Aequação de carga horária_estatística

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1. INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
1.1. Introdução
A palavra estatística lembra, à maioria das pessoas, recenseamentos. Os censos existem há milhares de anos e constituem um esforço imenso e caro feito pelos governos com o objetivo de conhecer seus habitantes, sua condição sócio-econômica, sua cultura, religião, etc. Portanto, associar-se estatística a censo é perfeitamente correto do ponto de vista histórico, sendo interessante salientar que as palavras estatística e estado têm a mesma origem latina: status.
A estatística é também comumente associada às pesquisas de opinião pública, aos vários índices governamentais, aos gráficos e médias publicadas diariamente na imprensa. Na realidade, entretanto, a estatística engloba muitos outros aspectos, sendo fundamental na análise de dados provenientes de quaisquer processos onde exista variabilidade.
1.2. Importância da Estatística
O mundo está repleto de problemas. Para resolvermos a maioria deles necessitamos de informações. Mas, que tipo de informações? Quantas? E após obtê-las, que fazer com essas informações? A Estatística lida com essas informações, associando os dados ao problema, descobrindo como e o que coletar e obter conclusões a partir de todas essas informações de tal forma que possam ser entendidas por outras pessoas. 
A estatística é uma metodologia utilizada para agrupar dados de um fenômeno, analisá-los, interpretá-los e, a partir daí, tomar decisões.
Esse importante ramo da Matemática tem aplicações nos mais variados campos de atuação.
O sociólogo necessita conhecer as populações, sua distribuição por sexo, idade, profissão, etc.
A meteorologia usa a Estatística para fazer previsões do tempo. Ao agricultor, ela serve para orientá-lo com maior segurança sobre safras, valores de produção, etc.
Na Biologia, então, a Estatística tem inúmeras aplicações. Por exemplo, nos trabalhos efetuados por Johann Gregor Mendel (1822 - 1884) que são as bases das leis da herança.
O geógrafo utiliza a Estatística para obter informações relacionadas às densidades de população, aos climas, às correntes marítimas, etc.
Na indústria, a Estatística é usada para comparar produções, volume de vendas, estudar situações de mercado e suas tendências.
Atualmente, um grande número de empresas utiliza o controle estatístico no processo de produção. Trata-se de uma importante ferramenta de trabalho, que garante informações seguras e possibilita inúmeros benefícios, como a redução de desperdícios e a identificação de problemas, por exemplo.
1.3. Estatística
	A Estatística é uma parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para a coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões.
	Podemos dizer que a Estatística se divide em dois grupos, são eles:
· Estatística Descritiva – esta tem por objetivo a coleta, a organização e a descrição dos dados.
· Estatística Indutiva ou Inferencial – esta destina-se à análise e à interpretação dos dados.
1.4. Variáveis
A cada fenômeno corresponde um número de resultados possíveis. Assim, por exemplo:
· para o fenômeno “sexo” são dois os resultados possíveis: sexo masculino e sexo feminino;
· para o fenômeno “número de filhos” há um número de resultados possíveis expresso através dos números naturais: 0, 1, 2, 3,..., n;
· para o fenômeno “estatura” temos uma situação diferente, pois os resultados podem tomar um número infinito de valores numéricos dentro de um determinado intervalo.
Variável é, convencionalmente, o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. 
	Os exemplos acima nos dizem que uma variável pode ser:
a. qualitativa – quando seus valores são expressos por atributos: sexo (masculino - feminino), cor da pele (branca, preta, amarela, vermelha, parda) etc.;
b. quantitativa – quando seus valores são expressos em números (salários dos operários, idade dos alunos de uma escola etc.). Uma variável quantitativa que pode assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites recebe o nome de variável contínua; uma variável que só pode assumir valores pertencentes a um conjunto enumerável recebe o nome de variável discreta.
Assim, o número de alunos de uma escola pode assumir qualquer um dos valores do conjunto N (números naturais), mas nunca valores como 2,5 ou 3,78 ou 4,325 etc. Logo, é uma variável discreta. Já o peso desses alunos é uma variável contínua, pois um dos alunos tanto pode pesar 72 kg, como 72,5 kg, como 72,54 kg etc., dependendo esse valor da precisão da medida.
De modo geral, as medições dão origem a variáveis contínuas e as contagens ou enumerações, a variáveis discretas.
1.5. População e Amostra
Ao conjunto de entes portadores de, pelo menos, uma característica comum denominamos população estatística ou universo estatístico.
Exemplo: Conjunto formado pelos eleitores de uma cidade.
Se todos podem ser pesquisados, realizamos o que chamamos de CENSO.
Se a população é um conjunto formado por muitos elementos, torna-se inviável analisá-la por inteiro, quer seja fator tempo ou pelo custo.
Nesse caso, devemos trabalhar com uma parte da população, denominada amostra. 
Por exemplo, para conhecer algumas características do nosso sangue, não é preciso tirar todo o sangue do corpo, mas apenas uma amostra.
É fundamental que as amostras sejam representativas, pois as conclusões dessas amostras serão também da população (Inferência Estatística).
Para a seleção de uma amostra há técnicas denominadas amostragem. 
Mediante uma destas técnicas é possível garantir o acaso na escolha e assegurar à amostra a representatividade da população.
EXERCÍCIOS
1. Classifique as variáveis em qualitativas ou quantitativas (contínuas ou discretas):
a) Universo: alunos de uma escola.
Variável: cor dos cabelos - _________________________________________
b) Universo: casais residentes em uma cidade.
Variável: número de filhos - ________________________________________
c) Universo: as jogadas de um dado.
Variável: o ponto obtido em cada jogada - _____________________________
d) Universo: peças produzidas por certa máquina.
Variável: número de peças produzidas por hora - ________________________
e) Universo: peças produzidas por certa máquina.
Variável: diâmetro externo - ________________________________________
2. Diga quais das variáveis abaixo são discretas e quais são contínuas:
a) População: alunos de uma cidade.
Variável: cor dos olhos - __________________________
b) População: estação meteorológica de uma cidade.
Variável: precipitação pluviométrica, durante um ano - ___________________
c) População: Bolsa de Valores de São Paulo.
Variável: número de ações negociadas - __________________________
d) População: pregos produzidos por uma máquina.
Variável: comprimento - __________________________
e) População: casais residentes em uma cidade.
Variável: sexo dos filhos - __________________________
f) População: propriedades agrícolas do Brasil.
Variável: produção de algodão - __________________________
g) População: segmentos de reta.
Variável: comprimento - __________________________
h) População: bibliotecas da cidade de São Paulo.
Variável: número de volumes - __________________________
i) População: aparelhos produzidos em uma linha de montagem.
Variável: número de defeitos por unidade - __________________________
1.6. Etapas da Análise Estatística
1.7. Subdivisões da Estatística
· AMOSTRAGEM: técnicas para obter uma amostra representativa, suficiente e que possa ser generalizada para a população.
· ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS: técnicas para resumir, organizar e interpretar os dados, de uma amostra ou da população, para obter informações.
· PROBABILIDADE: técnicas que permitem calcular a confiabilidade das conclusões de Inferência Estatística.
· INFERÊNCIA ESTATÍSTICA: técnicas para generalizar estatisticamente os resultados de uma amostra para a população.
1.8. Amostragem
Quando o tamanho da amostra é grande em relação ao tamanho da população, ou quando se exige o resultado exato, ou quando já se dispõe dos dados da população, é recomendadorealizar um censo, que considera todos os elementos da população, ou seja, dispensa-se o uso da amostragem. 
Para realizar um estudo por amostragem, a amostra deve ser representativa da população estudada. Para isso, existem técnicas adequadas para cada tipo de situação. 
Veremos a seguir as principais técnicas de amostragem, divididas em probabilísticas e não probabilísticas: 
1.8.1. Técnicas Probabilísticas (aleatórias)
As técnicas probabilísticas garantem a possibilidade de realizar afirmações sobre a população com base nas amostras. Normalmente, todos os elementos da população possuem a mesma probabilidade de serem selecionados. Assim, considerando N como o tamanho da população, a probabilidade de cada elemento ser selecionado será 1/N. Estas técnicas garantem o acaso na escolha. 
São técnicas probabilísticas: 
1.8.1.1. Amostragem Aleatória Simples 
É o processo mais elementar e freqüentemente utilizado. Pode ser realizado numerando-se os elementos da população de 1 a n e sorteando-se, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, X números dessa seqüência, que corresponderão aos elementos pertencente à amostra. 
Exemplo 
Obter uma amostra representativa, de 10%, de uma população de 200 alunos de uma escola. 
1º) Numerar os alunos de 1 a 200; 
2º) Escrever os números de 1 a 200 em pedaços de papel e colocá-los em uma urna; 
3º) Retirar 20 pedaços de papel, um a um, da urna, formando a amostra da população. 
Nesta técnica de amostragem, todos os elementos da população têm a mesma probabilidade de serem selecionados: 1/N, onde N é o número de elementos da população.
Quando o número de elementos da amostra é grande, esse tipo de sorteio torna-se muito trabalhoso. A fim de facilitá-lo, foi elaborada uma tabela - Tabela de Números Aleatórios (TNA) -, construída de modo que os dez algarismos (0 a 9) são distribuídos ao acaso nas linhas e colunas (Anexo), neste caso, também podemos utilizar a função ALEATÓRIO do Excel.
· Resolver o exemplo anterior usando a TNA, considerando à partir da 5ª linha, da esquerda para a direita, de cima para baixo, tomando números de três algarismos, evidentemente, os números maiores que 200 e os que já tenham aparecido, serão desprezados.
1.8.1.2. Amostragem Estratificada (ou Proporcional Estratificada)
Quando a população possui características que permitem a criação de subconjuntos, as amostras extraídas por amostragem simples são menos representativas. Nesse caso, é utilizada a amostragem estratificada. 
Como a população se divide em subconjuntos, convém que o sorteio dos elementos leve em consideração tais divisões, para que os elementos da amostra sejam proporcionais ao número de elementos desses subconjuntos. Observe a figura abaixo: 
Exemplo 
Em uma população de 200 alunos, há 120 meninos e 80 meninas. Extraia uma amostra representativa, de 10%, dessa população. 
Nesse exemplo, há uma variável que permite identificar 2 subconjuntos, a variável sexo. Considerando essa divisão, vamos extrair a amostra da população. 
	SEXO
	POPULAÇÃO
	AMOSTRA (10%)
	Masculino
	120
	
