Estatística: Conceitos Básicos

Prévia do material em texto

ESTATÍSTICA 
 
Estatística é uma parte da Matemática aplicada que fornece métodos para a 
coleta, a organização, a descrição, a análise e a interpretação de dados 
quantitativos e a utilização desses dados para a tomada de decisões. 
 
VARIÁVEIS 
É um conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. 
 
Ex.: fenômeno sexo: ♀ ou ♂ 
Uma variável pode ser: 
 
Qualitativa: quando seus valores forem expressos por atributos. 
Ex. sexo ♀ ou ♂ cor da pele. 
 
Quantitativa: quando seus valores forem expressos em números. 
Ex. quantidade de alunos em uma sala, salários. 
 
As variáveis podem ser conhecidas como discretas ou contínuas. 
 
Discreta: é uma variável que só pode assumir valores pertencentes a um conjunto 
enumerável, ou seja, de um modo geral as contagens ou a enumeração dão 
origem a variáveis discretas. 
 
Contínuas: é uma variável que pode assumir qualquer valor entre dois limites, ou 
seja, de um modo geral, as medições dão origem a variáveis contínuas. 
Ex. estatura média dos acadêmicos de agronomia da UCDB, admitindo-se que 
está no intervalo de 1,50m a 1,80m. 
 
Nível de mensuração da variável: se nominal, ordinal ou intervalar. 
 
Intervalar 
 Escala intervalar: semelhante à escala de razões, havendo apenas uma 
razão conhecida entre dois intervalos quaisquer, sendo a unidade de medição e o 
ponto zero arbitrários. Exemplo: temperatura em graus centígrados. 
 
Ordinal 
Escala Ordinal: escala na qual as modalidades de uma variável são 
ordenadas em graus ou magnitudes convencionadas, havendo uma relação 
matemática “maior do que” ou “menor do que” dos elementos entre as diversas 
categorias e de equivalência das unidades dentre cada modalidade. Exemplo: 
conceitos escolares Excelente, Bom, Regular e Insuficiente. 
 
Nominal 
Escala Nominal: escala na qual as diversas categorias ou modalidades de 
uma variável são contadas. É a mais simples das escalas, havendo relação de 
equivalência ente e dentre as categorias. Exemplo: estado civil:  solteiro, 
casado, divorciado e viúvo. 
 
POPULAÇÃO E AMOSTRA 
 
População: Ao conjunto de entes portadores de, pelo menos, uma 
característica comum, denominamos população estatística ou universo estatístico. 
 
Amostra: é a parte da população que se escolhe aleatoriamente para o 
estudo. Ela deverá ser constituída de, no mínimo, 10% dos elementos da 
população. 
 
Exemplificado, a seguir, três das principais técnicas de amostragem: 
 
1. Amostragem casual ou aleatória simples 
 
Este tipo de amostragem é equivalente a um sorteio lotérico. 
Na prática, a amostragem casual ou aleatória simples pode ser realizada 
numerando-se a população de 1 a n e sorteando-se, a seguir, por meio de um 
dispositivo aleatório qualquer, K números dessa sequência, os quais 
corresponderão aos elementos pertencentes a amostra. 
Exemplo: 
Vamos obter uma amostra representativa para a pesquisa da estatura de 
noventa acadêmicos de uma Universidade: 
a. Numeramos os alunos de 01 a 90. 
b. Escrevemos os números, de 01 a 90, em pedaços iguais de um mesmo 
papel, colocando-os dentro de uma caixa. Agitamos sempre a caixa para 
misturar bem os pedaços de papel e retiramos, um a um , nove números 
que formarão a amostra. Neste caso, 10% da população. 
 
