estatistica-e-probabilidade

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 Marco Antônio Santoro Bara 
FUNDAÇÃO DE ESTUDOS SOCIAIS DO 
PARANÁ 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA 
APLICADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALUNO:__________________________________________________________________ 
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 Marco Antônio Santoro Bara 
 
Nota sobre o autor 
 
 
 Marco Antônio Santoro Bara é Bacharel em Administração de 
Empresas pela FESP (Fundação de Estudos Sociais do PR), é Licenciado em 
Matemática pela UFPR (Universidade Federal do PR) é pós-graduado em 
Matemática Superior pela FUSVE-RJ, é pós-graduado em EaD pela FESP, é 
mestre em Administração na área de Finanças pela UFRGS e doctor of 
Philosophy in Business Administration pela Flórida Christian University. 
Certificou-se junto a Case Western Reserve University em parceria com a 
UNINDUS (Universidade da Indústria da FIEP) no curso de Investigação 
Apreciativa (I.A.), metodologia utilizada no Fórum Paraná Futuro 10. 
 É professor universitário das disciplinas: Matemática Financeira, 
Cálculo Diferencial e Integral, Lógica Matemática e Estatística na FESP 
(Fundação de Estudos Sociais do PR); lecionou ainda: Geometria Analítica, 
Matemática Financeira na Escola Técnica da UFPR (Universidade Federal do 
PR) nos cursos presenciais e lecionou ainda em parceria com o ITDE a disciplina 
de estatística no módulo à distância; lecionou por mais de 10 anos: Matemática 
Financeira, Pesquisa Operacional no UNICENP (Centro Universitário Positivo). 
 Além da experiência em sala de aula como professor, atuou também 
na indústria, durante 5 anos na Nestlé Industrial e Comercial na área 
Administrativa – Financeira e atualmente é sócio proprietário da Mbara 
Empreendimentos Imobiliários LTDA, sócio proprietário da ENZE Curitiba – 
Distribuidora de Cosméticos e ainda é funcionário do Banco do Brasil. 
 Dedico este material didático aos meus filhos Ana Paula e Rodrigo 
Augusto. 
 
 
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 Marco Antônio Santoro Bara 
ESTATÍSTICA 
1.0 ALGUMAS DEFINIÇÕES DE ESTATÍSTICA 
Etimologicamente a palavra estatística vem de “status” expressão latina que 
significa: ”sensu lato”, o estudo do estado. Os primeiros a empregarem esse 
termo foram os Alemães seguidos pela Itália, França, Inglaterra e ainda por 
outros países. 
Para Levasseur a estatística é: “O estudo numérico dos fatos sociais”. Yule 
define estatística como: “Dados quantitativos afetados marcadamente por uma 
multiplicidade de causas”. 
Uma definição mais usual nos dias de hoje seria: “Um método científico que 
permite a análise, em base probabilística, de dados coligados e condensados”. 
Ou ainda podemos dizer que Estatística é um conjunto de métodos quantitativos, 
que servem para a coleta, organização, redução e apresentação de dados, 
análise dos mesmos e a obtenção de conclusões válidas e tomadas de decisões 
a partir de tais análises. 
Estatística pode ser entendida como sendo a ciência de aprendizagem a partir 
de dados. 
No nosso cotidiano, precisamos tomar decisões, muitas vezes decisões rápidas. 
Assim podemos dizer que a Estatística fornece métodos que auxiliam o processo 
de tomada de decisão. 
1.1 POR QUE ESTUDAR ESTATÍSTICA? 
O raciocínio estatístico é largamente utilizado no governo e na administração; 
assim, é possível que, no futuro, um empregador venha a contratar ou promover 
um profissional por causa do seu conhecimento de estatística. Essa é uma razão, 
esperamos que ao final deste trabalho o leitor encontre suas próprias razões. 
1.2 A NATUREZA DOS DADOS 
Os dados estatísticos constituem a matéria prima das pesquisas estatísticas, 
eles surgem quando se fazem mensurações ou se restringem observações. 
Estatística descritiva: Trata-se da descrição e resumo dos dados. 
Probabilidade: É um estudo que envolve o acaso. 
Inferência: É a análise e interpretação de dados amostrais (Amostragem). 
Modelos: São versões simplificadas (abstrações) de algum problema ou 
situação real. 
 
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 Marco Antônio Santoro Bara 
 
1.3 TIPOS DE DADOS 
Quantitativos Contínuos 
 Discretos 
Qualitativos Nominais 
 Por postos 
As variáveis contínuas podem assumir qualquer valor num intervalo contínuo. 
Os dados referentes a tais variáveis dizem-se dados contínuos. Ex.: peso, 
comprimento, espessura onde se usa a mensuração. 
As variáveis discretas assumem valores inteiros de dados discretos são os 
resultados da contagem de números de itens. Ex.: alunos da sala de aula, 
número de defeitos num carro novo, acidentes de uma fábrica. 
Os dados nominais surgem quando se definem categorias e se conta o número 
de observações pertencentes a cada categoria. Atuam dentro das variáveis 
“Qualitativas”, às quais devemos associar a valores numéricos para que 
possamos processar estatisticamente. Ex.: cor dos olhos (azuis, verdes, 
castanhos), sexo (masculino e feminino), desempenho (excelente, bom, sofrível, 
mau), etc. 
Os dados por postos consistem de valores relativos atribuídos para denotar 
ordem: primeiro, segundo, terceiro, quarto, etc. Ex.: concurso de beleza se 
classificam em 1ª, 2ª, 3ª colocadas. 
TABELA 1: A mesma população pode originar diferentes tipos 
de dados. 
TIPOS DE DADOS 
POPULAÇÕES CONTÍNUOS DISCRETOS NOMINAIS POR 
POSTO 
 
Alunos de 
administração 
idade/peso N. de 
classes 
Homens/Mulheres 3º grau 
 
 
 
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 Marco Antônio Santoro Bara 
 
1.4 TIPOS DE LEVANTAMENTOS 
Os levantamentos podem ser classificados em contínuos, periódicos e 
ocasionais: 
CONTÍNUOS: Quando os eventos vão sendo registrados à medida que ocorrem. 
Exemplos os registros civis dos fatos vitais (nascimento, óbitos e casamentos). 
PERIÓDICOS: Acontecem ciclicamente. Exemplo é o recenseamento, feito no 
Brasil a cada dez anos. A realização de um Censo Demográfico representa o 
desafio mais importante para um instituto de estatística, sobretudo em um país 
de dimensões continentais como o Brasil, com 8 514 215,3 km2, composto por 
27 Estados e 5 507 municípios existentes na data de referência da pesquisa, 
abrangendo um total de 54 265 618 de domicílios pesquisados (dados do IBGE 
sobre o Censo de 2000). 
OCASIONAIS: São aqueles realizados sem a preocupação de continuidade ou 
periodicidade preestabelecidas, exemplos a maioria dos trabalhos de 
investigação cientifica. 
Os dados ainda podem ser classificados em: primários e secundários. 
DADOS PRIMÁRIOS: Quando o investigador não encontra dados publicados 
adequados ao seu estudo, parte para a realização de um inquérito, isto é, os 
dados são levantados diretamente na população no momento da investigação. 
DADOS SECUNDÁRIOS: Quando o investigador para verificar as suas 
hipóteses de trabalho utiliza-se de dados já existentes, arquivados, registrados 
ou publicados. Podem ser, até mesmo, dados gerados pelo Departamento de 
Estatística de Populações da Fundação Instituto Brasileiro de Geografia e 
Estatística (IBGE). 
1.5 PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS 
1- Definição do problema: Um Estudo ou Uma Análise 
2- Formular plano adequado para coleta de dados 
3- Organizar os dados 
4- Analisar e interpretar os dados 
5- Relatar as conclusões 
 
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 Marco Antônio Santoro Bara 
 
EXERCÍCIOS 
1- Identifique os seguintes exemplos em termos de tipos de dados: 
a- 17 gramas 
b- 3 certos, 2 errados 
c- 25 segundos 
d- 25 alunos na classe 
e- tamanho de camisa 
f- Km/litro 
g- O mais aprazívelh- O mais lento 
i- 5 acidentes no mês de maio 
2.0 AMOSTRAGEM 
AMOSTRAGEM VERSUS CENSO: Uma amostra usualmente envolve o estudo 
de uma parcela dos itens de uma população, enquanto que o censo requer o 
estudo de todos os itens. 
Restrições ao Censo: 
- Custo 
- Populações infinitas 
- Dificuldade nos critérios (Precisão) 
- Produtos de testes Destrutivos (fósforos, munições) 
- Tempo despendido (atualização) 
- Tipos de informações mais restritivas 
Casos de exceção: 
- Populações pequenas 
- Amostras grandes em relação à população 
- Se exige precisão completa 
- Se já são disponíveis informações completas 
 
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 Marco Antônio Santoro Bara 
2.1 DEFINIÇÕES: 
POPULAÇÃO: é o conjunto de indivíduos (ou objetos), que tem pelo menos uma 
variável comum observável. População é a totalidade dos elementos de um 
conjunto com uma dada característica, no qual se deseja fazer um determinado 
estudo. 
AMOSTRA: é qualquer subconjunto da população extraída para se realizar 
estudos estatísticos. 
 
