APOSTILA I MOD MEIO AMBIENTE

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ESCOLA TÉCNICA MUNICIPAL DE SETE LAGOAS 
 
 
 
 
CURSO: MEIO AMBIENTE 
TOPOGRAFIA 
MÓDULO: I 
 
 
PROFESSOR: Emerson Liberio 
 
 
 
SETE LAGOAS – MG 
 
 
Aluno: _________________________________________________________ 
 
Apostila de Topografia – Curso > Meio Ambiente 
Topografia – Professor Emerson Liberio 1 
Título: INTRODUÇÃO 
Objetivo: Definir a área de conhecimento da topografia, suas divisões e atuações, 
bem como os seus conceitos básicos. 
Conteúdo: Disciplina - Topografia 
 Generalidades: Planimetria, Altimetria, Planialtimetria, Topologia, 
Topometria; Fotogrametria; Medida dos Ângulos; Bússola; Escalas; Medidas 
Diretas e Indiretas; Métodos de Levantamentos; Coordenadas Geográficas e 
Planimétricas; Desenho Topográfico – elaboração de curva de nível e perfil 
topográfico. 
Etimologicamente a palavra topografia deriva do grego topos (lugar); graphen 
(descrever), portanto descrição minuciosa do lugar. 
Definição: topografia é um conjunto de princípios, métodos, aparelhos e convenções 
utilizadas para a determinação do contorno, da superfície da terra, do fundo dos mares 
ou do interior de minas. 
A topografia faz parte de uma área de conhecimento mais geral, a Geodésia, que tem 
por objetivo o estudo da forma e das dimensões da terra. A representação do terreno 
com a utilização dos princípios geométricos e trigonométricos é a essência da 
topografia. As operações realizadas no terreno, com o objetivo de colher dados para a 
representação de sua superfície, são denominadas “levantamentos topográficos”. 
A superfície topográfica se refere à superfície de um terreno limitado a uma região 
suficientemente pequena onde, sendo possível desprezar-se a curvatura da terra, as 
verticais desse lugar formam um feixe de retas paralelas. A topografia assim estuda a 
representação de uma área no geoide em um plano topográfico. 
Os levantamentos geodésicos referem-se a áreas muito extensas, sendo necessário levar 
em conta a curvatura da terra, enquanto que a Topografia atua dentro de certos limites 
(25 a 30 km), dentro dos quais pode-se considerar, sem grande erro, a Terra como 
supostamente plana. 
 
1.0 TOPOGRAFIA: HISTÓRICO/GENERALIDADES 
 
1.1 RESUMO HISTÓRICO 
 
Há registros de que se praticava topografia, no antigo Egito, nos anos de 1.400 aC, 
quando se procurava delimitar as áreas produtivas que ficavam às margens do Rio Nilo. 
 
1.2 DEFINIÇÃO 
 
Etimologicamente, significa “Descrição do lugar”. Do grego Topos, lugar e 
graphen, descrever. Por definição clássica, Topografia é uma ciência baseada na 
Geometria e Trigonometria, de forma a descrever (medidas, relevo) e representar 
graficamente (desenho) parte da superfície terrestre, restritamente, pois não leva em 
consideração a curvatura da Terra. 
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Topografia – Professor Emerson Liberio 2 
1.3. OBJETIVO 
É a obtenção das dimensões (lineares, angulares, superfície), contornos (perímetro) 
e posição relativa (localização em relação a uma direção de referência) de uma parte da 
superfície terrestre. 
 
1.4. FINALIDADE 
É a representação gráfica (gerar um desenho) dos dados obtidos no terreno sobre 
uma superfície plana. A esta se dá o nome de Planta ou Desenho Topográfico. 
 
1.5. IMPORTÂNCIA E APLICAÇÃO 
A topografia é uma atividade básica para qualquer serviço de engenharia. Não é 
uma atividade “fim” e sim uma atividade “meio”, isto é, não se faz um levantamento 
topográfico e para por aí. Este levantamento terá uma finalidade pré-estabelecida para 
cada tipo de trabalho executado num plano topográfico. 
Quanto aos campos de aplicação tem-se: as Engenharias: Civil, Mecânica, 
Ambiental, Florestal; Agronomia; Arquitetura e paisagismo; Controle geométrico e 
execução de obras. 
 
1.6. LIMITE DE ATUAÇÃO 
De uma maneira geral (varia de acordo com diversos autores), considera-se o limite 
de 25 a 30 km, a partir da origem do levantamento. A Norma NBR 13.133/94 – 
Execução de Levantamento Topográfico, da ABNT, considera um plano de projeção 
limitado a 80 km (item 3.40-d, da Norma). 
Consideremos a superfície terrestre de forma circular e observemos o plano 
topográfico que é suposto plano, até os limites adotados, conforme figura a seguir, 
adotando o Raio Terrestre de 6.370 km. 
 
1.7. DIVISÕES DA TOPOGRAFIA 
A topografia tem três divisões básicas: Topometria, Taqueometria e Topologia, 
além da Fotogrametria e Agrimensura. Há uma corrente de autores que defendem que 
estas duas últimas, pela sua abrangência, terem certa independência, isto é, serem 
ciências à parte. 
 
1.7.1. TOPOMETRIA: é o conjunto de métodos e procedimentos utilizados 
para a obtenção das medidas (distâncias e ângulos) de uma parte da 
superfície terrestre. Pode ser divida em: 
 Planimetria: procedimentos para obtenção de medidas num plano 
horizontal; 
 Altimetria (Hipsometria): procedimentos para obtenção de medidas plano 
vertical; 
 Planialtimetria: procedimento para obtenção das medidas num plano 
horizontal e vertical. 
 
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1.7.2. TAQUEOMETRIA (medida rápida); é parte da topografia que se ocupa 
dos processos de obtenção das medidas horizontais e verticais, 
simultaneamente, baseado no princípio da Estadimetria e trigonometria de 
triângulo retângulo. Esse processo é mais utilizado em terrenos de relevo 
ondulado, acidentado. 
 
1.7.3. TOPOLOGIA: É a parte da topografia que se ocupa do estudo e 
interpretação da superfície externa da terra (relevo), segundo leis que 
regem a sua modelação. É a parte interpretativa da topografia. 
 
1.7.4. FOTOGRAMETRIA: é uma ciência baseada da arte da obtenção 
fidedigna das medidas através de fotografias. Pode ser: 
 Terrestre: Complementam a topografia convencional; Restauração de 
fachadas de prédios antigos (arquitetura); 
 Aérea (Aerofotogrametria): bastante utilizada para grandes extensões da 
superfície terrestre (trabalhos de reconhecimento, estudos de viabilidade, 
anteprojeto); restituição aerofotogramétrica. 
 
 
1.7.5. AGRIMENSURA: (medida agrária); trata dos processos de medição de 
superfícies do terreno, divisões de terra segundo condições pré-
estabelecidas. Há uma corrente de autores que a coloca independente da 
topografia, pela sua abrangência. 
 
1.7.6. MODELADO TERRESTRE 
Para entendermos a forma da terra é importante verificar a ciência que abrange 
a superfície da terra como um todo, e esta se chama Geodésia, que atua além 
dos limites da Topografia. 
 
2. GEODÉSIA 
É uma ciência que se ocupa dos processos de medição e especificações para o 
levantamento e representação cartográfica de uma grande extensão da superfície 
terrestre, projetada numa superfície geométrica e analiticamente definida por parâmetros 
que variam em número, levando-se em consideração a curvatura terrestre. 
 
2.1 DIFERENÇAS ENTRE TOPOGRAFIA E GEODÉSIA 
 Então, conhecendo-se as definições das duas ciências, pode-se elaborar as 
seguintes diferenças entre elas: 
 
 
 
 
 
 
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TOPOGRAFIA GEODÉSIA 
Extensões limitadas Grandes extensões 
Não leva em consideração a curvatura da 
terra 
Leva em consideração a curvatura da terra 
Planta ou desenho topográfico Carta ou mapa 
 
2.2 FORMA DA TERRA 
Várias são as formas técnicas de identificação da Terra, porém todas são muito 
aproximadas: natural, esfera, elipse e a convencionada internacionalmente, que é o 
Geoide. 
 
 FORMA NATURAL (Superfícietopográfica): É a forma real da terra 
que vem sendo estudada através de observações por satélite (imagens 
espaciais) e gravimetria (medidas do campo gravitacional). E ainda não 
se tem um modelo com parâmetros que a identifiquem. 
 
 FORMA ESFÉRICA: Forma mais simples da terra, sendo utilizada para 
efeito de determinados cálculos na Topografia e Geodésia. 
 
 FORMA DE UMA ELIPSE DE REVOLUÇÃO (Superfície elipsoidal) 
Como a terra tem a forma arredondada e achatada nos polos, há uma 
indicação, confirmada por observações espaciais, que ela se aproxima de 
uma Elipse. Esta é a superfície de Referência usada para cálculos 
geodésicos, pois há parâmetros matemáticos de sua geometria, como 
Equação da Elipse, achatamento, excentricidade. 
Este elipsoide é gerado a partir da rotação em torno do eixo menor. 
 
ELIPSE 
 
 a = semieixo maior; Achatamento 
 b = semieixo menor f = a - b 
 a 
 
Parâmetros do SAD-69 
South American Datum 69 
a = 6.378.160,000 m; 
b = 6.356.774,719 m. 
 
Estes parâmetros são adotados no Brasil, na atualidade, porém já se introduziu um novo 
sistema denominado SIRGAS – Sistema de Referência Geocêntrico para as Américas 
(SIRGAS-2000), instituído pelo Decreto 5.334, de 06.01.2005, cujos parâmetros são: 
 A = 6.378.137,000 m e 
257222101,298
1
f
 
b 
a 
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 GEÓIDE (Superfície geoidal): Originada do elipsoide, convencionou-se 
dar um nome efetivamente relacionado com a Terra, e este nome é o 
Geoide, sendo definido como a superfície equipotencial (sobre mesma 
ação gravitacional) do Nível Médio dos Mares (NMM) em equilíbrio, 
prolongada através dos continentes. 
 
