0-analise-combinatoria

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Assunto Página 
1. Conjuntos 2 
1.1. Conceitos e operações fundamentais Erro! Indicador não definido. 
1.2. Conjuntos numéricos Erro! Indicador não definido. 
2. Intervalos numéricos Erro! Indicador não definido. 
2.1. Representação na reta Erro! Indicador não definido. 
2.2. Intervalos abertos e fechados Erro! Indicador não definido. 
2.3. União de intervalos Erro! Indicador não definido. 
2.4. Interseção de intervalos Erro! Indicador não definido. 
Pontos mais Importantes da Aula 16 
Questões Comentadas Erro! Indicador não definido. 
Lista de Exercícios Erro! Indicador não definido. 
Gabarito Erro! Indicador não definido. 
 
 
 
 
 
“Aprender é a única coisa de que a mente nunca se cansa, 
nunca tem medo e nunca se arrepende.” 
Leonardo Da Vinci 
Aula – Conjuntos numéricos; intervalos numéricos; operação com 
conjuntos 
 
 
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1. Análise Combinatória 3 
1.1. Princípio Fundamental da Contagem 4 
1.2. Diagrama de Árvore 5 
1.3. Fatorial de um Número 8 
1.4. Arranjo Simples 9 
1.5. Arranjo com Repetição 10 
1.6. Permutação Simples 11 
1.7. Permutação com Elementos Repetidos 12 
1.8. Permutação Circular 14 
1.9. Combinação 15 
2. Pontos mais Importantes da Aula 16 
 
 
“Aprender é a única coisa de que a mente nunca se cansa, 
nunca tem medo e nunca se arrepende.” 
Leonardo Da Vinci 
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1. Análise Combinatória 
 
A Análise Combinatória é usada para contagem. Com a análise 
combinatória conseguimos contar quantos grupos distintos podem ser 
formados a partir de um número de elementos sob determinadas 
circunstâncias. 
Podemos usar a análise combinatória para determinar, por exemplo: 
• Quantas combinações de pódio distintas (com primeiro, segundo e 
terceiro lugar) podem ser formadas para um torneio de xadrez com 
16 competidores distintos; 
• Quantos números pares de 4 algarismos podem ser formados; 
• Quantas equipes de trabalho de 4 pessoas podem ser montadas, 
considerando que o setor tem 20 funcionários disponíveis e que João 
é um desses e deve integrar a equipe? 
Percebam que, nesses exemplos, temos informações do número de 
elementos dos grupos a serem formados e do número de elementos de um 
universo maior, dos elementos possíveis de serem escolhidos: 
• Grupos de 3 enxadristas dentre um universo de 16 participantes do 
torneio 
• Grupos com 4 algarismos dentre todos os números possíveis de 
1.000 a 9.999 
• Grupos de 4 pessoas dentre um universo de 20 funcionários 
Temos também informações referentes às circunstâncias para essas 
escolhas: 
• A ordem importa dos competidores importa (um enxadrista ficar em 
primeiro lugar é diferente de ficar em segundo) e cada enxadrista só 
pode ter uma posição no torneio (nenhum enxadrista pode 
simultaneamente ficar em primeiro e terceiro lugar, por exemplo) 
• A ordem dos números importa (afinal 2.998 é diferente de 8.992), o 
último algarismo deve ser par e não há restrição à repetição de 
números (pode ser formado o número 2.222, por exemplo) 
• A ordem não importa (afinal falar que uma equipe tem João, Marina, 
Carlos e Mirian é o mesmo que dizer que a equipe tem Marina, 
Mirian, Carlos e João), João deve integrar a equipe e cada pessoa só 
pode ser contada uma vez na equipe (não pode existir uma equipe 
sendo João, João, João e Carlos) 
 
 
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1.1. Princípio Fundamental da Contagem 
 
O princípio fundamental da contagem nos diz que o número total 
de combinações possíveis é igual ao produto do número de 
possibilidades independentes. Por isso, é também chamado de princípio 
multiplicativo. 
Vamos ilustrar com um exemplo. Isabel vai a uma lanchonete comprar 
uma casquinha de sorvete e pode escolher um de 3 sabores (baunilha, 
chocolate ou mista) e ainda tem a opção de escolher colocar ou não uma 
cobertura de chocolate na casquinha. Pelo princípio fundamental da contagem, 
o número de casquinhas distintas que podem ser montadas é 𝟑 ∙ 𝟐 = 𝟔 . 
Percebam que as possibilidades da escolha de sorvete (3 opções) não afetam 
a escolha da cobertura (2 opções). Por isso são possibilidades independentes. 
Agora vamos supor que ela vai comprar um combo com bebida, lanche 
e acompanhamento. Considerando que há apenas 5 opções de bebidas, 10 
opções de lanches e 2 opções de acompanhamento, o número de combos 
possíveis de serem montados é, conforme o princípio fundamental da 
contagem, 𝟓 ∙ 𝟏𝟎 ∙ 𝟐 = 𝟏𝟎𝟎. Multiplicamos o número de possibilidades de bebidas 
pelo de lanches pelo de acompanhamentos. A escolha de bebidas, lanches e 
acompanhamentos são também diferentes. 
 
 
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1.2. Diagrama de Árvore 
 
Podemos ilustrar o princípio fundamental da contagem através de 
um Diagrama de Árvore. 
Vamos ilustrar o exemplo da casquinha de sorvete, que é mais simples. 
Começamos escrevendo as possibilidades que existem para escolha dos 
sorvetes (poderíamos nesse exemplo começar também com a escolha de 
coberturas, pois chegaríamos às mesmas conclusões): 
 
 Depois, nós “abrimos” mais a árvore, escrevendo as possibilidades de 
cobertura que existem para cada sorvete. Para o sorvete de baunilha, é 
possível a escolha entre “com cobertura” e “sem cobertura”. Mesma coisa para 
os sabores chocolate e mista: 
 
 
Baunilha com 
cobertura 
Baunilha sem 
cobertura 
Chocolate com 
cobertura 
Chocolate sem 
cobertura 
Mista com 
cobertura 
Mista sem 
cobertura 
 
TOTAL de 
possibilidades
baunilha
chocolate
misto
TOTAL de 
possibilidades
baunilha
com 
cobertura
sem 
cobertura
chocolate
com 
cobertura
sem 
cobertura
misto
com 
cobertura
sem 
cobertura
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 Conseguimos, assim, visualizar esquematicamente no Diagrama de 
Árvore as 6 possibilidades da escolha de sorvetes que calculamos pelo 
princípio fundamental da contagem. 
 Na prática conseguimos montar o Diagrama de Árvore completo quando 
o número de possibilidades é pequeno. No exemplo de montagem de combos 
na lanchonete, por exemplo, o diagrama de árvore teria 100 possibilidades – 
algo bem inviável de desenharmos. Todavia, para melhor visualizarmos um 
problema, podemos desenhar o diagrama de árvores de formas simplificadas, 
omitindo alguns dos galhos. Vejamos: 
 
 
 