A estatística indutiva é a ciência que busca tirar conclusões probabilísticas 
sobre a população, com base em resultados verificados em amostras retiradas 
dessa população. 
Entretanto não basta que saibamos descrever convenientemente os dados da 
amostra para que possamos executar, com êxito, um trabalho estatístico 
completo. Antes de tudo é preciso garantir que a amostra ou amostras que serão 
utilizadas sejam obtidas por processos adequados. 
- O que é necessário garantir, em suma, é que a amostra seja “Representativa” 
da população. 
Dois aspectos nas amostras são fundamentais, e que dão a sua 
representatividade em termos: 
- Qualitativos: Amostras que representem todas as subpopulações, quando for 
o caso. 
- Quantitativos: Que possua quantidade de dados suficientes para representar 
a população. 
Na indústria onde amostras são frequentemente retiradas para efeito de Controle 
da Qualidade dos produtos e materiais, em geral os problemas de amostragem 
são mais simples de resolver. 
Por outro lado, em pesquisas sociais, econômicas ou de opinião, a complexidade 
dos problemas de amostragem são normalmente bastante grandes. 
 
 
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 Marco Antônio Santoro Bara 
Inferência estatística envolve a formulação de certos julgamentos sobre um 
todo após examinar apenas uma parte, ou a amostra, dele. 
A probabilidade e a amostragem estão estreitamente correlacionadas e juntas 
formam o fundamento da teoria de inferência. 
- Amostragem é o ato de retirar amostra, isto é, a ação. 
- Amostra é a quantidade de dados especificados para representar a população. 
 Amostragem aleatória permite estimar o valor do erro possível, isto é, dizer 
“quão próxima” está a amostra da população, em termos de representatividade. 
Amostragem não aleatória não apresenta esta característica. 
Há vários métodos para extrair uma amostra, talvez o mais importante seja a 
amostragem aleatória. De modo geral, a amostragem aleatória exige que cada 
elemento tenha a mesma oportunidade de ser incluído na amostra. 
Nas Populações discretas uma amostra aleatória é aquela em que cada item 
da população tem a mesma chance de ser incluído na amostra. 
Nas Populações contínuas, uma amostra aleatória é aquela em que a 
probabilidade de incluir na amostra qualquer intervalo de valores é igual à 
percentagem da população que está naquele intervalo. 
Populações finitas: é quando, temos constituído por números finitos, ou fixos 
de elementos, medidas ou observações. 
Ex.: Peso bruto de 3000 latas de tinta de um certo lote de produção. 
Populações infinitas: são aquelas que contém, pelo menos hipoteticamente, 
um número infinito de elementos. 
Ex.: Produção de carros V.W. produzidos no Brasil e a serem produzidos 
(universo volkswagem), processo probabilístico. 
 
2.2 AMOSTRAGEM ALEATÓRIA BASEADA EM NÚMEROS ALEATÓRIOS 
(RANDÔMICOS) 
As tabelas de números aleatórios contém os dez algarismos 0,1,2,3,4,......,9. 
Esses números podem ser lidos isoladamente ou em grupos; podem ser lidos 
em qualquer ordem. 
A probabilidade de qualquer algarismo aparecer em qualquer ponto é 1/10. 
Portanto todas as combinações são igualmente prováveis. 
Conceitualmente, poderíamos construir uma tabela de números aleatórios 
numerando dez bolinhas com os algarismos de 0 a 9, colocando-as numa urna, 
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 Marco Antônio Santoro Bara 
misturando bem e extraindo uma de cada vez, com reposição, anotando os 
valores obtidos. 
A título de ilustração poderíamos querer selecionar aleatoriamente 15 clientes 
de uma lista de 830 de um grande magazine, a finalidade poderia ser: 
 
Estimar a frequência de compras; 
Determinar o valor médio de cada compra; 
Registrar as queixas contra o sistema. 
 
 
 
 
2.3 OUTROS PLANOS DE AMOSTRAGEM 
Amostragem probabilística versus Amostragem não probabilística. 
Os planos de amostragem probabilística são delineados de tal modo que se 
conhece a probabilidade de todas as combinações amostrais possíveis. Em 
razão disso, pode-se determinar a quantidade de variável amostral numa 
amostra aleatória e uma estimativa do erro amostral. A amostragem aleatória é 
um exemplo da amostragem probabilística. 
A amostragem não probabilística é a amostragem subjetiva, ou por julgamento, 
onde a variabilidade amostral não pode ser estabelecida com precisão, 
consequentemente, não é possível nenhuma estimativa do erro amostral. 
A verdade é que, sempre que possível, deve-se usar a amostragem 
probabilística. 
 
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 Marco Antônio Santoro Bara 
2.4 AMOSTRAGEM POR JULGAMENTO (NÃO PROBABILÍSTICA) 
Se o tamanho da amostra é bem pequeno; digamos, de uns 5 itens, a 
amostragem aleatória pode dar resultados totalmente não representativos, ao 
passo que uma pessoa familiarizada com a população pode especificar quais os 
itens mais representativos da população. 
 
Exemplo: Uma equipe médica deve trabalhar com pacientes que se apresentem 
como voluntários para testar um novo medicamento. Nenhum desses grupos 
podem ser considerados como uma amostra aleatória do público em geral, e 
seria perigoso tentar tirar conclusões gerais com base em tal estudo. Todavia, 
os resultados poderiam proporcionar uma base para a elaboração de um plano 
de amostragem aleatório para validar os resultados básicos. Os perigos 
inerentes à pesquisa médica, bem como outro tipo de pesquisa, frequentemente 
obrigam a limitar a pesquisa inicial a um pequeno grupo de voluntários. 
 
Exemplo: A aplicação de hormônios em mulheres na menopausa, após um 
período de tempo notou-se o aumento das chances de adquirirem câncer de 
mama, doenças cardíacas etc. 
2.5 AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA 
SISTEMÁTICA 
ESTRATIFICADA 
CONGLOMERADO 
 
AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA 
É muito parecida com a amostragem aleatória simples. Podemos ter uma 
amostragem realmente aleatória, escolhendo-se cada K-ésima amostra, onde K 
obtém-se dividindo o tamanho da população pelo tamanho da amostra. 
 K= N /n 
 onde: N= Tamanho da População 
 n= Tamanho da Amostra 
 
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 Marco Antônio Santoro Bara 
EX. N= 200 e n=10 então K=200/10 = 20 
Significa que será escolhido um item a cada sequência de 20 de uma lista.Para 
iniciar pode-se usar uma tabela de números aleatórios de 0 a 9 para iniciar os 
grupos. Por exemplo se der o 9, escolhemos o 9º, 29º, 49º, 69º .., etc. 
 
AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA 
Pressupõe a divisão da população em subgrupos Homogêneos (Estratos), 
procedendo então a amostragem de cada subgrupo. Ex.: Para se fazer o 
inventário do estoque, é comum termos 10% dos itens representarem cerca de 
60% do valor total enquanto que os 90% restantes representam só 40% do valor 
total (Curva A,B,C; Pareto; regra 80/20). 
 
AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADO 
Pressupõe a disposição dos itens de uma população em subgrupos 
heterogêneos (subpopulações) representativos da população global. Neste caso 
cada conglomerado pode ser encarado como uma mini população. 
Ex.: Estudo pré-eleitoral para medir a preferência dos eleitores. (Subgrupos: 
sexo, educação, faixa etária, poder aquisitivo, região da habitação, etc.) 
 
RESUMO 
A finalidade da amostra é permitir fazer inferência sobre a população após 
inspeção de apenas parte dela. Fatores como custo, ensaios destrutivos e 
populações infinitas, tornam a amostragem preferível a um estudo completo 
(Censo) da população. 
Naturalmente espera-se que a amostra seja representativa da população da qual 
foi extraída. 
Potencialmente, este objetivo é atingido quando a amostragem é aleatória. 
Para populações discretas o termo “Aleatório” significa que cada item da 
população tem a mesma chance de participar na amostra. 
No caso de populações contínuas, significa que a probabilidade de incluir 
qualquer valor de um dado intervalo de valores é igual à proporção de valores 
naquele intervalo. 
 
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 Marco Antônio Santoro Bara 
As amostras aleatórias podem ser obtidas: 
- Através de um processo de mistura, como o embaralhamento de cartas; 
- Pela utilização de um processo mecânico (Misturadores); 
- Utilizando-se uma tabela de números aleatórios para proceder à seleção de 
uma lista. 
Em certas condições, podem ser mais eficientes variantes da amostragem 
aleatória simples, tais como amostragem sistemática (periódica), estratificada 
(subgrupos Homogêneos), ou amostragem por aglomerados (subgrupos 
convenientes e heterogêneos). 
A principal vantagem da amostragem aleatória é que se pode determinar o grau 
de variabilidade amostral, o que é essencial na inferência estatística. Para a 
amostragem não probabilística falta esta característica. 
 
3.0 ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS 
Em alguma fase de seu trabalho, o pesquisador se vê às voltas com o problema 
de analisar e entender uma massa de dados, relevantes ao seu particular objeto 
de estudos. 
De modo geral, podemos dizer que a essência da ciência é a observação e que 
seu objetivo básico é a inferência. Esta é a parte da metodologia da ciência que 
tem por objetivo a coleta, a redução, a análise e a modelagem dos dados, a partir 
do que, finalmente, faz-se a inferência para uma população, da qual os dados 
(amostras) foram obtidos. 
 
4.0 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
Para cada tipo de variável existem técnicas mais apropriadas para resumir as 
informações. 
Porém podemos usar algumas técnicas empregadas num caso e adaptá-las para 
outros. 
Quando se estuda uma variável, o maior interesse do pesquisador é conhecer a 
distribuição dessa variável através das possíveis realizações (valores) da 
mesma. 
 
