, 
ponto mais alto de um poste, a uma altura h do ponto P, no 
chão. 
Ela é vista por um rato no ponto A, no solo, sob um ângulo 
de 30°, conforme mostra figura abaixo. 
 
 
 
O rato se desloca em linha reta até o ponto B, de onde vê a 
coruja, agora sob um ângulo de 45° com o chão e a uma 
distância 
BR
 de medida 
6 2
 metros. 
Com base nessas informações, estando os pontos A, B e P 
alinhados e desprezando-se a espessura do poste, pode-se 
afirmar então que a medida do deslocamento 
AB
 do rato, 
em metros, é um número entre 
a) 3 e 4 b) 4 e 5 c) 5 e 6 d) 6 e 7 
 
7. (Ufrn) Numa escola, o acesso entre dois pisos 
desnivelados é feito por uma escada que tem quatro 
degraus, cada um medindo 24 cm de comprimento por 12 
cm de altura. Para atender à política de acessibilidade do 
Governo Federal, foi construída uma rampa, ao lado da 
escada, com mesma inclinação, conforme mostra a foto a 
seguir. 
 
 
 
Com o objetivo de verificar se a inclinação está de acordo 
com as normas recomendadas, um fiscal da Prefeitura fez a 
medição do ângulo que a rampa faz com o solo. 
O valor encontrado pelo fiscal 
a) estava entre 
30
 e 
45 .
 b) era menor que 
30 .
 
c) foi exatamente 
45 .
 d) era maior que 
45 .
 
 
8. (G1 - utfpr) Uma escada rolante de 
6 m
 de comprimento 
liga dois andares de uma loja e tem inclinação de 30°. 
Determine, em metros, a altura entre estes dois andares. 
Use os valores: 
sen 30 0,5, 
 
cos 30 0,87 
 e 
tg 30 0,58. 
 
a) 3,48. b) 4,34. c) 5,22. d) 5. e) 3. 
 
 
2 
 
9. (Unesp) Um prédio hospitalar está sendo construído em 
um terreno declivoso. Para otimizar a construção, o arquiteto 
responsável idealizou o estacionamento no subsolo do 
prédio, com entrada pela rua dos fundos do terreno. A 
recepção do hospital está 5 metros acima do nível do 
estacionamento, sendo necessária a construção de uma 
rampa retilínea de acesso para os pacientes com 
dificuldades de locomoção. A figura representa 
esquematicamente esta rampa (r), ligando o ponto A, no 
piso da recepção, ao ponto B, no piso do estacionamento, a 
qual deve ter uma inclinação 
α
 mínima de 30° e máxima de 
45°. 
 
 
 
Nestas condições e considerando 
2 1,4,
 quais deverão 
ser os valores máximo e mínimo, em metros, do 
comprimento desta rampa de acesso? 
 
10. (G1 - ifpe) Um estudante do Curso de Edificações do 
IFPE tem que medir a largura de um rio. Para isso ele toma 
os pontos A e C que estão em margens opostas do rio. Em 
seguida ele caminha de A até o ponto B, distante 100 
metros, de tal forma que os segmentos AB e AC são 
perpendiculares. Usando instrumento de precisão, a partir 
do ponto B ele visa o ponto C e em seguida o ponto A, 
determinando o ângulo CBˆA que mede 37º. Com isso ele 
determinou a largura do rio e achou, em metros: 
 
Dados: sen (37º) = 0,60, cos (37º) = 0,80 e tg (37º) = 0,75 
 
 
a) 60 b) 65 c) 70 d) 75 e) 80 
 
11. (Uepa) As construções de telhados em geral são feitas 
com um grau mínimo de inclinação em função do custo. 
Para as medidas do modelo de telhado representado a 
seguir, o valor do seno do ângulo agudo 
φ
 é dado por: 
 
 
a) 
4 10
10
 b) 
3 10
10
 c) 
2 2
10
 d) 
10
10
 e) 
2
10
 
 
12. (Ufjf) A figura abaixo representa um rio plano com 
margens retilíneas e paralelas. Um topógrafo situado no 
ponto A de uma das margens almeja descobrir a largura 
desse rio. Ele avista dois pontos fixos B e C na margem 
oposta. Os pontos B e C são visados a partir de A, segundo 
ângulos de 60° e 30°, respectivamente, medidos no sentido 
anti-horário a partir da margem em que se encontra o ponto 
A. Sabendo que a distância de B até C mede 
100 m,
 qual é 
a largura do rio? 
 
