Distribuição Normal-Bioestatítica Distribuições de Probabilidade

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03/11/2015
Profª. Janaina Torres - Estatística e Probabilidade - ENGENHARIA
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ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
“O saber se aprende com os mestres. A sabedoria, só com o corriqueiro da vida.”
Cora Coralina
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Distribuições de Probabilidade
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Visão Geral
Variáveis Aleatórias
Distribuição de Probabilidade
Distribuição Binomial
Distribuição Normal
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Visão Geral
O que pretendemos, nesse capítulo, é apresentar dois modelos teóricos de distribuição de probabilidade, aos quais um experimento aleatório estudado possa ser adaptado, o que permitirá a solução de grandes números de problemas práticos.
Distribuições de Probabilidade
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Variáveis Aleatórias
Imagine que um laboratório cria ratos de uma só raça e mesma origem, em condições, controladas de alimentação e manejo. É razoável considerar que os pesos desses ratos variam. Sabe-se que os machos pesam mais do que as fêmeas e que os animais ganham peso com a idade. Entretanto, mesmo ratos de um só sexo, nascidos no mesmo dia, têm pesos variáveis. Essa variabilidade ocorre ao acaso, pois resulta de uma soma de fatores não controlados. Toda vez que uma variável é influenciada pelo acaso, diz-se que é uma variável aleatória.
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Variáveis Aleatórias
Variável aleatória é uma variável cujo valor numérico é único para cada resultado do experimento e é determinado por processos acidentais, ao acaso.
As variáveis aleatórias são indicadas por letras maiúsculas. Logo o peso dos ratos pode ser indicado pela letra “X”. Os valores assumidos pelas variáveis aleatórias são indicadas por letras minúsculas. Então o valor que se obtém quando se pesa determinado rato é indicado pela letra “x”.
Distribuições de Probabilidade
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Variáveis Aleatórias (exemplo):
Assim, se o espaço amostral relativo ao lançamento simultâneo de duas moedas é S = {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)} e se X representa “o número de caras” que aparecem, a cada ponto amostral podemos associar um número para X, de acordo com a Tabela 1.
Tabela 1
Distribuições de Probabilidade
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Variáveis Aleatórias
Variável aleatória discreta:
Quando admite um número finito de valores, e esse número finito de valores pode ser listado numa tabela com o valor da probabilidade correspondente.
Exemplo: Suponha que uma determinada ferramenta é utilizada por 20 funcionários, porém oito são mulheres.
Distribuições de Probabilidade
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Variáveis Aleatórias
Variável aleatória contínua:
Quando admite um número infinito de valores, e esse número infinito de valores não pode ser listado, pois há dificuldade na listagem de todos os possíveis valores fracionários que podem ser assumidos pela variável.
Exemplo: O peso de uma bobina de alumínio foi selecionada aleatoriamente. Suponha que a bobina tenha o peso maior que 11 t e menor que 12 t, o valor medido pode ser desde 11,001 t até 11,999 . Na prática esse valor é limitado pela precisão da balança.
Distribuições de Probabilidade
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Distribuição de Probabilidade:
Consideremos a distribuição de frequências relativa ao número de pacientes diários em um pronto atendimento (PA):
Tabela 2
Distribuições de Probabilidade
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Distribuição de Probabilidade:
Em um dia, a probabilidade de:
Não ter paciente é:
Ter um paciente é:
Ter dois pacientes é:
Ter três pacientes é:
Distribuições de Probabilidade
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Distribuição de Probabilidade:
Podemos então escrever:
Essa tabela é denominada distribuição de probabilidade.
Tabela 3
Distribuições de Probabilidade
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Distribuição de probabilidade:
Seja X uma variável aleatória que pode assumir os valores x1, x2, x3, ..., xn. A cada valor xi correspondem pontos do espaço amostral. Associamos, então, a cada valor xi a probabilidade pi de ocorrência de tais pontos no espaço amostral.
	Assim, temos:
	Os valores x1, x2, x3, ..., xn e seus correspondentes p1, p2, p3, ..., pn definem uma distribuição de probabilidade.
Distribuições de Probabilidade
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Distribuição de probabilidade:
Voltando a Tabela 1, temos:
Distribuições de Probabilidade
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Distribuição de probabilidade:
Logo podemos escrever:
Distribuições de Probabilidade
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Distribuição de probabilidade:
Ao definir a distribuição de probabilidade, estabelecemos uma correspondência unívoca entre os valores da variável aleatória X e os valores da variável P. 
	Esta correspondência define uma função; os valores xi (i = 1, 2, ..., n), formam o domínio da função e os valores pi (i = 1, 2, 3, ..., n), o seu conjunto imagem.
	Essa função, assim definida, é denominada função probabilidade e representada por:
	
