Produto Escalar

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Produto Escalar
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Nesta aula discutiremos...
• o conceito de ângulo entre vetores
• o conceito e cálculo do produto escalar aplicando a 
definição ou a sua expressão cartesiana
• Como calcular projeções de vetores em uma direção 
qualquer
Ângulo entre Vetores
Ângulo entre Vetores
Dados dois vetores 𝑢 e 𝑣 não
nulos, chamamos de ângulo
entre 𝒖 e 𝒗 o menor ângulo
formado pelos vetores 𝑢 e 𝑣
quando estes são representados
com a mesma origem.
Notação: 𝑢 , 𝑣
Observação: 0 ≤ 𝑢 , 𝑣 ≤ 𝜋 𝜽
𝜽
𝜽
𝒖 , 𝒗 = 𝜽 𝒖 , 𝒗 = 𝟎 𝒖 , 𝒗 = 𝝅 𝒖 , 𝒗 = 𝜽
Exemplo 1: Exemplo 2: Exemplo 3: Exemplo 4:
𝒖
𝒖
𝒖
𝒖
𝒖 𝒖
𝒖
𝒖
𝒗
𝒗
𝒗 𝒗
𝒗
𝒗
𝒗
𝒗
Conceito de Produto 
Escalar
Produto Escalar
Dados dois vetores 𝑢 e 𝑣 não nulos, definimos o produto escalar entre 𝒖 e 𝒗
como o número real
𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 | 𝑣|𝑐𝑜𝑠 𝑢 , 𝑣
Se um dos vetores for nulo, definimos 𝑢 ∙ 𝑣 como 0.
Notação: 𝑢 ∙ 𝑣
Exercício
Considere o polígono abaixo
sendo um retângulo 𝐴𝐵𝐶𝐷 de
lados medido 2 𝑢. 𝑐. e 3 𝑢. 𝑐.
𝐴 𝐵
𝐶𝐷
Calcule:
a) 𝐴𝐵 ∙ 𝐷𝐴 c) 𝐴𝐵 ∙ 𝐷𝐶
b) 𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝐶 d) 𝐴𝐵 ∙ 𝐶𝐷
Propriedades do Produto Escalar
𝑢 ∙ 𝑢 = |𝑢|2
𝑢 ∙ 𝑣 = 0 → 𝑢 ⊥ 𝑣
𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑣 ∙ 𝑢
𝑢 ∙ 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑤
1. 
2. 
3. 
4. 
Expressão Cartesiana 
do Produto Escalar
Expressão Cartesiana do Produto Escalar
Se 𝒖 = (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 , 𝒛𝟏) e 𝒗 = 𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 , 𝒛𝟐 , então:
𝒖 ∙ 𝒗 = 𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒚𝟏𝒚𝟐 + 𝒛𝟏𝒛𝟐
Exercício
Considere os vetores 𝑢 = (−1 , 1 , 2)
e 𝑣 = (−3, −1 , 1).
Calcule:
a) 𝑢 ∙ 𝑣
b) o ângulo entre 𝑢 e 𝑣
APLICAÇÃO: Cálculo de 
Projeções
Projeção de um Vetor numa Direção Qualquer
Dado um vetor 𝑢 não nulo e um vetor
qualquer 𝑣, o vetor 𝑝 tal que
 𝑝 é paralelo a 𝑢
E
 𝑣 − 𝑝 é ortogonal a 𝑢
é chamado de projeção de 𝒗 na
direção de 𝒖.
Notação: 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣
𝒖
𝒗
𝒖
𝒗
𝒑𝒓𝒐𝒋𝒖𝒗
𝒖
𝒗
𝒖
𝒗
𝒑𝒓𝒐𝒋𝒖𝒗
Cálculo da Projeção
𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣 = 𝑣 ∙ 𝑢° 𝑢°
𝒖
𝒗
𝒑𝒓𝒐𝒋𝒖𝒗
𝒗 ∙ 𝒖°
Exercício
(Hibbeler, 2011) A estrutura mostrada
na figura abaixo está submetida a
uma força horizontal de 300𝑁 .
Determine a componente da força na
direção do membro 𝐴𝐵.
Referências
WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. 2 ed. São Paulo: Pearson, 2014.
FERNANDES, Luana Fonseca. Geometria Analítica. 1 ed. Curitiba: Intersaberes,
2016.
HIBBELER, Russel C. Estática: mecânica para engenharia. 12 ed. São Paulo:
Pearson Education do Brasil, 2011
Bons Estudos!