Aula 09 - Modelagem com EDO's de 2ª Ordem_Publicado_Atual

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Modelagem com EDO’s de 
2ªOrdem
Aula 09 – Equações Diferenciais
Professor: Éwerton Veríssimo
Vibração
Vibração ou oscilação é o movimento de uma massa
oscilando em torno de um ponto de referência em um intervalo
de tempo.
Sistema Massa Mola
A Lei de Hooke estabelece que a força elástica de uma mola é
proporcional à sua distensão , na direção oposta a esta. Se uma
massa está presa a uma das extremidades de uma mola horizontal e
pode se mover livremente, e a outra extremidade da mola está fixa ,
então , onde é a constante elastica da mola.
Sistema Massa Mola: Movimento 
Livre sem Amortecimento
Por outro lado, é a única força atuando sobre o sistema,
logo, pela Segunda Lei de Newton, , devemos
ter .Portanto,
kx
dt
xd
m 
2
2
x
m
k
dt
xd 

2
2
Ou ainda:
x
dt
xd
²
2
2

Sistema Massa Mola: Movimento 
Livre sem Amortecimento
que tem como soluções: e
)()cos()( 21 tsenctctx  
Note que a equação característica de (2) é dada por:
0²² m
A solução geral para a equação é dada por:
im 1 im 2
Sistema Massa Mola: Movimento 
Livre sem Amortecimento
Informações Adicionais:

2
T
)( funçãodaPeríodo

21

T
f
)( movimentodoFrequência
CircularFrequência













)0('
)0(
2
2
x
x
x
m
k
dt
xd
Sistema Massa Mola: Movimento 
Livre sem Amortecimento
Aplicando as condições iniciais, a função x(t)
representará a equação do movimento.
Sistema Massa Mola: Movimento 
Livre sem Amortecimento
1. Sabendo que o PVI que descreve um sistema 
massa-mola é dado por
0)0('',1)0(,05''  yyyy
Exercício:
Encontre a solução geral da equação diferencial e 
resolva o problema de valor inicial.
Sistema Massa Mola: Movimento 
Livre Amortecido
Incluindo a variável de amortecimento, a equação do
movimento assume a forma:
dt
dx
kx
dt
xd
m 
2
2
0
2
2

dt
dx
kx
dt
xd
m 
Sistema Massa Mola: Movimento 
Livre Amortecido
Dividindo por m, obtemos:
0
2
2
 x
m
k
dt
dx
mdt
xd 
Ou ainda:
0²2
2
2
 x
dt
dx
dt
xd 
Sistema Massa Mola: Movimento 
Livre Amortecido
onde:
,2
m

 
m
k
²
Sistema Massa Mola: Movimento 
Livre Amortecido
A equação característica associada a EDO anterior
será:
As raízes da equação característica correspondente
são:
0²2²  mm
²²  m
Sistema Massa Mola: Movimento 
Livre Amortecido
As oscilações livres podem ser classificadas em três
tipos:
1. Superamortecido ou supercrítico
2. Criticamente amortecido
3. Subamortecido ou subcrítico
0²² 
0²² 
0²² 
Sistema Massa Mola: Movimento 
Livre Amortecido
Superamortecido: o coeficiente de amortecimento
é grande quando comparado com a constante de
elasticidade k. A solução geral é da forma:
tmtm
ecectx 21 21)( 
Criticamente amortecido: qualquer decréscimo na
força de amortecimento ocasiona um movimento
oscilatório. A solução geral assume a forma:
tmtm
tecectx 21 21)( 
Sistema Massa Mola: Movimento 
Livre Amortecido
Subamortecido: o coeficiente de amortecimento é
pequeno quando comparado com a constante de
elasticidade k. Como as raízes da equação
característica são complexas, a solução geral é da
forma:
tsenectecy tt ²²²²cos 21    
Sistema Massa Mola: Movimento 
Livre Amortecido
2. Determine a solução e uma interpretação física para 
o problema de valor inicial
3. Uma massa pesando 8 libras alonga uma mola em 2 
pés. Supondo que uma força amortecedora igual a 
duas vezes a velocidade instantânea esteja agindo 
sobre o sistema, determine a equação do movimento 
se o peso for inicialmente solto de uma posição de 
equilíbrio a uma velocidade de 3 pés/s para cima. 
Exercício:
1)0(',1)0(,04'5''  xxxxx
Sistema Massa Mola: 
Movimento Forçado com Amortecimento
Considere uma força externa periódica, com frequência
qualquer, agindo em um sistema massa-mola. A inclusão
da força externa na segunda lei de Newton nos dá a
EDO de movimento forçado.
)(²2
2
2
tFx
dt
dx
dt
xd
 
