Apositla_EMetalicas

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ 
CENTRO DE CIENCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTRUTURAS METÁLICAS 
 
 
Prof. Leila Cristina Meneghetti 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cascavel- PR 
2008 
Sumário 
CAPÍTULO 1 ................................................................................................................................. 1 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS ESTRUTURAS METÁLICAS................................................... 1 
1.1 HISTÓRICO ............................................................................................................................. 1 
1.3 PRINCIPAIS APLICAÇÕES DOS AÇOS ESTRUTURAIS .................................................................... 4 
1.4 PRODUTOS SIDERÚRGICOS ..................................................................................................... 5 
CAPÍTULO 2 ................................................................................................................................. 8 
AÇOS ESTRUTURAIS .................................................................................................................. 8 
2.1 PROPRIEDADES ...................................................................................................................... 8 
2.2 AÇOS ESTRUTURAIS COMUNS ................................................................................................ 11 
2.2.1 Aço Carbono ................................................................................................. 11 
2.2.2 Aços de Baixa-Liga e Alta Resistência ......................................................... 12 
2.3 CLASSIFICAÇÃO DE AÇOS PARA PERFIS DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS SEGUNDO A ABNT ........ 13 
2.4 CLASSIFICAÇÃO DE AÇOS PARA PERFIS DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS SEGUNDO A ASTM ........ 13 
CAPÍTULO 3 ............................................................................................................................... 14 
AÇÕES........................................................................................................................................ 14 
3.1 CLASSIFICAÇÃO DAS AÇÕES.................................................................................................. 14 
3.1.1 Classificação quanto à origem....................................................................... 14 
3.1.2 Classificação quanto à variabilidade ............................................................. 15 
3.1.3 Classificação quanto ao modo de atuação..................................................... 15 
3.2 CARGAS ACIDENTAIS VERTICAIS (SOBRECARGAS) .................................................................. 16 
3.3 CARGAS DEVIDO AO VENTO ................................................................................................. 16 
3.3.1 Pressão Dinâmica ......................................................................................... 17 
3.3.2 Coeficientes aerodinâmicos e ação estática do vento.................................... 26 
3.3.3 Força Devida ao Vento.................................................................................. 34 
3.3.4 Exemplos de Determinação da Força Devida ao Vento................................ 35 
3.4 PRINCÍPIOS GERAIS PARA O DIMENSIONAMENTO – MÉTODO DOS ESTADOS LIMITES ................ 40 
3.5 CRITÉRIOS DA NBR 8800 ..................................................................................................... 41 
3.6 EXEMPLOS DE COMBINAÇÕES DE AÇÕES ............................................................................... 45 
CAPÍTULO 4.................................................................................................................................50 
PEÇAS COMPRIMIDAS................................................................................................................50 
4.1 TEORIA DE EULER - CARGA CRÍTICA DE FLAMBAGEM (PCR) ..................................................... 50 
4.2 DIMENSIONAMENTO DE BARRAS COMPRIMIDAS ...................................................................... 54 
4.3 FLAMBAGEM EM CANTONEIRAS ............................................................................................ 70 
4.4 PEÇAS COMPOSTAS ............................................................................................................ 74 
4.4.1 Limitações quanto a Flambagem Local ..................................................... 75 
CAPÍTULO 5 ............................................................................................................................... 85 
PEÇAS TRACIONADAS ............................................................................................................. 85 
5.1 GENERALIDADES .................................................................................................................... 85 
5.2 DIMENSIONAMENTO DE BARRAS À TRAÇÃO ............................................................................... 85 
5.3 ÁREAS DA SEÇÃO TRANSVERSAL PARA DIMENSIONAMENTO ......................................................... 86 
5.4 ÁREA LÍQUIDA EFETIVA (AE) ..................................................................................................... 87 
5.5 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS.................................................................................................... 91 
5.6 ÍNDICE DE ESBELTEZ LIMITE......................................................................................................... 92 
CAPÍTULO 6 ............................................................................................................................... 93 
DIMENSIONAMENTO DE BARRAS FLEXIONADAS .................................................................. 99 
6.1 CLASSIFICAÇÃO DA FLEXÃO EM BARRAS.................................................................................. 99 
6.2 FLEXÃO DE PEÇAS ISENTAS DE FLAMBAGEM LATERAL .............................................................. 99 
6.3 FLAMBAGEM LATERAL .......................................................................................................... 125 
6.4 FLEXÃO COMPOSTA ............................................................................................................. 135 
BIBLIOGRAFIA ..........................................................................................................................141 
 
 
Estruturas Metálicas Capítulo 1 
 1 
CAPÍTULO 1 
 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS ESTRUTURAS METÁLICAS 
1.1 Histórico 
O primeiro material siderúrgico empregado na construção foi o ferro 
fundido. Entre 1780 e 1820 construíram-se pontes em arco treliçado, com 
elementos de ferro fundido trabalhando à compressão. Mas, devido aos inúmeros 
acidentes ocorridos com estas estruturas, sentiu-se a necessidade de utilizar um 
material de melhor qualidade. Partiu-se, então, para a utilização do aço, que já era 
conhecido, mas não era utilizado pois estava disponível no mercado a preços 
muito altos, por causa da falta de um sistema industrial de fabricação. Resolveu-se 
este problema com a invenção dos fornos para produção do aço em 
escala comercial com preços competit ivos. 
Houve então, um grande desenvolvimento da ciência das construções e da 
metalurgia. As estruturas metálicas adquiriram formas funcionais e arrojadas, 
constituindo-se em verdadeiros triunfos da tecnologia, o que permitiu que o aço 
competisse no mercado juntamente com o concreto na construção de edifícios, 
pontes, torres de transmissão, etc. 
Em 1921 foi implantada no Brasil a Companhia Siderúrgica Belgo-Mineira 
para produzir fio máquina, arame farpado, perfis leves, etc. Em 1940 foi instituída 
no Brasil a Comissão Executiva do Plano Siderúrgico Nacional,e em plena guerra 
(1941) foi fundada no Rio de Janeiro, em Volta Redonda, a Companhia 
Siderúrgica Nacional (CSN), que entrou em operação em 12 de outubro de 1946 
com a finalidade de produzir chapas, trilhos e perfis nas bitolas americanas, e com 
uma previsão de produção de 500.000 t/ano. 
Na década de 60, entraram em operação a Usiminas e a Cosipa, para a 
produção de chapas. A partir daí, grandes expansões foram realizadas no setor 
siderúrgico, produzindo o Brasil, hoje, perto de 25 milhões de toneladas de aço, 
ocupando assim, o 8º lugar em termos de produção mundial. 
1.2 Vantagens e desvantagens das estruturas de aço em 
comparação com as estruturas de concreto armado 
Quando da comparação entre o aço e o concreto, é inconveniente dizer que 
o concreto é melhor que o aço e vice-versa, pois ambos dependem do uso a que 
se destinam. Por exemplo, na construção civil o aço trabalha melhor à tração e à 
flexão, enquanto o concreto é mais adequado à compressão. Para vãos de mais 
de 15 m, o aço torna-se mais adequado. 
Estruturas Metálicas Capítulo 1 
 2 
As principais vantagens da estrutura metálica sobre a estrutura de concreto 
armado são: 
- Fabricação das estruturas com precisão milimétrica, possibilitando 
um alto controle de qualidade do produto acabado; 
- Material resistente a vibração e choques; 
- Maior resistência mecânica 
O módulo de elasticidade do aço é aproximadamente igual a dez vezes o 
do concreto. Dessa forma, consegue-se, com a estrutura metálica, maiores vãos 
de vigamentos, colunas de menores dimensões e vigas com menor altura. 
Logicamente que, diminuindo as dimensões das peças estruturais, consegue-se 
maior área útil na edificação. 
− Maior rapidez na execução 
Sendo a estrutura metálica composta de peças pré-fabricadas, a montagem 
pode ser executada com grande rapidez, terminando a obra num prazo menor e 
com isso permitindo uma antecipação na amortização do capital investido. 
− Utilização mais racional da mão-de-obra 
A estrutura metálica pode ser toda ou quase toda executada na fábrica. 
Com isso, o trabalho de campo se restringirá a montagem das peças, o que pode 
ser feito por uma equipe reduzida. 
− Canteiro de obras mais organizado 
São desnecessários depósitos de cimento e agregados, fôrmas e 
andaimes, além de locais de estocagem de restos de construção, tais como partes 
de fôrmas, pedaços de ferragens e alvenarias. Observa-se também uma grande 
redução no consumo de energia e água. 
− Facilidade de reforço e ampliação 
Em uma obra executada com estrutura metálica, caso necessário, os 
elementos de aço podem ser desmontados e substituídos facilmente, assim como 
a estrutura pode ser facilmente ampliada, ao contrário daquelas feitas em concreto 
armado. 
− Possibilidade de reaproveitamento 
A estrutura metálica, principalmente quando as ligações são parafusadas, 
possibilita sua desmontagem e posterior montagem em outro local. 
 
 
Estruturas Metálicas Capítulo 1 
 3 
− Correspondência entre consumo e previsão 
Sendo a estrutura metálica composta de perfis pré-fabricados, é possível se 
ter uma correspondência perfeita entre o consumo e a previsão de materiais 
indicada em orçamentos. 
− Métodos de ligação 
O aço apresenta métodos de ligação mais seguros e mais próximos das 
hipóteses teóricas que o concreto armado. 
− Aproximação teoria-realidade 
Como o aço é um material homogêneo e praticamente isotrópico, suas 
características são bem definidas. Com isso, consegue-se uma grande 
aproximação entre os esforços calculados e aqueles que efetivamente ocorrem na 
prática. 
As principais desvantagens apresentadas pela estrutura de aço em relação 
a de concreto armado. 
− Custo mais elevado 
As estruturas em concreto armado apresentam um custo global inferior às 
do aço. 
− Possibilidade de corrosão 
Define-se corrosão nos materiais metálicos como sendo a sua deterioração 
por ação química ou eletroquímica do meio-ambiente. Trata-se de um processo 
espontâneo, prejudicando a durabilidade e desempenho das peças de aço, que se 
tornam inválidas para os fins projetados. 
Para evitar a corrosão, deve ser feita uma proteção da estrutura, que 
consiste em limpar totalmente a superfície das peças após a fabricação e pintá-las 
posteriormente com tintas adequadas. A qualidade da limpeza e das tintas 
empregadas são função da agressividade do ambiente onde estará a estrutura, 
por exemplo, sujeito a vapores ácidos industriais, a proximidade do mar, etc. 
Estima-se que 15% do custo total da estrutura são gastos com a 
conservação. 
Existem aços com alta resistência à corrosão, que podem dispensar a 
proteção anti-corrosiva, mas que, no entanto, tem preços mais elevados. 
− Influência de altas temperaturas 
As estruturas de aço são mais afetadas por temperaturas elevadas que as 
de concreto. O aço é um material incombustível, mas sua resistência é 
enormemente influenciada pelo acréscimo de temperatura. 
Estruturas Metálicas Capítulo 1 
 4 
A uma temperatura de 538ºC, o limite de escoamento do aço é cerca de 
70% daquele a temperatura normal (cerca de 25ºC) e o limite de resistência 60%, 
sendo que à medida que a temperatura vai atingindo valores mais altos, os limites 
de escoamento e resistência vão reduzindo também. 
As normas exigem que, em edificações onde há materiais inflamáveis, a 
estrutura de aço seja protegida contra o fogo, para controlar a temperatura do 
metal por um tempo suficiente para que os ocupantes sejam postos em 
segurança, antes do colapso da estrutura. 
A proteção da estrutura contra altas temperaturas é feita através de 
materiais anti-térmicos, normalmente obtidos de produtos a base de gesso ou 
concreto celular, que podem ser moldados em volta do perímetro da barra ou 
colocados sob a forma de placas. Para determinação da espessura deve ser 
consultada bibliografia especializada. 
É importante notar que, após o incêndio, quando as peças metálicas se 
esfriam, recuperam sua resistência original. Dessa forma, os elementos que 
permanecem retos poderão ser reaproveitados, enquanto que os deformados ou 
flambados deverão ser substituídos. 
− Necessidade de mão-de-obra especializada 
As estruturas metálicas necessitam de um grande número de operários 
especializados, ao contrário das do concreto armado. 
1.3 Principais aplicações dos aços estruturais 
O aço pode ser aplicado como elemento estrutural em praticamente todo 
tipo de construção, por exemplo: 
− Edifícios de vários andares, residenciais ou comerciais; 
− Galpões e instalações industriais; 
− Pontes ferroviárias e rodoviárias; 
− Torres de transmissão e sub-estações; 
− Construção mecânica em geral; 
− Construção aeronáutica e naval; 
− Comportas, silos, reservatórios, etc.; 
− Antenas e chaminés; 
− Construção de vagões; 
− Telhados; 
− Hangares; 
− Pontes rolantes e equipamentos de transporte; 
− Reservatórios; 
− Guindastes; 
− Escadas. 
 
Estruturas Metálicas Capítulo 1 
 5 
1.4 Produtos Siderúrgicos 
As estruturas metálicas devem ser constituídas, preferencialmente, por 
produtos siderúrgicos padronizados, de forma a minimizar custos. A adoção de 
formas diferentes das padronizadas pode aumentar o custo final. Então, o 
projetista quando do desenvolvimento de seus projetos deve estar com os 
catálogos das siderúrgicas à mão, para que as peças especificadas atendam aos 
padrões siderúrgicos. 
Os perfis laminados são obtidos pela passagem de blocos de aço (lingotes) 
por rolos de laminação que levam à forma final, com dimensões padronizadas e 
com pequena tolerância. Como os laminadores são equipamentos muito caros, 
não é economicamente viável trocar o padrão dos perfis ou criar um novo. Os 
tipos mais comuns, para a construção metálica, são os perfis I (ou duplo T), U (ou 
canal, ou C), as cantoneiras (ou L) e as barrasredondas. 
 
Cantoneira de abas
Iguais
b
b
t
aba: b
espessura da aba: t
a
b
t
htwd
bftf
htwd
bf
aba: b
aba: a
Cantoneira de abas
Desiguais
espessura da alma: tw
Perfil I ou duplo T
espessura da mesa: tf
espessura da aba: t
largura da mesa: bt
altura da alma: h
altura do perfil: dtf
espessura da alma: tw
espessura da mesa: tf
largura da mesa: bt
altura da alma: h
altura do perfil: d
Perfil H ou duplo T
espessura da alma: twh tw
altura da alma: h
bf
espessura da mesa: tf
largura da mesa: bf
Perfil T
tf
altura: d 
b
t
espessura: t
aba: b
Perfil U ou canal
d
t
Estruturas Metálicas Capítulo 1 
 6 
Ainda existem as Barras redondas e chatas, os Tubos circulares, 
retangulares ou quadrados, as Chapas em bobinas com medidas variáveis em 
comprimento e largura, e Chapas finas ou grossas em formatos específicos. 
 
1.5 Produtos Metalúrgicos 
As empresas metalúrgicas produzem perfis compostos por chapas 
dobradas ou compostos por chapas soldadas. 
Os perfilados obtidos por dobramento de chapas estão sujeitos ao limite da 
capacidade de dobramento das chapas que, por isso, não podem ser espessas. 
São empregados em geral em coberturas de galpões e ginásios de esportes. 
Existem empresas especializadas em fabricá-los, dispondo de catálogos com 
dimensões padronizadas e propriedades geométricas das seções (perfis leves). 
Como exemplo, temos: 
 
 
 
Tê Soldado Duplo Tê Soldado
Chapas Trapezoidais
Cantoneira
enrijecido
Perfil U Perfil U ou C ou canal
Perfil cartola Perfil Z
Estruturas Metálicas Capítulo 1 
 7 
1.6 Entidades normativas para o projeto e cálculo de Estruturas 
Metálicas 
Entidades normativas são associações representativas de classes, ou 
organismos oficiais, que determinam os procedimentos a serem seguidos para a 
execução de uma determinada atividade. No caso de projetos e obras em 
estruturas metálicas, temos normalizadas as características mecânicas e químicas 
dos materiais, a metodologia para o cálculo estrutural e o detalhamento em nível 
de projeto executivo. 
As unidades a serem adotadas no Brasil são as do SI (Sistema 
Internacional). Nos desenhos as medidas lineares são todas em milímetros, não 
havendo necessidade de explicitar este fato. 
A seguir apresentamos as siglas das principais entidades normativas para 
atividades que envolvam estruturas metálicas. 
Brasil: 
 ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas 
Estados Unidos: 
 AISC American Institute of Steel Construction 
 ANSI American National Standards Institute 
 AWS American Welding Society 
 AASHTO American Association of State and Highway Transportation Officials 
 API American Petroleum Institute 
 ASTM American Society for Testing and Materials 
 AISE Association of Iron and Steel Engineers 
 AISI American Iron and Steel Institute 
 ASCE American Society of Civil Engineers 
 AREA American Railway Engineering 
 ABS American Bureau Shipping 
 ASA American Standards Association 
 SAE Society of Automotive Engineers 
 SSPC Steel Structures Painting Council 
 USBPR United States Bureau of Public Roads Uniform Building Code 
 
Estruturas Metálicas Capítulo 2 
8 
CAPÍTULO 2 
 
AÇOS ESTRUTURAIS 
 
 Os aços estruturais são fabricados conforme as características mecânicas 
e/ou químicas desejáveis no produto final. A escolha do tipo de aço a ser utilizado 
em uma estrutura será determinante no dimensionamento dos elementos que a 
compõem. 
 
2.1 Propriedades 
As propriedades mecânicas dependem da composição química, processo 
de laminação e tratamento térmico do aço. Outros fatores podem influenciar, tais 
como técnica de ensaio, temperatura, geometria do corpo-de-prova, etc. 
As propriedades dos aços estruturais são: 
Ductibilidade é a capacidade do material de se deformar sob a ação de 
cargas. 
Fragilidade é o oposto da ductibilidade. Os aços podem ter características 
de elementos frágeis em baixas temperaturas ambientes. 
Resiliência é a capacidade do material de absorver energia mecânica em 
regime elástico. 
Tenacidade é a capacidade do material de absorver energia mecânica com 
deformações elásticas e plásticas. 
Dureza resistência ao risco ou abrasão. 
Fadiga resistência a carregamentos repetitivos. 
Do ponto de vista do engenheiro estrutural, o ensaio mais importante, de 
onde se obtém as propriedades que mais interessam, é o ensaio de tração. Este 
ensaio é feito com um corpo-de-prova cilíndrico ou prismático, com a parte central 
de dimensões menores para evitar ruptura na região das garras da máquina de 
ensaio, que será tracionado até sua ruptura. Traça-se, então um gráfico 
relacionando tensão (ordenadas) e deformação (abcissas). 
Um diagrama típico de aço carbono, conforme indicado na figura 2.1, é 
caracterizado por um trecho inicial linear, zona de proporcionalidade, seguido por 
um trecho plástico de considerável deformação (patamar de escoamento), sem 
acréscimo importante de tensões, terminando com um trecho de aumento de 
deformações onde seu crescimento se faz com algum aumento de tensões que é 
denominado de encruamento do aço. Durante o escoamento ocorre uma redução 
localizada na seção do corpo-de-prova, denominada estricção de seção. Como é 
difícil controlar o valor da seção durante o ensaio, considera-se, para o cálculo da 
Estruturas Metálicas Capítulo 2 
9 
tensões, o valor inicial da área da seção transversal como constante. A 
deformação correspondente ao fim da zona de plastificação é cerca de 10 a 20 
vezes maior do que a deformação correspondente ao limite de proporcionalidade . 
 
 
Figura 2.1 – Diagrama tensão vs. deformação para o aço 
 
Onde: 
f - Tensão no material 
fu - Tensão última 
fy - Tensão de escoamento 
fp - Tensão de proporcionalidade 
ε - Deformação específica 
εu - Deformação específica quando ocorre a última tensão 
εy - Deformação específica limite quando ocorre a tensão de 
escoamento 
εp - Deformação específica quando ocorre a tensão de 
proporcionalidade 
α - Ângulo de inclinação da reta da região elástica 
1 - Região Elástica 
2 - Região Elastoplástica 
 
f
f
f
ε
α
1 2
Deformação Permanente
ε ε
u
y
p
εp y u
Estruturas Metálicas Capítulo 2 
10 
Tensão de escoamento ou ponto de escoamento (fy) – o patamar de 
escoamento costuma apresentar uma tensão de escoamento máxima seguida de 
uma tensão de escoamento mínima. Genericamente, refere-se à tensão superior 
como tensão de escoamento, a qual corresponde a deformação (εy). Para aços 
que não apresentam, patamar de escoamento, a tensão de escoamento é obtida 
com a intersecção de uma reta traçada paralela ao trecho reto do gráfico a partir 
de um ponto no eixo das abcissas correspondente a uma deformação específica 
de 0,2%, com o próprio gráfico tensão vs. deformação. 
Tensão de ruptura ou ponto de ruptura (fu) – É o valor máximo de tensão 
que se obtém na peça. Corresponde ao ápice da curva tensão vs. deformação. 
Limite de proporcionalidade – É o valor de tensão correspondente ao final 
da reta de proporcionalidade. 
Módulo de elasticidade ou módulo de Young (E) – É a razão entre tensões 
e deformações (σ = E*ε), conhecida como Lei de Hooke. Corresponde ao 
coeficiente angular da reta de proporcionalidade. Para os aços estruturais o 
módulo de elasticidade varia pouco 
E = tg α = 205GPa → α = 89,9999999997º 
Coeficiente de Poisson (µ) – É a razão entre as deformações transversais e 
longitudinais sob carga axial. Para o aço seu valor situa-se entre 0,25 e 0,33 na 
zona elástica. A NBR 8800 adota o valor de µ = 0,30 para todos os aços 
estruturais. 
Módulo de elasticidade transversal – É a razão entre as deformações 
transversais e as tensões cisalhantes na zona de proporcionalidade. Pode serdeterminado através da equação: 
G = E/2(1 + µ) 
Para os aços estruturais pode-se adotar G = 79.230 MPa. 
Resistência à fadiga – é definida coma a tensão para a qual o aço rompe 
após repetidas aplicações de carga. Está relacionada com o número de ciclos de 
carga e com a amplitude de variação das cargas. 
Coeficiente de dilatação térmica – Na faixa normal de temperaturas 
ambientais, adota-se o valor, de acordo com a NBR 8800, β = 12 x 10-6 / ºC-1. 
Peso específico (γ) – adotar o valor de 77 kN/m3. 
 
 
Estruturas Metálicas Capítulo 2 
11 
2.2 Aços estruturais comuns 
 
2.2.1 Aço Carbono 
O elemento ferro, quando puro, não apresenta propriedades adequadas 
para o emprego industrial. É necessário estar composto com outros elementos 
formando ligas. As ligas com predominância de ferro são denominadas aços. 
Os aços mais comuns são denominados aços-carbono. A presença de 
carbono modifica as características do aço e definem uma primeira classificação 
de quatro categorias. 
Baixo carbono C < 0,15 % 
Moderado 0,15 % < C< 0,29 % 
Médio carbono 0,30 % < C < 0,59 % 
Alto carbono 0,6 % < C < 1,7 % 
Quanto maior a quantidade de carbono na liga, maior a resistência 
esperada para o aço. Entretanto isso não se dá gratuitamente, isto é, com o 
aumento de carbono o aço fica mais suscetível à fragilização e aos efeitos de 
tratamento térmico. 
Os aços comuns, ditos comerciais, são denominados no Brasil de MR 240 e 
MR 250 e têm as seguintes propriedades: 
 
MR 240 fy = 240 MPa fu = 370 MPa 
MR 250 fy = 250 MPa fu = 400 MPa 
 
O aço estrutural mais utilizado é o MR 250, que corresponde ao americano 
ASTM A36. 
 
Pode ser útil para o engenheiro de estruturas conhecer as propriedades 
estimadas para os aços de acordo com a classificação SAE, cujos valores das 
resistências são estimados, não havendo obrigatoriedade de serem atendidas em 
ensaios. 
 
Obs: Os aços 10xx são aços carbono e os valores xx indicam a 
quantidade de carbono. Por exemplo, o aço 1020 apresenta 0,2 % de carbono. 
 
 
Estruturas Metálicas Capítulo 2 
12 
Tabela 2.1 – Aços com classificação SAE 
Tensão de escoamento mínima(MPa) Tensão de ruptura mínima(MPa) 
Aço SAE Laminado a 
quente 
Laminado a 
frio 
Laminado a 
quente 
Laminado a 
frio 
1010 180 300 330 370 
1020 210 350 380 420 
1030 260 450 470 530 
1040 290 490 530 590 
1050 340 590 630 700 
1060 370 - 680 - 
 
 
2.2.2 Aços de Baixa-Liga e Alta Resistência 
São os aços estruturais que possuem limites de escoamento iguais ou 
superiores a 290 MPa, cuja resistência é devida à adição de pequenas 
quantidades de elementos na liga, ao invés de tratamentos térmicos. 
Os aços de baixa-liga apresentam a vantagem de serem soldáveis sem 
necessidade de precauções especiais, sendo excelentes para a construção civil. 
Tabela 2.2 – Aços de baixa liga 
Especificação Principais elementos 
de liga 
fy (MPa) Fu (MPa) 
ASTM A242 C<0,22 % 
Mn<0,25% 
290 – 350 435 – 480 
DIN ST52 C<0,20% Mn<1,50% 360 520 – 620 
 
Existem aços de alta resistência e baixa liga que apresentam elevada 
resistência à corrosão atmosférica, a qual é obtida pela formação de uma película 
de corrosão superficial (pátina) protetora que reduz sua corrosão posterior de 
maneira apreciável. A Companhia Siderúrgica Nacional dispõe do aço ASTM A242 
com elementos de liga níquel-cobre que o tornam resistente à corrosão 
atmosférica. Comercialmente é denominado Nio-Cor, enquanto que a Usiminas 
fabrica um aço semelhante denominado SAC-50, com o limite de resistência de 
500 MPa. 
 
Estruturas Metálicas Capítulo 2 
13 
2.3 Classificação de aços para perfis de elementos estruturais 
segundo a ABNT 
NBR 6648 –(EB 255) Chapas espessas para uso em estruturas em aço-carbono 
 CG-24: fy = 235 MPa; fu = 380 MPa 
 CG-26: fy = 255 MPa; fu = 410 MPa 
NBR 6649 –(EB 276-I/II) Chapas finas laminadas a frio, para uso em estruturas 
 CF-24: fy = 240 MPa; fu = 370 MPa 
 CF-26: fy = 260 MPa; fu = 410 MPa 
NBR 6650 –(EB 276-I/II) Chapas finas laminadas a quente, para uso em estruturas 
 CF-24: fy = 240 MPa; fu = 370 MPa 
 CF-26: fy = 260 MPa; fu = 410 MPa 
 CF-28: fy = 280 MPa; fu = 440 MPa 
 CF-30: fy = 300 MPa; fu = 490 MPa 
NBR 7007 –(EB 583) Aço para perfis laminados 
 MR-250: fy = 250 MPa; fu = 400 MPa 
 AR-290: fy = 290 MPa; fu = 415 MPa 
 AR-345: fy = 345 MPa; fu = 450 MPa 
 AR-COR-345A: fy = 345 MPa; fu = 485 MPa 
 AR-COR-345B: fy = 345 MPa; fu = 485 MPa 
 
2.4 Classificação de aços para perfis de elementos estruturais 
segundo a ASTM 
A36 - É usado em perfis, chapas e barras, para construção de edifícios, 
pontes e estruturas pesadas. 
 fy = 250 MPa; fu = 400 a 550 MPa 
A572 - Empregado em estruturas que necessitem de alto grau de 
resistência. 
 Perfis 
 Grau 42: fy = 290 MPa; fu = 415 MPa 
 Grau 50: fy = 345 MPa; fu = 450 MPa 
 
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
14 
 CAPÍTULO 3 
 
 AÇÕES 
 
3.1 Classificação das Ações 
 
 Denominam-se ações, todas as causas de tensões e/ou deformações e/ou 
movimentos do corpo rígido em uma estrutura. 
 As ações podem ser classificadas de três maneiras: quanto à origem, 
quanto à sua variabilidade com o tempo e quanto ao seu modo de atuação. 
 
 3.1.1 Classificação quanto à origem 
� Ações inerentes à própria estrutura e aos materiais utilizados para sua 
execução 
 Neste grupo enquadram-se: o peso próprio da estrutura, pré-tensões e pré-
deformações planejadas, recalques de apoios planejados, entre outros. 
� Ações decorrentes da finalidade da estrutura 
 Aqui se incluem, por exemplo: 
- em edifícios comerciais e habitacionais: as sobrecargas nos pisos, devidas 
as pessoas, móveis e utensílios; os pesos de coberturas, paredes, revestimentos, 
forros, etc.; as cargas de elevadores e de outras utilidades (com respectivas 
forças de inércia); cargas de caixas d’água, sobrecargas na cobertura, etc. 
- em edifícios industriais: todas as citadas anteriormente e mais as cargas de 
diversos equipamentos (com respectivas forças horizontais e verticais de inércia). 
- em pontes rodoviárias e ferroviárias: as cargas móveis dos veículos com 
seus respectivos impactos e forças horizontais; pesos de defensas, revestimento 
de tabuleiro, passarelas para pedestres (incluindo suas sobrecargas), etc. 
- em reservatórios de fluídos: a pressão do fluído sobre as paredes. 
- em torres de transmissão: o peso dos cabos e respectivas forças 
horizontais, peso dos isoladores, etc. 
� Ações decorrentes do meio ambiente 
 Dependem da localização da estrutura e abrangem: vento, terremotos, 
neve, chuvas, variações de temperatura, empuxos de terra, pressão hidrostática, 
recalques de apoio, movimentos de águas marítimas ou fluviais, etc. 
� Ações decorrentes de acidentes 
 Em alguns casos, as estruturas são dimensionadas para resistir a certos 
acidentes, devido à sua importância, à conseqüência de seu colapso ou à 
exigência do proprietário. As estruturas de proteção de reatores nucleares e as 
barragens são casos típicos em que a ocorrência de colapso pode trazer 
conseqüências imprevisíveis. 
 
 
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
15 
 3.1.2 Classificação quanto à variabilidade 
� Ações permanentes 
 São as ações praticamente invariáveis ao longo da vida útil da estrutura, 
tais como: peso próprio da estrutura, peso de elementos fixados definitivamente à 
estrutura (paredes, materiais de acabamento, etc.), entre outros. 
� Ações variáveis 
 São aquelas para as quais uma ou mais características (intensidade, 
sentido, direção, posição) podem variar ao longo da vida útil da estrutura. 
 Nas combinações de carregamentos as ações variáveis podem aparecer 
com valores extremos ou valores reduzidos probabilisticamente (quando 
combinadas com outras ações variáveis) ou mesmo nãoaparecer, se sua não 
ocorrência for mais desfavorável para o ponto particular em estudo e se seu valor 
puder se anular fisicamente. 
 
 3.1.3 Classificação quanto ao modo de atuação 
� Ações externas 
 São aquelas que podem ser representadas por um conjunto de esforços 
externos, concentrados e/ou distribuídos, agindo nos nós ou nos 
elementos da estrutura. Por exemplo, pesos próprios da estrutura e de outros 
materiais, sobrecargas em geral, vento, neve, etc. 
� Ações internas 
 Não podem ser representadas por esforços externos, não exigem a 
presença de apoios ou de meio equilibrante para equilíbrio global da estrutura. 
São exemplos: variação de temperatura, pré-tensão, pré-deformação, recalque de 
apoio, etc. 
 
 3.2 Cargas Acidentais Verticais (sobrecargas) 
 
 São as cargas que podem atuar ou não na estrutura. Em geral, em edifícios 
de porte pequeno e médio, fora de zonas de acúmulo de poeira, adota-se, para 
sobrecargas na cobertura, 15 kgf/m2 para cobrir chuvas, etc.; para galpões em 
zonas siderúrgicas adota-se um mínimo de 50 kgf/m2. A NBR 6120/80 preconiza 
no item 2.2.1.4 que para elementos isolados de cobertura, como terças e banzos 
superiores de treliça, seja feita verificação adicional para uma carga concentrada 
de 1kN = 100kgf aplicada na posição mais desfavorável, além da carga 
permanente. Portanto, nestes casos devem ser feitas ambas as verificações. 
Outras cargas eventuais podem atuar na estrutura, sendo fruto da análise do 
projetista. 
 Por outro lado, no caso das estruturas metálicas, a NBR 8800 estabelece o 
valor de 25 kgf/m2 como sobrecarga para todas as estruturas. 
 
