AD1 Pré calculo UFF 2019.2

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Gabarito da AD 1 Pre´-Ca´lculo para Engenharia - 2019/2
Questa˜o 1 [2,0 pontos]
Considere a expressa˜o abaixo e fac¸a o que se pede:
E =
x− y
x3 − y2x −
2x
x2 − y2 −
x
x− y .
a. [1,0] Simplifique a expressa˜o E, e escreva a mesma como uma u´nica frac¸a˜o.
b. [1,0] Se y = 0, obtenha algum valor de x tal que
√
3 ≤ E ≤ 5, justificando sua resposta.
Soluc¸a˜o:
a)
E = E =
x− y
x3 − y2x −
2x
x2 − y2 −
x
x− y .
Note que x3 − y2x = x(x2 − y2) = x(x − y)(x + y), ja´ que x2 − y2 = (x − y)(x + y), onde
estes sa˜o denominadores na expressa˜o E. Cancelamos x − y no primeiro fator da soma, e
consideramos o mmc entre estes denominadores, que e´ x(x− y)(x + y):
E =
1
x(x + y)
− 2x
(x− y)(x + y) −
x
x− y =
x− y − 2x2 − x(x + y)
x(x− y)(x + y) =
=
x− y − 2x2 − x2 − xy
y(y − x)(x + y) =
x− y − 3x2 − xy
x(x− y)(x + y) .
b) Como, pelo item anterior, E =
x− y − 3x2 − xy
x(x− y)(x + y) , fazendo y = 0 temos E =
x− 3x2
x3
=
1− 3x
x2
, cancelando x (que na˜o pode ser nulo). Ale´m disso, sabemos que
√
3 ≤ 2 ≤ 5, por
exemplo. Enta˜o seja E = 2:
E =
1− 3x
(x2)
= 2 =⇒ 1− 3x = 2x2,
ou melhor,
2x2 + 3x− 1 = 0,
donde x =
−3−
√
17
4
ou x =
−3 +
√
17
4
.
Questa˜o 2 [3,0 pontos] Considere a expressa˜o E(x) =
2− 3x
|1− 3x| − |x| . Fac¸a o que se pede:
a. Encontre os valores de x tais que E(x) = 0.
b. Encontre os valores de x tais que E(x) > 0.
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c. Encontre os valores de x tais que E(x) < 0.
Sugesta˜o: Fac¸a a tabela do estudo do sinal da expressa˜o E(x).
Soluc¸a˜o:
Dada a expressa˜o |1− 3x| − |x|, sabemos que |1− 3x| =

1− 3x, se 1− 3x > 0
0, se 1− 3x = 0
−(1− 3x), se 1− 3x < 0
⇒ |1− 3x| =

1− 3x, se x < 1
3
0, se x = 1
3
−1 + 3x, se x > 1
3
e |x| =
{
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0
Encontrando a expressa˜o |1− 3x| − |x| sem uso do valor absoluto.
x < 0 0 < x < 1
3
x > 1
3
|1− 3x| 1− 3x 1− 3x −1 + 3x
|x| −x x x
|1− 3x| − |x| 1− 2x 1− 4x −1 + 2x
Assim, |1− 3x| − |x| =

1− 2x, se x < 0
1− 4x, se 0 < x < 1
3
−1 + 2x, se x > 1
3
Observe que a expressa˜o do enunciado na˜o esta´ definida para x = 1
4
e x = 1
2
.
a. E(x) = 0 se 2− 3x = 0, ou seja, para x = 2
3
.
b. A expressa˜o 2 − 3x muda de sinal em x = 2
3
. Logo, como 0 < 1
4
< 1
3
< 1
2
< 2
3
, temos a
seguinte tabela do estudo do sinal da expressa˜o E(x):
x < 0 0 < x < 1
4
1
4
< x < 1
3
1
3
< x < 1
2
1
2
< x < 2
3
x > 2
3
2− 3x + + + + + + + + + + + + + + + −−−
|1− 3x| − |x| + + + + + + −−− −−− + + + + + +
E(x) =
2− 3x
|1− 3x| − |x| + + + + + + −−− −−− + + + −−−
2− 3x
|1− 3x| − |x| > 0 em
(−∞, 1
4
) ∪ (1
2
, 2
3
)
;
2− 3x
|1− 3x| − |x| = 0, para x = 2/3
2− 3x
|1− 3x| − |x| < 0 em
(
1
4
, 1
2
) ∪ (1
3
; 1
2
)
2− 3x
|1− 3x| − |x| na˜o esta´ definida para x =
1
4
e x = 1
2
.
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Questa˜o 3 [3,0 pontos] Considere a equac¸a˜o
√
x− 2 = |x| − 3.
Fac¸a o que se pede:
a. [1,0 ponto] Determine os valores reais de x para os quais
√
x− 2 existe. Notando que a
raiz quadrada e´ positiva, considere o membro da direita para determinar quais valores de
x sa˜o admiss´ıveis.
c. [2,0 ponto] Resolva a equac¸a˜o
√
x− 2 = |x| − 3 . Caso na˜o exista soluc¸a˜o real, justifique.
Soluc¸a˜o:
a) A expressa˜o dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero. Logo, x− 2 ≥ 0, donde
x ≥ 2. Mas como a raiz deve ser positiva, enta˜o a expressa˜o da direita satisfaz
|x| − 3 ≥ 0,
e portanto x ≥ 3 ou x ≤ −3. Como a nossa primeira conclusa˜o afirma que x ≥ 2, enta˜o
devemos ter x ≥ 3.
b) Vamos elevar ambos os membros da equac¸a˜o ao quadrado, e sabendo, pelo item (a), que
x ≥ 3, podemos tomar |x| = x:
x− 2 = x2 − 6x + 9,
ou ainda x2 − 7x + 11 = 0.
Usando a Fo´rmula de Ba´shkara, obtemos as soluc¸o˜es x = 7+
√
5
2
e x = 7−
√
5
2
para a equac¸a˜o
acima. Mas pelo item anterior, devemos ter x ≥ 3. Logo, apenas x = 7+
√
5
2
pode ser aceita
como soluc¸a˜o.
Questa˜o 4 [2,0 pontos] Fac¸a o que se pede:
a. [1,0 ponto] Determine a equac¸a˜o da reta r que passa pelo ponto A = (0,−1) e pelo ponto
B, onde B e´ o ponto sime´trico do ponto C = (2, 1) com relac¸a˜o ao eixo y.
b. [1,0 ponto] Determine a equac¸a˜o da reta s que passa por A = (4, 0) e e´ perpendicular a`
reta y − 2x + 3 = 0.
Soluc¸a˜o:
a) Como o ponto B e´ sime´trico do ponto C = (2, 1) em relac¸a˜o ao eixo y, temos que B =
(−2, 1). O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A = (0,−1) e B = (−2, 1) e´
mr =
1−(−1)
−2−0 =
2
−2 = −1.
Logo, y − 1 = −x− 2 e´ a reta que passa pelos pontos A e B.
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b) Como a reta s e´ perpendicular a` reta de equac¸a˜o y = 2x−3, temos que o coeficiente angular
da reta e´: ms = −12 . Assim a equac¸a˜o da reta s e´ dada por y − 0 = −x/2 + 2, ou seja,
y = −x
2
+ 2.
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