	Feminino
	80
	
	Total
	
	
Portanto, a amostra deve conter 12 alunos do sexo masculino e 8 do sexo feminino, totalizando 20 alunos, que correspondem a 10% da população. 
Para selecionar os elementos da população para formar a amostra, podemos executar os seguintes passos: 
1º) numerar os alunos de 1 a 200, sendo os meninos numerados de 1 a 120 e as meninas, de 121 a 200; 
2º) escrever os números de 1 a 120 em pedaços de papel e colocá-los em uma urna A; 
3º) escrever os números de 121 a 200 em pedaços de papel e colocá-los em uma urna B; 
4º) retirar 12 pedaços de papel, um a um, da urna A, e 8 da urna B, formando a amostra da população. 
Obter uma amostra proporcional estratificada, utilizando a TNA à partir da 8ª linha da esquerda para a direita e de cima para baixo.
São exemplos desta técnica de amostragem as pesquisas eleitorais por região, cidades pequenas e grandes, área urbana e área rural, sexo, faixa etária, faixa de renda, etc. 
1.8.1.3. Amostragem Sistemática 
Esta técnica de amostragem em populações que possuem os elementos ordenados, em que não há necessidade de construir um sistema de referência. Nesta técnica, a seleção dos elementos que comporão a amostra pode ser feita por um sistema criado pelo pesquisador, ou seja, escolhe-se cada elemento de ordem k.
Exemplo 
Obter uma amostra de 80 casas em uma rua que contém 2000 casas. Nesta técnica de amostragem, podemos realizar o seguinte procedimento: 
1º) Como 2000 dividido por 80 é igual a 25, escolhemos, por um método aleatório qualquer, um número de 1 e 25, que indica o primeiro elemento selecionado para a amostra. 
2º) Consideramos os demais elementos, periodicamente, de 25 em 25, até o fim da rua. 
Se o número sorteado entre 1 e 25 for o número 8, a amostra será formada pelas casas: 8ª, 33ª, 58ª, 83ª, 108ª, etc. 
1.8.2. Técnicas Não-Probabilísticas (não aleatórias) 
São técnicas em que há uma escolha deliberada dos elementos da população, que não permite generalizar os resultados das pesquisas para a população, pois as amostras não garantem a representatividade desta. 
São técnicas não-probabilísticas: 
1.8.2.1. Amostragem de Conveniência
Os elementos são escolhidos por conveniência ou por facilidade. Um exemplo deste tipo de amostragem é o caso em que os espectadores de um determinado programa são convidados a responder a um questionário. As amostras obtidas desta forma não são representativas da população. 
1.8.2.2. Amostragem Acidental 
Trata-se da formação de amostras por aqueles elementos que vão aparecendo. Este método é utilizado, geralmente, em pesquisas de opinião, em que os entrevistados são acidentalmente escolhidos. 
Exemplos 
Pesquisas de opinião em praças públicas e ruas movimentadas de grandes cidades. 
1.8.2.3. Amostragem Intencional 
De acordo com determinado critério, é escolhido intencionalmente um grupo de elementos que comporão a amostra. O pesquisador se dirige intencionalmente a grupos de elementos dos quais deseja saber a opinião. 
Exemplos 
- Em uma pesquisa sobre preferência por determinado cosmético, o pesquisador entrevista as freqüentadoras de um grande salão de beleza. 
- Escolha de localidades "representativas" em tempo de eleições.
EXERCÍCIOS
1. Considere um grupo de trabalho, formado por vinte acadêmicos da disciplina de Estatística, da Alfa, formado pelos alunos (1) Adilson, (2) Adriana, (3) Alexandre, (4) Alisson, (5) Edenilson, (6) Éder, (7) Edson, (8) Flávio, (9) Francieli, (10) Gisele, (11) José, (12) Juliano, (13) Maria, (14) Marisa, (15) Patrícia, (16) Pedro, (17) Raquel, (18) Renata, (19) Silvano e (20) Wagner. Obtenha uma amostra de 25% da população, utilizando:
a) amostragem aleatória simples (utilizar a TNA, iniciar na 2ª linha da esquerda para a direita).
b) amostragem estratificada (sexo).
2. Em um Centro Universitário existem 250 alunos em determinado curso superior, sendo:
1
50 alunos no 1º período
32 alunos no 2º período
30 alunos no 3º período
28 alunos no 4º período
35 alunos no 5º período
27 alunos no 6º período
26 alunos no 7º período
22 alunos no 8º período
Obtenha uma amostra de 40 alunos, preencha o quadro seguinte.
	PERÍODOS
	POPULAÇÃO
	CÁLCULO
PROPORCIONAL
	AMOSTRA
	1º
	35
	
	6
	2 º
	...
	...
	...
	3 º
	...
	...
	...
	4 º
	28
	...
	...
	5 º
	...
	...
	6
	6 º
	...
	...
	...
	7 º
	...
	...
	...
	8 º
	...
	...
	...
	TOTAL
	250
	-
	40
3. Dada uma população de 4 pessoas, Antônio (A), Carlos (C), Luís (L) e Pedro (P), quantas amostras aleatórias simples de tamanho 2 podem ser obtidas? Quais são essas amostras?
4. Uma população encontra-se dividida em três estratos, com tamanhos, respectivamente, 
n1 = 40, n2 = 100 e n3 = 60. Sabendo que, ao ser realizada uma amostragem proporcional estratificada, nove elementos da amostra foram retirados do 3o estrato, determine o número de elementos de cada estrato que comporá a amostra e o número total de elementos da amostra.
	ESTRATOS
	TAMANHO
	PERCENTUALCÁLCULO
PROPORCIONAL
	AMOSTRA
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
5. Uma cidade X apresenta o seguinte quadro relativo às suas escolas de ensino fundamental.
	ESCOLAS
	Nº DE ESTUDANTES
	
	MASC.
	CÁLCULO
PROPORCIONAL
	AMOSTRA
	FEM.
	CÁLCULO
PROPORCIONAL
	AMOSTRA
	A
	80
	
	
	95
	
	
	B
	102
	
	
	120
	
	
	C
	110
	
	
	92
	
	
	D
	134
	
	
	228
	
	
	E
	150
	
	
	130
	
	
	F
	300
	
	
	290
	
	
	TOTAL
	876
	
	
	955
	
	
Obtenha uma amostra proporcional estratificada de 120 estudantes.
6. Uma empresa tem 3.414 empregados repartidos nos seguintes departamentos:
	DEP.
	Nº DE EMP.
	CÁLCULO
PROPORCIONAL
	AMOSTRA
	Administração
	914
	
