MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES E AMORTECIDO - PÊNDULO

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MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES E AMORTECIDO - PÊNDULOS 
 
Marcela Vitória Silva Oliveira 
 
O movimento harmônico simples é a projeção ortogonal de um movimento circular uniforme sobre uma 
reta x. Este movimento está presente mais do que imaginamos, no nosso dia a dia, está presente em molas, pêndulos 
e na rotação e translação da Terra. Ele acontece a partir de uma força com comportamento elástico atuando sobre o 
corpo, denominada força elástica ou força harmônica. Esse movimento é um movimento periódico (também 
conhecido como movimento oscilatório), onde se repetem intervalos de tempos iguais, posição, aceleração e 
velocidade, e, ainda, em algum momento o seu movimento muda de sentido. 
Define-se o período ( ) como sendo o tempo em que o corpo leva para completar um ciclo, ida e volta, T 
sendo assim (com sendo o número de ciclos):n 
T = n
Δt 
Equação 1. 
 
Já a frequência ( do movimento periódico, é tida como o inverso do período, isso porque o período é o ) f 
tempo para completar um ciclo, e a frequência conta quantos ciclos houveram em uma unidade de tempo, e a sua 
unidade de medida é usualmente hertz (Hz), r.p.m (rotação por minuto) ou r.p.s (rotação por segundo). 
 
hertz. f = 1T 
Equação 2. 
 
1. Função horária da elongação no movimento harmônico simples 
 
Repetindo que o movimento harmônico simples é a projeção ortogonal de um movimento circular 
uniforme sobre uma reta x, sendo uma circunferência de raio A, a elongação máxima do MHS. O ângulo de fase θ
determina a posição angular no movimento circular uniforme, num dado instante . A velocidade angular do t 
movimento circular uniforme, dada por , mede o valor do ângulo percorrido na unidade de tempo e fornece o w 
período ou frequência do MCU através das expressões ou , sendo assim, a projeção angular πf w = 2 w = T
2π 
ortogonal da partícula no eixo x e usando a relação trigonométrica do cosseno do ângulo para obter o valor para x: 
 
 
Fonte: Só física. 
 
osθ c = xA 
cosθ x = A 
Equação 3. 
 
Considerando que no MCU o ângulo varia em função do tempo, pode-se escrever em função do tempo, θ 
usando a função horária do deslocamento angular: 
 
tθ = θ0 + w 
Equação 4. 
 
Sendo assim, então, substituindo a equação 4 na equação 3, temos a equação da função horária da 
elongação no MHS: 
 
(t) cos(θ t)x = A 0 + w 
Equação 5. 
 
 
2. Função horária da velocidade no movimento harmônico simples 
 
Observa-se que a velocidade é a projeção da velocidade do movimento circular uniforme sobre o eixo da V V 
elongação x: 
 
 
Fonte: Mundo Educação. 
 
No triângulo retângulo obtemos que , onde: , negativo pois o sentido de v é enθ s = vvp − enθvp v = s 
contrário à orientação positiva do eixo x. Sabemos que ​, onde e , então, temos p R v = w R = A tθ = θ0 + w 
que: 
 
− Asen(θ t)v = w 0 + w 
Equação 6. 
 
3. Função horária da aceleração no movimento harmônico simples 
 
A aceleração do MHS é a projeção da aceleração do MCU sobre o eixo x: 
 
 
Fonte: Mundo educação. 
 
Onde o , entãoosθ c = aac 
, negativo pois a orientação do eixo x e da aceleração são distintas. Do movimento circular − cosθ a = ac 
uniforme temos que , onde ​pode ser descrito como , e para , temos , logo, R ac = w2 R A θ tθ = θ0 + w 
substituindo, temos que: 
 
− Acos(θ t)a = w2 0 + w 
Equação 7. 
 
4. O pêndulo simples 
 
Voltando o assunto para osciladores harmônicos simples, onde a força de retorno está diretamente ligada à 
gravitação, e não em propriedades elásticas. Considera-se um pêndulo simples composto por um corpo de massa 
suspensa por uma das extremidades de um fio inextensível, de massa desprezível e comprimento , onde suam L 
outra extremidade está fixa, como na figura abaixo: 
 
 
Fonte: Física UFPB. 
 
As forças atuantes no corpo de massa são a de tensão ( ) e a força gravitacional ( ​), onde o fio faz m Tˉ F gˉ 
um ângulo com a vertical, gerando um componente radial ​e , que é a tangente à trajetória do θ cosθF g senθF g 
peso. Essa componente tangencial produz um torque restaurador em relação ao ponto fixo do pêndulo, pois age no 
sentido oposto do deslocamento, tendendo a levar o corpo de volta ao seu ponto de equilíbrio. O torque restaurador 
pode ser descrito como: 
 
⊥F (senθ) τ = r 
− ⊥F τ = r 
Equação 8. 
 
Onde a grandeza , é a distância perpendicular entre o eixo de rotação e uma reta de ação, que tem a r 
direção do vetor , onde é o braço de alavanca de . O fato da equação ser negativa é que o torque age no Fˉ r Fˉ 
sentido de reduzir o valor do ângulo. Então, tendo como o braço de alavanca da componente , temos:L senθF g 
 
− (F senθ)τ = L g 
Equação 9. 
 
Substituindo a equação 9 na equação da segunda lei de Newton para rotações (onde é o α τ = I I 
momento de inércia do pêndulo e a aceleração angular), e substituindo por , temos que: α F g gm 
 
(mgsenθ) α − L = I 
Equação 10. 
 
