Mecânica dos Sólidos - Carga Axial e Estado Plano de Tensão

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DESCRIÇÃO
Estudo das deformações elásticas em estruturas estaticamente determinadas ou indeterminadas. Apresentação do Estado Plano
de Tensões (EPT) e duas condições particulares: o das tensões principais e o da tensão cisalhante máxima. Descrição do método
gráfico (Círculo de Mohr) no estudo das tensões.
PROPÓSITO
Compreender a variação longitudinal de corpos carregados axialmente estando na condição estática determinada ou
indeterminada, como também o estado plano de tensões e suas equações para rotacionar o ponto da estrutura em estudo, e
apresentar o estudo por meio do Círculo de Mohr.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar a leitura, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Descrever o princípio de Saint-Venant e a deformação elástica de elementos estaticamente determinados
MÓDULO 2
Calcular a deformação elástica de elementos estaticamente indeterminados
MÓDULO 3
Descrever o estado plano de tensão e a transformação de tensão no plano
MÓDULO 4
Descrever o Círculo de Mohr
TAGS
elementos estaticamente indeterminados, Saint-Venant, estado plano de tensões, tensões principais e Mohr
BEM-VINDO AO ESTUDO DO ESTADO PLANO DE TENSÃO
MÓDULO 1
 Descrever o princípio de Saint-Venant e a deformação elástica de elementos estaticamente determinados
INTRODUÇÃO
As grandezas denominadas tensões médias normal (σ) ou cisalhante (τ), assim como as grandezas deformações médias normal
(ε) e cisalhante ( ), relacionam-se matematicamente pela Lei de Hooke (σ = E.ε ou τ= G. ), na qual E e G são constantes
características de cada material. 
Neste módulo, será estudado o alongamento elástico de um corpo sob carregamento axial a partir das grandezas citadas e da Lei
de Hooke. É importante ressaltar que o problema é estaticamente determinado e que o carregamento não precisa ser único.
PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT
Princípio em homenagem ao cientista francês Barré de Saint-Venant (ver figura 1) que pela primeira vez o observou na metade do
século XIX. Para o entendimento desse preceito, um artifício didático utilizado por vários autores, dentre eles o Hibbeler, em sua
obra Resistência dos Materiais, é supor uma barra de seção reta retangular engastada ao chão e, na extremidade livre, a aplicação
de uma força F no centroide da seção reta. 
 
Fonte: Vve ch. Dunod/Wikimedia
 Figura 1: Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant
Em termos gerais, a deformação é bem localizada no ponto de aplicação e no engastamento, levando a deformações distintas ao
longo de um plano paralelo ao chão. Por meio da Lei de Hooke, acontece o mesmo com as tensões. Contudo, à medida que o
plano paralelo se afasta dos dois pontos de deformações, elas vão se tornando mais constantes, ou seja, a deformação no plano é
praticamente contínua. Novamente, pelo fato de deformação e tensão serem diretamente proporcionais (Lei de Hooke), efeito
similar ocorre com a tensão. Observe a figura 2.
γ γ
 Figura 2 – Aplicação de uma força axial em uma barra. Fonte: autor
No plano 1_1’, próximo ao ponto de aplicação, as tensões distribuem-se de maneira irregular, enquanto no plano 2_2’, afastado do
ponto de aplicação, a tensão é mais uniforme e confunde-se, matematicamente, com a tensão normal média, ou seja, 
Em resumo, o princípio de Sant-Venant afirma que, à medida que o plano vai se afastando do ponto de aplicação da força, vai
ocorrendo uma atenuação na curva que descreve a tensão, até que essa função se torna constante.
DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE ELEMENTOS
ESTATICAMENTE DETERMINADOS
Suponha uma barra engastada em uma das extremidades de comprimento L. Tomando-se um eixo, a partir da extremidade
engastada, como x paralelo ao eixo longitudinal da barra, a deformação sofrida por esta dependerá da Lei de Hooke.
ETAPA 01
ETAPA 02
ETAPA 03
ETAPA 01
Inicialmente, será considerada a situação mais genérica possível, isto é, a área da seção reta, a força e o módulo de elasticidade
variam ao longo de x, ou seja, são funções A = A(x), F = F(x) e E = E(x).
ETAPA 02
O estudo matemático se fará a partir de uma fatia infinitesimal da barra de comprimento dx. Nesse ponto, a força atuando na área
A(X) será dada por F(X). Suponha que a elongação desse infinitésimo da barra tenha uma variação infinitesimal de comprimento d(
). A partir da Lei de Hooke (σ = E.ε), da tensão média normal e da deformação média normal e, utilizando
os valores para o infinitésimo da barra, obtemos:
σm =   .
F
A
δ (σm =   )FA εm =  
ΔL
L0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ETAPA 03
Substituindo as expressões de e em (*), temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Organizando a equação (**):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integrando a expressão anterior, encontra-se a equação 1:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em muitas situações, a seção reta é constante, assim A(x) = A, a força aplicada em uma das extremidades livre é constante e o
material homogêneo de tal forma que seu módulo de elasticidade ou de Young E é constante. Sendo assim, a equação 1 pode ser
simplificada, originando a equação 2 para os casos em que as situações particulares foram descritas.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 1
Considere uma barra de aço (ver figura 3) de comprimento de 4 m, seção reta 350 mm2 e módulo de elasticidade E = 200 GPa. A
barra encontra-se engastada no teto quando uma 70 kN é aplicada axialmente. Desconsiderando o peso da barra, determine o
aumento de seu comprimento.
σ  =  E. ε (*)
σm εm
= E(x) .     (**)F(x)
A(x)
d(δ)
dx
=  d(δ)F (x ) .dx
A (x ) .E(x) 
δ = ∫ L
0
   equação 1F (x ) .dx
A (x ) .E(x) 
δ = ∫ L0   →  δ  =   . ∫
L
0 dx  →  δ =   . x    (integrando de 0 a L)
F (x ) .dx
A (x ) .E(x). 
F
A.E
F
A.E
δ =     (Equação 2)F . LA . E
 Figura 3 - Ilustração para Barra de Aço. Fonte: O autor
RESOLUÇÃO
Inicialmente, lembrando-se que equivale a 1 MPa e 200 GPa = 200.000 MPa, a partir da equação 2, substituindo os valores
apresentados, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É possível imaginar que uma barra seja a união de várias barras com seções retas constantes e distintas entre si, assim como o
material de cada barra apresenta um módulo de elasticidade (E) próprio. Ademais, novas forças axiais podem ser aplicadas à
barra. A equação 2 continua válida desde que aplicada para cada uma das partes em que os valores de F, A e E sejam constantes.
Assim, é necessário fazer a divisão da barra para garantir tal condição e aplicar a equação 3.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 COMENTÁRIO
A convenção adotada para tensões compressivas (negativas) e tensões trativas (positivas) deve ser utilizada, assim como para as
variações no comprimento da barra. Negativo para contrações e positivo para alongamentos.
Para que essa aplicação fique compreendida perfeitamente, um exemplo numérico será realizado.
EXEMPLO 2
Suponha a figura 4, a seguir, na qual duas barras de aço (1_2 e 2_3) têm áreas da seção reta iguais a 1.200 mm2 e 1.800 mm2. O
módulo de elasticidade E para esse aço é de 200 GPa e os comprimentos das barras são 1 m e 1,5 m. As forças aplicadas são
mostradas no desenho. 
1 N
mm2
δ =   →   =   = 0, 004 m  =  4 mmF .L
A.E
(70.000) .  (4)
(350) .  (200.000)
δ =  ∑     (Equação 3)F .L
A.E
Determine o deslocamento do ponto superior 1, em relação ao chão.
 Figura 4 - Ilustração para Deslocamento de Barras de Aço. Fonte: O autor
RESOLUÇÃO
Inicialmente, para o equilíbrio, age uma força vertical para cima de 360 kN na base da coluna (600 – 240). Efetuando-se cortes na
barra 1_2 e na barra 2_3 e desenhando seus DCLs, temos:
 Figura 5 - Ilustração para Deslocamento de Barras de Aço 2. Fonte: O autor
Aplicando a equação3 e a convenção de sinais ( - 600 kN e - 360 kN), obtemos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Perceba que o sinal negativo da variação no comprimento revela que houve uma compressão e, então, 1 se aproxima do chão em
4 mm.
MÃO NA MASSA
δ =  ∑ = +F.L
A.E
F1.l1
A1.E
F2.l2
A2.E
 δ =   + = − 0,004 m = − 4 mm
(−600.000). (1)
( 1200 ) .(200.000)
(−360.000).(1,5)
(1800).(200.000)
1. (FCC - 2018 - DPE-AM - ANALISTA EM GESTÃO ESPECIALIZADO DE DEFENSORIA - ENGENHARIA
CIVIL) UMA BARRA DE TRELIÇA EM AÇO DE PERFIL DUPLO T, COM 1 M DE COMPRIMENTO E 5 CM2
DE ÁREA DE SEÇÃO TRANSVERSAL ESTÁ SUBMETIDA À FORÇA DE TRAÇÃO DE 20 KN.
CONSIDERANDO QUE O MÓDULO DE ELASTICIDADE DO AÇO É DE 200 GPA, O ALONGAMENTO DA
BARRA É, EM MILÍMETROS, DE:
A) 0,50
B) 0,36
C) 0,40
D) 0,48
E) 0,20
2. (FCC - 2012 - TCE-AM - ANALISTA DE CONTROLE EXTERNO - AUDITORIA DE OBRAS PÚBLICAS)
APÓS A APLICAÇÃO DE UMA CARGA AXIAL DE TRAÇÃO DE 60 KN EM UMA BARRA DE AÇO, COM
MÓDULO DE ELASTICIDADE LONGITUDINAL DE 200 GPA, COMPRIMENTO DE 1,0 M E ÁREA DA
SEÇÃO TRANSVERSAL DE 10 CM2, O ALONGAMENTO PRODUZIDO NA BARRA, EM MM, É:
A) 0,003
B) 0,030
C) 0,300
D) 3,000
E) 30,00
3. (AOCP - 2012 - TCE-PA - ANALISTA DE CONTROLE EXTERNO - ENGENHARIA CIVIL) CONSIDERE
UMA BARRA PRISMÁTICA COM COMPRIMENTO DE 500 MM, SEÇÃO TRANSVERSAL QUADRADA
COM LADO DE 10 MM, FEITA DE MATERIAL CUJO MÓDULO DE ELASTICIDADE LONGITUDINAL É DE
200 GPA, QUE ESTÁ ENGASTADA EM UMA DAS EXTREMIDADES. DETERMINE A VARIAÇÃO DE
COMPRIMENTO QUE ESTA BARRA PODER SOFRER SE ELA FOR TRACIONADA NA EXTREMIDADE
LIVRE POR UMA CARGA AXIAL COM INTENSIDADE DE 20 KN.
A) 0,2 mm
B) 0,005 mm
C) 1,0 mm
D) 5,0 mm
E) 0,5 mm
4. CONSIDERE UMA BARRA DE COMPRIMENTO 2 M QUE SE ENCONTRA ENGASTADA NO CHÃO E
POSICIONADA VERTICALMENTE. O MATERIAL QUE CONSTITUI A BARRA TEM MÓDULO DE
ELASTICIDADE E = 180 GPA. A SEÇÃO RETA É UM CÍRCULO DE DIÂMETRO 60 MM. EXISTEM DUAS
FORÇAS DE MÓDULOS 70 KN E 30 KN ATUANTES NA EXTREMIDADE LIVRE SOBRE O CENTROIDE.
A RESPEITO DA DEFORMAÇÃO LONGITUDINAL DESSA BARRA É CORRETO AFIRMAR QUE: 
 
