Fundamentos de Matemática Financeira e Estatística Aplicada

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FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 1 
Prezado aluno, 
 
Esta apostila é a versão estática, em formato .pdf, da disciplina online e contém 
todas as informações necessárias a quem deseja fazer uma leitura mais linear do 
conteúdo. 
Os termos e as expressões destacadas de laranja são definidos ao final da 
apostila em um conjunto organizado de texto denominado NOTAS. Nele, você 
encontrará explicações detalhadas, exemplos, biografias ou comentários a 
respeito de cada item. 
Além disso, há três caixas de destaque ao longo do conteúdo. 
A caixa de atenção é usada para enfatizar questões importantes e implica um 
momento de pausa para reflexão. Trata-se de pequenos trechos evidenciados 
devido a seu valor em relação à temática principal em discussão. 
A galeria de vídeos, por sua vez, aponta as produções audiovisuais que você 
deve assistir no ambiente online – aquelas que o ajudarão a refletir, de forma 
mais específica, sobre determinado conceito ou sobre algum tema abordado na 
disciplina. Se você quiser, poderá usar o QR Code para acessar essas produções 
audiovisuais, diretamente, a partir de seu dispositivo móvel. 
Por fim, na caixa de Aprenda mais, você encontrará indicações de materiais 
complementares – tais como obras renomadas da área de estudo, pesquisas, 
artigos, links etc. – para enriquecer seu conhecimento. 
Aliados ao conteúdo da disciplina, todos esses elementos foram planejados e 
organizados para tornar a aula mais interativa e servem de apoio a seu 
aprendizado! 
Bons estudos! 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 2 
O mundo dos negócios não deveria se dissociar da academia e vice-versa. 
Desde a Administração Científica de Taylor até os dias de hoje, o mundo 
empresarial tem buscado suporte nas Ciências Exatas para resolver seus 
inúmeros problemas. O domínio de conceitos matemáticos, que abrange 
fenômenos tanto determinísticos quanto probabilísticos, vem-se evidenciando 
como competência básica para o profissional bem-sucedido. 
Pensando nesse contexto, esta disciplina introduz noções de Matemática 
Financeira e de Estatística Aplicada, que são essenciais para entender conceitos 
afins a essas áreas e solucionar problemas. 
O conteúdo está distribuído de modo uniforme: metade abordará o primeiro tema 
e a outra metade, o segundo, mas não é necessário entender aquele antes deste. 
Sendo assim, esta disciplina tem como objetivos: 
1. Explicar conceitos fundamentais da Matemática Financeira; 
2. Definir noções básicas de Estatística Aplicada. 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 3 
Introdução 
Você bem sabe que os empreendimentos, os negócios, as empresas, o governo, 
as pessoas, enfim, todos nós – querendo ou não – estamos inseridos em um 
sistema que regula as relações de troca com base em dinheiro. 
Nesse contexto, é muito importante entendermos as regras que regem o sistema 
financeiro e como ocorre o processo de transformação do valor ao longo do 
tempo. O domínio dessas normas pode ajudar um agente decisor na escolha do 
melhor caminho a ser trilhado no desenvolvimento de algum negócio. 
Afinal, a sobrevivência de um empreendimento está associada, muitas vezes, à 
habilidade de decisão do gerente, de forma oportuna e com base em estudos de 
viabilidade econômica. 
No núcleo de tudo isso, estão os conceitos de juros e taxa de juros – essenciais 
a este estudo. Nesta aula, portanto, daremos ênfase a tais noções. 
 
Objetivo: 
1. Explicar noções básicas de juros simples e compostos; 
2. Definir os conceitos de taxas de juros efetivas e nominais. 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 4 
 
Conteúdo 
Noções de Matemática Financeira 
Para darmos início a esta disciplina, vamos conhecer, primeiro, alguns conceitos 
básicos e os principais fundamentos que norteiam o estudo da Matemática 
Financeira. 
 
