3_CC e CA Monofásico_1a Prova

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1/6 Prof. Abner P. Fonseca 
Circuitos Elétricos 
CC e CA 
João Monlevade, março 2018. 
2/6 Eletrostática 
Constituição do átomo: 
 > Prótons (+); 
 > Nêutrons; 
 > Elétrons (-). Carga: q = 1,6 x 10-19C [C = Coulomb] 
Eletrização de um corpo: 
 Processo que faz o corpo ter carga positiva (falta de elétrons) ou 
 negativa (excesso). 
 Corpos Neutros: sem carga elétrica, pois o número de elétrons = 
 número de prótons. 
Processos de Eletrização: Ex. Atrito 
 > Atrito; 
 > Contato; 
 > Indução ou influência 
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3/6 Eletrostática 
Lei de Coulomb: duas cargas elétricas puntiformes [de massa desprezível], se atraem ou se 
 repelem na razão direta do produto destas cargas e na razão inversa do 
 quadrado da distância entre elas. 
 Onde: K = 9,0 x 109 (Nxm2)/C2 
 No SI. 
 Campo Elétrico de uma carga Puntual: é a influência que esta carga causa no espaço que 
 a circunda. 
 Representação: por linhas de força [>concentração, >influência] 
 Circunferências concêntricas [caga está no centro) 
 perto da carga, maior é a concentração, >influência 
 longe da carga, menor é a influência [lei da 
 quadrado da distância] 
4/6 Eletrostática 
Campo Elétrico de uma carga Puntual: definido como a relação entre a força 
 exercida por uma carga q numa carga de 
 prova qO e a própria carga de prova qO. 
Unidade de Campo Elétrico no SI: Newton / Coulomb = N/C ou 
 Volt / metro = V/m 
Como F=K(q qO)/x2 ! E = F/qO ! E = [K(q qO)/x2] /qO 
 Eliminando qO no numerador e denominador, resulta. 
 E = K q / x2 
 O campo elétrico gerado por uma carga puntiforme é diretamente proporcional 
à carga e inversamente proporcional ao quadrado da distância da carga ao 
ponto considerado. 
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5/6 Eletrostática 
Potencial Elétrico de uma carga puntiforme 
 É a relação entre a energia (trabalho) gasto para transportar a carga (q) de um 
ponto A até um outro situado a uma distância infinita e, a carga transportada. 
Potencial é representado por (V). Assim, 
 V = W / q onde: W = trabalho (energia); 
 q = carga transportada. 
 V = Joule / Coulomb = Volt (V) 
 A unidade no SI para o potencial elétrico é o Volt (V). 
 Manipulação: 
 Força(N) = Massa(Kg) x Aceleração (m/s2), ou N = kg x m/s2 
 Trabalho [W em Joule (J)] = Força(N)x Distância(m) ou Joule (J) = N.m 
 Joule (J) = kg x (m/s2) x m ou Joule (J) = kg x m2/s2 
 Volt(V) = [Trabalho(W) em Joule(J)] / [Carga em Coulomb (C)] ou V = J/C 
 Campo Elétrico (E) = N/C = N / (J/V) = NV/J = [(J V)/m] / J 
 Campo Elétrico (E) = V/m ! Volt/metro 
6/6 Eletrostática 
 Diferença de potencial entre dois pontos A e B produzida por uma carga 
puntiforme: 
 É a relação entre o trabalho necessário para o transporte da carga (q) de A até B 
e a carga transportada (q), ou seja: 
 VAB = VA –VB = WAB /q 
 Sendo (q) a carga e (x) a distância entre A e B temos: 
 VAB = (K q)/x 
 A diferença de potencial (ddp) é praticamente uma medida de energia elétrica. 
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1/34 Prof. Abner P. Fonseca 
Circuitos Elétricos 
CC e CA 
João Monlevade, março 2018. 
2/34 Eletrodinâmica 
Corrente elétrica: definida como a relação da carga elétrica que passa pela seção 
 transversal do condutor durante certo tempo. 
 Representação: I = para corrente constante; I = q/t 
 i = para corrente variável; i = dq/dt 
 No SI ! q = Coulomb [C]; 
 t = segundo [s]; 
 I ou i = Ampère [A] 
Corrente contínua (CC): é a que tem valor constante e único sentido de 
 transporte das cargas. 
Obs.: só existe corrente elétrica entre A e B se 
 existir uma ddp entre AB. 
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3/34 Eletrodinâmica 
MATERIAIS 
(a) Condutores: são materiais cujos elétrons das últimas camadas estão 
fracamente presos ao núcleo. Basta uma pequena energia externa para 
liberarem grande quantidade desses elétrons. Os metais são condutores, e 
como o ouro, platina, cobre, alumínio, etc.. 
(b) Isolantes: são materiais cujos elétrons estão fortemente presos ao núcleo. 
Necessitaria de grande quantidade de energia para liberar alguns elétrons. 
Exemplo de isolantes: porcelana, vidro, borracha, papel, óleo, etc.. 
(c) Semicondutor: é o material usado na eletrônica. Veremos num momento 
posterior. 
Obs.: > “Não existe material condutor ou isolante perfeito." 
 > Qualquer material isolante só conserva a característica de isolamento até 
um determinado nível de tensão aplicada (ddp) [tensão Disruptiva] . Se este 
valor de tensão for excedido, há o rompimento do isolante e ele passa a ser, 
praticamente, um condutor ideal. 
4/34 Eletrodinâmica 
Resistividade elétrica de um material [simbolizada por !, lê-se: rô] 
"  é a medida da oposição [quanto] que o material oferece à passagem de 
elétrons; 
"  a uma constante do material, variando diretamente com a temperatura; a 
exceção se dá para alguns compostos de carbono são inversamente 
proporcionais, #T ! $resistividade. 
Unidade prática: (ohms x milímetro quadrado) / metro = (! x mm2)/m 
" = "O (1 + #$t) 
 Onde: 
 " = resistividade final do material à temperatura (t); 
 "O = resistividade inicial do material à temperatura (tO); 
 $t = (t – tO) é a variação da temperatura do corpo, sempre igual a temperatura 
 final menos a inicial. 
 # = coeficientetérmico do material. É uma constante, unidade (oC)–1 = 1/oC. 
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5/34 Eletrodinâmica 
Exemplos: 
(1) Um corpo possui resistividade igual a 3x10-2("xmm2)/m a 30oC. Se o 
coeficiente térmico é 2x10-3 (oC)-1, qual sua resistividade a 80oC? 
 $t = (t – tO) = 80 – 30 = 50oC 
 " = "O (1 + #$t) = [3x10-2 ("xmm2)/m]{1+[2x10-3 (oC)-1]x50oC} 
 Fazendo as operações chega-se a: " = 3,3x10-2 (!xmm2)/m 
(2) A resistividade elétrica de um corpo a 90oC é 4,8x10-2 ("xmm2)/m sendo o 
coeficiente térmico igual a 4x10-3 (oC)–1. Qual a resistividade do corpo a 40oC? 
 " = "O (1 + #$t) = [4,8x10-2 ("xmm2)/m]/[1+4x10-3 (oC)-1x50] 
 Fazendo as operações chega-se a: "O = 4x10-2 (!xmm2)/m 
6/34 Eletrodinâmica 
Resistência ôhmica de um condutor e sua variação com a temperatura 
 Resistência é a medida da oposição à passagem da corrente elétrica oferecida 
pelo condutor. 
 R = (" L) / S 
 Onde: R = resistência elétrica; Unidade no SI: Ohm [!]. 
 ! = resistividade elétrica do material; 
 L = comprimento do condutor; 
 S = seção transversal do condutor. 
Então: R é diretamente proporcional a ! e a L e é inversamente proporcional a S. 
Então vale também: 
R = RO (1 + #$t) 
 Onde: R é a resistência à maior temperatura; 
 RO é a resistência à menor temperatura. 
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7/34 Eletrodinâmica 
Exemplos: 
(1) Constrói-se uma resistência usando 4m e 30cm de um material cuja 
resistividade elétrica é igual a 3x10-3("xmm2)/m. Se a seção transversal do 
corpo for de 5x10-8m2 qual a resistência ôhmica obtida? 30oC. 
 Obs.: 5x10-8m2 = 5x10-8x106mm2 = 5x10-2mm2 
 R = ("L)/S = {3x10-3 [("xmm2)/m]x4,3m}/ 5x10-2 mm2 
 Fazendo as operações chega-se a: R = 258 m! 
(2) O filamento de tungstênio de uma lâmpada quando apagada (20oC), tem uma 
resistência RO. Calcule o valor da resistência do filamento quando a lâmpada 
estiver acesa (2.000oC). 