4. Uma massa de 1 kg é atada a uma mola cuja 
constante é 16N/m. Uma força externa igual a 
age no sistema a partir de t = 0. 
Encontre a equação de movimento se o meio 
oferece uma força de amortecimento 
numericamente igual a 8 vezes a velocidade 
instantânea.
Exercício:
Sistema Massa Mola: 
Movimento Forçado com Amortecimento
tsen48
Sistema Massa Mola: 
Movimento Forçado sem Amortecimento
Com uma força externa agindo e sem nenhum
amortecimento, não há termo transitório na
solução para um problema. Neste caso, a EDO
assume a forma:
)(²
2
2
tFx
dt
xd

5. Mostre que a solução para o PVI 
Exercício:
sujeito as condições iniciais
é:
0)0(',0)0(  xx
tx
dt
xd
7cos1025
2
2

)7cos5(cos
12
5
)( tttx 
Sistema Massa Mola: 
Movimento Forçado sem Amortecimento
Ressonância
Ressonância
O fenômeno da ressonância é o efeito da amplitude
depender da frequência da força externa. A
frequência de ressonância é a frequência em que a
amplitude é máxima.
Ressonância Pura
A ressonância pura pode ser calculado pela
resolução do problema
tsenFx
dt
xd  02
2
² 
sujeito as condições iniciais
0)0(',0)0(  xx
6. Resolva o PVI 
Exercício:
sujeito as condições iniciais .
0)0(',2)0(  xx
tsenx
dt
xd
359
2
2

Ressonância
Circuitos RLC
Circuito em Série
Considere o circuito em série de malha simples
i(t): corrente no circuito depois que a chave é fechada
L
E(t)
R
C
Li 
Ri 

C
i 
Indutor
Indutância L: henrys (h)
Queda de voltagem: L di/dt
Resistor
Resistência R: ohms ()
Queda de voltagem: iR
Capacitor
Capacitância C: farads (f)
Queda de voltagem: i/c . q
q(t): carga em um capacitor no instante t
L, R e C: em geral são constantes
E(t): voltagem aplicada em uma malha fechada que,
de acordo com a 2ª lei de Kirchhoff, deve ser igual à
soma das quedas de voltagem na malha.
Circuitos RLC
2
2
dt
qd
L
dt
di
L 
dt
dq
RiR  q
C
1
Uma vez que a corrente i(t) está relacionada com a carga q(t) no
capacitor por i = dq/dt, adicionando-se as três quedas de voltagem
e equacionando-se a soma das voltagens aplicadas, obtém-se uma
equação diferencial de segunda ordem
)(
1
2
2
tEq
Cdt
dq
R
dt
qd
L 
indutor resistor capacitor
7. Determine se o circuito em série L-R-C dado é 
superamortecido, criticamente amortecido ou 
subamortecido.
Exercício:
faradCohmsRhenrysL 1,0,10,3 
a.
b.
Circuitos RLC
faradCohmsRhenryL 01,0,20,1 
8. Encontre a carga no capacitor em um circuito em 
série RLC no instante t=0,01 segundo quando 
L=0,05 henry, R=2 ohms, C = 0,01 farad, E(t) =0 
volt, q(0) = 5 coulombs e i(0) =0 ampère. 
Exercício:
Circuitos RLC