Modelo 2

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Universidade de Vassouras
Pró-Reitoria de Ciências Tecnológicas, Sociais Aplicadas e Humanas
Engenharia Civil
Caio Guilherme Chaves Jannuzzi de Souza
Gabriela Pinheiro de Souza
Roteiro de Cálculo auxiliado pelo software matemático PTC Mathcad Prime 4.0:
Lajes maciças bidirecionais pelo método de Bares
Vassouras - RJ
2018
Caio Guilherme Chaves Jannuzzi de Souza
Gabriela Pinheiro de Souza
Roteiro de Cálculo auxiliado pelo software matemático PTC Mathcad Prime 4.0:
Lajes maciças bidirecionais pelo método de Bares
Projeto de Conclusão de Curso apresen-
tado ao Curso de Engenharia Civil, como
parte dos requisitos necessários à obten-
ção do título de Bacharel em Engenharia
Civil.
Orientador: Prof. Me. Gustavo José da
Costa Gomes
Vassouras - RJ
2018
Caio Guilherme Chaves Jannuzzi de Souza
Gabriela Pinheiro de Souza
Roteiro de Cálculo auxiliado pelo software matemático PTC Mathcad Prime 4.0: Lajes
maciças bidirecionais pelo método de Bares/ Caio Guilherme Chaves Jannuzzi de Souza
Gabriela Pinheiro de Souza. – Vassouras - RJ, 2018-
113 p. : il. (algumas color.) ; 30 cm.
Orientador: Prof. Me. Gustavo José da Costa Gomes
Projeto de Conclusão de Curso – Universidade de Vassouras
Pró-Reitoria de Ciências Tecnológicas, Sociais Aplicadas e Humanas 
Engenharia Civil, 2018.
Caio Guilherme Chaves Jannuzzi de Souza
Gabriela Pinheiro de Souza
Roteiro de Cálculo auxiliado pelo software matemático PTC Mathcad Prime 4.0:
Lajes maciças bidirecionais pelo método de Bares
Trabalho aprovado. Vassouras-RJ, 28 de Maio de 2018.
Prof. Me. Gustavo José da Costa Gomes
Orientador
Prof. Dr. Carlos Vitor de Alencar Carvalho
Convidado
Prof. Me. Jonas dos Santos Pacheco 
Convidado
Vassouras - RJ 2018
Dedicamos o presente projeto a nossas famílias, que 
acompanharam de perto nossa luta e dedicação ao 
longo de todo o árduo percurso que é a graduação.
Agradecimentos
Primeiramente, agradecemos a Deus, por nos permitir superar cada obstáculo e
seguir em frente.
Aos professores e principalmente ao nosso orientador, deixamos uma palavra
de agradecimento pela oportunidade, paciência e confiança que nos depositaram.
Finalmente, queremos agradecer em especial às nossas famílias e amigos o
incentivo, a confiança e todas as bases que fizeram de nós quem somos hoje.
“Não importa o que aconteça, continue a nadar.”
(Walters, Graham; Procurando Nemo, 2003)
Resumo
Visando maneira mais intuitiva, porém não empírica, surgiu a necessidade de se ter 
algo mais orgânico, algo em que o usuário possa adaptar para cada situação específica 
ao qual se encontre o que se realmente precise para uma devida análise na tomada de 
decisões. Usualmente, engenheiros civis têm uma boa parte do seu tempo de trabalho 
tomado pela execução de cálculos e até gráficos, itens que em suma, consomem um 
precioso tempo - tempo esse que impacta diretamente na competitividade do profissio-
nal frente a um mercado cada vez mais estreito - este que já é tão curto. Apesar disso, 
muitos deixam a faculdade com uma completa aversão a tudo que envolva programação 
e análise computacional. Mas como um profissional a ltamente habilitado, principal-
mente em matemática, lógica sistêmica e raciocínio crítico, vê pouca ou nenhuma 
utilidade para uma ferramenta criada por matemáticos e engenheiros capaz de resolver 
não apenas problemas de engenharia, como estatística e simulação? Como estudantes 
e profissionais que lidam tanto com lógica se tornam verdadeiros “programófobos”? Em 
resposta e objetivando uma programação visual simples, que quase não exige conheci-
mento em lógica de programação por si só, através do software gratuito PTC Mathcad 
Prime 4.0, o presente trabalho tem por finalidade uma roteirização sequencial auto-
mática de um dimensionamento de lajes bidirecionais maciças em concreto armado 
pelo método de Richard Bares. Dimensionamento este, que exige a aplicabilidade dos 
conhecimentos puramente teóricos obtidos ao longo da graduação e totalmente em 
conformidade com as normas vigentes que tratam de dimensionamento de estruturas 
de concreto armado. Os resultados obtidos se mostraram bem satisfatórios à proposta 
incialmente objetivada. Desde que o lançamento dos dados se dê de maneira correta 
e ordenada, o roteiro funcionará de forma sucinta em conformidade com as normas 
brasileiras vigentes. A sistemática usada para resolução de problemas da engenharia 
neste projeto de conclusão de curso apresenta total aplicabilidade e possibilidade de 
futuras mudanças localizadas na forma de seu modus operandi.
Palavras-chave: Concreto. Rotina. Dimensionamento.
Abstract
Aiming at a more intuitive method, although not empiric, has risen the need for some-
thing that would be more organic, in a way the user could be able to adapt itself to each 
of the specific situations in which i t is found for an accurate analysis in the decision 
making process. Civil engineers usually spend a considerable part of their working time 
on calculus and graphs, which consume a precious-already-short time - a time that 
impacts directly on the competition for the professional included in this daily increased 
strict market. Despite of that, many professionals graduate from college with a full 
despise to anything that might involve computer analysis and programming. How could it 
be possible for such higher developed professional (especially in Mathematics, System 
Logic and critical thinking) seeing little or none necessity for a tool created by mathe-
maticians and engineers that is able not only to solve engineering but also statistics and 
simulation? How do students and professionals who deal so much with logic become 
real programphobics? Answering to theses questions and aiming at a simple visual 
programming which almost does not demand knowledge in logical programming itself, 
through the free software MathCad Prime 4.0, this work has as its goal an automatic 
scripting sequence in dimensioning solid bidirectional slabs in reinforced concrete. The 
achieved results have shown well satisfactory to the initial aimed proposal. Once the 
data input is done appropriately, the script will work succinctly according to the current 
Brazilian resolutions. The systemic used to solve engineering problems in this course 
conclusion project shows total applicability and possibilities for future changes on its 
modus operandi.
Key-words: Concrete. Routine. Dimensioning.
