resistência 1 rdm

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Resistência dos Materiais I 
Objetivo: Estudar o comportamento das estruturas (tensões internas e deformações), quando 
solicitadas por carregamentos externos. 
Solicitações Simples 
1. Tração 
 
 
2. Compressão 
 
3. Corte ou cisalhamento 
 
 
 
4. Torção 
 
 
5. Flexão 
 
 
Tópico 1 – Tração e Compressão 
1) Forças axiais: são aquelas cuja direção é a do eixo longitudinal da barra. São chamadas 
também de “forças normais”, ou seja, têm a direção perpendicular à seção transversal 
da barra. 
As forças axiais podem ser: 
- Centradas  atuam sobre o centro de gravidade (CG) da seção; 
- Excêntricas  atuam num ponto qualquer da seção transversal, não coincidente com 
o CG. 
 
2) Tração e Compressão 
2.1) Tração 
Tração é a solicitação simples produzida pela ação de forças axiais divergentes. 
Na tração, duas seções transversais adjacentes se afastam uma da outra, 
produzindo alongamento. A força de tração é convencionada positiva (+). 
 
2.2) Compressão 
Compressão é a solicitação simples produzida pela ação de forças axiais 
convergentes. 
Na compressão, duas seções transversais adjacentes se aproximam uma da 
outra, produzindo encurtamento. A força de compressão é convencionada negativa (-). 
 
3) Tensão normal ( ) 
Chamamos de tensão normal à relação entre a força normal interna resistente 
à ação de um agente externo e a área da seção transversal as barra, ou seja, 
 
 
 
 ⟦
 
 
⟧ ⟦ ⟧ 
Onde: 
 
 [ ] 
 [ ] 
 
Unidades e conversões: 
1 N/m2 = 1 Pa 
1 kPa = 103 Pa 
1 kN = 103 N 
1 MPa = 106 Pa 
1 GPa = 109 Pa 
1 mm = 10-3 m 
1 N/m2 = 1 Pa 
1 N/m2 = 1 Pa 
1 N/m2 = 1 Pa 
1 N/m2 = 1 Pa 
1 N/m2 = 1 Pa 
 
 
4) Procedimentos de análise – Diagrama do Corpo Livre (DCL) 
Sabemos que as reações internas às ações de agentes externos são causadoras 
das tensões que podem levar um corpo à ruptura. Com o objetivo de investigar estes 
esforços internos usamos uma técnica de análise chamada “Diagrama do Corpo Livre”. 
Essa Técnica baseia-se no seguinte principio se o “todo” está em equilíbrio 
estático, as partes também estão. Lembramos que as condições para que haja 
equilíbrio estático são: 
 
∑F=0 (∑Fv=0 ; ∑FH=0) 
∑M=0 
 
A técnica consiste, portanto, em aplicar as condições acima ao todo e à parte 
que se pretende investigar. 
Escolhemos uma seção interna para investigação dos esforços, separamos a 
parte escolhida do todo, e introduzimos na seção os esforços necessários para 
equilibrar a parte selecionada. 
 
 
 
 
 
Ex: 
 
5) Deformação na tração e na compressão 
5.1) Deformação absoluta (ΔL) 
 Todo corpo solicitado externamente, deforma. A deformação decorrente da 
ação de esforços (que chamamos de deformações estruturais), tem sua natureza 
associado à natureza do esforço que produz. Via de regra, os valores absolutos destas 
deformações são bem pequenos, imperceptíveis a olho nu. 
 Quando a deformação não é mantida sob controle, pode resultar em ruptura 
do corpo. Na tração e na compressão a deformação é linear (ΔL). 
 
 
 
 
5.2) Deformação específica (ε) 
Esta deformação também é chamada de unitária ou linear expressa a relação 
entre a deformação absoluta e o comprimento inicial, ou seja: 
 
 
 
 ⟦
 
 
⟧ ⟦ ⟧ 
 
6) Ensaio de tração 
Para observarmos os comportamentos dos materiais, quando submetidos à 
carregamentos externos, realizamos ensaios em laboratório. 
Interessa-nos observar o material desde o início do carregamento até a 
ruptura (ensaio destrutivo). Conforme o comportamento demonstrado no ensaio de 
tração, podemos classificar os materiais em dois grandes grupos. 
 
6.1) Materiais dúcteis 
O material dúctil caracteriza-se por possuir uma fase elástica bem definida, na 
qual conserva suas propriedades elásticas originais. Nesta fase, removido o 
carregamento a deformação retrocede e o material volta ao comprimento original. 
Durante o comportamento elástico, deformação varia linearmente com a 
tensão aplicada, até que o material “escoa”. O escoamento é um evento a partir do 
qual o material adquire deformação permanente. Ele não retorna mais ao 
comprimento original, mesmo quando a carga é retirada. O escoamento coincide com 
o inicio da fase plástica, que termina com a ruptura. 
Exemplos: aço, ligas de alumínio, plásticos, borrachas. 
 