 O diagrama de Árvores pode também ser utilizado para contagem 
quando há possibilidades dependentes. 
Considere, por exemplo, uma partida de futebol em que disputam os 
times A e B. O time vencedor é o que marcar dois gols consecutivos ou que 
marcar um total de três gols (o que acontecer primeiro). Nesse exemplo, a 
partida terminar ou continuar depois de cada gol depende tanto do resultado 
acumulado (se ninguém ainda marcou 3 gols) quanto de quem fez o último 
gol. 
TOTAL de 
possibilidades
bebida 1
lanche 1
acompanhamento 1
acompanhamento 2
lanche 2
(...)
lanche 10
bebida 2
(...)
bebida 5
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Vejam que há 5 desfechos em que o Time A ganha e 5 desfechos em 
que o Time B ganha. 
Time A ganha 
(A) 2 x 0 (B) 
(A) 3 x 1 (B) 
(A) 3 x 2 (B) 
(A) 2 x 1 (B) 
(A) 3 x 2 (B) 
Time B ganha 
(A) 0 x 2 (B) 
(A) 1 x 3 (B) 
(A) 2 x 3 (B) 
(A) 1 x 2 (B) 
(A) 2 x 3 (B) 
 
 
TOTAL de 
possibilidades
Gol A
Gol A (fim 
de jogo)
Gol B
Gol A
Gol A (fim 
de jogo)
Gol B
Gol A (fim 
dejogo)
Gol B (fim 
de jogo)
Gol B (fim 
de jogo)
Gol B
Gol A
Gol A (fim 
de jogo)
Gol B
Gol A
Gol A (fim 
de jogo)
Gol B (fim 
de jogo)Gol B (fim 
de jogo)
Gol B (fim 
de jogo)
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1.3. Fatorial de um Número 
O fatorial de um número natural n é o produto de n por todos os 
seus números antecessores, consecutivamente até chegar ao 1. 
Reforçamos que o conceito de fatorial é utilizado para números naturais 
apenas (0, 1, 2, 3, ...). O fatorial de um número n é representado por n!, ou 
seja, o n com um ponto de exclamação. 
Vejamos alguns exemplos: 
3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 
5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 
8! = 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 40.320 
 
Por definição, o fatorial de zero e de um são iguais a 1: 
1! = 1 
0! = 1 
 
➢ Divisão de um número fatorial por outro 
Notem que, para n>1, o fatorial de um número n é igual a n vezes (n-
1)!. Na mesma lógica, para n>2, o fatorial de um número n é igual a n vezes 
(n-1) vezes (n-2)!. 
Usando essa propriedade, a divisão de um fatorial por outro fica mais 
simples de ser feita, vejamos: 
205!
203!
=
205 ∙ 204 ∙ 203!
203!
= 205 ∙ 204 = 41.820 
 Não foi necessário calcular o valor de 205! e nem de 203! (valores que 
seriam altíssimos) para fazermos a divisão. Bastou decompormos 205! até que 
chegássemos a uma multiplicação por 203!. 
 
O conceito de fatorial será fundamental para o prosseguimento da aula, 
em que estudaremos algumas fórmulas de análise combinatória. Vamos 
estudar a seguir algumas formas de organizar conjuntos. 
 
 
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1.4. Arranjo Simples 
Utilizamos o Arranjo quando vamos montar grupos em que a ordem 
dos elementos importa e em que cada elemento só pode ser utilizado 
uma vez. Chamamos de arranjo simples aquele em que os elementos 
utilizados são todos diferentes. 
É o exemplo de um pódio para um torneio de xadrez. Há três posições 
no pódio para 16 competidores, sendo que a ordem que cada um pode subir 
no pódio é importante e um mesmo enxadrista não pode ocupar mais de uma 
posição no pódio. 
Inicialmente consideremos a primeira posição do pódio. Há 16 
possibilidades de quem pode assumi-la. Considerando que uma pessoa 
assumirá essa primeira posição, restam 16-1=15 competidores que podem 
assumir a vice-liderança. O terceiro lugar, por sua vez, poderá ser assumido 
apenas por 16-2=14 competidores (pois um deles está na primeira posição e 
outro na segunda). Assim, há 16 ∙ 15 ∙ 14 = 3.360 maneiras distintas de se 
montar esse pódio. 
 
1ª Posição 2ª Posição 3ª Posição 
16 possibilidades 15 possibilidades 14 possibilidades 
 
_____________ _____________ _____________ 
 
 
 Árvore montada de forma simplificada (com partes omissas) 
 
 Se o pódio fosse adiante até a quinta colocação, multiplicaríamos então 
por 13 possibilidades e depois por 12 possibilidades. E assim por diante. 
TOTAL de possibilidades 
de pódio
compedidor 1
competidor 2
competidor 3
competidor 4
...
competidor 16
competidor 3
(...)
competidor 16
competidor 2
(...)
competidor 16
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 A lógica do Arranjo, então, é multiplicar o número de elementos 
disponíveis para agrupar pelos seus números antecessores. O número de 
termos dessa multiplicação é igual ao número de elementos que cabe no 
grupo a ser formado. 
 Em uma fórmula matemática, o Arranjo pode ser escrito como: 
𝐴𝑛,𝑝 = 𝐴𝑛
𝑝
= 𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ (𝑛 − 2)… ∙ (𝑛 − 𝑝 − 1) 
 
 Que é o mesmo que escrever: 
𝑨𝒏,𝒑 = 𝑨𝒏
𝒑
=
𝒏!
(𝒏 − 𝒑)!
 
 
A fórmula do Arranjo é lida como “Arranjo de n elementos tomados p a 
p”. Em que n é a quantidade de elementos que podemos agrupar e p é a 
quantidade de elementos que o grupo comporta. No torneio de xadrez, temos 
que n=16 e p=3. 
 
1.5. Arranjo com Repetição 
O Arranjo com Repetição (ou Reposição) é aquele em que a ordem 
dos elementos importa, mas, diferentemente do arranjo simples, cada 
elemento pode ser utilizado mais de uma vez. Ou seja, um mesmo 
elemento pode se repetir. 
Considere, por exemplo, uma urna com 5 bolas numeradas de 1 a 5. Se 
retirarmos 3 bolas, sem repor as bolas nas urnas, e anotarmos num papel o 
número de cada bola retirada, então um arranjo simples de 5 elementos 
tomados de 3 a 3 forneceria 60 possibilidades dos números de 3 algarismos 
formados. Como não há reposição, não seriam formados números de 
algarismos repetidos. 
Todavia, se, após cada retirada, colocássemos novamente a bola na 
urna, poderíamos ter sequências de números repetidos (111, 332, etc...). 
Estamos diante de um arranjo com repetição. Temos 5 possibilidades de 
bolas diferentes na primeira retirada e na segunda e na terceira retirada 
também há 5 possibilidades (pois após a bola ser retirada, ela é devolvida à 
urna). Então são possíveis de serem formados 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125 números distintos 
de 3 algarismos. 
A fórmula do Arranjo com Repetição é, portanto: 
𝑨𝑹𝒏
𝒑
= 𝒏𝒑 
 
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1.6. Permutação Simples 
A Permutação Simples é um caso específico de Arranjo Simples 
em que a quantidade de elementos que o grupo comporta é igual ao número 
de elementos disponíveis para agrupar. Ou seja, é um Arranjo em que p=n. 
 
𝑨𝒏,𝒏 = 𝑷𝒏 = 𝒏! 
 
Seria o caso, por exemplo, de um torneio de xadrez de 5 competidores 
em que há um pódio com espaço para todos os 5. Há 5!=120 possibilidades de 
pódio. 
 
