GABARITO-LISTA 1-CN-2019-1

Prévia do material em texto

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ 
CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA E A DISTÂNCIA - CEAD 
COORDENAÇÃO DO CURSO DE LICENCIATURA 
MATEMÁTICA 
Rua Olavo Bilac, 1148 – Centro Sul - CEP 64280-001 – Teresina PI 
 
 
DISCIPLINA: Cálculo Numérico 
PROFESSOR: Francisco Nilson Rodrigues dos Santos 
fco.nilson@gmail.com 
 
LISTA 1 
 
GABARITO 
 
1. Quais das equações abaixo são algébricas ou Transcendentes? 
 
a) 
010003 =−+ xx
 b) 
( ) 0tan
2
=− x
x
 
c) 
2
5
2
+=
x
x
 d) 
3
2 2xe
x
x +−
=
 
Solução: 
 
A) Algébrica 
B) Transcendente 
C) Algébrica 
D) Transcendente 
 
2. Determine um intervalo de acordo com o Teorema de Bolsano, que 
contenha pelo menos uma raiz no intervalo determinado, para cada 
uma das equações abaixo. Justifique. 
 
a) f(x) = x2 - 5x + 4 = 0 b) f(x) = x3 + x - 15 = 0 
c) f(x) = ex + x2 - 3 = 0 d) f(x) = x2 - cosx = 0 
 
Solução: 
 Obs: O aluno poderá responder qualquer intervalo [a, b] desde que 
f(a).f(b) seja menor que zero 
 
 
a) f(x) = x2 - 5x + 4 = 0 
 
[0, 2] pois f(0).f(2) < 0 ou [3. 5] pois f(3).f(5) < 0 
 
b) f(x) = x3 + x - 15 = 0 
 
[2, 3] pois f(2).f(3) < 0 
 
c) f(x) = ex + x2 - 3 = 0 
 
 [1, 2] pois f(1).f(2) < 0 
 
d) f(x) = x2 - cosx = 0 
 
 [0, 1] pois f(0).f(1) < 0 ou [-1, 0] pois f(-1).f(0) < 0 
 
3. Seja a função f(x) = x2 - 6x + 5 
a) Podemos garantir que no intervalo [0, 8] existe pelo menos uma 
raiz neste intervalo? Por quê? E no intervalo [4, 7]? 
b) Podemos garantir pelo critério da primeira derivada que no 
intervalo [4, 7] existe uma única raiz? Justifique 
c) No intervalo [2, 7] podemos garantir pelo critério da primeira 
derivada exista uma única raiz? Justifique. 
 
Solução: 
a) Não, pois f(0).f(8) > 0 No intervalo [4, 7] Sim pois f(4).f(7) 
< 0 
b) Sim, pois f ’(x) = 2x – 6 > 0 para todo x > 3 
c) No intervalo [2, 7] não, pois a primeira derivada pode ser maior 
que zero ou menor que zero 
 
4. Localize graficamente (Método Gráfico) os intervalos que contêm uma 
única raiz das equações a seguir: 
 
a) 
( ) 0cos4 2 =− xex
 b) 
( ) 0tan
2
=− x
x
 c) x3 + x - 1000 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
Obs: O aluno poderá colocar qualquer intervalo desde que em 
cada intervalo tenha apenas uma raiz. 
 
a) 
 
 
[-3, 0] ou [0, 2] São infinitas raízes 
 
b) 
 
 
 
[-1, 1] São infinitas raízes. Nestes casos coloca-se o intervalo 
de uma ou duas raízes. 
 
 
 
 
( ) 0cos4 2 =− xex
( ) 0tan
2
=− x
x
 
 
c) x3 + x - 1000 = 0 
 
 
 
 
 
 
[0, 9] Neste gráfico não podemos ver devido a escala, mas podemos 
verificar que f(9).f(10) < 0 
 
 
5. Utilize o método da Bisseção para determinar x3 (solução na 4ª 
iteração) para 
)cos()( xxxf −=
 em [0,1]. 
 
Solução: 
 
n a b xn 
0 0 1 x0 = 0,5 
1 0,5 1 x1 = 0,25 
2 0,5 0,75 x2 = 0,625 
3 0,625 0,75 x3 = 0,6875 
 
 x = 0,6875 
 
6. Utilize o método da Bisseção para determinar as soluções com precisão 
de 10 -2 para 
061473 =−+− xxx
 em cada intervalo: 
 a) [0, 1] b) [1; 3,2 ] c) [3,2 ; 4] 
 
