APS- Cálculo Estrutural de uma Laje, uma Viga e um Pilar de Concreto Armado 7° Semestre

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UNVERSIDADE PAULISTA – UNIP 
Engenharia Civil 10° semestre 
 
 
 
 
 
 
ISRAEL DE SOUZA LENADRO 
 
 
 
 
 
 
APS – Atividades Práticas Supervisionadas 
 Cálculo Estrutural de uma Laje, uma Viga e um Pilar de Concreto Armado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ribeirão Preto – SP 
2020 
 
 
ISRAEL DE SOUZA LENDRO 
RA: C09EEC-5 TURMA:TT0T18 
 
 
 
 
 
 
 
 
APS – Atividades Práticas Supervisionadas 
Cálculo Estrutural de uma Laje, uma Viga e um Pilar de Concreto Armado 
 
 
 
 
 
 
Esse trabalho técnico apresentado 
como requisito parcial para obtenção 
de aprovação na disciplina 584x 
Atividade Pratica Supervisionada, 7° 
semestre, do curso de engenharia civil 
na universidade paulista de Ribeirão 
Preto. 
 
 
Orientador: Prof. Mestre Fernando 
Brant 
 
 
 
 
 
 
 
Ribeirão Preto – SP 
2020 
 
 
RESUMO 
Este trabalho apresenta o pré-dimensionamento estrutural de uma residência de 
pequeno porte, isso é um fator primordial para que possa ser calculado todas as 
etapas do projeto, através deste é possível saber o peso próprio da estrutura. Este 
cálculo é dividido em três etapas: lajes, vigas e pilares, o conhecimento das dimensões 
permite determinar os vãos equivalentes e as rigidezes, necessários no cálculo das 
ligações entre os elementos. Será utilizada a norma NBR 6118/3 (NORMA 
BRASILEIRA 6118 PROJETOS DE ESTRUTURAS DE CONCRETO) e NBR-6120: 
(CARGAS PARA O CÁLCULO DE ESTRUTURAS DE EDIFICAÇÕES), que 
regulamenta todo tipo de construções feitas com concreto. Falarei sobre os materiais, 
concreto e aço, seus conceitos e suas propriedades principais, como eles trabalham 
quando são solicitados e quais as condições limites de tensão e deformação de cada 
um. Além disso, quais são os tipos de ações que podem atuar em uma estrutura e 
como o grau de agressividade do ambiente pode influenciar no dimensionamento. 
Primeiramente será mostrado a criação do concreto armado e a importância dessa 
junção dos materiais para formação das estruturas. A função do aço junto com o 
concreto e o funcionamento conjunto desses dois matérias com exemplos e imagens, 
vamos aprender a analisar uma planta de estruturas, considerando todas as partes da 
construção, analisando parte por parte e por fim todas em conjunto, como de fato 
serão construídas. 
Palavras-chave: Dimensionamento, estrutura, construção, concreto armado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ABSTRACT 
This work presents the structural pre-dimensioning of a small residence, this is a key 
factor so that all stages of the project can be calculated, through this it is possible to 
know the structure's own weight. This calculation is divided into three stages: slabs, 
beams and columns, the knowledge of the dimensions allows to determine the 
equivalent spans and stiffnesses, necessary in the calculation of the connections 
between the elements. The standard NBR 6118/3 (BRAZILIAN STANDARD 6118 
CONCRETE STRUCTURES PROJECTS) and NBR-6120 will be used: (LOADS FOR 
THE CALCULATION OF BUILDING STRUCTURES), which regulates all types of 
constructions made with concrete. I will talk about the materials, concrete and steel, 
their concepts and their main properties, how they work when they are requested and 
what are the limit conditions of stress and deformation of each one. In addition, what 
are the types of actions that can act on a structure and how the degree of 
aggressiveness of the environment can influence the dimensioning. Firstly, the 
creation of reinforced concrete and the importance of this combination of materials for 
the formation of structures will be shown. The function of steel together with concrete 
and the joint functioning of these two materials with examples and images, we will learn 
to analyze a plan of structures, considering all parts of the construction, analyzing part 
by part and finally all together, as in fact will be built. 
Keywords: Dimensioning, structure, construction, reinforced concrete. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
1. INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 7 
2. JUSTIFICATIVA ................................................................................................... 7 
3. OBJETIVO ............................................................................................................ 8 
4. DESENVOLVIMENTO .......................................................................................... 8 
4.1. CONCRETO ARMADO ......................................................................................... 8 
4.2. ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO .................................................................. 9 
4.3. RESISTENCIA DO CONCRETO ............................................................................ 12 
4.4. TRANSFORMAÇÃO DO CONCRETO ..................................................................... 13 
4.5. AÇO USADO NO CONCRETO ARMADO ................................................................ 14 
4.6. AÇO PARA CONCRETO ARMADO ........................................................................ 15 
4.7. LAJES ............................................................................................................ 16 
4.8. VIGAS ............................................................................................................ 22 
4.9. PILARES ......................................................................................................... 25 
5. O PROJETO ....................................................................................................... 28 
5.1. MATERIAIS E PROPRIEDADES MECÂNICAS DO CONCRETO .................................. 28 
Concreto ............................................................................................................. 28 
Aço...................................................................................................................... 29 
5.2. VIDA ÚTIL ....................................................................................................... 29 
5.3. CRITÉRIOS DE SEGURANÇA ............................................................................. 33 
5.4. CONCEPÇÃO ESTRUTURAL .............................................................................. 34 
5.5. ONDE COLOCAR OS PILARES? .......................................................................... 34 
5.6. ONDE COLOCAR AS VIGAS? .............................................................................. 35 
5.7. PROJETO ARQUITETURA .................................................................................. 35 
5.8. PRÉ DIMENSIONAMENTO ................................................................................. 37 
Exemplo Viga bi-apoiada (viga simples): ............................................................ 37 
Exemplo Vigas em balanço: ............................................................................... 37 
Exemplo Vigas contínuas: .................................................................................. 37 
Base da viga: ...................................................................................................... 38 
Lajes ................................................................................................................... 38 
Pilar..................................................................................................................... 39 
Dimensões mínimas ........................................................................................... 40 
Força normal ....................................................................................................... 40 
5.9. PRÉ DIMENSIONAMENTO DO PROJETO .............................................................. 41 
vigas ................................................................................................................... 41 
Lajes ...................................................................................................................42 
Pilares ................................................................................................................. 43 
Forma ................................................................................................................. 44 
Noções Básicas – Distribuição de Cargas .......................................................... 44 
Carga permanente: Alvenaria (se tiver) .............................................................. 45 
Carga Acidentais ................................................................................................ 45 
6. DIMENSIONAMENTO ........................................................................................ 47 
 
 
6.1. CALCULO CARREGAMENTO SOBRE AS LAJES – PAV TÉRREO ........................... 48 
6.2. DEFINIÇÃO DOS TIPOS DE LAJES – PAV TÉRREO ............................................ 48 
6.3. DISTRIBUIÇÃO DAS CARGAS NAS VIGAS – PAV TÉRREO ................................... 48 
6.4. CARREGAMENTO ALVENARIA ........................................................................... 49 
6.5. ESQUEMA ESTÁTICO DAS VIGAS ....................................................................... 50 
6.6. CALCULO ESCADA ........................................................................................... 50 
6.7. TEORIA DE FLEXÃO ......................................................................................... 51 
Tensão = Força/área .......................................................................................... 52 
Concreto ............................................................................................................. 52 
Aço...................................................................................................................... 52 
6.8. CISALHAMENTO .............................................................................................. 53 
6.9. CALCULO LAJE TRELIÇADA .............................................................................. 53 
Flexão ................................................................................................................. 54 
Verificação a Força Cortante .............................................................................. 54 
6.10. CARREGAMENTO SOBRE AS LAJES – PAV COBERTURA ................................. 55 
6.11. DEFINIÇÃO DOS TIPOS DE LAJES – PAV COBERTURA .................................... 55 
6.12. DISTRIBUIÇÃO DAS CARGAS NAS VIGAS – PAV COBERTURA ........................... 56 
6.13. BEIRAL........................................................................................................... 57 
6.14. CARREGAMENTO ALVENARIA ........................................................................... 57 
6.15. VIGA 106 FLEXÃO ........................................................................................... 59 
Dimensionamento a Flexão Mk = + 50,6 kNm .................................................... 59 
6.16. VIGAS ............................................................................................................ 60 
Dimensionamento a flexão Mk = + 46,4 kNm ..................................................... 62 
As mínimo ........................................................................................................... 63 
Cisalhamento ...................................................................................................... 64 
Verificação da diagonal comprimida ................................................................... 64 
Verificação do elemento tracionado (determinação da área de aço do estribo) . 64 
Cálculo da armadura mínima para o Cisalhamento ............................................ 65 
6.17. PILAR CANTO ................................................................................................. 65 
Necessidade de estribos suplementares ............................................................ 66 
Detalhamento Final ............................................................................................. 66 
Armadura mínima ............................................................................................... 67 
Armadura máxima .............................................................................................. 67 
7. CONCLUSÃO ..................................................................................................... 68 
8. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................. 69 
7 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
As edificações, sejam para fins residenciais, comerciais ou industriais, 
necessitam de uma estrutura ou um conjunto de estruturas que lhes sirvam de suporte, 
propiciando estabilidade, segurança e condições de utilização satisfatórias aos fins a 
que se destinam. Dentre os vários sistemas estruturais possíveis, o mais comum e de 
maior aplicação no Brasil, em edificações residenciais e comerciais, é o que utiliza o 
concreto armado moldado “in loco” O concreto armado permite moldar vigas, pilares 
e lajes, de tal maneira que formem um pórtico resistente espacial. Para a formação 
desse pórtico, cada elemento deve estar convenientemente ligado a outro pelo 
concreto e por sua armação. Dentre essas ligações, destacam-se as entre vigas e 
pilares, por unirem os elementos que recebem as cargas dos pavimentos aos que irão 
conduzi-las até as fundações. Estas ligações são de grande importância para que a 
estrutura funcione como pórtico espacial. Sabe-se que as ligações entre as vigas e os 
pilares não são pontuais, como geralmente consideradas nas simplificações de 
cálculo, mas sim regiões de interação, limitadas por suas seções no cruzamento de 
seus eixos. Torna-se necessário então pesquisar e analisar os esforços solicitantes 
de dimensionamento envolvidos nessas regiões, a fim de esclarecer o tema. 
Nas construções de Concreto Armado, sejam elas de pequeno ou de grande 
porte, três elementos estruturais são os mais comuns: as lajes, as vigas e os pilares. 
Há diversos outros elementos, que podem não ocorrer em todas as construções, são: 
blocos e sapatas de fundação, estacas, tubulões, consolos, vigas-parede, tirantes, etc. 
Este trabalho visa pré-dimensionar as estruturas de um a residência de pequeno 
porte, através de fórmulas analíticas e/ou empíricas. No cálculo, devem-se considerar 
alguns aspectos, como material, vão, dimensionamento, carregamento, entre outros 
fatores. 
2. JUSTIFICATIVA 
Atualmente o ramo de construção civil está sofrendo constantes modificações 
devido às novas tecnologias que são desenvolvidas para a área. Diversos softwares 
foram desenvolvidos com o passar dos anos, com o intuito de agilizar os cálculos 
necessários para o projeto e a construção. Com isso é fundamental dominar todas as 
etapas de cálculos manualmente, compreender o que significa cada sigla, cada 
informação que devemos inserir no software e principalmente entender o que deve 
8 
 
