VIBRAÇÕES LIVRES NÃO-AMORTECIDAS

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Disciplina: Mecânica Vibratória
Aula 2: Vibrações Livres não Amortecidas
Centro Universitário do Norte
Escola de Arquitetura, Engenharia e TI 
Aula 2: Vibrações livres não amortecidas
TÍTULO DO SLIDE
Apresentação
Olá, pessoal!
Vamos começar mais uma aula, agora vamos abordar as
vibrações livres não amortecidas, estudar as oscilações
no sistema massa-mola, o pêndulo simples, no pêndulo
físico e no pêndulo de torção.
Desejo que seja um momento agradável e de
aprendizagem a todos.
Bom Estudo!
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TÍTULO DO SLIDE
CONTEÚDO
O conteúdo desta aula II, foi estruturado da seguinte forma:
- Movimento Harmônico Simples(MHS)
- Período, frequência, frequência angular
- Aplicações do MHS: Sistema Massa Mola 
- Velocidade, aceleração e energia do MHS
- Pêndulos simples
- Pêndulo físico
- Pêndulo de torção
- Método da Energia
Aula 2: Vibrações livres não amortecidas
Introdução
Olá pessoal, Agora chegou a hora de entender o que são
oscilações!
Vamos estudar o movimento oscilatório, entender as
características do Movimento Harmônico Simples, aplicações no
sistema, massa, em pêndulos e entender o que são sistemas
amortecidos, também vamos estudar as ondas sonoras e ondas
numa corda. Nesse momento vamos usar alguns conceito vistos
em cálculo como derivadas, e alguns conceitos da física I eII, tais
como funções posição, velocidade e aceleração.
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Oscilações
Nosso mundo é repleto de oscilações:
Ocorrem oscilações:
• Nas moléculas de ar em uma onda sonora
• Nas correntes elétricas em rádio.
• Nos pêndulos de relógios oscilam para direita e para
esquerda.
• As cordas vibram nos instrumentos musicais.
As oscilações ocorrem quando um sistema em equilíbrio estável 
é perturbado na sua posição.
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Movimento Harmônico Simples(MHS)
É o movimento de oscilação repetitiva, que não sofre
amortecimento e permanece com a mesma amplitude ao
longo do tempo.
Como exemplos, vamos estudar o movimento de um corpo
ligado a uma mola. Nesse movimento tem o período, a
frequência, a amplitude.
Na Figura, enquanto a mola faz um
movimento oscilatório na vertical, a caneta
presa faz um movimento ondulatório no
papel.
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Período e frequência
Esses conceitos de período, frequência e frequência angular são gerais, servem 
para o estudo de oscilação, ondas e movimento circular.
• Período (T): tempo de uma oscilação completa.
• Frequência (𝒇): número de oscilações completas por segundo.
𝑓 =
𝑛
Δ𝑡
Para uma oscilação completa: 𝑓 =
1
𝑇
• Frequência angular: num ciclo completo a dada por
𝜔 =
2𝜋
𝑇
Amplitude: é módulo máximo deslocamento do corpo a partir da posição de 
equilíbrio.
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Sistema massa mola em MHS
Consideremos um bloco de massa m é ligado a uma mola,
deslocando-se numa superfície horizontal sem atrito.
Ao tirar o bloco do seu estado de equilíbrio, deslocando-o a
uma posição x, começa um movimento oscilatório.
A posição do varia com o tempo pela função:
𝑥 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝜙
onde 𝐴,  e 𝜙 são constantes.
A: amplitude
: frequência angular
𝜙: constante de fase
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Velocidade, aceleração e energia mecânica
A velocidade
𝑣 𝑡 = −𝐴𝜔 sen 𝜔𝑡 + 𝜙
A aceleração
𝑎 𝑡 = −𝐴𝜔2 cos 𝜔𝑡 + 𝜙
A energia mecânica
𝐸𝑚𝑒𝑐 =
1
2
𝑘𝐴2
A frequência no sistema massa mola
𝑓 =
1
𝑇
=
1
2𝜋
𝑘
𝑚
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Demonstração
Quando a mola não está esticada nem comprimida, o bloco está
na posição de equilíbrio 𝑥 = 0.
