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RACIOCÍNIO LÓGICO, CRÍTICO E ANALÍTICO CONTÁBIL AULA 5 Prof.ª Aline Purcote 2 CONVERSA INICIAL Muitas situações nas áreas de administração e ciências contábeis podem ser representadas por funções matemáticas. Mas, o que é função? Ela está presente sempre que relacionamos duas grandezas variáveis como: número de litros de combustível e preço a pagar; tempo e distância percorrida em uma viagem; e número de peças produzidas e o custo. Acrescentam-se inúmeros exemplos de nosso cotidiano dentro e fora das organizações. Nesta aula, estudaremos os principais conceitos envolvendo funções, além das funções composta, inversa, linear, afim, constante, quadrática, exponencial e logarítmica. Veremos também onde e como aplicá-las. CONTEXTUALIZANDO Diariamente nos deparamos com funções matemáticas: quando vamos ao supermercado, o preço a pagar por uma compra depende dos produtos selecionados; o valor gasto para encher o tanque de combustível é determinado pela quantidade de litros abastecidos; o salário de um vendedor comissionado está relacionado às vendas realizadas no mês; e o imposto de renda que pagamos varia conforme o salário. Logo, o conceito de funções está presente em nosso cotidiano e em diferentes áreas. As funções descrevem ainda a trajetória de objetos, como uma bola de futebol que realiza um movimento que acompanha uma parábola. Problemas relacionados a juros compostos, crescimento populacional, decaimento exponencial, prazo de uma aplicação financeira ou o tempo relativo ao crescimento da população também são exemplos de aplicações das funções. Saiba mais Vamos entender mais sobre as funções? Confira, então, os seguintes vídeos e os respectivos endereços eletrônicos: “Conceito de função”: <https://www.youtube.com/watch?v=72q6cBnmLvQ>. “Noção de função”: <https://www.youtube.com/watch?v=84VbUs8GNfg>. 3 TEMA 1 – FUNÇÕES Anteriormente, estudamos os principais conceitos envolvendo conjuntos, e agora vamos utilizá-los para definir funções. Uma função está presente sempre que relacionamos duas grandezas variáveis. Segundo Rodrigues (2010), considerando dois conjuntos A e B não vazios e f a relação entre eles, se todos os elementos x de A estiverem associados a um único elemento y de B, dizemos que essa relação é uma função. De acordo com Macedo, Castanheira e Rocha (2006), chama-se função ou aplicação de A em B, representada por f: A → B; y = f(x), qualquer relação binária que associa a cada elemento de A um único elemento em B. Em algumas situações, temos relações que não são funções. Isso ocorre sempre que um valor da variável x estiver associado a dois ou mais valores ou quando algum valor de x não estiver relacionado, ou seja, algum elemento do conjunto A não tiver correspondente em B. Uma função pode ser representada por y = f(x), indicando que y está associado a x por meio da função f. A variável y é chamada de variável dependente, pois é uma consequência do valor de x, ou seja, y depende de x. Já a variável x é chamada de variável independente, que assume os possíveis valores do conjunto A. O conjunto A formado pelos possíveis valores da variável independente x recebe o nome de domínio, representado pela letra D. O conjunto B representa o conjunto das variáveis dependentes e chamamos de contradomínio 4 (representado por CD). Todos os elementos do contradomínio que se relacionam ao domínio formam o conjunto Imagem (Im). A lei que