ser feito com as informações que o mesmo nos proporciona no fim do cálculo. Ao 
começar uma construção é de grande importância compreender todas as etapas do 
projeto, se organizar da melhor maneira e fazer uso de todos os recursos possíveis 
para que a construção seja correta, segura e entregue dentro do prazo estipulado. 
Constata-se então que o memorial de cálculo é a parte mais importante entre todos 
os documentos necessários, pois erro neste acarretam o erro no orçamento todo e na 
execução da obra toda, podendo até fazer com que a mesma não atenda as 
exigências do projeto e venha ao chão. 
3. OBJETIVO 
Saber analisar uma planta de estruturas, considerando todas as partes da 
construção, analisando parte por parte e por fim todas em conjunto, como de fato 
serão construídas. Compreender como o memorial de cálculo é realizado, quais as 
normas necessárias para a execução correta de uma construção dentro dos 
parâmetros legais do país, onde a mesma se localiza e qual sua importânciapara a 
formação de Engenheiros Civis. 
4. DESENVOLVIMENTO 
4.1. Concreto armado 
Material essencial para construção de vigas, pilares e lajes, o concreto armado, 
é o material composto, obtido pela associação do concreto com barras de aço, 
convenientemente colocadas em seu interior. Em virtude da baixa resistência à tração 
do concreto (aproximadamente 10% da resistência à compressão), as barras de aço 
cumprem a função de absorver os esforços de tração na estrutura. As barras de aço 
também servem para aumentar a capacidade de carga das peças comprimidas. 
O funcionamento conjunto desses dois matérias só é possível graças à 
aderência. Devido à aderência, as deformações das barras de aços são praticamente 
iguais às deformações do concreto que as envolve. Em virtude de sua baixa 
resistência à tração, o concreto fissura na zona tracionada do elemento estrutural. 
Desse momento em diante, os esforços de tração passam ser absorvidos pela 
armadura. Isso impede a ruína brusca da estrutura, o que ocorreria, por exemplo, em 
uma viga de concreto simples. 
Além de absorver os esforços de compressão, o concreto protege a armaduras 
contra a corrosão. Apesar da fissuração, quase sempre inevitável em uma estrutura 
9 
 
de concreto armado, a durabilidade das armaduras não fica prejudicada, desde que 
as aberturas das fissuras sejam limitadas. Um cobrimento mínimo de concreto, 
depende da agressividade do meio, também é necessário para garantir a durabilidade. 
O coeficiente de dilatação térmica do concreto e do aço são aproximadamente 
iguais. Desta forma, quando uma estrutura de concreto armado for submetida a 
moderadas variações de temperatura, as tensões internas entre o aço e o concreto 
serão pequenas. O concreto armado tem inúmeras vantagens sobre os materiais 
estruturais, como: economia; facilidade de execução em diversos tipos de formas; 
resistência ao fogo; aos agentes atmosféricos e aos degaste mecânico; praticamente 
não querer manutenção ou conservação; permite facilmente a construção de 
estruturas hiperestáticas. 
4.2. Estrutura de concreto armado 
concreto armado teve como precursor a argamassa reforçada com aço, como 
seus inventores não eram ligados à execução de edificações, os primeiros usos então, 
foram em estruturas de barcos e vasos de plantas, em 1855 e 1861, por Joseph Talbot 
e Joseph Monier. Só algum tempo depois que o material foi usado em vigas, pelo 
inglês Wilkson. Antigamente usava-se a pedra como principal material de construção. 
Ela era muito útil em templos, moradias e pontes, por exemplo. Quando usada como 
pilares era muito durável e resistente a compressão. Já quando usada como viga, 
sofrendo esforços de tração podia ser facilmente rompida dependendo a carga 
externa. Pode-se pegar como exemplo uma ponte, a parte de cima da viga tende a 
comprimir e aparte de baixo a tracionar, como na Figura 1 e 2. Se ela for pequena os 
esforços também serão e então a pedra aguentará. Mas se ela precisa ser muito 
grande, sofrerá muito mais esforços, então se usava um recurso que fazia com que 
cada pedra sofresse só compressão, foi o incremento de arcos. Sua curva natural tem 
a capacidade de dissipar a força para fora reduzindo muito os efeitos de tração sobre 
a parte de baixo do arco. Os precursores dessa técnica eram os romanos. 
 
10 
 
Imagem 1- compressão e tração, vão pequeno e grande 
Fonte: BOTELLO, 1998 
 
 
Vejamos, agora a situação em cada caso correspondente às ilustrações acima. 
➢ Pequeno vão. No meio da viga, surgem esforços internos em 
cima de compressão e embaixo, de tração. Como o vão é 
pequeno, os esforços são pequenos e a pedra resiste. 
➢ Grande vão. Para os vãos maiores, os esforços de compressão 
e os de tração crescem. A pedra resiste bem aos de compressão 
e mal aos de tração. Se aumentar o vão, a pedra rompe por 
tração. 
Os romanos foram mestres na arte de construir pontes de pedra em arco. Se 
não podiam usar vigas para vencer vãos maiores, usavam ao máximo um 
estratagema, o uso de arcos onde cada peça de pedra era estudada para só trabalhar 
em compressão, como se vê na ilustração a seguir. 
 
Imagem 2 – Arcos em vãos maiores de pedra 
Fonte: BOTELLO, 1998 
 
11 
 
As pedras devido a forma da ponte em arco, estão sendo comprimidas, e aí 
elas resistem bem. Para vencer os grandes vãos, os antigos eram obrigados a usar 
múltiplos arcos. 
O concreto também sofre essa limitação, ou seja, é mais resistente à 
compressão que à tração. Em números, a tração representa 10% da compressão. Eis 
que houve a ideia de misturar um material resistente à compressão na parte 
comprimida com outro resistente à tração na parte tracionada, o concreto com o aço, 
respectivamente (o aço resiste bem à tração). Assim, temos a ideia da viga de 
concreto armado. 
 
Imagem 3 – Sessão transversal da viga 
Fonte: BOTELLO, 1998 
 
 
Diz-se então que concreto armado é uma mistura de concreto, aço e a forte 
ligação entre eles que é chamada de aderência. Essa aderência se dá pelo atrito 
entre os materiais e o efeito colante do cimento. 
O concreto é uma mistura de materiais que fazem volume, chamados 
agregados e materiais colantes, chamados aglomerantes. Os agregados são a areia 
e a pedra, o aglomerante é o cimento, que com a presença da água, produz o efeito 
de cola. 
Outros elementos podem ser adicionados para alterar algumas características 
do concreto, por exemplo, a sílica ativa, um material extremamente fino, podendo 
ser comparado com as partículas na fumaça do cigarro e que aumenta até oito 
vezes a resistência do concreto, diminui os vazios e deixa o material mais 
12 
 
impermeável e durável. Esse tipo de concreto é conhecido pela sigla CAD, significa 
Concreto de Alto Desempenho. 
Infelizmente a resistência aumentada significa redução de ductibilidade, 
propriedade essa que é de muita importância nos materiais estruturais. Os materiais 
dúcteis deformam antes de romper, denunciando problemas na estrutura. 
4.3. Resistencia do concreto 
A resistência do concreto é dada pela proporção de água adicionada ao 
cimento. Concreto com pouca água é mais resistente e apresenta menos vazios, 
porém é de difícil manuseio. Já o concreto com mais água é de fácil manuseio, mas 
de resistência reduzida. A resistência por sua vez, é medida em ensaios de 
compressão com corpos de prova, eles são cilindros com 15cm de diâmetro e 30cm 
de altura, padronizados. A operação consiste em aplicar a carga paralela à geratriz 
do cilindro. Os corpos de prova usados são de 28 dias. A unidade de medida da 
resistência é em mega Pascal (mPa). A resistência do concreto mais usado nas 
edificações é de 20 mPa. Com resistências a partir de 50 mPa, o concreto pode ser 
considerado CAD. 
A resistência à tração também pode ser medida pelos ensaios com corpos de 
prova, a carga é então aplicada perpendicularmente à geratriz do cilindro. Esse 
procedimento de medir tração no concreto foi criado por um brasileiro, o Eng. Lobo 
Carneiro 
 
Imagem 4 – Corpo de prova formas laboratoriais. Ensaio compressão e tração diametral. 
Fonte: Google imagens, 2020 
 
13 
 
4.4. Transformação do concreto 
O concreto apresenta algumas transformações que podem não ocorrer por 
aplicação de cargas externas, elas podem ser: Retração, Dilatação Térmica e 
Deformação. 
A retração é a diminuição do volume do concreto ocorrido durante o processo 
de endurecimento, chamado de cura, é causado pela rápida perda de água, então se 
recomenda manter o concreto úmido durante o processo e mais três dias após. 
 
Imagem 5 – Retração do concreto 
Fonte: Google imagens, 2020 
 
Dilatação térmica também ocorre em muitos outros materiais, e faz aumentar 
o volume do concreto com o aumento de temperatura, e diminuir com a diminuição. 
Existe então juntas de dilatação que permitem a livre movimentação de estrutura, o 
recomendado pela norma brasileira é junta de dilatação a cada 30m. 
 
Imagem 6 – Dilatação térmica na Av. Iguaçu, Água Verde/PR 
Fonte: https://www.tribunapr.com.br 
 
14 
 
 
Deformação ocorre em todo concreto logo que submetido a um carregamento, 
isso se chama deformação imediata. Sem o acréscimo de carga ao longo do tempo 
ele continua a se deformar, isso se chama deformação lenta, a mesma é devido aos 
vazios no concreto que vem da mistura da água e cimento, por isso deve-se tomar 
cuidado com a quantidade aplicada. 
 