 
a) 
50 3 m
 b) 
75 3 m
 c) 
100 3 m
 
d) 
150 3 m
 e) 
200 3 m
 
 
13. (Ufjf) Considere dois triângulos ABC e DBC, de mesma 
base 
BC
, tais que D é um ponto interno ao triângulo ABC. A 
medida de 
BC
 é igual a 10 cm. Com relação aos ângulos 
internos desses triângulos, sabe-se que 
DBC BCD , DCA 30º , DBA 40º , BAC 50º.   
 
 
 
 
a) Encontre a medida do ângulo 
BDC.
 
b) Calcule a medida do segmento 
BD.
 
c) Admitindo-se 
6
tg (50º ) ,
5

 determine a medida do 
segmento 
AC.
 
 
14. (Ufjf) Dois estudantes I e II desejam medir a altura, H, 
de um prédio, utilizando-se de conhecimentos matemáticos. 
Distanciados um do outro de x metros, os estudantes fazem 
visadas atingindo a ponta da antena de altura h situada no 
topo do prédio, segundo os ângulos 
α
 e 
,β
 representados 
no esboço abaixo. 
 
 
 
Obtenha a altura H da torre, em função de 
,α
 
,β
 h e x. 
 
15. (G1 - cftmg) Um triângulo ABC, retângulo em 
Aˆ,
 possui 
o ângulo interno 
Cˆ
 maior que o ângulo interno 
Bˆ.
 De 
acordo com esses dados, é correto afirmar que 
a) 
ˆˆsenB cosC.
 b) 
ˆ ˆsenB cosB.
 
c) 
ˆ ˆsenC cosC.
 d) 
ˆ ˆsenC cosB.
 
 
3 
 
16. (G1 - cftmg) As circunferências da figura abaixo são 
tangentes entre si e tangentes à reta t nos pontos A e B.Dados
BC 4 3 cm R 12 cm 30º  α
 
A medida do segmento AB, em cm, é igual a 
a) 
2 3.
 b) 
4 3.
 c) 
8 3.
 d) 
12 3.
 
 
17. (Uftm) Um pintor utiliza uma escada de 
5 m
 de 
comprimento para pintar a área externa de uma casa. Ao 
apoiar a escada, o pintor deixa uma das extremidades 
afastada y cm da parede e, assim, a outra extremidade 
atinge uma altura x na parede. 
 
 
 
Nessas condições, determine: 
a) a medida, em metros, indicada por y (figura 2), sabendo 
que 
ˆˆsenB 2senC.
 
b) a medida, em metros, indicada por h (figura 2), sabendo 
que a altura da parede é 
6 m.
 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de 
Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma 
das constatações que fez foi a de que existe grande 
proximidade entre Engenharia e Matemática. 
 
18. (Pucrs) Em uma aula prática de Topografia, os alunos 
aprendiam a trabalhar com o teodolito, instrumento usado 
para medir ângulos. Com o auxílio desse instrumento, é 
possível medir a largura y de um rio. De um ponto A, o 
observador desloca-se 100 metros na direção do percurso 
do rio, e então visualiza uma árvore no ponto C, localizada 
na margem oposta sob um ângulo de 60°, conforme a figura 
abaixo. 
 
 
Nessas condições, conclui-se que a largura do rio, em 
metros, é 
a) 
100 3
3
 b) 
100 3
2
 c) 
100 3
 d) 
50 3
3
 e) 200 
 
19. (Enem) Para determinar a distância de um barco até a 
praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a 
partir de um ponto A, mediu o ângulo visual a fazendo mira 
em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo 
sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse 
possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um 
ângulo visual 
2
. A figura ilustra essa situação: 
 
 
 
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo 
30º 
 
e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia 
percorrido a distância 
AB 2000 m
. Com base nesses 
dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do 
barco até o ponto fixo P será 
a) 
1000 m
. b) 
1000 3 m
. c) 
3
2000 m
3
. 
d) 
2000 m
. e) 
2000 3 m
. 
 