 
 
 
Solução: 
 
 a) 
n a b xn Erro 
0 0 1 0,5 - 
1 0,5 1 0,75 0,25 
2 0,5 0,75 0,625 0,125 
3 0,5 0,625 0,5625 0.0625 
4 0,5625 0,625 0,59375 0,03125 
5 0,5625 0,59375 0,578125 0,015625 
6 0,578125 0,59375 0,5859375 0,0078125 
 
 x = 0,5859375 
 
b) [1; 3,2] 
 
n a b xn Erro 
0 1 3,2 2,1 - 
1 2,1 3,2 2,65 0,55 
2 2,65 3,2 2,925 0,275 
3 2,925 3,2 3,0625 0,1375 
4 2,925 3,0625 2,99375 0,06875 
5 2,99375 3,0625 3,028125 0,034375 
6 2,99375 3,028125 3,0109375 0,0171875 
7 2,99375 3,0109375 3,00234375 0,00859375 
 
x = 3,00234375 
 
c) [3,2 ; 4] 
 
n a b xn Erro 
0 3,2 4 3,6 - 
1 3,2 3,6 3,4 0,2 
2 3,4 3,6 3,5 0,1 
3 3,4 3,5 3,45 0,06 
4 3,4 3,45 3,425 0,025 
5 3,4 3,425 3,4125 0,0125 
6 3,4125 3,425 3,41875 0,00625 
 
x = 3,41875 
 
7. Seja 
)2()1()1)(2()( 32 −−++= xxxxxxf
. Para qual zero de f o método da 
Bisseção converge quando aplicado aos intervalos a seguir? 
a) [-1,5; 2,5] b) [-0,5; 2,4] c) [-0,5; 3] d) [-3; -0,5] 
 
 
Solução: 
 
a) 
 
 
a b xn 
-1,5 2,5 0,5 
-1,5 0,5 -0,5 
-0,5 0,5 -0,25 
-0,25 0 -0,125 
0,125 0 -0,0625 
-0,0625 0 -0,03125 
 
 
Tendendo pra ZERO 
 
 
 
b) 
a b xn 
-0,5 2,4 0,95 
-0,5 0,95 0,225 
-0,5 0,225 -0,1375 
-0,1375 0,225 0,04375 
-0,1375 0,04375 -0,046875 
-0,046875 0,04375 0,0015635 
 
Tendendo pra ZERO 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tendendo pra 2 
 
d) 
 
a b xn 
-3 -0,5 -1,75 
-3 -1,75 -2,375 
-2,375 -1,75 -2,0625 
-2,0625 -1,75 -1,90625 
-2,0625 -1,90625 -1,984375 
-2,0625 -1,984375 -2,0234375 
 
Tendendo pra -2 
 
8. Para cada uma das equações a seguir, determine um intervalo [a, b], de 
tamanho 1, ou seja |b – a | = 1, no qual contenha uma e uma só raiz. No 
intervalo que você determinou, encontre o valor da raiz fazendo apenas 
três iterações, usando o método de bisseção. Não se preocupe com a 
aproximação, pois foi pedido apenas três iterações, qualquer quer seja 
o intervalo que você determinou. 
 a) 
3
2 2xe
x
x +−
=
 b) 
2
5
2
+=
x
x 
 
Solução: 
a) 
 Podemos chamar g(x) = x h(x) = (2 - ex + x2)/3. Fazendo os 
gráficos teremos: 
 
3
2 2xe
x
x +−
=
a b xn 
-0,5 3 1,25 
1,25 3 2,125 
1,25 2,125 1,6875 
1,6875 2,125 1,90625 
1,90625 2,125 2,015625 
1,90625 2,015625 1,9699375 
 
 Existe apenas uma raiz e está entre 0 e 1. Usando este intervalo que é 
de tamanho 1, pois |b – a| = 1 e as três primeiras iterações do método 
de bisseção, teremos: 
 
a b xn 
0 1 0,5 
0 0,5 0,25 
0,25 0,5 0,375 
 
x = 0,375 
 
Também pode ser resolvida de outro modo: 
 
xx
x
exxxex
xe
x =+−+−=
+−
= 2323
3
2 22
2
 
 
Chamamos g(x) = x2 - 3x + 2 h(x) = ex, teremos os gráficos: 
 