Imagem 7 – Curvar das variações das deformações com o tempo 
Fonte: Google imagens, 2020 
 
4.5. Aço usado no concreto armado 
O aço usado para o concreto armado deve ser de grande ductibilidade, ele se 
apresenta em forma cilíndrica, podendo ter de 2mm a 40mm de diâmetro. A resistência 
dessas barras é medida em ensaios de tração. Nesse ensaio o corpo de prova é 
submetido a um esforço que tende a alongá-lo ou esticá-lo até a ruptura. Os esforços 
ou cargas são mensurados na própria máquina, e normalmente o ensaio ocorre até a 
ruptura do material 
15 
 
Imagem 8 – Tipos de aço e ensaio com corpo de prova 
Fonte: Google imagens, 2020 
 
4.6. Aço para concreto armado 
De acordo com a norma NBR-7480, as armaduras para concreto armado 
podem ser classificadas em barras e fios. As barras possuem diâmetro mínimo de 
6,3mm sendo obtidas por laminação a quente. O número relativo ao fio ou à barra (isto 
é, a bitola) corresponde ao diâmetro nominal da seção transversal, em milímetros. A 
massa linear da barra ou do fio em (kg/m) é obtida pelo produto da área da seção 
nominal (em m²) pela massa especifica do aço, igual a 7850 kg/m. A forma do 
diagrama tensão-deformação dos aços, obtido em um ensaio de tração simples, é 
influenciada pelo processo de fabricação. As barras, obtidas exclusivamente por 
laminação a quente, apresentam um patamar de escoamento no diagrama tensão 
deformação. 
A forma do diagrama tensão-deformação dos aços, obtido em um ensaio de 
tração simples, é influenciada pelo processo de fabricação. As barras, obtidas 
exclusivamente por laminação a quente, apresentam um patamar de escoamento no 
diagrama tensão deformação. 
Na tabela 1. Apresentam-se os valores de (d’) calculados através da equação: 
𝑑′ = 𝑐 + ∅ 
Tabela 1 - Parâmetro (d’) para lajes maciças (cm) 
Classe de agressividade ∅ = 𝟓𝒎𝒎 ∅ = 𝟏𝟎𝒎𝒎 
𝐼 2,5 3,0 
16 
 
𝐼𝐼 3,00 3,5 
𝐼𝐼𝐼 4,00 4,5 
𝐼𝑉 5,00 5,5 
 
Admite-se a classe I de agressividade ambiental, neste caso, pode-se 
considerar d’ = 4cm, para as vigas e os pilares, ficando a favor da segurança para 
seções armadas com barra de diâmetro menor 20 mm (sempre que armadura puder 
ser disposta em uma única camada).Para as lajes maciças dos edifícios pode-se 
adotar d’= 2,5 cm, pois, em geral empregam-se barras de pequeno diâmetro. 
Do mesmo modo, em muitos exemplos numéricos admite-se um concreto com 
fck = 20MPa, que é a resistência mínima exigida para a classe I. Em alguns exemplos, 
são feitas variações no valor de fck para mostrar a influência dessa propriedade do 
concreto nos resultados do dimensionamento. 
É importante salientar que um concreto de maior resistência garante uma maior 
durabilidade da estrutura. Além disso, o emprego de um concreto de maior resistência 
pode resultar em economia da estrutura como um todo, mesmo que haja um aumento 
de custo do concreto. Isto ocorre com os pilares, especialmente nos edifícios altos. 
Por outro lado, o projetista deve levar em conta as condições de desenvolvimento 
tecnológico da região onde a estrutura será executada. De nada adianta elaborar um 
projeto com base em um concreto de alta resistência, para uma obra de pequeno 
porte, que será executada em uma localidade onde não há adequadas condições de 
produção e controle da qualidade do concreto. Ao contrário, tal procedimento pode 
resultar em um verdadeiro desastre. 
Em todo caso, deve-se estar atento para o fato de que os parâmetros adotados 
nos exemplos numéricos não servem como regra geral. Eles devem ser definidos para 
cada situação particular, considerando todos os fatores envolvidos. 
4.7. Lajes 
São elementos estruturais planos onde as dimensões em duas direções 
prevalecem sobre uma terceira. Normalmente se apresentam na posição horizontal, e 
são elas que recebem as cargas que agirão sobre a estrutura. As lajes podem ser 
tetos e pisos (CESEC). Como a laje é uma superfície, logo, a carga que atua sobre 
esta se distribui uniformemente sobre ela. As forças permanentes que atuam nas lajes 
17 
 
são seu próprio peso e o peso dos revestimentos. Também há as cargas ocasionais 
que devem ser levadas em consideração nos cálculos para projetar as lajes. 
Como umas das forças em que está sujeita é o seu próprio peso, deve se 
calcular o peso do volume de concreto armado por metro quadrado de laje. Para isso 
se deve conhecer a massa especifica do concreto armado e a altura da laje. Como se 
leva em conta o metro quadrado de laje multiplica-se apenas a dimensão altura pela 
massa especifica do concreto armado utilizado, já as cargas acidentais podem ser 
conhecidas pela NBR 2160. 
Cargas provenientes das lajes: Antes da se calcular as cargas provenientes 
das lajes sobre as vigas, é necessário conhecer as dimensões da laje, já que estas 
influenciam na forma em que as cargas se distribuem sobre a viga. A relação entre o 
vão das lajes determina se elas serão armadas em cruz ou apenas em uma única 
direção, assim quando um dos vãos da laje for muito superior ao outro a laje será 
armada em uma única direção, quando essa diferença não for tão expressiva ela será 
armada em cruz. Na pratica vale a regra; Caso o vão maior seja maior do que o dobro 
do vão menor a laje será armada em uma única direção e devido à rigidez do vão 
menor as cargas que atuam no vão menor podem ser desprezadas, no entanto, se o 
vão maior for menor ou igual do que o dobro do vão menor a laje será armada nas 
duas direções (cruz) e os esforços sobre as vigas serão significativos nos dois vãos. 
 
Imagem 9 - Relação entre os vãos da laje 
Fonte: NDCURSOS, 2019 
 
Cargas provenientes de lajes armadas numa única direção: Neste caso a 
distribuição das cargas nas vigas que a suportam acontecem apenas nas vigas que 
sustentam o vão maior e as vigas do vão menor g+ não receberam outras cargas 
18 
 
senão a de seu próprio peso, cargas de vigas que se a poiam umas nas outras e as 
cargas das alvenarias, já que as cargas da laje não iram interagir com elas. Para efeito 
de cálculo para se determinar a carga vinda da laje na viga por metro linear se utiliza 
uma faixa de um metro de largura da laje na direção do vão menor e multiplica-se pela 
metade comprimento do vão menor, pois as cargas serão divididas em duas vigas. 
Estas cargas se distribuem em todas as vigas que sustentam a laje, para uma forma 
geral de lajes retangulares. As cargas se distribuem de maneira diferente entre as 
vigas de cada vão, os vãos maiores recebem um valor equivalente a área de um 
trapézio de carga enquanto o vão menor recebe um valor igual a área do triângulo, 
como se pode ver na figura abaixo. Essas relações foram descobertas observando as 
linhas de rupturas das lajes, que são as mesmas que delimitam os trapézios e os 
triângulos. 
 Cargas provenientes das alvenarias: Da mesma forma como as lajes as 
alvenarias (paredes e seus revestimentos), também depositam suas cargas sobre as 
vigas. Como já foi visto anteriormente é interessante para efeito de cálculo estrutural 
considerar a carga depositada na viga por metro linear. Para determinar o peso das 
alvenarias é importante calcular o peso do volume de 1 metro de largura de alvenaria 
ao longo do comprimento da viga. Porém para isso é necessário determinar antes o 
peso do metro cúbico a alvenaria utilizada. Embora as alvenarias mudem de 
edificação para edificação abaixo são apresentadas as massas especificas das 
alvenarias mais utilizadas. Lava-se emconsideração que os blocos e tijolos são 
revestidos (parede com acabamento). 
 
Imagem 10 – Carga da laje sobre a viga 
Fonte: NDCURSOS, 2019 
19 
 
 
Imagem 11 – Carga da laje sobre a viga 
Fonte: NDCURSOS, 2019 
 
Como cargas permanentes atuando nas lajes tem-se o seu peso próprio, 
revestimentos e alvenaria se tiver. 
• Peso especifico de 1m² de laje maciça: 
𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑙𝑎𝑗𝑒 = 𝛾 . ℎ 
Onde: 
(𝛾) = concreto 
(h) = espessura da laje 
• Peso do revestimento: Varia de acordo com o material e espessura do 
contrapiso, geralmente usa-se 100kgf/m². 
• Peso de cargas ocasionais: É definido pela norma brasileira e depende 
do tipo de uso das edificações como residenciais, comerciais ou 
institucionais. 
 
Imagem 12 – Armação negativa e positiva laje maciça 
Fonte: Google imagem, 2020 
20 
 
Imagem 13 – Armação negativa e positiva laje maciça 
Fonte: Google imagem, 2020 
 
Imagem 14 – Laje sendo preparada para concretagem 
Fonte: Google imagem, 2020 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
Imagem 15 – Concretagem de laje maciça 
Fonte: Google imagem, 2020 
 
 
No caso de lajes pré-moldadas e painéis, o peso próprio pode ser obtido nos 
catálogos dos fabricantes. 
 
Imagem 16 – lajes pré-moldadas / catalogo fabricantes 
Fonte: NDCURSOS, 2019 
O peso do revestimento executado sobre a laje varia um pouco em função da 
espessura do contra piso e do tipo de piso, se cerâmico, de madeira ou outro. Para os 
casos mais comuns pode-se considerar, o peso do revestimento como sendo de 1 
KN/m2. 
 
22 
 
Imagem 17 – Carga permanente: Revestimento 
Fonte: NDCURSOS, 2019 
 
Então, para calcular todo o peso sobre a laje soma-se: 
 
Imagem 18 – Carga total sobre a laje 
Fonte: NDCURSOS, 2019 
 
4.8. Vigas 
As vigas são os elementos da estrutura que recebem as reações das lajes, e 
eventualmente de outras vigas, e as transmitem para os pilares. São elementos 
geralmente horizontais, sujeitos a cargas transversais ao seu eixo longitudinal, 
trabalhando essencialmente à flexão. 
 As vigas numa estrutura de concreto armado podem ser revestidas ou 
aparentes. Para edifícios residenciais e comerciais, com frequência opta-se por 
esconder a estrutura, ou seja, o revestimento cobre as vigas e pilares. Há alguns anos 
atrás, era comum projetar vigas em quase todas as posições de paredes, o que levava 
a um grande consumo de fôrmas. Atualmente, dado ao custo das fôrmas e à agilidade 
construtiva, é comum se considerar paredes descarregando seu peso próprio 
23 
 
diretamente sobre lajes, o que conduz a estruturas menos recortadas, lajes maiores e 
menos vigas. 
As vigas não precisam descarregar diretamente sobre pilares, podendo existir 
apoio de viga sobre viga. A viga de maior altura, sendo a de menor vão, tem rigidez 
muito superior àquela de menor altura, de modo que a menor se apoia na maior, 
denominada viga principal. 
A viga é um elemento estrutural que se caracteriza por transmitir cargas 
verticais ao longo de um vão através de um eixo horizontal. Dessa forma, o vão sobre 
a viga é totalmente livre e aproveitável, o que não ocorre no cabo e no arco, cujos 
eixos são curvos e limitam parte do espaço sobre eles. Graças a essa virtude, a viga 
é o sistema estrutural mais usado. 
 