Ao deslocar a massa até uma posição x, a mola sai de seu ponto
de equilíbrio. A força restauradora está sempre dirigida para o
ponto de equilíbrio e é sempre oposta ao deslocamento.
Lembrando da Lei de Hooke:
𝐹 = −𝑘𝑥
Onde F é a força elástica, k a constante elástica da mola e x o
deslocamento.
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Demonstração(cont.)
Aplicando a segunda lei de Newton
Σ𝐹 = 𝑚𝑎
A única força aplicada na massa é a força elástica, então
−𝑘𝑥 = 𝑚𝑎
A aceleração é a derivada da segunda da posição, logo
−𝑘𝑥 = 𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
ou
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
= −
𝑘
𝑚
𝑥 Eq. (1)
Agora, precisamos de uma função que satisfaça a essa equação 
diferencial de segunda ordem.
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Equação da posição do MHS
As funções senoidais seno e cosseno são funções que 
satisfazem a equação. Portanto a função sugerir a função:
𝑥 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝜙
Onde 𝐴,  e 𝜙 são constantes
A: amplitude
: frequência angular
𝜙: constante de fase
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Velocidade no MHS (demonstração)
Derivando a função posição temos a função velocidade:
𝑣 𝑡 =
𝑑𝑥 𝑡
𝑑𝑡
= −𝜔𝐴 sen 𝜔𝑡 + 𝜙
Onde 𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝜔𝐴 é a velocidade máxima.
Aceleração no MHS (demonstração)
Derivando a função velocidade temos a função aceleração:
𝑎 𝑡 =
𝑑2𝑥 𝑡
𝑑𝑡2
= −𝜔2𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝜙
Onde 𝑎𝑚𝑎𝑥 = 𝜔
2𝐴 é a aceleração máxima.
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Gráfico das funções posição, velocidade e aceleração 
no MHS
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Demonstração(cont.)
Sendo 
𝑥 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝜙
A função velocidade
𝑑𝑥 𝑡
𝑑𝑡
= −𝐴𝜔 sen 𝜔𝑡 + 𝜙
A função aceleração
𝑑2𝑥 𝑡
𝑑𝑡2
= −𝜔2𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝜙
Podendo ser escrita em função de 𝑥 𝑡
𝑑2𝑥 𝑡
𝑑𝑡2
= −𝜔2𝑥 𝑡 𝐸𝑞. (2)
Comparando esse resultado com a equação (1), temos
𝜔2 =
𝑘
𝑚
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Frequência angular no sistema massa mola (demonstração)
A frequência angular no movimento oscilatório é
𝜔 =
2𝜋
𝑇
No sistema massa mola, temos 
𝜔2 =
𝑘
𝑚
Então, a frequência e o período de um corpo que oscila preso a 
uma mola estão relacionados com a constante elástica k e a 
massa m por:
𝑓 =
1
𝑇
=
1
2𝜋
𝑘
𝑚
A frequência e o período não dependem da amplitude.
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A energia mecânica no MHS do Sistema Massa-Mola
Lembrando que a energia mecânica total é a soma da energia 
cinética e energia potencial.
No MHS a energia mecânica é proporcional ao quadrado da 
amplitude.
𝐸𝑚𝑒𝑐 =
1
2
𝑘𝐴2
Observação: esse valor é constante no sistema 
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Exemplo 1: Aplicação no sistemas massa mola
(Resnick) Um sistema oscilatório bloco-mola leva 0,74 s para
começar a repetir seu movimento. Determine (a) o período, (b) a
frequência e (c) a frequência angular em radianos por segundos.
Resolução:
(a) O período
𝑇 = 0,74 𝑠
(b) A frequência
𝑓 =
1
𝑇
=
1
0,74𝑠
= 1,35Hz
(c) A frequência angular
𝜔 =
2𝜋
𝑇
=
2𝜋
0,74
= 8,49rad/s
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Exemplo 2: Aplicação no MHS
Um oscilador harmônico tem sua posição variando com o tempo, 
descrita pela seguinte equação: 𝑥 = 0,5 cos
𝜋
4
𝑡 + 3𝜋 . Sendo 
todas as unidades encontradas no SI. Determine: (a) a amplitude 
do sistema, (b) a frequência angular, (c) o período, (d) a 
frequência, (e) a função velocidade.
