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Cálculo III Aula 1: Funções com valores vetoriais Apresentação Nesta aula, apresentaremos a de�nição de funções vetoriais de uma variável real, o conceito, a notação e a relação entre conteúdos aprendidos em disciplinas anteriores. Também apresentaremos a parametrização de algumas curvas. A disciplina Cálculo III apresentará o conteúdo de integral que envolve várias variáveis e suas diversas aplicações. Além de despertar no aluno a curiosidade de veri�car e conhecer as aplicações, em diversas áreas, tais como em Física, Economia etc. Para isto o aluno necessitará identi�car e compreender os métodos de integração envolvendo várias variáveis e assim poder conhecer a aplicação em problemas clássicos. A disciplina Cálculo III permitirá resgatar conteúdos de Cálculo I e Cálculo II, Introdução ao Cálculo e Matemática Básica, mostrando assim ao aluno a importância da interdisciplinaridade. Estudaremos generalizações da Geometria e adaptações da derivada e de integral, dando aplicações e interpretações sob diversos pontos de vista. Objetivos Aprender funções com valores vetoriais; Estabelecer a notação e a relação entre conteúdos aprendidos em disciplinas anteriores; Reconhecer a parametrização de algumas curvas. Premissa Nos cursos anteriores, trabalhamos com função de uma variável, nesta disciplina trabalharemos com funções que são vetores e mais a frente com funções que podem ter mais de uma variável. Neste momento, iremos trabalhar com uma variável escalar t e uma função f ( t ), onde as operações representadas reproduzem um vetor. Portanto, de�nimos função vetorial como uma função cujo domínio é um conjunto de números reais e cuja imagem é um conjunto de vetores. Atenção Lembre-se que se estamos trabalhando com vetores, todas as propriedades e as operações aprendidas no curso anterior (cálculo vetorial) são válidas aqui. A seguir veremos uma das aplicações do conceito de função vetorial. Fórmulas (Fonte: Gerd Altmann por Pixabay ). Movimentos de partículas no Espaço Podemos associar uma partícula no espaço como sendo um ponto no espaço. Na disciplina de Cálculo Vetorial e Geometria Analítica aprendemos que a posição deste no espaço é associada a um vetor de coordenadas (x, y, z). Imagine que esse ponto se desloque em cada instante de tempo t, portanto descreverá uma curva (função). Logo, x está escrito em função do tempo, ou seja, x = x(t). Analogamente, de�nimos y = y(t) e z = z(t). Podemos então escrever este vetor da seguinte maneira, σ(t) = (x(t), y(t), z(t)), estes estão de�nidos no intervalo I, I ⊂ R , com valores em R , t Є I.3 Atenção Aprendemos em Cálculo Vetorial que qualquer vetor pode ser escrito usando os vetores unitários i, j, k nas direções dos respectivos eixos coordenados x , y e z , isto é, i = ( 1, 0, 0), j = ( 0, 1, 0 ) e k = (0, 0, 1). O vetor posição pode então ser determinado pela equação vetorial σ(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k. Geometricamente, o vetor σ(t) é representado geometricamente pelo vetor OP (O = origem): Exemplo Exemplo: σ(t) = (t2 , cos t, t3) então x(t) = t2 , y(t) = cos t e z(t) = t3 De�nições Uma função de uma variável real a valores em R é uma função σ : A ⊂ R → R . Esta função associa a cada real t ∈ A, um único vetor σ(t) ∈ R . O conjunto imagem ou trajetória de σ é o lugar geométrico em R descrito por σ(t) quando t varia no domínio de σ. Imσ = {σ(t) ∈ R / t ∈ Dσ } Uma função de uma variável real a valores em R é uma função σ : A ⊂ R → R . Esta função associa a cada real t ∈ A, um único vetor σ(t) ∈ R Uma função cujo domínio é um conjunto de números reais e cuja imagem é um conjunto de vetores é chamada função vetorial. 