3.0 DIREÇÃO E ORIENTAÇÃO DE MAPAS 
 
Algumas pessoas pensam que os animais e os povos primitivos tem um senso de direção 
inato. Isso é falso, pois tanto os animais quanto índios ou pessoas que vivem no campo 
podem muito bem um dia, por uma razão qualquer, se perderem. Porém, em geral eles 
aprenderam a ser mais observadores do que os povos modernos. Qualquer pessoa pode 
muito bem ter senso de direção, para isso basta apenas um pouco mais de atenção e ser 
mais perspectiva. 
A direção por definição, só pode ser determinada com referência (relação) a 
alguma coisa. O ponto de referência pode estar perto ou longe, pode ser concreto ou 
abstrato. Esse ponto de referência estabelece uma linha de referência baseada entre o 
observador e ele. Esse capítulo apresenta alguns pontos e linhas de referência úteis e os 
sistemas de referência baseados nelas. Depois, são relacionados ao mapa e seu uso no 
campo e gabinete. 
 
3.1 OS TRÊS NORTES 
No início é essencial estar ciente de um fator importante: não existe uma linha de 
referência pela razão de não existir um único ponto de referência normalmente são 
utilizados os três Nortes (também existe os três Sul, mas não há necessidade de explicá-
los porque é exatamente o oposto do Norte). 
Com suas respectivas vantagens e desvantagens, cada Norte apresenta certas 
conveniências para determinados propósitos em circunstância diferentes. Porém todos 
são importantes para os cartógrafos e leitores de mapas. 
 
3.2 O Norte Geográfico (NG) (Também Chamado Norte Verdadeiro (NV) ou Norte 
Astronômico) 
O Norte Verdadeiro Norte geográfico está localizado no polo norte (no eixo de rotação 
da Terra) onde os meridianos se encontram, portanto, se vê que cada meridiano segue a 
direção exata do norte verdadeiro. Uma linha de qualquer lugar da terra para o polo 
norte, sendo uma linha de longitude (meridiano), serve como linha de referência do 
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norte verdadeiro, uma vantagem do norte verdadeiro é que pode geralmente ser 
localizado aproximadamente no campo sem a utilização de nenhum instrumento 
especial. Pode-se determinar sua direção com a utilização de objetos simples 
encontrados naturalmente no campo, exatamente como faziam alguns povos primitivos. 
Um bom exemplo disso é a utilização das estrelas e do sol para determinar o norte 
verdadeiro. 
Provavelmente o norte foi escolhido como o ponto zero nos mapas porque existem 
muitos sinais celestes que ajudam a encontrá-lo. Um dos mais velhos e mais práticos 
indicadores é a estrela do Norte ou Polares. Ela está situada no universo diretamente 
acima do polo norte. A diferença entre as linhas Polares e o eixo da rotação da terra é de 
apenas 11/2°, um desvio desprezível menos nos estudos de geodesia. Portanto, para 
encontrar o norte verdadeiro somente é necessário localizar Polares, o que é muito fácil. 
Ela é uma das maiores estrelas visíveis do hemisfério norte e por causa da rotação da 
terra em redor de seu eixo, todas as outras estrelas dão a impressão de estarem se 
movimentando em rotas concêntricas em volta de Polares. 
No hemisfério sul, o lugar no céu diretamente acima do polo sul é o cruzamento dos 
eixos da constelação Cruzeiro do Sul, isso é tão importante que está representado nas 
bandeiras de cinco países, Samoa ocidental, Brasil, Austrália, Nova Zelândia, e Papua 
Nova Guiné. 
O sol também indica a direção do norte verdadeiro. 
 
3.3 O NORTE DA QUADRÍCULA (NQ) 
As cartas topográficas têm uma rede de quadrículas do sistema UTM. As linhas 
verticais dessas grades apontam para o norte e o sul da quadrícula. Diferente do norte 
verdadeiro, ele não se refere a nenhum lugar geográfico. É um sistema de direção 
artificial, estabelecido cientificamente em cada um dos 60 fusos de UTM. A rede de 
quadrículas é sobreposta no mapa para dar coordenadas e também facilitar o uso do 
compasso com a finalidade de medir a distância e direção. Porém, o norte de quadrícula 
não é necessariamente o mesmo que o norte verdadeiro. As linhas do norte da 
quadrícula correm paralelas de cima abaixo do mapa, enquanto as linhas do norte 
verdadeiro (só meridianos) convergem em direção aos polos norte e sul. Em cada fuso 
da UTM, o meridiano central coincide exatamente com da linha da quadrícula de valor 
500.000 metros ao leste da linha zero. Para qualquer lugar ao longo dessa linha, o norte 
verdadeiro e norte da quadrícula estão exatamente na mesma direção. 
Quanto mais linhas da quadrícula se afastam do meridiano no centro do fuso (como 
pontos, F, G e H em relação ao ponto E) mais será o desvio entre estes dois. O desvio 
também aumenta quanto se aproxima do polo (compare pontos A, B, C). 
Se somente uma área pequena for mapeada o desvio será quase o mesmo em todo o 
mapa. Porém se a região mapeada for extensa, as linhas da quadrícula das duas margens 
laterais do mapa terão desvios bem diferentes em relação aos respectivos meridianos. 
O norte da quadrícula é uma excelente ajuda para o estudo de cartas topográficas no 
laboratório e no campo porque as linhas são impressas sobre toda a carta enquanto os 
meridianos são somente nas margens da área mapeada. É justamente onde uma linha de 
quadrícula cruza um meridiano (margem lateral) ou um paralelo (margem superior ou 
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inferior) que é possível medir com um transferidor a declinação entre o norte geográfico 
e o norte da quadrícula. 
 
3.4 O NORTE MAGNÉTICO (NM) 
Esse terceiro norte é muito conveniente ao usuário de um mapa quando se encontre no 
campo com uma bússola. A direção do norte magnético (em teoria) é apontada pela 
agulha da bússola. Foi visto no anterior que o norte da quadrícula pode diferencia 
significativamente do norte verdadeiro. O mesmo problema ocorre com o norte 
magnético, mas por outrasrazões. O polo norte magnético está localizado ao norte do 
Canadá, aproximadamente 1500 km ao sul do polo norte. A diferença em ângulos entre 
o norte verdadeiro e o norte magnético é conhecida como declinação magnética. Em 
outras palavras, a declinação magnética nada mais é do que o ângulo formado entre uma 
linha que sai de um ponto qualquer e segue na direção do norte verdadeiro e outra que 
sai também do mesmo ponto e vai em direção do norte magnético (polo magnético). 
Este ângulo pode ser de 0° até 180° leste e de 0° oeste. 
 
4.0 DECLINAÇÃO MAGNÉTICA 
Declinação magnética é o ângulo formado entre o meridiano verdadeiro e o meridiano 
magnético; ou também pode ser identificado como desvio entre o azimute ou rumo 
verdadeiro e os correspondentes magnéticos (figura abaixo). Atualmente, a declinação 
magnética diária de cada localidade do Brasil pode ser obtida na internet, na página do 
Observatório Nacional www.on.br, acessando o item “serviços”. Varia com o tempo e 
com a posição geográfica, podendo ser ocidental (δW), negativa quando o Polo 
magnético estiver a Oeste (W) do geográfico e oriental (δE) em caso contrário. 
Atualmente, em nosso país a declinação é negativa, logo ocidental. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representação da Declinação Magnética 
 
A variação anual em graus (curvas isogônicas) e curvas de igual variação anual em 
minutos (curvas isopóricas). A interpolação das curvas do grau e posteriormente no 
minuto, para uma dada posição na superfície física da Terra, nos permite a determinação 
da declinação magnética com precisão na ordem do minuto. 
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No Brasil o órgão responsável pela elaboração das cartas de declinação é o Observatório 
Nacional e a periodicidade de publicações da mesma é de 10 anos. 
 
4.1 CONVERGÊNCIA MERIDIANA 
A convergência meridiana é o ângulo C, que num determinado ponto P, é formado pela tangente 
ao meridiano deste, e a paralela ao meridiano central. 
Desta forma a convergência meridiana é o ângulo formado entre o norte verdadeiro e o norte de 
quadricula. 
 
NV = norte verdadeiro; 
NQ = norte da quadrícula; 
C = convergência meridiana; 
MC = Meridiano central. 
 
 
 
 
 
C positivo 
- no hemisfério sul - lado oeste do MC; 
- no hemisfério norte - lado leste do MC. 
C negativo 
- no hemisfério sul - lado leste do MC; 
- no hemisfério norte - lado oeste do MC. 
 
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Utilização da convergência meridiana 
A convergência meridiana é utilizada para transformar o azimute verdadeiro, determinando por 
via astronômica, em azimute plano (norte de quadrícula) e vice-versa. 
O azimute plano é utilizado, em geodesia, no cálculo do transporte de coordenadas planas 
sistema UTM (E, N). 
 
 
Az VAB = azimute verdadeiro da linha AB; 
Az PAB = azimute plano da linha AB; 
C = convergência meridiana; 
NV = norte verdadeiro. 
NQ = norte de quadrícula. 
O azimute verdadeiro é utilizado em topografia para cálculos das coordenadas locais (x, y). 
O azimute geodésico é referenciado a superfície elipsoidal, enquanto o azimute verdadeiro é 
referenciado a superfície geoidal (superfície real da Terra). 
 
 
 
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5.0 GONIOLOGIA 
É a parte da Topografia que se encarrega do estudo dos ângulos utilizados na execução 
de seus trabalhos. 
 A GONIOLOGIA é dividida em: 1) Goniometria 2) Goniografia 
Goniometria - É a parte da Goniologia que se encarrega da medição dos ângulos no 
campo. 
Goniografia - É a parte da Goniologia que se encarrega da representação gráfica ou 
geométrica dos ângulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Goniômetro - Todo aparelho usado para medir ângulos. Nas operações topográficas, o 
goniômetro comumente empregado é o TEODOLITO. 
Limbo - Círculo graduado, onde fazemos as leituras dos ângulos horizontais e verticais. 
É a parte especializada dos teodolitos. 
CLASSIFICAÇÃO DOS LIMBOS: 
QUANTO AO SISTEMA DE GRADUAÇÃO: 
 Centesimal - limbo dividido em 400 unidades (grados). 
 Sexagesimal - limbo dividido em 360 unidades (graus, minutos e segundos). 
 