2. Amostragem proporcional estratificada 
 
Muitas vezes a população se divide em subpopulações - estratos. 
Como é provável que a variável em estudo apresente, de estrato em estrato, 
um comportamento heterogêneo e, dentro de cada estrato leve em considerações 
tais estratos. 
É exatamente isso que fazemos quando empregamos a amostragem 
proporcional estratificada, que, além de considerar a existência dos estratos, 
obtém os elementos da amostra proporcional ao número de elementos dos 
mesmos. 
Exemplo: 
Supondo que no exemplo anterior, que, dos noventa acadêmicos, 54 sejam 
homens e 36 sejam mulheres, vamos obter a amostra proporcional estratificada. 
São portanto, dois estratos (sexo masculino e sexo feminino) e queremos uma 
amostra de 10% da população. Logo, temos: 
a. 
SEXO POPULAÇÃO 10% AMOSTRA 
M 54 
4,5
100
5410


 
5 
F 36 
6,3
100
3610


 
4 
Total 90 
0,9
100
9010


 
9 
 
b. Numeramos os alunos de 01 a 90, sendo que de 01 a 54 correspondem 
homens e 55 a 90, mulheres. Tomando na Tabela de Números 
Aleatórios(anexo) a primeira e a segunda colunas da esquerda, de cima 
para baixo, obtemos os seguintes números: 
57 28 92 90 80 22 56 79 53 18 53 03 27 05 40 
 
temos, então: 
 28 22 53 18 03  para os homens 
 57 90 80 56  para as mulheres. 
 
3. Amostragem sistemática 
 
Quando os elementos da população já se acham ordenados, não há 
necessidade de construir o sistema de referência. São exemplos os prontuários 
médicos de um hospital, os prédios de uma rua, as linhas de produção etc. nestes 
casos, a seleção dos elementos que constituirão a amostra pode ser feita por um 
sistema imposto pelo pesquisador. A esse tipo de amostragem denominamos 
sistemática. 
Exemplo: 
Suponhamos uma rua contendo novecentos prédios, dos quais desejamos 
obter uma amostra formada de cinqüenta prédios. Podemos, neste caso, usar o 
seguinte procedimento: como 
18
50
900

, escolhemos por sorteio casual um número 
de 1 a 18 (inclusive), o qual indicaria o primeiro elemento sorteado para amostra; 
os demais elementos seriam periodicamente considerados de 18 em 18. Assim, se 
o número sorteado fosse o 4, tomaríamos, pelo lado direito da rua, o 4o prédio, 
22o, o 40o etc., até voltarmos ao início da rua, pelo lado esquerdo. 
 
 
ARREDONDAMENTO DE DADOS 
Resolução 886/ 66 
 
Quando o 1º algarismo a ser abandonado for 6, 7, 8 ou 9 , aumenta-se de 
uma unidade o algarismo a permanecer. 
 
Ex. 43,87  43,9 
 
Quando o primeiro algarismo abandonado for o 5 haverá duas soluções: 
Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismo diferente de 0 ( zero ), 
aumenta-se uma unidade ao algarismo a permanecer 
 
Ex. 2,52  3 
25,6501 25,7 
76,25002  76,3 
 
Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só se seguirem zeros, o último 
algarismo a ser conservado só será aumentado de uma unidade se for ímpar. 
 
Ex. 24,75 24,8 
24,65 24,6 
24,7500 24,8 
24,6500 24,6 
 
Exercícios 
Arredonde cada um dos numerais abaixo , conforme a precisão pedida: 
 
a) para o décimo mais próximo ( uma casa após a vírgula) 
 
23,40 
 
234,7832 
 
45,09 
 
48,85002 
 
12,35 
 
 
b) para o centésimo mais próximo: 
 
46,25 
 
123,842 
 
253,65 
 
299,951 
 
c) para a unidade mais próxima: 
 
26,6 
 
49,98 
 
67,5 
 
128,5 
 
39,49 
 
d) para a dezena mais próxima: 
 
43,3 
59 
446,4 
265,31 
265,0 
265 ( para menos sempre) 
295 
302,7 
295,00 
 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
 
Consiste em distribuir os fatos enumerados de acordo com a prioridade de 
estudos. 
 
DADOS BRUTOS 
São os fatos que ainda não foram enumerados ( em qualquer ordem) 
 
 Ex. Dada a listagem abaixo que diz sobre o peso dos acadêmicos do curso 
de Medicina Veterinária da U.C.D.B. 
 