Comecemos pelo valor do dinheiro no tempo e pelos juros: elementos 
interligados e essenciais ao desenvolvimento do estudo dessa área do 
conhecimento. Vejamos o vídeo a seguir: 
 
Percebeu que quando você pede emprestado a alguém, por determinado período, 
algum bem ou dinheiro, é natural que lhe pague, ao fim desse prazo, alguma 
compensação financeira além do valor emprestado? 
Essa compensação pode ser: 
• Um aluguel – no caso de um bem; 
• Os juros – no caso de dinheiro. 
 
Termos utilizados na análise das situações 
Na análise das situações como a apresentada anteriormente, em que desejamos 
avaliar o dinheiro no tempo, é conveniente utilizarmos alguns termos. São eles: 
 
Principal 
Também chamado de capital inicial ou, simplesmente, capital. Trata-se do 
valor emprestado em alguma transação financeira. 
 
Remuneração do capital 
Definição atribuída aos juros. Os estudos dos mecanismos que regem sua 
formação e sua incorporação ao capital constituem a base principal da 
Matemática Financeira. 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 5 
 
Montante 
Soma dos juros com o capital em determinado período. 
 
Outro termo bastante utilizado é a capitalização. Vejamos o que o mesmo 
significa e suas ramificações: 
 
 
 
Capitalização 
Incorporação dos juros ao capital. 
 
Período de capitalização 
Intervalo de tempo decorrente entre cada capitalização. 
 
Sistemas ou regimes de capitalização: 
 
Juros simples 
Juros calculados sobre o capital inicial que se incorporam a ele ao fim de cada 
período de capitalização. 
 
Juros compostos 
Juros calculados sobre o montante do período anterior, que se incorporam ao 
capital ao fim de cada período de capitalização. 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 6 
 
Atenção 
 A seguir, entenderemos melhor todos esses conceitos! 
 
Juros: remuneração do capital 
Você sabe como os juros são fixados e como podemos obter seu valor em um 
período, em unidade monetárias? Vejamos: 
 
Taxa percentual e unidade de tempo 
Os juros são fixados por meio de uma taxa percentual que sempre se refere a 
uma unidade de tempo. Por exemplo: 
• 10% ao ano (a.a.); 
• 5% ao semestre (a.s.); 
• 2% ao mês (a.m.) etc. 
 
 
Valor por período 
Quando desejamos obter o valor dos juros de um período, em unidades 
monetárias, aplicamos a taxa de juros sobre o capital, conforme o exemplo a 
seguir: 
Capital aplicado -> R$ 100,00 
Taxa de juros -> 6% a.a. 
Valor de juros ao final de um ano -> 6% x R$ 100,00 = (6/100) x 100,00 
= R$ 6,00 
 
Montante: valor do dinheiro no tempo 
Vejamos, a seguir, uma cena do filme O Auto da Compadecida: 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 7 
Na cena que acabamos de assistir, os personagens Chicó, Rosinha e João Grilo 
armaram um plano para utilizar o dinheiro que havia sido deixado para Rosinha, 
pela sua vó, como herança. Entretanto, eles não contavam com o fato de que a 
unidade monetária daquele momento era diferente da unidade do tempo da avó 
de Rosinha, ou seja, o dinheiro não possuía mais valor algum. 
A partir do que vimos na cena e considerando o conceito de juros da Matemática 
Financeira a que nos referimos anteriormente, podemos perceber que hoje, 100 
unidades monetárias NÃO SÃO iguais a 100 unidades monetárias em 
qualquer outra data! 
 
Vamos analisar, então, uma aplicação de capital na data de hoje: 
 
Capital aplicado -> R$ 100,00 
Taxa de juros -> 6% a.a. 
Rendimento -> R$ 6,00 
Montante gerado ao final de um ano -> R$ 106,00 
 
De acordo com a ideia de que o valor do dinheiro muda ao longo do tempo, 
valores de datas diferentes são grandezas que só podem ser comparadas esomadas algebricamente após sua movimentação para uma mesma data, com a 
respectiva aplicação de uma taxa de juros. 
Portanto, ao planejar o escopo de determinado projeto, um gerente estabelece, 
por exemplo, um cronograma físico-financeiro que leva em conta a progressão 
do capital ao longo do tempo, considerando como premissa determinada taxa de 
juros para fazer suas projeções. 
 