Resolução:
(a)a amplitude: A = 0,5 m
(b) a frequência angular: 𝜔 =
𝜋
4
𝑟𝑎𝑑/𝑠
(c) o período: 𝑇 =
2𝜋
𝜔
= 8 𝑠
(d) a frequência: 𝑓 =
1
𝑇
=
1
8
= 0,125𝑠
(e) a função velocidade:
𝑣 𝑡 =
𝑑𝑥 𝑡
𝑑𝑡
=−
𝜋
8
sen
𝜋
4
𝑡 + 3𝜋
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Pontos importantes
•A vibração livre ocorre quando o movimento é mantido por
força restauradora gravitacional ou elástica.
• A amplitude é o deslocamento máximo de um corpo.
• O período é o tempo para se completar um ciclo.
• A frequência é o número de ciclos por unidade de tempo; no SI
sua unidade é hertz(Hz); portanto 1 Hz = 1 ciclo/s.
• Um sistema com grau de liberdade exige apenas uma
coordenada para definir a sua posição
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Pêndulos
O chamado pêndulo físico é pêndulo real. Ele
consiste de um corpo rígido (com qualquer
forma) suspenso por um ponto e que pode girar
livremente (sem atrito) em torno desse ponto.
Pêndulos Simples
Um pêndulo simples é um sistema ideal que
consiste de uma partícula suspensa por um fio
inextensível e leve.
Quando afastado de sua posição de equilíbrio e
solto, o pêndulo oscila em um plano vertical sob à
ação da gravidade.
Pêndulo Simples
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Pêndulos Simples
No pêndulo simples a força restauradora é a força peso, a 
relação do período com o comprimento do fio é
𝑇 = 2𝜋
𝐿
𝑔
Percebam que o período não depende
da massa. 
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Pêndulos Simples (demonstração)
As forças sobre o corpo pendurado são seu peso mg e a tensão do
fio T. A um ângulo 𝜃 com a vertical, o peso tem componente mg
cos𝜃, ao longo do fio, e mg sen 𝜃 , tangente ao arco circular e
aponta no sentido da diminuição de 𝜃 . Usando componentes
tangenciais, a segunda lei de Newton é escrita como:
෍ Ԧ𝐹 = 𝑚 Ԧ𝑎
−𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2
Onde o comprimento de seu arco s se relaciona 
com o ângulo 𝜃 através de 𝑠 = 𝐿 𝜃. 
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Pêndulos Simples (demonstração)
Derivando duas vezes os dois lados de 𝑠 = 𝐿𝜃, temos
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2
= 𝐿
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
Substituindo 𝑑2𝑠/𝑑𝑡2, na 𝐿𝑑2𝜃/𝑑𝑡2.
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
= −
𝑔
𝐿
𝑠𝑒𝑛 𝜃
Para pequenos 𝜃 pequeno, 𝑠𝑒𝑛𝜃 ≈ 𝜃, temos
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
= −
𝑔
𝐿
𝜃
A solução dessa equação do MHS, é
𝜃 = Θ cos 𝜔𝑡 + 𝜙
Onde 
𝜔2 =
𝑔
𝐿
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Exercício sobre Pêndulos Simples
Um aluno após uma aula de física, monta um pêndulo simples. 
Qual o comprimento desse pêndulo simples, se o período 
medido foi de 5 s, num ponto em que a aceleração da gravidade 
é de 9,8 m/s2?
Resolução:
Isolando o L da relação 𝑇 = 2𝜋
𝐿
𝑔
Temos
𝐿 = g
𝑇2
4𝜋2
Substituindo os valores
𝐿 = g
𝑇2
4𝜋2
= 9,8
52
4𝜋2
= 6,2 metros
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Pêndulos de Físico
Pêndulo físico de forma arbitrária com massa m e 
centro de massa CM pendurado em um eixo fixo 0 
com momento de inércia I relativo ao eixo.