50 53 53 93 70 69 56 79 55 
87 60 55 50 68 65 65 82 
46 65 59 64 86 68 47 63 
56 59 62 48 52 50 81 50 
57 74 57 47 68 57 46 66 
58 60 56 66 82 51 53 72 
49 70 75 74 68 55 72 47 
52 60 51 64 65 48 78 57 
 
ROL: 
É a listagem dos fatos enumerados (crescente ou decrescente) 
4 6,6,7,7,7,8,8,9 
5 0,0,0,0,1,1,2,2,3,3,3,5,5,5,6,6,6,7,7,7,7,8,9,9 
6 0,0,0,2,3,4,4,5,5,5,6,6,8,8,8,8,9 
7 0,0,2,2,4,4,5,8,9, 
8 1,2,2,6,7, 
9 3 
 
 
46 49 52 55 57 62 65 69 75 87 
46 50 52 56 58 63 66 70 78 93 
47 50 53 56 59 64 66 70 79 
47 50 53 56 59 64 68 72 81 
47 50 53 57 60 65 68 72 82 
48 51 55 57 60 65 68 74 82 
48 51 55 57 60 65 68 74 86 
 
LIMITEINFERIOR 
É o menor valor de uma listagem qualquer. 
Li = 46 
 
LIMITE SUPERIOR 
É o maior valor de uma listagem qualquer. 
 
AMPLITUTE TOTAL 
É a distância compreendida entre dois limites de uma listagem qualquer. 
AT=X max – X min 
AT= 93 – 46 = 47 
 
CLASSES 
 
É o nome atribuído aos intervalos pretendidos na distribuição. 
 
REGRA DE STURGES 
 
Possibilita o valor aproximado da quantidade classes. 
 
i = 1+3,33 log N 
 
i = número total de classes esperadas; 
N = número total de elementos do Rol (65 no caso dos pesos) 
 
Fazendo-se: i = 1+3,33 log 65 = 7,037  i = 7,04 
 
Isto significa que terá aproximadamente 7 classes. 
 
Achado o número de classes acha-se o valor da Amplitude de classe: 
 
h = amplitude de classe 
At = amplitude total 
i = número de classes esperadas 
 
h = 
i
AT
 Resultados = valores inteiros 
 
Fazendo –se h = 
04,7
47
  h = 6,67 h 

7 
 
 
NOTAÇÃO DE INTERVALO 
 
 
Leitura centrada na variável. 
61  x
 (x maior ou igual a um e menor ou igual a seis) 
 
Na Matemática: 
 
Na Estatística regra: 
 
 Fechado a esquerda 
 Fechado a direita 
 Aberto a direita e a esquerda 
 Fechado a esquerda e a direita 
 
 
 
 
Resultados iguais 
ao número total de 
elementos 
 
 
PESOS (Kg) fi Fi 
46 53 16 16 
53 60 16 32 
60 67 13 45 
67 74 9 54 
74 81 5 59 
81 88 5 64 
88 95 1 65 
 65 - 
 
 
 
 
TIPOS DE FREQÜÊNCIAS 
 
Freqüência simples: (fi) 
São os valores que realmente representam o número de dados de cada classe 
 
Freqüência acumulada: (Fi) 
É o total das freqüências de todos os valores inferiores ao limite superior do 
intervalo de uma dada classe 
 
 
Fk = f1 + f2 + f3 + f4 + ....+fn 
 
 
Freqüência relativa: (fri) 
São os valores das razões entre freqüências simples e freqüência total 
 


i
i
i
f
f
fr
 
 
PESOS (Kg) fi Fi 
46 53 16 16 
53 60 16 32 
60 67 13 45 
67 74 9 54 
74 81 5 59 
81 88 5 64 
88 95 1 65 
 65 - 
 
Freqüência percentual: (f%) 
f% = fri x 100 
 
É utilizada para descobrir o percentual de pessoas entre os pesos 
 
 
Quantidade de pesos 
de 46 a 53 
li 
LS 
Soma-se h  7 
Classe Até atingir o peso máximo 
PONTO MÉDIO (xi) 
 
É o valor intermediário entre dois limites, ou seja, é a média aritmética entre os limites de 
classes 
 
2
Si
i
Ll
x


 ou 
2
h
lx ii 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
1) A tabela abaixo apresenta uma distribuição de freqüência das áreas de 400 
lotes de um loteamento: 
 
Áreas m2 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 
Nº de lotes 14 46 58 76 68 62 48 22 6 
 