Supondo que o ângulo seja muito pequeno, de forma a substituir por , explicitando , θ enθs θ α 
obtemos a equação equivalente à equação da aceleração no movimento harmônico simples: 
 
 α = I
−mgL θ 
Equação 11. 
 
Comparando a equação 11 com a equação da aceleração no MHS, notamos que a frequência angular do 
pêndulo é . Substituindo essa expressão de na equação de frequência angular no MHS ( w = √ ImgL w w =
, podemos definir o período do pêndulo como:T
2π 
 
π T = 2 √ ImgL 
Equação 12. 
 
Usando a equação do momento de inércia e a escrevendo como , substituindo na I r ) ( = m 2 L I = m 2 
equação 12 e simplificando, temos a seguinte expressão para pêndulo simples com pequena amplitude: 
 
π T = 2 √ gL 
Equação 13. 
 
5. Energia no pêndulo simples 
 
A energia de um oscilador linear é transformada repetidamente de energia cinética para energia potencial, e 
assim vice-versa, enquanto a soma das duas, a energia mecânica, permanece constante. 
A energia potencial de um sistema massa-mola está totalmente associada à mola, tendo seu valor 
dependente do grau de elongação ou compressão da mola, ou seja, de x(t), e a cinética associada ao corpo e seu 
valor depende da velocidade com que o bloco se move, de v(t). Essas duas energias, são descritas como, 
respectivamente (tendo ): x = A 
 
 U = 2
kx2 = 2
kx2m os (wt ) c 2 + θ 
Equação 14. 
 
, onde , ​então: K = 2
mv 2 = 2
mw x2 2m en (wt ) s 2 + θ /m w2 = k 
 K = 2
kx2m en (wt ) s 2 + θ 
Equação 15. 
 
A energia mecânica é então dada por: 
 
 E = U + K 
= 2
kx2m os (wt ) c 2 + θ + 2
kx2m en (wt ) s 2 + θ 
)+ ]= 2
kx2m [ os (wt c 2 + θ en (wt ) s 2 + θ 
Equação 16. 
 
Valendo a relação trigonométrica para qualquer ângulo :θ 
 
os θ en θc 2 + s 2 = 1 
Equação 17. 
 
Então: 
 
 E = U + K = 2
kx2m 
Equação 18. 
 
 
6. Movimento harmônico simples amortecido 
 
O movimento de um pêndulo dura por apenas um curto período de tempo, visto que, há fluidos que 
exercem uma força de arrasto sobre o pêndulo (além de uma força de atrito agindo no ponto de sustentação), 
diminuindo a energia do movimento. Quando o movimento de um oscilador é reduzido por umaforça externa, 
dizemos que o oscilador e seu movimento foram amortecidos. 
Supondo que o fluido que provoca o amortecimento da oscilação exerce uma força de amortecimento F a
proporcional à velocidade do corpo, considerando um eixo x na vertical, temos a seguinte equação, onde é a vˉ b 
constante de amortecimento (unidade de medida em quilograma/segundo), e o sinal negativo indicando que se F a 
opõe ao movimento: 
 
− v F a = b 
Equação 19. 
 
 
A força elástica exercida sobre o corpo é , supondo que a força gravitacional é desprezível em − x Fm = k 
comparação com e , assim, podendo escrever a segunda lei de Newton para as componentes do eixo x F a Fm 
como: 
 
v x a − b − k = m 
Equação 20. 
 
Substituindo a velocidade pela sua derivada e a aceleração pela derivada dupla da velocidade e organizando 
a equação, obtemos a equação diferencial: 
 
m d x
2
d t 2
+ b dt
dx x + k = 0 
Equação 21. 
 
Cuja solução é , onde é a amplitude e é sua frequência angular. (t) e cos(w t ) x = xm −bt/2m ′ + θ xm w′ 
Essa frequência angular é: 
 
 w′ = √ km − b24m2 
Equação 22. 
 
 
 
7. Bibliografia 
 
1. JUNIOR, Ademar Paulo.Oscilador harmônico simples - Pêndulo Simples. Palmas: IFTO, 2019 
2. Departamento de física - UFPB. Pêndulo simples. Disponível em: 
<http://www.fisica.ufpb.br/~mkyotoku/texto/texto6.htm>. Acesso em: 12/04/2019. 
3. Física Essencial. Ondas. Disponível em: 
<http://fisicaessencial.blogspot.com/2013/02/ondas-fisica-ii.html>. Acesso em: 12/04/2019. 
4. HALLIDAY, RESNICK, WALKER. Fundamentos de Física. Vol. 1. 8 ed. Editora LTC, 2009. 
5. HALLIDAY, RESNICK, WALKER. Fundamentos de Física. Vol. 2. 8 ed. Editora LTC, 2009. 
6. MARQUES, Gil da costa. Movimento Harmônico Simples (MHS). 11, ed. São Paulo: USP/ Univesp. 
7. Mundo educação. Movimento Harmônico Simples. Disponível em: 
<https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/funcao-horaria-aceleracao-no-mhs.htm>. Acesso em: 
12/04/2019. 
8. Mundo educação. Função horária da velocidade no MHS. Disponível em: 
<https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/funcao-horaria-velocidade-no-mhs.htm>. Acesso em: 
12/04/2019. 
9. Só física. Funções horárias do movimento harmônico simples. Disponível em: 
<https://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/funhor.php>. Acesso em: 12/04/2019.