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 Marco Antônio Santoro Bara 
 
Exemplo: Dados relativos a uma amostra de 36 funcionários de uma população 
de 2000 funcionários da empresa XYZ. Ver resultados anotados na tabela 
abaixo. 
 
TABELA 1: Dados relativos a uma amostra de 36 funcionários de uma 
população de 2000 funcionários da empresa XYZ. 
 
 
Nº ESTADO 
CIVIL 
GRAU DE 
INSTRUÇÃO 
Nº DE 
FILHOS 
SALÁRIO 
(X SAL. MIN) 
IDADE 
ANOS MESES 
REGIÃO DE 
PROCEDÊNCIA 
 
1 solteiro 1º grau --- 4 26 03 interior 
2 casado 1º grau 1 4,56 32 10 capital 
3 casado 1º grau 2 5,25 36 05 capital 
4 solteiro 2º grau - -- 5,73 20 10 outro 
5 solteiro 1º grau --- 6,26 40 07 outro 
6 casado 1º grau 0 6,66 28 00 interior 
7 solteiro 1º grau --- 6,86 41 00 interior 
8 solteiro 1º grau --- 7,39 43 04 capital 
9 casado 2º grau 1 7,59 34 10 capital 
10 solteiro 2º grau - -- 7,44 23 06 outro 
11 casado 2º grau 2 8,12 33 06 interior 
12 solteiro 1º grau --- 8,46 27 11 capital 
13 solteiro 2º grau - -- 8,74 37 05 outro 
14 casado 1º grau 3 8,95 44 02 outro 
15 casado 2º grau 0 9,13 30 05 interior 
16 solteiro 2º grau - -- 9,35 38 08 outro 
17 casado 2º grau 1 9,77 31 07 capital 
18 casado 1º grau 2 9,8 39 07 outro 
19 solteiro superior --- 10,53 25 08 interior 
20 solteiro 2º grau - -- 10,76 37 04 interior 
21 casado 2º grau 1 11,06 30 09 outro 
22 solteiro 2º grau - -- 11,59 34 02 capital 
23 solteiro 1º grau --- 12,00 41 00 outro 
24 casado superior 0 12,79 26 01 outro 
25 casado 2º grau 2 13,23 32 05 interior 
26 casado 2º grau 2 13,6 35 00 outro 
27 solteiro 1º grau --- 13,85 46 07 outro 
28 casado 2º grau 0 14,69 29 08 interior 
29 casado 2º grau 5 14,71 40 06 interior 
30 casado 2º grau 2 15,99 35 10 capital 
31 solteiro superior --- 16,22 31 05 outro 
32 casado 2º grau 1 16,61 36 04 interior 
33 casado superior 3 17,26 43 07 capital 
34 solteiro superior --- 18,75 33 07 capital 
35 casado 2º grau 2 19,40 48 11 capital 
36 casado superior 3 23,30 42 02 interior 
 
 
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 Marco Antônio Santoro Bara 
 
TABELA 2: Frequência e porcentagem da amostra de 36 empregados da 
empresa XYZ, segundo o grau de instrução. 
 
 
GRAU DE 
INSTRUÇÃO 
TABULAÇÃO 
 
FREQUÊNCIA 
f 
FREQ. RELATIVA 
fR (%) 
1º grau 
2º grau 
superior 
I I I I I I I I I I I I 
I I I I I I I I I I I I I I I I I I 
I I I I I I 
12 
18 
6 
33,33 
50,00 
16,67 
TOTAL 36 100 
 
 
TABELA 3: Frequência e porcentagem dos 2000 empregados (População) da 
empresa XYZ (Censo x Probabilidade) 
 
 
GRAU DE 
INSTRUÇÃO 
FREQUÊNCIA 
f 
FREQ. RELATIVA 
fR % CENSO 
FREQ. RELATIVA 
fR % PROVÁVEL 
1º grau 
2º grau 
superior 
650 
1020 
330 
32,50 
51,00 
16,50 
33,33 
50,00 
16,67 
TOTAL 2000 100 100 
 
TABELA 4: Frequência e porcentagens dos 36 empregados (Amostra) da 
empresa XYZ. 
 
 
CLASSES DE 
SALÁRIOS 
FREQUÊNCIA 
f 
FREQ. RELATIVA 
fR (%) 
 4 |----- 8 
8 |----- 12 
 12 |----- 16 
 16 |----- 20 
 20 |----- 24 
10 
12 
8 
5 
1 
27,78 
33,33 
22,22 
13,89 
2,78 
TOTAL 36 100 
 
TABELA 5: Frequências e porcentagem dos empregados da empresa XYZ, 
segundo Nº de filhos. 
 
Nº DE FILHOS 
 
FREQÜÊNCIA 
f 
FREQ. RELATIVA 
fR (%) 
0 
1 
2 
3 
5 
4 
5 
7 
3 
1 
20 
25 
35 
15 
5 
TOTAL 20 100 
 
 
 
 
15 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
 
5.0 APRESENTAÇÃO GRÁFICA 
A apresentação gráfica dos dados e respectivos resultados de sua análise pode 
também ser feita sob forma de figuras, em geral gráficos ou diagramas. 
 
Gráficos devem ser autoexplicativos e de fácil compreensão, de preferência 
sem comentários inseridos. Os gráficos devem ser simples, atrair a atenção do 
leitor e inspirar confiança. 
 
 
5.1 DIAGRAMA DE ORDENADAS 
Para sua construção é traçada uma reta horizontal (ou vertical) de sustentação; a partir 
de pontos equidistantes na reta, traçam-se perpendiculares cujos comprimentos sejam 
proporcionais às frequências. 
 
Ex. Considerando a tabela abaixo: 
 
 
CLASSESDE 
SALÁRIOS 
FREQUÊNCIA 
f 
FREQ. RELATIVA 
fR (%) 
 4 |----- 8 
8 |----- 12 
 12 |----- 16 
 16 |----- 20 
 20 |----- 24 
10 
12 
8 
5 
1 
27,78 
33,33 
22,22 
13,89 
2,78 
TOTAL 36 100 
 
 
Frequências 
 
 
12 
 
 
10 
 
 
8 
 
 
6 
 
 
4 
 
 
2 
 
 
0 
 4 I-------8 8 I-------12 12 I-------16 16 I-------20 20 I-------24 
 
 Salários 
 
16 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
5.2 DIAGRAMA DE BARRAS/COLUNAS 
 
A mesma distribuição acima poderia ser representada por meio de diagrama que 
levasse em conta a magnitude da área da figura geométrica, já que a vista 
repousa melhor sobre uma superfície do que sobre uma linha. 
 
 
Ex. Considerando a tabela abaixo: 
 
 
CLASSES DE 
SALÁRIOS 
FREQUÊNCIA 
f 
FREQ. RELATIVA 
fR (%) 
 4 |----- 8 
8 |----- 12 
 12 |----- 16 
 16 |----- 20 
 20 |----- 24 
10 
12 
8 
5 
1 
27,78 
33,33 
22,22 
13,89 
2,78 
TOTAL 36 100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
2
4
6
8
10
12
14
 4 |----- 8 8 |----- 12 12 |----- 16 16 |----- 20 20 |----- 24
SALÁRIOS
17 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
5.4 DIAGRAMA DE SETORES CIRCULARES 
Outra opção seria através de setores circulares, na qual se divide a área total 
de um círculo em subáreas (setores) proporcionais as frequências. 
 
Ex. Considerando a tabela abaixo: 
 
 
CLASSES DE 
SALÁRIOS 
FREQUÊNCIA 
f 
FREQ. RELATIVA 
fR (%) 
 4 |----- 8 
8 |----- 12 
 12 |----- 16 
 16 |----- 20 
 20 |----- 24 
10 
12 
8 
5 
1 
27,78 
33,33 
22,22 
13,89 
2,78 
TOTAL 36 100 
 
 
 
 
 
 
5.5 DIAGRAMA LINEAR 
No diagrama linear deve-se plotar os pontos nos eixos como foi feito no 
diagrama de barras e em seguida unir esses pontos por semi-retas constituindo-
se desta forma o diagrama linear. 
 
Ex. Considerando a tabela abaixo: 
 
CLASSES DE 
SALÁRIOS 
FREQUÊNCIA 
f 
FREQ. RELATIVA 
fR (%) 
 4 |----- 8 
8 |----- 12 
 12 |----- 16 
 16 |----- 20 
 20 |----- 24 
10 
12 
8 
5 
1 
27,78 
33,33 
22,22 
13,89 
2,78 
TOTAL 36 100 
27.78
33.33
22.22
13.89
2.78
Salários
1 2 3 4 5
18 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
 
 
 
 
6.0 MONTAGEM DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS 
A análise estatística de dados relativos a uma amostra de uma população, 
requer uma aglutinação organizada de informações, conforme regras cuja 
prática demonstrou serem eficientes. 
 
O agrupamento destes dados em subgrupos é feito com base nos seguintes 
conceitos: 
 
Amplitude total (AT): é a diferença entre a medida máxima e a medida mínima. 
 
Número de classes (d): é o número de divisões que estipulamos para a 
Amplitude Total. 
 
Normalmente pode-se usar d ≈ √ n onde n é o número de itens na amostra. 
 
(Classe: é o intervalo de variação das medidas.) 
 