Com referência a essa tabela determine: 
 
a) A amplitude total; 
b) O limite superior da quinta classe; 
c) O limite inferior da oitava classe; 
d) O ponto médio da sétima classe; 
e) A amplitude do intervalo da segunda classe; 
f) A freqüência da quarta classe; 
g) A freqüência relativa da sexta classe; 
h) A freqüência acumulada da quinta classe; 
i) O número de lotes cuja área não atinge 700 m2; 
j) O número de lotes cuja área atinge e ultrapassa 800 m2; 
k) A percentagem dos lotes cuja área não atinge 600 m2; 
l) A percentagem dos lotes cuja área seja maior ou igual a 900 m2; 
m) A percentagem dos lotes cuja área é de 500 m2, no mínimo, mas inferior a 100 
m2; 
n) A classe do 72º lote; 
o) Até que classe estão incluídos 60% dos lotes; 
 
2) Os graus finais de matemática de 80 estudantes da Universidade do Estado 
estão relacionados na tabela abaixo: 
 
68 84 75 82 68 90 62 88 76 93 
73 79 88 73 60 93 71 59 85 75 
61 65 75 87 74 62 95 78 63 72 
66 78 82 75 94 77 69 74 68 60 
96 78 89 61 75 95 60 79 83 71 
79 62 67 97 78 85 76 65 71 75 
65 80 73 57 88 78 62 76 53 74 
86 67 73 81 72 63 76 75 85 77 
 
Com referência a essa tabela, determinar: 
a) O maior grau; 
b) O menor grau; 
c) A amplitude total; 
d) Os graus dos cinco estudantes mais adiantados; 
e) Os graus dos cinco estudantes mais atrasados; 
f) O grau do estudante classificado em 10º lugar; 
g) Quantos estudantes receberam grau igual ou superior a 75; 
h) Quantos estudantes receberam grau abaixo de 85; 
i) Qual a percentagem dos estudantes que receberam graus entre 65 e 85, 
inclusive; 
j) Quais os graus que não apareceram? 
 
 
REPRESENTAÇOES GRÁFICAS 
 
 
As representações gráficas podem ser divididas em linhas que contém um, dois ou 
mais vértices denominados: Uni-modais, Bi-modais ou Multi-modais. 
Quando não tem vértice = Amodal 
 
 
GRÁFICOS 
 
HISTOGRAMA 
É a representação gráfica de uma distribuição de freqüência através de retângulos 
justapostos com alturas proporcionais às freqüências e às alturas. 
 
P.S.: Na folha milimetrada deixa-se para a margem: 
3 cm para início e término da base; 
2 cm para início e término da “h” altura. 
 
A altura nunca é superior a base ( 56 a 80% do valor da base). 
 
Fórmulas: 
 
4
5

a
b
  
5
4b
a 
 Altura máxima 
 
4
7

a
b
  
7
4b
a 
 Altura mínima 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATURAS (cm) Nº DE ALUNOS 
140 145 2 
145 150 5 
150 155 11 
155 160 39 
160 165 32 
165 170 10 
170 175 1 
TOTAL 100 
EXERCÍCIOS: 
 
ESTATURAS DE100 ALUNOS 
 DA ESCOLA X – 1982 
POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA 
 
 
O polígono de freqüência é um gráfico em linha, sendo as freqüências marcadas 
sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantada pelos pontos médios dos 
intervalos de classe. 
 
 
SÉRIES ESPECÍFICAS 
 
GRÁFICOS EM COLUNAS SIMPLES OU BARRAS 
 
REBANHOS BRASILEIROS 
- 1980 - 
ESPÉCIE QUANTIDADE 
(1000 CABEÇAS) 
Bovinos 118.971 
Eqüinos 5.055 
Asininos 1.330 
Muares 1.605 
Suínos 34.183 
Ovinos 18.381 
Caprinos 8.326 
Outros 1.204 
FONTE: IBGE 
 
 
 
