exercicioresolvido2tensodecisalhamentoetoro_20220517171112

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 1
Exercício Resolvido – Tensão de cisalhamento e torção
1) Dois eixos maciços e paralelos são ligados por engrenagens, como mostra a figura. Sabe-se que o material 
de cada eixo tem G= 85 GPa e a tensão de cisalhamento admissível de 65MPa.
Determinar:
(a) O maior valor do torque To que poderá ser aplicado à extremidade A do eixo;
(b) O ângulo de rotação da extremidade A do eixo AB, correspondente a To
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2
Exercício Resolvido – Tensão de cisalhamento e torção
Resolução exercício 1
Condições da estática. Chamando de F a força tangencial entre os dentes da engrenagem, temos:
Engrenagem B: 
Engrenagem C:
𝚺𝑀𝐵 = 0
To= 𝐹. 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝐵
𝑇𝑜 = 𝐹. 25 𝑚𝑚 𝐹. 25 𝑚𝑚 − 𝑇𝑜 = 0
𝚺𝑀𝐶 = 0 TCD= 𝐹. 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝐶
𝑇𝐶𝐷 = 𝐹. 60 𝑚𝑚 𝐹. 60 𝑚𝑚 − 𝑇𝐶𝐷 = 0
𝑇𝐶𝐷 =
𝑇𝑜
25
. 60 mm
𝐹 = 𝑇𝑜/25 𝑚𝑚
𝑇𝐶𝐷 = 2,4. 𝑇𝑜
Resolução exercício 1
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 3
Exercício Resolvido – Tensão de cisalhamento e torção
Condições da cinemática: 
Nota-se que o movimento no encontro das engrenagens é igual para as duas peças, então:
𝑟𝐵.𝛷𝐵 = 𝑟𝐶.𝛷𝐶 𝛷𝐵 =
𝑟𝐶
𝑟𝐵
. 𝛷𝐶 𝛷𝐵 =
60
25
. 𝛷𝐶 𝛷𝐵 = 2,4. 𝛷𝐶
(a) O maior valor do torque To que poderá ser aplicado à extremidade A do eixo;
Eixo AB. Temos TAB=To e c=0,010 m. Com a tensão admissível de 65 MPa, tem-se:
𝝉 =
𝑻𝒂𝒃
𝑱
. 𝒄 65𝑀𝑃𝑎 =
𝑇𝑜
𝜋
2
. 0,010𝑚 ^4
. 0,010𝑚 𝑻𝒐 = 𝟏𝟎𝟐 𝑵.𝒎
Eixo CD. Temos TCD= 2,4To. Sendo c=0,015 m e 𝝉adm=65 Mpa , tem-se: 
𝝉 =
𝑻𝒄𝒅
𝑱
. 𝒄 65𝑀𝑃𝑎 =
2,4𝑇𝑜
𝜋
2
. 0,015𝑚 ^4
. 0,015𝑚 𝑻𝒐 = 𝟏𝟒𝟒 𝑵.𝒎
Máximo momento torçor. Escolhemos o menor valor encontrado para To, eixo menor Ø To=102 N.m
Resolução exercício 1
rb:raio primitivo engr. B
𝛷b: ângulo de torção engr.B
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 4
Exercício Resolvido – Tensão de cisalhamento e torção
(b) Ângulo de rotação da extremidade A. Inicialmente calculamos o ângulo de torção de cada eixo.