2 2 2 2 2 3 3 3. Exemplo Exemplo: ƒ : I ⊂ R → R σ (t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ I Onde x(t), y(t), z(t) são funções reais de�nidas em I. Agora veremos uma associação do que foi aprendido na disciplina de Cálculo à função vetorial. n Limite Aprendemos várias regras para calcular todas as formas de limites em função de uma variável. Agora, traremos todas aquelas regras para uma função vetorial. O limite de um vetor σ (t) quando t se aproxima de t é de�nido por:1 limt→ t1R σ t = limt→ t1x t , limt→ t1y t , limt→ t1z t( ) ( ( ) ( ( ) ( ( )) Se os limites individuais existirem, ou seja: limt→ t1x t , limt→ t1y t , limt→ t1z t( ( ) ( ( ) ( ( )) Exemplo EXEMPLO 1: Para σ (t) = ( t , cos t, t ) temos limt→ t1σ t = limt→ t1x t , limt→ t1y t , limt→ t1z t quanto t → t1será limt→ 0σ t = limtt→ 02, limcos t t→ 0, limt3 = 0, 1, 0 t→ 0 EXEMPLO 2: Para σ (t) = ( t , cos t, 8 - t3 4 - t2 onde queremos analisar limt→ 2σ t Observe que o componente z(t) nos dá uma indeterminação. Portanto temos que usar a regra de L’Hospital para resolver tal limite. limt→ 2 t = 2, lim cos t t→ 2 = cos e limt→ 2 t 8 - t3 4 - t2 = limt→ 2 3t2 22t = 3. Logo: limt→ 2 σ t = 2, cos 2, 3 2 3 ( ) ( ( ) ( ( ) ( ( )) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) Continuidade A função σ(t) é contínua em t ∈ I se, e somente se x(t), y(t) e z(t) são contínuas em t. Lembre-se da de�nição de continuidade aprendida na disciplina de Cálculo. Segundo o critério de continuidade de uma função, a função será contínua, caso o limite e a função, no ponto em estudo, existam e sejam iguais, isto é, σ t1 = lim σ(t). t→ t1 Ainda podemos acrescentar que σ(t) será contínua no intervalo I, se σ(t) for contínua para todo t no intervalo I, neste caso o ponto P do vetor σ(t) descreverá uma curva C em R3 . ( ) Derivada A derivada da função σ(t) usará as mesmas regras e as mesmas condições aprendidas na disciplina de Cálculo, além da mesma de�nição, porém agora trabalharemos com vetor, como pode ser visto a seguir. A derivada da função vetorial σ(t), t ∈ I, é a função vetorial denotada por σ'(t) e de�nida por: σ t1 = lim ∆ t→ 0 σ ( t - ∆ t ) - σ ( t ) ∆ t Se x’(t), y’(t) e z’(t) existirem. ( ) Notação: σ(t) ser de Classe C no intervalo I, signi�ca que σ(t) é diferenciável no intervalo I e σ'(t) é contínua no intervalo I.1 A interpretação geométrica de derivada continua valendo para função vetorial, portanto σ'(t) será o vetor tangente à curva no ponto P. PQ= OQ – OP PQ = σ(t + ∆ t) - σ(t) 1 ∆ tPQ = 1 ∆ t σ t + ∆ t - σ t 1 ∆ tPQ → Mesma direção de PQ Se ∆ t → 0 temos que Q tende para P 1 ∆ tPQ → Vetor tangente a C em P [ ( ) ( )] Exemplo Dada a função σ(t) = (t , cos t, t ) então o vetor σ'(t) será (2t, - sen t, 3t ).2 3 2 Teorema (Regra da Cadeia para Funções Vetoriais) Se σ(u) é uma função vetorial diferenciável em I. Seja u uma função real diferenciável de uma variável real t cuja imagem está contida em I, então: d dt = σ u t = d dt = σ u t d dt = u t Demonstração: Suponha: σ (u (t)) = (x (u (t)), y (u (t)), z (u (t))) Então: d dt = σ u t = d dt x u t d dt = y u t , d dt z u t ( ( )) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ( ( )) ( ( )) ( ( )) ) Cálculos (Fonte: Gerd Altmann por Pixabay). Curvas Parametrizadas Como foi visto anteriormente, segundo o critério de continuidade de uma função, o ponto P do vetor "σ" (t) descreverá uma curva C em R quando "σ" (t) for contínua para todo t no intervalo I. Portanto, de�nimos a equação "σ" (t) = (x(t), y(t), z(t)) como a parametrização da curva C e as componentes x(t), y(t), z(t) são chamadas de equações paramétricas da curva C, onde a variável t denominaremos como parâmetro. 