física da fala e audição (ondas)

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Acústica
Curso de Terapêutica da Fala
Escola Superior de Saúde de Faro
1
o
Semestre, 1
o
Ano
Ano lectivo de 2005-2006
Rui Guerra
Departamento de Física
Faculdade de Ciências e Tecnologia da
Universidade do Algarve
rguerra@ualg.pt
http://w3.ualg.pt/ rguerra/acustica0506.htm
15 de Fevereiro de 2006
2
Nota prévia
O ensino tradicional da Terapêutica da Fala não costuma englobar uma cadeira
específica de acústica. A opção mais comum é ensinar os conceitos fundamentais
de acústica à medida que vão sendo necessários. Quando comecei a leccionar
esta cadeira em 2003/2004 também estava um pouco imbuído desta perspectiva
e interrogava-me se conseguiria �encher� um semestre com matéria relevante para
os futuros terapeutas da fala.
A experiência destes três anos mostrou-me que um semestre a estudar acústica
é realmente uma mais valia para os alunos deste curso. Há uma série de conceitos
fundamentais para a Terapêutica da Fala que só podem ser bem compreendidos
com uma base razoável de acústica. E essa base não se pode proporcionar com
meia dúzia de aulas.
O programa da cadeira é a própria demonstração disso mesmo. O objectivo do
programa é proporcionar a compreensão de temas que um terapeuta da fala deve
indubitavelmente dominar e que sem uma base física de acústica não o consegue
fazer:
1. A noção de frequência e período
2. O que é o som?
3. As curvas de audibilidade e o seu significado
4. A escala dos decibéis e dos fones
5. Como se produz a voz?
6. O que são as formantes? Porque é que existem formantes?
7. Como funciona o ouvido?
A esta lista devia ainda acrescentar o tema dos espectros, isto é, como é que
um som complexo se decompõe em ondas sinusoidais simples. Mas não houve
tempo.
A tabela de matérias que aparece três páginas a seguir parece extensa e al-
guns temas parecerão desnecessários numa visão pragmática do que deve ser um
terapeuta da fala. Eventualmente alguns temas poderão ser omitidos, mas estou
convicto de que a maior parte é necessária para poder ensinar com profundidade
mínima os temas expostos na lista acima. Explico a seguir, em mais detalhe, o
que é necessário para compreender cada um dos pontos eneunciados.
A noção de frequência e período� Este ponto é elementar e não merece
grandes comentários (secs. 3.2 e 3.3).
3
O que é o som? � É importante perceber que o som é um caso particu-
lar dos fenómenos ondulatórios (sec 3.1). Por isso se dá ênfase numa descrição
mais geral, introduzindo os conceitos de ondas transversais e longitudinais. É
também através do conceito de onda longitudinal que se percebe como é que as
moléculas do meio transmitem o som (sec. 3.6.2). O som propaga-se e interfere,
propriedades que são descritas a um nível básico (secs 3.5, 3.7 e 3.8). Finalmente
é importante os alunos terem a noção de que o som se propaga com velocidades
diferentes em diferentes meios (sec. 4.3).
As curvas de audibilidade e o seu significado e também A escala dos
decidéis e fones � Para perceber estes conceitos há que perceber bem a escala
dos decibéis. Isso só se consegue dedicando algum tempo ao assunto, porque o
facto de a escala não ser linear faz muita confusão aos alunos. Atrevo-me a dizer
que sem este treino os futuros terapeutas teriam sempre uma noção deficiente
do conceito de decibel. Mesmo depois de muito insistir na natureza logarítmica
da escala dos decibéis, é comum descobrir alunos que continuam a achar que a
intensidade correspondente a 20 dB é o dobro da intensidade correspondente a 10
dB! É por isso que se insiste nos logaritmos (sec. 2.8) e se fazem duas aplicações
com o objectivo fundamental de treinar o conceito: a intensidade relativa de dois
sons em dB (sec. 4.5.4) e a variação da intensidade com a distância à fonte,
também em dBs (sec. 4.9). Este último ponto é também útil por si. Permite,
por exemplo, ajudar a avaliar como é que a posição de um aluno na sala de aula
pode fazer variar a sua percepção auditiva.
Também as curvas de audibilidade (sec 4.6) são muito importantes e tão
difíceis de compreender pelos alunos! É preciso insistir muito para que eles as
compreendam! É preciso tempo. É preciso explicar as curvas de audibilidade em
contextos diferentes. É minha experiência que os alunos não entendem o conceito
das curvas de audibilidade antes de duas ou três aulas a insistir no assunto. Por
certo não as entenderão num �compacto� de acústica, com a figura a ser mostrada
num acetato de 3 minutos.
Como se produz a voz? e também O que são as formantes? Porque
é que existem formantes? � Para perceber como se produz a voz é preciso
perceber duas coisas: i) como se faz e o que origina a vibração das cordas vo-
cais e ii) como se faz a filtragem pelas cavidades ressonantes. Para perceber a
vibração das cordas é necessário explicar a vibração de cordas em geral e o que
é a frequência fundamental de vibração de uma corda e as suas harmónicas (secs
5.1 - 5.3). Para perceber como se faz a a filtragem pelas cavidades oral e nasal é
preciso perceber primeiro que estas funcionam como colunas de ar fechadas numa
extremidade (sec 5.4). Eis porque sem o capítulo 5, "Ondas Estacionárias", em
que estes conceitos são explicados, não se pode perceber basicamente nada sobre
a produção da voz. E, repito, não será certamente numa cadeira mais avançada
que haverá tempo para discutir isto com rigor. Devo ainda dizer que para explicar
4
de forma simples as colunas de ar é necessário explicar o conteúdo aparentemente
descabido da secção 4.4.3.
Percebendo isto é fácil perceber o que são as formantes. São os primeiros mo-
dos de vibração das cavidades ressonantes e que por isso mesmo constituem as
suas ressonâncias. É um modelo simples, associar a cavidade oral a uma coluna
de ar aberta numa extremidade com 17 cm de comprimento, mas permite com-
preender conceptualmente o que são as formantes e porque têm uma distribuição
de frequências que em geral é "baixa-média-alta".
Fora deste contexto não há forma de dar uma explicação convincente para a
origem das formantes. Existem "porque sim"e nada mais. Parece-me inequívoco
que saber a explicação física para a existência de formantes é uma mais valia para
os futuros terapeutas da fala. Com o quadro de competências adquirido é, por
exemplo, muito fácil perceber porque é que a voz das crianças é em geral mais
aguda, ou porque é que a voz das mulheres é em geral mais aguda do que a dos
homens.
Toda esta explicação é dada no capítulo 6.
Como funciona o ouvido? �Finalmente o capítulo 7 é dedicado à física do
ouvido, não à anatomia do ouvido, que já é tratada noutra cadeira, mas à forma
como o ouvido funciona. As ideias mais importantes que gostaria de transmitir
aos alunos relacionam-se com as funções dos ouvidos externo, médio e interno.
Relativamente ao ouvido externo, explica-se porque é que o ouvido é mais
sensível cerca dos 4000 Hz. Mais uma vez, isto só se percebe recorrendo ao facto
de que o canal auditivo é uma coluna de ar com cerca de 25 mm, aberta numa
extremidade e que portanto o primeiro modo de vibração ocorre perto dos 4000
Hz. Explica-se ainda a função de �funil� do canal auditivo, um efeito que amplifica
a intensidade do som entre 2 a 6 dB.
Porque é que o ouvido não se reduz apenas ao ouvido interno? Em vez do
tímpano poderímaos ter directamente a janela oval! A resposta para esta questão
só pode ser entendida por quem perceba que a impedância acústica da perilinfa
(que é basicamente a da água) é muito maior que a do ar e que esta escolha
anatómica implicaria uma perda de 30 dB de intensidade sonora devido à reflexão
do som quando passa do ar para a água. É por isso que a membrana timpânica
deve estar no ar e isolada da água. O ouvido médio faz o acoplamento entre o
are a água. Assim, para ensinar estes factos com algum detalhe deve dedicar-se
algum tempo a explicar os conceitos de impedância acústica (sec 3.9.2), no que
também pareceria à primeira vista um �excesso de zelo� de físico.
É o prodigioso mecanismo do ouvido médio que permite compensar a perda
devido ao desajuste de impedâncias entre o ouvido interno e o ar. Isso é feito
através da razão entre as áreas do tímpano e da janela oval (é preciso explicar
o conceito de pressão, que está na secção 4.3) e do efeito de alavanca produzido
pelo ossículos do martelo e da bigorna.
As descrições anatómicas do ouvido são geralmente omissas a este respeito.
5
E se mencionarem algo vago e nebuloso relativamente ao mecanismo de com-
pensação do ouvido médio, soarão a algo inintelígivel para quem não tenha as
necessárias bases de acústica!
Finalmente o ouvido interno. Os principais objectivos são: a) explicar o
mecanismo de transdução das ondas mecânicas em impulsos nervosos e b) explicar
a teoria da localização, que pretende explicar como se faz a identificação das
frequências pelo cérebro.
Acaba neste ponto a matéria da cadeira. Como disse, seria ainda importante
falar de espectros. Fica para a próxima. Espero ter convencido o leitor/aluno
da importância de estudar acústica, que se poderia resumir assim: ter consciên-
cia dos termos e conceitos que estarão subjacentes no seu trabalho futuro, de
forma a evitar tornar-se mero técnico, manipulando conceitos sem realmente os
compreender.