Juros simples 
No regime de capitalização a juros simples, a compensação financeira, ou seja, 
os juros são diretamente proporcionais: 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 8 
Ao valor do capital emprestado (C), dentro de um período – dia, mês, ano, 
semestre etc. 
 
À quantidade de períodos em que esse valor fica emprestado. 
 
Nesse regime, apenas o capital inicial – o principal – rende juros. Não se somam 
os juros do período ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos 
seguintes. Em outros termos, os juros não são capitalizados e, 
consequentemente, não rendem novos juros. 
 
Exemplo 
Para fixarmos o conceito que vimos anteriormente, vamos analisar o exemplo a 
seguir? 
 
Crescimento de R$ 1.000,00 a juros simples de 6% a.a. 
 
 
 
Saldo do início do ano 
Um investimento de R$ 1.000,00 (mil unidades monetárias) é feito em um banco, 
no prazo de dois anos, com uma taxa de juros de 6% a.a., no regime de juros 
simples. 
 
Juros do ano 
O objetivo é obter o valor do saldo desse investimento no final de cada um dos 
dois anos da operação. Sendo assim, temos: Crescimento de R$ 1.000,00 a juros 
simples de 6% a.a. 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 9 
Saldo no final do ano 
Observando a evolução do dinheiro no tempo, podemos constatar que o 
crescimento do capital é linear, ou seja, os juros de cada ano são os mesmos. 
 
Fórmula de juros simples 
Uma vez que entendemos que, nos juros simples, o crescimento do capital ocorre 
de forma linear, de acordo com determinada taxa proporcional, podemos 
estabelecer uma fórmula que forneça um montante a partir de um capital inicial. 
Vejamos: 
 
 
 
Agora, considere a taxa percentual i = r/100. Nesse caso, temos a seguinte 
fórmula equivalente: 
 
 
 
Onde: 
j 
A letra representa os juros produzidos. 
C0 
Essa variável representa o capital emprestado. 
r/100 
Taxa de juros. 
n 
Número de meses. 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 10 
Diante das fórmulas citadas anteriormente, você consegue dizer quais são as 
fórmulas derivadas que explicitam cada uma das variáveis que vimos? 
 
Simples! 
 
C0 
 
 
 
i 
 
 
 
n 
 
 
 
Juros no período 
Voltemos para o exemplo numérico apresentado. Utilizando as fórmulas 
anteriores, concluímos que os juros nesse período são: 
 
 
 
A soma do capital com os juros produzidos em determinado período é 
denominada Montante (Cn), ou seja: 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 11 
 
 
 
Considerando o regime de juros simples, no qual j = C x i x n, temos: 
 
 
 
Portanto, nesse regime, obtemos os valores listados a seguir pelas expressões 
matemáticas correspondentes: 
 
Montante 
 
 
 
Capital 
 
 
 
período n 
 
 
 
Taxa i 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 12 
 
 
 
 
Atenção 
 As fórmulas apresentadas valem para qualquer período, mas é 
necessário expressar a taxa r e o período n na mesma unidade 
de tempo. 
 
Juros compostos 
A capitalização composta ocorre quando os juros são capitalizados e passam 
a render novos juros. Sendo assim, os juros de cada período são calculados sobre 
o saldo existente no início do respectivo período, e não apenas sobre o capital 
inicial – principal – aplicado. 
Para fixarmos esse conceito, vamos analisar um exemplo? 
 
Um investimento de R$ 1.000,00 é feito em um banco, no prazo de dois anos, 
com uma taxa de juros de 6% a.a., no regime de juros compostos. 
 
O objetivo é obter o valor do saldo desse investimento no final de cada um dos 
dois anos da operação. 
 
Sendo assim, temos: 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 13 
Considerando os exemplos numéricos das aplicações nos regimes de juros, é 
possível observar que o dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos do 
que a juros simples. 
 