 
 Cuja raiz está em [0, 1]. 
Fazendo as três primeiras iterações , teremos: 
 
a b xn 
0 1 0,5 
0 0,5 0,25 
0,25 0,5 0,375 
 
 x = 0,375 
Obs: Aqui nesta questão o aluno poderá escolher qualquer 
intervalo de tamanho 1 , ou seja, b – a =1, desde que a raiz esteja 
neste intervalo, como por exemplo: [0,2 ; 1,2] 
 
 
b) 
 
 
 
23
2
252
5
xx
x
x +=+= 
 
Chamamos g(x) = 3x2 e h(x) = 5+2x2. Fazendo os gráficos, 
teremos: 
 
 
 
2
5
2
+=
x
x
 
 
A raiz está em [2, 3]. 
Usando este intervalo [2, 3], que é de tamanho 1, pois |b – a| = |3 – 2| 
= 1 e as três primeiras iterações do método de bisseção, teremos: 
 
a b xn 
2 3 2,5 
2,5 3 2,75 
2,5 2,75 2,625 
 
 x = 2,625 
9. Verifique quem é o ponto x0 em cada intervalo abaixo, de acordo com 
o critério de convergência do método de Newton. O ponto x0 é 
aquele em que f(x0) . f
 ‘’(x0 ) > 0. Utilize o método de Newton, 
para encontrar soluções com precisão de 10 -2 (ou 4 iterações) para as 
equações abaixo. 
a) 
]4;1[;0523 =−− xx
 
b) 
]2/;0[;0)cos( =− xx
 
c) 
 1;0;0)( =− −xexsend) 
 5;3;03 2 =− xe x 
 
Solução: 
 
a) 
 
f(x) = x3 - x2 - 5 => f ‘ (x) = 3x2 -2x => f ‘’(x) = 6x 
f(1) < 0 
f(4) > 0 f(1)*f’’(1) < 0 e f(4)*f’’(4) > 0 => x0 = 4 
 
 
 
]4;1[;0523 =−− xx
A fórmula de Newton é dada por: 
 
)( 
)(
'1
n
n
nn
xf
xf
xx −=+ 
Teremos, então: 
 
n xn Erro 
0 x0 = 4 
1 x1 = 2,89130434782608696 1,10869565217391304 
2 x2 = 2,31122279548256997 0,580081552343516989 
3 x3 = 2,11703515692798449 0,194187638554585475 
 
x3 = 2,11703515692798449 
Não chegou no erro, mas chegou no número de iterações. 
 
 
b) 
 
f(x) = x - cosx => f ‘ (x) = 1 +senx => f ‘’(x) = cosx 
f(0) < 0 
0)
2
( 

f 
57,1
2
0)
2
(' ' *)
2
( e 0(0)' ' *)0( 0 ==

xffff 
 
Usando a formula de Newton, teremos: 
 
n xn Erro 
0 x0 = 1,57 
1 0,785398038969214494 0,784601961030785506 
2 0,739536131151518548 0,0458619078176959461 
3 0,739085178105539744 0,000450953045978803695 
 
x = 0,739085178105539744 
 
 c) 
 
f(x) = senx – e -x => f ‘ (x) = cosx + e-x => f ‘’(x) = -senx - e-x 
f(0) < 0 
f(1) > 0 
 
 f(0)*f’’(0) >0 => 0 => x0 = 0 
]2/;0[;0)cos( =− xx
 1;0;0)( =− −xexsen
 
 
Usando a formula de Newton, teremos: 
 
n xn Erro 
0 0 - 
1 0,5 0,5 
2 0,58564381696643256 0,0856438169664325603 
3 0,58852941262635483 0,00288559565992226974 
 
x = 0,58852941262635483 
 
 
d) 
 
f(x) = ex - 3x2 => f ‘ (x) = ex - 6x => f ‘’(x) = ex - 6 
f(3) < 0 
f(5)>0 
 
 f(3)*f’’(3) < 0 e => 0 f(5)*f’’(5) > 0 => x0 = 5 
 
 
Usando a fórmula de Newton, teremos: 
 
n xn Erro 
0 5 
1 4,38002533114599444 0,619974668854005556 
2 3,96392693439103424 0,416098396754960203 
3 3,77259918249773587 0,191327751893298375 
 
x = 3,77259918249773587 
Obs: Não chegou no erro, mas chegou no número de iterações. 
 
