Assunto 06 - Produtos entre vetores ENIAC

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Produtos entre vetores
APRESENTAÇÃO
O tratamento de problemas com grandezas vetoriais é muito comum em diversas áreas. Na 
Engenharia, por exemplo, cálculo de projetos de estruturas e resistência dos materiais, estudos 
de problemas da dinâmica e forças produzidas por eletromagnetismo são tratados com análise e 
resolução de problemas vetoriais. Por isso, algumas operações com vetores, como o produto 
entre eles, devem ser estudadas, a fim de facilitar a resolução de problemas.
Para que você possa acompanhar adequadamente esta unidade, é necessário que se tenha o 
conhecimento de notação vetorial e de coordenadas em planos cartesianos, além de boa visão 
espacial.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai aprender a usar as ferramentas de produtos entre 
vetores e suas aplicações, inicialmente, com operações de produto escalar e vetorial e, em 
seguida, em situações de ortogonalidade e cálculo de área e volume.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir os produto escalar, produto vetorial, produto misto e duplo produto vetorial.•
Fazer uso dos conceitos de produto escalar em situações envolvendo ortogonalidade entre 
vetores.
•
Identificar áreas de superfícies determinadas por dois vetores a partir do cálculo do 
módulo do produto vetorial entre os vetores envolvidos, bem como o volume do 
paralelepípedo determinado por três vetores a partir do produto misto.
•
DESAFIO
A Biomecânica é um ramo da Biologia e da Engenharia que se ocupa da aplicação das leis da 
mecânica às estruturas orgânicas vivas, como no estudo do sistema locomotor do corpo humano, 
por exemplo. Estudos do movimento do corpo humano têm sido cada vez mais aplicados a 
atletas de alto nível.
Na modalidade olímpica de arco e flexa, um atirador deve acertar o alvo a grandes distâncias. 
Durante a fase de preparação, o atleta atira diversas vezes, em diferentes posturas, para 
a melhora do seu desempenho.
Foi encomendado a você um estudo biomecânico, a fim de identificar a amplitude angular feita 
pelo quadril do atleta durante giros com o seu tronco. Observe a imagem a seguir, na qual o 
atirador de arco e flecha está em frente a cinco alvos, a uma distância de 10 metros, e cada um 
deles está a 1 metro do outro. 
A partir desse cenário, responda:
a) Qual o ângulo máximo que o atirador fará nesse treinamento?
b) Caso o treinamento mude para acertar os alvos intermediários, qual seria o ângulo entre eles?
INFOGRÁFICO
A verificação de ortogonalidade de vetores é uma importante ferramenta para a solução ou 
simplificação de problemas físicos. No entanto, essa verificação de ortogonalidade acaba sendo 
mais fácil quando analisada em problemas de duas dimensões (espaço bidimensional), pois é 
possível transladar o vetor para coincidir origens e não rotacioná-los para a verificação dos 
ângulos. Já em planos de maiores dimensões, essa verificação é mais abstrata e de difícil 
visualização.
Veja, no Infográfico a seguir, como se dá procedimento de verificação de ortogonalização entre 
três vetores posicionados em um espaço tridimensional.
CONTEÚDO DO LIVRO
Na Geometria Analítica, operações entre vetores são importantes para a resolução de problemas 
diversos, sendo aplicadas para a determinação de ângulos, de vetores resultantes ortogonais, de 
áreas de figuras e, até mesmo, de volumes. Para isso, produtos entre vetores precisam ser 
estudados com muita atenção, devendo ser praticados com alguns exemplos, grifando suas 
particularidades.
No capítulo Produtos entre vetores, da obra Geometria Analítica, você verá como realizar 
operações de produtos com vetores, incluindo o produto escalar, o produto vetorial, o produto 
misto e o duplo produto vetorial.
Boa leitura.
GEOMETRIA 
ANALÍTICA
Everton Coelho de Medeiros
Produtos entre vetores
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir os produtos escalar, vetorial, misto e duplo produto vetorial.