	
	Transporte
	348
	
	
	Produção
	1401
	
	
	Outros
	751
	
	
	Total
	
	
	
Deseja-se extrair uma amostra entre os empregados para verificar o grau de satisfação em relação à qualidade da comida servida no refeitório. Diga como a amostragem seria realizada considerando uma amostra de 20 % da população.
7. Para cada uma das seguintes situações diga qual o tipo de amostragem utilizada.
a) Em uma IES, certo Conselho Universitário deseja conhecer a opinião dos alunos e professores sobre uma resolução a ser votada, que estabelece horários fixos para o atendimento de alunos pelos professores. Para compor a amostra foram sorteados aleatoriamente 10% dos alunos matriculados e 10% dos professores. Amostragem _______________________.
b) Um treinador de uma confederação esportiva deseja dividir 20 times em dois grupos. Para o primeiro grupo ele seleciona aleatoriamente 10 times, e considera os 10 restantes para o segundo grupo. Amostragem __________________________.
c) Uma lista numerada contém 1000 nomes, numerados consecutivamente a partir de 1. Iniciando-se do 15º nome, uma amostra foi composta considerando sorteados os nomes referentes aos números 25, 35, 45, 55 e assim sucessivamente até que fossem escolhidos 100 nomes. Amostragem __________________________.
8. Complete:
a) Na amostragem _______________ cada elemento da população tem a mesma chance de ser incluído na amostra.
b) Na amostragem ___________________a seleção dos itens da população que farão parte da amostra são escolhidos seguindo uma seqüência fixa, isto é, são escolhidos os itens r, r + k, r + 2k, r + 3k, e assim por diante.
c) A amostragem __________________pressupõe a divisão da população em subgrupos de itens similares, procedendo-se então a amostragem em cada subgrupo.
9. Um grupo industrial deseja determinar a reação do público à rotulagem dos produtos. Numa parte da cidade, há 40 quarteirões, com 10 casas por quarteirão. Suponha que se queira selecionar aleatoriamente 10 casas. Como proceder?
10. Os empregados de uma firma têm etiquetas de identificação numeradas consecutivamente de 101 a 873. Deve-se escolher um comitê de segurança de 10 pessoas, selecionadas aleatoriamente. Como fazer a seleção do comitê, utilizando:
a) amostragem aleatória simples (utilizar à partir da 10ª coluna da TNA de cima para baixo);
b) amostragem sistemática.
2. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
	Ao estudar grandes conjuntos de dados, é conveniente resumi-los numa tabela, através do agrupamento dos dados em classes, com suas respectivas frequências.
	Denominamos frequência o número que fica relacionado a um determinado valor da variável.
Quando os dados são discretos com valores repetidos, a simples identificação dos mesmos com as respectivas frequências, pode ser um procedimento adequado, ao que damos o nome de distribuição de frequências sem intervalos de classes. 
Quando os dados são contínuos, pode acontecer que poucos, ou até nenhum deles, apresente frequência. Nestes casos, o procedimento começa pela definição de classes. 
Classes de frequência, ou simplesmente, classes são intervalos de variação da variável.
Uma distribuição de frequências é uma tabela na qual os possíveis valores de uma variável se encontram agrupados em classes, registrando-se o número de valores observados em cada classe. Os dados organizados em uma distribuição de frequência são chamados de dados agrupados.
2.1. Conceitos Essenciais
	Para cada classe, em uma distribuição de frequência, os limites de classe inferior e superior indicam os valores compreendidos pela classe. As classes são representadas simbologicamente por i, sendo i = 1, 2, 3, ..., k (onde k é o número total de classes da distribuição). Há diversos métodos para determinar o número de classes, os quais veremos mais adiante.
Limites de classes são os extremos de cada classe. O menor número é o limite inferior da classe (li) e o maior número, o limite superior da classe (Li). 
Classe ou Intervalo de classe li (incluir) |––– Li (excluir)
Amplitude de um intervalo de classe, ou simplesmente, intervalo de classe (hi) é a medida do intervalo que define a classe:
hi = Li – li, amplitude da i-ésima classe.
Amplitude total da distribuição (AT) é a diferença entre o limite superior da última classe (limite superior máximo) e o limite inferior da primeira classe (limite inferior mínimo):
AT = Lmáx – lmín.
Amplitude amostral (AA) é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra:
AA = xmáx – xmín.
Ponto médio de uma classe (xi) é, como o próprio nome indica, o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. O ponto médio da i-ésima classe é obtido da seguinte maneira:
.
Regras básicas 
1. Efetua-se um rol (ordenação crescente ou decrescente de grandeza) nos dados brutos (aqueles ainda não organizados numericamente – tabela primitiva).
2. Determina-se a amplitude amostral da distribuição. 
3. 
Escolhe-se convenientemente o número de classes k (nº. inteiro), 5 ≤ k ≤ 15 onde podemos tomar ou a regra de Sturges , n ≥ 25 (total de observações). Se possível determina-se, ou seja, constrói-se classes de mesma amplitude, tomando .
4. Efetua-se o agrupamento em classes e, a seguir, toma-se às frequências das classes, elaborando-se, portanto, a tabela de distribuição de frequências. 
2.2. Tipos de Frequências 
a) Frequências simples ou absolutas ou, simplesmente, frequências de uma classe ou de um valor individual é o número de observações correspondentes a essa classe ou a esse valor.
A frequência simples é simbolizada por fi (lemos: f índice i ou frequência da classe i).
Obs.: (número total de observações).
b) Frequências relativas (fri) são valores das razões entre as frequências simples e a frequência total:
.
Obs.: ou 100%.
c) Frequência acumulada (Fi) (do tipo “abaixo de”) é o total das frequências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de classe:
 ou .
d) Frequência acumulada relativa (Fri) de uma classe é a frequência acumulada da classe, dividida pela frequência total da distribuição:
.
2.3. Distribuição de Frequência sem Intervalos de Classe
	Quando se trata de variável discreta de variação relativamente pequena, cada valor pode ser tomado como um intervalo de classe (intervalo degenerado) e, nesse caso, a distribuição é chamada distribuição sem intervalos de classe, tomando a seguinte forma:
	
	xi
	fi
	x1
	f1
	x2
	f2
	
	
	xn
	fn
	
	
2.4. Representação Gráfica de uma Distribuição de Frequência
Outra maneira de apresentar uma distribuição de frequência é por meio de gráficos.
Observação: não é necessário que seja a mesma escala para os dois eixos.
2.4.1. Histograma
O histograma é um gráfico formado por retângulos justapostos, tendo como base o intervalo de classe, sendo a área de cada retângulo proporcional à frequência da classe correspondente. Esse gráfico foi idealizado pelo geneticista e estatístico Karl Pearson (1857 - 1936).
Exemplo
A distribuição das notas dos trinta alunos de Estatística de uma escola está representada abaixo:
	Classes
(notas)
	
	
0 2
2 4
4 6
6 8
 8 10
	4
5
12
8
1
Representando as classes da distribuição no eixo das abscissas e as frequências no eixo das ordenadas, temos o seguinte histograma:
O histograma é a região colorida.
2.4.2. Polígono de Frequência
Ao ligar os pontos médios da parte superior de cada retângulo do histograma, obtemos um polígonodenominado polígono de frequência.
	Devemos completar a figura (polígono), ligando os extremos da linha obtida aos pontos médios da classe anterior à primeira e da posterior à última, da distribuição.
	Obs.: No caso de termos uma variável essencialmente positiva, cuja distribuição se inicie no valor zero, devemos considerar um intervalo anterior localizado no semi-eixo negativo. Porém, consideraremos apenas a parte positiva do segmento que liga o ponto médio desse intervalo com a frequência do intervalo 0 ... .
Retornando ao histograma do exemplo anterior, temos:
2.4.3. Polígono de frequência acumulada
2.4.4. 
2.4.5. 
2.4.6. 
2.4.7. 
2.4.8. 
2.4.9. 
2.4.10. 
2.4.11. 
2.4.12. 
2.4.13. 
2.4.14. 
2.4.15. 
2.4.16. 
2.4.17. 
2.4.18. 
2.4.19. 
2.4.20. 
2.4.21. 
2.4.22. 
2.4.23. 
2.4.24. 
2.4.25. 
2.4.26. 
2.4.27. 
2.4.28. 
2.4.29. 
2.4.30. 
2.4.31. 
2.4.32. 
2.4.33. 
2.4.34. 
2.4.35. 
2.4.36. 
2.4.37. 
2.4.38. 
2.4.39. 
2.4.40. 
2.4.41. 
2.4.42. 
2.4.43. 
2.4.44. 
2.4.45. 
2.4.46. 
2.4.47. 
2.4.48. 
2.4.49. 
2.4.50. 
2.4.51. 
2.4.52. 
2.4.53. 
2.4.54. 
2.4.55. 
2.4.56. 
2.4.57. 
2.4.58. 
2.4.59. 
2.4.60. 
2.4.61. 
2.4.62. 
2.4.63. 
É traçado marcando-se as frequências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe.
Exemplo 
Sejam os seguintes dados:
Estaturas de 50 crianças
	30
	35
	35
	39
	41
	41
	42
	45
	47
	48
	51
	52
	53
	54
	55
	55
	57
	59
	60
	60
	62
	64
	65
	65
	65
	66
	66
	66
	67
	68
	69
	71
	73
	73
	74
	74
	76
	77
	77
	78
	80
	81
	84
	85
	85
	88
	89
	91
	94
	97
Preencha a distribuição de frequências abaixo: 
	Classes
	