Lista de ilustrações
Figura 1 – Classes de agressividade ambiental (CAA) . . . . . . . . . . . . . . 20
Figura 2 – Correspondência entre a classe de agressividade e a qualidade do
concreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Figura 3 – Correspondência entre a classe de agressividade ambiental e
o cobrimento nominal para Δc = 10 mm . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Figura 4 – Planta de Situação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Figura 5 – Lajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Figura 6 – Lajes e vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Figura 7 – Casos aos quais as lajes podem ser submetidas . . . . . . . . . . . 34
Figura 8 – Dados de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Figura 9 – Tipo de armação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Figura 10 – Casos de vinculação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Figura 11 – Altura da laje definitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Figura 12 – Carregamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Figura 13 – Coeficientes para o cálculo dos momentos máximos . . . . . . . . . 40
Figura 14 – Momentos máximos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Figura 15 – Momentos para o ELU . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 41
Figura 16 – Compatibilização dos momentos negativos e correção dos fletores
positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Figura 17 – Armaduras positivas ao longo do vão menor . . . . . . . . . . . . . 42
Figura 18 – Armadura ao longo do vão maior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Figura 19 – Armadura Negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Figura 20 – Armadura Negativa (continuação) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Figura 21 – Flechas elásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Figura 22 – Planta baixa - Pavimento térro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Figura 23 – Planta baixa - Pavimento superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Figura 24 – Corte A-A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Figura 25 – Corte B-B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Figura 26 – Planta de cobertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Figura 27 – Lajes - Pavimento térreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Figura 28 – Lajes - Pavimento superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Figura 29 – Momentos não compatibilizados - Pavimento térreo . . . . . . . . . 57
Figura 30 – Momentos não compatibilizados - Pavimento superior . . . . . . . . 58
Figura 31 – Momentos compatibilizados - Pavimento térreo . . . . . . . . . . . . 59
Figura 32 – Momentos compatibilizados - Pavimento superior . . . . . . . . . . . 60
Figura 33 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Figura 34 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Figura 35 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Figura 36 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Figura 37 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Figura 38 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Figura 39 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Figura 40 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Figura 41 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Figura 42 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Figura 43 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Figura 44 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Figura 45 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Figura 46 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Figura 47 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Figura 48 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Figura 49 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Figura 50 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Figura 51 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Figura 52 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Figura 53 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Figura 54 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Figura 55 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Figura 56 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Figura 57 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Figura 58 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Figura 59 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Figura 60 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Figura 61 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Figura 62 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Figura 63 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Figura 64 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Figura 65 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Figura 66 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Figura 67 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Figura 68 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Figura 69 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Figura 70 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Figura 71 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Figura 72 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Figura 73 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Figura 74 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Figura 75 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Figura 76 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Figura 77 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Figura 78 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Figura 79 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Figura 80 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Figura 81 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Figura 82 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Figura 83 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Figura 84 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Figura 85 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Lista de tabelas
Tabela 1 – Valores mínimos das cargas verticais permanentes . . . . . . . . . 35
Sumário
1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1 Objetivo Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Objetivo Específico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Justificativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Revisão Bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1 Concreto Armado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Massa específica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Resistência à compressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.3 Resistência à tração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.4 Módulo de elasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Aços para o Concreto Armado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 A durabilidade da estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Qualidade e segurança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Estados Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.1 Estado limite último (ELU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.2 Estado limite de serviço (ELS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6 Lajes Maçicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Considerações adotadas de projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 O terreno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 25
3.2 Zoneamento e índices urbanísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Projeto Arquitetônico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4 Vento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5 Critérios adotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Rotina de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.1 Metodologia para a criação da rotina de cálculo . . . . . . . . . . 29
4.2 Classificações da laje quanto à direção da armadura principal. . 30
4.3 Cálculo de laje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3.1 Considerações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3.2 Vãos efetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3.3 Posicionamento das lajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3.4 Vinculação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4 Regulamentação para a laje segundo as normas da ABNT . . . . 35
4.4.1 Ações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4.2 Peso próprio estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4.3 Peso de contra-piso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4.4 Revestimento inferior da laje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4.5 Revestimento cerâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4.6 Paredes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.5 Aplicação prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5 Discussão e Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
ANEXOS 49
15
1 Introdução
Atualmente, frente à crise em que se encontra o setor da construção civil, faz-se
necessário um melhor estudo, uma saída tangente para obter os menores custos e
uma melhor otimização de uma edificação. É de comum conhecimento que as lajes
maciças representam um grande custo de estrutura por apresentarem grandes áreas
em um pavimento, pensando nisso idealizou-se um roteiro automatizado de cálculo
para lajes bidirecionais maciças pelo método de Bares (1981) com o auxílio do software
matemático Mathcad Prime 4.0, conforme a Associação Brasileira de Normas Técnicas
(2014) NBR 6118 - Projeto de estruturas de concreto — Procedimento, a fim de ajudar
o profissional técnico responsável na tomada de decisão quanto à espessura da laje,
tipo de concreto, tipo de aço e não menos importante, o custo.
Para termos como base uma exemplificação mais próxima do real possível, este
projeto abrange a representação de uma importante etapa de um projeto estrutural, que
vai desde a escolha do projeto arquitetônico, concepção estrutural, dimensionamento e
seu detalhamento.
É de conhecimento que hoje existe grande variedade de softwares, porém, estes
podem se tornar ferramentas perigosas nas mãos de quem não tenha conhecimento
suficiente para entender o processo por trás deles. Vale lembrar que os programas
jamais farão o papel do engenheiro.
1.1 Objetivo Geral
O objetivo geral deste trabalho é criar um roteiro prático de dimensionamento
e verificação de lajes maciças bidirecionais em concreto armado com o auxílio do
software matemático computacional PTC Mathcad Prime 4.0.
1.2 Objetivo Específico
A fim de cumprir o objetivo geral, com o adendo de ser um projeto de um futuro
caso real, os seguintes objetivos específicos são desenvolvidos:
1) Levantamento de exigências legais, tais como o estudo do Código de Obras,
Plano Diretor, índices urbanísticos e Leis de zoneamento urbano. Tendo como
base um terreno real, localizado no município de Vassouras;
2) Concepção arquitetônica, levando em consideração as limitações legais da zona
urbana e índices;
Capítulo 1. Introdução 16
3) Delimitar critérios adotados, conceitos considerados para o exemplo prático de
um roteiro de cálculo de lajes bidirecionais;
4) Elaboração do roteiro de cálculo com o auxílio do software Mathcad;
5) Aplicação do roteiro em todo o projeto arquitetônico.
1.3 Justificativa
Este estudo justifica-se pela necessidade de analisar o comportamento de lajes
maciças de concreto armado por uma metodologia de cálculo mais orgânica, que possi-
bilite a interseção da fundamentação teórica com os desafios práticos encontrados pelo
engenheiro calculista estrutural em seu dia a dia, tanto na modelagem tridimensional
da estrutura como consequentemente uma análise global e integrada entre todos os
elementos estruturais.
17
2 Revisão Bibliográfica
2.1 Concreto Armado
O concreto é atualmente o material de construção mais utilizado do
mundo, em função de diversos fatores, dentre eles, o principal, sua
facilidade de conformação e o primeiro material estrutural mais utilizado
no mundo. É a mistura adequada de cimento Portland, água, agrega-
dos (miúdo e graúdo) e aditivos. A associação com aço dá origem ao
concreto armado, onde os dois materiais devem resistir solidariamente
aos esforços solicitantes. (CARVALHO, 2008)
Possui como forte característica a sua alta resistência à compressão e baixa
resistência à tração, ocasionando aos elementos o surgimento de fissuras e rompimento
frágil na zona tracionada.
O aço é uma liga metálica e apresenta alta resistência à tração. É escolhido
pois tem coeficiente de dilatação térmica próximo ao do concreto e boa aderência.
2.1.1 Massa específica
Em conformidade com a NBR 6118:2014, esta norma se aplica aos concretos
de massa específica normal, que são aqueles que, depois de secos em estufa, têm
massa específica (ρc) compreendida entre 2.000 kg/m³ e 2.800 kg/m³.