 FONTE: AUTOR
A) Alongamento de 0,16 mm
B) Contração de 0,16 mm
C) Alongamento de 0,28 mm
D) Contração de 0,28 mm
E) Contração de 0,12 mm
5. (CESGRANRIO - 2012 - PETROBRAS - TÉCNICO DE SUPRIMENTOS DE BENS E SERVIÇOS JÚNIOR
- MECÂNICA-2012) UMA BARRA DE 15 CM DE COMPRIMENTO APRESENTA UMA DEFORMAÇÃO
AXIAL DE 0,1 MM QUANDO SOLICITADA POR UMA FORÇA AXIAL DE 1.000 N. CONSIDERANDO O
MATERIAL DA BARRA COMO ELÁSTICO E LINEAR, AO SER SOLICITADA POR UMA CARGA DE 1.500
N, A DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA DA BARRA (EM Μ) SERÁ DE:
A) 100
B) 150
C) 750
D) 1.000
E) 1.500
6. CONSIDERE UM SISTEMA EM QUE UM CABO DE AÇO DE COMPRIMENTO 90 CM E DIÂMETRO 6
MM ANCORA UMA PEÇA, TAMBÉM DE AÇO, AOB EM FORMA DE L DE UMA ESTRUTURA,
CONFORME A FIGURA. A PEÇA ENCONTRA-SE EM EQUILÍBRIO E VINCULADA NUM APOIO DE 2º
GÊNERO. 
 
 FONTE: O AUTOR
CONSIDERE QUE AS MEDIDAS AO E OB VALEM, RESPECTIVAMENTE, 4 M E 3 M. DADO QUE O
MÓDULO DE ELASTICIDADE DO AÇO (E) É DE 200 GPA, DETERMINE O ALONGAMENTO DO CABO
DE AÇO. UTILIZE Π = 3.
A) 2,0 mm
B) 2,5 mm
C) 3,0 cm
D) 3,5 mm
E) 4,0 mm
GABARITO
1. (FCC - 2018 - DPE-AM - Analista em Gestão Especializado de Defensoria - Engenharia Civil) Uma barra de treliça em aço
de perfil duplo T, com 1 m de comprimento e 5 cm2 de área de seção transversal está submetida à força de tração de 20
kN. Considerando que o módulo de elasticidade do aço é de 200 GPa, o alongamento da barra é, em milímetros, de:
A alternativa "E " está correta.
Inicialmente serão adequadas as unidades: 20 kN = 20.000 N, 5 cm2 = 500 mm2 e 200 GPa = 200.000 MPa. Para se determinar o
alongamento (a barra está sob tração) será utilizada a equação 2, isto é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. (FCC - 2012 - TCE-AM - Analista de Controle Externo - Auditoria de Obras Públicas) Após a aplicação de uma carga axial
de tração de 60 kN em uma barra de aço, com módulo de elasticidade longitudinal de 200 GPa, comprimento de 1,0 m e
área da seção transversal de 10 cm2, o alongamento produzido na barra, em mm, é:
A alternativa "C " está correta.
Inicialmente, transformando a área A = 10 cm2 = 1.000 mm2, a carga de 60 kN para 60.000 N e E = 200 GPa = 200.000 MPa. A
partir da equação 2, será possível determinar o alongamento na barra. (lembrar que )
δ =   F  . L
A . E
δ =   = 0,0002 m = 0,20  mm
(20.000) . ( 1)
( 500 ) .(200.000)
=  1 MPa1 N
mm2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. (AOCP - 2012 - TCE-PA - Analista de Controle Externo - Engenharia Civil) Considere uma barra prismática com
comprimento de 500 mm, seção transversal quadrada com lado de 10 mm, feita de material cujo módulo de elasticidade
longitudinal é de 200 GPa, que está engastada em uma das extremidades. Determine a variação de comprimento que esta
barra poder sofrer se ela for tracionada na extremidade livre por uma carga axial com intensidade de 20 kN.
A alternativa "E " está correta.
Assista ao vídeo:
DETERMINAÇÃO DA DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE UM
CARREGAMENTO AXIAL
4. Considere uma barra de comprimento 2 m que se encontra engastada no chão e posicionada verticalmente. O material
que constitui a barra tem módulo de elasticidade E = 180 GPa. A seção reta é um círculo de diâmetro 60 mm. Existem duas
forças de módulos 70 kN e 30 kN atuantes na extremidade livre sobre o centroide. A respeito da deformação longitudinal
dessa barra é correto afirmar que: 
 
 Fonte: Autor
A alternativa "A " está correta.
A resultante das forças é de 70 kN – 30 kN = 40 kN = 40.000 N (tração). Logo, haverá um alongamento determinado a partir da
equação 2. A área do círculo é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
δ =   F  . L
A . E
δ =   = 0,000300 m = 0,300  mm
( 60.000 ) . 1
( 1.000 ) .(200.000)
A  =  π. R2 =  π. (30)2  =  2. 826  mm2
Lembrando que e que temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. (CESGRANRIO - 2012 - Petrobras - Técnico de Suprimentos de Bens e Serviços Júnior - Mecânica-2012) Uma barra de 15
cm de comprimento apresenta uma deformação axial de 0,1 mm quando solicitada por uma força axial de 1.000 N.
Considerando o material da barra como elástico e linear, ao ser solicitada por uma carga de 1.500 N, a deformação
específica da barra (em μ) será de:
A alternativa "D " está correta.
Assista ao vídeo:
DETERMINAÇÃO DA DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA A PARTIR
DA DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE UM CORPO
6. Considere um sistema em que um cabo de aço de comprimento 90 cm e diâmetro 6 mm ancora uma peça, também de
aço, AOB em forma de L de uma estrutura, conforme a figura. A peça encontra-se em equilíbrio e vinculada num apoio de
2º gênero. 
 
=  1 MPa 1 N
mm2
180 GPa  =  180. 000 MPa,
δ =   F .L
A.E
δ =   = 0,00016 m = 0,16  mm
(40.000) .(2)
(2.826) .(180.000)
 Fonte: o autor
Considere que as medidas AO e OB valem, respectivamente, 4 m e 3 m. Dado que o módulo de elasticidade do aço (E) é de
200 GPa, determine o alongamento do cabo de aço. Utilize π = 3.
A alternativa "B " está correta.
 Fonte: Autor
Inicialmente, será desenhado o DCL para a peça e aplicada a equação do equilíbrio rotacional a fim de se determinar o valor da
força que atua no cabo de aço.
Equilíbrio dos momentos em relação ao ponto O (sentido anti-horário, positivo): - (20) . 3 + (T) . 4 = 0. Assim, 4 .T = 60, logo
T = 15 kN.
Agora, as unidades serão ajustadas: T = 15.000 N, a área do círculo A = π . R2, logo A = π . 32 = 27 mm2. O comprimento da barra
é de 900 mm e o coeficiente de elasticidade E = 200 GPa = 200.000 MPa. A partir da equação 2, será possível determinar o
alongamento na barra. (lembrar que )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
=  1 MPa1 N
mm2
δ =   F .LA.E
δ =   = 2,5  mm
(15.000) . (900)
( 27 ) .(200.000)
TEORIA NA PRÁTICA
Um engenheiro deverá apoiar uma viga horizontal de 6 m de comprimento com peso distribuído uniformemente de 20 kN/m,
conforme a figura. Suponha que as barras sejam verticais e de mesmo comprimento L = 1,5 m. O material de cada barra tem
módulo de elasticidade E = 80 GPa e seção reta quadrangular de 5 cm x 5 cm. Por questões de projeto, as barras devem ter uma
diminuição de comprimento máxima de 1,0 mm. A pergunta que o engenheiro necessita responder é se nas condições descritas a
condição do projeto é satisfeita.
 Fonte: Autor
RESOLUÇÃO
DEFORMAÇÃO ELÁSTICA COMO LIMITE PARA UM PROJETO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (IBFC - 2017 - EMBASA - TÉCNICO EM ELETROMECÂNICA - ADAPTADA) ANALISE AS
AFIRMAÇÕES A SEGUIR: 
 
I. ISOTROPIA: O MATERIAL APRESENTA AS MESMAS CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS ELÁSTICAS
EM TODAS AS DIREÇÕES. 
 
II. SAINT-VENANT: SISTEMAS DE FORÇAS ESTATICAMENTE EQUIVALENTES CAUSAM EFEITOS
IDÊNTICOS EM PONTOS SUFICIENTEMENTE AFASTADOS DA REGIÃO DE APLICAÇÃO DAS
CARGAS. 
 
III. LEI DE HOOKE: A FORÇA APLICADA É PROPORCIONAL AO DOBRO DA FORÇA AXIAL APLICADA
AO BLOCO. 
 
CONSIDERANDO AS HIPÓTESES BÁSICAS DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS, ESTÁ CORRETO O
QUE SE AFIRMA EM:
A) Apenas I e III
B) Apenas I e II
C) Apenas II e III
D) Apenas a II
E) I, II e III
2. UMA BARRA DE SEÇÃO RETA QUADRANGULAR TEM LADO L = 10 MM E COMPRIMENTO 1,5 M. O
MATERIAL É UM AÇO CUJO MÓDULO DE YOUNG (E) VALE 200 GPA. A BARRA ENCONTRA-SE
PRESA (“ENGASTADA”) EM UMA PAREDE E NA EXTREMIDADE LIVRE É APLICADA UMA FORÇA
TRATIVA QUE PROVOCA UMA DEFORMAÇÃO MÉDIA NORMAL DE 0,002 MM/MM. QUAL O VALOR DA
FORÇA APLICADA, CONSIDERANDO QUE ATUA NO CENTROIDE DA SEÇÃO RETA?
A) 20 KN
B) 30 KN
C) 40 KN
D) 50 KN
E) 60 KN
GABARITO
1. (IBFC - 2017 - EMBASA - Técnico em Eletromecânica - adaptada) Analise as afirmações a seguir: 
 
I. Isotropia: O material apresenta as mesmas características mecânicas elásticas em todas as direções. 
 
II. Saint-Venant: Sistemas de forças estaticamente equivalentes causam efeitos idênticos em pontos suficientemente
afastados da região de aplicação das cargas. 
 
III. Lei de Hooke: A força aplicada é proporcional ao dobro da força axial aplicada ao bloco. 
 
Considerando as hipóteses básicas da Resistência dos Materiais, está correto o que se afirma em:
A alternativa "B " está correta.
 
Materiais isotrópicos apresentam propriedades mecânicas independentemente de direção, enquanto os anisotrópicos apresentam
comportamentos distintos em função da direção. O princípio de Sant-Venant afirma que afastando-se do ponto de aplicação da
força, deformações e tensões tornam-se aproximadamente constante. Ademais, a mesma situação se mantém caso o sistema seja
substituído por um equivalente. A Lei de Hooke relaciona tensão e deformação diretamente. A tensão média, por sua vez, é
diretamente proporcional à força.
2. Uma barra de seção reta quadrangular tem lado l = 10 mm e comprimento 1,5 m. O material é um aço cujo módulo de
Young (E) vale 200 GPa. A barra encontra-se presa (“engastada”) em uma parede e na extremidade livre é aplicada uma
força trativa que provoca uma deformação média normal de 0,002 mm/mm. Qual o valor da força aplicada, considerando
que atua no centroide da seção reta?
A alternativa "C " está correta.
 