	
	
	30 40
	
	
	
	40 50
	
	
	
	50 60
	
	
	
	60 70
	
	
	
	70 80
	
	
	
	80 90
	
	
	
	90 100
	
	
	
	
	
	
=
	
Construa o Histograma, o Polígono de Frequência e o Polígono de Frequência Acumulada da distribuição acima.
Histograma
4
8
12
 30 40 50 60 70 80 90 100 
fi
Classes
Polígono de Frequência
fi
 35 45 55 65 75 85 95
4
8
12
 xi
Polígono de Frequência Acumulada
 Fi
 30 40 50 60 70 80 90 100
10
18
31
40
47
50
4
Classes
Exemplos
1. Os valores abaixo representam a estatura (em cm) de 75 alunos regularmente matriculados no curso A (Utilize uma casa decimal para as frequências relativas).
	172
	180
	174
	182
	176
	167
	160
	162
	162
	164
	167
	174
	169
	155
	155
	180
	176
	171
	179
	167
	173
	180
	172
	163
	168
	165
	183
	189
	178
	164
	170
	168
	169
	180
	174
	175
	191
	172
	176
	172
	174
	173
	165
	165
	163
	150
	166
	178
	178
	168
	181
	184
	166
	177
	167
	166
	173
	160
	180
	186
	156
	163
	169
	155
	172
	164
	154
	165
	181
	156
	180
	168
	185
	169
	179
Rol
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Estaturas (cm)
	
	
	
 (%)
	
	
 (%)
	1
	
	
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	
	
	4
	
	
	
	
	
	
	5
	
	
	
	
	
	
	6
	
	
	
	
	
	
	7
	
	
	
	
	
	
	8
	
	
	
	
	
	
	9
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
xi é o ponto médio da classe
Pede-se:
a) o rol;
b) a amplitude amostral;
c) o número de classes;
d) a amplitude das classes;
e) a amplitude total;
f) preencher a distribuição de frequências;
g) a frequência da quinta classe;
h) qual o limite superior da segunda classe?
i) qual o limite inferior da terceira classe?
j) qual o ponto médio da quarta classe?
k) qual a porcentagem dos alunos que possui estatura inferior a 175 cm?
l) qual a porcentagem dos alunos cuja estatura não atinge 185 cm?
m) qual a porcentagem dos alunos cuja estatura seja maior ou igual 170 cm?
n) o histograma;
o) o polígono de frequência;
p) o polígono de frequência acumulada.
2. Seja x a variável “número de cômodos das casas ocupadas por vinte famílias entrevistadas”:
	
	
	
	
 (%)
	
	
 (%)
	1
	2
	4
	
	
	
	2
	3
	7
	
	
	
	3
	4
	5
	
	
	
	4
	5
	2
	
	
	
	5
	6
	1
	
	
	
	6
	7
	1
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Observando a tabela acima, responda:
a) a amplitude total;
b) preencher a distribuição de frequências;
c) a frequência da quinta variável;
d) qual a porcentagem de famílias que possui casa com o número de cômodos inferior a 4?
e) qual a porcentagem de famílias que possui casa com o número de cômodos superior a 6?
f) qual a porcentagem de famílias que possui casa cujo número de cômodos não atinge 5?
g) qual o número de famílias que possui casa que não contém 4 cômodos?
EXERCÍCIOS
1. Os resultados do lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes:
 Rol
	6
	5
	2
	6
	4
	3
	6
	2
	6
	5
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	1
	6
	3
	3
	5
	1
	3
	6
	3
	4
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	5
	4
	3
	1
	3
	5
	4
	4
	2
	6
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	2
	2
	5
	2
	5
	1
	3
	6
	5
	1
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	5
	6
	2
	4
	6
	1
	5
	2
	4
	3
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Fazer o rol dos 50 lançamentos, preencher a tabela com os vários tipos de frequência (sem intervalos de classe) e responder as seguintes perguntas:
	
	Nº da face (dado)
	
	
 (%)
	
	
 (%)
	1
	
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	
	4
	
	
	
	
	
	5
	
	
	
	
	
	6
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
a) quantas vezes o número 4 foi obtido no dado?
b) quantas vezes o número obtido no dado foi maior que 3?
c) quantas vezes saíram os números inferiores a 4?
d) qual é a porcentagem de ocorrência do número 2?
e) qual é a porcentagem de ocorrência dos números menores ou iguais a 4?
2. Montar uma distribuição de frequências com dados agrupados com classes utilizando os dados abaixo, tomando o limite inferior da primeira classe o número 10 e a amplitude das classes igual a 15, construa o histograma, o polígono de frequência e o polígono de frequência acumulada da distribuição (Utilize uma casa decimal para as frequências relativas).
48 - 34 - 78 - 36 - 65 - 48 - 54 - 42 - 24 - 96
30 - 60 - 90 - 66 - 72 - 60 - 20 - 24 - 85 - 52
84 - 54 - 36 - 42 - 84 - 10 - 18 - 12 - 22 - 25
34 - 60 - 55 - 21 - 47 - 65 - 77 - 34 - 51 - 80
	
	
	
	
	
 (%)
	
	
 (%)
	1
	
	
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	
	
	4
	
	
	
	
	
	
	5
	
	
	
	
	
	
	6
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
3. Complete o quadro de distribuição de frequências. 
	
	
	
	
	
	
	1
	6 |--- 10
	1
	
	
	
	2
	10 |--- 14
	
	25
	
	
	3
	14 |--- 18
	8
	
	14
	
	4
	18 |--- 22
	
	
	
	90
	5
	22 |--- 26
	2
	
	20
	
4. Complete o quadro de distribuição de frequências com intervalos (iguais) de classes. 
	
	
	
	
	
	
	
	1
	6 |--- 10
	8
	4
	
	
	20
	2
	
	
	
	35
	11
	
	3
	14 |--- 18
	16
	5
	
	
	80
	4
	
	
	2
	
	18
	90
	5
	
	24
	
	5
	
	
	6
	
	
	1
	5
	20
	
5. Apresentamos a seguir o quadro incompleto de uma distribuição de frequência, preencha-a:
	
	
	
	
 (%)
	
	
 (%)
	1
	100 |--
	
	
	72
	
	2
	|--
	
	
	
	
	3
	|--
	
	14
	
	
	4
	|--
	44
	
	
	68
	5
	600 |--
	
	
	
	
	6
	|--
	52
	
	360
	
	7
	|--
	
	
	
	
	8
	|--
	8
	
	
	
	TOTAL
	
	400
	
	
	
Depois de preenchida a distribuição de frequências, responda:
a) a amplitude das classes;
b) a frequência da 3ª classe;
c) a frequência relativa da 1ª classe;
d) a frequência acumulada da 4ª classe;
e) o percentual e o número de ocorrências superiores ou iguais a 600;
f) a frequência acumulada relativa da 7ª classe.
6. Em uma fábrica foram testadas 400 luminárias. A duração delas aparece na seguinte distribuição de freqüência (Utilize uma casa decimal para as frequências relativas):
	
	Duração (horas)
	N° de luminárias
	
	
	
	1
	300 |-- 400
	14
	
	
	
	2
	400 |-- 500
	46
	
	
	
	3
	500 |-- 600
	58
	
	
	
	4
	600 |-- 700
	76
	
	
	
	5
	700 |-- 800
	68
	
	
	
	6
	800 |-- 900
	62
	
	
	
	7
	900 |-- 1000
	48
	
	
	
	8
	1000 |-- 1100
	22
	
	
	
	9
	1100 |-- 1200
	6
	
	
	
	
	