20. (Uel) Um indivíduo em férias na praia observa, a partir 
da posição 
1P
, um barco ancorado no horizonte norte na 
posição B. Nesta posição 
1P
, o ângulo de visão do barco, 
em relação à praia, é de 90°, como mostrado na figura a 
seguir. 
 
 
 
Ele corre aproximadamente 1000 metros na direção oeste e 
observa novamente o barco a partir da posição 
2P
. Neste 
novo ponto de observação 
2P
, o ângulo de visão do barco, 
em relação à praia, é de 45°. 
 
Qual a distância 
2P B
 aproximadamente? 
a) 1000 metros b) 1014 metros c) 1414 metros 
d) 1714 metros e) 2414 metros 
 
21. (G1 - cftmg) Um foguete é lançado de uma rampa 
situada no solo sob um ângulo de 
60º
, conforme a figura. 
 
 
 
A altura em que se encontra o foguete, após ter percorrido 
12km
, é 
a) 
600 dam
 b) 
12.000 m
 
c) 
6.000 3 dm
 d) 
600.000 3 cm
 
 
4 
 
 22. (G1 - ifsc) A trigonometria estuda as relações entre os 
lados e os ângulos de um triângulo. Em um triângulo 
retângulo, sabemos que 
cat. oposto
sen
hipotenusa
θ
, 
cat. adjacente
cos
hipotenusa
θ
 e 
cat. oposto
tg
cat.adjacente
θ
. 
Considere o triângulo abaixo e as proposições I, II e III. 
 
 
 
I. o 
ABCΔ
é retângulo em B. II. 
cos 0,8
 
III. 
32
sen  tg Â
15
 
 
 
Assinale a alternativa correta. 
a) Apenas a proposição I é verdadeira. 
b) Apenas as proposições II e III são verdadeiras. 
c) Apenas as proposições I e III são verdadeiras. 
d) Apenas a proposição II é verdadeira. 
e) Todas as proposições são verdadeiras. 
 
23. (G1 - ifsc) Uma baixa histórica no nível das águas no rio 
Amazonas em sua parte peruana deixou o Estado do 
Amazonas em situação de alerta e a Região Norte na 
expectativa da pior seca desde 2005. [...] Em alguns trechos, 
o Rio Amazonas já não tem profundidade para que balsas 
com mercadorias e combustível para energia elétrica 
cheguem até as cidades. A Defesa Civil já declarou situação 
de atenção em 16 municípios e situação de alerta – etapa 
imediatamente anterior à situação de emergência – em 
outros nove. Porém, alguns trechos do rio Amazonas ainda 
permitem plenas condições de navegabilidade. 
 
Texto adaptado de: 
http://www.ecodebate.com.br/2010/09/10/com-seca-no-peru-
nivel-do-rioamazonas- 
diminuiu-e-regiao-norte-teme-pior-estiagem-desde-2005/ 
Acesso em: 10 nov. 2010. 
 
 
 
Considerando que um barco parte de A para atravessar o rio 
Amazonas; que a direção de seu deslocamento forma um 
ângulo de 120º com a margem do rio; que a largura do rio, 
teoricamente constante, de 60 metros, então, podemos 
afirmar que a distância AB em metros percorrida pela 
embarcação foi em metros de... 
 
a) 
60 3
. b) 
40 3
. c) 
120
. d) 
20 3
. e) 
40
. 
24. (Ufjf) Considere um triângulo 
ABC
 retângulo em 
C
 e 

 o ângulo 
ˆBAC.
 Sendo 
AC 1
 e 
1
sen( ) ,
3
 
 quanto 
vale a medida da hipotenusa desse triângulo? 
 
 
a) 
3
 b) 
2 2
3
 c) 
10
 d) 
3 2
4
 e) 
3
2
 
 
25. (G1 - cps) Ter condições de acessibilidade a espaços e 
equipamentos urbanos é um direito de todo cidadão. 
A construção de rampas, nas entradas de edifícios que 
apresentam escadas, garante a acessibilidade 
principalmente às pessoas com deficiência física ou com 
mobilidade reduzida. 
Pensando nisso, na entrada de uma ETEC onde há uma 
escada de dois degraus iguais, cada um com 15 cm de 
altura, pretende-se construir uma rampa para garantir a 
acessibilidade do prédio a todos. 
 
