geometria descritiva

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NOÇÕES DE
GEOMETRIA
DESCRITIVA
Referência: Noções de G. Descritiva,
Alfredo dos Reis Príncipe Junior , Vol
1
ESTUDO DO PONTO (Cap 1 - LT)
- PROJ . ORTOGONAL DE UM PONTO
É o pé da perpendicular baixada do ponto ao plano de projeção
A é a projeção do ponto (A)
 sobre o plano α.
(A) A é a projetante do ponto (A)
- DETERMINAÇÃO DO PONTO
Dois métodos: - Método dos planos cotados
 - Método das Projeções
USAREMOS O 2º MÉTODO:
Para que um ponto fique bem determinado, é necessária uma dupla
projeção.
- CLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕES:
Sistema Cônico ou Perspectivo : Onde (o) é o centro de proj a uma distância
finita.
Se o ponto (o) estiver no infinito, teremos o sistema de proj Cilíndrico ou
Paralelo.
Ficam melhor caracterizadas através da proj de uma reta (A)(B):
PROJEÇÃO CÔNICA PROJEÇÃO
CILÍNDRICA
As projeções Cilíndricas podem ser:
- Oblíquas (Proj oblíqua ao plano de projeção)
- Ortogonais (Projetante perpendicular ao pl. Proj)
 PROJEÇÃO CILÍNDRICA ORTOGONAL
MÉTODO DA DUPLA PROJEÇÃO DE
MONGE
(Gaspar Monge, matemático francês, no
fim do século XVIII, desenvolveu a
Geometria Descritiva, que tem por fim
representar num plano as figuras do
espaço de modo que possam ser
resolvidos todos os problemas relativos a
essas figuras.)
- Para determinar um ponto (A), determinam-se duas projeções ortogonais
sobre dois planos perpendiculares entre si, uma horizontal (π) e outro vertical
(π’) interceptando-se na linha de terra.
 Por convenção, o ponto (o),
 centro de proj, considera-se
situado à frente do pl. vertical
 e acima do pl. horizontal
 a uma distância infinita.
Assim, o ponto (A) fica bem determinado pelas interseções (A)A e (A)A’.
Por convenção, a proj no pl. Horizontal (π) de um ponto (A) é A; no pl. Vertical
(π’) é A’.
Os planos de proj. formam quatro regiões, denominadas DIEDROS, limitadas
por quatro semi-planos.
- Horizontal Anterior (πA)
- Horizontal Posterior (πP)
- Vertical Superior (π’S)
- Vertical Inferior (π’I)
ÉPURA
Resultado do rebatimento do plano vertical sobre o horizontal (Sentido AH), 90°,
em torno da LT.
 (π’S) passa a coincidir com (πP)
 (π’I) passa a coincidir com (πA)
A LT é representada por uma linha horizontal
π π’ (ou 2 traços abaixo das extremidades
)
ÉPURA → Representação de uma figura do espaço pelas suas projeções
(estando o P.V. rebatido sobre o P.H.)
- COTA E AFASTAMENTO
Cota de um ponto: Distância deste ao Plano horizontal de projeção (PHP) :
(A)A
Afastamento: Distância do ponto ao Plano vertical de Projeção (PVP) : (A)A’
Linha de projeção ou Linha de chamada:
 Linha perpendicular à LT
 que une as proj de um
 mesmo ponto.
- POSIÇÕES DO PONTO
O ponto pode ocupar 9 (NOVE) posições diferentes em relação aos planos de
projeção.
❶ 1º DIEDRO ❷ 2º DIEDRO ❸ 3º DIEDRO ❹ 4º DIEDRO
❺ (π’s) ❻ ( π’I) ❼ (πA) ❽ (πP)
❾ LT
EXERCÍCIO
Determinar as posições dos pontos abaixo:
(A) Semiplano vertical inferior (π’I)
(B) 3º diedro
(C) 1º diedro
(D) Semiplano vertical superior (π’S)
(E) Semiplano horizontal posterior (πP)
(F) 4º diedro
(G) 2º diedro (cota = afastamento)
- COORDENADAS
Abscissa (x)
Afastamento (y)
Cota (z)
(+ ou -)
NO ESPAÇO EM ÉPURA
COTA POSITIVA 1º e 2º diedros Acima da LT
COTA NEGATIVA 3º e 4º diedros Abaixo da LT
AFAST. POSITIVO 1º e 4º diedros Abaixo da LT
AFAST. NEGATIVO 2º e 3º diedros Acima da LT
EXEMPLO:
 Dar a épura do ponto (A) [1; 2; 1]
 O ponto (A) está no 1º diedro.