	400
	
	
	
Observando a tabela, responda:
a) qual a amplitude de cada classe?
b) qual a amplitude total da distribuição? 
c) complete a tabelade distribuição por frequência.
d) qual a frequência relativa da sétima classe?
e) qual o percentual de luminárias com durabilidade inferior a 600 horas?
f) qual o percentual de luminárias com durabilidade maior ou igual a 800 horas?
g) qual a durabilidade média das luminárias inclusas na classe de maior frequência simples?
h) qual o percentual de luminárias com durabilidade maior ou igual a 700 e menor que 1000?
i) qual a classe da 155ª luminária?
j) até que classe estão incluídas 65% das luminárias?
7. A distribuição abaixo indica o número de acidentes ocorridos com 70 motoristas de uma empresa de ônibus (Utilize duas casas decimais para as frequências relativas):
	
	
	
Nº de acidentes ()
	
	
 (%)
	
	
 (%)
	1
	0
	20
	
	
	
	2
	1
	10
	
	
	
	3
	2
	16
	
	
	
	4
	3
	9
	
	
	
	5
	4
	6
	
	
	
	6
	5
	5
	
	
	
	7
	6
	3
	
	
	
	8
	7
	1
	
	
	
	
	
	
	
	
	
fi é o número de motoristas
	Determine:
a) o número de motoristas que não sofreram nenhum acidente;
b) o número de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes;
c) o número de motoristas que sofreram menos de 3 acidentes;
d) o número de motoristas que sofreram no mínimo 3 e no máximo 5 acidentes;
e) a porcentagem de motoristas que sofreram no máximo 2 acidentes.
8. A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequência das notas de 50 alunos, em Estatística. Complete esta tabela:
	
	NOTAS
	
	
 (%)
	
	
 (%)
	1
	20 |----- 30
	2
	
	
	
	2
	30 |----- 40
	4
	
	
	
	3
	40 |----- 50
	6
	
	
	
	4
	50 |----- 60
	8
	
	
	
	5
	60 |----- 70
	12
	
	
	
	6
	70 |----- 80
	10
	
	
	
	7
	80 |----- 90
	6
	
	
	
	8
	90 |----- 100
	2
	
	
	
	
	Com referência a essa tabela, responda:
a) a amplitude total da distribuição; _______________________________________
b) o limite inferior da terceira classe; _______________________________________
c) a amplitude do intervalo da quinta classe; _________________________________
d) a frequência da primeira classe; _________________________________________
e) a frequência acumulada da quarta classe; __________________________________
f) o número de alunos que não atingiram nota 70; _____________________________
g) o número de alunos que atinge e ultrapassa nota 50; _________________________
h) a porcentagem dos alunos cuja nota é de 40, no mínimo, mas inferior a 80; _______
i) até que classe estão incluídos 70% dos alunos; ______________________________
j) a porcentagem dos alunos cuja a nota não atinge 50. _________________________
9. Pesquisadas as idades de quarenta pessoas, obtiveram-se os seguintes resultados:
	4
	21
	13
	16
	14
	22
	12
	18
	13
	11
	10
	14
	20
	6
	15
	17
	8
	10
	17
	8
	10
	22
	18
	15
	23
	23
	9
	6
	13
	17
	6
	10
	21
	12
	14
	12
	5
	15
	18
	4
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Com os dados apresentados, resolva os itens abaixo:
a) faça o rol dos dados acima;
b) preencha a distribuição de frequência, utilizando as classes (Utilize uma casa decimal para as frequências relativas):
 49, 914, 1419 e 1924
	
	
	
	
	
 (%)
	
	
 (%)
	1
	
	
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	
	
	4
	
	
	
	
	
	
c) 
quantas pessoas pertencem à classe 1419?
d) qual é a porcentagem de pessoas que têm menos de 14 anos?
e) construa o histograma, o polígono de frequência e o polígono de frequência acumulada da distribuição feita acima.
3. MEDIDAS DE POSIÇÃO
	O estudo feito sobre distribuições de frequências, até agora, permite-nos descrever, de modo geral, os grupos dos valores que uma variável pode assumir. Dessa forma, podemos localizar a maior concentração de valores de uma dada distribuição, isto é, se ela se localiza no início, no meio ou no final, ou, ainda, se há uma distribuição por igual.
Porém, para ressaltar as tendências características de cada distribuição, isoladamente, ou em confronto com outras, necessitamos introduzir conceitos que se expressem através de números, que nos permitam traduzir essas tendências.
Estudaremos, agora, as medidas de posição – estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição da distribuição em relação ao eixo horizontal (eixo das abscissas). 
As medidas de posição mais importantes são as medidas de tendência central, que recebem tal denominação pelo fato de os dados observados tenderem, em geral, a se agrupar em torno dos valores centrais. Dentre as medidas de tendência central, destacamos:
a) a média aritmética;
b) a mediana;
c) a moda.
As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam:
a) a própria mediana;
b) os quartis;
c) os percentis.
Obs.: As respostas das mesmas serão dadas com duas casas decimais.
3.1. Dados não-agrupados
3.1.1. 
Média Aritmética 
Em um conjunto de dados, podemos definir vários tipos de médias. Porém em nossos estudos iremos nos limitar a mais importante: a média aritmética.
Definição: A média aritmética, ou simplesmente, média de um conjunto de dados é a soma das entradas de dados dividida pelo número de entradas. Para encontrar a média use a fórmula a seguir: , sendo: 
 a média aritmética;
xi os valores da variável;
n o número de valores.
	
Exemplo
A tabela seguinte mostra o número de gols feitos em cada uma das quatro rodadas de um campeonato de futebol. 
	1ª rodada
	2ª rodada
	3ª rodada
	4ª rodada
	26 gols
	23 gols
	20 gols
	21 gols
A média de gols por rodada é dada por:
Definição: Denominamos desvio em relação à média a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética. 
Notação: .
3.1.2. Moda (Mo)
Definição: Denominamos moda o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores.
Para encontrarmos a moda, de acordo com a definição, basta procurar o valor que mais se repete, entretanto, podemos encontrar séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor apareça mais vezes que outros (amodal). Em outros casos, ao contrário, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então, que a série tem dois ou mais valores modais (bimodal ou plurimodal).
3.1.3. Mediana (Md)
Definição: A mediana é outra medida de posição definida como o número que se encontra no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma ordem. Em outras palavras, a mediana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.
Se a série dada tiver um número par de termos, a mediana será, por definição, qualquer dos números compreendidos entre os dois valores centrais da série. Convencionou-se utilizar o ponto médio.
Assim, a série de valores:
2, 4, 7, 8, 10, 12, 12, 14
tem para mediana a média aritmética entre ______ e _______.
	Logo: .
Exemplo
Para os dados não agrupados, 1, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 6, determinar:
a) a média
b) os desvios em relação à média
c) a moda
d) a mediana.
EXERCÍCIOS
1. Considerando os conjuntos de dados:
a) 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6
b) 20, 9, 7, 2, 12, 7, 20, 15, 7
c) 51,6; 48,7; 50,3; 49,5; 48,9
d) 15, 18, 20, 13, 10, 16, 14
Calcule:
I. a média;
II. a mediana;
III. a moda.
2. Dê um exemplo, de um conjunto de 5 (cinco) dados, no qual a mediana e a moda sejam iguais.
3. Dê um exemplo, de um conjunto com 7 (sete) dados, no qual a amplitude total seja 10 e a mediana seja 6.
4. Os salários-hora de cinco funcionários de uma companhia são:
R$ 75, R$ 90, R$ 83, R$ 142 e R$ 88.
Determine:
a) a média dos salários-hora;
b) o salário-hora mediano.
5. As notas de um candidato, em seis provas de um concurso, foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2. Determine:
a) a nota média;
b) a nota mediana;
c) a nota modal.
6. Dada a distribuição abaixo, calcule a média.
	