Amplitude do intervalo de classe (AI): é a diferença entre os valores máximos 
e mínimos de cada classe. 
 
 
Amplitude do intervalo de cada classe 
 
 
OBS.: Normalmente, usa-se um número mínimo de 5 e no máximo 20 classes, 
de preferência de mesma amplitude. 
 
 
0
2
4
6
8
10
12
14
 4 |----- 8 8 |----- 12 12 |----- 16 16 |----- 20 20 |----- 24
Salários
AI = AT / d 
19 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
As classes devem ser mutuamente exclusivas, para que não haja dúvida na 
localização dos valores das variáveis, podemos daí utilizar as seguintes 
simbologias para os intervalos: 
 
0 ----I 10 intervalo aberto & fechado, para significar que o intervalo compreende 
os valores da variável maiores do que 0 (exclusive) e até 10 (inclusive); 
 
0 I---- 10 intervalo fechado & aberto, para significar que compreende os valores 
da variável a partir de 0 (inclusive) e até 10 (exclusive); 
 
0 ----- 10 Intervalo aberto & aberto, para significar que compreende valores 
maiores do que 0 e menores do que 10. 
 
0 I----I 10 intervalo fechado & fechado, para significar que compreende os 
valores da variável a partir de 0 (inclusive) e até 10 (inclusive). 
 
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DAS FREQÜÊNCIAS 
Para a facilidade e metodização do processo de análise estatística, monta-se 
uma tabela que agrupe as informações obtidas, da forma de Tabela de 
Frequências. 
 
Consideremos uma relação de pesos de pacotes de manteiga, em gramas, de 
uma amostra de 100 pacotes extraídos parcialmente de um processo 
automático de empacotamento. 
 
TABELA 6 
 
AMOSTRA PESO AMOSTRA PESO AMOSTRA PESO AMOSTRA PESO AMOSTRA PESO 
1 207 21 220 41 210 61 210 81 217 
2 213 22 204 42 214 62 220 82 211 
3 210 23 213 43 219 63 213 83 213 
4 215 24 211 44 215 64 217 84 218 
5 201 25 214 45 217 65 214 85 213 
6 210 26 217 46 213 66 219 86 213 
7 212 27 224 47 218 67 214 87 218 
8 204 28 211 48 214 68 215 88 216 
9 209 29 220 49 215 69 223 89 206 
10 212 30 209 50 212 70 217 90 212 
11 215 31 214 51 221 71 213 91 207 
12 216 32 208 52 211 72 218 92 213 
13 221 33 217 53 218 73 207 93 215 
14 219 34 214 54 205 74 210 94 212 
15 222 35 209 55 220 75 208 95 223 
16 225 36 212 56 203 76 214 96 210 
17 215 37 208 57 216 77 211 97 226 
18 218 38 215 58 222 78 205 98 224 
19 213 39 211 59 206 79 215 99 214 
20 216 40 216 60 221 80 207 100 215 
 
 
20 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
No caso da amostra de pacotes de manteiga acima, temos: 
 
AT = 226 – 201 = 25 gramas 
 
Temos d |�√100 10 classes, porém deve-se utilizar sempre que possível número 
ímpar de classes, no caso podemos usar 9 classes. 
 
Amplitude do intervalo de cada classe 2,78 (aprox. 3) 
Isto é: AI = 25/9 = 2,78 
 
 
 
 
 
TABELA 7 
 
 FREQ FREQ. 
RELATIVA % 
FREQ. 
ACUMULADA 
FREQ. ACUM. 
REL. % 
 CLASSE TABULAÇÃO f fR F FR 
1 200 I--- 203 I 1 1 1 1 
2 203 I--- 206 I I I I 4 4 5 5 
3 206 I--- 209 I I I I I I I I I I 10 10 15 15 
4 209 I--- 212 I I I I I I I I I I I I I I I 15 15 30 30 
5 212 I--- 215 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 25 25 55 55 
6 215 I--- 218 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 21 21 76 76 
7 218 I--- 221 I I I I I I I I I I I I I 13 13 89 89 
8 221 I--- 224 I I I I I I I 7 7 96 96 
9 224 I--- 227 I I I I 4 4 100 100 
 Σ 100 100% 
 
 
Onde: 
 
Frequência (f) = número de vezes que as medidas ocorrem no intervalo de 
classes 
 
Frequência Relativa (fR) = porcentagem da frequência de cada classe em 
relação ao total de elementos. 
 
 
Frequência acumulada (F) = soma das frequências até o intervalo de classe 
considerado. 
Ex. F5 = f1+ f2 + f3 + f4 + f5 → 1 + 4 + 10 + 15 + 25 = 55 
 
Frequência acumulada relativa (FR) = soma das frequências relativas até o 
intervalo considerado. Por ex.: FR3 = fR1 + fR2 + fR3 → 1 + 4 + 10 = 15 
 
AI adotado = 3 e AT adotado = 27 (começa um antes do menor e termina 
um depois do maior valor) 
 
fR = (f / n).100 
21 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
7.0 MEDIDAS DE POSIÇÃO OU DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
Como o próprio nome indica, a medida de tendência central visa a determinar o 
centro da distribuição. Esta determinação, porém, não é bem definida daí parece 
razoável chamarmos de “tendência central”. 
 
São medidas de tendência central: 
 
· MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES/PONDERADA ( x̅ ); 
· MEDIANA (md); 
· MODA (mo). 
 
7.1 MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES 
 
 7.1.1 PARA UMA LISTA 
 
Esta é a situação mais simples: para se calcular a média, basta somarmos todos 
os elementos da lista e dividirmos o resultado pelo número de elementos.Exemplo: Calcular a média aritmética simples de 8, 3, 5, 12, 10. 
 
 x̅ = 8+3+5+12+10 = 38 = 7,6 
 5 5 
 
 
 7.1.2 PARA DADOS TABULADOS 
 
Outra possibilidade é calcular a média quando os dados vêm dispostos em uma 
tabela na qual é informada a frequência absoluta simples fi de cada elemento xi. 
O total de elementos n é obtido somando todas as frequências absolutas simples 
fi. 
 
 
 
 
 
 
 
x̅ = Σ xi / n 
x̅ = Σ (xi . fi) / n 
 
22 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
Exemplo: Calcular a média aritmética do conjunto descrito a seguir: 
 
xi fi 
1 2 
2 3 
3 1 
 
x̅ = (1 . 2 + 2. 3 + 3 . 1) / (2+3+1) 
x̅ = 11 / 6 
x̅ = 1,83 
 
 7.1.3 PARA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
 
Neste caso, os dados estão agrupados em classes e devemos calcular a média 
a partir da distribuição de frequência correspondente, apresentada em forma de 
tabela. Cada classe tem um ponto médio PM que é igual à metade da soma de 
seus limites inferior e superior. 
 
 
 
 
Exemplo: Calcular a média do conjunto descrito pela distribuição de frequência 
a seguir: 
 
xi fi 
0 |----- 3 2 
3 |----- 6 5 
6 |----- 9 7 
9 |----- 12 4 
12 |----- 15 3 
 
x̅ = (1,5 . 2 + 4,5 . 5 + 7,5 . 7 + 10,5 . 4 + 13,5 . 3) / (2+5+7+4+3) 
x̅ = 160,5 / 21 
x̅ = 7,64 
 
 
7.2 MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA 
 
 
 
 
 
onde: fi = frequência dos dados xi 
 
 
x̅ = Σ(xi .fi ) / Σ fi 
x̅ = Σ (PMi . fi) / n 
23 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
Exemplo: Calcular a média ponderada dos números 5, 8, 6, 2 ; os quais ocorrem 
com as frequências 3, 2, 4 e 1, respectivamente. 
 
Números x = 5, 8, 6, 2 
Frequências f = 3, 2, 4, 1 
 
 x̅ = 5.3+8.2+6.4+2.1 = 57 = 5,7 
 3+2+4+1 10 
 
7.3 MEDIANA (md) 
 
 7.3.1 PARA UMA LISTA 
 
Esta é a situação mais simples: para se calcular a mediana, basta ordenar os 
elementos da lista e localizar o elemento que está ao centro da lista, isto é, para 
o qual há o mesmo número de ocorrências antes e depois. 
 
Obs.: se o número de elementos for par, basta localizar os dois elementos 
medianos e calcular média aritmética entre eles. 
 
Exemplo-1: Qual é a mediana do conjunto {10, 7, 5, 1, 3, 4 ,6} 
 
Basta ordenar e localizar o elemento mediano: {1,3,4,5,6,7,10} 
md = 5 
 
Exemplo-2: Qual é a mediana do conjunto {10, 7, 5, 1, 3, 4 , 6, 9 } 
 
Basta ordenar e localizar o elemento mediano: {1,3,4,5,6,7,9,10} 
md = (5+6) / 2 
md = 5,5 
 
 
 7.3.2 PARA DADOS TABULADOS 
 
No caso de cálculo da mediana quando estamos trabalhando com dados 
tabulados determinamos o valor mais provável dessa distribuição a partir de: 
 
 
 
 Posição da md = (Frequência acumulada total + 1) = FA + 1 
 2 2 
 
 
 
24 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
Exemplo: Qual a mediana do conjunto descrito pela tabela abaixo: 
 
xi fi FA 
10 3 3 
13 4 7 
16 6 13 
17 5 18 
25 1 19 
 
Como n = 19 , a posição central é (n+1) / 2, logo 20 /2 , isto é 10° posição. 
Portanto a mediana é md = 16 
 
{10,10,10,13,13,13,13,16,16,16,16,16,16,17,17,17,17,17,25} 
 
Ou seja, a posição da MEDIANA é definida por n+1 -ésimo elemento 
 2 
quando ”n” é ímpar e temos um número inteiro que dá a posição da mediana. 
Quando temos o meio do caminho entre dois números inteiros, isto é, ”n” é par, 
a mediana será a média deles. 
 