Além disso, no regime de juros compostos, cada valor é obtido a partir do anterior 
pela multiplicação de uma razão constante igual a: 1,06 (1,00 + 6%). 
 
Fórmula de juros compostos 
Agora que já entendemos a regra que orienta o regime de juros compostos – por 
meio do qual a taxa é aplicada sempre no período anterior –, podemos obter uma 
expressão matemática que forneça o montante a partir de determinado capital 
inicial em função da taxa e do período. 
Considere, então, as seguintes informações: 
 
Cn 
Montante ao fim de n períodos de capitalização no regime de juros compostos. 
 
C0 
Capital no período em que ocorreu o empréstimo. 
 
i 
Taxa de juros. 
 
Jn 
juros do período n. 
 
O montante C1 relativo ao primeiro período de capitalização é calculado da 
seguinte forma: C0 + J1. Isso equivale a aplicar a taxa i de juros simples 
durante um período ao capital C0. Sendo assim, temos: 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 14 
 
Esse mesmo raciocínio pode ser aplicado em períodos sucessivos, ou seja: 
 
Logo, ao fim de n períodos, o montante Cn pode ser dado pela seguinte fórmula: 
 
É possível, também, obter a expressão que fornece o capital inicial em função do 
montante Cn, da taxa i e do período n. 
 
Revendo conceitos 
Após a definição das noções de montante e capital nos regimes de juros simples 
e compostos, que lhe permitiu familiarizar-se com notações alternativas utilizadas 
em bibliografias da Matemática Financeira, vamos conhecer outras acepções dos 
mesmos conceitos dentro da área. 
Você lembra das equações de juros simples e compostos que vimos 
anteriormente? Vejamos, agora, as formas alternativas como essas equações 
podem ser apresentadas: 
 
 
 
Note que, nessas equações, podemos substituir o conceito Montante (Cn) por 
Valor Futuro (VF) ou Future Value (FV)! 
 
Podemos substituir, também, o Capital, principal ou capital inicial (C0) = Valor 
Presente (VP) ou Present Value (PV)! 
 
Equivalência entre taxa de juros 
As informações financeiras que constam em contratos ou, até mesmo, na mídia 
são fornecidas fazendo referência à taxa de juros que nem sempre utilizam como 
referência um mesmo período. 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 15 
Para comparar e subsidiar uma decisão, em muitos casos, é necessário calcular 
a equivalência entre taxas em períodos diferentes, o que dá origem às taxas 
equivalentes. Essa abordagem é pertinente quando tratamos do regime de 
juros compostos. 
 
Tomemos, então, o exemplo da tabela a seguir: 
 
 
Observe que a aplicação por três meses, à taxa de 10% a.m., proporciona um 
rendimento igual a 33,1% a.t. – aplicada por um trimestre. 
Em outros termos, um mesmo montante pode ser obtido a partir de um capital 
inicial e de taxas distintas com períodos-base diferentes. 
 
Períodos de capitalização e tomado para análise 
Alguns problemas são apresentados com período de capitalização da taxa de 
juros diferente do período tomado para análise. 
Um exemplo seria obter o saldo de um empréstimo de R$ 1.000,00 por seis 
meses, considerando os juros de 46,41% ao quadrimestre. 
Uma das possíveissoluções é transformar a taxa quadrimestral em uma taxa 
mensal equivalente e aplicar a expressão matemática de juros compostos. 
 
Extrato 
Valor do empréstimo: R$ 1.000,00 
Período: 6 meses 
Juros ao quadrimestre: 46,41% 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 16 
 
Vamos avaliar, então, um capital (VP) que evoluiu em quatro meses (VF): 
 
 
 
Podemos interpretar essa evolução a partir das seguintes taxas: 
 
 
 
Portanto, a expressão matemática genérica para a obtenção da equivalência é: 
 
 
 
onde: 
 
n = número de períodos de capitalização da taxa im de período-base m. 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 17 
m = número de períodos de capitalização da taxa in de período-base n. 
 