 � Usar os conceitos de produto escalar em situações envolvendo orto-
gonalidade entre vetores.
 � Identificar áreas de superfícies determinadas por dois vetores a partir 
do cálculo do módulo do produto vetorial entre os vetores envolvidos 
e o volume do paralelepípedo determinado por três vetores a partir 
do produto misto.
Introdução
Neste capítulo, você vai estudar as operações matemáticas de produto 
entre vetores. Entre as operações, serão vistas o produto escalar, vetorial, 
misto e duplo produto vetorial. Em seguida, estudaremos as aplicações 
dessas operações, como na determinação de ângulo entre vetores, or-
togonalidade, cálculo de área de paralelogramos e volume de paralele-
pípedos e tetraedros.
Operações de produtos entre vetores
As operações com grandezas vetoriais são na maioria das vezes parecidas com 
as operações de grandezas escalares. Um exemplo de diferentes operadores é 
o caso de produto entre vetores. Este não deve ser tratado como uma operação 
de multiplicação por escalar. Entre os diferentes tipos de produtos estão os 
produtos: escalar, vetorial, misto e duplo vetorial. A seguir, vamos tratar de 
cada um desses produtos, bem como de algumas propriedades e exemplos 
de aplicação. 
Produto escalar
O produto escalar entre dois vetores u (x1,y1,z1) e v (x2,y2,z2) é representado 
por u ∙ v, sendo o produto feito por:
u ∙ v = x1 ∙ x2 + y1 ∙ y2 + z1 ∙ z2
Para quaisquer vetores u, v e w e um escalar real α, as propriedades do 
produto escalar são as seguintes (WINTERLE, 2014).
1. u ∙ v = v ∙ u
2. u ∙ (v + w) = u ∙ v + u ∙ w e (u + v) ∙ w = u ∙ w + v ∙ w
3. α (u ∙ v) = (αu) ∙ v = u ∙ (αv)
4. u ∙ u = |u|²
A Figura 1 representa dois vetores u (x1,y1,z1) e v (x2,y2,z2) e o ângulo θ 
formado por eles (WINTERLE, 2014). O produto escalar, representado por 
u ∙ v, está relacionado com o ângulo θ. A expressão que define essa relação 
será vista mais adiante.
Figura 1. Representação dos vetores e ângulos entre eles.
Fonte: Adaptado de Winterle (2014).
A
C
Bv
u u − v
θ
Produtos entre vetores2
Qual é o valor do produto escalar entre os vetores u (3,-5,8) e v (4,-2,-1)?
u ∙ v = (3, –5,8) ∙ (4, –2, –1) = 3 ∙ 4 + (–5) ∙ (–2) + 8 ∙ (–1)
u ∙ v = 12 + 10 – 8 = 14
Produto vetorial
O produto vetorial entre dois vetores u (x1,y1,z1) e v (x2,y2,z2) é representado 
por u × v (WINTERLE, 2014), sendo o produto feito por:
A solução do determinante também pode ser expressa por:
Para quaisquer vetores u e v, as propriedades do produto vetorial são as 
seguintes (WINTERLE, 2014).
1. u × v = –(v × u)
2. u × v = 0, se e somente se os vetores são paralelos
3. u × v sempre é ortogonal a u e v
4. O sentido de u × v pode ser determinado pela regra da mão direita
A Figura 2 apresenta o sentido do vetor u × v, segundo a regra da mão 
direita (WINTERLE, 2014). É possível observar também que o resultado do 
produto vetorial u × v é um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores u e v.
3Produtos entre vetores
Figura 2. Orientação do vetor u × v, segundo regra 
da mão direita.
Fonte: Adaptada de Winterle (2014).
u × v
u
v
θ
Qual é o valor do produto escalar entre os vetores u (3,1,2) e v (-2,2,5)?
Produto misto
O produto misto é uma combinação entre o produto escalar de um produto 
vetorial feito anteriormente entre dois vetores (SANTOS; FERREIRA, 2009). 
