MATEMATICA 1

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MATEMATICA
O que são conjuntos numéricos?
Um conjunto é a união de elementos que possuem atributos semelhantes. Os conjuntos numéricos são a união de números que possuem as mesmas características.
Conjunto dos números naturais
Os números naturais são números inteiros e positivos, incluindo o zero. O conjunto dos números naturais é representado por N.
N= {0, 1, 2, 3, 4…}
Subconjunto dos números naturais
Representado por N*, esse conjunto representa os números naturais não nulos, ou seja, sem a presença do zero.
N* = {1, 2, 3, 4…}
Sempre que houver a presença do * em qualquer conjunto numérico significa que o elemento zero não faz parte do conjunto.
Conjunto dos números inteiros
Os números inteiros são representados pela letra Z. Esse conjunto contempla todos os números naturais e também os números negativos.
Z= {… -4, -3, -2,-1, 0, 1, 2, 3, 4…}
Subconjuntos dos números inteiros
Inteiros não negativos
Os números negativos não fazem parte desse conjunto. Porém, o zero aparece presente nesse conjunto por se tratar de um número neutro.
Z+ = { 0, 1, 2, 3, 4…}
Inteiros positivos
Esse conjunto contempla apenas os números positivos e por isso o zero não aparece.
ℤ*+ = { 1, 2, 3, 4…}
Inteiros não positivos
Todos os números positivos não fazem parte do conjunto. Note que o * não está presente. Por isso, o zero faz parte do conjunto
Z_ = {…-4, -3, -2, -1, 0}
Inteiros negativos
Nesse conjunto, todos os números positivos e o zero não fazem parte do conjunto.
ℤ*_ = {… -4, -3, -2, -1}
Inteiros não nulos
Esse conjunto não tem a presença do zero, mas os demais números fazem parte do conjunto
Z* = {… -4,-3, -2, -1, 1, 2, 3, 4…}
Conjunto dos números racionais
Os números racionais ou conjunto dos quocientes entre dois número inteiros são todos aqueles que podem ser representados em uma razão.
O numerador e denominador precisam ser números inteiros e diferentes de zero. Esse conjunto é representado pela letra Q
Veja uma aula de razão e proporção com exercícios
Além de frações, os números racionais podem ser escritos em decimal finita (0,3; 1,25) ou infinita periódica (0,333..).
Os números naturais e inteiros são subconjuntos dos número racionais.
Conjunto dos números irracionais
Os números irracionais, representados pela letra I, são aqueles que não podem ser obtidos pela divisão de dois números inteiros sendo  decimais infinitos e não periódicos. 
Ou seja, não tem repetições nas casas decimais. São os chamados decimais não exatos, como 
Conjunto dos números reais
Esse conjunto é representado pela letra R e engloba todos os números racionais e irracionais.
Os números racionais e irracionais não possuem elementos em comum. Cada um pertence a um conjunto distinto. Por esse motivo, foi necessária a criação de um conjunto que unisse os dois.
Intervalos Reais
Os intervalos numéricos são subconjuntos dos número Reais R. Veja uma aula de Números Reais: reta numérica e relações com os outros conjuntos numéricos 
Exemplos de intervalos de números reais
Intervalo aberto
]2, 7[ =  {x ∈ R | 2< x <7}
Esse intervalo vai de 2 até 7, porém os números 2 e 7 não fazem parte do intervalo
Intervalo fechado
[2, 7] = {x ∈ R | 2 ≤ x ≤7}
O intervalo vai de 2 até 7, ou seja, o intervalo é maior ou igual a 2 e menor ou igual a 7.
Intervalo determinado por desigualdade
[2, 7[ =  {x ∈ R | 2 ≤ x <7}
O intervalo vai de 2 até 7, porém o 7 não faz parte do intervalo
Intervalo aberto infinito
]2, + ∞[ = {x ∈ R | 2 > ∞}
Esse intervalo contém todos os números maiores que 2.   
exercícios - Conjuntos numéricos
Lista de exercícios relacioados aos conjuntos numéricos. 
Ler artigo Conjuntos numéricos.
Parte superior do formulário
Exercício 1: (PUC-RIO 2010)
Sejam x e y números tais que os conjuntos {0, 7, 1} e {x, y, 1} são iguais. Então, podemos afirmar que:
	A) 
	x = 0 e y = 5
	B) 
	x + y = 7
	C) 
	x = 0 e y = 1
	D) 
	x + 2 y = 7
	E) 
	x = y
Exercício 2: (PUC-RIO 2009)
Num colégio de 100 alunos, 80 gostam de sorvete de chocolate, 70 gostam de sorvete de creme e 60 gostam dos dois sabores. Quantos não gostam de nenhum dos dois sabores?
	A) 
	0 .
	B) 
	10
	C) 
	20
	D) 
	30
	E) 
	40
Exercício 3: (PUC-RIO 2007)
Uma prova com duas questões foi dada a uma classe de quarenta alunos. Dez alunos acertaram as duas questões, 25 acertaram a primeira e 20 acertaram a segunda questão. Quantos alunos erraram as duas questões?
	A) 
	40
	B) 
	10
	C) 
	nenhum
	D) 
	8
	E) 
	5
Exercício 4: (UDESC 2009)
O que os brasileiros andam lendo?
O brasileiro lê, em média, 4,7 livros por ano. Este é um dos principais resultados da pesquisa Retratos da Leitura no Brasil, encomendada pelo Instituto Pró-Livro ao Ibope Inteligência, que também pesquisou o comportamento do leitor brasileiro, as preferências e as motivações dos leitores, bem como os canais e a forma de acesso aos livros. (Fonte: Associação Brasileira de encadernação e Restaure, adapt.)
Supõe-se que em uma pesquisa envolvendo 660 pessoas, cujo objetivo era verificar o que elas estão lendo, obtiveram-se os seguintes resultados: 100 pessoas lêem somente revistas, 300 pessoas lêem somente livros e 150 pessoas lêem somente jornais.
Supõe-se ainda que, dessas 660 pessoas, 80 lêem livros e revistas, 50 lêem jornais e revistas, 60 lêem livros e jornais e 40 lêem revistas, jornais e livros.
Em relação ao resultado dessa pesquisa, são feitas as seguintes afirmações:
I - Apenas 40 pessoas lêem pelo menos um dos três meios de comunicação citados.
II - Quarenta pessoas lêem somente revistas e livros, e não lêem jornais.
III - Apenas 440 pessoas lêem revistas ou livros.
Assinale a alternativa correta.
	A) 
	Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
	B) 
	Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
	C) 
	Somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras.
	D) 
	Somente a afirmativa II é verdadeira.
	E) 
	Somente a afirmativa I é verdadeira.
Exercício 5: (UFF 2010)
Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-1891), “Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem.” Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemático, uma das grandes invenções humanas. Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é correto afirmar que:
	A) 
	o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional.
	B) 
	a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.
	C) 
	entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional.
	D) 
	entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional.
	E) 
	a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo.
Operação com conjuntos 
As operações com conjuntos são as operações feitas com os elementos que formam uma coleção. São elas: união, intersecção e diferença.
Lembre-se que na matemática os conjuntos representam a reunião de diversos objetos. Quando os elementos que formam o conjunto são números, são chamados de conjuntos numéricos.
Os conjuntos numéricos são:
· Números Naturais (N)
· Números Inteiros (Z)
· Números Racionais (Q)
· Números Irracionais (I)
· Números Reais (R)
 