A partir da deformação normal média, é possível descobrir o alongamento da barra, ou seja:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da equação 2, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 2
 Calcular a deformação elástica de elementos estaticamente indeterminados
INTRODUÇÃO
Na Engenharia, dois tipos de estruturas são muito comuns: a isostática e a hiperestática. Em linhas gerais, nas estruturas
isostáticas, o número de incógnitas é igual ao número de equações do equilíbrio. Por exemplo, para carregamentos no plano, três
são as equações do equilíbrio: duas para translação ( e ) e uma para rotação ( . Dessa forma, três
incógnitas surgem nas estruturas isostáticas. Porém, nas estruturas hiperestáticas, o número de incógnitas é maior que as três
equações do equilíbrio equilíbrio (ver figura 6). Assim, uma ou mais equações deverão ser adicionadas para solucionar o problema,
como as leis de compatibilidade geométrica, equações constitutivas etc.
 
Anusorn Abthaisong / Fonte: Shutterstock
 Figura 6 - Imagens Ilustrativas para estruturas com vigas.
εm = → 0,002 =     →  δ = 3  mm  
δ
L
δ
1500
δ =   → 3 =     → F = 40.000 N = 40  kN  F . L
A . E
F . (1500)
( 100 )  . (200.000)
∑Fx = 0 ∑Fy = 0 ∑Mz = 0
Na figura 7, há exemplos de vigas isostática e hiperestática. Perceba que na primeira barra existem apoios de primeiro e segundo
gênero, ou seja, três incógnitas. Utilizando-se as três equações do equilíbrio, o problema pode ser resolvido. É uma estrutura
isostática. Na segunda barra da figura, são dois apoios de segundo gênero, isto é, quatro forças (incógnitas). Com apenas as três
equações do equilíbrio não é possível resolver o problema. Trata-se, portanto, de uma viga biapoiada hiperestática.
 Figura 7 - Vigas isostática e hiperestática. Fonte: o autor
Neste módulo, a partir da deformação elástica estudada no módulo 1, mais uma equação poderá ser escrita e, assim, o problema
resolvido.
ESTUDO DE ESTRUTURAS PLANAS HIPERESTÁTICAS
Será feito um breve estudo, por meio de um exemplo, apresentando uma estrutura simples, a fim de que a metodologia de
resolução para estruturas hiperestáticas seja compreendida. Suponha uma barra AB de comprimento 4 m engastada em duas
paredes de peso desprezível. Uma força F de 40 kN passa a atuar no ponto C, tal que AC = 1 m, determine as reações nas
paredes. Observe a figura 8 a seguir.
 Figura 8 - Ilustração para reação nas paredes. Fonte: O autor
Desenhando o DCL da barra AB (ver figura 9), temos:
 Figura 9 - Ilustração para reação nas paredes 2. Fonte: O autor
Equilíbrio na horizontal:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Há a necessidade de mais uma equação para resolver o problema que possui uma equação e duas incógnitas ( e ).
Equação da compatibilidade geométrica: a barra não sofre deformação total, ou seja, a seção A não se desloca em relação à seção
B, isto é, .
Agora, cada parte da barra será seccionada (à direita e à esquerda da força F). Observe as figuras abaixo.
 Fonte: Autor
∑Fx = 0  →  − FA + 40 −  FB = 0 →  FA +  FB = 40 (*)
FA FB
δA/B = 0
Do equilíbrio de cada DCL, temos que a soma algébrica das forças na horizontal é nula, isto é:
E
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Cada parte da barra, à esquerda e à direita do ponto C de aplicação de F, terá uma variação no comprimento tal que o
comprimento total da barra seja nulo. Pelos sentidos arbitrados, uma das partes terá um aumento no comprimento (tração) e a
outra parte uma contração (compressão) de valores, em módulos iguais.
ETAPA 01
ETAPA 02
ETAPA 03
Para a parte AC:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para a parte BC:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Da compatibilidade geométrica,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo (**) e (***) em (****), temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em (*****), substituindo os valores de AC e BC, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na equação (*), temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∑Fx = 0  →  −FA +  F1 = 0 →  FA =  F1
∑Fx = 0  →  F2 −  FB = 0 →  F2 =  FB
δ =     (**)FA.LAC
A.E
δ' =   −   (* * *)FB.LBC
A.E
δ + δ ' = 0  (* * **)
− = 0 →  FA .  LAC =  FB .  LBC  (*****)
FA . LAC
A . E
FB . LBC
A . E
FA =  FB .  3
FA + FB = 40 → 3 .  FB + FB = 40→  FB =  10 kN
Logo 
Conhecendo a área A da seção reta da barra e o módulo de elasticidade E do material, as equações (**) e (***) determinam as
deformações em cada parte da barra. 
Cabe ressaltar que, na equação (*****), a simplificação foi possível por considerar a barra constituída de um mesmo material (E) e a
seção reta (A) ser constante.
ESTUDO DA DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE ESTRUTURAS
PLANAS HIPERESTÁTICAS
No item anterior, foi possível determinar para uma estrutura hiperestática as forças de reação a partir das equações do equilíbrio
(duas estavam satisfeitas e uma envolvia duas incógnitas), pois pudemos escrever uma equação de compatibilidade para o
problema proposto. Com as duas equações foi possível determinar as reações.
 COMENTÁRIO
Caso mais dados fossem apresentados no problema, como, por exemplo, a seção reta A e o coeficiente de elasticidade do material
E, as deformações sofridas por partes da barra poderiam ser determinadas.
Neste item, o procedimento é análogo, exceto pelo fato de também determinarmos as deformações em cada parte da barra.
No exemplo do item Estudo de estruturas planas hiperestáticas, suponha que a área da seção reta seja 20 mm2 constante e que o
módulo de elasticidade do material seja igual a 200 GPa. Determine a variação no comprimento de cada parta da barra, ou seja,
AC e BC. 
A partir das equações (**) e (***) já descritas e os valores encontrados para as reações, temos:
Para a parte AC:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para a parte BC:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Note que a deformação total da barra é nula.
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE UMA COLUNA AB DE 3 M ENGASTADA EM SUAS EXTREMIDADES. SE UMA CARGA
DE 120 KN É APLICADA NO PONTO MÉDIO DA VIGA (C), A RESPEITO DO CÁLCULO DAS REAÇÕES
NOS ENGASTES A E B SÃO FEITAS AS SEGUINTES AFIRMATIVAS: 
 
FA = 30 kN
δ =   → = 7,5 mm
FA.LAC
A.E
(30.000) . (1000)
( 20 )  . (200.000)
δ ' =   − → − = − 7,5 mm
FB.LBC
A.E
( 10.000 ) .(3000)
( 20 ) . (200.000)
I – A ESTRUTURA É HIPOSTÁTICA, POIS SÃO DUAS AS REAÇÕES E TRÊS AS EQUAÇÕES DE
EQUILÍBRIO NO PLANO. 
 
II – A ESTRUTURA É HIPERESTÁTICA E, PARA RESOLVÊ-LA, HÁ NECESSIDADE DE UMA EQUAÇÃO
EXTRA ORIUNDA DA DEFORMAÇÃO DA VIGA. 
 
III- É POSSÍVEL DETERMINAR AS REAÇÕES UTILIZANDO APENAS AS EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO
DE UM CORPO. 
 
É CORRETO AFIRMAR QUE:
A) Apenas a afirmativa I é verdadeira
B) Apenas a afirmativa II é verdadeira
C) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras
D) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras
E) Apenas a afirmativa III é verdadeira
2. SUPONHA UMA BARRA AB DE 1,6 M DE COMPRIMENTO PERFEITAMENTE AJUSTADA ENTRE
DOIS PONTOS, TAL QUE AB FIQUE NA VERTICAL. DESPREZE O PESO DA BARRA. UMA FORÇA DE
100 KN É APLICADA SOBRE ELA NO PONTO C, TAL QUE AC = 400 MM E CB = 1200 MM. A SEÇÃO
RETA DA BARRA APRESENTA 500 MM2 E O MATERIAL QUE A CONSTITUI APRESENTA MÓDULO DE
ELASTICIDADE E = 210 GPA. VEJA A FIGURA A SEGUIR. SOBRE AS DEFORMAÇÕES DE AC ( ) E
CB ( ), EM MÓDULO, É CORRETO AFIRMAR QUE: 
 
 FONTE: AUTOR
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
3. SUPONHA UMA BARRA AB DE COMPRIMENTO 4 M ENGASTADA EM DUAS PAREDES DE PESO
DESPREZÍVEL. QUANDO UMA FORÇA F DE 80 KN PASSA A ATUAR NO PONTO C, TAL QUE ,
δAC
δCB
2. δAC = δCB
δAC = 2. δCB
3. δAC = δCB
δAC = 3. δCB
δAC = δCB
=AC
CB
1
3
DETERMINE OS MÓDULOS DAS REAÇÕES NAS PAREDES. OBSERVE A FIGURA A SEGUIR: 
 
 FONTE: AUTOR
A) RA = 40 kN e RB = 40 kN
B) RA = 80/3 kN e RB = 160/3 kN
C) RA = 160/3 kN e RB = 80/3 kN
D) RA = 20 kN e RB = 60 kN
E) RA = 60 kN e RB = 20 kN
4. (CESGRANRIO - 2011 - PETROBRAS - ENGENHEIRO DE EQUIPAMENTO JÚNIOR - TERMINAIS E
DUTOS) 
 
 
 
A VIGA PLANA SOB FLEXÃO, MOSTRADA NA FIGURA ACIMA, É ESTATICAMENTE INDETERMINADA,
PORQUE O NÚMERO DE EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO DA ESTÁTICA E O NÚMERO DE INCÓGNITAS
SÃO, RESPECTIVAMENTE:
A) 2 e 3
B) 2 e 4
C) 3 e 4
D) 3 e 5
E) 4 e 5
5. (CESPE - 2016 - POLÍCIA CIENTÍFICA - PE - PERITO CRIMINAL - ENGENHARIA MECÂNICA) 
 