Essa rampa formará com o solo um ângulo de 30, conforme 
a figura. 
 
 
 
Sendo assim, conclui-se que o comprimento da rampa será, 
em metros, 
a) 6. b) 5. c) 4. d) 3. e) 2. 
 
26. (Enem) Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 
quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último 
domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na 
região de Presidente Prudente, assustando agricultores da 
região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, 
desenvolvido por Brasil, Franca, Argentina, Inglaterra e 
Itália, para a medição do comportamento da camada de 
ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo 
previsto de medição. 
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso 
em: 02 maio 2010. 
 
 
 
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. 
Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o 
avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da 
posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no 
mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob 
um ângulo de 30°. 
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão? 
a) 1,8 km b) 1,9 km c) 3,1 km d) 3,7 km e) 5,5 km 
 
5 
 
27. (Pucrj) O valor de
cos45 sen30
é :
cos60

 
a) 
2 1
 b) 2 c) 
2
4
 d) 
2 1
2

 e) 0 
 
28. (Uemg) Na figura, a seguir, um fazendeiro (F) dista 600 
m da base da montanha (ponto B). A medida do ângulo A
Fˆ
B é igual a 30º. 
 
 
 
Ao calcular a altura da montanha, em metros, o fazendeiro 
encontrou a medida correspondente a 
a) 200
3.
 b) 100
2.
 c) 150
3.
 d)50
2.
 
 
29. (Ufpb) Em parques infantis, é comum encontrar um 
brinquedo, chamado escorrego, constituído de uma 
superfície plana inclinada e lisa (rampa), por onde ascrianças deslizam, e de uma escada que dá acesso à 
rampa. No parque de certa praça, há um escorrego, apoiado 
em um piso plano e horizontal, cuja escada tem 2m de 
comprimento e forma um ângulo de 45º com o piso; e a 
rampa forma um ângulo de 30º com o piso, conforme 
ilustrado na figura a seguir. 
 
 
 
De acordo com essas informações, é correto afirmar que o 
comprimento (L) da rampa é de: 
a) 
2
m b) 2
2
m c) 3
2
m 
d) 4
2
m e) 5
2
m 
 
30. (Uerj) Um atleta faz seu treinamento de corrida em uma 
pista circular que tem 400 metros de diâmetro. Nessa pista, 
há seis cones de marcação indicados pelas letras A, B, C, D, 
E e F, que dividem a circunferência em seis arcos, cada um 
medindo 60 graus. 
Observe o esquema: 
 
O atleta partiu do ponto correspondente ao cone A em 
direção a cada um dos outros cones, sempre correndo em 
linha reta e retornando ao cone A. Assim, seu percurso 
correspondeu a ABACADAEAFA. 
Considerando 
3
= 1,7, o total de metros percorridos pelo 
atleta nesse treino foi igual a: 
a) 1480 b) 2960 c) 3080 d) 3120 
 
31. (Enem cancelado) Uma empresa precisa comprar uma 
tampa para o seu reservatório, que tem a forma de um 
tronco de cone circular reto, conforme mostrado na figura. 
 
 
 
Considere que a base do reservatório tenha raio r =
2 3
m e 
que sua lateral faça um ângulo de 60° com o solo. 
 
Se a altura do reservatório é 12 m, a tampa a ser comprada 
deverá cobrir uma área de 
a) 12

m
2
. b) 108

m
2
. 
c) (12 +
2 3
)2

m
2
. 
d) 300

m
2
. e) (24 +
2 3
)2

m
2
. 
 
