Aula 11 - Ensemble Microcanônico (SIGAA)

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Interação Térmica
Interação Térmica e Mecânica
Conexão entre o Ensemble Microcanônico e a Termodinânica
Aula 11 - Ensemble Microcanônico
Mestrado Nacional Profissional em Ensino de Física
Prof. Elton Malta Nascimento
emn@fis.ufal.br
Instituto de Física
UFAL
Maceió
2019
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Interação Térmica
Interação Térmica e Mecânica
Conexão entre o Ensemble Microcanônico e a Termodinânica
Interação Térmica
Sistema constituído por dois fluidos separados inicialmente por uma
parede adiabática, fixa e impermeável.
O número de estados acessíveis ao sistema é dado por
Ω1(E1, V1, N1)
Ω2(E2, V2, N2)
}
Ω = Ω1(E1, V1, N1)Ω2(E2, V2, N2)
Fazendo a parede de separação diatérmica, a energia total do
sistema se mantém constante E0 = E1 + E2.
Eliminando as constantes para simplificar a notação
Ω(E1;E0) = Ω1(E1)Ω2(E0 − E1)
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Interação Térmica
Interação Térmica e Mecânica
Conexão entre o Ensemble Microcanônico e a Termodinânica
Interação Térmica
Postulado fundamental da mecânica estatística: todos os estados acessíveis a
um sistema fechado são igualmente prováveis.
P (E1) = cΩ(E1;E0) = cΩ1(E1)Ω2(E0 − E1)
onde c é uma constante de normalização.
Aumentando E1, a função Ω1(E1) cresce enquanto a função Ω2(E0 − E1)
decresce, sugerindo a existência de um máximo para P (E).
Calculando o lnP (E1)
lnP (E1) = ln c+ ln Ω1(E1) + ln Ω2(E0 − E1)
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Interação Térmica
Na probabilidade máxima temos
∂ lnP (E1)
∂E1
=
∂Ω1(E1)
∂E1
− ∂Ω2(E2)
∂E2
= 0
Da definição de entropia S(E) = kB ln Ω(E):
1
kB
∂S(E1)
∂E1
=
1
kB
∂S(E2)
∂E2
Sendo T =
(
∂U
∂S
)
V,N
temos portanto que T1 = T2.
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Interação Térmica
Interação Térmica e Mecânica
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Interação Térmica
Contato térmico entre dois gases ideais clássicos
Número de estados acessíveis:
Ω(E) = CE
3
2
N , lnP (E1) = constante+
3
2
N1 lnE1 +
3
2
N2 lnE2
Calculando a derivada em relação a E1
∂ lnP (E1)
∂E1
=
3
2
N1
E1
− 3
2
N2
E2
Na condição de estremo obtemos
E˜1
N1
=
E˜2
N2
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Interação Térmica
No ponto de máximo podemos escrever ainda:
∂Ω1
∂E1
=
∂ ln Ω2
∂E2
, → 1
kB
∂S(E1)
∂E1
=
1
kB
∂S(E2)
∂E2
Onde podemos obter as relações
1
kBT1
=
3N1
2U1
=
1
kBT2
=
3N2
2U2
Sendo T1 = T2 = T
U =
3
2
NkBT
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Interação Térmica
Considerando a segunda derivada
∂2 lnP (E1)
∂E21
= −3
2
N1
E21
− 3
2
N2
E22
No ponto extremo fazemos E = U = 3
2
NkBT , obtemos(
∂2 lnP (E1)
∂E21
)
max
= −2
3
N1 +N2
k2BT
2N1N2
< 0
garantido a condição de máximo.
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Interação Térmica e Mecânica
Reconsiderando o sistema para uma parede divisória diatérmica
e móvel, de forma que
E1 + E2 = E0 e V1 + V2 = V0
Número de estados acessíveis ao sistema em equilíbrio será
Ω(E1, V1;E0, V0) = Ω1(E1, V1)Ω2(E0 − E1, V0 − V1)
A probabilidade de encontrar o sistema num estado caracterizado pelos parâmetros E1, V1 e N1
será dado por
P (E1, V1) = cΩ1(E1, V1)Ω2(E0 − E1, V0 − V1)
onde c é uma constante de normalização tomando em consideração todas as possibilidades de E1 e
V1.
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Interação Térmica e Mecânica
Calculando o ponto de máximo do logaritmo
∂ lnP (E1, V1)
∂E1
=
∂ ln Ω1(E1, V1)
∂E1
− ∂ ln Ω2(E2, V2)
∂E2
= 0
e
∂ lnP (E1, V1)
∂V1
=
∂ ln Ω1(E1, V1)
∂V1
− ∂ ln Ω2(E2, V2)
∂V2
= 0
Da definição de entropia e da relação(
∂S
∂V
)
=
(
∂S
∂U
)(
∂U
∂V
)
=
1
T
(−p)
obtemos
1
T1
=
1
T2
e
p1
T1
=
p2
T2
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Interação Térmica
Interação Térmica e Mecânica
Conexão entre o Ensemble Microcanônico e a Termodinânica
Interação Térmica e Mecânica
No limite termodinâmico, a entropia do sistema composto é a
soma da entropia dos subsistemas.