PARA OS CASOS DE ESTRUTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS, AS EQUAÇÕES DE
EQUILÍBRIO NÃO SÃO SUFICIENTES PARA DETERMINAR AS AÇÕES E AS REAÇÕES NA
ESTRUTURA, A MENOS QUE AS DEFORMAÇÕES SEJAM LEVADAS EM CONSIDERAÇÃO. NESSE
CONTEXTO, CONSIDERE A FIGURA ANTERIOR, QUE MOSTRA UMA BARRA CONSTITUÍDA DE DOIS
TRECHOS (OM E MN) E RIGIDAMENTE PRESA NAS EXTREMIDADES. O MÓDULO DE ELASTICIDADE
DO MATERIAL DA VIGA É 21.000 KN/CM², A ÁREA DA SEÇÃO TRANSVERSAL DO TRECHO OM É 5
CM², A ÁREA DA SEÇÃO TRANSVERSAL DO TRECHO MN É 7,5 CM² E A FORÇA P INDICADA É IGUAL
A 60 KN. TENDO COMO REFERÊNCIA A FIGURA E AS INFORMAÇÕES APRESENTADAS, ALÉM DE
CONSIDERAR QUE O SISTEMA ESTEJA EM EQUILÍBRIO E HAJA COMPATIBILIDADE DAS
DEFORMAÇÕES NOS TRECHOS, AS REAÇÕES R1 E R2 SÃO IGUAIS, RESPECTIVAMENTE, A:
A) 15 kN e 45 kN
B) 50 kN e 10 kN
C) 35 kN e 25 kN
D) 30 kN e 30 kN
E) 20 kN e 40 kN
6. (SUGEP - UFRPE - 2016 - UFRPE - ENGENHEIRO CIVIL) UMA BARRA CILÍNDRICA DE AÇO ESTÁ
SUJEITA A UM CARREGAMENTO COMO MOSTRA A FIGURA SEGUINTE. SABENDO QUE O
EAÇO = 200 GPA E A ÁREA DA SEÇÃO É 200 MM2, A REAÇÃO EM A, A REAÇÃO EM B E O
DESLOCAMENTO DA BARRA SÃO, RESPECTIVAMENTE: 
 
A) 400 KN, zero e 2 mm
B) 400 KN, zero e 3 mm
C) 355 KN, 45 KN e 3 mm
D) 360 KN, 40 KN e 3 mm
E) 365 KN, 35 KN e 3 mm
GABARITO
1. Considere uma coluna AB de 3 m engastada em suas extremidades. Se uma carga de 120 kN é aplicada no ponto médio
da viga (C), a respeito do cálculo das reações nos engastes A e B são feitas as seguintes afirmativas: 
 
I – A estrutura é hipostática, pois são duas as reações e três as equações de equilíbrio no plano. 
 
II – A estrutura é hiperestática e, para resolvê-la, há necessidade de uma equação extra oriunda da deformação da viga. 
 
III- É possível determinar as reações utilizando apenas as equações do equilíbrio de um corpo. 
 
É correto afirmar que:
A alternativa "B " está correta.
A estrutura apresentada é hiperestática. As condições de equilíbrio translacional horizontal e de rotação já são previamente
satisfeitas. Dessa forma, utilizando a equação da não translação vertical, duas incógnitas surgirão. Há a necessidade de uma outra
equação a partir da deformação da barra.
2. Suponha uma barra AB de 1,6 m de comprimento perfeitamente ajustada entre dois pontos, tal que AB fique na vertical.
Despreze o peso da barra. Uma força de 100 kN é aplicada sobre ela no ponto C, tal que AC = 400 mm e CB = 1200 mm. A
seção reta da barra apresenta 500 mm2 e o material que a constitui apresenta módulo de elasticidade E = 210 GPa. Veja a
figura a seguir. Sobre as deformações de AC ( ) e CB ( ), em módulo, é correto afirmar que: 
 
 Fonte: Autor
A alternativa "E " está correta.
Ao se desenhar o DCL da barra AB, duas forças de reações surgirão: RA e RB. Duas das equações do equilíbrio estático já estão
satisfeitas. Aplicando-se a equação do equilíbrio translacional em y, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de um corpo estaticamente indeterminado. Desse modo, será necessária uma equação auxiliar: equação da
compatibilidade geométrica. Assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual 
Substituindo-se os valores, é possível determinar RA e RB assim como as deformações. Mas da equação (*), é possível inferir que,
em módulo, 
δAC δCB
∑Fy = 0 →  RA+ RB = 100.000 N
δAC + δCB = 0  (*)
δ = F  . L
A . E
δAC = δCB.
3. Suponha uma barra AB de comprimento 4 m engastada em duas paredes de peso desprezível. Quando uma força F de
80 kN passa a atuar no ponto C, tal que , determine os módulos das reações nas paredes. Observe a figura a
seguir: 
 
 Fonte: Autor
A alternativa "E " está correta.
DETERMINAÇÃO DAS REAÇÕES DE BARRAS
ESTATICAMENTE INDETERMINADAS
4. (CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Engenheiro de Equipamento Júnior - Terminais e Dutos) 
 
=AC
CB
1
3
 
 
A viga plana sob flexão, mostrada na figura acima, é estaticamente indeterminada,porque o número de equações de
equilíbrio da estática e o número de incógnitas são, respectivamente:
A alternativa "D " está correta.
Inicialmente, são 3 as equações do equilíbrio (translacional e rotacional) no plano: , e . A barra
está apoiada em dois vínculos, sendo 1 de segundo gênero e o outro de terceiro gênero. Assim, são 2 e 3 reações, ou ainda
2 + 3 = 5 incógnitas. Como o número de equações (3) é menor que o número de reações (5), a estrutura é hiperestática.
5. (CESPE - 2016 - POLÍCIA CIENTÍFICA - PE - Perito Criminal - Engenharia Mecânica) 
 
Para os casos de estruturas estaticamente indeterminadas, as equações de equilíbrio não são suficientes para determinar
as ações e as reações na estrutura, a menos que as deformações sejam levadas em consideração. Nesse contexto,
considere a figura anterior, que mostra uma barra constituída de dois trechos (OM e MN) e rigidamente presa nas
extremidades. O módulo de elasticidade do material da viga é 21.000 kN/cm², a área da seção transversal do trecho OM é 5
cm², a área da seção transversal do trecho MN é 7,5 cm² e a força P indicada é igual a 60 kN. Tendo como referência a
figura e as informações apresentadas, além de considerar que o sistema esteja em equilíbrio e haja compatibilidade das
deformações nos trechos, as reações R1 e R2 são iguais, respectivamente, a:
A alternativa "E " está correta.
A partir do DCL da figura, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Equação da compatibilidade geométrica: a barra não sofre deformação total, ou seja, a seção superior não se desloca em relação à
seção inferior, isto é, , ou ainda, os módulos das deformações das duas barras são iguais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo (**) em (*), temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∑Fx = 0 ∑Fy = 0 ∑MZ = 0
∑Fy = 0  →  R1 + R2 = 60 (*)
δO/N = 0
δ + δ ' = 0
− = 0
R1 . LOM
A . E
R2 . LMN
A' . E '
=
R1 . 2
5 . E
R2 . 1,5
7,5 . E
R1 .  2 = R2  (**)
R1 + R2 = 60  →  R1 + 2 .  R1 = 60  →  R1 = 20 kN 
R2 = R1 .  2 → R2 = 40 kN
6. (SUGEP - UFRPE - 2016 - UFRPE - Engenheiro Civil) Uma barra cilíndrica de aço está sujeita a um carregamento como
mostra a figura seguinte. Sabendo que o Eaço = 200 GPa e a área da seção é 200 mm2, a reação em A, a reação em B e o
deslocamento da barra são, respectivamente: 
 
A alternativa "D " está correta.
BARRA ESTATICAMENTE INDETERMINADA – CÁLCULO
DAS REAÇÕES E DEFORMAÇÕES
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Uma barra metálica horizontal com peso desprezível é perfeitamente encaixada entre duas estruturas quando sobre ela não atua
nenhum carregamento. A barra AB tem 4 m de comprimento. Duas cargas horizontais de 80 kN e 60 kN nos pontos C e D, tais que
AC = BD = 1 m. Por questões de projeto, as estruturas não podem estar submetidas a esforços maiores que certos valores
definidos. Um estagiário recebeu a incumbência de determinar as reações nas estruturas, quando a barra está carregada, e
procurou mais informações a respeito da barra, descobrindo que sua área da seção reta é 200 cm2 e o módulo de elasticidade do
material igual a 180 GPa. Observe a figura abaixo, quando a barra se encontra carregada:
 Fonte: Autor
RESOLUÇÃO
Estrutura estaticamente indeterminada – cálculo das reações a partir das deformações
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (CESGRANRIO - 2011 - PETROQUÍMICA SUAPE - ENGENHEIRO DE MANUTENÇÃO PLENO -
MECÂNICA) EM UMA VIGA ESTATICAMENTE INDETERMINADA, AS REAÇÕES DE APOIO SÃO
DETERMINADAS
A) Apenas pelas condições de compatibilidade de deslocamentos impostas pelas condições de contorno.
B) Apenas pelas condições de equilíbrio estático.
C) Apenas pelas condições de contorno.
D) Pelas condições de equilíbrio estático e de compatibilidade de deslocamentos impostas pelas condições de contorno.
E) Pelas condições de contorno e pela Lei de Hooke.
2. (CESGRANRIO - 2012 - TRANSPETRO - ENGENHEIRO JÚNIOR - NAVAL) UMA VIGA DE AÇO É
COMPOSTA DE DUAS SEÇÕES CIRCULARES COM ÁREAS TRANSVERSAIS DE 250 MM² E 500 MM²,
COM 450 MM E 300 MM DE COMPRIMENTO, RESPECTIVAMENTE. ESTA BARRA É ENGASTADA EM
SUAS EXTREMIDADES, E UMA FORÇA DE 40 N É APLICADA NO RESSALTO ENTRE AS SEÇÕES
DESTA VIGA. 
 
APÓS A ANÁLISE DESSES DADOS, CONCLUI-SE QUE OS VALORES ABSOLUTOS DAS REAÇÕES
NAS EXTREMIDADES (RA E RB) SÃO, RESPECTIVAMENTE, EM N:
A) 10 e 30
B) 15 e 25
C) 20 e 20
D) 25 e 15
E) 30 e 10
GABARITO
1. (CESGRANRIO - 2011 - PETROQUÍMICA SUAPE - Engenheiro de Manutenção Pleno - Mecânica) Em uma viga
estaticamente indeterminada, as reações de apoio são determinadas
A alternativa "D " está correta.
 
Inicialmente, deve-se lembrar que são 3 as equações do equilíbrio (translacional e rotacional) no plano: , e 
. Uma viga hiperestática apresentará mais de 3 incógnitas. Sendo assim, será necessária a utilização de outras
equações (compatibilidade).
2. (CESGRANRIO - 2012 - Transpetro - Engenheiro Júnior - Naval) Uma viga de aço é composta de duas seções circulares
com áreas transversais de 250 mm² e 500 mm², com 450 mm e 300 mm de comprimento, respectivamente. Esta barra é
engastada em suas extremidades, e uma força de 40 N é aplicada no ressalto entre as seções desta viga. 
 
Após a análise desses dados, conclui-se que os valores absolutos das reações nas extremidades (Ra e Rb) são,
respectivamente, em N:
A alternativa "A " está correta.
 