Se a massa específica real não for conhecida, para efeito de cálculo, pode-se
adotar para o concreto simples o valor de 2.400 kg/m³ e para o concreto armado, 2.500
kg/m³.
Quando se conhecer a massa específica do concreto utilizado, pode-se conside-
rar para valor da massa específica do concreto armado aquela do concreto simples
acrescida de 100 kg/m³ a 150 kg/m³.
Sendo estas informações, muito importantes para o decorrer do projeto, na
determinação do peso próprio.
2.1.2 Resistência à compressão
A resistência à compressão simples, denominada fc, é a característica mecânica
mais importante do concreto. A sua determinação geralmente é realizada através de
ensaios de corpos-de-prova cilíndricos, aos 28 dias (vide Associação Brasileira de
Normas Técnicas (2015) NBR 5738 - Procedimentos para moldagem e cura de corpos
de prova e a Associação Brasileira de Normas Técnicas (2007) NBR 5739 - Ensaio de
compressão de corpos-de-prova cilíndricos).
Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 18
Para fins de projeto, segundo a NBR 6118:2014, nos importa a resistência aos
28 dias. Na prática, é papel do projetista estipular um valor de fck a ser utilizado, e
ao engenheiro responsável pela obra o papel de efetuar os ensaios e comprovar a
resistência adequada.
Para a segurança, é adotada a resistência de cálculo fcd, como sendo a resis-
tência característica dividida pelo coeficiente de minoração γc (tabela 12.1 da NBR
6118:2014) onde o objetivo é considerar variabilidade das resistências e a possível
diferença apresentada em obra:
fcd =
fck
γc
(2.1)
2.1.3 Resistência à tração
Deve ser obtido por meio de ensaio, porém na falta destes, o valor pode ser
obtido das equações:
fct,m = 0, 3fck
2
3 (2.2)
fckinf = 0, 7fck,m (2.3)
fcksup = 1, 3fct,m (2.4)
2.1.4 Módulo de elasticidade
O módulo de elasticidade (Eci ) deve ser obtido segundo o método de ensaio
estabelecido na Associação Brasileira de Normas Técnicas (2017) NBR 8522 - Concreto
- Determinação dos módulos estáticos de elasticidade e de deformação à compressão,sendo considerado nesta norma o módulo de deformação tangente inicial, obtido aos
28 dias de idade.
Quando não forem realizados ensaios, pode-se estimar o valor do módulo de
elasticidade inicial usando as expressões a seguir:
Em conformidade com a NBR 6118:2014, usamos as expressões:
Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 19
Eci = 5600fck
1
2 (2.5)
Ecs = 0, 85Ei (2.6)
Sendo Eci o módulo de elasticidade inicial e o Ecs o módulo de elasticidade
secante do concreto.
2.2 Aços para o Concreto Armado
Nos projetos de estruturas de concreto armado deve ser utilizado aço classifi-
cado pela Associação Brasileira de Normas Técnicas (2008) NBR 7480 - Aço destinado
a armaduras para estruturas de concreto armado - Especificação, com o valor ca-
racterístico da resistência de escoamento nas categorias CA-25, CA-50 e CA-60. Os
diâmetros e seções transversais nominais devem ser também presentes na NBR 7480.
Segundo a NBR 7480, são denominados os aços CA25, CA50 ou CA60, sendo
eles classificados em:
• Barras: diâmetro superior a 5 mm, tais como o CA25 e CA50
• Fio: diâmetro 10 mm ou inferior, tal como o CA60
O módulo de elasticidade do aço é adotado como:
E = 210.000MPa (2.7)
2.3 A durabilidade da estrutura
Recentemente, importantes pesquisadores e instituições a nível mundial
têm desenvolvido grande esforço na execução de levantamentos de pro-
blemas em vários tipos de edificações, pois a catalogação e análise das
ocorrências consistem em um ponto de partida para qualquer investiga-
ção dessa área. O estudo sistemático dos problemas a partir de suas
manifestações características permite uma análise mais aprofundada
de suas causas, subsidia com informações os trabalhos de reparo e
manutenção das estruturas, além de poder contribuir para o entendi-
mento do processo de produção, de modo a minimizar a incidência de
problemas. Diversos são os parâmetros usuais a serem considerados a
fim de maximizar a durabilidade da estrutura frente as intempéries que
hão de vir com o passar do tempo. (ANDRADE, 1997)
Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 20
Os parâmetros de durabilidade são dependentes de:
• Classe de agressividade ambiental
A agressividade do meio ambiente está relacionada às ações físicas e químicas
que atuam sobre as estruturas de concreto, independentemente das ações mecânicas,
das variações volumétricas de origem térmica, da retração hidráulica e outras previstas
no dimensionamento das estruturas.
Nos projetos das estruturas correntes, a agressividade ambiental deve ser
classificada de acordo com o apresentado na NBR 6118:2014 e pode ser avaliada,
simplificadamente, segundo as condições de exposição da estrutura ou de suas partes,
vide a tabela 6.1, que está ilustrada conforme a figura 1.
Figura 1 – Classes de agressividade ambiental (CAA)
Fonte: NBR 6118:2014 - Tabela 6.1
• Relação água/cimento
Segundo Molin (1988), a respeito da permeabilidade do concreto, nota-se que o
concreto somente é atacado após a penetração do sulfato em solução, a permeabilidade
torna-se um fator importante.
Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 21
Concretos suficientemente impermeáveis podem ser considerados não susce-
tíveis ao ataque de sulfatos. Para garantir a qualidade do concreto, Dal Molin (1988),
sugere valores limites para a relação água/ cimento de acordo com as condições de
exposição do componente, que foram acertadas em:
• Para soluções com até 300 mg de SO3 por litro, usar o fator a/c menor ou igual
a 0,6;
• Para soluções com 300 a 1000 mg de SO3 por litro, usar o fator a/c menor ou
igual a 0,5;
• Para soluções com mais de 1000 mg de SO3 por litro, usar o fator a/c menor ou
igual a 0,4.
Todas as medidas que levam a uma diminuição de permeabilidade, aumentam
a resistência do concreto ao ataque dos sulfatos.
• Cobrimento nominal das armaduras
Atendidas as demais condições estabelecidas nesta seção, a durabilidade das
estruturas é altamente dependente das características do concreto e da espessura e
qualidade do concreto do cobrimento da armadura
Ensaios comprobatórios de desempenho da durabilidade da estrutura frente ao
tipo e classe de agressividade prevista em projeto devem estabelecer os parâmetros
mínimos a serem atendidos. Na falta destes e devido à existência de uma forte corres-
pondência entre a relação água/cimento e a resistência à compressão do concreto e
sua durabilidade, permite-se que sejam adotados os requisitos mínimos expressos na
figura 2 , elaborada a partir da NBR 6118.
Figura 2 – Correspondência entre a classe de agressividade e a qualidade do concreto
Fonte: NBR 6118:2014 - Tabela 7.1
Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 22
Os cobrimentos nominais e mínimos estão sempre referidos à superfície da
armadura externa, em geral à face externa do estribo. O cobrimento nominal de uma
determinada barra deve sempre atender aos requisitos mínimos conforme determinado
pela NBR 6118 a seguir:
a) cnom ≥ ø barra;
b) cnom ≥ ø feixe = øn |= ø√n;
c) cnom ≥ ø bainha.