3 Atenção Observe que podemos trabalhar parametrização em R , para isto basta que z(t) = 0.2 Exemplo σ t = t2, cos t, t3 onde x t = t2, y t = cos t e z t = t3são as equações paramétricas. Podemos trabalhar com curvas paramétricas no cálculo de limite e derivada. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Parametrização Natural Seráa parametrização do tipo σ(t) = (t, f(t)). Exemplo A equação da reta y = 6x + 9 pode ser parametrizada considerando a parametrização natural, ou seja, σ(t) = (t ,6t+9). Exemplo Determine a parametrização para a curva f(x) = x Lembre-se: f (x) = y. Então podemos de�nir para a equação cartesiana a seguinte parametrização: x = t, y = t (parametrização natural). Nesse exemplo, poderíamos ter x = t e consequentemente y = x e muitas outras de�nições para x que determinariam outros y. Portanto, a parametrização de uma curva, não é a única. 2 2 2 4 Podemos também trabalhar no processo inverso. Dada a equação paramétrica de uma curva, encontra a equação cartesiana correspondente à parametrização. Exemplo Seja x = 3t – 4 e y = 6 – 2t. Determine a equação da reta. Basta isolar, em uma das equações, o parâmetro t e depois substituir na outra ou isolar o parâmetro t em ambas e igualar as equações, ou seja, estamos trabalhando com sistema de equações. t = ( x+ 4 ) 3 Substituindo em y = 6 - 2 ( x+ 4 ) 3 e arrumando a equação, obteremos y = 10 - 2x 3 (equação reduzida) ... Ou 3y + 2x – 10 = 0 (equação geral da reta) Em cálculo vetorial aprendemos que no R , uma reta pode ser determinada quando:3 1 Conhecemos um de seus pontos e a sua inclinação (direção) 2 Conhecemos dois pontos que pertencem à reta Para qualquer caso a reta é de�nida como r = V t + P, onde v é o vetor direção, t o parâmetro e P é um ponto que pertence à reta. Quando conhecemos apenas os dois pontos que pertencem à reta, podemos de�nir o vetor direção (subtraindo o ponto �nal menos o inicial) e voltamos a trabalhar com a reta r = V t + P. Se desejarmos de�nir a parametrização de uma reta em R , estaremos construindo o vetor:3 σ t = vx t + x0, vz t + y0, vz t + z0 = vx, vy, vz t + x0, y0, z0 . t ∈ R( ) ( ) ( ) ( ) Saiba mais Também podemos construir uma expressão cartesiana da reta (equação simétrica da reta), isto é, eliminando o parâmetro t nas equações paramétricas da reta, isto é, para x = v t + x , y = v t + y e z = v t + z , teremos: x - x0 vx = y - y0 xy = z - z0 vz x 0 y 0 z 0 Parametrização Natural: exemplos Exemplo 1: Determinar o vetor direção da reta, para a curva σ (t) = (t , t , t) Neste caso, estamos fazendo o processo inverso, temos a paramétrica, x = t , y = t e z = t. 3 2 3 2 Lembre-se: σ (t) = (v t + x , v t + y , vz t + z ) = (v , v , v ) t + (x0, y0,z0). Logo o vetor direção será v (1, 1,1) e P0 (0,0,0). A reta r será: (1,1, 1) t + (0, 0,0) x 0 y 0 0 x y z De�nição: Seja σ : A ⊂ R → Rn derivável em t0, com dσ dt to ≠ → 0. Dizemos que dσ dt to é um vetor tangente à trajetória de σ, em σ t0 . Além disso, a reta x = σ t0 + λ dσ dt t0 , com ƛ Є R é dita reta tangente à trajetória de σ no ponto σ(t0). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Exemplo 2: Calcular a reta tangente para a curva σ t = t3, t2, t no ponto P = (1,1, 1).( ) ( ) Para esse caso devemos identi�car qual o valor do parâmetro t que satisfaz a curva. Podemos observar que o único valor é t = 1. Devemos encontrar a derivada da função vetorial, isto é, σ'(t) = (3t , 2t, 1), essa função nos leva ao vetor diretor (vetor tangente a curva), ou seja, o vetor v = (3,2,1). 2 Portanto, podemos construir a reta tangente como: r: V t + P X = Vxt + Px Y = Vyt + Py Z = Vzt + Pz X = 3t + 1 Y = 2t + 1 Z = 1t + 1 { { Parametrização da circunferência Para parametrizar uma circunferência deveremos usar as coordenadas polares aprendidas na disciplina de Cálculo anteriormente. Seja C a circunferência no plano xy de centro (a, b) e raio r de�nimos a parametrização de C como: x(t) = r cos θ + a Y(t) = r sen θ + b 0 ≤ θ ≤ 2 π{ Quando a circunferência tem centro na origem (0,0) e queremos de�nir a equação cartesiana da circunferência eliminamos o parâmetro θ. x(t) = r cos θ Y(t) = r sen θ > X + Y = r{ 2 2 2 Parametrização de algumas curvas importantes Cicloide Parametrização da cicloide (curva plana descrita por um ponto P sobre uma circunferência quando gira ao longo de uma reta). σ (t) = ( r (θ – sen θ), r (1 – cos θ) ), θ ∈ R Hélice Circular Parametrização para a hélice circular (curva descrita por um ponto P = (x,y,z) que se move em torno do eixo z mantendo uma distância constante a > 0 desse eixo. Simultaneamente ele se move paralelamente ao eixo z de modo que sua terceira componente é proporcional ao ângulo de rotação com constante de proporcionalidade b ≠ 0. Considerando o início do movimento em P = (0,0,0). σ (t) = ( r cos θ, r sen θ, b θ), θ ∈ R Atenção Você deverá veri�car como exercício a demonstração para de�nir essa parametrização, tal demonstração envolve a teoria aprendida na disciplina de Geometria. Além de pesquisar sobre outras parametrizações como para curva de Agnesi, da involuta, da hipocicloide, astroide etc. Notas Texto 1Referências AYRES JR, Frank. Teoria e Problemas de Cálculo.4ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. GUIDORIZZI H ilt L i C d Cál l 5ª d Ri d J i LTC 2001 4 GUIDORIZZI, Hamilton Luiz.Curso de Cálculo.5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 4.v. GONÇALVES, Marcelo dos Anjos e Silva; FLEMING, Diva Maria.Cálculo C: funções vetoriais, integrais curvilíneas, integrais de superfície.3ª ed. São Paulo: Makron, 2004. IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; MACHADO, Nílson José.Fundamentos de Matemática Elementar, 8; limites, derivadas, noções de integral. 5ª ed. São Paulo: Atual, 2001. LEITHOLD, Louis.Cálculo com geometria analítica. 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1994-2002. 2v. PINTO, Diomara; MORGADO, Maria Candida Ferreira.Cálculo diferencial e integral de funções de várias variáveis. 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2005. SAFIER, Fred.Teoria e Problemas de Pré-Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2007. STEWART, James.Cálculo. 5ª ed. São Paulo: Pioneira, 2001-2006. Próxima aula Aplicações de funções vetoriais de uma variável real. Explore mais Pesquise na internet, sites, vídeos e artigos relacionados ao conteúdo visto. Em caso de dúvidas, converse com seu professor online por meio dos recursos disponíveis no ambiente de aprendizagem.
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