Torque para pequenso ângulos 𝜃:
𝜔2 =
𝑚𝑔𝑑
𝐼
d
mg
0
d
CM

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Pêndulos de Físico
O torque
Ԧ𝜏 = Ԧ𝑑 × Ԧ𝐹
𝜏 = −𝐹𝑑𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝜏 = −𝑚𝑔𝑑 sen 𝜃
Como a força é o peso mg, e o ângulo é 
pequeno então 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ≈ 𝜃
Logo
𝜏 = −𝑚 𝑔 𝑑 𝜃
mg
0
d
CM

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Pêndulos de Físico
O torque também pode ser calculado como:
𝜏 = 𝐼𝛼 = 𝐼
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
Então
−𝑚 𝑔 𝑑 𝜃 = 𝐼
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
+
𝑚𝑔𝑑
𝐼
𝜃 = 0
A solução dessa equação do MHS, é
𝜃 = Θ cos 𝜔𝑡 + 𝜙
𝜔2 =
𝑚𝑔𝑑
𝐼
mg
0
d
CM

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Teorema Dos Eixos Paralelos
Momento de Inércia
𝐼0 = 𝐼𝐶𝑀 +𝑀𝑑
2
Sendo ICM o momento de inércia do centro de massa.
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Exercício
Uma barra homogênea de massa m = 200 g e comprimento 60
cm está livre para girar em torno de um eixo que passa pelo
ponto P. Determine o período de oscilações da barra, para
pequenos deslocamentos angulares.
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Exercício
Uma barra homogênea de massa M e comprimento L está livre
para girar em torno de um eixo horizontal que passa,
perpendicularmente, a uma distância x de seu centro.
Determine o período de oscilações da barra, para pequenos
deslocamentos angulares
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Exercício
Uma barra homogênea de massa M e comprimento L está livre
para girar em torno de um eixo horizontal que passa,
perpendicularmente, a uma distância x de seu centro.
Determine o período de oscilações da barra, para pequenos
deslocamentos angulares.
Resolução
O período: 𝑇 = 2𝜋
𝐼
𝑚𝑔𝑑
𝑑 = 𝑥, e o momento de inércia é dado por
𝐼 = 𝐼𝑐𝑚 +𝑀𝑑
2 =
1
12
M𝐿2 +𝑀𝑥2
Logo,
𝑇 = 2𝜋
1
12M𝐿
2 +𝑀𝑥2
𝑀𝑔𝑥
= 2𝜋
1
12 𝐿
2 + 𝑥2
𝑔𝑥
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Exercício
Do exercício anterior, considere o comprimento da barra um
metro, e x = 20 cm e a massa da barra 300 g. Determine o
período de oscilações da barra, para pequenos deslocamentos
angulares
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Exercício
Um pêndulo físico é formado por uma régua de um metro, cujo
ponto de suspensão é um pequeno furo feito na régua a uma
distância d da marca de 50 cm. O período de oscilação é 2,5 s.
Determine o valor de d.
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Pêndulos de torção
Considerando um corpo suspenso por um fio ( de metal ou qualquer
outro material elástico) de maneira que a linha OC passe pelo seu
centro de massa.
Quando o corpo é girado por um pequeno ângulo 𝜃 entre a relação
de equilíbrio, o fio sofre uma torção e passa a exercer sobre o corpo
um torque restaurador 𝜏 que é bem descrito pela de lei de Hooke: o
torque se opõe ao deslocamento e tem módulo dado por
𝜏 = −𝐾𝜃
Onde K é o módulo de torção do fio, que
depende do material do fio, sua espessura e
comprimento.
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Pêndulos de torção (cont.)
Sendo 𝐼 o momento de inércia do corpo em relação ao eixo OC, temos
a equação de movimento
𝜏 = 𝐼𝛼
Como 𝛼 é a aceleração angular temos
𝜏 = 𝐼
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
= 𝐼 ሷ𝜃
Portanto, descrevemos a equação do movimento como
𝐼 ሷ𝜃 = −𝐾𝜃
𝐼 ሷ𝜃 + 𝐾𝜃 = 0
ሷ𝜃 +
𝐾
𝐼
𝜃 = 0
A solução dessa equação do MHS, é
𝜃 = Θ cos 𝜔𝑡 + 𝜙
Com 𝜔2 =
𝐾
𝐼
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Pêndulos de torção (cont.)