1ª Posição 2ª Posição 3ª Posição 4ª Posição 5ª Posição 
5 possibilidades 4 possibilidades 3 possibilidades 2 possibilidades 1 possibilidade 
 
 
_____________ _____________ _____________ _____________ _____________ 
 
 
 
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1.7. Permutação com Elementos Repetidos 
Permutações com elementos repetidos são aqueles em que há pelo 
menos dois elementos repetidos (ou seja, iguais). 
Há muitas questões sobre anagramas sobre esse assunto. O anagrama 
de uma palavra é uma outra palavra escrita com as mesmas letras, mas 
rearranjadas de forma distinta. Vejamos os anagramas da palavra AMOR: 
 
A M O R O A M R 
A M R O O A R M 
A O M R O M A R 
A O R M O M R A 
A R M O O R A M 
A R O M O R M A 
M A O R R A O M 
M A R O R A M O 
M O A R R O A M 
M O R A R O M A 
M R A O R M A O 
M R O A R M O A 
 
Vejam que a maioria das palavras formadas não fazem sentido. Não 
tem problema, em exercícios de matemática não há preocupação em se 
formarem palavras que tenham sentido. 
A palavra AMOR tem 4 letras distintas. Então o número de anagramas 
distintos que podem ser formados pode ser encontrado pela permutação 
simples de 4 elementos, ou seja 4!=24. 
 
Todavia, e quanto ao verbo AMAR, que tem duas letras A? Se 
calcularmos 4! estaremos contando mais de uma vez palavras iguais, vejam: 
 
A M A R A A M R 
A M R A A A R M 
A A M R A M A R 
A A R M A M R A 
A R M A A R A M 
A R A M A R M A 
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M A A R R A A M 
M A R A R A M A 
M A A R R A A M 
M A R A R A M A 
M R A A R M A A 
M R A A R M A A 
 
 Assim, há permutações que são meramente da letra A com ela mesma. 
Para calcularmos o número de anagramas distintos de AMAR, devemos dividir 
o 4! pelo 2! (que são as permutações da letra A consigo mesma). O total de 
anagramas da palavra AMAR é, portanto, 12. 
A M A R R A A M 
A M R A R A M A 
A A M R R M A A 
A A R M M A A R 
A R M A M A R A 
A R A M M R A A 
 
 A fórmula geral de uma permutaçãode elementos repetidos é: 
𝑷𝒏
𝒂,𝒃,𝒄,…,𝒛 =
𝒏!
𝒂! ∙ 𝒃! ∙ 𝒄! ∙ … ∙ 𝒛!
 
 Em que a é o número de vezes que o elemento A se repete, b é o 
número de vezes que o elemento B se repete, e assim por diante. 
 Como exemplo, vamos calcular o número de anagramas distintos da 
palavra MATEMATICA. Vejam que a palavra tem 10 elementos, sendo que os 
elementos M e T se repetem 2 vezes e o elemento A se repete 3 vezes. O 
número de anagramas é: 
𝑃𝑛
2,2,3 =
10!
2! ∙ 2! ∙ 3!
 
𝑃𝑛
2,2,3 =
10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3!
2! ∙ 2! ∙ 3!
=
10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3!
2 ∙ 2 ∙ 3!
= 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 
𝑃𝑛
2,2,3 = 151.200 
 
 
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1.8. Permutação Circular 
 
A permutação circular é um caso específico de permutação em que os 
elementos do grupo são organizados de maneira “circular”. Na permutação 
circular, o lugar que cada um senta na mesa é importante. 
Imagine uma mesa redonda com 6 lugares. Cada pessoa terá uma 
pessoa sentada à sua esquerda e outra sentada à sua direita. A mesa não tem 
começo ou fim, diferentemente de uma fila, por exemplo, em que o último da 
fila não tem ninguém atrás e o primeiro da fila não tem ninguém na frente. 
Embora o nome seja permutação circular, pessoas podem também se 
organizar em mesas quadradas ou de outros formatos. A ideia é que as 
pessoas se organizem de forma que toda pessoa sempre tenha duas pessoas 
adjacentes, formando um ciclo fechado. 
 
 A fórmula para permutação circular é: 
𝑷𝒏
𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 = (𝒏 − 𝟏)! 
 Em que n é o número de lugares na mesa, que é igual ao número 
de pessoas. Perceba que é a fórmula da permutação para n elementos dividida 
por n: 
𝑃𝑛
𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 =
𝑃𝑛
𝑛
=
𝑛!
𝑛
=
𝑛 ∙ (𝑛 − 1!)
𝑛
= (𝑛 − 1)! 
 
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1.9. Combinação 
Até agora estudamos situações de análise combinatória em que a ordem 
dos elementos era importante nos grupos. Os elementos dos grupos 
formavam uma sequência. 
Agora vamos estudar Combinações, em que a ordem dos elementos 
não mais importa. 
A fórmula para Combinação é a fórmula do Arranjo dividida por p!. 
Perceba que a finalidade do p! é calcular o número de permutações distintas 
entre os p elementos do grupo formado. Quando dividimos por p!, estamos 
então retirando a influência da ordem dos elementos: 
𝑪𝒏,𝒑 = 𝑪𝒏
𝒑
 
 
𝑪𝒏,𝒑 =
𝑨𝒏,𝒑
𝒑!
=
𝒏!
𝒑! ∙ (𝒏 − 𝒑)!
 
 
 Lê-se 𝑪𝒏,𝒑 ou 𝑪𝒏
𝒑
 como combinação simples de n elementos p a p. 
Pense na montagem de equipes distintas. Considere que um 
departamento tem 20 funcionários e 4 deles vão trabalhar em um plantão de 
atendimento ao público no sábado. O número de equipes distintas de 4 
pessoas que podem ser formadas é: 
𝐶20,4 =
20!
4! ∙ (20 − 4)!
 
𝐶20,4 =
20 ∙ 19 ∙ 18 ∙ 17 ∙ 16!
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 16!
=
20 ∙ 19 ∙ 18 ∙ 17
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
= 𝟒. 𝟖𝟒𝟓 
 
 
 
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2. Pontos mais Importantes da Aula 
 
➢ Princípio Fundamental da Contagem 
O princípio fundamental da contagem nos diz que o número total 
de combinações possíveis é igual ao produto do número de 
possibilidades independentes. 
 
➢ Fatorial 
O fatorial de um número natural n é o produto de n por todos os 
seus números antecessores, consecutivamente até chegar ao 1. Por 
definição, o fatorial de zero e de um são iguais a 1: 
1! = 1 
0! = 1 
 
➢ Fórmulas de Análise Combinatória 
Técnica Fórmula 
A ordem dos 
elementos 
importa? 
Princípio Fundamental 
da Contagem 
𝑃𝐹𝐶 = 𝑎1 ∙ 𝑎2 ∙ 𝑎3 ∙ … ∙ 𝑎𝑛 
SIM 
Arranjo Simples 𝐴𝑛
𝑝
=
𝑛!
(𝑛 − 𝑝)!
 
Arranjo com Repetição 𝐴𝑅𝑛
𝑝
= 𝑛𝑝 
Permutação Simples 𝑃𝑛 = 𝑛! 
Permutação com 
Elementos Repetidos 𝑃𝑛
𝑎,𝑏,𝑐,…,𝑧 =
𝑛!
𝑎! ∙ 𝑏! ∙ 𝑐! ∙ … ∙ 𝑧!
 