	
	
	4
	20
	
	5
	40
	
	6
	30
	
	7
	10
	
	
	
	
7. A média das idades de três pessoas reunidas em uma sala é 25 anos. Se uma criança de 5 anos entrar na sala, a nova média das idades será:
a) 
b) 15 anos
c) 18 anos
d) 20 anos
e) 22 anos
f) 24 anos
 
8. A nota média dos meninos de uma classe foi 6,0 e das meninas, 7,0. Se a classe é composta de dezoitomeninos e doze meninas, então a nota média da classe foi:
a) 
b) 6,5
c) 7,2
d) 4,8
e) 6,4
f) 7,0
9. A média de um conjunto de valores iguais a uma constante é:
a) 
b) igual à unidade
c) zero
d) o valor da constante
e) igual à soma das constantes
10. A média das idades dos 11 funcionários de uma empresa era de 40 anos. Um dos funcionários se aposentou com 60 anos, saindo da empresa. A média de idade dos 10 funcionários restantes passou a ser:
1. 
1. 40 anos
1. 39,8 anos
1. 38,9 anos
1. 38 anos
1. 37,8 anos 
11. Em um edifício residencial com 54 apartamentos, 36 condôminos pagam taxa de condomínio de R$ 380,00; para os demais, essa taxa é de R$ 440,00. Qual é o valor da taxa média de condomínio nesse edifício?
3.2. Dados agrupados
3.2.1. 
Média Aritmética 
3.2.1.1. Sem Intervalos de Classes
Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de filhos do sexo masculino:
	
Nº de meninos ()
	
	
	0
	2
	
	1
	6
	
	2
	10
	
	3
	12
	
	4
	4
	
	
	
	
TABELA 1.
Neste caso, como as frequências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética, dada pela fórmula: .
	Logo, a média dos dados da tabela anterior é: 
3.2.1.2. Com Intervalos de Classes
Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula:
onde xi é o ponto médio da classe.
	
Consideremos a distribuição:
	
	Estaturas (cm)
	
	
	
	1
	150 |---- 154
	4
	
	
	 2
	154 |---- 158
	9
	
	
	3
	158 |---- 162
	11
	
	
	4
	162 |---- 166
	8
	
	
	5
	166 |---- 170
	5
	
	
	6
	170 |---- 174
	3
	
	
	
	
	
	
	
TABELA 2.
	Calcule a média:
3.2.2. Moda (Mo)
3.2.2.1. Sem Intervalos de Classes
Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda: basta fixar o valor da variável de maior frequência.
	Na distribuição da Tabela 1, à frequência máxima _______ corresponde o valor ______ da variável. Logo: Mo = __________.
3.2.2.2. Com Intervalos de Classes
A classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a moda, neste caso, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal.
O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe modal.
Damos a esse valor a denominação de moda bruta.
Temos, então: , onde:
	l* é o limite inferior da classe modal;
	L* é o limite superior da classe modal.
	Assim, para a distribuição da Tabela 2, temos que a classe modal é i = _________, l* = ___________ e L* = ___________.
	Logo, 
 =
3.2.3. Mediana (Md)
3.2.3.1. Sem Intervalos de Classes
Neste caso, é o bastante identificar a frequência acumulada imediatamente superior à metade da soma das frequências. A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal frequência acumulada.
Tomemos a distribuição relativa à Tabela 1, completando-a com a coluna correspondente à frequência acumulada:
	Nº de meninos
	
	
	 0
	2
	
	1
	6
	
	2
	10
	
	3
	12
	
	4
	4
	
	
	
	
Sendo:
 = 
a menor frequência acumulada que supera esse valor é _____, que corresponde ao valor ______ da variável, sendo este o valor mediano. Logo:
 	Md = _________.
Nota: 	No caso de existir uma frequência acumulada (Fi), tal que:, a mediana será dada por: , isto é, mediana será a média aritmética entre o valor da variável correspondente a essa frequência acumulada e o seguinte:
Exemplo
	
	
	
	12
	1
	
	14
	2
	
	15
	1
	
	16
	2
	
	17
	1
	
	20
	1
	
	
	
	
	Temos:
 = 
Logo:
 	Md = _________
3.2.3.2. Com Intervalos de Classes
Neste caso, o problema consiste em determinar o ponto do intervalo em que está compreendida a mediana.
Para tanto, executamos os seguintes passos:
1º) Determinamos as frequências acumuladas.
2º) Calculamos .
3º) Marcamos a classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior à – classe mediana – e, em seguida, empregamos a fórmula:
na qual:
 é o limite inferior da classe mediana;
 é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana;
 é a frequência simples da classe mediana;
 é a amplitude do intervalo da classe mediana.
Assim, considerando a distribuição da Tabela 2, temos:
	
	Estaturas (cm)
	
	
	1
	150 |---- 154
	4
	
	 2
	154 |---- 158
	9
	
	3
	158 |---- 162
	11
	
	4
	162 |---- 166
	8
	
	5
	166 |---- 170
	5
	
	6
	170 |---- 174
	3
	
	
	
	
	
Como: = 
Logo, a classe mediana é a de ordem ______. Então:
	 = ______, = ________, = _______ e = _________.
Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:
	Md = 
· 
Nota: No caso de existir uma frequência acumulada exatamente igual a , a mediana será o limite superior da classe correspondente.
Exemplos
	
	
	
	
	1
	0 |---- 10
	1
	
	 2
	10 |---- 20
	3
	
	3
	20 |---- 30
	9
	
	4
	30 |---- 40
	7
	
	5
	40 |---- 50
	4
	
	6
	50 |---- 60
	2
	
	
	
	
	
Temos: =
Logo:
	Md = 
3.3. As Separatrizes
	Como vimos, a mediana caracteriza uma série de valores devido à sua posição central. No entanto, ela apresenta uma outra característica, tão importante quanto a primeira: ela separa a série em dois grupos que apresentam o mesmo número de valores.
	Assim, além das medidas de posição que estudamos, há outras que, consideradas individualmente, não são medidas de tendência central, mas estão ligadas à mediana relativamente à sua segunda característica, já que se baseiam em sua posição na série. Essas medidas – os quartis, os percentis e os decis – são, juntamente com a mediana, conhecidas pelo nome genérico de separatrizes.
3.3.1. Os Quartis
	Denominamos quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais.
	Há, portanto, três quartis:
a) O primeiro quartil (Q1) – valor situado de tal modo na série que uma quarta parte (25%) dos dados é menor que ele e as três quartas partes restantes (75%) são maiores.
b) O segundo quartil (Q2) – evidentemente, coincide com a mediana (Q2 = Md). 
c) O terceiro quartil (Q3) – valor situado de tal modo que as três quartas partes (75%) dos termos são menores que ele e a uma quarta parte restante (25%) é maior.
	Quando os dados são agrupados, para determinar os quartis usamos a mesma técnica do cálculo da mediana, bastando substituir, na fórmula da mediana, por: , sendo k o número de ordem do quartil.
	Assim, temos: e .
3.3.2. Os Percentis
	
	Denominamos percentis os noventa e nove valores que separam uma série em 100 partes iguais.
	Indicamos:
		.
	É evidente que:
		 e .
	O cálculo de um percentil segue a mesma técnica do cálculo da mediana, porém, a fórmula será substituída por , sendo k o número de ordem do percentil.
EXERCÍCIOS
1. Determine a média aritmética de:
a) 
	
	
Valores ()
	
Quantidades ()
	
	1
	50
	8
	
	2
	60
	5
	
	3
	80
	4
	
	4
	90
	3
	
	
	
	
	
b) 
	
	
	
	
	1
	50
	20
	
	 2
	58
	50
	
	3
	66
	30
	
	
	
	
	
2. Considerando a distribuição abaixo:
	
	
	
	
	
	1
	3
	4
	
	
	2
	4
	8
	
	
	3
	5
	11
	
	
	4
	6
	10
	
	
	5
	7
	8
	
	
	6
	8
	3
	
	
	
	
	
	
	
Calcule:
a) a média;
b) a mediana;
c) a moda.
3. Em uma classe de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte distribuição:
	
	
Notas ()
	
Nº de alunos ()
	
	
	1
	2
	1
	
	
	 2
	3
	3
	
	
	3
	4
	6
	
	
	4
	5
	10
	
	
	5
	6
	13
	
	
	6
	7
	8
	
	
	7
	8
	5
	
	
	8
	9
	3
	
	
	9
	10
	1
	
	
	
	
	
	
	
Calcule:
a) a nota média;
b) a nota mediana;
c) a nota modal.
4. Calcule a média aritmética, mediana e moda de cada uma das distribuições abaixo:
a) 
	
	Notas
	
	
	
	
	1
	0 |---- 2
	5
	
	
	
	2
	2 |---- 4
	8
	
	
	
	3
	4 |---- 6
	14
	
	
	
	4
	6 |---- 8
	10
	
	
	
	5
	8 |---- 10
	7
	
	
	
	
	
	
	
	
	
b)
	
	Estaturas (cm)
	
	
	
	
	1
	150 |---- 158
	5
	
	
	
	 2
	158 |---- 166
	12
	
	
	
	3
	166 |---- 174
	18
	
	
	
