Círculo de Mohr Para o Estado Plano de Tensões

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RESISTÊNCIA 
DOS 
MATERIAIS
Marcelo Quadros
Círculo de Mohr para o 
estado plano de tensões
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Descrever a aplicação do círculo de Mohr.
  Reconhecer o critério de ruptura de Mohr.
  Definir tensões em um plano genérico.
Introdução
Desenvolvido inicialmente pelo engenheiro alemão Otto Mohr, entre 
1860 e 1914, o círculo de Mohr é aplicado na resolução de cálculos de 
forma gráfica, em determinadas tensões representadas em um plano 
cartesiano bidimensional. Seus círculos possibilitam a transformação de 
coordenadas das deformações, das tensões principais, do cisalhamento 
e dos produtos de inércia de figuras planas. Além disso, é com o auxílio 
da teoria das falhas do círculo de Mohr que descobrimos o limite de um 
determinado material na presença de esforços, até o momento de sua 
falha.
Neste capítulo, você vai estudar o surgimento e a aplicação do círculo 
de Mohr, verificando algumas das fórmulas básicas relacionadas com a 
transformação de tensões no estado plano de tensão. Você vai aprender 
a utilizar o critério de ruptura de Mohr, que se baseia em três simples 
ensaios, como tração, compressão e cisalhamento. Por fim, você vai 
relacionar as tensões em um plano genérico para entender a construção 
do círculo de Mohr.
O círculo de Mohr
O estado mais geral de tensão em um dado ponto Q pode ser representado 
por seis componentes — σx, σy, σz, τxy, τyz e τzx . Para fi ns de análise das forças e 
tensões de cisalhamento, adota-se o eixo z como o eixo perpendicular a estes 
(σz = τxz = τzy = 0). Assim, o plano de tensão Q fi ca defi nido a partir de σx, σy e 
τxy. Pode-se rotacionar o sistema no eixo Z a um ângulo θ, defi nindo o plano 
de tensão Q a partir de σx', σy' e τx'y', conforme mostra a Figura 1.
Figura 1. Rotação do sistema no eixo z.
Fonte: Adaptada de Santos (2010).
� y
� x � x
� n
� n
� y
� yx
� xy
�
�
�
xy
� yx
P
P
B
A
C
As tensões normais — σx, σy e σz — atuam nas faces de um pequeno elemento 
de volume centrado em Q e com a mesma orientação dos eixos de coorde-
nadas, enquanto os outros três componentes, τxy, τyz e τzx, definem as tensões 
de cisalhamento no mesmo elemento, conforme demonstrado na Figura 2.
Figura 2. Componentes das tensões.
Fonte: Adaptada de Beer et al. (2013).
y
z x
O
� yz
� yx
� xy
� xz
� zx
� zy
� y
�z
�x
Q
Podemos representar o mesmo estado de tensão por um conjunto diferente 
de componentes, caso os eixos de coordenadas sofram uma rotação. Nesse 
Círculo de Mohr para o estado plano de tensões2
caso, as tensões devem ser multiplicadas pelos senos e cossenos do ângulo de 
rotação em relação às tensões normais σx, σy e σz e às tensões de cisalhamento 
τxy, τyz e τzx, conforme demonstrado na Figura 3. 
Figura 3. Eixos em rotação.
Fonte: Adaptada de Beer et al. (2013).
y
z
O
Q
x
y'
z'
x'
� y'x'
� y'x'
� x'y'
� x'z'
� z'x'
� z'y'
�y'
�z'
Entretanto, um método alternativo e eficiente para a solução de problemas 
que envolvem o estado plano de tensão é a transformação de tensões planas 
com base no uso do círculo de Mohr. O círculo de Mohr para o estado plano 
de tensão, usado para deduzir algumas das fórmulas básicas relacionadas 
com a transformação de tensões no estado plano de tensão, foi introduzido 
inicialmente pelo engenheiro alemão Otto Mohr (1835–1918). Seus círculos 
também são utilizados para a transformação de coordenadas das deformações, 
momentos de inércia e produtos de inércia de figuras planas. 
Dessa forma, esse círculo pode ser utilizado como um método alterna-
tivo na solução de vários problemas. Por exemplo, a Figura 4 demonstra um 
diagrama do círculo de Mohr, com um sistema de coordenadas com tensões 
normais traçadas ao longo da abscissa e tensões de cisalhamento traçadas como 
ordenadas. Na abscissa, as tensões normais de tração (positivas) são traçadas 
para a direita da origem O, e as tensões normais de compressão (negativas) 
são traçadas à esquerda da origem. Na ordenada, tensões de cisalhamento no 
sentido horário são traçadas para cima, e tensões de cisalhamento no sentido 
anti-horário são traçadas para baixo.