Eixo AB. Para Tab=To=102 N.m, temos:
𝛷𝒂𝒃 =
𝑻𝒂𝒃. 𝑳
𝑮. 𝑱
𝛷𝒂𝒃 =
(𝟏𝟎𝟐𝑵.𝒎). (𝟎, 𝟕𝟓𝟎𝒎)
(𝟖𝟓 𝑮𝑷𝒂). π/𝟐 𝟎, 𝟎𝟏𝟎𝒎 ^𝟒
𝛷𝒂𝒃 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟕𝟑 𝒓𝒂𝒅
𝟏𝟖𝟎º = π 𝒓𝒂𝒅
𝛷𝒂𝒃 = 𝟑, 𝟑º
Eixo CD. Para Tcd=2,4To=2,4.102 N.m, temos:
𝛷𝒄𝒅 =
𝑻𝒄𝒅. 𝑳
𝑮. 𝑱
𝛷𝒄𝒅 =
𝟐, 𝟒(𝟏𝟎𝟐𝑵.𝒎). (𝟏, 𝟎𝒎)
(𝟖𝟓 𝑮𝑷𝒂). π/𝟐 𝟎, 𝟎𝟏𝟓𝒎 ^𝟒
𝛷𝒄𝒅 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟔𝟐 𝒓𝒂𝒅
𝟏𝟖𝟎º = π 𝒓𝒂𝒅
𝛷𝒄𝒅 = 𝟐, 𝟏º
Resolução exercício 1
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 5
Exercício Resolvido n – Tensão de cisalhamento e torção
Como o eixo CD tem extremidade fixa D, temos 𝛷C=𝛷C/D=2,1º . Da expressão: 𝛷𝐵 = 2,4. 𝛷𝐶
Determinamos a rotação da engrenagem B:
𝛷𝐵 = 2,4.2,1 = 5,04º
Para a extremidade C temos:
𝛷𝐶 = 𝛷 𝐵 +
𝛷𝐶
𝐵
= 5,04 + 3,3º
𝛷𝐶 = 8,34º
Resolução exercício 1
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 6
Exercício Resolvido – Tensão de cisalhamento e torção
2) Determinar o momento de torção em função da potência transmitida por um eixo e da sua velocidade
angular, suposta constante e igual a n: 800 rpm. Cuja potência é de 50 CV.
Solução:
A equação de torque, potência e rotação é:
𝑀𝑡 = 716,2 .
𝑁
𝑛
Onde:
Mt = torque – momento de torção (kg.m).
N = potência (CV)
n = rotação (rpm)
𝑀𝑡 = 716,2 .
50 𝐶𝑉
800 𝑟𝑝𝑚
𝑴𝒕 = 𝟒𝟒, 𝟕 𝒌𝒈.𝒎
O eixo é de diâmetro de 50 mm, material deste eixo possui um Módulo de elasticidade transversal de G = 80
GPa = 8,16 x10^9 kgf/m².
Calcule a tensão de cisalhamento máxima deste eixo, e o deslocamento angular correspondendo a 800 mm
(0,8 m) de comprimento do eixo.
Solução:
O cálculo do momento de inercia polar é dado pela equação: 𝐽𝑡 = π .
𝑑4
32
𝐽𝑡 = π .
0,05𝑚 4
32
𝑑 = 50 𝑚𝑚 = 0,05 𝑚 𝐽𝑡 = 6,14 𝑥 10−7𝑚4
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 7
Exercício Resolvido – Tensão de cisalhamento e torção
A tensão máxima no eixo vai ocorrer na periferia.