∑Fx = 0 ∑Fy = 0
∑M = 0
A partir do DCL da figura, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O problema é estaticamente indeterminado, portanto há necessidade da equação da compatibilidade geométrica: a barra não sofre
deformação total, ou seja, a seção à esquerda não se desloca em relação à seção à direita, isto é, a deformação total é nula.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores apresentados no problema em (**)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Simplificando:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo (***) em (*), temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 3
 Descrever o estado plano de tensão e a transformação de tensão no plano
INTRODUÇÃO
Suponha um corpo em equilíbrio e o estudo das tensões (normal e cisalhante) em algum ponto deste. A partir de um volume
infinitesimal (dV) de arestas dx, dy e dz e, partindo do princípio de que a parte do todo também se encontra em equilíbrio, um
modelo físico genérico é criado com todas as tensões atuantes nas seis faces do volume dV. Dessa forma, são aplicadas as
tensões normais (σx, σy e σz) e as tensões cisalhantes (τxy, τyx, τzx, τxz, τzy e τyz). Esse é o denominado estado geral de tensões. A
figura 11 representa a descrição do estado geral de tensões.
∑Fx = 0  →  Ra + 40 = Rb (*)
δ + δ ' = 0
− − = 0    (**)Ra . La
A . E
Rb . Lb
A' . E
− = 0
−Ra . 450
250 . E
Rb . 300
500 . E
−3Ra = Rb  (***)
Ra + 40 = Rb  →  Ra + 40 = −3Ra →  Ra = −10N 
Rb = −3Ra → Rb = 30 N
 Figura 11 – Estado geral de tensões. Fonte: o autor
Observe que no elemento infinitesimal escolhido para o estudo, as tensões atuam nas suas seis faces, aos pares, em faces
opostas e com sentidos opostos. Atente para os eixos x, y e z destacados.
ESTADO PLANO DE TENSÕES
No item anterior, foi feita a descrição de um estado genérico para as tensões atuantes num elemento de um corpo (o estado geral
de tensões). Na Engenharia, em muitas situações é possível fazer uma modelagem física mais simples. A partir deste item, será
apresentado um caso particular do estado geral, o denominado Estado Plano de Tensões (EPT). Como afirma Hibbeler em sua
obra Resistência dos Materiais, é frequenteque os engenheiros façam simplificações no carregamento sobre uma estrutura, a fim
de que a análise de tensões seja feita em um único plano.
 ATENÇÃO
Na figura 11, suponha um carregamento sobre o corpo, tal que torne nulas algumas tensões, permanecendo diferentes de zero
apenas as tensões pertencentes a um plano paralelo ao referente a xy. Nesse caso, dizemos que o estado de tensões é plano.
A figura 12 mostra esquematicamente o mesmo volume infinitesimal de estudo neste estado. Perceba que este estado é
caracterizado por dois pares de tensões normais e quatro componentes de tensões cisalhantes com mesmo módulo. Na
representação, as tensões normais são e e a tensão cisalhante . Para outros planos, por exemplo, paralelo a xz, as
tensões normais serão e e a cisalhante . Ademais, é possível fazer a análise a partir de uma visão bidimensional, que
torna mais simples sua representação no plano.
σx σy τxy
σx σz τxy
 
Fonte: Autor/Shutterstock
 Figura 12 – Estado plano de tensões (EPT). Fonte: o autor
Observe que na figura anterior, todas as tensões atuantes no volume infinitesimal pertencem a um mesmo plano paralelo à base
desse elemento, ou seja, paralelo ao plano xy. Como já foi descrito para o estado geral de tensões, no estado plano, as tensões
agem aos pares, em sentidos opostos. Nessa situação, em apenas quatro das seis faces do elemento infinitesimal de estudo. Em
termos prático, muitas vezes o estado plano é descrito pelas tensões normais σx e σy e a tensão cisalhante τ = τxy= τyx. 
Observe na figura 13, o mesmo estado plano de tensões da sob uma óptica a partir da face superior do elemento infinitesimal.
 Figura 13 – Vista superior do estado plano de tensões. Fonte: o autor
CONVENÇÃO DE SINAIS PARA AS TENSÕES
A figura 13 mostra o estado plano de tensões em que todas as tensões são positivas. Note que as tensões normais serão positivas
quando estiverem “saindo” da superfície (trativas) e, negativas, quando estiverem “entrando” na superfície, ou seja, compressivas.
Em relação às tensões cisalhantes, as faces à direita e superior serão tomadas como referências. 
Observando a figura, a tensão cisalhante atuante na face à direita encontra-se para cima, ou seja, acompanha o sentido do eixo y.
É convencionada como positiva. A tensão que atua na face superior atua para a direita, isto é, acompanhando o sentido de x.
Ambas são positivas. As demais tensões cisalhantes atuam no sentido de preservar o equilíbrio do elemento em estudo, ocorrendo
aos pares: a da face esquerda “atua para baixo” e a da face inferior “atua para a esquerda”. Essas duas últimas são nos sentidos
opostos dos eixos. Qualquer situação distinta, leva a valores negativos para as tensões.
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO NO PLANO
A ideia básica deste item é que um mesmo elemento de estudo adotado no estado plano de tensões (σx , σy e τ = τxy), tendo como
par de eixos xy, sofrerá uma rotação de um ângulo θ e o par de referência também. Nessa nova posição, os eixos serão
denominados x’ e y’. Quando se iniciou o estudo do corpo, ele estava sob determinado carregamento e equilíbrio. O primeiro
elemento de estudo também se apresentava equilibrado estaticamente. Após a rotação, o elemento encontra-se em equilíbrio e sob
o mesmo estado de tensão (σx’ , σy’ e τ’= τx’y’). A figura 14, mostra a descrição anterior da rotação do elemento (plano xy) de um
ângulo θ plano (x’y’).
 Figura 14 – Rotação do elemento de estudo. Fonte: o autor
Note que para o novo par x’y’ a face A’B’ continua à direita do elemento de estudo, estando x’ perpendicular e y’ ao longo
(tangente) dessa mesma face. 
Após a percepção geométrica da rotação do elemento de estudo de um ângulo θ, é necessário conhecer as expressões
matemáticas que determinam as novas tensões (σx’ , σy’ e τx’y’). Assim, a partir do conhecimento dos valores de σx , σy , τxy e θ, é
possível, matematicamente, chegar-se aos valores de σx’ , σy’ e τx’y’. 
As equações 4, 5 e 6 mostram como determinar as tensões no elemento de estudo rotacionados a partir dos valores conhecidos
para o primeiro elemento de estudo.
EQUAÇÃO 4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EQUAÇÃO 5
σx' = +  .   cos(2θ)+τxy  .   sen(2θ)
σx+σy
2
σx−σy
2
σy' = −  .   cos(2θ)−τxy  .   sen(2θ)
σx+σy
2
σx−σy
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EQUAÇÃO 6
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com a intenção de auxiliar no entendimento das equações 4, 5 e 6 para a transformação do estado plano de tensões, será
realizado um exemplo numérico. 
Somando-se as equações 4 e 5, temos: .
Exemplo: Considere um elemento infinitesimal no estado plano de tensões com as tensões, conforme a figura 15. Determine o
estado plano de tensões quando o elemento infinitesimal é rotacionado de 600 no sentido anti-horário.
 Figura 15 – Ilustração para exemplo de plano de tensões. Fonte: O autor
É preciso perceber, pela convenção adotada, que todas as tensões são positivas. Rotacionando o elemento de estudo de 600 no
sentido anti-horário, temos a ilustração da figura 16.
τx'y' = −  .   sen(2θ)+τxy .   cos(2θ)
σx−σy
2
σx + σy = σx' + σy'
 Figura 16 – Ilustração para exemplo de plano de tensões 2. Fonte: O autor
Note que o ângulo também θ = 600 também é positivo. Substituindo os valores de σx , σy , τxy e θ aplicando as equações 4, 5 e 6,
temos:
ETAPA 01
ETAPA 02
ETAPA 03
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TENSÕES NORMAIS PRINCIPAIS E TENSÃO DE
CISALHAMENTO MÁXIMA NO ESTADO PLANO DE TENSÕES
Vimos a rotação de um ponto de estudo e a determinação das tensões nesse estado plano de tensões. Existe um ângulo θP em
que as tensões normais são extremas (máxima e mínima). Nessa situação, essas tensões são ditas principais e a tensão de
cisalhamento é nula. A partir da equação 4, derivando-a em relação à variável θ e igualando-se a zero, determina-se o ângulo θP,
cuja expressão é apresentada na equação 7.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Da trigonometria, no intervalo , a equação 7 terá duas raízes, ou seja, dois valores para θP cuja diferença é igual a
900. 
σx' = +  .   cos(2θ)+τxy .   sen(2θ)
σx+σy
2
σx−σy
2
σx' = +  .   cos(120)+5 .   sen(120)10+202
10−20
2
σx' = 15 − 5 .  (−0,5) + 5 .  (0,866)
σx' = 21,8  MPa
σy' = −  .   cos(2θ)−τxy .   sen(2θ)
σx+σy
2
σx−σy
2
σy' = −  .   cos(120)−5 .   sen(120)10+202
10−20
2
σy' = 15 + 5 .  (−0,5)−5 .  (0,866)
σy' = 8,2  MPa
τx'y' = −  .   sen(120)+5 .   cos(120)10−202
τx'y' = 5 .  (0,866) + 5 .  (−0,5)
τx'y' = 1,8  MPa
tg(2θP) =        (Equação 7)
2.τxy
(σx−σy)
0  ≤  θ  ≤ 2π
Uma vez que θP é conhecido, fazendo a substituição nas equações 4 e 5, temos a equação 8 para a determinação das tensões
principais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No exemplo do item anterior, determinar as tensões principais (ver figura 17).
 Figura 17 – Ilustração para exemplo de plano de tensões 3. Fonte: O autor
ETAPA 01
ETAPA 02
ETAPA 03
É preciso perceber, pela convenção adotada, que todas as tensões são positivas. O próximo passo é determinar o ângulo θP a
partir da equação 7.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores das tensões na equação 8, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
σmáx ,  σmín =   √( )
2
+ (τxy)
2
        (Equação 8)σx+σy2
σx−σy
2
tg(2θP) =
2.τxy
(σx−σy)
tg(2θP)= = = −1
2 . 5
( 10−20 )
10
−10
tg(2θP)= −1  →  (2θP)= arctg(−1) 
(2θP)= −45
0 →  θP = −22, 5
0
σmáx ,  σmín =   ±  √( )
2
+ (5)
2
10+20
2
10−20
2
σmáx ,  σmín = 15 ± √50
σmáx = 22,1  MPa     e     σmín =  7,9  MPa
A tensão cisalhante máximaé determinada de maneira análoga à metodologia para a determinação das tensões principais.
Inicialmente, determina-se a inclinação em que essa situação ocorre e, após, substitui o valor do ângulo na equação 6. Derivando-
se a equação 6 em relação à variável θ e igualando-se a zero, temos a equação que determina a inclinação θs para a tensão
cisalhante máxima.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma vez que θs é conhecido, fazendo a substituição na equação 6, temos a equação 9 para a determinação da tensão cisalhante
máxima.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 COMENTÁRIO
Quando o estado plano de tensão é tal que a tensão de cisalhamento é máxima, também ocorre tensão normal no elemento em
estudo de valor dado por 
MÃO NA MASSA
1. (FCC - 2015 - TRT - 3ª REGIÃO (MG) - ANALISTA JUDICIÁRIO - ENGENHARIA MECÂNICA) EM UM
PONTO DE UMA ESTRUTURA, EXISTEM AS TENSÕES INDICADAS NO ELEMENTO CONFORME
ABAIXO: 
 