Consequentemente a frequência é
𝑓 =
1
2𝜋
𝐾
𝐼
E o período
𝑇 = 2𝜋
𝐼
𝐾
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Exercício (Alaor)
Considere o pêndulo de torção mostrado na Figura. O disco tem
massa de 200 g e raio de 10 cm. A constante de torção da barra vale
3. 10-2 Nm. (a) Qual o período de oscilação do pêndulo? Qual seria o
período de oscilação do pêndulo se o raio fosse dividido a metade
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Exercício (Alaor)
Reconsiderando o pêndulo do exercício anterior. A) qual a energia
mecânica se no instante em que o ângulo de torção é 𝜃 = 5° sua
velocidade é 0,6 rad/s?
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Exercício (Hibbeler)
Uma placa é deslocada em seu próprio plano, o momento torcional
criado pela barra tem intensidade 𝐾𝜃, esse momento age em sentido
oposto ao do deslocamento angular 𝜃, o sentido convencional para a
aceleração angular ሷ𝜃 é o de 𝜃 positivo. (a) Qual a equação do
movimento? (b)Qual a frequência natural?
Resolução:
ሷ𝜃 +
𝐾
𝐼
𝜃 = 0
Onde a frequência natural é
𝜔𝑛 =
𝐾
𝐼
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Exercício (Hibbeler)
A placa retangular de10 kg mostrada na figura está suspensa em seu
centro por uma barra de rigidez torcional K = 1,5 N . m . (a) Calcule o
momento de inércia com relação ao ponto de rotação. (b) Determine o
período natural de vibração da placa quando se lhe comunica um
pequeno descolamento angular 𝜃 em seu próprio plano.
Resolução:
(a) O momento de inércia da placa em relação ao centro de massa é o
mesmo do eixo de rotação da placa, logo
𝐼𝑜 =
1
12
𝑚 𝑎2 + 𝑏2
𝐼𝑜 =
1
12
𝑚 0,22 + 0,32 = 0,108 kg.m
(b) O período natural de vibração
𝑇 =
2𝜋
𝜔𝑛
= 2𝜋
𝐼0
𝐾
= 1,69 𝑠
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Exercício (Resnick)
A figura mostra uma barra fina cujo o comprimento L é de 12 cm e
cuja a massa m é 135 g, suspensa em fio longo pelo ponto médio. O
período 𝑇𝑎 do seu MHS angular é medido como sendo 2,54 s. Um
objeto de forma irregular, que será chamado de objeto X, é
pendurado no mesmo fio, como mostra a figura b, e seu período 𝑇𝑏 é
medido como sendo 4,76 s. Qual o momento de inércia do objeto X
em relação ao eixo suspensão?
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TÍTULO DO SLIDE
Solução
O momento de inércia que passa pelo ponto médio da barra é
𝐼𝑎 =
1
12
𝑚𝐿2 =
1
12
× 0,135 × 0,122 = 1,62 × 10−4𝑘𝑔 𝑚2
As equações dos períodos
𝑇𝑎 = 2𝜋
𝐼𝑎
𝐾
𝑇𝑏 = 2𝜋
𝐼𝑏
𝐾
Como a barra e o objeto tem o mesmo fio em comum, 𝐾𝑎 = 𝐾𝑏 = 𝐾.
Portanto, temos
𝐼𝑏 = 𝐼𝑎
𝑇𝑏
2
𝑇𝑎
2 = 1,62 × 10
−4 ×
4,762
2,542
= 5,68 × 10−4𝑘𝑔 𝑚2
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Exemplo
Calcule o período de oscilação de um pêndulo de torção cuja
base seja uma chapa metálica de massa M =1kg, e dimensões a =
10cm e b = 15cm, se a constante de torça do sistema é k =
150Nm/rad .