Permutação Circular 𝑃𝑛
𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 = (𝑛 − 1)! 
Combinação 𝐶𝑛,𝑝 =
𝐴𝑛,𝑝
𝑝!
=
𝑛!
𝑝! ∙ (𝑛 − 𝑝)!
 NÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística 
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Questões 
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Assunto Página 
1. Questões Comentadas 3 
1.1. FCC 3 
1.2. Cespe 8 
2. Lista de Questões 16 
2.1. FCC 16 
2.2. Cespe 17 
3. Gabarito 20 
 
 
 
 
Questões – Análise Combinatória 
 
Questões 
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1. Questões Comentadas 
 
1.1. FCC 
 
1. (FCC-SEPLAG-2012) Um condomínio de 25 casas terá seu sistema de 
comunicação por interfone substituído. A empresa contratada informa 
que usa como identificação de cada residência um código de três dígitos 
formado pelos algarismos 1, 2 e 3 (distintos ou não). Alguns moradores 
desconfiaram e alegaram que a quantia de códigos não era suficiente 
para identificar todas as casas. O representante da empresa apresentou 
cálculos que comprovavam que o total de possibilidades era suficiente 
para identificar 
(A) 25 casas. (B) 27 casas. (C) 30 casas. (D) 32 casas. 
 
Resolução: 
 Considerando que o código terá três dígitos, e que cada dígito pode ser 
formado pelos números 1, 2 e 3 (distintos ou não), podemos calcular o número 
total de dígitos pelo princípio fundamental da contagem. 
Para o primeiro dígito, podemos ter três possibilidades (1, 2 e 3), o 
mesmo se aplicando aos 2º e 3º dígitos, o número total deve se calculado pela 
multiplicação dessas possibilidades. 
 
Gabarito 1: B 
 
2. (FCC-SEPLAG-2012) Dona Quitéria oferece chá da tarde em sua 
lanchonete. Ela serve: 
− cinco variedades de chás; 
− três sabores de pãezinhos; 
− quatro qualidades de geleias; 
1º Dígito 2º Dígito 3º Dígito 
 
 3 x 3 x 3 = 27 casas 
_________ _________ _________ 
 
 
 
 
Questões 
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Os clientes podem optar por um tipo de chá, um sabor de pão e uma geleia. 
Mariana toma lanche todos os dias no estabelecimento de Dona Quitéria. O 
número de vezes que Mariana pode tomar lanche sem repetir sua opção é 
(A) 60. (B) 50. (C) 45. (D) 40. 
 
Resolução: 
Esse problema pode ser resolvido rapidamente aplicando-se o princípio 
fundamental da contagem. Se Mariana toma lanche todos os dias no 
estabelecimento e se ela pode pedir um tipo de chá, um sabor de pão e uma 
geleia, o número de possibilidades pode ser obtido pela multiplicação das 
possibilidades de cada item, assim: 
 
Gabarito 2: A 
 
3. (FCC-SABESP-2012) Uma escola de Ensino Médio possui quatro turmas 
de 1ª série. As aulas de História dessas turmas serão distribuídas entre 
três professores, de modo que um deles assuma duas turmas e os outros 
dois assumam uma turma cada um. O número de maneiras diferentes de 
distribuir essas aulas, respeitando tais condições, é igual a 
(A) 18. (B) 24. (C) 36. (D) 48. (E) 72. 
 
Resolução: 
Vamos chamar os professores de A, B e C. 
Um deles irá assumir duas turmas e, os outros dois, apenas uma turma. 
Nessas condições, vamos supor que o professor A assuma essas duas turmas, 
desse modo, teríamos o conjunto {A, A, B, C}, onde a 1ª posição se refere à 1ª 
turma, a 2ª posição à 2ª turma, e, assim, sucessivamente. 
A partir desse conjunto, calculamos o número de maneiras diferentes que 
esses professores podem se ordenar no conjunto, ou seja, se distribuir entre as 
turmas. 
Sendo assim, precisamos calcular o número de permutações, com repetição do 
professor A: 
 Chá Pão Geleia 
 
 5x 3 x 4 = 60 possibilidades 
 ________ _________ _________ 
 
 
 
 
Questões 
Profs. Fábio Amorim e Renato Talalas 
 
 
Profs. Fábio Amorim e Renato Talalas 5 de 20 
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𝑃𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 “𝑛” 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 = 𝑃𝑛
(𝑎,𝑏,… )
=
𝑛!
𝑎! 𝑏! …
 
 
𝑃𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 4 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 = 𝑃4
(2)
=
4!
2!
= 12 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
 
Desse modo, se o professor A for contemplado com duas turmas, o 
número de maneiras diferentes de distribuir essas salas é igual a 12. O mesmo 
número se aplica caso um dos professores B e C sejam contemplados com duas 
turmas. Portanto, o número total de possibilidades é igual a 12 + 12 + 12 = 36. 
Gabarito 3: C 
 
4. (FCC-SEE/SP-2011) Leonardo e mais três amigos decidem ir ao 
cinema. Resolvem sentar-se numa fila que tem seis lugares seguidos 
disponíveis. De quantas maneiras diferentes podem ocupar os lugares 
disponíveis? 
(A) 24. (B) 120. (C) 180. (D) 360. (E) 720. 
 
Resolução: 
Pessoal, temos um conjunto com seis lugares distintos e, destes lugares, 
quatro serão ocupados pelos amigos. Assim, supondo que o conjunto seja 
representado pelas cadeiras {1, 2, 3, 4, 5, 6}, devem ser escolhidas quatro 
delas. 
Supondo que sejam escolhidas as cadeiras 1, 2, 3 e 4, percebam que a 
ordem de escolha irá interferir no número de resultados possíveis, já que a 
configuração: 
Cadeira 1 Cadeira 2 Cadeira 3 Cadeira 4 
Leonardo Amigo A Amigo B Amigo C 
 
É diferente, por exemplo, da configuração: 
Cadeira 1 Cadeira 2 Cadeira 3 Cadeira 4 
Amigo A Leonardo Amigo B Amigo C 
 
Portanto, podemos aplicar a técnica de contagem de Arranjo, onde o 
conjunto com 6 cadeiras “n=6” será arranjado em 4 posições “r=4”, por meio 
da seguinte expressão: 
Questões 
Profs. Fábio Amorim e Renato Talalas 
 
 
Profs. Fábio Amorim e Renato Talalas 6 de 20 
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An, r = A6, 4 =
6!
(6 − 4)!
=
6!
2!
=
6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
2 × 1
= 360 possibilidades 
Gabarito 4: D 
 
5. (FCC-PM/BA-2010) Certo dia, um automóvel passou em alta 
velocidade por uma avenida, excedendo o limite ali permitido. Um policial 
de plantão no local tentou anotar o número da placa do carro do infrator, 
mas não conseguiu fazê-lo por completo: memorizou apenas o prefixo 
(CSA) e, da parte numérica, lembrava somente que o algarismo da 
esquerda era ímpar e o da direita era par. Com base nessas informações, 
o total de possibilidades para o número da placa de tal automóvel é 
(A) 2500. (B) 2000. (C) 1000. (D) 250. (E) 100. 
 