EXERCÍCIO:
Localize a épura do ponto (B) [-1; 3; -2]
 O ponto (B) está no 4º diedro.
LER NO CAP 1 : Livro-
Texto
Simetria dos Pontos
 (P. 17)
- Em relação aos planos de projeção
- Em relação aos planos bissetores
- Em relação à Linha de Terra
 (PÁG. 21) EXERCÍCIOS
❶ Dar a épura de um ponto (A) situado no 1º diedro. Mais próximo do plano
horizontal que do vertical.
SOLUÇÃO: O ponto terá cota menor
 do que o afastamento (Z < Y)
❷ Dê a épura dos pontos:
 (A) [0;2;-3] (B) [2;-2;-3]
SOLUÇÃO: B está no 4º diedro;
 C está no 3º diedro.
Z
Y
● 
● 
❺ Determine as coordenadas de um ponto (B) simétrico a (A) [1;0;-2] em
relação a (π)
SOLUÇÃO:
(A) encontra-se no (πI’) e (B) simétrico a (A) em relação a (π) deve estar no
(π’s).
 Troca-se o
 sinal da cota,
 portanto.
❻ Preencha as lacunas (Pág. 26)
a) Chama-se cota de um ponto a distância desse ponto ao plano horizontal
de projeção.
b) Linha de projeção ou de chamada é a linha perpendicular à L.T. que une as
duas projeções de um mesmo ponto.
c) Em relação aos planos de projeção, um ponto qualquer pode ocupar nove
posições diferentes.
d) O diedro em que um ponto tem cota e afastamento negativos é o 3º .
e) Em épura, cota negativa é marcada abaixo da Linha de terra.
f) Um ponto situado no plano bissetor tem cota e afastamento iguais.
g) Dois pontos são simétricos em relação a um plano quando este plano é o
mediador do segmento formado pelos dois pontos.
h) A simetria de dois pontos em relação à L.T. é o produto das simetrias em
relação aos dois planos (π) e (π’).
ESTUDO DA RETA (Cap 2 - LT)
A proj. de uma reta sobre um plano é o lugar
das projeções de todos os seus pontos sobre o
plano.
Baixando perpendiculares ao plano, os pés
delas dão lugar à proj. ortogonal da reta.
As perpendiculares formam um plano (α)
perpendicular ao plano (π).
(α)→ Pl. projetante da reta
 A proj. da reta (A)(B) é a
 interseção dos 2 planos.
A proj. de uma reta varia de acordo com a
inclinação dessa sobre o plano, passando seu
comprimento por valores desde zero (quando a
reta é perpendicular ao plano) até o máximo, que é
igual ao comprimento do segmento de reta
(quando a reta é paralela ao plano). Neste caso,
diz-se que a reta se projeta em VERDADEIRA
GRANDEZA (V.G.)
TRAPÉZIO
PARALELOGRAMO
(A)(B) > AB A Ξ B , AB Ξ O
- DETERMINAÇÃO DE UMA RETA
A posição de uma reta no espaço fica bem determinada quando são
conhecidas suas projeções sobre os planos ortogonais.
Na figura seguinte, sejam os dois planos (π) e (π’), perpendiculares e AB e
A’B’ as proj. respectivas da reta (A)(B) cuja posição queremos determinar.
Por AB faz-se passar um plano
perpendicular a (π) e, por A’B’ um plano
perpendicular a (π’). Esses planos são
os pl. projetantes da reta nos
respectivos pl. de proj. e, como se
cortam segundo (A)(B), que é a única
reta que tem AB e A’B’ como projeções,
esta reta (A)(B) fica bem determinada.