define como os elementos do domínio estão relacionados com o contradomínio é denominada lei de formação ou de associação de uma função. Exemplo: Dados os conjuntos A = {-2,-1,0,1} e B = {-5, -2, 1, 4, 5, 6} e a relação f(x) = 3x + 1, determinar o domínio, o contradomínio e a imagem. O domínio é o conjunto A formado pelos valores de x, já o contradomínio é o conjunto B que possui os valores de y. Assim: D(f) = A = {-2,-1,0,1} CD (f) = B = {-5, -2, 1, 4, 5, 6} Para encontrarmos o conjunto imagem valor, substituir os valores de x do conjunto A na relação f(x) = 3x + 1: A = {-2,-1,0,1} f(-2) = 3.(-2) +1 = - 5 f(-1) = 3.(-1) + 1 = -2 f(0) = 3.(0) + 1 = 1 f(1) = 3.(1) + 1 = 4 Assim: Im(f) = { -5, -2, 1, 4} Considerando que domínio e contradomínio pertencem ao conjunto dos números reais, precisamos avaliar algumas situações, pois há certas operações que não são realizadas no conjunto dos números reais. Dessa forma, avaliamos e determinamos o domínio de uma função levando em consideração as seguintes situações: 5 1. Caso o domínio da função não seja dado, consideramos que o domínio é o conjunto dos números reais; 2. Caso seja dado um intervalo de validade da variável x, este será o domínio da função. Exemplo: f(x) = 4x – 2 com 0 ≤ x ≤ 6. 3. Caso a variável independente esteja no denominador de uma fração, precisamos lembrar que o denominador deve ser ≠ 0. Exemplo: 5 8 )( x xf Como o denominador precisa ser diferente de zero, temos que: x – 5 ≠ 0. Isolando o x, temos que x ≠ 5, ou seja, x precisa ser diferente de 5. Logo, o domínio será: D(f) = {x R | x ≠ 5} 4. Caso a variável independente esteja em um radical de índice par, devemos lembrar que o radicando precisa ser maior ou igual a zero, conforme estudamos anteriormente. Exemplo: 153)( xxf Como o radicando precisa ser maior ou igual a zero, temos: 3x – 15 ≥ 0 3x ≥ 15 3 15 x x ≥ 5 Logo, o domínio será: D(f) = {x R | x ≥ 5}. As funções podem ser classificadas em sobrejetora, injetora e bijetora: Sobrejetora: quando o conjunto imagem é igual ao contradomínio: Injetora: quando elementos distintos do domínio possuem imagens distintas: 6 Bijetora: quando é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora: Segundo Macedo (2006), seja dada uma função f: R → R definida pela lei de formação y = f(x). Pode-se representar os pares ordenados (x,y), obtidos por meio da lei de formação, que possuem x D(f) e y= f(x), em um sistema de coordenadas cartesianas. A curva obtida com a ligação dos pares ordenados é a representação geométrica da função, usualmente denominada de gráfico da função f. Exemplo: Elaborar o gráfico da função f(x) = 2x - 3, sabendo que A = {1,2,3,4} (Macedo; Castanheira; Rocha, 2006, p. 104). Para elaborar o gráfico, precisamos encontrar o conjunto imagem substituindo o valor de x pelos valores do conjunto A: f(1) = 2.1 – 3 = -1, par ordenado (1, -1) f(2) = 2.2 – 3 = 1, par ordenado (2, 1) f(3) = 2. 3 – 3 = 3, par ordenado (3, 3) f(4) = 2. 