Exemplo: Determine a posição da mediana para: (a) n=15, (b) n=45 e (c)n=88. 
 
 (a) n+1 = 15+1 = 8 , e a mediana é o valor do 8° elemento; 
 2 2 
 (b) ��n+1 = 45+1 = 23���������, e a mediana é o valor do 23° elemento; 
 2 2�
 (c) n+1 = 88+1 = 44,5 �����, e a mediana é a média do valor do 44° e o 
 2 2 45°elemento. 
�
Ou seja, quando n é par procuramos duas posições: n e n +1 
 2 2 
 
 7.3.3 PARA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
 
Neste caso, os dados estão agrupados em classes e devemos calcular a 
mediana a partir da distribuição de frequência correspondente, apresentada em 
forma de tabela. Ao contrário dos itens anteriores, não precisamos nos preocupar 
se há um número ímpar ou par de elementos. Basta encontrar a classe mediana 
e aplicar a fórmula para o cálculo da mediana para distribuição de frequências. 
 
No caso do exercício da distribuição dos 100 valores de peso de pacotes de 
manteiga temos: 
 
 
Posição da md = (Frequência acumulada total ) = FA 
 2 2 
 
25 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
md = FA = 100 = 50, e a mediana é o valor do 50° elemento 
 2 2 
 
 
 
 
 
F 0 1 5 15 30 55 76 89 96 100 
 
X 200 203 206 209 212 215 218 221 224 227 
 
 
 (55 – 30) (215 – 212) ou (55 – 30) (215 – 212) 
 (55 – 50) Δ (50 – 30) Δ 
 
Δ = 5 x 3 = 0,6 Δ = 20 x 3 = 2,4 
 25 25 
portanto a mediana será 215 - Δ portanto a mediana será 212 + Δ 
logo, md = 215 - 0,6 = 214,4. logo, md = 212 + 2,4 = 214,4. 
 
Assim, para encontrarmos a mediana para dados agrupados em classes 
podemos formalizar os passos anteriores na seguinte equação: 
 
 
 
 Md = linf + h. n/2 - Fant 
 fmed 
 
 
 
 
onde: n/2 = metade da quantidade de dados 
 h = amplitude da classe mediana 
 linf = limite inferior da classe da mediana 
 fmed = frequência absoluta da classe da mediana 
 Fant = frequência acumulada da classe anterior a da 
 mediana 
 
Voltando ao exemplo, temos: 
 
1º Passo: da tabela 7 - página 18, temos as frequências acumuladas já 
calculadas; 
 
2º Passo: n = 100 => n/2 = 100/2 = 50 => localização da classe mediana: 5ª 
classe, isto é, classe 212 I--- 215; 
 
3º Passo: encontrar na tabela: linf , fmed e Fant : 
 
linf = 212 
fmed = 25 
Fant = 30 
 
50° valor 
 
26 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
4º Passo: substituir os dados na equação: 
 
 
 
 
 md = linf + h. n/2 - Fant 
 fmed 
 
 
 
 md = 212+ 3. 50 – 30 = 212 + 3. 0,8 = 212 + 2,4 = 214,4 
 25 
 
 
 md = 214,4 
 
 
7.3.1 SEPARATRIZES (QUARTIS, DECIS E CENTIS) 
 
Como extensão do conceito de mediana, podemos dividir os valores em quatro, 
dez e cem partes iguais. Essas divisões são chamadas de quartis, decis e centis,respectivamente. 
O cálculo dessas divisões é semelhante ao da mediana, isto é: 
 
 
 
 
Quartis: 
 
 Qi = linf + h. i.n/4 - FQi-1 onde i = 1,2,3 
 fQi 
 
 
Decis: 
 
 Di = linf + h. i.n/10 - FDi-1 onde i = 1,2,3, ..., 8,9. 
 fDi 
 
 
Centis: 
 
 Ci = linf + h. i.n/100 - FCi-1 onde i = 1,2,3,...,98,99. 
 fCi 
 
 
 
27 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
Onde: 
 h = amplitude da classe 
 
 linf = limite inferior da classe da quartílica, decílica ou 
 percentílica 
 
 fQi , fDi , fCi = frequências das classes quartílica, decílica e 
 percentílica, respectivamente 
 
 FQi-1 , FDi-1 , FCi-1 = frequências acumuladas da classe 
 anterior à classe quartílica, decílica ou percentílica. 
 
 
Voltando ao exemplo anterior, temos: 
 
 
i) Se quisermos calcular o 1º Quartil, ou seja, 25% dos dados: 
 
 
 
 Q1 = linf + h. 1.n/4 - FQi-1 = 209 + 3. 100/4 – 15 = 
 fQi 15 
 
 
 209 + 3 . 0,67 = 211 
 
 
ii) Para o 3º Quartil: 
 
 
 
 Q3 = linf + h. 3.n/4 - FQi-1 = 215 + 3 . 3.100/4 – 55 
 fQi 21 
 
 
 215 + 3. 0,95 = 217,85 
 
 
iii) Para o 8º Decil: 
 
 
 D8 = linf + h. 8.n/10 - FDi-1 = 218 + 3. 8.100/10 - 76 
 fDi 13 
 
 
 218 +3. 0,31 = 218,93 
 
 
28 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
 
iv) Para o 15º Centil: 
 
: 
 
 C15 = linf + h. 15.n/100 - FCi-1 
 fCi 
 
 
 = 206 + 3. 15.100/100 - 5 
 10 
 
 = 209 
 
 
 
OBS.: Caso tenhamos dados não agrupados em classes, como por exemplo a 
sequência 2,3,3,4,5,7,7,8,10,11,12,12, 13; o cálculo do 3º Quartil será: 
 
 Posição: 3.n/4 = 3.13/4 = 9,75 
 
 
A posição 9,75ª será aproximada pela inteira imediatamente posterior a ela, ou 
seja, a 10ª posição, logo Q3 = 11. E assim, analogamente, para encontrar os 
decis e centis de uma série de dados não agrupados em classes. 
 
 
 
7.4 MODA ( mo ) 
 
 7.4.1 PARA UMA LISTA 
 
Em um conjunto de números a moda é o valor que ocorre com maior frequência, 
isto é, o valor mais comum. 
 
Exemplos: 
1) 2, 2, 3, 7, 8, 8, 8, 9, 10 
 moda=8 
 
2) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 
moda = Ф (não existe moda) 
 
3) 2, 2, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 9 
 moda = 4 e 8 
 
29 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
 7.4.2 PARA DADOS TABULADOS 
 
Para se determinar a moda quando os dados vêm dispostos em uma tabela, 
deve-se procurar qual elemento tem a maior frequência absoluta simples. 
 
Exemplo: Qual a moda do conjunto descrito abaixo? 
 
 
xi fi 
10 3 
13 4 
16 5 
17 7 
25 2 
 
mo = 17 , pois aparece 7 vezes. 
 
 
 7.4.3 PARA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
 
Na verdade, o cálculo da moda para uma distribuição de frequências é apenas 
aproximado, haja vista não sabermos exatamente como os dados estão 
distribuídos dentro de cada classe. 
 
Para o exemplo do exercício das distribuições de frequências dos pacotes de 
manteiga (onde os dados são tabulados agrupados em classes) uma forma de 
estimar o valor da moda é pela Estimativa de Pearson (para dados tabulados 
agrupados em classes): 
 
 
 
 
 
 
 
 
Voltando ao exemplo, temos: 
 
mo = 3.214,4 – 2. 214,49 => mo = 214,22 
 
onde a média foi calculada da forma: 
 
 
x̅ = 201,5 . 1 + 204,5 .4 + 207,5 .10 + 210,5 .15 + 213,5 .25 + 216,5 .21 + 219,5 . 13 + 222,5. 7 + 225,5. 4 
 1 + 4 + 10 + 15 + 25 + 21 + 13 + 7 + 4 
 
x̅ = 214,49 
 
 
mo = 3. md – 2. x̅ 
30 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
O cálculo da moda pelo Método de Pearson é mais utilizado quando temos uma 
indicação de que os três parâmetros de tendência central (média, mediana e 
moda) estejam muito próximos. 
 
 
 
Um outro método, de origem gráfica, é o Método de Czuber, que utilizamos na 
maioria dos casos: 
 
 
 
 mo = linf + h. 'a . 
 'a + 'p 
 
 
 
 
 
onde: 
 
linf = limite inferior da classe modal. 
 
'a = diferença entre a fi da classe modal e a fi da classe anterior. Entenderemos 
como classe anterior aquela que precede à classe modal. 
 
'p = diferença entre a fi da classe modal e a fi da classe posterior (aquela que 
vem logo após a classe modal). 
 
h = amplitude da classe modal. 
 
 
O primeiro passo é a determinação da classe modal, aquela com maior fi. 
 