 A 20oC ! RO. Sabendo que # do tungstênio vale: # = 0,00450/oC 
 $t = 2000 – 20 = 1980oC. Então: 
 R = RO (1 + #$t) = RO(1 + 0,00450/oC x 1980oC) chega-se a: 
 R = 9,91 RO 
8/34 Eletrodinâmica 
Bateria e fontes de corrente contínua 
Símbolo: É um dispositivo capaz de transformar energia química em 
 energia elétrica. 
 Dois metais de diferentes eletronegatividade imersos em solução eletrolítica 
um deles fornece e o outro recebe elétrons, fazendo surgir entre os metais uma 
ddp, ou força eletromotriz (fem) E [fonte de alimentação] cuja unidade SI é o 
volt (V). 
 Observa-se que a ddp em qualquer carga será grafada por V (ex.: VAB, VBC, 
etc.). 
 Outras fontes de corrente contínua: dínamos, geradores CC, painéis 
 solares, e fonte CA/CC 
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9/34 Eletrodinâmica – Circuitos Elétricos CC série 
Circuito elétrico CC 
 Símbolo da resistência: 
Circuito: é o caminho que fecha os terminais de uma fonte E via um ou mais 
 elemento(s) consumidor(es), R, por exemplo. 
 Circuito aberto: R = # 
 Circuito em curto: R = 0 
Lei de Ohm: a corrente elétrica é diretamente proporcional a E (ddp) ou a VAB, 
 aplicada no elemento consumidor R (no caso) e inversamente 
 proporcional a R, ou seja: 
 I = E / R ou VAB = R I 
10/34 Eletrodinâmica – Circuitos Elétricos CC série 
1ª Lei de Kirchhoff 
 A soma das quedas de tensão em uma malha (circuito fechado) é igual a tensão 
aplicada (da fonte). 
Circuito CC – Série 
 Circuito série: é o que tem só um caminho e uma corrente. 
Dado o circuito série abaixo: 
 Cálculo das quedas de tensão: 
 VAB = R1 I 
 VBC = R2 I 
 VCD = R3 I 
 Pela 1ª Lei de Kirchhoff: E = VAB + VBC + VCD 
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11/34 Eletrodinâmica – Circuitos Elétricos CC série 
E = VAB + VBC + VCD ! REQUIVALENTE I = (R1 + R2 + R3) I 
Implicando que: REQUIVALENTE = RTOTAL = R1 + R2 + R3 
Circuito Equivalente: 
 Onde: RT = R1 + R2 + R3 
 E = RT I 
12/34 Eletrodinâmica – Circuitos Elétricos CC série 
Exemplo: Dado o circuito abaixo cujos valores de seus elementos são dados por: 
 R1 = 50" 
 R2 = 20" 
 R3 = 10" 
 VBC =50V; 
 Calcular: I, E, VAB, VCD, VAC, VBD. 
 RT = R1 + R2 + R3 ! RT = (50 + 20 + 10) " ! RT = 80 ! 
 I = VBC / R2 ! então I = 50V / 20" ! I = 2,5A 
 E = RT I ! E = 80" x 2,5A ! E = 200V 
 VAB = R1 I ! VAB = 50" x 2,5A ! VAB = 125V 
 VCD = R3 I ! VCD = 10" x 2,5A ! VCD = 25V 
 VAC = (R1 + R2) I ! VAC = 70" x 2,5A ! VAC = 175V 
 VBD = (R2 + R3) I ! VBD = 30" x 2,5A ! VBD = 75V 
 1ª Lei de Kirchhoff: E = VAB + VBC + VCD ou 200V = 125V + 50V + 25V 
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13/34 Eletrodinâmica – Circuitos Elétricos CC série 
Potência dissipada num resistor – EFEITO JOULE 
"  É a quantidade de energia elétrica transformada em calor por segundo (tempo). 
"  Energia = Potência x Tempo ! W= P t 
 sendo: W = Joule, e t em segundo ! P = Watt 
Dado o circuito: 
 PAB = WAB / t ! como: VAB = WAB / q e I = q/t 
 PAB = VAB q /t ! PAB = VAB I t /t ! PAB = VAB I = EI 
 e como VAB = RI ! PAB = R I I ! PAB = R I2 
 e, ainda, I = VAB/R ! PAB = R (VAB/R)2 ! PAB = V2AB/R 
 EFEITO JOULE: PAB = R I2 fórmula geral da potência. 
14/34 Eletrodinâmica – Circuitos Elétricos CC série 
Exemplo: dado o circuito abaixo: 
 R1 = 20" 
 R2 = 35" 
 R3 = 15" 
 PAB =80W; 
 Calcular: I, E, VAC, VBD, PBC, PCD. PAC, 
 PBD, a potência total fornecida; 
 a potência total dissipada. 
 Solução: 
 PAB = R1 I2 ! I =$(PAB / R1) ! I = $ (80W/20" ! I = 2A 
 RT = R1 + R2 + R3 ! RT = (20+35+15) " ! RT = 70! 
 E = RT I ! E = 70" x 2A ! E =140V 
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15/34 Eletrodinâmica – Circuitos Elétricos CC série 
Exemplo: dado o circuito abaixo: 
 R1 = 20" 
 R2 = 35" 
 R3 = 15" 
 PAB =80W; 
 Calcular: I, E, VAC, VBD, PBC, PCD. PAC, 
 PBD, a potência total fornecida; 
 a potência total dissipada. 
 Solução: 
 VAC = (R1 + R2) I !VAC = (20" + 35")2A ! VAC = 110V 
 VBD = (R2 + R3) I !VBD = (35" + 15")2A ! VBD = 100V 
 PBC = R2 I2 ! PBC = 35" x 22 ! PBC = 140W 
 PCD = R3 I2 ! PCD = 15" x 22 ! PCD = 60W 
16/34 Eletrodinâmica – Circuitos Elétricos CC série 
Exemplo: dado o circuito abaixo: 
 R1 = 20" 
 R2 = 35" 
 R3 = 15" 
 PAB =80W; 
 Calcular: I, E, VAC, VBD, PBC, PCD. PAC, 
 PBD, a potência total fornecida; 
 a potência total dissipada. 
 Solução: 
 PAC = (R1 + R2) I2 ! PAC = (20"+ 35") x 22 ! PAC = 220W 
 PBD = (R2 + R3 )I2 ! PBD = (35" + 15" x 22 ! PBD = 200W 
Potência total dissipada: PDISSIPADA= RT I2 ! PDISP = 70" x 22 ! PDISP = 280W 
Potência total fornecida: PFORNECIDA= E I ! PFORN=140V x 2 ! PFORN= 280W 
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17/34 Eletrodinâmica – Circuitos Elétricos CC série 
Sentido da corrente elétrica: Real e Convencional 
(1) Sentido eletrônico ou real é o sentido do deslocamento das cargas 
elétricas (elétrons) no circuito. Este sentido é do potencial mais baixo 
para o potencial mais alto. Isto significa que através do circuito externo 
os elétrons se deslocam do terminal negativo da fonte para o terminal 
positivo. No interior da fonte o sentido é o oposto, ou seja, do terminal 
positivo para o negativo. 
(2) Sentido convencional: supõe-se que sejam as cargas positivas 
(prótons) que se deslocam e este deslocamento é do potencial mais alto 
para o mais baixo, ou seja, do terminal positivo para o negativo da 
fonte, através do circuito externo. Devido à facilidade que apresenta 
para a compreensão de diversos fenômenos elétricos será adotado 
o sentido convencional. 
18/34 Eletrodinâmica – Circuitos Elétricos CC série 
Energia nos circuitos elétricos (kWh) 
Sabemos que ddp entre A e B é: VAB = WAB / q ! Volt = Joule / Coulomb 
e, sabemos ainda: PAB = VAB I ! PAB = (WAB / q) I ! e que I = q/t 
Substituindo: PAB = (WAB / q) (q/t) ! cortando q fica: PAB = WAB / t 
Ou: Watt = Joule / segundo ou Joule = Watt x segundo 
Mas a unidade Joule é muito pequena para medir o consumo de energia elétrica, 
Daí adotou-se o kWh: 
 1 kWh = 1 x 1000 (J/s) 3.600s = 3.600.000 J. 
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19/34 Eletrodinâmica – Circuitos Elétricos CC série 
Exemplo: Um motor elétrico possui potência de 10kW e permanece ligado 
durante 8h e 15 minutos por dia. Sabendo-se que o kWh custa entre R$ 0,66 a 
R$ 1,04 [bandeira amarela, mês de Dez/2016], considerando o valor médio de 
R$ 0,85, calcule: 
 (a) A quantidade total de energia consumida em um dia e em um mês. 
 (b) O gasto total (em R$) com o motor durante um mês. 