32. (Ufpb) Em um shopping, uma pessoa sai do primeiro 
pavimento para o segundo através de uma escada rolante, 
conforme a figura a seguir. 
 
A altura H, em metros, atingida pela pessoa, ao chegar ao 
segundo pavimento, é: 
a) 15 b) 10 c) 5 d) 3 e) 2 
 
33. (Unesp) Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa 
com inclinação de 3 graus a uma velocidade constante de 4 
metros por segundo. A altura do topo da rampa em relação 
ao ponto de partida é 30 m. 
 
Use a aproximação sen 3
°
 = 0,05 e responda. O tempo, em 
minutos, que o ciclista levou para percorrer completamente a 
rampa é 
a) 2,5. b) 7,5. c) 10. d) 15. e) 30. 
 
34. (Pucmg) Um avião levanta voo sob um ângulo de 30
°
. 
Então, depois que tiver percorrido 500 m, sua altura h em 
relação ao solo, em metros, será igual a: 
 
a) 250 b) 300 c) 400 d) 435 
 
 
6 
 
35. (G1 - cps) O acesso a um edifício é feito por uma 
escada de dois degraus, sendo que cada um tem 16 cm de 
altura. Para atender portadores de necessidades especiais, 
foi construída uma rampa. 
Respeitando a legislação em vigor, a rampa deve formar, 
com o solo, um ângulo de 6
°
, conforme figura. 
Dados: sen6°=0,10 e cos6°=0,99 
 
A medida c do comprimento da rampa é, em metros, igual a 
a) 1,8. b) 2,0. c) 2,4. d) 2,9. e) 3,2. 
 
36. (Ufes) Duas viaturas policiais A e B perseguem um 
carro suspeito C numa grande cidade. A viatura A possui um 
radar que informa ao Comando Central que a distância dela 
até B é de 8 km e a distância dela até C é de 6 km. A viatura 
B possui um aparelho que informa ao Comando que, nesse 
instante, o ângulo A
B
C é de 45
°
. Sabendo que o carro C 
está mais próximo de A do que de B, calcule a distância, em 
km, entre B e C. A resposta é 
a) 2
3
+ 4 b) 4
2
+ 2 c) 3
2
+ 2 
d) 3
2
+ 3 e) 2
2
+ 4 
 
37. (G1 - cftce) Queremos encostar uma escada de 8m de 
comprimento numa parede, de modo que ela forme um 
ângulo de 60
°
 com o solo. A que distância da parede 
devemos apoiar a escada no solo? 
 
38. (G1 - cp2) 
 
Para levar sua mulher até o alto do pedestal, ou trazê-la até 
o chão, o vicking usa uma escada medindo 2,4 m. Os 
degraus da escada têm 6 cm de altura e estão igualmente 
espaçados 18 cm um do outro. Nem todos os degraus estão 
representados na figura. O degrau mais baixo equidista do 
chão e do segundo degrau. O degrau mais alto apóia-se no 
plano superior do pedestal. 
a) A escada é composta por quantos degraus? 
b) A escada faz um ângulo è com o chão e sabe-se que: 
 sen 

 = 
4
5
 cos 

 = 
3
5
 tg 

 = 
4
3
 
Calcule a altura h do pedestal. 
 
39. (G1 - cftmg) Duas pessoas A e B, numa rua plana, 
avistam o topo de um prédio sob ângulos de 60
°
 e 30
°
, 
respectivamente, com a horizontal, conforme mostra a 
figura. Se a distância entre os observadores é de 40 m, 
então, a altura do prédio, em metros, é aproximadamente 
igual a 
 
a) 34 b) 32 c) 30 d) 28 
 
40. (Fatec) De dois observatórios, localizados em dois 
pontos X e Y da superfície da Terra, é possível enxergar um 
balão meteorológico B, sob ângulos de 45
°
 e 60
°
, conforme é 
mostrado na figura a seguir. 
 