( A reta pode ser designada por (A)(B) ou por uma letra minúscula entre
parênteses: r , r’ ou (r) )
 ÉPURA
- PERTINÊNCIA DE PONTO E RETA
REGRA GERAL: Um ponto pertence a uma reta quando as proj. desse ponto
estão sobre as proj. do mesmo nome da reta, isto é, a proj. horizontal do ponto
sobre a proj. horizontal da reta e a proj. vertical também sobre a proj. vertical da
reta.
Exemplos:
* EXCEÇÃO : Reta de perfil (estudada adiante)
- POSIÇÕES DA RETA
a) Reta Qualquer
Épura: Projeções oblíquas à L.T.
b) Reta Horizontal ou de nível: Paralela ao plano Horizontal (π) e oblíqua a
(π’).
Épura: Proj. vertical paralela à L.T., Proj. horizontal oblíqua e em V.G.
c) Reta Frontal (ou de frente): Paralela a (π’) e oblíqua a (π).
Épura: Proj. horizontal paralela à L.T., Proj. vertical oblíqua à L.T. e em V.G.
d) Reta Frontohorizontal (Paralela à L.T.): Paralela simultaneamente a (π) e
(π’). Ambas as proj. são paralelas à L.T. em V.G.
e) Reta Vertical: Perpendicular ao plano horizontal e paralela ao plano vertical.f) Reta de Topo: Perpendicular ao plano vertical e paralela ao plano horizontal.
A reta pode, também, estar contida num dos planos de projeção ou na L.T.
EXEMPLOS:
NO
(π’s)
NO
(π’I)
NO
(πA) NO(π )
- TRAÇOS DE RETAS
É o ponto em que a reta atravessa o plano. Se for
paralela ao plano, não terá traço.
 - Traço sobre (π): Traço horizontal (H)
- Traço sobre (π’): Traço vertical (V)
Na épura, basta PROLONGAR a projeção horizontal
para determinar (V) e a projeção vertical para
determinar (H).
DETERMINAÇÃO TRAÇO DETERMINAÇÃO
TRAÇO
LINHA DE CHAMADA
REGRA (sem exceção): A projeção horizontal V do traço vertical (V) e a
projeção vertical H’ do traço horizontal (H) estão sempre sobre a L.T., podendo
as proj. V’ e H se situarem abaixo ou acima da L.T.
Observações:
(i) O método acima para determinar-se os traços não pode ser usado para a
reta de perfil.
(ii) Uma reta só possui os 2 traços se for oblíqua aos 2 planos (π) e (π’).
Assim, as retas horizontal, frontal, vertical e de topo possuem um traço e a
frontohorizontal, nenhum.
- POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
- Sejam as retas (r) e (s), plano (α) e o ponto (M) comum à reta (s) e a (α).
- O ponto (M) e a reta (r) definem o plano (α); a
 reta (s) não pertence a (α) pois
 tem apenas (M) em comum.
- Neste caso, diz-se que (r) e (s)
são reversas ou não coplanares.
- Se (s) também pertencer a (α), (r) e (s) são coplanares e definem o plano
(α), podendo ser:
• Concorrentes: há 1 ponto comum, (M), próprio.
• Paralelas: não há ponto comum.
RETAS CONCORRENTES
Quando :
a) O ponto de interseção das projeções verticais e o ponto das projeções
horizontais estiverem numa mesma linha de chamada.
OU b) Duas projeções de mesmo nome se confundem e as outras duas se
cortam.
OU c) Uma das projeções de uma das retas se reduz a um ponto situado
sobre a projeção mesmo nome da outra reta.
RETAS PARALELAS
a) Quando suas projeções de mesmo nome são paralelas;
OU b) Duas projeções de mesmo nome se confundem e as outras duas são
paralelas.
OU c) Suas projeções sobre um mesmo plano se reduzem cada uma, a um
ponto.
Ex.: 2 retas verticais ou de topo.
RETAS DE PERFIL: Oblíquas aos dois planos de projeção numa posição
particular: perpendicular (ou ortogonal) à L.T.
Uma reta de perfil só pode ocupar duas posições em relação aos planos de
projeção:
- OU possui os dois
traços (H) e (V)
distintos e ela, então,
passa por 3 diedros;
- OU se os seus traços são
coincidentes , sobre a L.T.
passando por 2 diedros.