Rui Guerra,
Gambelas, 19 de Fevereiro de 2006
6
Conteúdo
1 Introdução: o que é o som? 11
2 Noções básicas de Matemática 15
2.1 Notação científica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Regras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.2 Prefixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Álgebra Básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Manipulação de parêntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Fracções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7 Representação gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.8 Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.9 Regras de três simples (proporcionalidade) . . . . . . . . . . . . . 22
2.10 Ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.10.1 Medida de graus em radianos . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.11 Senos e co-senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.11.1 Identidades Trigonométricas importantes . . . . . . . . . . 26
2.12 A importância das funções trigonométricas na acústica . . . . . . 27
3 Movimento Ondulatório 31
3.1 O que é uma onda? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Ondas periódicas e não periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Comprimento de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Período e Frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5 Velocidade de propagação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.6 Tipos de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6.1 Exemplos de ondas transversas . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.6.2 Exemplos de ondas longitudinais . . . . . . . . . . . . . . 42
3.6.3 E o som? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.7 Ondas Progressivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.8 Sobreposição e Interferência de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.9 Reflexão e Transmissão de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7
8 CONTEÚDO
3.9.1 Descrição geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.9.2 Quantificação da reflexão e transmissão . . . . . . . . . . . 53
3.10 Ondas Sinusoidais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.10.1 Número de onda e frequência angular . . . . . . . . . . . . 57
3.10.2 Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4 O som 59
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Ondas audíveis, infrasónicas e ultrasónicas . . . . . . . . . . . . . 59
4.3 Velocidade das ondas sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4 O som como onda periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4.1 O som como movimento oscilatório das partículas do ar . . 66
4.4.2 O som como oscilação da densidade do ar . . . . . . . . . 67
4.4.3 Desfazamanto entre a onda de deslocamento e a onda de
densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.5 A intensidade do som . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.5.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.5.2 Limiar de audibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5.3 Nível de intensidade sonora (decibel) . . . . . . . . . . . . 71
4.5.4 Intensidade relativa de dois sons . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5.5 Variações na diferença mínima de intensidade detectável . 74
4.5.6 A curva do limiar de audibilidade . . . . . . . . . . . . . . 76
4.5.7 Uma nota: escala logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.6 As curvas de audibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.7 Unidade do nível de audibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.8 Unidade de audibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.9 A lei do inverso quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.10 Caracterização dos sons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.10.1 Intensidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.10.2 Altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.10.3 Timbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5 Ondas Estacionárias 87
5.1 O que são ondas estacionárias? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2 Outra forma de ver as ondas estacionárias . . . . . . . . . . . . . 89
5.3 Ondas estacionárias em cordas fixas nas duas extremidades . . . . 90
5.4 Ondas estacionárias em colunas de ar . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.4.1 Colunas fechadas numa das extremidades . . . . . . . . . . 93
5.4.2 Colunas abertas nas duas extremidades . . . . . . . . . . . 96
5.5 Resumo dos modos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
CONTEÚDO 9
6 As ressonâncias e a voz 99
6.1 O que é a ressonância? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.2 Caixas de ressonância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.3 Como é que se produz a voz? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7 O ouvido 109
7.1 Descrição geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2 O ouvido externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.2.1 O pavilhão auricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.2.2 O canal auditivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.2.3 O tímpano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.2.4 A amplificação da intensidade pelo ouvido externo . . . . . 112
7.3 O ouvido médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.3.1 O efeito da razão entre as áreas do tímpano e da janela oval 116
7.3.2 O efeito de alavanca entre martelo e bigorna . . . . . . . . 119
7.3.3 Músculos, tendões e protecção do ouvido . . . . . . . . . . 121
7.3.4 A trompa do Eustáquio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.4 O ouvido interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.4.1 Descrição geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 123
7.4.2 Estrutura interna da cóclea . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.4.3 O orgão de Corti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.4.4 Como se faz a identificação dos sons? A teoria da localização128
10 CONTEÚDO
Capítulo 1
Introdução: o que é o som?
O som é uma onda e para se propagar precisa de um suporte material. No
caso mais habitual o suporte é o ar, mas também pode ser qualquer outro gás,
líquido ou sólido.
À medida que a onda se propaga as partículas do meio vibram de forma a
produzir variações de pressão e densidade segundo a direcção de propagação. Es-
tas alterações resultam numa série de regiões de altas e baixas pressões chamadas
de condensações e rarefacções respectivamente.
A vibração do ar é o som. Essa vibração tem de ter uma fonte, uma origem. É
a fonte sonora. É a fonte sonora que força o ar a vibrar. Pode ser um altifalante
ou a laringe, através da passagem do ar pelas cordas vocais.
No caso do altifalante é a membrana que vibra e força as moléculas do ar a
entrar também em vibração.
No caso da voz, é a passagem do ar pelas cordas vocais, localizadas na laringe,
que origina a sua vibração e a transmissão dessa vibração ao ar.
11
12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO: O QUE É O SOM?
Figura 1.1: A vibração do ar traduz-se em zonas de condensação e rarefacção das
partículas.
Figura 1.2: A vibração da membrana do altifalante força a vibração das partículas
do ar.
Depois de originado na fonte e propagado pelo meio material, o som é recebido
por um elemento receptor. Esse elemento receptor tem a capacidade de trans-
formar as ondas sonoras em algum outro tipo de sinal que possamos processar.
É portanto um elemento transdutor. No caso do ouvido, as vibrações do ar são
convertidas em vibrações mecânicas e, em última análise, em impulsos eléctricos
que são processados pelo nosso cérebro.
O programa da cadeira de Acústica é precisamente estudar mais detalhada-
mente o percurso emissão, transmissão e recepção de ondas sonoras, tentando
compreender qualitativa e quantitativamente os principais processos físicos en-
volvidos no fenómeno do som.
13
Figura 1.3: A vibração das cordas vocais transmite-se ao ar e origina o som.
Figura 1.4: Que grandes elementos transdutores!
14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO: O QUE É O SOM?
Capítulo 2
Noções básicas de Matemática
2.1 Notação científica
Para escrever números muito grandes ou muito pequenos é mais cómodo usar a
notação científica, que consiste em escrever um número na forma
x = a× 10n. (2.1)
n é o expoente de 10. Temos
100 = 1
101 = 10
102 = 100
103 = 1000 . . . (2.2)
Vemos portanto que 10n quer dizer 1 seguido de n zeros.
Para números menores que 1 usam-se os expoentes negativos:
10−1 =
1
101
= 0.1
10−2 =
1
102
= 0.01
10−3 =
1
103
= 0.001 . . . (2.3)
Vemos portanto que 10−n é �0.� seguido de n casas decimais, sendo a última um
1 e todas as outras 0.
Exemplo 7, 5× 102 = 7, 5× 100 = 750
15
16 CAPÍTULO 2. NOÇÕES BÁSICAS DE MATEMÁTICA
2.1.1 Regras
1.
10n × 10m = 10n+m (2.4)
2.
10n
10m
= 10n−m (2.5)
2.1.2 Prefixos
1. Kilo=K=103; mili=m=10−3;
2. Mega=M=106; micro=µ = 10−6;
3. Giga=k=109; nano=n=10−9;
4. Tera=T=1012; pico=p=10−12;
2.2 Álgebra Básica
• �Oito vezes o meu número de laranjas é 32� quer dizer
8x = 32.
Quanto é x? Podemos dividir os dois termos da equação por 8:
8x
8
=
32
8
⇒ x = 4.
• �O meu número de laranjas mais 3 é 7� quer dizer
x+ 3 = 7.
Quanto é x? Podemos adicionar −3 aos dois termos, e fica
x+ 3− 3 = 7− 3⇒ x = 4.
• �O meu número de laranjas a dividir por 2 é 2� quer dizer
x
2
= 2.
Quanto é x? Podemos multiplicar por 2 os dois termos, e fica
x
2
× 2 = 2× 2⇒ x = 4.
2.3. MANIPULAÇÃO DE PARÊNTESIS 17
Em geral,
a
b
x+ c = d⇒
a
b
x = d− c⇒ (2.6)
x =
b
a
(d− c).
2.3 Manipulação de parêntesis
1. Propriedade distributiva:
a(b+ c) = ab+ ac. (2.7)
2. Expansão de um quadrado:
(a+ b)2 = (a+ b)(a+ b) = (a+ b)a+ (a+ b)b
= a2 + ba+ ab+ b2 = a2 + 2ab+ b2. (2.8)
3. Uma factorização importante
a2 − b2 = (a+ b)(a− b). (2.9)
2.4 Fracções
1. Multiplicação de fracções
a
b
× c
d
=
ac
bd
. (2.10)
2. Divisão de fracções
a
b
c
d
=
a
b
× d
c
=
ad
bc
. (2.11)
3. Para somar (ou subtrair) fracções há que reescrevê-las de forma a terem o
mesmo denominador:
a
b
± c
d
=
ad
bd
± cb
bd
=
ad± bc
bd
. (2.12)
18 CAPÍTULO 2. NOÇÕES BÁSICAS DE MATEMÁTICA
2.5 Potências
A notação científica é um caso particular da aplicação de potências. Como há
pouco,
x0 = 1
x1 = x
x2 = x× x
x3 = x× x× x (2.13)
x−1 = 1/x1
x−2 = 1/x2
x−n = 1/xn
As regras são
1. Multiplicação
xnxm = xn+m (2.14)
2. Divisão
xn
xm
= xn−m (2.15)
3. Exponenciação
(xn)m = xnm (2.16)
4. Radicais
x1/n = n
√
x. (2.17)
O que é
n
√
x? É um número y tal que yn = x:
n
√
x = y ⇒ yn = x. (2.18)
A raiz mais comum é a quadrada:
2
√
x = y ⇒ y2 = x. (2.19)
2.6 Funções
O que é uma função?
É uma operação que transforma elementos de um dado conjunto A em ele-
mentos de outro conjunto B, sendo que a cada elemento de A corresponde apenas
2.6. FUNÇÕES 19
um elemento de B (mas o mesmo elemento de B pode ser a imagem de vários
elementos de A).
Por exemplo, se deixarmos cair um corpo do cimo de uma torre e pudermos
medir a distância que ele vai percorrendo e o tempo em que percorre essa dis-
tância, então temos os conjuntos A=tempo de queda e B=distância percorrida.
Se representarmos os elementos de A por t e os elementos de B por x, então a
função que faz a correspondência entre os elementos de A e B é
x = f(t) = 4.9t2. (2.20)
A ilustração deste exempo está na figura 2.1.
Figura 2.1: A função �queda livre� transforma os tempos em distâncias
Outro exemplo: o preço a pagar por uma dada quantidade de laranjas. Temos
A=quantidade de laranjas (m, em kg) e B=preço a pagar (p, em euros). Então,
se o preço por kg for 2 euros, temos
p = f(m) = 2m. (2.21)
Agora imaginemos que temos de pagar 50 cêntimos pelo saco que contém as laran-
jas, independentemente da quantidade de laranjas a comprar. Então a função
preço passa a ser
p = f(m) = 2m+ 0.5. (2.22)
As funções podem ser descritas por expressões analíticas simples, como as dos
exemplos anteriores, mas também podem ter expressões muito mais complicadas.