Desprezando-se a curvatura da Terra, se 30 km separam X 
e Y, a altura h, em quilômetros, do balão à superfície da 
Terra, é 
a) 30 - 15
3
 b) 30 + 15
3
 c) 60 - 30
3
 
 d) 45 - 15
3
 e) 45 + 15
3
 
 
41. (Uel) Um engenheiro fez um projeto para a construção 
de um prédio (andar térreo e mais 6 andares), no qual a 
diferença de altura entre o piso de um andar e o piso do 
andar imediatamente superior é de 3,5 m. Durante a 
construção, foi necessária a utilização de rampas para 
transporte de material do chão do andar térreo até os 
andares superiores. Uma rampa lisa de 21 m de 
comprimento, fazendo ângulo de 30
0
. com o plano 
horizontal, foi utilizada. Uma pessoa que subir essa rampa 
inteira transportará material, no máximo, até o piso do: 
a) 2
0
. andar. b) 3
0
. andar. c) 4
0
. andar. 
d) 5
0
. andar. e) 6
0
. andar. 
 
42. (Ufrrj) Milena, diante da configuração representada a 
seguir, pede ajuda aos vestibulandos para calcular o 
comprimento da sombra x do poste, mas, para isso, ela 
informa que o sen á = 0,6. 
 
Calcule o comprimento da sombra x. 
 
7 
 
43. (Pucrs) Um campo de vôlei de praia tem dimensões 16 
m por 8m. Duas jogadoras, A e B, em um determinado 
momento de um jogo, estão posicionadas como na figura a 
seguir. A distância "x", percorrida pela jogadora B para se 
deslocar paralelamente à linha lateral, colocando-se à 
mesma distância da rede em que se encontra a jogadora A, 
é 
 
a) x = 5 tan (

) b) x = 5 sen (

) 
c) x = 5 cos (

) d) x = 2 tan (

) e) x = 2 cos (

) 
 
44. (Uerj) Um foguete é lançado com velocidade igual a 180 
m/s, e com um ângulo de inclinação de 60
°
 em relação ao 
solo. Suponha que sua trajetória seja retilínea e sua 
velocidade se mantenha constante ao longo de todo o 
percurso. Após cinco segundos, o foguete se encontra a 
uma altura de x metros, exatamente acima de um ponto no 
solo, a y metros do ponto de lançamento. 
Os valores de x e y são, respectivamente: 
 
45. (Ufrrj) Em um campo de futebol, o "grande círculo" é 
formado por uma circunferência no centro, de 30 metros de 
diâmetro, como mostra a figura: 
 
Ao tentar fazer a marcação da linha divisória (AB), um 
funcionário distraído acabou traçando a linha (AC), como 
podemos ver na figura. Desta forma, o número de metros 
que ele traçou foi de 
a) 5
3
m. b) 10
3
m. c) 10
2
m. 
d) 15
3
m . e) 15
2
m . 
 
46. (Uem) Para obter a altura CD de uma torre, um 
matemático, utilizando um aparelho, estabeleceu a 
horizontal AB e determinouas medidas dos ângulos á = 30
°
 
e â = 60
°
 e a medida do segmento BC = 5 m, conforme 
especificado na figura. Nessas condições, a altura da torre, 
em metros, é... 
 
47. (Ufc) Na figura ao lado, o triângulo ABC é retângulo em 
B. O cosseno do ângulo BÂC é: 
 
a) 
12
13
 b) 
11
13
 c) 
10
13
 d) 
6
13
 e) 
1
13
 
 
48. (Uerj) Um barco navega na direção AB, próximo a um 
farol P, conforme a figura a seguir. 
 
No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da 
embarcação ao farol, forma um ângulo de 30
°
 com a direção 
AB. Após a embarcação percorrer 1.000 m, no ponto B, o 
navegador verifica que a reta BP, da embarcação ao farol, 
forma um ângulo de 60
°
 com a mesma direção AB. 
Seguindo sempre a direção AB, a menor distância entre a 
embarcação e o farol será equivalente, em metros, a: 
a) 500 b) 500
3
 c) 1.000 d) 1.000
3
 