Resolução: 
Podemos resolver esse problema pelo princípio fundamental da 
contagem. A nossa tarefa T1 consiste em preencher o primeiro dígito dos 
numerais com um número ímpar. Neste caso, temos 5 possibilidades (1, 3, 5, 
7, 9). O segundo dígito (T2) não há restrições, portanto, 10 possibilidades (0, 
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0). O mesmo se aplica ao terceiro dígito (T3). Para o 
quarto dígito (T4), temos que preencher com um número par, sendo assim, 
temos 5 possibilidades (0, 2, 4, 6, 8). 
Assim, pelo princípio fundamental da contagem, o número total de 
possibilidades pode ser obtido a partir da multiplicação das possibilidades de 
cada tarefa. Deste modo: 
 
Gabarito 5: A 
 
6. (FCC-BACEN-2006) Os clientes de um banco contam com um cartão 
magnético e uma senha pessoal de quatro algarismos distintos entre 1 
000 e 9 999. A quantidade dessas senhas, em que a diferença positiva 
entre o primeiro algarismo e o último algarismo é 3, é igual a 
(A) 936. (B) 896. (C) 784. (D) 768. (E) 728. 
1º Dígito 2º Dígito 3º Dígito 4º Dígito 
 
 5 x 10 x 10 x 5 = 2500 possibilidades 
 ________ ________ _______ _______ 
 
 
 
 
Questões 
Profs. Fábio Amorim e Renato Talalas 
 
 
Profs. Fábio Amorim e Renato Talalas 7 de 20 
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Resolução: 
Se a diferença positiva entre o primeiro e o último algarismo é igual a 3, 
nos interessam as seguintes situações: (3,_,_,0), (4,_,_,1), (5,_,_,2), 
(6,_,_,3), (7,_,_,4), (8,_,_,5), (9,_,_,6), (1,_,_,4), (2,_,_,5), (3,_,_,6), 
(4,_,_,7), (5,_,_,8), (6,_,_,9), ou seja, são 13 possibilidades. Repare que (0, 
_,_,3) não é uma possibilidade, pois a senha deve estar no intervalo de 1000 a 
9999. 
Como o dígito não pode se repetir, e considerando que o primeiro e o 
último dígito já estão preenchidos de acordo com as possibilidades elencadas, 
portanto, para o segundo algarismo temos 8 possibilidades. Consequentemente, 
para o terceiro algarismo, restam 7 possibilidades. 
Sendo assim, aplicando-se o princípio fundamental da contagem: 
 
Gabarito 6: E 
 
7. (FCC-SEED/SE-2003) Uma prova consta de 6 questões de Matemática 
e 7 de Física. Cada aluno deve escolher 4 questões de Matemática e 2 de 
Física para responder. Quantas opções diferentes de escolha tem cada 
aluno? 
(A) 21. (B) 45. (C) 250. (D) 315. (E) 1680. 
 
Resolução: 
Cada aluno deve escolher 4 questões de matemática em um conjunto 
com 6 questões. Nesse caso, não importa a ordem de escolha, sendo assim, 
podemos aplicar a técnica da combinação para calcular o número de maneiras 
diferentes de se escolher as questões da prova de matemática. 
 
𝐶𝑛, 𝑟 ⇒ 𝐶6, 4 =
6!
(6 − 4)! 4!
=
6!
2! 4!
=
6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
(2 × 1) × (4 × 3 × 2 × 1)
= 15 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
 
1º Dígito e 4º Dígito 2º Dígito 3º Dígito 
 
 13 x 8 x 7 = 728 possibilidades 
 ________________ ________ _______ 
 
 
 
 
Questões 
Profs. Fábio Amorim e Renato Talalas 
 
 
Profs. Fábio Amorim e Renato Talalas 8 de 20 
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Cada aluno deve escolher 2 questões de Física em um conjunto de 7 
questões. Aplicamos, também, a fórmula da combinação para calcular o número 
de maneiras diferentes de se escolher as questões da prova de física. 
 
𝐶𝑛, 𝑟 ⇒ 𝐶7, 2 =
7!
(7 − 2)! 2!
=
7!
5! 2!
=
7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
(5 × 4 × 3 × 2 × 1) × (2 × 1)
= 21 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
 
 Aplicando-se o princípio fundamental da contagem, o número total de 
possibilidades é obtido pela multiplicação das possibilidades de cada tarefa. 
 
 
Gabarito 7: D 
 
1.2. Cespe 
 
8. (CESPE - Analista de Administração Pública - Área Arquivologia - 
TCDF/DF – 2014) De um grupo de seis servidores de uma organização, três 
serão designados para o conselho de ética como membros titulares, e os outros 
três serão os seus respectivos suplentes. Em caso de falta do membro titular no 
conselho, somente poderá assumir seu lugar o respectivo suplente. 
Com base na situação hipotética acima, julgue os próximos itens. 
O número de maneiras de serem selecionados os três membros titulares e 
seus respectivos suplentes é superior a 100. 
R. 
Membros titulares 
De início, precisamos escolher três membros titulares entre seis servidores de 
uma organização. Nesta situação, a ordem de escolha não interfere na 
contagem que precisamos fazer. 
Em outras palavras, supondo que sejam escolhidos os servidores A, B e C, não 
importa a ordem de escolha: ABC, ACB, BCA, BAC, CAB ou CBA. 
Para esses casos em que precisamos escolher “r” elementos de um conjunto 
de “n” elementos, independentemente da ordem de escolha, a técnica de 
contagem adequada é a combinação. 
Nesse problema, devemos utilizar a combinação de 6 elementos, tomados 3 a 
3: C6, 3. 
Matemática Física 
 
 15 x 21 = 315 possibilidades 
 ________ ________ 
 
 
 
 
Questões 
Profs. Fábio Amorim e Renato Talalas 
 
 
Profs. Fábio Amorim e Renato Talalas9 de 20 
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𝐶𝑛, 𝑟 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!
 
𝐶6, 3 =
6!
(6 − 3)! 3!
=
6!
3! 3!
=
6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
(3 × 2 × 1) × (3 × 2 × 1)
= 20 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
 
Para visualizarmos essa contagem, supondo que os servidores sejam A, B, C, 
D, E e F, as 20 possibilidades de escolha dos titulares são: 
ABC, ABD, ABE, ABF, ACD, ACE, ACF, ADE, ADF, AEF, BCD, BCE, BCF, BDE, 
BDF, BEF, CDE, CDF, CEF, DEF. 
Suplentes 
Escolhidos os membros titulares, restam os suplentes. Para eles, a ordem de 
escolha interfere na contagem, haja vista que “em caso de falta do membro 
titular no conselho, somente poderá assumir seu lugar o respectivo suplente”. 
Para esses problemas em que precisamos escolher “r” elementos de um 
conjunto de “n” elementos, em uma determinada ordem, a técnica de 
contagem adequada é o Arranjo. 
Assim, o número de maneiras diferentes de escolher três suplentes entre três 
servidores restantes é: 
𝐴𝑛, 𝑟 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑟)!
 