6.2) Materiais frágeis 
Um material frágil não apresenta escoamento no ensaio de tração. A passagem 
da fase elástica para a fase plástica é gradual, sem limite definido. Este material é 
quebradiço. 
Exemplos: concreto, cerâmica, gesso, vidro, etc. 
 
6.3) Diagrama Tensão X Deformação 
 
 
7) Módulo de Elasticidade Longitudinal (E) 
Todo material possui propriedades elásticas que o possibilitam deformar sob 
ação de um esforço. O grau de elasticidade das fibras varia de acordo com a 
constituição molecular de cada material. O parâmetro relacionado com a capacidade 
maior ou menor de deformar é chamado de “módulo de elasticidade” (E). 
Ele pode ser obtido da inclinação da reta que corresponde à fase elástica, no 
diagrama tensão x deformação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Coeficiente de segurança (K) – Tensão admissível ( adm) 
Embora os resultados de ensaio de tração nos revelem os limites dos materiais, 
os valores encontrados não serão usados diretamente nos cálculos estruturais. As 
normas técnicas exigem aplicação de coeficiente de segurança (K) sobre as tensões 
limite obtidas, de forma que os valores máximos admitidos sejam menores do que os 
reais. O objetivo disto é garantir a integridade da estrutura, mesmo que ocorram 
pequenos desvios qualitativos dos materiais, pequenas variações nas sobrecargas 
adotadas nos cálculos, vícios de construção, desgastes, ou, enfim, qualquer pequenos 
imprevisto nas execução ou no uso da estrutura. 
A tensão corrigida, considerada como limite máximo de cálculo, é chamada de 
“tensão admissível” ( adm). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⟦ ⟧ 
 
9) Lei de Hooke para a tração e compressão 
Sabemos que: 
 
1  
 
 
 
 
2  
 
 
 
 
3  
 
Levando 1 e 2 em 3  
 
 
 
 
 
 
 
Temos: 
 
 
 
 
ΔL: deformação absoluta do trecho [m] 
F: força interna resistente na seção [N] 
L: comprimento do trecho [m] 
E: módulo de elasticidade longitudinal [Pa] 
 A: área da seção transversal [m2] 
 
 
Tópico 2 – Sistemas Estaticamente Indeterminados e Influencia da Temperatura 
1) Sistemas Estaticamente Indeterminados 
Um sistema é dito “estaticamente indeterminado” quando esforços internos 
resistentes não podem ser encontrados com o uso exclusivo das equações (∑Fv=0; 
∑FH=0; ∑M=0). 
 Neste caso será necessário escrever equações adicionais, normalmente 
relacionadas com condições de deformação conhecidas para formar um sistema de 
“n” equações com “n” incógnitas. 
 
2) Influencia da Temperatura 
A variação de temperatura ambiente produz deformação espontânea dos 
materiais. 
É sabido da física, que estas deformações dependem basicamente de três 
fatores: tipo de material, geometria do corpo e valor/sinal da variação de temperatura. 
Se a temperatura aumenta (ΔT>0), o corpo dilata; e se diminui (ΔT<0), o corpo contrai. 
 
 
Sabemos que: 
 Onde: 
 ΔLT: variação do comprimento devido à variação de temperatura [m] 
 Li: comprimento inicial [m] 
 α: coeficientede dilatação linear [°C-1] 
 ΔT: variação da temperatura 
A variação de temperatura só constitui um problema estrutural quando o 
corpo é impedido de deformar linearmente. 
 
 
 
 
3) Juntas de dilatação 
As juntas de dilatação são “espaços vazios” previstos entre dois elementos 
com o objetivo de permitir alguma deformação livre quando a temperatura varia. 
Serve para aliviar as tensões internas e evitar rupturas. 
 
 
 
Tópico 3 – Estado Triplo de Solicitações – Lei Geral de Hooke 
1) Deformações transversais 
 
 
 
Como vimos no Tópico 1, uma forca que atua numa dada direção, produz 
deformação na direção dela própria dada pela seguinte equação: 
 
 
 
 
A deformação específica na direção do esforço é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Chamamos a direção da força aplicada de direção longitudinal. As outras 
direções serão denominadas transversais. 
Na figura acima, a direção do eixo “x” (que contém a força “Px”), é 
longitudinal. As direções “y” e “z” são transversais. 
Além de produzir deformação linear na direção dela própria, uma força axial 
também gera deformações nas direções transversais. 
Assim temos: 
 
 
 
 
 
 
 
ΔLx, ΔLy e ΔLz são as deformações verificadas nas direções x, y e z, 
respectivamente, devidos à ação da força “Px”. 
 