 
49. (Mackenzie) Na figura, tg á vale: 
 
a) 
1
3
 b) 
2
3
 c) 
1
3
 d) 
3
4
 e) 
2
3
 
50. (Pucrs) Uma bola foi chutada do ponto M, subiu a rampa 
e foi até o ponto N, conforme a figura a seguir. A distância 
entre M e N é, aproximadamente, 
 
a) 4,2 m b) 4,5 m c) 5,9 m d) 6,5 m e) 8,5 m 
 
51. (Unesp) Um pequeno avião deveria partir de uma 
cidade A rumo a uma cidade B ao norte, distante 60 
quilômetros de A. Por um problema de orientação, o piloto 
seguiu erradamente rumo ao oeste. Ao perceber o erro, ele 
corrigiu a rota, fazendo um giro de 120
°
 à direita em um 
ponto C, de modo que o seu trajeto, juntamente com o 
trajeto que deveria ter sido seguido, formaram, 
aproximadamente, um triângulo retângulo ABC, como 
mostra a figura. 
 
8 
 
 
Com base na figura, a distância em quilômetros que o avião 
voou partindo de A até chegar a B é 
a) 30
3
. b) 40
3
. c) 60
3
. d) 80
3
. e) 90
3
. 
 
52. (Ufv) Na figura a seguir, os triângulos são retângulos, 
com hipotenusa comum AC, sendo ABC um triângulo 
isósceles com catetos medindo 4 cm. Se o cateto AD do 
triângulo ADC mede 2 cm, então o valor de tgx é: 
 
a) 
( 7) 
4
 b) 
7
 c) 
( 7) 
2
 d) 
( 7) 
3
 e) 
( 7) 
7
 
 
53. (Uflavras) Duas pessoas A e B estão situadas na 
mesma margem de um rio, distantes 60
3
m uma da outra. 
Uma terceira pessoa C, na outra margem do rio, está 
situada de tal modo que 
AB
 seja perpendicular a 
AC
 e a 
medida do ângulo A
Cˆ
B seja 60
°
. A largura do rio é 
 
a) 30
3
m b) 180 m c) 60
3
m d) 20
3
m e) 60 m 
 
 
54. (Uerj) Observe a bicicleta e a tabela trigonométrica. 
 
Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual a 120 
cm e os raios PA e QB medem, respectivamente, 25 cm e 
52 cm. 
De acordo com a tabela, o ângulo AÔP tem o seguinte valor: 
a) 10
°
 b) 12
°
 c) 13
°
 d) 14
°
 
 
55. (Puccamp) Em uma rua plana, uma torre AT é vista por 
dois observadores X e Y sob ângulos de 30
°
 e 60
°
 com a 
horizontal, como mostra a figura a seguir. 
 
Se a distância entre os observadores é de 40m, qual é 
aproximadamente a altura da torre?(Se necessário, utilize 
2
=1,4 e 
3
=1,7). 
a) 30 m b) 32 m c) 34 m d) 36 m e) 38 m 
 
56. (Faap) A seguir está representado um esquema de uma 
sala de cinema, com o piso horizontal. De quanto deve ser a 
medida de AT para que um espectador sentado a 15 metros 
da tela, com os olhos 1,2 metros acima do piso, veja o ponto 
mais alto da tela, que é T, a 30
°
 da horizontal? 
Dados: 
sen 30
°
 = 0,5 sen 60
°
 = 0,866 
cos 30
°
 = 0,866 cos 60
°
 = 0,5 
2
 = 1,41 
3
 = 1,73 
tg 30
°
 = 0,577 tg 60
°
 = 
3
 
 
a) 15,0 m b) 8,66 m c) 12,36 m 
d) 9,86 m e) 4,58 m 
 
57. (Puccamp) A figura a seguir é um corte vertical de uma 
peça usada em certo tipo de máquina. No corte aparecem 
dois círculos, com raios de 3cm e 4cm, um suporte vertical e 
um apoio horizontal. 
 