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
16 
 
3.3 Cargas Devido ao Vento 
 
A ação do vento nas estruturas metálicas é umas das mais importantes a 
considerar, porque a sua não consideração pode levar a estrutura ao colapso. 
As considerações para avaliação das forças devidas ao vento, para efeito 
de cálculo em edifícios, são regidas pela Norma Brasileira NBR 6123/88 “Forças 
devidas ao vento nas edificações”. A descrição a seguir é um resumo desta 
norma. 
O item 4 da NBR 6123/88 diz que as forças devidas ao vento sobre uma 
edificação devem ser calculadas separadamente para: 
1. Elementos de vedação e suas fixações (telhas, vidros, esquadrias, 
painéis de vedação, etc.); utilizando os coeficientes de pressão; 
2. Partes da estrutura (paredes, telhados, etc.), utilizando os coeficientes 
de forma; 
3. A estrutura como um todo. 
 A ação do vento em edificações depende necessariamente de dois 
aspectos: meteorológicos e aerodinâmicos. 
 Os aspectos meteorológicos são responsáveis pela determinação da 
velocidade do vento a se considerar no desenvolvimento do projeto. Por outro 
lado, a análise da edificação e de sua forma definem o outro aspecto importante 
na análise do vento, o aerodinâmico, pois a forma da edificação tem um papel 
importante na determinação da força devida ao vento que a solicitará. 
 
 3.3.1 Pressão Dinâmica 
A pressão dinâmica depende essencialmente da velocidade “V0” do vento e 
dos fatores que a influenciam, tais como: fator topográfico (S1), fator de 
rugosidade (S2) e fator estatístico (S3). 
A velocidade básica do vento “V0”, é a velocidade natural do vento, medida 
por equipamentos padronizados assim como as condições de instalação. 
Estas condições são: 
- localização dos anemômetros ou anemógrafos em terrenos planos sem 
obstrução; 
- posicionados a 10 metros de altura; 
- inexistência de obstruções que possam interferir diretamente na velocidade 
do vento. 
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
17 
 A NBR-6123/88 estabelece para a velocidade básica, um gráfico de 
isopletas, figura 3.1, baseado nas seguintes condições: 
- velocidade básica para uma rajada de três segundos; 
- período de retorno de 50 anos; 
- probabilidade de 63% de ser excedida pelo menos uma vez no período de 
retorno de 50 anos; 
- altura de 10 metros; 
- terreno plano, em campo aberto e sem obstruções. 
 As velocidades básicas “V0” foram determinadas por processo estatístico, 
com base nos valores de velocidades máximas anuais medidas em cerca de 49 
cidades brasileiras, compreendendo o período de 1954 a 1974, além de diversas 
considerações de caráter estatístico, usando um período de recorrência de 50 
anos, que representa a vida útil média de uma edificação. A NBR 6123/88 
desprezou as velocidades básicas “V0” inferiores a 30 m/s. Considerou-se que o 
vento básico possa atuar em qualquer direção com igual probabilidade e sempre no 
sentido horizontal. 
Figura 3.1 – Isopletas da Velocidade Básica 
 
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
18 
 Velocidade característica 
 Como pode ser observado, a velocidade básica é praticamente um padrão 
de referência a partir do qual é necessário determinar a velocidade que atuará em 
uma dada edificação, ou seja, a velocidade característica. 
 Esta velocidade característica deverá considerar os aspectos particulares 
da edificação, entre estes podemos citar: 
- Topografia do local 
- Rugosidade do terreno 
- Altura da edificação 
- Dimensões de edificação 
- Tipo de ocupação e risco de vida 
 Portanto, a NBR-6123/88 prevê que a velocidade característica será obtida 
pela expressão: 
Vk = V0 x S1 x S2 x S3 
 
Fator topográfico “S1” 
 O fator topográfico “S1” leva em consideração as grandes variações na 
superfície do terreno, ou seja, acelerações encontradas perto de colinas, 
proteções conferidas por vales profundos e os efeitos de afunilamento em vales. A 
figura 3.2 ilustra estes aspectos. 
Figura 3.2 – Aspectos de alteração das linhas de fluxo em função da 
topografia 
 
 
Ponto A – Terreno plano 
Ponto B – Aclive com aumento de velocidade 
A
B
C
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
19 
Ponto C – Vale protegido com diminuição da velocidade 
 
 O fator topográfico “S1” é determinado do seguinte modo. 
Tabela 3.1 – Fator topográfico “S1” 
Caso Topografia S1 
A Terreno plano ou fracamente acidentado 1,0 
B Taludes e morros: a correção da velocidade básica será realizada a 
partir do ângulo de inclinação do talude ou do morro e a figura 3.3 
ilustra os valores prescritos. 
1,0 
C Vales profundos, protegidos de ventos de qualquer direção 0,9 
 
 
Figura 3.3 – Fator S1 Taludes e Morros 
d
S1=1
A
Z
S1(Z)S2 Z Z
4d
S1(Z)
B C
S1=1
θ
a) Talude
S1(Z)S2
Z
θA
S1=1
d
S1(Z)
B
Z
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
20 
No ponto B, S1 é uma função S1(z): 
θ ≤ 3º : S1(z)=1,0 
6º ≤ θ ≤ 17º : 0,1)º3(5,2(0,1)(1 ≥−





−+= θtg
d
z
zS
 
θ ≥ 45º : 0,131,05,2(0,1)(1 ≥





−+=
d
z
zS 
 
 Interpolar linearmente para 3º < θ < 6º e 17º < θ < 45º. 
 Sendo: 
Z – altura medida a partir da superfície do terreno no ponto considerado; 
d – diferença de nível entre a base e o topo do talude ou morro; 
θ - inclinação média do talude ou encosta do morro. 
 Entre A e B e entre B e C o fator S1 é obtido por interpolação linear. 
Fator de rugosidade do terreno e dimensões da edificação “S2” 
 O fator S2 considera as particularidades de uma dada edificação no que se 
refere às suas dimensões, bem como a rugosidade média geral do terreno no qual 
a edificação será construída. 
 A rugosidade do terreno está diretamente associada ao perfil de velocidade 
que o vento apresenta quando interposto por obstáculos naturais ou artificiais. 
 A figura 3.4 ilustra o perfil da velocidade do vento para três tipos de terreno, 
proposto por Davenport. 
Figura 3.4 – Perfil da velocidade média proposto por Davenport 
 
0
100
200
300
400
500 160
145
129
110
83
160
148
133
109
160
153
137
(m) 
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
21 
 A NBR-6123/88 estabelece cinco categorias de terrenoem função de sua 
rugosidade, transcritas a seguir: 
Categoria I: Superfícies lisas de grandes dimensões, com mais de 5km de 
extensão, medida na direção e sentido do vento incidente. 
Exemplos: mar calmo, lagos e rios, e pântanos sem vegetação. 
Categoria II: Terrenos abertos em nível ou aproximadamente em nível, com 
poucos obstáculos isolados, tais como árvores e edificações baixas. 
Exemplos: zonas costeiras planas, pântanos com vegetação rala, 
campos de aviação, pradarias e charnecas, fazendas sem sebes ou 
muros. A cota média do topo dos obstáculos é considerada igual ou 
inferior a 1 metro. 
Categoria III: Terrenos planos ou ondulados com obstáculos, tais como sebes e 
muros, poucos quebra ventos de árvores, edificações baixas e 
esparsas. Exemplos: granjas e casas de campo (com exceção das 
partes com matos), fazendas com sebes e/ou muros, subúrbios a 
considerável distância do centro, com casas baixas e esparsas. A 
cota média do topo dos obstáculos é considerada igual a 3 metros. 
Categoria IV: Terrenos cobertos por obstáculos numerosos e pouco espaçados, 
em zona florestal, industrial ou urbanizada. Exemplos: zonas de 
parques e bosques com muitas árvores, cidades pequenas e seus 
arredores, subúrbios densamente construídos de grandes cidades, 
áreas industriais plena ou parcialmente desenvolvidas. A cota 
média do topo dos obstáculos é considerada igual a 10 metros. 
Esta Categoria também inclui zonas com obstáculos maiores e que 
ainda não possam ser consideradas na Categoria V. 
Categoria V: Terrenos cobertos por obstáculos numerosos, grandes, altos e 
pouco espaçados. Exemplos: florestas com árvores altas de copas 
isoladas, centros de grandes cidades, complexos industriais bem 
desenvolvidos. A cota média do topo dos obstáculos é considerada 
igual ou superior a 25 metros. 
 É necessário então, adotar uma categoria para definição do fator S2. 
 As dimensões da edificação estão relacionadas diretamente com o turbilhão 
(rajada) que deverá envolver toda a edificação. Quanto maior é a edificação maior 
deve ser o turbilhão que a envolverá e por conseqüência menor a velocidade 
média. 
 A norma brasileira define três classes de edificações e seus elementos, 
considerando os intervalos de tempo de 3,5 e 10 segundos para as rajadas. As 
classes são: 
 
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
22 
 
Classe A: todas as unidades de vedação, seus elementos de fixação e peças 
individuais de estruturas sem vedação. Toda edificação ou parte da 
edificação na qual a maior dimensão horizontal ou vertical da 
superfície frontal não exceda 20 metros. 
Classe B: toda edificação ou parte da edificação para a qual a maior dimensão 
horizontal ou vertical da superfície frontal esteja entre 20 e 50 metros. 
Classe C: toda edificação ou parte da edificação para a qual a maior dimensão 
horizontal ou vertical da superfície frontal exceda 50 metros. 
 O cálculo de S2 pode ser obtido através da expressão: 
S2 = b x Fr x (Z/10)p 
onde: 
Z – é a altura acima do terreno (limitado à altura gradiente) 
Fr – fator de rajada correspondente a classe B, categoria II 
b – parâmetro de correção da classe da edificação 
p – parâmetro meteorológico. 
 Os parâmetros Fr, b e p adotados pela norma brasileira estão apresentados 
na tabela 3.2. 
Tabela 3.2 – Parâmetros meteorológicos para o fator S2 
Classe Categoria Zg (m) Parâmetro 
A B C 
I 250 b 
p 
1,10 
0,06 
1,11 
0,065 
1,12 
0,07 
II 300 b 
Fr 
p 
1,00 
1,00 
0,085 
1,00 
0,98 
0,09 
1,00 
0,95 
0,10 
III 350 b 
p 
0,94 
0,10 
0,94 
0,105 
0,93 
0,115 
IV 420 b 
p 
0,86 
0,12 
0,85 
0,125 
0,84 
0,135 
V 500 b 
p 
0,74 
0,15 
0,73 
0,16 
0,71 
0,175 
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
23 
A tabela 3.3 apresenta os valores de S2 para algumas alturas das edificações. 
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
24 
Tabela 3.3 – Fator S2 
CATEGORIAS 
 I II III IV V 
Classes Classes Classes Classes Classes Z 
(m) A B C A B C A B C A B C A B C 
≤5 
10 
15 
20 
30 
1.06 
1.10 
1.13 
1.15 
1.17 
1.04 
1.09 
1.12 
1.14 
1.17 
1.01 
1.06 
1.09 
1.12 
1.15 
0.94 
1.00 
1.04 
1.06 
1.10 
0.92 
0.98 
1.02 
1.04 
1.08 
0.89 
0.95 
0.99 
1.02 
1.06 
0.88 
0.94 
0.98 
1.01 
1.05 
0.86 
0.92 
0.96 
0.99 
1.03 
0.82 
0.88 
0.93 
0.96 
1.00 
0.79 
0.86 
0.90 
0.93 
0.98 
0.76 
0.83 
0.88 
0.91 
0.96 
0.73 
0.80 
0.84 
0.88 
0.93 
0.74 
0.74 
0.79 
0.82 
0.87 
0.72 
0.72 
0.76 
0.80 
0.85 
0.67 
0.67 
0.72 
0.76 
0.82 
40 
50 
60 
80 
100 
1.20 
1.21 
1.22 
1.25 
1.26 
1.19 
1.21 
1.22 
1.24 
1.26 
1.17 
1.19 
1.21 
1.23 
1.25 
1.13 
1.15 
1.16 
1.19 
1.22 
1.11 
1.13 
1.15 
1.18 
1.21 
1.09 
1.12 
1.14 
1.17 
1.20 
1.08 
1.10 
1.12 
1.16 
1.18 
1.06 
1.09 
1.11 
1.14 
1.17 
1.04 
1.06 
1.09 
1.12 
1.15 
1.01 
1.04 
1.07 
1.10 
1.13 
0.99 
1.02 
1.04 
1.08 
1.11 
0.96 
0.99 
1.20 
1.06 
1.09 
0.91 
0.94 
0.97 
1.01 
1.05 
0.89 
0.93 
0.95 
1.00 
1.03 
0.86 
0.89 
0.92 
0.97 
1.01 
120 
140 
160 
180 
200 
1.28 
1.29 
1.30 
1.31 
1.32 
1.28 
1.29 
1.30 
1.31 
1.32 
1.27 
1.28 
1.29 
1.31 
1.32 
1.24 
1.25 
1.27 
1.28 
1.29 
1.23 
1.24 
1.26 
1.27 
1.28 
1.22 
1.24 
1.25 
1.27 
1.28 
1.20 
1.22 
1.24 
1.26 
1.27 
1.20 
1.22 
1.23 
1.25 
1.26 
1.18 
1.20 
1.22 
1.23 
1.25 
1.16 
1.18 
1.20 
1.22 
1.23 
1.14 
1.16 
1.18 
1.20 
1.21 
1.12 
1.14 
1.16 
1.18 
1.20 
1.07 
1.10 
1.12 
1.14 
1.16 
1.06 
1.09 
1.11 
1.14 
1.16 
1.04 
1.07 
1.10 
1.121 
1.14 
250 
300 
350 
400 
420 
450 
500 
1.34 
-- 
-- 
-- 
-- 
-- 
-- 
1.34 
-- 
-- 
-- 
-- 
-- 
-- 
1.33 
-- 
-- 
-- 
-- 
-- 
-- 
1.31 
1.34 
-- 
-- 
-- 
-- 
-- 
1.31 
1.33 
-- 
-- 
-- 
-- 
-- 
1.31 
1.33 
-- 
-- 
-- 
-- 
-- 
1.30 
1.32 
1.34 
-- 
-- 
-- 
-- 
1.29 
1.32 
1.34 
-- 
-- 
-- 
-- 
1.28 
1.31 
1.33 
-- 
-- 
-- 
-- 
1.27 
1.29 
1.32 
1.34 
1.35 
-- 
-- 
1.25 
1.27 
1.30 
1.32 
1.35 
-- 
-- 
1.23 
1.26 
1.29 
1.32 
1.33 
-- 
-- 
1.20 
1.23 
1.26 
1.29 
1.30 
1.32 
1.34 
1.20 
1.23 
1.26 
1.29 
1.30 
1.32 
1.34 
1.18 
1.22 
1.26 
1.29 
1.30 
1.32 
1.34 
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
25 
Fator estatístico “S3” 
 A tabela 3.4 fixa os valores para o fator estatístico S3. Esta tabela 
considera o grau de segurança requerido e a vida útil da edificação, tendo por 
base o período de recorrência de 50 anos para determinação da velocidade V0 
e a probabilidade de 63% de que esta velocidade seja ultrapassada ou 
igualada nesse período. 
Tabela 3.4 – Fator estatístico S3 
Grupo Descrição S3 
1 Edificação cuja ruína total ou parcial pode afetar a segurança 
ou possibilidade de socorro de pessoas após uma tempestade 
destrutiva (hospitais, quartéis de bombeiros e de forças de 
segurança, centrais de comunicação etc.) 
1,10 
2 Edificações para hotéis e residências. Edificações para 
comércio e indústria com alto fator de ocupação. 
1,00 
3 Edificações e instalações industriais com baixo fator de 
ocupação (depósitos, silos, construções rurais etc.) 
0,95 
4 Vedações (telhas, vidros, painéis de vedação etc.) 0,88 
5 Edificações temporárias. Estruturas do Grupo 1 a 3 durante a 
construção. 
0,83 
 
 3.3.2 Coeficientes aerodinâmicos e ação estática do vento 
 
 É possível imaginar que o vento, ao incidir sobre um telhado do tipo 
duas águas, um arco ou um edifício de andares múltiplos, terá sua “trajetória” 
alterada emfunção da forma diferenciada destas edificações. 
A visualização da alteração do ar pode ser feita através das linhas de 
fluxo. A figura 3.5 ilustra as linhas de fluxo sobre um edifício com telhado tipo 
duas águas. 
 
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
26 
 
 
Figura 3.5 – Linhas de fluxo para um edifício com cobertura 
 tipo duas águas 
 
A velocidade característica do vento permite determinar a pressão 
dinâmica “q” pela expressão encontrada a partir do Teorema de Bernoulli: 
- para: q em kgf/m2 e Vk em m/s 
qk = vk2/16 
 
 
- para: q em N/m2 e Vk em m/s 
qk = 0,613 x Vk2 
 
 Cabe salientar a importância da pressão dinâmica, pois será utilizada 
como padrão para todos os demais pontos onde deseja-se determinar a 
pressão estática total, enfatizando que esta pressão é perpendicular à 
superfície da estrutura. 
 
Coeficientes de Pressão 
 
Coeficiente de pressão externa (Cpe ) 
 
 A NBR 6123/88 apresenta uma série de tipos de edificações com os 
respectivos valores de Cpe . 
 Os valores de Ce, podem ser obtidos ponto a ponto, porém o cálculo 
seria extremamente complicado e as normas técnicas recomendam valores 
médios para as superfícies que compõem a edificação. 
 A figura 3.6 esquematiza, respectivamente, os valores do coeficiente de 
pressão Ce observados em ensaios e os valores médios em cada superfície 
plana para um edifício com telhado tipo duas águas. 
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
27 
 
 
Figura 3.6 – Distribuição esquemática do Ce 
 
 Como pode ser observado na figura 3.6, a distribuição do Ce apresenta 
valores elevados em pequenas regiões das paredes e dos telhados. Se para o 
dimensionamento de toda a estrutura os valores médios do Ce, representados 
no item b), são muito razoáveis, permitindo assim facilitar o cálculo, os valores 
elevados de Ce não podem ser simplesmente ignorados. 
 Para efeito de dimensionamento de partes da estrutura (telhas, caixilhos, 
ou mesmo terças) é necessário adotar estes altos valores de Ce (a NBR 
6123/88 adota como nome para estes coeficiente, Cpe médio). 
 A seguir, nas tabelas 3.5, 3.6, e 3.7, estão reproduzidos os valores de 
Ce, respectivamente, para paredes, telhado tipo uma água e telhado tipo duas 
águas, especificados pela NBR 6123/88. 
 
 
Notas referentes a tabela 3.5 
 
Nota 1 – Para a/b entre 3/2 e 2, interpolar linearmente. 
Nota 2 – Para vento a 0º, nas partes A e B o coeficiente de forma Ce tem os 
seguintes valores: a/b = 1 (valor das partes A2 e B2); a/b ≥ 2: Ce = -0,2; 
1 < a/b < 2: interpolar linearmente. 
Nota 3 – Para cada uma das duas incidências do vento (0º ou 90º) o 
coeficiente de pressão médio externo, Cpe médio, é aplicado à parte de 
barlavento das paredes paralelas ao vento, em uma distância igual a 0,2b ou h, 
considerando-se o menor destes valores. 
 
a) b)
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
28 
Tabela 3.5 – Coeficiente de pressão e de forma, externos, para paredes de 
edificações de planta retangular. 
Valores de Ce para Cpe 
médio 
αααα = 0º αααα = 90º 
 
 
Altura Relativa 
A1 e 
B1 
A2 e 
B2 
C D A B C1 e 
D1 
C2 e 
D2 
 
 
-0,8 
 
 
-0,5 
 
+0,7 
 
-0,4 
 
+0,7 
 
-0,4 
 
-0,8 
 
-0,4 
 
-0,9 
 
 
 
 
2b ou 2h 
(o menor dos 2) 
h/b ≤ 1/2 
 
1 ≤ a/b ≤ 3/2 
 
 
 
2 ≤ a/b ≤ 4 
 
-0,8 
 
-0,4 
 
+0,7 
 
-0,3 
 
+0,7 
 
-0,5 
 
-0,9 
 
-0,5 
 
-1,0 
 
-0,9 
 
-0,5 
 
+0,7 
 
-0,5 
 
+0,7 
 
-0,5 
 
-0,9 
 
-0,5 
 
-1,1 
 
 
 
 
1/2 ≤h/b≤ 3/2 
 
 
1 ≤ a/b ≤ 3/2 
 
 
2 ≤ a/b ≤ 4 
 
-0,9 
 
-0,4 
 
+0,7 
 
-0,3 
 
+0,7 
 
-0,6 
 
-0,9 
 
-0,5 
 
-1,1 
 
-1,0 
 
-0,6 
 
+0,8 
 
-0,6 
 
+0,8 
 
-0,6 
 
-1,0 
 
-0,6 
 
-1,2 
 
 
 
 
 
 
 
 
3/2 ≤ h/b ≤ 6 
 
1 ≤ a/b ≤ 3/2 
 
 
 
2 ≤ a/b ≤ 4 
 
-1,0 
 
-0,5 
 
+0,8 
 
-0,3 
 
+0,8 
 
-0,6 
 
-1,0 
 
-0,6 
 
-1,2 
 
h
b
0
2h ou b/2
90
b
a
C1 C2
A B
D1
(o menor dos 2)
D2D
B3
B1
B2
C
A1
A2
A3
b/3 ou a/4
(o maior dos 2,
porém 2h)
o
o
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
29 
Tabela 3.6 – Coeficiente de pressão e de forma, externos, para telhados 
tipo uma água. 
Y = h ou 0,15b (tomar o menor dos dois valores) 
As superfícies H e L referem-se a todo respectivo quadrante. 
Valores de Ce para ângulo de incidência do vento de 
90º 45º 0º -45º -90º 
 
θ 
H L H L H e L 
(A) 
H e L 
(B) 
H L H L 
5º 
10º 
15º 
20º 
25º 
30º 
-1,0 
-1,0 
-0,9 
-0,8 
-0,7 
-0,5 
-0,5 
-0,5 
-0,5 
-0,5 
-0,5 
-0,5 
-1,0 
-1,0 
-1,0 
-1,0 
-1,0 
-1,0 
-0,9 
-0,8 
-0,7 
-0,6 
-0,6 
-0,6 
-1,0 
-1,0 
-1,0 
-0,9 
-0,8 
-0,8 
-0,5 
-0,5 
-0,5 
-0,5 
-0,5 
-0,5 
-0,9 
-0,8 
-0,6 
-0,5 
-0,3 
-0,1 
-1,0 
-1,0 
-1,0 
-1,0 
-0,9 
-0,6 
-0,5 
-0,4 
-0,3 
-0,2 
-0,1 
0 
-1,0 
-1,0 
-1,0 
-1,0 
-0,9 
-0,6 
 
CPE MÉDIO θ 
H1 H2 L1 L2 HE LE 
5º 
10º 
15º 
20º 
25º 
30º 
-2,0 
-2,0 
-1,8 
-1,8 
-1,8 
-1,8 
-1,5 
-1,5 
-0,9 
-0,8 
-0,7 
-0,6 
-2,0 
-2,0 
-1,8 
-1,8 
-0,9 
-0,5 
-1,5 
-1,5 
-1,4 
-1,4 
-0,9 
-0,5 
-2,0 
-2,0 
-2,0 
-2,0 
-2,0 
-2,0 
-2,0 
-2,0 
-2,0 
-2,0 
-2,0 
-2,0 
(A) Até uma profundidade igual a b/2. 
(B) De b/2 até a/2. 
(C) Considerar valores simétricos do outro lado do eixo de simetria paralelo ao 
vento. 
Nota: Para vento a 0º, nas partes I e J (que se referem aos respectivos 
quadrantes) o coeficiente de forma Ce tem os seguintes valores: a/b = 1 – 
mesmo valor das partes H e L; a/b = 2 – Ce = -0,2; interpolar linearmente para 
valores intermediários de a/b. 
y
y
A
A
b
a b
b
L
H
L2L1
Le
He
H1 H2
VE
NT
O
α
θ
VENTO
0,1b
h
Corte A - A
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
30 
Tabela 3.7 – Coeficiente de pressão e de forma, externos, para telhados 
tipo duas águas. 
Valores de Ce para Cpe médio 
α= 90º (A) α = 0º 
Altura 
Relativa 
 
θ 
EF GH EG FH 
 
 
 
 
 
 
 
 
h/b ≤ 1/2 
0º 
5º 
10º 
 
15º 
20º 
30º 
 
45º 
60º 
-0,8 
-0,9 
-1,2 
 
-1,0 
-0,4 
0 
 
+0,3 
+0,7 
-0,4 
-0,4 
-0,4 
 
-0,4 
-0,4 
-0,4 
 
-0,5 
-0,6 
-0,8 
-0,8 
-0,8 
 
-0,8 
-0,7 
-0,7 
 
-0,7 
-0,7 
-0,4 
-0,4 
-0,6 
 
-0,6 
-0,6 
-0,8 
 
-0,6 
-0,6 
-2,0 
-1,4 
-1,4 
 
-1,4 
-1,0 
-0,8 
 
-- 
-- 
-2,0 
-1,2 
-1,4 
 
-1,2 
-- 
-- 
 
-- 
-- 
-2,0 
-1,2 
-- 
 
-- 
-- 
-- 
 
-- 
-- 
-- 
-1,0 
-1,2 
 
-1,2 
-1,2 
-1,1 
 
-1,1 
-1,1 
 
 
 
 
 
 
 
 
½ < h/b ≤ 3/2 
0º 
5º 
10º 
 
15º 
20º 
30º 
 
45º 
60º 
-0,8 
-0,9 
-1,1 
 
-1,0 
-0,7 
-0,2 
 
+0,2 
+0,6 
-0,6 
-0,6 
-0,6 
 
-0,6 
-0,5 
-0,5 
 
-0,5 
-0,5 
-1,0 
-0,9 
-0,8 
 
-0,8 
-0,8 
-0,8 
 
-0,8 
-0,8 
-0,6 
-0,6 
-0,6 
 
-0,6 
-0,6 
-0,8 
 
-0,8 
-0,8 
-2,0 
-2,0 
-2,0 
 
-1,8 
-1,8 
-1,0 
 
-- 
-- 
-2,0 
-2,0 
-2,0 
 
-1,5 
-1,5 
-- 
 
-- 
-- 
-2,0 
-1,5 
-1,5 
 
-1,5 
-1,5 
-- 
 
-- 
-- 
-- 
-1,0 
-1,2 
 
-1,2 
-1,0 
-1,0 
 
-- 
-- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3/2 < h/b ≤ 6 
0º 
5º 
10º 
 
15º 
20º 
30º 
 
40º 
50º 
60º 
-0,8 
-0,8 
-0,8 
 
-0,8 
-0,8 
-1,0 
 
-,02 
+0,2 
+0,5 
-0,6 
-0,6 
-0,6 
 
-0,6-0,6 
-0,5 
 
-0,5 
-0,5 
-0,5 
-0,9 
-0,8 
-0,8 
 
-0,8 
-0,8 
-0,8 
 
-0,8 
-0,8 
-0,8 
-0,7 
-0,8 
-0,8 
 
-0,8 
-0,8 
-0,7 
 
-0,7 
-0,7 
-0,7 
-2,0 
-2,0 
-2,0 
 
-1,8 
-1,5 
-1,5 
 
-1,0 
-- 
-- 
-2,0 
-2,0 
-2,0 
 
-1,8 
-1,5 
-- 
 
-- 
-- 
-- 
-2,0 
-1,5 
-1,5 
 
-1,5 
-1,5 
-- 
 
-- 
-- 
-- 
-- 
-1,0 
-1,2 
 
-1,2 
-1,2 
-- 
 
-- 
-- 
-- 
Continua... 
θ
0,1b
h
b
b
h
b
h
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
31 
 
Notas referentes a tabela 3.7 
Nota 1 – O coeficiente de forma Ce na face inferior do beiral é igual ao da 
parede correspondente. 
Nota 2 – Nas zonas em torno de partes de edificações salientes ao telhado 
(chaminés, reservatórios, torres, etc.) deve ser considerado um coeficiente de 
forma Ce = -1,2, até uma distância igual a metade da dimensão diagonal da 
saliência em planta. 
Nota 3 – Na cobertura de lanternins, Cpe médio = -2,0. 
Nota 4 – Para vento a 0º, nas partes I e J o coeficiente de forma Ce tem os 
seguintes valores: a/b = 1: mesmo valor das partes F e H; a/b ≥ 2: Ce = -0,2; 
para valores intermediários de a/b, interpolar linearmente. 
 
Coeficiente de pressão interna (Cpi) 
 
 O coeficiente de pressão interna está diretamente associado ao fato que 
as edificações, em sua grande maioria, têm aberturas onde o vento pode 
adentrar. 
 Este coeficiente será obtido a partir das sobrepressões e sucções 
externas que irão atuar nas várias aberturas da edificação. 
 A figura 3.7 ilustra os efeitos de aberturas a barlavento (de onde vem o 
vento) e de sotavento (de onde sai o vento) e é evidente que, para o primeiro 
caso, tem-se sobrepressões internas e para o segundo sucções internas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E G
F H
I J
a b
b/3 ou a/4
(o maior dos 2,
porém 2h)
y=h ou 0,15b
(o menor dos2)
y
vento
externa
sobrepressão
Zona de 
a) Abertura a Barlavento
D.V.
Interna
Sobrepressão
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.7 – Coeficientes de pressão interna – Abertura 
a barlavento e a sotavento 
 
 Verificamos através da figura 3.7, que o coeficiente de pressão interna 
será obtido em função das dimensões, localização das aberturas e da direção 
do vento. 
 O conceito de permeabilidade está associado à presença de aberturas, 
estas podem ser decorrentes de janelas, portões, frestas no próprio 
assentamento de telhas e não se descartando as aberturas que porventura 
possam ocorrer decorrentes de danos em elementos da cobertura, paredes, 
vidros, etc. 
 Descreve-se, a seguir, os principais tópicos referentes ao coeficiente de 
pressão interna prescritos na NBR 6123/88. 
 
- Definições: 
 
a) Elementos impermeáveis: lajes e cortinas de concreto, paredes de 
alvenaria, blocos ou pedras sem nenhuma abertura; 
b) Índice de permeabilidade: é a relação entre a área das aberturas e a área 
total da superfície considerada; 
c) Abertura dominante: abertura com área igual ou superior à soma das áreas 
das outras aberturas da edificação. 
d) A pressão interna é considerada uniforme e atua sobre todas as faces; 
e) O sinal positivo de Cpi indica sobrepressão interna; 
f) O sinal negativo de Cpi indica sucção interna. 
 
 - Ítens da NBR 6123/88 
 
 Valores de Cpi 
a) Duas faces opostas permeáveis e outras duas impermeáveis: 
 a-1) Vento perpendicular a face permeável Cpi = +0,2 
 a-2) Vento perpendicular a face impermeável Cpi = - 0,3 
b) Quatro faces igualmente permeáveis: 
 b-1) adotar Cpi = -0,3 ou Cpi = 0 
externa
sucção
Zona de 
b) Abertura a Sotavento
Interna
Sucção D.V.
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
33 
c) Abertura dominante com as outras faces permeáveis 
 c-1) Abertura dominante na face de barlavento: 
Relação entre a área da abertura dominante e a área total das aberturas 
succionadas nas outras faces: 
 
Relação de áreas Cpi 
1.0 
1.5 
2.0 
3.0 
6.0 
+0.1 
+0.3 
+0.5 
+0.6 
+0.8 
 
 c-2) Abertura dominante na face de sotavento 
Cpi = Ce correspondente a face de sotavento que contém esta abertura 
 c-3) Abertura dominante nas faces paralelas ao vento: 
- Não situada em zona alta de sucção externa: 
Cpi = Ce correspondente à região da abertura nesta face. 
- Situada em zona de alta sucção externa: 
Relação entre a área da abertura dominante e demais áreas de aberturas 
succionadas externamente. 
Relação entre áreas Cpi 
0.25 
0.50 
0.75 
1.0 
1.5 
≥3.0 
-0.4 
-0.5 
-0.6 
-0.7 
-0.8 
-0.9 
Obs: zonas de alta sucção externa são indicadas nas tabelas de Ce e 
denominadas na NBR 6123/88 como Cpe médio. 
 A determinação dos coeficientes de pressão interna deve ser feita de 
maneira a reproduzir, o mais fielmente possível, as condições gerais e as 
possibilidades de abertura numa edificação. Esta análise deve ser criteriosa, 
“buscar” situações extremas não parece ser a mais indicada para este índice. 
 
