Equação Fundamental da Reta
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Equação Fundamental da Reta


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Análise Combinatória

É a área da Matemática responsável pela análise das possibilidades e das combinações de elementos pertencentes a um conjunto. É usada para construir grupos formados por uma quantidade finita de elementos de um conjunto sob determinadas circunstâncias, desta forma, é possível realizar a análise de possibilidades e combinações.

A Análise Combinatória é resumida por 7 procedimentos principais:

  • Princípio Fundamental da Contagem;

  • Fatorial;

  • Arranjos Simples;

  • Permutação Simples;

  • Combinação;

  • Permutação Com Elementos Repetidos.


Princípio Fundamental da Contagem

Dado um evento qualquer composto por ?netapas independentes e sucessivas, de modo que as possibilidades da primeira etapa são de ?me as possibilidades da segunda etapa é de ?nentão o número total de possibilidades, ?rmTdo evento ocorrer é dado por


?rmT=m.n


Exemplo: Maria prepara uma mala com 2 pares de sapatos, 4 saias e 6 camisas. Quantas combinações distintas a Maria poderá fazer com essas roupas?

Solução: Cada camisa poderá ser combinada por uma das 4 saias e cada saia com 1 par de sapatos, como observado na árvore abaixo



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Representações


?rmT=m.n=2.4.6=48


Totalizando 48 combinações distintas.


Fatorial

Dado um número natural ?nsendo ?smaior que 1, o fatorial de ?né o produto de todos os números naturais menores e igual a ?nO seu fatorial será representado por ?n!


?n!=n(n1)(n2)(n3)dots1



Definições

  • ?1!=1

  • ?0!=1

Exemplo: Calcule ?10!+7!9!

Solução: Como o numerador dessa fração é composto por dois números fatoriais, ?10!e ?7!é necessário reduzir os fatoriais ao menor fatorial, então

?10!+7!9!=10.9.8.7!+7!9.8.7! evidenciando o ?7!

?=7!(10.9.8+1)9.8.7! simplificando a fração


?=dfrac(10.9.8+1)9.8=dfrac720+172=dfrac72172



Arranjo Simples

Dado ?nelementos tomados ?pa ?psendo ?pn?n1e ?ppertence ao conjunto de números naturais. Então qualquer agrupamento de ?pelementos composto pelos ?nelementos do conjunto universo, dos quais se diferenciam pela ordem e natureza dos elementos. O arranjo (?A(n,p)) composto pelos é dado por


?rmA(n.p)rm{}=rm{}dfracn!(np)!


Exemplo: Qual a quantidade de números entre 300 e 400 formado pelos algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9?

Solução: Como o número em análise deve ser maior que 300 e menor que 400, então terá o seguinte formato

3

ou seja, deve começar com 3 seguido de duas casas para serem preenchidas por dois dos algarismos informado, então o arranjo é composto por 8 elementos (uma vez que o elemento 3 já foi posicionado) pegos 2 a 2


?rmA(n.p)rm{}=rm{}dfracn!(np)!=dfrac8!(82)!=dfrac8.7.6!6!=8.7=63



Permutação Simples

É um caso particular deo arranjo, no qual os elementos são agrupados em subconjuntos que se diferem pela ordem. A quantidade de agrupamento (?P) de ?nelementos é dado por


?P=n!


Exemplo 1: De quais formas e de quantas maneiras é possível organizar as letras J, A, V?

Solução: Os agrupamentos são: JAV, JVA, AJV, AVJ, VJA, VAJ.

A quantidade: ?P=n!=3!=3.2.1=6

Exemplo 2: Quantos anagramas podem ser formados pelas da palavra LIVRO?

Solução: A palavra LIVRO é composta por 5 letras e nenhuma se repete, então


?P=n!=5!=5.4.3.2.1=120


Logo é possível formar 120 anagramas.


Combinação

Dado ?nelementos tomados ?pa ?psendo ?pnentão a combinação (?C(n,p)) de ?pgrupamentos, que se diferem apenas pela natureza, composto pelos ?nelementos é dado por


?C(n,p)=dfracn!p!(np)!


Exemplo: É necessário formar uma comissão com 3 rapazes e 5 moças, sabendo que 7 rapazes e 7 moças se candidataram, quantas comissões podem ser formadas?

Solução: Para solucionar este problema é necessário calcular a combinação dos rapazes e a combinação das moças separadamente e por fim realizar o produto entre esses.

RAPAZES:


?C(7,3)=dfrac7!3!(73)!=dfrac7!3!.4!=dfrac7.6.5.4!3!.4!=dfrac7.6.53!=dfrac7.6.53.2.1=7.5=35


MOÇAS


?C(7,5)=dfrac7!5!(75)!=dfrac7!5!.2!=dfrac7.6.5!5!.2!=dfrac7.62!=dfrac7.62.1=7.3=21


COMBINAÇÃO ENTRE RAPAZES E MOÇAS


?C(7,3).C(7,5)=35.21=735



Permutação de Elementos Repetidos

A presença de elementos repetidos, como letras ou números, existentes na permutação não há distinção entre eles, então


?Pnn1,n2,...=dfracn!n1!n2!


sendo

?n a quantidade de elementos

?n1,n2,dots a quantidade que cada elemento repetido aparece.

Exemplo: Quantos anagramas são formados pela palavra FOTOGRAFIA?

Solução: A palavra FOTOGRAFIA é formada por 10 letras (?n=10), sendo que a letra F se repete 2 vezes (?n1=2)O se repete 2 vezes (?n2=2) e a letra A repete 2 vezes (?n3=2), logo essa permutação fica


?P102,2,2=dfrac10!2!2!2!=dfrac10.9.8.7.6.5.4.3.2!2!2!2!=dfrac10.9.8.7.6.5.4.32!2!=dfrac10.9.8.7.6.5.4.34==10.9.8.7.6.5.3=453600