Com o intuito de representar os valores de tensão normal e tensão de 
cisalhamento normal em um sistema de eixos cartesiano, obtemos a expressão 
da tensão média.
3Círculo de Mohr para o estado plano de tensões
Na Figura 4, o ponto X é representado à direita do eixo vertical e abaixo 
do eixo horizontal. De forma análoga, o ponto Y, que representa a face oposta, 
deverá ser representado a 180° de X. Traçando a linha XY, obtemos o centro 
C do círculo de Mohr, cuja abscissa é:
Figura 4. Exemplo de diagrama do círculo de Mohr.
Fonte: Adaptada de Beer et al. (2013).
Esse método se baseia em considerações geométricas simples e não requer 
o uso de fórmulas especializadas. Embora tenha sido idealizado originalmente 
para soluções gráficas, ele se adapta muito bem ao uso de uma calculadora 
científica ou um software de engenharia.
Círculo de Mohr para o estado plano de tensões4
Se você quiser se aprofundar nos cálculos do círculo de Mohr, 
pode acessar uma calculadora disponível na web, que lhe aju-
dará a realizar os cálculos. A calculadora Mohr's Circle (Figura 5) 
fornece uma maneira intuitiva de visualizar o estado de estresse 
em um ponto em um material carregado. A calculadora está 
disponível no link a seguir.
https://goo.gl/6afyK7
Figura 5. Interface da calculadora para transformações de estresse e círculo de Mohr.
Fonte: MechaniCalc (2019).
O critério de ruptura de Mohr
Segundo Budynas e Nisbett (2016, p. 226), “[...] resistência é uma propriedade 
ou característica de um elemento mecânico. Essa propriedade resulta da 
identidade do material, do tratamento e processamento incidental para criar 
sua geometria e do carregamento, e está na localização de controle ou crítica”. 
A ideia de Mohr se baseia em três ensaios simples, tração, compressão e 
cisalhamento, até o escoamento, se o material puder escoar, ou até a ruptura. 
5Círculo de Mohr para o estado plano de tensões
É mais fácil definir a resistência de escoamento por cisalhamento do que fazer 
um ensaio para obtê-la.
Dessa forma, a hipótese de Mohr foi usar os resultados de ensaios de tração, 
compressão e cisalhamento por torção para construir os três círculos, defi-
nindo uma envoltória de falha. A envoltória de falha não necessita ser reta. O 
argumento resultou nos três círculos de Mohr, descrevendo o estado de tensão 
em um corpo crescendo durante o carreamento, até que um deles fica tangente 
à envoltória de falha, definindo, desse modo, a falha. A Figura 6 demonstra 
os três círculos de Mohr, um utilizado para ensaio de compressão uniaxial, 
um para ensaio de cisalhamento puro e um para ensaio de tração uniaxial.
Figura 6. Três círculos de Mohr.
Fonte: Adaptada de Budynas e Nisbett (2016).
Linha de falha de Mohr
A
B
–Sc St
�
C D
E
Os três círculos estão contidos em um envelope de falha indicado pela 
curva extrapolada desenhada tangencialmente a eles. Caso o estado plano de 
tensões em determinado ponto seja representado por um círculo contido dentro 
do envelope, diz-se que o material não falhará. Se o círculo tiver um ponto de 
tangência com o envelope ou se estender além deste, então ocorrerá a falha. 
Também se pode representar o critério de outra forma, como apresentado 
na Figura 7, sendo o gráfico das tensões principais σ
1
, σ
2
 e σ
3
 = − (σr)c. A falha 
ocorre quando o valor absoluto de qualquer uma das tensões principais atinge 
um valor maior ou igual a (σr)t ou (σr)c, ou, em geral, se o estado de tensão em 
um ponto é definido pela coordenada da tensão, localizada no limiteou fora 
da área sombreada, conforme demonstrado na Figura 7.
Círculo de Mohr para o estado plano de tensões6
Figura 7. Critério de falha de Mohr.
Fonte: Adaptada de Budynas e Nisbett (2016).
–Sc
–Sc
St
Re
giã
o s
em
 fal
has
St
�B
�A
Como exemplo de aplicação, suponha que, no estado plano de um com-
ponente de máquina, ocorra um ponto crítico (Figura 8). Após vários ensaios 
de tração, concluiu-se que a tensão de escoamento em tração é σE = 250 MPa 
para o tipo de aço utilizado. 