 SOLUÇÃO: 
 (a) PMOTOR =10kW ! t = 8h e15’’ ! t = 8,25h 
 Em um dia: W = P t !WDIA =10kW x 8,25h 
 WDIA = 82,5kWh ! Em 30 dias (um mês) 
 WMÊS = 30 x WDIA ! WMÊS = 2.475 kWh. 
 (b) O gasto total no mês desse motor é de: 
 (R$0,85/kWh) x 2475 kWh = R$ 2.103,75 
20/34 Eletrodinâmica – Circuitos Elétricos CC paralelo 
Circuito CC em paralelo 
 O circuito paralelo é aquele que a ddp (tensão) aplicada nos diversos ramos é a 
mesma e existe mais de um caminho para a corrente. Deste modo, a corrente se 
divide. 
 Num circuito paralelo, aos pontos onde a corrente se divide (ou se agrupa) 
denominamos de “NÓS”. 
 NÓ: é um ponto do circuito onde 
 concorrem, no mínimo três 
 condutores. Em um NÓ existe 
 pelo menos três correntes. 
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21/34 Eletrodinâmica – Circuitos Elétricos CC paralelo 
2ª Lei de Kirchhoff 
 “A soma algébrica das correntes em um NÓ é NULA”, ou ainda, 
 “A soma das correntes que chegam em um NÓ é igual à soma das correntes que 
saem deste NÓ”. 
22/34 Eletrodinâmica – Circuitos Elétricos CC paralelo 
Resistência Total ou Equivalente de um circuito paralelo (RT) 
No circuito ao lado, pela Lei de Ohm: 
 I1 = VAB/R1 = E/R1 
 I3 = VCD/R2 = E/R2 
 I4 = VCE/R3 = E/R3 
 Como, pela 2ª Lei de Kirchhoff: 
 I = I1 + I3 + I4 [3] teremos: 
 I = E/R1+ E/R2 + E/R3 ! 
 I = E(1/R1+ 1/R2 + 1/R3) Caso particular, com 2 resistores: 
 I/E = 1/R1+ 1/R2 + 1/R3 1/RT = 1/R1+ 1/R2 resultando: 
 1/RT = 1/R1+ 1/R2 + 1/R3 RT = R1 R2 / (R1+ R2) 
 Nos circuitos paralelos de CC o inverso da resistência total (ou equivalente) é 
igual à soma dos inversos das resistências dos trechos em paralelo. 
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23/34 Eletrodinâmica – Circuitos Elétricos CC paralelo 
Exemplo: seja dado o circuito paralelo abaixo: 
 Dados: 
 E = 60V; 
 R1 = 12"; 
 R2 = 60"; e 
 R3 = 40". Pede-se: 
 Calcular: RT, I, I1, I2, I3, I4, 
 P, PR1, PR2, PR3. 
 1/RT = 1/R1+ 1/R2 + 1/R3 ! 1/RT = 1/12+ 1/60 + 1/40 ! (mmc = 120) 
 1/RT = (10 + 2 + 3)/120 = 15/120 ! RT = 120/15 ! RT = 8! 
 I = E / RT ! I = 60V / 8" ! I = 7,5A 
 I1 = E / R1 ! I1 = 60V / 12" ! I1 = 5A 
 I3 = E / R2 ! I3 = 60V / 60" ! I3 = 1A 
 I4 = E / R3 ! I4 = 60V / 40" ! I4 = 1,5A 
24/34 Eletrodinâmica – Circuitos Elétricos CC paralelo 
Exemplo: seja dado o circuito paralelo abaixo:Dados: 
 E = 60V; 
 R1 = 12"; 
 R2 = 60"; e 
 R3 = 40". Pede-se: 
 Calcular: RT, I, I1, I2, I3, I4, 
 P, PR1, PR2, PR3. 
 Lembrando que pela 2ª Lei de Kirchhoff: 
 I = I1 + I3 + I4 ! I = 5,0 + 1 + 1,5 ! I = 7,5A confirmada pela solução 
 I2 = I3 + I4 ! I2 = 1 + 1,5 ! I2 =2,5A 
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25/34 Eletrodinâmica – Circuitos Elétricos CC paralelo 
Exemplo: seja dado o circuito paralelo abaixo: 
 Dados: 
 E = 60V; 
 R1 = 12"; 
 R2 = 60"; e 
 R3 = 40". Pede-se: 
 Calcular: RT, I, I1, I2, I3, I4, 
 P, PR1, PR2, PR3. 
 P = E I = 60Vx7,5A 
 P = 450W 
26/34 Eletrodinâmica – Circuitos Elétricos CC paralelo 
TENTE VOCÊ, em casa: [pág. 16 da apostila] 
(1) 
(2) 
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27/34 Eletrodinâmica – Circuitos Elétricos CC mistos 
Circuitos Mistos: são os que têm tanto ligações séries como paralelo. 
Exemplo (1): 
 Calcular: todas as correntes, RT, E, VAB, VBC, VBD, P. 
28/34 Eletrodinâmica – Circuitos Elétricos CC mistos 
Circuitos Mistos: são os que têm tanto ligações séries como paralelo. 
Exemplo (1): 
 Calcular: todas as correntes, RT, E, VAB, VBC, VBD, P. 
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29/34 Eletrodinâmica – Circuitos Elétricos CC mistos 
Circuitos Mistos: são os que têm tanto ligações séries como paralelo. 
Exemplo (1): 
 Calcular: todas as correntes, RT, E, VAB, VBC, VBD, P. 
30/34 Eletrodinâmica – Circuitos Elétricos CC mistos 
Exemplo (2): 
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31/34 Eletrodinâmica – Circuitos Elétricos CC mistos 
Exemplo (2): 
32/34 Eletrodinâmica – Circuitos Elétricos CC mistos 
Exemplo (2): 
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33/34 Eletrodinâmica – Circuitos Elétricos CC mistos 
Exemplo (2): 
34/34 Eletrodinâmica – Circuitos Elétricos CC mistos 
TENTE VOCÊ, em casa: 
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1/21 Prof. Abner P. Fonseca 
Circuitos Elétricos 
CC e CA 
João Monlevade, março 2018. 
2/21 Eletrodinâmica – Capacitores 
Capacitores ou Condensadores: são dispositivos destinados a armazenar energia 
 elétrica na forma de cargas elétricas. 
Constituído por: duas placas metálicas (armaduras) com um isolante ou dielétrico 
 [ar, papel, mica, etc] entre estas placas. 
Carga: o capacitor carrega-se de forma que uma das placas fica com carga +q (a 
 placa ligada ao polo + da fonte CC) e a outra com –q (ao polo – da fonte). 
Capacitânicia; é a capacidade de armazenar cargas elétricas de um capacitor, 
 grafada por C e sua unidade no SI é o Farad (F). 
 A carga armazenada nas placas cria uma ddp. 
 A capacitância é definida como a relação das cargas elétricas de 
 uma das placas pela ddp entre as placas. Ou seja: 
 C = q/V onde: q = carga em C [Coulomb]; C é a capacitância 
 em Farad [F]; e V a ddp em Volt [V]. 
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3/21 Eletrodinâmica – Capacitores 
SUBMÚLTIPLOS da Farad: 
 Para as dimensões físicas dos capacitores, eles não chegam à ordem de 1F, por 
isso usa-se seu submúltiplos: 
 MicroFarad = 1µF = 10-6 F 
 NanoFarad = 1nF = 10-9 F 
 PicoFarad = 1pF = 10-12 F 
Emprego dos capacitores: 
 Na eletrônica: construção de filtros, retificadores, dobradores de 
 tensão, etc. 
 Na eletrotécnica: na construção de relés, na partida de motores 
 monofásicos, na correção do fator de potência. 
Obs.:A maioria dos capacitores não tem polarização exceto os ELETROLÍTICOS. 