Dados três vetores u (x1,y1,z1), v (x2,y2,z2) e w (x3,y3,z3), o produto misto é 
definido por:
Produtos entre vetores4
A solução do determinante também pode ser expressa por:
Para quaisquer vetores u, v, w e x, e o escalar α, as propriedades do produto 
misto são as seguintes (WINTERLE, 2014).
1. O resultado do produto muda de sinal caso alterar a posição entre dois 
vetores, por exemplo: u ∙ (v × w) = –u ∙ (w × v)
2. (u + x) ∙ (v × w) = u ∙ (v × w) + x ∙ (v × w)
3. αu ∙ (v × w) = u ∙ (αv × w) + u ∙ (v × αw)
4. u ∙ (v × w) = 0, se e somente se os três vetores forem coplanares.
Qual é o valor de X para que os vetores u (2,X,0),v (1,–1,2) e w (–1,3,–1) sejam coplanares?
Para que os vetores sejam coplanares, o produto misto entre os três vetores deve 
ser igual a zero: 
5Produtos entre vetores
Duplo produto vetorial
O duplo produto vetorial é uma operação entre vetores não muito vista ou 
mesmo utilizada em aplicações mais práticas. No entanto, é importante co-
nhecer o procedimento de cálculo. Dados três vetores u (x1,y1,z1), v (x2,y2,z2) 
e w (x3,y3,z3), o duplo produto vetorial é definido por:
u × (v × w)
A solução do duplo produto vetorial pode ser com a aplicação sucessiva de 
um produto vetorial entre v e w, como visto anteriormente. E, com o resultado, 
aplicar um novo produto vetorial de u em relação a v × w. Outra alternativa 
é por meio da relação:
u × (v × w) = (u ∙ w)v – (u ∙ v)w
Em que são substituídas as operações de produto vetorial por dois produtos 
escalares e, em seguida, multiplica-se o escalar simples pelos vetores indicados. 
A seguir, será apresentado um exemplo dos dois procedimentos de cálculo.
Dados os vetores u (1,2,1), v (0,1,1) e w (2,3,4), qual é o duplo produto vetorial u × (v × w)?
1ª solução (por meio do cálculo sucessivo de produtos vetoriais):
Primeiro calcular o produto vetorial interno v × w:
Em seguida, novamente o produto vetorial do resultado com u:
Produtos entre vetores6
2ª solução (por meio da relação de produtos escalares apresentada 
anteriormente):
u × (v × w) = (u ∙ w) v – (u ∙ v) w
(u ∙ w) = (1,2,1) ∙ (2,3,4) = 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 1 ∙ 4 = 12
(u ∙ v) = (1,2,1) ∙ (0,1,1) = 1 ∙ 0 + 2 ∙ 1 + 1 ∙ 1 = 3
Multiplicando os valores dos produtos escalares pelos vetores v e w:
(u ∙ w) v – (u ∙ v) w = 12(0,1,1) – 3(2,3,4)
(12 ∙ 0 – 3 ∙ 2) i + (12 ∙ 1 – 3 ∙ 3) j + (12 ∙ 1 – 3 ∙ 4)
Realizando a soma final:
u × (v × w) = (–6,3,0)
Ao realizar os cálculos dos produtos vetoriais, é necessário atenção no momento de 
colocar os vetores dentro das matrizes, pois, caso alguns dos vetores sejam posicio-
nados de forma invertida, os valores dos produtos vetoriais serão de sinal oposto ao 
desejado. Caso apenas um componente esteja mal posicionado, o resultado será 
inteiramente errado. Tenha muita atenção ao montar as matrizes de produto vetorial 
e duplo produto vetorial.