No nosso exemplo é 212 I--- 215 pois temos 25 elementos nesta classe. 
 
mo = 212 + 3. ( 25 - 15 ) . 
 (25-15) + (25-21) 
 
mo = 212 + 3 . 10 . 
 10 + 4 
mo = 212 + 3 . 0,7143 
mo = 212 + 2,14 
mo = 214,14 
 
31 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
EXERCÍCIOS 
 
1-) Qual a média aritmética dos números ímpares menores do que 10? 
 R: 5 
2-) Calcule a média aritmética do conjunto descrito a seguir: 
xi fi 
1 3 
2 4 
3 1 
4 2 
 R: 2,2 
3-) Calcular a média do conjunto descrito pela distribuição de frequências a 
seguir: 
xi fi 
0,0 |----- 2,0 15 
2,0 |----- 4,0 25 
4,0 |----- 6,0 13 
6,0 |-----8,0 37 
8,0 |-----10,0 10 
 R: 5,04 
4-) Calcular a mediana do conjunto {5,3,7,1,9} 
 
 R: 5 
5-) Calcular a mediana do conjunto {1,1,3,5,6,9,23,24} 
 
 R: 5,5 
6-) Calcular a mediana do conjunto descrito pela tabela a seguir: 
xi fi 
100 3 
135 6 
160 5 
175 7 
250 2 
 R: 160 
7-) Calcular a mediana do conjunto descrito pela tabela a seguir: 
 
xi fi 
10 3 
15 6 
16 5 
21 7 
23 3 
 R: 16 
 
 
 
 
32 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
8-) Calcular a mediana do conjunto descrito pela distribuição de frequência a 
seguir: 
 
xi fi 
0,0 |----- 2,0 15 
2,0 |----- 4,0 25 
4,0 |----- 6,0 16 
6,0 |-----8,0 34 
8,0 |-----10,0 10 
 R: 5,25 
 
9-) Calcular a moda do conjunto { 5,3,7,1,5,2,9} 
 
 R: 5 
 
10-) Calcular a moda do conjunto descrito pela tabela a seguir 
xi fi 
100 3 
135 6 
160 5 
175 7 
250 2 
 R: 175 
11-) Calcular a moda, pelo método de Czuber, do conjunto descrito pela 
distribuição de frequência a seguir: 
 
xi fi 
0,0 |----- 2,0 15 
2,0 |----- 4,0 25 
4,0 |----- 6,0 16 
6,0 |-----8,0 34 
8,0 |-----10,028 
 R: 7,5 
 
12-) Calcule os quartis da tabela abaixo: 
 
Classes fi 
50 |----- 54 10 
54 |----- 58 23 
58 |----- 62 28 
62 |----- 66 20 
66 |----- 70 12 
70 |----- 74 7 
Total 100 
 
 R: Q1 = 56,61 , Q2 = 60,43 , Q3 = 64,8 
Decil: 3, 7 e 9nullCentil: 13, 33 e 80
33 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
 
8.0 TIPOS DE DISTRIBUIÇÃO 
 
As distribuições de frequência podem se apresentar de diversas formas 
conforme as figuras a seguir: 
 
8.1 DISTRIBUIÇÃO SIMÉTRICA OU EM FORMA DE SINO 
 
A distribuição é simétrica quando os valores se distribuem igualmente em torno 
da média 
 
A) Normal 
 
 
 
 
 
 
 
 
B) Alongada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C) Achatada 
 
 
 
 
34 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
Distribuições simétricas 
 
 
A distribuição das frequências faz-se de forma aproximadamente simétrica, 
relativamente a uma classe média 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso especial de uma distribuição simétrica 
Quando dizemos que os dados obedecem a uma distribuição normal, estamos 
tratando de dados que distribuem-se em forma de sino. 
 
 
 
 
35 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
Distribuições Assimétricas 
 
A distribuição das frequências apresenta valores menores num dos lados: 
 
 
 
 
CURVA ASSIMÉTRICA À DIREITA (ASSIMETRIA POSITIVA) 
 
 
CURVA ASSIMÉTRICA À ESQUERDA (ASSIMETRIA NEGATIVA) 
 
36 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
8.3 DISTRIBUIÇÃO MODAL, AMODAL, BIMODAL E MULTIMODAL 
 
Chamamos de moda (mo) numa distribuição, ao valor da medida ou classe que 
corresponde à frequência máxima. Sob o critério da moda as distribuições 
classificam-se em: 
 
A) DISTRIBUIÇÃO MODAL – Quando a distribuição tem frequência 
máxima ela é denominada modal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 mo 
 
B) DISTRIBUIÇÃO AMODAL – Quando a distribuição não tem moda 
 
 
 
 
 
 
 
C) DISTRIBUIÇÃO BIMODAL – Quando a distribuição tem duas modas. 
 
 
 
 
 
 
 
 mo mo 
 
 
 
 
 
37 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
D) DISTRIBUIÇÃO MULTIMODAL – Quando a distribuição tem mais de duas 
modas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 mo mo mo 
 
9.0 MEDIDAS DE VARIABILIDADE (OU DE DISPERSÃO) 
 
As medidas de dispersão indicam se os valores estão relativamente próximos 
uns dos outros, ou separados. Podemos dizer que dispersão é o grau com o 
qual os valores numéricos de uma distribuição tendem a se distanciar em torno 
de um valor médio. 
Em todos os casos, o valor zero indica ausência de dispersão; a dispersão 
aumenta à proporção que aumenta o valor da medida (amplitude, desvio-
padrão, variância). 
 
9.1 AMPLITUDE TOTAL (AT) 
 
É a medida mais simples de dispersão. É a diferença entre o maior e o menor 
valor das observações. 
 AT = Xmax – Xmin 
 
Embora exista simplicidade de cálculo, existem duas restrições ao seu uso 
generalizado: 
 
1- Utiliza apenas uma parcela das informações contidas nas observações. 
O seu valor não se modifica mesmo que os valores das observações 
variem, desde que conservem os seus valores máximo e mínimo. Ou 
seja, depende apenas dos valores externos (max e min), não sendo 
afetada pelos valores internos. 
 
2- Depende do número de observações na amostra. Em geral o valor da 
amplitude cresce quando cresce o tamanho da amostra. 
 
 
 
 
38 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
 
9.2 DESVIO EM RELAÇÃO À MÉDIA ARITMÉTICA (di) 
 
O desvio di em relação à média de um conjunto de dados é a diferença do valor 
xi e a média aritmética x̅ do conjunto, isto é: 
 
 
 di = (xi - x̅ ) 
 
 
 
Exemplos : 
 
 
1-) Calcular os desvios di para o seguinte conjunto : 3, 4, 5, 6, 7 
 
 
 Onde x̅ = 3+4+5+6+7 = 5 
 5 
 
 
xi di 
3 -2 
4 -1 
5 0 
6 1 
7 2 
 ∑ di = 0 
 
2-) Calcular os desvios di para a seguinte distribuição : 
 
 
xi fi di 
82 5 -4,6 
85 10 -1,6 
87 15 0,4 
89 8 2,4 
90 4 3,4 
 ∑ fi = 42 ∑ di = 0 
 
 
 
Onde x̅ = 82 .5.+ 85. 10 + 87. 15 + 89 . 8 + 90. 4 
5 + 10 + 15 + 8 + 4 
 
x̅ = 86,6 
 
 
39 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
 
(3) Calcular os desvios di para a seguinte distribuição : 
 
 
Classes xi (PM) fi di di . fi 
35 |----- 45 40 2 -22,91 -45,82 
45 |----- 55 50 13 -12,91 -167,83 
55 |----- 65 60 20 -2,91 -58,20 
65 |----- 75 70 10 7,09 70,90 
75 |----- 85 80 7 17,09 119,63 
85 |----- 95 90 3 27,09 81,27 
 ∑ fi = 55 ∑ di = 12,55 ∑ di. fi = 0 
 
 
Onde x̅ = 40 .2 + 50 .13 + 60 .20 + 70 .10 + 80 .7 + 90 .3 
 2 + 13 + 20 + 10 + 7 + 3 
 
 x̅ = 3460 / 55 
 x̅ = 62,91 
 
9.3 DESVIO MÉDIO ( d ̅) 
 
O desvio médio d̅ é a média aritmética dos módulos dos desvios, isto é: 
 
 d̅ = ∑ di = ∑ xi - x̅ 
 n n 
 
Para uma distribuição de frequências (simples ou por classes), teremos: 
 
 
 d̅ = ∑ di . fi = ∑ xi - x̅ .fi 
 n n 
 
Exercício 
 
13-) Calcular o desvio médio para os exemplos (1), (2) e (3) anteriores. 
 
 
 
 9.4 VARIÂNCIA (V� ou s2) 
 
Variância da população é a soma dos quadrados dos desvios de cada 
observação em relação à média de “x” e divide-se por N. Indica-se a Variância 
da População por σ². 
Podemos fazer a mesma analogia com a Variância da Amostra dada por S². 
 
40 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
Variânciapara uma população: 
 
 
 
onde P�é a média populacional e N é o tamanho da população. 
 
 
Variância para uma amostra: 
 
 
 
 
 Onde x̅ é a média amostral e n é o tamanho da amostra. 
 
As equações anteriores para V� e s2 representam uma maneira de cálculo 
dessas medidas. 
 
Podemos também utilizar as seguintes equações: 
 
 
 
 
Como medida de dispersão, a Variância tem a desvantagem de apresentar como 
unidade de medida o quadrado da unidade de medida dos dados. Se os dados 
estão em metros, a Variância fica em metros quadrados. O desvio padrão por 
sua vez, fica com valor na mesma da unidade da variável. 
 