	A função P(X = xi) determina a distribuição de probabilidade da variável aleatória X.
Distribuições de Probabilidade
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Distribuição de probabilidade:
Assim, ao lançarmos um dado, a variável aleatória X, definida por “pontos de um dado”, pode tomar os valores 1, 2, 3,..., 6.
	Como a cada um destes valores está associada uma e uma só probabilidade de realização e  P(xi) = 1, fica definida uma função de probabilidade, da qual resulta a seguinte distribuição de probabilidade:
Tabela 4
Distribuições de Probabilidade
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Distribuição Binomial 
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Distribuição binomial:
Vamos, agora, considerar experimentos que satisfaçam as seguintes condições:
O experimento deve ser repetido, nas mesmas condições, um número finito de vezes (n).
As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma prova não deve afetar os resultados sucessivos.
Em cada prova deve aparecer um dos dois possíveis resultados: sucesso (p) e insucesso (q).
No decorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso e a probabilidade q (q = 1 – p) do insucesso manter-se-ão constantes.
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Distribuição Normal
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Distribuição normal:
Entre as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, uma das mais empregadas é a distribuição normal.
As medidas biológicas, as medidas de produtos fabricados em série e os erros de medidas são variáveis que têm distribuições que se aproximam da distribuição normal.
O aspecto gráfico de uma distribuição normal é o da Figura 1:
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Distribuição Normal
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Distribuição normal:
Figura 1 – Curva normal.
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Distribuição Normal
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Distribuição normal:
Para uma perfeita compreensão da distribuição normal, observe a Figura 1 e procure visualizar as seguintes propriedades:
A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor.
A representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média ( ), que recebe o nome de curva normal ou de Gauss.
A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, já que essa área corresponde à probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor real.
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Distribuição Normal
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Distribuição normal:
A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, aproxima-se indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo.
Como a curva é simétrica em torno de , a probabilidade de ocorrer valor maior do que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as probabilidades são iguais a 0,5. 
Escrevemos: P(X > ) = P(X < ) = 0,5 
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Distribuição Normal
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Distribuição normal:
Consideramos uma variável aleatória que tenha distribuição simétrica (normal) e podemos obter a probabilidade dessa variável assumir um valor em determinado intervalo. O valor dessa probabilidade é:
z = valor da probabilidade no intervalo (x – );
x = uma variável aleatória;
 = valor médio da distribuição;
 = desvio-padrão.
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Distribuição Normal
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Distribuição normal:
Tabela da área de uma distribuição normal padrão:
Existem tabelas que permitem o cálculo das probabilidades por meio do cálculo das áreas limitadas pela curva normal e o eixo das abscissas, chamadas tabelas da curva normal.
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Distribuição Normal
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Distribuição normal:
Suponha que X representa a variável aleatória dos diâmetros dos parafusos produzidos por certa máquina. Vamos supor que essa variável tenha distribuição normal com média = 2cm e desvio padrão  = 0,04cm.
	Pode haver interesse em conhecer a probabilidade de um parafuso ter um diâmetro com valor entre 2 e 2,05cm.
	
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Distribuição Normal
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Distribuição normal:
É fácil notar que essa probabilidade, indicada por: P(2<X<2,05), corresponde à área hachurada na seguinte Figura:
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Distribuição Normal
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Distribuição normal:
Para calcular essa probabilidade, consideraremos que X é uma variável aleatória com distribuição normal, então a variável:
	tem distribuição normal reduzida, isto é, tem distribuição normal de média 0 e desvio padrão 1. A tabela anterior é uma tabela de distribuição normal reduzida, que nos dá a probabilidade de Z tomar qualquer valor entre a média 0 e um dado valor de z, isto é P(0<Z<z). 
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Distribuição Normal
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Distribuição normal:
Temos, então, que se X é uma variável aleatória com distribuição normal da média e desvio padrão , podemos escrever: 
 com
Porém queremos calcular P(2<X<2,05). Para obter essa probabilidade, precisamos, calcular o valor de z que correspondem a: x = 2,05 (x = 2  z = 0, pois ).
	Temos, então:
	onde: P(2<X<2,05) = P(0<Z<1,25)
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Distribuição Normal
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Distribuição normal:
Procuramos, agora, na tabela da curva normal, o valor de z = 1,25:
Na primeira coluna encontramos o valor 1,2.
Em seguida, encontramos, na primeira linha, o valor 5, que corresponde ao último algarismo do número 1,25.
Na intersecção da linha e coluna correspondentes encontramos o valor 0,3944, o que nos permite dizer que:
A probabilidade de um parafuso fabricado por essa máquina apresentar um diâmetro entre a média =2 e o valor x = 2,05cm é igual a probabilidade de Z assumir valor entre zero e z = 1,25, ou seja, a probabilidade é 0,3944 ou 39,44 %.
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Distribuição Normal 
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Exemplos:
Determine as probabilidades:
	a)P(-1,25<Z<0) 
	