𝐴3, 3 =
3!
(3 − 3)!
=
3!
0!
=
3 × 2 × 1
1
= 6 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
Para visualizarmos essa contagem, supondo que os servidores ABC sejam os 
titulares, os suplentes podem ser distribuídos como: 
DEF, DFE, EFD, EDF, FED, FDE. 
Contagem Final 
Portanto, para calcularmos o número de maneiras de serem selecionados os 
três membros titulares e seus respectivos suplentes, vamos utilizar o princípio 
fundamental da contagem. 
Se, para a escolha dos titulares temos 20 possibilidades (tarefa T1), e para a 
escolha dos suplentes, 6 possibilidades (tarefa T2), o número total será obtido 
pela multiplicação dessas quantidades: 
 
Portanto, o número de maneiras de serem selecionados os três membros 
titulares e seus respectivos suplentes é superior a 100. 
Gabarito 8: CERTO 
 
 Titulares Suplentes 
 
 20 x 6 = 120 possibilidades 
_________ _________ 
 
 
 
 
Questões 
Profs. Fábio Amorim e Renato Talalas 
 
 
Profs. Fábio Amorim e Renato Talalas 10 de 20 
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9. (CESPE - Analista de Administração Pública - Área Arquivologia - 
TCDF/DF – 2014)-CONTINUAÇÃO Tão logo os membros titulares sejam 
escolhidos, haverá mais de dez maneiras de serem escolhidos os suplentes. 
R. Conforme o exercício anterior, escolhidos os titulares, temos 6 
possibilidades de escolher os suplentes. 
GABARITO 9: ERRADO 
 
10. (CESPE - Analista Técnico Administrativo - Suframa/AM – 2014) 
Sabendo-se que uma repartição possui 30 servidores, sendo 10 do sexo 
feminino, julgue o item abaixo. 
A quantidade de maneiras distintas de se selecionar 5 servidores dessa 
repartição de forma que 4 sejam do sexo feminino é inferior a 4.000. 
R. Em síntese, precisamos selecionar: 
- 4 entre 10 servidoras do sexo feminino, e 
- 1 entre 20 servidores do sexo masculino. 
Para fazer essa escolha, percebam que a ordem não irá interferir na 
contagem. Por isso, a técnica de contagem adequada é a Combinação. 
𝐶𝑛, 𝑟 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!
 
Para a escolha das servidoras, vamos calcular o número de combinações de 10 
elementos, tomados 4 a 4: C10, 4. 
𝐶10, 4 =
10!
(10 − 4)! 4!
=
10!
6! 4!
=
10 × 9 × 8 × 7 × 6!
6! × (4 × 3 × 2 × 1)
= 210 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
Para a escolha dos servidores, vamos calcular o número de combinações de 20 
elementos, tomados 1 a 1: C20, 1. 
𝐶20, 1 =
20!
(20 − 1)! 1!
=
20!
19! 1!
=
20 × 19!
19! 1!
= 20 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
Portanto, para calcularmos o número total de possibilidades de escolha 
servidores e servidoras, vamos utilizar o princípio fundamental da contagem. 
Se, para a escolha das servidoras temos 210 possibilidades (tarefa T1), e para 
a escolha dos servidores, 20 possibilidades (tarefa T2), o número total será 
obtido pela multiplicação dessas quantidades: 
 
Portanto, o número de maneiras de serem selecionados os servidores é 
superior a 4.000. 
Gabarito 10: ERRADO 
 
 Servidoras Servidores 
 
 210 x 20 = 4200 possibilidades 
_________ _________ 
 
 
 
 
Questões 
Profs. Fábio Amorim e Renato Talalas 
 
 
Profs. Fábio Amorim e Renato Talalas 11 de 20 
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11. (CESPE - Analista Contábil – MEC - 2014) A análise de requerimentos 
de certificação de entidades educacionais, no âmbito do Ministério da Educação, 
será realizada por uma equipe formada por, no mínimo, um analista contábil, 
um analista educacional e um analista processual. 
Considerando essa situação hipotética, julgue os itens subsecutivos. 
A partir de cinco analistas contábeis, sete analistas educacionais e seis 
analistas processuais, a quantidade de maneiras distintas de se formar 
equipes com exatamente três analistas de cada especialidade em cada equipe 
é superior a 5.000. 
R. Considerando que cada equipe deve ter exatamente três analistas de cada 
especialidade, precisamos escolher, separadamente: 
- 3 analistas contábeis entre 5 existentes; 
- 3 analistas educacionais entre 7 existentes; 
- 3 analistas processuais entre 6 existentes. 
Para cada um desses grupos, a ordem de escolha dos analistas não interfere 
na contagem, por isso, vamos utilizar a técnica de Combinação: 
𝐶𝑛, 𝑟 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!
 
O número de maneiras diferentes de escolher 3 analistas contábeis entre 5 
existentes é: C5, 3 
𝐶5, 3 =
5!
(5 − 3)! 3!
=
5!
2! 3!
=
5 × 4 × 3!
(2 × 1) × 3!
= 10 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
O número de maneiras diferentes de escolher 3 analistas educacionais entre 7 
existentes é: C7, 3 
𝐶7, 3 =
7!
(7 − 3)! 3!
=
7!
4! 3!
=
7 × 6 × 5 × 4!
4! × (3 × 2 × 1)
= 35 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
O número de maneiras diferentes de escolher 3 analistas processuais entre 6 
existentes é: C6, 3 
𝐶6, 3 =
6!
(6 − 3)! 3!
=
6!
3! 3!
=
6 × 5 × 4 × 3!
(3 × 2 × 1) × 3!
= 20 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
 
Portanto, para calcularmos o número total de possibilidades de montar a 
equipe de analistas, vamos utilizar o princípio fundamental da contagem. 
Se, para a escolha dos analistas contábeis temos 10 possibilidades (tarefa T1), 
para a escolha dos analistas educacionais, 35 possibilidades (tarefa T2), e, 
para a escolha dos analistas processuais, 20 possibilidades (tarefa T3), o 
número total de possibilidades será obtido pela multiplicação dessas 
quantidades: 
Questões 
Profs. Fábio Amorim e Renato Talalas 
 
 
Profs. Fábio Amorim e Renato Talalas 12 de 20 
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Portanto, o número de maneiras de serem selecionados os analistas para essa 
equipe é superior a 5.000. 
Gabarito 11: CERTO 
 
12. (CESPE - Analista Contábil – MEC - 2014) –CONTINUAÇÃO A partir de 
cinco analistas contábeis, sete analistas educacionais e seis analistas 
processuais, é possível formar mais de 300 equipes distintas com exatamente 
um analista de cada especialidade em cada equipe. 
R. Sendo a equipe formada por um analista de cada especialidade, precisamos 
contar o número de maneiras diferentes de escolher: 
- 1 analista contábil entre 5 existentes: C5, 1 
- 1 analista educacional entre 7 existentes: C7, 1 
- 1 analista processual entre 6 existentes. C6, 1 
Utilizando, da mesma forma, a técnica da combinação: 
𝐶5, 1 =
5!
(5 − 1)! 1!
=
5!
4! 1!
= 5 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
𝐶7, 1 =
7!
(7 − 1)! 1!
=
7!
6! 1!
= 7 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
𝐶6, 1 =
6!
(6 − 1)! 1!
=
6!
5! 1!
= 6 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
Por fim, considerando o princípio multiplicativo, ou princípio fundamental da 
contagem: 
 
Portanto, o número de maneiras de serem selecionados os analistas para essa 
equipe é inferior a 300. 
Gabarito 12: ERRADO 
 
13. (CESPE - Analista Judiciário - Área Análise de Sistemas de 
Informação - STF - 2013) A presidência de determinado tribunal é apoiada 
por seis assessorias. Para a chefia dessas assessorias, foram indicados,do 
quadro permanente, 4 funcionários e 8 funcionárias, todos igualmente 
 Contábeis Educacionais Processuais 
 