União de Conjuntos
A união de conjuntos corresponde a junção dos elementos dos conjuntos dados, ou seja, é o conjunto formado pelos elementos de um conjunto mais os elementos dos outros conjuntos.
Se existirem elementos que se repetem nos conjuntos, ele aparecerá uma única vez no conjunto união.
Para representar a união usamos o símbolo U.
Exemplo:
Dados os conjuntos A = {c, a, r, e, t} e B = {a, e, i, o, u}, represente o conjunto união (A U B).
Para encontrar o conjunto união basta juntar os elementos dos dois conjuntos dados. Temos de ter o cuidado de incluir os elementos que se repetem nos dois conjuntos uma única vez.
Assim, o conjunto união será:
A U B = {c, a, r, e, t, i, o, u}
Intersecção de Conjuntos
A intersecção de conjuntos corresponde aos elementos que se repetem nos conjuntos dados. Ela é representada pelo símbolo ∩.
Exemplo:
Dados os conjuntos A = {c, a, r, e, t } e B= B = {a, e, i, o, u}, represente o conjunto intersecção (A intersecção B).
Devemos identificar os elementos comuns nos conjuntosdados que, neste caso, são os elementos a e e, assim o conjunto intersecção ficará:
A intersecção B = {a, e}
Obs: quando dois conjuntos não apresentam elementos em comum, dizemos que a intersecção entre eles é um conjunto vazio.
Nesse caso, esses conjuntos são chamados de disjuntos: A ∩ B = Ø
Diferença de Conjuntos
A diferença de conjuntos é representada pelos elementos de um conjunto que não aparecem no outro conjunto.
Dados dois conjuntos A e B, o conjunto diferença é indicado por A – B (lê-se A menos B).
Conjunto Complementar
Dado um conjunto A, podemos encontrar o conjunto complementar de A que é determinado pelos elementos de um conjunto universo que não pertençam a A.
Este conjunto pode ser representado por A à potência de c espaço o u espaço C à potência de A com U subscrito espaço o u espaço A com barra sobrescrito
Quando temos um conjunto B, tal que B está contido em A (B subconjunto A), a diferença A – B é igual ao complemento de B.
Exemplo:
Dados os conjuntos A= {a, b, c, d, e, f} e B = {d, e, f, g, h}, indique o conjunto diferença entre eles.
Para encontrar a diferença, primeiro devemos identificar quais elementos pertencem ao conjunto A e que também aparecem ao conjunto B.
No exemplo, identificamos que os elementos d, e e f pertencem a ambos os conjuntos. Assim, vamos retirar esses elementos do resultado. Logo, o conjunto diferença de A menos B sera dado por:
A – B = {a, b, c}
Propriedades da União e da Intersecção
Dados três conjuntos A, B e C, as seguintes propriedades são válidas:
Propriedade comutativa
· A união B igual a B união A
· A intersecção B igual a B intersecção A
Propriedade associativa
· parêntese esquerdo A união B parêntese direito união C igual a A união parêntese esquerdo B união C parêntese direito
· parêntese esquerdo A intersecção B parêntese direito intersecção C igual a A intersecção parêntese esquerdo B intersecção C parêntese direito
Propriedade distributiva
· A intersecção parêntese esquerdo B união C parêntese direito igual a parêntese esquerdo A intersecção B parêntese direito união parêntese esquerdo A intersecção C parêntese direito
· A união parêntese esquerdo B intersecção C parêntese direito igual a parêntese esquerdo A união B parêntese direito intersecção parêntese esquerdo A união C parêntese direito
Se A está contido em B (A subconjunto B):
· A união B igual a B seta dupla para a esquerda e para a direita A intersecção B igual a A
· parêntese esquerdo A união C parêntese direito subconjunto parêntese esquerdo B união C parêntese direito
· parêntese esquerdo A intersecção C parêntese direito subconjunto parêntese esquerdo B intersecção C parêntese direito
Leis de Morgan
Considerando dos conjuntos pertencentes a um universo U, tem-se:
1.º) O complementar da união é igual à intersecção dos complementares:
parêntese esquerdo A união B parêntese direito à potência de c igual a A à potência de c intersecção B à potência de c
2.º) O complementar da intersecção é igual à união dos complementares:
parêntese esquerdo A intersecção B parêntese direito à potência de c igual a A à potência de c união B à potência de c
Exercícios Sobre Operações Com Conjuntos
Ao resolvermos exercícios sobre operações com conjuntos utilizamos símbolos como: intersecção e união.
· 
Questão 1
(PUC-MG)
Se A = ]-2;3] e B = [0;5], então os números inteiros que estão em B - A são:
a) -1 e 0
b) 1 e 0
c) 4 e 5
d) 3, 4 e 5
e) 0, 1, 2 e 3
Questão 2
(ENEM)
No dia 17 de Maio próximo passado, houve uma campanha de doação de sangue em uma Universidade. Sabemos que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antígenos. Uma pesquisa feita com um grupo de 100 alunos da Universidade constatou que 42 deles têm o antígeno A, 36 têm o antígeno B e 12 o antígeno AB. Sendo assim, podemos afirmar que o número de alunos cujo sangue tem o antígeno O é:
a) 20 alunos
b) 26 alunos
c) 34 alunos
d) 35 alunos
e) 36 alunos
Questão 3
Dados os conjuntos A = {2, 3, 4, 5, 6} e B = {-1, 0, 2, 3}, represente as operações abaixo.
a) A u B
b) A n B
c) A – B
d) B – A
Questão 4
Sendo o conjunto A = {x  Z/ -5 < x < -2} e B = {x  Z/ - 3 < x < 0}, represente os intervalos de A e B e faça a união dos dois conjuntos.
Respostas
Resposta Questão 1
Para solucionar esse exercício devemos inicialmente escrever todos os termos numéricos dos conjuntos A e B.
A = {-1, 0, 1, 2, 3} → O conjunto A = ]-2; 3] está com o intervalo aberto para -2, sendo assim, esse número não pertence ao conjunto A.
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} → Os intervalos do conjunto B são fechados, por esse motivo os algarismo 0 e 5 estão contidos no conjunto.
Vamos averiguar a quantidade de elementos que são diferentes no conjunto B em relação ao conjunto A.
B – A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} - {-1, 0, 1, 2, 3} = {4, 5}
A alternativa correta para essa questão é a letra c.
Resposta Questão 2
Esse é um exercício sobre operações com conjuntos. Nele temos o conjunto A e o B. Esses dois conjuntos formam uma intersecção.
A = 42 → quantidade de alunos cujo sangue possui o antígeno A.
B = 36 → quantidade de alunos cujo sangue possui o antígeno B.
A n B = 12 → quantidade de alunos cujo sangue possui o antígeno AB.
Precisamos determinar o total de alunos que possuem os antígenos A e B. Para isso, faça:
A u B = A + B – A n B
A u B = 42 + 36 – 12
A u B = 66
Para saber a quantidade de alunos cujo sangue tem o antígeno O teremos que subtrair 66, que representa a quantidade de alunos que tem sangue com o antígeno A ou B, de 100, que é o total de alunos.
O = 100 – 66
O = 34
Então, 34 alunos tem em seu sangue o antígeno O. A resposta correta é a letra c.
Resposta Questão 3
a) A u B
Devemos realizar a união dos conjuntos A e B.
Se A = {2, 3, 4, 5, 6} e B = {- 1, 0, 2, 3}, então A u B = {-1, 0, 2, 3, 4, 5, 6}
b) A n B
Vamos realizar a intersecção do conjunto A com o conjunto B.
Sendo A = {2, 3, 4, 5, 6} e B = {- 1, 0, 2, 3}, então A n B = {2, 3}
c) A – B
Nessa questão devemos verificar os elementos do conjunto A que não são elementos do conjunto B.
Para A = {2, 3, 4, 5, 6} e B = {- 1, 0, 2, 3}, então A – B = {4, 5, 6}
d) B – A
Teremos que averiguar a diferença entre B e A (conjunto formado pelos elementos do conjunto B que não pertencem ao conjunto A). O conjunto diferença é representado por B – A.
A = {2, 3, 4, 5, 6} e B = {- 1, 0, 2, 3}, então B – A = {-1, 0}
Resposta Questão 4
A = {x  Z/ -5 < x < -2} = ]- 5, -2[
 
B = {x  Z/ - 3 < x < 0} → [- 3, 0[
 
A = {- 4, - 3} e B = {- 3, - 2, - 1} → A u B = {- 4, - 3, - 2, - 1}
 
Fatoração
   Informar erro 
Falando de forma objetiva, fatoração é decompor um número em fatores, é o ato de transformar uma expressão numérica em fatores de sua multiplicação.
Foto: Reprodução
Um exemplo simples de fatoração é dividir um número pelo menor número primo que for possível. Deve-se repetir o procedimento até que seja impossível continuar a divisão, até que o número se torne indivisível, conforme os exemplos abaixo:
	Número
	N. Primo
	250
	2
	125
	5
	25
	5
	5
	5
	1
	
250 fatorado » 2 . 5 . 5 . 5
	Número 
	N. Primo
	882
	2
	441
	3
	147
	3
	49
	7
	7
	7
	1
	
