Matemática para negócio 1 a 10

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Matemática para negócio
Aula 1: Teoria de conjuntos
Teoria dos Conjuntos Numéricos
	SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
	=
	
igual à
	≠
	
diferente de
	∅ ou { }
	conjunto vazio
	∈
	pertence à
	∉
	não pertence à
	⊂
	está contido
	⊄
	não está contido
	⊃
	contém
	⊅
	não contém
	∃
	existe pelo menos um
	∄
	não existe
	∃|
	existe e é único
	|
	
tal que / tais que
	∨
	ou
	∧
	e
	A ∩ B
	
interseção dos conjuntos A e B
	A ∪ B
	união dos conjuntos A e B
	∀
	para todo e qualquer, qualquer que seja
	⇒
	implica
	⇔
	implica e a recíproca é equivalente
	∴
	donde se conclui
Conjuntos numéricos são certos conjuntos cujos elementos são números que guardam entre si alguma característica comum. Tais conjuntos possuem elementos perfeitamente caracterizados e, dentre eles, o conjunto dos números naturais, dos inteiros, dos racionais, dos irracionais e, por fim, o dos números reais.
Aula 2: Potenciação, radiciação, intervalos numéricos e fatoração.
Potenciação e radiciação de números fracionários
Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo:
Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo a seguir:
Potenciação de Radicais
Observando as potências, temos que:
De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele expoente, conforme o exemplo abaixo:
Divisão de Radicais
Segundo as propriedades dos radicais, temos que:
De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, mantemos o índice e dividimos os radicais. Veja a seguir:
Racionalização de denominadores
Potência com expoente racional
Observe as seguintes igualdades:
Igualmente, podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical.
Intervalos 
Os intervalos podem ser:
Existem ainda os intervalos infinitos:
Fatoração
Decomposição em fatores primos
Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores. Vejamos a aplicação desse conceito com a decomposição do número 24 num produto:
Aula 3: Equações e inequações do 1° grau 
Equação geral do primeiro grau
Raízes de uma equação
Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados de raízes da equação. Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte sequência:
Inequações
Inequação é uma sentença matemática com uma ou mais incógnitas expressas por uma desigualdade, diferente da equação que representa uma igualdade. Elas são representadas através de relações que não são de equivalência. Portanto, inequação do 1º:
Entendendo na prática!
1 - Vamos resolver a inequação 4(x + 1) – 5 ≤ 2(x + 3): (a solução será representada por S).
2- Vamos resolver as inequações simultâneas 
1 ≤ 2x + 3 < x + 5 (são duas inequações simultâneas)
Aula 4 - Razão e Proporção, Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais, Operações com Porcentagens
RAZÃO 
Sejam dois números reais a e b, com b ≠ 0. Chama-se razão entre a e b, ou seja:
Proporção
Aula 5 - Função de custo: custo fixo, custo variável, custo no gráfico 
Custos 
Conhecer custo é uma condição essencial para administrar uma empresa, seja ela de pequeno, médio ou grande porte. Em um mercado altamente competitivo, o conhecimento e a arte de administrar são fatores determinantes de sucesso de uma empresa.
Os custos de uma empresa resultam da combinação de uma série de fatores: a capacitação tecnológica e produtiva relativa aos processos, produtos e gestão; nível de atualização da estrutura organizacional e a qualificação da mão de obra.
Uma empresa apura seus custos com vistas:
Ao atendimento de exigência legais quanto a apuração dos resultados de suas atividades e avaliação de estoques.
Ao conhecimento dos custos para a tomada de decisões corretas.
O que é custo?  é a soma dos valores de bens e serviços consumidos e aplicados para obter um novo produto ou serviço.
Os três componentes básicos do custo são:
Custos Fixos
São aqueles que ocorrem em função da manutenção da produção, independente da quantidade que venha a ser produzida dentro da capacidade instalada.
Exemplos desses custos são o custo de aluguel, os salários do pessoal administrativo, honorários pagos ao escritório de contabilidade e a depreciação.