SC = kB ln ΩC = kB ln
{
E0∑
E1=0
Ω1(E1)Ω2(E0 − E1)
}
A somatória deve ser:
Maior que o temo máximo Ω1(U1)Ω2(E0 − U1).
Menor que o termo máximo multiplicado pelo número de termos (E0/δE)
Ω1(U1)Ω2(E0 − U1) ≤
E0∑
E1=0
Ω1(E1)Ω2(E0 − E1) ≤ E0
δE0
Ω1(U1)Ω2(E0 − U1)
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Interação Térmica e Mecânica
Conexão entre o Ensemble Microcanônico e a Termodinânica
Interação Térmica e Mecânica
Sendo todos os termos positivos, vale a desigualdade para o logaritmo
ln Ω1(U1) + ln Ω2(E0 − U1) ≤ ln
{
E0∑
E1=0
Ω1(E1)Ω2(E0 − E1)
}
≤ ln Ω1(U1) + ln Ω2(E0 − U1) + lnE0 − ln δE
Portanto temos
S1(U1) + S2(U2) ≤ SC ≤ S1(U1) + S2(U2) + kB lnE0 − kB ln δE
No limite termodinâmico N1, N2 →∞ e U1, U2 →∞
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Conexão entre o Ensemble Microcanônico e a Termodinânica
Conexão entre o Ensemble Microcanônico e a Termodinâmica
Segundo postulado da mecânica de equilíbrio, a definição da entropia possibilita a conexão entre o
ensemble microcanônico e a termodinâmica.
S(E, V,N) = kB ln Ω(E, V,N)
A conexão deve ser feita sempre no limite termodinâmico, onde E, V,N →∞ com E/N = u,
V/N = v fixos.
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Interação Térmica e Mecânica
Conexão entre o Ensemble Microcanônico e a Termodinânica
Conexão entre o Ensemble Microcanônico e a Termodinâmica
Exemplo 1: paramagneto ideal de spin 1/2
N partículas localizadas, de spin 1/2, na presença de um campo magnético
H = −µ0H
N∑
j=1
σj
O número de microestados acessíveis com energia fixa E é dada por
Ω(E,N) =
N ![
1
2
(
N − E
µ0H
)]
!
[
1
2
(
N +
E
µ0H
)]
!
ln Ω(E,N) = lnN !− ln
[
1
2
(
N − E
µ0H
)]
!− ln
[
1
2
(
N +
E
µ0H
)]
!
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Conexão entre o Ensemble Microcanônico e a Termodinânica
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Série Assintótica de Stirling
n! ≈ nne−n(2pin)1/2
tomando o logaritmo natural
ln! = n lnn− n ln e+ 1
2
ln(2pin)
No limite termodinâmico, os temos de ordem lnn vão desaparecer.
lnn! = n lnn− n
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Conexão entre o Ensemble Microcanônico e a Termodinânica
Conexão entre o EnsembleMicrocanônico e a Termodinâmica
Exemplo 1: paramagneto ideal de spin 1/2
Utilizando a expansão de Stirling
ln Ω(E,N) = N lnN − 1
2
(
N − E
µ0H
)
ln
[
1
2
(
N − E
µ0H
)]
− 1
2
(
N +
E
µ0H
)
ln
[
1
2
(
N +
E
µ0H
)]
+O(lnN, lnE)
Aplicando o limite termodinâmico
lim
E,N→∞, E
N
=u
1
N
ln Ω(E,N) = ln 2− 1
2
(
1− u
µ0H
)
ln
(
1− u
µ0H
)
− 1
2
(
1 +
u
µ0H
)
ln
(
1 +
u
µ0H
)
A entropia por partícula será
s(u) = kB ln 2− 1
2
kB
(
1− u
µ0H
)
ln
(
1− u
µ0H
)
− 1
2
kB
(
1 +
u
µ0H
)
ln
(
1 +
u
µ0H
)
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Exemplo 1: paramagneto ideal de spin 1/2
Obtendo as propriedades termodinâmicas
1
T
=
∂s
∂u
=
kB
2µ0H
ln
(
1− u
µ0H
)
− kB
2µ0H
ln
(
1 +
u
µ0H
)
Invertendo a equação de estado na representação de
entropia obtemos
u = −µ0H tanh
(
µ0H
kBT
)
Da descrição puramente estatística, sabe-se que E = −µ0HN1 + µ0HN2, de forma que podemos
definir
u =
E
N
=
−µ0HN1 + µ0HN2
N
= −Hµ0N1 − µ0N2
N
= −Hm
onde m é a magnetização por partícula.
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Conexão entre o Ensemble Microcanônico e a Termodinânica
Conexão entre o Ensemble Microcanônico e a Termodinâmica
Exemplo 1: paramagneto ideal de spin 1/2
Igualando as expressões obtemos
m = µ0 tanh
(
µ0H
kBT
)
Obtendo a suscetibilidade magnética
χ(T,H) =
(
∂m
∂H
)
T
=
µ20
kBT
cosh−2
(
µ0H
kBT
)
A campo nulo temos
χ0(T ) = χ(T,H = 0) =
C
T
onde C = µ20/kB > 0. Esta é a expressão da conhecida Lei de Curie para o paramagnetismo.
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