No problema exemplificado, o período-base pode ser o quadrimestre, e a 
aplicação da expressão anterior resulta em: 
 
 
 
Logo, o saldo do empréstimo de R$ 1.000,00 por seis meses, considerando os 
juros de 46,41% ao quadrimestre, é: 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 18 
Atividade proposta 1 
Agora que você já sabe calcular a equivalência entre taxa de juros, 
vamos fazer uns exercícios! 
a) Uma taxa de 10% ao mês equivale a que percentagem ao quadrimestre (a.q.)? 
b) Uma taxa de 50% ao semestre equivale a que percentagem ao mês (a.m.)? 
 
Chaves de resposta: 
 
 
 
 
 
Taxas nominais e efetivas 
Você sabe o que são taxas nominais e efetivas e onde elas são aplicáveis? 
Vejamos: 
 
Taxas nominais 
O uso da expressão taxa nominal é aplicável no regime de juros compostos. 
Um exemplo seria considerar uma taxa de juros de 15% a.a., capitalizados 
mensalmente. Nesse caso, podemos observar que a taxa é anual, mas a 
capitalização é mensal. 
Listamos, aqui, algumas taxas nominais: 
• 12% ao semestre com capitalização bimestral; 
• 14% ao quadrimestre com capitalização trimestral; 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 19 
• 25% ao ano com capitalização semestral. 
 
Esse é o caso dos rendimentos da caderneta de poupança. Costuma-se informar 
que a poupança rende 6% a.a. mas também é usual ouvir que rende 0,5% a.m. 
Portanto, podemos expressar a taxa da caderneta de poupança em termos anuais 
da seguinte forma: 6% a.a. com capitalização mensal. 
Nesse contexto, as taxas devem ser divididas pelo número de períodos de 
capitalização (6% ÷ 12 = 0,5%), como se fossem taxas proporcionais de juros 
simples, apesar de serem capitalizadas por juros compostos. 
 
Taxas efetivas 
Já estamos cientes de que a utilização do termo nominal está associada a taxas 
de juros compostos como uma forma aproximada que simula um comportamento 
proporcional de juros simples. 
Em função disso, muitas vezes, é necessário saber mensurar o valor efetivo de 
determinada transação financeira, até porque muitos fatores o mascaram. Um 
deles é expressar a taxa praticada com referência nominal. Nesse caso, o custo 
efetivo será maior do que o expresso nominalmente. 
Um exemplo seria calcular o custo efetivo anual de uma taxa de 36% a.a. com 
capitalização mensal. Com esse período de capitalização, precisamos dividir a 
taxa anual por 12, a fim de calcular quanto ela representa em termos mensais. 
Sendo assim, temos: 
36% / 12 = 3% a.m. 
Logo, podemos obter o custo efetivo anual por meio do cálculo da taxa 
equivalente, ou seja: 
(1 + i)1 = (1,03)12 
(1 + i) = 1,425761 
i = 1,425761 - 1 
i = 0,425761 ou 42,5761% a.a. 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 20 
Vamos aplicar o conhecimento que acabamos de adquirir através de um 
exemplo? 
 
Suponhamos que uma aplicação de R$ 10.000,00 tenha sido feita à taxa de 36 
% a.a., capitalizada mensalmente. Vamos, agora, calcular o montante obtido no 
final do ano. 
 
A taxa de 36% a.a. é nominal, pois seu período anual é diferente do período de 
capitalização mensal. 
Logo, considerando a relação entre as unidades de tempo dessas taxas, a taxa 
efetiva da operação é proporcional à taxa dada. Em outros termos, como 1 ano 
= 12 meses, então, a taxa efetiva i será dada por: 
 
 
 
Portanto, o montante VF será obtido por: 
VF = 10.000 × (1 + 0,03)12 = 10.000 × 1,42576 = R$ 14.257,60 
 
Atividade proposta 2 
Antes de finalizarmos esta aula, vamos fazer uma atividade! 
Determinada empresa precisa de recursos por 12 meses. Ao pesquisar o mercado 
financeiro para resolver essa questão, a organização encontrou três alternativas 
de empréstimo que parecem ser atraentes. São elas: 
1ª – taxa de juros nominal de 24% a.a. com capitalização semestral; 
2ª – taxa de juros efetiva de 24% a.a.; 
3ª – taxa de juros nominal de 24% a.a. com capitalização mensal. 
Com base no que estudamos ao longo desta aula, classifique, nesse contexto, as 
alternativas apresentadas da melhor para a pior. 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 21 
Chave de resposta 
 
Para fins de comparação, a análise das alternativas requer uma mesma 
referência. No caso, podemos calcular as respectivas taxas efetivas anuais das 
primeira e tereceira alternativas, e compará-las com a segunda. 
 
