Equação Fundamental da Reta

Análise Combinatória

É a área da Matemática responsável pela análise das possibilidades e das combinações de elementos pertencentes a um conjunto. É usada para construir grupos formados por uma quantidade finita de elementos de um conjunto sob determinadas circunstâncias, desta forma, é possível realizar a análise de possibilidades e combinações.

A Análise Combinatória é resumida por 7 procedimentos principais:

• Princípio Fundamental da Contagem;

• Fatorial;

• Arranjos Simples;

• Permutação Simples;

• Combinação;

• Permutação Com Elementos Repetidos.

Princípio Fundamental da Contagem

Dado um evento qualquer composto por ?$n$etapas independentes e sucessivas, de modo que as possibilidades da primeira etapa são de ?$m$e as possibilidades da segunda etapa é de ?$n$então o número total de possibilidades, ?$\mathrm{rm}T$do evento ocorrer é dado por

?$\mathrm{rm}T=m.n$

Exemplo: Maria prepara uma mala com 2 pares de sapatos, 4 saias e 6 camisas. Quantas combinações distintas a Maria poderá fazer com essas roupas?

Solução: Cada camisa poderá ser combinada por uma das 4 saias e cada saia com 1 par de sapatos, como observado na árvore abaixo

Representações

?$\mathrm{rm}T=m.n=2.4.6=48$

Totalizando 48 combinações distintas.

Fatorial

Dado um número natural ?$n$sendo ?$s$maior que 1, o fatorial de ?$n$é o produto de todos os números naturais menores e igual a ?$n$O seu fatorial será representado por ?$n!$

?$n!=n(n-1)(n-2)(n-3)\mathrm{dots}1$

Definições

• ?$1!=1$

• ?$0!=1$

Exemplo: Calcule ?$\frac{10!+7!}{9!}$

Solução: Como o numerador dessa fração é composto por dois números fatoriais, ?$10!$e ?$7!$é necessário reduzir os fatoriais ao menor fatorial, então

?$\frac{10!+7!}{9!}=\frac{\mathrm{10.9.8.7}!+7!}{\mathrm{9.8.7}!}$ evidenciando o ?$7!$

?$=\frac{7!(\mathrm{10.9.8}+1)}{\mathrm{9.8.7}!}$ simplificando a fração

?$=\mathrm{dfrac}(\mathrm{10.9.8}+1)9.8=\mathrm{dfrac}720+172=\mathrm{dfrac}72172$

Arranjo Simples

Dado ?$n$elementos tomados ?$p$a ?$p$sendo ?$p\le n$?$n\ge 1$e ?$p$pertence ao conjunto de números naturais. Então qualquer agrupamento de ?$p$elementos composto pelos ?$n$elementos do conjunto universo, dos quais se diferenciam pela ordem e natureza dos elementos. O arranjo (?$A_{\left(n,p\right)}$) composto pelos é dado por

?${\mathrm{rm}A}_{\left(n.p\right)}\mathrm{rm}\{\}=\mathrm{rm}\{\}\mathrm{dfrac}n!(n-p)!$

Exemplo: Qual a quantidade de números entre 300 e 400 formado pelos algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9?

Solução: Como o número em análise deve ser maior que 300 e menor que 400, então terá o seguinte formato

3

ou seja, deve começar com 3 seguido de duas casas para serem preenchidas por dois dos algarismos informado, então o arranjo é composto por 8 elementos (uma vez que o elemento 3 já foi posicionado) pegos 2 a 2

?${\mathrm{rm}A}_{\left(n.p\right)}\mathrm{rm}\{\}=\mathrm{rm}\{\}\mathrm{dfrac}n!(n-p)!=\mathrm{dfrac}8!(8-2)!=\mathrm{dfrac}\mathrm{8.7.6}!6!=8.7=63$

Permutação Simples

É um caso particular deo arranjo, no qual os elementos são agrupados em subconjuntos que se diferem pela ordem. A quantidade de agrupamento (?$P$) de ?$n$elementos é dado por

?$P=n!$

Exemplo 1: De quais formas e de quantas maneiras é possível organizar as letras J, A, V?

Solução: Os agrupamentos são: JAV, JVA, AJV, AVJ, VJA, VAJ.

A quantidade: ?$P=n!=3!=3.2.1=6$

Exemplo 2: Quantos anagramas podem ser formados pelas da palavra LIVRO?

Solução: A palavra LIVRO é composta por 5 letras e nenhuma se repete, então

?$P=n!=5!=5.4.3.2.1=120$

Logo é possível formar 120 anagramas.

Combinação

Dado ?$n$elementos tomados ?$p$a ?$p$sendo ?$p\le n$então a combinação (?$C_{\left(n,p\right)}$) de ?$p$grupamentos, que se diferem apenas pela natureza, composto pelos ?$n$elementos é dado por

?$C_{\left(n,p\right)}=\mathrm{dfrac}n!p!(n-p)!$

Exemplo: É necessário formar uma comissão com 3 rapazes e 5 moças, sabendo que 7 rapazes e 7 moças se candidataram, quantas comissões podem ser formadas?

Solução: Para solucionar este problema é necessário calcular a combinação dos rapazes e a combinação das moças separadamente e por fim realizar o produto entre esses.

RAPAZES:

?$C_{\left(7,3\right)}=\mathrm{dfrac}7!3!(7-3)!=\mathrm{dfrac}7!3!.4!=\mathrm{dfrac}\mathrm{7.6.5.4}!3!.4!=\mathrm{dfrac}\mathrm{7.6.5}3!=\mathrm{dfrac}\mathrm{7.6.5}\mathrm{3.2.1}=7.5=35$

MOÇAS

?$C_{\left(7,5\right)}=\mathrm{dfrac}7!5!(7-5)!=\mathrm{dfrac}7!5!.2!=\mathrm{dfrac}\mathrm{7.6.5}!5!.2!=\mathrm{dfrac}7.62!=\mathrm{dfrac}7.62.1=7.3=21$

COMBINAÇÃO ENTRE RAPAZES E MOÇAS

?$C_{\left(7,3\right)}.C_{\left(7,5\right)}=35.21=735$

Permutação de Elementos Repetidos

A presença de elementos repetidos, como letras ou números, existentes na permutação não há distinção entre eles, então

?$P_n^{n_1,n_2,...}=\mathrm{dfrac}n!n_1!n_2!$

sendo

?$n$ a quantidade de elementos

?$n_1,n_2,\mathrm{dots}$ a quantidade que cada elemento repetido aparece.

Exemplo: Quantos anagramas são formados pela palavra FOTOGRAFIA?

Solução: A palavra FOTOGRAFIA é formada por 10 letras (?$n=10$), sendo que a letra F se repete 2 vezes (?$n_1=2$)O se repete 2 vezes (?$n_2=2$) e a letra A repete 2 vezes (?$n_3=$2), logo essa permutação fica

?$P_{10}^{2,2,2}=\mathrm{dfrac}10!2!2!2!=\mathrm{dfrac}10.9.8.7.6.5.4.3.2!2!2!2!=\mathrm{dfrac}10.9.8.7.6.5.4.32!2!=\mathrm{dfrac}10.9.8.7.6.5.4.34==10.9.8.7.6.5.3=453600$