4/21 Eletrodinâmica – Capacitores 
Simbologias do Capacitor: 
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5/21 Eletrodinâmica – Capacitores 
Associação de Capacitores [em série]: 
Característica da associação série: mesma carga [módulo] 
A carga cria em C1 a ddp VAB; em C2 ! VBD e C3 ! VDE 
Pela 1ª Lei de Kirchhoff: E = VAB + VBD + VDE 
 E = (q/C1) + (q/C2) + (q/C3) = q [(1/C1) + (1/C2) + (1/C3)] 
 E / q = (1/C1) + (1/C2) + (1/C3)] ou 
Capacitância Total ou equivalente do circuito série: 
 (1/CT) = (1/C1) + (1/C2) + (1/C3)] 
Caso particular de dois capacitores em série: CT = (C1 C2) / (C1 + C2) 
6/21 Eletrodinâmica – Capacitores 
Exemplo 1: 
3/17/19 
4 
7/21 Eletrodinâmica – Capacitores 
Exemplo 2: 
8/21 Eletrodinâmica – Capacitores 
Associação de capacitores em paralelo – circuito CC 
Na associação em paralelo: E = VAB = VDE = VDF 
Carga total: q = q1 + q2 + q3 
Podemos então: q = C1 E + C2 E + C3 E ou 
 q = E(C1 + C2 + C3) ! q/E = C1 + C2 + C3 
 CT = C1 + C2 + C3 
3/17/19 
5 
9/21 Eletrodinâmica – Capacitores 
Exemplo 1: 
 E = VAB = VDE = VDF 
10/21 Eletrodinâmica – Capacitores 
Exemplo 1: 
3/17/19 
6 
11/21 Eletrodinâmica – Capacitores 
Exemplo 2: 
12/21 Eletrodinâmica – Capacitores 
Associação Mista de capacitores 
Exemplo 1: 
3/17/19 
7 
13/21 Eletrodinâmica – Capacitores 
Associação Mista de capacitores 
Exemplo 1: 
14/21 Eletrodinâmica – Capacitores 
Exemplo 2: 
3/17/19 
8 
15/21 Eletrodinâmica – Capacitores 
Energia Armazenada por um capacitor: 
 Ao ser carregado um capacitor ele fica com certa energia elétrica devido essas 
cargas, dada por: 
 W = (1/2) qV 
 Onde: W = energia elétrica armazenada Joule [J], muito pequena no capacitor; 
 q = carga elétricaem uma das placas do capacitor, Coulomb [C]; 
 V = ddp entre as placas do capacitor, Volt [V]. 
Manipulando: 
 Sabemos que: q = CV, então: W = (1/2) CVV ! W = (1/2) CV2 ou 
 V = q/C ! W = (1/2) qq/C ! W = (1/2) q2/C 
 Relações: 
 W = (1/2) qV ou W = (1/2) CV2 ou W = (1/2) q2/C 
16/21 Eletrodinâmica – Capacitores 
Exemplo: 
3/17/19 
9 
17/21 Eletrodinâmica – Capacitores 
Exemplo: 
18/21 Eletrodinâmica – Capacitores 
Exemplo: 
3/17/19 
10 
19/21 Eletrodinâmica – Capacitores 
Exemplo: 
20/21 Eletrodinâmica – Capacitores 
Exemplo: 
3/17/19 
11 
21/21 Eletrodinâmica – Capacitores 
Circuito RC série – condição transitória 
 Carga do capacitor Descarga do capacitor 
3/17/19 
1 
1/12 Prof. Abner P. Fonseca 
Circuitos Elétricos 
CC e CA 
João Monlevade, março 2018. 
2/12 Introdução ao Eletromagnetismo 
Magnetismo: propriedade de alguns corpos tem que atraem o ferro. 
Imãs: é a denominação dada a esses corpos com magnetismo. 
 Imãs naturais: são os que corpos cujo magnetismo é característica própria; 
 Imãs artificiais: são os corpos que na presença de um campo magnético 
 externo ficam magnetizados. 
 Duas divisões de Imãs: 
 > Imã permanente: sua imantação é por tempo ilimitado; 
 > Imã temporário: sua imantação é por tempo limitado. 
Materiais Magnéticos: são todos os materiais que apresentam propriedades 
 magnéticas. Ex.: ferro. 
Materiais NÃO Magnéticos: os que não apresentam propriedades magnéticas. 
 Ex.: alumínio, cobre, etc. 
3/17/19 
2 
3/12 Introdução ao Eletromagnetismo 
Linhas de força: é uma forma de representar o campo magnético de um imã, 
 indicando sua influência na região do espaço próxima a cada 
 polo do imã. 
Polo: é a parte do imã onde a concentração das linhas de força é maior, ou é maior 
 o campo magnético. 
 Observe que as linhas de força do campo magnético saem do polo Norte (N) e 
entram no polo Sul (S), pela parte externa do imã. Na região interna do imã 
elas vão do polo Sul (S) para o pólo Norte (N). 
4/12 Introdução ao Eletromagnetismo 
1ª Lei do Magnetismo: 
“Polos de mesmo nome se repelem e 
de nomes contrários se atraem.” 
3/17/19 
3 
5/12 Introdução ao Eletromagnetismo 
Circuito Magnético: é o caminho total percorrido pelas linhas de força. 
Materiais Magnéticos: três sub-grupos quanto a capacidade de magnetização: 
 Obs.: os campos devem ser criados nas mesmas condições. 
6/12 Introdução ao Eletromagnetismo 
Importância do estudo do magnetismo e do eletromagnetismo 
 A geração, transmissão e distribuição de energia elétrica é 
feita segundo princípios magnéticos e eletromagnéticos. 
 Todos os motores elétricos, geradores de corrente alternada, 
transformadores e instrumentos de medidas elétricas têm 
funcionamento baseado em fenômenos eletromagnéticos. 
3/17/19 
4 
7/12 Introdução ao Eletromagnetismo 
ELETROMAGNETISMO: estuda os fenômenos magnéticos causados pela 
 passagem da corrente elétrica. 
1ª Lei do Eletromagnetismo: uma corrente elétrica ao percorrer um condutor cria 
 ao seu redor um campo magnético. 
 As linhas de força formam circunferências cujo 
 centro é o centro do condutor. 
 O sentido da linhas de força pode ser determinado 
 pela regra da mão direita ou do saca rolhas. 
8/12 Introdução ao Eletromagnetismo 
BOBINA ou SOLENÓIDE: é um condutor isolado enrolado na forma helicoidal. 
 ESPIRAS: é cada volta completa do condutor do solenóide. 
 Usado para: obter um campo magnético constante, quando 
 percorrido por uma corrente constante (CC). 
 No interior do solenóide as linhas de força são 
 paralelas entre si. 
 Sentido das linhas de força: regra mão direita para o sentido convencional da 
corrente (+ para -). Para o sentido real ou eletrônico da corrente (- para o +) 
usa a regra da mão esquerda. 
3/17/19 
5 
9/12 Introdução ao Eletromagnetismo 
Mais imagens do solenóide e da regra da mão direita: 
10/12 Introdução ao Eletromagnetismo 
Força Magnetomotriz: [fmm] é a grandeza responsável pela criação do campo 
 magnético, e é encontrada pelo produto do número 
 de estiras de uma bobina e a corrente que a 
 percorre. 
 fmm = NI 
 Sua unidade SI é o Ampère-espira [Ae]. 
3/17/19 
6 
11/12 Introdução ao Eletromagnetismo 
Lei da Faraday – da fem induzida 
Lei de Lenz – da corrente induzida 
 “A corrente induzida surge com um sentido tal que ela se opõe à variação que a 
produziu, ou à causa que a deu origem.” 
 [Princípio da Conservação da Energia]. 
12/12 Introdução ao Eletromagnetismo 
Experimentalmente demonstra-se que: 
3/17/19 
1 
1/59 Prof. Abner P. Fonseca 
Circuitos Elétricos 
CC e CA 
João Monlevade, março 2018. 
2/59 Corrente Alternada [CA] 
Geradores monofásicos (1!) e polifásicos (3!): o princípio de funcionamento é 
 baseado nas Leis de Faraday e Lenz. 
Gerador monofásico [CA]: capaz de fornecer apenas uma onda de tensão elétrica 
ESTATOR: parte fixa da máquina, estática; 
ROTOR: para móvel da máquina, girante. 
Constituição: uma ou mais bobinas e um campo magnético. 
Pequenos geradores: de BT, Rotor: aloja as bobinas; Estator: aloja os polos mag. 
Grandes geradores: de AT, Estator: aloja as bobinas que geram a fem [e]; e o 
 Rotor: aloja os polos magnéticos. 
 Formam um conjunto onde se tem um movimento [rotação, campo girante] 
entre a parte estática e a girante. 
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2 
3/59 Corrente Alternada [CA] 
Geradores monofásicos: 
Gerador de única espira a-a’ e b-b’ e um núcleo de ferro laminado no formato 
Cilíndrico constituindo 2 polos [N-S]. 
4/59 Corrente Alternada [CA] 
Gerador monofásico: análise: 
Só na parte ativa dos condutores é induzida a tensão. 
Posições 1 e 7: fem = 0 Volt. Vetor velocidade paralelo 
 às linhas de força do campo magnético. 
Posições 4 e 10: fem = MÁXIMA/MÍNIMA. sen 90º = 1, pois o 
 vetor velocidade e as linhas de forçaformam 90º. 
Demais posições: fem ! sen [ângulo entre vetor 
 velocidade e as linhas de força do 
 campo magnético]. 
 O condutor a-a’ enquanto influenciado mais pelo polo N(+) enquanto b-b’ (-). 