GRÁFICO EM COLUNAS SUPERPOSTAS 
 
ESTIMATIVA DA RENDA INTERNA SEGUNDO 
OS RAMOS DE ATIVIDADE – 1978 – 80 
 
RAMOS DE RENDA INTERNA (CZ$ 1.000.000) 
ATIVIDADE 1978 1979 1980 
Agricultura 421.933 708.848 1.446.050 
Indústria 1.046.289 1.726.161 3.778.060 
Serviços 1.662.867 2.886.801 5.880.469 
TOTAL 3.131.089 5.321.810 11.104.579 
 
 
 
 
GRÁFICOS EM SETORES 
 
 
Este gráfico é construído com base em um círculo, e é empregado sempre que 
desejamos ressaltar a participação do dado no total. 
O gráfico em setores só deve ser empregado quando houver, no máximo, sete 
dados. 
 
AVICULTURA BRASILEIRA – 1980 
 
ESPÉCIE 
Nº (1000 
CABEÇAS) 
Galinhas 447.411 
Patos, Marrecos e Gansos 4.887 
Perus 2.074 
Codornas 831 
TOTAL 455.203 
 
Construção do gráfico: 
R = 4 cm 
455.203 360º 
447.411 x 
 
NITÉRÓI – Valor da produção dos principais gêneros de indústria (1960) 
 
GÊNEROS DE INDÚSTRIA PRODUÇÃO (CR$ 
1.000,00) 
Produtos alimentares 1.663.650 
Material de transporte 1.085.449 
Metalúrgicas 533.384 
Têxtil 430.130 
Material elétrico 328.541 
Sabões e perfumaria 290.301 
Produtos farmacêuticos 278.936 
Demais gêneros 837.039 
TOTAL 5.417.430 
 
GRÁFICO EM LINEAR OU CURVA 
 
Este tipo de gráfico se utiliza da linha poligonal para representar a série estatística. 
É a representação das funções num sistema de coordenadas cartesianas. 
 
NITERÓI – TEMPERATURA DO AR (º C) 
JANEIRO – DEZEMBRO 1996 
 
MESES TEMPERATURA DO AR (º C)MÉDIA DAS MÁXIMAS MÉDIA DAS MÍNIMAS 
JANEIRO 32,6 23,3 
FEVEREIRO 35,0 23,5 
MARÇO 32,2 22,1 
ABRIL 28,5 20,2 
MAIO 26,5 18,6 
JUNHO 27,3 16,6 
JULHO 26,5 16,8 
AGOSTO 25,7 16,2 
SETEMBRO 26,5 17,6 
OUTUBRO 27,8 20,0 
NOVEMBRO 28,3 20,7 
DEZEMBRO 31,9 22,6 
OBS.: Gráfico (circunferência) no 
sentido anti-horário do menor 
ângulo para o maior 
Mesmo 
procedimento para 
todos os dados 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
 
Média aritmética 
 
Média geométrica 
 
Média harmônica 
 
MÉDIA ARITMÉTICA 
 
n
x
x
i

_ 
 
Exemplo de dados não agrupados: 
Dada a série: 1, 4, 7, 3, 5, 9 e 6, determine a média aritmética: 
Dados: 
n = 7 ; 
  6953741ix
 
7
35_
x
  
5
_
x
 
Exemplo de dados agrupados: 
Sem intervalo de classe: (34 famílias e 4 filhos) 
 
nº de filhos (
ix
) 
if
 
ii fx
 
0 2 0 
1 6 6 
2 10 20 
3 12 36 
4 4 16 
 34 78 
 



i
ii
f
fx
x
_  
34
78_
x
  
3,2
_
x
; ou seja em 34 famílias, aproximadamente 2 meninos 
 
Exemplo com intervalo de classe: 
Áreas de 400 lotes de um loteamento: 
 
i Áreas fi xi xifi yi yifi 
1 300 400 14 350 4900 -3 -42 
2 400 500 46 450 20700 -2 -92 
3 500 600 58 550 31900 -1 -58 
4 600 700 76 650 49400 0 0 
5 700 800 68 750 51000 1 68 
6 800 900 62 850 52700 2 124 
7 900 1000 48 950 45600 3 144 
8 1000 1100 22 1050 23100 4 88 
9 1100 1200 6 1150 6900 5 30 
 400 6750 286200 - 262 
Dados não agrupados 
Dados agrupados 
(tabela) 
Processo longo: 
 



i
ii
f
fx
x
_  
400
286200_
x
  
5,715
_
x
 
 
Processo breve 
h
f
fy
xx
i
ii
.0
_



  
100.
400
262
650
_
x
  
5,715
_
x
 
0x
correspondente ao maior valor do
if
 
h
xx
y ii
0
 
3
100
650350
1 

y
 
2
100
650450
2 

y
 
1
100
650550
3 

y
; .... e assim sucessivamente .... 
 