A partir das medidas indicadas na figura, conclui-se que a 
altura do suporte é 
a) 7 cm b) 11 cm c) 12 cm d) 14 cm e) 16 cm 
 
58. (Pucmg) Uma escada rolante de 10 m de comprimento 
liga dois andares de uma loja e tem inclinação de 30
°
. 
A altura h entre um andar e outro, em metros, é tal que: 
a) 3 < h < 5 b) 4 < h < 6 c) 5 < h < 7 
d) 6 < h < 8 e) 7 < h < 9 
 
9 
 
59. (Uel) Trafegando num trecho plano e reto de uma 
estrada, um ciclista observa uma torre. No instante em que o 
ângulo entre a estrada e a linha de visão do ciclista é 60
°
, o 
marcador de quilometragem da bicicleta acusa 103,50 km. 
Quando o ângulo descrito passa a ser 90
°
, o marcador de 
quilometragem acusa 104,03 km. 
 
Qual é, aproximadamente, a distância da torre à estrada? 
(Se necessitar, use
2
 ≈1,41; 
3
≈1,73; 
6
≈2,45.) 
a) 463,4 m b) 535,8 m c) 755,4 m 
d) 916,9 m e) 1071,6 m 
 
60. (Unirio) Um disco voador é avistado, numa região plana, 
a uma certa altitude, parado no ar. Em certo instante, algo 
se desprende da nave e cai em queda livre, conforme 
mostra a figura. A que altitude se encontra esse disco 
voador? 
 
Considere as afirmativas: 
l - a distância d é conhecida; 
ll - a medida do ângulo á e a tg do mesmo ângulo são 
conhecidas. 
Então, tem-se que: 
a) a l sozinha é suficiente para responder à pergunta, mas a 
ll, sozinha, não. 
b) a ll sozinha é suficiente para responder à pergunta, mas a 
l, sozinha, não. 
c) l e ll, juntas, são suficientes para responder à pergunta, 
mas nenhuma delas, sozinha, não é: 
d) ambas são, sozinhas, suficientes para responder à 
pergunta. 
e) a pergunta não pode ser respondida por falta de dados. 
 
61. (G1) Um navio, navegando em linha reta, passa 
sucessivamente pelos pontos A e B. O comandante, quando 
o navio está no ponto A, observa um farol num ponto C e 
calcula o ângulo A
C
B = 30
°
. Sabendo-se que o ângulo A
B
C é reto e que a distância entre os pontos A e B é de 6 
milhas, pergunta-se de quantas milhas é a distância entre o 
farol e o ponto B. 
a) 6 
3
milhas b) 18
3
milhas c) 2
3
milhas 
d) 3
3
milhas e) 5
3
milhas 
 
62. (G1) O ângulo de elevação do pé de uma árvore ao topo 
de uma encosta é de 60
°
. Sabendo-se que a árvore está 
distante 100 m da base da encosta, que medida deve ter um 
cabo de aço para ligar a base da árvore ao topo da encosta? 
 
a) 100 m b) 50 m c) 300 m d) 200 m e) 400 m 
 
63. (Puccamp) Uma pessoa encontra-se num ponto A, 
localizado na base de um prédio, conforme mostra a figura 
adiante. 
 
Se ela caminhar 90 metros em linha reta, chegará a um 
ponto B, de onde poderá ver o topo C do prédio, sob um 
ângulo de 60
°
. Quantos metros ela deverá se afastar do 
ponto A, andando em linha reta no sentido de A para B, para 
que possa enxergar o topo do prédio sob um ângulo de 30
°
? 
a) 150 b) 180 c) 270 d) 300 e) 310 
 
64. (Ufrgs) Um barco parte de A para atravessar o rio. A 
direção de seu deslocamento forma um ângulo de 120
°
 com 
a margem do rio. 
 
Sendo a largura do rio 60 m, a distância, em metros, 
percorrida pelo barco foi de 
a) 40
2
 b) 40
3
 c) 45
3
 d) 50
3
 e) 60
2
 
 
65. Uma estrada de alta velocidade foi projetada com ângulo 
de sobrelevação de 10°. A figura a seguir mostra o corte 
transversal à pista. Se sua largura é de 12 m, determine o 
desnível entre suas margens. (Dados: sen 10°≅ 0,174; cos 
10° ≅ 0,985; tg 10° 0,176).