Podem ainda ser expressas por tabelas, sem que haja alguma fórmula que se lhe
adapte.
20 CAPÍTULO 2. NOÇÕES BÁSICAS DE MATEMÁTICA
2.7 Representação gráfica
Quando queremos representar uma função
y = f(x)
recorremos a um gráfico. No eixo horizontal colocamos os valores de x e no eixo
vertical colocamos os valores de y. Vejamos os gráficos das funções dos exemplos
anteriores nas figuras 2.2 e 2.3:
Figura 2.2: O gráfico da função x = 4, 9t2
Figura 2.3: O gráfico da função p = 0, 5 + 2m
Vejamos ainda outro exemplo: a posição de um carro que viaja à velocidade
v=60 km/h. Temos então que a distância percorrida (d, em km) é uma função
do tempo de viagem (t, em h). A correspondência é simplesmente
d = 60t, (2.23)
2.8. LOGARITMOS 21
e o gráfico é também uma linha recta (figura 2.4).
Figura 2.4: O gráfico da função d = 60t
O seguinte gráfico (figura 2.5) refere-se também à distância percorrida por um
carro. Como interpretar este gráfico?
Figura 2.5: Que função é esta? O que aconteceu ao carro?
2.8 Logaritmos
O logaritmo de um número na base a define-se assim:
Se x = ay então y = loga x. (2.24)
Por outras palavras, o logaritmo de x na base a é o número y a que é preciso
elevar a para se ter ay = x.
22 CAPÍTULO 2. NOÇÕES BÁSICAS DE MATEMÁTICA
Por agora os logaritmos quenos interessam são os de base 10. Por isso, em
vez de escrever log10 escrevemos simplesmente log. Temos
x = 10y ⇒ y = log x. (2.25)
Por exemplo, 1000 = 103 quer dizer que log 1000 = 3.
Propriedades do logaritmos
1. Valores notáveis
log 1 = 0 (2.26)
(porque 100 = 1).
log 10 = 1 (2.27)
(porque 101 = 10)
2. log do produto
log(ab) = log a+ log b (2.28)
3. log da divisão
log
a
b
= log a− log b (2.29)
4. log do expoente
log(an) = n log a (2.30)
O gráfico da função logaritmo (ver a figura 2.6) mostra que o seu crescimento
é lento: y = log x varia pouco relativamente a x. Na verdade, enquanto x toma
os valores 1, 10, 100, 1000, 10000,..., y toma os valores 0,1,2,3,4,...
Ex.: calcular log(5, 6× 107)
2.9 Regras de três simples (proporcionalidade)
Se 1,8 kg de laranjas custa 3 euros, quanto custa 0,6 kg? Uma forma rápida de não
nos enganarmos é fazer uma regra de três simples, exprimindo a proporcionalidade
entre a quantidade de laranjas e o seu preço
1, 8 kg→ 3 euros
0, 6 kg→ x euros (2.31)
Temos então que
x =
0, 6× 3 euros
1, 8
= 1 euro. (2.32)
2.10. ÂNGULOS 23
Figura 2.6: O gráfico da função log x (nota: log 1 = 0 e log 0 não está definido.
A escala é muito grande e parece que o primeiro ponto é 0. Não é. O primeiro
ponto é x = 1.)
2.10 Ângulos
Uma volta completa são 360
o
graus
Um jogador de futebol disse um dia que �a sua vida tinha levado uma
volta de 360
o
�...
A partir dos 360
o
os ângulos voltam a repetir-se. Por exemplo:
• 400◦ = 360◦ + 40◦ ≡ 40◦
• 3601◦ = 10× 360◦ + 1◦ ≡ 1◦
2.10.1 Medida de graus em radianos
Os ângulos podem também exprimir-se em radianos. Como se indica na figura
2.7, o ângulo em radianos vale
θ =
s
r
, (2.33)
em que s é o comprimento do arco subtendido pelo ângulo e r é o raio da circun-
ferência.
Como já sabemos que o perímetro da circunferência vale 2pir, então a volta
completa em radianos (360
o
) vale
θ(360◦) =
2pir
r
= 2pi. (2.34)
24 CAPÍTULO 2. NOÇÕES BÁSICAS DE MATEMÁTICA
Figura 2.7: Definição de radiano
Para determinar qualquer outro ângulo podemos usar uma regra de 3 simples.
Por exemplo, quanto é 45
o
em radianos?
360◦ → 2pi rad
45◦ → θ rad
e
θ =
45× 2pi
360
=
pi
4
. (2.35)
Outra forma de fazer as conversões é simplemente usar os factores de conversão:
• de graus para radianos: multiplicar por pi/180
• de radianos para graus: multiplicar por 180/pi
Quanto é um radiano em graus?
2.11 Senos e co-senos
A definição de seno e co-seno faz-se através da figura 2.8. É importante notar
que o triângulo é recto, isto é, um dos seus ângulos internos é 90
o
.
As três coisas básicas que se devem saber sobre triângulos rectângulos:
1. Um dos seus ângulos intermos é 90
o
.
2. Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2.
3. A soma dos seus três ângulos internos é 180
o
(válido para qualquer
triângulo).
2.11. SENOS E CO-SENOS 25
Figura 2.8: Definições de seno e co-seno
Temos que
sin θ =
cateto oposto
hipotenusa
=
b
a
(2.36)
e
cos θ =
cateto adjacente
hipotenusa
=
c
a
(2.37)
Através do teorema de Pitágoras podemos demostrar uma igualdade muito
importante:
sin2 θ + cos2 θ = 1. (2.38)
Com efeito, temos,
sin2 θ + cos2 θ =
b2
a2
+
c2
a2
=
b2 + c2
a2
=
a2
a2
= 1.
O círculo trigonométrico (figura 2.9) também nos ajuda a compreender
estas funções. O círculo trigonométrico tem raio=1 e por isso a hipotenusa dos
triângulos que vamos desenhar nesse círculo é 1. Assim temos que sin θ = b/1 = b
e cos θ = c/1 = c
O valor de cos θ lê-se no eixo dos xx. Em θ = 0 o segmento que define θ
coincide com o raio. Portanto cos θ = 1 em θ = 0. À medida que o ângulo
vai aumentando o segmento que define θ diminui de comprimento. Em θ = 90◦
é mesmo zero. Portanto cos 90◦ = 0. Quando passamos ao segondo quadrante
(90◦ < θ < 180◦) passamos a ter valores de cos θ negativos. Em θ = 180◦ o
comprimento do segmento é igual ao raio=1, mas tem valor negativo. ortanto
cos 180◦ = −1. Se fizermos então o gráfico da função cos θ (em que a cada valor
de θ, na horizontal, se faz corresponder o seu valor de cos θ, na vertical), obtemos
a figura 2.10.
26 CAPÍTULO 2. NOÇÕES BÁSICAS DE MATEMÁTICA
Figura 2.9: O círculo trigonométrico
Podemos fazer a mesma representação para o seno. Desta vez obtemos a
figura 2.11
Podemos representar as duas funções no mesmo gráfico, tal como está na
figura 2.12.
2.11.1 Identidades Trigonométricas importantes
Seguem-se algumas identidades que podem ser úteis no trabalho com as funções
seno e co-seno:
1. sin2 θ + cos2 θ = 1
2. sin 2θ = 2 sin θ cos θ
3. cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ
4. sin2 θ
2
= 1
2
(1− cos θ)
5. cos2 θ
2
= 1
2
(1 + cos θ)
6. 1− cos θ = 2 sin2 θ
2
7. sin(a± b) = sin a cos b± cos a sin b
8. cos(a± b) = cos a cos b∓ sin a sin b
9. sin a± sin b = 2 sin[1
2
(a± b)] cos[1
2
(a∓ b)]
10. cos a+ cos b = 2 cos[1
2
(a+ b)] cos[1
2
(a− b)]
2.12. A IMPORTÂNCIA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NA ACÚSTICA27
Figura 2.10: A função co-seno
Figura 2.11: A função seno
11. cos a− cos b = 2 sin[1
2
(a+ b)] sin[1
2
(b− a)]
2.12 A importância das funções trigonométricas
na acústica
Muitos movimentos periódicos são descritos por uma função seno ou co-seno. Por
exemplo, as oscilações numa corda podem ser sinusoidais (ver figura 2.13)
Se num dado instante de tempo (fotografia) fizermos a correspondência entre
x (coordenada horizontal dos pontos da corda, com origem no rapaz da direita,
p. ex.) e y (altura dos pontos da corda medida a partir da posição de repouso),
então obtemos o gráfico de um seno ou co-seno (figura 2.13).
28 CAPÍTULO 2. NOÇÕES BÁSICAS DE MATEMÁTICA
Figura 2.12: As funções seno e co-seno
Figura 2.13: A função seno numa corda
Também podemos pensar no movimento de uma massa ligada a uma mola
(figura 2.14). Se agora fizermos a correspondência entre t (tempo decorrido) e
y (altura da massa relativamente à posição de equilíbrio), então também vamos
obter o gráfico do co-seno.
Finalmente, e o mais importante para nós, o som é descrito através de funções
trigonométricas. Como já vimos, o som corresponde à propagação de zonas de
compressão e rarefacção do ar. Se fizermos um gráfico em que x é a distância
da fonte (no caso da figura um altifalante) e y a densidade das moléculas de ar,
então obteremos o gráfico de um seno ou de um co-seno. Isto está ilustrado na
figura 2.15.
2.12. A IMPORTÂNCIA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NA ACÚSTICA29
Figura 2.14: A função seno numa mola
Figura 2.15: A função seno no som
30 CAPÍTULO 2. NOÇÕES BÁSICAS DE MATEMÁTICA
Capítulo 3
Movimento Ondulatório
3.1 O que é uma onda?
Embora todos tenhamos a experiência do que é uma onda, como podemos for-
malizar este conceito?
Figura 3.1: Katsushika Hokusai, The Great Wave Of Kanagawa (1823-29)
Pensemos em vários exemplos:
• Ondas no mar
• Uma onda numa corda
• Uma onda de espectadores num estádio de futebol
• Uma onda num tanque...
