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Lajes e Vigas

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Moro 23 
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Figura 6 - Momentos das lajes Horizontais – Seção C e D 
 
 
 
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4.2 Balanceamento de Momentos 
4.2.1 SEÇÃO A 
 
Balanceamento dos momentos negativos 
L1 – L3 
𝑚′𝐿1 = −4,10𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚′𝐿3 = −7,45𝑘𝑁. 𝑚 
4,10
7,45
= 0,55 < 0,6 (0,8. > 𝑚′) 
𝑚′𝐿1−𝐿3 = 0,8 𝑥 − 7,45𝑘𝑁. 𝑚 = 5,96𝑘𝑁. 𝑚 
 
L3 – L5 
𝑚′𝐿3 = −7,45𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚′𝐿5 = −7,91𝑘𝑁. 𝑚 
7,45
7,91
= 0,94 > 0,6 (𝑚é𝑑𝑖𝑎) 
𝑚′𝐿3−𝐿5 =
7,45 + 7,91
2
= 7,68𝑘𝑁. 𝑚 
 
Balanceamento dos momentos positivos 
m𝐿1 = 2,31 +
(4,10 − 5,96)
2
= 1,38𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚𝐿3 = 3,11 +
(7,45 − 5,96)
2
+
(7,45 − 7,68)
2
= 3,74𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚𝐿5 = 2,91 +
(7,91 − 7,68)
2
= 3,02𝑘𝑁. 𝑚 
 
 
 
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4.2.2 SEÇÃO B 
 
Balanceamento dos momentos negativos 
L6 – L7 
𝑚′𝐿6 = −9,06𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚′𝐿7 = −3,45𝑘𝑁. 𝑚 
3,46
9,06
= 0,38 < 0,6 (0,8. > 𝑚′) 
𝑚′𝐿6−𝐿7 = 0,8 𝑥 − 9,06𝑘𝑁. 𝑚 = −7,25𝑘𝑁. 𝑚 
 
Balanceamento dos momentos positivos 
m𝐿6 = 3,62 +
(9,06 − 7,25)
2
= 4,52𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚𝐿3 = 1,94 +
(3,45 − 7,25)
2
= 0,04𝑘𝑁. 𝑚 
L4 e L1 não necessitam de balanceamento 
 
4.2.3 SEÇÃO C 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Balanceamento dos momentos negativos 
L2 – L3 
𝑚′𝐿2 = −4,81𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚′𝐿3 = −5,74𝑘𝑁. 𝑚 
4,81
5,74
= 0,84 > 0,6 (𝑚é𝑑𝑖𝑎) 
𝑚′𝐿2−𝐿3 =
(4,81 + 5,74)
2
= 5,28𝑘𝑁. 𝑚 
 
Balanceamento dos momentos positivos 
m𝐿3 = 1,51 +
(5,74 − 5,28)
2
= 1,74𝑘𝑁. 𝑚 
 
4.2.4 SEÇÃO D 
 
Balanceamento dos momentos negativos 
L2 – L5 
𝑚′𝐿2 = −4,81𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚′𝐿5 = −7,45𝑘𝑁. 𝑚 
4,81
7,45
= 0,64 > 0,6 (𝑚é𝑑𝑖𝑎) 
𝑚′𝐿2−𝐿5 =
(4,81 + 7,45)
2
= 6,13𝑘𝑁. 𝑚 
L5 – L6 
𝑚′𝐿5 = −7,45𝑘𝑁. 𝑚 
𝑚′𝐿6 = −7,85𝑘𝑁. 𝑚 
7,45
7,85
= 0,95 > 0,6 (𝑚é𝑑𝑖𝑎) 
𝑚′𝐿2−𝐿5 =
(7,45 + 7,85)
2
= 7,65𝑘𝑁. 𝑚 
 
Balanceamento dos momentos positivos 
m𝐿5 = 2,21 +
(7,45 − 6,13)
2
+
(7,45 − 7,65)
2
= 2,77𝑘𝑁. 𝑚 
m𝐿6 = 2,21 +
(7,85 − 7,65)
2
= 2,31𝑘𝑁. 𝑚 
 