 3.3.3 Força Devida ao Vento 
 
 Após a definição dos coeficientes de pressão externa e interna é 
necessário calcular a força que irá atuar numa dada superfície de uma 
edificação. 
 Sabe-se que a força do vento dependerá da diferença da pressão nas 
faces opostas (interna e externa) da parte da edificação considerada e, para 
isto, pode-se definir o coeficiente de pressão que, multiplicado pela área 
analisada, determinará a força atuante nesta parte da edificação. 
 
∆∆∆∆P = ∆∆∆∆Pe - ∆∆∆∆Pi 
 
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
34 
onde: ∆P – pressão resultante 
 ∆Pe – pressão externa 
 ∆Pi – pressão interna 
o que permite obter; 
 
∆∆∆∆P = (Cpe – Cpi) q 
 
ou reescrevendo 
 
∆∆∆∆P = Cp q 
 
 Este coeficiente será aplicado em cada superfície que compõe uma 
edificação objetivando determinar as situações críticas para a estrutura em 
questão. 
 
 3.3.4 Exemplos de Determinação da Força Devida ao Vento 
 
01) Determinar a velocidade característica do vento para um edifício 
industrial a ser construído na cidade de Foz do Iguaçu em terreno plano, zona 
industrial. 
 
 
Solução: 
Vk = V0 x S1 x S2 x S3 
Do gráfico das Isopletas retiramos a velocidade básica do vento para a cidade 
de Foz do Iguaçu, que vale: V0 = 50 m/s 
Como foi indicado que o terreno, no qual será construído o edifício, é plano, da 
tabela 3.1 obtemos o valor do fator topográfico: S1 = 1,0 
O fator S2 é obtido da seguinte forma: 
 - enquadra-se o terreno em uma categoria; 
 Área industrial parcialmente desenvolvida: CATEGORIA IV 
 - enquadra-se a edificação em uma classe; 
DV90º
DV0º
55m
25m
25m
10m
5m
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
35 
 Dependendo da direção do vento, varia a dimensão frontal e as classes 
são: 
 D.V. = 0º Dimensão frontal = 25m - CLASSE B 
 D.V. = 90º Dimensão frontal = 55m - CLASSE C 
 - determina-se a altura da edificação; 
 Altura = 15m 
Com esses dados obtemos na tabela 3.3 os valores de S2 para D.V. 0º e D.V. 90º. 
- Para vento à 0º - S2 = 0,88 
- Para vento à 90º - S2 = 0,84 
O fator estatístico S3 é obtido na tabela 3.4. Adotamos que a industria seja de 
alto fator de ocupação, pois esta é a situação mais desfavorável, e assim: S3 = 1,0 
Temos, então, duas velocidades características em função da direção do vento: 
- Para vento à 0º 
Vk = 50 x 1 x 0,88 x 1 = 44m/s 
 
- Para vento à 90º 
Vk = 50 x 1 x 0,83 x 1 = 41,5m/s 
 
02) Determinar a velocidade característica do vento, os coeficientes de 
pressão e a força devida ao vento, para um edifício industrial (dimensões e 
especificações vide figura) situado no núcleo industrial da cidade de Cascavel e 
destinado a uma indústria de altofator de ocupação. 
 
 
Solução: 
Velocidade Característica: Vk = V0 x S1 x S2 x S3 
V0 – velocidade básica, retirada da figura 3.1 (Isopletas): 
 Localidade Cascavel – V0 = 47m/s 
S1 – fator topográfico, obtido da tabela 3.1: 
 Terreno fracamente acidentado – S1 = 1,0 
DV90º
DV0º
40m
20m
8m
2m
8 janelas (6m2/janela)
portão 16m2
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
36 
S2 – o fator de rugosidade do terreno e dimensões da edificação é retirado da 
tabela 3.3 e depende das seguintes classificações: 
- Categoria do terreno: Área industrial – CATEGORIA IV 
- Classe da edificação: Dimensão entre 20 e 50 m – CLASSE B 
- Altura da edificação: Z = 10m 
 Assim S2 = 0,83 
S3 – o fator estatístico é retirado da tabela 3.4: 
 Indústria com alto fator de ocupação (grupo 2) – S3 = 1,0 
Logo, a velocidade característica vale: 
 Vk = 47 x 1 x 0,83 x 1 = 39,01m/s 
E a pressão do vento vale: qk = 0,613Vk2 (N/m2) 
 qk = 0,613 x 39,012 = 932,85N/m2 
 
Coeficientes de Pressão: 
Coeficiente de pressão externa – Ce 
Sendo: h = 8m b = 20m a = 40m θθθθ = 10º h/b = 0,4 a/b = 2 
Vento incidindo na edificação à 90º: 
 Nas tabelas 3.5 e 3.7 obtemos os valores de sobrepressão externa, 
indicada pelo sinal positivo, e de sucção externa, indicada pelo sinal negativo, 
que atuam em cada região da edificação: 
Paredes Telhado 
A = +0,7 C1 e D1 = -0,9 E e F = -1,2 
B = -0,5 C2 e D2 = -0,5 G e H = -0,4 
Vento incidindo na edificação à 0º 
 Das tabelas 3.5 e 3.7 obtemos os valores de Ce: 
Paredes Telhado 
E e G = -0,8 A1 e B1 = -0,8 C = +0,7 
F e H = -0,6 
A2 e B2 = -0,4 D = -0,3 I e J = -0,2 
10 m
DV
0,9 0,5
0,7
0,5
0,9
0,5
1,2 0,4
0,7 0,5
0,41,2
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
37 
 
Coeficiente de pressão interna - Ci 
Analisando os casos citados na NBR – 6123/88 
a) Duas faces permeáveis e as outras impermeáveis: é um caso que não 
ocorre; 
b) Quatro faces igualmente permeáveis: é um caso possível, pois no oitão sem 
portão existirão frestas entre a alvenaria e as telhas, e então para vento à 90º e a 0º 
Cpi = -0,3 ou Cpi = 0; 
c) Abertura dominante com as outras faces permeáveis: também é uma 
situação possível, e assim temos à 0º e à 90º: 
 
Vento à 0º 
a) abertura dominante na face de barlavento: 
Abertura dominante: portão – Ad = 16m2 
Demais aberturas: 
- 1 janela succionada (6m2) 
- frestas da cobertura (10cm) 
A = 6 + (2 x 20 x 0,1) 
A = 10m2 
Relação entre a abertura dominante e 
as demais aberturas: 
Ad/A = 16/10 = 1,6 ≅ 1,5 → Cpi = +0,3 
 
Vento à 90º 
a) abertura dominante na face de barlavento: 
Abertura dominante: considerando 3 
janelas próximas – Ad = 18m2 
Demais aberturas: 
- 1 janela de sotavento (6m2) 
- frestas do portão (5% da área) 
- frestas da cobertura (10cm) 
A = 6+ (0,05x16) + (2x20x0,1) = 10,8m2 
Relação entre a abertura dominante e 
as demais aberturas: 
Ad/A = 18/10,8 = 1,6 ≅ 1,5 → Cpi = +0,3 
 
b) abertura dominante na face de sotavento: 
Abertura dominante: portão 
Cpi = Ce Cpi = -0,3 
b) abertura dominante na face de sotavento: 
Abertura dominante: 3 janelas 
Cpi = Ce Cpi = -0,5 
 
d) Abertura dominante na face paralela ao vento: é uma situação que também 
pode ocorrer, assim: 
DV
0,3
0,2
0,8
0,4
0,7
0,8
0,4
0,210m
10m
10m 0,8 0,8
0,60,6
0,20,2
0,80,8
0,8 0,8
0,4 0,4
0,6 0,6
0,2 0,2
0,2 0,2
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
38 
Vento à 0º 
a) Abertura dominante = abertura das 
janelas 
Cpi = Ce (na região central) Cpi = -0,5 
b) Abertura dominante em alta sucção 
externa: 
c) 
Não ocorre, pois há probabilidade 
desprezível de ocorrer uma janela 
aberta nesta região. 
Vento à 90º 
a) Abertura dominante = portão 
Cpi = Ce Cpi = -0,5 
Supondo que meio portão permaneça 
aberto. 
 
b) Abertura Dominante em alta sucção 
externa: 
Esta situação não ocorre, pois o portão 
não está situado nesta região. 
Então, como para uma estrutura similar a esta, tem-se o objetivo de obter os 
valores máximos associados ao Cp de sucção e sobrepressão, adota-se: 
a) Vento à 90º → Cpi = +0,3 Cpi = -0,5 
b) Vento à 0º → Cpi = +0,3 Cpi = -0,5 
 Determinados os valores de Cpe e Cpi, faz-se a combinação entre eles de 
forma a obter os valores mais nocivos à edificação: 
Cp – sucção no telhado 
Vento à 90º 
 
Vento à 0º 
Cp – sobrepressão no telhado 
Vento à 90º 
 
 
0,5
0,41,2
0,7
0,3
1,5
0,4
0,7
0,8
1,1
0,3
0,8
0,8
0,8
0,8 1,1
1,1
1,1
0,71,2
0,7
0,4
0,5 1,2
1,0
0,5 0
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
39 
Vento à 0º 
 
Força Devida ao Vento F = qk x Cp (N/m2) 
Existirão duas situações críticas, a de sucção e a de sobrepressão no telhado, 
consequentemente o dimensionamento da estrutura deverá levar em conta a 
força de sucção e a força de sobrepressão. 
Sucção no telhado 
 
Sobrepressão no telhado 
 3.4 Princípios Gerais para o Dimensionamento – Método dos 
Estados Limites 
 
 Por estados limites entende-se a ruptura mecânica do elemento 
estrutural ou o deslocamento excessivo que tornem a estrutura imprestável. No 
método dos estados limites temos a inclusão dos estados elástico e plástico na 
formação de mecanismos nas peças estruturais. 
 O dimensionamento de componentes de uma estrutura civil é colocado 
na lógica simples de: 
0,2
0,5 0,2
0,2 0,2
0,3 0,3
0,3 0,3
932,
85x1
,1 932,85x1,1
93
2,
85
x1
,
1 932
,85
x1
,1
1025,75N/m2
10
25
,
75
N/
m
2 1025
,7 5N/m
2
932,85x1
93
2 ,
85
x1
,
2
932,
85x0
,7
932
,85
x0
932,85N/m2
11
19
,
42
N
/m
2
653N
/m2
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
40 
� Majorar o esforço teórico solicitante pela multiplicação por um fator de 
ponderação que torne pequena a probabilidade de que ele seja superado 
durante a vida útil da estrutura e, 
� De minorar a resistência teórica de cada componente, multiplicando-a por 
um coeficiente (menor que um) que, também, torne pequena a probabilidade 
dela ser menor do que o valor calculado. 
 Sendo os valores determinados com base na estatística, os coeficientes 
de ponderação das cargas (coeficientes de segurança) dependem da sua 
natureza, sendo pequeno para cargas de pouca dispersão e grande para as 
cargas de muita dispersão. Raciocínio análogo é feito para o coeficiente 
minorador da resistência, que deve ser próximo da unidade para materiais 
cujos valores característicos de resistência apresentam, pouca dispersão 
(maior confiabilidade) e afastado para o caso contrário (menor confiabilidade). 
Este é o princípio do método de dimensionamento denominado de estados 
limites últimos. 
 A NBR 8800/86 estabelece que a solicitação de cálculo não pode ser 
maior do que a resistência de cálculo da peça: 
Sd ≤ Rd 
 Onde a solicitação de cálculo é dada pelo somatório das ações 
multiplicadas pelos seus correspondentes fatores de majoração: 
Sd = ∑ γf Qi 
 E a resistência de cálculo pela multiplicação da resistência nominal por 
um fator redutor, menor do que a unidade: 
Rd = φ Rn 
Nas equações acima: 
Sd = solicitação de cálculo; 
Rd = resistência de cálculo; 
Rn = resistência nominal; 
γf = coeficiente de majoração das solicitações; 
Qi = solicitações que atuam simultaneamente. 
 
 3.5 Critérios da NBR 8800 
 
 Para as condições normais de utilização ou durante a construção da 
estrutura, obtém-se o esforço de cálculo com o emprego da equação: 
 
( ) ( )[ ]∑ ∑
=
++=
n
j jjqjqgd QQGS 211 ψγγγ 
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
41 
Onde: 
G = ações permanentes; 
Q1 = ação predominante para o efeito considerado; 
Qi = demais ações variáveis que atuam simultaneamente com a ação principal;γg = coeficiente de majoração das ações permanentes; 
γq1 = coeficiente de majoração da ação predominante; 
γq = coeficiente de majoração das demais ações variáveis; 
ψi = fator de combinação. 
 
 Quando existirem ações excepcionais, tais como, choque de veículos, 
efeitos de sismos (terremotos), etc., a equação anterior torna-se: 
 
( )[ ]∑∑ ++= QEGS qgd ψγγ )( 
 
Onde E = ação excepcional. 
 Os fatores de majoração das ações, que são chamados de coeficientes 
de ponderação na NBR 8800/86, encontram-se na tabela 3.8. 
 
Obs: Algumas explicações adicionais são necessárias para se aplicar a tabela 3.8. 
 
1) Os valores entre parênteses correspondem aos coeficientes de segurança 
para ações permanentes favoráveis à segurança; ações variáveis e 
excepcionais favoráveis à segurança não entram nas combinações. 
2) O efeito de temperatura citado não inclui o gerado por equipamentos, o qual 
deve ser considerado como ação decorrente do uso e ocupação da 
edificação. 
3) As ações permanentes diretas que não são favoráveis à segurança podem, 
opcionalmente, ser consideradas todas agrupadas, com coeficiente de 
ponderação igual a 1,35 quando as ações variáveis decorrentes do uso e 
ocupação forem iguais ou superiores a 5 kN/m2, ou 1,40 quando isso não 
ocorrer. 
4) Se as ações permanentes diretas que não são favoráveis à segurança 
forem agrupadas, as ações variáveis que não são favoráveis à segurança 
podem, opcionalmente, ser consideradas também todas agrupadas, com 
coeficiente de ponderação igual a 1,40 quando as ações variáveis 
decorrentes do uso e ocupação forem iguais ou superiores a 5 kN/m2, ou 
1,50 quando isso não ocorrer (mesmo nesse caso, o efeito da temperatura 
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
42 
pode ser considerado isoladamente, com o seu próprio coeficiente de 
ponderação). 
Tabela 3.8 – Coeficientes de ponderação de acordo com a NBR 8800 
(2004) 
Ações permanentes (γg)1)3) 
Diretas 
Combinações Peso 
próprio das 
estruturas 
metálicas 
Peso 
próprio 
das 
estruturas 
pré-
moldadas 
Peso próprio 
de estruturas 
moldadas no 
local e de 
elementos 
construtivos 
industrializados 
Peso próprio 
dos elementos 
construtivos 
industrializados 
com adições 
“in loco” 
Peso próprio 
de elementos 
construtivos 
em geral e 
equipamentos 
Indiretas 
Normais 
1,25 
(1,00) 
1,30 
(1,00) 
1,35 
(1,00) 
1,40 
(1,00) 
1,50 
(1,00) 
1,20 
(0) 
Especiais ou 
de 
construção 
1,15 
(1,00) 
1,20 
(1,00) 
1,25 
(1,00) 
1,30 
(1,00) 
1,40 
(1,00) 
1,20 
(0) 
Excepcionais 
1,10 
(1,00) 
1,10 
(1,00) 
1,15 
(1,00) 
1,20 
(1,00) 
1,30 
(1,00) 
0 
(0) 
 Ações Variáveis (γg)1)4) 
 Efeito da temperatura2) Ação do vento 
Demais ações 
variáveis, incluindo as 
decorrentes do uso e 
ocupação 
Normais 1,20 1,40 1,50 
Especiais 1,00 1,20 1,30 
Excepcionais 1,00 1,00 1,00 
 
 
 Para se levar em conta que as solicitações variáveis provavelmente não 
ocorrem em seus valores máximos simultaneamente, a NBR 8800 introduz na 
equação o fator ψi, que é apresentado na tabela 3.9. 
 
 
 
 
 
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
43 
 
Tabela 3.9 – Fatores de combinação de acordo com a NBR 8800 
Ações Ψ0j1) Ψ1j Ψ2j 
Variações uniformes de temperatura em relação a média anual 
local 
0,6 0,5 0,3 
Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral 0,6 0,3 0 
Ações decorrentes do uso e ocupação: 
• Sem predominância de equipamentos que permanecem 
fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas 
concentração de pessoas 
• Com predominância de equipamentos que permanecem 
fixos por longos períodos de tempo, ou de elevadas 
concentrações de pessoas 
• Bibliotecas, arquivos, depósitos, oficinas e garagens 
 
0,5 
 
 
0,7 
 
0,8 
 
0,4 
 
 
0,6 
 
0,7 
 
0,3 
 
 
0,4 
 
0,6 
Cargas móveis e seus efeitos dinâmicos: 
• Vigas de rolamento de pontes rolantes 
• Passarelas de pedestres 
 
1,0 
0,6 
 
0,8 
0,4 
 
0,5 
0,3 
NOTA: 
1) Os coeficientes Ψ0j devem ser admitidos com 1,0 para ações variáveis de 
mesma natureza da ação variável principal FQ1. 
 
 
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
44 
 3.6 Exemplos de Combinações de Ações 
 
1) Combinação de ações atuantes em coberturas 
 
Carregamentos que podem atuar: 
 - Ação permanente: Peso próprio (G) 
 - Ações variáveis: Sobrecarga (Q1) 
 Vento (Q2) 
Coeficientes de ponderação (tabela 3.8) 
- Peso próprio = peso próprio de estruturas metálicas - γg = 1,25 ou 1,0 
 - Sobrecarga = ações normais decorrentes do uso da edificação γq1 = 1,5 
 - Vento = ações variáveis, normais γq2 = 1,4 
Fatores de combinação (tabela 3.9) 
- Sobrecarga – ações decorrentes do uso ψ1 = 0,5 
- Vento – cargas de vento ψ2 = 0,60 
Combinações possíveis: 
a) G + Q1 = peso próprio + sobrecarga 
b) G + Q2 = peso próprio + vento 
c) G + Q1 + Q2 = peso próprio + sobrecarga + vento 
Logo: 
a) G + Q1 = γg x G + γq1 x Q1 = 1,25 G + 1,5 Q1 
b) G + Q2 = γg x G + γq2 x Q2 = 1,25 G + 1,4 Q1 ou 1,0 G + 1,4 Q1 
c) G+ Q1 + Q2 
 Sobrecarga preponderante: 
 γg x G + γq1 x Q1 + γq2 x ψ2 x Q2 = 1,25 G + 1,5 Q1 + 1,4 x 0,6 x Q2 
 Vento preponderante: 
 γg x G + γq1 x ψ1 x Q1 + γq2 x Q2 = 1,25 G + 1,5 x 0,5 x Q1 + 1,4 Q2 
 
 
2) Seja o reservatório da figura 3.8, para o qual se desejam os esforços nos 
chumbadores no topo das fundações. 
Solução 
Adotando como convenção o sinal negativo para compressão, teremos os 
esforços de peso próprio da estrutura em cada fundação: 
kNG 0,10
4
0,40
−=
−
= 
A capacidade do reservatório é de 5.000 l, que corresponde ao esforço por 
apoio: kNQágua 5,124
0,50
−=
−
= 
Sendo a resultante dos esforços de vento uma carga de 8 kN aplicada a uma 
altura de 10,0 m, para uma base de 1,0 m, teremos por apoio: 
kNQvento 0,402
1
0,1
0,100,8 ±=××±= 
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
45 
O sinal ± se deve ao vento poder soprar de qualquer direção, acarretando 
compressão em dois pés e tração nos outros dois. 
Figura 3.8 – Reservatório d’água 
Duas alternativas devem ser discutidas aqui. A primeira é a busca do maior 
valor de compressão no chumbador e a segunda o maior valor de tração. A 
razão da busca de valores máximos de sentidos diferentes é o comportamento 
distinto do aço para compressão (flambagem) e tração. Também para a 
fundação, pois no caso presente, uma carga de tração pode arrancá-la do 
terreno, que é um comportamento diferente de compressão. 
Cada carga temporária deve ser analisada como plena, enquanto que as 
demais ações temporárias concomitantes sofrem uma redução (não atuam 
plenamente) com a introdução de coeficiente Ψ, onde se descarta a 
possibilidade de todas ocorrerem com seus valores plenos ao mesmo tempo. 
� Para compressão 
Aplicando a equação 1, tendo a sobrecarga devida ao líquido no reservatório 
como efeito analisado, vem: 
kNSd 65,53))0,40(4,04,1()5,12(5,1()0,10(25,1( −=−××+−×+−×= 
No caso presente estamos considerando que o reservatório esteja totalmente 
carregado. O valor Ψ=0,6 corresponde à redução da carga de vento, que tem 
probabilidade pequena de ocorrer em seu valor também máximo. 
Tendo, agora, o vento como efeito predominante, isto é, considerando que o 
vento atue com seu valor máximo possível( a carga atua plenamente): 
kNSd 25,87))0,40(4,1()5,12(0,15,1()0,10(25,1( −=−×+−××+−×= 
Agora, o fator Ψ=0,75 corresponde a supor que o reservatório não esteja 
totalmente cheio quando soprar o vento máximo. 
� Para tração 
Reserv.
5.000 L
Peso Próprio = 40kN
Vento = 8kN
1m
10m
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
46 
Os valores dos coeficientes de majoração de cargas entre parênteses 
correspondem a solicitaçõespermanentes que aliviem o esforço da peça 
estudada. Se tivermos buscando o maior valor possível de compressão o peso 
próprio da estrutura é desfavorável, isto é, aumenta a solicitação, mas quando 
buscamos o máximo valor de tração, o peso próprio é favorável à tração, pois 
reduz o esforço atuante. Então, se majorarmos o peso próprio da estrutura para 
tração, estaremos diminuindo a segurança da peça tracionada. Os esforços 
variáveis que aliviam o efeito desejado não são computados. Assim, temos: 
kNSd 0,46))0,40(4,1()0,10(0,1( =+×+−×= 
Então, a envoltória de esforços de cálculo nos chumbadores será: 
 Máxima de compressão: -83,06 kN 
 Máxima de tração: 46,0 kN 
 
3) A cobertura da figura 2 está submetida às seguintes cargas: 
 
� Peso próprio = 0,75 kN/m; 
� Peso próprio da talha (pendurada em C) = 15,0 kN; 
� Capacidade da talha = 150,0 kN; 
� Vento frontal = -3,0 kN/m (de baixo para cima); 
� Vento detrás = 2,0 kN/m (de cima para baixo). 
Determinar a envoltória de esforços na barra AB. 
 
 
 
Figura 3.9 - Tesoura 
Solução 
Peso próprio: 
Sendo a carga de peso próprio uma carga distribuída na treliça, temos que 
concentrá-la em pontos. A resposta (esforços internos) varia com a forma de 
distribuição de carga nos nós da treliça. Aplicando nos nós inferiores, temos: 
 
1,5m 1,5m 1,5m 1,5m
1,5m
A
F
G
H
I
E
DCB
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
47 
� Nós A e E 
 
Figura 3.10 – Cargas de peso próprio 
 
kNQ 56,0
2
5,175,0
1 =
×
= 
� Nós B, C e D 
kNQ 13,15,175,02 =×= 
Para calcular o esforço na barra AB, usando o método de Ritter, traça-se uma 
seção S, conforme a figura 3 e arbrita-se a carga FAB como sendo de tração. 
Fazendo nulo o somatório (equilíbrio) dos momento das forças à direita da 
seção, em torno do nó G e, lembrando que as forças FBG e FHG, concorrentes 
em G não causam momento, temos: 






××+×++×= 5,1
4
35,456,0)0,35,1(13,10 ABF 
FAB=-6,76kN 
O sinal “-“ indica que o sentido da carga FAB é inverso ao arbitrado, ou seja, de 
compressão. 
Vento: 
As cargas de vento são sempre normais à superfície onde incidem. Em uma 
cobertura são normais à superfície das telhas. Concentrando as cargas nos 
nós da corda superior, teremos: 
− Comprimento da corda superior: ml 18,65,10,6 22 =+= 
 
 
1,5m
A
F
1,5m
CB
1,5m 1,5m
D
1,5m
H
G
I
E
Peso Próprio = 0,75kN/m
Q1 Q2 Q2 Q2 Q1
S
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
48 
Figura 3.11 – Cargas de vento nos nós 
 Vento frontal: 
kNQ 32,2
4
18,65,00,3 −=××−= 
� Nós F e E 
kNQ 55,1
4
18,65,00,2 =××= 
� Nós G, H e I 
Vento frontal 
kNQ 64,4
4
18,60,3 −=×−= 
Vento detrás 
kNQ 09,3
4
18,60,2 =×= 
Procedendo analogamente para o peso próprio, lembrando que as cargas são 
inclinadas, temos: 
 Vento frontal 






××+





××+





×+×−= 5,1
4
3
4
18,6355,1
4
18,62
4
18,664,40 ABF 
FAB=28,68kN 
 Vento detrás 






××+





××+





×+×= 5,1
4
3
4
18,6355,1
4
18,62
4
18,609,30 ABF 
FAB=-19,12kN 
Cargas provenientes da talha 
1,5m
1,5m
Q1
A
F
H
C
Q2
B
1,5m
Q2
Q2
1,5m
D
1,5m
I
Q1
E
G
S
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
49 
Fazendo o equilíbrio das cargas à direita (momentos em torno do nó G): 
 Peso próprio da talha 






××+×= 5,1
4
35,10,150 ABF 
FAB=-20,0kN 
Analogamente para a sobrecarga na talha, teremos FAB=-200,0kN 
 
Combinação das cargas para a máxima compressão 
Aplicando a equação ( ) ( )[ ]∑ ∑
=
++=
n
j jjqjqgd QQGS 211 ψγγγ , obtemos as 
hipóteses de carregamento. 
As hipóteses de combinação de cargas que produzem compressão na barra 
AB, sabendo que os pesos próprios da talha e da estrutura são de pequena 
variabilidade, temos: 
1. Peso próprio da estrutura; 
2. Peso próprio da estrutura + peso próprio da talha; 
3. Peso próprio da estrutura + peso próprio da talha + sobrecarga da talha; 
4. Peso próprio da estrutura + vento de trás; 
5. Peso próprio da estrutura + peso próprio da talha + vento de trás; 
6. Peso próprio da estrutura + peso próprio da talha + sobrecarga da talha + 
vento de trás. 
É evidente que os maiores esforços serão obtidos com o maior número de 
ações desfavoráveis, ou seja, a hipótese 6,a qual nos dá duas formas de 
combinação; 
 Sobrecarga da talha como ação preponderante (plena): 
[ ] kNFAB 16,349)12,19(4,04,1)0,200(5,1)0,20(5,1)76,6(25,1 −=−××+−×+−×+−×= 
 Vento de trás como ação preponderante: 
[ ] kNFAB 19,245)12,19(4,1)0,200(60,05,1)0,20(5,1)76,6(25,1 −=−×+−××+−×+−×= 
 
Para tração na barra AB 
A talha é um equipamento móvel, isto é, pode não estar presente quando da 
ação de outras cargas. Então, como suas cargas provocam esforços de 
compressão, não será considerada para determinação dos esforços de tração. 
O peso próprio da estrutura provoca compressão, isto é, alivia o efeito 
estudado, devendo, neste caso, ser minimizado. Isto significa que usaremos 
coeficientes de ponderação (entre parênteses). 
Obviamente, a combinação de cargas que provoca o máximo esforço de tração 
é o peso próprio + vento frontal: 
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
50 
kNFAB 39,33)68,28(4,1)76,6(0,1 =×+−×= 
Então, na barra AB, temos a envoltória: 
 Máxima compressão: 349,16kN 
 Máxima tração: 33,39kN 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
1. Repita o exemplo 3 para as barras AG, FG, HC e CI. 
2. Sabendo-se que as barras de uma treliça (exemplo 3) têm desempenho à 
tração melhor do que à compressão, existe vantagem em substituir a barra 
AB por uma barra FB? 
3. Determine a envoltória de esforços nas barras FG, AG, AB, BH e CI do 
exemplo 3, para a talha colocada em D. 
4. Repita o problema anterior, com a hipótese de que o proprietário da 
estrutura deseja armazenar peças de madeira entre as barras da tesoura, 
totalizando uma carga de 5,0 kN/m. 
5. Determine o momento máximo de cálculo da viga metálica da doca de 
descarga da figura 3.7, sabendo que: 
� Peso próprio da viga = 1,5 kN/m; 
� Peso próprio do estrado de madeira (grande variabilidade) = 3,0 kN/m; 
� Sobrecarga = 20 kN/m. 
Figura 3.12 – Viga metálica 
6. determine a envoltória de esforços de cálculo nos apoios do problema 5. 
7. Uma barra componente de um edifício industrial está submetida aos 
esforços: 
� Peso próprio da estrutura metálica = -540,0 kN; 
� Peso próprio de lajes de concreto pré-moldadas = -1200,0 kN; 
1,8m4,0m
Apoio Apoio
Estrado de madeira
Estruturas Metálicas Capítulo 3 
51 
� Cargas permanentes oriundas de paredes de alvenaria = -220,0 kN; 
� Vento incidindo do quadrante sul = -120 kN; 
� Vento incidindo do quadrante leste = +360,0 kN; 
� Sobrecarga em pisos de depósitos que produzem tração = -2300,0 kN; 
� Variação de temperatura = +330,0 kN. 
Determine a envoltória de esforços na barra. 
8. A seção crítica de um edifício comercial apresenta os momentos fletores: 
� Peso próprio da viga metálica = 6,0 kN.m; 
� Peso próprio da laje pré-moldada = 11,0 kN.m; 
� Sobrecarga da biblioteca = 15,0 kN.m; 
� Sobrecarga do escritório = 9,0 kN.m; 
� Sobrecarga dos pisos do vão contíguo = -14,0 kN.m. 
Determine a envoltória de momentos na seção. 
9. Para a estrutura da figura 3.8 determinar a envoltória de esforços nas 
barras verticais da coluna. Observar que a sobrecarga pode ser aplicada 
parcialmente na cobertura de modo a obter o efeito mais desfavorável 
possível. 
 
Figura 3.8 – Estrutura submetida a diversos carregamentos 
 
Sobrecarga = 3kN/m
0,8m
2m
5m
12m
Vento = 8kN
1m
P.Próprio
= 15kN
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
50 
H
P
δ
Figura 4.1
Capítulo 4 
 
PEÇAS COMPRIMIDAS 
 
Umabarra comprimida pode chegar ao estado de ruína por esmagamento, 
quando as tensões atingem valores limites de ruptura ou por instabilidade 
geométrica (flambagem) sem que as tensões cheguem necessariamente aos 
valores de ruptura. 
A ruína por esmagamento se dá em peças que o comprimento é pequeno 
quando comparado às dimensões transversais e, neste caso, os estados limites 
podem ser determinados da mesma forma que para peças tracionadas. Desse 
modo, tem-se o estado limite de plastificação para a área bruta da seção 
transversal e estado limite de ruína para a área líquida efetiva. 
Para o dimensionamento de barras à compressão devemos levar em conta, 
principalmente, a flambagem das peças. Deve-se ao matemático suíço Euler a 
primeira formulação para o problema de uma haste submetida a uma carga de 
compressão que contempla a possibilidade de instabilidade geométrica. 
 4.1 Teoria de Euler - Carga crítica de flambagem (Pcr) 
 
 Definimos como carga crítica de flambagem a carga a partir da qual a 
barra que está sendo comprimida mantém-se em posição indiferente. 
 Para a determinação da carga crítica (Pcr) que produz o colapso da barra 
aplicamos a carga (P) e o deslocamento horizontal (δδδδ) através da força horizontal 
(H) e retiramos (H) (figura 4.1) quando a barra encontra-se deformada. 
 A seqüência experimental é: 
 
1º passo: a barra reta é submetida à 
compressão axial sem excentricidade, isto é H = 
0 (figura 4.2). 
P ≤≤≤≤ Pcr 
δδδδ = 0 
Com a retirada de P a barra retorna à posição 
inicial. 
 