882 fatorado » 2 . 3 . 3 . 7 . 7
Tipos de fatoração
A fatoração pode ser dividida nos seguintes tipos:
· Fator comum em evidência
· Agrupamento de termos semelhantes
· Diferença de dois quadrados
· Trinômio quadrado perfeito.
· Trinômio do segundo grau.
Fator comum em evidência
Nessa modalidade de fatoração é preciso verificar cada um dos algarismos, para precisar se os coeficientes poderão ser divididos por determinado número de forma exata.
Ex.: cx + cy + cz
Observe que c é um fator comum a todos os monômios que formam o polinômio, de modo que podemos colocá-lo em evidência:
C . (x + y + z)
Agrupamento de termos semelhantes
Essa técnica se baseia em juntar todos os termos que forem iguais para, se possível, colocá-los em evidência.
Ex.: x² + xy + xz + yz
Agrupamos os termos em dois pares e colocamos o fator comum em evidência em cada um deles:
1º termo x² + xy = x . (x + y)
2º termo xz + yz = z . (x + y)
O que multiplica o fator (x + y) para se obter o1º termo x(x+ y)? A resposta é x:
(x + y) . (x + …)
O que multiplica o fator comum (x + y) para obter o 2º termo z(x + y)? A resposta é: z
(x + y) . (x + z)
Portanto: (x + y) . (x + z) é a forma fatorada de x² + xy + xz + xy.
Diferença de dois quadrados
Esse tipo de fatoração consiste que parte da expressão (ou ela em sua totalidade) possa ser simplesmente o resultado de um produto de soma pela sua diferença.
Ex.: (a + b) .( a – b) = a² – b²
Portanto: Se um polinômio é expresso na forma de uma diferença de dois quadrados, sua fatoração será o produto da soma pela diferença de dois termos.
Trinômio quadrado perfeito
Assim como a modalidade anterior, o trinômio quadrado perfeito precisa notar que parte ou totalidade da expressão é o resultado do produto sendo ele do tipo a + b².
Ex.: a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² – 2ab + b² = ( a – b)²
Trinômio do segundo grau
A técnica se baseia em encontrar na expressão o trinômio de segundo grau, observando a relação entre a soma das raízes e o produto delas.
O trinômio do segundo grau poderá ser decomposto como:
ax² + bx + c = a [( x – x1) . ( x – x2)]
Exercícios Sobre Fatoração De Expressões Algébricas
Questão 1
Qual é a forma fatorada do produto entre os polinômios x2 + 14x + 49 e x2 – 14x + 49?
a) (x + 7)2·(x – 7)2
b) (x2 + 14x + 49)·(x2 – 14x + 49)
c) (x + 7)·(x – 7)2
d) (x + 7)2·x – 72
e) x + 72·(x – 7)2
Questão 2
Qual é a forma simplificada da expressão algébrica abaixo?
(x2 + 14x + 49)·( x2 – 49)
x2 – 14x + 49
a) (x + 7)·(x + 7)
          x – 7
b) x + 7
    x – 7
c) (x + 7)3 
     x – 7
d) (x + 7)2 
      x – 7
e) (x2 + 14x + 49)
          x – 7
Questão 3
A razão entre as formas fatoradas dos polinômios ax + 2a + 5x + 10 e a2 + 10a + 25 é:
a) (a + 5)(x – 2)
    (a + 5)(a + 5)
b) a + 5
c) a – 5
d) x – 2
   a + 5
e) x + 2
   a + 5
Questão 4
A forma simplificada da razão entre os polinômios x3 – 8y3 e x2 – 4xy + 4y2 é:
a) (x + 4y)2 
     x – 4y
b) (x2 + 2xy + 4y2)
          x – 2y  
c) (x + y)2 
     x – y
d) (2x + 2)2 
      x – y
a) (x + y)2 
     2x – y
Respostas
Resposta Questão 1
Como estamos buscando a forma fatorada do produto, não é necessário multiplicar os polinômios, basta fatorá-los e escrever o produto entre as formas fatoradas. Observe:
A forma fatorada de x2 + 14x + 49, seguindo o método do trinômio quadrado perfeito, é:
x2 + 14x + 49 = (x + 7)2
Já a forma fatorada de x2 – 14x + 49, seguindo o mesmo método, é:
x2 – 14x + 49 = (x – 7)2
Portanto, o produto entre as formas fatoradas é:
(x + 7)2·(x – 7)2
Gabarito: Letra A.
Resposta Questão 2
Observe que existem três polinômios que podem ser fatorados nessa expressão algébrica. Para fatorá-los, utilizaremos os casos de trinômio quadrado perfeitoe diferença de dois quadrados. Observe:
(x2 + 14x + 49)·( x2 – 49)
x2 – 14x + 49
(x + 7)2·(x – 7)·(x + 7)
(x – 7)2
(x + 7)·(x + 7)·(x – 7)·(x + 7)
(x – 7)·(x – 7)
Agora basta “cortar” os termos idênticos no numerador e denominador. Nessa questão, existe apenas um termo idêntico, a saber (x – 7). O resultado final será:
(x + 7)·(x + 7)·(x + 7)
x – 7
Esse resultado pode ser reescrito da seguinte maneira:
(x + 7)3
x – 7
Gabarito: Letra C.
Resposta Questão 3
No numerador, utilizaremos o método de fatoração por agrupamento, que faz uso da fatoração por fator comum em evidência repetidas vezes. Já no denominador, utilizaremos o método de fatoração do trinômio quadrado perfeito. Escrevendo a razão proposta, obteremos:
ax + 2a + 5x + 10
a2 + 10a + 25
a(x + 2) + 5(x + 2)
(a + 5)(a + 5)
(a + 5)(x + 2)
(a + 5)(a + 5)
Agora vamos dividir os termos idênticos presentes na expressão algébrica acima:
x + 2
a + 5
Gabarito: Letra E.
Resposta Questão 4
Para resolver essa questão, devemos escrever a razão entre os polinômios:
      x3 – 8y3      
x2 – 4xy + 4y2
Agora utilize o método de fatoração da diferença entre dois cubos no numerador e do trinômio quadrado perfeito no denominador.
(x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2)
   (x – 2y)2
Escrevendo o denominador em forma de produto teremos:
(x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2)
(x – 2y)(x – 2y)
Agora basta “cortar” os fatores idênticos que aparecem tanto no numerador quanto no denominador:
(x2 + 2xy + 4y2)
x – 2y  
Gabarito: Letra B.
Números primos
Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.
Exemplos:
1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.
2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.
3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.
Observações:
1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo.
2 é o único número primo que é par.
Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.
Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.
Reconhecimento de um número primo
Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11, etc, até que tenhamos:
- ou uma divisão com resto zero (e neste caso o número não é primo),
- ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo.
Exemplos:
1) O número 161:
· não é par, portanto não é divisível por 2;
· 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;
· não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
· por 7:  161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo.
2) O número 113:
· não é par, portanto não é divisível por 2;
· 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;
· não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
· por 7:  113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).
· por 11:  113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.
EXERCÍCIOS SOBRE NÚMEROS PRIMOS
QUESTÃO 1
Quais dos números a seguir são primos? Justifique.
a) 88
b) 19
c) 101
Ver Resposta
QUESTÃO 2
Determine a decomposição em fatores primos dos seguintes números:
a) 600
b) 1024
c) 720
Ver Resposta
QUESTÃO 3
Calcule o mínimo múltiplo comum entre 720 e 600.
Ver Resposta
QUESTÃO 4
Calcule
a) √3600
b) √720
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RESPOSTAS
Questão 1
Para ser número primo, um número deve ser divisível apenas por 1 e por ele mesmo. Em outras palavras, caso um número seja múltiplo de qualquer outro, ele não é primo.
a) 88 é divisível por 2, 4, 8, 11, 22, entre outros. Logo, como existem divisores diferentes de 1 e de 88, dizemos que 88 não é primo.
b) 19 não é divisível por qualquer número. Existem dois resultados para facilitar os cálculos. O primeiro diz que o 19 não é divisível por nenhum número maior que ele. O segundo afirma que, para testar se 19 é divisível por algum número, é necessário tentar dividi-lo por todos os números entre 1 e metade de 19. Não é necessário tentar dividi-lo por qualquer número maior que sua metade.
Logo, 19 não é divisível por 2, nem por 3, nem por 5, nem por 7, nem por 11. Como 11 já é maior que metade de 19, não é necessário tentar mais nenhuma divisão.
c) 101 é primo porque não é divisível por nenhum número primo menor que ele.
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Questão 2
Para encontrar a decomposição em fatores primos de um número, basta realizar o seguinte procedimento:
a)
600|2
300|2
150|2
  75|3
  25|5
    5|5
      1
A decomposição em fatores primos de 600 é 23·3·52. Logo, podemos escrever: 600 = 23·3·52
b)
1024|2
  512|2
  256|2
  128|2
   64|2
   32|2
   16|2
     8|2
     4|2
     2|2
       1
Logo, a decomposição de 1024 em fatores primos é 210. Portanto, 1024 = 210.
c)
720|2
360|2
180|2
  90|2
  45|3
  15|3
    5|5
      1
A decomposição de 720 em fatores primos é 24·32·5. Logo, 720 = 24·32·5.
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Questão 3
O mínimo múltiplo comum (MMC) entre dois ou mais números é o produto entre as maiores potências cuja base é um número primo presente nas decomposições desses números. Dessa maneira, observe as decomposições dos números 720 e 600:
720 = 24·32·5
600 = 23·3·52
O MMC entre 720 e 600 é 24·32·52, pois essas são as maiores potências encontradas na decomposição de ambos.Logo, o MMC entre 720 e 600 é 3600.
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Questão 4
Para calcular raízes, é possível utilizar a decomposição em fatores primos. Observe:
a)
√3600 = √(24·32·52)
A raiz quadrada de qualquer número elevado ao quadrado é o próprio número. Portanto,
√(22·22·32·52) = 2·2·3·5 = 60
b) Como 720 não possui raiz quadrada exata, é possível escrever essa raiz quadrada como o produto de um número pela raiz de um número primo ou calcular uma aproximação. Observe:
√720 = √(24·32·5) = √(22·22·32·5)
A raiz quadrada de qualquer número elevado ao quadrado é o próprio número. Portanto,
√(22·22·32·5) = 2·2·3√5 = 12√5
Assim sendo, √720 = 12√5. Caso seja necessário uma aproximação do valor numérico de √720, o seguinte pode ser feito:
√720 = 12√5 = 12·2,23 = 26,83
MDC: Máximo Divisor Comum
Ensino Fundamental > MDC: Máximo Divisor Comum
MDC significa máximo divisor comum. O máximo divisor comum entre dois ou mais números naturais é o maior de seus divisores. Dois números naturais sempre tem divisores em comum.
Os divisores de um número natural podem ser encontrados dividindo este número pelos números naturais maiores que zero. Quando a divisão for exata, ou seja, com resto zero, então tal número é divisor do número dado.
Exemplo:
Considere o número 30.
30 é divisível por 30, 15, 10, 6, 5, 3, 2 e 1. Assim chamamos esses números como os divisores do número 30.
Como calcular o MDC de dois ou mais números?
Para calcular o MDC devemos fazer o seguinte: decomposição em fatores primos ou decomposição simultânea.
Decomposição em fatores primos
Para encontrar o MDC pela decomposição em fatores primos devemos seguir as seguintes regras:
· Decompor os números dados em fatores primos.
· Pegar os fatores primos comuns com seus expoentes menores.
· Fazer o produtos desses fatores.
Exemplo: Vamos encontrar o máximo divisor comum para os números 16 e 24.
16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 24
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2³ x 3
Os fatores primos comuns aos dois números dados 24 e 2³. Desses dois temos 2³ com o menor expoente. Logo, 2³ = 8.
Portanto, o MDC(16; 24) = 8, que é o maior número natural que divide ambos os números dados.
Vamos ver mais um exemplo?
Considere os números 30, 50 e 20, o MDC deles é?
30 = 2 x 3 x 5
50 = 2 x 5 x 5 = 2 x 5²
20 = 2 x 2 x 5 = 2² x 5
Os únicos fatores que divide ambos ao mesmo tempo são 2 e 5, veja acima na multiplicação dos números primos. Dessa forma pegamos os fatores com menores expoente e fazemos a multiplicação.
Logo, 2 x 5 = 10
Portanto, o MDC(30; 50; 20) = 10
Curiosidade: dois números são primos entre si quando o maior divisor comum (MDC) a eles é 1.
Exemplo: 13 e 5, o único número que divide ambos ao mesmo tempo é o número 1.
Decomposição simultânea
A decomposição simultânea ou fatoração simultânea consiste em dividir varias vezes os números dados pelo menor fator primo, se o número não for divisível pelo menor fator ele deve ser repetido.
O MDC é obtido pela multiplicação dos fatores primos comuns, ou seja, os fatores que dividem os números dados ao mesmo tempo.
Exemplo:
Encontre o máximo divisor comum dos números 180, 240 e 270.
Pela decomposição simultânea devemos dividir simultaneamente os três números dados começando pelo menor número primo possível até chegar ao resto 1.
O que fizemos foi dividir os números dados pelo menor primo, o número 2. Dividimos o três números. Depois verificamos se ainda é possível continuar dividindo pelo 2, sim. Os números que não puderem ser divididos devem ser repetidos, como o 135.
Seguimos dividindo pelo 2. Quando não for mais possível dividi-los pelo 2, procuramos o menor número primo possível que possamos dividir pelo menos um deles, neste caso o número primo 3 pode dividir 45, 15 e 135.
Seguimos dividindo pelo 3 quando possível e conservando aqueles que não podem. Por fim, somente o número 5, que também é primo, podem dividir o número 5, resto das divisões anteriores.
Esse processo acaba quando encontramos resto 1 para todos os números dados. O MDC é a multiplicação dos números primos que puderam dividir todos os números dados ao mesmo tempo.
Portanto, o MDC (180; 240; 270) = 2 x 3 x 5 = 30.
O números 2 dividiu todos os números na primeira vez, o 3 e o 5 também.
Veja mais um exemplo para destruir qualquer dúvida.
Exemplo: calcular o MDC para 20, 50.
Propriedades básicas do MDC
· Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então ele é o MDC dos números dados;
· Exemplo: MDC (3; 6; 12) = 3. 3 é divisor de 6 e 12, então ele é o máximo divisor comum.
· Dois números consecutivos são sempre primos entre si.
· Exemplo: MDC (25, 26) = 1.  O maior número que divide 25 e 26 é 1.  Então, ele é o máximo divisor entre 25 e 26.
Legal, não é?
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Exercícios propostos para MDC
Encontre o MDC para os números dados.
a) O MDC de (45, 54, 55)
R = 1
b) O MDC de (7, 21, 7)
R = 7
c) O MDC de (9, 564, 66, 3)
R = 3
d) O MDC de (6, 56, 2)
R = 2
e) O MDC de (100, 50, 60)
R = 10
f) O MDC de (10, 5, 90)
R = 5
g) O MDC de (1000, 200, 44)
R = 4
h) O MDC de (55, 25, 45)
R = 5
i) O MDC de (545, 205, 510)
R = 5
j) O MDC de (55, 22)
R = 11
l)O MDC de (35, 49, 7)
R = 7
MMC: Mínimo Múltiplo Comum
Ensino Fundamental > MMC: Mínimo Múltiplo Comum
MMC significa mínimo múltiplo comum. O MMC é uma operação para encontrar o menor número positivo, excluindo o zero, que é múltiplo comum entre todos os números dados.
O MMC pode ser usado, por exemplo, para encontrar um denominador comum quando fazemos operações com frações para que o denominador seja comum durante todo o processo.
Os múltiplos de um número podem ser encontrados multiplicando este número pelos números naturais.
Exemplo: 0, 8, 16, 24,32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, … são múltiplos de 8, 8 foi multiplicado pelos números naturais 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
O conjuntos dos múltiplos de um número é infinito. Perceba que os múltiplos do número 8 foi somando de 8 em 8.
Se quisermos saber se um número qualquer é múltiplo de outro temos que fazer a divisão entre eles, se obtivermos uma divisão exata, isto é, com resto zero, assim podemos dizer que tal número é múltiplo do outro.
Exemplo: No exemplo anterior mostramos os múltiplos de 8, então se quisermos saber se 48 é múltiplo de 8 basta dividir 48 por 8: 48 / 8 = 6. Então 48 é múltiplo de 8 pois ele é divisível por 8 com resto zero.
Como calcular o MMC de dois ou mais números?
Para calcular o MMC entre os números dados devemos fazer o seguinte: decompor em fatores primos ou fazer a decomposição simultânea.
Decomposição em fatores primos
Encontrar o MMC pela decomposição em fatores primos deve obedecer as seguintes regras:
· Decompor os números dados em fatores primos.
· Colocar os fatores primos comuns ou não comuns com seus expoentes maiores.
· Fazer o produto desses fatores primos.
Observação: os números primos são números que são divisíveis somente por ele e por 1 (um).
Exemplo: Calcular o mínimo múltiplo comum para os números 4, 6 e 12.
4 = 2², 2 é um número primo.
6 = 2 x 3, três também é primo.
12 = 2² x 3.
Agora pegamos os fatores primos comuns e não comuns com os maiores expoentes. Nesse exemplo temos 2 e 3 apenas. Pegamos o 2² e 3, aqui 3 está elevado ao expoente 1.
Assim, o MMC de 4, 6 e 12 é o produto entre 2² x 3 = 4 x 3.
Logo: MMC(4; 6; 12) = 12.
Veja outro exemplo para clarear.
Calcular o MMC de 80, 20, 25:
80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 = 24 x 5.
20 = 2 x 2 x 5 = 2² x 5.
25 = 5 x 5 = 5².
Dividimos 80 pelos menor número primo que neste caso foi o 2, continuamos dividindo o resultado da divisão por 2, e por último por 5 que era o menor número primos que poderia continuar dividindo.
Agora peguemos os fatores primos com os maiores expoentes: 24 e 5². Fazemos o produtos entre eles: 24 x 5² = 16 x 25 = 400.
Daí, o MMC(80; 20; 25) = 400
Decomposição simultânea
A decomposição simultânea ou fatoração simultânea consiste em dividir sucessivamente os números dados pelo menor fator primo, caso o número não seja divisível por aquele fator primo ele deve ser repetido.
O MMC é obtido pela multiplicação dos fatores primos usados durante adecomposição. Veja um exemplo para você entender melhor.
Veja como encontrar o menor múltiplo comum entre três números. Se tivermos três números 4, 6 e 8. Qual o mmc desses números através da decomposição simultânea?
Dividimos 4, 6 e 8 pelo menor número primo que fosse divisível por pelo menor um deles, que foi o número 2. Depois verificamos se ainda tem números que podem ser dividido por 2, 2 e 4 são divisíveis por 2 e conservamos o 3.
No terceiro passo, ainda é possível dividir por 2, mantemos 1 e 3. No quarto passo, só é possível dividir por 3, conservando o resto dos outros números. Quando todos os restos forem 1, acaba o processo.
O mmc é a multiplicação dos números que dividimos. Utilizamos o 2 três vezes e o 3 uma vez no processo, assim temos: 2 x 2 x 2 ou 2³ e 3¹, logo, 2³ x 3¹ = 24.
Portanto, MMC(4; 6; 8) = 24
Vamos calcular o MMC para o exemplo anterior agora usando a decomposição simultânea.
Exemplo: Calcular o MMC para 80, 20 e 25.
O MMC é usado para somar e subtrair frações, veja nossos artigos sobre soma e subtração de frações para melhor entender.
· Soma de frações
· Subtração de frações
Propriedades do MMC
1. O mmc de dois números primos entre si é o produto deles.
2. O mmc de dois números em que o maior é divisível pelo menor é o maior deles.
3. Multiplicando ou dividindo dois números por um outro número diferente de zero, o mmc aparece multiplicado ou dividido por esse outro.
4. Dividindo-se o mínimo múltiplo comum de dois números pelo máximo divisor comum entre eles, o quociente obtido é igual ao produto de dois números primos entre si.
5. Multiplicando-se o mínimo múltiplo comum de dois números pelo máximo divisor comum entre eles, o resultado obtido é o produto desses números.
A decomposição simultânea tende a ser mais fácil, o aluno pode praticar encontrando o MMC para ouros números para fixar o aprendizado. Responda os execícios abaixo para fixar o que aprendemos.
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Encontre o MMC para os números abaixo
a) O MMC de (3, 21, 2)
R: 42
b) O MMC de (39, 9, 7)
R: 819
c) O MMC de (100, 22, 10)
R: 1100
d) O MMC de (10, 20, 2)
R: 20
e) O MMC de (4, 8, 14)
R: 56
f) O MMC de (2, 4, 5, 21)
R: 420
g) O MMC de (3, 6, 5, 12)
R: 60
h) O MMC de (3, 7, 2)
R: 42
i) O MMC de (9, 3, 2)
R: 18
j) O MMC de (50, 25, 10, 5)
R: 50
Razão e Proporção
Ensino Fundamental > Razão e Proporção
Razão
Usamos razão para fazer comparação entre duas grandezas. Assim, quando dividimos uma grandeza pela outra estamos comparando a primeira com a segunda.
Definição: Sabendo que existe duas grandezas a e b, a razão entre a e b, com b diferente de zero, é o quociente entre a e b:  ou a:b.
Exemplo:
Seja a = 18 e b = 12, qual a razão entre a e b?
, mas  que são todas razões equivalentes. Primeiro, dividimos por 2, o menor número possível (com exceção do 0 e 1), o numerador e o denominador, e depois dividimos por 3 o resultado da divisão anterior, que era o mínimo possível que podíamos dividir tanto o numerador quanto o denominador.
Assim, podemos dizer que  ou a:b = 3:2
Proporção
Proporção é a igualdade entre duas razões (equivalências entre razões). Ou seja, se dissermos que as razões  são iguais é o mesmo que dizer que elas formam uma proporção.
Propriedade fundamental da proporção
O produto dos meios é igual ao produtos dos extremos.
Então, ao escrevermos  dizemos que a e d são os extremos da proporção e b e c são os meios da proporção.
Levando em conta o conjunto dos números reais, podemos concluir algumas equivalências entre as proporções. Portanto, para  com a, b, c, d ∈ R*, temos que:
Exemplos:
As razões  e  são iguais, logo determinam a proporção  então 12 x 3 = 18 x 2.
Determine o valor de x na proporção:
Para resolver esse exemplo e encotrar o valor de x na proporção vamos utilizar regra de três simples. Assim, pela relação fundamental, temos:
Exercícios resolvidos
(UFOP-MG–2008) Duas torneiras são utilizadas para encher um tanque vazio. Sabendo que sozinhas elas levam 10 horas e 15 horas, respectivamente, para enchê-lo. Quanto tempo as duas torneiras juntas levam para encher o tanque?
A) 6 horas.
B) 12 horas e 30 minutos.
C) 25 horas.
D) 8 horas e 15 minutos.
Resolução:
A primeira torneira possui uma velocidade de enchimento igual a v1 =  e a segunda torneira, igual a v2 = .
As duas torneiras juntas encherão o tanque com uma velocidade v1,2 = v1+ v2 = , ou seja, encherão 5 tanques em 30 horas, ou 1 tanque em 6 horas.
Alternativa A.
(Unicamp-SP) A quantia de R$ 1.280,00 deverá ser dividida entre 3 pessoas. Quanto receberá cada uma, se
A) a divisão for feita em partes diretamente proporcionais a 8, 5 e 7?
B) a divisão for feita em partes inversamente proporcionais a 5, 2 e 10?
Resolução:
Sendo x, y e z a quantia, em reais, que cada pessoa receberá, então:
A)
B)
Na matemática um número inverso pode ser representado como, por exemplo, o número 5. Seu inverso é 5-1 ou 1⁄5.
Regra de três composta
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
Exemplos
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
	Horas
	Caminhões
	Volume
	8
	20
	160
	5
	x
	125
Identificação dos tipos de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que,aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto, a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação, temos:
	