Ângulo e ortogonalidade entre vetores
O uso do produto escalar pode nos dar informações de relações interessantes 
que os vetores possam ter, sendo uma delas o ângulo entre os vetores. Para 
encontrar o ângulo α entre dois vetores, basta seguir a relação (SANTOS; 
FERREIRA, 2009):
u ∙ v = |u| ∙ |v| ∙ cos(θ)
7Produtos entre vetores
Podemos generalizar que, quando o produto escalar for maior do que zero, 
o ângulo estará dentro do intervalo de 0 a 90°; quando o produto escalar for 
negativo, o intervalo será entre 90 e 180°; e, quando o produto escalar tiver 
valor nulo, o ângulo será de 90°, também chamando de vetores ortogonais 
(SANTOS; FERREIRA, 2009). A Figura 3 apresenta exemplos de ângulos 
entre vetores.
Qual é o ângulo entre os vetores u (0,2,2) e v (1,0,1)?
u ∙ v = |u| ∙ |v| ∙ cos (θ)
cos(θ) = u · v
|u| |v|
Calculando os módulos:
|u| = √02 + 22 + 22 = √8 = 2√2
|v| = √12 + 02 + 12 = √2 
Calculando o produto escalar:
u ∙ v = (0 ∙ 1) + (2 ∙ 0) + (2 ∙ 1) = 2
O ângulo será então:
cos(α) = = 2
2√2 . √2
2
2 . 2
= 1
2
1
2arc cos ( ) = 60º
Produtos entre vetores8
Figura 3. Ângulo entre vetores.
Fonte: Adaptada de Winterle (2014).
u
u
u
vvv
θ
θ θ
(c)(b)(a)
Verifique se os vetores u (1,-2,3) e v (4,5,2) são ortogonais.
u ∙ v = 1 ∙ 4 + (–2) ∙ 5 + 3 ∙ 2 = 0
Pode-se concluir que os vetores são ortogonais, pois o produto escalar entre eles é 
igual a zero e, portanto, o ângulo entre eles é de 90°.
O link a seguir apresenta mais explicações sobre produtos escalares e suas aplicações, 
como na determinação de ângulos e ortogonalização de vetores. 
https://goo.gl/ghBrw9
Aplicações dos produtos entre vetores 
Você já viu anteriormente que o produto escalar consegue apresentar os va-
lores dos ângulos entre vetores, e consequentemente realizar a verificação de 
ortogonalidade entre vetores. A seguir, veja que o produto vetorial e o produto 
misto também podem apresentar informações interessantes da geometria plana 
e espacial (SANTOS; FERREIRA, 2009).
9Produtos entre vetores
Área com produto escalar
O uso de produto vetorial pode ser aplicado para determinação da área de 
paralelogramos, como visto na Figura 4 (SANTOS; FERREIRA, 2009). O 
módulo do produto vetorial dos vetores que representam as arestas do para-
lelogramo é numericamente igual à área do paralelogramo, ou seja:
|u × v| = área
Figura 4. Área de um paralelogramo.
Fonte: Adaptada de Winterle (2014).
|u × v| = A
v
h
A
u
u
Produtos entre vetores10
Qual é a área do paralelogramo determinado pelos vetores u (2,0,1) e v (3,2,1)?
Volume com produto misto
O uso de produto misto pode ser aplicado para determinação do volume de 
paralelepípedos, como mostrado na Figura 5 (SANTOS; FERREIRA, 2009). 
O módulo do produto misto, formado pelos vetores que representam as ares-
tas do paralelepípedo, nos dá um valor numericamente igual ao volume do 
paralelepípedo, ou seja:
|u ∙ (v × w)| = volume
Figura 5. Volume de um paralelepípedo.
Fonte: Adaptada de Winterle (2014).
u
w
v × w
v
11Produtos entre vetores
Caso esse volume seja dividido por 6, o valor será correspondente ao 
volume de um tetraedro, conforme apresentado na Figura 6.
Figura 6. Volume de um tetraedro.
Fonte: Adaptada de Winterle (2014).
A
B
C
D
Qual é o volume de um paralelepípedo construído sobre os vetores u (1,0,1), v (0,3,1) 
e w (0,-6,4)?
Volume = |u · (v × w)| = |18| = 18 u · v 
u · (v × w) = = 12 – (–6) = 18 
1 0 1
0 3 1
0 –6 4
Produtos entre vetores12
Caso um tetraedro fosse construído com base nos mesmos vetores do exemplo 
anterior, qual seria seu volume?