4 – 3 = 5, par ordenado (4, 5) Agora, representamos no plano cartesiano os pares ordenados: 7 TEMA 2 – FUNÇÃO COMPOSTA E FUNÇÃO INVERSA Uma função composta é constituída com base em outra ou em outras funções, ou seja, se forma pela relação entre duas ou mais funções. Dadas as funções f: A → B e g: B → C, chamamos de função composta de g e f a função g o f: A → C, que é definida por (g o f)(x) = g(f(x)), x A. Exemplo 1: Dadas as funções f(x) = x + 5 e g(x) = x² -1, determinar f(g(x)). Para encontrar f(g(x)), precisamos substituir o valor de x na função f(x) pela função g(x): f(x) = x + 5 f(g(x))= f(x² -1) = (x² -1) + 5 f(g(x)) = x² -1 + 5 f(g(x)) = x² + 4 Exemplo 2: O lucro de uma empresa é representado pela função L = 0,5.V, em que V é o preço de venda. Sabendo que o preço de venda V é representado pela função V = 15 + 2,5.C, em que C é o custo da matéria-prima, encontrar o lucro por meio do custo da matéria-prima. Para descobrir o resultado, podemos utilizar a definição de função composta, fazendo uma composição entre as funções L e V. Dessa forma, podemos substituir V direto na função L; assim: L = 0,5.V V = 15 + 2,5.C L = 0,5.(15 + 2,5.C) L = (0,5 . 15) + (0,5 . 2,5C) L = 7,5 + 1,25 C Assim, identificamoso lucro relacionado diretamente com o custo da matéria-prima C. Temos também a função inversa, que é representada por f-1(x) e é a função contrária à f(x). Para existência da função inversa, a f(x) precisa ser uma 8 função bijetora; assim, considerando a função f: A → B bijetora, chamamos função inversa de f a função f: B → A. Para obter a função inversa, trocamos a ordem dos elementos de cada par ordenado da função f, ou seja, substituímos y por x e x por y e, em seguida, isolamos o valor de y. Exemplo 1: Determinar a função inversa das seguintes funções: a) f(x) = x + 2 Para encontrar a função inversa f-1(x), escrevemos f(x) na forma: y = x + 2 e trocamos y por x e x por y: y = x + 2 x = y + 2 Vamos isolar a variável y, utilizando as operações inversas: x = y + 2 x – 2 = y ou y = x -2 Assim: f-1(x) = x -2 b) f(x) = -3x + 5 y = -3x + 5 Trocando x por y e y por x, temos: y = -3x + 5 x = -3y + 5 x – 5 = -3y Multiplicando por (-1) e isolando y, temos: x – 5 = -3y - x + 5 = 3y 3 5 x y 9 TEMA 3 – FUNÇÃO LINEAR, AFIM, CONSTANTE Uma função afim ou de primeiro grau é escrita na forma y = ax + b, com a ≠ 0. Quando temos apenas o coeficiente a, chamamos de função linear; assim uma função linear é escrita na forma f(x) = ax, sendo a ≠ 0 e b = 0. O coeficiente a é chamado de coeficiente angular, e o coeficiente b, coeficiente linear. Exemplos: 1) f(x) = -7x + 120 2) f(x) = 2x + 6 3) f(x) = -3x + 5 4 4) f(x) = 2x O gráfico de uma função de primeiro grau é representado por uma reta; o coeficiente angular (a) representa a inclinação da reta, e o coeficiente linear (b), o valor em que o gráfico corta o eixo y. O ponto onde a reta corta o eixo x é chamado de raiz da função e é dado por: a b x Analisando o coeficiente a, temos as seguintes funções: a > 0 → função crescente Exemplo 1: f(x) = 2x + 1 a < 0 → função decrescente 10 Exemplo 2: f(x) = -3x + 2 a = 0 → função constante Exemplo 3: f(x) = 2 Quando temos uma função linear na forma f(x) = ax, o gráfico é uma reta que passa pela origem: Exemplo 4: Construir o gráfico da função y = 3x - 1, determinar a sua raiz, o coeficiente angular e o coeficiente linear e verificar se a função é crescente ou decrescente. Vamos encontrar os coeficientes: Coeficiente angular (a) = 3 Coeficiente linear (b) = -1 11 Analisando o coeficiente angular, temos que a é positivo (a>0); assim, nossa função é crescente. Agora, vamos determinar a raiz da função utilizando a fórmula: a b x Por fim, esboçamos o gráfico, indicando os pontos 3 1 x , ponto em que a reta corta o eixo x, e b = -1, que é o ponto que corta o eixo y: TEMA 4 – FUNÇÃO QUADRÁTICA Uma função quadrática, também como função polinomial de 2º grau, é escrita na forma