	
Logo, serão necessários 25 caminhões.
2) Em uma fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
Solução: montando a tabela:
	Homens
	Carrinhos
	Dias
	8
	20
	5
	4
	x
	16
Observe que, aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.
Montando a proporção e resolvendo a equação, temos:
Logo, serão montados 32 carrinhos.
3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostrado abaixo:
Montando a proporção e resolvendo a equação, temos:
Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.
Exercícios complementares
Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios:
1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas?  
Resposta: 6 horas.
2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?   Resposta: 35 dias.
3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m?  
Resposta: 15 dias.
4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, auma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h?  
Resposta: 10 horas por dia.
5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos?  
Resposta: 2025 metros.
Regra de três simples
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplos
1) Com uma área  de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?
Solução: montando a tabela:
	Área (m2)
	Energia (Wh)
	1,2
	400
	1,5
	x
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que, aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais.
Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
	
	
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.
2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
Solução: montando a tabela:
	Velocidade (Km/h)
	Tempo (h)
	400
	3
	480
	x
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que, aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais.
Assim, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
	
	
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.
3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?
Solução: montando a tabela:
	Camisetas
	Preço (R$)
	3
	120
	5
	x
Observe que, aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.
4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas por dia, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?
Solução: montando a tabela:
	Horas por dia
	Prazo para término (dias)
	8
	20
	5
	x
Observe que, diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Porcentagem
É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:
· A gasolina teve um aumento de 15%.
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00.
· O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00.
· Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.
Razão centesimal 
Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:
Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.
Considere o seguinte problema:
João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?
Para solucionar esse problema, devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.
Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos à seguinte definição:
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.
Exemplos
· Calcular 10% de 300.
   