31
32 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO ONDULATÓRIO
Figura 3.2: Uma onda numa corda
Figura 3.3: Uma onda humana
Em todos estes casos temos um meio que sustenta a onda. Esse meio está
inicialmente em repouso, mas depois há uma perturbação de alguma das suas
propriedades que se vai propagar. Então, de uma forma geral, podemos considerar
que uma onda é o movimento de uma perturbação.
Uma outra característica comum ao fenómeno das ondas é que embora a
perturbação se propague, as partículas constituintes do meio não se deslocam
(ou pelo menos em média não se deslocam). Isto é muito claro no exemplo da
onda humana. Mas se pusermos uma rolha no tanque, vemos que a onda não
transporta a rolha. Da mesma forma, as moléculas de água da superfícietambém
não são transportadas pela onda.
Um outro exemplo é o de um boato: imagine-se um boato tão perigoso
que só é propagado de boca a boca. O boato vai de Faro ao Porto, mas
os seus propagadores não saíram do sítio, ou pelo menos andaram muito
menos (até à casa do vizinho).
Em resumo, uma onda é a propagação de uma perturbação, mas não do meio
que a sustenta.
Uma boa definição encontra-se na wikipedia [www.wikipedia.com]:
A wave is a disturbance that propagates, carrying energy. A mechanical wave
exists in a medium (which on deformation is capable of producing elastic restor-
ing forces) through which they travel and can transfer energy from one place to
3.1. O QUE É UMA ONDA? 33
Figura 3.4: A superfície da água num tanque, depois de lá cair uma pedra
Figura 3.5: Num boato a informação prpopaga-se mas os �boateiros� não!
another without any of the particles of the medium being displaced permanently;
there is no associated mass transport. Instead, any particular point oscillates
around a fixed position. However, electromagnetic radiation, and probably grav-
itational radiation are not mechanical waves, and can travel through a vacuum,
without a medium.
Vejamos esta definição mais em detalhe:
1. A wave is a disturbance that propagates, carrying energy
Uma onda é uma perturbação que se propaga, transportando energia. Isto é
o que já vimos. Aparece no entanto o conceito novo de energia. Realmente,
é preciso energia para perturbar um dado meio. Por exemplo, quando uma
pedra cai num lago, a energia cinética da pedra é transferida em parte
34 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO ONDULATÓRIO
para as moléculas da água que sofreram o impacto. Essa energia é depois
transferida para as moléculas vizinhas, o que as faz oscilar. A propagação
da oscilação é pois propagação de energia.
2. A mechanical wave exists in a medium (which on deformation is capable of
producing elastic restoring forces) through which they travel...
Também já vimos isto. Uma onda mecânica necessita de um meio para se
propagar. O parêntesis do texto em inglês acrescenta outro conceito novo,
o de força restauradora. Pensemos de novo em ondas num lago. Imag-
inemos uma molécula de água que está a oscilar e que num dado instante
está na posição mais baixa da oscilação. Se não houvesse uma força a �puxá-
la� para cima, ela continuaria a mover-se para baixo indefinidamente. Na
verdade, quando o meio (a água) se deforma (através das cristas e vales das
ondas) gera-se uma força restauradora proporcional à deformação e que a
contraria. Assim, quanto mais para baixo vai uma molécula, maior é a força
que a puxa para cima, até que num dado ponto o deslocamento para baixo
pára por acção da força restauradora. O mesmo é válido para o movimento
para cima que se inicia a seguir (neste caso a força restauradora aponta
para baixo). A origem das forças restauradoras está nas interacções inter-
moleculares do meio que tendem a manter as suas moléculas coesas. No
caso da água essas interacções são sobretudo feitas através das pontes de
hidrogénio.
3. ...and can transfer energy from one place to another without any of the
particles of the medium being displaced permanently; there is no associated
mass transport.
Esta é a outra característica que também já vimos, a onda desloca-se mas
as partículas do meio não. Portanto a energia propaga-se e há transporte
de energia, mas as partículas não se propagam, o que quer dizer que não
há transporte de massa.
4. Instead, any particular point oscillates around a fixed position.
O movimento das partículas é simplesmente oscilatório em torno de um
dado ponto. Pode ser para cima e para baixo, ou para a frente e para trás,
ou uma mistura das duas, mas em média a posição da partícula é fixa.
5. However, electromagnetic radiation, and probably gravitational radiation are
not mechanical waves, and can travel through a vacuum, without a medium.
É importante notar que as ondas mecânicas necessitam de um meio para
se propagar, mas que nem todas as ondas são mecânicas. O som é uma
onda mecânica, e todos os exemplos de que falámos pertencem à classe
das ondas mecânicas. No entanto a radiação electromagnética (a luz, o
infravermelho, o UV, os raios X, as microondas, as ondas de rádio...) não
3.2. ONDAS PERIÓDICAS E NÃO PERIÓDICAS 35
são ondas mecânicas e propagam-se no vácuo. Se assim não fosse a luz
não nos chegaria do Sol! Outro tipo de ondas não mecânicas são as on-
das gravitacionais, previstas por Einstein a partir da teoria da relatividade
geral.
Para finalizar, aqui está a definição de onda do Dicionário de Língua Por-
tuguesa da Porto Editora:
onda (fís.) perturbação, contínua ou transitória, que se propaga com trans-
porte de energia através de um meio, quer em virtude das propriedades elásticas
e de inércia do meio, quer em virtude das propriedades eléctricas ou magnéticas
do espaço; uma grandeza variável no tempo, que também é função da posição.
A característica de uma onda é transferir energia de uma região para outra sem
deslocamento definitivo das partículas do meio. As partículas oscilam apenas em
torno da sua posição de equilíbrio. O progresso de uma onda é descrito pela pas-
sagem da forma de onda através do meio com uma certa velocidade, a velocidade
de fase da onda. A energia é transferida à velocidade de grupo das ondas que
formam a forma de onda.
3.2 Ondas periódicas e não periódicas
Uma onda pode ou não ser periódica, isto é, pode ou não exibir um padrão
repetitivo no tempo. Do ponto de vista do movimento das partículas constituintes
do meio há sempre uma oscilação em torno de uma posição média. Essa oscilação
pode ser periódica, ou seja, repetir-se exactamente da mesma forma passado um
dado intervalo de tempo, e depois repetir-se, e depois...; ou então pode dar-
se uma oscilação (sempre em torno de uma posição mádia fixa), mas de forma
imprevisível. Por exemplo, se uma pedra cair num lago, produz-se um padrão de
ondas periódicas. Mas imaginemos agora que a origem da perturbação da água é
o despejar irregular de um saco de areia. Neste caso a energia é transferida para a
água de uma forma também irregular. A oscilação das moléculas de água também
vai ser irregular, umas vezes mais intensa, outras vezes menos, e o padrão das
ondas também será irregular. Não se vislumbrará nenhum padrão repetitivo. A
oscilação das moléculas de água conduz neste caso a uma onda não periódica.
Consideremos a figura 3.6. Podemos pensar que se trata de uma perturbação
do nível médio da altura da água num dado instante. Podemos ainda pensar que
se trata de um conjunto de cristas e fossos originada pelo despejar do tal saco
de areia no lago. Estamos apenas a ver algumas das cristas e fossos. Outras
aparecerão, mas com aspecto diferente e de forma irregular no tempo. No eixo
das ordenadas temos a variação ada altura relativamente à altura média. É
importante ter em conta os seguintes factos:
• trata-se de uma �fotografia� � o gráfico mostra os valores tirados num dado
instante t;
36 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO ONDULATÓRIO
• as �bossas� e os �fossos� vão mover-se nos instantes posteriores.
A onda da figura 3.6 é não periódica, pois não se detecta nenhum padrão regular.
Figura 3.6: Uma onda não periódica
A onda da figura 3.7 é periódica. A escala das abcissas marca as distância ao
longo da qual se fizeram as medições da altura de uma onda de água relativamente
ao nível de repouso. Esse nível está marcado na escala das ordenadas. O nível 0
é o nível de repouso.
Uma onda para ser periódica não precisa de ser um seno. Podemos observar
isso no exemplo da figura 3.8:
3.3. COMPRIMENTO DE ONDA 37
Figura 3.7: Uma onda periódica - gráfico para t=constante (fotografia)
3.3 Comprimento de onda
Claro que todas as mediçõessão feitas no mesmo instante de tempo. O gráfico
da figura 3.7 é como se fosse uma fotografia da onda. Nesse instante de tempo
verificamos que os máximos são atingidos em x=0, 120 e 240 m. O padrão repete-
se portanto a cada 120 metros. Dizemos então que o comprimento de onda é
120 m:
λ = 120m. (3.1)
O comprimento de onda é a distância entre pontos que estão na mesma fase do
ciclo da onda; por exemplo, entre dois máximos ou entre dois mínimos?
E como medir o período através dos zeros? É a distância entre dois zeros
consecutivos? Ou entre o primeiro e o terceiro zero?
3.4 Período e Frequência
Os outros dois conceitos básicos importantes são os de Período e Frequência.
Para compreendê-los vamos ver a figura 3.9.
Desta vez o gráfico tem em abcissas valores de tempo. Isto quer dizer que os
valores de y são as alturas medidas relativamente ao nível de equilíbrio da água
no mesmo ponto x. Então, enquanto o gráfico 3.7 é feito com t=constante,
ou seja, uma fotografia, este é feito com x=constante, ou seja, é feito no mesmo
ponto do espaço.
38 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO ONDULATÓRIO
Figura 3.8: Uma onda periódica que não é um seno- gráfico para t=constante
(fotografia)
Tal como no gráfico anterior, vemos que o padrão é repetitivo, desta vez no
tempo (vimos antes que também é repetitivo no espaço). O ponto de observação
�vê� passar uma onda nos instantes t=0, 37 e 74 s, o que quer dizer que o período
desta onda é 37 s:
T = 37 s. (3.2)
Então com que frequência é que passa um pico da onda neste ponto? Se passa um
pico a cada 37 s, então podemos dizer que em cada segundo passam 1/37=0.027
picos, ou seja, 0.027 picos por segundo. Calculámos a frequência como sendo o
inverso do período. Podemos ainda escrever 0.027 picos/s. Na verdade não vale a
pena estar a dizer �picos�, dizemos simplesmente que a frequência desta onda
é de 0.027/s=0.027 s
−1
:
f =
1
T
= 0.027 s−1 = 0.027Hz. (3.3)
Na última igualdade usou-se a unidade de frequência, que é o Hertz (Hz).