Onde cnom é o cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução (c).
Considerar Δc = 10mm de cobrimento.
Na figura 3, retirada da NBR 6118, observa-se a correspondência entre a classe
de agressividade e o cobrimento.
Figura 3 – Correspondência entre a classe de agressividade ambiental e
o cobrimento nominal para Δc = 10 mm
Fonte: NBR 6118:2014 - Tabela 7.2
Para concretos de classe de resistência superior ao mínimo exigido, os cobri-
mentos definidos na figura acima podem ser reduzidos em até 5 mm.
Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 23
2.4 Qualidade e segurança
Segundo Brandão (1998), de acordo com estatísticas publicadas, grande parte
dos defeitos verificados nas construções decorrem de erros de projeto, juntamente com
a utilização de materiais inadequados. De fato, muitos diagnósticos sobre as causas
do desperdício e da ineficiência das construções, tendo em vista sua funcionalidade e
durabilidade, apontam para deficiências de projeto. É essencial, portanto, que sejam
direcionados maiores esforços no sentido de melhorar a qualidade dos projetos, em
especial, o projeto estrutural, dada a sua significativa importância, possibilitando corrigir
eventuais falhas e, assim, reduzir os riscos de mau comportamento da estrutura em
serviço.
A estrutura deve atender a requisitos de qualidade e segurança suportando as
ações impostas sem ocorrências de ruptura.
2.5 Estados Limites
A NBR 6118:2014 define os esforços e deformações causados por solicitações
nas estruturas, as quais, devem obedecer aos estados limites último e de serviço.
2.5.1 Estado limite último (ELU)
Nele, é verificado se a estrutura projetada é resistente o bastante para que não
colapse.
Este estado caracteriza-se por resistência da estrutura ultrapassada, perda de
equilíbrios, instabilidade dinâmica, fadiga, flambagem e aderência ultrapassada.
2.5.2 Estado limite de serviço (ELS)
Está relacionado ao conforto. Nele a estrutura não pode ter atingido sua capaci-
dade máxima. Nele temos a abertura de fissuras, deformações e vibrações.
2.6 Lajes Maçicas
São elementos estruturais planos onde toda a espessura é composta por con-
creto, armaduras de flexão longitudinais e eventualmente transversais de distribuição de
tensões. Tem a premissa de receber as cargas, normatizadas, provenientes de utiliza-
ção das edificações, aplicadas no piso e distribuir suas reações em todos os elementos
tais como as paredes ou vigas ao longo de suas bordas. Segundo Carvalho (2013),
desta forma ocorre um melhor aproveitamento da estrutura de apoio do pavimento,
pois dependendo apenas dos vãos da laje e condições de apoio, podem ter cargas
Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 24
da mesma ordem de grandeza resultando em tamanhos vigas mais uniformes, assim
possivelmente diminuindo o pé direito de uma residência.
Atualmente tem se observado nos meios de comunicação a crise naqual se
encontra a construção civil e diante deste cenário se faz necessário o estudo da
redução de custos de uma edificação, de modo que afeta diretamente na economia
das empresas para tentarem vencer a crise com preços finais mais atrativos para os
clientes.
Conforme citado por Pinheiro (2007), o pavimento de uma edificação, devido a
sua grande superfície, é normalmente a parte da estrutura que mais consome material.
Assim, projetar um pavimento, reduzindo um centímetro na altura da laje pode conduzir
a uma economia considerável. Por outro lado a busca por menores dimensões das
estruturas do pavimento tem levado ao uso de concretos cada vez mais resistentes e
também à melhoria dos processos de cálculo. Segundo Guerrin (2002), as lajes maciças
se tornam interessantes quando utilizadas em vãos reduzidos, elas serão menos
deformáveis e custosas em armadura, principalmente se estiverem apoiadas nos 4
lados, o que é muito comum. Por isso este tipo de laje é encontrado predominantemente
em edifícios residenciais, aonde os vão são relativamente pequenos. Com o intuito
de fazer um estudo sobre dimensionamento de lajes maciças de concreto armado,
o presente trabalho teve como propósito elaborar uma planilha prática através do
PTC Mathcad Prime 4, conforme as normas vigentes NBR 6118:2014 e Associação
Brasileira de Normas Técnicas (1980) NBR 6120 - Cargas para o cálculo de estruturas
de edificações, que realiza os cálculos estruturais necessários e auxilia no estudo
de diversas combinações de dimensionamento, a fim de apresentar o melhor custo x
benefício de um estudo de caso residencial composto de lajes maciças, contribuindo
assim para o aprendizado acadêmico e possível uso profissional.
25
3 Considerações adotadas de projeto
3.1 O terreno
Localizado na Av. Prefeito Henrique Borges, nº 655 – Centenário, aos fundos de
uma edificação já existente, terreno este que, ao seu total compreende uma área de
2.687,26 m². Após decidido o terreno, foi-se feito o levantamento topográfico somente
na área de nosso interesse, conforme figura 4:
Figura 4 – Planta de Situação
Fonte: Autores
3.2 Zoneamento e índices urbanísticos
Após prévia consulta à Lei 1.099 de 1978 que dispõe sobre o zoneamento urbano
do Município de Vassouras, Estado do Rio de Janeiro constatou-se que o terreno em
questão se encontra em área classificada como zona residencial sob o código ZR-1
pelo Art. 18.
Segundo este artigo, fica estabelecida como Zona Residencial ZR-1 a área que
circunda a ZC, sendo limitada a noroeste pela rodovia BR-393 e a sudeste pela linha
de cota de 480 metros, incluindo entre outros, os seguintes bairros e loteamentos: Ana
Mary, Tambasco, Athayde, Residência, Mello Afonso, Centenário, Santa Terezinha,
Barão do Amparo, Baronesa do Amparo, São José, Chácara da Saudade, Chácara da
Flores, Rancho Alegre, Jardim de Fátima, Parque Cacique, Nadyr Barcellos, Santa Rita,
Capítulo 3. Considerações adotadas de projeto 26
Madruga e Estiva.
Segundo o Art. 19 (atualizado em 2017), a ocupação dos lotes localizados na
ZR-1, à exceção dos logradouros comerciais, obedecerá às seguintes especificações,
para fins de parcelamento do solo e licenciamento de obras e atividades:
I) Lote mínimo de 450 m²;
II) Testada mínima de 21,00 m;
III) Usos permitidos – residência, escolas, templos religiosos e comércio de bairro
(tipo quitanda, armarinho, armazém, etc.) para os quais se exige:
1) a) Afastamento – conforme Código de Obras;
b) Gabarito máximo – 21,00 m de altura;
c) Taxa de ocupação máxima de 50%.
Munidos dos supracitados índices, cientes das limitações e possibilidades de
projeto é possível dar continuidade em qualquer fase de legalização sem maiores
percalços.
3.3 Projeto Arquitetônico
Levando em conta nosso clima tropical, índices pluviométricos, índices de
umidade do ar, posição relativa do sol com o passar das horas, dentre outros fatores
determinantes, chegou-se a uma residência unifamiliar de dois pavimentos com área
total construída de 227,74 m² e projetada no terreno de 146,51 m². Área esta que
em seu térreo compreende uma cozinha, sala de estar com sala de jantar conjugada,
banheiro, lavabo, área de serviço, duas varandas e um lance de escadas que leva
ao pavimento superior, este que possui uma circulação que dá acesso a dois quartos,
duas suítes e um banheiro.