2) Coeficiente de Poisson 
No ensaio de tração, as deformações longitudinais e transversais podem ser 
medidas. A relação entre a deformação especifica transversal e longitudinal é chamada 
“coeficiente de Poisson” (ѵ). Empiricamente demonstrou-se que o máximo valor 
possível para “ѵ” é 0,5. 
Portanto: 
 
 
 
 
 O valor negativo na equação indica que a natureza da deformação transversal 
é inversa àquela que acontece na direção longitudinal, ou seja, se uma força provoca 
alongamento na direção dela própria, produzirá encurtamento nas direções transversais. 
3) Estado triplo de solicitações 
 
Na barra acima todas as tensões produzem deformações em todas as direções. 
A deformação total em uma direção pode ser obtida pela superposição de efeitos de 
cada tensão naquela direção. 
Equações gerais da Lei de Hooke: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os sinais dos termos das equações acima são validos para o caso em que todas 
as tensões sejam de tração. Se uma ou mais tensões forem de compressão os sinais 
dos termos correspondentes a estas tensões deverão ser invertidos em todas as 
equações acima. 
 
 
 
Tópico 4 – Tubos e Reservatórios de Paredes Finas 
São consideradas de “paredes finas” os tubos ou reservatórios (cilíndricos ou 
circulares) cuja espessura de parede (e) seja menor ou igual a 10% do raio (r), ou seja: 
 
 
 
 
 Consideremos um reservatório cilíndrico submetido à pressão interna “p” de 
um líquido ou gás. Nesta circunstância, podemos constatar a existência de dois tipos de 
tensões: tensão tangencial ou circunferencial (σc) e tensão longitudinal (σl). 
 
 
1) Tubos cilíndricos de paredes finas (σl=0) 
Das condições de equilíbrio estático, temos: 
∑FH=0 e ∑FV=0 
 ( ) ∫ 
 
 
 ( ) 
 ∫ 
 
 
 
 [ ] 
 
 [ ( )] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A deformação radial ou circunferencial será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mas para uma única tensão aplicada, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
2) Reservatório Cilíndrico 
∑F=0 
 ( ) 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
3) Reservatório Esférico 
Num reservatório esférico, devido à simetria na geometria podemos escrever: 
 
 
Das condições de equilíbrio estático, temos: 
∑F=0 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
A deformação específica em qualquer direção será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 ( ) 
 
A deformação específica em qualquer direção será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
Tópico 5 – Corte ou Cisalhamento 
1) Força Cortante 
É a força que atua paralelamente à área resistente. 
 
P: carregamento externo 
 F: força cortante na seção “mn” 
 
2) Tensão de corte ou de cisalhamento (τ) 
A tensão de cisalhamento é resultado da reação interna à uma força cortante. 
É dada pela relação entre a força cortante interna e a área resistente, ou seja: 
 
 
 
 ⟦
 
 
⟧ ⟦ ⟧ 
 
3) Deformação no corte 
A natureza da deformação no corte é regular. O ângulo formado entre a 
posição original de uma seção arbitrária e a posição da seção na barra deformada, é 
denominada “distorção” (γ) 
 
γ: distorção [rad] 
 F: força cortante interna resistente [N] 
 
 
4) Módulo de Elasticidade Transversal (G) 
É um parâmetro relacionado com o grau de elasticidade das fibras de um 
material, quando está submetido a esforços tangenciais. 
Indica a maior ou menor tendência à deformação de um corpo solicitado por 
tensão cortante. Num ensaio de cisalhamento, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Juntas parafusadas, rebitadas e soldadas 
5.1) Juntas parafusadas e rebitadas 
 
- Corte simples 
 
 
- Corte simples 
 
 
 
 
 
 
5.1) Juntas soldadas 
 
 
 
 
 
Tópico 6 – Torção 
1) Definição 
Torção é a solicitação simples provocada pela ação de um momento torsor, ou 
seja, aquele cuja direção vetorial é paralela ao eixo longitudinal da barra. 
O momento torsor é o resultado do produto vetorial da força (F) pela distância 
ao eixo central (r). A direção e o sentido do vetor resultante são dados pela “regra da 
mão direita”. 
 
2) Tensão de cisalhamento na torção 
 
 
 
A tensão interna produzida pela ação de um momento torsor é de natureza 
cortante e varia ao longo da seção transversal, crescendo linearmente do centro para 
fora. É dada pela seguinte equação: 
 
 
 
 ⟦
 
 
⟧ ⟦ ⟧ 
τ: tensão de cisalhamento [Pa] 
 Mt: momento de torção [N.m] 
r: distância do ponto considerado ao centro de eixo [m] 
 It: momento polar de inércia [m
4] 
 
3) Diagrama de tensões 
 
 
 
 
 
4) Momento polar de inércia 
O momento polar de inércia é um parâmetro geométrico para eixos de seção 
circular, dado genericamente pela equação: 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
- Para seção circular maciça, temos: 
 
 
 
 
 
- Para seção circular vazada, temos: 
 
 
 
 ( 
 
 ) 
 
5) Deformação na torção 
A deformação nas fibras externas (γ) é o que caracteriza a deformação angular 
na torção. A ela, corresponde um ângulo de rotação na seção transversal, dado pela 
seguinte equação: 
 
 
 
 
 
θ: ângulo de rotação da seção transversal [rad] 
l: comprimento do trecho [m] 
G: módulo de elasticidade transversal [Pa] 
Mt: momento de torção [N.m] 
It: momento polar de inércia [m
4]