 
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Figura 7 - Momentos das lajes balanceados 
 
 
 
 
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5 Dimensionamento a flexão 
5.1 Lajes 
5.1.1 Armadura mínima 
 
Para o dimensionamento das lajes, primeiramente podemos determinar a armadura mínima 
conforme prescrita pela norma, conforme Tab 11.6 da apostila, conforme abaixo. Desta forma 
podemos o momento mínimo (5.1.2) e compará-lo aos momentos atuantes nas lajes, e calcular 
apenas os trechos que são necessários. 
Forma de 
Seção 
Valores de ρmin (Asmin/Ac) 
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 
Retangular 0,150 0,150 0,150 0,164 0,179 0,194 0,208 0,211 0,219 0,226 0,233 0,239 0,245 0,251 0,256 
Fonte: NBR-6118/14 – Tabela 17.3 
 
Sendo o concreto utilizado fck 25 Mpa, adota-se: 
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛/𝐴𝑐 = 𝜌𝑚𝑖𝑛 
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛/𝐴𝑐 = 0,150 
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 
0,150 
100
𝑥 𝐴𝑐 
𝜌𝑚𝑖𝑛 Taxa mínima de armadura, em porcentagem; 
𝐴𝑐 Área de concreto em cm² 
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 Área mínima de aço em cm² 
 
Para lajes de 12cm 
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 
0,150 
100
𝑥 12𝑥100 = 1,8 𝑐𝑚2/𝑚 
 
Para lajes de 14cm 
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 
0,150 
100
𝑥 14𝑥100 = 2,1𝑐𝑚2/𝑚 
 
Armaduras 
Adotando-se Ø 6,3mm 𝐴𝑠Ø = 0,31𝑐𝑚² 
h= 12 cm 𝐴𝑠 = 1,8 𝑐𝑚
2/𝑚 
𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴𝑠∅
= 
1,8
0,31
= 5,81 ≅ 6 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑆 =
100
(𝑛 − 1)
=
100
(6 − 1)
= 20 𝑐𝑚 
 
 
 
 
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Adotando-se Ø 6,3mm 𝐴𝑠Ø = 0,31𝑐𝑚² 
h= 14 cm 𝐴𝑠 = 2,1 𝑐𝑚
2/𝑚 
 
𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴𝑠∅
= 
2,1
0,31
= 6,77 ≅ 7 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑆 =
100
(𝑛 − 1)
=
100
(7 − 1)
= 16,67 ≅ 16 𝑐𝑚 
 
Desta forma, as armaduras mínimas para as lajes são: 
h=12cm Ø 6,3mm c/20 cm 
h=14cm Ø 6,3mm c/16 cm 
 
5.1.2 Momento mínimo 
 
Para a determinação do momento mínimo, deve-se determinar a linha neutra para a 
armadura mínima, obtendo desta forma o momento resistente para esta área de aço, conforme 
item 7.1.4 da apostila. 
 
Para as lajes de 12 cm 
 
𝑑 = 12 − 2,5 − 1,0 = 8,5𝑐𝑚 
𝑥 =
𝐴𝑠. 𝜎𝑠𝑑
0,68. 𝑏. 𝑓𝑐𝑑
 → 𝑥 =
1,8.
50
1,15
0,68.100.
2,5
1,4
 → 𝑥 = 0,644 𝑐𝑚 
𝑀𝑑 = 0,68 𝑥 100 𝑥 0,644 𝑥
2,5
1,4
 (8,5 − 0,4 𝑥 0,644) = 644,55 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 = 6,44 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀𝑘 = 
6,44
1,4
= 4,60 𝑘𝑁. 𝑚 
 