3.4 Vento
De acordo com a NBR 6118:2014 os esforços devido à ação do vento deverão
ser considerados em todas as situações, sendo estes esforços determinados pela NBR
6123:1988. Todavia, a estrutura aqui abordada composta por térreo e primeiro pavi-
mento, acarreta em um modelo simplificado que facilita, minimizando a consideração
da ação do vento.
Capítulo 3. Considerações adotadas de projeto 27
3.5 Critérios adotados
1) O projeto será executado em concreto armado, com lajes maciças. A ação do
vento não será levada em conta, logo as cargas submetidas serão verticais,
devido ao peso próprio dos elementos e às ações variáveis de uso;
2) O dimensionamento será baseado no método dos estados limites (EL);
3) O concreto terá resistência característica à tração (fck) variável, a depender da
necessidade/uso da edificação e da escolha do engenheiro calculista responsá-
vel;
4) Os valores dos pesos específicos dos materiais e das cargas são obtidos pela
NBR 6120:80 - Cargas para o cálculo de estruturas de edificações;
5) O software PTC Mathcad Prime 4.0.
Segundo descrição do próprio produtor, o PTC Mathcad é um software de
matemática de engenharia que permite realizar, analisar e compartilhar seus cálculos
mais importantes.
Os cálculos são a essência das suas informações de engenharia, onde o enge-
nheiro e sua equipe precisam ser capazes de encontrar, reutilizar e compartilhar essa
propriedade intelectual importante.
Eliminando a necessidade de buscar em uma infinidade de planilhas, códigos e
cadernos para se descobrir o que precisa e ainda tendo que alocar ainda mais tempo
para fazer a conexão e verificação das fórmulas, o PTC Mathcad simplifica o processo
possibilitando a criação de um roteiro visual de cálculo.
O PTC Mathcad tem a mesma facilidade de uso e familiaridade de cadernos
de engenharia, combinados a anotações matemáticas em tempo real, inteligência
de unidades e recursos de cálculo sofisticados. Esse software de matemática de
engenharia permite apresentar seus cálculos com gráficos, texto e imagens em um
único documento. Não se precisa de habilidades especializadas para entender dados do
PTC Mathcad e ainda sua propriedade intelectual se preserva, possibilitando aproveitá-
la para outros projetos.
Engenheiros civis e estruturais têm a oportunidade de moldar o mundo mo-
derno, por assim dizer, permitindo-se projetos de infraestrutura complexas tais como
pontes, grandes prédios, estações de tratamento de água, represas, estradas, canais,
esgotos etc.
Capítulo 3. Considerações adotadas de projeto 28
Cálculos de engenharia civil e estrutural simplificados no software, se apoiando
no direcionamento técnico do engenheiro que permite com facilidade a determinação
de:
• Tensão e deformação
• Momentos de deformação / flexão
• Cargas sísmicas e de vento
• Análise de vigas
• Cargas de aquecimento e resfriamento
• Transferência de calor por radiação
• Estruturas de retenção da terra
• Propriedades da seção composta
29
4 Rotina de cálculo
4.1 Metodologia para a criação da rotina de cálculo
A metodologia do presente trabalho seguiu as recomendações da NBR 6118:2014,
conforme os critérios de dimensionamento exigidos para estrutura de laje maciça de
concreto armado, sendo calculado semelhantemente a uma viga, porém com uma
largura unitária de 100 cm.
Os esforços de momentos fletores e flechas máximas diferidas no tempo
foram calculados para o ponto mais crítico da estrutura e adotados para toda a
mesma, sendo obrigatório chegarem até o apoiotodas as armaduras resistentes
calculadas. Para tal estudo não foram verificados os esforços cortantes. Conforme
referência de Roberto Chust (2014), as lajes de maneira geral fazem parte de um
grupo de elementos estruturais que conseguem mobilizar um esquema de resistência
ao esforço cortante, fazendo com que seu efeito não seja crítico e geralmente apenas
o concreto é suficiente para resisti-lo. Armaduras transversais para o esforço cortante
só são necessárias em casos especiais.
Ainda, segundo Roberto Chust (2014), no estudo de lajes maciças o cálculo de
um pavimento composto de lajes e vigas de concreto armado é feito de maneira sim-
plificada, considerando-se as lajes como elementos isolados apoiados em elementos
rígidos (vigas) indeslocáveis verticalmente.
Essa simplificação é adotada para que haja um entendimento do comportamento
da estrutura e seja possível calcular uma estrutura de concreto armado manualmente
em estudos teóricos acadêmicos e possivelmente práticos em alguns casos, sendo
notório que quase por unanimidade se utiliza programas estruturais que são capazes
de avaliar a estrutura como um todo, realizando infinitas interações que resultam em
um melhor dimensionamento.
Para a criação, foi-se usado o software matemático gratuito PTC Mathcad Prime
4.0, onde o mesmo permite de forma orgânica a aplicação dos mais diversos conceitos
matemáticos na resolução dos mais diversos problemas que tangem a engenharia em
si.
Segundo a Experts (2018), o que distingue PTC Mathcad dos demais softwares
da área é a sua facilidade de uso. De fato, é uma das, entre muitas outras, soluções
computacionais em que nos permite resolver cálculos de engenharia. Documentando
simultaneamente em uma única sequência de fluxo de trabalho reutilizável, o PTC
Mathcad permite o salvamento local ou facilmente conversão em diferentes formatos.
A interface intuitiva combina o padrão matemático de notação matemática instantane-
amente baseada na livre escolha do usuário, texto e gráficos em formato apresentá-
Capítulo 4. Rotina de cálculo 30
vel, permitem a captura de conhecimento, reutilização e verificação do projeto para
melhorar a qualidade e permitir o aprimoramento constrante do produto desenvolvido.
O PTC Mathcad faz com que planilhas, processadores de texto, software de
apresentação e aplicações de programação simplesmente conversem entre si. Esta
facilidade, aliados à certa familiaridade do usuário com computação, permite à enge-
nharia o ato de explorar, validar e verificar projetos de forma a evitar a comunicação
equívoca entre toda a informação. Não há necessidade de ser um especialista em
PTC Mathcad para ler e compreender documentos gerados pelo software, além disso,
o programa conta com uma ativa comunidade online em fóruns, os quais auxiliam
prontamente com tutoriais a respeito dos mais diversos tipos de problemas enfrentados
por iniciantes.
A respeito da entrada de dados para a execução do roteiro, o usuário, de posse
do projeto arquitetônico e bom senso, necessita inserir inicialmente os seguintes dados:
• “lx”, onde lê-se como menor vão;
• “ly”, onde lê-se como maior vão;
• “te”, onde lê-se como a dimensão do apoio a esquerda e direita respectivamente
(td);
• “fck” inicialmente estimado, variando de 20 a 50 MPa;
• O tipo de aço CA a ser utilizado nas armaduras que resistem aos esforços
mecânicos;
• O tipo de caso ao qual a laje a ser analisada se encontra;
• A compatibilização dos momentos, que se dá por análise manual, levamento em
conta as lajes de encontro ao redor da analisada;
4.2 Classificações da laje quanto à direção da armadura principal.
As lajes são categorizadas conforme o tipo de armação unidirecional (armada
em uma só direção) e bidirecional (armada em duas direções). Para classificá-las,
utilizamos o parâmetro λ .