· Calcular 25% de 200kg.
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
Exercícios
1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?
Portanto o jogador fez 6 gols de falta.
2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?
Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.
Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.
 
 
 
 
 
 
Sistema de equação
Para encontrarmos numa equação de 1º grau com duas incógnitas, por exemplo, 
4x + 3y = 0, os valores de x e de y é preciso relacionar essa equação com outra ou outras com as mesmas incógnitas. Essa relação é chamada de sistema. 
Um sistema de equação de 1º grau com duas incógnitas é formado por: duas equações de 1º grau com duas incógnitas diferentes em cada equação. Veja um exemplo:
Para encontramos o par ordenado solução desse sistema é preciso utilizar dois métodos para a sua solução. 
Esses dois métodos são: Substituição e Adição. 
Método da substituição 
Esse método consiste em escolher uma das duas equações, isolar uma das incógnitas e substituir na outra equação, veja como: 
Dado o sistema  , enumeramos as equações. 
Escolhemos a equação 1 e isolamos o x: 
x + y = 20 
x = 20 – y 
Agora na equação 2 substituímos o valor de x = 20 – y. 
 3x   +   4 y   = 72 
3 (20 – y) + 4y = 72 
 60-3y + 4y  = 72 
 -3y + 4y   =   72 – 60
       y = 12 
Descobrimos o valor de y, para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equação 
x = 20 – y. 
x = 20 – y 
x = 20 – 12 
x = 8 
Portanto, a solução do sistema é S = (8, 12) 
Método da adição 
Esse método consiste em adicionar as duas equações de tal forma que a soma de uma das incógnitas seja zero. Para que isso aconteça será preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equações ou apenas uma equação por números inteiros para que a soma de uma das incógnitas seja zero. 
Dado o sistema: 
Para adicionarmos as duas equações e a soma de uma das incógnitas de zero, teremos que multiplicar a primeira equação por – 3. 
Agora, o sistema fica assim: 
Adicionando as duas equações: 
       - 3x – 3y = - 60 
+     3x + 4y = 72 
                 y   = 12 
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equações e substituir o valor de y encontrado: 
x + y = 20 
x + 12 = 20 
x = 20 – 12 
x = 8 
Portanto, a solução desse sistema é: S = (8, 12). 
Sistema de inequação do 1º grau
Um sistema de inequação do 1º grau é formado por duas ou mais inequações, cada uma delas tem apenas uma variável sendo que essa deve ser a mesma em todas as outras inequações envolvidas. 
Quando terminamos a resolução de um sistema de inequações chegamos a um conjunto solução, esse é composto por possíveis valores que x deverá assumir para que exista o sistema. 
Para chegamos a esse conjunto solução devemos achar o conjunto solução de cada inequação envolvida no sistema, a partir daí fazermos a intersecção dessas soluções. 
O conjunto formado pela intesecção chamamos de CONJUNTO SOLUÇÃO do sistema. 
Veja alguns exemplos de sistema deinequação do 1º grau: 
Vamos achar a solução de cada inequação. 
4x + 4 ≤ 0 
4x ≤ - 4 
x ≤ - 4 : 4 
x ≤ - 1 
S1 = {x  R | x ≤ - 1} 
Fazendo o cálculo da segunda inequação temos: 
x + 1 ≤ 0 
x ≤ - 1 
A “bolinha” é fechada, pois o sinal da inequação é igual. 
S2 = { x  R | x ≤ - 1} 
Calculando agora o CONJUTO SOLUÇÃO da inequação temos: 
S = S1 ∩ S2 
Portanto: 
S = { x  R | x ≤ - 1} ou S = ] - ∞ ; -1]
Em primeiro lugar devemos calcular o conjunto solução de cada inequação. 
3x + 1 > 0 
3x > -1 
x > -1 
       3 
A “bolinha” é aberta, pois o sinal da inequação não é igual. 
Calculamos agora o conjunto solução da outra solução. 
5x – 4 ≤ 0 
5x ≤ 4 
x ≤ 4 
      5 
Agora podemos calcular o CONJUNTO SOLUÇÃO da inequação, assim temos: 
S = S1 ∩ S2 
Portanto: 
S = { x R | -1 < x ≤ 4} ou S = ] -1 ; 4] 
                   3           5                  3   5 
Devemos organizar o sistema antes de resolvê-lo, veja como fica: 
Calculando o conjunto solução de cada inequação temos: 
10x – 2 ≥ 4 
10x ≥ 4 + 2 
10x ≥ 6 
x ≥ 6 
     10 
x ≥ 3 
      5 
6x + 8 < 2x + 10 
6x -2x < 10 – 8 
4x < 2 
x < 2 
      4 
x < 1 
      2 
Podemos calcular o CONJUNTO SOLUÇÃO da inequação, assim temos: 
S = S1 ∩ S2 
Observando a solução veremos que não há intersecção, então o conjunto solução desse sistema inequação, será: 
S = 
1. "O preço de uma caneta é o dobro do preço de uma lapiseira e as duas juntas custam 30 reais." Usando as incógnitas x e y, qual dos sistemas de duas equações de 1° grau abaixo representa o que deve ser feito no problema acima?
· 
x = 2y e x + y = 30
· 
x = 2y e x - y = 30
· 
x + 2y = 30 e x = 4y
· 
x = 2y e x + 3y = 30
2. Qual é o valor de N na inequação a seguir: -8n + 3501 > 210 – 5n ?
· 
n = 1097
· 
n < 1097
· 
n > 1097
· 
n = 1095
3. Antônio, José e Pedro tem juntos 520 figurinhas. Antônio tem 16 figurinhas a mais do que Pedro e José tem o dobro da quantidade de figurinhas de Pedro. Qual menino possui 252 figurinhas?
· 
Antônio
· 
José
· 
Pedro
· 
Nenhum deles
4. Determine o valor de x na inequação a seguir: 2x + 5 < x +10.
· 
x < 5
· 
x < 6
· 
x < 7
· 
x < 8
5. Márcio comprou 1 chuteira e 1 camisa de futebol. Alguns dias depois, comprou mais 1 chuteira e 2 camisas, gastando R$220,00. Se na primeira compra ele gastou R$170,00, quanto custou cada produto?
· 
Chuteira: R$112,00 e Camisa: R$55,00
· 
Chuteira: R$120,00 e Camisa: R$55,00
· 
Chuteira: R$120,00 e Camisa: R$50,00
· 
Chuteira: R$112,00 e Camisa: R$57,00
6. Carolina comprou 2 cadernos e 1 estojo, pagando R$67,00. Se tivesse comprado 5 cadernos e 2 estojos, teria gasto R$159,00. Qual o preço de cada produto?
· 
Caderno: R$25,00 e Estojo: R$19,00
· 
Caderno: R$25,00 e Estojo: R$18,00
· 
Caderno: R$25,00 e Estojo: R$20,00
· 
Caderno: R$25,00 e Estojo: R$17,00
7. Qual o resultado que encontraremos ao resolver a seguinte inequação: 4m-14+4m-14+3m+5+3m+5<38 ?
· 
m < 4
· 
m < 5
· 
m < 6
· 
m < 7
8. Qual o resultado da equação x+2x-1=8 ?
· 
x= 2
· 
x= 3
· 
x= 4
· 
x= 5
9. Pensei em um número e multipliquei-o por 5. Depois, somei o resultado com 3 e obtive 23. Pensei em qual número?
· 
3
· 
4
· 
5
· 
6
10. Qual o resultado da equação 6x = 2.(x-4)?
· 
x=2
· 
x=-2
· 
x=3
· 
x=-3
Parte superior do formulário
1. "O preço de uma caneta é o dobro do preço de uma lapiseira e as duas juntas custam 30 reais." Usando as incógnitas x e y, qual dos sistemas de duas equações de 1° grau abaixo representa o que deve ser feito no problema acima?
Sua resposta: [resposta em branco]
Resposta correta: x = 2y e x + y = 30
46.07% das pessoas responderam corretamente.
2. Qual é o valor de N na inequação a seguir: -8n + 3501 > 210 – 5n ?
Sua resposta: [resposta em branco]
Resposta correta: n < 1097
32.31% das pessoas responderam corretamente.
3. Antônio, José e Pedro tem juntos 520 figurinhas. Antônio tem 16 figurinhas a mais do que Pedro e José tem o dobro da quantidade de figurinhas de Pedro. Qual menino possui 252 figurinhas?
Sua resposta: [resposta em branco]
Resposta correta: José
Antônio possui 142, José tem 252 e Pedro, 126. Para obter esse resultado, montamos uma equação.
28.28% das pessoas responderam corretamente.
4. Determine o valor de x na inequação a seguir: 2x + 5 < x +10.
Sua resposta: [resposta em branco]
Resposta correta: x < 5
40.39% das pessoas responderam corretamente.
5. Márcio comprou 1 chuteira e 1 camisa de futebol. Alguns dias depois, comprou mais 1 chuteira e 2 camisas, gastando R$220,00. Se na primeira compra ele gastou R$170,00, quanto custou cada produto?
Sua resposta: [resposta em branco]
Resposta correta: Chuteira: R$120,00 e Camisa: R$50,00
Nesse problema, devemos aplicar um sistema de equações do 1° grau.
33.28% das pessoas responderam corretamente.
6. Carolina comprou 2 cadernos e 1 estojo, pagando R$67,00. Se tivesse comprado 5 cadernos e 2 estojos, teria gasto R$159,00. Qual o preço de cada produto?
Sua resposta: [resposta em branco]
Resposta correta: Caderno: R$25,00 e Estojo: R$17,00
Aplicando,um sistema de duas equações de 1° grau, conseguimos obter o resultado correto.
27.01% das pessoas responderam corretamente.
7. Qual o resultado que encontraremos ao resolver a seguinte inequação: 4m-14+4m-14+3m+5+3m+5<38 ?
Sua resposta: [resposta em branco]
Resposta correta: m < 4
25.63% das pessoas responderam corretamente.
8. Qual o resultado da equação x+2x-1=8 ?
Sua resposta: [resposta em branco]
Resposta correta: x= 3
A equação pode ser resolvida da seguinte forma: x+2x-1=8 3x=8+1 3x=9 x= 9/3 x=3
34.40% das pessoas responderam corretamente.
9. Pensei em um número e multipliquei-o por 5. Depois, somei o resultado com 3 e obtive 23. Pensei em qual número?
Sua resposta: [resposta em branco]
Resposta correta: 4
Para descobrir ,devemos montar a seguinte equação e resolvê-la: 5x+3=23
36.36% das pessoas responderam corretamente.
10. Qual o resultado da equação 6x = 2.(x-4)?
Sua resposta: [resposta em branco]
Resposta correta: x=-2
Geometria analítica - Retas
Introdução
Entre os pontos de uma reta e os números reais existe uma correspondência biunívoca, isto é, a cada ponto de reta corresponde um único número real e vice-versa.
Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita (eixo), e determinando um ponto O dessa reta (origem) e um segmento u, unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e consecutivos determinam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u:
Medida algébrica de um segmento 
Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números reais xA e xB , temos:
A medida algébrica de um segmento orientado é o número real que corresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e da origem desse segmento.
Ângulos
O ângulo e seus elementos
Duas semirretas que não estejam contidas na mesma reta, e que tenham a mesma origem, dividem o plano em duas regiões: uma convexa e outra não-convexa.
Cada uma dessas regiões, junto com as semirretas, forma um ângulo. Assim, as duas semirretas determinam dois ângulos:
Todo ângulo possui dois lados e um vértice. Os lados são as semirretas que o determinam. O vértice é a origem comum dessas semirretas.
O ângulo convexo de vértice O e lados  é indicado por: AÔB, BÔA ou Ô.
Paralelismo
Duas retas, r e s, distintas e não-verticais, são paralelas se, e somente se, tiverem coeficientes angulares iguais.
 