A MÁXIMA TENSÃO DE CISALHAMENTO QUE OCORRE NO PONTO, EM MPA É:
A) 80
B) 100
C) 120
D) 144
tg(2θs) =
(σy−σx)
2.τxy
τmáx =  √( )
2
+ (τxy)
2
            (Equação 9)σx−σy2
σmédia =
σx+σy
2
E) 200
2. NO ESTADO PLANO DE TENSÃO, QUANDO AS TENSÕES NORMAIS PRINCIPAIS VALEM 20 MPA E
80MPA, A TENSÃO DE CISALHAMENTO ATUANTE É:
A) 0
B) 50 MPa
C) 30 MPa
D) 100 MPa
E) 60 MPa
3. (CESGRANRIO - 2012 - PETROBRAS - ENGENHEIRO DE EQUIPAMENTO JÚNIOR – MECÂNICA
-2012) 
 
AS TENSÕES PRINCIPAIS REFERENTES AO ESTADO PLANO DE TENSÕES, OCORRENTE EM UM
PONTO DE UMA PEÇA, SÃO AS INDICADAS NA FIGURA. A TENSÃO CISALHANTE MÁXIMA ATUANTE
NESSE PONTO DA PEÇA É
A) σ
B) 
C) 
D) 
E) 
4. (CONSULPAM - 2014 - SURG - ENGENHEIRO CIVIL – ADAPTADA) NO ESTADO PLANO DE TENSÕES
EM DETERMINADO PONTO DE UMA CHAPA DE AÇO, A FIGURA A SEGUIR ESTÁ MOSTRANDO AS
TENSÕES NORMAIS Σ E AS TENSÕES DE CISALHAMENTO Τ: 
 
√2 σ
√3 σ
2 σ
3 σ
AS TENSÕES PRINCIPAIS VALEM:
A) 80 MPa e 50 MPa
B) 120 MPa e 50 MPa
C) 130 MPa e 60 MPa
D) 130 MPa e 30 MPa
E) 130 MPa e 50 MPa
5. (AOCP - 2012 - TCE-PA - ANALISTA DE CONTROLE EXTERNO - ENGENHARIA CIVIL - ADAPTADA)
EM UM PONTO NA SUPERFÍCIE DE UMA ESTRUTURA, O MATERIAL ESTÁ SUBMETIDO AO ESTADO
PLANO DE TENSÕES MOSTRADO NA FIGURA. ANALISE AS TENSÕES NESTE PONTO E DETERMINE:
AS TENSÕES PRINCIPAIS (ΣMÁX E ΣMÍN) E A TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA (ΤMÁX). 
 
A) e 
B) e 
σmáx = 90 MPa σmin = 20 MPa; τmáx = 55 MPa
 σmáx = 20 MPa σmin = 90 MPa; τmáx = 55 MPa
C) e 
D) e 
E) e 
6. (CESGRANRIO - 2011 - TRANSPETRO - ENGENHEIRO JÚNIOR - NAVAL – ADAPTADA) NA FIGURA,
A SEGUIR, SÃO APRESENTADAS AS TENSÕES NORMAIS E DE CISALHAMENTO NOS PLANOS
HORIZONTAL E VERTICAL QUE PASSAM POR UM PONTO DE UM ELEMENTO ESTRUTURAL SUJEITO
AO ESTADO PLANO DE TENSÕES. 
 
PARA ESSA SITUAÇÃO, OS VALORES DAS TENSÕES PRINCIPAIS (ΣP1 E ΣP2), NO PONTO, EM MPA,
SÃO, RESPECTIVAMENTE,
A) 44 e 13
B) 44 e 18
C) 22 e 13
D) 22 e 18
E) 22 e 44
GABARITO
1. (FCC - 2015 - TRT - 3ª Região (MG) - Analista Judiciário - Engenharia Mecânica) Em um ponto de uma estrutura, existem
as tensões indicadas no elemento conforme abaixo: 
 
 σmáx = 90 MPa σmin = 20 MPa; τmáx = 35 MPa
 σmáx = 20 MPa σmin = 90 MPa; τmáx = 35 MPa
 σmáx = 90 MPa σmin = − 20 MPa;  τmáx = 55 MPa
A máxima tensão de cisalhamento que ocorre no ponto, em MPa é:
A alternativa "B " está correta.
Perceba que as tensões apresentadas têm valores positivos, de acordo com a convenção. Substituindo na equação 9 temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. No estado plano de tensão, quando as tensões normais principais valem 20 MPa e 80MPa, a tensão de cisalhamento
atuante é:
A alternativa "A " está correta.
No estado plano de tensão em que as tensões são extremas (máxima e mínima) ou principais, a tensão de cisalhamento é nula,
conforme descrito no último item.
3. (CESGRANRIO - 2012 - Petrobras - Engenheiro de Equipamento Júnior – Mecânica -2012) 
 
As tensões principais referentes ao estado plano de tensões, ocorrente em um ponto de uma peça, são as indicadas na
figura. A tensão cisalhante máxima atuante nesse ponto da peça é
A alternativa "D " está correta.
τmáx =  √( )
2
+ (τxy)
2σx−σy
2
τmáx =  √( )
2
+ (80)
2
120−0
2
τmáx =  √(60)2 + (80)2
τmáx =  100  MPa
ESTADO PLANO DE TENSÕES – DETERMINAÇÃO DA
TENSÃO DE CISALHANTE MÁXIMA
4. (CONSULPAM - 2014 - SURG - Engenheiro Civil – adaptada) No estado plano de tensões em determinado ponto de uma
chapa de aço, a figura a seguir está mostrando as tensões normais σ e as tensões de cisalhamento τ: 
 
As tensões principais valem:
A alternativa "D " está correta.
ESTADO PLANO DE TENSÕES – DETERMINAÇÃO DAS
TENSÕES NORMAIS MÁXIMA E MÍNIMA
5. (AOCP - 2012 - TCE-PA - Analista de Controle Externo - Engenharia Civil - adaptada) Em um ponto na superfície de uma
estrutura, o material está submetido ao estado plano de tensões mostrado na figura. Analise as tensões neste ponto e
determine: as tensões principais (σmáx e σmín) e a tensão de cisalhamento máxima (τmáx). 
 
A alternativa "C " está correta.
A partir do elemento em estudo, as tensões normais têm valores positivos, de acordo com a convenção e a tensão de cisalhamento
é nula. Sendo assim, as tensões normais são as principais, ou seja: e Para a determinação da
tensão máxima cisalhante, utiliza-se a equação 9.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. (CESGRANRIO - 2011 - Transpetro - Engenheiro Júnior - Naval – adaptada) Na figura, a seguir, são apresentadas as
tensões normais e de cisalhamento nos planos horizontal e vertical que passam por um ponto de um elemento estrutural
sujeito ao estado plano de tensões. 
 
σmáx = 90  MPa σmín = 20  MPa.
τmáx =  √( )
2
+ (τxy)
2σx−σy
2
τmáx =  √( )
2
+ (0)
2
90−20
2
τmáx =  √(35)
2 = 35  MPa
Para essa situação, os valores das tensões principais (σP1 e σP2), no ponto, em MPa, são, respectivamente,
A alternativa "B " está correta.
Olhando o elemento em estudo, todas as tensões apresentam valores positivos, de acordo com a convenção adotada. Para a
determinação das tensões normais máxima e mínima (principais) utiliza-se a equação 8:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Um projeto apresenta uma das vigas como principal elemento estrutural. Sob dado carregamento, um ponto na superfície dessa
viga encontra-se no estado plano de tensões. O ponto em questão é apresentado na figura a seguir:
σmáx ,  σmín =   ±  √( )
2
+ (τxy)
2σx+σy
2
σx−σy
2
σmáx ,  σmín =   ±  √( )
2
+ (12)
2
36+26
2
36−26
2
σmáx ,  σmín = 31  ±  √(5)2 + (12)2
σmáx ,  σmín = 31  ±   √169
σmáx ,  σmín = 31  ±  13
σmáx = 44  MPa
σmín = 18  MPa
 Fonte: Autor
Para fazer a análise nessa viga, é preciso descobrir o estado plano de tensões principais desse ponto.
RESOLUÇÃO
Aplicação do cálculo das tensões principais no estado plano de tensões
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (IBFC - 2013 - PC-RJ - PERITO CRIMINAL - ENGENHARIA CIVIL) APÓS O ENSAIO EM
LABORATÓRIO DE UMA PEÇA QUE ESTAVA EM RUÍNA, OBTEVE-SE O ESTADO PLANO DE TENSÕES
ESQUEMATIZADO NA FIGURA A SEGUIR: 
 
OS VALORES DAS TENSÕES PRINCIPAIS MÁXIMA ( ) E MÍNIMA PARA ESTE ESTADO
PLANO DE TENSÕES SÃO RESPECTIVAMENTE:
A) e 
B) e 
C) e 
D) e 
E) e 
2. NO ESTUDO DAS TENSÕES QUE AGEM NUM CORPO SOB DETERMINADO CARREGAMENTO, O
ESTADO PLANO DE TENSÕES É MUITO FREQUENTE DE OCORRER. A RESPEITO DESSE ESTADO,
SÃO FEITAS AS SEGUINTES AFIRMATIVAS: 
 
I – NO ELEMENTO INFINITESIMAL DE ESTUDO, TODAS AS FACES APRESENTAM TENSÕES
NORMAIS. 
 
II – QUANDO NÃO EXISTEM TENSÕES CISALHANTES NAS FACES DO ELEMENTO DE ESTUDO,
DIZEMOS QUE AS TENSÕES NORMAIS SÃO AS PRINCIPAIS. 
 
III – AS TENSÕES CISALHANTES QUE AGEM NAS QUATRO FACES DO ELEMENTO INFINITESIMAL
APRESENTAM O MESMO MÓDULO. 
 
SÃO CORRETAS:
A)Apenas a afirmativa I
B) Apenas as afirmativas I e II
C) Apenas as afirmativas II e III
D) Apenas a afirmativa I e III
E) Apenas a afirmativa II
σmáx σmin
σmáx =  20  MPa σmín =   − 10  MPa
σmáx =   − 5, 57  MPa σmín =   − 24, 43  MPa  
σmáx =  24, 43  MPa σmín =  5, 57  MPa
σmáx =  12  MPa σmín =   − 22  MPa
σmáx  =  22  MPa σmín =   − 12  MPa
GABARITO
1. (IBFC - 2013 - PC-RJ - Perito Criminal - Engenharia Civil) Após o ensaio em laboratório de uma peça que estava em
ruína, obteve-se o estado plano de tensões esquematizado na figura a seguir: 
 
Os valores das tensões principais máxima ( ) e mínima para este estado plano de tensões são respectivamente:
A alternativa "E " está correta.
 
Observando a figura, a única tensão negativa é a de compressão (- 10 MPa). Para a determinação das tensões normais máxima e
mínima (principais) utiliza-se a equação 8:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. No estudo das tensões que agem num corpo sob determinado carregamento, o estado plano de tensões é muito
frequente de ocorrer. A respeito desse estado, são feitas as seguintes afirmativas: 
 
I – No elemento infinitesimal de estudo, todas as faces apresentam tensões normais. 
 
II – Quando não existem tensões cisalhantes nas faces do elemento de estudo, dizemos que as tensões normais são as
principais. 
 
III – As tensões cisalhantes que agem nas quatro faces do elemento infinitesimal apresentam o mesmo módulo. 
 