Assim, tanto faz produzir zero ou dez toneladas de produto, os custos fixos permanecerão os mesmos. Por exemplo, o aluguel pago para a utilização de um ponto comercial, independentemente do fato da empresa estar produzindo ou parada, ou de estar produzindo maior ou menor quantidade de bens ou serviços. O gráfico, a seguir, ilustra o custo fixo:
Espera-se que, quanto mais próximo do volume máximo de produção, menor seja o custo unitário produzido, devido à economia de escala proporcionada.
Observe no gráfico a seguir que a reta do custo fixo unitário não começa no zero, mas na primeira unidade produzida, pois nesse volume de produção é ela que absorve todo o custo.
Custos Variáveis
São aqueles que aumentam ou diminuem, conforme o volume de produção.
São exemplos desse comportamento os custos da matéria-prima (quanto mais se produz, maior a necessidade, portanto maior o custo) e da energia elétrica (quanto mais se produz, maior o número de máquinas e equipamentos elétricos, consequentemente maiores o consumo e o custo).
A representação gráfica do custo variável total é:	
Em razão do comportamento dos custos variáveis, espera-se que cada unidade produzida tenha o mesmo custo. No gráfico a seguir, temos uma representação para o custo variável unitário.
Observe que a reta do custo variável unitário não inicia no zero, mas em uma unidade, pois na quantidade zero não ocorrem custos variáveis.
Custo total - É a soma dos custos fixos mais os variáveis.
A sua representação gráfica é:
Função
Função de custo
A função custo está relacionada aos gastos efetuados por uma empresa, indústria ou loja, na produção ou aquisição de algum produto. Como vimos, o custo possui duas parcelas: uma fixa e outra variável. Podemos representar uma função custo usando a seguinte expressão:
C(x) = Cf + Cv
Onde Cf: custo fixo e Cv: custo variável
Função Receita
A função receita está ligada ao faturamento bruto de uma entidade, dependendo do número de vendas de determinado produto.
R(x) = px, onde p: preço de mercado e x: nº de mercadorias vendidas.
Função Lucro
A função lucro diz respeito ao lucro líquido das empresas, lucro oriundo da subtração entre a função receita e a função custo.
L(x) = R(x) – C(x)
Aula 6 – Função linear, gráfico no plano cartesiano, função crescente, função decrescente 
Funções
As funções são utilizadas em diversos setores da economia, por exemplo, nos valores pagos em um determinado período de um curso. O valor a ser pago vai depender da quantidade de disciplinas em que o aluno está matriculado. Assim, imagine que:
X = valor de disciplinas 
Y = valor total ao ser pago no período
Então temos y = f(x)
Exemplo 
F(x) = 5x – 3
F(x) = 2x – 7 
F(x) = x/3 + 2/5
F(x) = 11x 
Plano cartesiano
Como podemos observar, uma reta real é uma reta orientada ou um eixo que cada ponto está associado a um único número real e vice-versa.
 
 
Representação gráfica das funções Crescente e Decrescente
O gráfico de uma função de 1° grau, y = ax + b, com a ≠ 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Vejamos um exemplo:
Variação de sinal da Função de 1° Grau
Estudar o sinal de uma função qualquer y = f(x) é determinar os valores de x, em que y é positivo, os valores de x em que y é zero e os valores de xem que y é negativo.
Consideremos uma função y = ax + b, vamos estudar seu sinal.Sabemos que essa função se anula para x = -b/a (raiz). Há dois casos possíveis:
Aula 7 – Função receita, função lucro e ponto de equilíbrio 
Função receita e função lucro
O preço do aluguel corresponde à quinta parte do salário de João; as despesas com alimentação e transporte correspondem a dois sétimos.
Vamos determinar qual é o salário que João deve receber a fim de que, descontadas todas as despesas, sobre a ele, no mínimo, R$ 540,00. 
Salário = (1/5) + (2/7) + 540 -> 540 = {1 – [(1/5) + (2/7)]} do salário
Logo: 540 = (18/35) do salário -> salário = (540/18) * 35 = 1.050
Assim, o salário que João deve receber é de R$ 1.050,00
Ponto de equilíbrio
O ponto de equilíbrio é o ponto onde a oferta é igual à demanda.
Oferta -> É a capacidade produtiva das empresas de colocar produtos no mercado.