τ =
𝑀𝑡
𝐽𝑡
. r
Aplicando a equação da tensão máxima de cisalhamento, têm-se:
Onde:
τ : tensão de cisalhamento (kg/m²)
Mt: torque (kg.m)
Jt: momento de inercia polar (m4)
R: raio do eixo (m)
τ =
44,7 𝑘𝑔.𝑚
6,14 𝑥 10−7𝑚4
. 0,025m
𝝉 = 𝟏𝟖𝟐𝟏𝟐𝟒𝟐 𝒌𝒈/𝒎²
O ângulo θ correspondente para o comprimento do eixo de 800 mm (0,8 m) é:
Aplicando a equação de deslocamento angular de eixo sob torção temos:
θ =
𝑀𝑡. 𝑙
𝐺. 𝐽𝑡
Onde:
θ : deslocamento angular (rad)
Mt: torque (kg.m)
Jt: momento de inercia polar (m4)
l: comprimento do eixo (m)
G: momento de inércia transversal
θ =
44,7 𝑘𝑔𝑚. 0,8 𝑚
8,16 x10^9 kgf/m².6,14 𝑥 10−7𝑚4
𝜽 = 𝟕, 𝟏𝟒𝒙 𝟏𝟎−𝟑 rad
Resolução exercício 2
π rad = 180º
𝟕, 𝟏𝟒𝒙 𝟏𝟎−𝟑 rad =x
𝜽 = 0,4 º
𝑥 =
𝟕,𝟏𝟒𝐱 𝟏𝟎−𝟑 rad.180º
π 𝑟𝑎𝑑
=0,4º
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 8
Exercício Resolvido – Tensão de cisalhamento e torção
3) A coluna uniforme AB, com 3 m de comprimento, consiste em um tubo estrutural com a seção
transversal mostrada na figura.
(a) Usando a formula de Euler e um coeficiente de segurança igual a 2, determine a força centrada
admissível para a coluna e a tensão normal correspondente.
𝑀𝑡 = 716,2 .
50 𝐶𝑉
800 𝑟𝑝𝑚
𝑴𝒕 = 𝟒𝟒, 𝟕 𝒌𝒈.𝒎
(b) Considerando que a força admissível, encontrada na parte
a, é aplicada conforme mostra a figura em um ponto distante
30 mm do eixo geométrico da coluna, determine a deflexão
horizontal do topo da coluna e a tensão normal máxima na
coluna. Considere o módulo de Young E=200 GPa.
Estratégia para a resolução:
Para a pergunta (a), utilize o fator de segurança junto com a 
formula de Euler para determinar a força centrada admissível. 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 9
Exercício Resolvido – Tensão de cisalhamento e torção
Comprimento de flambagem. Como a coluna tem uma extremidade engastada e a outra livre, seu
comprimento de flambagem é:
𝑳𝒐 = 𝟐 𝟑, 𝟎𝒎 = 𝟔, 𝟎 𝒎 = 𝟔𝟎𝟎𝟎𝒎𝒎
Força crítica. Usando a fórmula de Euler
𝑷𝒄𝒓 =
𝝅𝟐. 𝑬. 𝑰
𝑳𝒇𝒍²
Onde:
Pcr: força crítica – N ou kN
E: módulo de elasticidade ou módulo de Young – Pa ou GPa
I: momento de inércia – mm4 ou m4
Lfl: comprimento de flambagem – mm ou m
𝑃𝑐𝑟 =
𝜋2. (200
𝑘𝑁
𝑚𝑚2
). 5,3.106𝑚𝑚4
(6000𝑚𝑚)²
𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎 = 200 𝑘𝑁/𝑚𝑚²
𝑷𝒄𝒓 =290,6 kN
Resolução exercício 3
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 10
Exercício Resolvido – Tensão de cisalhamento e torção
(a) Força e tensão admissíveis. Para um coeficiente de segurança igual a 2.
𝑷𝒂𝒅𝒎 =
𝑷𝒄𝒓
𝑭𝑺
𝑃𝑎𝑑𝑚 =
290,6
2
𝑷𝒂𝒅𝒎 = 𝟏𝟒𝟓, 𝟑 𝒌𝑵
A tensão admissível na coluna fica:
σ𝒂𝒅𝒎 =
𝑷𝒂𝒅𝒎
𝑨
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
145,3 𝑘𝑁
3456 𝑚𝑚²
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
145,3 𝑘𝑁
3456 𝑚𝑚²
σ𝒂𝒅𝒎 = 𝟒𝟐𝑴𝑷𝒂
Resolução exercício 3
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 11
Exercício Resolvido – Tensão de cisalhamento e torção
(b) Força excêntrica; Observamos que a coluna AB e seu carregamento são idênticos. Conclui-se que as
formulas se aplicam diretamente neste caso. Lembrando que: 𝑷𝒂𝒅𝒎
𝑷𝒄𝒓
=
𝟏
𝟐
E usando a equação (1), calcula-se a deflexão horizontal no Ponto A como:
Padm=145,3 kN
Equação (1): 𝒚𝒎 = 𝒆[𝒔𝒆𝒄(
π
𝟐
.