λ =
ly
lx
(4.1)
Capítulo 4. Rotina de cálculo 31
Onde:
λ = parâmetro de geometria da peça.
ly = maior vão efetivo.
lx = menor vão efetivo.
As lajes unidirecionais trabalham em uma direção (a do menor vão), sendo
armada apenas nessa direção. Na outra são colocadas apenas armaduras construtivas
ou mínimas exigidas. Seu dimensionamento é semelhante ao de uma viga submetida a
um carregamento vertical, pois é considerado que a laje é apoiada apenas no sentido
do menor vão.
As lajes bidirecionais trabalham em duas direções e são armadas em ambas. O
dimensionamento é feito destacando duas faixas ortogonais e considerando apoiadas,
cada qual em sua direção.
4.3 Cálculo de laje
As lajes, elementos planos com dimensões muito maiores que a espessura, que
têm função de receber os carregamentos atuantes provenientes do uso da edificação
e transferi-los aos apoios são, aqui, instrumentos de estudo no presente trabalho,
dimensionadas pelo método de Richard Bares (1981).
4.3.1 Considerações
• Não ocorre transmissão de momento de torção das lajes para as vigas;
• As ações das lajes são uniformemente distribuídas nas vigas, e das vigas
transmitidas aos pilares;
• As vigas não se deslocam na direção vertical.
4.3.2 Vãos efetivos
lef = a1 + l0 + a2 (4.2)
Onde,
Capítulo 4. Rotina de cálculo 32
Figura 5 – Lajes
Fonte: Autores
Sendo,
l0 = distância entre faces internas de 2 apoios consecutivos
a1 = menor valor entre
t1
2 e 0, 3h, onde t1 é a largura do apoio à esquerda
a2 = menor valor entre
t2
2 e 0, 3h, onde t2 é a largura do apoio à direita
h = altura da laje
4.3.3 Posicionamento das lajes
As lajes trabalham apoiadas nas vigas de contorno. Para cálculo, é preciso con-
siderar a continuidade entre as vigas, considerado as lajes como engastadas, apoiadas
ou em balanço. A figura 6 mostra a planta esquemática das lajes em concordância com
a planta de arquitetura conforme figura 22, do anexo.
Capítulo 4. Rotina de cálculo 33
Figura 6 – Lajes e vigas
Fonte: Autores
4.3.4 Vinculação
Existem 3 tipos de vinculação para as bordas de uma laje: livre, apoiada e
engastada. Essas 3 abordam facilmente casos para lajes unidirecionais, onde o dimen-
sionamento é realizado para a direção principal, já para as bidirecionais, os momentos
fletores nas duas direções são relevantes. Para facilitar a determinação dos momen-
Capítulo 4. Rotina de cálculo 34
tos fletores, usamos quadros e tabelas que discretizam as vinculações e facilitam os
cálculos dos momentos fletores, flechas e reações. Na figura 7, para exemplificar a
vinculação, usaram-se as aplicáveis em nosso projeto arquitetônico.
Figura 7 – Casos aos quais as lajes podem ser submetidas
Fonte: Autores
Onde,
a) Borda livre: ausência de apoios, apresentando deslocamentos verticais;
b) Borda simplesmente apoiada: ausência de lajes adjacentes, quando a laje
adjacente possui espessura significamente menor ou quando há diferença de
nível entre lajes vizinhas;
Capítulo 4. Rotina de cálculo 35
c) Borda engastada: lajes com dimensões semelhantes. Lajes menores e menos
rígidas são engastadas nas maiores e mais rígidas.
4.4 Regulamentação para a laje segundo as normas da ABNT
A sobrecarga permanente ou de ocupação considerada é determinada pela
NBR 6120:1980 - Cargas para o cálculo de estruturas de edificações.
Tabela 1 – Valores mínimos das cargas verticais permanentes
Locais Cargas (kN/m²)
Dormitórios, sala, copa, cozinha e
banheiro
1,50
Despensa e área de serviço 2,00
Fonte: ABNT NBR 6120 - Cargas para o cálculo de estruturas de edificações
A espessura da laje deve respeitar o item 13.2.4.1 da NBR 6118:2014, que
especifica a espessura mínima para cada um dos casos abaixo:
• 5 cm em lajes de cobertura não em balanço;
• 7 cm em lajes de piso ou cobertura em balanço;
• 10 cm para lajes que suportam veículos de até 30 kN;
• 12 cm para lajes que suportam veículos com mais de 30 kN;
• 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas;
• 14 cm para lajes cogumelos.4.4.1 Ações
As cargas atuantes em uma laje são calculadas de maneira usual: produto
da espessura do material pelo seu peso específico, e pela determinação das cargas
acidentais que estarão sujeitas.
4.4.2 Peso próprio estrutural
É o peso do concreto armado. É o produto da espessura da laje pelo peso específico
do concreto.
Capítulo 4. Rotina de cálculo 36
gpp = γconcreto ∗ h (4.3)
γconcreto = 25kN/m
3, sendo o peso específico do concreto
4.4.3 Peso de contra-piso
Camada de argamassa colocada logo acima do concreto da superfície superior
das lajes. Sua função é nivelar e diminuir a rugosidade da laje, preparando-a para o
revestimento final.
gcp = γarg ∗ ecp (4.4)
γarg = 21kN/m
3 , sendo o peso específico do cimento e areia
ecp = 3cm , sendo a espessura adotada
4.4.4 Revestimento inferior da laje
É função da espessura do reboco e do peso específico da argamassa.
greb = γarg ∗ ereb (4.5)
γreb = 19kN/m
3, sendo o peso específico do cal, cimento e areia
ereb = 2cm, sendo a espessura adotada
Capítulo 4. Rotina de cálculo 37
4.4.5 Revestimento cerâmico
Peso do piso colocado sobre as lajes.
grev = γrev ∗ erev (4.6)
γrev = 18kN/m
3, sendo o peso específico do cal, cimento e areia
erev = 2cm, sendo a espessura adotada
4.4.6 Paredes
A carga da parede atua diretamente sobre a laje. É necessário conhecer o
tipo de alvenaria utilizada, a espessura, a altura e a extensão sobre a laje. Para lajes
armadas em duas direções, a carga é distribuída por toda a dimensão da laje. Vale
ressaltar que a carga atuante é calculada por metro quadrado.
grev =
Valvenaria ∗ γparede
lx ∗ ly (4.7)
γparede = 18kN/m
3, sendo o peso específico da parede de tijolo furado
Valvenaria = (c.h.e), sendo o volume da alvenaria
4.5 Aplicação prática
A seguir, seguiremos com algumas figuras da laje 01 do projeto arquitetônico ao
longo de seu dimensionamento de acordo com o roteiro criado.
Para dar início aos cálculos, deve-se inserir no programa alguns dados de
entrada, tais como mostrado na figura 8 a seguir.
Capítulo 4. Rotina de cálculo 38
Figura 8 – Dados de entrada
Fonte: Autores
Após a inserção dos dados iniciais, define-se o tipo de armação a ser calculada, 
conforme a figura 9.