Inicialmente, para a primeira alternativa, é necessário calcular a taxa efetiva 
semestral associada ao investimento da seguinte forma: 
 
𝒊𝟔 =
𝟎,𝟐𝟒
𝟐
 = 𝟎, 𝟏𝟐 a.s. 
 
Utilizando (𝟏 + 𝒊𝒎)
𝒏 = (𝟏 + 𝒊𝒏)
𝒎, temos: 
 
(𝟏 + 𝒊𝟔)
𝟏𝟐 = (𝟏 + 𝒊𝟏𝟐)
𝟔 
 
Logo: 
 (𝟏 + 𝒊𝟏𝟐)
𝟔 = (𝟏 + 𝟎, 𝟏𝟐)𝟏𝟐 
 𝟏 + 𝒊𝟏𝟐 = (𝟏, 𝟏𝟐)
𝟐 = 1,2544 
 i12 = 0,2544 ou 25,44% a.a. 
 
Para a terceira alternativa, precisamos calcular a taxa efetiva mensal associada 
ao investimento da seguinte forma: 
 
𝒊𝟏 =
𝟎,𝟐𝟒
𝟏𝟐
 = 𝟎, 𝟎𝟐 a.m. 
 
Utilizando (𝟏 + 𝒊𝒎)
𝒏 = (𝟏 + 𝒊𝒏)
𝒎, temos: 
 
(𝟏 + 𝒊𝟏)
𝟏𝟐 = (𝟏 + 𝒊𝟏𝟐)
𝟏 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 22 
Logo: 
 
(𝟏 + 𝒊𝟏𝟐)
𝟏 = (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟐)𝟏𝟐 
𝟏 + 𝒊𝟏𝟐 = (𝟏, 𝟎𝟐)
𝟏𝟐 = 1,268242 
i12 = 0,268242 ou 26,8242% a.a. 
 
Comparando as taxas efetivas anuais, percebemos que, para pagar menos 
juros, a empresa deve adotar como prioridade a segunda alternativa, seguida 
da primeira e, por último, a terceira. 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 23 
Aprenda Mais 
Para saber mais sobre os tópicos estudados nesta aula, sugerimos a seguinte 
leitura: 
PUCCINI, A. L. Matemática Financeira objetiva e aplicada. 6. ed. São Paulo: 
Saraiva, 1999. cap. 2-6. 
 
Referências 
FREIRE, P. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. 
São Paulo: Paz e Terra, 2007. 
LEITE, M. S. Diversidade e saberes no ensino superior, 2005. 
PIMENTA, S. G.; ANASTASIOU, L. G. C. Do ensinar à Ensinagem. In: Docência 
no Ensino Superior, vol. I. São Paulo: Cortez, 2002. p. 201 a 243. 
RIBEIRO, M. L. O Ensino Universitário: um olhar sobre as representações de 
estudantes de Licenciatura, 2008. 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 24 
Exercícios de fixação 
Questão 1 
Um empresário resolveu aplicar R$ 10.000,00 em um banco que remunera seus 
depósitos a uma taxa de 4% a.t., no regime de juros simples. Qual o montante 
que poderá ser retirado pelo empresário no final do 9º trimestre? 
a) R$ 14.233,12 
b) R$ 13.600,00 
c) R$ 12.400,00 
d) R$ 12.233,12 
e) R$ 13.400,00 
 