f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0. Exemplos: 1) f(x) = x² - 2x + 1, a = 1, b = -2, c = 1 2) f(x) = -4x² + 4x -1, a = -4, b = 4, c = -1 3) f(x) = x² -4, a = 1, b = 0, c = -4 4) f(x) = -x² + 100x, a = -1, b = 100, c =0 5) f(x) = -x², a = -1, b = 0, c = 0 A função quadrática possui uma representação gráfica dada por uma curva, denominada parábola, que pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo, dependendo do sinal do coeficiente a: a > 0: a curva terá a sua concavidade voltada para cima, e a função terá um ponto de mínimo: 3 )1( x 3 1 x 12 a < 0: a concavidade da curva será voltada para baixo, e a função terá ponto de máximo: O ponto em que a parábola cruza o eixo y é indicado pelo parâmetro c da função, já o eixo x é interceptado pelas raízes da função. Para determinar as raízes, igualamos a função a zero e resolvemos a equação de 2º grau utilizando a fórmula de Bháskara. a acbb x 2 4² em que é chamado de discriminante e igual a b² - 4ac. Uma função de 2º grau possui duas raízes x1 e x2, e, analisando o valor do discriminante ( ), sabemos como serão essas raízes. Assim: > 0 ( um valor positivo): a função possui duas raízes reais diferentes, e a parábola intercepta o eixo x em dois pontos x1 e x2 : = 0: a função possui duas raízes reais iguais, e a parábola intercepta o eixo x em um único ponto, pois x1 = x2 . < 0 ( um valor negativo): a função não possui raízes reais, e a parábola não intercepta o eixo x. Isso ocorre, pois não existe raiz real de a b x 2 13 um número negativo quando o índice é par, conforme aprendemos anteriormente sobre radiciação. Segundo Macedo (2006), toda parábola possui um vértice, que é o ponto no qual o gráfico representativo da função de 2º grau deixa de ser crescente e passa a ser decrescente, ou vice-versa. Para calcular as coordenadas do vértice, utilizamos as fórmulas: a b xv 2 Com base nas definições estudadas, podemos representar genericamente o gráfico de uma função de 2º grau conforme a figura a seguir: Exemplos: Para cada, função vamos determinar as raízes, as coordenadas do vértice, verificar se a concavidade é voltada para cima ou para baixo e traçar o gráfico da função. a) f(x) = x² - 5x + 6 Vamos iniciar identificando os coeficientes a, b e c, lembrando que a forma geral da função de 2ª grau é f(x) = ax² + bx + c, assim a = 1, b = -5, c = 6. Analisando o coeficiente a, temos que ele é positivo, assim a concavidade será virada para cima. Vamos agora encontrar as raízes, utilizando a fórmula de Bháskara, substituindo os coeficientes: a acbb x 2 4² 2 24255 x a yv 4 1.2 6.1.4)²5()5( x 2 15 x 2 15 x 14 Uma das raízes será a soma, e a segunda, a subtração: 3 2 6 2 15 1 x Agora, vamos calcular as coordenadas do vértice: a b xv 2 a yv 4 Obs: é o radicando que aparece dentro da raiz na fórmula de Bháskara. Com todos os dados calculados vamos traçar o gráfico da função: b) f(x) = x² -8x + 16 a = 1 – como a é positivo, a concavidade será voltada para cima. b = -8 c = 16 Raízes: a acbb x 2 4² 2 08 x 4 2 8 2 08 1 x Vértice: a b xv 2 1.2 5 vx 2 5 vx 4 1 1.4 1 vy 1.2 16.1.4)²8()8( x 2 64648 x 2 08 x 1.2 )8( vx 4 2 8 vx 2 2 4 2 15 2 x 4 2 8 2 08 2 x 15 a yv 4 Gráfico: c) f(x) = -x² + 4 a = -1 – como a é negativo, a concavidade será voltada para baixo. b = 0 c = 4 Raízes: a acbb x 2 4² 2 160 x 2 2 4 2 40 1 x Vértice: a b xv 2 a yv 4 Gráfico: 0 1.4 0 vy )1.(2 4).1.(4²00 x 2 1600 x 2 40 x 0 )1.(2 0 vx 4 4 16 )1.