Aula - Cisalhamento em Vigas

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Estruturas de concreto Armado
Lajes e Vigas
CISALHAMENTO EM VIGAS
Prof. Ramon Costa Nascimento
Cisalhamento em Vigas
Nas vigas, em geral, as solicitações predominantes são o 
momento fletor e a força cortante.
 Em etapa anterior, o efeito do momento fletor foi analisado 
separadamente.
Vamos agora considerar o efeito conjunto dessas duas 
solicitações, com destaque para o cisalhamento.
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Comportamento Resistente
 Considere-se a viga biapoiada da figura abaixo, submetida a
duas forças F iguais e equidistantes dos apoios, armada com
barras longitudinais tracionadas e com estribos, para resistir
os esforços de flexão e de cisalhamento, respectivamente.
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Comportamento Resistente
 Para pequenos valores da força F, enquanto a tensão de tração
for inferior à resistência do concreto à tração na flexão, a viga
não apresenta fissuras, ou seja, as suas seções permanecem no
Estádio I.
 Com o aumento do carregamento, no trecho de momento
máximo (entre as forças), a resistência do concreto à tração é
ultrapassada e surgem as primeiras fissuras de flexão
(verticais).
 Continuando o aumento do carregamento, surgem fissuras nos
trechos entre as forças e os apoios, as quais são inclinadas, por
causa da inclinação das tensões principais de tração.
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Comportamento Resistente
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Modelo de Treliça
 O modelo clássico de treliça foi idealizado por Ritter e
Mörsch, no início do século XX, e se baseia na analogia entre
uma viga fissurada e uma treliça.
 Considerando uma viga biapoiada de seção retangular, Mörsch
admitiu que, após a fissuração, seu comportamento é similar
ao de uma treliça, formada pelos elementos:
 banzo superior → cordão de concreto comprimido;
 banzo inferior → armadura longitudinal de tração;
 diagonais comprimidas → bielas de concreto entre as 
fissuras;
 diagonais tracionadas → armadura transversal (de 
cisalhamento).
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Modelo de Treliça
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Modelo de Treliça
clássica considera as seguintes
as bielas de compressão, com
 Essa analogia de treliça 
hipóteses básicas:
 fissuras, e portanto 
inclinação de 45°;
 banzos paralelos;
 treliça isostática; portanto, não há engastamento nos nós, 
ou seja, nas ligações entre os banzos e as diagonais;
 armadura de cisalhamento com inclinação entre 45° e 90º.
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Modelo de Treliça
 Porém, resultados de ensaios comprovam que há imperfeições
na analogia de treliça clássica. Isso se deve principalmente a
três fatores:
 a inclinação das fissuras é menor que 45º;
 os banzos não são paralelos; há o arqueamento do banzo
comprimido, principalmente nas regiões dos apoios;
 a treliça é altamente hiperestática; ocorre engastamento das
bielas no banzo comprimido, e esses elementos
comprimidos possuem rigidez muito maior que a das
barras tracionadas.
 Por esta razão, como modelo teórico padrão, adota-se a
analogia de treliça, mas a este modelo são introduzidas
correções, para levar em conta as imprecisões verificadas.
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Modos de Ruína
 Numa viga de concreto armado submetida a flexão simples, 
vários tipos de ruína são possíveis, entre as quais:
 ruínas por flexão;
 ruptura por falha de ancoragem no apoio;
 ruptura por esmagamento da biela;
 ruptura da armadura transversal;
 ruptura do banzo comprimido devida ao cisalhamento;
 ruína por flexão localizada da armadura longitudinal.
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Modos de Ruína: Ruína por Flexão
 Nas vigas dimensionadas nos domínios 2 ou 3:
 a ruína ocorre após o escoamento da armadura, ocorrendo
abertura de fissuras e deslocamentos excessivos (flechas),
que servem como “aviso” da ruína.
 Nas vigas dimensionadas no Domínio 4:
 a ruína se dá pelo esmagamento do concreto comprimido,
não ocorrendo escoamento da armadura nem grandes
deslocamentos, o que caracteriza uma “ruína sem aviso”.
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Modos de Ruína:
Ruptura por Falha de Ancoragem noApoio
 A armadura longitudinal é altamente solicitada no apoio, em
decorrência do efeito de arco.
 No caso de ancoragem insuficiente, pode ocorrer o colapso na
junção da diagonal comprimida com o banzo tracionado, junto
ao apoio.
 A ruptura por falha de ancoragem ocorre bruscamente,
usualmente se propagando e provocando também uma ruptura
ao longo da altura útil da viga.
 O deslizamento da armadura longitudinal, na região de
ancoragem, pode causar ruptura por cisalhamento da alma.
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Modos de Ruína:
Ruptura por Esmagamento da Biela
 No caso de seções muito pequenas para as solicitações
atuantes, as tensões principais de compressão podem atingir
valores elevados, incompatíveis com a resistência do concreto
à compressão com tração perpendicular (estado duplo). Tem-
se, então, uma ruptura por esmagamento do concreto.
 A ruptura da diagonal comprimida determina o limite superior
da capacidade resistente da viga à força cortante, limite esse
que depende, portanto, da resistência do concreto à
compressão.
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Modos de Ruína:
Ruptura da Armadura Transversal
 Corresponde a uma ruína por cisalhamento, decorrente da
ruptura da armadura transversal.
 É o tipo mais comum de ruptura por cisalhamento, resultante
da deficiência da armadura transversal para resistir às tensões
de tração devidas à força cortante, o que faz com que a peça
tenha a tendência de se dividir em duas partes.
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Modos de Ruína:
Ruptura do Banzo Comprimido devido ao Cisalhamento
 No caso de armadura de cisalhamento insuficiente, essa
armadura pode entrar em escoamento, provocando intensa
fissuração (fissuras inclinadas), com as fissuras invadindo a
região comprimida pela flexão.
 Isto diminui a altura dessa região comprimida e sobrecarrega o
concreto, que pode sofrer esmagamento, mesmo com
momento fletor inferior àquele que provocaria a ruptura do
concreto por flexão
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Modos de Ruína:
Ruína por Flexão Localizada da Armadura Longitudinal
 A deformação exagerada da armadura transversal pode
provocar grandes aberturas das fissuras de cisalhamento.
 O deslocamento relativo das seções adjacentes pode acarretar
na flexão localizada da armadura longitudinal, levando a viga
a um tipo de ruína que também decorre do cisalhamento.
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Modelos de Cálculo
 A ABNT NBR 6118:2007 admite dois modelos de cálculo:
 Modelo I
 Bielas com inclinação θ = 45°;
 Vc constante, independentemente de Vsd;
 Modelo II
 Bielas com inclinação θ entre 30° e 45°;
 Vc diminui com o aumento de Vsd;
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Modelos de Cálculo
 Nos dois modelos, devem ser consideradas as etapas de 
cálculo:
 Verificação da compressão da biela;
de força no banzo
 Cálculo da armadura transversal;
 Deslocamento al do diagrama 
tracionado;
 Aqui vamos trabalhar apenas com o modelo I.
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Verificação da Compressão na Biela
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VSd VRd 2
VSd VRd 2  0,27v2  fcd bw d
d  alturaútil;
bw  é a largura mínima da seção ao longo da altura útil(d).
fcd  fck / c (resistência de cálculo do concreto);
v 2  (1 fck /250)
VRd 2  (Força cortante resistentede cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto)
Cálculo da Armadura Transversal
 VRd3 é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína
por tração diagonal;
 Vc é parcela de força cortante absorvida por mecanismos
complementares ao de treliça (resistência ao cisalhamento da
seção sem armadura transversal);
 Vsw é a parcela de força absorvida pela armadura transversal.
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VSd VRd 3  VcVsw
Vsw  VSdVc
Cálculo de Vc
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Vc  0,6 fctd bw  d
2/3
ck
ck
1,4
cc
0,7fct ,m
fctd
0,70,3 f 2/3
 0,15 f