Uma onda com 1 Hertz de frequência repete-se no período de 1 segundo.
3.5 Velocidade de propagação
Consideremos de novo uma onda, que pode ser ou não periódica. Inicialmente,
para ser mais fácil de visualizar, consideremos apenas uma �bossa� ou pulso de
3.5. VELOCIDADE DE PROPAGAÇÃO 39
Figura 3.9: Uma onda periódica - gráfico para x=constante (o memso ponto)
uma dada onda. O gráfico da figura 3.10 é uma �fotografia�: num dado instante
t = t1 medem-se as alturas da água ao longo de vários pontos de um canal com
300 metros.
E se agora tirarmos outra fotografia num instante posterior t = t2 > t1?
Essa fotografia está sobreposta à inicial no gráfico da figura 3.10. Na segunda
fotografia pode ver-se que o pico desloca-se para a esquerda ou para a direita.
A velocidade com que a onda se desloca é portanto dada por
vonda =
espaço percorrido pelo pico
tempo gasto neste percurso
= (3.4)
posição do pico em t2 − posição do pico em t1
t2 − t1
No caso ilustrado na figura temos portanto
vonda =
x2 − x1
t2 − t1 =
200− 100
5− 1 = 25ms
−1
(3.5)
Esta é a velocidade de propagação da onda.
Podemos fazer o mesmo raciocínio a partir de um gráfico com uma onda
sinusoidal. Basta identificarmos um máximo particular e segui-lo, como fizemos
com o pulso da onda anterior. A velocidade de propagação da onda define-se
exactamente da mesma forma.
Valores típicos
40 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO ONDULATÓRIO
Figura 3.10: A onda move-se com uma dada velocidade. No gráfico estão sobre-
postas as fotografias para t = 1 s e t = 5 s
No Sistema Internacional (SI) de unidades a veloidade exprime-se em m/s
ou ms
−1
, pois
v =
distância [m]
tempo[s]
≡ [m/s]. (3.6)
Sendo assim,
• velocidade do som no ar a 20o C: 344 m/s;
• velocidade do som nos sólidos > 344 m/s;
• velocidade da luz no vácuo: 3× 108 m/s;
• carro a 72 km/h: 20 m/s.
3.6 Tipos de ondas
As ondas dividem-se em duas classes fundamentais:
• ondas transversais;
• ondas longitudinais.
3.6. TIPOS DE ONDAS 41
Já vimos que a propagação de uma onda corresponde à propagação de uma
perturbação no meio. As partículas do meio movem-se portanto de alguma forma
devido à passagem da onda. É o tipo de movimento das partículas que distigue
o tipo da onda.
• Se as partículas se movem perpendicularmente à direcção de propagação da
onda, então temos uma onda transversal.
Figura 3.11: Uma onda transversa: as partículas movem-se perpendicularmente
à direcção de propagação da onda
Um exemplo de onda transversa através de uma corda:
Figura 3.12: Uma onda transversa numa corda.
• Se as partículas se movem paralelamente à direcção de propagação da onda,
então temos uma onda logitudinalal.
42 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO ONDULATÓRIO
3.6.1 Exemplos de ondas transversas
• Como já vimos, as ondas provocadas numa corda são um bom exemplo
de ondas transversas. A direcção de propagação é a direcção da corda,
mas os segmentos de corda que propagam a onda sofrem um movimento
perpendicular à corda. As figura 3.12 ilustra bem este ponto.
• O movimento dos espectadores numa �ola� também é um exemplo de onda
transversa. A onda propaga-se ao nível das cadeiras, mas os espectadores
levantam-se das cadeiras, o que é portanto um movimento perpendicular à
direcção da �ola�.
• As ondas sísmicas do tipo S são transversas: a terra move-se perpendicu-
larmente à direção de propagação da onda sísmica (ver a figura 3.13).
Figura 3.13: Numa onda sísmica do tipo S a terra move-se perpendicularmente
à direcção de propagação da onda
3.6.2 Exemplos de ondas longitudinais
• Como já vimos, um exemplo claro de onda longitudinal é o da oscilação
de uma mola. Uma mola oscila através de zonas alternadas de compressão
e descompressão. Estes movimentos de compressão e descompressão são
feitos na mesma direcção em que a mola propaga a oscilação. A figura 3.14
ilustra claramente este ponto.
• As ondas sísmicas do tipo P são longitudinais: a terra move-se na direcção
de propagação do sismo (figura 3.15).
3.6.3 E o som?
O som é uma onda longitudinal. Como vimos, as ondas de som são uma série
de regiões de altas e baixas pressões (altas e baixas densidades) e o movimento
das partículas, oscilando entre essas zonas, é feito na direcção de propagação da
onda (figura 3.16).
3.7. ONDAS PROGRESSIVAS 43
Figura 3.14: Uma onda longitudinal: as partículas movem-se na direcção de
propagação da onda
Figura 3.15: Numa onda sísmica do tipo P a terra move-se na direcção de propa-
gação da onda
3.7 Ondas Progressivas
Até agora vimos gráficos de ondas de dois tipos:
• �fotografias�, o que quer dizer que se faz o gráfico da onda y = y(x) (em que
y é a alteração ao n�vel de referência, por exemplo, o nível da água num
tanque) em t =constante;
• �no mesmo ponto�, o que quer dizer que se faz o gráfico da onda y = y(t)
no memso ponto x =constante;
Como já foi referido, as ondas propagam-se, e por isso podemos pensar na
evolução da onda ao longo do tempo através da sucessão de gráficos-fotografia
em instantes sucessivos.
44 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO ONDULATÓRIO
Figura 3.16: O som é uma onda longitudinal
Podemos então pensar que talvez haja uma função que dê o valor da onda
para quaisquer valores de x e t. Essa função seria da forma
y = f(x, t). (3.7)
Substituindo os valores de x e t pretendidos na função obteríamos o valor da onda
(nível da água, por exemplo) para essa posição e tempo escolhidos.
Um resultado muito importante é o seguinte: se a onda viaja para a direita
(esquerda) com velocidade (-)v e a sua forma não se altera, então a dependência
de y em x e t só pode ser da forma
y = f(x, t) = f(x∓ vt). (3.8)
Isto quer dizer que a função f não pode envolver x ou t separados, mas apenas
através da combinação x∓ vt. Por exemplo,
y = f(x, t) =
1
x2t2+ 2
(3.9)
NÃO pode ser uma onda progressiva, mas
y = f(x, t) =
1
(x− vt)2 + 2 (3.10)
pode.
Vamos tentar compreender porque é que a onda progressiva tem esta forma.
Suponhamos que y = f(x− vt) é uma onda progressiva que tem um máximo
em y = f(5), ou seja, tem um máximo sempre que u ≡ x − vt = 5. A função f
está ilustrada na figura 3.17.
Suponhamos ainda que se propaga com uma velocidade v = 1 m/s. Então,
3.7. ONDAS PROGRESSIVAS 45
Figura 3.17: A função f(u = x− vt) tem um máximo em u = 5 m.
• Em t = 0 s f é máxima em x− 1 · 0 = 5⇒ x = 5 m;
• Em t = 1 s f é máxima em x− 1 · 1 = 5⇒ x = 6 m;
• Em t = 2 s f é máxima em x− 1 · 2 = 5⇒ x = 7 m;
• Em t = 3 s f é máxima em x− 1 · 3 = 5⇒ x = 8 m;
• ...
Isto quer dizer que se tirarmos fotografias da onda nos instantes t =0, 1, 2,
3, 4,... (s) vemos que o seu máximo está inicialmente em x = 5 m, depois passa
passa a posição x = 6 m, depois para a posição x = 7 m, depois...
Com efeito,
• A fotografia em t = 0 s mostra o máximo em x = 5 m;
• a fotografia em t = 1 s mostra o máximo em x = 6 m;
• a fotografia em t = 2 s mostra o máximo em x = 7 m;
• a fotografia em t = 3 s mostra o máximo em x = 8 m;
• ...
46 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO ONDULATÓRIO
Figura 3.18: A onda f(x− t) desloca-se para a direita vom velocidade de 1 m/s.
A evolução da onda está ilustrada na figura 3.18:
Em qualquer instante t o máximo é dada por x− vt = 5⇒ x = 5 + vt
posição do máximo = 5 + vt = 5 + t. (3.11)
Portanto, à medida que t aumenta (que é como quem diz, à medida que o tempo
passa) a posição x do máximo vai também aumentando. Isto quer dizer que a
posição do máximo se vai deslocando para a direita, ao longo do eixo dos xx.
Exemplos
• f(x− 5t) é uma onda progressiva que se desloca para a direita, com veloci-
dade de 5 m/s.
• f(x + 9t) é uma onda progressiva que se desloca para a esquerda, com
velocidade de 9 m/s.
3.8 Sobreposição e Interferência de ondas
A maior parte dos fenómenos ondulatórios que encontramos na natureza não
pode ser descrito apenas em termos de uma onda sinusoidal (com a forma de
um seno ou co-seno) ou de um pulso (como o da figura 3.6). Na verdade, a
maior parte dos fenómenos ondulatórios só se pode compreender em termos de
uma combinação de uma série de ondas progressivas. Isto quer dizer que um
3.8. SOBREPOSIÇÃO E INTERFERÊNCIA DE ONDAS 47
movimento ondulatório complicado é a soma de muitos movimentos ondulatórios
mais simples. É isto o fundamento do princípio de sobreposição:
Se duas ou mais ondas progressivas se propagam através de um dado meio, a
função de onda resultante em cada ponto é a soma algébrica das funções de onda
das ondas individuais.
Nem todas as ondas obedecem ao princípio da sobreposição. As que obe-
decem chamam-se ondas lineares e as que não obedecem chamam-se ondas
não-lineares.
Uma as consequências do princípio de sobreposição é que duas ondas progres-
sivas podem passar uma pela outra sem se alterar. Imaginemos uma onda que
vem da esquerda e outra que vem da direita. Para simplificar a visualização,
imaginemos que são duas bossas que se deslocam. Enquanto as duas bossas es-
tão muito distantes vemo-las claramente diferenciadas, aproximando-se uma da
outra. Quando as bossas se encontram as suas amplitudes somam-se e se am-
bas forem positivas a bossa resultante tem uma altura igual à soma das alturas
individuais. Depois as bossas separam-se de novo, cada uma viajando na sua
direcção e de novo as vemos claramente diferenciadas.