Concorrência
Dadas as retas r: a1x +b1y + c1 = 0 e s: a2x + b2y + c2 = 0, elas serão concorrentes se tiverem coeficientes angulares diferentes:
Como exemplo, vamos ver se as retas r: 3x - 2y + 1 = 0  e  s: 6x + 4y + 3 = 0 são concorrentes:  
Perpendicularismo
Se r  e s são duas retas não-verticais, então r é perpendicular a s se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1. Lê-se . Acompanhe o desenho:
Próximo: Ângulo entre duas retas
O que são triângulos retângulos, acutângulos ou obtusângulos?
A classificação de um triângulo quanto aos ÂNGULOS é a seguinte:
Triângulo acutângulo: todos os ângulos internos são agudos, isto é, as medidas dos ângulos são menores do que 90º.
Triângulo obtusângulo:um ângulo interno é obtuso, isto é, possui um ângulo com medida maior do que 90º.
Triângulo retângulo: possui um ângulo interno reto (90 graus).
Quadriláteros
Definição
Quadrilátero é um polígono de quatro lados.
Quadrilátero ABCD
Em um quadrilátero, dois lados ou dois ângulos não consecutivos são chamados opostos.
Elementos
Na figura abaixo, temos:
Quadrilátero ABCD
Vértices:  A, B, C, e D.
Lados: 
Diagonais: 
Ângulos internos ou ângulos do 
quadrilátero ABCD: .
Observações:
1. Todo quadrilátero tem duas diagonais.
2. O perímetro de um quadrilátero ABCD é a soma das medidas de seus lados, ou seja: AB + BC + CD + DA. 
Côncavos e Convexos
Os quadriláteros podem ser convexos ou côncavos. Um quadrilátero é convexo quando a reta que une dois vértices consecutivos não encontra o lado formado pelos dois outros vértices.
Quadrilátero convexo
Quadrilátero côncavo
EXERCÍCIOS SOBRE RETAS, ÂNGULOS E POLÍGONOS PARA O 6º ANO.
Publicado em 19 de November de 2013 por Sílvia Aparecida de Souza Nascimento
1) O ângulo reto, também conhecido como ângulo de um quarto de volta, mede:
a) 90°
b) 180°
c) 270°
d) 360°
 2) O ângulo que mede menos de 90° e mais de 0° é chamado de:
a) agudo
b) raso
c) reto
d) obtuso
3) Duas retas que não se cruzam, ou seja, permanece sempre à mesma distância uma da outra são chamadas de:
a) concorrentes
b) oblíquas
c) paralelas
d)perpendiculares
 
4) O ângulo formado pelo ponteiro da hora e do minuto quando o relógio marca 3h mede:
a) 30°
b) 60°
c) 90°
d) 180°
5) Um hexágono é um polígono que tem:
a) 4 lados
b) 5 lados
c) 6 lados
d) 7 lados
6) O polígono que tem 4 lados, 4 ângulos internos e 4 vértices chama-se:
a) quadrado
b) quadrilátero
c) retângulo
d) trapézio
7) A medida do lado de um pentágono regular cujo perímetro é 85 cm vale:
a) 17 cm
b) 80 cm
c) 90 cm
d) 425 cm
 8) A medida do lado de um triângulo regular cujo perímetro é 108 cm vale:
a) 36 cm
b) 105 cm
c) 111 cm
d) 324 cm
9) Um polígono que tem 7 lados, 7 ângulos e 7 vértices chama-se:
a) eneágono
b) hexágono
c) heptágono
d) octógono
10) Um dodecágono é um polígono que tem:
a) 9 lados
b) 10 lados
c) 11 lados
d) 12 lados
11) Um ângulo de três quartos de volta mede:
a) 90°
b) 180°
c) 270°
d) 360°
12) A medida do lado de um quadrilátero regular cujo perímetro é 360 cm é:
a) 90 cm
b) 256 cm
c) 356 cm
d) 1424 cm
13) O ângulo formado pelo ponteiro da hora e do minuto em um relógio que marca 6h mede:
a) 45°
b) 90°
c) 135°
d) 180°
14) O ângulo de 180° é chamado de:
a) ângulo de um quarto de volta
b) ângulo de meia volta
c) ângulo de três quartos de volta
d) ângulo de uma volta
15) O polígono que tem 3 lados, 3 ângulos e 3 vértices é chamado de:
a)hexágono
b) pentágono
c)quadrilátero
d) triângulo
 GABARITO
1-A
2-A
3-C
4-C
5-C
6-B
7-A
8-A
9-C
10-D
11-C
12-A
13-D
14-B
15-D
Exercícios de Quadriláteros
Determine a medida dos ângulos indicados:
a) 
b) 
c) 
d) As medidas dos ângulos internos de um quadrilátero são: x + 17° ; x + 37° ; x + 45° e x + 13°. Determine as medidas desses ângulos.
e) No paralelogramo abaixo, determine as medidas de x e y.
f) A figura abaixo é um losango. Determine o valor de x e y, a medida da diagonal , da diagonal  e o perímetro do triângulo BMC.
g) No retângulo abaixo, determine as medidas de x e y indicadas:
h) Determine as medidas dos quatro ângulos do trapézio da figura abaixo:
i) A figura abaixo é um trapézio isósceles, onde a, b, c representam medidas dos ângulos internos desse trapézio. Determine a medida de a, b, c.
j) Sabendo que x é a medida da base maior, y é a medida da base menor, 5,5 cm é a medida da base média de um trapézio e que x - y = 5 cm, determine as medidas de x e y.
Resposta a:
x + 105° + 98º + 87º = 360º
x + 290° = 360°
x = 360° - 290°
x = 70º
 
Resposta b:
x + 80° + 82° = 180°
x + 162° = 180°
x = 180º - 162º
x = 18°
 
18º + 90º + y + 90º = 360°
y + 198° = 360°
y = 360º - 198°
y = 162º
 
Resposta c:
3a / 2 + 2a + a / 2 + a = 360º
(3a + 4a + a + 2a) / 2 = 720° /2
10a = 720º
a = 720° / 10
a =  72°
 
72° + b + 90° = 180°
b + 162° = 180°
b = 180° - 162°
b = 18°
  resposta d
x + 17° + x + 37° + x + 45° + x + 13° = 360°
4x + 112° = 360°
4x = 360° - 112°
x = 248° / 4
x = 62°
Então, os ângulos são:
x + 17° = 79°
x + 37° = 99°
x + 45° = 107º
x + 13° = 75°
  
resposta e
9y + 16° = 7y + 40°
9y = 7y + 40° - 16°
9y = 7y + 24°
9y - 7y = 24°
2y = 24°
y = 24º /2
y = 12°
Então:
x + (7 * 12° + 40°) = 180°
x = 180º - 124°
x = 56°
resposta f  
x = 15
y = 20
= 20 + 20 = 40
 = 15 + 15 = 30
BMC = 15 + 20 + 25 = 60
Resposta g
	
	  
12 x + 2° + 5 x + 3° = 90°
17 x + 5° = 90°
17 x = 90° - 5°
17 x = 85°
x = 85° / 17° = 5°
y = 5x + 3°
y = 5 (5°) + 3°
y = 28°
Resposta h  
x + 27° + 90° = 180°
x + 117° = 180°
x = 180° - 117°
x = 63°
 
y + 34° + 90° = 180°
y + 124° = 180°
y = 180° - 124°
y = 56°
As medidas dos ângulos são:
63° ; 56° ; 90° + 27° = 117° ; 90 + 34° = 124
Resposta i
	
	  
c = 117°
a + 117° = 180°
a = 180° - 117°
a = 63°
b = 63°
  Resposta j
x + y = 11 
x - y = 5
__________
2x + 0 = 16
2x = 16/2
x = 8
x + y = 11 
8 + y = 11
y = 11 - 8
y = 3
Teorema de Pitágoras
Observe o triângulo retângulo ao lado:
Ele é denominado triângulo retângulo por possuir um ângulo reto, ângulo este entre a base (lado horizontal) e a altura (lado vertical).
Cada um destes lados é denominado cateto. O outro lado, o maior deles, é denominado hipotenusa.
Segundo o Teorema de Pitágoras temos que a soma do quadrado da medida dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa, ou de forma simplificada:
A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Nomeando os catetos de a e b e a hipotenusa de c, o teorema é representado pela seguinte expressão:
Ou ainda por:
Demonstração do Teorema de Pitágoras
Teorema é qualquer proposição que precisa ser demonstrada para que seja aceita.
Há várias formas de demonstrarmos o Teorema de Pitágoras, mas aqui iremos apresentar somente uma, que além de ser fácil de se explicar, também é fácil de se entender.
Vamos tomar 4 dos triângulos acima e montar uma figura como esta ao lado:
Como podemos observar, com os quatro triângulos formamos uma figura contendo dois quadrados, um interno e outro externo.
Os lados do quadrado interno têm medida igual a c. Já a medida dos lados do quadrado externo é igual a + b.
A área do quadrado externo é igual a soma da área dos quatro triângulos mais a área do quadrado interno. Isto pode ser assim representado:
Desenvolvendo esta expressão, cujo primeiro membro é um produto notável, concluímos a prova do teorema:
Neste nosso exemplo o cateto a é menor que o b, mas a demonstração se comprovaria mesmo que os catetos tivessem o mesmo comprimento, ou que medida de a fosse maior que a medida de b.
Exemplos da Utilização do Teorema de Pitágoras
Qual é a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 66 cm e 88 cm?
Vamos assumir que a = 66 e que b = 88. Aplicando o teorema temos:
A hipotenusa mede 110 cm.
 