fctk ,inf

V  0,60,15 f 2/ 3 b d
c ck w
V  0,09f 2/ 3 b d
c ck w
Cálculo da Armadura Transversal
 Asw é a área de todos os ramos da armadura transversal;
 s é o espaçamento da armadura transversal;
fyw
d
é a tensão na armadura transversal passiva limitada ao
valor de fyd, no caso de estribos, não se tomando valores 
superiores a 435 MPa = 43,5 kN/cm²;
 α é o ângulo de inclinação da armadura transversal 
(45 ≤ α ≤ 90°).
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 
 (sen  cos )
s
 ywdV 
 Asw 0,9d  fsw
Cálculo da Armadura Transversal
 Em geral adotam-se estribos verticais (α = 90°) e determina-se 
a área desses estribos por unidade de comprimento, ao longo
do eixo da viga:
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 
 (sen  cos )
s
 ywdV 
 Asw 0,9d  fsw





s 
A
a  swsw
Vsw  asw 0,9d  f ywd
ywd
swa 
Vsw
0,9 d f
Armadura Transversal Mínima
 Para garantir ductilidade à ruína por cisalhamento, a armadura
transversal deve ser suficiente para suportar o esforço de
tração resistido pelo concreto na alma, antes da formação de
fissuras de cisalhamento.
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ywkw
f
 0,2
fctm
sw ,minsw,