 10 x 35 x 20 = 7000 possibilidades 
 _______ _______ _______ 
 
 
 
 
 Contábeis Educacionais Processuais 
 
 5 x 7 x 6 = 210 possibilidades 
 _______ _______ _______ 
 
 
 
 
Questões 
Profs. Fábio Amorim e Renato Talalas 
 
 
Profs. Fábio Amorim e Renato Talalas 13 de 20 
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qualificados para assumir qualquer dessas chefias. Com base nessas 
informações, julgue os itens seguintes. 
Se exatamente quatro assessorias específicas forem chefiadas por mulheres, 
então será superior a 400 o número de maneiras de se selecionar, entre os 12 
candidatos, os funcionários para chefiarem todas as seis assessorias. 
R. 
Se quatro assessorias forem chefiadas por mulheres, e, consequentemente, 
duas por homens, precisamos contar as possibilidades de escolhas, 
considerando um total de 8 mulheres e 4 homens. 
Assim, inicialmente, vamos calcular as possibilidades de escolha das 
funcionárias. Neste caso, não importa a ordem de escolha, correto? Por isso, 
podemos utilizar a técnica da Combinação: 
- O número de possibilidades diferentes de escolher 4 funcionárias entre 8 
existentes é: C8, 4. 
𝐶8, 4 =
8!
(8 − 4)! 4!
=
8!
4! 4!
=
8 × 7 × 6 × 5 × 4!
4! × 4!
= 70 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
- O número de possibilidades diferentes de escolher 2 funcionários entre 4 
existentes é: C4, 2. 
𝐶4, 2 =
4!
(4 − 2)! 2!
=
4!
2! 2!
=
4 × 3 × 2!
(2 × 1) × 2!
= 6 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
Assim, temos 70 possibilidades de escolha das funcionárias e 6 possibilidades 
de escolha dos funcionários. 
Utilizando o princípio multiplicativo para calcular o número de possibilidades 
diferentes de escolher os funcionários e as funcionárias: 
 
Portanto, o número de maneiras possíveis de se escolher a chefia das 
assessorias é superior a 400. 
GABARITO 13: CERTO 
 
14. (CESPE - Auditor de Controle Externo - Área Ciências Contábeis - 
TCE/RO - 2013) Considerando que uma empresa adquira 10 desktops e 10 
notebooks, todos distintos, para distribuí-los entre 20 empregados — 10 
homens e 10 mulheres —, de modo que cada empregado receba um único 
equipamento, julgue o seguinte item. 
A quantidade de maneiras distintas de se distribuir esses equipamentos de 
forma que os homens recebam somente desktops é superior a 2 × (9!)2. 
R. 
 Funcionárias Funcionários 
 
 70 x 6 = 420 possibilidades 
 _______ _______ 
 
 
 
 
Questões 
Profs. Fábio Amorim e Renato Talalas 
 
 
Profs. Fábio Amorim e Renato Talalas 14 de 20 
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Precisamos distribuir 10 desktops para 10 empregados homens, e 10 
notebooks para 10 empregadas mulheres. 
Conforme dito no enunciado, esses equipamentos são distintos. Essa 
informação é importante pois irá influenciar na contagem que precisamos 
fazer. 
Assim, dados que os desktops são representados pelos elementos {D1, D2, 
..., D10}, distribuir o equipamento D1, por exemplo, para um empregado A, 
representa uma situação diferente de distribuir D1 para o empregado B. 
A partir dessas considerações, vamos iniciar com os desktops. Supondo que os 
empregados homens estejam alocados em estaçõs de trabalhos dispostas lado 
a lado: 
_A__/__B__/__C__/__D__/__E__/__F__/__G__/__H__/__I__/__J__ 
 
Para os desktops {D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D9, D10}, precisamos 
calcular o número de maneiras diferentes que podemos ordenar esses 
desktops, a partir da disposição das estações de trabalho. Isso nada mais é do 
que calcular o número de permutações dos elementos do conjunto de 10 
desktops. Portanto: 
𝑃𝑛 = 𝑛! 
𝑃10 = 10! 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
A mesma situação ocorre na distribuição de 10 notebooks para as 10 
empregadas mulheres, portanto, o número de possibilidades também é o 
mesmo: 𝑃10 = 10! 
Utilizando o princípio multiplicativo, fundamental da contagem, para 
calcularmos o número total de maneiras de distribuirmos 10 desktops para 10 
empregados homens e 10 notebooks para 10 empregadas mulheres: 
 
 
Portanto, o número de maneiras diferentes (2 × 10!) é superior a (2 × 9!). 
Gabarito 14: CERTO 
 
15. (CESPE - Analista Judiciário - Área Análise de Sistemas – CNJ – 
2013) Em uma sala, cinco computadores para uso público (A, B, C, D e E) estão 
ligados em uma rede. Devido a problemas com os softwares de proteção da 
rede, o computador A está infectado com algum vírus; consequentemente, o 
computador B ou o computador C está infectado com o mesmo vírus. Se o 
computador C estiver infectado, então os computadores D e E também estarão 
infectados com o mesmo vírus. Cada computador pode ser infectado 
 Desktops Notebooks 
 
 10! x 10! = 2 × 10! possibilidades 
 _______ _______ 
 
 
 
 
Questões 
Profs. Fábio Amorim e Renato Talalas 
 
 
Profs. Fábio Amorim e Renato Talalas 15 de 20 
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isoladamente e todas as manhãs, antes de serem disponibilizados para a 
utilização pública, os cinco computadores são submetidos a software antivírus 
que os limpa de qualquer infecção por vírus. 
Considerando a situação hipotética acima e desconsiderando questões técnicas 
relativas à proteção e segurança de redes, julgue os itens a seguir. 
Se, no início de determinada manhã, os cinco computadores estiverem 
disponíveis para uso e cinco pessoas entrarem na sala, ocupando todos os 
computadores, a quantidade de formas diferentes de essas cinco pessoas 
escolherem os computadores para utilização será inferior a 100. 
R. 
De acordo com o enunciado, precisamos distribuir 5 computadores para 5 
pessoas. O número de maneiras diferentes de efetuarmos essa distribuição 
equivale a calcularmos o número de maneiras diferentes de ordenarmos os 5 
computadores. 
Para realizar essa contagem, devemos utilizar a técnica da Permutação. 
𝑃𝑛 = 𝑛! 
𝑃5 = 5! = 120 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
 Assim, o número de possibilidades é superior a 100. 
Gabarito 15: ERRADO 
 
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2. Lista de Questões 
 
2.1. FCC 
 
1. (FCC-SEPLAG-2012) Um condomínio de 25 casas terá seu sistema de 
comunicação por interfone substituído. A empresa contratada informa 
que usa como identificação de cada residência um código de três dígitos 
formado pelos algarismos 1, 2 e 3 (distintos ou não). Alguns moradores 
desconfiaram e alegaram que a quantia de códigos não era suficiente 
para identificar todas as casas. O representante da empresa apresentou 
cálculos que comprovavam que o total de possibilidades era suficiente 
para identificar 
(A) 25 casas. (B) 27 casas. (C) 30 casas. (D) 32 casas. 
 