O efeito da sobreposição de ondas pode ver-se claramente numa tina de ondas.
Numa tina de ondas duas esferas batem periodicamente na água, produzindo
ondas que podemos observar. No caso da figura 3.19 vemos claramente a so-
breposição das ondas produzidas por cada esfera.
Figura 3.19: Sobreposição numa tina de ondas.
Vemos ainda o padrão que se produz entre as esferas por causa da sobreposição.
É o padrão de interferência. Podemos também observar a sobreposição das on-
das produzidas pela queda de gotas num tanque, como se vê na figura 3.20 :
48 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO ONDULATÓRIO
Figura 3.20: A sobreposição das ondas provocadas pela queda de gotas num
tanque.
Vejamos agora em mais detalhe a evolução de duas ondas progressivas, desde
que se dirigem uma para a outra até que se voltam a afastar. O processo está
descrito nas figuras 3.21 e 3.22.
Estas duas últimas figuras permitem-nos compreender as noções de interfer-
ência construtiva e de interferência destrutiva.
• No caso da figura 3.21 as amplitudes das duas ondas somam-se e a resul-
tante é maior que cada amplitude individual. Trata-se de interferência
construtiva.
Figura 3.21: A sobreposição de duas ondas progressivas numa corda, com inter-
ferência construtiva.
• No caso da figura 3.22 as amplitudes das duas ondas subtraem-se (a soma
algébrica de uma amplitude positiva e uma amplitude negativa) e a resul-
tante é menor que cada amplitude individual. Trata-se de interferência
destrutiva.
3.9. REFLEXÃO E TRANSMISSÃO DE ONDAS 49
Figura 3.22: A sobreposição de duas ondas progressivas numa corda, com inter-
ferência destrutiva.
3.9 Reflexão e Transmissão de ondas
3.9.1 Descrição geral
O que é que acontece quando uma onada (onda incidente) que se propaga num
meio (por exemplo, água) chega a outro meio (por exemplo, ar)? De uma forma
geral dão-se dois processos, ilustrados na figura 3.23:
• Reflexão: parte da energia da onda é reenviada para o meio de origem (no
caso do exemplo, a água) na forma de uma onda reflectida.
• Transmissão: a parte restante da energia atravessa para o outro meio (no
caso do exemplo, o ar) na forma de uma onda transmitida.
Tanto a onda reflectida como transmitida têm menor amplitude do que a onda
incidente. Em ambos os casos pode ou não dar-se uma inversão da onda.
Para entender melhor o que isto quer dizer comecemos por observar a figura
3.24.
50 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO ONDULATÓRIO
Figura 3.23: Ondas incidente, reflectida e transmitida.
Nesta figura uma onda propaga-se numa corda à qual está fixa. Quando
a onda se aproxima do ponto de fixação dá-se a reflexão: a onda volta para
trás. Podemos ver na figura que, além de voltar para trás, a onda também é
invertida: a bossa transforma-se numa depressão após a reflexão.
Este fenómeno dá-se com uma onda numa corda, mas também se dá de uma
forma geral com outras ondas. No caso da corda precisamos de aprender uma lei
básica da física para compreender o seu comportamento: é a lei da acção-reacção,
ou 3
a
lei de Newton.
Lei da acção-reacção: se um corpo 1 exerce uma força num outro
corpo 2, este reage exercendo uma força igual e de sentido oposto no
corpo 1.
É por isso que nos dói dar um murro na parede: porque ela exerce
uma força igual e de sentido contrário na nossa mão!
Assim, vemos que quando a onda chega à parede a corda exerce uma força
para cima (a corda tenta ccontinuar o seu movimento, o que implicaria puxar
para cima as partículas da parede). Então, pela lei da acção-reacção, a parede
exerce uma força igual e para baixo na corda. Assim as partículas da corda são
puxadas para baixo e a onda reflectida passa a propaga-se como uma depressão
e não como uma bossa.
Mas nem sempre a onda é reflectida om inversão. Para ilustrar este ponto
vejamos agora a figura 3.25.
3.9. REFLEXÃO E TRANSMISSÃO DE ONDAS 51
Figura 3.24: Reflexão com inversão.
Nesta figura a orda está fixa a um poste através de uma argola muito leve, o
que quer dizer que a extremidade da corda se pode mover. Assim, quando a onda
chega ao poste a argola move-se para cima. A certa altura a argola já não pode
subir mais porque a corda começa a ficar tensa. Então a argola omeça a descer,
originando uma onda refletida que não é invertida.
No caso da reflexão só há um meio e umafronteira (corda e parede ou poste).
Mas, omo indicado na figura 3.23, o caso geral inclui dois meios de propagação.
Podemos também ilustrar este ponto com cordas, imaginando que uma ligação
entre duas ordas de propriedades físicas diferentes (diâmetros diferentes, por ex-
emplo).
O primeiro caso possível está ilustrado na figura 3.26.
Uma onda numa corda leve incide na junção com uma corda pesada. Vai
resultar uma onda reflectida e uma onda transmitida.
• A onda transmitida propaga-se na corda mais pesada no sentido inicial.
Como a corda mais pesada vai apresenta maior inércia, é de esperar que a
onda transmitida tenha muito menor amplitude do que a incidente. Além
disso a onda transmitida não é invertida relativamente à onda incidente.
• A onda reflectida propaga-se de novo na corda mais leve. Como a amplitude
do movimento da junção é muito pequena comparativamente à amplitude
da onda, dá-se um processo muito pareceido com o da figura 3.24 e a onda
reflectida é invertida. Também se espera que a amplitude da onda refletida
seja maior do que a da transmitida.
52 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO ONDULATÓRIO
Figura 3.25: Reflexão com inversão.
Figura 3.26: Reflexão com inversão.
E o que acontece se os papéis das cordas forem invertidos? É o que está
ilustrado na figura 3.27.
• A onda transmitida é semelhante à anterior, excepto que agora a sua am-
plitude é pouco menor do que a da onda incidente.
• Quanto ao mecanismo de reflexão, ele é agora semelhante ao da figura 3.25:
como a corda leve não oferee grande resistênia, a junção move-se quase
livremente e a onda reflectida não é invertida.
Os casos aqui apresentados, todos com cordas, têm correspondênia para todas
as ondas em geral. No entanto, em cada caso particular, �corda leve� ou �corda
pesada� têm de ser traduzidos pela grandeza física pertinente.
3.9. REFLEXÃO E TRANSMISSÃO DE ONDAS 53
Figura 3.27: Reflexão com inversão.
3.9.2 Quantificação da reflexão e transmissão
Consideremos de novo a figura 3.23. Consideremos que as ondas incidente, reflec-
tida e transmitida têm respectivamente amplitudes Ai, Ar e At. Definimos então
os coeficientes de reflexão e transmissão por
R =
Ar
Ai
(3.12)
T =
At
Ai
. (3.13)
Estes coeficientes dão a relação entre as amplitudes das 3 ondas. Vamos ver isso
a seguir, mas a energia das ondas não é igual à sua amplitude. Podemos pensar
qual é a fracção da energia incidente que é reflectida e qual é a fracção que é
transmitida. Pode mostrar-se que os coeficientes de reflexão e transmissão
da intensidade do som são dados por
RI = R
2
(3.14)
TI =
z1
z2
T 2, (3.15)
em que z1 e z2 são as impedâncias acústicas características dos meios 1 e 2.
É o conceito de impedância acústica que está relacionado com a analogia anterior
de �corda mais pesada� e �corda mais leve�. A impedância acústica característica
de um meio de densidade ρ (kg/m3) onde a velocidade do som é c (m/s) é
z = ρ× c. (3.16)
A uidade de impedância acústica é o Rayle (=1 kg/(m
2
s)).
Consideremos então a figura 3.28, onde se ilustra o caso mais geral da incidên-
cia de uma onda sonora na interface de dois meios.
A incidência não é feita segundo a perpendicular à superfície. É feita segundo
um dado ângulo αi com a perpendicular à interface, a que chamamos de normal
54 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO ONDULATÓRIO
Figura 3.28: Reflexão e refracção na interface de dois meios.
à interface. A chamada lei da reflexão diz-nos que a onda reflectida faz o
mesmo ângulo com a normal. Portanto
αr = αi. (3.17)
Quanto à onda transmitida, o ângulo vai ser diferente, e depende das caracterís-
ticas dos dois meios. Quando se dá a mudança de direcção de uma onda sonora
(ou de luz) dizemos que se dá a refracção. A lei de Snell relaciona alphai com
αt:
sinαi
c1
=
sinαt
c2
, (3.18)
em que c1 e c2 são as velocidades do som nos meios 1 e 2 respectivemente.
O cálculo de R dá
R =
z2/z1 − cosαt/ cosαi
z2/z1 + cosαt/ cosαi
=
z2/z1 −
√
1− (c2/c1)2 sin2 αi
z2/z1 +
√
1− (c2/c1)2 sin2 αi
, (3.19)
onde a igualdade se deve à aplicação de lai de Snell. Se a incidência for normal
(αi = αr = αt = 0), então a expressão acima simplifica-se para
R =
z2 − z1
z2 + z1
. (3.20)
3.9. REFLEXÃO E TRANSMISSÃO DE ONDAS 55
Material Impedância z (Rayles) R
Ar 415 -1
água 1 480 000 0.04
água do mar 1 540 000 0
carne de peixe 1 600 000 0.02
osso de peixe 2 500 000 0.24
borracha 1 810 000 0.08
granito 16 000 000 0.82
quartzo 15 300 000 0.81
argila 7 700 000 0.67
arenito 7 700 000 0.67
concreto 8 000 000 0.68
aço 47 000 000 0.94
latão 40 000 000 0.92
alumínio 17 000 000 0.83
Tabela 3.1: Impedâncias acústicas características de várias substâncias e coefi-
ciente de reflexão para meio 2 = água do mar
Quanto a T , obtém-se simplesmente a partir de
T = 1 +R. (3.21)
Os coeficientes de intensidade são, para incidência normal,
RI =
(
z2 − z1
z2 + z1
)2
(3.22)
e
TI =
4z2z1
(z1 + z2)2
, (3.23)
e obecem a
RI + TI = 1. (3.24)
A tabela 3.1 mostra impedâncias acústicas características de várias substân-
cias e coeficiente de reflexão para meio 2 = água do mar.