O mesmo ocorre com b-b’ ao passar pelo polo N (+), aí a-a’ (-). 
3/17/19 
3 
5/59 Corrente Alternada [CA] 
Gerador monofásico: fem induzida na bobina 
e = Bv! sen " 
 Onde: B: é a densidade de fluxo magnético do campo; 
 v: é a velocidade que o condutor se desloca em relação ao campo; 
 ! : é o comprimento ativo do condutor, no interior do campo; 
 !: ângulo entre o vetor velocidade e o vetor linha de força campo; 
 ! = "t onde " = 2#f e f = 1/T [T = período e f = frequência] 
 para "t = 90º ! e = EMÁXIMO = EMÁX ou EMÁX = Bv! 
Resultando: e = EMÁx sen #t 
Ciclo: todos os valores possíveis (+) e (-) 
 pelos quais a onda passa. 
6/59 Corrente Alternada [CA] 
Gerador monofásico: FREQUÊNCIA 
 A frequência (f) da onda elétrica correlaciona-se com a velocidade angular (") 
e com o número de polos (P) da máquina. Assim: 
 " = velocidade angular = rps [rotações por segundo] do rotor. [volta completa] 
 Cada 1 rps do rotor ! se a máquina tem 2 polos [N e S] ! f = 1 Hz; 
 se a máquina tem 4 polos [N, S, N e S] ! f = 2 Hz 
 se a máquina tem 6 polos [N, S, N, S, N e S] ! f=3Hz 
 Generalizado correlacionam assim: f = (P/2) # onde " em rps. 
 O valor " da equação e = EMÁX sen #t é a velocidade angular da onda tensão. 
 Da mesma forma que f = (P/2) # um ângulo mecânico [$MEC] se correlaciona a 
um ângulo elétrico [$ELET] por: 
 $ELET = (P/2) $MEC ou #ELET = (P/2) #MEC 
Assim, numa máquina de 2 polos, 360º mecânicos = 360º elétricos. 
Ainda, numa máquina de 4 polos, 360º mecânicos = 720º elétricos. E assim por diante. 
3/17/19 
4 
7/59 Corrente Alternada [CA] 
Circuitos Monofásicos: circuitos puramente resistivos. 
Dado o circuito ao lado, onde e = EMÁX sen #t 
 # = 2%f 
 Assim: e = EMÁX sen 2%f t 
No circuito dado, sendo a tensão variável também será variável a corrente. 
VAB = e ! VAB = R i ! e = R i 
e = EMÁX sen "t ! R i = EMÁX sen "t ! i = (EMÁX/R) sen "t ! IMÁX = EMÁX/R 
Então: 
i = IMÁX sen #t 
Como: 
e = EMÁX sen "t Representação gráfica: 
i = IMÁX sen "t 
Ambas atingem valores máximos no mesmo instante, 
diz-se estarem em fase. 
8/59 Corrente Alternada [CA] 
Circuitos monofásicos: circuitos puramente resistivos 
 No circuito VAB = e. A queda de tensão numa resistência pura está em fase com 
a corrente que a percorre. 
DIAGRAMA FASORIAL: é a representação gráfica (através de fasores, ou 
 vetores girantes) das grandezas de um circuito CA. 
 Como? Fixamos a posição de um deles e a partir deste traçamos 
 todos os outros fasores. Tomamos a corrente como 
 referência na posição 0o. 
Obs.: grandezas em fase são representadas por fasores coincidentes (na mesma 
 posição). O sentido positivo de rotação dos fasores é o anti-horário 
3/17/19 
5 
9/59 Corrente Alternada [CA] 
Circuitos monofásicos: circuitos puramente resistivos 
Obs.: 
(1) Em todo circuito CA a queda de tensão em qualquer resistência (Ri) está 
sempre em fase com a corrente que a percorre. 
(2) Duas grandezas em fase são representadas por uma equação com mesma 
função trigonométrica e têm o mesmo ângulo. 
10/59 Corrente Alternada [CA] 
Circuitos monofásicos: circuito puramente indutivo [sem a resistência] 
Indutândia [L]: é uma medida da capacidade da bobina 
 produzir tensão induzida, desde, claro, que 
 haja variação da corrente que a percorre, 
Bobina ou solenóide: dispositivo que num circuito elétrico 
 contraria qualquer variação da corrente. Se a corrente: 
 > aumenta ! a fem tende a diminuí-la; 
 > diminui ! a fem da bobina tende a aumentá-la. 
Ela não consegue impedir a variação da corrente, apenas retarda o valor final. 
 L = indutância, em Henry [H]; 
 L = N2 / R ! N = número de espiras da bobina; 
 R = relutância, que é a medida da oposição que um material 
 oferece à passagem do fluxo magnético. 
3/17/19 
6 
11/59 Corrente Alternada [CA] 
Circuitos monofásicos: circuito puramente indutivo [sem a resistência] 
Partindo de i = IMÁX sen #t = IMÁX sen 2%f t 
Como i é variável, produz em L: 
 ! um campo magnético variável; 
 ! uma fem induzida no próprio L [ou fcem] 
 pois contraria a causa de sua origem, ou à variação de i ou !, a 
 qual funciona como uma queda de tensão. 
Tensão induzida na indutância L: VAB = L (di/dt) 
VAB = L [d(IMÁX sen 2#f t ) / dt] ! VAB = L IMÁX [d(sen 2#f t ) / dt] 
 Obs: f[g(t)] = sen [g(t)] ! f’[g(t)] = g’(t) {sen [g(t)]}’ 
Então: [d(sen 2"f t) /dt] = (2"f t)’ [sen (2"f t)]’ = 2"f cos 2"ft, resultando: 
 VAB = L Imax 2"f cos 2"ft ou VAB = 2"f L (Imax cos 2"ft) 
12/59 Corrente Alternada [CA] 
Circuitos monofásicos: circuito puramente indutivo [sem a resistência] 
 i = IMÁX sen "t = IMÁX sen 2#f t [1] 
 vAB = 2"f L (Imax cos 2"ft) [2] 
De [2], quando 2"ft = 0o ! cos 2"ft = 1 ! VAB MÁX = 2"f L Imax 
 vAB = VABMÁX cos 2"ft ! vAB = VABMÁX sen(2"ft + 90º) 
 VAB MÁX / Imax = 2"fL ! XL = VAB MÁX / Imax = 2"fL 
 XL = 2"fL ! XL = #L 
Onde: XL = Reatância Indutiva, análoga à resistência, é a medida da oposição que 
 a indutância oferece à CA. Unidade SI: Ohm [%]. 
 f = frequência [Hz]; 
 L = indutância [H] ou Henry. Então o valor de VAB = XL i 
 Obs.: só existirá esta oposição de f & 0. 
3/17/19 
7 
13/59 Corrente Alternada [CA] 
Circuitos monofásicos: circuito puramente indutivo. 
Gráfico da tensão e da corrente e Diagrama Fasorial do circuito 
 i = IMÁX sen #t 
vAB = VABMÁX sen (#t+90º) ou seja o máximo da onda de tensão acontece 90º 
 antes da onda de corrente. 
 Conclusão: a queda de tensão em uma indutância pura (XL i) está 90º 
 ADIANTADA em relação à corrente que a percorre. 
14/59 Corrente Alternada [CA] 
Circuitos monofásicos: circuito puramente capacitivo 
 Um capacitor C descarregado é ligado a uma fonte de corrente variável [CA], 
assim a carga q também é variável, dada por [i = dq/dt] ! dq = idt 
 Suponhamos a equação da tensão: e = EMÁX sen #t 
 como i = C de/dt ! i = C d(EMÁXsen "t)/dt 
 i = C EMÁX d(sen "t)/dt ! i = C EMÁX (cos "t) " 
 i = "C EMÁX (cos "t) ! " = 2#f ! i = 2#fC EMÁX (cos "t) 
 quando cos "t = 1 (ou "t = 0o) ! IMÁX = 2#fC EMÁX ! i = IMÁX cos "t 
 ou ainda: i = IMÁX sen (#t + 90º) 
3/17/19 
8 
15/59 Corrente Alternada [CA] 
Circuitos monofásicos: circuito puramente capacitivo 
 Como: 
 e = EMÁX sen #t 
 i = IMÁX sen (#t + 90º) 
 Gráfico da tensão e da corrente será: 
 Conclusão: num capacitor puro a corrente fica 90º ADIANTADA em relação 
 à queda de tensão. Ou, ainda, a queda de tensão num capacitor 
 fica 90º atrasada da corrente. 
 IMÁX = 2#fC EMÁX ! EMÁX / IMÁX = 1 /(2#fC) = 1 / "C = XC 
 XC = 1 / #C ! onde: XC = é a Reatância Capacitiva, se f [Hz], C[Farad (F)] 
 XC será em Ohm [%]. 