Figura 9 – Tipo de armação
Fonte: Autores
Após a determinação dos tipos de armação, passa-se a análise do tipo de caso
de vinculação ao qual a laje se encontra, conforme mostrado na figura 10.
Capítulo 4. Rotina de cálculo 39
Figura 10 – Casos de vinculação
Fonte: Autores
Nos próximos passos a pré determinação da altura da laje e a determinação da
altura definitiva são feitas, conforme a figura 11.
Figura 11 – Altura da laje definitiva
Fonte: Autores
Para se dar continuidade aos cálculos, faz-se necessário a determinação dos
carregamentos com base em normas e na planta arquitetônica, conforme a figura 12.
Capítulo 4. Rotina de cálculo 40
Figura 12 – Carregamentos
Fonte: Autores
Após alguns passos, chega-se ao ponto em que as determinações dos momen-
tos são necessárias e, assim como em passos anteriores, através das tabelas usadas,
chegamos as seguintes etapas, conforme na figura 13.
Figura 13 – Coeficientes para o cálculo dos momentos máximos
Fonte: Autores
Abaixo, na figura 14 as setenças que definem os cálculos dos momentos máxi-
mos.
Capítulo 4. Rotina de cálculo 41
Figura 14 – Momentos máximos
Fonte: Autores
A determinação dos momentos para o estado limite último, dependem direta-
mente do passo anterior, conforme a figura 15.
Figura 15 – Momentos para o ELU
Fonte: Autores
Após, analisar manualmente a influência de cada laje sobre a laje analisada, tem
se a compatibilização dos momentos negativos e a correção dos momentos fletores
positivos, conforme a figura 16.
Capítulo 4. Rotina de cálculo 42
Figura 16 – Compatibilização dos momentos negativos e correção dos fletores positivos
Fonte: Autores
Abaixo, na figura 17, o cálculo da armadura positiva ao longo do vão menor.
Figura 17 – Armaduras positivas ao longo do vão menor
Fonte: Autores
A seguir, na figura 18, o cálculo das armaduras positivas ao longo do vão maior.
Capítulo 4. Rotina de cálculo 43
Figura 18 – Armadura ao longo do vão maior
Fonte: Autores
A seguir, na figura 19 e 20 respectivamente, o cálculo da armadura negativa.
Figura 19 – Armadura Negativa
Fonte: Autores
Capítulo 4. Rotina de cálculo 44
Figura 20 – Armadura Negativa (continuação)
Fonte: Autores
Por fim, a necessidade de verificação das flechas elásticas sobre a estrutura
se faz necessária, conforme figura 21, pelo método tabelado sugerido por Carvalho
(2013).
Figura 21 – Flechas elásticas
Fonte: Autores
45
5 Discussão e Resultados
Os resultados obtidos se mostraram bem satisfatórios à proposta incialmente
objetivada.
Desde que o lançamento dos dados se dê de maneira correta e ordenada,
o roteiro funcionará de forma suscinta em conformidade com as normas brasileiras
vigentes.
Como forma de verificação aos resultados obtidos, todas as lajes do projeto
arquitetônico foram calculadas e verificadas manualmente e, segundo Gomes (2018) a
presente verificação do projeto se encontra perfeita conformidade frente às normas
aplicáveis.
46
6 Conclusão
Mais importante do que simplificar um problema visando obter a solução, é
fazer suposições, gerar soluções e escolher, a partir das alternativas obtidas e de
critérios estabelecidos, a solução que melhor convier. Destarte, mais do que qualquer
outra ferramenta moderna, o computador tem transformado a prática da engenharia
em todos os níveis. Além de permitir a resolução de problemas sem necessidade
de simplificações, o computador permite uma abordagem diferente dos problemas,
respondendo à questão: e se. . . ? Deste modo, escolhida sua maneira de trabalho,
antes, o principal problema observado era o tempo despendido para alcançar êxito
na implementação de um método numérico, para em seguida usar este código na
resolução do problema propriamente dito. O que mudou com a vinda de um software
mais intuitivo, tal como o PTC Mathcad Prime 4.0.
O aperfeiçoamento dos computadores fez surgir uma gama de softwares com
grande potencial para auxiliar na tarefa de ensinar engenharia, dentre os quais podemos
destacar o PTC Mathcad Prime 4.0, software gratuito de matemática, abrangendo
as mais diversas situações aos quais se exija análise numérica aplicada. Diversos
trabalhos têm sido publicados com o objetivo de demonstrar as vantagens do uso
de softwares com licenças educacionais, no sentido de também comparar os seus
desempenhos frente a softwares pagos, como também na tarefa de ensinar. Livros
mais recentes também já indicam claramente a importância do uso de uma ferramenta
computacional para a engenharia. Contudo, apesar do uso do computador, deve-
se ser enfático na interdepedência do software escolhido e o pré-requisito fundamental
para uso do computador na resolução de problemas da engenharia que é o pensar de
forma lógica e sistemática. Minimizar o problema através do uso de facilidades e/ou
simplificações que afetem no resultado final podem custar um preço muito alto para
o futuro da engenharia em si, o conhecimento técnico aliado ao uso computacional
devem ser usados de maneira que atinja bons resultados no menor tempo possível e no
melhor custo possível. A sistemática usada para resolução de problemas da engenharia
neste projeto de conclusão de curso apresenta total aplicabilidade e possibilidade de
futuras mudanças localizadas na forma de seu modus operandi.
47
Referências
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ARMADO: ANÁLISE DAS MANIFESTAÇÕES PATOLÓGICAS NAS ESTRUTURAS NO
ESTADO DE PERNAMBUCO. 1997. 151 p. Dissertação (Curso de Pós-Graduação em
Engenharia Civil) — Universidade Federal do Rio Grande do Sul.ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6120 - Cargas para o
cálculo de estruturas de edificações. 1. ed. [S.l.]: ABNT, 1980. v. 1.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 5739 - Concreto -
Ensaio de compressão de corpos-de-prova cilíndricos. 2. ed. [S.l.], 2007. ISBN
978-85-07-00431-8.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 7480 - Aço destinado a
armaduras para estruturas de concreto armado — Especificação. 2. ed. [S.l.]: ABNT,
2008. ISSN 978-85-07-00649-7.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118 - Projeto de
estruturas de concreto — Procedimento. 3. ed. [S.l.]: ABNT, 2014. ISBN 978-85-07-
04941-8.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 5738. Concreto -
Procedimento para moldagem e cura de corpos de prova. 2. ed. [S.l.], 2015. ISBN
978-85-07-05405-4.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 8522 - Concreto -
Determinação dos módulos estáticos de elasticidade e de deformação à compressão.
3. ed. [S.l.]: ABNT, 2017. ISBN 978-85-07-07281-2.
BARES, R. Tablas para el Calculo de Placas y Vigas Pared. Barcelona: Editorial
Gustavo Gili, 1981.
BRANDÃO, A. M. S. Qualidade e durabilidade das estruturas de concreto armado:
aspectos relativos ao projeto. 1998. 149 p. Dissertação (Engenharia de Estruturas) —
Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo, São Carlos.
CARVALHO, J. D. N. de. Sobre as origens e desenvolvimento do concreto. Revista
Tecnológica, v. 17, p. 95 – 112, Março 2008.
CARVALHO, R. C. Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto Armado.