Imagem 19 – Armação viga de concreto armado 
Fonte: Google imagem, 2020 
 
 
24 
 
Imagem 20 – Vigas de concreto armado 
Fonte: Google imagens, 2020 
 
Imagem 21 – Vigas de concreto armado com peso de alvenaria 
Fonte: Google imagem, 2020 
 
 
 
 
25 
 
Imagem 22 – Viga antes da concretagem 
Fonte: Google imagem, 2020 
 
4.9. Pilares 
Pilares são “elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical, 
em que as forças normais de compressão são preponderantes” (NBR 6118/2003). São 
destinados a transmitir as ações às fundações, embora possam também transmitir 
para outros elementos de apoio. As ações são provenientes geralmente das vigas, 
bem como de lajes também. Desta forma, é considerado o elemento estrutural de 
maior importância dentro do sistema de estruturas. (Imagem 23) 
 
Imagem 23 – Pilar 
Fonte: Google imagem, 2020 
 
A princípio, seria interessante colocar pilares em todos os cruzamentos de 
vigas, o que faria com que as cargas percorressem o caminho mais curto entre o ponto 
26 
 
de aplicação e a fundação. Entretanto, uma estrutura pode se tornar ante econômica 
e, até mesmo, restritiva sob o ponto de vista funcional, caso sejam projetados pilares 
muito próximos uns dos outros. Os pilares devem se localizar em pontos que não 
interfiram no conjunto arquitetônico e não comprometam a circulação de halls, salas, 
pilotis, garagens, etc. 
Os pilares são os elementos estruturais de maior importância nas estruturas, 
tanto do ponto de vista da capacidade resistente dos edifícios quanto no aspecto de 
segurança. Além da transmissão das cargas verticais para os elementos de fundação, 
os pilares podem fazer parte do sistema de contraventamento responsável por garantir 
a estabilidade global dos edifícios às ações verticais e horizontais. 
As Imagem 23 a imagem 26 mostram pilares em construções. 
 
Imagem 23 – Materiais na formação de um pilar 
Fonte: Google imagem, 2020 
 
27 
 
Imagem 24 – Pilar pronto para ser concretado 
Fonte: Google imagem, 2020 
 
Imagem 25 – Pilar concretado aguardando secagem 
Fonte: Google imagem, 2020 
 
28 
 
Imagem 26 – Pilar de concreto armado 
Fonte: Google imagem, 2020 
 
5. O PROJETO 
O Projeto apresentado neste trabalho foi desenvolvido durante o curso feito 
pelo o autor do trabalho com os professores Igor Dias e Salvador Noboa. No trabalho 
irei apresentar todo processo de cálculo para a desenvolvimento de um projeto para 
estruturas de pequeno porte, com dimensionamentos de lajes vigas e pilares. 
5.1. Materiais e Propriedades Mecânicas do Concreto 
Com base na norma (NBR 6118/2014), pode-se admitir as seguintes 
propriedades para o concreto: 
Concreto 
Resistência característica à tração inferior: 
 
Resistência característica à tração média: 
 
29 
 
Resistência característica à tração superior: 
 
Módulo de deformação longitudinal secante: 
 
Aço 
Utilização dos aços estruturais normativos CA50 (fyk = 500 Mpa) e CA60 (fyk = 
600 Mpa) 
 
5.2. Vida útil 
Período em que a estrutura atende os seus objetivos estéticos e de segurança, 
sem exigir elevados custos de manutenção ou reparos. 
A durabilidade está ligada aos seguintes fatores: 
 
1) Classe de agressividade ambiental: Analise do quão agressivo é o 
ambiente, de modo a causar danos na estrutura; 
São essas 4 classes de agressividade que irão determinar: qual a classe de 
concreto a ser utilizada, a relação água-cimento adotada, o cobrimento nominal. 
 
 
 
30 
 
 
 
2) Condições de Concretagem: Projeto tal que possibilita que o concreto 
preencha todos os espaços, evitando a formação de nichos e 
segregações. 
Espaçamento entre as barras, espaçamentos livres mínimos entre as faces das 
barras de aço longitudinais. 
 
31 
 
Onde: 
(𝑎ℎ,𝑚í𝑛) = espaçamento livre horizontal mínimo entre as faces de duas barras 
da mesma camada; 
(𝑎𝑣,𝑚í𝑛) = espaçamento livre vertical mínimo entre as faces de duas barras de 
camadas adjacentes; 
(𝑑𝑚á𝑥,𝑎𝑔𝑟𝑒) = dimensão máxima característica do agregado graúdo utilizado 
no concreto; 
(∅𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙.) = diâmetro da barra, do feixe ou da luva. 
 
projeto tal que possibilita que o concreto preencha todos os espaços, evitando 
a formação de nichos e segregações. 
 
 
 
32 
 
3) Qualidade do Concreto e Cobrimento: Qual a qualidade do concreto 
(a/c) considerando a agressividade do ambiente e qual a camada de 
concreto que envolve as barras; 
Qualidade do concreto relação água/cimento (a/c): 
 
Excesso de agua {
porosidade
⤓⤓
 diminuição da resistência
 
 
A durabilidade pode ser garantida com o uso de concretos mais impermeáveis,com baixa relação água-cimento. 
 
cobrimento → camada de concreto que envolve as barras (camada de 
proteção); 
 
Nas obras correntes, Δc ≥ 10mm 
Δc = tolerância 
33 
 
Quando houver um controle rigoroso da qualidade da execução, pode ser 
adotado Δc = 5mm. Mas a exigência desse controle rigoroso deve ser explicitada nos 
desenhos de projeto 
 
 
Δc = 5mm {
Controle rigoroso
 Adotar fck de uma classe acima exemplo:
 
 
Adotou-se CAA = I para essa classe concreto ≥ C20 cobrimento da viga = 25 
mm caso utilize-se o concreto de uma classe acima (II moderada C25) pode-se utilizar 
Δc = 5mm, isso é, cobrimento final de 20 mm 
 
5.3. Critérios de Segurança 
A segurança nas estruturas deve ser garantida pelo método dos Estados 
Limites. Os Estados Limites Últimos se aplicam às condições que podem levar à ruína 
da estrutura e os Estados Limites de Serviço se referem ao desempenho da estrutura 
em utilização. 
 
ELU: ruptura por flexão, por força cortante, por punção, etc. 
ELS: fissuração, deformação, vibração, etc. 
 
Os valores estimados das ações e das resistências, bem como o modelo 
estrutural adotado, podem conter imprecisões. As normas brasileiras fornecem 
34 
 
coeficientes de segurança, denominados coeficientes de ponderação, para minimizar 
os eventuais erros de avaliação. 
➢ Os esforços solicitantes devem ser multiplicados – por um coef. de 
majoração. 
➢ Os esforços resistências, devem ser divididos – por um coef. de 
minoração. 
Onde: 
S = é o esforço solicitante calculado a partir das forças atuantes estimadas 
R = é o respectivo esforço resistente determinado em função da resistência do 
material e das dimensões do perfil de aço. 
5.4. Concepção Estrutural 
A concepção estrutural corresponde a “idealização” da estrutura. Uma 
concepção adequada é fundamental para garantir que o sistema estrutural apresente 
desempenho e capacidade resistente quando solicitado, bem como atenda critérios 
de durabilidade. 
O projeto arquitetônico serve como base para a idealização da estrutura. Esta 
não deve apresentar interferências com os demais sistemas, como: instalações 
elétricas, hidro sanitárias, de drenagem e etc. 
5.5. Onde colocar os pilares? 
Nos cantos, no encontro de alvenarias, preferencialmente embutidas nas 
paredes; sugere-se que os pilares estejam alinhados, formando pórticos com as vigas 
que os unem; usualmente adota-se distancias entre pilares de 4 a 6 metros. Tais 
recomendações são apresentadas visto que grandes distancias entre pilares geram 
alturas significativas de vigas, podendo estas, apresentar interferências com as 
esquadrias. Já pequenas distancias podem implicar em interferências entre as 
fundações. 
Recomendações Gerais: 
35 
 
➢ Largura compatíveis com a alvenaria (preferencialmente); 
➢ Posicionados os pilares de um pavimento, verificar se há interferências 
com outros pavimentos; 
➢ Na impossibilidade de compatibilização, vigas de transição (estruturas 
mais complexas). 
5.6. Onde colocar as vigas? 
➢ Largura das vigas compatíveis com a alvenaria (preferencialmente); 
➢ Comumente são colocadas vigas para suportar cargas provenientes da 
alvenaria; 
➢ A altura das vigas normalmente é limitada às dimensões das esquadrias 
(portas, janelas); 
➢ Dimensões mais econômicas de vigas são para vãos de laje entre: 4 a 6 
metros; 
➢ Procura-se padronizar a altura das vigas para duas a três dimensões 
(cimbramento); 
➢ Busca-se compatibilizar as larguras de vigas e pilares com as alvenarias. 
5.7. Projeto Arquitetura 
Pavimento térreo 
 
36 
 
Pavimento superior 
 
Corte 
 
 
 
37 
 
5.8. Pré Dimensionamento 
Exemplo Viga bi-apoiada (viga simples): 
ℎ
𝑣𝑖𝑔𝑎 = 
𝑙
10
 = 
800
10
 = 𝟖𝟎 𝒄𝒎
 
O pré dimensionamento para a altura da viga acima é de 80 cm 
Exemplo Vigas em balanço: 
ℎ
𝑣𝑖𝑔𝑎 = 
𝑙
5 = 
300
5 = 𝟔𝟎 𝒄𝒎
 
O pré dimensionamento para a altura da viga em balanço acima é de 60 cm 
Exemplo Vigas contínuas: 
ℎ
𝑣𝑖𝑔𝑎 = 
𝑙
12 = 
500
12 = 𝟒𝟏,𝟔 𝒄𝒎
 
Para o valor de 𝚤 adota-se o maior vão da viga contínua. Assim sendo, o pré 
dimensionamento para a altura da viga contínua acima é de 45 cm. 
38 
 
Base da viga: 
A base (b) depende da alvenaria, isso é, da dimensão do tijolo ou bloco 
cerâmico 14 ou 19 cm usualmente utilizado. 
Imagem 27 – Tamanhos e tipos de tijolos 
Fonte: NDCURSOS, 2019 
Lajes 
Para o pré dimensionamento das lajes. O único elemento a ser dimensionado 
é a espessura ou altura da laje (ℎ𝑙𝑎𝑗𝑒 ). 
Para as lajes maciças o pré-dimensionamento é: 
 
Conforme as imagens 13 ao 15 mostrado acima, nas lajes maciças devem ser 
respeitados os seguintes limites mínimos para a espessura: 
a) 7 cm para cobertura não em balanço; 
b) 8 cm para lajes de piso não em balanço; 
c) 10 cm para lajes em balanço; 
d) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 
30 kN; 
e) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN; 
 