16/59 Corrente Alternada [CA] 
Circuitos monofásicos: circuito puramente capacitivo 
 IMÁX = 2#fC EMÁX ! EMÁX / IMÁX = 1 /(2#fC) = 1 / "C = XC 
 XC = 1 / #C ! onde: XC = é a Reatância Capacitiva, 
 se f [Hz], C[Farad (F)] 
 XC será em Ohm [%]. 
 A reatância capacitiva representa a oposição oferecida pelo capacitor à CA. 
Funciona praticamente como uma resistência ôhmica. 
 Diagrama Fasorial: A tensão no capacitor, em CA, é representada por 
 vAB = XC i. A corrente, neste circuito, é resultante 
 da transferência de carga elétrica de uma placa 
 para a outra, através do circuito externo. Não 
 existe passagem de carga de uma placa para a 
 outra, no interior do capacitor. 
3/17/19 
9 
17/59 Corrente Alternada [CA] 
Valor Eficaz das ondas alternadas 
Comparando os dois circuitos ao lado, um CC e o outro CA: 
 Em determinado tempo t o circuito CA 
 “consome” W= Ri2 t. Ajusta-se o valor 
 da tensão da fonte CC para que R no 
 mesmo tempo t “consuma” igual W. 
 Este valor de V da fonte CC é 
 exatamente o valor eficaz da fonte 
 CA. Ou o Valor Eficaz corresponde ao valor CC que produz o mesmo 
efeito térmico, ou relaciona-se com a potência que ela pode desenvolver. 
 VEFICAZ = VEF = VRMS = EMÁX / &2 a partir de: 
 onde: Vk = e 
 RMS = Root Mean Square (ou Raiz Média Quadrática) = valor medido por um 
 voltímetro. 
18/59 Corrente Alternada [CA] 
Exercícios: (1) seja dado o circuito abaixo: 
 e = 500 sen 200t 
 C = 200µF, calcular: a equação da corrente: 
 Sabemos que EMÁX = 500V e " = 2#f = 200rd/s 
 XC = 1 /"C = 1/(200 x 200x10-6) =106 /(4x104) =102 /4 = 25% ! XC = 25' 
 IMÁX = EMÁX / XC ! IMÁX = 500V / 25% ! IMÁX = 20A 
 i = IMÁX sen ("t + 90º) = IMÁX cos "t ! pois cos x = sen (x + 90º) 
 Resultando: i = 20 sen (200t + 90º) = 20 cos 200t 
3/17/19 
10 
19/59 Corrente Alternada [CA] 
Exercícios: (2) seja dado o circuito abaixo: 
 Sendo: e = 500 sen 400t 
 L = 0,25H, calcular: a equação da corrente: 
 Sabemos que EMÁX = 500V e " = 2#f = 400rd/s 
 XL = 2#fL ! XL = 400 x 0,25H ! XL = 100' 
 IMÁX = EMÁX/XL ! IMÁX = 500 / 100 ! IMÁX = 5A 
 ângulo de e = ângulo de i + 90º 
 ângulo de i = ângulo de e – 90º 
 ângulo de i = 400t – 90º 
 então: i = 5 sen (400t – 90º) 
20/59 Corrente Alternada [CA] 
Exercícios: (3) seja dado o circuito abaixo: 
 I = 5 sen (500t + 30º) 
 C = 200µF, calcular: a equação da tensão e f: 
 Sabemos que IMÁX = 5A e " = 2#f = 500rd/s 
 XC = 1 /"C = 1/(500 x 200x10-6) =106 /105 = 10% ! XC = 10' 
 EMÁX = XC IMÁX ! EMÁX = 10% x 5A ! EMÁX = 50V 
 ângulo de e = ângulo de i – 90o ! ângulo de e = 500t + 30o – 90o 
 ângulo de e = 500t - 60o 
 Portanto: e = 50 sen (500t - 60º) e 2#f = 500rd/s ! f = 79,6Hz 
3/17/19 
11 
21/59 Corrente Alternada [CA] 
Circuitos CA série: circuito RC série 
(1) Sendo I = valor eficaz da corrente, ou I = IEF = IMÁX/&2 
 VAB = RI ! em fase com a corrente. 
 VBD = XC I ! VBD está 90º atrasada em relaçãp a I. 
 Diagrama fasorial: Pelas Leis de Kirchhoff: 
 Z = impedância do circuito, unidade SI Ohm [%]; 
 É a oposição total do circuito à CA. 
 No circuito RC série: Z = &(R2 + XC2) 
 cos $ = VAB / E = R / Z ! Fator de Potência Ativa. 
 sen $ = VBD / E = XC / Z ! Fator de Potência Reativa. 
22/59 Corrente Alternada [CA] 
Reatância Capacitiva equivalente de capacitores em série: 
 Calcula-se a reatância capacitiva de cada um deles e as somam para obter a 
reatância equivalente ou total. 
XCT = XC1 + XC2 + XC3 + ... + XCN 
3/17/19 
12 
23/59 Corrente Alternada [CA] 
Circuitos CA série: circuito RL série 
(2) Sendo I = valor eficaz da corrente, ou I = IEF = IMÁX/&2 
 VAB = RI ! em fase com a corrente. 
 VBC = XL I ! VBC está 90º adiantada em relaçãp a I. 
 A tensão total E está adiantada em relação a I de $ graus, 
 o que significa que num circuito RL série a onde de E é 
 máxima $ antes da onda da corrente. 
 Diagrama fasorial: Pelas Leis de Kirchhoff: 
 No circuito RL série: Z = &(R2 + XL2) 
 cos $ = VAB / E = R / Z ! Fator de Potência Ativa. 
 sen $ = VBC / E = XL / Z ! Fator de Potência Reativa. 
24/59 Corrente Alternada [CA] 
Reatância Indutiva equivalente de indutores em série: 
 Calcula-se a reatância indutiva de cada indutor e desde que não haja 
interferência do campo magnético de um indutor sobre outro, a reatância 
 indutiva equivalente é as soma das reatâncias indutivas individuais.XLT = XL1 + XL2 + XL3 + ... + XLN 
3/17/19 
13 
25/59 Corrente Alternada [CA] 
Exercícios: 
(1) Seja o circuito abaixo: 
 Dados: R1 = 100% e R2 = 160% 
 XC = 150% e VAB = 200 sen (400t + 50º) 
 Calcular: (a) a equação de i; (b) de VBC; (c) de VCD; (d) Z 
 (e) cos $; (f) sen $; (g) a equação da tensão e. 
(a) VABMÁX = 200V ! IMÁX = VABMÁX / R1 ! IMÁX = 200V/100% ! IMÁX = 2A 
 vAB ! tensão em R1, em fase com i. 
 ângulo de vAB = ângulo de i ! âng i = 400t + 50º 
 Então: i = 2 sen (400t + 50º) 
26/59 Corrente Alternada [CA] 
Exercícios: 
(1) Seja o circuito abaixo: 
 Dados: R1 = 100% e R2 = 160% 
 XC = 150% e VAB = 200 sen (400t + 50º) 
 Calcular: (a) a equação de i; (b) de VBC; (c) de VCD; (d) Z 
 (e) cos $; (f) sen $; (g) a equação da tensão e. 
(b) equação de vBC: tensão sobre o capacitor. 
 VBCMÁX = XC IMÁX ! VBCMÁX = 150% x 2A ! VBCMÁX = 300V 
 vAB ! tensão em C [puro], está 90º atrasado de i. 
 ângulo de vBC = ângulo de i – 90º ! âng vBC = 400t + 50º - 90º = 400t – 40º 
 Então: vBC = = 300 sen (400t - 40º) 
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27/59 Corrente Alternada [CA] 
Exercícios: 
(1) Seja o circuito abaixo: 
 Dados: R1 = 100% e R2 = 160% 
 XC = 150% e VAB = 200 sen (400t + 50º) 
 Calcular: (a) a equação de i; (b) de VBC; (c) de VCD; (d) Z 
 (e) cos $; (f) sen $; (g) a equação da tensão e. 
(c) equação de vCD: tensão sobre R2. 
 VCDMÁX = R2 IMÁX ! VCDMÁX = 160% x 2A ! VCDMÁX = 320V 
 vCD ! tensão em R2, em fase com i. 
 ângulo de vCD = ângulo de i ! âng i = 400t + 50º 
 Então: vCD = 320 sen (400t + 50º) 
28/59 Corrente Alternada [CA] 
Exercícios: 
(1) Seja o circuito abaixo: 
 Dados: R1 = 100% e R2 = 160% 
 XC = 150% e VAB = 200 sen (400t + 50º) 
 Calcular: (a) a equação de i; (b) de VBC; (c) de VCD; (d) Z 
 (e) cos $; (f) sen $; (g) a equação da tensão e. 