Obs: A variância sendo uma média de uma soma de quadrados é sempre maior 
ou igual a 0. Ela será nula se os valores dos dados são constantes. 
 
 
9.5 DESVIO PADRÃO (V�ou s) 
 
É a medida que determina a variação dos valores observados em torno da média 
da distribuição, e representa a distância do ponto de inflexão da curva até a linha 
da média. 
 
A partir da variância podemos calcular o desvio padrão como segue: 
 
 
 Desvio padrão da população: V =√V� 
 Desvio padrão da amostra: s = √s2 
 
 
σ² = ∑ (xi - µ)2 . fi 
 N 
s2 = ∑ (xi - x̅)2 .fi 
 n - 1 
 
σ² = ∑ fi(xi)2 – N. µ2 
 N 
 
s2 = ∑ fi(xi)2 – n. x̅2 
 n - 1 
 
41 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
9.6 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (cv) 
 
O coeficiente de variação cv é a razão entre o desvio padrão e a média 
aritmética. Esta medida é adimensional e geralmente é expressa em 
porcentagens. A equação para o seu cálculo é: 
 
�
��Para população��
�
�
��Para amostra�� 
 
 
 
 
Exercícios 
 
14-) (ICMS/MG) As alturas do jogadores de basquete da seleção brasileira são: 
1,98m; 2,04m; 2,06m; 2,02m e 2,05m. A média de altura dessa seleção e m, é 
de: 
 
a) 2,01 b) 2,02 c) 2,03 d) 2,04 e) 2,05 
 
15-) (TTN) Assinale a alternativa correta, considerando a série: 8,5,14,10,8 e15. 
 
a) A média aritmética é 10 e a mediana é 12. 
b) A amplitude total é 7 e a moda é 8. 
c) A mediana é 9 e a amplitude total é 10. 
d) A média aritmética é 1 e a amplitude total é 7. 
e) A mediana é 12 e a amplitude total é 7. 
 
16-) (ICMS/MG) Na série composta de notas de Estatística: 4,5,7,8,5,5,6,8,6. A 
média aritmética simples, a mediana e a moda são, respectivamente: 
 
a) 6,5 e 4 
b) 6,6 e 5 
c) 6,6 e 6 
d) 6,5 e 5 
e) 7,6 e 5 
 
cv = V��������
���������P 
 
cv = s��������
����������x̅ 
 
42 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
 
17-) (ICMS/MG) Dados os conjuntos de valores: 
 A = {1,1,2,3,4,5,5,8,8,8,9,10} 
 B = {6,7,8,9,10,11,12} 
 C = {1,2,4,4,4,4,5,8,9,9,9,9,10} 
 Em relação a moda, afirmamos que: 
I- A é unimodal, e a moda é 8 
II- B é unimodal, e a moda é 9 
III- C é bimodal, e as modas são 4 e 9. 
 Então, em relação as afirmativas, é correto dizer que: 
a) Todas são verdadeiras 
b) Todas são falsas 
c) Somente I e II são verdadeiras 
d) Somente I e III são verdadeiras 
e) Somente II e III são verdadeiras 
 
18-) (AFRF/05) Para dados agrupados representados por uma curva de 
frequências, as diferenças entre os valores da média, da mediana e da moda 
são indicadores da assimetria da curva. Indique a relação entre essas medidas 
de posição para uma distribuição negativamente assimétrica. 
a) A média apresenta o maior valor e a mediana se encontra abaixo da 
moda. 
b) A moda apresenta o maior valor e a média se encontra abaixo da 
mediana. 
c) A média apresenta o menor valor e a mediana se encontra abaixo da 
moda. 
d) A média, a mediana e a moda são coincidentes. 
e) A moda apresenta o menor valor e a mediana se encontra abaixo da 
média. 
 
19-) (TRF/06) Considere a seguinte distribuição das frequências absolutas dos 
salários mensais em R$, referente a 200 trabalhadores de uma indústria (os 
intervalos são fechados à esquerda e abertos à direita). 
Classes de Salários Frequências 
Absolutas 
De R$ 400 até R$ 500 50 
De R$ 500 até R$ 600 70 
De R$ 600 até R$ 700 40 
De R$ 700 até R$ 800 30 
De R$ 800 até R$ 900 10 
 
 Sobre essa distribuição de salários é correto afirmar que: 
a) O salário modal encontra-se na classe de R$800 até R$900 
b) O salário mediano encontra-se na classe de R$600 até R$700 
c) O salário modal encontra-se na classe de R$600 até R$700 
d) O salário modal encontra-se na classe de R$700 até R$800 
e) O salário mediano encontra-se na classe de R$500 até R$600. 
 
 
43 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
20-) (ICMS/MG) O quadro abaixo nos mostra a distribuição dos erros cometidos 
por 20 alunos numa prova de português. O valor do desvio médio dessa 
distribuição é: 
 
N0 DE ERROS 
(xi) 
N0 DE ALUNOS 
(fi) 
1 2 
2 6 
3 5 
4 4 
5 3 
 
a) 1,0 
b) 1,5 
c) 2,0 
d) 2,5 
e) 3,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito 
14 -- C 
15 -- C 
16 -- B 
17 -- D 
18 – B e C 
19 -- E 
20 – A 
 
 
44 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
21-) (TRF) Considere os seguintes conjuntos de observações referentes a cinco 
diferentes variáveis: 
 T: 10;10;10;10;10;8 
 V: 10;10;10;10;8;8 
 X: 10;10;10;8;8;8 
 Y: 10;10;8;8;8;8 
 Z: 10;8;8;8;8;8 
 
 O conjunto de observações que apresenta a maior variabilidade, medida pelo 
desvio padrão, é o referente à variável: 
 
a) Y 
b) T 
c) V 
d) X 
e) Z 
 
22-) (AFRF/02) Numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 
1000 indivíduos, produziu a tabela de frequências abaixo: 
 
Classes Frequência (f) 
29,5 |----- 39,5 4 
39,5 |----- 49,5 8 
49,5 |----- 59,5 14 
59,5 |----- 69,5 20 
69,5 |----- 79,5 26 
79,5 |----- 89,5 18 
89,5 |----- 99,5 10 
 
Assinale a opção que corresponde ao desvio absoluto médio. 
a) 16,0 
b) 17,0 
c) 16,6 
d) 18,1 
e) 13,0 
 
23-) (AFRF/09) Considere a seguinte amostra aleatória das idades em anos 
completos dos alunos em um curso preparatório. Com relação a essa amostra, 
marque a única opção correta: 
29,27,25,39,29,27,41,31,25,33,27,25,25,23,27,27,32,26,24,36,32,26,28,24,28, 
27,24,26,30,26,35,26,28,34,29,23,28. 
 
a) A média e a mediana das idades são iguais a 27. 
b) A moda e a média das idades são iguais a 27. 
c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08. 
d) A média das idades é 27 e o desvio padrão é 1,074. 
e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27. 
 
45 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
24-) Calcular, média, moda, mediana, quartil 1 e 3, decil 1 e 9 , variância, desvio 
padrão, desvio médio absoluto, coeficiente de variação e variância relativa: 
 
Classe f 
2 |----- 4 2 
4 |----- 6 6 
6 |----- 8 5 
8 |----- 10 4 
10 |----- 12 3 
 
 
25-) Calcular, média, moda, mediana, quartil 1 e 3, decil 1 e 9 , variância, desvio 
padrão, desvio médio absoluto, coeficiente de variação e variância relativa: 
 
 
Classe f 
2 |----- 4 11 
4 |----- 6 10 
6 |----- 8 11 
8 |----- 10 4 
10 |----- 12 4 
 
26-) Calcular, média, moda, mediana, quartil 1 e 3, decil 1 e 9 , variância, desvio 
padrão, desvio médio absoluto, coeficiente de variação e variância relativa: 
 
 
Classe f 
4 |----- 6 8 
6 |----- 8 10 
8 |----- 10 20 
10 |----- 12 30 
12 |----- 14 20 
 
27-) Calcular, média, moda, mediana, quartil 1 e 3, decil 1 e 9 , variância, desvio 
padrão, desvio médio absoluto, coeficiente de variação e variância relativa: 
 
 
Classe f 
2 |----- 4 7 
4 |----- 6 9 
6 |----- 8 18 
8 |----- 10 10 
10 |----- 12 6 
 
 
46 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
28-) Calcular, média, moda, mediana, quartil 1 e 3, decil 1 e 9 , variância, desvio 
padrão, desvio médio absoluto, coeficientede variação e variância relativa: 
 
 
Classe f 
2 |----- 4 9 
4 |----- 6 12 
6 |----- 8 6 
8 |----- 10 2 
10 |----- 12 1 
 
 
29-) Calcular, média, moda, mediana, quartil 1 e 3, decil 1 e 9 , variância, desvio 
padrão, desvio médio absoluto, coeficiente de variação e variância relativa: 
 
 
Classe f 
4 |----- 6 6 
6 |----- 8 8 
8 |----- 10 12 
10 |----- 12 10 
12 |----- 14 4 
 
30-) Calcular, média, moda, mediana, quartil 1 e 3, decil 1 e 9 , variância, desvio 
padrão, desvio médio absoluto, coeficiente de variação e variância relativa: 
 
 
Classe f 
45 |----- 55 3 
55 |----- 65 7 
65 |----- 75 4 
75 |----- 85 5 
85 |----- 95 1 
 