 
10. Encontre as raízes das equações abaixo, usando o método das Cordas, 
com 210− . 
 a) ex -3x2 = 0; [3, 5] b) x
3 - x -1; [1, 2] 
 c) 4senx – ex ; [0, 1] d) x2 + x - 3 = 0 [1, 2] 
Solução: 
 
Como todas as equações abaixo já foi dado o intervalo que contem 
cada raiz, então neste caso não precisa usar o método gráfico para 
 5;3;03 2 =− xe x
localização de raízes. 
 
a) 
 
O método das cordas é dado por: 
,.....4,3,2,1,0 
)()(
))((
1 =
−
−
−=+ n
cfxf
cxxf
xx
n
nn
nn
 
Sendo c o ponto extremo do intervalo [a, b] onde a função apresenta 
o mesmo sinal de f ‘ ‘(x), ou seja, f( c ) . f ‘ ‘( c ) > 0 
 
f(x) = ex - 3x2 => f ‘ (x) = ex – 6x => f ‘ ‘ (x) = ex – 6 
 
f(3) < 0 e f(5) > 0 f ‘ ‘ (3) > 0 e f ‘ ‘ (5) > 0 
 
f(3) . f ’’ (3) < 0 e f (5) . f ’ ’ (5) > 0 => c = 5 logo x0 = 3 
 
Usando a fórmula cima, teremos: 
 
Obs: Cada uma destas questões pode ser feita apenas com 3 casas 
decimais 
 
n xn Erro 
0 3 - 
1 3,17215654812664172 0,17215654812664172 
2 3,3172262140128629 0,145069665886221177 
3 3,43308532186817896 0,11585910785531606 
4 3,52142483053055299 0,0883395086623740293 
5 3,58629528725620848 0,0648704567256554946 
6 3,63257190256082759 0,0462766153046191089 
7 3,66488535583274066 0,0323134532719130635 
8 3,68710568850752375 0,0222203326747830968 
9 3,7022224896955342 0,015116801188010441 
10 3,71243097740238461 0,0102084877068504116 
11 3,7192902561564747 0,00685927875409009713 
 
x = 3,7192902561564747 
 
 
 
 
 
 5;3;03 2 =− xe x
b) 
 
f(x) = x3 - x - 1 => f ‘ (x) = 3x2 - 1 => f ‘ ‘ (x) = 6x 
 
f(1) < 0 e f(2) > 0 f ‘ ‘ (1) > 0 e f ‘ ‘ (2) > 0 
 
f(1) . f ’’ (1) < 0 e f (2) . f ’ ’ (2) > 0 => c = 2 logo x0 = 1 
 
Usando a fórmula cima, teremos: 
 
 
n xn Erro 
0 1 - 
1 1,16666666666666667 0,16666666666666667 
2 1,25311203319502075 0,0864453665283540802 
3 1,29343740191868344 0,0403253687236626947 
4 1,31128102148723429 0,0178436195685508482 
5 1,31898850356646267 0,00770748207922838339 
 
x = 1,31898850356646267 
 
c) 
 
f(x) = 4senx - ex => f ‘ (x) = 4cosx - ex => f ‘ ‘ (x) = - 4senx - ex 
 
f(0) < 0 e f(1) > 0 f ‘ ‘ (0) < 0 e f ‘ ‘ (1) < 0 
 
f(0) . f ’’ (0) > 0 => c = 0 logo x0 = 1 
 
Usando a fórmula cima, teremos: 
 
n xn Erro 
0 1 - 
1 0,606942655305965857 0,393057344694034143 
2 0,419558509815630131 0,187384145490335725 
3 0,37861528010860462 0,0409432297070255113 
4 0,371820060607948275 0,0067952195006563454 
 
 x = 0,371820060607948275 
 
 
 
]2;1[;13 −− xx
]1;0[;)(4 xexsen −
d) x2 + x - 3 = 0 [1, 2] 
 
f(x) = x2 + x - 3 => f ‘ (x) = 2x + 1 => f ‘ ‘ (x) = 2 
 
f(1) < 0 e f(2) > 0 f ‘ ‘ (1) > 0 e f ‘ ‘ (2) > 0 
 
f(1) . f ’’ (1) < 0 e f(2) . f ’’ (2) > 0 => c = 2 logo x0 = 1 
 
Usando a fórmula cima, teremos: 
 
n xn Erro 
0 1 - 
1 1,25 0,25 
2 1,29411764705882353 0,0441176470588235294 
3 1,30136986301369863 0,00725221595487510065 
 
 x= 1,30136986301369863