Demanda -> É o mercado consumidor, ou seja, os clientes procurando os produtos para satisfazer as suas necessidades.
A análise do Ponto de Equilíbrio é apenas um guia que evidencia o relacionamento existente entre os fatores que afetam o lucro. Tem grande importância para a decisão gerencial, mas é preciso levar em conta que suas premissas são difíceis de se realizar na vida real.
O cálculo do ponto de equilíbrio pode ser feito por três métodos:
Método da equação
Esse método segue a equação:
Método da margem de contribuição
Utiliza a margem de contribuição por unidade de saída de produção necessária para calcular o ponto de equilíbrio.
Método gráfico
As unidades de venda são representadas no eixo horizontal e os valores monetários no eixo vertical.
Aula 8 – Receitas quadrática, função lucro quadrática, função quadrática e inequação do 2 ° grau
Função quadrática
Para definirmos a função quadrática, vamos analisar a situação
a seguir.
Imagine que um clube dispõe de um campo de futebol de 100m de comprimento por 70m de largura e, por medida de segurança, decidiu cercá-lo, deixando o campo e a cerca, uma pista com 3m de largura.
Vamos determinar qual é a área do terreno limitado pela cerca!
Função Lucro
Observe a situação a seguir:
Um grupo de estudantes resolveu montar uma pequena indústria de estampas em camisas. Para tornar o negócio rentável, é preciso levantar os custos de produção e conhecer o número provável de camisetas vendidas. Esta última estimativa pode ser obtida por meio de uma pesquisa de mercado e depende do preço de venda de cada camiseta.
O grupo levantou os seguintes custos:
Vamos determinar o custo C para estampar x camisetas.
O custo C para estampar x camisetas é dado por:
C(x) = 1650 + 7,50x.
Aula 9 – Limites de uma função
Limite da função em um ponto 
O estudo dos limites verifica qual o comportamento da função y = f(x) quando x está próximo de um ponto p. Dizer que o limite de uma função y = f(x), em um ponto p, é um número L, podemos dizer que à medida que x se aproxima de p os valores da função aproximam-se do número L.
Vejamos na prática!
Situação 1: Vamos determinar como se comportam os valores da função y = 3x + 5 quando x se aproxima do ponto p = 4.
O estudo dos limites verifica qual o comportamento da função y = f(x) quando x está próximo de um ponto p.
Dizer que o limite de uma função y = f(x), em um ponto p, é um número L, podemos dizer que à medida que x se aproxima de p os valores da função aproximam-se do número L.
Situação 2: Seja a função f(x)=2x+1. Vamos determinar como se comportam os valores da função f(x) quando x se aproxima do ponto p = 1.
Vamos atribuir a x valores que se aproximam de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y ou f(x):
Notamos que, à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1  (x -> 1), y tende para 3 (y -> 3), ou seja:
Quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3.
Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x 1).
Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x)3), dizemos que o limite de f(x).
Quando x 1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3.
De forma geral, escrevemos:
Propriedades dos limites
Vejamos na prática!
Situação 1: Vamos determinar como se comportam os valores da função , quando x se aproxima do ponto p=2.
Lembramos que, pela propriedade do limite do quociente de funções, o resultado é o quociente dos limites das funções.
Verificamos ainda que x se aproxima do ponto p=2:
• (x-2) se aproxima de zero
• (x+1) se aproxima de 3
Portanto, o limite da função  estará se aproximando do quociente dos limites de (x-2) e de (x+1) no ponto p=2, ou seja, será igual a: 0/3 = 0.
Situação 2: Vamos determinar como se comportam os valores da função y = (x+4).(x2 – 2x) quando x se aproxima do ponto x=3.
Lembramos que, pela propriedade do limite do produto de funções, o resultado é o produto dos limites das funções.
Verificamos ainda que x se aproxima do ponto p=3:
• (x+4) se aproxima de 7
• (x2 – 2x) se aproxima de 3
Portanto,  o limite da função  y = (x + 4).(x2 – 2x) estará se aproximando do produto dos limites de (x + 4) e de (x2 – 2x) no ponto p=3, ou seja, será igual a: 7.3 = 21
Situação 3: Vamos determinar como se comportam os valores da função  quando x se aproxima do ponto p=2.