 
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
51 
P
F ig u ra 4 .2
P
δ
∆
F igura 4.3
P
δ
Figura 4.4
2º passo: a barra reta é submetida à 
compressão axial de maior intensidade, e a 
barra começa a ter uma deformação lateral 
(δδδδ) (figura 4.3). 
P = Pcr 
δδδδ = δδδδinicial 
 
A barra mantém-se em posição indiferente. 
 
 
 
 
3º passo: a barra reta é submetida à 
compressão axial de intensidade maior que 
a crítica, e a barra entra em colapso (figura 
4.4). 
P > Pcr 
δδδδ é de colapso 
A barra rompe ou a sua deformação é muito 
grande. 
 Normalmente tomamos como 
referência o valor da carga crítica para uma 
barra bi-rotulada. Segundo Euler: 
critPl
EIP == 2
2pi
 
 Onde: E - Módulo de elasticidade do aço 
 I - Menor momento de inércia da barra 
 l - Comprimento da barra 
A razão entre a carga crítica e a área da seção da haste fornece a tensão 
crítica de flambagem: 
A
PF critcrit = 
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
52 
A fórmula de Euler apresentada considera as hastes com duas 
extremidades rotuladas, mas pode ser aplicada para outros casos de vinculação, 
conforme mostra a tabela 4.1, extraída da NBR 8800. Para calcular os 
comprimentos de flambagem para vários casos de vinculação de hastes 
comprimidas usa-se o coeficiente K obtido na tabela 4.1, com os quais se 
calculam os comprimentos equivalentes (de flambagem) da haste bi-rotulada Kl. 
Deve-se rescrever a fórmula de Euler, para o comprimento corrigido: 
2
2
λ
pi EFcrit =
 
sendo 
r
Kl
=λ
 
Onde: K - Parâmetro de flambagem 
 r - Menor raio de giração da barra 
Tabela 4.1 – Valores de K para cálculo do índice de esbeltez 
 
 
A linha tracejada indica 
a linha elástica de 
flambagem 
 
 
 
Valores teóricos de K 0,5 0,7 1,0 1,0 2,0 2,0 
Valores recomendados 
para o 
dimensionamento 
 
0,65 
 
0,80 
 
1,2 
 
1,0 
 
2,1 
 
2,0 
 Rotação e translação impedidas 
 Rotação livre, translação impedida 
 Rotação impedida, translação livre 
 
Código para a 
condição de apoio 
 Rotação e translação livres 
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
53 
4.2 Dimensionamento de barras comprimidas 
 
 Relação largura/espessura em elementos comprimidos (Flambagem local) 
 Em peças de aço com paredes finas, onde a espessura é muito pequena 
diante da largura, pode ocorrer instabilidade localizada, antes da flambagem 
global da peça, denominada flambagem local. Esta instabilidade se caracteriza 
pelo colapso das paredes sob tensões inferiores às tensões de escoamento do 
aço. Uma forma simples de se obter experimentalmente flambagem localizada é 
comprimir um copo descartável de PVC ou lata de refrigerante. Um processo 
semelhante ao observado no copo descartável se desenvolve em paredes finas de 
hastes metálicas comprimidas. 
 As estruturas metálicas, conforme as seções transversais que apresentam 
são classificadas, segundo a tabela 4.2, em classes de acordo com a análise estrutural adequada. 
Tabela 4.2 – Significado das classes 
Classe Significado das classes 
1 Seções que permitem ser atingido o momento de plastificação e a 
subseqüente redistribuição de momentos fletores, portanto, 
adequadas para análise plástica. 
2 Seções que permitem ser atingido o momento de plastificação, mas 
não a redistribuição de momentos fletores. 
3 Seções cujos elementos componentes não sofrem flambagem local 
no regime elástico, quando sujeitas às solicitações indicadas na 
tabela 4.3, podendo entretanto, sofrer flambagem inelástica. 
4 Seções cujos elementos componentes podem sofrer flambagem no 
regime elástico, devido às solicitações indicadas na tabela 1. 
Nota: Para as classes 1 e 2 as ligações entre flanges e alma têm que ser contínuas. 
Para quantificar a flambagem local a NBR 8800 apresenta um coeficiente 
Q, minorador da resistência. A tabela 4.3, obtida da tabela 1 da norma, apresenta 
os valores limites da relação b/t, abaixo dos quais não existe flambagem local 
(Q=1). Para perfis onde a relação b/t ultrapassar o valor da tabela 4.3, deve-se 
consultar o Anexo E da norma para se obter o valor de Q. 
Para as hastes comprimidas sujeitas à flambagem elástica, é necessário 
que as seções sejam, pelo menos, classe 3 para que não haja flambagem local. 
 O índice de esbeltez (λ) é limitado a um valor máximo: λλλλmáx = 200 
Obs: Caso uma barra apresente um índice de esbeltez maior que o valor limite 
deve-se trocar a barra. 
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
54 
Tabela 4.3 – Valores limites das relações largura/espessura 
Casos 
Descrição do 
elemento 
Elementos Clas-
se 
Tipo de solicita-
ção da seção 
(b/t)máx Para 
fy = 250 
Para 
fy = 290 
Para 
fy = 345 
Aplicações 
Limitações 
1 M e N y
E
f
30,0 × 8,5 8 7 
2 M y
E
f
38,0 × 11 10 9 
Aplicável 
somente a 
perfis “I” e 
“H” 
 
 
1 
Mesas de perfis 
“I”, “H”, e “T”. 
Abas em 
projeção de 
cantoneiras 
duplas ligadas 
continuamente 
 
3 N 
y
E
f
55,0 × 16 15 13 
1 - Não aplicável - - - 
2 M 
y
E
f
38,0 × 11 10 9 
 
 
2 
 
 
Mesas de perfis 
“U” 
 
3 N 
y
E
f
55,0 × 16 15 13 
 
M e N 
y
E
f
94,0 × 27 25 23 
Perfis 
tubulares 1 
M e N 
y
E
f
12,1 × 32 30 27 
Exceto 
perfis “U” 
2 M 
y
E
f
12,1 × 32 30 27 
y
E
f
38,1 ×
 
40 37 34 
Perfis 
tubulares 
 
 
 
 
 
3 
Mesas de seções 
caixão quadradas 
e retangulares, ou 
de seções tubula-
res com paredes 
de espessura uni-
forme; 
almas de perfis 
“U” chapas contí-
nuas de reforço de 
mesas, 
entre linhas de 
parafusos e soldas. 
Todos esses ele-
mentos sujeitos à 
compressão uni-
forme. 
 
3 N 
y
E
f
47,1 × 42 39 36 
t
b b t
t
b
t
b
médio
b
tt
b
t
b
t
b
b
t
b
t
t
b
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
55 
Tabela 4.3 – Valores limites das relações largura/espessura 
Ca-
sos 
Descrição do 
elemento 
Elementos Cl Tipo de 
solicitação 
(b/t)máx Para 
fy = 250 
Para 
fy = 290 
Para 
fy = 345 
Aplicações 
Limitações 
1 M e N 0,064 E/fy 52 45 38 
2 M 0,087E/fy 71 62 52 
4 
Elementos 
tubulares de 
seção circular 
 
3 N 0,11 E/fy 90 78 65 
 
M 
y
E
f
35,2 ×
 67 63 57 






×
−××
ycy
E
N
Nd6,11
f
35,2 φ
 
- - - 
Para 
 
 
 
1 
 
M e N 
y
E
f
47,1 ×
 42 39 36 
Para 
 
Somen-
te para 
perfis 
“I”, “H”, 
caixão 
dupla-
mente 
simétri-
cos 
M 
y
E
f
50,3 × 100 93 85 






×
−××
ycy
E
N
Nd8,21
f
50,3 φ
 
- - - 
Para 
 
 
2 
 
M e N 
y
E
f
47,1 × 42 39 36 
Para 
 
 
 
5 
Almas sujeitas à 
compressão, uni-
forme ou não, 
contidas ao lon-
go de abas as 
bordas longitudi-
nais. A flexão 
considerada é 
relativa ao eixo 
perpendicular à 
alma, e a maior 
tensão de 
compressão na 
alma, devida ao 
momento fletor, 
deve ser igual ou 
inferior à de 
tração 
 
3 N 
y
E
f
47,1 × 42 39 36 
b
t
b
t
b
m éd iot
b
t
Com p.
T ração
t
b
t
234,0>
cNy
Nd
φ
234,0≤
cNy
Nd
φ
207,0≤
cNy
Nd
φ
207,0>
cNy
Nd
φ
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
56 
Tabela 4.3 – Valores limites das relações largura/espessura 
Casos 
Descrição do 
elemento 
Elementos Clas-
se 
Tipo de solicita-
ção da seção 
(b/t)máx Para 
fy = 250 
Para 
fy = 290 
Para 
fy = 345 
Aplicações 
Limitações 
6 
Almas de perfis 
“T” 
 3 N y
E
f
94,0 ×
 21 20 18 
7 
Abas de cantonei-
ras simples; abas 
de cantoneiras du-
plas providas de 
espaçadores; ele-
mentos comprimi-
dos não enrijeci-
dos em geral. 
 3 N y
E
f
44,0 ×
 13 12 11 
8 
Abas em projeção 
de cantoneiras li-
gadas continua-
mente com o per-
fil principal; enri-
jecedores de 
almas 
 3 N y
E
f
55,0 ×
 16 15 13 
9 
Larguras não su-
portadas de 
chapas perfuradas 
de mesas com su-
cessão de abertu-
ras de acesso. 
 3 N y
E
f
85,1 ×
 53 49 45 
Notas: a) N = Força Normal b) M = Momento Fletor 
 c) φc = 0,90 d) Nd = Força Normal de Compressão de Cálculo 
t b
b
t
b
b
tt
b
t t
b
t
b
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
57 
 Podemos então definir: 
Classes 1 e 2 – seções compactas ( λ ≤ λp ) 
Classe 3 – seções semicompactas ( λp < λ ≤ λr ) 
Classe 4 – seções esbeltas ( λ > λr ) 
 
 Resistência de cálculo de barras comprimidas 
 A resistência de cálculo de uma barra comprimida é obtida pela redução da 
resistência nominal da peça através introdução de um coeficiente de segurança 
(minorador) φc = 0,90, na equação: 
ncR NN φ= 
O coeficiente minorador da resistência é introduzido para reduzir a 
possibilidade de ocorrer uma peça de resistência menor do que a teórica ou 
nominal. 
A resistência nominal de uma barra de aço submetida à compressão é dada 
por: 
ygyn fQAQNN ρρ == 
sendo: 
para 0 ≤ λ ≤0,20 ρ = 1 
para λ ≥ 0,20 
2
2 1
λ
ββρ −−= 




+−+=
22
2 04,01
2
1 λλα
λ
β 
E
Qf
r
Kl y
××=
pi
λ 1 ⇒ 
E
Qf y
pi
λλ = 
Os valores de α variam conforme os tipos de seção e eixos de flambagem, 
de acordo com a tabela 4.4, valendo: 
Tabela 4.4 – Valores de αααα 
Tipo de curva Valores de α 
“a” 0,158 
“b” 0,281 
“c” 0,384 
“d” 0,572 
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
58 
O valor de ρ pode ser obtido alternativamente na tabela 4.6 (a, b, c ou d), 
determinando-se primeiramente a curva de flambagem a qual pertence a peça 
(tabela 4.5) e o valor de λ . 
Considerando que a norma brasileira adota sempre o mesmo valor para o 
módulo de elasticidade (E=205.000 MPa) para os aços estruturais e, 
particularizando para os casos em que Q=1, obtém-se: 
7,1439
yfλλ = 
No caso do aço MR-250, com fy=250 MPa, vem: 
λλ .011,0= 
Tabela 4.5 – Classificação de seções e curvas de flambagem 
Seção Transversal Flambagem em torno do eixo Curva de Flambagem 
Perfil caixão 
Soldado 
X - X 
Y - Y a 
Soldas de 
grande 
espessura 
b/t1 < 30 
d/t2 < 30 
X - X 
Y - Y 
 
c 
 
Outros casos X - X 
Y - Y 
 
b 
d/b > 1,2 t ≤ 40mm X - X 
Y - Y 
a 
b (a) 
d/b ≤ 1,2 t ≤ 40mm X - X 
Y - Y 
b (a) 
c (b) 
 
t > 40mm X - X 
Y - Y 
d 
d 
ti ≤ 40mm X - X 
Y - Y 
b 
c 
 
Perfis I ou H 
Soldados Ti > 40mm X - X 
Y - Y 
c 
d 
 X - X 
 
Y - Y 
 
c 
t
b
y
d x
y
x
t
1
2
y
yy
y
x x x
y
x x x
y
x
y
y
x
t
b
Perfis I ou H laminados
x
y
t2t
y
x x
y
y
1
x
t
y
y
x x
y
x x
yy
x
y
x
y
x y
x
x
y
x
y
U, L, T e perfis de seção cheia
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
59 
 
 Notas da tabela 4.5: 
a) Seções não incluídas na tabela devem ser classificadas de forma análoga; 
b) As curvas de flambagem indicadas entre parênteses podem ser adotadas para 
aços de alta resistência, com fy > 430MPa; 
c) Para barras compostas comprimidas, sujeitas às limitações do item 5.3.6 da 
NB-14, deverá ser adotada a curva “c”, para flambagem em relação ao eixo 
que não intercepta os perfis componentes. 
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
60 
Tabela 4.6a – Valores de ρρρρ para curva a 
λ 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 λ 
0.0 
0.1 
0.2 
0.3 
0.4 
0.5 
0.6 
0.7 
0.8 
0.9 
1.0 
1.1 
1.2 
1.3 
1.4 
1.5 
1.6 
1.7 
1.8 
1.9 
2.0 
2.1 
2.2 
2.3 
2.4 
2.5 
1.000 
1.000 
1.000 
0.978 
0.954 
0.923 
0.884 
0.845 
0.796 
0.739 
0.675 
0.606 
0.542 
0.480 
0.427 
0.331 
0.341 
0.306 
0.277 
0.251 
0.228 
0.208 
0.191 
0.175 
0.162 
0.149 
1.000 
1.000 
0.998 
0.977 
0.953 
0.919 
0.881 
0.842 
0.791 
0.734 
0.668 
0.599 
0.533 
0.474 
0.422 
0.375 
0.337 
0.303 
0.274 
0.248 
0.226 
0.206 
0.189 
0.174 
0.160 
----- 
1.000 
1.000 
0.996 
0.973 
0.948 
0.916 
0.877 
0.836 
0.786 
0.727 
0.661 
0.593 
0.527 
0.469 
0.417 
0.372 
0.333 
0.300 
0.271 
0.246 
0.224 
0.204 
0.187 
0.172 
0.159 
---- 
1.000 
1.000 
0.994 
0.971 
0.945 
0.912 
0.873 
0.831 
0.781 
0.721 
0.654 
0.585 
0.521 
0.463 
0.412 
0.368 
0.330 
0.298 
0.269 
0.243 
0.222 
0.202 
0.186 
0.170 
0.158 
---- 
1.000 
1.000 
0.992 
0.968 
0.942 
0.908 
0.869 
0.826 
0.775 
0.714 
0.647 
0.579 
0.515 
0.456 
0.408 
0.364 
0.326 
0.294 
0.266 
0.242 
0.219 
0.201 
0.184 
0.168 
0.156 
---- 
1.000 
1.000 
0.990 
0.966 
0.939 
0.904 
0.866 
0.821 
0.769 
0.708 
0.640 
0.573 
0.509 
0.453 
0.403 
0.360 
0.323 
0.291 
0.264 
0.239 
0.217 
0.199 
0.183 
0.167 
0.155 
---- 
1.000 
1.000 
0.988 
0.963 
0.936 
0.900 
0.861 
0.816 
0.763 
0.701 
0.634 
0.565 
0.503 
0.447 
0.398 
0.356 
0.319 
0.288 
0.261 
0.236 
0.215 
0.197 
0.181 
0.166 
0.154 
---- 
1.000 
1.000 
0.985 
0.961 
0.933 
0.896 
0.857 
0.812 
0.758 
0.695 
0.629 
0.559 
0.497 
0.442 
0.394 
0.352 
0.316 
0.285 
0.258 
0.234 
0.213 
0.196 
0.180 
0.165 
0.153 
---- 
1.000 
1.000 
0.983 
0.958 
0.930 
0.892 
0.854 
0.807 
0.752 
0.688 
0.619 
0.553 
0.491 
0.437 
0.389 
0.348 
0.312 
0.282 
0.256 
0.232 
0.211 
0.194 
0.179 
0.164 
0.152 
---- 
1.000 
1.000 
0.981 
0.956 
0.926 
0.889 
0.849 
0.802 
0.746 
0.681 
0.613 
0.547 
0.485 
0.432 
0.386 
0.344 
0.309 
0.280 
0.253 
0.230 
0.209 
0.192 
0.177 
0.163 
0.150 
---- 
0.0 
0.1 
0.2 
0.3 
0.4 
0.5 
0.6 
0.7 
0.8 
0.9 
1.0 
1.1 
1.2 
1.3 
1.4 
1.5 
1.6 
1.7 
1.8 
1.9 
2.0 
2.1 
2.2 
2.3 
2.4 
2.5 
Tabela 4.6b – Valoresde ρρρρ para curva b 
λ 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 λ 
0.0 
0.1 
0.2 
0.3 
0.4 
0.5 
0.6 
0.7 
0.8 
0.9 
1.0 
1.1 
1.2 
1.3 
1.4 
1.5 
1.6 
1.7 
1.8 
1.9 
2.0 
2.1 
2.2 
2.3 
2.4 
2.5 
1.000 
1.000 
1.000 
0.965 
0.925 
0.885 
0.838 
0.785 
0.727 
0.663 
0.598 
0.537 
0.480 
0.429 
0.383 
0.343 
0.307 
0.277 
0.250 
0.227 
0.207 
0.190 
0.175 
0.161 
0.148 
0.138 
1.000 
1.000 
0.997 
0.961 
0.921 
0.881 
0.833 
0.780 
0.721 
0.656 
0.592 
0.531 
0.475 
0.424 
0.379 
0.339 
0.304 
0.274 
0.248 
0.225 
0.205 
0.188 
0.173 
0.160 
0.147 
---- 
1.000 
1.000 
0.993 
0.957 
0.917 
0.876 
0.828 
0.774 
0.715 
0.650 
0.586 
0.526 
0.470 
0.419 
0.375 
0.335 
0.301 
0.271 
0.246 
0.224 
0.203 
0.186 
0.172 
0.159 
0.146 
---- 
1.000 
1.000 
0.989 
0.953 
0.913 
0.872 
0.823 
0.768 
0.709 
0.643 
0.580 
0.521 
0.465 
0.415 
0.370 
0.332 
0.298 
0.268 
0.243 
0.221 
0.202 
0.185 
0.170 
0.157 
0.145 
---- 
1.000 
1.000 
0.986 
0.950 
0.909 
0.867 
0.817 
0.762 
0.702 
0.636 
0.574 
0.515 
0.459 
0.410 
0.366 
0.328 
0.295 
0.265 
0.241 
0.219 
0.200 
0.183 
0.169 
0.156 
0.144 
----- 
1.000 
1.000 
0.983 
0.945 
0.905 
0.862 
0.812 
0.757 
0.695 
0.631 
0.558 
0.509 
0.454 
0.405 
0.362 
0.324 
0.292 
0.263 
0.239 
0.217 
0.198 
0.182 
0.168 
0.154 
0.143 
---- 
1.000 
1.000 
0.980 
0.941 
0.901 
0.858 
0.807 
0.751 
0.690 
0.624 
0.562 
0.503 
0.449 
0.401 
0.358 
0.321 
0.289 
0.260 
0.236 
0.215 
0.197 
0.180 
0.166 
0.153 
0.142 
---- 
1.000 
1.000 
0.977 
0.937 
0.897 
0.853 
0.802 
0.745 
0.683 
0.618 
0.555 
0.497 
0.444 
0.396 
0.354 
0.317 
0.286 
0.258 
0.234 
0.213 
0.195 
0.179 
0.165 
0.152 
0.141 
---- 
1.000 
1.000 
0.972 
0.933 
0.893 
0.849 
0.796 
0.739 
0.677 
0.611 
0.549 
0.491 
0.439 
0.392 
0.350 
0.314 
0.283 
0.255 
0.232 
0.211 
0.193 
0.178 
0.164 
0.151 
0.140 
---- 
1.000 
1.000 
0.969 
0.929 
0.889 
0.843 
0.791 
0733 
0.670 
0.605 
0.544 
0.486 
0.434 
0.387 
0.346 
0.311 
0.279 
0.253 
0.230 
0.209 
0.191 
0.176 
0.162 
0.149 
0.139 
---- 
0.0 
0.1 
0.2 
0.3 
0.4 
0.5 
0.6 
0.7 
0.8 
0.9 
1.0 
1.1 
1.2 
1.3 
1.4 
1.5 
1.6 
1.7 
1.8 
1.9 
2.0 
2.1 
2.2 
2.3 
2.4 
2.5 
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
61 
Tabela 4.6c – Valores de ρρρρ para curva c 
λ 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 λ 
0.0 
0.1 
0.2 
0.3 
0.4 
0.5 
0.6 
0.7 
0.8 
0.9 
1.0 
1.1 
1.2 
1.3 
1.4 
1.5 
1.6 
1.7 
1.8 
1.9 
2.0 
2.1 
2.2 
2.3 
2.4 
2.5 
1.000 
1.000 
1.000 
0.951 
0.900 
0.844 
0.783 
0.719 
0.654 
0.593 
0.537 
0.486 
0.438 
0.395 
0.357 
0.323 
0.293 
0.265 
0.241 
0.220 
0.202 
0.186 
0.172 
0.159 
0.147 
0.137 
1.000 
1.000 
0.995 
0.946 
0.895 
0.838 
0.776 
0.712 
0.647 
0.587 
0.532 
0.481 
0.434 
0.391 
0.353 
0.320 
0.290 
0.263 
0.238 
0.218 
0.201 
0.185 
0.170 
0.157 
0.146 
---- 
1.000 
1.000 
0.990 
0.941 
0.890 
0.832 
0.770 
0.706 
0.642 
0.581 
0.526 
0.476 
0.429 
0.387 
0.350 
0.318 
0.287 
0.261 
0.236 
0.217 
0.199 
0.184 
0.169 
0.156 
0.145 
---- 
1.000 
1.000 
0.985 
0.936 
0.884 
0.826 
0.764 
0.700 
0.635 
0.575 
0.521 
0.471 
0.425 
0.383 
0.346 
0.314 
0.284 
0.258 
0.234 
0.215 
0.197 
0.182 
0.167 
0.155 
0.144 
---- 
1.000 
1.000 
0.980 
0.931 
0.878 
0.820 
0.757 
0.693 
0.629 
0.570 
0.517 
0.466 
0.421 
0.379 
0.343 
0.311 
0.281 
0.256 
0.232 
0.213 
0.196 
0.181 
0.166 
0.154 
0.142 
---- 
1.000 
1.000 
0.975 
0.926 
0.873 
0.814 
0.753 
0.687 
0.623 
0.565 
0.511 
0.461 
0.416 
0.375 
0.339 
0.308 
0.277 
0.253 
0.230 
0.212 
0.194 
0.179 
0.165 
0.152 
0.141 
---- 
1.000 
1.000 
0.970 
0.921 
0.867 
0.808 
0744 
0.680 
0.617 
0.559 
0.506 
0.457 
0.412 
0.372 
0.336 
0.305 
0.275 
0.250 
0.228 
0.210 
0.192 
0.177 
0.164 
0.151 
0.140 
---- 
1.000 
1.000 
0.965 
0.915 
0.861 
0.802 
0.738 
0.674 
0.611 
0.553 
0.501 
0.452 
0.408 
0.368 
0.333 
0.302 
0.273 
0.248 
0.226 
0.208 
0.191 
0.176 
0.162 
0.150 
0.139 
---- 
1.000 
1.000 
0.960 
0.910 
0.856 
0.795 
0.731 
0.667 
0.605 
0.547 
0.496 
0.447 
0.403 
0.364 
0.329 
0.299 
0.270 
0.245 
0.224 
0.206 
0.189 
0.175 
0.161 
0.149 
0.139 
---- 
1.000 
1.000 
0.955 
0.905 
0.850 
0.789 
0.726 
0.661 
0.599 
0.542 
0.491 
0.443 
0.399 
0.360 
0.326 
0.296 
0.268 
0.243 
0.222 
0.204 
0.187 
0.173 
0.160 
0.148 
0.138 
---- 
0.0 
0.1 
0.2 
0.3 
0.4 
0.5 
0.6 
0.7 
0.8 
0.9 
1.0 
1.1 
1.2 
1.3 
1.4 
1.5 
1.6 
1.7 
1.8 
1.9 
2.0 
2.1 
2.2 
2.3 
2.4 
2.5 
Tabela 4.6d – Valores de ρρρρ para curva d 
λ 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 λ 
0.0 
0.1 
0.2 
0.3 
0.4 
0.5 
0.6 
0.7 
0.8 
0.9 
1.0 
1.1 
1.2 
1.3 
1.4 
1.5 
1.6 
1.7 
1.8 
1.9 
2.0 
2.1 
2.2 
2.3 
2.4 
2.5 
1.000 
1.000 
1.000 
0.917 
0.840 
0.769 
0.698 
0.632 
0.572 
0.517 
0.468 
0.424 
0.385 
0.350 
0.318 
0.290 
0.285 
0.242 
0.222 
0.203 
0.187 
0.173 
0.160 
0.148 
0.138 
0.128 
1.000 
1.000 
0.991 
0.909 
0.833 
0.762 
0.962 
0.626 
0.566 
0.511 
0.463 
0.420 
0.381 
0.347 
0.315 
0.287 
0.262 
0.240 
0.220 
0.202 
0.186 
0.171 
0.158 
0.147 
0.137 
---- 
1.000 
1.000 
0.982 
0.901 
0.825 
0.754 
0.685 
0.620 
0.560 
0.506 
0.458 
0.416 
0.378 
0.343 
0.313 
0.286 
0.260 
0.238 
0.218 
0.200 
0.184 
0.170 
0.157 
0.146 
0.136 
---- 
1.000 
1.000 
0.974 
0.894 
0.818 
0.747 
0.678 
0.614 
0.554 
0.501 
0.454 
0.412 
0.374 
0.340 
0.310 
0.282 
0.258 
0.236 
0.216 
0.198 
0.183 
0.169 
0.156 
0.145 
0.135 
---- 
1.000 
1.000 
0.965 
0.886 
0.811 
0.740 
0.671 
0.607 
0.549 
0.496 
0.450 
0.408 
0.371 
0.337 
0.307 
0.280 
0.255 
0.233 
0.214 
0.197 
0.181 
0.167 
0.155 
0.144 
0.134 
---- 
1.000 
1.000 
0.957 
0.879 
0.804 
0.733 
0.665 
0.601 
0.543 
0.491 
0.445 
0.404 
0.367 
0.334 
0.304 
0.277 
0.253 
0.231 
0.212 
0.195 
0.180 
0.166 
0.154 
0.143 
0.133 
---- 
1.000 
1.000 
0.948 
0.871 
0.797 
0.726 
0.658 
0.595 
0.538 
0.487 
0.441 
0.400 
0.364 
0.331 
0.301 
0.274 
0.251 
0.229 
0.210 
0.193 
0.178 
0.165 
0.153 
0.142 
0.132 
---- 
1.000 
1.000 
0.940 
0.863 
0.790 
0.719 
0.652 
0.589 
0.532 
0.482 
0.437 
0.396 
0.360 
0.328 
0.298 
0.272 
0.248 
0.227 
0.209 
0.192 
0.177 
0.163 
0.151 
0.141 
0.131 
---- 
1.000 
1.000 
0.932 
0.856 
0.783 
0.712 
0.645 
0.583 
0.527 
0.477 
0.432 
0.393 
0.357 
0.325 
0.295 
0.270 
0.246 
0.225 
0.207 
0.190 
0.175 
0.162 
0.150 
0.140 
0.130 
---- 
1.000 
1.000 
0.924 
0.848 
0.776 
0.705 
0.639 
0.577 
0.522 
0.472 
0.426 
0.389 
0.353 
0.321 
0.293 
0.267 
0.244 
0.223 
0.205 
0.189 
0.174 
0.161 
0.149 
0.169 
0.129 
---- 
0.0 
0.1 
0.2 
0.3 
0.4 
0.5 
0.6 
0.7 
0.8 
0.9 
1.0 
1.1 
1.2 
1.3 
1.4 
1.5 
1.6 
1.7 
1.8 
1.9 
2.0 
2.1 
2.2 
2.3 
2.4 
2.5 
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
62 
A seguir são apresentadas as tabelas com as propriedades de cada perfil: 
Tabela 4.7 – Cantoneiras de abas iguais 
 
 
 
 
 
 
Aba Espessura Massa Área Eixos X e Y Eixo Z 
pol. 
Mm 
 
pol. 
 
mm 
 
Kg/m 
 
cm2 
Ix = Iy 
cm4 
Wx=Wy 
cm3 
rx = ry 
cm 
x ou y 
cm 
rz 
cm 
 
 
8” 
203.2 
1 1/8 
1 
7/8 
3/4 
5/89/16 
1/2 
28.6 
25.4 
22.2 
19.1 
15.9 
14.3 
12.7 
84.68 
75.90 
66.97 
57.89 
48.66 
44.05 
39.29 
107.74 
96.77 
85.16 
73.55 
62.00 
56.00 
50.00 
4079 
3704 
3313 
2901 
2472 
2252 
2023 
286.8 
258.9 
229.4 
199.9 
168.8 
153.1 
137.0 
6.15 
6.20 
6.22 
6.27 
6.32 
6.35 
6.35 
6.12 
6.02 
5.89 
5.79 
5.66 
5.61 
5.56 
3.96 
3.96 
3.99 
4.01 
4.01 
4.04 
4.04 
 
 
 
 
6” 
152.4 
1 
7/8 
3/4 
5/8 
9/16 
1/2 
7/16 
3/8 
5/16 
25.4 
22.2 
19.1 
15.9 
14.3 
12.7 
11.1 
9.5 
7.9 
55.66 
49.26 
42.71 
36.01 
32.59 
29.17 
25.60 
22.17 
18.45 
70.97 
62.77 
54.45 
45.87 
41.48 
37.10 
32.65 
28.13 
23.54 
1478 
1328 
1174 
1007 
920 
828 
737 
641 
541 
140.4 
125.0 
109.1 
92.8 
84.2 
75.5 
66.9 
57.8 
48.7 
4.57 
4.60 
4.65 
4.67 
4.70 
4.72 
4.75 
4.78 
4.80 
4.72 
4.62 
4.52 
4.39 
4.34 
4.27 
4.22 
4.17 
4.11 
2.97 
2.97 
2.97 
3.00 
3.00 
3.00 
3.02 
3.02 
3.05 
 