56 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO ONDULATÓRIO
3.10 Ondas Sinusoidais
Agora vamos considerar um pouco mais em detalhe o caso em que as ondas têm
a forma de um seno ou co-seno. hamam-se de ondas sinusoidais.
Consideremos, para começar, uma onda que em t = 0 é descrita exactamente
por uma função seno. Além disso, assumamos que o seu comprimento de onda é
λ. Como havemos de escrever a função de onda y = f(x)? Sabemos que o seno
tem período 2pi. Portanto, se x = λ o argumento do seno deve ser 2pi. E qual é
o argumento do seno para x arbitrário?
abcissa = λ → argumento do seno = 2pi
abcissa = x → argumento do seno = θ,
o que quer dizer θ = 2pix/λ. Portanto, a função de onda é
y = A sin
(
2pi
λ
x
)
, (3.25)
em que A representa a amplitude da onda.
Já sabemos que para uma onda progressiva a dependência em x e t é sempre
da forma x± vt. Então a forma de uma onda sinusoidal progressiva é
y = A sin
[
2pi
λ
(x± vt)
]
. (3.26)
Uma onda desloca-se um comprimento de onda num período.
Para perceber isso pensemos em dois gráficos �fotografia�.
No primeiro gráfico um dos máximos do seno está no ponto x1. O
segundo gráfico �fotografia� foi tirado quando o o máximo seguinte já está
a passar em x1. Passou portanto um período, T . Onde está entretanto
o primeiro máximo? Já está no ponto x2, como se pode ver na segunda
fotografia. Então, pela própria definição de comprimento de onda, x2 −
x1 = λ. Mas a distânccia entre x1 e x2 foi percorrida no tempo T .
Portanto λ = vT , em que v é a velocidade da onda.
Então temos
λ = vT ⇒ v = λ
T
. (3.27)
Substituindo este valor de v em (3.26) ficamos com
y = A sin
[
2pi(
x
λ
± t
T
)
]
. (3.28)
Esta expressão mostra as periodicccidades em x e em t.
3.10. ONDAS SINUSOIDAIS 57
Figura 3.29: Reflexão com inversão.
• Se tomarmos uma fotografia, então t = const e y tem o mesmo valor nas
posições x, x+ λ, x+ 2λ...
É fácil de ver:
y(x+ λ) = A sin
[
2pi(
x+ λ
λ
± t
T
)
]
= A sin
[
2pi(
x
λ
+ 1± t
T
)
]
=
A sin
[
2pi(
x
λ
± t
T
) + 2pi
]
= A sin
[
2pi(
x
λ
± t
T
)
]
= y(x),
onde se usou o facto de que sin(x+2pi) = sinx. Para y(x+2λ) =
y(x+ λ) pelo mesmo racioínio e assim sucessivamente.
Portanto a onda tem periodiidade λ segundo x.
• Se tomarmos a história, então x = const e y tem o mesmo valor nas posições
t, t+ T , t+ 2T ...
Vê-se da mesma forma.
Portanto a onda tem periodicidade T segundo t.
3.10.1 Número de onda e frequência angular
Definem-se ainda duas outras quantidades: o número de onda é
k =
2pi
λ
(3.29)
58 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO ONDULATÓRIO
e a frequênciaangular é
ω =
2pi
T
= 2pif, (3.30)
onde se usou o facto de que f = 1/T .
Com estas definições a equação de onda ainda se pode escrever
y = A sin(kx± ωt). (3.31)
Note-se ainda que a velocidade se pode expressar através destas formas equiva-
lentes:
v =
λ
T
= λf =
ω
k
. (3.32)
3.10.2 Fase
Nem todas as ondas se podem escrever na forma sin(kx ± ωt) ou cos(kx ± ωt).
Com efeito, estas funções só descrevem ondas que em x = 0 e t = 0 tenham
valores iguais a 0 (caso do sin) ou 1 (caso do cos). E se a onda valer 0.5 em
x = t = 0? Nesse caso a solução é escrever a onda na forma mais geral, incluindo
uma fase constante:
y = A sin(kx± ωt+ φ). (3.33)
Então a determinação de φ faz-se da seguinte forma: sabemos que em x = t = 0 a
função de onda toma um dado valor, y = y0. Então temos y0 = A sinφ e portanto
sinφ =
y0
A
. (3.34)
Esta equação pode ser resolvida usando a função arcsin, que é a função inversa
do seno e nos diz qual é o ângulo a que corresponde a determinado valor do seno.
Por exemplo,
sin 30o = 0.5
quer dizer que
arcsin 0.5 = 30o.
φ é então determinado por
φ = arcsin
(
y0
A
)
. (3.35)
Capítulo 4
O som
4.1 Introdução
Depois de termos visto propriedades gerais das ondas vamos passar a estudar
as ondas de som. Lembremo-nos de que o som é uma onda de densidade das
partículas do meio através do qual o som se propaga.
Figura 4.1: O som é uma onda de densidade das partículas que constituem o
meio através do qual o som se propaga.
Na figura acima vemos um pistão que oscila, empurrando as moléculas do ar
e provocando ondas de densidade das moléculas do ar.
4.2 Ondas audíveis, infrasónicas e ultrasónicas
As ondas sonoras dividem-se em três categorias:
• As ondas audíveis são aquelas que conseguimos ouvir. A sua frequência
59
60 CAPÍTULO 4. O SOM
está compreendida aproximadamente entre as frequências de 20 Hz e 20
kHz.
• As ondas infrasónicas têm frequências abaixo de 20 Hz. As ondas dos
tremores de terra são um exemplo de ondas infrasónicas.
• As ondas ultrasónicas têm frequências acima de 20 kHz. Os morcegos
conseguem ouvir frequências até 120 kHz, e portanto ouvem ondas ultra-
sónicas, que nós não conseguimos ouvir.
A figura seguinte ilustra este ponto
Figura 4.2: Ondas audíveis, infrasónicas e ultrasónicas.
4.3 Velocidade das ondas sonoras
O mecanismo de propagação do som é o mesmo em todos os meios. A figura 4.1
pode aplicar-se a qualquer meio, só que em vez de um pistão podemos pensar
num martelo a bater num sólido, por exemplo. Claro que num sólido os áto-
mos/moléculas não têm a mesma liberdade de movimentos que num gás. No
entanto é ainda é verdade que podem oscilar em torno da sua posição de equi-
líbrio.
4.3. VELOCIDADE DAS ONDAS SONORAS 61
A velocidade de propagação do som depende, no entanto, das propriedades
físicas do meio material através do qual se propaga o som. Pode mostrar-se que
a velocidade do som é dada por
v =
√
k
ρ
, (4.1)
em que k é uma constante característica de cada material, que descreve as suas
propriedades elásticas, e ρ é a densidade,
ρ =
massa
volume
, (4.2)
que tem unidades de kg m
−3
ou kg/m
3
.
No caso dos gases e dos líquidos, k é o módulo volumétrico de elastici-
dade, que se costuma representar por B (do inglês bulk modulus)
k → B = −∆p V
∆V
= ∆p
ρ
∆ρ
, (4.3)
(tem unidades de pressão: Pascal (Pa), ou seja, N/m
2
ou ainda kg m
−1
s
−2
).
Nesta expressão ∆p é a pressão aplicada ao gás, V é o seu volume inicial e ∆V
é a variação de volume do gás originada pela aplicação dessa pressão. É fácil de
ver que −V/∆V = ρ/∆ρ, o que explica a segunda igualdade.
O módulo volumétrico de elasticidade dá pois uma medida das propriedades
elásticas das substâncias, sendo tanto maior quanto menos a substância variar o
seu volume em resposta à pressão aplicada. Na verdade, e apedo nome, B mede
directamente a resistência das substâncias à compressão. B é portanto tanto
maior quanto maior for a resistência de uma substância à compressão.
A figura 4.3 ilustra a definição de módulo volumétrico de elasticidade.
Resta ainda explicar para quem não sabe/não se lembra que a pressão exercida
por uma força F numa dada área A vale
P =
F
A
[Pa]. (4.4)
A unidade do SI para a pressão é o Pascal (Pa). 1 Pa é a pressão exercida por
uma força de 1 N numa área de 1 m
2
.
Por exemplo, uma pessoa com 100 kg em cima de uma balança de casa
de banho, com uma área de 0,1 m
2
exerce uma pressão de P = F/A =
100kg × 9.8ms−1/(0.1m2) = 9800 Pa.
Vejamos um exemplo simples para perceber o conceito de módulo volumétrico
de elasticidade:
62 CAPÍTULO 4. O SOM
Figura 4.3: O módulo volumétrico de elasticidade.
• Se taparmos uma seringa na ponta e pressionarmos o êmbolo conseguimos
contrair o ar. Como a mesma massa de ar passa a ocupar menos volume,
então a densidade do ar aumenta e ∆ρ é grande.
• Por outro lado, se repetirmos a experiência com água (e a mesma pressão)
não conseguimos variar o volume e a densidade não varia (só varia com
pressões muito maiores) e ∆ρ é zero ou, pelo menos, muito pequeno.
• Vemos portanto ∆ρ é tanto maior quanto mais elástico for o material, neste
caso é muito maior para o ar do que para a água.
• E quanto a B? Onde é maior? Na água, certamente, porque ρ
água
>
ρar, ∆ρ
água
< ∆ρar e B ∝ ρ/∆ρ, ou seja, no cálculo de B da água, e
relativamente aos valores do ar, o numerador é maior e o denominador é
menor. Os dois factores reforçam-se no sentido de tornar
B
água
> Bar. (4.5)
Portanto, como já se tinha dito, B é maior para a substância mais resistente
à pressão, neste caso a água.