Figura 8. Exemplo para análise do ponto crítico no estado plano de um componente de 
máquina. 
Fonte: Adaptada de Beer et al. (2015).
7Círculo de Mohr para o estado plano de tensões
Dessa forma, determinamos o coeficiente de segurança em relação ao 
escoamento, usando o critério de tensão de cisalhamento máxima com base 
no círculo de Mohr.
1º passo: vamos calcular a tensão média (σméd) e o centro da circunferência 
do círculo de Mohr (R). A tensão média será:
Os lados do triângulo da Figura 9 são, respectivamente:
CF = 80 − 20 = 60 Mpa
FX = 25 Mpa
Onde:
CF = medida entre o ponto C e o ponto F
FX = medida entre o ponto F e o ponto X
Figura 9. Representação do círculo de Mohr.
Fonte: Adaptada de Beer et al. (2013).
O centro da circunferência do círculo de Mohr será calculado por:
Círculo de Mohr para o estado plano de tensões8
Ou, ainda, para simplificar, utilizamos a fórmula de Pitágoras para calcular 
o raio da circunferência de Mohr:
R = a2 = b2 + c2
Desse modo:
2º passo: vamos calcular as tensões principais (σ
máx e σmín):
σ
máx
 = OA = OC + CA
σ
mín
 = OB = OC − BC
Onde:
σ
máx
 = OA = medida entre o ponto O e o ponto A
σ
mín
 = OB = medida entre o ponto O e o ponto B
OC = medida entre o ponto O e o ponto C
CA = medida entre o ponto C e o ponto A
BC = medida entre o ponto B e o ponto C
Desse modo:
σ
máx
 = OA = OC + CA = 20 + 65 = 85 MPa
σ
mín
 = OB = OC – BC = 20 – 65 = – 45 MPa
3º passo: utilizando o critério de tensão de cisalhamento máxima para a classe 
de aço, em que a resistência à tração é de σE = 250 Mpa, vamos calcular a tensão 
de cisalhamento correspondente no cisalhamento e o coefi ciente de segurança.
R = τ
máx
Para τm = 65 MPa
9Círculo de Mohr para o estado plano de tensões
Para finalizar, obtemos o coeficiente de segurança utilizando os cálculos 
do círculo de Mohr.
O círculo de Mohr foi muito utilizado no século XIX, principalmente para obter gra-
ficamente e em escala as respostas para os problemas de distribuição de tensões, 
quando não haviam os modernos software de cálculos e as calculadoras de engenharia. 
Apesar de termos atualmente esse software de engenharia (engenharia auxiliada 
por computador — EAC — ou, em inglês, computer aided engineering), a importância 
do círculo de Mohr permanece quase inalterada. Ele é utilizado como uma verificação 
rápida da solução numérica e é também o único método viável na ausência das 
tecnologias EAC. Além disso, o método gráfico dos círculos de Mohr possui uma 
grande vantagem: ele é capaz de proporcionar uma apresentação visual do estado 
de tensões em um determinado ponto.
Tensões em um plano genérico
A construção do círculo de Mohr para o estado plano de tensão será bem 
simplifi cada se considerarmos separadamente cada face do elemento utilizado 
para defi nir os componentes de tensão. Observamos que, quando a tensão de 
cisalhamento que atua sobre determinada face tende a girar o elemento no 
sentido horário, o ponto do círculo de Mohr correspondente a essa face está 
localizado acima do eixo σ. Quando a tensão de cisalhamento em determinada 
face tende a rodar o elemento no sentido anti-horário, o ponto correspondente 
a essa face está localizado abaixo do eixo σ, demonstrado nas Figuras 10 e 
11. No que se refere às tensões normais, vale a convenção usual; isto é, uma 
tensão de tração considerada positiva é representada à direita, enquanto uma 
tensão de compressão considerada negativa é representada à esquerda.
Círculo de Mohr para o estado plano de tensões10
Figura 10. Construção do círculo de Mohr no sentido horário.
Fonte: Adaptada de Beer et al. (2013).
Figura 11. Construção do círculo de Mohr no sentido anti-horário.
Fonte: Adaptada de Beer et al. (2013).
De maneira simplificada, para determinar as tensões em um plano genérico, 
a construção do círculo de Mohr é desenvolvida nas seguintes etapas:
1. Construir o círculo de Mohr.
2. Determinar as tensões principais.
3. Determinar a tensão de cisalhamento máxima e a tensão normal 
correspondente.