 
 
 
 
 
Centesimal Sexagesimal 
 
 
 
 
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As unidades de medidas angulares são: 
♦ - sexagesimal; 
♦ - centesimal (grados); 
♦ - radianos. 
 
5.1 SEXAGESIMAL 
No Brasil, o sistema adotado é o sexagesimal, no qual a circunferência está 
dividida em 360 partes iguais, sendo cada parte de 1
o 
(um grau, que constitui a unidade 
do sistema sexagesimal). Cada grau está dividido em 60 partes iguais, onde cada parte 
corresponde a um ângulo de 1’ (um minuto). 
Cada minuto está dividido em 60 partes iguais, sendo que cada parte corresponde a um 
ângulo de 1” (um segundo). 
NOTAÇÃO: grau (º) Minutos (‘) Segundos (“) 
 
5.2 CENTESIMAL (GRADO) 
Na unidade centesimal, a circunferência está dividida em 400 partes iguais, cada parte 
correspondendo a 1g
 
(um grado). Cada grado está dividido em 100 partes iguais, cada 
parte corresponde a 1 centígrado, 1 centésimo de grados ou 1 minuto centesimal. Cada 
centígrado está dividido em 100 partes iguais, onde cada parte corresponde a 1 
decimiligrado ou milésimos de grado. 
 
5.3 RADIANO 
Chama-se de radiano, ao ângulo central que corresponde a um arco de comprimento 
igual ao raio. A circunferência está dividida em rd (6,2832 rd), onde 1 radiano 
corresponde a um ângulo, no sistema sexagesimal, a 57º
 
17’44,8”. A aplicação prática 
desta unidade de medida angular dá-se principalmente na medida de ângulos pequenos. 
CONVERSÃO DE UNIDADES: 
CONVERSÃO DE GRAUS EM GRADO 
400
g 
→ 360
o
 
X
g 
→ Y
o
 
Portanto: 
Exemplo: 
Converter 62º
 
37’21” em grados. 
Resolução: 
- Passagem do sistema sexagesimal para o sistema decimal: 
 
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Multiplicam-se os minutos por 60, adicionam-se os segundos e divide-se o resultado por 
3.600 e obtêm a parte decimal. 
 
Daí: 62º
 
37’21” = 62,6225º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Passagem do sistema decimal para o sistema sexagesimal: 
62,6225 º. 
Multiplica-se a parte fracionária por 60 para obter-se os minutos. Multiplica-se 
novamente a parte fracionária por 60 para obter-se os segundos. 
0,6225 x 60 = 37,35’ (37 equivalem aos minutos). 
0,35 x 60 = 21” 
Portanto: 62,6225º
 
= 62 º
 
37’21”. 
 
CONVERSÃO DE GRAUS EM RADIANOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6.0 DEFLEXÕES: 
 
Deflexão é o ângulo formado entre o prolongamento do alinhamento anterior e o 
alinhamento que segue varia de 0° a 180° e necessita da indicação da direita (sentido 
horário) ou da esquerda (sentido anti-horário). 
 
6.1 OPERAÇÕES TOPOGRÁFICAS 
As operações topográficas podem ser divididas em quatro etapas: 
Levantamento: É quando se obtém as medidas angulares e lineares; 
Cálculo: Transformação das medidas obtidas no levantamento em coordenadas, 
área e volume; 
Desenho: É a etapa onde se faz a representação das coordenadas; 
Locação:Confirmação no campo dos dados levantados e calculados. 
 
6.2 ÂNGULOS DA MENSURAÇÃO 
 
 
Ângulo: É dado pela diferença de direção entre duas retas que se encontram em um 
determinado ponto chamado de vértice. 
 
6.3 Ângulo Horizontal 
É o ângulo medido segundo o plano horizontal. 
 ângulo 
horizontal é o sentido horário. 
 
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6.4 Ângulo Vertical 
É o ângulo medido segundo o plano vertical. 
três tipos de ângulos verticais: 
- Ângulo de al 
- 
- 
 
A medição do ângulo vertical, junto com a medição da distância inclinada, tem duas 
finalidades: servir ao cálculo da distância horizontal (reduzida) e do desnível entre 
pontos topográficos. A definição do que genericamente se chama “ângulo vertical” 
depende da origem de sua contagem. Define-se ângulo vertical (símbolo V) o ângulo 
formado entre a linha do horizonte (plano horizontal) e a linha de visada, sendo a 
origem de contagem do ângulo a própria linha do horizonte. 
 
 
 
Os ângulos verticais registrados acima desta linha são positivos ou ascendentes, 
variando de 0º a +90º, enquanto os indicados abaixo desta linha são negativos ou 
descendentes, variando de 0º a –90º. 
Define-se ângulo zenital (símbolo: Z) o ângulo formado entre a vertical do lugar e a 
linha de visada, sendo o zênite a origem de contagem do ângulo, que varia de 0º a 180º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Define-se ângulo nadiral (símbolo N) o ângulo formado entre a vertical do lugar e a 
linha de visada, sendo o nadir a origem de contagem do ângulo, que varia de 0º a 180º. 
 
 
 
A relação entre o ângulo zenital e o ângulo vertical é dada por: 
 
6.5 INSTRUMENTAÇÃO 
A construção de instrumentos medidores de ângulos acompanha a evolução da 
engenharia. A groma, aparato da era romana para medição de alinhamentos, é o 
primeiro instrumento de medição angular que se tem notícia. Na sequência, a dioptra 
(dio: através; optero: observar) permitia também a medição de ângulos verticais. Na era 
moderna, surgiram os instrumentos ótico-mecânicos, por exemplo, os clinômetros para 
medição rápida de ângulos verticais e os teodolitos (theo: visar; hodos: caminho), para 
medição precisa de ângulos horizontais e verticais. 
 
6.6. ÂNGULO DE ALTURA 
É o ângulo que vai da linha do horizonte, até a direção tomada. 
 
 
 
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7.0 AZIMUTE E RUMO 
Azimute: é o ângulo horizontal formado entre a direção Norte/Sul e o alinhamento em 
questão. É medido a partir do Norte, no sentido horário (à direita), podendo variar de 0º 
a 360º ou 400 g. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O azimute verdadeiro pode ser obtido a partir do azimute magnético, quando se 
conhece a declinação magnética local na mesma data do levantamento topográfico. 
7.1 DETERMINAÇÃO DE AZIMUTE 
A partir do azimute do primeiro alinhamento [Az(n)], os azimutes dos demais 
alinhamentos são calculados usando o seguinte procedimento: 
Az (n+1) = Az(n) + Ângulo horário 
Se Az (n+1) > 180° => Az (n+1) = Az(n) + Ângulo horário – 180° 
Se Az (n+1) < 180° => Az (n+1) = Az(n) + Ângulo horário + 180° 
Se Az (n+1) > 360° => Az (n+1) = Az(n) + Ângulo horário - 360° 
Quando se toma como referência a meridiano magnético, o rumo obtido é chamado 
rumo magnético, e quando usamos o meridiano verdadeiro, o rumo obtido é 
chamado rumo verdadeiro. 
 
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7.2 DESCRIÇÃO DO AZIMUTE EM FUNÇÃO DO RUMO 
 
Como Rumo negativo não existe, logo: 
 
Cálculo do azimute pela fórmula de Grafarend: 
Dado o alinhamento PP2 1, o azimute pode ser calculado diretamente pela fórmula de 
Grafarend: 
 
A função sgn(Δx) exprime o sinal algébrico do argumento Δx e a função sgn(Δy) 
exprime o sinal algébrico do argumento Δy . Os símbolos Δx e Δy chamam-se 
grandezas absolutas (ou módulos) dos números reais Δx e Δy, respectivamente. 
Exemplos. Com a fórmula de Grafarend, calcule o azimute dos alinhamentos definidos 
pelos pontos. 
dados: Relação entre azimutes e rumos à ré e à vante: 
 
 
 
 
1º e 2º Quadrante: 3º e 4º Quadrante: 
 
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Azimute (ré) = Azimute (vante) + 180º Azimute (ré) = Azimute (vante) – 180º 
Azimute (vante) = Azimute (ré) – 180º Azimute (vante) = Azimute (ré) + 180º 
Rumo (ré) = Rumo (vante), com sentido oposto (NE ↔ SW ou SE ↔ NW). 
 
8.0 RUMO 
Rumo de uma linha é o menor ângulo horizontal, formado entre a direção NORTE/SUL 
e a linha, medindo a partir do NORTE ou do SUL, no sentido horário (à direita) ou 
sentido anti-horário (à esquerda) e variando de 0º a 90º ou 0g a 100g sendo contado do 
Norte ou do Sul por leste e oeste. Este sistema expressa o ângulo em função do 
quadrante em que se encontra. Além do valor numérico do ângulo acrescenta-se uma 
sigla (NE, SE, SW, NW) cuja primeira letra indica a origem a partir do qual se realiza a 
contagem e a segunda indica a direção do giro. 
 
 
Conversão de Azimute para Rumo e vice versa: 
Quadrante Azimute → Rumo Rumo → Azimute 
1º R = Az (NE) Az = R 
2º R = 180° - Az (SE) Az = 180° - R 
3º R = Az - 180° (SO) Az = R + 180° 
4º R = 360° - Az (NO) Az = 360° - R 
 
9.0 MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 
Os ângulos são medidos normalmente com teodolitos, mas podemos também deduzi-los 
quando conhecidos as distâncias do triângulo. Através do teorema dos cossenos, temos: 
Ä Medidas dos lados do triângulo: 
 
A² = b² + c² - 2bc * Cos A 
B² = a² + c² - 2ac * Cos B 
C² = a² + b² - 2ab * Cos C 
 
 
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Exemplo: Calcule os ângulos A, B e C do triângulo cujos lados são: 
AB = 23m, BC = 28 m e AC = 30m então: a = 28m, b = 30m e c = 23m. 
Isolando-se o ângulo temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo da área: 
½ x Ca x Cb x sen > α. 
 
Temos dois métodos de cálculo: 
Triangulação e Irradiação: 
O método de triangulação formou triângulos de toda a área através de pontos distintos. 
O método de radiação formou triângulos a partir de um único ponto. 
 