	4
	174 |---- 182
	27
	
	
	
	5
	182 |---- 190
	8
	
	
	
	
	
	
	
	
	
c)
	
	Salários (R$)1
	500 |---- 700
	18
	
	
	
	2
	700 |---- 900
	31
	
	
	
	3
	900 |---- 1100
	15
	
	
	
	4
	1100 |---- 1300
	3
	
	
	
	5
	1300 |---- 1500
	1
	
	
	
	6
	1500 |---- 1700
	1
	
	
	
	7
	1700 |---- 1900
	1
	
	
	
	
	
	
	
	
	
5. Calcule o primeiro e o terceiro quartis das distribuições do exercício anterior.
6. Calcule o 10º, o 1º, o 23º, o 15º e o 90º percentis das distribuições do exercício 4.
7. Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Se for falsa, reescreva-a em sua forma verdadeira.
a) ( ) O ponto médio de uma classe é a soma de seus limites inferior e superior.
b) ( ) A frequência relativa de uma classe é a frequência da classe dividida pelo tamanho da amostra.
c) ( ) O somatório das frequências relativas, obrigatoriamente, tem que ser igual a 1.
d) ( ) A mediana é a medida de tendência central mais provável de ser afetada por um dado estranho (aquele que está muito afastado dos outros dados do conjunto).
e) ( ) Nem todo conjunto de dados possui uma moda.
f) ( ) Alguns conjuntos de dados quantitativos não têm uma mediana.
g) ( ) O segundo quartil é a mediana de um conjunto ordenado de dados.
4. MEDIDAS DE DISPERSÃO
4.1. Dispersão ou Variabilidade
	As medidas de dispersão são utilizadas para avaliar o grau de variabilidade dos dados. Não se justifica calcular uma média de um conjunto de dados onde não haja variação, todavia se a variabilidade desses dados for muito grande, a representatividade da média será muito pequena. Assim, é importante caracterizar a dispersão dos dados, uma vez que diferentes amostras com médias semelhantes, podem apresentar diferentes variabilidades.
	Por exemplo, mesmo sabendo que a temperatura média de duas cidades é a mesma, e igual a 24ºC, ainda assim somos levados a pensar a respeito do clima dessas cidades. Em uma delas poderá a temperatura variar entre limites de muito calor e de muito frio e haver, ainda, uma temperatura média de 24ºC. A outra poderá ter uma variação pequena de temperatura e possuir, portanto, no que se refere à temperatura, um clima mais favorável.
	Vemos, então, que a média – ainda que considerada como um número que tem a faculdade de representar uma série de valores – não pode, por si mesma, destacar o grau de homogeneidade ou heterogeneidade que existe entre os valores que compõem o conjunto.
	Por exemplo, consideremos os seguintes conjuntos de valores das variáveis x, y e z:
X: 70, 70, 70, 70, 70.
Y: 68, 69, 70, 71, 72.
Z: 5, 15, 50, 120, 160.
	Verifiquemos que a média dos três conjuntos são iguais.
	Portanto, para qualificar os valores de uma dada variável, ressaltando a maior ou menor dispersão ou variabilidade entre esses valores e a sua medida de posição, a Estatística recorre às medidas de dispersão ou de variabilidade.
	Dessas medidas, estudaremos a amplitude total, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação.
4.2. Amplitude Total
	Amplitude total é a diferença entre o maior e o menor dos valores da série de dados, ou seja, é o maior desvio da amostra. A sua utilização, além de mostrar o máximo desvio, serve para uma avaliação preliminar dos dados, verificando-se a possibilidade de possíveis erros nas coletas dos dados ou das digitações, já que as variáveis podem apresentar extremos conhecidos.
 
	No caso dos dados serem agrupados com intervalos de classe, a amplitude total é a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe:
	A amplitude é, na verdade, uma medida fraca de dispersão, porque ela considera somente os valores extremos e não diz nada sobre a distribuição dos valores intermediários.
4.3. Variância e Desvio Padrão
	Como vimos, a amplitude total é instável, por se deixar influenciar pelos valores extremos, que são, na sua maioria, devidos ao acaso.
	A variância e o desvio padrão são medidas que fogem a essa falha, pois levam em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo, o que faz delas índices de variabilidade bastante estáveis e, por isso mesmo, os mais geralmente empregados.
	A variância é baseada nas diferenças entre cada valor do conjunto de dados e a média do grupo (desvios). A variância é dada pela soma dos quadrados dos desvios de cada observação em relação à média, dividida pelo número de elementos da amostra, ou seja, ela é a média aritmética dos quadrados dos n desvios. 
	Para uma população, a variância é representada pela letra grega minúscula (ler “sigma dois” ou “sigma ao quadrado”) e a variância de uma amostra é representada por s2.
	Para uma amostra de n valores de uma variável X, a variância é dada por:
. 
=
d1
d2
d3
d4
d5
d6
d7
	Sendo a variância calculada a partir dos quadrados dos desvios, ela é um número em unidade quadrada em relação à variável em questão, o que, sob o ponto de vista prático, é um inconveniente.
	Por isso mesmo, imaginou-se uma nova medida que tem utilidade e interpretação práticas, denominada desvio padrão, definida como a raiz quadrada da variância e representada por s: .
	Assim: 
. (I)
	Se bem que a fórmula dada para o cálculo do desvio seja a que torna mais fácil a sua compreensão, ela não é uma boa fórmula para fins de computação, pois, em geral, a média aritmética é um número fracionário, o que torna pouco prático o cálculo das quantidades . 
	Podemos simplificar os cálculos fazendo uso de uma equivalente de (I), escrevendo-a da seguinte maneira:
. (II)
	Não apenas este método é usualmente mais prático, como também mais preciso. Quando a média não é exata e tem de ser arredondada, cada desvio fica afetado ligeiramente do erro, devido a esse arredondamento. O mesmo acontece com os quadrados, podendo o resultado do cálculo ser menos exato do que quando a fórmula (II) é usada.
 O desvio padrão é uma das medidas mais comumente usadas para distribuições, e desempenha papel relevante em toda a Estatística. Cabe notar que a unidade do desvio padrão é a mesma da média. Por exemplo, se a média é em R$ (real), o desvio padrão também se exprime em real. A variância, por outro lado, se exprime em quadrados de unidades (Ex.: real2, metros2), como já vimos anteriormente.
Intuitivamente, o desvio padrão representa uma média dos desvios (absolutos) que todos os valores amostrais possuem ao redor da média. Valores da série próximos uns dos outros originam um desvio padrão menor, enquanto valores muito afastados uns dos outros dão um desvio padrão maior. Em outras palavras, a série de dados que apresentar desvio padrão maior, terá uma distribuição de frequências mais aberta que a série com desvio padrão menor.
Obs.: Quando os dados estão agrupados, o desvio padrão é obtido pela seguinte fórmula:
,
onde é o valor da variável (sem intervalos de classes) e o ponto médio (com intervalos de classe).
4.4. Coeficiente de Variação
Considere, a título de ilustração, as vendas diárias de dois restaurantes.
	Restaurante Dallas
	Restaurante Fogão à Lenha
	50
	470
	70
	490
	60
	460
	80
	480
	
 = 65
	
 = 475
	s = 11,18
	s = 11,18
Obviamente, trata-se de restaurantes com poder de vendas diferentes. Apesar de possuírem o mesmo desvio padrão, é evidente que diferenças nas vendas da ordem de 10 kg, por exemplo, possuem um peso relativo muito maior para o restaurante Dallas comparado ao Fogão à Lenha. Assim, é razoável afirmar que as variabilidades das vendas diárias em kg para o restaurante Dallas é bem superior, tornando-se necessária a elaboração de uma medida apropriada nessas situações onde se deseja comparar conjuntos de dados com médias bem discrepantes. 
Necessitamos de uma medida que reúne essas características, que não seja útil apenas na comparação entre conjuntos de dados de mesma unidade, mas que permita ainda a comparação da variabilidade entre conjuntos de dados referentes a diferentes características. O desvio padrão por si só não nos diz muita coisa. Assim, um desvio padrão de duas unidades pode ser considerado pequeno para uma série de valores cujo valor médio é 200; no entanto, se a média for igual a 20, o mesmo não pode ser dito.Além disso, o fato de o desvio padrão ser expresso na mesma unidade dos dados limita o seu emprego quando desejamos comparar duas ou mais séries de valores, relativamente à sua dispersão ou variabilidade, quando expressas em unidades diferentes.
Para contornar essas dificuldades e limitações, podemos caracterizar a dispersão ou variabilidade dos dados em termos relativos a seu valor médio, medida essa denominada coeficiente de variação (CV):
. 
O Coeficiente de Variação indica o percentual de variação média dos dados em torno da sua média.
	Voltando ao exemplo considerado no início, temos:
Restaurante Dallas: CV = 17,20% - A variação média das vendas foi de 17,20% em torno da sua média.
Restaurante Fogão à Lenha: CV = 2,35% - A variação média das vendas foi de 2,35% em torno da sua média.
Desta forma pode-se afirmar que as vendas diárias do restaurante Dallas em kg apresentam uma variabilidade bem superior comparada ao restaurante Fogão à Lenha.
Exemplos
	