Questão 2 
Um empresário resolveu aplicar R$ 10.000,00 em um banco que remunera seus 
depósitos a uma taxa de 4% a.t., no regime de juroscompostos. Qual o montante 
que poderá ser retirado pelo empresário no final do 9º trimestre? 
a) R$ 14.233,12 
b) R$ 13.600,00 
c) R$ 12.400,00 
d) R$ 12.233,12 
e) R$ 13.400,00 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 25 
Questão 3 
Você precisa tomar um empréstimo de um ano a uma taxa de juros capitalizada 
anualmente. Logo, o melhor sistema de capitalização é o: 
a) Simples – dependendo do valor. 
b) Tanto faz – para taxas iguais. 
c) Composto – para taxas iguais. 
d) Simples – para taxas iguais. 
e) Composto – dependendo do valor. 
 
Questão 4 
Você aplica uma quantia de 100.000,00 reais no prazo de cinco meses e tem 
como remuneração desse capital a quantia de R$ 11.240,00. Qual é a taxa de 
juros simples ao mês dessa operação? 
a) 2,50% 
b) 3,75% 
c) 2,25% 
d) 3,15% 
e) 2,15% 
 
Questão 5 
Admitindo uma taxa de 8% a.m. em regime de juros compostos, em quantos 
meses um investimento duplicará? 
a) 3 
b) 5 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 26 
c) 8 
d) 9 
e) 12 
 
Questão 6 
Em uma análise de investimentos, foi utilizada uma taxa nominal de 10% a.a. 
com capitalização trimestral. Nesse caso, qual é a taxa efetiva mensal 
equivalente? 
a) 0,182% a.m. 
b) 0,28105% a.m. 
c) 0,6361% a.m. 
d) 0,8265% a.m. 
e) 0,94033% a.m. 
 
Questão 7 
Um investidor lhe pediu ajuda para calcular o montante acumulado no final de 
dois anos, em uma aplicação de R$ 10.000,00 à taxa de 12% a.a. com 
capitalização mensal. O montante a ser informado é: 
a) R$ 11.375,47 
b) R$ 12.697,35 
c) R$ 13.362,34 
d) R$ 12.514,58 
e) R$ 13.269,77 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 27 
Questão 8 
Uma empresa precisa avaliar a rentabilidade de um investimento, determinando 
o montante acumulado no final de quatro anos. Se o capital investido foi R$ 
100.000,00, no regime de juros compostos, qual é o montante, considerando 
uma taxa de 6,134% a.s.? 
a) R$ 154.018,40 
b) R$ 148.225,00 
c) R$ 158.386,90 
d) R$ 153.496,50 
e) R$ 161.003,80 
 
Questão 9 
A fim de auxiliar um gerente de projeto, você foi consultado para calcular a taxa 
efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 9% a.a. com período de 
capitalização semestral. Sua resposta foi: 
a) 9,2025% a.a. 
b) 8,2810% a.a. 
c) 8,6361% a.a. 
d) 7,8265% a.a. 
e) 9,9403% a.a. 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 28 
Questão 10 
Um empresário obtém um financiamento de 18.000,00 reais, sem entrada, para 
pagamento em uma única prestação, daqui a quatro meses, por R$ 20.350,00. 
Qual é a taxa anual de juros dessa operação, considerando que o regime de 
capitalização é composto? 
a) 38,2525% a.a. 
b) 43,2810% a.a. 
c) 44,5026% a.a. 
d) 39,8865% a.a. 
e) 42,9403% a.a. 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 29 
Future Value (FV): Denominação utilizada na calculadora HP 12-c. 
 
Capitalização composta: Também chamada de capitalização com juros 
compostos. Trata-se do regime de capitalização pelo qual os juros estipulados 
em cada período são somados ao capital anterior para render juros no período 
seguinte. 
 
Taxa nominal: Taxa de juros cuja unidade de referência dos períodos não 
coincide com o período de capitalização. 
 