2. (FCC-SEPLAG-2012) Dona Quitéria oferece chá da tarde em sua 
lanchonete. Ela serve: 
− cinco variedades de chás; 
− três sabores de pãezinhos; 
− quatro qualidades de geleias; 
Os clientes podem optar por um tipo de chá, um sabor de pão e uma geleia. 
Mariana toma lanche todos os dias no estabelecimento de Dona Quitéria. O 
número de vezes que Mariana pode tomar lanche sem repetir sua opção é 
(A) 60. (B) 50. (C) 45. (D) 40. 
 
3. (FCC-SABESP-2012) Uma escola de Ensino Médio possui quatro turmas 
de 1ª série. As aulas de História dessas turmas serão distribuídas entre 
três professores, de modo que um deles assuma duas turmas e os outros 
dois assumam uma turma cada um. O número de maneiras diferentes de 
distribuir essas aulas, respeitando tais condições, é igual a 
(A) 18. (B) 24. (C) 36. (D) 48.(E) 72. 
 
 
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4. (FCC-SEE/SP-2011) Leonardo e mais três amigos decidem ir ao 
cinema. Resolvem sentar-se numa fila que tem seis lugares seguidos 
disponíveis. De quantas maneiras diferentes podem ocupar os lugares 
disponíveis? 
(A) 24. (B) 120. (C) 180. (D) 360. (E) 720. 
 
5. (FCC-PM/BA-2010) Certo dia, um automóvel passou em alta 
velocidade por uma avenida, excedendo o limite ali permitido. Um policial 
de plantão no local tentou anotar o número da placa do carro do infrator, 
mas não conseguiu fazê-lo por completo: memorizou apenas o prefixo 
(CSA) e, da parte numérica, lembrava somente que o algarismo da 
esquerda era ímpar e o da direita era par. Com base nessas informações, 
o total de possibilidades para o número da placa de tal automóvel é 
(A) 2500. (B) 2000. (C) 1000. (D) 250. (E) 100. 
 
6. (FCC-BACEN-2006) Os clientes de um banco contam com um cartão 
magnético e uma senha pessoal de quatro algarismos distintos entre 1 
000 e 9 999. A quantidade dessas senhas, em que a diferença positiva 
entre o primeiro algarismo e o último algarismo é 3, é igual a 
(A) 936. (B) 896. (C) 784. (D) 768. (E) 728. 
 
7. (FCC-SEED/SE-2003) Uma prova consta de 6 questões de Matemática 
e 7 de Física. Cada aluno deve escolher 4 questões de Matemática e 2 de 
Física para responder. Quantas opções diferentes de escolha tem cada 
aluno? 
(A) 21. (B) 45. (C) 250. (D) 315. (E) 1680. 
 
2.2. Cespe 
 
8. (CESPE - Analista de Administração Pública - Área Arquivologia - 
TCDF/DF – 2014) 
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De um grupo de seis servidores de uma organização, três serão designados para 
o conselho de ética como membros titulares, e os outros três serão os seus 
respectivos suplentes. Em caso de falta do membro titular no conselho, somente 
poderá assumir seu lugar o respectivo suplente. 
Com base na situação hipotética acima, julgue os próximos itens. 
O número de maneiras de serem selecionados os três membros titulares e 
seus respectivos suplentes é superior a 100. 
 
9. (CESPE - Analista de Administração Pública - Área Arquivologia - 
TCDF/DF – 2014)-CONTINUAÇÃO 
Tão logo os membros titulares sejam escolhidos, haverá mais de dez maneiras 
de serem escolhidos os suplentes. 
 
10.(CESPE - Analista Técnico Administrativo - Suframa/AM – 2014) 
Sabendo-se que uma repartição possui 30 servidores, sendo 10 do sexo 
feminino, julgue o item abaixo. 
A quantidade de maneiras distintas de se selecionar 5 servidores dessa 
repartição de forma que 4 sejam do sexo feminino é inferior a 4.000. 
 
11.(CESPE - Analista Contábil – MEC - 2014) 
A análise de requerimentos de certificação de entidades educacionais, no âmbito 
do Ministério da Educação, será realizada por uma equipe formada por, no 
mínimo, um analista contábil, um analista educacional e um analista processual. 
Considerando essa situação hipotética, julgue os itens subsecutivos. 
A partir de cinco analistas contábeis, sete analistas educacionais e seis 
analistas processuais, a quantidade de maneiras distintas de se formar 
equipes com exatamente três analistas de cada especialidade em cada equipe 
é superior a 5.000. 
 
12.(CESPE - Analista Contábil – MEC - 2014) –CONTINUAÇÃO 
A partir de cinco analistas contábeis, sete analistas educacionais e seis analistas 
processuais, é possível formar mais de 300 equipes distintas com exatamente 
um analista de cada especialidade em cada equipe. 
 
13.(CESPE - Analista Judiciário - Área Análise de Sistemas de 
Informação - STF - 2013) 
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A presidência de determinado tribunal é apoiada por seis assessorias. Para a 
chefia dessas assessorias, foram indicados, do quadro permanente, 4 
funcionários e 8 funcionárias, todos igualmente qualificados para assumir 
qualquer dessas chefias. Com base nessas informações, julgue os itens 
seguintes. 
Se exatamente quatro assessorias específicas forem chefiadas por mulheres, 
então será superior a 400 o número de maneiras de se selecionar, entre os 12 
candidatos, os funcionários para chefiarem todas as seis assessorias. 
 
14.(CESPE - Auditor de Controle Externo - Área Ciências Contábeis - 
TCE/RO - 2013) 
Considerando que uma empresa adquira 10 desktops e 10 notebooks, todos 
distintos, para distribuí-los entre 20 empregados — 10 homens e 10 mulheres 
—, de modo que cada empregado receba um único equipamento, julgue o 
seguinte item. 
A quantidade de maneiras distintas de se distribuir esses equipamentos de 
forma que os homens recebam somente desktops é superior a 2 × (9!)2. 
 
15.(CESPE - Analista Judiciário - Área Análise de Sistemas – CNJ – 
2013) 
Em uma sala, cinco computadores para uso público (A, B, C, D e E) estão ligados 
em uma rede. Devido a problemas com os softwares de proteção da rede, o 
computador A está infectado com algum vírus; consequentemente, o 
computador B ou o computador C está infectado com o mesmo vírus. Se o 
computador C estiver infectado, então os computadores D e E também estarão 
infectados com o mesmo vírus. Cada computador pode ser infectado 
isoladamente e todas as manhãs, antes de serem disponibilizados para a 
utilização pública, os cinco computadores são submetidos a software antivírus 
que os limpa de qualquer infecção por vírus. 
Considerando a situação hipotética acima e desconsiderando questões técnicas 
relativas à proteção e segurança de redes, julgue os itens a seguir. 
Se, no início de determinada manhã, os cinco computadores estiverem 
disponíveis para uso e cinco pessoas entrarem na sala, ocupando todos os 
computadores, a quantidade de formas diferentes de essas cinco pessoas 
escolherem os computadores para utilização será inferior a 100. 
 
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3. Gabarito 
 
Gabarito 1: B 
Gabarito 2: A 
Gabarito 3: C 
Gabarito 4: D 
Gabarito 5: A 
Gabarito 6: E 
Gabarito 7: D 
Gabarito 8: CERTO 
GABARITO 9: ERRADO 
Gabarito 10: ERRADO 
Gabarito 11: CERTO 
Gabarito 12: ERRADO 
GABARITO 13: CERTO 
Gabarito 14: CERTO 
Gabarito 15: ERRADO