(4 16 vy 2 2 4 2 40 2 x 16 TEMA 5 – FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA A função exponencial é uma função com base constante e expoente variável e possui a forma f(x) = ax; ou seja, a variável x encontra-se no expoente, e a > 0 e a ≠ 1. Ela pode ser crescente ou decrescente, de acordo com o valor da base (a). Se a > 1, a função é crescente, e se 0 < a < 1, é decrescente. Vejamos no gráfico a representação dessa função. Exemplos: 1) f(x) = 3x 2) x xf 2 1 )( Esse tipo de função pode ser utilizado para descrever a desvalorização comercial, os juros compostos e o crescimento ou decrescimento de populações humanas. Saiba mais Vamos ver algumas aplicações da função exponencial no cotidiano? Confira, então, o seguinte material: <http://x- damatematica.blogspot.com/2016/09/aplicacoes-funcao-exponencial-no.html>. A função logarítmica é a função inversa da exponencial; ela é definida pela lei de formação f(x) = logax, com a ≠ 1 e a > 0. Dizemos também que o logaritmo é o expoente de uma potência; assim:17 xayx ya log Exemplos: 1) f(x) = log2x 2) xxf 4 1log)( Analisando o gráfico de uma função logarítmica, temos que a função será crescente se a base do logaritmo for maior que 1, e decrescente, se a base for um número entre 0 e 1. Saiba mais Vamos entender mais sobre a função logarítmica e verificar que diversos problemas podem ser resolvidos com o uso de logaritmos. “Funções logarítmicas”: <https://www.youtube.com/watch?v=LyumzT6br2A>. “Logaritmo na prática: matemática financeira”: <https://www.youtube.com/watch?v=k2WWRA5aMyY>. TROCANDO IDEIAS Vimos que as funções estão presentes em nosso dia a dia. Você se recorda de alguma situação na qual já utilizou funções? Em que circunstâncias podemos utilizar as funções dentro das organizações? NA PRÁTICA Podemos utilizar as funções em várias situações, como em aplicações que envolvam custos, lucros, demanda, oferta, receita e ponto de equilíbrio. Quando analisamos as coordenadas do vértice de uma função quadrática, podemos determinar valores máximos, mínimos e intervalos de crescimento ou 18 decrescimento das funções. Vamos verificar uma aplicação da função quadrática assistindo ao seguinte vídeo: <https://www.youtube.com/watch?v=8DaCpxRstYQ>. Agora, vamos aplicar os conceitos que aprendemos nesta aula na resolução dos seguintes exercícios: 1) Um vendedor recebe por mês um salário fixo de R$ 1.500, mais uma parte variável de 6% de comissão sobre o total de vendas realizadas no período. Qual a função que representa o salário desse vendedor? Neste exercício, sabemos que o vendedor recebe um salário fixo, mais uma comissão variável que depende das vendas realizadas durante o mês. Como não sabemos o total de vendas do mês e esse valor é variável, vamos chamar o total de vendas realizadas de x; assim, o salário do vendedor seria: Salário = fixo + comissão Salário = 1.500 + 6% x vendas totais no mês Salário = 1.500 + 6%. X Transformando a comissão de 6% em decimal – dividindo 6 por 100 –, temos: Salário = 1.500 + 0,06. X Assim, o salário mensal do vendedor é dado em função do total de vendas que ele faz durante o mês, e essa função é uma função afim ou de 1º grau. 2) Uma indústria possui um custo fixo mensal de R$ 24.000, e a cada unidade produzida, um custo de fabricação de R$ 180. Sabendo que o preço de venda do produto é R$ 420, vamos determinar a função custo total, função receita total e função lucro. A função custo total é a soma do custo fixo com o custo variável que é dependente