 
5” 
127,0 
7/8 
3/4 
5/8 
1/2 
7/16 
3/8 
5/16 
22.2 
19.1 
15.9 
12.7 
11.1 
9.5 
7.9 
40.48 
35.12 
29.76 
24.11 
21.28 
18.30 
15.33 
51.48 
44.77 
37.81 
30.65 
26.97 
23.29 
19.55 
741 
653 
566 
470 
416 
364 
309 
84.7 
74.2 
63.3 
51.8 
45.7 
39.7 
33.4 
3.78 
3.84 
3.86 
3.91 
3.94 
3.96 
3.99 
3.99 
3.86 
3.76 
3.63 
3.58 
3.53 
3.48 
2.47 
2.48 
2.48 
2.50 
2.50 
2.51 
2.52 
 
 
4” 
101.6 
3/4 
5/8 
1/2 
7/16 
3/8 
5/16 
1/4 
19.1 
15.9 
12.7 
11.1 
9.5 
7.9 
6.40 
27.53 
23.36 
19.05 
16.82 
14.58 
12.20 
9.82 
35.10 
29.74 
24.19 
21.35 
18.45 
15.48 
12.52 
319 
277 
231 
207 
181 
154 
127 
46.0 
39.3 
32.3 
28.7 
24.9 
21.1 
17.2 
3.02 
3.05 
3.10 
3.12 
3.12 
3.15 
3.18 
3.23 
3.12 
3.00 
2.95 
2.90 
2.84 
2.77 
1.98 
1.98 
1.99 
1.99 
2.00 
2.01 
2.02 
Z
y
X
x
y CANTONEIRAS DE ABAS
PROPRIEDADES PARA
IGUAIS
PROJETO
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
63 
Aba Espessura Massa Área Eixos X e Y Eixo Z 
pol. 
mm 
 
pol. 
 
mm 
 
Kg/m 
 
cm2 
Ix = Iy 
cm4 
Wx=Wy 
cm3 
rx = ry 
cm 
x ou y 
cm 
rz 
cm 
 
3 ½” 
88.9 
1/2 
7/16 
3/8 
5/16 
1/4 
12.7 
11.1 
9.5 
7.9 
6.40 
16.52 
14.58 
12.65 
10.71 
8.63 
20.97 
18.52 
16.00 
13.48 
10.90 
152 
136 
119 
102 
83.7 
24.4 
21.6 
18.8 
16.0 
13.0 
2.69 
2.72 
2.72 
2.74 
2.77 
2.69 
2.64 
2.57 
2.51 
2.46 
1.73 
1.74 
1.74 
1.75 
1.76 
 
 
3” 
76.2 
1/2 
7/16 
3/8 
5/16 
1/4 
3/16 
12.7 
11.1 
9.5 
7.9 
6.40 
4.80 
13.99 
12.35 
10.71 
9.08 
7.29 
5.52 
17.74 
15.68 
13.61 
11.48 
9.29 
7.03 
92.4 
82.8 
73.3 
62.9 
51.6 
40 
17.5 
15.6 
13.7 
11.6 
9.46 
7.23 
2.25 
2.30 
2.32 
2.34 
2.36 
2.39 
2.37 
2.31 
2.26 
2.21 
2.14 
2.08 
1.48 
1.49 
1.49 
1.50 
1.50 
1.51 
 
 
2 ½” 
63.5 
1/2 
3/8 
5/16 
1/4 
3/16 
12.7 
9.5 
7.9 
6.40 
4.80 
11.46 
8.78 
7.44 
6.10 
4.57 
14.52 
11.16 
9.42 
7.68 
5.94 
51.2 
41 
35.3 
29.3 
22.8 
11.9 
9.28 
7.9 
6.46 
4.97 
1.88 
1.91 
1.93 
1.95 
1.98 
2.05 
1.94 
1.88 
1.82 
1.76 
1.24 
1.24 
1.24 
1.25 
1.26 
 
2” 
50.8 
3/8 
5/16 
1/4 
3/16 
1/8 
9.5 
7.9 
6.40 
4.8 
3.2 
6.99 
5.83 
4.75 
3.63 
2.46 
8.77 
7.42 
6.05 
4.61 
3.12 
19.9 
17.3 
14.5 
11.3 
7.91 
5.75 
4.92 
4.05 
3.11 
2.15 
1.51 
1.53 
1.55 
1.57 
1.59 
1.62 
1.56 
1.50 
1.45 
1.39 
0.99 
0.99 
0.99 
1.00 
1.01 
1 ¾” 
44.45 
1/4 
3/16 
1/8 
6.40 
4.8 
3.2 
4.12 
3.15 
2.14 
5.25 
4.01 
2.72 
9.45 
7.45 
5.24 
3.05 
2.36 
1.62 
1.34 
1.36 
1.39 
1.34 
1.29 
1.23 
0.87 
0.87 
0.88 
 
1 ½” 
38.1 
1/4 
5/32 
3/16 
1/8 
6.40 
4.8 
4.0 
3.2 
3.48 
2.68 
2.26 
1.83 
4.44 
3.40 
2.86 
2.32 
5.79 
4.56 
3.91 
3.25 
2.20 
1.70 
1.44 
1.18 
1.14 
1.16 
1.17 
1.19 
1.18 
1.13 
1.10 
1.07 
0.74 
0.74 
0.75 
0.75 
1 ¼” 
31.75 
1/4 
3/16 
1/8 
6.40 
4.8 
3.2 
2.86 
2.20 
1.50 
3.63 
2.8 
1.92 
3.20 
2.54 
1.83 
1.49 
1.16 
0.80 
0.94 
0.96 
0.98 
1.02 
0.97 
0.91 
0.62 
0.62 
0.62 
1” 
25.4 
1/4 
3/16 
1/8 
6.40 
4.8 
3.2 
2.22 
1.73 
1.19 
2.83 
2.19 
1.51 
1.54 
1.25 
0.92 
0.92 
0.72 
0.51 
0.74 
0.75 
0.77 
0.86 
0.81 
0.73 
0.50 
0.50 
0.50 
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
64 
Tabela 4.8 – Perfis I 
 
 
 
 
 
 
 
Eixo x Eixo y Designação 
nominal 
Massa Área d b tf tw 
Ix Wx rx Zx Iy Wy ry Zy 
rT Cw It 
(d x tw) kg/m cm2 mm mm mm mm cm4 Cm3 cm Cm3 cm4 cm3 cm cm3 cm cm6 cm4 
 
102x4,9 11.5 14.6 101.6 67.6 7.44 4.9 253 49.8 4.17 57.5 31.8 9.41 1.48 15.8 1.68 703 3.03 
152x5,9 18.5 23.6 152.4 84.6 9.11 5.9 919 121 6.24 139 76 17.9 1.79 30.3 2.07 3890 7.00 
203x6,9 27.3 34.8 203.2 101.6 10.79 6.9 2400 236 8.30 270 155 30.5 2.11 51.8 2.47 14360 14.0 
254x7,9 37.7 48.1 254.0 118.4 12.47 7.9 5140 405 10.3 465 282 47.7 2.42 81.3 2.87 41080 25.14 
305x11,7 60.6 77.3 304.8 133.4 16.72 11.7 11330 743 12.1 870 563 84.0 2.70 145 3.25 117000 73.3 
457x11,7 81.4 103.7 457.2 152.4 17.55 11.7 33460 1464 18.0 1721 867 114 2.89 198 3.58 418900 98.6 
508x15,2 121.2 154.4 508.0 177.8 23.30 15.2 61640 2430 20.0 2810 1872 211 3.48 360 4.29 1100000 257 
d
b
tw
tf
x
y
Perfis I - padrão americano
fabricação CSN
tabela parcial
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
65 
Tabela 4.9 – Perfis U ou C 
 
 
 
 
 
 
 
 
c.g. c. cisal. Eixo x Eixo y Designação 
nominal 
Massa Área d b tf tw 
__ 
X e Ix Wx rx Iy Wy ry 
Cw It 
(d x tw) Kg/m cm2 mm mm mm mm Mm mm cm4 cm3 cm cm4 cm3 cm cm6 cm4 
 
76x4,32 6.1 7.8 76.2 35.8 6.93 4.32 11.1 11.7 69.1 18.0 2.97 8.2 3.31 1.03 82.4 1.12 
102x4,67 8.04 10.3 101.6 40.2 7.52 4.67 11.6 12.8 160 31.6 3.96 13.3 4.64 1.14 247 1.66 
152x5,08 12.2 15.5 152.4 48.8 8.71 5.08 13.0 15.2 546 72.0 5.94 28.8 8.06 1.36 1270 3.12 
203x5,59 17.1 21.8 203.2 57.4 9.91 5.59 14.5 17.7 1357 133.0 7.90 54.9 12.8 1.59 4430 5.45 
254x6,10 22.7 29.0 254.0 66.0 11.1 6.10 16.1 20.2 2805 221.0 9.83 94.9 19.0 1.81 12200 8.78 
305x7,16 30.7 39.3 304.8 74.7 12.7 7.16 17.7 22.1 5369 352.0 11.7 161 28.3 2.03 30000 15.4 
t
b
d
x
y
tw
f
x
e
c.g.
Centro de
cisalhamento
tabela parcial
fabricação CSN
Perfis U - padrão americano
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
66 
Exemplo 1) Determinar a resistência de cálculo do pilar da figura 4.5, em aço MR250:
Solução: 
O problema em questão tem, na 
verdade, duas possibilidades de 
instabilidade por flambagem. Obser-
vando-se os esquemas estruturais 
unifilares que mostram os dois planos 
que compõem o pórtico na estrutura, 
conclui-se que a flambagem pode se 
desenvolver em dois planos distintos. 
Obviamente, a configuração de 
flambagem que exigir menor 
quantidade de energia será eleita para 
caracterizar a resistência da barra. 
Da tabela do fabricante de perfilados, 
Companhia Siderúrgica Nacional, 
obtém-se as propriedades da seção da 
barra: 
A=48,1 cm2 
rx=10,3 cm 
ry=2,42 cm 
Na figura 4.6, que mostra a vista de 
frente, está representada a flambagem 
em torno do eixo y, que está de topo 
com o plano da figura. A elástica 
apresenta duas concavidades com os 
valores recomendados Ky=1,0 e 
Ky=0,80, obtidos da tabela 4.1. É 
importante notar que o perfil tem Ix>Iy e, 
conseqüentemente, rx>ry. Então, a 
flambagem em torno do eixo y, pela 
geometria da peça, tende aser mais 
crítica, obrigando a introdução de 
contraventamentos de forma a reduzir 
os comprimentos livres no plano 
ortogonal ao eixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.5- Pilar metálico 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.6 – Diagramas unifilares planos da estrutura e configurações possíveis 
de flambagem por flexão. 
I254x7,9mm
Travejamento
P
Travejamento
6m
k = 1,0
k = 0,8
k = 0,8
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
67 
Os índices de esbeltez valem: 
- eixo x: 
60,46
3,10
6008,0
=
×
==
x
x
r
Klλ 
- eixo y: 
124
42,2
3000,1
=
×
==
y
y
r
Klλ 
- Verificação da flambagem local 
Da tabela 4.3, vem: 
- mesa 
74,4
47,12
4,1185,0
=
×
=
ft
b
 
8,15
250
000.20555,0 =×=





máxt
b
 
- alma 
99,28
9,7
47,122254
=
×−
=
ft
b
 
09,42
250
000.20547,1 =×=





máxwt
b
 
Estando os dois elementos do perfil 
(alma e mesa) dentro dos limites de 
esbeltez para a classe 3, que significa 
inexistência de flambagem local para a 
flambagem elástica, Q=1. 
Da tabela 4.5 obtém-se as curvas de 
flambagem: 
- eixo “x”: curva “a” 
Com a equação 51,06,46011,0 =×=xλ , 
que corresponde a ρ=0,919 na tabela 
4.6a 
- eixo “y”: curva “b” 
36,1124011,0 =×=xλ , que corresponde 
a ρ=0,401 na tabela 4.6b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.7 – Dimensões da seção do 
perfil I 254 x 7,9. 
 
x
118,4
12,47
254
7,9
y
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
68 
- Resistência nominal 
- eixo “x”: 
kNfQAN ygn 1,1105251,481919,0 =×××== ρ 
- eixo “y”: 
kNfQAN ygn 2,482251,481401,0 =×××== ρ 
Como a resistência de uma peça é dada pela sua parte mais fraca, a resistência 
nominal corresponde à de flambagem em torno do eixo “y”. 
Assim, a resistência de cálculo será: 
kNNN nd 98,4332,4829,09,0 =×=×= 
 
4.3 Flambagem em Cantoneiras 
 
Cantoneiras de paredes muito finas podem sofrer flambagem por flexo-torção, 
que se caracteriza por uma superposição de deformações de flexão e torção, 
originando uma flambagem de curvatura complexa. Para cantoneiras laminadas a 
flambagem por flexo-torção só é determinante nas peças de pequena esbeltez. 
O procedimento de cálculo é o mesmo 
adotado para os perfis I ou H, mas com 
a possibilidade de mais um plano de 
flambagem, como será visto. 
Pelo centro de gravidade de uma 
superfície qualquer pode passar uma 
infinidade de pares de eixos 
cartesianos, obtendo-se os momentos 
de inércia respectivos. Dentre estes 
eixos um par goza da propriedade de 
apresentar, um deles, o máximo 
momento de inércia e, o outro, o 
mínimo, denominados de eixos 
principais de inércia. Estes eixos 
fornecem os momentos principais de 
inércia. Se houver eixo de simetria ele 
será um dos eixos principais. 
No caso de cantoneiras, os 
catálogos de fabricantes apresentam as 
propriedades geométricas de eixos 
paralelos às abas (x e y) e dos eixos 
principais de inércia (t e z). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.8 – Seção transversal de 
cantoneira de abas iguais. 
X
z
C.G.
t
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
69 
Para uma cantoneira da abas iguais, os eixos principais de inércia são o 
eixo de simetria (t) e seu ortogonal (z) e facilmente se conclui que Iz<It. No caso de 
cantoneiras de abas desiguais não há simetria e o eixo t deixa de ser a bissetriz. 
Exemplo 2) Dimensionar a barra AB da treliça da figura abaixo em cantoneira de 
abas iguais - aço MR-250. A barra tem ligações soldadas. 
São dados os esforços atuantes na barra (sinal negativo indica compressão): 
- carga permanente de pequena variabilidade: G= -28,8 kN; 
- sobrecarga: Q= -18,2 kN; 
- carga devida ao vento: Q= -7,1 kN. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.9 – Diagrama unifilar parcial da tesoura 
Solução: 
Determinação do esforço de cálculo: 
Uma das combinações é: 
kNPd 26,69)1,7(6,04,1)2,18(5,1)8,28(25,1 −=−××+−×+−×= 
e a outra: 
kNPd 59,59)1,7(4,1)2,18(5,05,1)8,28(25,1 −=−×+−××+−×= 
Arbitrando uma cantoneira de abas iguais L 63,5x63,5x4,8 mm cujas propriedades 
geométricas, obtidas do catálogo do fabricante, são: 
A=5,94 cm2; 
rx=ry=1,98 cm; 
rz=1,26 cm. 
As barras de uma treliça são dimensionadas com a suposição de serem rotuladas 
em suas extremidades. Para uma haste bi-rotulada submetida a esforço de 
1,8m
1,8m
A C
B
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
70 
compressão, a flambagem se dá em torno do eixo de menor inércia: o eixo z. 
Então: 
143
26,1
1801
=
×
=zλ 
Como a barra tem dimensões adequadas, Q=1,0 (ausência de flambagem local). 
57,1143011,0 =×=λ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.10 – Detalhes da barra AB 
Na tabela 4.5, determina-se a curva de flambagem “c”, de onde se obtém o valor 
de ρ=0,302. 
A resistência de cálculo vale: 
kNfQAN ygR 36,402594,51302,09,09,0 =××××== ρ 
Como a resistência da barra é menor do que a ação de cálculo, torna-se 
necessário reforçar. Para isso, duas alternativas podem ser seguidas: aumentar as 
dimensões da seção transversal ou interferir nos comprimentos de flambagem. 
A alternativa de aumentar as dimensões do perfil faz-se da mesma forma acima, 
arbitrando-se novas seções, até que se consiga uma resposta adequada. Tal 
tarefa é deixada para o leitor executar. 
A outra alternativa requer a introdução de barras adicionais para reduzir os 
comprimentos de flambagem. 
A figura 4.11 mostra uma alternativa para detalhe da barra AB, com suas ligações 
de extremidade. A flambagem da barra, para a configuração da figura se dá em 
um plano inclinado a 45º em relação ao plano da treliça, o qual é normal ao eixo 
“z” de uma seção genérica da haste. Em outras palavras, todas as seções da 
haste sofrem uma translação no plano β da figura 4.12, exceto as de extremidade 
Chapa de nó
(gousset)
Ponto de Trabalho
do nó A
Ponto de Trabalho
do nó C
do nó B
Ponto de Trabalho
A
A
X
Yz
Corte AA
Plano da 
treliça
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
71 
(apoios) e todas sofrem uma rotação em torno do eixo “z”, normal ao plano β. Este 
deslocamento pode ser decomposto em dois, segundo os eixos “x” (δx) e “y” (δy). 
Basta agora, impedir o deslocamento em qualquer dos eixos coordenados de uma 
seção para que o deslocamento em “z” seja igual a zero (δz=0). A introdução de 
uma barra, dita redundante, DC no plano da treliça até o meio da barra AB, faz 
com que o deslocamento δx seja nulo no nó D recém criado. A partir de agora, a 
flambagem da barra AB pode ter as configurações: 
1. plano da treliça (pi) em torno do eixo “y”, em dois trechos iguais (AD e DB) 
bi-rotulados; 
2. plano normal ao da treliça; a flambagem se dá com rotação das seções em 
torno do eixo “x”, rotulada nas extremidades e comprimento de 1,8 m (AB). Nota-
se que a vinculação no meio da barra (δx=0) não impede o deslocamento da seção 
do meio da haste (D) na direção “y”, que permanece livre; 
3. plano bissetor (β): este é o plano em que a barra AB flamba quando não há 
barra redundante e corresponde ao mínimo consumo de energia, sendo normal ao 
eixo de menor inércia da barra. Com a introdução da vinculação (δx=0) vem que 
δz=0 no nó D. Então, a flambagem em torno do eixo “z” ainda pode ocorrer, mas 
com comprimento igual ao da flambagem em torno de “y”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.11 – Planos de Flambagem – deslocamento de uma seção genérica 
Descartando-se a hipótese de 
flambagem em torno de “y”, por ser 
obviamente menos crítico que em torno 
de “z” com o mesmo comprimento, tem-
se: 
- eixo “x”: 
 
 
 
 
Figura 4.12 – Treliça c/ barra redundante DC 
91
98,1
180
==xλPlano da treliça ( )
Vértice da cantoneira
antes da flambagem
Vértice da cantoneira
após a flambagem
Plano bissetor ( )β
pi
X Y
z
δ t
δx
δy
Plano bissetor ( )β
pi
CA
B
D
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
72 
 que fornece, para a curva “c”, ρ = 0,537 
- eixo “z”: 
 
 que fornece, para a curva “c”, ρ = 0,661 
A resistência de cálculo corresponde ao menor valor, ou seja, NR = 71,7kN e atende ao 
esforço de cálculo. 
A barra redundante não é solicitada estaticamente, pois não havendo ações aplicadas 
no nó D, que está em equilíbrio, o esforço na barra DC tem que ser nulo. O seu 
dimensionamento deve ser feito para suportar uma fração do esforço atuante contida 
por ela. Segundo a NBR 8800 o esforço na barra redundante é de 2% do esforço de 
compressão e seu índice de esbeltez “l/r” não deve ultrapassar 140. 
O critério para a tomada de decisão entre colocar ou não uma barra redundante 
costuma ser econômico. O procedimento mais comum é estabelecer a massa de aço 
que se aplica em cada solução, isto é, o projetista calcula as duas soluções e escolhe a 
que acarreta menor quantidade de material. 
 
4.4 Peças Compostas 
 
 Seguidamente o projetista se defronta com o problema prático de não dispor de 
um perfil laminado que seja adequado para o problema estrutural, tanto por não existir, 
como por não ser disponível com a urgência que a obra necessita. Quando isso ocorre, 
é necessário fazer uma composição com dois ou mais perfilados, obtendo-se o que se 
denomina de barra composta. 
 Por outro lado, a economia de materiais em peças comprimidas é feita 
buscando-se o máximo de rigidez (momento de inércia) da seção empregando-se o 
mínimo de material, isto é, com a menor área de seção transversal possível. Essa 
busca levará à seções de grandes dimensões transversais, pois quanto mais afastada 
estiver a massa do centro de gravidade, maior é o momento de inércia. No entanto, 
estas seções, são limitadas pela esbeltez das paredes, quando a flambagem local 
passa a governar a resistência. Sabe-se que, por definição, o momento de inércia de 
uma superfície plana em relação a um eixo genérico “x” é dado por: 
 
0,191011,0
_
=×=xλ
kNfQAN ygR 77,712594,51537,09,09,0 =××××== ρ
71
26,1
90
==zλ
0,171011,0
_
=×=zλ
kNfQAN ygR 34,882594,51661,09,09,0 =××××== ρ
dAyI
Ax ∫=
2
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
73 
sendo dA um infinitésimo de área de y a uma distância do elemento ao eixo. 
Sabe-se ainda que para uma superfície 
geometricamente definida, pode-se 
sempre obter a posição do baricentro e 
por ele passar um eixo arbitrário 
qualquer e calcular o momento de 
inércia da superfície em relação a ele, 
pela equação acima. Se o eixo “X” em 
relação ao qual se deseja o momento de 
inércia não passar pelo baricentro, e se 
dispõe do momento de inércia de um 
eixo que lhe seja paralelo e que passe 
pelo centro de gravidade (eixo “x”) da 
figura, pode ser vantajoso usar o 
teorema de Steiner, que se resume na 
equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.13 – Transposição de eixos
 
sendo: 
IX = momento de inércia procurado; 
Ix = momento de inércia em relação ao eixo baricêntrico da figura, paralelo a X; 
A = área da superfície; 
 = distância entre os dois eixos. 
 
 4.4.1 Limitações quanto a Flambagem Local 
 
 No dimensionamento de barras compostas comprimidas continua sendo válido 
que o índice de esbeltez do conjunto, não pode ser superior a 200. 
 Todos os elementos componentes de barras compostas comprimidas, devem ter 
relações largura/espessura inferiores ou iguais aos valores (b/t)máx da tabela 4.3 para 
seções classe 3, sujeitas a força normal de compressão. 
 
 
 
2
_
)(yAII xX +=
_
y
r
lk ×
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
74 
Exemplo 3) Projetar uma coluna com dois perfis U, para um esforço de cálculo 
Nd=450kN. A coluna pode ser engastada na base e rotulada no topo, isto é, considera-
se que na rótula não seja possível haver deslocamentos transversais, e mede 5 metros 
de comprimento. Usar aço MR-250. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.14 – Seção transversal típica Figura 4.15 – Seção transversal U
Solução: 
O problema é resolvido por tentativas. Tanto a geometria como as dimensões devem 
ser arbitrados. 
Como primeira tentativa, seja um perfil U 102 x 4,67 mm, cujas propriedades 
geométricas são: 
d= 102 mm b= 40,2 mm tw= 4,67 mm tf= 7,52 mm x = 11,6 mm A= 10,3 cm2 
Ix= 160 cm4 rx=3,96 cm Iy= 13,3 cm4 ry=1,14 cm 
- flambagem local (tabela 4.3) 
- Mesa 
→=<=== 1655,04,5
52,7
2,40
yf
E
t
bλ mesa classe 3 
- Alma 
→=<=
×−
== 4247,16,18
67,4
52,72102
yf
E
t
hλ mesa classe 3 
Portanto, o perfil é classe 3 e não está sujeito ao fenômeno de flambagem local para 
compressão uniforme. 
 
d
x
x
Y
X
a
y y
x X
espaçador
d
x
x
y
tw
tf
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
75 
- flambagem por flexão 
- Eixo X 
Observando-se que o eixo global X coincide com os eixos locais “x” de cada perfil, isto 
é, 0=y , tem-se: 
xxX IAII .20.2.2
2
=×+= 
Conseqüentemente, 
( ) x
x
tot
X
X rA
I
A
I
r ===
.2
.2
 
Então, rX=rx=3,96 cm 
Pode-se estudar o comportamento da coluna quanto à flambagem em torno do eixo X. 
Sendo engastada na base e rotulada no topo: 
101
96,3
5008,0
=
×
=Xλ 
Sendo aço MR-250, tem-se: 
11,1101011,0011,0 =×=×= λλ 
Da tabela 4.5 obtém-se a curva que governa a flambagem. Para perfis U, a flambagem 
é comandada pela curva “c”. 
Da curva “c” (tabela 4.6c), vem que ρ=0,481 
− Resistência nominal 
kNfAQN ygn 7,24725)3,102(1481,0... =××××== ρ 
− Resistência de cálculo 
kNfAQN ygR 9,2227,2479,0....9,0 =×== ρ 
Que é insuficiente. 
Testa-se, então, um novo perfil, maior. Seja U 152 x5,08 mm que tem as propriedades 
geométricas: 
d= 152 mm b= 48,8 mm tw= 5,08 mm tf= 8,71 mm x = 16,1 mm A= 15,5 cm2 
Ix= 546 cm4 rx=5,94 cm Iy= 28,8 cm4 ry=1,36 cm 
- flambagem local (tabela 4.3) 
- Mesa 
→=<=== 1655,06,5
71,8
8,48
yf
E
t
bλ mesa classe 3 
 
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
76 
- Alma 
→=<=
×−
== 4247,15,26
08,5
71,82152
yf
E
t
hλ mesa classe 3 
Portanto, o perfil é classe 3 e não está sujeito ao fenômeno de flambagem local para 
compressão uniforme. 
- flambagem por flexão 
- Eixo X 
Procedendo-se analogamente, tem-se: 
 rX=rx=5,94 cm 
3,67
94,5
5008,0
=
×
=Xλ 
Sendo aço MR-250, tem-se: 
74,03,67011,0011,0 =×=×= λλ 
Da tabela 4.5 obtém-se a curva que governa a flambagem. Para perfis U, a flambagem 
é comandada pela curva “c”. 
Da curva “c” (tabela 4.6c), vem que ρ=0,693 
− Resistência nominal 
kNfAQN ygn 1,57325)5,152(1693,0... =××××== ρ 
− Resistência de cálculo 
kNfAQN ygR 4,4831,5739,0....9,0 =×== ρ 
que é suficiente. 
− Eixo “Y” 
Para que a flambagem do eixo “Y” atenda os requisitos de resistência pode-se buscar 
uma distância entre perfis “a”, tal que se obtenha um índice de esbeltez igual ao obtido 
para o eixo “X”. Usando-se o teorema de Steiner, vem: 
42 092.12..2 cmIXAII xyY =×=+= 
x
aX −=
2
 
Substituindo os valores tabelados, vem: 
092.1
2
5,158,282
2
=














−×+× x
a
 
Que tem como raiz positiva a=14,77 cm 
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
77 
Com isso, tem-se: 
( ) cmA
I
r
tot
Y
Y 94,55,152
092.1
=
×
== 
Então, o índice de esbeltez será o mesmo, isto é: 
3,67
94,5
5008,0
=
×
=Yλ 
74,03,67011,0011,0 =×=×= λλ 
A flambagem se dará de acordo com a curva “c”, obtendo-se o mesmovalor para a 
resistência de cálculo NR=483,4 kN. 
- Comportamento dos elementos isolados 
Para que haja interação entre os 
elementos componentes da coluna (no 
caso presente são dois fustes), é 
necessário que se coloquem elementos 
de ligação entre eles, formando quadros 
ou retículos de treliça. Cada fuste estará 
isolado no intervalo que se situa entre 
os espaçadores, podendo sofrer 
flambagem para este comprimento. Seu 
índice de esbeltez não pode ser maior 
do que o da barra global. Assim, 
3,67
36,1
≤== d
r
d
y
λ 
de onde se obtém 
cmd 5,91≤ 
Para um vão de 5 m tem–se o número 
de intervalos: 
46,5
5,91
500
==n 
O número de intervalos deve ser 
número inteiro. Então, tomam-se 6 
intervalos que levam ao espaçamento: 
cmd 3,83
6
500
== 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.16 – Detalhe dos 
espaçadores 
A figura 4.16 mostra como se distribuem os espaçadores na barra. 
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
78 
 
Exemplo 4) Dimensionar a corda inferior de tesoura mostrada na figura 4.17 
em cantoneiras duplas de abas iguais, para aço MR-250 e para o esforço 
máximo de compressão de 35 kN. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.17 – Tesoura – Diagrama parcial 
Solução: 
O emprego de duas ou mais cantoneiras formando uma barra é bastante comum na 
prática da estrutura metálica. 
Arbitrando-se uma seção composta de 
duas cantoneiras L 51 x 51 x 4,8 mm, 
cujas propriedades geométricas são: 
A=4,61 cm2 Ix=Iy=11,3 cm4 
 rx=ry=1,57 cm 
 rz=1,0 cm 
 
cmx 45,1= 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.18 – Cantoneira de abas iguais 
O espaçamento entre as cantoneiras deve ser o mesmo em toda a barra e deve 
atender os requisitos de resistência das chapas de nó. Neste caso será arbitrado em 5 
mm. Esta medida é de importância para se determinar o momento de inércia IY (da 
seção global) e seu raio de giração correspondente. Para diferenciar os eixos de cada 
componente e da seção global será adotado o critério de minúsculos para seção de 
componente e maiúsculo para a seção global. 
Barras Transversais
z
X
tY
x
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
79 
− Eixo “X” 
Como não há transposição de eixos, isto 
é, os eixos local e global coincidem, o 
momento de inércia global será: 
IX=2.Ix 
E o raio de giração 
( ) x
x
tot
X
X rA
I
A
I
r ===
.2
.2
 
rx=1,57 cm 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.19 – Seção transversal da barra 
− Eixo “Y” 
Aplicando-se o teorema de Steiner, vem: 
[ ] 422 45,4945,1
2
5,061,43,1122 cmAII eyY =














+×+×=+×= 
e o raio de giração 
( ) cmA
I
r
tot
Y
Y 31,261,42
45,49
=
×
== 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.20 – Formas de flambagem por flexão da barra AB 
5 x
X
Y
y
xx
y
A
A
C B
C B
Barra
redundante
a) Flambagem em torno do eixo Y (plano do eixo X)
b) Flambagem em torno do eixo X (plano do eixo Y)
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
80 
É notória a predominância do momento de inércia em relação ao eixo “Y”. Então, vale a 
pena pensar em reduzir o comprimento de flambagem em torno do eixo “X”. Com a 
colocação de uma barra redundante vertical no meio da barra chegando ao ponto “C”. 
Considerando para a treliça a recomendação da NBR 8800 que as barras sejam 
rotuladas, tem-se: 
119
57,1
5,1871
=
×
==
X
X
r
klλ 
162
31,2
3751
=
×
==
Y
Y
r
klλ 
Sendo o eixo “Y” o mais esbelto, vem: 
78,1162011,0011,0 =×=×= YY λλ 
Para a curva de flambagem “c”, obtém-se ρ=0,245 
− Resistência de cálculo 
( ) kNfAQN ygR 8,502561,421245,09,0....9,0 =×××××== ρ 
que está folgado em relação ao esforço de cálculo de 35,0 kN 
Pode-se tentar outra cantoneira de dimensões menores. Seja L 44 x 44 x 4,8 mm, cujas 
propriedades geométricas são: 
A=4,01 cm2 Ix=Iy=7,45 cm4 rx=ry=1,36 cm rz=0,87cm cmx 29,1= 
Recalculando de forma análoga, obtém-se: 
rX=1,36 cm 
rY=2,11 cm 
com os índices de esbeltez 
138
36,1
5,1871
=
×
==
X
X
r
klλ 
178
11,2
3751
=
×
==
Y
Y
r
klλ 
96,1178011,0011,0 =×=×= YY λλ 
Para a curva de flambagem “c”, obtém-se ρ=0,210 
− Resistência de cálculo 
( ) kNfAQN ygR 9,372501,421210,09,0....9,0 =×××××== ρ 
que é maior e bem próximo da solicitação de cálculo. 
 