	
	40
	
	45
	
	48
	
	52
	
	54
	
	62
	
	70
	
	
	
1. Seja o conjunto de dados (não-agrupados):
40, 45, 48, 52, 54, 62 e 70.
 	Calcule a amplitude total e o desvio padrão.
	
2. Suponha que você esteja gerenciando uma pizzaria e que mantém um controle das vendas dos diversos tipos de pizza. Suponha ainda que tenha observado os seguintes valores de vendas diárias de pizzas do tipo calabreza durante um período de 9 dias: 40, 56, 38, 38, 63, 59, 52, 49, 46. Calcule, nesses 9 dias: 
a) 
30
b) a média
c) a mediana
d) a moda
e) o desvio padrão
3. Seja a distribuição de frequências com dados agrupados sem intervalos de classe:
	
	
	
	
	0
	2
	
	
	1
	6
	
	
	2
	12
	
	
	3
	7
	
	
	4
	3
	
	
	
	
	
	
Calcule a amplitude total e o desvio padrão.
4. Tomemos os resultados das medidas das estaturas e dos pesos de um mesmo grupo de indivíduos:
	
	
	s
	Estaturas (cm)
	175
	5,0
	Pesos (kg)
	68
	2,0
Temos:
CVE =
CVP =
	
Logo, nesse grupo de indivíduos, os pesos apresentam ______________ (maior, menor) grau de dispersão que as estaturas.
5. Considere a seguinte distribuição de frequências com dados agrupados com intervalos de classe:
	
	Estaturas (cm)
	
	
	
	
	1
	150 |---- 154
	4
	
	
	
	2
	154 |---- 158
	9
	
	
	
	3
	158 |---- 162
	11
	
	
	
	4
	162 |---- 166
	8
	
	
	
	5
	166 |---- 170
	5
	
	
	
	6
	170 |---- 174
	3
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Calcule a amplitude total e o desvio padrão.
EXERCÍCIOS
1. 
Durante um determinado mês, os oito vendedores de uma concessionária venderam os seguintes números de unidades de veículos: 8, 11, 5, 14, 8, 11, 16, 11. Considerando este mês como uma população estatística de interesse, o número médio de unidades vendidas é de:_____? Calcule a amplitude total e o desvio padrão. R: = 10,50, AT = 11 e s = 3,28.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
2. Uma amostra de 17 operários de uma companhia apresentou os seguintes salários (R$) recebidos durante uma certa semana: 140, 140, 140, 140, 140, 140, 140, 140, 155, 155, 165, 165, 180, 180, 190, 200, 240. Calcule a amplitude total e o desvio padrão. R: AT = R$ 100,00 e s = R$ 27,60.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
3. Um especialista em padrões de trabalho observa, em um escritório, a quantidade de tempo requerida para a digitação de uma amostra de 10 cartas, com os seguintes resultados enumerados em ordem crescente: 5, 5, 5, 7, 9, 14, 15, 15, 16, 18. Calcule a amplitude total e o desvio padrão. 
R: AT = 13 min e s = 4,93 min.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
4. Seja a distribuição de frequências com dados agrupados sem intervalos de classe:
	
	
	
	
	2
	1
	
	
	3
	3
	
	
	4
	5
	
	
	5
	8
	
	
	6
	5
	
	
	7
	4
	
	
	8
	2
	
	
	
	
	
	
Calcule a amplitude total e o desvio padrão. R: AT = 6 e s = 1,51.
5. Dada a distribuição relativa a 100 lançamentos de 5 moedas simultaneamente, considere a variável “número de caras obtidas”:
	
	
	
	
	0
	4
	
	
	1
	14
	
	
	2
	34
	
	
	3
	29
	
	
	4
	16
	
	
	5
	3
	
	
	
	
	
	
Calcule a amplitude total e o desvio padrão. R: AT = 5 e s = 1,13.
6. A tabela abaixo se refere às taxas mensais de aluguéis de apartamentos na cidade de Porto Alegre. Calcule a amplitude total e o desvio padrão. R: AT = R$ 300,00 e s = R$ 61,99.
	Aluguel (R$)
	
Nº de apartamentos ()
	
	
	
	150 |---- 180
	3
	
	
	
	180 |---- 210
	8
	
	
	
	210 |---- 240
	10
	
	
	
	240 |---- 270
	13
	
	
	
	270 |---- 300
	33
	
	
	
	300 |---- 330
	40
	
	
	
	330 |---- 360
	35
	
	
	
	360 |---- 390
	30
	
	
	
	390 |---- 420
	16
	
	
	
	420 |---- 450
	12
	
	
	
	
	
	
	
	
7. Em conjunto com uma auditoria anual, uma firma de contabilidade pública anota o tempo necessário para realizar a auditoria de 50 balanços contábeis, tal como indicado na seguinte tabela. Calcule a amplitude total e o desvio padrão para o tempo de auditoria necessário para esta amostra de registros. R: AT = 50 min. e s = 12,28 min..
	Tempo de auditoria (min)
	
Número de balanços ()
	
	
	
	10 |---- 20
	3
	
	
	
	20 |---- 30
	5
	
	
	
	30 |---- 40
	10
	
	
	
	40 |---- 50
	12
	
	
	
	50 |---- 60
	20
	
	
	
	
	
	
	
	
8. Na distribuição de frequências a seguir estão reproduzidos os números médios de acidentes por 1.000 horas/homem em 50 indústrias mecânicas. Determinar a amplitude total e o desvio padrão.
	Nº médio de acidentes
	
Nº de acidentes ()
	
	
	
	1,5 |---- 1,8
	3
	
	
	
	1,8 |---- 2,1
	12
	
	
	
	2,1 |---- 2,4
	14
	
	
	
	2,4 |---- 2,7
	9
	
	
	
	2,7 |---- 3,0
	7
	
	
	
	3,0 |---- 3,3
	5
	
	
	
	
	
	
	
	
	R: AT = 1,8 acidentes e s = 0,42 acidente.
9. Sabendo que um conjunto de dados apresenta para média aritmética e para desvio padrão, respectivamente, 18,3 e 1,47, calcule o coeficiente de variação. R: CV = 8,03%.
10. Em um exame final de Matemática, o grau médio de um grupo de 150 alunos foi 7,8 e o desvio padrão, 0,80. Em Estatística, entretanto, o grau médio final foi 7,3 e o desvio padrão, 0,76. Em que disciplina foi maior a dispersão? R: Estatística (10,41%).
11. Medidas as estaturas de 1.017 indivíduos, obtivemos média igual a 162,2 cm e desvio padrão de 8,01 cm. O peso médio desses mesmos indivíduos é 52 kg, com um desvio padrão de 2,3 kg. Esses indivíduos apresentam maior variabilidade em estatura ou em peso? R: Estatura (4,94 %).
12. Um grupo de 85 moças tem estatura média de 160,6 cm, com um desvio padrão igual a 6,05 cm. Outro grupo de 125 moças tem uma estatura média de 161,9 cm, sendo o desvio padrão igual a 6,01 cm. Qual é o coeficiente de variação de cada um dos grupos? Qual o grupo mais homogêneo? R: O de 125 moças.
13. Um grupo de cem estudantes tem uma estatura média de 163,8 cm, com um coeficiente de variação de 3,3%. Qual o desvio padrão desse grupo? R: s = 5,41 cm.
14. 
Uma distribuição apresenta as seguintes estatísticas: s = 1,5 e CV = 2,9%. Determine a média da distribuição. R: 
ANEXO
TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS (T.N.A.)
	L/C
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	11
	12
	13
	14
	15
	16
	17
	18
	19
	20
	21
	22
	23
	24
	25
	1
	5
	7
	7
	2
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	0
	3
	9
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	4
	4
	1
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	6
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	6
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
BUSSAB, Wilton O.; MORETTIN, Pedro A. Estatística Básica. 4ª ed. São Paulo: Atual, 1987.
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36
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