(d) Cálculo de Z: 
 Z = '[(R1+R2)2 + XC2] ! Z = '[(100+160)2 + 1502] 
 Z = ' (2602 + 1502) ! Z = 300' 
(e) cos $ = RT /Z ! cos $ = 260/300 ! cos $ = 0,866 
(f) sen $ = XC /Z ! sen $= 150/300 ! sen $ = 0,5 
 $ = arc sen 0,5 ! $ =30º 
3/17/19 
15 
29/59 Corrente Alternada [CA] 
Exercícios: 
(1) Seja o circuito abaixo: 
 Dados: R1 = 100% e R2 = 160% 
 XC = 150% e VAB = 200 sen (400t + 50º) 
 Calcular: (a) a equação de i; (b) de VBC; (c) de VCD; (d) Z 
 (e) cos $; (f) sen $; (g) a equação da tensão e. 
Diagrama fasorial (g) a equação da tensão e 
 EMÁX=ZIMÁX ! EMÁX=300% x 2A !EMÁX=600V 
 pelo diagrama fasorial percebe-se que a tensão 
 está atrasada em relação a i. 
 ângulo de e = âng i – $ ! âng e =(400t +50º) – 30º 
 âng e = 400t + 20º 
 A equação de e será: e = 600 sen (400t + 30º) 
30/59 Corrente Alternada [CA] 
Cálculo das valores eficazes do exercício anterior: 
EMÁX = 600 V 
EEficaz = ERMS = EMÁX / '2 ! EEF = 600/'2 ! EEF = 424V 
IMÁX = 2A 
IEficaz = IRMS = IMÁX / '2 ! IEF = 2/'2 ! IEF = 1,41A 
3/17/19 
16 
31/59 Corrente Alternada [CA] 
Exercícios: 
(2) Seja o circuito abaixo: 
 Sendo: R = 50%; L = 0,174H e i = 3 sen (500t – 40º) 
 Calcular: eq. vAB; vBC; Z; cos $; sen $; e eq. de e; I; E e f. 
 Equação de vAB: em fase com i 
 VABMÁX = R IMÁX = 50% x 3A !VABMÁX = 150V 
 vAB = 150 sen (500t = 40º) 
 Cálculo da equação vBC: 
 XL = 2#fL = "L ! XL = 500 x 0,174H ! XL = 87' 
 VBCMÁX =XL .IMÁX = 87% x 3A ! VBCMÁX = 261V 
 A tensão em XL está 90º adiantada em relação a i, 
 então: vBC = 261 sen (500t + 50º) 
32/59 Corrente Alternada [CA] 
Exercícios: 
(2) Seja o circuito abaixo: 
 Sendo: R = 50%; L = 0,174H e i = 3 sen (500t – 40º) 
 Calcular: eq. vAB; vBC; Z; cos $; sen $; eq. de e; I; E e f. 
 Cálculo de Z: 
 Z = '(R2 + XL2) ! Z = '(50+87)2 ! Z = 100,3' 
 $ = arc tg (XL / R) ! $ = arc tg (87/50) ! $ = 60,1º 
 Cálculo do Fator de potência ativa: 
 cos $ = RT /Z ! cos $ = 50/100,3 ! cos $ = 0,4985 
 cos $ = cos 60,1º = 0,4985 
 Cálculo do Fator de potência reativa: 
 sen $ = XL /Z ! sen $ = 87/100,3 ! sen $ = 0,8674 
 sen $ = sen 60,1º = 0,8669 [& é de arredondamentos] 
3/17/19 
17 
33/59 Corrente Alternada [CA] 
Exercícios: 
(2) Seja o circuito abaixo: 
 Sendo: R = 50%; L = 0,174H e i = 3 sen (500t – 40º) 
 Calcular: eq. vAB; vBC; Z; cos $; sen $; eq. de e; I; E e f. 
 Equação de e: 
 EMÁX = Z IMÁX ! EMÁX = 100,3 x 3A ! EMÁX = 300,9V 
 Diagrama Fasorial 
 ângulo e = ângulo de i + $ ! âng e = 500t -40º +60,1º 
 âng e = 500t + 20,1º 
 e = 300,9 sen (500t + 20,1º) 
 Cálculo de I, E e f: I = IMÁX / &2 ! I = 3/&2 ! I = 2,12A 
 E =EMÁX / &2 ! E = 300,9/&2 ! E = 212,8V 
 f = #/2% ! f = (500 rd/s)/2# ! f = 79,6Hz 
34/59 Corrente Alternada [CA] 
Potência nos circuitos CA – circuito puramente resistivo 
 Se: e = EMÁX sen #t e i = IMÁX sen #t [pois, i e e em fase] 
 p = e i ! p = EMÁX sen "t x IMÁX sen "t 
 p = EMÁX IMÁX sen2 "t 
 Então: p = EMÁX IMÁX [(1-cos 2"t)/2] 
 p = [(EMÁX IMÁX)/2] - [(EMÁX IMÁXcos 2"t)/2] 
 p = tem o dobro da frequência dee ou de i. 
3/17/19 
18 
35/59 Corrente Alternada [CA] 
Potência nos circuitos CA – circuito puramente resistivo 
 Se: e = EMÁX sen #t e i = IMÁX sen #t [pois, i e e em fase] 
 p = [(EMÁX IMÁX)/2] - [(EMÁX IMÁXcos 2"t)/2] 
Ao medirmos a potência de um circuito CA 
medimos é o valor médio [P, maiúsculo]. 
P = Valor Médio (EMÁX IMÁX)/2] MENOS Valor Médio [(EMÁX IMÁXcos 2"t)/2] 
 ( - ) 
 média = constante média = zero 
36/59 Corrente Alternada [CA] 
Potência nos circuitos CA – circuito puramente resistivo 
 Se: e = EMÁX sen #t e i = IMÁX sen #t [pois, i e e em fase] 
P = Valor Médio (EMÁX IMÁX)/2] MENOS Valor Médio [(EMÁX IMÁXcos 2"t)/2] 
 ( - ) 
 média = constante média = zero 
 Então: P = (EMÁX IMÁX)/2 = (EMÁX / '2) (IMÁX)/'2) 
 P = E I (valores eficazes de E e de I) ou ainda: 
 P = E I = R I2 = VI ( onde V é a tensão sobre o resistor). 
3/17/19 
19 
37/59 Corrente Alternada [CA] 
Exercício: circuito RL em CA 
 Dados: R = 50%; L = 0,1H; e = 707 sen (500t + 35º) 
 Calcular: eq. vAB; vBC; Z; cos $; sen $; eq de e, I E e f 
 XL = 2#fL ! XL = 500rd/s x 0,1H ! XL = 50' 
 Cálculo da equação de i: 
 IMÁX = EMÁX / Z = 707 / 70,7 ! IMÁX = 10A 
 âng. i = âng. e – $ ! âng. i = 500t+35 - 45º 
 âng. i = 500t - 10º 
 i = 10 sen (500t - 10º) 
 Cálculo da equação de vAB: 
 âng. vAB = âng. de i = 500t -10º [em fase] 
 VABMÁX = R IMÁX = 500V vAB = 500 sen (500t -10º) 
38/59 Corrente Alternada [CA] 
Exercício: circuito RL em CA 
 Dados: R = 50%; L = 0,1H; e = 707 sen (500t + 35º) 
 Calcular: eq. vAB; vBC; Z; cos $; sen $; eq de e, I E e f 
 Cálculo de vBC: 
 VBCMÁX = XL IMÁX ! VBCMÁX = 50 x 10 !VBCMÁX=500V 
 Diagrama Fasorial: âng. vBC = âng. i + 90º ! âng. vBC = 500t – 10º + 90º 
 âng. vBC = 500t + 80º 
 vBC = 500 sen (500t + 80º) 
 VBC [Eficaz] = VBCMÁX / '2 = 500/'2 
 VBC [Eficaz] = 354V 
 $ = arc tg (XL/R) ! $ = arc tg(50/50) ! $ = 45º 
 P = Pot. Média = VAB I = EI cos $ 
 P = 500V x 7,07A cos 45º = 2.499,6W 
3/17/19 
20 
39/59 Corrente Alternada [CA] 
Exercício: circuito RL em CA 
 Dados: R = 50%; L = 0,1H; e = 707 sen (500t + 35º) 
 Calcular: eq. vAB; vBC; Z; cos $; sen $; eq de e, I E e f 
Temos três tipos de Pot6encia em CA: 
P = Potência real ou ativa = EI cos $[W = Watt] 
Q = Potência reativa = EI sen $ [VAR = Volt-Ampère Reativo] 
S = Potência aparente = EI = '(P2 + Q2) [VA = Volt-Ampère] 
Calculando resultam: 
40/59 Corrente Alternada [CA] 
Circuito RLC em CA 
 Sejam E e I os valores eficazes do circuito ao lado. 