- DETERMINAÇÃO DOS TRAÇOS
DE UMA RETA DE PERFIL
- A e B são rebatidos sobre a L.T, no sentido AH.
- H é obtido desfazendo-se o rebatimento, no sentido H (alçamento).
OBS.: É
 sempr
e a pro
jeção
horizo
ntal qu
e se re
bate
(no sen
tido AH
).
ÉPURA:
OBS.: Os segmentos de
reta (A1)(B1) (rebatidos)
mostram a V.G. do
segmento de reta no
espaço.
Neste caso, o ponto (A)
está no 1º diedro e o
ponto (B), no 2º diedro.
(Pág.69) EXERCÍCIOS
Fazer os exercícios: 16, 17, 18, 19, 21, 23, 24
1. (17) Traçar uma reta horizontal que esteja a 3cm do plano (π), contendo um
ponto (A) no bissetor do 1º diedro e um ponto (B) no (π’S).
A’A₀ = AA₀ = B’B
2. (19) Dados os pontos (A) [0; -2; -1] e (B)[4; 2; 2,5]
Trace: a) A épura da reta (A)(B)
 b) Seus traços
 c) Quais diedros ela atravessa ?
 d) Sua posição no espaço
SOLUÇÃO:
a)
b)
c) 1º, 2º e 3º
B’ → 1º diedro
A’ → 3º diedro
3. (23) Traçar as épuras das retas abaixo, todas no 1º diedro:
a) De topo, com um ponto no (π’S) e outro no (βI);
SOLUÇÃO:
A’ Ξ B’ Ξ (A)
A
B
A’A Ξ
 AB
b) De perfil , toda no (βI), com um ponto na L.T.;
SOLUÇÃO:
C Ξ C’ Ξ (C)
D’
D
D’C 
Ξ DC
c) Horizontal com cota nula;
SOLUÇÃO:
d) Qualquer, com um ponto no (π’S), distante 1,5cm de (π) e outro no (πA),
distante 2cm de (π’S).
SOLUÇÃO:
ESTUDO DO PLANO (Cap. 3 - LT)
- TRAÇOS DO PLANO
É a interseção desse plano em outro. Em geral, usa-se para exprimir sua
interseção com os planos de projeção.
Na figura, o plano (α) intercepta (π) segundo a
reta απ e o plano (π’) segundo απ’.
Portanto, os traços horizontal e vertical do
plano são, respectivamente, απ e απ’ .
São designados por
uma letra grega que
indica o plano
considerado, seguido da
letra correspondente ao
plano de projeção.
Quando os traços são distintos e não paralelos à LT concorrem num
mesmo ponto dessa linha (ponto (T) Ξ T Ξ T’ ). São dados, em geral, a abcissa
do ponto T Ξ T’ e os ângulos que cada traço forma com π π’.
POSIÇÕES DO PLANO:
a) Plano Qualquer:
 Dois traços distintos, concorrendo sobre ππ’ num mesmo ponto.
Os dois traços são oblíquos à ππ’
b) Plano Horizontal (ou de nível):
É um plano paralelo a (π). Sua épura possui apenas o traço vertical, e
paralelo à ππ’.
c) Plano Frontal (ou de frente):
Plano paralelo a (π’). Em épura possui apenas o traço horizontal, que é
paralelo a ππ’.
d) Plano Vertical :
 Plano perpendicular a (π) e oblíquo a (π’) .
Sua épura tem o traço vertical perpendicular a ππ’ e o horizontal oblíquo a
ela.
e) Plano de Topo : Plano perpendicular a (π’) e oblíquo a (π).
Na épura, o traço horizontal é perpendicular a ππ’ e o traço vertical é
oblíquo.
f) Plano de Perfil : Perpendicular aos dois planos de projeção. A épura
apresenta os dois traços coincidentes e perpendiculares a ππ’.
g) Plano paralelo à ππ’ : Oblíquo a (π) e (π’).
 Sua épura possui os dois traços // a ππ’.
h) Plano passando pela ππ’ :
 Os traços coincidem com a ππ’ .
 Exemplo: Plano bissetor
- RETAS DO PLANO
Já vimos as diversas retas: qualquer, horizontal, frontal, frontohorizontal,
vertical, de topo, de perfil.