Calcular a média aritmética: 
 
a) 120 – 150: c) 2, 8, 15, 7: 
 
b) 17, 9, 5, 10, 22: d) 7, 7, 7, 7, 7, 7: 
 
 
A média mínima para aprovação em determinada disciplina é 5. Se um estudante 
obtém as notas 7,5; 8,0; 3,5; 6,0; 4,0; 2,5; 5,5 e 2,0 nos trabalhos mensais da 
disciplina em questão, pergunta-se se ele foi ou não aprovado. 
 
 
i Pesos fi xi xifi yi yifi 
1 35 40 1 
2 40 45 5 
3 45 50 28 
4 50 55 33 
5 55 60 24 
6 60 65 26 
7 65 70 11 
8 70 75 6 
9 75 80 2 
10 80 85 1 
11 85 90 2 
12 90 95 1 
Total 140 
 
Pede-se: 
Média por processo longo; 
Média por processo breve. 
 
MÉDIA GEOMÉTRICA 
Média geométrica de um conjunto é a raiz de índice n do produto de dados não 
agrupados 
G = 
n n
nxxxx .....
3
3
2
2
1
1
 
 
Ex.: Determine a média geométrica da série: 1, 2, 3., 4 e 5. 
 
G = 
5 11111 5.4.3.2.1
  G = 
5 120
  G = 2,61 
 
Média geométrica para dados agrupados 
 
Consideremos a distribuição de freqüências 
 
Classes 
ix
 
if
 
 
1x
 
1f
 
 
2x
 
2f
 
 ... .... 
 
nx
 
nf
 
 
ni ffff  ...21
 
 
Temos: 
G = 
n f
n
fff nxxxx ..... 321 321
 ou 
n
xf
G
ii

)log(
log
 
 
Exemplo: 
 
i Estaturas (cm) 
if
 
ix
 
1 150 154 4 152 
2 154 158 9 156 
3 158 162 11 160 
3 162 166 8 164 
5 166 170 5 168 
6 170 174 3 172 
Total 40 
 
G = 
40 3581194 172.168.164.160.156.152
 
 
G = 
y
x
  G = 
yx /1)(
 ; G = 
x
y
log
1
 
log G = 
40
172log168log164log160log156log152log 3581194 
 
 
log G = 
40
71,613,1172,1725,2474,1973,8 
 
 
log G = 2,20657 (log da média geométrica) 
1
 x 
245
 
271
 
exemplo da utilização da mantissa: 
 
log 35 = (2-1)+mantissa 1+0,544068 log 35 = 1,544068 
separar a origem da mantissa: 
log G = 2 + 0,20657 
 
Interpolar: 
160 20142 
? 20657 
161 20683 
 
x  245 
1  271  x = 0,90406 
 
G = 160 + 0,90406  G = 160,90406 ; log G = 2,20657 
 
MÉDIA HARMÔNICA 
 
Média harmônica de um conjunto de n dados é o inverso da média aritmética do 
inverso desses dados. 
Se os valores forem 
ni xxxxx ;...;;...;;; 321
, o seu inverso será: 
ni xxxxx
1
,...,
1
,...,
1
,
1
,
1
321
 
n
xxxxx
x ni
1
...
1
....
111
321
_

 
H = 
ni xxxxx
n
1
...
1
...
111
321

  H = 


n
i ix
n
1
1
 
Exemplos: 
 
Dados não agrupados 
 
Determinar a média harmônica da série: 1, 2, 3, 4 e 5. 
 