Para lajes nervuradas pré moldadas, consultar o fabricante da laje nervuradas 
pré moldadas para o pré-dimensionamento conforme a tabela mostrada acima na 
39 
 
imagem 16. As lajes tem sempre dois vãos, utilizar o menor vão que chamamos de Lx 
e comparamos com a tabela ao lado na coluna “vão” conforme mostradas acima nas 
imagens 10 e 11. 
Nesse caso o projeto apresentado foi dimensionado e calculado com lajes pré-
moldadas utilizando a tabela de fornecedores, será mostrado no decorrer do trabalho. 
Pilar 
Como determinar a área de influência do P1? 
Exemplo: 
𝐴𝑖𝑛𝑓. = (3+2,5)𝑥3 = 16,5𝑚2 
É necessário que adotemos um valor que represente a carga total por m2 de 
laje, levando-se em conta todos os carregamentos permanentes e variáveis. 
𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂𝒔 𝒂𝒄𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒂𝒊𝒔 {
𝑃𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎𝑠
𝑚𝑜𝑏𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟𝑖𝑜
𝑣𝑒𝑖𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠
𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜
 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂𝒔 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒂𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 {
𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑜
𝑅𝑒𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑃𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒𝑠
 
Norma NBR6120 – “Cargas para o cálculo de estruturas de edificações” 
Para edifícios de pequena altura com fins residenciais e de escritório pode-se 
estimar a carga total de 10 kN/m2 (para cada laje). 
Edifícios com outros fins de utilização podem ter cargas superiores e edifícios 
onde a ação do vento é significativa, a carga por m2 deve ser majorada. 
É importante salientar que a carga estimada serve apenas para o pré-
dimensionamento da seção transversal dos pilares. O dimensionamento final deve ser 
obrigatoriamente feito com os esforços solicitantes reais, calculados em função das 
reações das vigas e lajes sobre os pilares e com atuação das forças do vento etc. 
Tipos de pilar 
40 
 
• Pilar intermediário (central) 
• Pilar de canto 
• Pilar da extremidade 
 
Pilar – pré dimensionamento da seção 
𝐴
𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 = 
𝑁𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟
𝑓𝑐𝑘
 
 1 𝑎 1,8 𝐾𝑁 𝑐𝑚2⁄ 
Concreto 
C20 (fck = 20 Mpa) 
fck = 2 kN/cm2 
fck = 200 kgf/cm2 
Onde: 
Ac = área da seção transversal do pilar (cm2) 
Nd = força normal de cálculo (kN) 
fck = resistência característica do concreto (kN/cm2) 
 
Dimensões mínimas 
Área mínima da seção ≥ 360 cm2 
Permite-se dimensões menores: entre 
14 e 19 cm → majoração adicional dos 
esforços por ϒn 
 
Força normal 
Força Normal de Cálculo (kN): 
𝑁𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 = 𝛾𝑛.𝛾𝑓.𝑁𝑘 
 
𝑁𝑘 = 𝐴𝑖𝑛𝑓.10.𝑁°𝑝𝑎𝑣𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
 
Onde: 
𝑁𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 = força normal de cálculo (kN) 
41 
 
 𝑁𝑘 = força normal característica (kN) 
𝛾𝑛 = coeficiente de majoração adicional dos esforços 
𝛾𝑓 = coeficiente de majoração dos esforços = 1,4 
𝐴𝑖𝑛𝑓. = área de influência 
10 = 10 kN/m2 
 
 
5.9. Pré dimensionamento do Projeto 
Após conceber a estrutura, isso é, colocação de pilares, vigas e laje, vamos pré 
dimensiona-los, determinar uma seção para iniciarmos o nosso dimensionamento. 
Começaremos pré dimensionando as vigas, depois lajes e pilares 
vigas 
Viga V101 = V104(viga contínua) 
42 
 
ℎ
𝑣𝑖𝑔𝑎 = 
𝑙
12
 = 
409
12
 = 𝟑𝟒 𝒄𝒎 (𝒂𝒅𝒐𝒕𝒂𝒓𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒉= 𝟑𝟓𝒄𝒎)
 
Viga continua ficou com as medidas (hxb) = 35x14 
Viga V102 = V103 (viga bi apoiada) 
 
ℎ
𝑣𝑖𝑔𝑎 = 
𝑙
10
 = 
409
10
 = 𝟒𝟎,𝟗 𝒄𝒎 (𝒂𝒅𝒐𝒕𝒂𝒓𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒉 = 𝟒𝟓𝒄𝒎)
 
Viga bi apoiada ficou com as medidas (hxb) = 45x14 
 
Viga V105 = V108 (viga contínua) 
 
ℎ
𝑣𝑖𝑔𝑎 = 
𝑙
12 = 
297
12 = 𝟐𝟒,𝟕𝟓 𝒄𝒎 (𝒂𝒅𝒐𝒕𝒂𝒓𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒉 = 𝟑𝟓𝒄𝒎)
 
Manter todas as vigas externas com as mesmas dimensões 
Viga continua ficou com as medidas (hxb) = 35x14 
 
Viga V106 = V107 (viga contínua) 
 
ℎ
𝑣𝑖𝑔𝑎 = 
𝑙
12 = 
417
12 = 𝟑𝟒,𝟕𝟓 𝒄𝒎 (𝒂𝒅𝒐𝒕𝒂𝒓𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒉 = 𝟒𝟓𝒄𝒎)
 
Adotaremos 45 porque essas vigas V106 e V107 recebem a V103 que tem 
dimensões de 14/45 
Viga continua ficou com as medidas (hxb) = 45x14 
 
Lajes 
(Laje nervurada pré moldada) 
Nas Laje nervurada pré moldada os trilhos são colocados no menor sentido da 
laje (𝑙𝑥) 
Laje L101 (𝑙𝑥) = menor vão= 163+7+7 = 177 cm = 1,77 m 
43 
 
Laje L102 e L104 (𝑙𝑥) = menor vão= 377 cm = 3,77 m 
Laje L103 (𝑙𝑥) = menor vão= 226+7+7 = 240 cm = 2,40 m 
➢ Adotaremos laje com altura de 12 cm conforme o catalogo do fabricante 
(imagem 16) 
 
Pilares 
P5 (pilar com maior área de Influência) 
✓ Metade entre P5 e P2, carregamento vai metade para cada lado 
✓ Metade entre P5 e P10, carregamento vai metade para cada lado 
✓ Metade entre P5 e P7, carregamento vai metade para cada lado 
✓ Metade entre P5 e P6, carregamento vai metade para cada lado 
 
1) Área de Influência do P1 
𝐴𝑖𝑛𝑓. = 2,97 x 3,93 = 𝟏𝟏,𝟔𝟕 𝒎𝟐 
2) Força Normal Característica 
𝑁𝑘 = 𝐴𝑖𝑛𝑓 .10. 𝑁°𝑝𝑎𝑣𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
 
𝑁𝑘 = 11,67 .10 .2 = 𝟐𝟑𝟑,𝟒 𝐊𝐍 
3) Força Normal de Cálculo 
𝑁𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 = 𝛾𝑛.𝛾𝑓.𝑁𝑘 
𝑁𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 = 1,25 .1,4 .233,4 = 𝟒𝟎𝟖,𝟒𝟓 𝐤𝐍 
4) Pré dimensionamento da Área 
𝐴
𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 = 
𝑁𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟
𝑓𝑐𝑘
 
𝐴
𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 = 
408,45
1,0 = 𝟒𝟎𝟖 𝒄𝒎
𝟐 
5) Pré dimensionamento da seção 
Área mínima da seção ≥ 360 𝑐𝑚2 
𝐴𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 = Área de um retângulo = b x h 
408 = 14 𝑥 ℎ 
44 
 
ℎ =
408
14
 = 𝟐𝟗, 𝟏𝟒 𝒄𝒎 
Adotaremos seção 14x30 para todos os pilares pois pre dimensionamos para o 
pilar com maior área de influência. 
Forma 
Após o pré dimensionamento, acrescentamos a nossa FORMA as dimensões 
que encontramos. Acrescentamos também os eixos e os cortes rebatidos. Para a 
FORMA da Cobertura vamos manter as mesmas dimensões que encontramos para o 
pav. Térreo. Pois os vão das vigas são os mesmos e para o pre dimensionamento do 
pilar já foi considerado dois pavimentos. 
Noções Básicas – Distribuição de Cargas 
Como cargas permanentes atuando nas lajes tem-se o seu peso próprio, 
revestimentos e Alvenaria se tiver. No caso de lajes pré-moldadas e painéis, o peso 
próprio pode ser obtido nos catálogos dos fabricantes, conforme imagens 16 e 17 
mostradas acima. 
NBR 6120 
 
45 
 
 
Carga permanente: Alvenaria (se tiver) 
𝐴𝑙𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑎 𝑙𝑒𝑗𝑒 = 
𝛾𝑎𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 . 𝑏 . ℎ . 𝑙
𝑙𝑥 . 𝑙𝑦
 
 
Carga Acidentais 
Este peso é definido pela Norma Brasileira. Depende do tipo de uso da 
edificação, se residencial, comercial ou institucional, entre outros. Seguem-se alguns 
valores prescritos pela NBR 6120 - Cargas para o cálculo de estruturas de edificações 
(set/2019): 
46 
 
 
 
 
47 
 
 
Portanto CARGA TOTAL sobre a laje é apresentado na formula acima pela 
imagem 18. 
Cargas que atuam nas vigas: 
• Peso próprio 
• Cargas das lajes 
• Cargas de alvenarias 
6. DIMENSIONAMENTO 
Carregamentos NBR 6120 
1) Alvenaria: 1,9 kN/m2 (tabela 2) 
2) Piso: 1,4 kN/m2 (para 7cm) (tabela 4) 
3) Peso Próprio da Laje: 1,82 kN/m2 (tabela fornecedor, imagem 16) 
4) Carga Acidental (laje piso): 1,5 kN/m2 (tabela 10 – Edifícios 
Residenciais) 
5) Telhado: 0,85 kN/m2 (tabela 6) 
 
48 
 
6.1. Calculo carregamento sobre as Lajes – PAV TÉRREO 
𝑞𝑙𝑎𝑗𝑒 𝐿103 = 1,82 + 1,4 + 1,5 = 𝟒,𝟕𝟐 𝑲𝑵 𝒎𝟐⁄ 
(𝑙𝑎𝑗𝑒 103 𝑠𝑒𝑚 𝑎𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎) 
𝑞
𝑙𝑎𝑗𝑒 𝐿101 = 1,82 + 1,4 + 1,5 + (
1,9 .1,63 .2,78
1,77 .4,09 ) = 𝟓,𝟗𝟏 𝑲𝑵 𝒎
𝟐⁄ 
 
(𝑙𝑎𝑗𝑒 101 𝑐𝑜𝑚 𝑎𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎) 
𝑞
𝑙𝑎𝑗𝑒 𝐿102 𝑒 𝐿104 = 1,82 + 1,4 + 1,5 + (
1,9 .3,63 .2,78
3,77 .5,94 )
= 𝟓,𝟓𝟖 𝑲𝑵 𝒎𝟐⁄ 
 