Estudamos, também, os planos: qualquer, horizontal, frontal, vertical, de
topo, de perfil, paralelo à ππ’ e o passando pela ππ’.
Vamos estudar, agora, a combinação de ponto, retas e planos, focalizando
a pertinência entre eles.
Um plano não pode conter senão determinadas retas. Com exceção do
plano qualquer, que pode conter 4 tipos diferentes de retas, os demais planos
só podem conter 3 tipos cada um.
1. RETAS DE PLANO QUALQUER
- Qualquer
- Horizontal
- Frontal
- De perfil
REGRA GERAL DE PERTINÊNCIA:
EXCEÇÃO : Quando se trata de um plano de passa pela linha de terra.
UMA RETA PERTENCE A UM PLANO QUANDO
POSSUI OS SEUS TRAÇOS SOBRE OS TRAÇOS
CORRESPONDENTES DO PLANO.
a) Reta qualquer :
A reta qualquer (r) pertence ao
plano qualquer cujos traços são απ e
απ’ porque seus traços (V) e (H)
encontram-se sore os traços
correspondentes do plano.
b) Reta Horizontal :
Como não tem traço
horizontal, o ponto comum
à proj. horiz. da reta e ao
traço horiz. do plano será
um ponto impróprio (no
infinito).
A projeção horizontal da
reta deverá ser paralela ao
traço horizontal do plano. O
traço vertical da reta deverá
t b
c) Reta Frontal :
Como não tem traço vertical, o ponto
comum à proj. vertical da reta e ao traço
vertical do plano será impróprio (no infinito).
A proj. vertical da reta será paralela ao
traço vertical do plano e o traço horizontal
da reta estará sobre o traço correspondente
do plano.
d) Reta de Perfil :
Como a épura não indica diretamente
se a reta pertence a um plano qualquer,
opera-se o rebatimento do plano de perfil
que contém a reta, determinando-se os
traços da mesma.
Estando sobre os traços do plano
qualquer considerado, a reta pertence ao
plano.
2. RETAS DE PLANO HORIZONTAL
Sendo paralelo ao plano horizontal de projeção, o planohorizontal só
poderá conter retas paralelas ao plano horizontal de projeção :
- Reta Horizontal
- Reta Frontohorizontal
- Reta de Topo
a) Reta Horizontal :
A projeção vertical da reta e o traço απ’ coincidem. O traço vertical da reta
está sobre απ’.
b) Reta Frontohorizontal :
Como não possui traços, fica caracterizada como pertencente ao plano
horizontal considerado ao ter sua projeção vertical (r’) coincidente com o traço
vertical do plano (απ’).
c) Reta de Topo :
Sua projeção vertical é reduzida a um ponto, que coincide com seu traço
vertical e está sobre o traço απ’ .
A projeção horizontal é perpendicular a ππ’.
3. RETAS DE PLANO FRONTAL
Sendo o plano frontal paralelo ao plano vertical de projeção, só poderá
conter retas paralelas a estes :
- Frontal
- Frontohorizontal
- Vertical
a) Reta Frontal :
Sua projeção horizontal coincide com
απ, que contém o traço horizontal (único)
da reta (H).
b) Reta Frontohorizontal :
Sua projeção horizontal coincide com
απ. Não tem traços.
c) Reta Vertical :
Sua projeção horizontal reduzida a um
ponto está sobre απ.
Projeção vertical perpendicular a ππ’.
4. RETAS DE UM
PLANO PARALELO A ππ’
Sendo o plano paralelo a ππ’ e oblíquo aos dois planos de projeção, só
poderá conter retas paralelas a ππ’ ou oblíquas àqueles planos :
- Qualquer
- Frontohorizontal
- De perfil
a) Reta Qualquer :
Seus traços devem estar sobre os traços correspondentes do plano.
b) Reta Frontohorizontal :
Neste caso, a épura não indica
diretamente se ela pertence ao plano. Pode-
se usar uma reta auxiliar, qualquer, fazendo-
a passar por um ponto (0) com projeções 0 e
0’ sobre a reta dada.
A reta auxiliar terá traços (H) (V),
situando-se (V) sobre απ’.