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
81 
− Dimensionamento dos espaçadores 
O índice de esbeltez do elemento isolado não deve ser maior do que o conjunto. 
178
87,0
≤== d
r
dλ 
Então, a distância máxima entre os espaçadores será: 
cmd 15587,0178 =×≤ 
Lembrando que os espaçadores nas extremidades são necessários (usualmente as 
chapas de nó), e que há um espaçador no nó “C”, devido à ligação, será adotado um 
intervalo tal que o vão fique dividido em quatro, conforme pode ser visualizado na figura 
4.21. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.21 – Detalhes da barra 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
1. Dimensionar uma coluna em perfis I laminados, cujo comprimento total é de 4 m. O 
pilar está engastado no apoio (fundação) e é rotulado na extremidade superior onde 
é contido contra os deslocamentos transversais. Usar aço ASTM A-572 Grau 50. Os 
esforços atuantes no topo da coluna são: 
− Peso próprio da estrutura metálica = -15 kN; 
− Peso próprio da estrutura de concreto e alvenarias = -50 kN; 
− Sobrecarga = -30 kN. 
Corte AA
A
A
Linha de centro 
da diagonal
Montante Gousset
(chapa de nó)
Espaçador
Espaçador
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
82 
Resposta: Sd = 131,25kN; o perfil “I 203x6,9” satisfaz a solicitação sendo possível 
escolher ainda um perfil mais econômico (Nr = 232kN). 
 
2. Dimensionar os montantes de uma 
torre treliçada em cantoneiras de 
abas iguais, aço ASTM A-572 Grau 
50, cuja geometria está na figura 
4.22. O esforço de cálculo de 
compressão é de 300 kN em cada 
montante. 
Resposta: O perfil “L 127x12,7” satisfaz 
a solicitação sendo possível escolher 
ainda um perfil mais econômico (Nr = 
495,83kN). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.22 – Torre do problema 2
3. Dimensionar uma barra de treliça em cantoneiras de abas iguais, para uma 
envoltória de esforços de : 
− Tração = 25 kN; 
− Compressão = -70 kN 
A barra mede 2,4 m entre centros de ligações e está ligada por parafusos apenas em 
uma da abas, tendo 3 parafusos por linha na direção dos esforços. Usar aço ASTM A-36. 
4. Dispõem-se de várias barras de perfil 
IP 200, aço ASTM A-36, que serão 
aplicadas como estroncas em um 
escoramento, sendo simplesmente 
apoiadas em placas de base, de tal 
forma que se pode considerar como 
rotuladas. Tais barras suportarão 
vigas com detalhes que não 
produzirão restrições a rotações. As 
estroncas medirão 8 m e poderão ser 
contraventadas no plano de rigidez. 
Determinar como deve ser o 
contraventamento transversal para 
que as estroncas atinjam a máxima 
resistência à compressão e o valor 
desta resistência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.23 – Seção transversal do perfil IP 
2m
2m
2m
2m
Frente Perfil
d
b
tw
tf
x
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
50 
Dados do perfil IP 200: 
d= 200 mm b= 100 mm tw= 5,6 mm tf= 8,5 mm 
A= 28,5 cm2 rx=8,26 cm ry=2,24 cm 
5. Uma coluna treliçada em 
cantoneiras tem a geometria da 
figura 4.24. Determinar qual a 
resistência de cálculo definida pelo 
montante da coluna em função do 
espaçamento do contraventamento. 
Observar que o contraventamento é 
defasado em cada face. Os 
montantes são em perfil L 63,5 x 4,8 
mm.Figura 4.24 – Coluna contraventada 
 
6. Dimensionar uma barra de treliça em 
cantoneiras de abas iguais opostas 
pelo vértice, conforme mostra a figura 
4.25. O esforço normal de 
compressão é de 70 kN, sabendo que 
a barra mede 3,2 m. Determinar, 
também a distribuição dos 
espaçadores. Usar aço MR-250. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.25 – Seção transversal de barra 
em cantoneiras opostas pelo vértice 
7. Determinar a resistência de cálculo à compressão de uma coluna composta de dois 
perfis I 152 x 5,9 mm, conforme a figura 4.26. A coluna é engastada na base e tem 
uma contenção transversal a 4 m acima da base e mede 7 m. Considerar a base 
como engaste e o topo como apoio rotulado. Dimensionar as diagonais de 
contraventamento para que a coluna resista ao esforço calculado. Aço MR-250 
1,
2m
0,
6m
Montante
Contraventamento
Espaçadores
#6mm
Estruturas Metálicas Capítulo 4 
84 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.26 – Coluna do problema 7 
 
8. Determinar a resistência de cálculo à compressão da barra AB da figura 4.27 e 
a distribuição dos espaçadores. Usar aço MR-250. Observar que os nós A e B 
são contraventados no plano transversal ao da treliça, enquanto que em C e D 
formam-se nós planares. As cantoneiras utilizadas são L 60 x 40 6 mm, cujas 
propriedades são: 
A=5,68 cm2 Ix= 20,1 cm4 Iy=7,12 cm4 rx=1,88 cm 
ry=1,12 cm rz=0,86cm cmx 0,2= cmy 01,1= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.27 – Diagrama unifilar da treliça do problema 8 
 
Espaçador
#5mm
A
A C D B
Contraventamento transversal
ao plano da treliça
Corte AA
AA
Contraventamento
800
800
800
300
Estruturas Metálicas Capítulo 5 
85 
 Capítulo 5 
 
 PEÇAS TRACIONADAS 
 
5.1 Generalidades 
 
 O aço é um material de bom desempenho quando solicitado à tração, 
sendo, também de fácil emprego, pela facilidade de se unirem barras tracionadas. 
 O dimensionamento de peças tracionadas de aço é bastante simples, mas 
são necessários conhecimentos sobre o comportamento do material, pois existe 
divergência entre a realidade e a distribuição hipotética e simplista de que as 
tensões se distribuem uniformemente ao longo de uma seção transversal genérica 
de uma barra tracionada. 
 De forma geral, as peças de aço tracionadas podem ser: 
- cabos de aço; 
- barras redondas rosqueadas; 
- barras laminadas ou compostas. 
 Os cabos de aço são usados como estais ou cabos de suspensão de 
pontes, estaiamento de torres ou suporte de cobertura. Sua eficiência é notável 
dado serem compostos de vários fios de pequeno diâmetro, que são obtidos por 
trefilação, obtendo-se tensões de ruptura muito altas. Têm como desvantagem 
não resistirem a esforços de compressão o que os torna inaplicáveis em muitas 
situações. 
 Barras redondas são usadas como reforço de terças de telhado, como 
barras tracionadas de treliças de madeira ou concreto armado, como 
contraventamentos e tirantes de arcos. 
 Barras laminadas ou compostas são usadas em estruturas reticuladas 
(treliças) em todos os seus empregos na engenharia. 
 
 5.2 Dimensionamento de barras à tração 
 
 Uma barra de aço sujeita ao esforço normal de tração terá – em seu 
dimensionamento no método dos estados limites – duas regiões distintas (fig. 5.1): 
 
 
 
Estruturas Metálicas Capítulo 5 
86 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.1 – Regiões limites de dimensionamento 
 
Onde: 
Nd = Esforço normal de cálculo; 
Nn = Resistência nominal de plastificação ou ruína; 
NR = Resistência de cálculo; 
φ = Coeficiente de resistência; 
Ag = Área bruta da seção; 
Ae = Área líquida efetiva. 
Trecho Y = Região onde não se permite o escoamento generalizado, pois a 
ocorrência de alongamento excessivo pode inutilizar a peça. 
Trecho U = Região onde as tensões atuam de forma desigual nas proximidades 
dos furos. Permite-se o escoamento localizado, mas não poderá 
haver ruptura última da peça. 
 O dimensionamento da peça tracionada se dá conforme a NBR 8800: 
1. Na seção de área bruta, que eqüivale ao trecho Y: 
 e φ = 0,9 
2. Na seção de área líquida efetiva, região dos furos, trecho U: 
 e φ = 0,75 
 O menor valor de resistência nominal encontrado nos dois trechos, será a 
resistência nominal da peça. Se o menor valor obtido seja em (1.), a peça será 
dimensionada com tendo fator limitante o escoamento excessivo no trecho Y; caso 
seja em (2.), a peça será dimensionada tendo como fator limitante a ruptura no 
trecho U. 
 No método dos estados limites temos a condição básica: 
 
 
ygn fAN ×=
uen fAN ×=
nd NN φ=
Tensão de controle: fu
Trecho: U
fy
Y
fu
U
NdNd
Estruturas Metálicas Capítulo 5 
87 
 5.3 Áreas da seção transversal para dimensionamento 
 Para a determinação da área da seção transversal de uma peça, o estudo é 
realizado em duas seções distintas como segue: 
1. Seção reta É uma seção perpendicular ao eixo longitudinal da barra. Essa 
seção pode ou não conter furos. 
 
 
 
 
 
Figura 5.2 – Seção reta 
onde: 
S1 = seção sem furos 
S2 = seção com furos 
b = largura bruta da seção 
t = espessura da peça 
 A área bruta será → 
 Para cantoneiras → Figura 5.3 – Cantoneira 
 A área bruta também pode ser obtida das tabelas dos fabricantes de perfis 
metálicos. 
Sendo: d = diâmetro do parafuso 
 P = espessura da parede danificada pela punção (2,0mm) 
 f = folga entre o parafuso e o furo (2,0mm) 
 df = diâmetro efetivo do furo 
 An = área líquida 
 bn = largura líquida da seção 
 df = d + P +f, portanto, para um furo padrão: df = (d + 2,0 + 2,0) = d + 4mm 
Obs: Caso o furo seja perfurado com brocas, pode-se adotar P=0 e, para 
parafusos e furos ajustados, isto é, parafusos usinados e furos perfurados por 
brocas, pode-se reduzir a folga entre o furo e o fuste do conector. 
 A área líquida da seção reta com furos será: 
 , , 
 No caso de peças soldadas → An = Ag 
tbAg ×=
ttBAAg ×−+= )(
∑−= furosgn AAA tdA ffuro ×= fgn dbb −= tbA nn ×=→
Nd Nd
S1
S1S2
S2
b
Seção S1
Seção S2
b
t
t
dfdf
B
A
r1
r2 r1
r1 = r2 = t
t tA - tA - t
BA
Estruturas Metálicas Capítulo 5 
88 
∑ ∑+−= g
sdbb fn 4
2
2. Seção Ziguezague Quando há furos em diagonal, a linha de ruptura pode 
não ocorrer numa seção reta normal ao eixo da peça (A). A linha de ruptura 
pode ser em ziguezague (B, C e D). Assim o projetista deve verificar todas as 
possibilidades. 
 Quando a ruptura se dá em ziguezague ocorre um aumento da resistência, 
que é expresso como um aumento de área líquida: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.4 – Seções ziguezague 
 
 
 
Onde: 
 
s = espaçamento longitudinal entre 
dois furos consecutivos 
g = espaçamento transversal entre 
dois furos consecutivos 
 
Obs: No caso de cantoneiras 
devemos desenvolver o perfil para 
determinar as seções ziguezague 
entre as duas abas das cantoneiras. 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.5 – Cantoneira desenvolvida 
Portanto: 
 
Exemplo 1) Determinar a área líquida da chapa da figura 5.6. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.6 
∑ tg
s
4
2
tbA nn ×=→
NdNd
A B C D
g
s
g
s
b = A+B-t
A
60
E
G
25
160
50
45
40
B
C
D
20
F H
T
#6mm
4 paraf. d=16mm
Estruturas Metálicas Capítulo 5 
89 
Solução: 
Diâmetro efetivo: 
d =f 16+2+2=20mm 
Para as superfícies de ruptura possíveiscom 2 ou3 furos, tem-se as larguras 
líquidas (equação fig. 5.4): 
- ABCD 
b n = 160 - 2 x 20 = 120mm 
- ABCDE 
b mm
xx
xn 138454
60
504
60203160
22
=++−= 
 
- ABEF 
b mm
x
xn 138504
60202160
2
=+−= 
- ABEGH 
b mm
xx
xn 120454
20
504
60203160
22
=++−= 
 
Sendo, então, bn = 12,0 cm área líquida vale: 
A 220,76,00,12 cmxn == 
Exemplo 2) Seja a área líquida da cantoneira da figura 5.7. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.7 
Solução: 
A largura bruta pode ser calculada por 
B = 20,0 + 10,0 – 2,0 = 28,0 cm 
E a área bruta 
40
63
20
37 50 50 50 50 50
90
70
200
100 Parafusos d = 20mm
Estruturas Metálicas Capítulo 5 
90 
A =g b.t = 28,0 x 2,0 = 56,00 cm 2 
Para estudar as superfícies de ruptura faz-se o rebatimento de uma das faces, 
tornando a cantoneira plana. Devemos tomar o cuidado para que a distância entre 
os furos de faces diferentes seja reduzida de uma espessura, conforme mostra a 
figura 5.8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.8 
Duas superfícies de ruptura possíveis são obtidas: ABCD e EFGHI, pois qualquer 
outra recai em uma das anteriores. 
Diâmetro efetivo do furo: 
d =f 20,0 + 2,0 + 2,0 = 24,0 mm 
Larguras líquidas: 
- ABCD: 
b cm
xx
xn 04,223,114
0,5
0,94
0,54,230,28
22
=++−= 
 
A área líquida vale: 
A 208,440,204,22 cmxn == 
 
 5.4 Área líquida efetiva (Ae) 
 
 Quando a distribuição de tensões não é uniforme devemos adotar um 
coeficiente de redução Ct para determinação da área líquida efetiva. 
nte ACA .= 
 Ct é um coeficiente que depende da forma como é feita a ligação. A NBR 
8800 estabelece os seguintes valores para o coeficiente Ct: 
5050 50 50 50
70+63-20=113
90
40
37
280
G
A
B
C
D I
H
F
E
Estruturas Metálicas Capítulo 5 
91 
 Ct = 1,0 A área líquida efetiva é considerada igual à área líquida 
quando uma barra tracionada é solicitada na ligação em todos seus elementos 
(alma e mesas). 
 Ct = 0,9 Para perfis I ou H cujas mesas tenham uma largura não 
inferior a 2/3 da altura do perfil e perfis T cortados desses perfis, com ligações nas 
mesas, tendo um mínimo de 3 parafusos por linha na direção do esforço para o 
caso de ligação aparafusada. 
 Ct = 0,85 Para perfis definidos acima e que não atendam os requisitos 
anteriores e todos os demais perfis, incluindo barras compostas tendo um mínimo 
de 3 parafusos por linha na direção da solicitação. 
 Ct = 0,75 Em todas as barras com ligações parafusadas, tendo somente 
dois parafusos por linha na direção do esforço. 
 Os valores de Ct são aplicáveis às ligações soldadas, dispensando-se a 
condição de número mínimo de parafusos na direção da força. 
 Para exemplificar e discutir o texto acima observe os exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.9 Figura 5.10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.11 
T
T T
T
dT
T/2
T/2
Estruturas Metálicas Capítulo 5 
92 
 5.5 Disposições construtivas 
 
 A localização de parafusos nas peças deve levar em conta: 
1. Uma distribuição mais uniforme das tensões, evitando-se concentração de 
tensões, escoamento e/ou rupturas prematuras; 
2. Facilitar ou possibilitar o manejo de chaves fixas, torquímetros, etc; 
3. Evitar que as arruelas, porcas ou cabeças de parafusos apoiem-se em regiões 
curvas de perfis laminados ou dobrados; 
4. Evitar a interferência de parafusos. 
 Segundo a NBR 8800 temos os seguintes espaçamentos: 
Distâncias mínimas 
- centro a centro de furos: 2,7d sendo o ideal 3d → d = diâmetro nominal do 
parafuso. 
- centro de furo à borda: 
- Tabela 5.1 – Distâncias mínimas em função do diâmetro e tipo de corte da 
borda 
Centro de furo à borda 
d 
Borda cortada com serra 
ou tesoura (mm) 
Borda laminada ou 
cortada a maçarico (mm) 
½” 22 19 
5/8” 29 22 
¾” 32 26 
7/8” 38 29 
1” 44 32 
1 1/8” 50 38 
1 ¼” 57 41 
>1 ¼” 1,75d 1,25d 
Distâncias máximas às bordas: 12t ou 150mm 
 
 5.6 Índice de esbeltez limite 
 
 O índice de esbeltez (λ) de barras tracionadas, executando-se tirantes de 
barras redondas pré-tensionadas, não pode, em princípio, exceder os seguintes 
valores limites: 
a) 240 para barras principais; 
b) 300 para barras secundárias. 
 
Estruturas Metálicas Capítulo 5 
93 
33,1)()( x
A
ANN
g
e
plastRruinaR =
Exemplo 3) Determinar a resistência de cálculo da peça do exemplo 2, para 
aço ASTM-36. 
Solução: 
Sabe-se do que a peça apresenta 
A 256cmg = e 208,44 cmAA ne == pois C 0,1=t . 
O aço ASTM A-36 apresenta as resistências características: 
f MPay 250= e f =u 400 MPa. 
Tem-se para o estado limite de escoamento da seção bruta (ou de plastificação) a 
resistência de cálculo de: (ELP) 
N KNcmKNxcmxR 260.1)/(25)(5690,0 22 == 
Para o estado limite de ruptura da seção líquida: (ELR) 
N KNcmKNxcmxR 40,322.1)/(40)(08,4475,0 22 == 
Neste caso a resistência de cálculo da peça é dada pelo escoamento da seção. 
Caso a peça fosse soldada, desaparecendo os furos, teríamos para área efetiva o 
mesmo valor da área bruta, o que daria o estado limite de ruína o valor: 
N KNxxR 680.1405675,0 == 
E a resistência de cálculo seria a do estado de plastificação. 
 
Exemplo 4) Determinar a relação entre as áreas bruta e efetiva de uma barra 
tracionada de aço MR-250, que estabeleça o limite de governo dos estados limites 
ELP e ELR. 
Solução: 
O aço MR-250 tem as mesmas características do ASTM A-36: 
f MPay 250= e f =u 400Mpa. 
Para o estado limite de plastificação: 
N 000.225.000.2509,0. ggR AxA == 
Para o estado limite de ruína: 
N 000.300.000.40075,0. eeR AxA == 
A relação entre eles: 
000.300.
000.225.
)(
)(
e
g
RUINAR
plastR
A
A
N
N
= ou, 
o que significa que a resistência à ruína só será determinante em peças em que 
A g .33,1 eA≥ 
Estruturas Metálicas Capítulo 5 
94 
Exemplo 5) Dimensionar a barra AB da treliça da figura 5.12, para aço MR-250. 
Considerar que a estabilidade dos nós no plano ortogonal à figura é garantida por 
elementos não representados. 
As cargas P e Q valem: 
P = 200 KN – carga permanente de elementos industrializados com adição in loco; 
P = 230 KN – sobrecarga; 
Q =20 KN – vento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.12 
Solução: 
A – Cálculo das solicitações nominais na barra AB. 
Devidas a P: tg
8,0
5,1
=α 
 
 
 
 
 
 Figura 5.13 Figura 5.14 
.: =α arc tg 093,61
8,0
5,1
= 
 
Do equilíbrio do nó A: 
F .AB cos 2
P
=α .: F PAB 06,1= 
QA
B
P
1,5m
0,8m
1,5m
70 70
70 35
50
50
parafusos d=13mm
P
B
A
P/2
P/2 FAB
α
V
B
A Q
Q
V
ABFV
Estruturas Metálicas Capítulo 5 
95 
Devidas a Q: 
Reação vertical: 
V = QQ 27,0
0,3
.8,0
= 
Do equilíbrio do nó A: 
V = F αcosAB .: F Q
Q
AB .57,0
cos
.27,0
==
α
 
B – Determinação das solicitações de cálculo. 
Como todas as cargas têm mesmo sinal e a sobrecarga é preponderante, 
nitidamente, sobre o vento, aplica-se a equação de combinação da NBR 8800: 
S )2057,0(6,04,1)23006,1(5,1)20006,1(4,1 xxxxxxxd ++= 
S =D 672,08 KN 
C – Determinação das resistências do perfil. 
1. Quando as ligações são parafusadas o dimensionamento deve ser feito por 
tentativas, ou seja, por verificações sucessivas. Caso o leitor tenha dificuldade no 
arbítrio da seção, pode-se sugerir determinar a área bruta necessária para atender 
ao estado limite de escoamento. No caso presente: 
 A 22 87,29)/(0,259,0
)(08,672
cm
cmKNx
KN
g =≥ 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.15 
Tentando-se uma cantoneira L127x127x12,7mm, que tem, de acordo com o 
catálogo do fabricante (CSN), A 26,30 cmg = . Tem-se 
B= 2 x 12,7 – 1,27 = 24,13 cm 
df = 1,3 + 0,2 + 0,2 = 1,7 cm 
Rebatendo-se a cantoneira conclui-se que há 2 linhas de ruptura possíveis: 
Linha I: b =n 24,13 – 1,7 = 22,43cm 
I
I II
II
35
87,3
35 35
Estruturas Metálicas Capítulo 5 
96 
Linha II: b cm
x
xn 08,2173,84
5,37,1213,24
2
=+−= 
Então, A 208,2627,108,21 cmxn == 
Havendo apenas dois furos na direção do esforço, C 75,0=t e 
A 21,2075,08,26 cmxe == . 
Resistência de cálculo no ELP: 
N kNXXR 5,6880,256,309,0 == 
Resistência de cálculo no ELR: 
N =R 0,75X20,1X40=603,0 KN 
Como vemos, a resistência de cálculo no ELR é inferior à solicitação de cálculo, 
concluindo-se que a cantoneira deve ser reforçada. Duas alternativas podem 
resolver o problema. A primeira é a de se aumentar a seção da barra e a segunda 
é a de alterar a ligação, com o acréscimo de mais um furo em cada linha (passar 
para 3 parafusos na direção da solicitação), obtendo-se Ct= 1,0. 
Nesse caso a resistência de cálculo no ELR será: 
N =r 0,75x26,8x40=804,0 KN 
E a resistência de cálculo da peça passa a ser a do ELP e a condição de 
estabilidade é preenchida: 
N 0,804=R > S =d 688,5 KN 
Exemplo 6) Determinar qual o comprimento máximo que pode ter uma barra 
tracionada principal executada com uma cantoneira L 88,9x88,9x9,5mm. 
Solução: 
A cantoneira especificada tem como raio de giração mínimo r =z 1,74 cm. 
Então: 
≤l 1,74x240 = 417,6 cm 
é o comprimento máximo para a barra tracionada. 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
1. Determinar a espessura da chapa da figura 5.16 para um esforço de cálculo de 
tração P =d 850 KN. Propriedades do aço: 
f =y 300 MPa f =u 460 MPa 
Parafusos d = 19mm 
Furos executados por puncionamento. 
Estruturas Metálicas Capítulo 5 
97 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.16 
2. Determinar a resistência de cálculo de um tirante construído de barra redonda 
de diâmetro 5/8”, aço MR –250, sabendo-se que sua fixação nas extremidades 
é feita por roscas e porcas. A área do núcleo para rosca do tipo (whitworth) 
usado no tirante é A =n 1,31 cm 2 . 
3. Uma cantoneira de abas iguais L 21/2” x 3/16” está ligada a uma chapa de nó 
por 2 parafusos de diâmetro ¾” colocados na mesma aba. Determinar a 
resistência de cálculo a tração para aço ASTM A-572 grau 50. 
 
 
 
 
Figura 5.17 
4. Projetar uma barra chata para resistir aos esforços abaixo (sinal + indica 
tração): 
- Permanente proveniente da estrutura metálica = +55 KN; 
- Permanente devido a permanência de equipamento = +30 KN; 
- Sobrecarga (comum) = + 70 KN; 
- Variação de Temperatura = ± 40 KN. 
Sabe-se que a barra será ligada por 6 parafusos d = ¾”, cujo espaçamento 
mínimo é 44mm. Aço ASTM A – 36. 
 
 
 
 
T
30
30
30
30
30
30
30303030
35
T
Estruturas Metálicas Capítulo 5 
98 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.18 
5. Dimensionar os tirantes AB e BC da figura 5.18, para cargas P como segue: 
- Peso próprio da estrutura metálica = 120 KN; 
- Peso próprio de peças de madeira permanentes ao estado = 250 KN; 
- Sobrecarga = 400 KN. 
As barras devem ser em cantoneiras que serão soldadas em apenas uma de 
suas abas. 
6. Determinar a resistência de cálculo do perfil da figura 5.19. Aço A-570 grau 40. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.19 
 
 
A
3,2m
B
D
C
2,5m 4,8m 2,5m
PP
T/2
T/2
140
T 250
9
15
Perfil
Cobre-juntas
Parafusos d=7/8"
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
99 
Capítulo 6 
 
DIMENSIONAMENTO DE BARRAS FLEXIONADAS 
 
 Para o dimensionamento de barras à flexão é necessário determinarmos 
quais são os esforços internos solicitantes que atuam na barra além do momento 
fletor. Faz-se então a classificação da flexão em barras segundo esses esforços 
atuantes, como segue. 
6.1 Classificação da flexão em barras 
 
Flexão Pura: ocorre quando atua na barra apenas o momento fletor, e pode ser 
dividida em: 
 Plana ou reta: quando o plano de atuação do momento fletor 
coincide com um dos planos principais de inércia; 
 Oblíqua: quando o plano de atuação do momento fletor é inclinado 
em relação aos planos principais de inércia. 
Flexão Simples: ocorre quando atua na barra o momento fletor combinado com 
o esforço cortante. 
Flexão Composta: neste caso o momento fletor, com ou sem o esforço cortante, 
atua combinado com a força normal ou o momento torsor ou 
ambos. 
 
6.2 Flexão de peças isentas de flambagem lateral 
 
Flexão elástica e plástica - Sabe-se, da resistência dos materiais, que para uma 
barra de seção reta com dois eixos de simetria, em regime elástico, submetida a 
momento fletor atuante em um plano paralelo ao eixo longitudinal que contenha 
um dos eixos de simetria da seção, as tensões normais podem ser calculadas por: 
 
y
I
M x
=σ
 (1) 
onde: σ = tensão normal num ponto P; 
 M X = momento fletor no eixo x (plano ortogonal a x que contém y); 
 Y = distância do ponto P ao eixo x. 
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.1 – Tensões normais em uma seção submetida a momento fletor 
A equação (1) fornece a tensão normal em qualquer ponto da seção. Para 
garantir que nenhuma fibra da seção ultrapasse o limite elástico do material deve-
se estudar as tensões máximas na seção, as quais ocorrem nas fibras mais 
afastadas da linha neutra e garantir que elas não ultrapassem tal limite que para o 
aço pode ser aproximadamente a tensão de escoamento. Para uma viga com 
seção retangular de altura “d” a tensão na borda é dada por: 
 






==
2max
d
I
Mfb σ (2) 
Definindo-se módulo resistente W como sendo: 
2
d
IW =
 (3) 
Vem: W
Mfb = (4) 
Então, o momento que leva a peça ao limiar do escoamento (limite elástico) 
é dado por: 
 yy fWM .= (5) 
O momento My caracteriza o limite do comportamento elástico da peça, isto 
é, qualquer incremento no valor do momento fletor vai obter de resposta um 
incremento não linear (inelástico) na deformação. Para momentos atuantes de 
valores iguais ou menores do que My as deformações são reversíveis, isto é, 
cessado o carregamento a estrutura volta a sua posição original. Por outro lado, 
as fibras submetidas a tensões maiores do que o limite elástico do material 
apresentarão deformações residuais, uma vez cessada a solicitação. Para 
momentos atuantes maiores do que My as deformações não desaparecem 
totalmente após a descarga. 
y
P
XMx
P
y
b
d
d
σ
Pσ
cσ
cσ
Pσ
tσ
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
101 
Seja o diagrama tensão/deformação de um material elasto-plástico ideal 
(figura 6.2) onde a reta de proporcionalidade termina ao ser atingida a tensão de 
escoamento e, a partir daí, transforma-se em uma reta paralela ao eixo das 
deformações, o que significa alongamento sob tensão constante. 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.2 – Diagrama tensão/deformação de material elasto-plástico ideal 
A equação (3) mostra que uma seção submetida ao momento My tem 
atuando em sua fibra mais solicitada a tensão de escoamento, ou seja, o 
alongamento dessa fibra é o alongamento εy. Se, neste momento, é dado um 
incremento de deformação (giro) na seção, mais fibras vão atingir ou ultrapassar o 
alongamento εy (ver figura 6.3b), nas quais as tensões permanecem constantes no 
valor fy, de acordo com o diagrama da figura 6.2. Diz-se, então, que a seção está 
se plastificando, pois as deformações das fibras que ultrapassam o limite de 
proporcionalidade não são mais reversíveis. 
À medida que a deformação (giro da seção) aumenta,maior fica o patamar 
de tensões constantes. No limite, quando as deformações longitudinais tendem a 
infinito, obtém-se um diagrama de tensões como o da figura 6.3c e diz-se que a 
seção está totalmente plastificada. Toda a superfície da seção acima da linha 
neutra fica comprimida sob tensão constante igual à tensão de escoamento, cuja 
resultante para uma seção retangular vale: 
 yc fAR .2= (6) onde A = área da seção. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.3 – Plastificação total de uma seção retangular 
σ
ε
f y
yε
ε
ε
εt
y
c
b
d
fy fy
LN
Rt
Rc
z
(c) parcial (d) total(b) deformações(a) seção
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
102 
Analogamente, considerando-se que o comportamento do material a tração 
seja o mesmo que a compressão, a resultante das tensões de tração vale: 
 yt f
AR .
2
= (7) 
O momento resistente é um conjugado dado por: 
 
zRzRM tcpl .. == (8) 
onde z é o braço de alavanca interno. 
Substituindo-se os valores de Rc e Rt vem: 
 ypl fzAM .2= (9) 
ou ypl fZM .= (10) 
onde Z é o módulo plástico da seção. 
Observando-se que o momento pode ser obtido da soma dos momentos da 
resultante de compressão e da resultante de tração em relação à linha neutra, tem-
se: 
- momento da resultante de compressão em relação à linha neutra: 
 yc fzAM ××= 22 (11) 
Sendo: 
A/2 = área da seção transversal submetida a tensões de compressão ou área 
comprimida; 
Z/2 = distância do c.g. da área comprimida à linha neutra. 
Ora, o produto de uma área pela distância do seu c.g. a um eixo é a 
definição de momento estático. Então: 
 ycc fMM .= (12) 
analogamente 
 ytt fMM .= (13) 
 ytctcpl fMMMMM ).( +=+= (14) 
ou seja, 
 tc MMZ += (15) 
Que significa que o módulo plástico é a soma dos momentos estáticos da 
seção em relação à linha neutra. 
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
103 
Exemplo 1) Determinar o módulo plástico de uma seção retangular e o momento 
que provoca a plastificação total da seção. 
Solução: 
Para uma seção retangular: 4
dzz tc == 
Substituindo-se na equação (15), vem: 
4
.
42
.
42
.
2dbddbddbZ =





×+





×= (16) 
E o momento que provoca a plastificação total da seção, definido como momento 
de plastificação da seção transversal, é dado por: 
 ypl f
dbM
4
.
2
=
 (17) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.4 
Exemplo 2) Determinar o módulo 
plástico de um perfil I, conforme a 
figura 6.4. 
Solução: 
O módulo plástico pode ser 
determinado por diferença; o do 
retângulo que envolve a figura menos 
os dois retângulos que estão vazios. 
Empregando-se a equação (16), vem: 
4
)2()(
4
.
22
fw tdtbdbZ
−×−
−= (18) 
Em uma seção que tenha atingido o momento de plastificação Mpl todas as 
fibras, tanto de compressão como de tração, encontram-se em regime plástico. 
Um incremento na deformação (giro da seção) vai aumentar o alongamento das 
fibras, mas não vai aumentar as suas tensões normais, ou seja, não há aumento 
no momento resistente. Consequentemente, a seção se deforma sob momento 
constante, como se fosse uma rótula. Define-se, assim, o que se denomina rótula plástica. 
A adoção de um diagrama elasto-plástico ideal para o aço é uma 
aproximação. Para deformações de valores até não muito maiores do que os da 
deformação de escoamento a aproximação é válida. Em determinados casos, a 
deformação das fibras mais afastadas pode ser muito grande, acarretando a 
ruptura do material antes da plastificação total da seção. Por isso, a NBR 8800 
limita o valor da relação entre o módulo plástico e o módulo elástico em 1,25, isto 
é, não se deve tomar para Z um valor maior do que 1,25W. 
 
b
twd - 2tf d
tf
tf
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
104 
Tensões residuais - O resfriamento desuniforme das vigas laminadas ou soldadas 
provoca o surgimento de tensões residuais que afetam o comportamento para 
momentos próximos ao momento de plastificação. Quando existem tensões 
residuais o início da plastificação se dá para um valor menor do que My, pois as 
tensões residuais antecipam o escoamento, mas deve-se notar que após a 
plastificação total o momento resistente da seção será o mesmo Mpl (figura 6.5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.5 – Diagrama momento/rotação de uma seção de viga 
A NBR 8800 admite que seja adotada a tensão residual fr= 115 MPa, 
quando não for medida, para perfis laminados e soldados. O valor do momento 
residual pode ser obtido de: 
 rr fWM .= (19) 
 
Resistência à flexão de vigas - O momento resistente de cálculo de uma seção 
genérica de uma viga é dado por: 
 
nbR MM .φ= (20) 
onde: bφ = 0,90 = coeficiente minorador da resistência; 
nM = momento resistente nominal, que depende de várias condições, vistas 
a seguir. 
 