Lembramos que, pela propriedade do limite do quociente de funções, o resultado é o quociente dos limites das funções.
Verificamos ainda que x se aproxima do ponto p=2:
• (x2 - 4) se aproxima de zero
• (x - 2) se aproxima de zero
Portanto, o limite da função  aproxima-se de uma fração do tipo 0/0. Logo, não podemos aplicar a propriedade do quociente dos limites.
Para resolver essa questão, vamos construir duas tabelas de valores que se aproximam à esquerda e à direita do ponto p=2.
Vamos procurar concluir para que valor a expressão realmente converge.
Portanto, podemos concluir que, à medida que x se aproxima de 2, os valores de y é  aproximam-se do valor L=4.
Aula 10 – Derivadas 
Derivada da Função Potência
A derivada da função potência pode ser usada em diferentes contextos.
Derivada de uma função
Para realizar a diferenciação da derivada de uma função, deve-se seguir algumas regras. São elas:
Derivadas
Uma função y=f(x) tem como derivada a representação y’. As regras de derivação são bem simples:
Derivada da Função Potência
Taxa Média de Variação de uma função y = f(x) no intervalo [a, b].
Quando a variável x passa do valor a para o valor b, variando ∆ x = b – a, os valores da função y = f(x) passam de y = f(a) para  y= f(b), variando ∆ y = f(b) - f(a).
A divisão da variação (∆ y de y) pela variação (∆ x de x) é a taxa média de variação (TMV) dessa função no intervalo[a, b]:
Vejamos na prática!
Vamos calcular e interpretar o valor da taxa média de variação da função y = x² + 1 no intervalo [1, 3].
Para a = 1 e b = 3 → ∆ x = 3 – 1 = 2
y = f(3) = 9 + 1 = 10
y = f(1) = 1 + 1 = 2
No intervalo [1, 3] a função y = x² + 1 está crescendo, em média, 4 para cada unidade acrescida em x.
Cálculo da Derivada em um Ponto
Para compreendermos como determinar a derivada em um ponto, vamos calcular o valor da derivada de y = 3x2 + 10x – 50 no ponto p = 0,8 e interpretar o resultado obtido.
y = 3x2 + 10x – 50 no ponto p=0,8
Cálculo da função derivada: y’= 6x + 10
Cálculo do valor da função derivada no ponto p=0,8:
y’ (0,8) = 6(0,8) + 10 = 14,8
Interpretação:
no ponto p=0,8 a tendência da função y = 3x2 + 10x – 50 é crescer 14,8.
Derivada do Produto de Duas Funções:  y = f(x) . g(x)
Seja a função:
Vamos calcular a derivada da função y = (x + 1).(x – 3x), x ∈ 𝑹
f(x) = x + 1 ; g(x) = x² - 3x
(x) = 1;   g’(x) = 2x – 3
Correção:
Então: y’ = (x + 1)’ . (x² – 3x) + (x + 1) . (x² - 3x)’ = 1 . (x² - 3x) + (x + 1) . (2x – 3) = x² –3x + 2x² + 2x – 3x – 3 = 3x² – 4x – 3,  x ∈ R
Derivada do Quociente de duas funções
É determinada pelas funções:Vejamos alguns exemplos:
Vamos calcular a derivada da função y = x / (x+1) , x ≠ − 1
f(x) = x  ;  g(x) = x+1
f’(x) = 1  ;  g’(x) = 1
y = f/g → y’ = (f’ . g – f . g’) / g²
y'=[x+1)-x]/(x+1)²=1/(x+1)² para x ∈ 0
Vamos calcular a derivada da função y = 5x / (x2 + 4), x ∈ R
f(x) = 5x ; g(x) = x² + 4
f’(x) = 5 ; g’ (x) = 2x
y = f / g → y’ = (f’ . g – f . g’) / g²
(f/g)’ = [(5) (x² + 4) – (5x) (2x) ] / (x² + 4)² = 
(5x² + 20 - 10x²) / (x² + 4)² = (20 – 5x²) / (x² + 4)² , x ∈ R