Asw 
b  s sen

Asw área da seção transversal dos estribos;
s – espaçamento entre os estribos, medido segundo o eixo 
longitudinal da peça;
 – inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal 
da peça;
bw – largura média da alma;
fywk valor característico da resistência ao escoamento do 
aço da armadura transversal;
ckfctm  0,3 
3 f 2
Armadura Transversal Mínima
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Detalhamento dos Estribos
Os estribos para a força cortante podem ser fechados ou abertos.
O diâmetro da barra que constitui o estribo deverá atender aos
seguintes limites: 5mm ≤  ≤ bw/10
Quando a barra for lisa, seu diâmetro não poderá ser superior a 12
mm.
No caso de estribos formados por telas soldadas, o diâmetro mínimo
pode ser reduzido para 4.2 mm, desde que sejam tomadas
precauções contra sua corrosão.
O angulo de inclinação  das armaduras transversais em relação ao
eixo do elemento estrutural deve estar compreendido entre 45° e
90°.
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Detalhamento dos Estribos
Espaçamento entre elementos da armadura transversal
O espaçamento mínimo entre estribos, medido segundo o eixo
longitudinal do elemento estrutural, deve ser suficiente para permitir
a passagem do vibrador, garantindo um bom adensamento.
O espaçamento máximo (smáx) deve atender as seguintes condições:
O espaçamento transversal (st,máx) entre ramos sucessivos de estribos 
não deverá exceder os seguintes valores:
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
 Sd Rd2
máx
0,3  d  200 mm se VSd  0,67 VRd2
0,6  d  300 mm se V  0,67 V
s 


Rd2Sd
t,máx
0,6  d  350 mm se V  0,20 V

d  800 mm se VSd  0,20 VRd2
s
CÁLCULO DA ARMADURA 
TRANSVERSAL DA VIGA- PROJETO
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Diagramas de Esforço Cortante
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Verificação do esmagamento da biela de
concreto
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VSd VRd 2
VSd VRd 2  0,27v2  fcd bw d
v2  (1 fck / 250)  (1 (20 / 250))  0,92
VRd 2  (Força cortante resistentede cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto)
fcd  fck / c  20.000/1,414.285,71kN/m²
V
wcd
m²
v2Rd 2  f b d  0,270,9214.286,71
kN
0,20m0,55m  390,37kN 0,27
VSd 1,4120,80kN 169,12kN  390,37kN  OK!!
Cálculo da armadura transversal
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VSd VRd 3  VcVsw
c ctd w
10

 
 
 0,70,3202 / 3 
 
V  0,6 f b  d  0,601,4 2055  72,94kN
Vsw VSd Vc 169,12 72,94  96,18kN
s 1,15
A
ywd
sw
sw
s  9,00cm  (5.0c / 9)
 
 
96,18 
 20,20 
0,9055
50
 (sen  cos )0,9d  f


s

 

V 
Determinação da Quantidade Mínima de 
Estribos
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 Taxa de armadura mínima
 Espaçamento máximo para a armadura mínima
 0,00088
0,3202/3
500
 0,20
sw90,min
sw90,min
f
 0,20 
fctm
ywk


w
Asw
sw90,min
20 s
s  22,72cm  s 22cm
0,00088 
20,20
b s

Verificação do espaçamento máximo
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VSd 1,4120,80kN 169,12kN
cd w
m²
v2Rd 2  f b d  0,270,9214.286,71
kN
0,20m0,55m  390,37kNV  0,27
 0,433
390,37kN
169,12kN
V
Rd 2
VSd
máx
0,3  d  200 mm se VSd  0,67 VRd2
0,6  d  300 mm se VSd  0,67 VRd2
s 
smáx  0,6 d  300mm se VSd  0,67 VRd 2
smáx  0,6  55  300 mm 
smáx  33cm  smáx  30cm
Detalhamento
39
Detalhamento
40