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Método de Energia
Um sistema é conservativo se nenhuma energia for perdida devido ao atrito ou
membros não elásticos que dissipam energia. Se nenhum trabalho for
realizados sobre o sistema conservativo por forças externas ( com exceção da
força da gravidade ou outras forças potenciais) então a energia total do
sistema permanece constante. A energia cinética T é armazenada na massa em
virtude de sua velocidade, e a energia potencial U é armazenada na mola em
virtude de sua deformação elástica. Assim, o princípio da conservação de
energia pode ser expresso como:
𝑇 + 𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
ou
𝑑
𝑑𝑡
𝑇 + 𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
As energias cinética e potencial são dadas por
𝑇 =
1
2
𝑚 ሶ𝑥2 e 𝑈 =
1
2
𝑘𝑥2
logo
ሷ𝑥 + 𝜔2 𝑥 = 0
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Demonstração - Método de Energia
O Movimento Harmônico Simples (MHS) de um corpo, deve-se somente
a força restauradora gravitacionais e elásticas que agem no corpo.
Como essas forças são conservativas, também é possível usar a equação
de conservação da energia para se obter a frequência ou período de
vibração. Quando o bloco em movimento ocupa a posição x medida a
partir da posição de equilíbrio, a energia cinética 𝑇 =
1
2
𝑚𝑣2 =
1
2
𝑚 ሶ𝑥2 e
a sua energia potencial é 𝑈 =
1
2
𝑘𝑥2
Pela conservação de energia
𝑇 + 𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
1
2
𝑚 ሶ𝑥2 +
1
2
𝑘𝑥2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
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Demonstração - Método de Energia
Derivando a equação anterior, 
𝑑
𝑑𝑡
1
2
𝑚 ሶ𝑥2 +
1
2
𝑘𝑥2 =
𝑑
𝑑𝑡
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
1
2
𝑚 2 ሶ𝑥 ሷ𝑥 +
1
2
𝑘 2𝑥 ሶ𝑥 = 0
𝑚 ሶ𝑥 ሷ𝑥 + 𝑘 𝑥 ሶ𝑥 = 0
ሶ𝑥 𝑚 ሷ𝑥 + 𝑘 𝑥 = 0
𝑚 ሷ𝑥 + 𝑘 𝑥 = 0
ሷ𝑥 + 𝜔2 𝑥 = 0
Com 𝜔2 =
𝑘
𝑚
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Exercício (Hibbeler)
O anel delgado da figura, apoia-se em um pino em O. Determine: 
(a) O momento de inércia no ponto O;
Pelo Teorema dos eixos paralelo
𝐼𝑜 = 𝐼𝑐𝑚 +𝑚𝑟
2
𝐼𝑐𝑚 = 𝑚𝑟
2 (do anel)
𝐼𝑜 = 2𝑚𝑟
2
(b) A energia cinética com relação ao um ângulo 𝜃
𝑇 =
1
2
𝐼𝑜𝜔𝑛
2
Como 𝜔𝑛
2 = ሶ𝜃2
𝑇 =
1
2
𝐼𝑜 ሶ𝜃
2
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(c) A energia potencial
(c) A expressão da energia total
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(d) O período natural de oscilação para pequenas amplitudes. A 
massa do anel é m.
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Bibliografia Básica:
RAO, Singiresu. Vibrações Mecânicas. 4ª. Ed. Editora Pearson do Brasil, 2009.
HIBBELER, R. C.; Mecânica para engenharia: Dinâmica. São Paulo: Pearson
Education, 2009.
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para Engenharia – Dinâmica. 6ª Ed. Rio
de Janeiro: LTC, 2019. Pag 437.
Bibliografia Complementar:
SEAR, M. W. Z; YOUNG, H. D; FREEDMAN, R. A. Física II: Termodinâmica e 
Ondas. 10ª edição. Editora Addison-Wesley Publi, 2003 (vol.2).
TIPLER, Paul A. Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica. 4ª ed. Rio de
Janeiro. Rio de Janeiro. Editora LTC, 2000. (vol.1)
HALLIDAY, R.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física: Gravitação,
ondas e termodinâmica. 6a edição. Rio de Janeiro. Editora LTC, 2002. (vol.2)