da quantidade produzida. Como não sabemos qual é a quantidade produzida, a chamamos de x. Assim: Custo total = custo fixo + custo variável x quantidade produzida Custo total = 24.000 + 180.x Para encontrarmos a função receita, consideramos a quantidade vendida multiplicada pelo preço de venda. Como não sabemos qual a quantidade vendida, consideramos essa quantidade variável como x; logo: Receita total = preço de venda x quantidade vendida 19 Receita total = 420 x quantidade vendida Receita total = 420. x Agora, vamos encontrar a função lucro. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre a função receita e custo, temos: Lucro = receita - custo Substituindo na fórmula do lucro as funções receita e custo, obtemos: Custo total = 24.000 + 180.x Receita total = 420. x Lucro = 420. x – (24.000 + 180.x) Lucro = 420. x – 24.000 - 180.x Lucro = 240 x – 24.000 3) Sabendo que o lucro de uma empresa é dado pela função L(x) = -400x² + 6800x + 12000 (em que x representa o preço de venda de um produto), determinar qual seria o preço que maximiza o lucro e qual o lucro máximo dessa empresa. Esse exemplo representa uma aplicação das coordenadas do vértice que estudamos no Tema 4. Como nessa função o valor de a é -400, temos a concavidade virada para baixo e um ponto de máximo que é obtido pelo cálculo do valor de x do vértice. Dessa forma, temos: a b xv 2 Vamos substituir os valores na fórmula, em que a = -400 e b = 6800: )400.(2 6800 vx 5,8 800 6800 800 6800 vx Assim, o preço que maximiza o lucro é R$ 8,50. Com esse valor, conseguimos encontrar qual será o lucro máximo da empresa, substituindo na função L(x): L(x) = -400x² + 6800x + 12000 L(8,5) = -400.(8,5)² + 6800.(8,5) + 12000 L(8,5) = -400.(72,25) + 57800 + 12000 L(8,5) = -28900 + 57800 + 12000 L(8,5) = 40900 20 O lucro máximo desta empresa será R$ 40.900. Outra forma de encontrar esse valor seria descobrir o valor de y do vértice (yv). FINALIZANDO Chegamos ao final desta aula, na qual estudamos os principais conceitos envolvendo funções. Vimos também as funções composta, inversa, linear, afim, constante, quadrática, exponencial e logarítmica. 21 REFERÊNCIAS APLICAÇÕES função exponencial no cotidiano. X da Matemática. [S.d.]. Disponível em: <http://x-damatematica.blogspot.com/2016/09/aplicacoes- funcao-exponencial-no.html>. Acesso em: 18 dez. 2019. CURTAS matemáticos. Conceito de função. YouTube, 2 mar. 2017. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=72q6cBnmLvQ>. Acesso em: 18 dez. 2019. FUNÇÃO quadrática. YouTube, 18 maio 2012. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=8DaCpxRstYQ>. Acesso em: 18 dez. 2019. FUNÇÕES logarítmicas. YouTube, 9 mar. 2013. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=LyumzT6br2A>. Acesso em: 18 dez. 2019. LOGARITMO na prática: matemática financeira. YouTube, 29 nov. 2017. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=k2WWRA5aMyY>. Acesso em: 18 dez. 2019. MACEDO, L. R, D.; CASTANHEIRA, N. P.; ROCHA, A. Tópicos de Matemática Aplicada. Curitiba: Ibpex, 2006. MUROLO, A.; BONETTO, G. Matemática aplicada à Administração, Economia e Contabilidade. São Paulo: Cengage Learning, 2008. NOÇÃO de função. YouTube, 23 out. 2012. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=84VbUs8GNfg>. Acesso em: 18 dez. 2019. RODRIGUES, L. R. F. Matemática e raciocínio lógico matemático para concursos. Campinas: Servanda Editora, 2010.
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