A reta não pertence
ao plano
Se (H) estiver sobre απ, então a reta
dada pertence ao plano (figura abaixo).
Caso contrário, a reta não pertence ao
plano (figura anterior)
c) Reta de Perfil :
A épura também neste caso não
indica diretamente se a reta (A)(B)
pertence ao plano dado.
Operando-se o rebatimento,
verifica-se se os traços da reta estão
sobre os traços do plano.
5. RETAS DE UM PLANO VERTICAL
Sendo o plano perpendicular ao plano horizontal de projeção e oblíquo ao
plano vertical de projeção.
Só poderá conter as retas mostradas na figura:
- Qualquer
- Horizontal
- Vertical
a) Reta Qualquer :
Seus traços deverão estar sobre os traços
correspondentes do plano.
V’ → απ’
H → απ
Projeção horizontal coincide com απ
Todas as projeções horizontais de qualquer reta desse
plano vertical coincidirão com απ.
b) Reta Horizontal :
Seu único traço V’ deve estar sobre
απ’ . Sua projeção horizontal
coincide com απ.
c) Reta Vertical :
Seu único traço horizontal está
sobre απ.
Sua projeção vertical é paralela ao
traço απ’.
6. RETAS DE UM PLANO DE TOPO
Sendo o plano perpendicular ao plano vertical de projeção e oblíquo ao
horizontal, só poderá conter as retas mostradas na figura:
- Qualquer
- Frontal
- De topo
Todas as projeções verticais dessas retas coincidirão com o traço vertical
do plano.
a) Reta Qualquer :
Seus traços deverão estar sobre os traços
correspondentes do plano.
V’ sobre απ´;
H sobre απ e
a sua projeção vertical coincide com απ’.
b) Reta Frontal :
Seu único traço, (H), está sobre απ.
Sua projeção vertical coincide com
απ’.
c) Reta de Topo :
Seu único traço, (V), está sobre απ’.
Sua projeção horizontal é paralela
ao traço horizontal.
7. RETAS DE UM PLANO DE
PERFIL
Como este plano é perpendicular a π, π’ e ππ’, suas retas serão
perpendiculares aos planos ou à ππ’, isto é :
- Reta de topo
- Reta vertical
- Reta de perfil
As projeções de cada uma das retas anteriores coincidirão com os traços
do plano, que são perpendiculares a ππ’.
Exemplo:
8. RETAS DE UM
PLANO QUE PASSA POR ππ’
- Lembrar que esse plano só ficará determinado se conhecermos outros
elementos do mesmo (ex.: um ponto ou uma reta), pois seus traços se
confundem com ππ’.
- Esse plano é uma exceção à regra que diz estarem os traços da reta sobre os
traços do plano.
Vejamos um exemplo na figura ao lado.
A reta (A)(B) tem seus traços sobre ππ’
(e, portanto, sobre os traços do plano), mas
não pertence ao plano.
Já a reta (A)(C) pertence ao plano porque
ambos os pontos (A) e (C) pertencem ao
plano ππ’ (C).
MAS, examinando-se a épura, NÃO SE
PODE AFIRMAR se a reta pertence ao
plano.
É preciso verificar se mais um ponto da
reta pertence ao plano.
É o problema da pertinência de ponto e
plano, VISTO A SEGUIR.
PERTINÊNCIA DE PONTO E PLANO
- EXEMPLO : (Figura a seguir)
Dados o plano qualquer de traços απ e απ’ e o ponto (A).
REGRA GERAL (SEM exceção) :
“ UM PONTO PERTENCE A UM PLANO QUANDO
PERTENCE A UMA RETA DO PLANO. ”
Para verificar se o ponto pertence ao
plano, faz-se passar por uma das
projeções do ponto (vertical, por
exemplo) uma reta (r) do plano
(horizontal, por exemplo), com traço
vertical sobre o traço corresponde do
plano e projeção horizontal paralela ao
traço do plano.
Como A não está sobre r , o ponto não pertence à reta e não pertence,
portanto, ao plano.
No exemplo a seguir, uma frontal (r)
cuja projeção r’ passando por A’ é paralela
a απ’ e a projeção r é paralela a ππ’
pertence ao plano porque seu traço
horizontal H está sobre απ.