Quanto aos sólidos, o módulo de elasticidade que se deve usar é o módulo de
elasticidade de Young. O módulo de Young acaba por ser uma versão unidimen-
sional do módulo volumétrico de elasticidade, já que num sólido a variação de
volume dá-se essencialmente na direcção da compressão (ou elongação). Assim, a
4.3. VELOCIDADE DAS ONDAS SONORAS 63
Figura 4.4: p = F/A.
definição do módulo de Young é semelhante à anterior, só que em vez de V , vol-
ume, passamos a ter L, comprimento. Temos então a seguinte definição, relativa
à figura 4.6,
k → Y = F
A
L
∆L
, (4.6)
em que L é o comprimento da barra em repouso e ∆L é a sua variação após a
aplicação da força F .
Deve notar-se que para um sólido também se define o módulo volumétrico de
elasticidade, simplesmente que não é este módulo que deve entrar no cálculo da
velocidade do som e sim o módulo de Young.
No âmbito de uma descrição geral para gases, líquidos e sólidos podemos sim-
plesmente pensar no módulo de elasticidade k. Embora isto não seja rigorosa-
mente verdade, podemos pensar numa primeira abordagem que um material mais
rijo tem um valor maior de E (lembrar o exemplo do ar e da água).
Por exemplo, intuitivamente compreendemos que o aço é menos elástico que
o plástico (o que quer dizer que oferece maior oposição a alterações elásticas),
que é menos elástico que a barro, que é menos elástico que o ar. Assim, podemos
antever que
k(aço) > k(plástico) > k(barro) > k(ar), (4.7)
como podemos ver também na figura 4.7.
Agora que já entendemos bem os conceitos relativos ao módulo de elasticidade,
podemos passar à pergunta mais importante: onde é que o som se propaga
mais rapidamente, nos gases, nos líquidos ou nos sólidos?
64 CAPÍTULO 4. O SOM
Figura 4.5: O módulo de elasticidade do ar é maior do que o da água.
Entre sólidos e líquidos é fácil de perceber. Se introduzirmos (4.3) em (4.1)
obtemos
v =
√
∆p
∆ρ
, (4.8)
o que indica claramente que nos líquidos a velocidade do som é maior, pois têm
valores de ∆ρ menores do que os dos gases.
Já no caso dos sólidos não conseguimos obter uma expressão tãosimples
porque a expressão (4.6) do módulo de Young não permite a mesma simplificação.
A comparação da expressão (4.1), v =
√
k/ρ, para gases e líquidos por um lado e
sólidos por outro, mostra que k e ρ são simultaneamnet maiores para os sólidos
que para gases e líquidos. O efeito de um maior valor de k para os sólidos,
no numerador, pode eventualmente ser compensado por um valor maior de ρ.
Portanto, com base na abordagem simples deste curso não podemos deduzir mais
nada.
Na verdade verifica-se de uma forma geral que o aumento de k dos líquidos
para os sólidos é proporcionalmente maior do que o aumento de ρ. Por isso a
velocidade de propagação nos sólidos é maior do que nos gases e nos
líquidos.
Segue-se uma tabela com as velocidades de propagação em vários meios ma-
4.4. O SOM COMO ONDA PERIÓDICA 65
Figura 4.6: p = F/A.
teriais
Meio v (m/s) Meio v (m/s)
Ar (0
o
C) 331 Água do mar 1533
Ar (20
o
C) 343 Alumínio 5100
Hidrogénio (0
o
C) 1286 Cobre 3560
Oxigénio (0
o
C) 317 Ferro 5130
Hélio (0
o
C) 972 Chumbo 1322
Água 1493 Borracha vulcanizada 54
álcool metílico 1143
Comente os valores para o ar, o chumbo e a borracha
4.4 O som como onda periódica
Já vimos no apítulo anterior que o som é uma onda. Vamos ver agora um pouco
mais em detalhe como é que é a descrição do som como uma onda periódica.
Podemos descrever as ondas sonoras de três formas equivalentes:
• como o movimento oscilatório das partículas do ar;
• como a oscilação da densidade do ar;
• como a oscilação da pressão do ar.
66 CAPÍTULO 4. O SOM
Figura 4.7: O módulo de elasticidade.
4.4.1 O som como movimento oscilatório das partículas do
ar
Vejamos o primeiro caso. Como já vimos numa animação, o movimento global do
ar para sustentar a propagação do som é constituído por movimentos oscilatórios
individuais das partículas.
Cada partícula oscila em torno da sua posição de repouso, e é o conjunto
de todos estes movimentos individuais que cria o movimento colectivo a que
chamamos som. Essa oscilação individual tem as seguintes características:
• é feita sempre em torno do mesmo ponto, o que quer dizer que em média a
partícula não sai do lugar;
• faz-se na direcção de propagação do som (onda longitudinal).
Podemos então pensar em descrever este movimento matematicamente. Pode-
mos caracterizar o deslocamento da partícula
1
em relação à sua posição de equi-
1
Em rigor a descrição não se faz para uma partícula, mas para o que se chama �um elemento
de volume�, o que quer dizer um volume muito pequeno de ar, que contém portanto várias
partículas em cada instante. Na verdade, nesta descrição, com elementos de volume, o que se
4.4. O SOM COMO ONDA PERIÓDICA 67
Figura 4.8: A oscilação das partículas faz-se em torno da posição de equilíbrio.
líbrio. Assim, este deslocamento é
s(x, t) = smax cos(kx− ωt), (4.9)
em que smax é o deslocamento máximo. Esta expressão quer dizer que a partícula
afasta-se da sua posição de equilíbrio por valores que oscilam entre -smax e +smax.
Por exemplo, se smax = 50 µm, então as partículas afastam-se da sua
posição de equilíbrio até 50 mícron, quer para a esquerda, quer para a
direita, oscilando entre estes dois extremos (-50 µm, desvio máximo para
a esquerda, e 50 µm, desvio máximo para a direita2) à frequência ω/2pi.
4.4.2 O som como oscilação da densidade do ar
Também vimos na animação que a sobreposição dos movimentos individuais das
partículas cria zonas mais densas (condensações) e zonas mais rarefeitas (rar-
efacções).
está a fazer implicitamente é considerar o ar como um meio contínuo, sem levar em conta a sua
estrutura microscópica. Para nós, no entanto, que não estamos demasiadamente preocupados
com o rigor físico, é mais intutivo pensar em termos de partículas.
2
�esquerda� e �direita� tomadas na direcção de propagação da onda que, precisamente, se
assume a ir da esquerda para a direita
68 CAPÍTULO 4. O SOM
Figura 4.9: O som também pode ser visto como uma onda de densidade.
Assim, num dado ponto do espaço a densidade de partículas varia entre �mais
denso que a média� e �menos denso que a média� (para calcular esta densidade us-
amos um pequeno volume em torno deste ponto e contamos o número de partícu-
las dentro do volume). Assim, se for ∆n a variação da densidade de partículas
em relação ao valor médio (variação do número de partículas por m
3
em relação
ao número médio de partículas por m
3
), temos que
∆n(x, t) = ∆nmax sin(kx− ωt), (4.10)
em que ∆nmax é a variação máxima de densidade.
Por exemplo, se a densidade média é 1022 m−3 e ∆n = 1010 m−3, então
a densidade vai variar periodicamente entre os valores 1022− 1010 m−3 e
1022 + 1010 m−3.
4.4.3 Desfazamanto entre a onda de deslocamento e a onda
de densidade
Deve notar-se a diferença entre as expressões (4.9) e (4.10): a primeira é em
co-seno e a segunda em seno. Isto quer dizer que estão desfazadas de 90
o
, como
ilustra a figura seguinte:
4.4. O SOM COMO ONDA PERIÓDICA 69
Figura 4.10: As funções s(x, t) e ∆n(x, t) estão desfazadas de 90o.
Tentemos compreender a figura. É mais fácil começar pelo gráfico de baixo. Aí
ilustra-se o comportamento da variação da pressão, que é igual ao comportamento
da variação da densidade. As zonas mais escuras dentro do êmbolo representam
zonas de maior densidade de partículas e as mais claras zonas de menor densidade.
Assim, o gráfico de P (e portanto tabém o da densidade) é uma representação
directa da imagem: nas zonas mas escuras P é máximo e nas zonas mais claras
P é mínimo.
O gráfico de cima ilustra o comportamento do deslocamento das partículas
do ar relativamente às suas posições de equilíbrio. Verificamos que nas zonas de
maior e menor compressão o deslocamento é nulo. As partículas vão de encon-
tro umas às outras nas zonas de maior compressão, mas no ponto onde se dá
essa compressão as partículas que lá estão não se deslocam. Por outro lado o
deslocamento é máximo quando a variação de densidade é nula.
Em resumo, o importante a reter desta secção é que o som pode ser visto como
um deslocamento sinusoidal da posição das partículas ou como uma variação de
densidade e pressão. Ambasa as variações são sinusoidais, mas estão desfazadas:
os máximos e mínimos de uma e outra não são coincidentes.
70 CAPÍTULO 4. O SOM
4.5 A intensidade do som
4.5.1 Definição
Como se define a intensidade do som? A intensidade do som é definida como a
energia que a onda sonora transporta por unidade de tempo por unidade de área,
tal como se ilustra na figura 4.11. Assim, uma onda mais intensa transporta mais
Figura 4.11: Definição de intensidade.
energia. A definição de intensidade é portanto
I =
Energia
Area× tempo =
Potencia
Área
. (4.11)
Pode mostrar-se que a intensidade de uma onda sonora vale
I =
1
2
ρ(ωsmax)
2v, (4.12)
em que ρ é a densidade do meio, ω = 2pif é a frequência angular da onda, smax
é a amplitude do deslocamento das partículas [ver (4.9)] e v a velocidade de
propagação das ondas no meio.
Também se pode escrever numa forma equivalente em termos da variação
máxima de pressão:
I =
∆Pmax
2ρv
, (4.13)
em que desta vez ∆ρmax é a amplitude de variação da pressão [equivalente a
∆nmax em (4.10)].
Da análise de (4.12) concluímos que a se todos os outros factores se man-
tiverem constantes, a intensidade aumenta com
4.5. A INTENSIDADE DO SOM 71
• a densidade do meio, pois é preciso mais energia para fazer oscilar um meio
mais denso;
• com a frequência da onda, pois é preciso mais energia para fazer vibrar o
meio a uma frequência mais elevada;
• como deslocamento máximo, pois é preciso mais energia para fazer as
partículas afastarem-se mais da sua posição de equlíbrio;
• com a velocidade de propagação,