(𝑙𝑎𝑗𝑒 102 𝑒 𝑙104 𝑐𝑜𝑚 𝑎𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎) 
 
6.2. Definição dos Tipos de Lajes – PAV TÉRREO 
Medidas em cm 
Laje L101 
𝐿101 = (
𝑙𝑦
𝑙𝑥
) = 
409
177
= 𝟐, 𝟑𝟏 > 𝟐 
(𝐴𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑚 𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜) 
 
Laje L102=104 
𝐿𝑎𝑗𝑒102 𝑒 104 = (
𝑙𝑦
𝑙𝑥
) =
594
377
= 𝟏, 𝟓𝟕 < 𝟐 
(𝐴𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑚 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒çõ𝑒𝑠) 
 
Laje L103 
𝐿103 = (
𝑙𝑦
𝑙𝑥
) =
409
240
= 𝟏, 𝟕𝟎 < 𝟐 
(𝐴𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑚 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒çõ𝑒𝑠) 
 
6.3. Distribuição das cargas nas vigas – PAV TÉRREO 
Medidas em metros 
Laje L101 
𝑃𝑎𝑟𝑐𝑟𝑒𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑞
𝑙𝑎𝑗𝑒 . (
𝑙𝑥
2
) = 5,91 . 
1,63
2
 = 𝟒,𝟖𝟏 𝑲𝑵 𝒎⁄
 
 
49 
 
 
Laje L102=104 
𝑃𝑎𝑟𝑐𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑞
𝑙𝑎𝑗𝑒 . (
𝑙𝑥
4
) = 5,58 . 
3,77
4
 = 𝟓,𝟐𝟓 𝑲𝑵 𝒎⁄ 
 
𝑃𝑎𝑟𝑐𝑡𝑟𝑎𝑝é𝑧𝑖𝑜 = 𝑞
𝑙𝑎𝑗𝑒 . (
𝑙𝑥
4
) . (2−
𝑙𝑥
𝑙𝑦
) = 5,58 . 
3,77
4
 . (2 − 
3,77
5,94
) = 𝟕,𝟏𝟖 𝑲𝑵 𝒎⁄ 
 
 
Laje L103 
𝑃𝑎𝑟𝑐𝑟𝑒𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑞
𝑙𝑎𝑗𝑒 . (
𝑙𝑥
2
) = 4,72 . 
2,40
2
 = 𝟓,𝟔𝟔 𝑲𝑵 𝒎⁄
 
 
 
 
6.4. Carregamento Alvenaria 
𝐴𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 = 𝛾𝑎𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 . 𝑏 . ℎ𝑎𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 
𝐴𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 = 1,9 . 2,90 = 𝟓, 𝟓𝟏 𝑲𝑵 𝒎⁄ 
(𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 2) 
50 
 
6.5. Esquema estático das vigas 
 
6.6. Calculo escada 
➢ Laje da escada espessura de 12 cm 
➢ Os degraus equivalem a uma laje com uma espessura média de 9 cm 
𝐸𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑑𝑎 = 9 + 12 = 21 𝑐𝑚 = 𝟎, 𝟐𝟏 𝒎 
𝑞𝑙𝑎𝑗𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑑𝑎 = 25 .0,21 + 1,00 + 2,5 = 𝟖,𝟕𝟓 𝑲𝑵 𝒎𝟐⁄ 
𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑠𝑐𝑎𝑑𝑎 = 𝑞
𝑙𝑎𝑗𝑒 . (
𝑣ã𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜
2
) = 8,75 . 
4,09
2
 = 𝟏𝟕,𝟖𝟗 𝑲𝑵 𝒎⁄
 
Escada apoia na V106 e na viga 
intermediária, isso é, a distribuição de 
carga será metade para cada lado. 
 
51 
 
 
6.7. Teoria de Flexão 
As vigas quando carregadas por uma ou mais força, deformam-se de maneira 
que suas seções, antes paralela, giram umas em relação às outras, de forma que se 
afastam em uma das faces e se aproximam em outra. As seções giram em relação 
aos eixos horizontais que passam pelo seu centro de gravidade. 
Imagem 28 – Comportamento da viga na Flexão 
Fonte: NDCURSOS, 2019 
Imagem 29 – Corte da seção 
Fonte: NDCURSOS, 2019 
52 
 
Onde: 
d = altura útil 
𝐴𝑠 = área de aço 
𝑀𝑑 = momento de cálculo 
𝑅𝑐 = Força Resultante do Concreto 
Z = braço de alavanca 
𝜎𝑐𝑑 = Tensão do Concreto 
X = Tensão do Concreto 
 
Tensão = Força/área 
𝜎 = 
𝐹
𝐴
 → 𝐹 = 𝜎. 𝐴 
 
Concreto 
𝑅𝑐 = 0,85. 𝑓𝑐𝑑 . 0,8 𝑋 
𝑓
𝑐𝑑 = 
𝑓𝑐𝑘
1,4
 
d = h − 2 c m 
𝑋 = 1,25𝑑 . (1 − √1 −
𝑀𝑑
0,425 . 𝑏𝑤 . 𝑑2 . 𝑓𝑐𝑑
) 
𝑥 = 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝑑𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑎 
 
Aço 
𝑅𝑠 = 𝑓𝑦𝑑 . 𝐴𝑠 
 
𝐴
𝑠 = 
𝑀𝑑
(𝑑 − 0,4𝑥) . 𝑓𝑦𝑑
 
 
𝐴𝑠 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑎ç𝑜 
 
 
53 
 
6.8. Cisalhamento 
𝑣𝑆𝐷 ≤ 𝑣𝑟𝑑1 
𝑉𝑠𝑑 = Força cortante de cálculo 
𝑉𝑟𝑑1 = Força cortante máxima 
𝑉𝑟𝑑1= [𝜏𝑟𝑑 . 𝑘 . (1,2 + 40 . 𝜌1)] . 𝑏𝑤 . 𝑑
 
𝜏𝑟𝑑 = 0,25 . 𝑓𝑐𝑡𝑑 
𝑓
𝑐𝑡𝑑 = 
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓
𝛾𝑐
 
𝑓
𝑐𝑡𝑘,inf = 0,21 . 𝑓𝑐𝑘
2 3⁄ 
𝜌
1 = 
𝐴𝑠1
𝑏𝑤 . 𝑑
 
Onde: 
𝜏𝑟𝑑 = tensão resistente de cálculo do concreto à força cortante 
𝐴𝑠1 = área da armadura de tração 
𝑘 = coeficiente que tem os seguintes valores: 
• para elementos onde 50 % da armadura inferior não chega até o apoio: 
k = |1|; 
• para os demais casos: k = |1,6 – d| não menor que |1|, com d em metros; 
 
6.9. Calculo Laje Treliçada 
 
 
 
 
 
 
54 
 
𝑞𝑙𝑎𝑗𝑒 𝐿102 = 𝟓,𝟓𝟖 𝑲𝑵 𝒎𝟐⁄ 
Para cada vigota =5,58 𝐾𝑁 𝑚2⁄ x intereixo 
Para cada vigota = 5,58 𝐾𝑁 𝑚2⁄ x 0,42 = 2,34 𝑲𝑵 𝒎⁄ 
 
𝑀 = 1,4 .
𝑝 . 𝑙2
8
= 1,4 .
2,34 . 3,772
8
= 𝟓, 𝟖𝟐 𝑲𝑵 𝒎⁄ 
 
𝑉𝑠𝑑 = 1,4 .
𝑝 . 𝑙
2
= 1,4 .
2,34 . 3,77
2
= 𝟔, 𝟏𝟕 𝑲𝑵 𝒎⁄ 
 
Flexão 
𝑓
𝑐𝑑 = 
𝑓𝑐𝑘
1,4 → 
25
14 = 17,9 𝑚𝑝𝑎 = 𝟏,𝟕𝟗 𝑲𝑵 𝒄𝒎
𝟐⁄
 
 
d = h − 2 cm → 12 − 2 = 𝟏𝟎 𝐜𝐦 para laje treliçada 
 
𝑋 = 1,25 .10 . (1 − √1 −
5,82 . 100
0,425 . 042 . 102 . 1,79
) 
𝑋 = 𝟏, 𝟏𝟗 𝒄𝒎 
 
𝑋
𝑑
= 
1,19
10
 = 𝟎, 𝟏𝟏𝟗 < 0,45 → 𝑜𝑘! 𝐴𝑟𝑚𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠! 
 
𝐴
𝑠 = 
5,82 . 100
(10 − 0,4 . 1,19) . 
60
1,15
 = 𝟏,𝟏𝟕 𝒄𝒎𝟐 → 3 ∅ 8𝑚𝑚 
 
 
Verificação a Força Cortante 
𝑓𝑐𝑡𝑘,inf = 0,21 . 252 3⁄ =𝟏,𝟕𝟗 𝑴𝑷𝒂 
 
𝑓
𝑐𝑡𝑑 = 
1,79
1,4 =1,28 𝑀𝑃𝑎 → 𝟎,𝟏𝟑 𝑲𝑵 𝒄𝒎
𝟐⁄
 
55 
 
𝜏𝑟𝑑 = 0,25 . 0,13 = 𝟎,𝟎𝟑𝟐𝟓 
𝜌
1 = 
1,50
9 . 10
 =𝟎,𝟎𝟏𝟕 (𝑛ã𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 0,02)
 
𝑘 = 1,6 − 0,1 = 𝟏, 𝟓 
𝑉𝑟𝑑1= [0,325 . 1,5 . (1,2 .40 . 0,017)] . 9 . 10 
𝑉𝑟𝑑1 = 𝟖,𝟐𝟓 𝑲𝑵 > 6,17 𝐾𝑁 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑜𝑘! 
 