𝑷𝒂𝒅𝒎
𝑷𝒄𝒓
) − 𝟏]
𝑦𝑚 = (30𝑚𝑚)[𝑠𝑒𝑐(
𝜋
2
.
1
2
) − 1]
𝑦𝑚 = (30𝑚𝑚)[𝑠𝑒𝑐(
𝜋
2
.
1
2
) − 1] 𝑦𝑚 = 0,0056 𝑚𝑚
Resolução exercício 3
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 12
Exercício Resolvido – Tensão de cisalhamento e torção
𝑦𝑚 = 0,0056 𝑚𝑚 (A tensão máxima é obtida da equação (2)
Equação (2): σ𝒎 =
𝑷
𝑨
[𝟏 +
𝒆.𝒄
𝒓²
𝒔𝒆𝒄(
π
𝟐
.
𝑷
𝑷𝒄𝒓
)]
σ𝑚 =
145,3 𝑘𝑁
3456𝑚𝑚²
[1 +
(30𝑚𝑚)(60𝑚𝑚)
39²
𝑠𝑒𝑐(
𝜋
2
.
1
2
)]
I = A.r² 𝑟2 =
𝐼
𝐴
𝑟2 =
5,3 .10^6
3456
𝑟2 =
5,3 .10^6
3456
𝑟2 = 1533 𝑚𝑚² 𝑟 = 39 𝑚𝑚
σ𝑚 = 42 𝑁/𝑚𝑚2[1 + 1,18 𝑠𝑒𝑐(
𝜋
2
.
1
2
)]
σ𝒎 = 𝟗𝟏, 𝟔
𝑵
𝒎𝒎2
= 𝟗𝟏, 𝟔 𝑴𝑷𝒂
Resolução exercício 3
e: deslocamento da força
c: raio externo do tubo
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 13
Exercício Resolvido – Tensão de cisalhamento e torção
4) O eixo de um sistema de transmissão mecânica, recebe uma rotação de 1100rpm transmitindo potência para
um outro sistema. A classe do aço especificado no projeto tem uma tensão de cisalhamentoadmissível de 65
MPa.
(a) Para o projeto inicial, vamos considerar como análise inicial os
diâmetros de 62,5 mm e 50 mm.
Determine a potência máxima que pode ser transmitida, considerando o
raio de adoçamento(a) igual a 2,5 mm.
(b) Na análise do projeto final, vamos considerar agora uma alteração do
raio de adoçamento para 5,0 mm. Determine a nova potência.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 14
Exercício Resolvido – Tensão de cisalhamento e torção
Resolução exercício 4
A equação para o calculo de potência:
𝑵 = 𝟐.𝝅. 𝒇. 𝑻
Onde:
N: potência – Watts
f: frequência – Hertz
T: torque – N.m
Então: 
𝑻 =
𝑵
𝟐. 𝝅. 𝒇
1 𝐻𝑧 = 60 𝑟𝑝𝑚Sabe-se:
Modelagem e análise:
(a) Projeto inicial: Usando a notação do gráfico 1, dado da questão, temos: 
D=62,5 mm, d=50 mm e r=2,5 mm 
𝑫
𝒅
=
𝟔𝟐,𝟓 𝒎𝒎
𝟓𝟎𝒎𝒎
= 1,25
𝒓
𝒅
=
𝟐,𝟓 𝒎𝒎
𝟓𝟎𝒎𝒎
= 0,05
Analisando gráfico, temos um coeficiente de concentração de tensão de 
K=1,53 
K=1,53
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 15
Exercício Resolvido – Tensão de cisalhamento e torção
Usando a equação de tensão máxima, temos:
τ𝒎á𝒙 = 𝑲
𝑻.𝒄
𝑱
T=
𝑱
𝒄
.