Para as lajes de 14 cm 
 
𝑑 = 14 − 2,5 − 1,0 = 10,5 𝑐𝑚 
𝑥 =
𝐴𝑠. 𝜎𝑠𝑑
0,68. 𝑏. 𝑓𝑐𝑑
 → 𝑥 =
2,1.
50
1,15
0,68.100.
2,5
1,4
 → 𝑥 = 0,752 𝑐𝑚 
𝑀𝑑 = 0,68 𝑥 100 𝑥 0,752 𝑥
2,5
1,4
 (10,5 − 0,4 𝑥 0,752) = 931,33 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 = 9,31 𝑘𝑁. 𝑚 
𝑀𝑘 = 
9,31
1,4
= 6,65 𝑘𝑁. 𝑚 
 
 
 
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5.1.3 Dimensionamento à Flexão 
 
Para o dimensionamento a flexão, utilizaremos a formula para a linha neutra com a 
condição de fck < 50 Mpa, conforme a seguir: 
 
𝑥 = 1,25. 𝑑 [1 − (√1 −
𝑀𝑑
0,425. 𝑏𝑤. 𝑑2𝑓𝑐𝑑
)] 
 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑓𝑦𝑘
𝛾𝑠
. (𝑑 − 0,4. 𝑋)
 
 
 
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Figura 8 - Momentos destacados, estão acima do momento mínimo 
5.1.4 Momentos Positivos 
Laje L.4 
𝑀𝑘+ = 8,60 𝑘𝑁. 𝑚 
d = 10,5 cm 
𝑥 = 1,25.10,5 [1 − (√1 −
8,60𝑥100𝑥1,4
0,425.100. 10,52.
2,5
1,4
)] = 0,98𝑐𝑚 
 
𝐴𝑠 =
8,6𝑥100𝑥1,4
50
1,15
. (10,5 − 0,4.0,98)
= 2,74𝑐𝑚2/𝑚 
 
 
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Adotando-se Ø 6,3mm 𝐴𝑠Ø = 0,31𝑐𝑚² 
𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴𝑠∅
= 
2,74
0,31
= 8,84 ≅ 9 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑆 =
100
(𝑛 − 1)
=
100
(9 − 1)
= 12,5 𝑐𝑚 
 
5.1.5 Momentos negativos 
Laje L.1-L.3 
𝑀𝑘− = 5,96 𝑘𝑁. 𝑚 
d = 8,5 cm 
𝑥 = 1,25.8,5 [1 − (√1 −
5,96𝑥100𝑥1,4
0,425.100. 8,52.
2,5
1,4
)] = 0,842𝑐𝑚 
 
𝐴𝑠 =
5,96𝑥100𝑥1,4
50
1,15
. (8,5 − 0,4.0,842)
= 2,35𝑐𝑚2/𝑚 
 
Adotando-se Ø 6,3mm 𝐴𝑠Ø = 0,31𝑐𝑚² 
𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴𝑠∅
= 
2,35
0,31
= 7,58 ≅ 8 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑆 =
100
(𝑛 − 1)
=
100
(8 − 1)
= 14,28 ≅ 14 𝑐𝑚 
 
Laje L.2-L.3 
𝑀𝑘− = 5,28 𝑘𝑁. 𝑚 
d = 8,5 cm 
𝑥 = 1,25.8,5 [1 − (√1 −
5,28𝑥100𝑥1,4
0,425.100. 8,52.
2,5
1,4
)] = 0,742𝑐𝑚 
𝐴𝑠 =
5,28𝑥100𝑥1,4
50
1,15
. (8,5 − 0,4.0,742)
= 2,07𝑐𝑚2/𝑚 
 
Adotando-se Ø 6,3mm 𝐴𝑠Ø = 0,31𝑐𝑚² 
𝑛 =
𝐴𝑠
𝐴𝑠∅
= 
2,07
0,31
= 6,68 ≅ 7 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑆 =
100
(𝑛 − 1)
=
100
(7 − 1)
= 16,66 ≅ 16 𝑐𝑚 
 
Laje L.2-L.5 
𝑀𝑘− = 6,13 𝑘𝑁. 𝑚 
d = 8,5 cm 
 
 
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