 Três são as quedas de tensão presentes no circuito. 
 VAB = R I ! em fase com a corrente; 
 VBC = XL I ! 90º adiantada em relação à corrente; 
 VDE = XC I ! 90º atrasada em relação à corrente. 
 Diagrama Fasorial: 
 XL > XC ! circuito tem características indutivas e 
 E estará adiantada em relação a I; 
3/17/19 
21 
41/59 Corrente Alternada [CA] 
Circuito RLC em CA 
 Sejam E e I os valores eficazes do circuito ao lado. 
 Três são as quedas de tensão presentes no circuito. 
 VAB = R I ! em fase com a corrente; 
 VBC = XL I ! 90º adiantada em relação à corrente; 
 VDE = XC I ! 90º atrasada em relação à corrente. 
 Diagrama Fasorial: XC > XL ! circuito tem características capacitivas e 
 E estará atrasada em relação a I; VDE = (XC – XL) I 
42/59 Corrente Alternada [CA] 
Exercício: circuito RLC em CA 
 Dados: e = 200 sen (500t + 20º) 
 R = 40%; L = 0,14H; C = 50µF; calcular: 
 (a) XL; XC; Z; cos $; sen $. 
 (b) as equações de i; vAB, vBD; vDE; vAD, vBE. 
 (c) valores eficazes E e I. 
 (d) P, Q, S e Diagrama Fasorial. 
3/17/19 
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43/59 Corrente Alternada [CA] 
Exercício: circuito RLC em CA 
 Dados: e = 200 sen (500t + 20º) 
 R = 40%; L = 0,14H; C = 50µF; calcular: 
 (a) XL; XC; Z; cos $; sen $. 
 (b) as equações de i; vAB, vBD; vDE; vAD, vBE. 
 (c) valores eficazes E e I. 
 (d) P, Q, S e Diagrama Fasorial. 
44/59 Corrente Alternada [CA] 
Exercício: circuito RLC em CA 
 Dados: e = 200 sen (500t + 20º) 
 R = 40%; L = 0,14H; C = 50µF; calcular: 
 (a) XL; XC; Z; cos $; sen $. 
 (b) as equações de i; vAB, vBD; vDE; vAD, vBE. 
 (c) valores eficazes E e I. 
 (d) P, Q, S e Diagrama Fasorial. 
3/17/19 
23 
45/59 Corrente Alternada [CA] 
Exercício: circuito RLC em CA 
 Dados: e = 200 sen (500t + 20º) 
 R = 40%; L = 0,14H; C = 50µF; calcular: 
 (a) XL; XC; Z; cos $; sen $. 
 (b) as equações de i; vAB, vBD; vDE; vAD, vBE.(c) valores eficazes E e I. 
 (d) P, Q, S e Diagrama Fasorial. 
46/59 Corrente Alternada [CA] 
Exercício: circuito RLC em CA 
 Dados: e = 200 sen (500t + 20º) 
 R = 40%; L = 0,14H; C = 50µF; calcular: 
 (a) XL; XC; Z; cos $; sen $. 
 (b) as equações de i; vAB, vBD; vDE; vAD, vBE. 
 (c) valores eficazes E e I. 
 (d) P, Q, S e Diagrama Fasorial. 
3/17/19 
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47/59 Corrente Alternada [CA] 
Exercício: circuito RLC em CA 
 Dados: e = 200 sen (500t + 20º) 
 R = 40%; L = 0,14H; C = 50µF; calcular: 
 (a) XL; XC; Z; cos $; sen $. 
 (b) as equações de i; vAB, vBD; vDE; vAD, vBE. 
 (c) valores eficazes E e I. 
 (d) P, Q, S e Diagrama Fasorial. 
48/59 Corrente Alternada [CA] 
Exercício: circuito RLC em CA 
 Dados: e = 200 sen (500t + 20º) 
 R = 40%; L = 0,14H; C = 50µF; calcular: 
 (a) XL; XC; Z; cos $; sen $. 
 (b) as equações de i; vAB, vBD; vDE; vAD, vBE. 
 (c) valores eficazes E e I. 
 (d) P, Q, S e Diagrama Fasorial. 
3/17/19 
25 
49/59 Corrente Alternada [CA] 
Exercício: circuito RLC em CA 
 Dados: e = 200 sen (500t + 20º) 
 R = 40%; L = 0,14H; C = 50µF; calcular: 
 (a) XL; XC; Z; cos $; sen $. 
 (b) as equações de i; vAB, vBD; vDE; vAD, vBE. 
 (c) valores eficazes E e I. 
 (d) P, Q, S e Diagrama Fasorial. 
50/59 Corrente Alternada [CA] 
Exercício: circuito RLC em CA 
 Dados: e = 200 sen (500t + 20º) 
 R = 40%; L = 0,14H; C = 50µF; calcular: 
 (a) XL; XC; Z; cos $; sen $. 
 (b) as equações de i; vAB, vBD; vDE; vAD, vBE. 
 (c) valores eficazes E e I. (d) P, Q, S e Diagrama Fasorial. 
3/17/19 
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51/59 Corrente Alternada [CA] 
Exercício: circuito RLC em CA 
 Dados: e = 200 sen (500t + 20º) 
 R = 40%; L = 0,14H; C = 50µF; calcular: 
 (a) XL; XC; Z; cos $; sen $. 
 (b) as equações de i; vAB, vBD; vDE; vAD, vBE. 
 (c) valores eficazes E e I. (d) P, Q, S e Diagrama Fasorial. 
52/59 Corrente Alternada [CA] 
Potência Reativa nos circuitos CA: (1) circuito puramente indutivo. 
 Sejam: e = EMÁX cos #t = EMÁX sen ("t +90º) 
 i = IMÁX sen #t 
 A potência na indutância é representada por q = ei = vABi 
3/17/19 
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53/59 Corrente Alternada [CA] 
Potência Reativa nos circuitos CA: (1) circuito puramente indutivo. 
 Sejam: e = EMÁX cos #t = EMÁX sen ("t +90º) 
 i = IMÁX sen #t 
 > a onda q [pot. Reativa] tem o dobro freq. e e i. 
 > seu valor médio será representado por Q; 
 > tem valor médio nulo (iguais áreas + e -); 
 q = [(EMÁX IMÁX )/2] sen 2#t > quando Q>0! indutância recebe energia rede; 
 Q<0! indutância fornece energia rede. 
 isso ocorre a cada semi-ciclo. 
 em ( ciclo a Potência Reativa Média [Q] vale: 
 Q = (EMÁX IMÁX)/2 = (EMÁX/'2) (IMÁX)/'2) 
 Q = E I ! Sendo vAB = e ! VAB = E 
 Então: Q = VAB I e como VAB =XL I 
 Q = XL I2 
54/59 Corrente Alternada [CA] 
Potência Reativa nos circuitos CA: (1) circuito puramente indutivo. 
 Sejam: e = EMÁX cos #t = EMÁX sen ("t +90º) 
 i = IMÁX sen #t 
 > Não realiza trabalho, pois seu valor médio é nulo. 
 > em meio ciclo recebe energia da rede, no outro devolve a rede 
 > ainda assim se trata de energia elétrica, claro; 
 > a energia é armazenada na forma de campo elétrico; 
 Então: Q = VAB I e como VAB = XL I ! Q = XL I2 ! mas I = IMÁX/'2 
 I2 = I2MÁX /2 ! Q = XL (I2MÁX/2) 
 Q = POTÊNCIA REATIVA [VAR, ou Volt-Ampère-Reativo]. 
3/17/19 
28 
55/59 Corrente Alternada [CA] 
Potência Reativa nos circuitos CA: (2) circuito puramente capacitivo. 
 Sejam: e = - EMÁX cos #t = EMÁX sen ("t -90º) 
 i = IMÁX sen #t 
 > num ciclo completo Q, valor médio, é nulo. 
 > em meio ciclo, podemos dizer: 
 EI são valores ef. 
56/59 Corrente Alternada [CA] 
Potência Reativa nos circuitos CA: (2) circuito puramente capacitivo. 
 Sejam: e = - EMÁX cos #t = EMÁX sen ("t -90º) 
 i = IMÁX sen #t 
 Sobre a potência reativa capacitiva: 
 (a) esta potência NÃO realiza trabalho, pois seu 
 valor médio durante um ciclo é NULO. 
 (b) Enquanto ela for positiva, o capacitor está 
 armazenando energia elétrica vinda da rede (na 
 forma de campo elétrico) e enquanto é negativa