flexão assimetrica

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Universidade Federal de Alagoas
Campus do Sertão – Delmiro Gouveia
Bacharel em Engenharia Civil
Disciplina : Mecânica dos Sólidos 3
Professor : Salvatore Verde
Flexão assimétrica: Proposito
10:15
Terças para apoio das telhas
Flexão assimétrica: peculiaridades
10:15
Carregamento 
distribuído
Momento Fletores Eixo neutro é 
inclinado
ࢻ
10:15
Seção assimétrica em relação ao eixo vertical 
Produto de Inercia
ߪ௫ =
ߪ௠௔௫
ܿ
ݕ
Flexão assimétrica: Formulação matemática
1ª Hipótese simplificadora: a seção permanece plana após a deformação
2ª Hipótese simplificadora: material elástico linear
Tensões normais
(vista lateral)
෍ ݀ܯ௬ = ࡹ࢟ = ૙ → න ݀ܨ ݖ = න ߪ ݀ܣ ݖ = න
ߪ௠௔௫
ܿ
ݕ ݀ܣ ݖ =
ߪ௠௔௫
ܿ
ݕ න ݖݕ ݀ܣ = 0
න ࢠ࢟ ࢊ࡭ = ૙
É igual a zero se y e z são eixo principais de inercia
Os eixos principais são sempre ortogonais entre si.
Perfil C
Eixos principais 
determinados por simetria
Perfil L (cantoneira)
Eixos principais 
determinados com o 
circulo de Mohr (ver 
apêndice A livro 
Resistencia dos Materiais 
- Hibbeler
Flexão assimétrica: eixos principais de inercia
Se o momento é paralelo a um eixo principal vale a formula da flexão simples para calcular 
as tensões
࣌࢞ =
ࡹࢠ
ࡵࢠ
࢟
Flexão assimétrica: contextualização 
Perfis L (cantoneira)
Perfis Z
Flexão assimétrica: contextualização 
Revisão de mecânica: Vetor Momento
ܯை = ⃗ݎ × ⃗ܨ
݉ܽ݃݊݅ݐݑ݀݁ ݀݋ ݒ݁ݐ݋ݎ ܯை = ݎ ܨ sin ߠ = ݎ sin ߠ ܨ = ݀ ܨ → ࡹࡻ = ࢊ ࡲ
݀݅ݏݐܽ݊ܿ݅ܽ ݋ݎݐ݋݃݋݈݊ܽ ݀݋ ݌݋݊ݐ݋ ܱ ݀ܽ ݈݅݊ℎܽ ݀݁ ܽçã݋ ݀݁ ܨ ݀ = ݎ sin ߠ
10:15
Momento aplicado de forma arbitraria
Formulação matemática da flexão assimétrica
࣌࢞
ᇱ =
ࡹࢠ
ࡵࢠ
࢟࣌࢞
ᇱᇱ = −
ࡹ࢟
ࡵ࢟
ࢠ࣌࢞
ᇱ + ࣌࢞
ᇱᇱ =
ࡹࢠ
ࡵࢠ
࢟ −
ࡹ࢟
ࡵ࢟
ࢠ
Para obter a formulação matemática precisa definir uma convenção para as tensões
Assumindo que as tensões de compressão são positivas teremos:
ࡲ࢕࢘࢓࢛࢒ࢇ ࢊࢇ ࢌ࢒ࢋ࢞ã࢕ ࢇ࢙࢙࢏࢓ࢋ࢚࢘࢏ࢉࢇ ࣌࢞ =
ࡹࢠ
ࡵࢠ
࢟ −
ࡹ࢟
ࡵ࢟
ࢠ
ࡹ࢟ = ࡹ ܛܑܖ ࣂ
ࡹࢠ = ࡹ ܋ܗܛ ࣂ
Formulação matemática da flexão assimétrica: Distribuição de tensões
࣌࢞ ࢓ࢇ࢞
ᇱ + ࣌࢞ ࢓ࢇ࢞
ᇱᇱ
࣌࢞ ࢓ࢇ࢞
ᇱ + ࣌࢞ ࢓ࢇ࢞
ᇱᇱ
࣌࢞ ࢓ࢇ࢞
ᇱ − ࣌࢞ ࢓ࢇ࢞