H = 
5
1
4
1
3
1
2
1
1
1
5

 ; H = 
60
137
5
 = 
137
300
 = 2,19 
 
Dados agrupados 
 
Determinar a média harmônica com base na tabela de estaturas anterior: 
 
H = 


)
1
.(
i
i
x
fi
f 
H = 
172
1
.3
68
1
.5
164
1
.8
160
1
.11
156
1
.9
152
1
.4
40

 
 
H = 
1463148960
363947111
40
 = 160,8 
 
 
 
 
 
MODA 
Denominamos moda o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de 
valores ou de uma distribuição de dados. 
 
Dada a série de dados não-agrupados: 
1, 4, 2, 7, 2, 3 e 9, determine a moda: Mo = 2 (valor que ocorreu com maior 
freqüência) 
 
P.S.: quando não tem valor repetitivo: AMODAL; quando dois valores apresentam-
se repetidos: BIMODAL. 
 
 
Dada a série de dados agrupados: 
 
Estaturas (cm) 
if
 
150 154 4 
154 158 9 
158 162 11 
162 166 8 
166 170 5 
170 174 3 
 
Moda de “CZUBER”: 
h
DD
D
lMo
21
1
iC



 
Onde: 
il
limite inferior da classe modal; 
h
amplitude da classe modal; 
ii ffD '1 
(anterior); 
'2 ii ffD 
(posterior); 
if
freqüência da classe modal 
 
4.
)811()911(
911
158


CMo
  
6,1594.
5
2
158 CMo
 
 
 
HGx 
_ 
Moda de “KING”: 
h
'ff'
'f
lMo
ii
i
iK



; onde: 
il
limite inferior da classe modal; 
h
amplitude da classe modal; 
'if
freqüência posterior; 
if'
freqüência anterior. 
 
Com base na tabela de estaturas temos: 
 
158il
; 
4h
; 
8'if
; 
9' if
. 
 
P.S.: O resultado não coincide por serem métodos diferentes: KING X CZUBER. 
 
MEDIANA (Md) 
É o elemento que ocupa a posição central de uma série ou de uma distribuição de 
dados. 
 
Exemplo de dados não agrupados 
1) Dada a série 8, 5, 7, 4, 2, 9, 10, 3 e 4, determine a Mediana: 
a. Ordem crescente: 2, 3, 4, 4, 5, 7, 8, 9, 10 
b. Determinar a posição central: 5, logo 
5Md
 
 
2) Dada a série (par): 1, 4, 3, 7, 8, 3, 5 e 4, determine a Mediana: 
1, 3, 3, 4, 4, 5, 7, 8 
4
2
44


Md
 
 
Exemplo de dados agrupados 
3) Determine a Mediana do quadro de estaturas que se segue: 
 
Estaturas (cm) 
if
 
iF
 
150 154 4 4 
154 158 9 13 
158 162 11 24 
162 166 8 32 
166 170 5 37 
170 174 3 40 
 40 - 
 
20
2
40
p
; 
11
28
1584.
11
1320
158 

Md
 
54,160Md
 
 
SEPARATRIZES 
17
32
1584
98
8
158Mo
K



 
 
88,159KMo
 valor próximo do ponto médioda 
classe 
2


if
p
 ou 
2
n
p 
 
 
h
f
Fp
lMd
i
i
i .
'

 
if
freqüência da classe que 
contém a freqüência 
acumulada maior ou igual a 
p 
Medidas de separatrizes são aquelas que separam a distribuição em partes iguais. 
h
if
iFP
ilS .
'

 
 
Mediana: Separa a distribuição em duas partes iguais. 
Quartis: Separam a distribuição em quatro partes iguais. 
Ex.: 
1Q
 : 
4
1n
p 
; 
2Q
: 
4
2n
p 
; 
3Q
 : 
4
3n
p 
 
Decis  Separam a distribuição em dez partes iguais. 
10
in
pi 
 
Centis  Separam a distribuição em cem partes iguais. 
100
in
pi 
 
 
EXERCÍCIO: 
 
Dada a tabela abaixo: 
 
i
 Classes 
if
 
iF
 
ix
 
ii fx
 
iy
 
ii fy
 
1 4 8 2 
2 8 12 5 
3 12 16 9 
4 16 20 6 
5 20 24 2 
6 24 28 1 
  
 
Pede-se: 
a) A média (processo longo e breve) 
b) A moda (KING e CZUBER) 
c) A mediana 
d) O primeiro quartil (
1Q
) e o terceiro quartil (
3Q
) 
e) O sétimo decil (
7D
) e o nono decil (
9D
) 
f) O vigésimo centil (
20C
) e o septuagésimo nono centil (
79C
) 
 
 
MEDIDA DE DISPERSÃO 
 
Ou variabilidade é a maior ou menor diversificação dos valores de uma variável 
em torno de um valor de tendência central (medida de posição). 
 