 Calcule a área da poligonal abaixo: 
 
 
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9.1 ÂNGULOS TOPOGRÁFICOS NO PLANO HORIZONTAL 
Os ângulos topográficos podem ser observados ou calculados, sendo que se entende 
como observados os ângulos medidos através de instrumentos no campo e os calculados 
aqueles deduzidos através de cálculo: 
 
Os ângulos topográficos no plano horizontal podem ser: 
 - Internos; 
- Deflexão; 
- Irradiados. 
 - Azimute; 
- Rumo. 
MEDIÇÕES DE DISTÂNCIAS HORIZONTAIS: 
A medida da distância entre dois pontos, em Topografia, corresponde à medida da 
distância horizontal entre esses dois pontos. 
Na Mensuração, o comprimento de um alinhamento pode ser obtido através de: 
Medidas diretas: uma medida é considerada ‘direta’ se o instrumento usado na medida 
apoiar-se no terreno ao longo do alinhamento, ou seja, se for aplicado no terreno ao 
longo do alinhamento; 
Medidas indiretas: uma medida é considerada ‘indireta’ no caso da obtenção do 
comprimento de um alinhamento através de medida de outras grandezas com ele 
relacionada matematicamente. 
9.2 LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO (ALTIMÉTRICO) 
De acordo coma ABNT (1994, p3), o levantamento topográfico altimétrico ou 
nivelamento é definido por: “levantamento que objetiva, exclusivamente, a 
determinação das alturas relativas a uma superfície de referência dos pontos de apoio 
e/ou dos pontos de detalhe, pressupondo-se o conhecimento de suas posições 
planimétricas, visando à representação altimétrica da superfície levantada”. 
Basicamente quatro métodos são empregados para a determinação dos desníveis: 
nivelamento geométrico, trigonométrico, taqueométrico e barométrico. 
Nivelamento geométrico ou nivelamento direto: 
“nivelamento que realiza a medida da diferença de nível entre pontos no terreno por 
intermédio de leituras correspondentes a visadas horizontais, obtidas com um nível, em 
miras colocadas verticalmente nos referidos pontos.” ABNT (1994, p3). 
 
Nivelamento trigonométrico: 
“nivelamento que realiza a medição da diferença de nível entre pontos no terreno, 
indiretamente, a partir da determinação do ângulo vertical da direção que os une e da 
distância entre estes, fundamentando-se na relação trigonométrica entre o ângulo e a 
distância medidos, levando em consideração a altura do centro do limbo vertical do 
teodolito ao terreno e a altura sobre o terreno do sinal visado.” ABNT (1994, p.4). 
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Nivelamento taqueométrico: 
“nivelamento trigonométrico em que as distâncias são obtidas taqueometricamente e a 
altura do sinal visado é obtida pela visada do fio médio do retículo da luneta do 
teodolito sobre uma mira colocada verticalmente no ponto cuja diferença de nível em 
relação à estação do teodolito é objeto de determinação.” ABNT (1994, p.4). 
A NBR 13133 estabelece, em seu item 6.4, quatro classes de nivelamento de linhas ou 
circuitos e de seções, abrangendo métodos de medida, aparelhagem, procedimentos, 
desenvolvimentos e materialização (ABNT, 1994, p.15): 
a) Classe IN - nivelamento geométrico para implantação de referências de nível 
(RN) de apoio altimétrico; 
b) Classe IIN - nivelamento geométrico para a determinação de altitudes ou 
cotas em pontos de segurança (Ps) e vértices de poligonais para levantamentos 
topográficos destinados a projetos básicos executivos e obras de engenharia; 
c) Classe IIIN - Nivelamento trigonométrico para a determinação de altitudes ou 
cotas em poligonais de levantamento, levantamento de perfis para estudos preliminares 
e/ou de viabilidade de projetos; 
d) Classe IVN - Nivelamento taqueométrico destinado a levantamento de perfis 
para estudos expeditos. 
A norma apresenta para estas quatro classes uma tabela abrangendo os métodos de 
medição, aparelhagem, desenvolvimento e tolerâncias de fechamento. Somente como 
exemplo, para a classe IN (nivelamento geométrico), executado com nível de precisão 
alta, a tolerância de fechamento é de 12 mm k1/2, onde k é a extensão nivelada em um 
único sentido em quilômetros. Cabe salientar que na prática costuma-se adotar o valor 
de k como sendo a média da distância percorrida durante o nivelamento e 
contranivelamento, em quilômetros. Independente do método a ser empregado em 
campo, durante um levantamento altimétrico destinado a obtenção de altitudes/cotas 
para representação do terreno, a escolha dos pontos é fundamental para a melhor 
representação do mesmo. 
Nivelamento Barométrico 
O nivelamento barométrico baseia-se na relação que existe entre a pressão atmosférica e 
a altitude num ponto, o que se expressa pela fórmula, chamada barométrica. 
Este processo parte do princípio em que a pressão do ar menor nas camadas superiores 
da atmosfera do que nas inferiores, assim pode-se, pela avaliação da diferença de 
pressão entre dois pontos, determinar a sua diferença de altitude. Em média para cada 
milímetro de variação de pressão, há uma diferença de altitude de aproximadamente 11 
metros. 
Esse processo de levantamento altimétrico do ponto apresenta-nos a vantagem de não 
ser condicionado à medida de distâncias; e, de verdade, se ele não nos apresenta grande 
precisão, entretanto, a rapidez de suas operações nos aconselha seu mais amplo emprego 
nos levantamentos expeditos de grandes extensões. Os instrumentos usados são os 
barômetros, que podem ser: 
a) Barômetros de Mercúrio; b) Barômetros Aneroides; c) Barômetros Hipsômetro. 
Apesar de ser simples, tal processo não tem a precisão requerida para serviços 
topográficos, apontado neste estudo, para simples registro. 
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9.3 NIVELAMENTO GEOMÉTRICO (MÉTODO MAIS PRECISO) 
Para se calcular as cotas ou altitudes dos pontos a nivelar é necessário conhecer-se a 
cota ou altitude do ponto inicial (por exemplo, ponto A). Então a cota de A, será 
conhecida ou arbitrada e o ponto A passa a chamar-se de RN, ou seja, Referência de 
Nível. A=RN. 
Precisa-se agora determinar o APV, altura do plano de visada, que seria a cota ou 
altitude do plano criado pelo instrumento. APV = CRN + Leitura de Ré RN → APV = CA 
+ Leitura de Ré A. Leitura de Ré – é uma leitura feita a um ponto cuja cota ou altitude 
é conhecida. No caso, já conhecemos a cota de A. A leitura de ré serve somente para 
o cálculo do APV. Para calcular a cota dos demais pontos usamos a seguinte fórmula: 
Cota B = APVI – Leitura de VanteB → CB = APVI - VB 
Leitura de Vante – é uma leitura a um ponto de cota ou altitude desconhecida. A 
leitura de vante serve para o cálculo da cota do ponto. 
Cota C = APVI – VC; Cota D = APVI – VD 
Da estação I somente foi possível ler-se até o ponto D. É necessário mudar a estação 
para a posição II. Uma vez instalado o aparelho na estação II, então a primeira atitude 
que se toma é determinar a nova altura do plano de visada, APVII, fazendo-se uma 
visada de ré no ponto D. 
APVII = CD + Ré DLeitura Vante de Mudança - é uma leitura feita a um ponto que de 
uma estação é leitura de Vante e da estação seguinte será feita uma leitura de Ré neste 
mesmo ponto. 
Nivelamento Geométrico (mais preciso): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PRECISÃO DOS NIVELAMENTOS GEOMÉTRICOS 
Classificação pelo grau de precisão 
1. De alta precisão: O erro médio admitido é da ordem de ±1,5 mm/km percorrido. 
É uma classe especial. 
2. De 1º ordem ou nivelamento de precisão: O erro médio admitido é da ordem de 
± 2,5 mm/km percorrido. 
3. De 2º ordem: O erro médio admitido é da ordem de ± 1,0 mm/km percorrido. 
4. De 3º ordem: O erro médio admitido é da ordem de ± 3,0 cm/km percorrido. 
5. De 4º ordem: O erro médio admitido é da ordem de ± 10 cm/km percorrido. Os 
nivelamentos geométricos com erros maiores do que os citados são 
desclassificados ou inaceitáveis. 
 
10.0 CURVAS DE NÍVEL – Interpolação. 
As curvas de nível podem ser obtidas basicamente por dois processos: 
1. Seções transversais. 
Definição de uma linha base na área onde se quer criar as curvas de nível, e o seu 
estaqueamento. A partir desta linha base, são feitas as seções transversais. As seções 
transversais são cortes feitos nas estacas inteiras e pontos relevantes da linha base. As 
seções transversais são linhas perpendiculares à linha base. 
Contra nivelamento: 
APVIII CG-RE G 50-1,50 48,50 m 
CF APVIII+VF 48,50+0,50 49,00 m 
CE APVIII+VE 48,50+0,40 48,90 m 
APVII CE-RE E 48,90-1,40 47,50 m 
CD APVII+VD 47,50+0,80 48,30 m 
CC APVII+VC 47,50+0,50 48,00 m 
APVI CC-RE C 48,00-1,50 46,50 m 
CB APVI+VB 46,50+0,80 47,30 m 
CA APVI+VA 46,50+0,60 47,10 m 
DESNÍVELCG-CA 50-47,10 2,90 m 
 
Nivelamento: 
APVI CA+RE A 50+0,60 50,60 m 
CB APVI-VB 50,60-0,80 49,80 m 
CC APVI-VC 50,60-1,50 49,10 m 
APVII CC+RE C 49,10+0,50 49,60 m 
CD APVII-VD 49,60-0,80 48,80 m 
CE APVII-VE 49,60-1,40 48,20 m 
APVIII CE+RE E 48,20+0,40 48,60 m 
CF APVIII-VF 48,60-0,50 48,10 m 
CG APVIII-VG 48,60-1,50 47,10 m 
DESNÍVEL CA-CG 50-47,10 2,90 m 
 