ᇱᇱ
࣌࢞ ࢓ࢇ࢞
ᇱᇱ
࣌࢞ ࢓ࢇ࢞
ᇱ
࣌࢞ ࢓ࢇ࢞
ᇱ
࣌࢞ ࢓ࢇ࢞
ᇱ
࣌࢞ ࢓ࢇ࢞
ᇱ
࣌࢞ ࢓ࢇ࢞
ᇱᇱ
࣌࢞ ࢓ࢇ࢞
ᇱᇱ
࣌࢞ ࢓ࢇ࢞
ᇱᇱ
࣌࢞ ࢓ࢇ࢞
ᇱ − ࣌࢞ ࢓ࢇ࢞
ᇱᇱ
Formulação matemática da flexão assimétrica: Eixo Neutro
ࡺ࢕ ࢋ࢏࢞࢕ ࢔ࢋ࢛࢚࢘࢕ ࢇ࢙ ࢚ࢋ࢔࢙õࢋ࢙ ࢙ã࢕ ࢔࢛࢒ࢇ࢙ → ࣌࢞ =
ࡹࢠ
ࡵࢠ
࢟ −
ࡹ࢟
ࡵ࢟
ࢠ →
ࡹࢠ
ࡵࢠ
࢟ −
ࡹ࢟
ࡵ࢟
ࢠ = ૙
ࡹࢠ
ࡵࢠ
࢟ =
ࡹ࢟
ࡵ࢟
ࢠ → 
࢟
ࢠ
=
ࡹ࢟
ࡹࢠ
ࡵࢠ
ࡵ࢟
࢟
ࢠ
= tan ࢻ
ࡹ࢟
ࡹࢠ
= ܜ܉ܖ ࣂ
ܜ܉ܖ ࢻ =
ࡵࢠ
ࡵ࢟
࢚ࢇ࢔ ࣂ
હ
હ
10:15
Aplicação 01
ܜ܉ܖ ࢻ =
ࡵࢠ
ࡵ࢟
࢚ࢇ࢔ ࣂ࣌࢞ =
ࡹࢠ
ࡵࢠ
࢟ −
ࡹ࢟
ࡵ࢟
ࢠ
Uma viga com seção transversal retangular é solicitada por
um momento de 12 KNm, conforme figura. Determine a
tensão de tração e compressão máximas que atuam em
cada canto da seção e a inclinação do eixo neutro com
relação ao eixo coordenado Z. Assuma que as tensões de
compressão sejam POSITIVAS.
10:15
Aplicação 02
Uma viga com seção transversal T é solicitada por um
momento de 15 KNm, conforme figura. Determine a tensão
de tração e compressão máximas que atuam na seção e a
inclinação do eixo neutro com relação ao eixo coordenado
Z. Assuma que as tensões de compressão sejam
POSITIVAS.
࣌࢞ =
ࡹࢠ
ࡵࢠ
࢟ −
ࡹ࢟
ࡵ࢟
ࢠ ܜ܉ܖ ࢻ =
ࡵࢠ
ࡵ࢟
࢚ࢇ࢔ ࣂ
10:15
Aplicação 03
Determinar a maior carga uniformemente distribuída W, que a viga pode absorver,
tendo em consideração que a tensão normal de tração e compressão admissível do
material da viga é σad=165 Mpa.
Assuma que as tensões de compressão sejam POSITIVAS.
ܫ௭ = 2,9819 ȉ 10
଻ ݉݉ସ ܫ௬ = 2,5142 ȉ 10
଺݉݉ସ
10:15
Aplicação 03
Calculo dos momentos máximos
ܯ௭ = −
ݓ6ଶ cos 15°
8
ܯ௬ =
ݓ6ଶ sin 15°
8
ݍ௭ = ݓ cos 15°
ݍ௬ = ݓ sin 15°
ܯ௭ =
ݍ௭6
ଶ
8
ܯ௬ =
ݍ௬6
ଶ
8
ݍ௬
ܯ௭
ݍ௭
ܯ௬
Aplicação 03
Montagem da formula e calculo da carga distribuída máxima w
ܯ௭ = −
ݓ6ଶ cos 15°
8
ܯ௬ =
ݓ6ଶ sin 15°
8
ݍ௬
ܯ௭
ݍ௭
ܯ௬
ܫ௭ = 2,9819 ȉ 10
଻ ݉݉ ܫ௬ = 2,5142 ȉ 10
଺ ݉݉
σ୶ = −
M୸
I୸
y
Assuma que as tensões de compressão sejam POSITIVAS
σ୶ =
M୷
I୷
z
σୱୢ୶ = −
M୸
I୸
y +
M୷
I୷
z
no ponto ۯ → 165 ȉ 10଺
ܰ
݉݉ଶ
=
ݓ6000ଶ݉݉ଶ0,9659
2,9819 ȉ 10଻݉݉ସ
100 mm +
ݓ6000ଶ݉݉ଶ0,2588
2,5142 ȉ 10଺݉݉ସ
50 ݉݉
165 ȉ 10ଵଶ
ܰ
݉݉ଶ
= w 116,6115 ȉ 10଺ + 185,2835 ȉ 10଺ ݉݉
165 ȉ 10଺
ܰ
݉݉ଶ
= w 301,895 ݉݉ ࢝ = 0,5465 ȉ 10଺
ܰ
݉݉
≈ ૙, ૞
ࡷࡺ
࢓
σୱୢ୶ = ߪ௔ௗ
A
A
Obrigado
10:15