Vigas com contenção lateral contínua - Vigas com contenção lateral contínua 
estão isentas de flambagem lateral. Para estes casos a resistência a flexão é 
definida pelo limite suportado pela seção transversal da viga. 
Nem todas as seções são capazes de desenvolver tensões e deformações 
tais que atinjam o estado limite de plastificação (Mpl), devido ao fenômeno de 
M
φ
Mpl = Z . fy
My = W . fy
M r = W(fy - fr)
 sem efeito de fr
 com efeito de fr
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
105 
flambagem local. Seções de paredes grossas têm bom desempenho, chegando à 
plastificação, enquanto que vigas de paredes finas podem sofrer flambagem local 
para baixas tensões normais de compressão na flexão. Para considerar o 
fenômeno, a NBR 8800 estabelece quatro classes de seção, conforme visto na 
tabela 4.2 do capítulo 4. Na tabela 6.1 temos as classes de seção com os 
respectivos momentos (resistência) normais. 
Para se determinar em que classe se situa a seção deve-se calcular os 
índices de esbeltez λ dos elementos que a compõe e compará-los com os valores 
de referência rppl λλλ ,, . 
 
 
Figura 6.6 – Distribuição gráfica do índice de esbeltez λ . 
As seções classe 1 (seções super-compactas) admitem plastificação e, 
mais ainda, permitem redistribuição dos momentos (análise plástica). São 
denominadas seções supercompactas. A resistência nominal é dada por: 
 ypln fZMM .== 
As seções classe 2 (seções compactas) também admitem plastificação 
(Mpl) mas não são capazes de suportar as deformações necessárias à 
redistribuição dos momentos, obrigando ao projetista avaliar esforços internos por 
análise elástica. A resistência é a mesma que para classe 1. 
Seções classe 3 (seções não-compactas) não suportam as deformações 
de plastificação podendo sofrer flambagem local, mas não apresentam problemas 
para regime elástico. A resistência nominal deve ser calculada interpolando-se 
linearmente entre Mpl e My. A resistência nominal é dada por: 
 
)( rpl
r
p
pln MMMM −
−
−
−= λλ
λλ
 (21) 
Seções classe 4 (seções esbeltas) apresentam problemas de flambagem 
local e requerem a determinação da resistência crítica Mcrit. A resistência nominal 
é dada por:critn MM = 
Deve-se notar que perfis que não apresentam simetria em relação ao plano do 
momento fletor, caso dos perfis U para flexão no plano da alma, não admitem 
plastificação pois surgem tensões secundárias que impedem que seja atinja o 
momento de plastificação. A NBR 8800 admite que se calcule o momento de 
plastificação desde que as tensões secundárias sejam levadas em conta na 
análise, mas não admite análise plástica, ou seja, sem simetria em relação ao 
plano do carregamento não existe seção super-compacta (classe 1) 
λ
pλ0 λpl λ r
Classe 1 Classe 2 Classe 3 Classe 4
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
106 
Tabela 6.1 – Classes de seções 
Classe Índice de Esbeltez Significado Resistência Nominal 
1 plλλ ≥<0 Seções supercompactas pln MM = 
2 ppl λλλ ≤< Seções compactas pln MM = 
3 rp λλλ ≤< Seções não-compactas Interpolar entre Mr e Mpl 
4 rλλ > Seções esbeltas crn fWM .= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.7 – Variação da resistência nominal a flexão de perfis I ou H solicitados no 
plano da alma com o índice de esbeltez λλλλ (indicador da flambagem local), sem efeito 
de flambagem lateral. 
 
Exemplo 3) Determinar a resistência 
de cálculo a momento fletor dos perfis I 
abaixo, em aço MR- 250, não sujeito ao 
efeito de flambagem lateral. 
Propriedades geométricas do perfil 
I10”x7,87mm: 
d=254mm; tw=7,87 mm; b=118,4mm; 
tf= 12,47mm; Wx= 405cm3; Zx= 465cm3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.8 – Seção típica do perfil I 
laminado 
Seção 
Compacta
p
M
0 λ
M r
pl
Mn
Seção 
Não-Compacta
rλ
Seção 
Esbelta
λ
d
b
tw
tf
x
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
107 
Solução: 
Para determinar a classe de seção consulta-se a tabela 1 da NBR 8800 (tabela 4.3 
do capítulo 4). 
Mesa (caso 1): 
5,830,07,4
47,122
4,118
2
=<===→
yf f
E
xt
b
t
b λ (classe 1) 
Alma (caso 5): 
6735,21,29
87,7
47,122254
=<=
−
==→
yw f
Ex
t
h
t
b λ (classe 1) 
Sendo mesa e alma classe 1, o perfil tem seção classe1. Então, 
 
cmKNxfZMM ypln .625.1125465. ==== 
 
cmKNxMM nbR .10462625.119,0. === φ 
Exemplo 4) Determinar a resistência 
de cálculo a momento fletor dos perfis 
U abaixo, em aço MR-250, sem efeito 
de flambagem lateral. 
Propriedades geométricas do perfil U 
203x5,59 mm: 
d= 203mm; tw= 5,59mm; b= 57,4mm; 
tf= 9,91mm; Wx= 133cm3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.9 – Perfil U
Solução: 
Sendo um perfil que não apresenta simetria em relação ao plano do momento 
fletor, não admite plastificação. Verificando a esbeltez: 
Mesa (caso 2): 
1138,08,5 =<==→
yf f
E
t
b
t
b λ (classe 2) 
Alma (caso 5) 
yt
h
t
b
=→ λ = 4247,18,32
59,5
91,92203
=<=
−
yf
Ex
 (classe2) 
Não se considerando as tensões devidas à assimetria, o perfil deve ser verificado 
como classe 3. Então, vem: 
b
tw
d
x
y
tf
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
108 
cmkNfWMM yyn .332525133. =×=== 
cmkNMM nbR .5,299233259,0. =×== φ 
Exemplo 5 – Determinar a resistência 
de cálculo a momento fletor dos perfis 
coluna soldada abaixo, em aço MR-
250, sem efeito de flambagem lateral. 
Propriedades geométricas do perfil 
CS250x52Kg/m: 
 
D = 250mm; tw= 8,0mm; 
b = 250mm; tf = 9,5mm; 
Wx = 615,5cm3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.10 
Solução: 
Verificação da flambagem local. 
Mesa (caso 1): 
2,13
5,92
250
==→
xt
b λ λ situa-se entre os valores (b/t)max 11 e 16, caracterizando 
um perfil de mesa classe 3. 
Alma (caso 5): 
426,28
8,0
95,0225
<=
−
=→
x
t
b λ (classe 1) 
O perfil é classe 3 e o momento resistente será calculado por interpolação entre 
Mpl e Mr. 
Não se dispondo de valor tabelado para o módulo plástico, pode-se calculá-lo 
usando a equação 18. 
 
3
22
9,677
4
)95,0225)(8,025(
4
2525
cm
xZ =−−−×= 
Tem-se: 
cmKNfZM ypl .5,947.16259,677. =×== 
cmKNffwM ryr .3,309.8)5,1125(5,615)( =−×=−= 
Com o emprego da equação 21, obtém-se 
)3,309.85,947.16(
1116
112,135,947.16)( −
−
−
−=−
−
−
−= rpl
pr
p
pln MMMM λλ
λλ
 
b
tw
d - 2tf d
tf
tf
x
y
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
109 
Mn = 13.146,7 KN.cm 
Finalmente: 
MR = 0,9x13.146,7 = 11.832 KN.cm 
 
Limite de deformações - Além da estabilidade estática, ou verificação dos Estados 
Limites de Ruína, deve-se garantir adequada utilização limitando-se as 
deformações a valores aceitáveis, ou seja, atender à verificação dos Estados 
Limites de Utilização. 
Os limites de deformação estão ligados ao uso específico, estético e 
conforto. Estruturas que apresentam deformações elevadas podem estar sujeitas 
a vibrações induzidas pelo vento ou equipamentos mecânicos que impossibilitem 
instalação e uso de equipamentos de precisão, causar desconforto e fadiga em 
pessoas ou mesmo entrar em ruína por efeito dinâmico. 
A NBR 8800 define limites para deformações, observando-se que os limites 
podem ser alterados em função do tipo de ocupação do edifício. Podem ser 
ultrapassadas em construções temporárias e para locais sensíveis a deformações, 
tais como laboratórios, salas de cirurgia, etc., devem ser reduzidos. 
A tabela 6.2, extraída da NBR 8800, mostra os limites de deformações 
recomendados com as ações a considerar para seu cálculo. Como as 
deformações compõem o Estado Limite de Deformações, devem ser calculadas 
com os valores nominais das cargas, ou seja, sem coeficientes de ponderação 
(segurança). 
A NBR 8800 ainda comenta que o valor tolerável para edifícios industriais 
pode ser diferente do recomendado. Para casas de força de usina de geração de 
eletricidade e aciarias é comum haver limitação das deformações para atender às 
especificações de fabricantes de equipamentos como pontes-rolantes, elevadores, 
etc. Cabe ao projetista pesquisar se outras deformações devem ser limitadas para 
que a edificação seja eficientemente utilizada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
110 
Tabela 6.2 – Limites de deformações de acordo com a NBR 8800 
Edifícios Industriais 
Sentido das 
Deformações 
Ações a considerar Tipo de elemento Deformação 
máxima 
Vertical Sobrecarga Barra biapoiadas suportando elementos 
de cobertura inelásticos 
240
l
 
Vertical Sobrecarga Barra biapoiadas supotando elementos 
de cobertura elásticos 
180
l
 
Vertical Sobrecarga Barras biapoiadas suportando pisos 
360
l
 
Vertical Carga máxima por roda 
(sem impacto) 
Vigas de rolamento biapoiadas para 
pontes-rolantes com capacidade de 200 
KN ou mais 800
l
 
Vertical Carga máxima por roda 
(sem impacto) 
Vigas de rolamento biapoiadas para 
pontes-rolantes com capacidade inferior 
a 200 KN 600
l
 
Horizontal Força transversal da 
ponte 
Vigas de rolamento biapoiadas para 
pontes-rolantes 
600
l
 do vão 
Horizontal Força transversal da 
ponte ou vento 
Deslocamento horizontal da coluna, 
relativo à base 
400
1
 a 
200
1
 
da altura 
Outros Edifícios 
Verticais Sobrecarga Barras biapoiadas de pisos e cobetura, 
suportando construções e acabamentos 
sujeitos à fissuração 360
l
 
Verticais Sobrecarga Idem, não sujeitos à fissuração 
300
l
 
Horizontais Vento Deslocamento horizontal do edifício, 
relativo à base, devido a todos os efeitos 
400
1
 da altura do 
edifício 
Horizontais Vento Deslocamento horizontal relativo entre 
dois pisos consecutivos, devido à força 
horizontal total no andar entre os dois 
pisos considerados, quando fachadas e 
divisórias (ou suas ligações com aestrutura) não absorverem as 
deformações da estrutura 
 
 
500
1
da altura do 
andar 
Horizontais Vento Idem, quando absorverem 
400
1
da altura do 
andar 
 
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
111 
Para facilitar verificações corriqueiras, apresentam-se, a seguir, alguns 
casos comuns de vigas e suas respectivas flechas máximas. 
 
 
 
 
 
Figura 6.11 – Viga engatada e 
apoiada com carga unifomemente 
distribuída: 
EI
qLd máx 185
4
=
 
 
 
 
 
 
Figura 6.12 – Viga apoiada e 
engastada com carga concentrada 
no centro do vão: 
EI
PLd máx 485
1 3
=
 
 
 
 
 
 
Figura 6.13 – Viga biapoiada com 
carga concentrada no meio do vão: 
EI
PLd
48
3
max = 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.15 – Vigas em balanço 
com carga concentrada na ponta: 
EI
PLd
3
3
max = 
L
L
PL/2
L
PL/2
L
Pa P a
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
112 
 
 
 
 
 
Figura 6.14 – Viga biapoiada com 
cargas concentradas simétricas 
em relação ao centro: 






−=
22
max 4
3
6
aL
EI
Pad
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.16 – Viga biapoiada com 
carga distribuída uniforme: 
 
EI
qLd
4
max 384
5
=
 
 
Resistência a esforços cortantes - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.17 – Tensões em barra submetida a esforços de flexão. 
Do estudo da resistência dos materiais sabe-se que o esforço cortante é a 
variação do momento fletor ao longo do comprimento. Pode-se compreender a 
propriedade acima estudando a viga da figura 6.17, na qual se representa 
parcialmente uma barra com os momentos M1 e M2 atuando nas seções S1 e S2. 
Isolando-se um prisma definido por uma seção paralela à linha neutra da viga 
entre as seções, tem-se à esquerda (seção S1) uma resultante de tensões de 
compressão Rc1 e, à direita (seção S2), a resultante Rc2. Como são diferentes, por 
serem diferentes os momentos fletores atuantes, percebe-se que, para se 
estabelecer o equilíbrio, são necessárias tensões cisalhantes ao longo da 
superfície horizontal, uma vez que não há nenhuma ação paralela à linha neutra 
entre as seções. Como as tensões cisalhantes são iguais nos planos ortogonais 
L
P
q
L
Trecho de uma barra com momentos 
aplicados em suas extremidades
Tensões cisalhantes na superfície ab
M1
M2a b
S1 S2
Rc1 Rc2
a b
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
113 
σc σc
τ
τ
τ
τ
 
de uma faceta infinitesimal, surgem tensões cisalhantes verticais na seção. Em 
resumo, só é possível surgir tensões normais na flexão se houverem tensões 
cisalhantes. 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.18 – Tensões normais e cisalhantes em elemento infinitesimal. 
 
Supondo que as tensões são uniformes ao longo da superfície horizontal, 
as tensões cisalhantes em um ponto P genérico são dadas por: 
tI
MV
x
xy
.
.
=τ
 (22) 
onde: 
Vy = esforço cortante na seção (na direção do eixo y) 
Ix = Momento de inércia em relação ao eixo neutro (x) 
t = espessura do material, determinado por um segmento que passa no ponto P, 
paralelo ao eixo x. 
Mx = momento estático da superfície definida pelo contorno da seção e o 
segmento que passa pelo ponto P em relação ao eixo x. Note-se que são 
definidas duas superfícies (uma acima do segmento e outra abaixo )e que ambas 
têm o mesmo momento estático. 
Para o caso do perfil I da figura 6.19, o ponto P está colocado na alma. Pelo 
ponto P traça-se um segmento horizontal que define a espessura da alma (t) e 
uma superfície acima deste segmento e outra abaixo. 
O valor máximo da equação (22) é obtido para P colocado no eixo neutro e 
diminui levemente à medida que P se afasta do eixo. Há um salto no diagrama das 
tensões (descontinuidade) provocado pela variação brusca na largura da peça 
quando o ponto P passa da alma para a mesa. 
 
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
114 
b
t
d
tf
x
y
y
P
P'
Diagrama de tensões 
cisalhantes na mesa
Diagrama de tensões 
cisalhantes na alma
 
Figura 6.19 – Distribuição das tensões 
cisalhantes em viga com seção tipo I. 
Seja, agora, um 
ponto P’ situado na mesa 
do perfil. Neste caso a 
espessura é medida por 
um segmento vertical e a 
seção divide-se em duas 
como no caso anterior. O 
diagrama de tensões 
cisalhantes na mesa 
também está mostrado na 
figura 6.19. 
Como se vê, há 
uma divergência entre as 
tensões calculadas para o 
segmento paralelo ao eixo 
neutro e para segmento 
ortogonal a ele, no caso de tensões na mesa. O motivo dessa divergência está no 
fato de que a tensão τ calculada pela equação (22) fornece um valor médio ao 
longo da largura t. Para seções em que a altura é grande em relação à espessura, 
os resultados da equação (22) são próximos dos reais ao longo do segmento de 
comprimento t. 
Para barras fletidas prismáticas cuja seção transversal possui um ou dois 
eixos de simetria, onde as forças cortantes agem em um plano de simetria ou num 
plano ortogonal de simetria e que passa pelo centro de cisalhamento, a NBR 8800 
apresenta o critério abaixo, para determinação da resistência ao esforço cortante. 
No caso de perfis I, H, U e caixão, fletidos em relação ao eixo perpendicular 
à alma, a resistência de cálculo cortante é dada por: 
nvR VV .φ= (23) 
onde: 
=vφ (coeficiente de minoração da resistência) 
Vn = resistência nominal ao esforço cortante, que é determinada como segue: 
a) para plnp VV =→≤ λλ (24) 
b) para plpnrp VV λ
λ
λλλ =→≤<
 (25) 
c) para plpnr VV
2
28,1 






=→< λ
λ
λλ
 (26) 
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
115 
tw
dh
sendo: 
wt
h
=λ = parâmetro de esbeltez da alma. 
y
p f
Ek.08,1=λ
 (27) 
y
r f
Ek.49,1=λ
 (28) 
para a/h < 1 ( )2/
34,54
ha
K +=
 (29) 
para 1 3/ ≤≤ ha ( )2/
434,5
ha
K += (30) 
para a/h > 3 K = 5,34 
 
ywpl fAV 6,0= para análise elástica 
ywpl fAV 55,0= para análise plástica 
A = distância entre enrijecedores transversais; 
H = altura livre da alma entre mesas; 
tw = espessura da alma 
Figura 6.20 – Casos a) e b). 
 As normas técnicas geralmente consideram que as tensões são distribuídas 
uniformemente nas seções por razões de simplificação dos cálculos. No caso da 
NBR 8800, a resistência da seção é dada pelo produto de uma área líquida efetiva 
de cisalhamento (Aw) pela tensão crítica de cisallhamento ( yf×55,0 a yf×60,0 ). 
 A área efetiva de cisalhamento (Aw) é calculada por: 
a) almas de perfis laminados I, H e U : WW tdA .= 
b) almas de perfis soldadas I e H: WW thA .= 
c) almas simétricas de perfis caixão: WW thA .2= 
d) perfis de seção cheia, quadrados e retangulares: gW AA 67,0= 
e) perfis de seção cheia circulares: gW AA 75,0= 
f) perfis tubulares de seção circular: gW AA 50,0= 
g) almas de perfis I, H, e U, quando existirem dois recortes de encaixe nas 
ligações de extremidade de vigas: WW tdA ..67,0 0= , sendo d0 a altura líquida e 
tw a espessura da alma. 
 
 
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
116 
h
twtw twd0
Figura 6.21 – Caso c) Figura 6.22 – Caso g) 
 Quando houver um ou dois recortes para encaixes em perfis I, H, e U e 
furos para parafusos, deve-se verificar a possibilidade de rasgamento. 
 Quando existirem furos para parafusos, no cálculo da área líquida efetiva, 
devem ser feitas deduções para levar em conta esses furos, com base nas 
dimensões dos mesmos. 
Exemplo 6) Determinar a resistência de cálculo ao esforço cortante de uma viga 
composta de um perfil I 457 x 11,7 mm, aço MR-250 sabendo-se que não possui 
enrijecedoresfora dos apoios e que vão da viga é 6m. 
Dados do perfil: d = 457mm; tw = 11,7mm; b = 152,4mm; tf = 17,55mm. 
Solução: 
Não havendo enrijecedores entre os apoios, a = L. Então, 
14
755,127,45
600
=
−
=
xh
a
 
Sendo maior do que 3, implica em K = 5,34 
O índice de esbeltez da alma é 36
7,11
55,172457
=
−
==
x
t
h
w
λ 
Os limites para comparação são 
rλ e pλ . 
5,71
25
500.2034,508,1.08,1 === xf
EK
y
pλ 
Sendo λ<λp torna-se desnecessário calcular λr e a resistência nominal é dada por: 
yWpln fAVV .6,0== 
Sendo perfil laminado 
247,5317,17,45. cmxtdA WW === 
KNxxVV pln 04,8022547,536,0 === 
Finalmente, a resistência de cálculo é 
KNxVV nR 83,72104,8029,0. ===φ 
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
117 
Pilar
V1
V2 V2 V2V1
V1
V1
V1
V1
V1
V1
A'
A
B B'
V1
V2Pilar
Laje
8
8
PilarLaje
V1
V2
V1
Planta
Corte AA'
Corte BB'
2,
2m
2,
2m
2,
2m
6,0m6,0m
Exemplo 7) Dimensionar as vigas de piso da figura para aço MR-250. 
O presente exemplo trata de um piso de edifício cujas cargas são: 
a) cargas permanentes da laje: 
laje: 25 x 0,08 =20, kN/m2 
piso e forro: 0,8 kN/m2 
divisórias: 0,5 kN/m2 
total: 3,3 kN/m2 
b) Sobrecarga: 2,5kN/m2 
Figura 6.23 – Piso de edifício (planta em diagrama unifilar) e cortes. 
 
Solução: 
Cálculo das vigas V1. 
Cada painel de laje apresenta as dimensões de 6,0 x 2,2 m. Em uma laje apoiada 
nos quatro lados, com um deles maior do que o dobro do outro, pode-se 
considerar que o apoio do lado menor não suporta cargas. Neste caso, as lajes se 
apoiam apenas nas vigas V1 (lajes armadas em uma direção). As cargas nas 
vigas proveniente do piso, são: 
Permanentes (laje): 2,2 x 3,3 = 7,26 kN/m 
Temporárias (sobrecarga): 2,2 x 2,5 = 5,50 kN/m 
Falta ainda o peso-próprio da viga e seu revestimento anti-incêndio, que será 
arbitrado em 1,2 kN/m. 
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
118 
V1
V2
V1
 
Figura 6.24 – Detalhe de ligação. 
Carga de cálculo na viga V1. 
mKNqd /2055,1950,55,126,735,120,125,1 ≈=×+×+×= 
As vigas V1 podem ser analisadas como contínuas ou, de forma mais simples, 
como barras biapoiadas. Para análise como vigas contínuas é necessário que o 
detalhe da vinculação das vigas nos apoios seja tal que transmita os momentos 
fletores, tendo como vantagem um diagrama melhor distribuído possibilitando um 
perfil mais leve. Por outro lado, é mais fácil executar um detalhe de ligação de 
pouca rigidez. Tal consideração obriga o projetista a desprezar a contribuição dos 
momentos negativos nos apoios, calculando os esforços como viga em dois 
apoios, levando a um perfil mais robusto. Optando pela segunda alternativa, vem: 
Momento de cálculo: mKNLqM d .0,908
620
8
22
=
×
=
×
=
 
Dimensionamento para momento fletor. 
As lajes são eficientes apoios transversais 
e impedem a flambagem lateral. Supondo-
se que o perfil solução seja classe 1 ou 2, 
para atender ao caso estado limite de 
ruína para flexão, a NBR 8800 estabelece 
que: 
259,0. ××==≤ ZMMM nRd φ 
3400
259,0
0,90
cmZ =
×
≤ 
Um perfil que atende o módulo plástico acima é I 250 x 7,9mm que tem: 
Ix = 5140cm4; Zx = 465cm3; d = 254mm; tw = 7,9mm ; b = 118 mm; tf = 12,47mm. 
Flambagem local: 
Mesa: 
6,83,05,4
47,122
4,118
2
==<===
y
pl
f f
E
xt
b λλ (mesa classe 1) 
Alma: 
6835,232
79,0
4,25
==<===
y
pl
w f
E
t
d λλ (alma classe 1) 
Sendo alma e mesa classe 1 , o perfil tem seção super-compacta e vale a 
hipótese de que: ypln fZMM .== . 
 
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
119 
Esforço cortante. 
Esforço de cálculo: Sendo uma viga em dois apoios com carga uniforme: 
kNLqVd 0,606
620
2
=
×
=
×
= 
O detalhe usual para ligação de apoio de perfil I em outro perfil I é com recorte da 
mesa comprimida do perfil suportado. Supondo que baste um recorte de 30% na 
altura da viga, fica-se com a área de cisalhamento: 
249,879,0)242,124,25(7,067,0..67,0 cmthA wow =××−××== 
Não tendo enrijecedores fora dos apoios, tem-se que a = 6 m. 
319,26
247,124,25
600
>=
×−
=
h
a
 acarretando K = 5,34 
Esbeltez da alma: 
pln
y
p
w
VVf
EK
t
h
=→==<=
×−
== 5,71.08,129
79,0
247,124,25 λλ
 
kNfAVV ywpln 35,1272549,86,0..6,0 =××=== 
A resistência de cálculo vale: 
kNVkNVV dnR 6062,11435,1279,0. =>=×== φ 
E o perfil atende ao estado limite de ruína para esforço cortante. 
Falta a verificação do perfil ao estado limite de utilização para deformação. Sendo 
uma viga de edifício não-industrial, suportando pisos sujeitos a fissuração, a NBR 
8800 estabelece a flecha máxima para sobrecarga de serviço (sem coeficiente de 
ponderação): 
cm
Ld 67,1
360
600
360max
===
 
Para uma viga biapoiada com carga uniformemente distribuída a flecha é dada por: 
 
cmdcm
EI
qLd 67,188,0
140.5500.20
600055,0
384
5
384
5
max
24
=<=
×
×
×=×=
 
Cálculo das vigas V2. 
As vigas V2 são solicitadas pelas vigas V1 (em seus apoios) sob a forma de carga 
concentrada P cujo valor é duas vezes a reação de apoio de uma V1, lembrando 
que existem duas V1 (uma em cada lado da V2). 
kNVP dd 1206022 =×== 
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
120 
q
2,2m2,2m2,2m
Cargas
DMF cargas 
distribuídas
DMF cargas 
concentradas
 
Figura 6.25 – Diagrama de momentos fletores 
da viga V2. 
Arbitrando peso-próprio e revestimento 1,2 kN/m, tem-se para momento máximo 
de cálculo: 
 
 
 
mkNM d .17,2722,21208
6,6)2,125,1( 2
=×+
××
=
 
Procedendo analogamente às vigas V1, tem-se: 
363,1209
259,0
27217
cmf
MZ
y
d
=
××
≥ φ 
O perfil I 380 x 14,0 mm tem as propriedade geométricas: 
Ix = 20300cm4; Zx = 1270cm3; d = 381mm; tw = 14,0mm; b = 143mm; tf = 15,8mm. 
Flambagem local: 
Mesa: 
6,85,4
8,152
143
2
=<=
×
== pl
ft
b λλ
 (mesa classe 1) 
Alma 
6896,24
14
1582381
=<=
×−
== pl
wt
h λλ
 (alma classe 1) 
Alma e mesa são classe 1, e confirma-se a hipótese feita. Comprovando, tem-se: 
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
121 
L
Pa P a
 
Figura 6.26 – Viga biapoiada 
com duas cargas simétricas. 
dR McmkNM >=××= .575.2825270.19,0 
Esforço cortante. 
Esforço de cálculo: 
kNVd 95,1242
6,620,125,1120 =××+= 
Não tendo recortes na alma, tem-se: 
292,484,1)58,121,38(. cmthA ww =×−== 
A cada 2,2 m existe um apoio de viga V1, que forma naturalmente um enrijecedor 
de alma. 
Então a =2,2 m 
34,533,6
58,121,38
220
=→>=
×−
= K
h
a
 
Esbeltez: 
plnp VV =→=<= 5,719,24 λλ (analogamente à viga V1) 
Resistência nominal: 
kNfAV ywn 80,7332592,486,0.6,0 =××== 
Resistência de cálculo: 
dnR VkNVV >=×== 42,66080,7339,0.φ 
Verificação no estado limite de utilização. 
Flecha máxima segundo a NBR 8800: 
cm
Ld 83,1
360
660
360max
===
 
A flecha deve ser calculada para sobrecarga, em serviço, cujo valor é determinado 
pelas reações de apoio das vigas secundárias: 
Q = 5,5 x 6,0 = 33,0 kN 
Sendo a flecha: 





−=
22
4
3
6
.
aL
EI
aPd = 





−
××
× 22 220660
4
3
300.20500.206
22033
= 0,8cm 
Que atende perfeitamente a exigência da NBR 8800. 
Exemplo 8) Dimensionar uma viga para um vão de 6,0 m e carga permanente de 
elementos industrializados com adição in loco de 19 KN/m e sobrecarga de 
8 KN/m. Dispõem-se de um perfil I 254 x 7,9 mm que deve ser usado com reforço 
de mesas sabendo-se que não há possibilidade de flambagem lateral. 
 
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
122 
d
tw
t
t
tf
b
bf
Chapas de
reforçoFigura 6.27 – Perfil I com lamelas 
Dados do perfil: 
d = 254mm; tw = 7,9mm; bf = 118,4mm; tf = 12,47mm; 
Ix = 5.140cm4; Zx = 465 cm3 ; A = 48,1 cm2. 
Solução: 
Esforços de cálculo. 
Não se conhecendo ainda o peso final do perfil com os esforços, este deve ser 
arbitrado e verificado ao final. Seja 800 N/m. 
Lembrando que peso próprio de estrutura metálica é pequena variabilidade: 
tem-se, mkNqd /60,390,85,10,194,18,025,1 =×+×+×= 
Momento de cálculo: 
cmkNmkNM d .820.17.2,1788
66,39 2
==
×
=
 
Esforço cortante de cálculo: 
KNVd 8,1182
66,39
=
×
= 
Estados limites de ruína; 
Resistência a momento fletor. 
Uma vez que o perfil está escolhido 
previamente, pode-se determinar qual a 
parcela que lhe cabe na resistência ao 
momento fletor. 
Flambagem local: 
Mesa: 
→=<=== 5,830,08,4
47,122
4,118
2 yf
f
f
E
xt
b
λ classe 1 
Alma: 
→=<=
−
== 6735,229
9,7
47,122254
yw f
Ex
t
hλ classe 1 
Sendo um perfil classe 1, sua parcela de resistência de cálculo: 
== nR MM .φ 0,9 x 465 x 25 = 10.463 kN.cm 
A parcela correspondente ao esforço será: 
mkNM R .357.7463.10820.17 =−=∆ 
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
123 
cmKNMM Rn .174.89,0
375.7
==
∆
=∆ φ 
que corresponde a um acréscimo no módulo plástico de 
3327
25
174.8
cmZ ==∆ 
A chapa de reforço é determinada arbitrando-se uma de suas dimensões. Seja a 
espessura de 8 mm. O acréscimo no módulo plástico é o acréscimo no momento 
estático. Chamando de b à largura da chapa, vem: 
).8,0(
2
8,0
2
4,252327 b





+≤
 
b ≥ 15,60 cm 
As chapas de reforço devem ter dimensões diferentes da mesa do perfil para 
facilitar a soldagem. No caso presente adotando-se uma largura de 16 cm tem-se 
uma folga de aproximadamente 2 cm de cada lado. Para o conjunto: 
336,800)168,0(
2
8,0
2
4,252465 cmxZ =





+×+= 
Confirmando-se a classe da chapa de reforço, caso 3 da tabela 4.3, NBR 8800: 
→=<=== 2794,020
8
16
yf
E
t
bλ classe 1 
Esforço cortante. 
Esbeltez da alma: 
5,71
25
500.2034,508,1.08,129
9,7
47,122254
==<=
−
==
x
f
EKx
t
h
yW
λ
 
.: ywplR fAVV ..6,0== 
Sendo perfil laminado, tem-se que: 
207,204,2579,0. cmtdA WW =×== 
E a resistência de cálculo é 
kNVV nR 9,2702507,206,09,0. =×××== φ que é folgado. 
Estado limite de utilização. 
A flecha máxima para viga suportando piso passível de fissuração é 1/360 do vão. 
Para determinação da flecha é necessário conhecer o momento de inércia da viga. 
Usando o teorema de Steiner, tem-se: 
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
124 
dn
d
yplnp
MM
MM
fZMM
≥×
×=
×==→≤
φ
γ
λλ
y
d
dyd
f
M
Z
MMfZM
×
≥
=×≥××=
φ
γφ
yfW ××≤ 25,1
4
232
_
9535
2
8,0
2
4,258,016
12
8,0162140.52 cmyAIII chxX =














+×+
×
+=














++=
 
Verificando a deformação para sobrecarga de serviço, tem-se a flecha máxima: 
cm
EI
Lqd 7,1
360
6007,0
9535500.20
60008,0
384
5.
384
5 44
=<=
×
×
==
 (folgado) 
 
Pré- Dimensionamento – Pode-se fazer um pré-dimensionamento de uma barra 
sujeita a flexão, partindo-se da condição que a mesma estará trabalhando no 
máximo no estado limite plástico. Devemos então procurar uma seção transversal 
para a viga que possa atender à condição limite de utilização. 
 Então, adota-se: 
mas: 
e: 
onde: Md = momento de dimensionamento 
 Mn = momento fletor correspondente ao início do escoamento 
 Mpl = momento de plastificação 
 M = momento fletor atuante 
 fy = tensão limite de escoamento para o aço 
 Z = módulo resistente plástico da seção, relativo ao eixo de flexão 
 γ = coeficiente de majoração de esforços 
 φ = coeficiente de segurança para a flexão 
 Portanto: 
 Então: (31) 
 
 Logo, devemos adotar como pré-dimensionamento de uma viga à flexão, 
uma seção transversal que tenha um valor de Z conforme a equação (31). 
Obs: O maior valor de Mn deve ser (NBR 8800). 
 