Acesse o link a seguir para visualizar uma demonstração da equivalência de fórmulas 
para cálculo do duplo produto vetorial. O material foi elaborado pelo Professor Oswaldo 
Rio Branco de Oliveira, do Instituto de Matemática e Estatística da USP.
https://goo.gl/yojqjj
SANTOS, F. J.; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. Porto Alegre: Bookman, 2009. 
WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2014.
Leituras recomendadas
OLIVEIRA, O. R. B. Duplo produto vetorial. 2016. (Curso de Vetores e Geometria Analítica, 
Instituto de Geociências, Universidade de São Paulo). Disponível em: https://www.ime.
usp.br/~oliveira/duploprodvetorial.pdf. Acesso em: 19 mar. 2019.
PRODUTO escalar. Disponível em: https://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/
vetores6.php#fimPag. Acesso em: 19 mar. 2019.
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria analítica. São Paulo: Pearson, 2014. 
13Produtos entre vetores
DICA DO PROFESSOR
Após realizar o produto escalar e o produto vetorial, há duas combinações que podem ser feitas 
a partir deles: o produto misto e o duplo produto vetorial. O primeiro pode ser utilizado para 
a verificação de vetores coplanares, de volume de paralelepípedos e de tetraedros. Já o duplo 
produto vetorial pode ser usado na verificação de vetores paralelos.
Nesta Dica do Professor, você verá algumas demonstrações do uso de produto misto e de duplo 
produto vetorial.
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EXERCÍCIOS
1) Dados os vetores u (3,2,1) e v (-1,-4,-1), calcule (u + v).(2u - v) e assinale a alternativa 
que apresenta o resultado correto.
A) 10.
B) 8.
C) -2.
D) -4.
E) 0.
2) Qual o ângulo entre os vetores u (1,1,4) e v (-1,2,2)?
A) 30°.
B) 45°.
C) 60°.
D) 120°.
E) 90°.
3) Qual o produto vetorial entre u (5,4,3) e v (1,0,1)?
A) (4,-2,-4).
B) (1,5,6).
C) (4,6,8).
D) (0,8,0).
E) (1,2,3).
4) Os vetores u (1,-1,1) e v (2,-3,4) representam as arestas de um paralelogramo.
De quanto é a sua área?
A) √13 u.a.
B) 6 u.a.
C) √21 u.a.
D) 3 u.a.
E) √6 u.a.
5) Os vetores u (4,-2,2), v (,1-3,2), w (5,-1,-2) representam as arestas de um tetraedro.
De quanto é o seu volume?
A) 6 u.v.
B) 36 u.v.
C)16 u.v.
D) 10 u.v.
E) 13 u.v.
NA PRÁTICA
Elementos de apoio, quando sofrem grandes ações de compressão ou tração, acabam 
modificando a geometria de sólido. Um exemplo disso são os blocos usados em algumas 
edificações ou para apoio de grandes componentes estruturais. No entanto, embora com uma 
deformação, o elemento deve manter a mesma quantidade de volume, mostrando que ainda se 
encontra em condições de apoio.
Confira, neste Na Prática, um exemplo da avaliação de perda ou não de volume de um bloco de 
concreto utilizado no apoio de uma casa à beira de um rio. Para estimar o volume do 
bloco, foram determinados os vetores que estão alinhados com suas arestas e, em seguida, foi 
feito um produto misto desses vetores.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Geometria Analítica
Assista a este vídeo para saber mais sobre produto escalar e produto vetorial.
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Produtos de vetores
Neste link, você terá acesso a uma apresentação sobre as operações, bem como a exercícios 
sobre produtos entre vetores.
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Geometria Analítica
Leia o capítulo 9 da obra de Fabiano J. Santos e Silvimar F. Ferreira para saber mais sobre 
produtos entre vetores.
Lista de Exercícios
Para aprender Produtos entre vetores, é importante que você treine fazendo diversos exercícios. 
Para tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as questões.
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