A probabilidade procurada corresponde à parte hachurada da figura:
Sabemos que: P(0<Z<1,25) = 0,3944
Pela simetria da curva, temos:
P(-1,25<Z<0) = P(0<Z<1,25) = 0,3944 = 39,44%
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Distribuição Normal
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Exemplos:
	b) P(-0,5<Z<1,48) 
	 
A probabilidade procurada corresponde à parte hachurada da figura:
Temos: P(-0,5<Z<1,48) = P(-0,5<Z<0) + P(0<Z<1,48)
Como:
P(-0,5<Z<0) = P(0<Z<0,5) = 0,1915 e P(0<Z<1,48) = 0,4306
obtemos:
P(-0,5<Z<1,48) = 0,1915 + 0,4306 = 0,6221 = 62,21% 
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Distribuição Normal 
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Exemplos:
	c) P(0,8<Z<1,23) 
	
A probabilidade procurada corresponde à parte hachurada da figura:
Temos: P(0,8<Z<1,23) = P(0<Z<1,23) - P(0<Z<0,8)
Como:
P(0<Z<1,23) = 0,3907 e P(0<Z<0) = 0,2881
obtemos:
P(0,8<Z<1,23) = 0,3907 - 0,2881 = 0,1026 = 10,26%
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Distribuição Normal 
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Exemplos:
	d) P(Z0,6) 
	 
A probabilidade procurada corresponde à parte hachurada da figura:
Temos: P(Z0,6) = P(Z0) - P(0<Z<0,6) 
Como:
P(Z0) = 0,5 e P(0<Z<0,6) = 0,2257
obtemos:
P(Z0,6) = 0,5 - 0,2257 = 0,2742 = 27,43%
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Distribuição Normal 
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Exemplos:
	e) P(Z<0,92) 
A probabilidade procurada corresponde à parte hachurada da figura:
Temos: P(Z<0,92) = P(Z<0) + P(0<Z<0,92) 
Como:
(Z<0)= 0,5 e P(0<Z<0,92) = 0,3212
obtemos:
P(Z<0,92) = 0,5 + 0,3212 = 0,8212 = 82,12%
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Distribuição Normal 
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Exemplos:
Os salários semanais dos operários industriais são distribuídos normalmente, em torno da média de R$500,00, com desvio padrão de R$40,00. Calcule a probabilidade de um operário ter um salário semanal situado entre R$490,00 e R$520,00.
	
	Solução:
	Devemos inicialmente, determinar os valores da variável de distribuição normal reduzida:
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Distribuição Normal
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Exemplos:	
	
	
Logo, a probabilidade procurada é dada por:
P(490<X<520) = 
P(-0,25<Z<0,5) = P(-0,25<Z<0) + P(0<Z<0,5) = 
0,0987 + 0,1915 = 0,2902 = 29,02%
É pois de se esperar que, em média, 29,02% dos operários tenham salários entre R$490,00 e R$520,00. 
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Distribuição Normal
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Exercícios:
Sendo Z uma variável com distribuição normal reduzida, calcule:
P(0<Z<1,44)
P(-0,85<Z<0)
P(-1,48<Z<2,05)
P(0,72<Z<1,89)
P(Z-2,03)
P(Z1,08)
P(Z<-0,66)
P(Z<0,60)
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Distribuição Normal
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Exercícios:
Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com média 100 e desvio padrão 10. Determine a probabilidade de um indivíduo submetido ao teste ter nota:
maior que 120;
maior que 80;
entre 85 e 115;
maior que 100.
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Distribuição Normal
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Exercícios:
Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média 65,3kg e desvio padrão 5,5kg. Determine o número de estudantes que pesam:
entre 60 e 70kg;
mais que 63,2kg;
menos que 68kg.
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Distribuição Normal
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Exercícios:
A duração de um certo componente eletrônico tem média de 850 dias e desvio padrão de 40 dias. Sabendo que a duração é normalmente distribuída, calcule a probabilidade de esse componente durar:
entre 700 e 1000 dias;
mais de 800 dias;
menos de 750 dias.
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