A base de um triângulo retângulo mede 48 mm e a sua hipotenusa 80 mm. Qual é a sua altura?
Digamos que:
Segundo Pitágoras temos:
A altura deste triângulo é de 64 mm.
 
Os lados de um triângulo medem 15 m, 20 m e 23 m. Este é um triângulo retângulo?
Em um triângulo retângulo a hipotenusa é sempre o maior lado, então 15 m e 20 m se referem à medida dos catetos deste suposto triângulo retângulo.
Para descobrir se temos realmente um triângulo retângulo o procedimento é simples, basta calcularmos a medida da hipotenusa, através do Teorema de Pitágoras, para verificarmos se ela mede realmente 23 m. Se medir então temos de fato um triângulo retângulo:
Não, este não é um triângulo retângulo. Com catetos medindo 15 m e 20 m, para que tivéssemos um triângulo retângulo a medida da hipotenusa deveria ser 25 m e não 23 m.
 
Dois triângulos retângulos têm em comum a altura. A medida da hipotenusa do menor é igual a 20, já a hipotenusa do maior é igual a 37. Qual é a medida das bases sabendo-se que diferença entre elas é igual a 19?
Segundo Pitágoras, para o triângulo maior temos a seguinte equação:Como a diferença entre os catetos distintos é igual a 19, em relação ao triângulo menor temos:
Podemos isolar a2 na primeira equação:
E substituí-lo na segunda:
Agora vamos desenvolver a equação para obtermos a medida do cateto b:
Um dos catetos mede 35 e como a diferença entre eles é igual a 19, temos que ou outro mede 16:
As bases medem 16 e 35.
 
Em relação ao problema anterior, qual é a altura dos triângulos retângulos?
Visto que os dois triângulos possuem a mesma altura, basta calcularmos a altura de apenas um deles.
Para trabalharmos com números menores vamos calcular utilizando os dados do triângulo menor:
Basta aplicarmos Teorema de Pitágoras:
A altura dos triângulos retângulos é igual 12.
Teorema de Pitágoras e os Números Irracionais.
Nos casos mostrados até aqui neste artigo, tivemos o cuidado de escolher triângulos com todos os lados sendo representados por números naturais. A intenção disto era facilitar o entendimento da matéria. Na prática porém, na maioria das vezes, principalmente a hipotenusa será um número irracional.
Quando isolamos uma das variáveis em função das outras, temos os seguintes casos:
Nestes casos, quando o radicando não for um quadrado perfeito, a variável isolada será um número irracional.
Observe o triângulo retângulo ao lado:
Veja que a medida da sua hipotenusa é um número irracional.
Vamos calculá-la em função da medida dos catetos:
 é um número irracional, pois não existe nenhum número natural que multiplicado por ele próprio resulte em 61
· 
exercicioO 1
Um avião percorreu a distância de 5 000 metros na posição inclinada, e em relação ao solo, percorreu 3 000 metros. Determine a altura do avião.
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QUESTÃO 2
Do topo de uma torre, três cabos de aço estão ligados à superfície por meio de ganchos, dando sustentabilidade à torre. Sabendo que a medida de cada cabo é de 30 metros e que a distância dos ganchos até à base da torre é de 15 metros, determine a medida de sua altura. 
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QUESTÃO 3
Uma escada de 12 metros de comprimento está apoiada sob um muro. A base da escada está distante do muro cerca de 8 metros. Determine a altura do muro. 
 