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Figura 1: representação de uma área com a indicação da linha base e seções 
transversais. 
O nivelamento da linha base e das seções transversais, normalmente é feito através de 
nivelamento geométrico, trigonométrico ou estadimétrico. O nivelamento à régua 
também pode ser usado, mas é desaconselhável, uma vez que existem métodos mais 
precisos. 
2. Malha triangular 
A partir do desenho dos pontos com as respectivas cotas é criado para cada três pontos, 
um triângulo. Este processo define uma malha triangular que recobrirá todos os pontos 
do levantamento. A geração das curvas de nível se dará pela interpolação das cotas dos 
vértices dos triângulos. Em cada aresta será definido o ponto onde está localizada a cota 
inteira. A ligação dos pontos de cota inteira calculados anteriormente permitirá a 
geração das curvas de nível. 
Pontos cotados 
 
1.800 2.810 
 
 
 3.804 4.808 
 
 
5.805,525 6.812,210 
 
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Malha triangular gerada a partir dos pontos cotados. 
O cálculo das distâncias, a partir dos vértices da malha triangular, onde estão 
localizadas as cotas inteiras que permitirão a geração das curvas de nível, é feito da 
seguinte forma: Identificar em cada aresta a distância e a diferença de nível entre os 
vértices. Através de uma regra de três, calcular a distância para a próxima cota inteira a 
partir de um determinado vértice. Em cada aresta será definido o ponto onde passa a 
cota inteira. 
Calcular e desenhar as curvas de nível para o desenho da figura 1, considerando um 
plano de corte com afastamento de 1 metro (curva de nível de um metro em um metro): 
Aresta 1-2 
Distância linear entre os vértices: 5,51m 
Desnível entre os vértices: 810 - 800 = 10m 
Distância vertical entre as curvas de nível: 1m 
d = distância entre as cotas inteiras 
Construção de uma regra de três para calcular a distância entre as cotas inteiras: 
 
d=0,551m é a distância entre as cotas inteiras. Como a cota dos vértices é inteira, a 
partir de qualquer um deles marca-se 0,551m e neste ponto temos uma cota inteira, mais 
0,551m teremos a próxima cota e assim sucessivamente até alcançar o próximo vértice. 
 
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Aresta 1 e 2 com indicação dos pontos de localização das cotas inteiras. 
Aresta 5 e 6 distância linear entre os vértices: 5,50m 
Desnível entre os vértices: 812,210 - 805,525 = 6,685m 
Distância vertical entre as curvas de nível: 1m 
d = distância entre as cotas inteiras. 
Construção de uma regra de três para calcular a distância entre as cotas inteiras: 
 
d=0,823m é a distância entre as cotas inteiras. Como a cota dos vértices 5 e 6 não é 
inteira, deveremos calcular para cada vértice qual é próxima cota inteira a partir deles, e 
definir qual é o desnível do vértice para esta cota. Pegar o valor deste desnível e 
multiplicar por d para identificar a distância para a próxima cota inteira a partir do 
vértice. 
V5 —>806 - 805,525 = 0,475m (desnível entre o vértice V5 e a próxima cota inteira - 
806). 
0,475*0,823 = 0,391m (distância entre o vértice V5 e a próxima cota inteira - 806). 
V6 —> 812 - 812,210 = 0,210m (desnível entre o vértice V6 e a próxima cota 
inteira - 812). 
0,210*0,823 = 0,173m (distância entre o vértice V6 e a próxima cota inteira - 812). 
Com a distância entre os vértices V5 e V6 e as cotas inteiras, e a distância entre as cotas 
inteiras, é necessário marcar estas distâncias na aresta correspondente. 
Aresta 1 e 2 com indicação dos pontos de localização das cotas inteiras. 
Após o cálculo dos pontos de cota inteira em todas as arestas, fazer a ligação dos pontos 
de mesma cota, obtendo as curvas de nível. 
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Topografia – Professor Emerson Liberio 28 
A distância vertical entre as curvas de nível, normalmente é indicada como um 
milésimo do denominador da escala. Este valor é meramente indicativo, sendo a 
distância vertical escolhida de acordo com as necessidades. 
Ex.: planta na escala 1:50.000 —> a distância vertical entre as curvas de nível indicada 
é 50 metros. 
A representação das curvas de nível é feita com a quinta curva de nível sempre 
destacada em relação às demais, e recebe o nome de curva de nível mestra, ou 
simplesmente curva mestra. Este destaque pode ser feito através de cor ou espessura. A 
espessura é a mais indicada uma vez que os desenhos técnicos são apresentados 
normalmente monocromáticos. 
Indicação da curva mestra em função da distância vertical entre as curvas: 
 Distância vertical de 1m —>mestra terminada em O ou cinco; 
 Distância vertical de 2m —> mestra terminada em 0; 
 Distância vertical de 5m —> mestra terminada em O ou 5. 
OBS.: 
 As curvas de nível devem ser traçadas a partir dos pontos notáveis definidores 
do relevo, passando pelas interpolações controladas nas altitudes ou cotas entre 
pontos de detalhe; 
 As curvas de nível podem ser classificadas em curvas mestras ou principais e 
secundárias. As mestras são representadas com traços diferentes das demais 
(mais espessos, por exemplo), sendo todas numeradas; 
 As curvas-mestras, espaçadas de cinco em cinco curvas, devem ser reforçadas e 
cotadas. No caso de haver poucas curvas-mestras, as intermediárias também 
devem ser cotadas; 
 As curvas de nível devem ser numeradas para que seja possível a sua leitura; 
 As curvas de nível são "lisas", ou seja não apresentam cantos; 
 Duas curvas de nível nunca se cruzam; 
 As curvas de níveis cruzam cursos d’água; 
 Duas curvas de nível nunca se encontram e continuam em uma só; 
 Quanto mais próximas entre si, mais inclinado é o terreno e quanto mais 
distantes o terreno é mais plano. 
 
11.0 ESCALAS 
Segundo ESPARTEL (1987) o desenho topográfico nada mais é do que a projeção de 
todas as medidas obtidas no terreno sobre o plano do papel. Neste desenho, os ângulos 
são representados em verdadeira grandeza (VG) e as distâncias são reduzidas segundo 
uma razão constante. É comum em levantamentos topográficos a necessidade de 
representar no papel certa porção da superfície terrestre. Para que isto seja possível, 
Apostila de Topografia – Curso > Meio Ambiente 
Topografia – Professor Emerson Liberio 29 
teremos que representar as feições levantadas em uma escala adequada para os fins do 
projeto. De forma simples, podemos definir escala com sendo a relação entre o valor de 
uma distância medida no desenho e sua correspondente no terreno. A NBR 8196 
(Emprego de escalas em desenho técnico: procedimentos) define escala como sendo a 
relação da dimensão linear de um elemento e/ou um objeto apresentado no desenho 
original para a dimensão real do mesmo e/ou do próprio objeto. 
Normalmente são empregados três tipos de notação para a representação da escala: 
 
Onde: 
M = denominador da escala; 
d = distância no desenho; 
D = distância no terreno. 
Por exemplo, se uma feição é representada no desenhocom um centímetro de 
comprimento e sabe-se que seu comprimento no terreno é de 100 metros, então a escala 
de representação utilizada é de 1:10.000. Ao utilizar a fórmula (3.2) para o cálculo da 
escala deve-se ter o cuidado de transformar as distâncias para a mesma unidade. Por 
exemplo: 
d = 5 cm 
D = 0,5 km 
As escalas podem ser de redução (1:n), ampliação (n:1) ou naturais (1:1). Em 
Topografia as escalas empregadas normalmente são: 1:250, 1:200, 1:500 e 1:1000. 
Logicamente que não é algo rígido e estes valores dependerão do objetivo do desenho. 
Uma escala é dita grande quando apresenta o denominador pequeno (por exemplo, 
1:100, 1:200, 1:50, etc.). Já uma escala pequena possui o denominador grande 
(1:10.000, 1:500.000, etc.). 
O valor da escala é adimensional, ou seja, não tem dimensão (unidade). Escrever 1:200 
significa que uma unidade no desenho equivale a 200 unidades no terreno. Assim, 1 cm 
no desenho corresponde a 200 cm no terreno ou 1 milímetro do desenho corresponde a 
200 milímetros no terreno. Como as medidas no desenho são realizadas com uma régua, 
é comum estabelecer esta relação em centímetros: 
É comum medir-se uma área em um desenho e calcular-se sua correspondente no 
terreno. Isto pode ser feito da seguinte forma: Imagina-se um desenho na escala 1:50. 
Utilizando esta escala faz-se um desenho de um quadrado de 2 x 2 unidades (u), não 
interessa qual é esta unidade. A figura 3.1 apresenta este desenho. 
 
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Topografia – Professor Emerson Liberio 30 
A área do quadrado no desenho (Ad) será: 
QUADRADO 2u x 2u. 
 
Ad = 2u. 2u => Ad = 4u2 
A área do quadrado no terreno (At) será então: 
At = (50 . 2u) . (50 . 2u) At = (2 . 2) . (50 . 50) u2 At = 4u2 . (50 . 50) 
Substituindo a equação (3) na (4) e lembrando que M=50 é o denominador da escala, a 
área do terreno, em função da área medida no desenho e da escala é dada pela equação. 
At = Ad . m² 
11.1 - PRINCIPAIS ESCALAS E SUAS APLICAÇÕES 
A seguir encontra-se uma tabela com as principais escalas utilizadas por engenheiros e 
as suas respectivas aplicações. 
Aplicação Escala 
Detalhes de terrenos urbanos 1:50 
Planta de pequenos lotes e edifícios 1:100 e 1:200 
Planta de arruamentos e loteamentos urbanos 1:500 e 1:1000 
Planta de propriedades rurais 1:1000 1:2000 1:5000 
Planta cadastral de cidades e grandes propriedades rurais ou industriais 
 
1:5000 1:10 000 1:25 000 
Cartas de municípios 1:50 000 1:100 000 
Mapas de estados, países, continentes, etc. 1:200 000 a 1:10 000 000 
 
Exercícios: 
01. Em um mapa topográfico na escala 1:100.000 a maior dimensão gráfica medida entre as 
margens de um rio é de 15,7 mm. Assim sendo, é verdadeiro afirmar que a respectiva distância 
máxima natural entre essas margens é de 
a) 1.570 m. 
b) 6.369,40 m. 
c) 157.000 m. 
d) 15.700 m. 
e) 636,94 m. 
 