 
 
 
 
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
125 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
1. Dimensionar uma viga em Perfil I para um vão de 2,8m. As cargas aplicadas 
na viga são: Md = 20kN.m; Vd = 25kN; qd = 10kN/m. Utilizar aço MR-250. 
Resposta: Um perfil que satisfaz as solicitações é “I 152 x 5,9”, sendo MR = 
31,3kN.m; Vpl = 134,85kN; d = 4,2mm. 
 
2. Uma viga biapoiada está sujeita a uma carga uniformemente distribuída (q). Se 
o perfil utilizado é o “U 102 x 4,67” de aço MR-250 e o vão a ser vencido pela 
viga é igual à 2,5m. Determinar a máxima carga q que pode ser aplicada na viga. 
Resposta: qmax = 4,45kN/m. 
 
6.3 Flambagem lateral 
 
Conceito - A seção transversal de uma barra fletida apresenta, de um lado da linha 
neutra, tensões de compressão. Tais tensões fazem com que a parte comprimida 
da barra se comporte como uma coluna estando sujeita ao fenômeno de 
flambagem, isto é, há uma possibilidade de desalinhamento da parte comprimida 
da seção transversalmente ao plano do momento fletor. Por outro lado, a parte 
tracionada da seção tem o comportamento de um tirante, que tende a trazer a 
parte comprimida de volta à posição de repouso, provocando uma torção da barra. 
A este fenômeno denomina-se flambagem lateral. 
O comportamento de uma viga quanto à flambagem lateral depende de 
vários fatores: 
1. Esbeltez transversal da mesa comprimida - Fazendo-se analogia com as 
colunas, o momento de inércia da mesa, em relação ao eixo paralelo ao do 
plano do momento tem grande importância no comportamento das vigas, pois 
quanto maior o momento de inércia transversal, maior a resistência à 
flambagem lateral. É importante saber que não há flambagem lateral em vigas 
fletidas em torno de seu eixo de menor inércia. 
 
 
 
 
 
Figura 6.28 – Flambagem lateral – 
deslocamento de uma seção típica: 
a) posição inicial antes da 
flambagem; 
b) posição deslocada após a 
flambagem. 
a) b)
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
126 
2. Comprimento não contraventado - Também se faz analogia com a flambagem 
de barras comprimidas. Para que haja flambagem lateral é necessário que a 
mesa possa se deslocar transversalmente e girar em torno de seu eixo 
longitudinal. Peças com contraventamento contínuo não estão sujeitas à 
flambagem lateral, como é o caso das vigas que suportam lajes de concreto. 
3. Rigidez à torção da seção - Seções com grande rigidez à torção têm, 
obviamente, melhor comportamento quanto à flambagem lateral. 
 
Critérios da NBR 8800. 
 
Chamando de Lb ao comprimento não contraventado e de Lp e Lr aos 
parâmetros de comparação, onde muda o comportamento das vigas, tem-se: 
1. Vigas curtas (Lb ≤ Lp): não há flambagem lateral. 
2. Vigas longas (Lb ≥ Lr): o estado limite de ruína será definido pela flambagem 
lateral elástica da viga. O momento resistente nominal Mn será o valor dito 
momento crítico Mcr que deve ser calculado. 
3. Vigas intermediárias (Lp > Lb > Lr): o limite de resistência destas vigas é a 
flambagem lateral inelástica, isto é, a flambagem lateral ocorre com o 
escoamento de algumas fibras da seção. 
 
 Para seções com Ix > Iy fletidas em relação ao eixo x, a resistência de 
cálculo ao momento fletor é dado por nR MM .φ= , onde 90,0=φ e Mn é a 
resistência nominal calculada conforme segue, em função do comprimento sem 
contenção lateral Lb. 
 
Para Lb ≤ Lp pln MM = 
 
 
Seções Lp 
I e H com dois eixo de simetria e U 
y
yp f
E
rL .75,1=
 
Retangular cheia e caixão 
Ai
M
rE
L T
pl
y
p .
..13,0
=
 
 
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
127 
Para rbp LLL ≤< 
pr
pb
rplpln LL
LL
MMMM−
−
= )__(
 
Seções Lr Mr 
I e H com dois eixos de 
simetria 
2
2
11
/.9,19
X
X
Adr
L ftr ++= 
( )2/)(
.
75,40
fTry
b
Adrff
EC
X −= 
 
)( ryxr ffWM −= 
U 
fry
b
r Adff
CE
L
/)(
..69,0
−
= )( ryxr ffWM − 
Retangular cheia e caixão 
r
Tyb
r M
ArrEC
L
....95,1
= 
yxr fWM .= (retangular cheia) 
M )( ryxr ffW −= (caixão) 
Nota: Para valor mais exato de Lr, para seções I, procurar anexo D da NBR 8800. 
 
Para rb LL > crn MM = 
Seções M cr 
I e H com dois eixos de simetria 2
2
2
1. ffWCM xbcr += 
fb AdL
Ef
/.
.69,0
1 = ( )22 /
.7,9
Tb rL
Ef = 
U 
fb
xb
cr AdL
WCE
M
/.
...69,0
=
 
Retangular cheia e caixão 
Ai
L
rCE
M T
b
yb
cr .
...95,1
=
 
Nota: Para valor mais exato de Mcr, para seções I, procurar anexo D da NBR 8800. 
Sendo: 
Wx = módulo resistente elástico relativo ao eixo de flexão; 
rT = raio de giração, relativo ao eixo de menor inércia, da seção formada pela 
mesa comprimida mais 1/3 da região comprimida da alma; 
d = distância entre faces extremas das mesas (altura da seção) 
Af = área da mesa comprimida; 
fr = tensão residual, considerada igual a 115 MPa; 
ry raio de giração da seção transversal, relativo ao eixo de menor inércia; 
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
128 
3,2.3,0.05,175,1
2
2
1
2
1 ≤





+





+=
M
M
M
MCb 
Onde M1 é o menor e M2 o maior dos dois momentos fletores de cálculo 
nas extremidades do trecho não contido lateralmente. A relação M1/M2 é positiva 
quando esses momentos provocarem curvatura reversa, e negativa em caso de 
curvatura simples. 
Quando o momento fletor em alguma seção intermediária for superior, em 
valor absoluto, a M1 ou M2, Cb deve ser tomado igual a 1,0. Também no caso de 
balanços Cb deverá ser tomado igual a 1,0. 
Nota: A expressão dada para a determinação de Cb pressupõe que o diagrama de 
momentos fletores se aproxime de uma linha reta entre M1 e M2. Caso isto não 
ocorra, tal expressão poderá conduzir a valores de Cb superiores aos corretos. Em 
qualquer caso o valor Cb = 1,0 será o correto ou estará a favor da segurança. 
Exemplo 9) Determinar a resistência de cálculo ao momento fletor de um perfil I 
203 x 6,9mm, aço MR-250, com contraventamentos laterais espaçados de : 
a) 0,90 m; b) 4,00 m; c) 6,00 m. Considerar que o momento fletor é constante 
no trecho entre contramentamentos transversais. 
Dados do perfil I 203 x 6,9 mm: 
d = 203mm; t =w 6,9mm; b = 101,6mm; t =f 10,79mm; I =x 2.400cm4; 
W =x 236cm3; Zx = 270cm3; ry = 2,11cm; rT = 2,47cm. 
Solução: 
Verificando o comportamento quanto à flambagem local. 
Mesa: 
→<=
×
= 5,871,4
79,10
6,1015,0λ classe1 
Alma: 
→<=
×−
= 673,26
9,6
79,102203λ classe 1 .: M pln M= 
Verificação quanto à flambagem lateral. 
Cálculo de L p . 
cmf
E
rL
y
yp 7,10525
500.2011,275,1.75,1 =×==
 
 
Cálculo de L r : 
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
129 
cmkNffWM ryxr .186.3)5,1125(236)( =−×=−= 
Como o momento fletor não varia no trecho, adota-se Cb = 1,0. 
cm
A
d
f
/85,1= 
56,0)85,147,2)(5,1125(
500.201
75,40)(
.
75,40 2
2
=×−=








−=
xA
d
rff
EC
X
f
Try
b
 
cmX
X
A
d
r
L f
T
r 6,58756,01156,0
85,147,29,1911
..9,19
2
2
2
2
=++
××
=++=
 
a) Comprimento não contraventado de 90 cm. Neste caso cmLcmL pb 10690 =<= , 
onde não há flambagem lateral. Então: 
cmkNfZMM ypln .750.625270. =×=== 
cmkNMM nR .607567509,0.9,0 =×== 
b) Comprimento não contraventado de 400 cm. Para este caso tem-se: 
rbp LcmLL <=< 400 , que caracteriza uma faixa onde pode haver flambagem 
lateral inelástica. De acordo com a NBR 8800, interpola-se entre Mpl e Mr: 
cmKN
LL
LL
MMMM
pr
pb
rplpln .576.4106588
106400)186.3750.6(750.6)( =
−
−
−−=
−
−
−−=
 
cmkNMM nR .119.4.9,0 == 
c) Comprimento não contraventado de 600 cm. Tem-se que Rb LL > , que 
corresponde à zona onde existe flambagem lateral em regime elástico. 
2
222 /37,3
47,2
600
500.2070,9.70,9
cmKN
r
L
Ef
T
b
=






×
=






=
 
222
2
2
1 37,374,122360,1. +××=+= ffWCM xbcr 
cmkNMM crn .110.3== 
cmkNMM nR .799.2.9,0 == 
 
2
1 /74,1285,1600
2050069,0.69,0
cmkN
A
dL
Ef
f
b
=
×
×
==
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
130 
Exemplo 10) Dimensionar as terças de cobertura de um galpão para telhas de 
alumínio com massa de 4,0 kg/m2, sendo a distância horizontal entre terças de 
1,875 m e vão de 6,0 m. Aço MR-250. 
Sabe-se que as cargas de vento valem: 
- água de barlavento: 600 N/m2 de sucção; 
- água de sotavento: 257 N/m2 de sucção. 
Solução: 
Basicamente o dimensionamento de terças de cobertura é um problema de flexão 
oblíqua. As cargas permanentes e a sobrecarga atuam na vertical, enquanto que 
os eixos principais de inércia do perfil são, um deles, ortogonal e, o outro, paralelo 
ao plano das telhas. As cargas de vento, que sempre atuam perpendicularmente à 
superfície das telhas, incidem na direção de um dos eixos principais, provocando 
flexão reta. 
As cargas permanentes atuantes na terça são: 
a) peso das telhas; 
b) peso das terças, que deve ser estimado pelo projetista; 
c) peso dos tirantes e contraventamentos, se houver, também devem ser 
estimados. 
Peso das telhas: 
mNq /2,7610cos40875,1 0 =÷×= 
O peso-próprio da terça pode ser estimado com base no tamanho que se espera 
que a mesma possa ter. Um perfil U101 x 4,6mm tem massa de 8kg/m e deve 
suportar as solicitações para o vão de 6m. Desprezando-se o peso das ferragens 
(tirantes e contraventamentos), tem-se como carga permanente de pequena 
variabilidade: 
mNqG /2,1562,7680 =+= 
Adotando-se uma sobrecarga de manutenção de 250N/m2 tem-se: 
mNqG /469875,1250 ≈×= 
As cargas de vento atuam na direção do eixo y e valem: 
- Barlavento: mNq y /142.110cos
875,1600 0 −=×−= 
- Sotavento: mNq y /48910cos
875,1257 0 −=×−= 
As cargas verticais devem ser decompostas segundo os eixos principais de inércia. 
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
131 
Permanentes: 
mNqGy /15310cos.155 0 == 
mNqGx /2710sen.155
0
==
 
Sobrecarga: 
mNqqy /46210cos.469
0
==
 
mNqqx /8110sen.469 0 == 
Deve-se, agora, combinar as cargas de forma a obter as envoltórias de esforço. 
a) peso-próprio e sobrecarga: 
- eixo y: 1,25 x 153 + 1,5 x 462 = 884,25 N/m 
- eixo x: 1,25 x 27 + 1,5 x 81 = 155,25 N/m 
b) peso-próprio e vento. Deve-se observar que quando houver ação de vento 
intenso não é provável que haja sobrecarga de manutenção no telhado. 
Observando que a ação das cargas de gravidade se dá no sentido inverso do 
vento (para cima), sendo estabilizante, usam-se os coeficientes de ponderação 
que aparecem entre parênteses na tabela da NBR 8800 e tem-se: 
- eixo y: 1,0 x 153 –1,4 x 1142 = - 1.445,8 N/m 
- eixo x: 1,0 x 27 = 27 N/m 
As terças são apoiadas nas tesouras, o que significa um vão igual ao seu 
espaçamento, no caso presente de 6,0 m. Como as terças, em geral, apresentam 
um momento de inércia predominantemente maior em um dos eixos principais, 
costumam apresentar problemas no plano das telhas, onde o valor é menor. Para 
resolver o problema podem-se colocar tirantes que reduzam os momentos fletores 
nesse plano e reduzam as deformações. 
Há várias soluções possíveis, com um ou mais tirantes por vão. Quando o telhado 
é simétrico pode-se tirar partido da simetria, equilibrando as ações dos tirantes, 
que vêm de cada água, nas terças da cumeeira, com um pequeno tirante de 
equilíbrio. 
Adotando-se um tirante em cada terça, surgeum apoio que funciona apenas no 
plano das telhas, na seção onde ocorre a interseção do tirante. Os momentos 
fletores no plano que contém o eixo x (em relação ao eixo y) estão mostrados na 
figura para análise elástica. 
Para uma viga contínua de dois vãos simétrica, o momento máximo vale: 
8
.
2
max
lqM = 
 
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
132 
y
x
Mx
My
B
A
 
 
Figura 6.29 – Momentos fletores e 
respectivas tensões normais. 
y
x
L.N.
 
 
Figura 6.30 – Tensões normais 
devidas à flexão oblíqua. 
Então: 
Caso a) mNM dy /6,1748
0,325,155 2
=
×
= 
Caso b) mNM dy /308
0,327 2
=
×
= 
No plano que contém o eixo y o 
momento fletor (em relação ao eixo x) 
vale: 
Caso a) mNM dx .12,39798
0,625,884 2
=
×
= 
Caso b) mNM dx .506.68
0,68,445.1 2
=
×−
= 
As cargas aplicadas a perfis U devem 
passar pelo centro de cisalhamento para 
não provocarem torção. No caso de telhas metálicas, pode-se tirar partido da 
rigidez das telhas e do detalhe de fixação das mesmas nas terças, que impedem o 
giro e, consequentemente, minimizam os esforços de torção, que podem ser 
desprezados. 
Flexão oblíqua de perfis que não 
apresentam dois eixos de simetria 
exige que se restrinja ao regime, na 
fase elástica a tensão máxima 
ocorrerá no ponto A ou no ponto B, 
dependendo do sentido dos momentos 
Mx ou My, e será a soma das tensões 
normais de flexão provocadas por Mx 
e My. Mas quaisquer que sejam os 
sentidos dos momentos, em um dos 
dois pontos haverá soma de tensões 
(ambas de tração ou compressão) e, 
no outro, haverá diferença. 
No ponto mais solicitado a tensão de 
serviço em regime elástico vale: 
y
y
x
x
b W
M
W
Mf +=
 
O limite elástico será atingido quando a tensão máxima valer fy. Isso é o mesmo 
que dizer que a resistência elástica da seção é o momento fletor que provoca a 
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
133 
tensão de escoamento fy na fibra mais solicitada. Então, a seção de cálculo é 
apresentada pela tensão máxima fb e a resistência de cálculo por: 
yyd ffF .9,0. == φ 
O perfil é escolhido por tentativas. Seja um perfil U 102 x 4,67 mm, cujas 
propriedades geométricas são: 
d = 102mm; tw = 4,67mm b = 40,2mm; tf = 7,52mm; A = 10,2cm2; 
massa = 8,04kg/m; Ix = 161cm4; Wx = 31,6cm3; Iy = 13,2cm4; Wy = 4,65cm3. 
Inicialmente deve-se verificar o perfil para flambagem local. 
Mesa: →<=== 114,5
52,7
2,40
ft
bλ classe 2 
Alma: →<=−== 322,20
67,4
52,7102
wt
hλ classe 2 
Sendo classe 2 não há flambagem local. 
Verificação do limite elástico. 
A tensão máxima vale: 
Caso a ) 2/346.16
65,4
460.17
6,31
912.397
cmNfb =+= 
Caso b) 2/233.21
65,4
000.3
6,31
600.650
cmNfb =+= 
E em ambos casos vale menos do que o limite elástico 
2/500.22000.259,0. cmNfF yb =×== φ 
Estado limite de utilização. 
Há duas deformações a serem estudadas; uma no sentido do eixo y, no meio da 
terça, e, outra, no sentido do eixo x, próximo aos quartos de terça, que são os 
pontos onde ocorrem as máximas flechas, entre o tirante e os apoios da terça. 
Segundo a NBR 8800 deve-se verificar a deformação máxima para sobrecarga em 
serviço e comparar com o valor máximo definido para terças suportando 
elementos de cobertura elásticos (telhas de alumínio) 
180max
Ld = . 
Eixo y (vão = 6,0 m): cmd 3,3
180
600
max == 
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
134 
Eixo x (vão = 3,0 m): cmd 67,1
180
300
max == 
Para uma viga biapoiada com carga uniformemente distribuída, a flecha máxima é 
dada por: 
 
IE
Lqd
.
.
284
5 4
×=
 
Eixo y (vão = 6,0 m): 
max
4
4.2
161000.500.20
60062,4
384
5 dcmxd <=
×
×=
 
Eixo x (vão = 3,0 m): max
4
3,0
2,13000.500.20
30081,0
384
5 dcmd <=
×
×
×= 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
1. Repetir o exemplo 9 para o aço ASTM A572 grau 50 e comparar os resultados. 
Resposta: a) MR = 8384kN.m; b) MR = 4367kN.m; c) MR = 2799kN.m; 
2. Dimensionar uma viga em três apoios com vãos de 9m em aço ASTM A242, 
para a carga permanente de 15,0 KN/m (estrutura metálica) e a sobrecarga de 
13,0 KN/m, sabendo-se que existem contraventamentos transversais a cada 
2,25m. Propriedades do aço para grupos 1 e 2: 
fy =345 MPa; fu = 480 MPa 
 
3. Determinar a sobrecarga de cálculo de uma viga de vão 4m biapoiadas do tipo 
VS 300 x 50,9 Kg/m, aço MR-250, sabendo-se que não é contida lateralmente 
fora dos apoios e que a carga é uniformemente distribuída. 
Dados da viga: 
d = 300mm; t =w 9,5mm; 
b = 150mm; t =f 16,0mm; 
Ix = 10.700cm4; Zx = 795cm3; 
Wx = 713cm3; rT = 4,1cm; 
ry = 3,73cm. 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.31 – Seção típica de perfil 
I soldado 
 
b
tw
d
tf
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
135 
6.4 Flexão composta 
 
Critério da NBR 8800. Caso de perfis com eixo de simetria. 
A NBR 8800 resolve os casos de flexão composta de seções simétricas 
através de duas equações de iteração, sendo que ambas devem ser atendidas. 
Valem as limitações definidas para flexão isenta de flambagem local ou o 
contrário, conforme o caso. 
1ª. Equação de iteração para efeitos combinados de momento fletor e força 
normal de compressão ou tração. 
0,1≤++
nyb
dy
nxb
dx
n
d
M
M
M
M
N
N
φφφ (32) 
sendo: 
Nd = força normal de cálculo, suposta constante ao longo da barra; 
Mdx, Mdy = momentos fletores de cálculo na seção considerada, agindo em torno 
dos eixos x e y, respectivamente; 
== ntn NN .. φφ resistência de cálculo à tração; 
=== ygyn fQNqN ..9,0..9,0.φ resistência de cálculo para força normal de 
compressão sem flambagem; 
=nybnxb MM .,. φφ resistências de cálculo aos momentos fletores em torno dos 
eixos x e y, respectivamente, determinados com ou sem flambagem lateral, 
conforme o caso, tomando C 0,1=b e alterando o valor de λp para o estado limite 
de flambagem local da alma de perfis I ou H (flexão em torno do eixo de maior 
inércia) e caixão, quando Nd for de compressão, como a seguir: 
 ygy fAN .= (33) 








−×=
y
d
y
p N
N
f
E
.9,0
8,215,3λ
 para 207,0
.9,0
≤
y
d
N
N
 (34) 
y
p f
E47,1=λ
 para 207,0
.9,0
>
y
d
N
N
 (35) 
2ª equação de iteração. 
0,1
.73,0
1
.
.73,0
1
.
≤








−
+






−
+
nyb
ey
d
dymy
nxb
cx
d
dxmx
nc
d
M
N
N
MC
M
N
N
MC
N
N
φφφ
 (36) 
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
136 
Sendo: 
=nybnxbdydxd MMMMN .,.,,, φφ definições dadas para a 1ª equação de iteração; 
Cmx, Cmy = coeficientes correspondentes à flexão em torno dos eixos x e y, 
respectivamente, determinados a seguir, onde as considerações são válidas para 
cada plano de flexão independentemente: 
- para barras de estruturas indeslocáveis, não sujeitas a cargas transversais 
entre apoios 
4,04,06,0
2
1 ≥−=
M
MCm (37) 
Sendo 
2
1
M
M
 a relação entre o menor e o maior dos momentos fletores de cálculo, 
em valor absoluto, nas extremidades da barra; a relação 
2
1
M
M
 é positiva se os 
momentos provocarem curvatura reversa e negativa em caso contrário; 
- para barras de estruturas indeslocáveis, sujeitas a cargas transversais entre 
apoios, o valor de Cm pode ser determinado por análise ou ser tomado igual a 0,85 
no caso de barra com ambas extremidades engastadas e 1,0 nos demais casos; 
- para barrasde estruturas descoláveis, Cm = 0,85, caso não se faça análise de 
2ª ordem; caso esta análise seja feita, o valor de Cm será determinado como se a 
estrutura fosse indeslocável; 
=nc N.φ resistência de cálculo à compressão determinada para flambagem por 
flexão; para o caso Q<1,0, no cálculo dos valores bef deverá ser usada a nota c 
referente à tabela 28 do anexo D em lugar do item E-3 do anexo E da NBR 8800; 
Q a é determinado conforme item E-32 do anexo E da NBR 8800; 
=eyex NN , cargas de flambagem elástica por flexão em torno dos eixos x e y, 
respectivamente; para cada um dos eixos tem-se 2
_
.






=
λ
yg
e
fA
N
, onde 
_
λ é 
determinado conforme procedimentos para flambagem por flexão, fazendo Q = 1,0 
e tomando-se 
r
Kl
 em relação ao eixo x para Nex e em relação ao eixo y para Ney. 
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
137 
3,
6m
15kN
300kN
 
Exemplo11) Verificar a coluna da figura 6.32 que é parte de uma estrutura em 
pórtico espacial. 
Há uma carga horizontal aplicada ao 
nível da viga localizada no topo, a qual tem 
momentos de inércia muito grande em 
relação à coluna. A coluna não tem 
contraventamentos transversais fora das 
extremidades. No sentido ortogonal ao plano 
da figura 6.32 a coluna é contida para 
deslocamentos horizontais, havendo uma 
viga com pequena rigidez à rotação. As 
cargas indicadas são de cálculo. O perfil da 
coluna é aço MR-250 laminado, I 254 x 7,9 
mm, cujas propriedades são: 
Figura 6.32 - Coluna do exemplo 11
d = 254mm; tw = 7,9mm; 
bf = 118,4mm; tf = 12,47mm; 
rx = 10,3cm; ry = 2,42cm; 
rT = 2,87cm; A = 48,1cm2; 
Wx = 405cm3 Zx = 465cm3. 
 
Solução: 
Trata-se de uma coluna submetida a esforços combinados de flexão e 
compressão. Inicialmente, deve-se determinar quais são os esforços seccionais 
atuantes na peça. O diagrama de momentos fletores pode ser facilmente obtido a 
partir das reações de apoio. 
 
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
138 
300kN
15kN
27kN.m
300kN
27kN.m 15kN
a) Esquema 
Estrutural
b) Reações 
de Apoio
c) Curvatura d) DMF
 
Figura 6.33 – Comportamento estático da coluna 
Flambagem local 
Mesa: 
→=<== 5,88,4
47,122
4,1
p
x
λλ mesa classe 1 
Alma: 
29
9,7
47,122254
=
−
=
xλ 
Tem-se que 
KNxN y 5,1202251,48 == 
207,028,0
5,12029,0
300
9,0
>==
xN
N
y
d
 
Então, 09,42
25
500.2047,147,1 ===
y
p f
Eλ 
E conclui-se que pλλ < e que a alma é classe 1. 
1ª. Equação de interação. 
Como só há flexão no plano da alma, isto é, em torno do eixo x, a 3ª parcela das 
equações de interação não existem. A 1ª equação torna-se: 
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
139 
0,1≤+
nxb
dx
n
d
M
M
N
N
φφ 
e necessita-se obter os argumentos dos denominadores. 
- Cálculo de M nx . 
Como o perfil não apresenta contenções laterais, é possível a ocorrência do 
fenômeno de flambagem lateral para um comprimento não contraventado de 3,6 
m. Verificando o comportamento do perfil para flambagem lateral, tem-se: 
- cálculo de L p : 
b
y
yp Lcmxf
E
rL <=== 121
25
500.2042,275,175,1 
Que caracteriza que a resistência nominal da seção é inferior ao momento de 
plastificação. 
- cálculo de L
r
: 
( ) cmKNffWM ryxr .5468)5,1125(405 =−=−= 
Com 172,1
247,184,11
4,25
−
== cm
xA
d
f
 e com 0,1=bC , tem-se: 
65,0)72,187,2)(5,1125(
500.200,1
75,40)(
.
75,40 2
2
=−=








−= x
xA
d
rff
EC
X
f
Try
b
 
cm
xxX
X
A
d
r
L f
T
r 64265,01165,0
72,187,29,1911
9,19
2
2
2
2
=++=++= 
Sendo L pbr LL << , deve-se interpolar linearmente, com 
cmKNxM pl .625.1125465 == 
cmKN
LL
LL
MMMM
pr
pb
rplpln .801.8121642
121360)468.5625.11(625.11)( =
−
−
−−=
−
−
−−= 
Então, 
cmKNM nx .801.8= 
- Cálculo de N n : 
Sendo um pórtico que apresenta uma viga de rigidez muito grande no seu plano, 
mas que não apresenta a mesma rigidez no plano ortogonal, pode-se fazer uma 
análise considerando que a coluna seja engastada na base e rotulada no topo 
para flambagem em torno do eixo y (eixo que passa pela alma do perfil da coluna), 
que é evidentemente o eixo crítico para compressão desta peça. 
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
140 
K = 1,0
 
Figura 6.35 – Flambagem 
em torno do eixo x 
Índice de esbeltez: 
119
42,2
3607,0
===
x
r
Kl
y
yλ 
Sendo aço MR-250, pode-se obter λ
__
 por: 
31,1119011,0
__
=⋅=yλ 
Para curva b, vem 424,0=ρ 
kNxxxfAQN ygn 510251,480,1424,0.. === ρ 
 Aplicando a 1ª equação de iteração: 
99,0
801.89,0
700.2
5109,0
300
=+=+
xxM
M
N
N
nxb
dx
n
d
φφ 
que é inferior ao valor limite 1,0 
2ª. Equação de iteração 
Analogamente ao caso da 1ª, a equação se simplifica 
0,1
.73,0
1
≤






−
+
nxb
ex
d
dxmx
nc
d
M
N
N
MC
N
N
φφ
 
A curvatura provocada pelos momentos nas extremidades é reversa, ou seja, é 
positiva a razão 
2
1
M
M
. Por ser um pórtico com uma viga rígida no topo e não 
apresentando contraventamentos, é uma estrutura deslocável, sendo então: 
C 85,0=mx 
- Cálculo de N ex : 
Aqui faz-se a análise de flambagem em torno do 
eixo x (eixo em torno do qual ocorre a flexão), 
independentemente ser ou não ser o caso crítico. 
35
3,10
3600,1
===
x
r
Kl
x
xλ 
__
38,035011,0 == xxλ 
Obtém-se, então: 
kNx
fA
N
x
yg
ex 327.838,0
251,48
)(
.
2__
2
===
λ
 
K = 0,8
 
Figura 6.34 – Flambagem em 
torno de y 
Estruturas Metálicas Capítulo 6 
141 
Aplicando-se, finalmente a 2ª equação de iteração, tem-se: 
0,187,0
242.89,0
327.873,0
3001
700.285,0
6129,0
300
.73,0
1
<=






−
+=






−
+
xx
x
x
x
M
N
N
MC
N
N
nxb
ex
d
dxmx
nc
d
φφ
 
Como a peça passou nas duas verificações, está verificada para o carregamento. 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
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Projeto e execução de estruturas de edifícios de aço. abril, 1986. 
______, NBR 6123, Forças devidas ao vento em edificações. junho, 1988. 
BELLEI, I. H., Edifícios industriais de aço – projeto e cálculo. 2ª edição, PINI, 
São Paulo, 1998. 
CARQUEJA, M. H., Estruturas metálicas. Apostila, Universidade Federal de 
Santa Catarina, UFSC,1998. 
PFEIL, W., Estruturas de aço. LTC – Livros Técnico e Científicos, 3ª edição, Rio 
de Janeiro, 1982. 
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Livros Técnico e Científicos, 6ª edição, Rio de Janeiro, 1994. 
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QUEIROZ, G., Elementos das estruturas de aço. Universidade Federal de Minas 
Gerais, Imprensa Universitária, Belo Horizonte, 1986. 
SÁLES, J. J., MALITE, M., GONÇALVES, R. M., Ação do vento nas edificações. 
Escola de Engenharia de São Carlos, USP-São Carlos, maio, 1999.