6.10. Carregamento sobre as Lajes – PAV COBERTURA 
 
𝑞𝑙𝑎𝑗𝑒 𝐿201 = 𝑃𝑃 + 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 + 𝑡𝑒𝑙ℎ𝑎𝑑𝑜 + 𝐶𝐴 + 𝐶𝑎𝑖𝑥𝑎 𝐷´ á𝑔𝑢𝑎 
CA = laje de cobertura com acesso as pessoas = 1,0 
Caixa D´água = 2000 L = 20 KN 
𝑞
𝑙𝑎𝑗𝑒 𝐿201 = 1,82 + 1,0 + 0,85 + 1,0 
20
1,63 . 3,95 = 𝟕,𝟕𝟖 𝑲𝑵 𝒎
𝟐⁄
 
 
𝑞𝑙𝑎𝑗𝑒 𝐿202=𝐿203=𝐿204 = 𝑃𝑃 + 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 + 𝑡𝑒𝑙ℎ𝑎𝑑𝑜 + 𝐶𝐴 
CA = laje de cobertura sem acesso as pessoas = 0,5 
𝑞𝑙𝑎𝑗𝑒 𝐿202=𝐿203=𝐿204= 1,82 + 0,5 + 0,85 + 0,5 = 𝟑,𝟔𝟕 𝑲𝑵 𝒎𝟐⁄ 
 
𝑞𝑏𝑒𝑖𝑟𝑎𝑙 = 𝑃𝑃 + 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 + 𝑡𝑒𝑙ℎ𝑎𝑑𝑜 + 𝐶𝐴+ 𝑎𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 
Altura da parede – platibanda = 1,25 
Complemento de alvenaria = 12,97x0,6 
Tabela 2 (alvenaria) = 0,9 
𝑞
𝑏𝑒𝑖𝑟𝑎𝑙 = 1,82 + 0,5 + 0,85 + 0,5 + 
1,9 . 1,25 . 12,97
0,6 . 12,87 = 𝟕,𝟔𝟑 𝑲𝑵 𝒎
𝟐⁄
 
 
6.11. Definição dos Tipos de Lajes – PAV COBERTURA 
Medidas em cm 
Laje L201 
56 
 
𝐿101 = (
𝑙𝑦
𝑙𝑥
) = 
409
177
= 𝟐, 𝟑𝟏 > 𝟐 
(𝐴𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑚 𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜) 
 
Laje L202=L204 
𝐿𝑎𝑗𝑒102 𝑒 104 = (
𝑙𝑦
𝑙𝑥
) =
594
377
= 𝟏, 𝟓𝟕 < 𝟐 
(𝐴𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑚 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒çõ𝑒𝑠) 
 
Laje L203 
𝐿103 = (
𝑙𝑦
𝑙𝑥
) =
417
409
= 𝟏, 𝟎𝟏 < 𝟐 
(𝐴𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑚 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒çõ𝑒𝑠) 
 
OBS: beiral sempre armado em uma direção 
 
6.12. Distribuição das cargas nas vigas – PAV COBERTURA 
Medidas em metros 
Laje L201 
𝑃𝑎𝑟𝑐𝑟𝑒𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑞
𝑙𝑎𝑗𝑒 . (
𝑙𝑥
2
) = 7,78 . 
1,17
2
 = 𝟔,𝟖𝟖 𝑲𝑵 𝒎⁄
 
 
Laje L202=L204 
𝑃𝑎𝑟𝑐𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑞
𝑙𝑎𝑗𝑒 . (
𝑙𝑥
4
) = 3,67 . 
3,77
4
 = 𝟑,𝟒𝟔 𝑲𝑵 𝒎⁄ 
 
𝑃𝑎𝑟𝑐𝑡𝑟𝑎𝑝é𝑧𝑖𝑜 = 𝑞
𝑙𝑎𝑗𝑒 . (
𝑙𝑥
4
) . (2− 
𝑙𝑥
𝑙𝑦
) = 3,67 . 
3,77
4
 . (2 − 
3,77
5,94
) = 𝟒,𝟕𝟐 𝑲𝑵 𝒎⁄ 
 
 
Laje L203 
𝑃𝑎𝑟𝑐𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑞
𝑙𝑎𝑗𝑒 . (
𝑙𝑥
4
) = 3,67 . 
4,09
4
 = 𝟑,𝟕𝟓 𝑲𝑵 𝒎⁄ 
 
𝑃𝑎𝑟𝑐𝑡𝑟𝑎𝑝é𝑧𝑖𝑜 = 𝑞
𝑙𝑎𝑗𝑒 . (
𝑙𝑥
4
) . (2− 
𝑙𝑥
𝑙𝑦
) = 3,67 . 
4,09
4
 . (2 − 
4,09
4,17
) = 𝟑,𝟖𝟐 𝑲𝑵 𝒎⁄ 
 
57 
 
 
6.13. Beiral 
𝑃𝑎𝑟𝑐𝑏𝑒𝑖𝑟𝑎𝑙 = 𝑞𝑙𝑎𝑗𝑒 . 𝑙𝑥 
𝑝𝑎𝑟𝑐𝑏𝑒𝑖𝑟𝑎𝑙 = 7,63 . 0,60 = 𝟒,𝟓𝟖 𝑲𝑵 𝒎⁄ 
 
6.14. Carregamento Alvenaria 
(Complemento sobre a viga V201 – altura considerada 0,75m) 
𝐴𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 = 𝛾𝑎𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 . 𝑏 . ℎ𝑎𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 
𝐴𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 = 1,9 . 0,75 = 𝟏, 𝟒𝟐 𝑲𝑵 𝒎⁄ 
 
58 
 
 (Alvenaria de h = 2,00 m) 
𝐴𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 = 𝛾𝑎𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 . 𝑏 . ℎ𝑎𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 
𝐴𝑙𝑣𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 = 1,9 . 2,00 = 𝟑, 𝟖𝟎 𝑲𝑵 𝒎⁄ 
 
 
 
 
 
 
 
59 
 
6.15. Viga 106 flexão 
 
 
Dados do projeto: 
Concreto: C25 = 25 Mpa = 2,5 kN/cm2 
Aço: CA-50 = 50 kN/cm2 
 
 Dimensionamento a Flexão Mk = + 50,6 kNm 
𝑀𝑑 = 1,4 . 𝑀𝑘 . 100 
𝑀𝑑 = 1,4 . 50,6 . 100 = 𝟕𝟎𝟖𝟒 𝑲𝑵 𝒄𝒎⁄ 
𝑓
𝑐𝑑 = 
𝑓𝑐𝑘
1,4
 → 𝑓
𝑐𝑑 = 
25
1,4
 = 𝟏,𝟕𝟖𝟓 𝑲𝑵 𝒄𝒎𝟐⁄
 
 
d = h − 5 cm → d = 45 − 5 cm = 𝟒𝟎𝐜𝐦 
 
𝑋 = 1,25𝑑 . (1 − √1 −
𝑀𝑑
0,425 . 𝑏𝑤 . 𝑑2 . 𝑓𝑐𝑑
) 
𝑋 = 1,25 . 40 . (1 − √1 −
7084
0,425 . 14 . 402 . 1,785
) 
𝑋 = 𝟏𝟏, 𝟖𝟏 𝒄𝒎 
 
𝑓
𝑦𝑑 = 
𝑓𝑦𝑘
1,15 → 
50
1,15 = 𝟒𝟑,𝟒𝟕 𝑲𝑵 𝒄𝒎
𝟐⁄
 
 
60 
 
𝐴
𝑠 = 
𝑀𝑑
(𝑑 − 0,4𝑥) . 𝑓𝑦𝑑
 
 
𝐴
𝑠 = 
7084
(40 − 0,4 . 11,81) . 43,47
 = 𝟒,𝟔𝟏 𝒄𝒎𝟐 → 4 ∅ 12,5 𝑚𝑚 
 
 
6.16. Vigas 
Afim de evitar a ruptura frágil da seção ao se formar a primeira fissura deve-se 
sempre estar presente uma armadura tracionada com área igual ou superior a um 
valor mínima. A área mínima de armadura tracionada deve ser determinada a partir 
do carregamento que gera o momento iminente de ser atingida a tensão de ruptura a 
tração na borda tracionada. A armadura mínima de tração, em elementos estruturais 
armados ou protendidos deve ser determinada pelo dimensionamento da seção a um 
momento fletor mínimo dado pela expressão a seguir, respeitada a taxa mínima 
absoluta de 0,15%: 
Armadura Mínima de Tração: 
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 𝜌𝑚𝑖𝑚 . 𝐴𝑐 
Armação de Cisalhamento – Estribos: 
𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑟𝑑2 
𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑟𝑑3 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠𝑤 
𝑽𝒔𝒅 = é a força cortante solicitante de cálculo na seção. 
𝑽𝒓𝒅𝟐 = é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais 
comprimidas de concreto. 
𝑽𝒓𝒅𝟑 = é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração 
diagonal. 
𝑽𝒄 = é a parcela de força cortante absolvida por mecanismos complementares 
ao de treliça. 
 𝑽𝒔𝒘 = é a parcela resistida pela armadura transversal. 
 
Verificação da diagonal comprimida do concreto: 
𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑟𝑑2 
61 
 
𝑉𝑟𝑑2 = 0,27 . 𝛼𝑣2 . 𝑓𝑐𝑑 . 𝑏𝑤 . 𝑑 
𝛼
𝑣2 = (1− 
𝑓𝑐𝑘
250)
 
𝑓
𝑐𝑑 = 
𝑓𝑐𝑘
𝛾𝑐
 
𝜶𝒗𝟐 = é um fator de redução (adimensional) em razão das tensões não serem 
uniformes. 
 
Verificação do elemento tracionado cálculo da Armadura Transversal: 
𝑉𝑠𝑑 = 𝑉𝑟𝑑3 
𝑉𝑠𝑑 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠𝑤 
𝑉𝑠𝑤 = 𝑉𝑠𝑑 − 𝑉𝑐 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
 = 
𝑉𝑠𝑑 − 𝑉𝑐
0,9 . 𝑑 . 𝑓𝑦𝑤𝑑
 
(𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑜 𝑨𝒔𝒘 𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑠) 
𝑉𝑐 = 0,6 . 𝑓𝑐𝑡𝑑 . 𝑏𝑤 . 𝑑 
𝑉𝑠𝑤 = 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
 . 0,9 . 𝑑 . 𝑓𝑦𝑤𝑑 
𝑓
𝑐𝑡𝑘,inf = 0,21 . 𝑓𝑐𝑘
2 3⁄ 
𝑓
𝑐𝑡𝑑 = 
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓
𝛾𝑐
 
 
Armadura mínima de Cisalhamento: 
𝜌𝑠𝑤 𝑚𝑖𝑛 = 0,2 .
𝑓𝑐𝑡𝑚
𝑓𝑦𝑤𝑘
 
𝑓
 ctm = 0,3 . 𝑓𝑐𝑘
2 3⁄ 
𝑓𝑦𝑤𝑘 = 500 𝑀𝑃𝑎 
62 
 
𝜌𝑠𝑤 𝑚𝑖𝑛 = 
𝐴𝑠𝑤 𝑚𝑖𝑛
𝐴𝑐
 
𝑓𝑦𝑤𝑑 = tensão na armadura transversal, limitada ao valor fyd, não maior que 
435 Mpa = 43,5 KN/cm2 
Com a armadura mínima calcula-se o espaçamento mínimo: 
𝜌𝑠𝑤 𝑚𝑖𝑛 = 
𝐴𝑠𝑤 𝑚𝑖𝑛
𝑏. 𝑠
 → 𝑆𝑚𝑖𝑛 = 
𝐴𝑠𝑤 𝑚𝑖𝑛
𝑏. 𝜌𝑠𝑤 𝑚𝑖𝑛
 