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Topografia – Professor Emerson Liberio 31 
02. Leia as afirmativas que seguem e assinale a correta: 
a) A escala numérica é representada por uma linha reta dividida em partes iguais. 
b) A escala 1:50.000 é maior que a escala de 1:250.000. 
c) Na escala de 1:500.000, a área representada foi reduzida 50 mil vezes. 
d) As escalas podem ser numéricas ou geográficas. 
e) Na escala de 1:100.000, 1 cm no mapa vale 100 km no terreno. 
03. Um mapa cuja escala é 1:55.000.000, a distância, em linha reta, entre as cidades de São 
Paulo e Brasília é de 1,6 cm. Na realidade, essa distância é de aproximadamente 
a) 880 km 
b) 1200 m 
c) 8875 km 
d) 239 km 
e) 890 m 
04. A escala é definida como a relação da distância real entre dois pontos quaisquer na 
superfície da Terra com a distância entre esses dois pontos num documento cartográfico. Se, em 
uma carta, na escala 1:50.000, a distância em linha reta entre duas cidades for de 10 cm, no 
terreno essa distância será de: 
a) 0,5 km. 
b) 1 km. 
c) 100 km. 
d) 500 km. 
e) 5 km 
05. Assinale a alternativa que indica corretamente a distância real entre duas cidades, A e B, 
considerando que no mapa de escala 1:50.000.000, a distância linear é de 3,5 cm. 
a) 1.500 km 
b) 15.000 jm 
c) 175 km 
d) 17.500 km 
e) 1.750 km 
 
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Topografia – Professor Emerson Liberio 32 
06. A distância real entre São Francisco e Nova York é de 4.200km. A distância sobre a carta é 
de 105mm. Com base nestes dados, assinale a alternativa que indica corretamente a escala deste 
mapa é: 
a) 1 : 400.000 
b) 1 : 4200.000 
c) 1 : 10.500.000 
d) 1 : 40.000.000 
e) 1 : 105.000.000 
07. Para obter, em um mapa, informação mais detalhada, qual das escalas a seguir é utilizada? 
a) 1/100. 
b) 1/1.000. 
c) 1/10.000. 
d) 1/100.000. 
e) 1/1000.000. 
 
11.0 Levantamento topográfico 
De acordo com a NBR 13133 (ABNT, 1991, p. 3), Norma Brasileira para execução 
de Levantamento Topográfico, o levantamento topográfico é definido por: 
“Conjunto de métodos e processos que, através de medições de ângulos horizontais e 
verticais, de distâncias horizontais, verticais e inclinadas, com instrumental adequado à 
exatidão pretendida, primordialmente, implanta e materializa pontos de apoio no 
terreno, determinando suas coordenadas topográficas. A estes pontos se relacionam os 
pontos de detalhe visando a sua exata representação planimétrica numa escala pré-
determinada e à sua representação altimétrica por intermédio de curvas de nível, com 
equidistância também pré-determinada e/ou pontos cotados.” 
Os levantamentos topográficos compreendem o conjunto de atividades dirigidas 
para as medições e observações que se destinam a representação do terreno em um 
plano ou desenho topográfico em escala. Podem ser executados para fins: 
a. De controle; fornecem arcabouço de pontos diversos com coordenadas e 
altitudes, destinadas à utilização em outros levantamentos de ordem inferior; 
b. Legais cadastrais; destinado ao levantamento, detalhamento e avaliação de áreas 
rurais ou urbanas, enfatizando a quantificação da ocupação humana e suas 
intervenções; 
Apostila de Topografia – Curso > Meio Ambiente 
Topografia – Professor Emerson Liberio 33 
c. Para fins de engenharia; empregado na locação, instalação e construção de obras 
civis de engenharia e serviço de parcelamento de imóveis etc; 
d. Topográficos; destinados ao levantamento da superfície topográfica, seus 
acidentes naturais, culturais e a configuração do terreno. 
 O Levantamento Topográfico pode ser entendido como um cconjunto de 
métodos e processos que, através de medições de ângulos e distâncias com instrumentos 
adequados, implanta e materializa pontos para o detalhamento topográfico necessário. 
Com os dados de campo, depois de calculados, pode-se representar graficamente, na 
forma de mapas, perfis longitudinais e transversais, diagramas entre outros. A execução 
de um levantamento topográfico, além da necessidade de se conhecer os instrumentos 
utilizados nas medições requer conhecimentos de geometria, trigonometria plana e 
esférica, física, astronomia e teoria dos erros e sua compensação. O Levantamento 
topográfico pode ser dividido em: 
11.1 Levantamento Topográfico Planimétrico 
Levantamento dos limites e confrontações de uma propriedade, pela determinação do 
seu perímetro, incluindo, quando houver, o alinhamento da via ou logradouro com o 
qual faça frente, bem como a sua orientação e a sua amarração a pontos materializados 
no terreno de uma rede de referência cadastral, ou, no caso de sua inexistência, a pontos 
notáveis e estáveis nas suas imediações.Quando este levantamento se destinar à 
identificação dominial do imóvel, são necessários outros elementos complementares, 
tais como: perícia técnico-judicial, memorial descritivo, etc. Compreende o conjunto de 
operações necessárias para a determinação de pontos e feições do terreno que serão 
projetados sobre um plano horizontal de referência através de suas coordenadas X e Y 
(representação bidimensional). 
11.2 Levantamento topográfico altimétrico 
Levantamento que objetiva, exclusivamente, a determinação das alturas relativas a uma 
superfície de referência, dos pontos de apoio e/ou dos pontos de detalhes, pressupondo-
se o conhecimento de suas posições planimétricas, visando à representação altimétrica 
da superfície levantada. 
Compreende o conjunto de operações necessárias para a determinação de pontos e 
feições do terreno que, além de serem projetados sobre um plano horizontal de 
referência, terão sua representação em relação a um plano de referência vertical ou de 
nível através de suas coordenadas X, Y e Z (representação tridimensional). 
11.3 Levantamento Topográfico Planialtimétrico 
Levantamento topográfico planimétrico acrescido da determinação altimétrica do relevo 
do terreno e da drenagem natural. 
 
Apostila de Topografia – Curso > Meio Ambiente 
Topografia – Professor Emerson Liberio 34 
12.0 TAQUEOMETRIA 
12.1 Princípios Gerais 
A Taqueometria, do grego “takhys” (rápido), “metren” (medição), compreende uma 
série de operações que constituem um processo rápido e econômico para a obtenção 
indireta da distância horizontal e diferença de nível. O instrumento utilizado é o 
teodolito provido de fios estadimétricos, que além de medir ângulos, acumula, também, 
a função de medir oticamente as distâncias horizontais e verticais. São feitas as leituras 
processadas na mira com auxílio dos fios estadimétricos, bem como o ângulo de 
inclinação do terreno, lido no limbo vertical do aparelho. 
12.2 Cálculos da Distância Horizontal e Diferença de nível 
A determinação indireta de uma distância está detalhadamente descrita no capítulo de 
Planimetria, procedendo-se de forma idêntica neste caso. 
 
Recordando, a fórmula de determinação indireta da distância horizontal, deduzida da 
figura 4.1 é a seguinte: 
DH = 100.I.cos² α 
ou 
DH = 100.I.sen² Z 
onde: 
DH é a distância horizontal; 
I é o intervalo de leituras na mira; 
α é o ângulo vertical; e 
Z é o ângulo zenital. 
 
FI = (FM x 2) - FS 
FM = (FS + FI) /2 
FS = (FM x 2) – FI 
DH=(FS-FI)x100 
 
Apostila de Topografia – Curso > Meio Ambiente 
Topografia – Professor Emerson Liberio 35 
 
12.3 Determinações da diferença de nível 
A diferença de nível obtém-se de forma idêntica aquela descrita no capítulo de 
altimetria, no item referente ao nivelamento trigonométrico. 
Sendo assim, a fórmula do cálculo da diferença de nível entre dois pontos pelo 
nivelamento trigonométrico, deduzida no item acima especificado, é a seguinte: 
DN = DH.tg α - FM + Ai 
onde: 
DH = distância horizontal entre os dois pontos; 
α = ângulo de inclinação; 
FM = leitura Lc, realizada na mira com a linha de vista central; 
Ai = altura do centro ótico da luneta até o ponto topográfico. 
ou 
DN = DH.cotg Z - FM + Ai 
sendo que Z é o ângulo zenital. 
Substituindo a fórmula da distância horizontal anteriormente vista: 
DN = 100.I.cos² α.tg α - FM + Ai 
sendo: 
tg α = sen α / cos α 
temos: 
DN = 100.I.cos² α.(sen α / cos α) - FM + Ai 
DN = 100.I.cos α.sen α - FM + Ai 
sendo: 
cos α.sen α = ½ .sen (2.α) 
temos: 
DN = 100.I.½ .sen (2.α) - FM + Ai 
DN = 50.I.sen (2.α) - FM + Ai 
ou 
DN = 50.I.sen (2.Z) - FM + Ai 
 
12.4 Técnicas de Levantamento Taqueométrico pelo processo da Irradiação 
O levantamento taqueométrico é usado principalmente para definição planialtimétrica 
de parcelas do terreno, realizado através de poligonais e de irradiações a partir dos 
vértices das poligonais. A poligonal, desenvolvida em geral ao longo do contorno da 
área considerada, serve de arcabouço. Todo levantamento, enquanto as irradiações têm 
por finalidade a determinação dos pontos capazes de definirem os acidentes aí existentes 
e de caracterizarem o relevo do terreno. 
O método correntemente empregado é o de num vértice de coordenadas conhecidas, 
obtidas através da poligonação, ou mesmo de uma triangulação, levantar os pontos em 
todas as direções que definam nitidamente as feições da superfície terrestre necessárias 
ao trabalho que se está realizando. 
Para a boa prática das operações é essencial que o vértice onde o instrumento é 
estacionado seja nivelado com precisão, pois um vértice mal nivelado afetará, 
naturalmente, o cálculo de todas as cotas ou altitudes dos pontos e, consequentemente, o 
Apostila de Topografia – Curso > Meio Ambiente 
Topografia – Professor Emerson Liberio 36 
traçado das curvas de nível. O exemplo a seguir é de um levantamento taqueométrico 
pelo processo da irradiação. O teodolito foi estacionado na estaca A e irradiaram visadas 
para três pontos. Sabe-se que: AzA1 = 330º00’00”, CA = 20,00 m e Ai = 1,60 m. 
 