Como A está sobre r, ponto (A)
pertence a (r) e, portanto, pertence ao
plano (α).
A pertinência de um ponto a um plano pode ser simplificada conforme o
plano seja “projetante” ou “não projetante”.
NÃO - PROJETANTE
Planos oblíquos aos planos de projeção:
. Qualquer
. Paralelo à ππ’
. Passando por ππ’
PROJETANTE
Quando perpendicular, pelo menos, a um dos planos de projeção :
. Horizontal (perpendicular a π’)
. Frontal (perpendicular a π)
. Vertical (perpendicular a π)
. Topo (perpendicular a π’)
. Perfil (perpendicular a π e π’)
I ) Se o plano é “PROJETANTE”, a épura
indica diretamente se um ponto dado
pertence ou não ao plano. A simples
situação de uma das projeções do ponto,
é suficiente para verificar-se sua
pertinência ao plano.
Consideremos a que plano de projeção
o plano dado é perpendicular:
a) Se for perpendicular ao plano horizontal (π), basta que a projeção horizontal
do ponto esteja sobre o traço horizontal do plano.
Neste caso, não importa onde esteja a projeção vertical do ponto; ele
pertencerá ao plano α.
b) Se for perpendicular ao plano vertical (π’), basta que a projeção vertical do
ponto esteja sobre o traço vertical do plano.
Não importa onde esteja a projeção horizontal do ponto; ele pertencerá ao
plano (α).
II) Se o plano é “NÃO PROJETANTE”, cabe então a regra geral anteriormente
descrita : o ponto pertence ao plano se pertencer a uma reta do plano.
EXEMPLOS:
a) Plano paralelo à ππ’ :
b) Plano qualquer com dois pontos
A e B estando, respectivamente,
sobre os traços horizontal e vertical
do plano.
RETAS PRINCIPAIS DE UM PLANO :
São as retas horizontais e frontais do plano, de grande aplicação prática
(na solução de problemas).
RETAS DE MÁXIMO DECLIVE E
MÁXIMA INCLINAÇÃO
- Reta de máximo declive (ou de maior declive) de um plano em relação a outro
plano é a pertencente a ele que forma, com o outro, o maior ângulo possível.
EXEMPLO:
Dados dois planos oblíquos (α) e (ß), toda reta (A)(B) de máximo declive
de (α) em relação a (ß) é perpendicular à interseção αß dos dois planos.
As retas de máximo declive de um
plano (em relação ao plano horizontal) são
perpendiculares às horizontais deste plano.
Em épura, a reta de máximo declive é
caracterizada por possuir sua projeção
horizontal VH perpendicular ao traço
horizontal απ do plano.
Se, por outro lado, tivermos uma
retaperpendicular ao traço vertical απ’
do plano, diz-se, então, que a reta é de
máxima inclinação.
Se o plano considerado for paralelo a ππ’ ou passar por esta linha, a reta de
máximo declive (e também de máxima inclinação) será uma
reta de perfil.
Tratando-se de planos projetantes, tem-se:
 máx. declive: não há
- Pl. Horizontal
 máx. inclinação: Reta de topo
 máx. declive: Reta vertical
- Pl. Frontal
 máx. inclinação: não há
 máx. declive: Reta vertical
- Pl. Vertical
 máx. inclinação: Reta horizontal
 máx. declive: Reta frontal
- Pl. de Topo
 máx. inclinação: Reta de topo
 máx. declive: Reta vertical
- Pl. de Perfil
 máx. inclinação: Reta de topo
ELEMENTOS GEOMÉTRICOS QUE DEFINEM UM PLANO
- Duas retas concorrentes;
- Duas retas paralelas;
- Uma reta e um ponto (exterior a ela);
- Três pontos não em linha reta.
PARALELISMO DE RETAS E PLANOS
a) Reta paralela a plano : (Pág. 141)
Uma reta é paralela a um plano quando é paralela a uma reta do plano.
b) Plano paralelo a uma reta : (Pág. 144)
Basta que contenha uma reta paralela a essa reta.
c) Plano paralelo a plano : (Pág. 147)
Quando um deles contiver duas retas concorrentes paralelas ao outro
EXE
RCÍC
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