τ𝒎á𝒙
𝑲
Em que J e c refere-se ao diâmetro menor do eixo:
J/c = 
𝟏
𝟐
. π. 𝒄3 =
𝟏
𝟐
. π (
𝟐𝟓
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝒎)^𝟑 = 2,45.10^-5 m³
E em que : τ𝒎á𝒙
𝑲
=
𝟔𝟓𝑴𝒑𝒂
𝟏,𝟓𝟑
= 42,5 MPa 
Substituindo na equação, encontramos:
T=
𝑱
𝒄
.
τ𝒎á𝒙
𝑲
T= 𝟐, 𝟒𝟓. 𝟏𝟎−𝟓𝒎3. 𝟒𝟐, 𝟓. 𝟏𝟎𝟔 𝑵/𝒎2 T= 𝟏𝟎𝟒𝟏 𝑵.𝒎
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 16
Exercício Resolvido – Tensão de cisalhamento e torção
Potência: Como f= (1100 rpm).
1𝐻𝑧
60 𝑟𝑝𝑚
= 18,33 Hz = 18,33 s−1 =
1
18,33
seg
N(a)= 2.π.f.T = 2.π.
1
18,33𝑠
. 1041 N.m = 357 N.m/s 
N(a)= (357 N.m/s).(1 hp/746 N.m/s)
1HP = 746 N.m/s
N(a)= 0,5 HP
τ m=
τ𝒎á𝒙
𝒌
= 42,5 MPa 
Raio=2,5 mm
Ta=1041 N.m
Torque admissível para um projeto com r=2,5 mm
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 17
Exercício Resolvido nº 2 – Tensão de cisalhamento e torção
Resolução exercício 4
Modelagem e análise:
(b) Projeto final: Usando a notação do gráfico 1, dado da questão, temos: 
D=62,5 mm, d=50 mm e r = 5 mm 
𝑫
𝒅
=
𝟔𝟐,𝟓 𝒎𝒎
𝟓𝟎𝒎𝒎
= 1,25
𝒓
𝒅
=
𝟓𝒎𝒎
𝟓𝟎𝒎𝒎
= 0,1
Analisando gráfico, temos um coeficiente de concentração de tensão de 
K=1,36 
K=1,36
Seguindo o mesmo procedimento da letra (a):
Usando a equação de tensão máxima, temos:
τ𝑚á𝑥
𝐾
=
65𝑀𝑃𝑎
1,36
= 48 𝑀𝑝𝑎
Em que J/c refere-se ao diâmetro 
menor do eixo:
J/c = 
𝟏
𝟐
. π. 𝒄3 =
𝟏
𝟐
. π (
𝟐𝟓
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝒎)^𝟑 = 2,45.10^-5 m³
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 18
Exercício Resolvido nº 2 – Tensão de cisalhamento e torção
Resolução exercício 4
T=
𝐽
𝑐
.
τ𝑚á𝑥
𝐾
= 2,45.10^-5 m³.48.10^6 N/m² = 1176 N.m
Potência: Como f= (1100 rpm).
1𝐻𝑧
60 𝑟𝑝𝑚
= 18,33 Hz = 18,33 s^ − 1
N(b)= 2.π.f.T = 2.π.
1
18,33𝑠
. 1176 N.m = 403 N.m/s 
N(b)= (403 N.m/s).(1 hp/746 N.m/s)
N(b)= 0,54 HP
A variação percentual na potência fica:
∆% potência=100. (N(b)-N(a))/N(a) = 100. (0,54-0,5)/0,5
∆% potência= 8% 
N(b)= 0,54 HP X
N(A)= 0,5 HP 100%
𝑋 =
0,54.100%
0,5
𝑋 = 108%
∆% potência= 108%-100%= 8%