13.0 COORDENADAS GEOGRÁFICAS 
 
O sistema de mapeamento da Terra, através de coordenadas geográficas, expressa 
qualquer posição horizontal sobre o planeta através de duas das três coordenadas 
existentes num sistema esférico de coordenadas, alinhadas com o eixo de rotação da 
Terra. 
 
13.1 Localização Absoluta 
 
Para localizar qualquer lugar, na superfície terrestre, de forma exata é necessário 
usar duas indicações, uma letra e um número. Temos que utilizar elementos de 
referência que nos permitam localizar com exatidão qualquer lugar da Terra. A 
rede cartográfica ou geográfica nos dá a indicação das coordenadas geográficas. Os 
pontos de orientação dão um rumo, isto é, uma direção, mas não permitem 
localizar com exatidão um ponto na superfície terrestre. 
Assim, quando dizemos que a área X está a leste de Y, não estamos dando 
a localização precisa dessa área, mas apenas indicando uma direção. Para saber 
com exatidão onde se localiza qualquer ponto da superfície terrestre — uma 
cidade, um porto, uma ilha, etc. — usamos as coordenadas geográficas. As 
coordenadas geográficas baseiam-se em linhas imaginárias traçadas sobre o globo 
terrestre: 
 
 Os paralelos são linhas paralelas ao equador — a própria linha imaginária 
do equador é um paralelo; 
 Os meridianos são linhas semicirculares, isto é, linhas de 180° — eles vão do 
Polo Norte ao Polo Sul e cruzam com os paralelos. 
 
Cada meridiano possui o seu antemeridiano, isto é, um meridiano oposto 
que, junto com ele, forma uma circunferência. Todos os meridianos têm o mesmo 
tamanho. Convencionou-se que o meridiano de Greenwich, que passa pelos 
arredores da cidade de Londres, na Inglaterra, fosse o meridiano principal. 
A partir dos paralelos e meridianos, estabeleceram-se as coordenadas 
geográficas, que são medidas em graus, para localizar qualquer ponto da superfície 
terrestre. 
Latitude é a coordenada geográfica ou geodésica definida na esfera, no elipsoide 
de referência ou na superfície terrestre, que é o ângulo entre o plano do equador e a 
normal à superfície de referência. A latitude mede-se para norte e para sul do equador, 
entre 90º sul, no Polo Sul (ou polo antártico) (negativa), e 90º norte, no Polo Norte (ou 
polo ártico) (positiva). A latitude no equador é igual a 0º. 
Apostila de Topografia – Curso > Meio Ambiente 
Topografia – Professor Emerson Liberio 37 
Longitude, algumas vezes representada pela letra grega λ(lambda), descreve a 
localização de um lugar na Terra medido em graus, de zero a 180 para leste ou para 
oeste,a partir do Meridiano de Greenwich. Diferentemente da latitude, que tem a linha 
do Equador como um marco inicial natural, não ha uma posição inicial natural para 
marcar a longitude. Portanto, um meridiano de referencia tinha que ser escolhido. 
 
13.2 Sistemas de Coordenadas Geográficas 
 
Existem pelo menos quatro modos de designar uma localização exata para qualquer 
ponto no globo terrestre. 
Nos três primeiros sistemas, o globo é dividido em latitudes, que vão de 0 a 90º 
(Norte ou Sul) e longitudes, que vão de 0 a 180º (Leste ou Oeste). Para efeitos 
práticos, usam-se as siglas internacionais para os pontos cardeais: N=Norte, S=Sul, 
E=Leste/Este, W=Oeste. 
Para as latitudes, o valor de cada unidade é bem definido, pois o grande círculo tem 
20.003,93km, dividindo este último por 180, conclui-se que um grau (°) equivale a 
111,133km. Dividindo um grau por 60, toma-se que um minuto (') equivale a 
1.852,22m. Dividindo um minuto por 60, tem-se que um segundo (") equivale a 
30,87m. 
Para as longitudes, há um valor específico para cada posição, que aumenta de 0 nos 
Polos até a Linha do Equador, onde está o seu valor máximo. 
Como forma de se demonstrar as diferenças entre cada um dos sistemas, usar-se-á 
o exemplo para as coordenadas de um lugar específico: a Catedral Metropolitana de 
Porto Alegre. 
 
13.3 Graus - Minutos - Segundos 
 
Neste sistema, cada grau é dividido em 60 minutos, que por sua vez se subdividem, 
cada um, em 60 segundos. A partir daí, os segundos podem ser divididos decimal mente 
em frações cada vez menores. 
Deste modo, a localização da Catedral neste sistema é: 30°01'59,512"S e 
51°14'07,012"W. 
 
13.4 Graus - Minutos Decimais 
Neste sistema, cada grau é dividido em 60 minutos, que por sua vez são divididos 
decimalmente. 
A localização da Catedral fica sendo: 30°01,992'S e 51°14,117'W. 
 
13.5 Graus Decimais 
Neste sistema, cada grau é dividido em frações decimais. A forma de nomeação difere 
um pouco dos dois primeiros sistemas: a latitude recebe a abreviatura lat e a longitude, 
lon. Há valores positivos e negativos. Os valores positivos são para o Norte (latitude) e 
o Leste (longitude) e não recebem um símbolo específico. Os valores negativos são para 
o Sul (latitude) e o Oeste (longitude), sendo acrescidos do símbolo -. 
Apostila de Topografia – Curso > Meio Ambiente 
Topografia – Professor Emerson Liberio 38 
A Catedral tem aqui esta localização: lat -30,0331977° e lon - 51,2352811°. 
 
13.6 Coordenadas UTM 
Sistema referencial de localização terrestre baseado em coordenadas métricas definidas 
para cada uma das 60 zonas UTM, múltiplas de 6 graus de longitude, na Projeção 
Universal Transversal de Mercator e cujos eixos cartesianos de origem são o Equador, 
para coordenadas N (norte) e o meridiano central de cada zona, para coordenadas E 
(leste), devendo ainda ser indicada a zona UTM da projeção. As coordenadas N (norte) 
crescem de S para N e são acrescidas de 10.000.000 (metros) para não se ter valores 
negativos ao sul do Equador que é a referência de origem; já as coordenadas E (leste) 
crescem de W para E, acrescidas de 500.000 (metros) para não se ter valores negativos a 
oeste do meridiano central. 
Observar que enquanto o sistema de coordenadas geográficas, angulares, em graus, 
minutos e segundos é de uso geral para referenciar qualquer ponto da Terra, o sistema 
UTM, além de limitado pelos paralelos 80º S e 84º N, deve contar com a indicação da 
Zona UTM, pois as mesmas coordenadas métricas N e E repetem-se em todas as 60 
zonas. As projeções de linhas meridianas geográficas em mapas próximos das bordas 
das zonas (múltiplas de 6º de longitude) mostram ângulo com as linhas cartesianas do 
sistema UTM. Exemplo de coordenadas UTM: Zona 23, N 8.569.300, E 645.750 o que 
significa que o ponto referenciado acha-se entre 36 e 48º W (zona 23), 145.750 m a 
leste do meridiano central (no caso 39º W) e 1.430.700 m a sul do Equador. 
 
13.7 Coordenadas Retangulares 
Pela facilidade e rapidez das operações, este método é especialmente indicado para 
levantamento de detalhes que apresentam configuração curvilínea; tais detalhes 
normalmente são encontrados em sinuosidades de rios e em algumas divisas de 
propriedades. 
Neste processo, a posição do ponto topográfico de interesse é definida pela medição de 
suas coordenadas retangulares (x, y). Um dos lados da poligonal de apoio servirá como 
eixo de referência para a medição das abscissas e ordenadas. 
 
14.0 DATUM 
O Datum indica o ponto de referência a partir do qual a representação gráfica dos 
paralelos e meridianos, e consequentemente de todo o resto que for desenhado na carta, 
está relacionado. A diferença entre os data (plural de Datum) são baseadas em modelos 
matemáticos distintos da forma e dimensões da Terra e do fator adicional da projeção, 
seja por razões históricas, seja para garantir uma representação gráfica mais 
proporcionada; tomando como exemplo o Japão, onde usam um ponto de projeção que 
não está no centro da terra, mas em algum lugar sob o Japão, isto permite uma menor 
distorção na projeção de uma esfera sobre o plano, quando o Japão é representado, mas, 
no entanto o uso dessa mesma projeção para os EUA resultaria em um mapa muito 
estranho! 
Apostila de Topografia – Curso > Meio Ambiente 
Topografia – Professor Emerson Liberio 39 
A importância do Datum prende-se com a necessidade de projetar um corpo curvo e a 
três dimensões (a Terra), num plano a duas dimensões, mantendo, no entanto os 
cruzamentos em ângulo retos dos meridianos e paralelos (o mapa). 
A primeira abordagem de sucesso foi a famosa projeção de Mercator, em que a Terra é 
transformada num cilindro que toca a superfície terrestre no equador (Latitude 0º 0' 0"). 
Posteriormente surgiram outras em que um cone intercepta a Terra em duas latitudes 
com pontos acima do polo, e outra ainda é a de um cilindro tocando a Terra numa 
determinada latitude ou longitude. Todas estas projeções criam representações gráficas 
diferentes, ou seja, datas diferentes. 
 
15.0 CÁLCULO DE COORDENADAS UTM. (UNIVERSAL TRANSVERSA DE 
MERCARTOR) 
Consiste em calcular coordenadas determinando: 
 Pontos; 
 Determinar ∆x e ∆y; 
 Determinar os rumos; 
 Determinar as distâncias; 
 Determinar os Azimutes; 
 Determinar as deflexões; 
 Determinar os ângulos da poligonal; 
 Desenhar a poligonal; 
 Calcular os erros de tolerância. 
 