Taxas equivalentes: Aquelas que são fornecidas em tempos distintos e 
produzem um mesmo montante ao final de determinado prazo. 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 30 
Aula 1 
Exercícios de fixação 
Questão 1 - B 
Justificativa: A fórmula que regula a progressão do capital no regime de juros 
simples é: 
VF=VP1+i×n 
Nesse caso, temos: 
VP=10.000,00 
i=0,04 
n=9 
Logo: VF=10.000,001+0,04×9 = R$13.600,00 
 
Questão 2 - A 
Justificativa: A fórmula que regula a progressão do capital no regime de juros 
compostos é: 
VF=VP1+in 
Nesse caso, temos: 
VP=10.000,00 
i=0,04 
n=9 
Logo: VF=10.000,001+0,049 = R$14.233,12 
 
Questão 3 - B 
Justificativa: Como o prazo do empréstimo é de um ano, temos: 
n=1 
Aplicação → VF=VP1+i×n ou VF=VP1+in 
Logo: VF=VP1+i 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 31 
Questão 4 - C 
Justificativa: A taxa de juros simples é: 
i=Cn-C0C0×n ou 
i=VF-VPVP×n=11.240,00100.000,00×5=0,0225 
 
 
Questão 5 - D 
Justificativa: Considere as seguintes informações dadas: 
 
VF=2 VP 
 
VF=VP1+in 
 
Sendo assim, temos: 
2VP=VP1+0,08n 
ou 
1+0,08n=2 
Essa equação pode ser resolvida, por exemplo, aplicando-se logaritmo na base 
10: 
log1,08n=log 2 
ou 
n.log 1,08 = log 2 
 
Logo: n=log 2log 1,08=9 
 
 
Questão 6 - D 
Justificativa: Inicialmente, é necessário calcular a taxa efetiva trimestral 
associada ao investimento da seguinte forma: 
i3=0,14=0,025 a.t. 
Utilizando 1+imn=1+imm, temos: 
1+i13=1+i31 
Logo: 
1+i13=1+0,0251=1,025 
1+i3=1,0253=1,008265 
i3=0,008265 ou 0,8265% a.m. 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 32 
 Questão 7 - B 
Justificativa: Inicialmente, é necessário calcular a taxa efetiva mensal associada 
ao investimento da seguinte forma: 
i1=0,1212=0,01 a.m. 
Ao final de dois anos, temos: 
n=24 
Logo: 
VF=10.000,001+0,0124=R$12.697,35 
 
 
Questão 8 - E 
Justificativa: Para a determinação do montante, basta adequar o número de 
períodos ao período-base da taxa, ou seja: n = 4 anos = 8 semestres. 
Sendo assim, temos: VF=10.000,001+0,061348=R$161.003,80 
 
Questão 9 – A 
Justificativa: Inicialmente, é necessário calcular a taxa efetiva semestral 
associada ao investimento da seguinte forma: 
i6==0,092=0,045 a.s. 
Utilizando 1+imn=1+inm, temos: 
1+i612=1+i126 
Logo: 
1+i126=1+0,04512 
1+i12=1,0452=1,092025 
i12=0,092025 ou 9,2025% a.a. 
 
Questão 10 - C 
Justificativa: Considere as seguintes informações dadas: 
 
VP=R$18.000,00 
VF=R$20.350,00 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 33 
 
Utilizando VF=VP1+in, temos: 
20.350,00=18.000,001+i4 
Logo: 
1+i1=20.25018.000=1,0311534 
Como: 1+i121=1+i112=1,03115312=1,445026 
Então: i12=1,445026-1=0,445026 ou 44,5026% ao ano 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 34 
Beniamin Achilles Bondarczuk é Doutor em Engenharia de Produção pelo 
Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia da 
Universidade Federal do Rio de Janeiro (COPPE-UFRJ), Mestre em Engenharia de 
Sistemas e Computação e Graduado em Engenharia Mecânica e de Automóveis 
pelo Instituto Militar de Engenharia (IME). Foi professor do IME e de várias 
Instituições de Ensino Superior (IES) no Rio de Janeiro, em cursos de Graduação 
e Pós-Graduação. Atualmente, é Oficial do Exército e trabalha com pesquisa, 
desenvolvimento e avaliação de produtos de defesa. 
Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/3689092970048757