São corretas:
A alternativa "C " está correta.
σmáx σmin
σmáx ,  σmín =   ±  √( )
2
+ (τxy)
2σx+σy
2
σx−σy
2
σmáx ,  σmín =   ±  √( )
2
+ (8)
2
20−10
2
20+10
2
σmáx ,  σmín = 5  ±  17 →  σmáx = 22  MPa  e σmín = −12  MPa
 
O estado plano de tensões é caracterizado por dois pares de tensões normais e quatro tensões cisalhantes de mesmo módulo,
porém existem situações em que a tensão normal é nula, como no carregamento uniaxial. No estado plano de tensões em que a
tensão de cisalhamento é nula, as tensões normais são as principais (mínima e máxima).
MÓDULO 4
 Descrever o Círculo de Mohr
INTRODUÇÃO
No módulo anterior, foi iniciado o estudo de tensões para um ponto genericamente. Por questões práticas, optou-se pelo estudo
plano de tensões, com grande aplicação na Engenharia. A partir de um viés analítico, foram desenvolvidas várias expressões que
permitem determinar as tensões principais, a tensão cisalhante máxima e as tensões em determinada orientação.
 Figura 18 - Christian Otto Mohr. Fonte: Wikimedia
Neste módulo, o estudo plano de tensões será abordado a partir de uma óptica geométrica, isto é, será apresentada uma forma
gráfica para resolver as mesmas situações (tensões principais, tensão de cisalhamento máxima e tensões em dada rotação do
elemento infinitesimal). Trata-se do denominado Círculo de Mohr, em homenagem ao seu idealizador, o engenheiro civil alemão
Christian Otto Mohr, nascido no século XIX (ver figura 18).
EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
Antes de fazer o estudo gráfico do estado plano de tensões por meio do Círculo de Mohr, é importante relembrar alguns aspectos
matemáticos que servirão de subsídios para o entendimento da construção deste círculo. Geometricamente, a circunferência é o
lugar geométrico (LG) dos pontos equidistantes de um ponto fixo denominado centro. Essa distância dos pontos ao ponto fixo é o
raio da circunferência. Suponha uma circunferência com centro de coordenadas (xc, yc) e raio R conhecidos. Observe a figura 19
seguinte:
 Figura 19 – Circunferência de centro (a, b) e raio R. Fonte: O autor
Veja que a circunferência tem raio R e centro com coordenadas (xc, yc). Suponha um ponto P (x, y) genérico da circunferência. A
distância entre o ponto P e o centro da circunferência equivale a R. A equação 10 determina a distância entre dois pontos do plano
A (xA, yA) e B (xB, yB) quaisquer:
EQUAÇÃO 10
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na equação 10 as coordenadas genéricas do ponto P, as coordenadas conhecidas do centro e o valor do raio R,
também conhecido, é possível chegar à equação 11.
EQUAÇÃO 11
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Elevando-se ao quadrado ambos os lados da igualdade da equação 11, temos a equação 12 da circunferência de centro (xc, yc) e
raio R.
EQUAÇÃO 12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, por exemplo, uma circunferência de centro C (1,2) e raio 4 tem equação dada por:
d =  √(x
A
− x
B
)2 + (y
A
− y
B
)2
R =  √(x − x
C
)2 + (y − y
C
)2
   (x − x
C
)2 + (y − y
C
)2 =  R2
(x − 1)
2
+ (y − 2)
2
=  42
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CÍRCULO DE MOHR
Como dito, aqui será estudado um método gráfico para o estado plano de tensões. Em linhas gerais, uma circunferência é
representada em um par de eixos σ e τ. Ao percorrer a circunferência, o elemento infinitesimal está ocupando uma nova posição
(rotacionando) e é possível descobrir as novas tensões do estado plano de tensões. Além disso, é possível determinar as tensões
principais e a tensão de cisalhamento máxima. 
No módulo anterior, foram escritas as equações 4 e 6. A partir dessas equações, serão feitas manipulações algébricas
convenientes. Observe os passos a seguir:
ETAPA 01
ETAPA 02
ETAPA 03
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Elevando-se ao quadrado ambos os lados da igualdade, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da equação 6, elevando-se ao quadrado, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desenvolvendo os lados à direita das igualdades das equações (*) e (**) e fazendo a adição destas, temos a equação 13:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembrando que, no estudo feito no módulo 3, os valores σx , σy e τxy eram conhecidos e σx’ e τx’y’ as variáveis e comparando com
a equação generalizada para a circunferência (equação 12) com a equação 13, é possível concluir que a equação 13 representa
um circunferência de centro e raio
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(x − 1)
2
+ (y − 2)
2
=  16
σx' = +  .  cos(2θ)+τxy  .   sen(2θ)
σx+σy
2
σx−σy
2
σx' − =  .  cos(2θ)+τxy  .   sen(2θ)
σx+σy
2
σx−σy
2
[σx' −
2
]= [  .   cos(2θ)+τxy .   sen(2θ)]
2
    (*)σx+σy
2
σx−σy
2
[τx'y']
2
= [−  .   sen(2θ)+τxy  .   cos(2θ)]
2
         (**)σx−σy
2
[σx'  −   ]
2
+  (τx'y' − 0)
2
=(
2
)+(τxy)
2
            (Equação 13)σx+σy2
σx−σy
2
( ,  0)σx+σy
2
R =  √( )
2
+ (τxy)
2σx−σy
2
quando se adota um par de eixos (fazendo às vezes de x) e (fazendo às vezes de y). Essa é a equação do Círculo de
Mohr representado na figura 20.
 Figura 20 – Círculo de Mohr. Fonte: o autor
Um estado plano de tensão é conhecido, ou seja, os valores de σx , σy e τxy . A partir desses valores e da equação 13, é possível
desenhar o Círculo de Mohr.
Inicialmente, desenham-se os eixos (na horizontal) e (na vertical). Feito isso, será determinado o centro .
Como σx e σy são valores conhecidos, o centro terá coordenadas numéricas. O próximo passo é encontrar numericamente o raio
R, ou seja, .
Com esses valores é possível desenhar o Círculo de Mohr. Observe na figura 20 os pontos 1 e 2. Como o centro está na abscissa 
, para determinar o ponto 2, basta somar a esse valor o valor do raio R e, para o ponto 1, basta subtrair. São as tensões
principais. Um exemplo será realizado para que o entendimento da descrição da construção do Círculo de Mohr seja facilitada.
EXEMPLO 3
(CESGRANRIO - 2011 - Transpetro - Engenheiro Júnior - adaptada) Na figura a seguir, são apresentadas as tensões normais e
de cisalhamento nos planos horizontal e vertical quepassam por um ponto de um elemento estrutural sujeito ao estado plano de
tensões.
σx' τx'y'
σx' τx'y' ( ,  0)
σx+σy
2
R =  √( )
2
+ (τxy)
2σx−σy
2
σx+σy
2
Desenhe o Círculo de Mohr.
RESOLUÇÃO
Olhando o elemento em estudo, todas as tensões apresentam valores positivos de acordo com a convenção adotada.
Determinação do centro:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Determinação do raio:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pontos extremos do diâmetro (pontos 1 e 2): 31 - 13 = 18 e 31 + 13 = 44
Construindo o gráfico:
 Fonte: Autor
A partir do exemplo, é possível chegar a conclusões importantes:
( ,  0)=( ,  0)=(31,  0)σx+σy
2
36+26
2
R =   √( )
2
+ (12)
2
= √(5)2 + (12)2  = 1336−26
2
Os extremos dos diâmetros representam as tensões principais e são determinadas somando-se /subtraindo-se o valor do raio
à abscissa do centro.
A tensão de cisalhamento máxima equivale ao valor do raio.
Após a fase de construção do Círculo de Mohr, algumas informações podem ser extraídas a partir da simples observação do
desenho (tensões principais e tensão de cisalhamento máxima). Porém, existem outras situações. Suponha que um ponto esteja
sob determinado estado plano de tensão (σx, σy e τxy) e deseja-se, utilizando o Círculo de Mohr, descobrir qual a orientação, por
exemplo, do estado plano de tensões principais. 
Aproveitando o exemplo anterior, será trabalhado a rotação do elemento infinitesimal de estudo para se determinar as tensões
principais. Será utilizada a face superior para determinar as tensões como coordenadas (ponto A na figura anterior).
Na figura anterior, o triângulo retângulo tem um ângulo agudo feito com a base, cuja tangente pode ser determinada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Perceba que para chegar ao extremo esquerdo do diâmetro (tensão principal), a rotação foi anti-horária. No círculo, um valor igual
a e, no elemento infinitesimal, um valor , no mesmo sentido.
MÃO NA MASSA
1. (IF-MT - 2014 - IF-MT - PROFESSOR - ENGENHARIA MECÂNICA – ADAPTADA) OBSERVE O
CÍRCULO DE MOHR ABAIXO. 
 
 
 
CONSIDERANDO O ESTADO PLANO DE TENSÕES, ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA AS
TENSÕES PRINCIPAIS, ΣMÁX E ΣMÍN, RESPECTIVAMENTE.
A) 50 MPa e - 20 MPa
B) 40 MPa e - 50 MPa
C) 70 MPa e - 30 MPa
D) 10 MPa e - 40 MPa
tg(2θP )= → tg(2θP )= →  θP =  33, 7
0cateto oposto
cateto   adjacente
12
5
2θP θP
E) 30 MPa e – 10 MPa
2. CONSIDERE O ESTADO PLANO DE TENSÕES EM QUE AS TENSÕES NORMAIS SÃO IGUAIS A 30
MPA E 50 MPA. CONSTRUINDO O CÍRCULO DE MOHR EM QUE OS EIXOS SÃO A TENSÃO NORMAL
(EIXO HORIZONTAL) E TENSÃO CISALHANTE (EIXO VERTICAL), QUAIS AS COORDENADAS DO
CENTRO DESSE CÍRCULO.
A) (0, 80)
B) (80,0)
C) (0, 40)
D) (40, 0)
E) (20, 0)
3. (FGV - 2016 - CODEBA - ANALISTA PORTUÁRIO - ENGENHEIRO MECÂNICO) A FIGURA, A SEGUIR,
APRESENTA O ESTADO DE TENSÕES EM UMA PORÇÃO INFINITESIMAL DE UMA PEÇA MECÂNICA.
 
 
SABENDO QUE ΣΘ = 100MPA, Σ'Θ = 100MPA E = 40MPA, A MÁXIMA TENSÃO CISALHANTE NESSE
ELEMENTO VALE:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
4. (CESGRANRIO - 2018 - PETROBRAS - ENGENHEIRO NAVAL JÚNIOR) A FIGURA ABAIXO
REPRESENTA O ESTADO PLANO DE TENSÕES DE UM ELEMENTO QUADRADO E O SEU
RESPECTIVO CÍRCULO DE MOHR. 
 
τθ
20 MPa
20√3 MPa
40 MPa
40√3 MPa 
60 MPa
SE O ELEMENTO FOR SUBMETIDO À CONDIÇÃO DE CARREGAMENTO AXIAL DE TRAÇÃO NA
DIREÇÃO DO EIXO X, A TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA SERÁ IGUAL A
A) τxy
B) σ
C) σy/2
D) τxy/2
E) σx /2
5. (CESGRANRIO - 2012 - PETROBRAS - ENGENHEIRO CIVIL JÚNIOR-2012) CONSIDERE O ESTADO
DE TENSÃO, REPRESENTADO NO ELEMENTO, ASSIM COMO OS EIXOS E OS DADOS PARA
RESPONDER À QUESTÃO QUE SE REFERE AO ESTUDO DO PLANO DE TENSÕES E À
CONSTRUÇÃO DO CÍRCULO DE MOHR. 
 
� ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
O VALOR DO RAIO DO CÍRCULO DE MOHR, EM KGF/MM², É DE
A) 1,41
B) 1,73
C) 2,82
D) 3,46
Dados :  √2  =  1, 41, √3  =  1, 73 e √5  =  2, 24
E) 4,48
6. (IBFC - 2017 - POLÍCIA CIENTÍFICA-PR - PERITO CRIMINAL - ÁREA 5) EM RELAÇÃO À
DEFORMAÇÃO DE TENSÃO NO PLANO, ANALISE AS AFIRMATIVAS. 
 
I. QUANDO O ESTADO DE TENSÃO É REPRESENTADO PELAS TENSÕES PRINCIPAIS, NENHUMA
TENSÃO DE CISALHAMENTO AGE SOBRE O ELEMENTO. 
 
II. O ESTADO DE TENSÃO NO PONTO TAMBÉM PODE SER REPRESENTADO COMO TENSÃO DE
CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO. NESSE CASO, UMA TENSÃO NORMAL MÉDIA TAMBÉM AGE
NO ELEMENTO. 
 
III. O ELEMENTO QUE REPRESENTA A TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO COM AS
TENSÕES NORMAIS MÉDIAS ASSOCIADAS ESTÁ ORIENTADO A 45º EM RELAÇÃO AO ELEMENTO
QUE REPRESENTA AS TENSÕES PRINCIPAIS. 
 
ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA.
A) Nenhuma das afirmativas está correta
B) Estão corretas apenas as afirmativas I e II
C) Estão corretas apenas as afirmativas II e III
D) Estão corretas apenas as afirmativas I e III
E) Estão corretas todas as afirmativas
GABARITO
1. (IF-MT - 2014 - IF-MT - Professor - Engenharia Mecânica – adaptada) Observe o Círculo de Mohr abaixo. 
 
 
 
Considerando o estado plano de tensões, assinale a alternativa que apresenta as tensões principais, σmáx e σmín,
respectivamente.
A alternativa "C " está correta.
Considere o invariante
.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
σx + σy = σx' + σy'
Perceba que as tensões normais nos pontos X e Y são 50 MPa e – 10 MPa, logo, a soma vale 40 MPa. A única opção com soma
40 MPa é a letra C.
2. Considere o estado plano de tensões em que as tensões normais são iguais a 30 MPa e 50 MPa. Construindo o Círculo
de Mohr em que os eixos são a tensão normal (eixo horizontal) e tensão cisalhante (eixo vertical), quais as coordenadas
do centro desse círculo.
A alternativa "D " está correta.
Determinação do centro:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. (FGV - 2016 - CODEBA - Analista Portuário - Engenheiro Mecânico) A figura, a seguir, apresenta o estado de tensões em
uma porção infinitesimal de uma peça mecânica.
 
 
Sabendo que σθ = 100MPa, σ'θ = 100MPa e = 40MPa, a máxima tensão cisalhante nesse elemento vale:
A alternativa "C " está correta.
ESTADO PLANO DE TENSÕES – DETERMINAÇÃO DA
TENSÃO CISALHANTE MÁXIMA GRAFICAMENTE (CÍRCULO
DE MOHR)
( ,  0)=( ,  0)= (40,  0)σx+σy
2
30+50
2
τθ
4. (CESGRANRIO - 2018 - Petrobras - Engenheiro Naval Júnior) A figura abaixo representa o estado plano de tensões de
um elemento quadrado e o seu respectivo Círculo de Mohr. 
 
Se o elemento for submetido à condição de carregamento axial de tração na direção do eixo x, a tensão de cisalhamento
máxima será igual a
A alternativa "E " está correta.
Carregamento uniaxial na direção x, e . Utilizando-se a fórmula para a tensão cisalhante máxima, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. (CESGRANRIO - 2012 - Petrobras - Engenheiro Civil Júnior-2012) Considere o estado de tensão, representado no
elemento, assim como os eixos e os dados para responder à questão que se refere ao estudo do plano de tensões e à
construção do Círculo de Mohr. 
 
σy = 0 τxy = 0
τmáxima =  √( )
2
+ (τxy)
2σx−σy
2
τmáxima =  √( )
2
+ (0)
2
σx−0
2
τmáxima =  √( )
2
→ τmáxima =  
σx
2
σx
2
� Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O valor do raio do Círculo de Mohr, em kgf/mm², é de
A alternativa "E " está correta.
ESTADO PLANO DE TENSÕES – DETERMINAÇÃO DO RAIO
DO CÍRCULO DE MOHR
6. (IBFC - 2017 - POLÍCIA CIENTÍFICA-PR - Perito Criminal - Área 5) Em relação à deformação de tensão no plano, analise
as afirmativas. 
 
I. Quando o estado de tensão é representado pelas tensões principais, nenhuma tensão de cisalhamento age sobre o
elemento. 
 
II. O estado de tensão no ponto também pode ser representado como tensão de cisalhamento máxima no plano. Nesse
caso, uma tensão normal média também age no elemento. 
 
III. O elemento que representa a tensão de cisalhamento máxima no planocom as tensões normais médias associadas
está orientado a 45º em relação ao elemento que representa as tensões principais. 
 
Assinale a alternativa correta.
A alternativa "E " está correta.
Dados :  √2  =  1, 41, √3  =  1, 73 e √5  =  2, 24
No estado plano de tensões principais, a tensão de cisalhamento é nula. Já no estado plano de tensões em que a tensão de
cisalhamento é máxima, as tensões normais têm valor igual à média aritmética das tensões normais em x e y (invariante). Para as
condições de tensões principais e tensão cisalhante máxima, as orientações são dadas por e 
. Da Matemática, as tangentes representam o coeficiente angular. Multiplicando as tangentes, temos:
, ou seja, os ângulos estão defasados de 90º, ou ainda, e estão defasados de 45º.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Um Engenheiro está supervisionando um projeto de uma estrutura metálica, e em certo ponto superficial de uma coluna, um ponto
apresenta o estado plano de tensões apresentado na figura a seguir.
 Fonte: Autor
Seu objetivo era estudar o estado plano de tensões para diversas orientações e determinar as tensões principais e a tensão de
cisalhamento máxima.
RESOLUÇÃO
Aplicação da construção do Círculo de Mohr.
tg(2θP)=
2.τxy
(σx−σy )
tg(2θs) =
(σy−σx)
2.τxy
  .   = −1
2.τxy
(σx−σy)
(σy−σx)
2.τxy
2θPe2θs θP θs
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (CESPE - 2016 - POLÍCIA CIENTÍFICA - PE - PERITO CRIMINAL - ENGENHARIA MECÂNICA) 
 
A FIGURA ILUSTRA O CÍRCULO DE TENSÕES DE MOHR, EM QUE A ORDENADA DE UM PONTO
SOBRE O CÍRCULO REPRESENTA A TENSÃO DE CISALHAMENTO (Τ) E A ABCISSA REPRESENTA A
TENSÃO NORMAL (Σ). CONSIDERANDO A IMAGEM, ASSINALE A OPÇÃO CORRETA:
A) A maior tensão normal é igual ao raio do círculo.
B) Uma tensão normal igual a σm atua em cada um dos planos de tensões de cisalhamento máxima e mínima.
C) Se σX + σY = 0, então o centro do Círculo de Mohr coincide com a origem do plano σ × τ e não se desenvolvem tensões de
cisalhamento nesse plano.
D) Se σ1 = σ2, então o centro do Círculo de Mohr coincide com a origem do plano σ × τ e verifica-se o estado de cisalhamento
puro.
E) Nos planos σ1 (maior tensão normal possível) e σ2 (menor tensão normal possível), o valor das tensões de cisalhamento é, em
módulo, igual ao raio do círculo.
2. CONSIDERE QUE AS TENSÕES PRINCIPAIS DE UM ESTADO PLANO DE TENSÕES VALHAM 20
MPA E 100 MPA. A PARTIR DESSAS INFORMAÇÕES, É DESENHADO O CÍRCULO DE MOHR. O VALOR
DO RAIO E SUAS COORDENADAS SÃO, RESPECTIVAMENTE IGUAIS A:
A) 60 e (60,0)
B) 40 e (60, 0)
C) 60 e (0,60)
D) 40 e (0, 60)
E) 60 e (60, 40)
GABARITO
1. (CESPE - 2016 - POLÍCIA CIENTÍFICA - PE - Perito Criminal - Engenharia Mecânica) 
 
A figura ilustra o Círculo de tensões de Mohr, em que a ordenada de um ponto sobre o círculo representa a tensão de
cisalhamento (τ) e a abcissa representa a tensão normal (σ). Considerando a imagem, assinale a opção correta:
A alternativa "B " está correta.
 
Quando o estado de tensão plana é tal que a tensão de cisalhamento é máxima, as tensões normais equivalem à média aritmética
entre as tensões normais. No Círculo de Mohr, é possível visualizar essa situação, que para a tensão de cisalhamento máxima, a
abscissa equivale a .
2. Considere que as tensões principais de um estado plano de tensões valham 20 MPa e 100 MPa. A partir dessas
informações, é desenhado o Círculo de Mohr. O valor do raio e suas coordenadas são, respectivamente iguais a:
A alternativa "B " está correta.
 
Na situação de tensões principais, a tensão de cisalhamento é nula. O centro do Círculo de Mohr é dado pela seguinte relação
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O centro é dado por
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
σx+σy
2
R =  √( )
2
+ (τxy)
2
→ √( )
2
+ (0)
2
→ R = 40.
σx−σy
2
100−20
2
C =( , 0)=( , 0)=(60, 0).σx+σy
2
100+20
2
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Tendo como base a Lei de Hooke (σ = E.ε), apresentamos a variação longitudinal elástica de um corpo sob carregamento axial.
Nesse primeiro momento, o problema era estaticamente determinado e o carregamento axial não precisava ser único. 
No segundo módulo, identificamos as estruturas hiperestáticas, em contraste às isostáticas. Nas estruturas hiperestáticas, não é
possível resolvê-las apenas com as três equações do equilíbrio. Por isso, uma ou mais equações foram adicionadas para auxiliar a
solução (as equações de compatibilidade geométrica). 
Em seguida, analisamos as tensões em um ponto infinitesimal do corpo, em particular o estado plano de tensões. Vimos as
equações para determinação das tensões principais, tensão cisalhante máxima e tensões para dada rotação do elemento de
estudo. Por fim, conhecemos o método gráfico denominado Círculo de Mohr.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
BEER, F.P., JOHNSTON, E.R.J., Resistência dos Materiais. 3 ed. São Paulo, SP: Pearson, 1995. 
HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 7 ed. São Paulo, SP: Pearson, 2010.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, leia: 
Sobre deformações elásticas em corpos estaticamente determinados e indeterminados. HIBBELER, R.C. Resistência dos
Materiais. 7 ed. São Paulo, SP: Pearson, 2010. (capítulo 4: pág 85-106). 
Sobre estado plano de tensões. HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 7 ed. São Paulo, SP: Pearson, 2010. (capítulo
9: pág 321-345).
CONTEUDISTA
Julio Cesar José Rodrigues Junior
 CURRÍCULO LATTES
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