31-) Calcular, média, moda, mediana, quartil 1 e 3, decil 1 e 9 , variância, desvio 
padrão, desvio médio absoluto, coeficiente de variação e variância relativa: 
 
 
Classe f 
9 |----- 19 10 
19 |----- 29 20 
29 |----- 39 40 
39 |----- 49 20 
49 |----- 59 10 
 
 
47 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
32-) Calcular, média, moda, mediana, quartil 1 e 3, decil 1 e 9 , variância, desvio 
padrão, desvio médio absoluto, coeficiente de variação e variância relativa: 
 
 
Classe f 
50 |----- 60 15 
60 |----- 70 20 
70 |----- 80 30 
80 |----- 90 20 
90 |----- 100 15 
 
33-) Calcular, média, moda, mediana, quartil 1 e 3, decil 1 e 9 , variância, desvio 
padrão, desvio médio absoluto, coeficiente de variação e variância relativa: 
 
 
Classe f 
20 |----- 30 10 
30 |----- 40 20 
40 |----- 50 25 
50 |----- 60 20 
60 |----- 70 10 
 
34-) Calcular, média, moda, mediana, quartil 1 e 3, decil 1 e 9 , variância, desvio 
padrão, desvio médio absoluto, coeficiente de variação e variância relativa: 
 
 
Classe f 
50 |----- 58 10 
58 |----- 66 15 
66 |----- 74 25 
74 |----- 82 24 
82 |----- 90 16 
90 |----- 98 10 
 
35-) Calcular, média, moda, mediana, quartil 1 e 3, decil 1 e 9 , variância, desvio 
padrão, desvio médio absoluto, coeficiente de variação e variância relativa: 
 
 
Classe f 
2 |----- 4 6 
4 |----- 6 10 
6 |----- 8 14 
8 |----- 10 6 
10 |----- 12 4 
 
 
48 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
36-) Calcular, média, moda, mediana, quartil 1 e 3, decil 1 e 9 , variância, desvio 
padrão, desvio médio absoluto, coeficiente de variação e variância relativa: 
 
 
Classe f 
2 |----- 4 20 
4 |----- 6 15 
6 |----- 8 35 
8 |----- 10 20 
10 |----- 12 10 
 
37-) Calcular, média, moda, mediana, quartil 1 e 3, decil 1 e 9 , variância, desvio 
padrão, desvio médio absoluto, coeficiente de variação e variância relativa: 
 
 
Classe f 
2 |----- 4 5 
4 |----- 6 5 
6 |----- 8 10 
8 |----- 10 30 
10 |----- 12 20 
12 |----- 14 25 
14 |----- 16 5 
 
 
 
38-) (PUC-SP) O histograma abaixo apresenta a distribuição de frequência das 
faixas salariais numa pequena empresa. 
 
 
 
49 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
Com os dados disponíveis, pode-se concluir que a média desses salários é , 
aproximadamente: 
 
a) R$ 420,00 
b) R$ 536,00 
c) R$ 562,00 
d) R$ 640,00 
e) R$ 708,00 
 
 
 
 
39-) Numa escola, o professor de educação física mediu as alturas de 100 alunos 
do sexo masculino e construiu a seguinte distribuição de frequências: 
 
 
Alturas 
(em cm) 
Número de 
estudantes 
150 |----- 158 5 
158 |----- 166 15 
166 |----- 174 48 
174 |----- 182 25 
182 |----- 190 7 
 
 Pede-se: 
 a) Variância 
b) Desvio padrão 
c) Histograma 
 
40-) Qual a Variância e o Desvio Padrão para a distribuição da seguinte tabela? 
 
Número de 
pessoas 
Idade 
5 22 
3 14 
6 18 
1 28 
4 21 
8 20 
 
a) 7,85 e 3 respectivamente 
b) 8,15 e 2,9 respectivamente 
c) 8,5 e 3,1 respectivamente 
d) 8,75 e 2,5 respectivamente 
e) 8,06 e 2,8 respectivamente 
 
50 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
 
GABARITO 
 
21 D 
22 E 
23 E 
24 Média = 7 
 Moda = 5,6 
 Mediana = 6,8 
 Q1 = 5 
 Q3 = 9 
 D1 = 4 
 D9 = 10,66 
 Variância = 6 
 Desvio padrão = 2,45 
 Desvio médio = 2 
 Coeficiente de variação = 0,3499 
 Variância relativa = 0,1224 
 
25 Média = 6 
 Moda = 3,83 e 6,25 
 Mediana = 5,8 
 Q1 = 3,82 
 Q3 = 7,63 
 D1 = 2,72 
 D9 = 10 
 Variância = 6,4 
 Desvio padrão = 2,53 
 Desvio médio = 2,15 
 Coeficiente de variação = 0,4216 
 Variância relativa = 0,1778 
 
26 Média = 10 
 Moda = 11 
 Mediana = 10,4 
 Q1 = 8,4 
 Q3 = 11,87 
 D1 = 6,16 
 D9 = 13,12 
 Variância = 5,91 
 Desvio padrão = 2,43 
 Desvio médio = 2,05 
 Coeficiente de variação = 0,2431 
 Variância relativa = 0,0591 
 
51 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
 27 Média = 6,96 
 Moda = 7,06 
 Mediana = 7 
 Q1 = 5,22 
 Q3 = 8,7 
 D1 = 3,42 
 D9 = 10,33 
 Variância = 5,68 
 Desvio padrão = 2,38 
 Desvio médio = 1,81 
 Coeficiente de variação = 0,3424 
 Variância relativa = 0,1172 
 
28 Média = 5,27 
 Moda = 4,67 
 Mediana = 5 
 Q1 = 3,64 
 Q3 = 6,5 
 D1 = 2,66 
 D9 = 8 
 Variância = 4,2 
 Desvio padrão = 2,05 
 Desvio médio = 1,57 
 Coeficiente de variação = 0,3889 
 Variância relativa = 0,1513 
 
29 Média = 8,9 
 Moda = 9,33 
 Mediana = 9 
 Q1 = 7 
 Q3 = 10,8 
 D1 = 5,33 
 D9 = 12 
 Variância = 5,79 
 Desvio padrão = 2,41 
 Desvio médio = 1,93 
 Coeficiente de variação = 0,2704 
 Variância relativa = 0,0731 
30 Média = 67 
 Moda = 60,71 
 Mediana = 65 
 Q1 = 57,85 
 Q3 = 77 
 D1 = 51,66 
 D9 = 83 
 Variância = 131 
 Desvio padrão = 11,45 
 Desvio médio = 10 
 Coeficiente de variação = 0,1708 
 Variância relativa = 0,0292 
52 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
31 Média = 34 
 Moda = 34 
 Mediana = 34 
 Q1 = 27 
 Q3 = 42 
 D1 = 19,5 
 D9 = 49,5 
 Variância = 120 
 Desvio padrão = 10,95 
 Desvio médio = 8 
 Coeficiente de variação = 0,3175 
 Variância relativa = 0,1008 
 
32 Média = 75 
 Moda = 75 
 Mediana = 75 
 Q1 = 65 
 Q3 = 85 
 D1 = 56,66 
 D9 = 93,33 
 Variância = 160 
 Desvio padrão = 12,65 
 Desvio médio = 10 
 Coeficiente de variação = 0,1680 
 Variância relativa = 0,0284 
 
33 Média = 45 
 Moda = 45 
 Mediana = 45Q1 = 35,625 
 Q3 = 54,375 
 D1 = 28,5 
 D9 = 61,5 
 Variância = 141,18 
 Desvio padrão = 11,88 
 Desvio médio = 9,41 
 Coeficiente de variação = 0,2640 
 Variância relativa = 0,0697 
34 Média = 74,08 
 Moda = 73,27 
 Mediana = 74 
 Q1 = 66 
 Q3 = 82,5 
 D1 = 58 
 D9 = 90 
 Variância = 132,47 
 Desvio padrão = 11,51 
 Desvio médio = 9,68 
 Coeficiente de variação = 0,1554 
 Variância relativa = 0,0241 
53 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
35 Média = 6,6 
 Moda = 6,66 
 Mediana = 6,57 
 Q1 = 4,8 
 Q3 = 8 
 D1 = 3,33 
 D9 = 10 
 Variância = 5,44 
 Desvio padrão = 2,33 
 Desvio médio = 1,88 
 Coeficiente de variação = 0,3534 
 Variância relativa = 0,1249 
 
36 Média = 6,7 
 Moda = 7,14 
 Mediana = 6,85 
 Q1 = 4,66 
 Q3 = 8,5 
 D1 = 3 
 D9 = 10 
 Variância = 6,11 
 Desvio padrão = 2,47 
 Desvio médio = 1,99 
 Coeficiente de variação = 0,3689 
 Variância relativa = 0,1361 
 
37 Média = 10 
 Moda = 9,33 
 Mediana = 10 
 Q1 = 8,33 
 Q3 = 12,4 
 D1 = 6 
 D9 = 13,6 
 Variância = 8,6 
 Desvio padrão = 2,93 
 Desvio médio = 2,4 
 Coeficiente de variação = 0,2933 
 Variância relativa = 0,0860 
 
38 E 
39 Variância = 55,07 Desvio Padrão = 7,42 
40 E 
 
54 
 
 Marco Antônio Santoro Bara 
10.0 PROBABILIDADE 
 
O problema fundamental da estatística consiste em trabalhar com o acaso e a 
incerteza. 
 
Chama-se probabilidade de um acontecimento a razão entre o número de casos