Dados os conjuntos: 
X
70, 70, 70, 70, 70  
70
_
x
 
Y
68, 69, 70, 71, 72  
70
_
x
 
W
5, 15, 50, 120, 160  
70
_
x
 
 
AMPLITUDE TOTAL  É a diferença entre o menor e o maior valor de uma série 
ou de uma distribuição de dados 
Quando _
x
 é igual aos elementos do 
conjunto, a dispersão é nula 
 
Dados não agrupados: 
Ex.: Dada a série: 2, 5, 7, 1, 4, 6, 9 e 8. Determine a Amplitude Total. 
819 AT
 
 
Dados agrupados 
 
Estaturas (cm) 
if
 
150 154 4 
154 158 9 
158 162 11 
162 166 8 
166 170 5 
170 174 3 
 
 
 
AMPLITUDE SEMIQUARTIL  É a metade da diferença entre o terceiro e o 
primeiro quartil. 
 
2
13 QQq


 
 
Dados não agrupados: 
 
Ex.: Dada a série 3, 4, 5, 1, 2, 7, 6, 8, 6 e 9. Determine a Amplitude Semiquartil. 
organiza-se em ordem crescente: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9 
 
2
2
37


q
 
 
Dados agrupados: 
 
Estaturas (cm) 
if
 
iF
 
150 154 4 4 
154 158 9 13 
158 162 11 24 
162 166 8 32 
166 170 5 37 
170 174 3 40 
 40 - 
 
2
13 QQq


 
 
165,4
2
67,156165


q
 
 
DESVIO - É a distância relativa de cada elemento do conjunto em relação à média 
aritmética ou mediana. 
 
150174AT
 
 
24AT
 
 
4
n
p 
  
1Q
; 
10
4
40
p
 
67,1564
9
410
154Q
1



 
4
3n
p 
  
3Q
; 
30
4
120
4
40.3
p
 
1654
8
2430
162Q
3



 
 
Dada a série: 4, 2, 7, 6, 5, 9, 10, 15; determine o desvio: 
25,7
8
58_


n
x
x
i
 
||
_
xxd ii 
 
25,3|25,74|1 d
 
25,2|25,75|5 d
 
25,5|25,72|2 d
 
75,1|25,79|6 d
 
25,0|25,77|3 d
 
75,2|25,710|7 d
 
25,1|25,76|4 d
 
75,7|25,715|8 d
 
 
 
  5,24|| id
 
 
DESVIO MÉDIO - É a média aritmética dos valores absolutos dos desvios. 
n
d
DM
i

|| 
Dados não agrupados 
Calcular o desvio médio do exemplo anterior 
06,3
8
5,24
DM
 
 
Dados agrupados: 
 



i
i
f
fd
DM
.|| ou 

 

i
ii
f
fxx
DM
.||
_
 
 
i
 Áreas 
if
 
ix
 
ii fx
 
d
 
ifd.
 
iy
 
ii fy
 
2y
 
ify
2
 
1 300 400 14 350 4900 365,5 5117 -3 -42 9 126 
2 400 500 46 450 20700 265,5 12213 -2 -92 4 184 
3 500 600 58 550 31900 165,5 9599 -1 -58 1 58 
4 600 700 76 650 49400 65,5 4978 0 0 0 0 
5 700 800 68 750 51000 34,5 2346 1 68 1 68 
6 800 900 62 850 52700 134,5 8399 2 124 4 248 
7 900 1000 48 950 45600 234,5 11256 3 144 9 432 
8 1000 1100 22 1050 23100 334,5 7359 4 88 16 352 
9 1100 1200 6 1150 6900 434,5 2607 5 30 25 150 
  
 
5,715
400
286200_
x
 
54,159
400
63814
DM