 
Dimensionamento a flexão Mk = + 46,4 kNm 
𝑀𝑑 = 1,4 . 𝑀𝑘 . 100 
𝑀𝑑 = 1,4 . 46,4 . 100 = 𝟔𝟒𝟗𝟔 𝑲𝑵 𝒄𝒎⁄ 
𝑓
𝑐𝑑 = 
𝑓𝑐𝑘
1,4
 → 𝑓
𝑐𝑑 = 
25
1,4
 = 𝟏,𝟕𝟖𝟓 𝑲𝑵 𝒄𝒎𝟐⁄
 
 
d = h − 5 cm → d = 45 − 5 cm = 𝟒𝟎𝐜𝐦 
 
𝑋 = 1,25𝑑 . (1 − √1 −
𝑀𝑑
0,425 . 𝑏𝑤 . 𝑑2 . 𝑓𝑐𝑑
) 
63 
 
𝑋 = 1,25 . 40 . (1 − √1 −
6496
0,425 . 14 . 402 . 1,785
) 
𝑋 = 𝟏𝟎, 𝟕𝟎 𝒄𝒎 
 
𝑓
𝑦𝑑 = 
𝑓𝑦𝑘
1,15
 → 
50
1,15
 = 𝟒𝟑,𝟒𝟕 𝑲𝑵 𝒄𝒎𝟐⁄
 
 
𝐴
𝑠 = 
𝑀𝑑
(𝑑 − 0,4𝑥) . 𝑓𝑦𝑑
 
 
𝐴
𝑠 = 
6496
(40 − 0,4 . 10,70) . 43,47
 = 𝟒,𝟏𝟖 𝒄𝒎𝟐 → 4 ∅ 12,5 𝑚𝑚 
 
 
As mínimo 
Tabela 17.3 – Taxas mínimas de armaduras de flexão para vigas 
 
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 𝜌𝑚𝑖𝑚 . 𝐴𝑐 
𝐴𝑠
𝑚𝑖𝑛 = 
0,15
100 . 14 . 45 = 𝟎,𝟗𝟒𝟓 𝒄𝒎
𝟐 < 𝐴𝑠 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 (𝐴𝑠=4,18 𝑐𝑚2)
 
64 
 
 
Cisalhamento 
Dimensionamento ao Cisalhamento Vk = 53,4 kN 
𝑉𝑠𝑑 = 1,4 . 𝑉𝑘 
𝑉𝑠𝑑 = 1,4 . 53,4 = 𝟕𝟒, 𝟕𝟔 𝒌𝑵 
 
Verificação da diagonal comprimida 
𝛼
𝑣2 = (1− 
𝑓𝑐𝑘
250
)
→ 𝛼
𝑣2 = (1− 
25 𝑀𝑃𝑎250
)
= 𝟎, 𝟗𝟎 
𝑓
𝑐𝑑 = 
𝑓𝑐𝑘
1,4
 → 𝑓
𝑐𝑑 = 
25
1,4
 = 17,85 𝑀𝑝𝑎 = 𝟏,𝟕𝟖𝟓 𝑲𝑵 𝒄𝒎𝟐⁄
 
𝑉𝑟𝑑2 = 0,27 . 𝛼𝑣2 . 𝑓𝑐𝑑 . 𝑏𝑤 . 𝑑 
𝑉𝑟𝑑2 = 0,27 . 0,90 . 1,785 . 14 . 40 = 242,90 kN 
 
𝑽𝒔𝒅 = 𝟕𝟒, 𝟕𝟔 𝒌𝑵 < 𝑽𝒓𝒅𝟐 = 𝟐𝟒𝟐, 𝟗𝟎 𝒌𝑵 ∴ 𝒐𝒌! 
 
Verificação do elemento tracionado (determinação da área de aço do estribo) 
𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑟𝑑3 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠𝑤 
𝑉𝑐 = 0,6 . 𝑓𝑐𝑡𝑑 . 𝑏𝑤 . 𝑑 
𝑓
𝑐𝑡𝑘,inf = 0,21 . 𝑓𝑐𝑘
2 3⁄ → 
 
 
𝑓𝑐𝑡𝑘,inf = 0,21 . 252 3⁄ =𝟏,𝟕𝟗 𝑴𝑷𝒂 
 
𝑓
𝑐𝑡𝑑 = 
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓
𝛾𝑐
 → 
𝑓
𝑐𝑡𝑑 = 
1,79
1,4 = 1,28 𝑀𝑃𝑎 = 𝟎,𝟏𝟐𝟖 
𝒌𝑵
𝒄𝒎𝟐
 
𝑉𝑐 = 0,6 . 0,128 . 14 . 40 = 𝟒𝟑 𝒌𝑵 
 
Condição mais econômica: 𝑉𝑠𝑑 = 𝑉𝑟𝑑3 
𝑉𝑠𝑑 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠𝑤 
𝑉𝑠𝑤 = 𝑉𝑠𝑑 − 𝑉𝑐 
65 
 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
 = 
𝑉𝑠𝑑 − 𝑉𝑐
0,9 . 𝑑 . 𝑓𝑦𝑤𝑑
 → 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
 = 
74,76−43
0,9 . 40 . 43,5
= 0,02809 
𝒄𝒎𝟐
𝒄𝒎
 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
= 0,0209 . 100 = 𝟐, 𝟎𝟐𝟖 
𝒄𝒎𝟐
𝒎
 
Para escolher a área da bitola do estribo é adequado escolher entre as bitolas 
de 5 a 8 mm (obras residenciais em geral). Adotaremos Ø 6,3 mm que tem a área de 
0,31 cm2, lembrando que o estribo tem dois tramos essa área será multiplicada por 
dois, esse valor será o nosso 𝑨𝒔𝒘 
𝐴𝑠𝑤 = 2 . 0,31 = 𝟎, 𝟔𝟐 𝒄𝒎
𝟐 
0,62
𝑠
= 2,028 
𝑐𝑚2
𝑚
 → 
0,62
2,028
= 𝑠 → 0,305 𝑚 = 𝑠 → ∴ 𝒔 = 𝟑𝟎 𝒄𝒎 
 
Cálculo da armadura mínima para o Cisalhamento 
𝑓
 ctm = 0,3 . 𝑓𝑐𝑘
2 3⁄
 → 
𝑓 ctm = 0,3 . 252 3⁄ = 𝟐,𝟓𝟔𝟒 𝑴𝑷𝒂 
𝑓𝑦𝑤𝑘 = 𝟓𝟎𝟎 𝑴𝑷𝒂 
𝜌𝑠𝑤 𝑚𝑖𝑛 = 0,2 .
𝑓𝑐𝑡𝑚
𝑓𝑦𝑤𝑘
 → 𝜌𝑠𝑤 𝑚𝑖𝑛 = 0,2 .
2,564
500
= 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟎𝟐 
𝜌𝑠𝑤 𝑚𝑖𝑛 = 
𝐴𝑠𝑤 𝑚𝑖𝑛
𝐴𝑐
 → 0,00102 = 
𝐴𝑠𝑤 𝑚𝑖𝑛
𝑠 . 𝑏𝑤
 → 0,00102 = 
𝐴𝑠𝑤 𝑚𝑖𝑛
𝑠 . 14
 →
 
𝐴𝑠𝑤 𝑚𝑖𝑛
𝑠 
= 0,00102 . 14 → 
𝐴𝑠𝑤 𝑚𝑖𝑛
𝑠 
= 0,01428 
𝑐𝑚2
𝑐𝑚
 
𝐴𝑠𝑤 𝑚𝑖𝑛
𝑠 
= 0,01428 
𝑐𝑚2
𝑐𝑚
 . 100 → 
𝐴𝑠𝑤 𝑚𝑖𝑛
𝑠 
= 𝟏, 𝟒𝟐 
𝒄𝒎𝟐
𝒎
 
 
Obs: A área mínima 1,42 𝑐𝑚2 𝑚⁄ é MENOR que a dimensionada 
2,03 𝑐𝑚2 𝑚⁄ adotaremos a ÁREA dimensionada. 
 
6.17. Pilar Canto 
𝐴𝑠 = 
𝜔 . 𝐴𝑐 . 𝑓𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
 → 𝐴𝑠 = 
0,91 . 1000 . 
2,0
1,4
50
1,15
 = 𝟐𝟗, 𝟗𝟎 𝒄𝒎𝟐 
66 
 
 
 
b = menor dimensão da seção transversal do pilar = 20 cm 
 
 
 
 
Necessidade de estribos suplementares 
 
20 . ∅𝑡 = 20 . 0,63 = 𝟏𝟐, 𝟔 𝒄𝒎 
Detalhamento Final 
 
 
 
 
 
67 
 
 
Armadura mínima 
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0,15 .
𝑁𝑑
𝑓𝑦𝑑
 ≥ 0,004 . 𝐴𝑐 
Onde: 
𝑁𝑑 = força normal de cálculo; 
𝑓𝑦𝑑 = resistência de cálculo de início de escoamento do aço; 
𝐴𝑐 = área da seção transversal do pilar. 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 0,15 .
1148
50
15
= 𝟑, 𝟗𝟔 𝒄𝒎𝟐 
0,004 . 𝐴𝑐 = 0,004 . 20 . 50 = 𝟒 𝒄𝒎
𝟐 
 
𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 𝟒 𝒄𝒎
𝟐 
𝑃𝑟𝑜𝑗𝑒𝑡𝑜: 𝐴𝑠 = 𝟐𝟗, 𝟗𝟎 𝒄𝒎
𝟐 
↓ 
𝑂𝐾! 
 
Armadura máxima 
𝐴𝑠,𝑚𝑎𝑥 = 0,8 . 𝐴𝑐 
A máxima armadura permitida em pilares deve considerar inclusive a 
sobreposição de armadura existente em regiões de emenda. 
𝐴𝑠,𝑚𝑎𝑥 = 0,8 . 20 . 50 = 𝟖𝟎 𝒄𝒎
𝟐 
↓ 
𝑃𝑟𝑜𝑗𝑒𝑡𝑜: 𝐴𝑠 = 𝟐𝟗, 𝟗𝟎 𝒄𝒎
𝟐 
𝑁𝑎 𝑒𝑚𝑒𝑛𝑑𝑎: 𝐴𝑠 = 2 . 29,90 = 𝟓𝟗, 𝟖𝟎 𝒄𝒎
𝟐 
↓ 
𝑂𝐾! 
 
68 
 
7. CONCLUSÃO 
Neste trabalho foram apresentados os elementos básicos de um projeto 
estrutural, as forças atuantes sobre eles, assim como os materiais estruturais mais 
coerentes com cada finalidade de projeto. O "esqueleto” de uma obra representa uma 
fase muito importante para as demais que a seguem, pois, um erro de 
compatibilização estrutural poderá resultar numa construção doentia ou imprópria 
para os fins previstos. De acordo com os cálculos realizados e a utilização do software 
Ftool 2004 e Pcalc 1.4 para modelagem da viga. Um Correto pré-dimensionamento 
dos elementos estruturais é imprescindível para facilitar o posterior cálculo do 
dimensionamento. Conclui-se este projeto de forma satisfatória e com um grande 
aprendizado no que diz respeito a dimensionamento estrutural, este projeto foi muito 
importante também ao aperfeiçoamento das técnicas de cálculo de dimensionamento 
de lajes, vigas e pilares devido as revisões dos conceitos relevantes e úteis na vida 
profissional de um engenheiro civil. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69 
 
8. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
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