Exemplos: Calcular as coordenadas e desenhar a poligonal: 
 
1. Determinação dos Pontos: 
PONTOS 
COORDENADAS 
DISTÂNCIAS ORIENTAÇÃO 
X (LESTE) Y (NORTE) 
A 3412 2462 AB SW 
B 3320 2360 BC SE 
C 3382 2254 CD NE 
D 3530 2288 DE SE 
E 3712 2224 EF NE 
F 3773 2384 FG NW 
G 3590 2488 GA SW 
 
2. Determinação ∆x e ∆y: 
∆x ∆y 
 
 
 
 
 
 
 
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Topografia – Professor Emerson Liberio 40 
3. Determinação dos Rumos: 
Fórmula: ϴarc.tg ∆x 
 ∆y 
AB= BC= CD= DE= EF= FG= GA= 
 
Obs: Não existe rumo negativo (neste caso desconsideramos os sinais). 
 
4. Determinação das Distâncias: 
 
Fórmula: D AB= √ (∆X AB)² + (∆Y AB)² 
 
5. Determinação dos Azimutes: 
NE >> AZ = ϴ 
SE > >AZ= 180º - ϴ 
SW >>AZ = 180º+ ϴ 
NW >>AZ = 360º - ϴ 
 
6. Cálculo das deflexões: 
1. Defl. AB = AZ AB – AZ GA 
2. Defl. BC = AZ BC – AZ AB 
3. Defl. CD = AZ CD – AZ BC 
4. Defl. DE = AZ DE – AZ CD 
5. Defl. EF = AZ EF – AZ DE 
6. Defl. FG = AZ FG – AZ EF 
7. Defl. GA = AZ GA – AZ FG 
 
7. Cálculo do Ângulo da Poligonal: 
1. αAB = δAB + 180º => 
2. αBC = δBC + 180º => 
3. αCD= δCD + 180º => 
4. αDE = δDE + 180º => 
5. αEF = δEF + 180º => 
6. αFG = δFG + 180º => 
7. αGA = δGA + 180º => 
 
8. Desenho da poligonal: A ser desenhado em sala de aula. 
9. Calcular os erros - Método das deflexões (mais simples e preciso): 
∑ Deflexões à direita: ______________________. 
∑ Deflexões à esquerda: Valores expressos em minutos). 
 
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Topografia – Professor Emerson Liberio 41 
10. Cálculo da área: Teorema de GAUSS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
Calcular a poligonal abaixo: 
PONTOS COORDENADAS ORIENTAÇÃO 
X (E) Y (N) 
1. A 30131,101 8347,324 AB – NE 
2. B 30315,147 8353,947 BC – NE 
3. C 30453,449 8410,202 CD – NE 
4. D 30653,218 8609,650 DE – NW 
5. E 30642,974 8829,555 EF – NW 
6. F 30545,650 8885,809 FG – NW 
7. G 30438,660 9104,794 GH – NW 
8. H 30317,889 9192,644 HI – NW 
9. I 30313,123 9338,637 IJ – NW 
10. J 30150,255 9428,974 JK – SW 
11. K 29980,149 9414,520 KL – SW 
12. L 29795,565 9353,091 LM – SW 
13. M 29737,656 9194,009 MN – SE 
14. N 29821,006 9088,578 NO – SW 
15. O 29755,859 9001,855 OP – SW 
16. P 29730,524 8770,593 PQ – SE 
17. Q 29763,098 8676,643 QR – SE 
18. R 29835,484 8597,146 RS – SE 
19. S 29988,634 8574,373 ST – SE 
20. T 30012,485 8498,504 TU – SE 
21. U 30143,719 8468,268 UA - SO 
 
 
 
 
Pontos Leste (X) X*Y Norte (Y) Y*X 
A 8.052.320,00 8.173.840,00 
B 7.483.280,00 7.981.520,00 
C 7.738.016,00 7.956.620,00 
D 7.850.720,00 8.493.056,00 
E 8.849.408,00 8.391.152,00 
F 9.387.224,00 8.558.560,00 
RESULTADO 
∑X 58.199.548,00 
 
∑Y 58.043.804,00 
 
Área = (∑X - ∑Y) / 2 
Área total: 77.872,00 m² 
 
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Topografia – Professor Emerson Liberio 42 
13.0 ERROS 
DETERMINAÇÃO DO ERRO DE FECHAMENTO ANGULAR (Efa) 
Após a leitura dos ângulos à direita da poligonal (internos ou externos), faz-se uma verificação 
do fechamento angular. 
ÂNGULOS DA POLIGONAL 
 
 
 
 
 
 
 
SOMA DOS ÂNGULOS 
 
 
Os valores teóricos são dados pelas fórmulas: 
a - Para ângulos internos (Ai ): 
ΣAi = 180º (− 2) 
b - Para ângulos externos (Ae): 
ΣAe = 180º (+ 2) 
Onde: n = número de vértices da poligonal 
Para o exemplo, têm-se ângulos internos, onde n = 7. 
Σ =180 (7 − 2) = ____________________ 
Sabe-se que o erro de fechamento angular (Efa) e dado pela fórmula (7.3) quando o ângulo 
medido é interno; ou pela fórmula (7.4) quando o ângulo medido é externo: 
=Σ −Σ CAMPO i Efa A A (7.3) ou =Σ −Σ CAMPO e Efa A A (7.4) 
Nas Medições Diretas 
Aqui as medições são feitas duplamente (ida e volta), mas qualquer discrepância encontrada 
entre medições feitas sob condições similares, não revela nenhum erro sistemático. As medições 
duplas servem para detectar enganos, frequentemente cometidos. Em condições médias, para a 
medição direta, um trabalho razoável é representado pela relação 1/2000 ou 1/1000 para 
levantamentos expeditos. 
As principais fontes de erro nas medições diretas são as seguintes: 
a) comprimento incorreto do diastímetro: 
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Topografia – Professor Emerson Liberio 43 
O comprimento de uma trena de aço varia com as condições de temperatura, tração e flexão; 
portanto um diastímetro é dito de comprimento correto somente sob determinadas condições. 
Isto produz um erro sistemático que pode ser praticamente anulado, aplicando-se correções. 
b) Diastímetro não na horizontal: 
Frequentemente, um declive engana o operador e a tendência é segurar a corrente, na parte mais 
baixa do declive, em posição mais baixa. Em trabalhos comuns, esta é uma das maiores fontes 
de erros. Será um erro acumulativo, para mais. 
c) Alinhamento incorreto: 
O operador cravando as fichas ora de um lado, ora de outro do alinhamento correto, causam 
erros provenientes da má orientação do auxiliar de ré. Isto produz um erro sistemático variável, 
que poderá ser reduzido pelo cuidado nas operações. Resultam valores maiores e, portanto são 
erros positivos. 
d) Inclinação das balizas: 
Se, por falta de cuidado, o auxiliar inclina a baliza, ao invés de mantê-la na vertical, o 
diastímetro estará medindo um valor maior ou menor, conforme a inclinação da baliza. 
e) Catenária: 
É um erro que ocorre sempre que o diastímetro for suportado pelas extremidades; devido ao 
peso próprio da corrente, faz que surja uma curvatura ao invés de se medir em reta, ficando a 
distância horizontal entre os pontos menor do que usando a corrente estivesse inteiramente 
suportada ou colocada sobre o solo. A flecha formada ou catenária pode ser diminuída, 
aplicando-se tensões mais fortes. 
Nas Medições Indiretas 
Enquanto na medição direta de distâncias, a maioria dos erros é sistemática, e por isto a precisão 
de tais levantamentos varia diretamente com a distância, nas medições indiretas, por 
estadimetria, a precisão dependerá dos erros cometidos nas leituras dos ângulos horizontais e 
verticais e nas leituras dos retículos. Como os erros provenientes da leitura de ângulos são 
acidentais, o erro principal cometido é na observação dos 
retículos interceptando a mira, que também é um erro acidental, supondo a mira mantida na 
posição vertical. Assim, é de se esperar que os erros variem com a raiz quadrada da distância, o 
que é uma das mais importantes vantagens que a estadimetria apresenta sobre a medição direta. 
Nos Ângulos de fechamento 
a) Determinação: 
O erro pode ser determinado, logo no final do levantamento no campo, por duas maneiras: 
· por diferença entre azimutes: 
Tomando-se por base o azimute inicial MP-1 (de saída), que foi lido no círculo horizontal e 
comparando com o azimute final MP-1 (de chegada) que foi calculado em função das sucessivas 
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Topografia – Professor Emerson Liberio 44 
deflexões e azimutes dos alinhamentos anteriores, tem-se por diferença, o erro angular de 
fechamento. 
OBS.: É bom lembrar que o primeiro azimute é lido, e os outros serão calculados. 
Azimutes lidos e calculados. 
Pelas deflexões (mais simples e preciso): 
Como a poligonal é fechada, evidentemente, deveria “fechar” com 0º ou 360º. E como se tem 
deflexões á direita e á esquerda, a diferença entre os somatórios das duas colunas de deflexões 
deveria teoricamente ser igual a 0º ou 360º. A diferença para mais ou para menos de 360º, será o 
erro angular de fechamento, que logicamente será igual ao valor encontrado pelas diferenças de 
azimutes do alinhamento MP - 1. Assim, o erro angular será: 
b) Limite do erro - tolerável: 
O erro angular de fechamento encontrado ao final do levantamento será comparado com o erro 
máximo permissível, que será função do número de estações ou vértice do polígono. Os 
diversos autores não são unânimes quanto ao valor deste limite, que é baseado na lei da 
propagação dos erros; entretanto, a maioria deles recomenda que o limite de tolerânciaN ou 
até o dobro desse valor, sendo N o número de estações do aparelho usadas no levantamento e o 
erro será expresso em minutos. Assim, poder-se-ia dizer que o valor do erro angular estando 
dentro desses limites indicariam: 
N = índice de um bom trabalho 
2* N = índice de um trabalho aceitável 
Entretanto, a bibliografia mostra que o erro angular de fechamento não dá total segurança 
quanto ao julgamento de um levantamento. O valor encontrado é simplesmente um resíduo dos 
erros acidentais, pois podem ocorrer as compensações naturais durante o trabalho; assim 
errando-se um ângulo num sentido, esse erro poderá ser total ou parcialmente anulado pelo erro 
seguinte cometido em direção