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QUESTÃO 4
Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros, considerando que a cerca de arame terá 4 fios.  
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RESPOSTAS
Questão 1
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Questão 2
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Questão 3
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Questão 4
Médias e leitura de gráficos – Resumo
GRÁFICOS
A análise de gráficos é importante para responder questões de diferentes disciplinas. Para facilitar a interpretação dos gráficos, estudaremos as diferentes possibilidades de formato. Esse conteúdo é muito intuitivo, então daremos maior ênfase aos exercícios, buscando apresentar a melhor forma de solucionar as questões. Lembrem-se: cada vez mais as provas do vestibular e do Enem cobram esse assunto tão importante.
Tipos de Gráficos
Os gráficos podem ser de muitos tipos. Os mais comuns são os de Linha, Coluna, Barra e Pizza. Abaixo seguem alguns exemplos desses modelos:
Gráfico coluna (Foto: Colégio Qi)
Gráfico linha (Foto: Colégio Qi)
Gráfico pizza (Foto: Colégio Qi)
Gráfico barra (Foto: Colégio Qi)
INTERPRETAÇÃO DOS GRÁFICOS
O gráfico abaixo mostra o lucro de três empresas: A, B e C. Vamos pensar e entender um pouco mais sobre o que ele está nos dizendo.
Exemplo de uso de um gráfico (Foto: Colégio Qi)
Primeiro, temos que nos orientar. Então, chamaremos a reta representada pelo lucro de cada empresa de “eixo vertical”. O eixo vertical mede a altura dos pontos. Portanto, quanto mais alto o ponto, maior será o lucro. E, por sua vez, a reta que representa os meses de eixo horizontal. O eixo horizontal mede a largura do ponto. Assim, quanto mais largo – ou quanto mais à direita do eixo vertical – o tempo será maior.
Repare, agora, somente nos pontos A e B. Esses estão na mesma reta vertical, o quer dizer que eles têm a mesma largura. Portanto, correspondem ao mesmo mês. E, ainda, o ponto A está um pouco mais acima que o B. O que isso significa? A Empresa Álgebra possui mais lucro que a Empresa Aritmética, visto que a altura do ponto A é maior.
Olhemos para os pontos B e C. Nesse caso, ambos possuem a mesma altura, mas larguras diferentes. Então, no mês de Abril a Empresa Aritmética possui um lucro de aproximadamente R$2.500, o mesmo lucro da empresa Álgebra, porém no mês de maio.
Por fim, o ponto D: ele representa o lucro da empresa Aritmética no mês de junho. O menor lucro entre as três aqui mostradas. Basta ver que o ponto D está mais abaixo que os outros.
Em resumo: é muito importante saber o que cada eixo representa. Se o eixo vertical representasse o índice de chuva em uma determinada região, então quanto mais alto o gráfico, mais chuva. Ou, em um outro exemplo: se o eixo horizontal tivesse determinado pela pressão de um gás, então quanto menor a largura, menor será sua pressão.
CRESCENTE, DECRESCENTE, CONSTANTE E RAÍZES
A ideia aqui é localizar se o gráfico cresce, diminui ou até mesmo onde ele permanece constante. Um importante lembrete: o eixo horizontal cresce no mesmo sentido em que lemos um texto, da esquerda para direita. Por sua vez, o eixo vertical cresce de baixo para cima.
Análise gráfica (Foto: Colégio Qi)
Olhando para o gráfico ao lado, conseguimos reparar que ele possui as três caraterísticas. Lendo da esquerda para direita no eixo horizontal:
Crescente: o gráfico cresce no intervalo antes do -1 ou do 2 até o 5. Ou seja, (∞ ; -1) ou (2; 5)
Decrescente: o gráfico diminui no intervalo depois do -1 até o 2. Ou seja, (-1; 2)
Constante: o gráfico permanece com seu valor no intervalo depois do 5. (5; ∞)
E, por fim, as raízes são onde o gráfico passa pelo eixo horizontal. Com isso, no exemplo acima, as raízes são -2, 0 e 4
EXERCÍCIOS SOBRE OS GRÁFICOS
QUESTÃO 1
(UCB - DF)
Disponível em: <http://oglobo.globo.com/economia/negocios/bc-prometeduas-
intervencoes-de-ate-us-3-bi-no-mercado-de-cambio-17625197>.
Acesso em: 28 nov. 2016.
Com base exclusivamente nos dados apresentados no gráfico quanto à cotação do dólar comercial no último dia útil de cada mês de 2015, assinale a alternativa correta.
a) Em dezembro de 2014, a cotação do dólar comercial foi menor que 2,689.
b) O maior valor para a cotação do dólar comercial foi verificado em 28 de setembro.
c) A função que representa o valor da cotação do dólar comercial em relação ao tempo é crescente, no intervalo apresentado no gráfico.
d) A diferença entre os valores da cotação do dólar comercial de maio e de março foi menor que um centavo de real.
e) Em 15 de agosto, o valor da moeda foi menor que 3,629.
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QUESTÃO 2
(UCB - DF)
O gráfico mostra o número de pontos de uma equipe de futebol nas 12 primeiras rodadas de um campeonato. Sabendo que, nesse campeonato, em caso de vitória a equipe soma três pontos, em caso de empate soma um ponto e em caso de derrota não soma ponto, assinale a alternativa correta.
a) A equipe perdeu os jogos da segunda, terceira e quarta rodadas.
b) Nas doze rodadas, o número de vitórias foi igual ao número de derrotas.
c) A média de pontos obtidos por rodada, nessas doze rodadas, é igual a 1,5 pontos.
d) A equipe conseguiu dois empates entre a sétima e a nona rodadas.
e) Nas doze rodadas, a equipe empatou três vezes.
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QUESTÃO 3
Para construir um gráfico de setores, representando alguma estatística a respeito de sua turma, um estudante fez a divisão ilustrada na imagem e colocou nele um número referente a um dos setores do gráfico. A respeito dessa construção, assinale a alternativa correta.
a) O maior ângulo central nesse gráfico mede 150°.
b) O número total de alunos nessa turma é 62.
c) O menor setor do gráfico está relacionado a 9 alunos.
d) Não é possível garantir que os setores são proporcionais aos números que representam.
e) O maior setor desse gráfico representa 20 alunos.
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QUESTÃO 4
O gráfico a seguir diz respeito aos resultados obtidos por uma turma de alunos de um curso preparatório específico para professor de educaçãobásica.
Resultados dos professores no curso preparatório
Para continuar no mercado, é necessário que esse curso aprove pelo menos 70% de seus alunos, que, por sua vez, são professores especializando-se. Sabendo que os aprovados são apenas aqueles que obtiveram resultado ótimo ou excelente, pode-se afirmar que esse curso continuará no mercado?
a) Sim, pois o percentual de professores aprovados foi, aproximadamente, 70%
b) Sim, pois o percentual de professores aprovados foi, aproximadamente, 80%
c) Não, pois o percentual de professores aprovados foi, aproximadamente, 50%
d) Não, pois o percentual de professores aprovados foi, aproximadamente, 40%
e) Sim, pois o percentual de professores aprovados foi, aproximadamente, 90%
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RESPOSTAS
Questão 1
a) Incorreta!
O texto do exercício diz que as respostas devem ter como base exclusivamente os dados apresentados no gráfico. Como ele é referente apenas ao ano de 2015, não é possível garantir que a cotação do dólar em 2014 seguiu o mesmo padrão de 2015.
b) Incorreta!
Em 22 de setembro, a cotação do dólar foi a maior: 4,145. No dia 28 de setembro, a cotação foi de 4,109.
c) Incorreta!
A função apresenta alguns intervalos decrescentes, embora pareça ser crescente em um sentido geral. Por exemplo, do mês de março para abril, a função é decrescente.
d) Correta!
e) Incorreta!
Os valores presentes na tabela são referentes ao último dia do mês. A linha que liga esses valores não é exata, pois indica um “progresso médio” da cotação do dólar. Assim, do mês de julho para o mês de agosto, em média, a cotação do dólar aumentou, mas nada garante que exatamente no dia 15 de agosto ela tenha sido maior que 3,629.
Letra D
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Questão 2
a) Incorreta!
Na segunda rodada, a equipe venceu o jogo, subindo seu ranking para 4 pontos.
b) Correta!
c) Incorreto!
A média dos pontos obtidos por rodada é a soma de todos os pontos obtidos, dividida pelo número de rodadas jogadas. Pela tabela, o time alcançou 17 pontos em 12 rodadas:
17/12 = 1,42 aproximadamente.
d) Incorreta!
A equipe venceu o jogo da sétima rodada e perdeu os jogos da oitava e nona.
e) Incorreta!
A equipe empatou em duas rodadas: primeira e décima.
Alternativa B
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Questão 3
Observe que as medidas do lado direito desse gráfico são ambas com 90°, totalizando 180°. Para os dois outros ângulos, sobram apenas 180°. Como 30° é a medida do ângulo do menor setor, então 150° é a medida do ângulo do maior setor. Portanto, a alternativa correta é a letra A.
Para mostrar que as outras alternativas estão erradas, basta usar regra de três e descobrir os valores específicos de cada parte do gráfico.
Alternativa A
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Questão 4
O percentual de professores aprovados é dado pela quantidade de professores aprovados, dividido pelo total de professores e multiplicado por 100.
10·100
 14       
0,714·100 = 71,4%
Aproximadamente 70% dos alunos foram aprovados.
 Alternativa A
Conheça as unidades de medida
	GRANDEZA
	NOME DA UNIDADE
	SÍMBOLO (SI)
	comprimento
	metro
	m
	capacidade
	litro
	l
	massa
	quilograma
	kg
	superfície/área
	metro quadrado
	m²
	medidas agrárias
	are
	a
	volume
	metro cúbico
	m³
	tempo
	segundos
	s
Medidas de comprimento
Comprimento é, talvez, a medida mais utilizada no cotidiano. Por isso, acredito que todos devem ter facilidades para entender essa grandeza e sua unidade de medida.
Perceba pela imagem que para uma conversão para a direita é o mesmo que multiplicar por 10. Enquanto que para a esquerda é dividir por 10.
Dessa forma, podemos entender que para multiplicar por 10 basta deslocar a vírgula para a direita uma vez, que é a quantidade de zeros. Para dividir basta deslocar a vírgula para a esquerda uma vez, a quantidade de zeros.
Então se quisermos converter metro (m) em milímetro (mm), multiplicamos por 1000 (10 x 10 x 10), que é o mesmo que deslocar a virgula três casas à direita. 1 metro tem 1000 milímetros. Se quisermos converter metros (m) em kilômetros (km), temos que dividir por 1000 (10 ÷ 10 ÷ 10), que é o mesmo que deslocar a vírgula três casas à esquerda. 1 metro equivale a 0,001 km.
A unidade de medida padrão: metro (m)
· Quilômetros → 1 km = 1000 m
· Hectômetro → 1 hm = 100 m
· Decâmetro → 1 dam = 10 m
· Metro → 1 m = 1 m
· Decímetro → 1 dm = 0,1 m
· Centímetro → 1 cm = 0,01 m
· Milímetro → 1 mm = 0,001 m
Exemplos:
· Converter 10 dam em cm:
· dam → m → dm → cm
· 10 dam = 10 m = 1.000 dm = 10.000 cm
É o mesmo que deslocar a vírgula para a direita em três casas:
· 10 dam = 10.000 cm
· Converter 320 dm em km:
· km ← hm ← dam ← m ← dm
É o mesmo que deslocar a vírgula quatro casas à esquerda.
· 320 dm = 0,0320 km
Medidas de capacidade
Medidas de capacidade também é muito importante no nosso cotidiano. A unidade padrão para essa grandeza é o litro (l).
· Quilolitro → 1 kl = 1000 l
· Hectolitro → 1 hl = 100 l
· Decalitro → 1 dal = 10 l
· Litro → 1 l = 1 l
· Decilitro → 1 dl = 0,1 l
· Centilitro → 1 cl = 0,01 l
· Mililitro → 1 ml = 0,001 l
Exemplo:
· Converter 20 ml em dl
· dl  ←  cl  ← ml
Basta deslocar a vírgula duas casas decimais à esquerda.
· 20 ml = 0,20 dl
Pela imagem abaixo veja que converter é o mesmo que dividir por 10 para a esquerda ou multiplicar por 10 para a direita. Também pode se entender que essa multiplicação ou divisão é o mesmo que deslocar a vírgula uma vez de uma unidade para a outra.
Medidas de massa
A grandeza massa não é muito usual no dia a dia, mas muito comum quando nos deparamos com problemas de física. Unidade padrão: quilograma (kg)
· Quilograma → 1 kg = 1000 g
· Hectograma → 1 hg = 100 g
· Decagrama → 1 dag = 10 g
· Grama → 1 g = 1 g
· Decigrama → 1 dg = 0,1 g
· Centigrama → 1 cg = 0,01 g
· Miligrama → 1 mg = 0,001 g
Dizemos que 1.000 kg corresponde a 1 tonelada  
· 1 t = 1.000 kg
Exemplos:
· Converter 32 g em hg:
· hg  ←  dag  ←  g
Deveremos deslocar a vírgula duas casas decimais para a esquerda.
· 32 g   =  0,32 hg
· Converter 782 kg em toneladas:
Uma tonelada (1t) equivale a 1.000 kg. Assim, devemos dividir a quantidade de kg por 1.000, que é o mesmo que deslocar a vírgula trêscasas decimais à esquerda.
Logo, 782 kg = 0,782t
Estude a imagem para entender melhor.
Medidas de superfície ou área
Medidas de superfície ou área também está presente no nosso dia a dia. A unidade de medida padrão é: metro quadrado (m²)
· 1 km² → 1.000.000 m² = 106 m²
· 1 hm² → 10.000 m² = 104 m²
· 1 dam² → 100 m² = 102 m²
· m² → 1 m² = 1 m²
· 1 dm² → 0,01 m² = 10-2 m²
· 1 cm² → 0,0001 m² = 10-4 m²
· 1 mm² → 0,000001 m² = 10-6 m²
Medidas agrárias
Os fazendeiros devem conhecer essa unidade de medida muito bem e, aqui, você também vai entender. A unidade de medida padrão é: are (a)
· 1 a = 1 dam²
· Hectare (ha) = 1 hm² (100 m x 100 m) ou (10m x 1000m) ou (1m x 10.000m) igual a 10.000m²
· Centiare (ca) = 1 m²
Exemplos:
· Converter 3,2 hm² em m²:
· hm²  →  dam²  →  m²
· 3,2 hm² = 320 dam² = 32.000 m²
É o mesmo que deslocar a vírgula quatro casas decimais à direita, pois as unidades são quadradas.
· Converter 48,6 dm² em m²:
· m² ← dm²
Deveremos deslocar a vírgula duas casas decimais à esquerda.
· 48,6 dm² = 0,486 m²
· Converter 21,7 ha (hectare) em km²:
· 21,7 ha = 21,7 hm²
· km²  ←  hm²
Deveremos deslocar a vírgula duas casas decimais à esquerda.
· 21,7 ha = 21,7 hm² = 0,217 km²
Medidas de volume
Quem nunca quis saber quanto cabe em uma caixa d’água, por exemplo. Para essa grandeza utilizamos a unidade de media padrão: metro cúbico (m³)
· 1 km³ = 109 m³
· 1 hm³ = 106 m³
· 1 dam³ = 103 m³
· m³ → 1 m³ = 1 m³
· 1 dm³ = 10-3 m³ (equivale a 1 litro)
· 1 cm³ = 10-6 m³
· 1 mm³ = 10-9 m³
Exemplos:
· Converta 2.578 mm³ em dm³:
· dm³ ← cm³ ← mm³
· 2.578 mm³ = 2,578 cm³ = 0,002.578 dm³
Na prática, é o mesmo que deslocar a vírgula três casas decimais para esquerda.
· Converta 28,3 m³ em dm³:
· m³ → dm³
Deveremos deslocar a vírgula três casas decimais para a direita.
· 28,3 m³ = 28.300 dm³
Medidas de tempo
A unidade de medida de tempo é uma das mais importantes utilizadas na física e também no nosso dia a dia. No sistema internacional de medidas (SI), a