Construir o círculo de Mohr
Verifi camos em nosso estudo que a tensão normal que atua na face orientada 
em direção ao eixo X é de tração (positiva) e que a tensão de cisalhamento 
que atua nessa face tende a rodar o elemento no sentido anti-horário. O ponto 
X do círculo de Mohr, portanto, é representado à direita do eixo vertical e 
abaixo do eixo horizontal. 
11Círculo de Mohr para o estado plano de tensões
Como exemplo, na Figura 12 temos um elemento que deverá suportar um 
determinado tipo de solicitação, que seria uma pequena parte de uma estrutura 
de máquina, equipamento, dispositivo, etc.
Figura 12. Exemplo para desenvolvimento do círculo de Mohr.
Fonte: Adaptada de Beer et al. (2013).
Vamos desenvolver nosso exemplo passo a passo, utilizando o método do 
círculo de Mohr.
1º passo: calcular a tensão média e o centro da circunferência do círculo de 
Mohr.
Os lados do triângulo são:
CF = 50 – 20 = 30 Mpa
FX = 40 MPa
Então, o raio do círculo será:
2º passo: desenvolver o círculo de Mohr. O desenvolvimento das tensões 
normal e de cisalhamento que atuam na face superior do elemento mostra 
que o ponto Y deverá ser representado à esquerda do eixo vertical e acima do 
horizontal. Quando traçamos a linha XY, obtemos o centro C do círculo de 
Mohr, conforme demonstrado na Figura 13.
Círculo de Mohr para o estado plano de tensões12
Figura 13. Círculo completo de Mohr.
Fonte: Adaptada de Beer et al. (2013).
3º passo: determinar os planos principais e as tensões principais:
σ
máx
 = OA = OC + CA = 20 + 50 = 70 MPa
σ
mín
 = OB = OC – BC = 20 – 50 = – 30 MPa
Lembrando que o ângulo ACX representa 2 θp, escrevemos:
2θp = 53,1°
θp = 26,6°
Como a rotação que faz CX coincidir com CA na Figura 13 é anti-horária, 
a rotação que faz Ox coincidir com o eixo Oa correspondente a σmáx na Figura 
13 também será anti-horária. 
4º passo: determinar a tensão de cisalhamento máxima. Como mais uma 
rotação de 90º no sentido anti-horário faz CA coincidir com CD, conforme 
mostra a Figura 14, uma rotação adicional de 45º no sentido anti-horário fará 
o eixo OA coincidir com o eixo OD, correspondendo à tensão de cisalhamento 
máxima da Figura 14. Notamos que τ
máx
 = R = 50 MPa e que a tensão normal 
correspondente é σmed. = 20 MPa. Como o ponto D está localizado acima do 
eixo σ, as tensões de cisalhamento que atuam nas faces perpendiculares a OD 
13Círculo de Mohr para o estado plano de tensões
da Figura 14 devem ser direcionadas, de modo que obtenham a tendência de 
rodar o elemento no sentido horário.
Figura 14. Tensão de cisalhamento máxima.
Fonte: Adaptada de Beer et al. (2013).
Para aprofundar-se nos conhecimentos sobre os cálculos do círculo de Mohr para 
carga axial centrada e círculo de Mohr para carga torcional, além de vários outros 
exemplos de aplicação do círculo de Mohr, leia o livro Estática e mecânica dos materiais, 
dos autores Beer et al. (2013).
Círculo de Mohr para o estado plano de tensões14
BEER, F. P. et al. Estática e mecânica dos materiais. Porto Alegre: AMGH, 2013.
BEER, F. P. et al. Mecânica dos materiais. 7. ed. Porto Alegre: AMGH, 2015.
BUDYNAS, R.; NISBETT, J. K. Elementos de máquinas de Shigley. 10. ed. Porto Alegre:AMGH, 2016.
MECHANICALC. Stress Transformations & Mohr's Circle. [S. l.] 2019.Disponível em: <https://
mechanicalc.com/calculators/mohrs-circle>. Acesso em: 13 fev. 2019.
NORTON, R. L. Projeto de máquinas: uma abordagem integrada. 4. ed. Porto Alegre: 
Bookman, 2013.
SANTOS, A. P. et al. O Círculo de Mohr: transformações de tensão e deformação: capítulo 
7. Unicamp, São Paulo, 2010. Disponível em: <http://www.fem.unicamp.br/~assump/
Projetos/2010/g9.pdf>. Acesso em: 13 fev. 2019.
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