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LISTA DE EXERCI´CIOS
Pre´-Ca´lculo
Humberto Jose´ Bortolossi
http://www.professores.uff.br/hjbortol/
01
A reta nume´rica e intervalos
[01] Determine os nu´meros reais x, y e z indicados pelas setas na reta nume´rica desenhada abaixo.
Observac¸a˜o: os intervalos foram subdivididos em partes iguais.
−0.1 0 0.1 0.2
x y z
[02] Determine os nu´meros reais x, y e z indicados pelas setas na reta nume´rica desenhada abaixo.
Observac¸a˜o: os intervalos foram subdivididos em partes iguais.
−2.5 −2.4 −2.3
x y z
[03] Na reta nume´rica abaixo, esta˜o indicados quatro pontos: A, B, C e D. Qual ponto corresponde
ao nu´mero −2/5?
−3 −2 −1 0 1 2 3
A B C D
[04] Na reta nume´rica abaixo, a = −2/3 e b = 3/10. O intervalo [a, b] encontra-se dividido em sete
partes iguais. Determine o valor de x indicado na figura. Escreva sua resposta na forma de frac¸a˜o
p/q, sendo p e q nu´meros inteiros e primos entre si (isto e´, o ma´ximo divisor comum entre p e q
e´ igual a 1).
a bx
[05] Na reta nume´rica abaixo, a = −1/5 e b = 1/7. Determine o valor de x indicado na figura sabendo
que o intervalo [a, x] encontra-se dividido em 11 partes iguais. Escreva sua resposta na forma de
frac¸a˜o p/q, sendo p e q nu´meros inteiros e primos entre si (isto e´, o ma´ximo divisor comum entre
p e q e´ igual a 1).
a b x
1
[06] Na reta nume´rica abaixo, a = −1/5 e b = 1/7. Determine o valor de x indicado na figura sabendo
que o intervalo [x, b] encontra-se dividido em 11 partes iguais. Escreva sua resposta na forma de
frac¸a˜o p/q, sendo p e q nu´meros inteiros e primos entre si (isto e´, o ma´ximo divisor comum entre
p e q e´ igual a 1).
a bx
[07] Represente em uma reta nume´rica os conjuntos indicados abaixo (cada conjunto deve ser repre-
sentado em uma reta nume´rica diferente).
(a) [1, 2] ∪ [3, 17/2].
(b) (−1, 1) ∪ [1, +∞).
(c) [−2, 3] ∩ (3, 6).
(d) [−3,−1) ∩ [−2, +∞).
[08] Represente em uma reta nume´rica os conjuntos indicados abaixo (cada conjunto deve ser repre-
sentado em uma reta nume´rica diferente).
(a) {x ∈ R | 0 ≤ x < 3 ou 2 ≤ x ≤ 5}.
(b) {x ∈ R | − 1 < x < 7 ou − 1 ≤ x ≤ 7}.
(c) {x ∈ R | x < 2 ou x > 2}.
(d) {x ∈ R | x < 2 e x ≥ −1}.
(e) {x ∈ R | 3 x + 6 > 0 ou 8− 4 x < 0}.
( f ) {x ∈ R | 2 x− 6 < 0 e 4 x + 6 ≤ 0}.
(g) {x ∈ R | x− 1 > 0 e x− 4 ≤ 0}.
(h) {x ∈ R | 6 x− 1 = 0 e 6 x− 1 > 0}.
[09] Todo intervalo na˜o-degenerado conte´m uma quantidade infinita de nu´meros racionais e irracionais.
(a) Apresente infinitos racionais e infinitos irracionais que pertenc¸am ao intervalo [1, 2].
(b) Apresente infinitos racionais e infinitos irracionais que pertenc¸am ao intervalo [
√
2,
√
3].
[10] O intervalo (0, 1) possui um maior elemento? Isto e´, existe um nu´mero p ∈ (0, 1) tal que x ≤ p
para todo x ∈ (0, 1)? E o intervalo (0, 1] Ele possui um maior elemento? Justifique sua resposta!
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Respostas dos Exerc´ıcios
Atenc¸a˜o: podem existir outras respostas para os exerc´ıcios ale´m daquelas indicadas aqui. Muitas das
respostas na˜o possuem justificativas: voceˆ deve escreveˆ-las! No caso de exemplos e contraexemplos,
voceˆ deve justificar porque o exemplo e´ um exemplo e porque o contraexemplo e´ um contraexemplo!
[01] x = −0.075, y = 0.05 e z = 0.175.
[02] x = −2.575, y = −2.45 e z = −2.325.
[03] B.
[04] x = −41/105.
[05] x = 37/35.
[06] x = −107/175.
[07] (a)
0 1
1
2
2
3
3
17/2
17/2
(b)
0 1−1
−1
(c)
0 1−1
−1
(d)
0−2
−2
−1
−1
[08] (a)
10
0
5
5
(b)
0 1−1
−1
7
7
(c)
0 1 2
2
(d)
0 1−1
−1
2
2
(e)
0 1−2
−2
( f )
0 1−3/2
−3/2
(g)
0 1
1
4
4
(h)
0 1−1
−1
[10] O intervalo (0, 1) na˜o possui um maior elemento pois, para todo p ∈ (0, 1), o nu´mero real
q = (p + 1)/2 pertence ao intervalo (0, 1) e ele e´ maior do que p. O intervalo (0, 1] possui um
maior elemento: p = 1.
Texto composto em LATEX2e, HJB, 28/08/2016.
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