2. ed. São Paulo: [s.n.], 2013. v. 2.
EXPERTS, I. P. PTC Mathcad Prime 4.00. São Paulo: [s.n.], 2018. Disponível em:
<http://integralplm.com.br/ptc-mathcad/>. Acesso em: 06/05/2018.
GOMES, G. Verificação manual das lajes bidirecionais pelo método de Richard Bares
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CÁLCULO DO CONCRETO ARMADO. ISBN 9788528900507.
Referências 48
MOLIN, D. C. C. D. Fissuras em estruturas de concreto armado: análise das
manifestações típicas e levantamento de casos ocorridos no estado do Rio Grande do
Sul. 1988. 220 p. Dissertação (Pós-Graduação em Engenharia Civil) — Universidade
Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre.
PINHEIRO, L. M. FUNDAMENTOS DO CONCRETO E PROJETO DE EDIFÍCIOS. 1.
ed. São Paulo: Universidade de São Paulo, 2007. v. 1.
Anexos
Anexos 50
O projeto arquitetônico, conforme imagens abaixo.
Figura 22 – Planta baixa - Pavimento térro
Fonte: Autores
Anexos 51
Figura 23 – Planta baixa - Pavimento superior
Fonte: Autores
Anexos 52
Figura 24 – Corte A-A
Fonte: Autores
Anexos 53
Figura 25 – Corte B-B
Fonte: Autores
Anexos 54
Figura 26 – Planta de cobertura
Fonte: Autores
As lajes, a seguir, arbitradas por nós.
Anexos 55
Figura 27 – Lajes - Pavimento térreo
Fonte: Autores
Anexos 56
Figura 28 – Lajes - Pavimento superior
Fonte: Autores
A seguir, dos momentos em cada laje.
Anexos 57
Figura 29 – Momentos não compatibilizados - Pavimento térreo
Fonte: Autores
Anexos 58
Figura 30 – Momentos não compatibilizados - Pavimento superior
Fonte: Autores
Anexos 59
Figura 31 – Momentos compatibilizados - Pavimento térreo
Fonte: Autores
Anexos 60
Figura 32 – Momentos compatibilizados - Pavimento superior
Fonte: Autores
Dando continuidade, nas próximas figuras, exemplificaremos a aplicação do
roteiro como ferramenta auxiliar na laje 01 (caso 4), assim como em outros casos a
serem demonstrados.
Anexos 61
Figura 33 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 1
Fonte: Autores
Anexos 62
Figura 34 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 2
Fonte: Autores
Anexos 63
Figura 35 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 3
Fonte: Autores
Anexos 64
Figura 36 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 4
Fonte: Autores
Anexos 65
Figura 37 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 5
Fonte: Autores
Anexos 66
Figura 38 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 6
Fonte: Autores
Anexos 67
Figura 39 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 7
Fonte: Autores
Anexos 68
Figura 40 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 8
Fonte: Autores
Anexos 69
Figura 41 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 9
Fonte: Autores
Anexos 70
Figura 42 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 10
Fonte: Autores
Anexos 71
Figura 43 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 11
Fonte: Autores
Anexos 72
Figura 44 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 12
Fonte: Autores
Anexos 73
Figura 45 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 13
Fonte: Autores
Anexos 74
Figura 46 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 13
Fonte: Autores
Anexos 75
Figura 47 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 15
Fonte: Autores
Anexos 76
Figura 48 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 16
Fonte: Autores
Anexos 77
Figura 49 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 17
Fonte: Autores
Anexos 78
Figura 50 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 18
Fonte: Autores
Anexos 79
Figura 51 – Roteiro de cálculo - Laje 1 - Página 19
Fonte: Autores
Anexos 80
Laje 03, caso 05.
Figura 52 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 1
Fonte: Autores
Anexos 81
Figura 53 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 2
Fonte: Autores
Anexos 82
Figura 54 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 3
Fonte: Autores
Anexos 83
Figura 55 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 4
Fonte: Autores
Anexos 84
Figura 56 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 5
Fonte: Autores
Anexos 85
Figura 57 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 6
Fonte: Autores
Anexos 86
Figura 58 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 7
Fonte: Autores
Anexos 87
Figura 59 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 8
Fonte: Autores
Anexos 88
Figura 60 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 9
Fonte: Autores
Anexos 89
Figura 61 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 10
Fonte: Autores
Anexos 90
Figura 62 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 11
Fonte: Autores
Anexos 91
Figura 63 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 12
Fonte: Autores
Anexos 92
Figura 64 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 13
Fonte: Autores
Anexos 93
Figura 65 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 14
Fonte: Autores
Anexos 94
Figura 66 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 15
Fonte: Autores
Anexos 95
Figura 67 – Roteiro de cálculo - Laje 3 - Página 16
Fonte: Autores
Anexos 96
Laje 04, caso 06.
Figura 68 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 1
Fonte: Autores
Anexos 97
Figura 69 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 2
Fonte: Autores
Anexos 98
Figura 70 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 3
Fonte: Autores
Anexos 99
Figura 71 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 4
Fonte: Autores
Anexos 100
Figura 72 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 5
Fonte: Autores
Anexos 101
Figura 73 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 6
Fonte: Autores
Anexos 102
Figura 74 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 7
Fonte: Autores
Anexos 103
Figura 75 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 8
Fonte: Autores
Anexos 104
Figura 76 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 9
Fonte: Autores
Anexos 105
Figura 77 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 10
Fonte: Autores
Anexos 106
Figura 78 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 11
Fonte: Autores
Anexos 107
Figura 79 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 12
Fonte: Autores
Anexos 108
Figura 80 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página13
Fonte: Autores
Anexos 109
Figura 81 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 14
Fonte: Autores
Anexos 110
Figura 82 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 15
Fonte: Autores
Anexos 111
Figura 83 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 16
Fonte: Autores
Anexos 112
Figura 84 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 17
Fonte: Autores
Anexos 113
Figura 85 – Roteiro de cálculo - Laje 4 - Página 18
Fonte: Autores
	Folha de rosto
	Folha de aprovação
	Dedicatória
	Agradecimentos
	Epígrafe
	Resumo
	Abstract
	Lista de ilustrações
	Lista de tabelas
	Sumário
	 Introdução
	Objetivo Geral
	Objetivo Específico
	Justificativa
	Revisão Bibliográfica
	Concreto Armado
	Massa específica
	Resistência à compressão
	Resistência à tração
	Módulo de elasticidade
	Aços para o Concreto Armado
	A durabilidade da estrutura
	Qualidade e segurança
	Estados Limites
	Estado limite último (ELU)
	Estado limite de serviço (ELS)
	Lajes Maçicas
	Considerações adotadas de projeto
	O terreno
	Zoneamento e índices urbanísticos
	Projeto Arquitetônico
	Vento
	Critérios adotados
	Rotina de cálculo
	Metodologia para a criação da rotina de cálculo
	Classificações da laje quanto à direção da armadura principal.
	Cálculo de laje
	Considerações 
	Vãos efetivos
	Posicionamento das lajes
	Vinculação
	Regulamentação para a laje segundo as normas da ABNT
	Ações
	Peso próprio estrutural
	Peso de contra-piso
	Revestimento inferior da laje
	Revestimento cerâmico
	Paredes
	Aplicação prática
	Discussão e Resultados
	Conclusão
	Referências
	Anexos